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MĂłdulo 2

Seqßências, Limite e Continuidade

5GS×ÄPEKCU A partir deste momento, passaremos a estudar seqßência, limites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busque HVFODUHFHODVQDVELEOLRJUDÀDV indicadas e tambÊm junto ao Sistema de Acompanhamento

Uma seqßência Ê um conjunto de números a1 ,a2 ,...,an ,..., disposta numa certa ordem (isto Ê, em correspondência com os inteiros positivos) e formada segundo uma dada regra. TambÊm podemos dizer que, uma seqßência Ê uma função cujo domínio Ê o conjunto dos inteiros positivos.

&DGDQ~PHURGDVHT rQFLDFKDPDVHWHUPR an Ê o -Êsimo termo RXWHUPRJHUDO8PDVHT rQFLDVHUiÀQLWDRXLQÀQLWDFRQIRUPHWHQKDRX QmRXPQ~PHURÀQLWRGHWHUPRV $VHT rQFLDa1 ,a2 ,...,an ,... tambÊm Ê representada abreviadamente

! #

por an . Exemplo 4.1 2VQ~PHURVIRUPDPXPVHTÂ rQFLDĂ€QL165


Curso de Graduação em Administração a Distância

ta, cujo termo geral ĂŠ an  5n < 3, para n  1,2,...,7 . Ou ainda podemos representar por 5n < 3 .

!

#

Exemplo 4.2 2VQ~PHURVIRUPDPXPDVHTÂ rQFLDLQĂ&#x20AC;QLWD Exemplo 4.3 Os nĂşmeros TÂ rQFLDLQĂ&#x20AC;QLWD

¨1 1 1 1 , , ..., n , ... ou Š n ­ formam uma se2 4 2 ª2 Ž

ÂŁ 3ÂĽ Exemplo 4.4 Os nĂşmeros 2, ² ´ ¤ 2ÂŚ VHT rQFLDLQĂ&#x20AC;QLWD

2

3

n

£ 4¼ £ n 1¼ , ² ´ ,..., ² ,... formam uma ¤ 3Œ ¤ n ´Œ

Exemplo 4.5 Escreva os primeiros 5 termos da seguinte seqßência ¨ 2n < 1  Š ­. ª 3n 2 Ž ¨ 2n < 1  2 = 1< 1 1 Resolução: Fazendo n  1 em Š  . ­ YRFrWHP 3= 1 2 5 ª 3n 2 Ž Do mesmo modo, fazendo n  2 temos

2 = 2 <1 3  . 3= 2 2 8

5 7 9 . Para n  4 , vem . Para n  5 vem . 11 14 17 ¨ 2n < 1  3RUWDQWRRVFLQFRSULPHLURVWHUPRVGDVHT rQFLD Š ­ são 3n 2 Ž ª os números 1 3 5 7 9 , , , , . 5 8 11 14 17 Para n  3 , vem

Exemplo 4.6 Escreva os primeiros 5 termos da seguinte seqßência ¨1 < <1 n    Š ­. 3 n ª Ž 1 ¨1 < <1 n  1 < <1 2   Resolução: Fazendo n  1 em Š  3. ­YRFrWHP 3 3 1 1 ª n Ž E assim por diante. ¨1 < <1 n    3RUWDQWRRVFLQFRSULPHLURVWHUPRVGDVHT rQFLD Š ­ são 3 n  Ž os números ª 2 2 2 , 0, 3 , 0, 3 . 3 1 3 5









166


MĂłdulo 2

Limite de uma seqßência

Informalmente, podemos dizer que uma seqßência tem limite L (converge para L ), se a partir de um certo índice todos os termos da seqßência se aproximam cada vez mais de L . Ou,

! #

ainda dizemos que, uma seqßência an tem o limite L , se para todo e  0 , existe um nĂşmero N  0 , tal que an < L  e Â&#x2122; inteiro n  N e escrevemos lim an  L .

nA'

Intuitivamente, L Ê o limite de uma seqßência*, quando os termos da mesma aproximam-se cada vez mais de L , quando nA '.

¨ n  n 1 Exemplo 4.7 Seja a seqßência Š lim  . ­ , então nA' 2n 1 2 ª 2n 1 Ž ¨ 3  3 Exemplo 4.8 Seja a seqßência Š lim  0. ­ , então nA' n <1 ª n < 1Ž ¨ 1  Exemplo 4.9 Consideremos a seguinte seqßência Š ­ , então n ª Ž 1 lim  0. nA' n ¨ 8n  8n Exemplo 4.10 Seja a seqßência Š lim  4. ­ , então nA' 2n 3 ª 2n 3 Ž

Seqßência*: ou SucessĂŁo ĂŠ uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemenWRĂ&#x20AC;FDQDWXUDOPHQWH VHT HQFLDGR 8PD sucessĂŁo ĂŠ uma função com domĂ­nio igual ao conjunto dos nĂşmeros inteiros positivos (ou, o que ĂŠ o mesmo, o conjunto dos nĂşmeros naturais nĂŁonulos).

! #

Se uma seqßência an tem um limite, dizemos que a seqßência Ê convergente, e dizemos que an converge para àquele limite. Se uma seqßência não for convergente, dizemos que Ê divergente.

167


Curso de Graduação em Administração a Distância

¨ 4n 2  4n 2 4 Exemplo 4.11 A seqßência Š 2 lim   2 , portanto ­ e nA' 2 2n 1 2 ª 2n 1 Ž Ê convergente e tem limite 2. Exemplo 4.12 A seqßência

, !<1 1#elim Â&#x2022;Â&#x2013;Âł<1 1Â&#x2014;Â&#x2DC;Âľ  ¨Šª0,2, nn ĂŠĂŠ Ă­mpar par n

n

nA'

portanto a seqßência Ê divergente. ¨ n 1  n 1 1 Exemplo 4.13 A seqßência Š lim  , portanto Ê con­ , e nA' 2n < 1 2 ª 2n < 1 Ž 1 vergente e tem limite . 2 ¨ n2 1 n2 1 Exemplo 4.14. A seqßência Š lim  ' (não existe o ­ , e nA' n ª n Ž limite), portanto a seqßência Ê divergente.

Seqßências monótonas crescentes e decrescentes

! #ĂŠ

'HĂ&#x20AC;QLomR Dizemos que uma seqßência an (i) crescente, se an ) an 1 , Â&#x2122;n ;

(ii) decrescente, se an * an 1 , Â&#x2122;n . 6HXPDVHT rQFLDpFUHVFHQWHRXGHFUHVFHQWHHODpFKDPDGDmonĂłtona. 1 2 3 4 n n 1 Exemplo 4.15 A seqßência , , , , ..., , , ... ou 3 5 7 9 2n 1 2n 3 ¨ n ÂŹ Š ­, ĂŠ crescente, pois ÂŞ 2n 1 ÂŽ

De fato,

n n 1 ) . 2n 1 2n 3

n n 1 ) Â&#x2030; n 2n 3 ) n 1 2n 1 2n 1 2n 3 Â&#x2030; 2n 2 3n ) 2n 2 3n 1,







o que vale sempre. 1 1 1 1 1 Exemplo 4.16 A seqßência1, , , , ..., , , ... , Ê decrescente, 2 3 4 n n 1 1 1 porque  . n n 1 168


Módulo 2

De fato,

1 1  ‰ n 1  n , o que vale sempre. n n 1

9DPRVYHULÀFDUVHYRFr HVWiDFRPSDQKDQGRWXGR até aqui? Procure, então, resolver os exercícios propostos.

Exercícios propostos – 1

 

D 'DGDDVHTrQFLD <1,<3,<5,<7,... determine o termo geral an . 1 1 1 E 'DGDDVHTrQFLD1, , , ,... determine o termo geral an . 3 9 27

 

(VFUHYDRVSULPHLURVWHUPRVGDVVHJXLQWHVVHTrQFLDV a)

b)

n <1 ¨ ¬ <1 « « © ­. 2.4.6. ... .2n «ª «® n ¨«£ 1 ¥ ¬« ©² 1 ´ ­ . 3n ¦ « ¤ ª« ®



¨ <1 n 1 ¬ « « c) © ­ «ª n «® &DOFXODUROLPLWHGDVVHJXLQWHVVHTrQFLDV



 

a)

¨ 2n 2 1 ¬ © 2 ­. ª« 3n < n ®«

b)

¨ 3n 3 1 ¬ © 2 ­. «ª 2n 1 «®

169


Curso de Graduação em Administração a Distância

 

Limite*: ĂŠ usado para descrever o comportamento de uma função Ă medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento GH XPD VHTXrQFLD de nĂşmeros reais, Ă  medida que o Ă­ndice GD VHTXrQFLD  YDL crescendo, ou seja, WHQGHSDUDLQĂ&#x20AC;QLWR

9HULĂ&#x20AC;FDU VH DV VHTÂ rQFLDV DEDL[R VmR PRQyWRQDV FUHVFHQWHV RX monĂłtonas decrescentes. a)

¨ n  Š ­. ª 2n 1 Ž

b)

¨ 2n  Š ­ ª n! Ž

.KOKVGUFGHWPà �GU O conceito de Limite* Ê importante na construção de muitos outros conceitos no cålculo diferencial e integral, por exemplo, nas noçþes de derivada e de integral que serão abordados nas unidades 5 e 7, que são os suportes de toda a construção das variåveis físicas, alÊm da importância no cålculo de årea e volumes.

A noção de limite $QRomRGHOLPLWHIRUQHFHXPFDPLQKRSUHFLVRSDUDGLVWLQJXLU o comportamento de algumas funçþes que variam continuamente, e o comportamento de outras funçþes que podem variar, independente do modo como se controla as variĂĄveis. eFRPEDVHQLVVRTXHSUHWHQGHPRVDSUHVHQWDUDYRFrXPDQRomR LQWXLWLYDGHOLPLWHSDUDTXHYRFrSRVVD observar o que ocorre com a função f (x) , quando x tende para um nĂşmero real a ou quando x tende SDUDPDLVRXPHQRVLQĂ&#x20AC;QLWR8VDUHPRVOLPLWHVSRUH[HPSORSDUDGHĂ&#x20AC;QLU UHWDVWDQJHQWHVHJUiĂ&#x20AC;FRVGHIXQo}HV(VVDDSOLFDomRJHRPpWULFDQRVOHYD ao importante conceito de derivada de uma função, que investigaremos, FRPGHWDOKHVQDXQLGDGH Dada uma função f YRFrTXHUVDEHURTXHRFRUUHFRPRVYDORUHV f (x) , quando a variĂĄvel x se aproxima de um ponto a 3DUDYRFrHQWHQGHULVWRPHOKRUFRQVLGHUHDIXQomR f GHĂ&#x20AC;QLGDSHODH[SUHVVmRDEDL[R f (x) 

170

(3 x 2)(x < 1) . (x < 1)


MĂłdulo 2

A função f HVWiGHĂ&#x20AC;QLGDSDUDWRGR x real, exceto x  1. Assim, se x & 1, o numerador e o denominador de f podem ser divididos por (x < 1) HYRFrREWpP f (x)  3 x 2, para x & 1. Vamos estudar juntos os valores da função f (x) , quanto x estiver prĂłximo de 1, mas nĂŁo ĂŠ igual a 1. Primeiro, vamos considerar valores de x cada vez mais prĂłximos de 1, com x  1 e observaremos o que estĂĄ acontecendo com f (x) , conforme o quadro abaixo: x<1

0

0,25

0,5

0,75

0,9

0,99

0,999

0,9999

0,99999

f (x) = 3x + 2

2

2,75

3,5

4,25

4,70

4,97

4,997

4,9997

4,99997

Agora, vamos considerar que a variĂĄvel x aproxima-se cada vez mais de 1, com x  1 e observar o que estĂĄ acontecendo com f (x) : x>1

2

1,75

1,5

1,25

1,1

1,01

1,001

1,00001

f (x) = 3x + 2

8

7,25

6,5

5,75

5,30

5,03

5,003

5,00003

Observamos, em ambas os quadros, que enquanto x se aproxima cada vez mais de 1, a função f (x) se aproxima cada vez mais de 5. Em outras palavras, ĂŠ possĂ­vel obter o valor de f (x) tĂŁo prĂłximo de 5 quando desejarmos, desde que tomemos x VXĂ&#x20AC;FLHQWHPHQWHSUy[LPRGH ([DPLQHRJUiĂ&#x20AC;FRGH f (x) , a seguir: y 5 4 3 2 1 â&#x2C6;&#x2019;1

0

1

2

x

Figura 4.1 171


Curso de Graduação em Administração a Distância

Para x cada vez mais prĂłximo de 1, f (x) aproxima-se de 5 e escreve-se a seguinte expressĂŁo: lim f (x)  lim(3 x 2)  5. xA1

xA1

LĂŞ-se: O limite da função f (x) , quando x aproxima-se de 1, ĂŠ 5, ou ainda, o limite de f (x) , quando x tende a 1, ĂŠ 5. Isto VLJQLĂ&#x20AC;FDGL]HUTXHRYDORUGDH[SUHVVmR 3x 2 , cada vez mais aproxima-se de 5, Ă medida que os valores de x estĂŁo aproximando-se de 1. Quando x A 1 , f (x) A 5. Consideremos agora a função f , definida pela expressĂŁo 3x 1 f (x)  , para x & 1. x <1 Queremos saber o que ocorre com a função f (x) quando x tende para 1, atravĂŠs de valores de x  1 e o que ocorre com a função f (x) , quando x tende para 1, atravĂŠs de valores de x  1. Vejamos o que acontece com f (x) , no quadro abaixo, quando x tende para 1, atravĂŠs de valores de x  1. x>1 f (x) 

3x 1 x <1

3

2

1,5

1,25

1,1

1,01

1,001

1,0001

...

5

7

11

19

43

403

4003

40003

...

Observamos que, quando x tende para 1, atravĂŠs de valores de x  1 ou pela direita de 1, a função f (x) FUHVFHLQGHĂ&#x20AC;QLGDPHQWHRXD função f WHQGHSDUDÂ&#x2019;H, pode-se dizer que o limite de f (x) quando x WHQGHDSHODGLUHLWDpÂ&#x2019; x A 1 , f (x) A ' e anota-se por lim f (x)  lim

xA1

xA1

3 x 1  '. x <1

Vejamos o que acontece com f (x) , no quadro abaixo, quando x tende para 1, atravĂŠs de valores de x  1. 172


MĂłdulo 2

x<1 f (x) 

3x 1 x <1

-1

0

0,9

0,99

0,999

0,9999

...

1

-1

-37

-397

-3997

-39997

...

Observamos que quando x tende a 1, atravĂŠs de valores de x  1 ou pela esquerda de 1, os valores absolutos da função f (x) crescem e sĂŁo negativos ou a função f tende para <' , e pode-se dizer que o limite de f (x) quando x tende a 1 pela esquerda ĂŠ <' , x A 1- , f (x) A <' , e anota-se por 3 x 1 lim< f (x)  lim<  <' . xA 1 xA1 x < 1 $SUHVHQWDUHPRVDJRUDDGHĂ&#x20AC;QLomRIRUPDOGHOLPLWHGHXPDIXQomR

Seja I um intervalo qualquer, a D I e f (x) uma função GHĂ&#x20AC;QLGDQRLQWHUYDOR, H[FHWRHYHQWXDOPHQWHHPD 'L]VH que o limite de f (x) quando x tende a a ĂŠ L , e escreve-se lim f (x)  L, se para todo ÂĄ (epslon), ÂĄ  0 , existe um b xAa (delta), b  0 , tal que f (x) < L  ÂĄ sempre que 0  x < a  b .

Teoremas sobre limites de funçþes

$SDUWLUGHDJRUDYRFr Teorema 4.1 Unicidade do limite: YDLFRQKHFHUVHP demonstração, os teoremas Se lim f (x)  L e lim f (x)  M então L  M . sobre limites de funçþes e xAa xAa suas aplicaçþes na resolução Teorema 4.2 Se f (x)  k para todo x real, então de problemas. Estes para qualquer número real a , tem-se WHRUHPDVGHVHPSHQKDUmR um papel importante em lim f (x)  lim k  k . xAa xAa todo o nosso curso. 173


Curso de Graduação em Administração a Distância

Exemplo 4.17 Considere f (x)  4 e a  2 entĂŁo lim f (x)  lim 4  4. xA2

xA2

Ou seja, o limite de uma constante ĂŠ a prĂłpria constante. Teorema 4.3 Se lim f (x)  L e lim g(x)  M , entĂŁo, xAa

xAa



a) lim f (x) ( g(x)  lim f (x) ( lim g(x)  L ( M . xAa

xAa

xAa

b) Para qualquer nĂşmero real k , tem-se lim k = f (x)  k = lim f (x)  k = L . xAa





xAa

c) lim f (x) = g(x)  lim f (x) = lim g(x)  L = M. xAa

d) lim xAa

xAa

xAa

f (x) L f (x) lim  xAa  se M & 0. g(x) lim g(x) M xAa



e) lim f (x) xAa

n



 lim f (x) xAa

n

L. n

Teorema 4.4 Se lim f (x)  b e lim g(y)  L , com L  g(b) , entĂŁo xAa

yAb





lim g f (x)  g lim f (x) . xAa

xAa

Observação Pelo Teorema 4.3(e) podemos concluir

xAa

Por exemplo,

n

 a . lim x   lim x  2  8 . lim x n  lim x

3

3

xA2

n

xAa

3

xA2

Teorema 4.5 Sejam b D°, b & 1, b  0 e n Dâ&#x20AC;˘ . Se lim f (x)  L , xAa

entĂŁo lim f (x )

a) lim b f (x )  b xAa  bL . xAa b) lim log b f (x)  log b lim f (x)  log b L, para L > 0 . xAa xAa c) lim n f (x)  n lim f (x)  n L , para todo n se L * 0 e sĂł xAa xAa para n Ă­mpar se L  0



174




MĂłdulo 2

Observação Seja p(x)  bn x n bn-1 x n-1 ... b1 x b0 , um polinômio qualquer, pelo teorema 4.3(a) e (b) e pela observação 4.1, temos



lim p(x)  lim bn x n bn-1x n-1 ... b1x b0 xAa

xAa

 lim bn x n lim bn-1x n-1 ... lim b1x lim b0 xAa

xAa

xAa

n

= bn lim x bn <1 lim x xAa

n <1

xAa

xAa

... b1 lim x lim b0 xAa

xAa

= p(a). Logo, lim p(x)  p(a) . xAa

Por exemplo, (i)



lim 2x 2 < 7x 4  2 = 22 < 7 = 2 4  2 = 4 < 7 = 2 4  8 < 14 4  18. xA2

(ii) lim x 5 < 3x 4 2 x 3 2  15 < 3 = 14 2 = 13 2  1 < 3 2 2  2. xA1



Vejamos agora alguns exemplos resolvidos. Exemplo 4.18 Calcular x 2 7x < 2 lim . xA1 3x < 5 Resolução: Aplicando o Teorema 4.3(a), (b) e (d), obtemos



x 2 7x < 2 x 2 7x < 2 lim lim  xA1 xA1 3x < 5 lim 3x < 5 xA1





lim x 2 lim 7x < lim 2 xA1

xA1

xA1

lim 3x < lim 5 xA1

xA1

2



lim x lim 7 = lim x < lim 2 xA1

xA1

xA1

xA1

lim 3 = lim x < lim 5 xA1

xA1

xA1

175


Curso de Graduação em Administração a Distância



12 7 = 1 < 2 6   <3. 3= 1< 5 <2

Portanto,

x 2 7x < 2  <3 . xA1 3x < 5

lim Exemplo 4.19 Calcular

lim Â&#x2022;Â&#x2013;(x < 1)10 = (x 5) Â&#x2014;Â&#x2DC; . xA0

Resolução:,QLFLDOPHQWHYRFrDSOLFDR7HRUHPD F R7HRUHPD 4.3(e), vem lim Â&#x2022;Â&#x2013;(x < 1)10 = (x 5) Â&#x2014;Â&#x2DC;  lim(x < 1)10 = lim(x 5) xA0

xA0



xA0

= lim(x 5)





 lim(x < 1) xA0



10

= 0 <1

10

xA0

= 0 5  <1

10

= 5  1= 5  5 .

Portanto, lim Â&#x2022;Â&#x2013;(x < 1)10 = (x 5) Â&#x2014;Â&#x2DC; = 5. xA0

9DPRVYHULĂ&#x20AC;FDUDJRUDVHYRFr compreendeu os teoremas VREUHOLPLWHV3DUDXPDPHOKRU compreensĂŁo, resolva os H[HUFtFLRVDVHJXLU&DVRWHQKD dĂşvidas procure auxĂ­lio junto DR6LVWHPDGH$FRPSQKDPHQWR

176


MĂłdulo 2

ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 2

%

Calcular os seguintes limites: 3

1)

lim

xA27

x <1 . x<2

2x 3 < 10x 2 8x 1 . xA2 x 2 < 5x < 6

2)

lim

3)

lim 3(x

4)

3

3 x 2)

.

xA<1

2x < 3 . 1 xA 6x 5 lim 2

5

lim xA1

2x . <3x 5

Os resultados desta seção serĂŁo LPSRUWDQWHVSDUDWRGDDVHT rQFLD de nosso curso. Por isso, sĂł passe para a prĂłxima seção quando tiver resolvido os exercĂ­cios SURSRVWRVDFLPD6HYRFrDLQGD tem alguma dĂşvida, releia a seção e depois retorne aos exercĂ­cios. Este procedimento pode ser bastante Ăştil. Limites laterais Na subseção anterior analisamos o comportamento de uma função f (x) , quando x se aproxima de um nĂşmero real a e quando x assume valores (positivos ou negativos) de valor absoluto muito grande. O nosso objetivo agora ĂŠ estudar os casos quando x tende para a pela direita, x A a e x  a ou quando x tende para a pela esquerda, x A a e x  a HFRPLVWRLGHQWLĂ&#x20AC;FDUDH[LVWrQFLDGHOLPLWHGHXPDIXQomRDWUDYpVGRV OLPLWHVODWHUDLVHHVERoDURJUiĂ&#x20AC;FRGHXPDIXQomRXVDQGROLPLWHVODWHUDLV 3DUDLVWRYHMDPRVDVVHJXLQWHVGHĂ&#x20AC;QLo}HV

177


Curso de Graduação em Administração a Distância

Limite Ă esquerda Se f (x) tende para L1 quando x tende para a atravĂŠs de valores menores que a diz-se que L1 ĂŠ o limite de f (x) quando x tende para a pela esquerda e indica-se por lim f (x)  L1 .

xAa <

Limite Ă direita Se f (x) tende para L2 quando x tende para a atravĂŠs de valores maiores que a diz-se que L2 ĂŠ o limite de f (x) quando x tende para a pela direita e indica-se por lim f (x)  L2 .

xAa

9DPRVYHUDJRUDDOJXQVH[HPSORVDSOLFDQGRDVGHĂ&#x20AC;QLo}HVDFLPD Exemplo 4.20 6HMDDIXQomRIGHĂ&#x20AC;QLGDSRU ¨x 2 1, se x  1 ÂŤ se x  1 . f (x)  Š4, ÂŤ4 < x, se x  1 ÂŞ Determinar: a) lim< f (x) ; xA1

b) b) lim f (x) ; xA1 c) (VERFHRJUiĂ&#x20AC;FRGH f (x) .

Resolução:3HODGHĂ&#x20AC;QLomRGHOLPLWHjHVTXHUGDYRFrUHVSRQGHDOHWUDa). Observe que a função f (x) HVWiGHĂ&#x20AC;QLGDSRU f (x)  x 2 1 se x  1. Logo, lim< f (x)  lim< (x 2 1)  12 1  2.

xA1

178

xA1


MĂłdulo 2

Assim, lim f (x)  2 .

xA1<

$JRUDSHODGHĂ&#x20AC;QLomRGHOLPLWHjGLUHLWDYRFrUHVSRQGHDOHWUDb). Observe que a função f (x) HVWiGHĂ&#x20AC;QLGDSRU f (x)  4 < x se x  1. Logo, lim f (x)  lim (4 < x)  4 < 1  3.

xA1

Assim,

xA1

lim f (x)  3.

xA1

c) Note que f (1)  4 . Com estas informaçþes, de que f (1)  4 , lim f (x)  2 e lim f (x)  3YRFrFRQVHJXHSHUFHEHUFRPR f (x)

xA1<

xA1

se comporta quando x HVWiSUy[LPRGH3DUDHVERoDURJUiĂ&#x20AC;FR de f (x) GrYDORUHVSDUD x , x  1 e calcule os valores de f (x) correspondentes atravĂŠs da expressĂŁo x 2 1GrYDORUHVSDUD x  1 e calcule os valores de f (x) correspondentes atravĂŠs da expressĂŁo 4 < x HYHMDRJUiĂ&#x20AC;FRGH f (x) , abaixo. y

4 3 2 0 1

4

x

Figura 4.2

Exemplo 4.21 Considere a função ¨x 2 < 1, f (x)  Š ª2x 7,

se x ) <2 se x  <2

.

Determine: a) lim< f (x) ; xA<2

b) lim f (x) ; xA<2

179


Curso de Graduação em Administração a Distância

F  (VERoDURJUiĂ&#x20AC;FRGH f (x) .

Resolução:3HODGHĂ&#x20AC;QLomRGHOLPLWHjHVTXHUGDYDPRVUHVROYHUOHWUD a 2EVHUYHFRPRHVWiGHĂ&#x20AC;QLGDDIXQomRDFLPDSDUDYDORUHVGH x Ă esquerda de <2 , ou seja, para x ) <2 . Assim, f (x)  x 2 < 1 se x ) <2 e lim f (x)  lim< (x 2 < 1)  (<2)2 < 1  4 < 1  3

xA<2<

xA<2

Logo, lim f (x)  3.

xA<2<

3HODGHĂ&#x20AC;QLomRGHOLPLWHjGLUHLWDYDPRVUHVROYHUDOHWUDb). Para valores de x Ă direita de <2 , a função f (x)  HVWi GHĂ&#x20AC;QLGD SRU f (x)  2x 7 se x  <2 e lim f (x)  lim (2 x 7)  2 = (<2) 7  3.

xA<2

xA<2

Logo, lim f (x)  3 .

xA<2

Portanto,

lim f (x)  lim f (x)  3 .

xA<2<

xA<2

c) Note que f (<2)  (<2)2 < 1  4 < 1  3 . Como f (<2)  3 e lim f (x)  lim f (x)  3 SDUD HVERoDU R JUiĂ&#x20AC;FR GH f (x)  Gr

xA<2<

xA<2

valores para x , x ) <2 e calcule os valores de f (x) correspondentes, atravĂŠs da expressĂŁo x 2 < 1GrYDORUHVSDUD x  <2 e calcule os valores de f (x) correspondentes, atravĂŠs da expressĂŁo 2x 7 e veja RJUiĂ&#x20AC;FRGH f (x) , abaixo:

180


MĂłdulo 2

y

3 â&#x2C6;&#x2019;2 0

x

Figura 4.3

Teorema de existĂŞncia do limite Sejam I um intervalo aberto, a um ponto deste intervalo e f : I < {a} A ° . EntĂŁo existe lim f (x)  L Â&#x2039; lim f (x)  lim< f (x)  L . xAa

xAa

xAa

Vejamos agora, alguns exemplos de aplicação do teorema de exisWrQFLDGROLPLWH Exemplo 4.22 Considere a função ¨x 2 1, se x  2 ÂŤ f (x)  Š1, se x  2 . ÂŤx 3, se x  2 ÂŞ Determine o lim f (x) , VHH[LVWLUHHVERoHRJUiĂ&#x20AC;FRGH f (x) . xA2

Resolução: Para determinar o lim f (x) , vamos calcular os limites xA2

laterais de f (x) , ou seja, calcular lim< f (x) e lim f (x) . Para calxA2

xA2

cular lim< f (x) , observe na função dada que f (x) HVWiGHĂ&#x20AC;QLGD xA2

por f (x)  x 2 1 para valores de x menores que 2. 181


Curso de Graduação em Administração a Distância

Assim, lim< f (x)  lim< (x 2 1)  22 1  5.

xA2

xA2

Para calcular lim f (x) , observe na função dada que f (x) estĂĄ xA2 GHĂ&#x20AC;QLGDSRU f (x)  x 3 para valores de x maiores que 2. Assim, lim f (x)  lim (x 3)  2 3  5.

xA2

xA2

Como lim< f (x)  5 e lim f (x)  5 , pelo teorema acima temos xA2

xA2

lim f (x)  5. xA2

3DUDHVERoDURJUiĂ&#x20AC;FRGDIXQomR f (x) YRFrXWLOL]DRPHVPRSURcedimento do exemplo anterior, conforme vemos abaixo: y

5

1 0 Figura 4.4

9DPRVFRQIHULUVHYRFr HVWiDFRPSDQKDQGRWXGR atĂŠ aqui? E para isto tente resolver os exercĂ­cios propostos a seguir. Caso WHQKDG~YLGDVEXVTXH esclarece-las antes de seguir adiante.

182

2

x


MĂłdulo 2

ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 3

1)

¨7x < 2, se x * 2 Seja f (x)  © 2 . ª«x < 2x 1, se x  2 Calcular: lim f (x) , lim< f (x) e lim f (x) . xA2

2)

xA2

¨x 1,  Seja f (x)  Š2,  ª x 5,

xA2

se x  0 se x  0 se x  0

Calcular: lim f (x) , lim< f (x) e lim f (x) . xA0

3)

xA0

xA0

se x  2 «¨x 1, Seja f (x)  © 3 «ª x 1, se x * 2 Calcular: lim f (x) , lim< f (x) e lim f (x) . xA2

4)

xA2

xA2

Seja f (x) XPDIXQomRGHĂ&#x20AC;QLGDSDUDWRGRQ~PHURUHDOSRU ¨x 2 < 4x, se x ) <2 f (x)  Š se x  <2 ÂŤÂŞ4 < k, Determinar o valor da constante k para que exista lim f (x) . xA<2

5)

¨x 2 < 6x 8, se x  4 Seja f (x)  Š se x ) 4 ª4 < x, Calcular: lim< f (x) , lim f (x) e lim f (x) . xA4

xA4

xA4

2VH[HUFtFLRVGHVWDVHomRWrPSRUREMHWLYR Da noção de limite lateral, decontribuir para o amadurecimento do penderĂĄ, fundamentalmente, o entendiFRQFHLWRGDH[LVWrQFLDGROLPLWHGHXPD mento de continuidade de uma função, função. Para isto, ĂŠ importante que que serĂĄ estudada posteriormente. YRFrWHQKDUHVROYLGRDPDLRULDGHOHV6H YRFrVHQWLXDOJXPDGLĂ&#x20AC;FXOGDGHUHYHMD RVH[HPSORVSRLVHOHVOKHGDUmRRV subsĂ­dios necessĂĄrios para a resolução dos problemas propostos. 183


Curso de Graduação em Administração a Distância

Indeterminaçþes 1DVXEVHomRDQWHULRUYRFrHVWXGRX/LPLWHV/DWHUDLV1HVWDVHomR YDPRVHQWHQGHUPHOKRURTXHYHPDVHU,QGHWHUPLQDomR1RVVRREMHWLYR aqui ĂŠ â&#x20AC;&#x153;levantarâ&#x20AC;? uma indeterminação que ĂŠ uma expressĂŁo sem sentido que se obtĂŠm ao tentar calcular um limite. Por exemplo, usando errof (x) neamente a letra d) do Teorema 4.3 para calcular lim VH FKHJD xAa g(x) 0 Ă expressĂŁo TXHQmRSRVVXLVLJQLĂ&#x20AC;FDGR1HVWHSURFHVVRXWLOL]DUHPRV 0 alguns artifĂ­cios algĂŠbricos. AtĂŠ agora calculamos limites do quociente entre duas funçþes, aplicando o Teorema 4.3 letra d). Veja o exemplo 4.18 resolvido x 2 7x < 2 ( lim  <3 ). UWLOL]DQGR HVWH WHRUHPD YRFr QRWRX TXH QmR xA1 3x < 5 KRXYH QHQKXPD GLĂ&#x20AC;FXOGDde para encontrar o valor do referido limite, PDVSRGHPRFRUUHUVLWXDo}HVHPTXHYRFrXVDQGRHUURQHDPHQWHDOHWUD 0 d) do Teorema 4.3, encontre . Cuidado quando isto ocorrer. O limite 0 0 0 nunca ĂŠ , pois nĂŁo ĂŠ nĂşmero algum. Neste caso, o que fazer? Ă&#x2030; o 0 0 que veremos a seguir: Consideremos f (x) e g(x) funçþes tais que lim f (x)  0 e xA0

lim g(x)  0 . Em pr incĂ­pio, nada se pode a f i r ma r sobre o xA0

lim xA0

f (x) 0 f (x) lim  xA0  (com a aplicação indevida do Teorema 4.3 g(x) lim g(x) 0 xA0

letra d). Dependendo das funçþes f e g , o limite pode assumir qualquer valor real ou não existir.

0 Ê uma indeterminação, ou um símbolo de 0 indeterminação.

Diz-se que

184


MĂłdulo 2

3DUDXPPHOKRUHQWHQGLPHQWRYHMDPRVRVH[HPSORVDEDL[R Exemplo 4.23 Sejam f (x)  x 4 e g(x)  x 3 . Calcular lim xA0

f (x) . g(x)

Resolução: Tem-se lim f (x)  lim x 4  04  0 xA0

xA0

e lim g(x)  lim x 3  03 = 0 xA0

xA0

Mas, lim xA0

f (x) x4  lim 3  lim x  0 . xA0 g(x) xA0 x

Exemplo 4.24 Sejam f (x)  x 3 e g(x)  4x 3 . Calcular lim xA0

f (x) . g(x)

Resolução:9RFrWHP lim f (x)  lim x 3  03  0 e lim g(x)  lim 4x 3  4 = 03  0. xA0

xA0

xA0

xA0

Neste caso, lim xA0

f (x) x3 1 1  lim  lim  . 3 xA0 4 g(x) xA0 4 x 4 x <1 . xA1 x < 4x 3

Exemplo 4.25 Calcular lim

2

£ 0¼ Resolução: Quando x  1temos a determinação ² ´ . Neste caso, ¤ 0Œ x <1 x <1 1   . x < 4x 3 ( x < 1 )(x < 3) x < 3 2

Portanto, x <1 1  lim  <2 xA1 x < 4x 3 xA1 x < 3

lim

2

Tentando calcular limites de funçþes aplicando os teoremas vistos, YRFrSRGHFKHJDUDRXWUDVH[SUHVV}HVFXMRVLJQLĂ&#x20AC;FDGRRXYDORUQmRp determinado. Ao todo sĂŁo sete tipos de indeterminaçþes:

185


Curso de Graduação em Administração a Distância

Os tipos de indeterminaçþes: 0 ' , , 0.', ' < ', 00 , 1' e '0 . 0 ' Sempre que no cĂĄlculo de um limite vocĂŞ chegar a um destes sĂ­mbolos, deve buscar alguma alternativa para obter o valor do limite usando artifĂ­cios algĂŠbricos. A este trabalho dĂĄ-se o nome de levantamento de uma indeterminação. Este processo tambĂŠm pode ser resolvido no capĂ­tulo Aplicaçþes de Derivada usando regra de Lâ&#x20AC;&#x2122;Hospital, que tambĂŠm trata de limites funçþes com indeterminaçþes. Recomendamos a vocĂŞ uma releitura da seção 6.3, que trata dos limites.

Limites infinitos 2 , para x & 3. (x < 3)2 Queremos determinar os valores da função f (x) quando x estĂĄ prĂłximo de 3. Para x se aproximando de 3 pela direita, x  3 , temos os valores de f (x) , dados no quadro abaixo: &RQVLGHUHPRVDIXQomRGHĂ&#x20AC;QLGDSRU f (x) 

x, x > 3 f (x) 

2 (x < 3)2

4

3,5

3,25

3,125

3,1

3,01

3,001

...

2

8

32

128

200

20.000

2.000.000

...

Observamos que, fazendo x aproximar-se cada vez mais de 3, com x  3 , f (x) cresce ilimitadamente, isto ĂŠ, pode-se tornar f (x) tĂŁo JUDQGHTXDQWRYRFrGHVHMDUGHVGHTXHVHWRPH x bem prĂłximo de 3. Escreve-se lim

xA3

2  ' , (x < 3)2

ou seja, quando x A 3 , f (x) A ' .

186


Mรณdulo 2

Agora vamos considerar x , aproximando-se de 3 pela esquerda. Para x  3 REWrPVHRVYDORUHVGH f (x) , dados no quadro abaixo. x, x < 3 f (x) 

2 (x < 3)2

2

2,5

2,75

2,8

2,9

2,99

2,999

2

8

32

50

2.000 20.000 2.000.000

...

...

Observamos que fazendo x aproximar-se cada vez mais de 3, com x  3 , f (x) cresce ilimitadamente, isto รฉ, pode-se tornar f (x) tรฃo JUDQGHTXDQWRYRFrGHVHMDUGHVGHTXHVHWRUQHx bem prรณximo de 3. Escreve-se lim<

xA3

2  ' , (x < 3)2

ou seja, quando x A 3< , f (x) A ' . Portanto, quando x se aproxima de 3 pela direita ( x  3 ) ou pela esquerda ( x  3 ), f (x) , cresce ilimitadamente, e escreve-se 2  ' . xA3 (x < 3) 2

lim

Escrevemos lim f (x)  ' para dizer que f (x) cresce ilimitadaxAa

mente quando x tende para a . Se f (x)  0 para x prรณximo de a e o mรณdulo de f (x) crescer ilimitadamente, escrevemos lim f (x)  ' . xAa

'HPDQHLUDDQiORJDDWULEXtPRVVLJQLร€FDGRVSDUD lim f (x)  ('

e lim< f (x)  (' .

xAa

xAa

Escrevemos lim f (x)  ' para dizer que f (x) cresce ilimitaxA ' damente sempre que x crescer ilimitadamente. 'HPDQHLUDDQiORJDDWULEXtPRVVLJQLร€FDGRSDUD lim f (x)  <' e lim f (x)  (' .

xA '

xA<'

187


Curso de Graduação em Administração a Distância

Limite de Função Racional Este teorema vai nos facilitar o cĂĄlculo de limite de uma função racional quando a variĂĄvel x WHQGHSDUDPDLVLQĂ&#x20AC;QLWRRXWHQGHSDUDPHQRV LQĂ&#x20AC;QLWR9HMDPRVRVHXHQXQFLDGR Teorema 4.7 Seja a função racional (o quociente entre dois polinĂ´mios) f (x) 

n n-1 n-2 P(x) ao x a1 x a2 x ... an  Q(x) bo x m b1 x m-1 b2 x m-2 ... bm

com ao & 0 e bo & 0 . Então, ao = x n P(x) lim f (x)  lim  lim , xA ( ' xA ( ' Q(x) xA ( ' b = x m o ou seja, o limite da função racional f (x) Ê dado pelo limite da razão ou o quociente dos termos de maior grau dos polinômios P(x) e Q(x) . Vejamos alguns exemplos, aplicando o Teorema de uma função racional quando x A (' . Exemplo 4.26 Determinar 3x 3 < x 2 +7x < 1 lim . xA< ' 5x 3 < 2x 2 x 3 Resolução: Pelo Teorema acima, tem-se 3x 3 < x 2 +7x < 1 3 x3 3 3 lim = lim  lim  . (Aqui n  m  3 ). 3 2 3 xA< ' 5x < 2x x 3 xA< ' 5 x xA< ' 5 5 Portanto, 3x 3 < x 2 +7x < 1 3  . xA< ' 5x 3 < 2x 2 x 3 5 lim

188


Módulo 2

Exercícios propostos – 4

%

Calcular os seguintes limites: 1)

x 2 3x < 7 . xA ' 2 x2 1

2)

x 2 3x < 7 . xA ' 2 x 1

3)

3 x5 < 7 x 4 2 x 2 7 . xA< ' 6 x 5 2 x 4 < x 3 2

4) 5)

lim lim lim

lim (3 x 5 < 2 x 3 4) .

xA '

lim

xA<2

<2x . 4 < x2

6)

x 6 < 2x 5 7x 3 2 . xA< ' x 5 < 2x 3 4

7)

4x 4 < 3x 3 2x 2 x < 1 . xA ' 6x 5 2x 3 < 2

lim

lim

Nos exercícios desta seção e da anterior, YRFrWHYHDRSRUWXQLGDGHGHSHUFHEHU se entendeu a aplicação dos teoremas nelas enunciados. Só prossiga após fazer todos os exercícios propostos, de ambas as seções, porque istocontribuirá SDUDXPPHOKRUHQWHQGLPHQWRGRV conteúdos nelas apresentados. Se tiver dúvidas, consulte o Sistema de $FRPSDQKDPHQWR

189


Curso de Graduação em Administração a Distância

Funçþes contĂ­nuas 1HVWDVHomRYDPRVYHUTXHXPDGDVFRQVHT rQFLDVLPSRUWDQWHVGD noção de limite ĂŠ a noção de continuidade de uma função. Na linguagem quotidiana dizemos que o tempo ĂŠ contĂ­nuo, uma vez que ele decorre de maneira ininterrupta. O relĂłgio nĂŁo salta, digamos, de KRUDVSDUDKRUDVHPLQXWRGHL[DQGRXPODSVRGHPLQXWR Em matemĂĄtica usamos a expressĂŁo contĂ­nua em um sentido sePHOKDQWH,QWXLWLYDPHQWHJRVWDUtDPRVGHDĂ&#x20AC;UPDUTXHXPDIXQomR f ĂŠ contĂ­nua em x  a TXDQGRRJUiĂ&#x20AC;FRGH f nĂŁo tem interrupção em a, ou VHMDRJUiĂ&#x20AC;FRGH f nĂŁo tem quebras ou saltos em a. Para muitas funçþes contĂ­nuas isto ĂŠ verdadeiro, mas existem exceçþes. $VFRQVLGHUDo}HVDFLPDPRWLYDPDVGHĂ&#x20AC;QLo}HVDVHJXLU

Seja f XPDIXQomRGHĂ&#x20AC;QLGDHPXPFRQMXQWRX constituĂ­do de uma reuniĂŁo de intervalos e seja a D X . Diz-se que a função f ĂŠ contĂ­nua no ponto a quando lim f (x)  f (a) . xA a

A maior parte das funçþes elementares, vistas no capítulo 2, são contínuas em todo x real, por exemplo, f (x)  c , f (x)  ax b , f (x)  sen x e f (x)  cos x .

Seja a D Dom f diz-se que uma função f Ê descontínua no ponto x  a se f não for contínua em x  a .

,VWRVLJQLĂ&#x20AC;FDTXH f ĂŠ descontĂ­nua em x  a , se ocorrer ao menos uma das seguintes condiçþes: 190


MĂłdulo 2

i) NĂŁo existe lim f (x) . xA a

ii) Existe lim f (x) , mas lim f (x) & f (a) . xA a

xA a

Vamos ver alguns exemplos. Exemplo 4.27 Seja ¨x < 1, se x ) 3 f (x)  Š . ª4, se x  3 A f u nção f (x) Ê d escont í nu a no p ont o x  3 , p ois, lim< f (x)  lim< (x < 1)  3 < 1  2 e lim f (x)  lim 4  4 , logo xA3

xA3

xA3

xA3

nĂŁo existe lim f (x) . xA3

Observe que f (3)  3 < 1  2 PDVLVWRQmRpVXĂ&#x20AC;FLHQWHSDUDDFRQtinuidade de f (x) . Seria necessĂĄrio que se tivesse lim f (x)  f (3) xA3

o que jamais poderia ocorrer, visto que nĂŁo existe lim f (x) . Veja o xA3 JUiĂ&#x20AC;FRGH f (x) abaixo. y 4 2 â&#x2C6;&#x2019;1

0

3

x

â&#x2C6;&#x2019;2 Figura 4.5

Uma função f Ê contínua no conjunto X se f Ê contínua em todos os pontos de X .

191


Curso de Graduação em Administração a Distância

Por exemplo, as funçþes f (x)  tg x e g(x)  sen x sĂŁo contĂ­nuÂŁ / /ÂĽ Â&#x2022; / /Â&#x2014; as nos intervalos ² < , ´ e Âł < , Âľ , respectivamente. ¤ 2 2ÂŚ Â&#x2013; 2 2Â&#x2DC; Vamos estudar agora, os teoremas elementares de funçþes contĂ­nuas, tais como: soma, produto, quociente e composição. Teorema 4.11 Se as funçþes f (x) e g(x) sĂŁo contĂ­nuas em x  a , entĂŁo: a) A soma, f (x) + g(x) , ĂŠ contĂ­nua em x  a ; b) A diferença, f (x) < g(x) ĂŠ contĂ­nua em x  a ; c) O produto, f (x) = g(x) , ĂŠ uma função contĂ­nua em x  a ; f (x) , ĂŠ uma função contĂ­nua x  a , desde que g(x) se tenha g(a) & 0 .

d) O quociente,



Teorema 4.12 A composição, ( f o g)(x)  f g(x) Ê contínua emx  a, desde que g(x) seja contínua em x  a e f (x) seja contínua em g(a). Observação 4.3 (i) A função polinomial f (x)  a0 x n a1x n <1 ... an Ê contínua em <', '  ° . (ii) Uma função racional Ê contínua em todo número real de seu



domínio. (iii) As funçþes abaixo são contínuas em todo número real x de seu domínio: f (x)  a x , g(x)  log a x , h(x)  x . Vejamos alguns exemplos de funçþes contínuas pelo Teorema 4.11 e 4.12. Exemplo 4.28 As funçþes f (x)  x 2 e g(x)  3x são contínuas para todo número real x , logo, ( f g)(x)  x 2 3x Ê contínua para todo número real x .

192


MĂłdulo 2

Exemplo 4.29 As funçþes f (x)  x 1 e g(x)  cos x são contínuas para todo número real x , logo, ( f = g)(x)  (x 1) = cos x Ê contínua para todo número real x . Exemplo 4.30 As funçþes f (x)  x 3 e g(x)  x 2 1 3são contínuas £ f¼ x f (x) para todo número real x , logo, ² ´ (x)   2 Ê contínua g(x) x 1 ¤ gŒ para todo número real x . Exemplo 4.31 A função f (x)  2x 5 < x 3 3 x 2 < 1 Ê contínua para todo número real x . Exemplo 4.32 As funçþes f (x)  2x 1 e g(x)  2x são contínuas para todo número real x , logo f o g (x)  f g(x)  f 2 x  4x 1 , isto









ĂŠ, f o g (x)  4x 1ĂŠ contĂ­nua para todo nĂşmero real x .

Vamos analisar a continuidade de uma função num determinado ponto, x  a , e para isto consideraremos os seguintes exemplos resolvidos:

ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 5

1)

¨x 2 1, se x  2 ÂŤ se x  2 Seja f (x)  Š5, ÂŤ7x < 9, se x  2 ÂŞ 9HULĂ&#x20AC;FDUVH f (x) ĂŠ contĂ­nua em x  2 .

 

9HULĂ&#x20AC;FDUVHDIXQomR f GHĂ&#x20AC;QLGDSRU ¨x 2 < x, se x  <3 ÂŤ f (x)  Šx 3 2, se x  <3 ÂŤ4, se x  <3 ÂŞ ĂŠ contĂ­nua no ponto x  <3 . 193


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3)

¨x < 1, se x  3 ÂŤ Seja f (x)  Š5, se x  3 ÂŤ8 < x, se x  3 ÂŞ 9HULĂ&#x20AC;TXHVH f (x) ĂŠ contĂ­nua em x  3.

Saiba Mais... Para aprofundar os conteĂşdos abordados neste caĂ­tulo, consulte: Â&#x2014; FLEMMING, D. M.; GONĂ&#x2021;ALVES, M. B. CĂĄlculo A: Funçþes, Limite, Derivação, Integração, 5ÂŞ ed. SĂŁo Paulo: Makron Books, 1992. Â&#x2014; LEITHOLD, Louis. O cĂĄlculo com geometria analĂ­tica. 2ÂŞ ed. SĂŁo Paulo: Harba, 1994. Vol. 1. Â&#x2014; KWWSSHVVRDOVHUFRPWHOFRPEUPDWHPDWLFDVXSHULRUVXSHULRUKWP

RESUMO 1HVWD8QLGDGHYRFrWHYHDRSRUWXQLGDGHGHHVWXGDUH FRPSUHHQGHU D GHĂ&#x20AC;QLomR GH OLPLWH GH XPD IRUPD LQWXLWLYD bem como calcular limite de uma função, usando os teoremas VREUH OLPLWHV R VLJQLĂ&#x20AC;FDGR GRV OLPLWHV ODWHUDLV OLPLWHV QR LQĂ&#x20AC;QLWRHOLPLWHVLQĂ&#x20AC;QLWRV3HUFHEHXWDPEpPFRPROHYDQWDU uma indeterminação e aprendeu a analisar a continuidade de uma função, aplicando limites laterais. Entendeu tudo atĂŠ aqui? 1mRHVTXHoDTXHDFRPSUHHQVmRpIXQGPDHQWDOSDUDTXHYRFr SRVVDDFRPSDQKDUDGLVFLSOLQD6ySURVVLJDDSyVID]HUWRGRV os exercĂ­cios propostos, jĂĄ que o que veremos a seguir depende dos conceitos abordados neste capĂ­tulo. Consulte o Sistema de $FRPSDQKPHQWRVHPSUHTXHDFKDUQHFHVViULR 194


MĂłdulo 2

RESPOSTAS â&#x20AC;˘ ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 1 ¨1ÂŹ Š n ­. ÂŞ3 ÂŽ

1)

a)

!<  2n < 1 # ;

2)

a)

1 <1 1 <1 1 , , , , . 2 2.4 2.4.6 2.4.6.8 2.4.6.8.10

b)

£ 4¼ ²¤ 3 ´Œ

c)

1 1 1 1 1, < , , < , . 2 3 4 5

3)

a)

4)

a)

1

£ 7¼ ,² ´ ¤ 6Œ

2

b)

£ 10 ¼ ,² ´ ¤ 9Œ

3

£ 13 ¼ ,² ´ ¤ 12 Œ

4

5

£ 21 ¼ ,² ´ . ¤ 20 Œ

2 ; b) ' (nĂŁo existe o limite). 3 monĂłtona crescente; b) monĂłtona crescente

â&#x20AC;˘ ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 2

1)

2 ; 25

2)

7 ; 12

3)

1 ; 9

1 4) < ; 4

5) 1.

â&#x20AC;˘ ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 3

1) 2) 3) 4) 5)

lim f (x)  12 , lim< f (x)  1 e lim f (x) nĂŁo existe.

xA2

xA2

xA2

lim f (x) = 1; lim f (x) = 5 . NĂŁo existe lim f (x) .

xA0<

xA0

xA0

lim f (x)  3 , lim f (x)  3 e lim f (x)  3 .

xA2<

xA2

xA2

k = <8 . lim f (x)  0 , lim< f (x)  0 e lim f (x)  0 .

xA4

xA4

xA4

195


Curso de Graduação em Administração a Distância

â&#x20AC;˘ ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 4 1) 5)

1 ; 2 <' .

2)

' ;

3)

6)

<' .

7)

1  2 0.

 

â&#x20AC;˘ ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 5

2)

Sim, f (x) Ê contínua em x  2 . A função dada não Ê contínua em x  <3 .

3)

A função f (x) não Ê contínua em x  3.

1)

196

Â&#x2019;

unidade3  

A partir deste momento, passaremos a estudar seqüência, limites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busq...

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