Page 1

2. ปริพันธ์สามชั้น (Triple Integrals) 2.1 ปริพันธ์สามชั้นในระบบพิกัดฉาก นิยาม 2.1

ให้ f  x, y, z  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่นิยามบนบริเวณปิด G ปริพันธ์สามชั้นของ f  x, y, z  บน G เขียนแทนด้วย  f  x, y, z dV กาหนดโดย G



f  x, y, z dV  lim

n

 n 

G

k 1

f xk* , yk* , zk* Vk

ถ้า f  x, y, z   1 แล้วจะได้  f  x, y, z dV   dV คือ ปริมาตร G

G

ของรูปทรง 3 มิติ G นั่นเอง G

z

y

x

รูป 2.1 สมบัติของปริพันธ์สามชั้น 1.  cf  x, y, z dV  c  f  x, y, z dV ,c  ค่าคงที่ G

G

2.   f  x, y, z   g  x, y, z  dV   f  x, y, z dV   g  x, y, z dV G

G

G

3.  f  x, y, z dV   f  x, y, z dV   f  x, y, z dV , ถ้า G1, G2 G

G1

เป็นบริเวณที่ไม่มีส่วนใดซ้อนทับกัน

G2


ในการคานวณค่าปริพันธ์สามชั้น สิ่งที่เราต้องพิจารณาก็คือ บริเวณปิด G โดยเราสามารถพิจารณาเป็นสองกรณี คือบริเวณที่เป็นกล่องสี่เหลี่ยม และบริเวณที่ เป็นทรงสามมิติใด ๆ 1. ปริพันธ์สามชั้นเหนือกล่องสี่เหลี่ยม นั่นคือรูปทรง 3 มิติ G เป็นรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ดังรูป G

z

y

x

รูป 2.2 ทฤษฎีบท 2.1 ให้

เป็นกล่องสี่เหลี่ยมซึ่งนิยามโดย a  x  b, c  y  d , e  z  f และ f  x, y, z  ต่อเนื่องบน G แล้ว G

bd f

 f  x, y, z dV     f  x, y, z  dzdydx G

ac e


ตัวอย่าง 10

จงหาค่าของ   x2  yz dV เมื่อ

G

เป็นกล่องสี่เหลี่ยมซึ่ง

G

นิยามโดย วิธีทา

  x

2

0  x  1,0  y  2,1  z  2

221

 yz dV     x 2  yz dxdydz

G

100

1

22 3

 x      yzx  dydz 10 3 0 22 1       yz dydz  1 0 3 2

2

y y2 z      dz 3 2 1  0

2

2      2 z dz  1 3 2

 2z     z2  3 1 11  3

#


ตัวอย่าง 11

2 z yz

จงหาค่าของ    xyzdxdydz 01 0

วิธีทา

2 z yz

 

01 0

2z 2

yz

x yz  xyzdxdydz      dydz 2 01  0

2z

  01

3 3

y z dydz 2

2  4 3 z

y z    dz 8 0 1 2 7 z z3      dz 8  0 8 2

 z8 z 4      64 32  0 7  2

#


2. ปริพันธ์สามชั้นเหนือทรงสามมิติใด ๆ z

z2

G

z1 y

x

R

รูป 2.3 ทฤษฎีบท 2.2 ให้ ล่าง xy

 G

เป็นทรง 3 มิติ ซึ่งมีพื้นผิวบน z2  g2  x, y  และพื้นผิว z1  g1  x, y  , ให้ R เป็นโพรเจกชันของ G บนระนาบ ถ้า f  x, y, z  ต่อเนื่องบน G แล้ว G

 z2  f  x, y, z dV     f  x, y, z  dz dA   R  z1 


ตัวอย่าง 12

ให้

เป็นปริมาตรในอัฐภาคที่ 1 ซึ่งตัดจากทรงกระบอก y 2  z 2  1 ด้วยระนาบ y  x และ x  0 จงหา  zdV G

G

y

x0

R yx

รูป 2.4 วิธีทา

  zdV    G R  1 y    0 0 

  zdz dA 0  2 1 y   zdz dxdy 0 

1 y 2

2 1 y  2  1 y

z    dxdy 2 00 0 y 1  1  y2     dxdy 2 0 0  y

1

 1  y2    x   dy 2  0    0 1

y  y3    dy 2  0 1

 y2 y4     8 4 0 1  # 8

R

x


ตัวอย่าง 13

วิธีทา

จงเขียนขอบเขตของการหาปริมาตรของทรงตันในอัฐภาคที่ 1 ที่ถูก ปิดล้อมด้วยระนาบพิกัด และระนาบ 3x  6 y  4 z  12 4

V 

0

12  3 x  12  3 x  6 y 6  4

0

  

0

  dz  dydx  

#

3.ปริพันธ์ 3 ชั้น  

ปริพันธ์ 3 ชั้น

3.ปริพันธ์ 3 ชั้น  

ปริพันธ์ 3 ชั้น

Advertisement