Issuu on Google+

หน่วยที่ 5 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน


2 5.5 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน นิยาม 1 ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ 1. f (a) หาค่าได้ 2. lim f ( x) หาค่าได้ x a 3.

xa

ก็ต่อเมื่อ เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงทุกข้อ

lim f ( x)  f (a) x a

หมายเหตุ ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x  a หรือไม่ เราสามารถดูได้จากเส้นกราฟอีกวิธีหนึ่ง ถ้ากราฟของ ฟังก์ชันไม่ขาดตอนที่ x  a แสดงว่าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x  a แต่ถ้ากราฟของฟังก์ชันขาดตอนที่ x  a แสดงว่าฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x  a พิจารณากราฟ

กราฟ

จากกราฟจะเห็นว่า ฟังก์ชัน

f

5 7  5 f ( x)   2 x  5 20  x 2  12

ขาดตอนที่

x  1,1, 4,6

; x  1 ; 1  x  1 ; x 1 ; 1 x  4 ; 4 x6 ; x6

แสดงว่า

f

ไม่ต่อเนื่องที่

x  1,1, 4,6


3 ตัวอย่าง 1 กาหนดให้

f ( x) 

x3  2 x 2  5 x2  x  2

จงพิจารณา

จากรูปเราจะเห็นว่าเส้นกราฟขาดตอนที่ ที่ x  1 และ x  2 หรือจะตรวจสอบโดยใช้นิยาม ดังนี้ กรณี 1 x  1 1. จาก ได้

x  1

f

ต่อเนื่องที่

และ

x3  2 x 2  5 x2  x  2 (1)3  2(1) 2  5 1  2  5 4 f (1)    (1) 2  (1)  2 11 2 0

x2

หาค่าไม่ได้

x2

1. จาก ได้

x3  2 x 2  5 x2  x  2 (2)3  2(2) 2  5 8  8  5 11 f (2)    (2) 2  (2)  2 422 0 f ( x) 

หาค่าไม่ได้

เนื่องจาก f (2) หาค่าไม่ได้ ทาให้เงื่อนไขไม่ครบตามนิยาม ดังนั้น ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x  2

และ

x2

แสดงว่า ฟังก์ชัน

f ( x) 

เนื่องจาก f (1) หาค่าไม่ได้ ทาให้เงื่อนไขไม่ครบตามนิยาม ดังนั้น ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x  1 กรณี 2

x  1

หรือไม่

f

ไม่ต่อเนื่อง


4 ตัวอย่าง 2 กาหนดให้

f ( x)  3x3  4

จงพิจารณา

f

ต่อเนื่องที่

พิจารณาเงื่อนไข ดังนี้ 1. จาก f ( x)  3x3  4 ได้ f (1)  3(1)3  4  3  4  7 f ( x)  lim 3 x 3  4  3(1)3  4  3  4  7 2. lim x 1 x 1 3.

lim f ( x)  7  f (1) x 1

ดังนั้น ฟังก์ชัน

f

ต่อเนื่องที่

x 1

x  1 หรือไม่


5 ตัวอย่าง 3 กาหนดให้

2 x  1 ; x  2 f ( x)   10  x ; x  2

จงพิจารณา

f

ต่อเนื่องที่

พิจารณาเงื่อนไข ดังนี้ 1. จาก x  2 ต้องใช้ฟังก์ชัน f ( x)  10  x ได้ f (2)  10  2  8 2. เมื่อ x  2 จะได้ว่า xlim f ( x)  lim 2 x  1  2(2)  1  4  1  5 2 x 2 

เมื่อ

x2

ดังนั้น

จะได้ว่า

lim f ( x)  lim 10  x  10  2  8

x  2

lim f ( x)  lim f ( x)

x  2

สรุป ฟังก์ชัน

x 2

f

ไม่ต่อเนื่องที่

x 2

นั่นคือ lim f ( x) ไม่มีค่าลิมิต x 2 x2

x2

หรือไม่


6 ตัวอย่าง 4 กาหนดให้ f  x   x

2

 x 1 x 3

จงพิจารณา

f

ต่อเนื่องที่

 x 1 x 3 2 ได้ f 3  (3)  3  1  9  3  1  7 หาค่าไม่ได้ 33 0 0 เนื่องจาก f  3 หาค่าไม่ได้ ทาให้เงื่อนไขไม่ครบตามนิยาม

1. จาก f  x   x

ดังนั้น ฟังก์ชัน

2

f

ไม่ต่อเนื่องที่

x3

x3

หรือไม่


7  x2  x  6 ; x2  f  x   x  2 2 ; x2 

ตัวอย่าง 5 กาหนดให้

1. จาก x  2 ต้องใช้ฟังก์ชัน ได้ f (2)  2 2.

f

ต่อเนื่องที่

x 2  x  6 (2)2  2  6 0   x 2 x2 22 0 ( x  2)( x  3)  lim x2 x2  lim( x  3)

( ไม่สามารถสรุปคาตอบได้ )

x2

 23

3. เนื่องจาก

5 lim f ( x)  5  2  f (2) x 2

ดังนั้น ฟังก์ชัน

f

x2

f ( x)  2

lim f ( x)  lim x 2

จงพิจารณา

ไม่ต่อเนื่องที่

ทาให้เงื่อนไขไม่ครบตามนิยาม

x2

หรือไม่


8 ตัวอย่าง 6 กาหนดให้ f  x   1  1 จงพิจารณา x

ต่อเนื่องที่

x0

1 1  1    x 0 x 0 x 0 1 1 เมื่อ x  0 จะได้ว่า xlim f ( x)  lim 1   1     0 x 0 x 0 ดังนั้น lim f ( x)  lim f ( x) นั่นคือ lim f ( x) ไม่มีค่าลิมิต

1. เมื่อ 2.

f

x0

จะได้ว่า

x 0

สรุป ฟังก์ชัน

lim f ( x)  lim 1 

x 0

x 0

f

ไม่ต่อเนื่องที่

x0

หรือไม่


9 แบบฝึกหัด 5.5 1. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันที่กาหนดให้ต่อไปนี้ ไม่ต่อเนื่องที่ค่า

x

ใดหรือไม่

a.

f ( x) 

x x3

c.

f ( x) 

x7 x3  x

b.

f ( x) 

4  x2 x 2  3x  4

d.

f ( x) 

1 2x

2

2. กาหนดให้ f  x  

1

 x  1

2

จงพิจารณา

3. กาหนดให้

 x2 ; x 1 f ( x)   2  x ; x  1

4. กาหนดให้

 x2  1 ; x  2 g ( x)   2 x  1 ; x  2

5. กาหนดให้

 x2 ; x  2  h  x    x2  4 3 x ; x  2

f

ต่อเนื่องที่

จงพิจารณา

f

จงพิจารณา

x  1

ต่อเนื่องที่

g

หรือไม่

x  1 หรือไม่

ต่อเนื่องที่

x2

จงพิจารณา h ต่อเนื่องที่

หรือไม่

x  2

หรือไม่


content 5.5