Issuu on Google+

หน่วยที่ 1 นิยามของฟังก์ชัน


2 5.1 นิยามของฟังก์ชัน นิยาม 1 ให้ A, B เป็นเซตซึ่ง A   และ B   และให้ f  A B ซึ่ง f   1. เรียก f ว่าเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ สาหรับทุก ๆ x, y, z ที่ ( x, y),( x, z)  f แล้ว 2. เรียก  x /( x, y)  f  ว่า โดเมนของ f และแทนด้วย D f 3. เรียก  y /( x, y)  f  ว่า เรนจ์ของ f และแทนด้วย R f 4. เราจะเขียนแทน ( x, y)  f ด้วย y  f ( x)

yz

การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันหรือไม่ 1. จะเรียกความสัมพันธ์ f ว่าเป็นฟังก์ชัน เมื่อสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ จับคู่กับ สมาชิกตัวหลังของ คู่อันดับเพียงสมาชิกเดียวเท่านั้น 2. ถ้าเราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์นั้นได้ เราจะตรวจสอบโดยการลากเส้นขนานกับแกน y ตัดกับกราฟของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีเส้นที่ขนานกับแกน y เส้นใดเส้นหนึ่ง ตัดกับกราฟเกิน 1 จุด ก็แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน 3. การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชันหรือไม่ เราจะให้ (a, b),(a, c)  f แล้วจะทดสอบ ว่า b  c หรือไม่ - ถ้า b  c แสดงว่า f เป็นฟังก์ชัน - ถ้า b  c แสดงว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน ตัวอย่าง 1 จงตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่ 1. f  (1, a), (2, b), (3, c), (4, d ) 1 2 3 4

a b c d

จากรูปจะเห็นว่า สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ จับคู่กับ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับเพียงสมาชิกเดียว เท่านั้น ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน


3 2.

f  (1, a), (2, b), (3, c), (3, d )

1 2 3

a b c d

จากรูปจะเห็นว่า 3 จับคู่กับ สมาชิกตัวหลังของคู่อัน 2 ตัว คือ c และ d ดังนั้น 3.

f

ไม่เป็นฟังก์ชัน

f  (1, a), (2, a), (3, a), (4, b)

1 2 3 4

a b

จากรูปจะเห็นว่า สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ จับคู่กับ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับเพียงสมาชิกเดียว เท่านั้น ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน ตัวอย่าง 2 จงตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ จะเห็นว่า

f

 เป็นฟังก์ชันหรือไม่

f  ( x, y) / x 2  y 2  1

ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะมี (0,1),(0, 1)  f ซึ่ง 1  1

หรือจะดูจากกราฟความสัมพันธ์ของ

x2  y 2  1 ซึ่งเป็นรูปวงกลม รัศมี 1 หน่วย

จากกราฟจะเห็นว่า มีเส้นขนานกับแกน นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน

y

และตัดกราฟความสัมพันธ์ 2 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์


ตัวอย่าง 3 จงตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ จะเห็นว่า

f

 เป็นฟังก์ชันหรือไม่

4

f  ( x, y) / y 2  4 x  1

ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะมี (2,3),(2, 3)  f ซึ่ง 3  3

หรือจะดูจากกราฟความสัมพันธ์ของ

y 2  4 x  1 ซึ่งเป็นรูปพาราโบลา

จากกราฟจะเห็นว่า มีเส้นขนานกับแกน นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน ตัวอย่าง 4 จงตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ พิจารณากราฟความสัมพันธ์ของ

y

และตัดกราฟความสัมพันธ์ 2 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์

 เป็นฟังก์ชันหรือไม่

f  ( x, y) / y  x  1

y  x 1

จากกราฟจะเห็นว่า ทุกเส้นที่ขนานกับแกน ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชัน

y

จะตัดกราฟความสัมพันธ์เพียง 1 จุด เท่านั้น แสดงว่า


ตัวอย่าง 5 จงตรวจสอบว่าความสัมพันธ์

 เป็นฟังก์ชันหรือไม่

5

f  ( x, y) /( x  2)2  16  4 y

พิจารณากราฟความสัมพันธ์ของ ( x  2)2  16  4 y

จากกราฟจะเห็นว่า ทุกเส้นที่ขนานกับแกน ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชัน

y

จะตัดกราฟความสัมพันธ์เพียง 1 จุด เท่านั้น แสดงว่า

จากนิยามของฟังก์ชัน เราจะเขียนแทน ( x, y)  f ด้วย 1. f  (1,1), (2, 4), (3,9) ดังนั้น (1,1)  f เขียนแทนด้วย 1  f (1) (2, 4)  f เขียนแทนด้วย 4  f (2) (3,9)  f เขียนแทนด้วย 9  f (3) 2.

f  (a, b), (c, d )

(a, b)  f (c, d )  f

3.

4.

y  f ( x)

ดังนั้น เขียนแทนด้วย b  f (a) เขียนแทนด้วย d  f (c)

f  ( x, y ) / y  3x  5

ดังนั้น ( x, y)  f เขียนแทนด้วย

y  f ( x)

หรือ

f ( x)  3x  5

y  f ( x)

หรือ

f ( x)  x 2  2

 ดังนั้น

f  ( x, y) / y  x 2  2

( x, y)  f

เขียนแทนด้วย

เช่น กาหนดฟังก์ชัน


6 หมายเหตุ 1. ถ้าเขียนกราฟอยู่ในรูป y  f ( x) เราจะเรียก x และ y ดังนี้ x เรียกว่า ตัวแปรอิสระ y เรียกว่า ตัวแปรตาม 2. เราอาจใช้อักษรตัวอื่นแทน f ได้ เช่น g, h, G, H ซึ่งแสดงถึงฟังก์ชันต่าง ๆ กัน เช่น g  ( x, y ) / y  2  x หรือ g ( x)  2  x h  ( x, y) / y  3x 2  4 หรือ h( x)  3x 2  4 1 1  F  ( x, y ) / y   2  x x  

หรือ

F ( x) 

1 1  x x2

ชนิดของฟังก์ชันพีชคณิต 1. ฟังก์ชันพหุนาม มีรูปแบบทั่วไปเป็น f ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a0

เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวก หรือ ศูนย์ และ an , an1 ,..., a0 เป็นค่าที่ เรียก n ว่า ดีกรีของพหุนาม f และเรียก an , an1 ,..., a0 ว่า สัมประสิทธิ์ของพหุนาม เรียก f ว่า ฟังก์ชันพหุนามดีกรี n ตัวอย่าง 6 ฟังก์ชัน

f ( x)  x5  2 x 4  x 2

ตัวอย่าง 7 ฟังก์ชัน

f ( x)  x 4  2 x 2  1

f


7 2. ฟังก์ชันตรรกยะ คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปเศษส่วนของฟังก์ชันพหุนาม โดยมีรูปแบบทั่วไปเป็น f ( x) 

โดย

an x n  an1 x n1  ...  a0 bm x m  bm1 x m1  ...  b0

bm xm  bm1 x m1  ...  b0  0

ตัวอย่าง 8 ฟังก์ชัน

x3  2 x 2  10 f ( x)  x2  3

ตัวอย่าง 9 ฟังก์ชัน

f ( x) 

x3  3x 2  10 x x2  4


8 3. ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป

n

f ( x)

เมื่อ

ตัวอย่าง 10 ฟังก์ชัน

f ( x)  2 x 2  1

ตัวอย่าง 11 ฟังก์ชัน

x4  3 f ( x)  3x 2  1

f ( x)

เป็นฟังก์ชันพหุนาม หรือ ฟังก์ชันตรรกยะ

4. ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป ผลบวก ผลคูณ หรือ ผลหาร ของฟังก์ชันในข้อ 1-3 ตัวอย่าง 12 ฟังก์ชัน

f ( x)  x 2  4 x  3  x  1


9 ตัวอย่าง 13 ฟังก์ชัน

f ( x) 

x4  x  3 x2


10 แบบฝึกหัด 5.1 1. จากกราฟ จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชัน a. f  ( x, y) / | x |  | y | 1

b.

g  ( x, y) / x 2  y 2  4 x

c.

h  ( x, y ) / y  sin x

d.

k  ( x, y ) / y  tan x


11 2. จงตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่ a. f  ( x, y) / x | y | 1 b. f  ( x, y) / | xy | 1 c. f  ( x, y) / | y | 4 x  5


content 5.1