Issuu on Google+

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA UNAN-LEÓN

CENTRO UNIVERSITARIO REGIONAL SEDE SOMOTILLO

CALCULO INTEGRAL

ELABORADO POR:

Lic. Fernando José Pérez Paniagua

OCTUBRE 2011 Enseñar es aprender dos veces.

1


UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA, ESTADISTICA Y ACTUARIALES

Componente: Cálculo I I Unidad: La Integral Clase Nº: 1 Tema: Integral Indefinida Contenidos: -Definición -Propiedades -Método de sustitución Evaluación: Valorar la colaboración, participación y argumentación de los alumnos en la resolución de ejercicios. Bibliografía:  Cálculo con geometría analítica, Dennis Zill.  Cálculo con geometría analítica, Louis Leithold.  Cálculo con geometría analítica, Howard Antón. Desarrollo: En las clases anteriores se hizo referencia al problema básico siguiente:”Dada una función f encontrar su derivada f'.” En la presente unidad se verá un problema igualmente importante: “Para una función dada f, encontrar otra función F para la cual F ' (x) = f(x) para todo x en cierto intervalo”. Definición: Se dice que una función F es una antiderivada de una función f si F ' (x) = f(x) en algún intervalo. Ejemplo: La antiderivada de f x   2 x es F x   x 2  c , donde c es una constante, ya que F ' (x) = 2x = f(x). Notación de la integral indefinida Si F ' (x) = f(x), la antiderivada más general de f se representará mediante  f xdx  F x  c Al símbolo

se le llama símbolo de integral y a la notación

 f x dx

se la llama integral

indefinida de f(x) con respecto a x. Al proceso de encontrar una antiderivada recibe el nombre de antidiferenciación o integración. Al número c se le llama constante de integración. La integral indefinida de una potencia: Si n es un número racional, entonces para n  1

2


n  x dx 

x n 1 c n 1

Ejemplo: Evaluar x7 6 1)  x dx  c 7 2)  x dx primero se expresa la raíz en forma de exponente 3

x 2 2 32 2 x dx   c  x c  3 3 2 d 3)  dx puesto que x  c   1  0  1 dx resulta que  dx  1dx  x  c 1

Propiedades: 1) Si F ' (x) = f(x) y G ' (x) = g(x), entonces   f x  g xdx   f xdx   g xdx  F x  G X   C Ejemplo: Evaluar 1

5 5 2  x  12  x 4 dx  x  12 dx  x 4 dx  x  x  c  2 x 12  x  c    1  5 5 2 2) Si F ' (x) = f(x), entonces  kf x dx  k  f x dx , para cualquier constante k.

Ejemplo: Evaluar 5 1 1  2   4 x  2 x 3  x2    4 xdx   2 x 3 dx   5x dx

4 xdx  2 x 2

x2 x 4 2 2 2 2 x 2  3x

2

3

1 3

3

3

dx  5 x  2dx

x 1 5 c 1 5 c x

Método de Sustitución: A un nivel práctico es útil a menudo cambiar la variable en un problema de integración, empleando las sustituciones u  g x  du  g x dx en  f g x g x dx

Así, si n es un número racional y u  g x  es una función diferenciable, entonces para n 1

n  u du 

u n 1 c n 1

3


Ejemplo: Evaluar las integrales

1)  5 x  1 2 dx 1

Identificando u  5x  1 , du  5dx .

u

Para emplear la sustitución es necesario tener la forma

1

2

du con este fin se ajusta el

integrando multiplicando y dividiendo por 5.

 1 1 3 1 1 1u 2 2 2 2 2 c       5 x  1 5 du  u du   c  5 x  1    3 5   5 5 15 u 2 3

du

2) 

4 x

x 2

dx

3

6

 4 x

Se escribe la integral como

2

6

 3 xdx

Se identifica u  4 x 2  3 y du  8xdx , se ajusta el integrando multiplicando y dividiendo por 8. 6 5 1 1 6 1 u 5 1 2 2 4 x  3 8 xdx   u du  c  4x  3  c  8 8 8 5 40

3)  x 2  2 xdx 3

Se identifica u  x 2  2 y du  2 xdx

Se ajusta el integrando multiplicando y dividiendo por 2 3 1 1 x 2  2 2 xdx    u 3du  2 2 4 1 u4 1  c  x2  2  c 2 4 8

4)  3 7  2 x3 x 2 dx 4

Primero se escribe la integral como

 7  2 x  3

4

7

x 2 dx

Se identifica u  7  2 x3 y du  6 x 2dx y se escribe la integral como 4 1 1 4   7  2 x3 3  6 x 2 dx    u 3 du 6 6

 

7

1 u 6 7

5)  x 2 1  x dx

3

3

c 

1 7  2 x3 14

7

3

c

Se escribe la integral en la forma

 x 1  x 2

1

2

dx

Se identifica u  1  x y du  dx Dado que x no aparece en la sustitución debemos aplicar un procedimiento deferente haciendo x  u  1escribimos la integral en la forma 2

2  u  1 u

1

2

du

De donde desarrollando el cuadrado y multiplicando resulta 4


  u 7

u 7

2

5

2

 2u 5

3

2

1  u 2 du aplicando las propiedades correctamente obtenemos 

3

u 2 u 2 2   c ordenando términos y regresando a la variable original obtenemos 5 3 2 2 2

7 5 3 2 1  x  2  4 1  x  2  2 1  x  2  c 7 5 3

5


EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS EVALUE LA INTEGRAL INDEFINIDA DADA

1)  3dx

15) 5x 4  8x3  9 x 2  2 x  7dx

2)  4 x  1dx

1  16)  x  x  dx x 

3)  x5dx

 5t 2  7  17)   4 dt  t 3 

4)  5 x 4 dx

18)  6 x 2 3 x dx

dx 5)  3 x

1   19)   x  dx x 

6)  1  t 0.52 dt

3 2  20)   3  2  5 dx x x 

7)  3 x 2 dx

21)  3x  4dx

8) 10 x x dx

22)  x 2 5  2 x3 dx

9)  3x 2  2 x  1dx

23)  x 2 x  1dx

9  10)   2 x  x  2 dx x  

24)  3 3x  4dx

11)  4 x  1 dx

25)  x3 2  x 2

1

2

12) 

2

x  1 dx

8

12

dx

26)  x x  2dx

 x 1  x 2  x 3  dx 13)   x  

27) x 2 3  2 x dx

 5 2  dx 14)     3 2 x3   x

28) 

x 3 dx

1 2 x 

4 5

6


UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA, ESTADISTICA Y ACTUARIALES

Componente: Cálculo I I Unidad: La Integral Clase Nº: 2 Tema: Integral Indefinida, clase práctica Contenidos: Integral indefinida Propiedades Método de sustitución Competencias:  Aplica adecuadamente las propiedades de la integral indefinida en su evaluación.  Desarrolla habilidades de comunicación, tolerancia en la interacción alumno – docente. Estrategias Metodológicas:  El docente deberá aclarar las dudas y dificultades que presenten los estudiantes en los ejercicios orientados extraclase en la sesión anterior.  Promover la participación de los estudiantes en la solución de ejercicios.  Orientar estudiar el tema que se desarrollará en la siguiente sesión. Evaluación: Al finalizar la sesión el docente promoverá un plenario para evaluar el aprendizaje adquirido por los estudiantes. Bibliografía:  Cálculo con geometría analítica, Dennis Zill.  Cálculo con geometría analítica, Louis Leithold.  Cálculo con geometría analítica, Howard Antón. Desarrollo: I- Evalúe las siguientes integrales: 5

5 x 3 1) 10 x dx  10 x dx  10  c  6x 3  c 5 3 3

3

2

1

2)  6t 2 3 t dt  6 t 2t 3 dt Aplicando las propiedades de los exponentes tenemos 10

t 3 9 10 6 t dt  6 c  t 3 c 10 5 3 7

3

7


3)  y 3 2 y 2  3dy Multiplicando los términos resulta

 2 y

5

 3 y 3 dy 

y6 3 4  y c 3 4

4) 4 x3  3x 2  6 x  1dx Aplicando las propiedades y simplificando resulta

x 4  x 3  3x 2  x  c 5)  x x  1dx Escribiendo la raíz como exponente y multiplicando resulta  x 3 2  x 12 dx Integrando y simplificando obtenemos 2 x 5 2  2 x 3 2  c   5 3

x2  4x  4 dx Expresando la raíz como exponente y trasladando al numerador x 1 1 2 5 8 3 x 2  4 x  4 x 2 dx Multiplicando e integrando resulta x 2  x 2  8 x 2  c 5 3

6) 



II- Evalúe las siguientes integrales aplicando el método de sustitución

1 1  4 y dy 

 1  4 y 

1

2

dy

Seleccionando la sustitución u  1 4 y

y

du  4dy resulta

3

3  1 12 1 u 2 1  u du  c  1  4 y 2  c  4 4 3 6 2

2)  3 3x  4dx   3x  4 3 dx 1

Haciendo

u  3x  4

y

du  3dx

y

du  2 xdx

4

4 1 13 1u 3 1 u du   c  3x  4 3  c  3 34 4 3

3) x x 2  9dx   x x 2  9

1

2

Haciendo u  x 2  9

dx 3

1 12 1u 2 1 u du   c  x2  9  2 2 3 3 2

3

2

c

8


4)  x 2 x3  1 dx 10

Haciendo u  x3  1

du  3x 2dx tenemos

y

11 1 10 1 u11 1 3 u du  c  x 1  c  3 3 11 33

5)  5x3 9  4 x 2 dx   5 x 9  4 x 2 2

2

3

u  9  4x2

Haciendo

dx 5

 5 23 5 u 3 3 u du  c  9  4x2  8 8 5 8 3

6) 

2x

1  x 7

dx   2 x1  x  dx 7

5

3

du  8xdx

y

c

Haciendo la sustitución u  1  x y

du  dx

Necesitamos hacer x  1  u y sustituirlo en la integral

 2 1  u u 7 du  2 u 7  u 6 du

Integrando término a término obtenemos

1  x   2 1  x 5  c u 7 u 5 2 c  7 5 3 5 7

2

7) 

y3

1  2 y 

4 5

dy   y 3 1  2 y 4

5

dy Haciendo u  1  2 y 4

 1 5  1 u 4 1 u du  c  1  2 y4  8 8 4 32

8) 

1 t dt   t t  3 2 dt Tomando t 3

 u  3u

1 2

u  t 3 ;

4

y

du  8 y tenemos

c

t  u 3

y

du  dt

1 1 du    u 2  3u 2 du Integrando y sustituyendo obtenemos  

3 1 2 t  3 2  6t  3 2  c 3

9


UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA, ESTADISTICA Y ACTUARIALES

Componente: Cálculo I I Unidad: La Integral Clase Nº: 3 y 4 Tema: Integral Definida Contenidos: La notación sumatoria Integral Definida Propiedades Teorema fundamental del Cálculo Competencias:  Conoce la notación de sumatoria y formulas.  Calcula integrales definidas de funciones algebraicas aplicando propiedades y el teorema fundamental del Cálculo. Estrategias Metodológicas:  El docente iniciara la sesión con una discusión en conjunto con los estudiantes sobre la definición de sumatoria.  Desarrollar el tema relacionando los conocimientos previos de los estudiantes con los nuevos.  El profesor analizará en conjunto con los estudiantes dificultades encontradas en los ejercicios resueltos.  Orientar a los estudiantes utilizar el documento de apoyo y la bibliografía sugerida para la práctica de ejercicios. Evaluación: Al finalizar la actividad el docente evaluara la clase utilizando una dinámica apropiada. Bibliografía:  Cálculo con geometría analítica, Dennis Zill.  Cálculo con geometría analítica, Louis Leithold.  Cálculo con geometría analítica, Howard Antón.

10


Desarrollo: La integral puede ser indefinida o definida. La integral definida se define como el límite de una cierta clase de adición o suma. Por lo tanto, resulta útil introducir una notación especial que permita escribir una suma o sumatoria de constantes. Definición: Sea ak un número real que depende de un entero k. Se denota la suma o sumatoria a1  a2  ...  ak por el símbolo A la letra griega

n

a k 1

k

(Sigma) se le llama notación de sumatoria. Ala variable k se le

denomina índice de sumatoria. Ejemplo: 5

 3k  1  31  1  32  1  33  1  34  1  35  1 k 1

 2  5  8  11  14  41

Teorema: Para enteros positivos n y m 1)  cak  c ak , donde c es cualquier constante. 2)  ak  bk    ak   bk n

m

k 1

k 1

3)  ak   ak 

n

a

k  m 1

k

, m<n.

n

n

4)  c  nc

5)  k 

k 1

n

6)  k 2  k 1

k 1

nn  12n  1 6

n

7)  k 3  k )1

n

8)  k 4  k 1

nn  1 2 n 2 n  1 4

2

nn  1 6n 3  9n 2  n  1 30

Ejemplo: Evaluar 10

1) k 2  k 1

1010  1210  1  385 6

5

5

5

k 1

k 1

k 1

2) 2k  3  2 k   3  2

55  1  35  15 2

11


La Integral Definida:

Dada una función continua positiva en un intervalo [a,b] se define la integral definida entre los valores a y b del dominio de la función f como el área S limitada por las rectas x=a, x=b, del eje de abscisas y la curva definida por la gráfica de f. Se denota por:

Por ejemplo: si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral de f entre 0 y 10 es el área del rectángulo limitado por las rectas x=0, x=10, y=0 e y=3. El área corresponde al producto del ancho del rectángulo por su altura, por lo que aquí el valor de la integral es igual a 30. Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a esto. En este capítulo intentaremos solamente definir el área de algunas regiones muy especiales (figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f tal que f (x) > 0, para todo x de [a, b]. Conviene denotar esta región por R(f, a, b).

12


figura 1

figura 2

El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b]. En realidad, la integral se definirá también para funciones f que no satisfacen la condición f (x) ≥0, para todo x de [a, b]. Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte ('área algebraica' de R(f, a, b)). Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.

Figura 3 Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales. Notamos la longitud d números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma

13


Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 3. Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará Sn al área S. Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S. La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no sólo que n crece -ésima subdivisión tiende a cero. Así: 1 El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite anterior hemos obtenido una definición rigurosa del concepto de área: Es el límite anterior. Integral definida: El límite (1) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por

La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior.

Ejemplo: Halle

3 Como f ( x)  x

14


Dividimos el intervalo en n subintervalos de igual longitud

y para el cálculo de la integral consideramos el extremo derecho de cada subintervalo .

 Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:

 Observación: Esta integral definida es negativa, no representa el área graficada. Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o nulas.

15


PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

1)

donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para más de dos funciones) a

3) Si x está definida para x = a entonces

 f ( x)dx  0 a

4) Si f es integrable en [a, b] entonces 5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces:

El TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y F cualquiera función para la cual F'(x)=f(x), entonces:

Ejemplo: Evaluar 1

x4 1)  x dx  4 2

1

2

14  2 15   4 4 4 4

3

3

x2 32 12 2)  xdx    4 1 2 1 2 2 3

16


  22   2  20 x2 22 3 3)  3x  x  1 dx  x   x  23   2   2   2 2 2 2   2 2

2

2

3

2

4)  2 x 2  1xdx Aplicando el método de sustitución e integrando resulta 0

2

1 2x2  1 6

 0

 

1 1 13 2 2 22  1  20  1  6 6 3

EJERCICIOS PROPUESTOS PARA CLASE Nº 25 I-

Encuentre la suma 6

10

1) 3i  2 i 1

7

7

5) i  1

25

10

4) 2ii  1

i 1

2

i 1

i 1

2) i 2  1 II-

3) i 3  1

6) i  1

3

i 1

i 1

Evalúe la integral definida

3

1)  3x 2  4 x  1 dx 0 5

1

0

2

7

x 2  16

2

14)  2 x  1 3 dx 0

1

2

1

2

6)  12 x5  36 dx

4

2

dx

1

4

9) 

11)  x  1 dx

0

2  x2  1  3)   2 dx x  1

3

0

10)  x1  x dx

x

2 dx x

8) 

7)  t dt

0

2

1

2

13) 

0

1

8

3

5)  3x  5 x  1 dx

3

3

3

4)  y  4 y dy 3

4

2)  x3  x 2  1 dx

1 du u2

2

5

x  12)    1 dx 2   4 2

2

15)  t 2 t 3  1dt 1

17


UNIVERSIDAD

NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA, ESTADISTICA Y ACTUARIALES

TRABAJO GRUPAL Componente: Cálculo I I Unidad: La Integral Clase Nº: 5 Tema: La Integral Contenidos: Integrales Definidas e Indefinidas Competencias:  Evalúa integrales indefinidas aplicando sus propiedades.  Resuelve integrales mediante el método de sustitución.  Aplica el Teorema fundamental del Cálculo para evaluar integrales definidas.  Fomenta la solidaridad, honestidad y compañerismo en la resolución de ejercicios en trabajo de grupo.  Desarrolla hábitos de orden, limpieza y estética en la presentación del trabajo realizado. Estrategias Metodológicas:  Los estudiantes resolverán el presente trabajo en grupos de 5 ó 6 estudiantes asumiendo cada uno su participación de forma responsable.  Entregarán el trabajo al docente con estética y buena presentación.  El profesor asigna los ejercicios a resolver según su criterio. Evaluación: El docente evaluara 1- Participación de los estudiantes en cada subgrupo. 2- Desarrollo y precisión de las respuestas de los ejercicios propuestos. 3- Estética y presentación del trabajo del subgrupo. Bibliografía:  Cálculo con geometría analítica, Dennis Zill.  Cálculo con geometría analítica, Louis Leithold.  Cálculo con geometría analítica, Howard Antón.

18


Descripción del trabajo: I- Evalúe la integral dada. Verifique el resultado determinando la derivada de su respuesta.

1)  3x 2  2 xdx

3) 7  4 x3  9 x2 dx

2)   5 x 

2 7  4)   3  2  5 dx x x 

3

2

2  10 x 3 dx 

II- Evalúe la integral aplicando el método de sustitución

1) 2 x  3dx

2) x3 3x 2  1dx 3) 1 

4)  x 4  3 5) 

x3dx

2x dx 1  x 7

1 dx 1 2 x x

6) 

1 dx 3x x 2

1 4

III- Evalúe las sumas que se indican aplicando las propiedades. 5

1) j  2 j 2

10

3)  2i 3  5i  3 i  1

j 2

10

50

2)  3k 

4)  p 3  4

p 0

k 0

IV- Evalúe la integral definida dada 1

1)  x dx 3

1

2

2)  2 x  3dx 1

7

3)  dx 3

x 1 4)  dx x 1 4

1

5) 

2

1

6)  0

3

x2  2x  3

dx

5

x  8)    1 dx 2   4 2

x 1

x 2  16

0

t dt 2 t 1

x

7) 

dx 19


UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA, ESTADISTICA Y ACTUARIALES Componente: Cálculo I I Unidad: La Integral Clase Nº: 6 Tema: Aplicaciones de la Integral Contenidos: Cálculo del área con el eje X Competencias:  Representa gráficamente funciones.  Plantea la integral definida para calcular el área entre la grafica de una función y el eje X.  Resuelve la integral definida y encuentra el área bajo la gráfica. Estrategias Metodológicas:  Previo a la clase el docente debe orientar al alumno el repaso de gráficas de funciones.  En conjunto con los estudiantes recordara la definición de área bajo la curva.  Resolverá ejercicios de cálculo de área.  Motivará la participación de los estudiantes en la solución de ejercicios. Evaluación: Valorar la colaboración, participación y argumentación de los estudiantes en la resolución de ejercicios. Bibliografía:  Cálculo con geometría analítica, Dennis Zill.  Cálculo con geometría analítica, Louis Leithold.  Cálculo con geometría analítica, Howard Antón.

20


DESARROLLO: Definición: Sea y  f x  continua en a, b , entonces el área A limitada por su grafica en el intervalo y el eje X está dada por b

A   f x  dx a

EJEMPLOS: I- Escriba, sin calcular, una integral definida que indique el área de la región sombreada. a)

b) d)

c)

21


Respuestas: b)

a) c)

d)

II- En el siguiente gráfico determine el valor del área sombreada si f(x)=-x2:

III-Obtener el área de la región limitada por la gráfica de la función dada en el intervalo indicado 1) f(x)=-x3 en

 2,1, el profesor hará la grafica.

 x4 A   x dx    x dx   x dx 4 2 2 0 1

1

1

3

3

3

0

x4  4 2

1

 0

17 2 u 4

Se escribe u2 ya que el área de toda región se mide en unidades cuadradas 2)- y  x 2  2 x y el eje X en  2,2 2

A

x

2

0

2

2

 2 x dx    x  2 x dx   x 2  2 x dx 2

2

0 2

0

  x3   x3     x 2     x 2   8u 2  3  2  3 0 2

2

2

3) y=x , eje X, X=0 y X=2

x3 A   x dx  3 0 2

0

8  u2 3

4) Determine el área acotada por y  3x 2  2 x  5 y las rectas X=1 y X=3 3

A   3x 2  2 x  5 dx  x3  x 2  5 x 1  44u 2 3

1

22


EJERCICOS PROPUESTOS OBTENER EL ÁREA LÍMITADA POR LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DADA Y EL EJE X EN EL INTERVALO INDICADO. 1) y  x 2  2 x;  2,2

9) y  x3  3x  2; 0,2

2) y  x 2  1;  1,1

10) y  x  1x  2x  3; 0,3

3) y  x2  1; 0,2

11) y  xx  1x  1;  1,1

4) y  x3 ;  3,0

12) y 

x2  1 1 ; ,3 2 x2

5) y  1  x ; 0,2

13) y 

x2  1 ; 1,2 x2

6) y  x2  3x; 0,3

14) y  x  1; 0,4

7) y  x  1 ;  1,0

15) y  3 x ;  2,4

8) y  x3  6 x;  1,1

16) y  2  x ; 0,9

3

2

 

17) y  2  3 x ;  1,8

23


UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA, ESTADISTICA Y ACTUARIALES

Componente: Cálculo I III Unidad: La Integral Clase Nº: 7 Tema: Aplicaciones de la Integral Contenidos: Cálculo de área entre dos curvas Competencias:  Representa gráficamente funciones.  Plantea la integral definida para calcular el área entre las curvas.  Resuelve la integral definida y encuentra el área. Estrategias Metodológicas:  Previo a la clase el docente debe orientar al alumno el repaso de gráficas de funciones.  Resolverá ejercicios de cálculo de área entre dos curvas.  Motivará la participación de los estudiantes en la solución de ejercicios. Evaluación: Valorar la colaboración, participación y argumentación de los estudiantes en la resolución de ejercicios. Bibliografía:  Cálculo con geometría analítica, Dennis Zill.  Cálculo con geometría analítica, Louis Leithold.  Cálculo con geometría analítica, Howard Antón.

24


DEFINICIÓN: Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y g x   f x  para toda x en [a, b], entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x = a y x = b es b

  f x   g x dx a

Es importante darse cuenta que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g sean continuas y de que g x   f x  Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje x. A modo de resumen:

Área = A = donde a y b son las abscisas de dos puntos de intersección adyacentes de las dos curvas o puntos de las rectas fronteras que se especifiquen

25


EJEMPLOS 1) Determine el área entre las curvas y  x 2  5 , y  x3 , x=1, x=2 Graficamos la función, identificamos la región solicitada y observamos que existe una región superior y  x 2  5 y una región inferior y  x3 entre las rectas x=1 y x=2; por lo tanto el área de la región solicitada será: ÁREA SUPERIOR – ÁREA INFERIOR, entre los limites de integración x=1 y x=2, de donde resulta la integral.

 2

1

2

x3 x4 17 x  5  x dx   5x   3 41 4 2

3

I- En los siguientes gráficos determine el valor del área sombreada: a)

Respuestas:

b)

a)

b)

II- Dada la siguiente gráfica

halle: el área de la zona sombreada. Si y  x 2 ; y  x  2

2

26


Halle el área encerrada por las curvas y  x 2  4 x, y  6 x  x 2 Respuesta:125/3

Halle el área limitada por la parábola y  x 2 y la recta que une los puntos P(1, 2) y

Respuesta 9/2

Halle el valor del área sombreada.

OPCIONAL: Integración respecto al eje y Si algunas regiones están acotadas por curvas que son funciones de y o bien se pueden trabajar mejor considerando x como función de y los rectángulos representativos para la aproximación se consideran horizontales en lugar de verticales. De esta manera, si una región está limitada por las curvas de ecuaciones x = f(y), x = g(y), y = c y la recta horizontal y = d, donde f y g son continuas y f  y   g  y  para , c  y  d entonces su área resulta

.

27


EJERCICIOS PROPUESTOS Halle el área de la región limitada por las graficas de las funciones dadas 1 ,y 9 x2

1) y  x, y  2 x, x  3

10) y  x 2 , y 

2) y  x, y  4 x, x  2

11) y   x2  6, y  x 2  4

3) y  x 2 , y  4

12) y  x2 , y   x 2  3x

4) y  x 2 , y  x

13) y  x 3 , y  4

5) y  x3 , y  8, x  1

14) y  1  x 3 , y  x 3  1

6) y  x3 , y  3 x

15) y  x2  2 x  3, y  2 x  2;  1,6

2

2

2

16) y   x 2  4 x, y 

17) x  3 y 2 , x  6

1 ,x  3 x2

18) x  y 2 , x  0, y  1

7) y  4 1  x 2 , y  1  x2 8) y  2 1  x 2 , y  x 2  1 9) y  x, y 

3 x 2

28


Integrales