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Gymnase de Sévelin / Exercices supplémentaires

Classe de 2C

Exercice 1 Développer et réduire les expressions suivantes. D = (10 x − 10)2

A = (−x + 4) (9 x − 10)

E = −(x − 6) (x + 6) + (8 x − 10)2

B = (4 x + 9) (4 x − 9)

C = (9 x + 4)2

F = −(x − 8) (10 x + 5) + (8 x + 2)2

Exercice 2 On donne A = (−4 x − 2) (−2 x − 1) − (−4 x − 2) . !1. Développer et réduire A .

!2. Factoriser A . −5 . 4 !4. Résoudre l’équation A = 0 . !3. Calculer A pour x =

Exercice 3 Factoriser les polynômes suivants : !1. Factoriser S(t) = 18t2 + 72t + 72 à l’aide d’une identité remarquable. !2. R(z) = z 2 + 11z + 10 !3. R(y) = 5y 2 − 2y − 3 !4. Q(y) = y 2 + 5y + 6 Exercice 4 Factoriser les polynômes suivants : !1. Factoriser Q(t) = 96t2 + 192t + 96 à l’aide d’une identité remarquable. !2. S(t) = t2 − t − 72

!3. S(y) = −4y 2 − 9y − 2

!4. R(x) = x2 + 3x − 2

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Classe de 2C

Corrigé de l’exercice 1 Développer et réduire les expressions suivantes. C = (9 x + 4)2

A = (−x + 4) (9 x − 10)

A = −9 x2 + 10 x + 36 x + (−40)

C = (9 x)2 + 2 × 9 x × 4 + 42

A = −9 x2 + 46 x − 40

C = 81 x2 + 72 x + 16

B = (4 x + 9) (4 x − 9)

D = (10 x − 10)2

B = (4 x)2 − 92

D = (10 x)2 − 2 × 10 x × 10 + 102

B = 16 x2 − 81

D = 100 x2 − 200 x + 100

E = −(x − 6) (x + 6) + (8 x − 10)2 E = −(x2 − 62 ) + (8 x)2 − 2 × 8 x × 10 + 102

E = −(x2 − 36) + 64 x2 − 160 x + 100

E = −x2 + 36 + 64 x2 − 160 x + 100 E = 63 x2 − 160 x + 136

F = −(x − 8) (10 x + 5) + (8 x + 2)2

F = −(10 x2 + 5 x + (−80 x) + (−40)) + (8 x)2 + 2 × 8 x × 2 + 22

F = −(10 x2 − 75 x − 40) + 64 x2 + 32 x + 4

F = −10 x2 + 75 x + 40 + 64 x2 + 32 x + 4 F = 54 x2 + 107 x + 44

Corrigé de l’exercice 2 On donne A = (−4 x − 2) (−2 x − 1) − (−4 x − 2) . !1. Développer et réduire A .

A = (−4 x − 2) (−2 x − 1) − (−4 x − 2) A = 8 x2 + 4 x + 4 x + 2 − (−4 x − 2) A = 8 x2 + 8 x + 2 − (−4 x − 2) A = 8 x2 + 8 x + 2 + 4 x + 2 A = 8 x2 + 12 x + 4

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!2. Factoriser A . A = (−4 x − 2) (−2 x − 1) − (−4 x − 2) A = (−4 x − 2) (−2 x − 1) − (−4 x − 2) × 1 ! " A = (−4 x − 2) − 2 x − 1 − 1 A = (−4 x − 2) (−2 x − 2)

!3. Calculer A pour x =

−5 . 4

Nous savons que A = 8 x2 + 12 x + 4 . Donc pour x =

A=8 × A= A=

#

−5 : 4

$2 $ # −5 −5 +4 + 12 × 4 4

25 3 × 4! 5 ×" −1 1 × 8! " × × + +4 " 1 2 × 8! −1 × −1 1 × 4! " 25 − 30 8 + + 2 2 2

A=

3 2

!4. Résoudre l’équation A = 0 . Nous savons que A = (−4 x − 2) (−2 x − 2). Nous devons donc résoudre (−4 x − 2) (−2 x − 2) = 0. Un produit de facteurs est nul signifie qu’un des facteurs est nul. Donc : −4 x − 2 = 0 −4 x = 2

ou

x=

ou

−2 4

− 2x − 2 = 0

ou

− 2x = 2 x=

−2 2

Les solutions de cette équation sont

−1 et − 1 . 2

Corrigé de l’exercice 3 !1. Factoriser S(t) = 18t2 + 72t + 72 % & % & 18t2 + 72t + 72 = 18 × x2 + 4x + 4 = 18 × t2 − 2 × t × 2 + 22 = 18(t − 2)2

!2. Factoriser R(z) = z 2 + 11z + 10 √ Je calcule ∆ = 112 − 4 × 1 × 10 = 81 et 81 = 9.

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Comme ∆ > 0, R(z) a deux racines : √ √ −11 − 81 −11 − 81 = 2×1 2 −11 − 9 = 2 −20 = 2 = − 10

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√ √ −11 + 81 −11 + 81 = 2×1 2 −11 + 9 = 2 −2 = 2 =−1

Les racines de R sont z1 = −10 et z2 = −1. On peut donc écrire R(z) = (z − (−10)) (z − (−1)) = (z + 10) (z + 1) !3. Factoriser R(y) = 5y 2 − 2y − 3 √ Je calcule ∆ = (−2)2 − 4 × 5 × (−3) = 64 et 64 = 8. Comme ∆ > 0, R(x) a deux racines : √ √ √ − (−2) − 64 2 − 64 − (−2) + 64 = 2×5 10 2×5 2−8 = 10 −6 = 10 −3×2 = 5×2 −3 = 5 Les racines de R sont x1 = On peut donc écrire

√ 2 + 64 = 10 2+8 = 10 10 = 10 =1

−3 et x2 = 1. 5 '

'

3 R(x) = 5 × x − − 5 !4. Factoriser Q(y) = y 2 + 5y + 6 Je calcule ∆ = 52 − 4 × 1 × 6 = 1. Comme ∆ > 0, Q(y) a deux racines : √ √ −5 − 1 −5 − 1 = 2×1 2 −5 − 1 = 2 −6 = 2 =−3

((

'

3 (x − 1) = 5 × x + 5

(

(x − 1)

√ √ −5 + 1 −5 + 1 = 2×1 2 −5 + 1 = 2 −4 = 2 =−2

Les racines de Q sont y1 = −3 et y2 = −2. On peut donc écrire Q(y) = (y − (−3)) (y − (−2)) = (y + 3) (y + 2)

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Corrigé de l’exercice 4 !1. Factoriser Q(t) = 96t2 + 192t + 96 % & % & 96t2 + 192t + 96 = 96 × x2 + 2x + 1 = 96 × t2 + 2 × t × 1 + 12 = 96(t + 1)2

!2. Factoriser S(t) = t2 − t − 72 √ Je calcule ∆ = (−1)2 − 4 × 1 × (−72) = 289 et 289 = 17. Comme ∆ > 0, S(t) a deux racines : √ √ √ − (−1) − 289 1 − 289 − (−1) + 289 = 2×1 2 2×1 1 − 17 = 2 −16 = 2 =−8

=

1+

289

2 1 + 17 = 2 18 = 2 =9

Les racines de S sont t1 = −8 et t2 = 9. On peut donc écrire S(t) = (t − (−8)) (t − 9) = (t + 8) (t − 9)

!3. Factoriser S(y) = −4y 2 − 9y − 2 √ Je calcule ∆ = (−9)2 − 4 × (−4) × (−2) = 49 et 49 = 7. Comme ∆ > 0, S(x) a deux racines : √ √ √ √ − (−9) − 49 9 − 49 − (−9) + 49 9 + 49 = = 2 × (−4) −8 2 × (−4) −8 9−7 9+7 = = −8 −8 16 2 = = −8 −8 −1×(−2) =−2 = 4×(−2) −1 = 4 −1 Les racines de S sont x1 = −2 et x2 = . 4 On peut donc écrire ' ' (( ' ( 1 1 S(x) = −4 × (x − (−2)) x − − = −4 × (x + 2) x + 4 4 !4. Factoriser R(x) = x2 + 3x − 2 Je calcule ∆ = 32 − 4 × 1 × (−2) = 17. Comme ∆ > 0, R(x) a deux racines : √ √ √ √ −3 + 17 −3 + 17 −3 − 17 −3 − 17 = = 2×1 2 2×1 2 √ √ −3 − 17 −3 + 17 Les racines de R sont x1 = et x2 = . 2 2 On peut donc écrire # √ $ √ $# −3 + 17 −3 − 17 x− R(x) = x − 2 2

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Exercices supplémentaires  

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