Page 1


I DAĻA

Apstiprinājusi Latvijas Republikas Izgl t bas un zinātnes ministrija 2008. gadā


Inese Lude, Daina Briņķe. MLV Matemātika 10. kl. UDK 51(075) Lu 210

Izdevniecības vadītaja INGUNA CEPĪTE Redaktore INESE LIEPIŅA Mākslinieks NORMUNDS PUCIS Maketētājs ULDIS LIEPIŅŠ

ISBN 978–9984–33–246–8

© I. Lude, D. Briņķe 2008 © Izdevniecība «PĒTERGAILIS», 2008


SATURS

IEVADS............................................................................................................. 5 1. VEKTORI .................................................................................................... 7 1.1. Vektora defnīcija ........................................................................................... 9 1.2. Leņķis starp vektoriem ............................................................................... 15 1.3. Vektoru saskaitīšana un atņemšana .......................................................... 19 1.4. Vektoru saskaitīšanas īpašības ................................................................... 25 1.5. Vektora reizinājums ar skaitli .................................................................... 28 *1.6. Vektoru skalārais reizinājums .................................................................... 35 1.7. Vektora koordinātas. Summas vektora koordinātas. Vektora reizinājuma ar skaitli koordinātas .............................................. 38 1.8. Vektora izteikšana ar dotajiem vektoriem. Vektora sadalījums pa koordinātu asīm ................................................... 42 1.9. Vektora garuma noteikšana, ja zināmas tā koordinātas. Vektora projekcijas. *Vektoru skalārais reizinājums koordinātās ......... 47 1.10. Uzdevumi nodaļas atkārtošanai ................................................................ 53 2. ELEMENTĀRĀS FUNKCIJAS (ATKĀRTOJUMS). SKAITĻU VIRKNE KĀ FUNKCIJAS SPECIĀLGADĪJUMS .................. 59 2.1. Funkcijas ....................................................................................................... 59 2.1.1. Funkcijas jēdziena atkārtojums, funkciju īpašības ...................... 59 2.1.2. Elementāro funkciju veidi .............................................................. 73 2.1.3. Pakāpes funkcija ............................................................................. 81 2.1.4. Kvadrātfunkcijas izmantošana teksta uzdevumos ....................... 90 2.2. Skaitļu virknes. Skaitļu virknes jēdziens, n-tā locekļa un rekurentā ormula. Progresijas ................................................................... 93 2.3. Uzdevumi 2. nodaļas atkārtošanai.......................................................... 107

3


3. MATEMĀTISKIE IZTEIKUMI UN PIERĀDĪJUMI............................. 115 3.1. Kopas jēdziens. Elementārās darbības kopām. Reālo skaitļu kopas apakškopas............................................................... 115 3.2. Matemātisks izteikums. Spriedumu un pierādījumu veidi .................. 126 3.3. Matemātiskā indukcija. Tās izmantošana summas aprēķināšanā un dalāmības pierādīšanā ................................................ 135 3.4. Uzdevumi 3. nodaļas atkārtošanai.......................................................... 140 4. LEŅĶA JĒDZIENA PAPLAŠINĀJUMS. TRIJSTŪRIS. ČETRSTŪRIS ................................................................... 143 4.1. Trigonometrisko unkciju defnēšana, izmantojot trigonometrisko riņķi................................................................................ 143 4.2. Trijstūra elementi. Taisnleņķa trijstūra aprēķināšana.......................... 154 4.3. Līdzības izmantošana trijstūra elementu aprēķināšanā un sakarību pierādīšanā. Eiklida teorēmas............................................ 160 4.4. Kosinusu teorēma un sinusu teorēma..................................................... 165 4.5. Trijstūra bisektrises īpašība. * Trijstūra smaguma centrs .................... 170 4.6. Trijstūra laukuma ormulas. Ievilkts un apvilkts trijstūris...................174 4.7. Četrstūru veidi. To elementu un laukumu aprēķināšana..................... 178 4.8. Uzdevumi 4. nodaļas atkārtošanai.......................................................... 183 ATBILDES .................................................................................................... 187 ALFABĒTISKAIS RĀDĪTĀJS...................................................................... 195

4


IEVADS Sveiks, vidusskolēn! Vācu matemātiķis K. Gauss ir teicis “Matemātika ir zinātņu zinātne”. Tā arī šogad, uzsākot mācības vidusskolā, šī mācību līdzekļu komplekta autores novēl Tev sekmīgu mācību apguvi matemātikā! Mācību līdzekļu komplekts ir paredzēts skolēniem, kuri apgūst matemātiku Vispārizglītojošās programmas ietvaros, taču, ja mācies klasē, kur matemātiku apgūst padziļināti, Tev būs jāapgūst arī tēmas un uzdevumi, kas atzīmēti ar *. Lai mācību vielu padarītu interesantāku, grāmatā ir iekļauti arī pētnieciskie uzdevumi — tie atzīmēti ar “!” pie uzdevuma numura. Iespējams, ka Tavs skolotājs atsevišķās vietās mainīs apgūstamo jautājumu secību — to pieļauj Izglītības likums. Ja Tev šķiet, ka ar uzdevumu klāstu, kas ievietots mācību grāmatā, Tev nepietiek, vari iegādāties arī komplekta sastāvdaļu “Pārbaudes un paškontroles darbi matemātikā 10. klasei” — tur ir atrodami testi un kontroldarbam līdzīgu uzdevumu komplektu varianti — ar atbildēm. Tie paredzēti patstāvīgam, gatavošanās darbam un “izmē inājumu” kontroldarbiem. Grāmatas autores

5


1. VEKTORI Lai nodrošinātu fzikas kursu ar nepieciešamajām matemātiskajām iemaņām, ir svarīgi izprast vektoru būtību un apgūt darbības ar tiem. No fzikas mēs zinām, ka spēka iedarbība uz ķermeni ir atkarīga no šī spēka skaitliskās vērtības. Piemēram, jo stiprāk stiepjam atsperi, jo garāka tā kļūst. Taču tāda paša spēka iedarbībā atspere var arī saspiesties. Tātad spēka iedarbības rezultātu nosaka ne tikai šī spēka lielums, bet arī tā darbības virziens. Defnīcija. Par vektoriāliem lielumiem sauc lielumus, kuriem bez skaitliskā lieluma (moduļa), eksistē arī virziens. Savukārt, lielumus, kuriem virziens neeksistē, sauc par skalāriem lielumiem. Piemēram, vektoriāli lielumi ir spēks, ātrums, paātrinājums, bet skalāri lielumi ir masa, laiks u. c.. Mācoties fziku, mēs uzzinām, ka spēka iedarbību nosaka tā skaitliskā vērtība, virziens un spēka pielikšanas punkts. Ja uz ķermeni vienlaicīgi iedarbojas vairāki spēki, tad spēku, kas veic uz ķermeni tādu pašu iedarbību kā pieliktie spēki, sauc par rezultējošo spēku. Uzskatāmības dēļ uz ķermeni darbojošos spēkus izdevīgi attēlot kā nogriežņus, kuru garums raksturo šo spēku skaitliskās vērtības, bet spēku virzienu norāda bultiņa vienā no nogriežņa galapunktiem. Rezultējošo spēku nosaka tā veidojošo spēku skaitliskā vērtība un virziens. Piemērs Uz ķermeni A iedarbojas spēki F1 un F2. To moduļi (skaitliskās vērtības) ir F1 = 3 N, F2 = 4 N, bet rezultējošā spēka modulis ir F. Aplūkosim vairākus gadījumus. Lai norādītu, ka svarīgs ir spēku pielikšanas virziens, virs apzīmējumiem liksim bultiņu.

7


a) Spēki F 1 un F 2 darbojas uz ķermeni A pa taisni vienā virzienā (1. zīm.). Tad rezultējošā spēka modu-

F A

F1

lis F F1 F2 3 N 4 N 7 N. Rezultējošā spēka F vir-

F2

ziens sakrīt ar spēku F 1 un F 2

1. zīm.

virzienu. b) Spēki darbojas uz ķermeni A pa taisni, bet pretējos virzienos (2. zīm.). Šajā gadījumā rezultējošā spēka modulis F

F2 F1

F2

A

F1

F

4 N 3 N 1 N,

tas ir vienāds ar darbojošos spēku moduļu starpību. Rezultējošā

2. zīm.

spēka F virziens sakrīt ar lielākā pieliktā spēka virzienu. c) Spēki F 1 un F 2 darbojas uz ķermeni A taisnā leņķī (3. zīm.). Tad rezultējošā spēka lielums ir vienāds ar taisnstūra, kura malas ir F1 un F2, diagonāles garumu. Tā moduli

A

F1

F2

F

var aprēķināt, izmantojot Pitagora teorēmu: F 2 F12 F22 32 4 2 25, tātad rezultējošā spēka modulis F = 5 N.

3. zīm.

Aplūkojot piemērus, redzams, ka attēlot spēku kā virzītu nogriezni, kura garums vienāds ar spēka moduli, bet bultiņa norāda spēka darbības virzienu, ir ērti gan uzskatāmības pēc, gan arī rezultējošo spēku aprēķināšanai. Tajā pašā laikā, no piemēriem redzams, ka rezultējošā spēka atrašana nav tikai vienkārša pielikto spēku saskaitīšana vai atņemšana. Nogrieznis, kas izsaka spēka lielumu un virzienu, patiesībā ir eometriska fgūra. Par to runāsim turpmākajās nodaļās.

8


1.1. VEKTORA DEFINĪCIJA Defnīcija. Par vektoru sauc orientētu nogriezni. Orientētam nogrieznim jeb vektoram (skat. 4. zīm.) punktu A sauc par vektora sākumpunktu, bet punktu B par vektora galapunktu.

B

Pierakstot vektoru, šos burtus raksta noteiktā secībā. Pirmo raksA

ta burtu, kas apzīmē vektora sākumpunktu, otro raksta burtu, kas apzīmē vektora galapunktu, bet virs nogriežņa apzīmējuma raksta

4. zīm.

bultiņu. Tā 4. zīmējumā ir attēlots vektors AB . Bultiņa norāda, ka tas ir vektors. Vienlaicīgi tas nozīmē arī to, ka vektors AB pieder staram AB.

m

b

Dažkārt vektoru apzīmē ar vienu mazo latīņu

n

alfabēta burtu, uz kura liek bultiņu, piemēram, b (skat. 5. zīmējumu). 6. zīmējumā attēloti vektori AB, CD, EF , GH,

5. zīm. M

N F

D

LK , MN , kur punkti A, C, E, G, L, M apzīmē vektoru sākumu, bet punkti B, D, F, H, K, N ir galapunk-

B L

H

C K

A

E

ti. Vektori var atšķirties ar virzienu un garumu.

G

6. zīm.

Defnīcija. Par vektora AB garumu jeb moduli sauc nogriež a AB garumu. Vektora garumu mēdz pierakstīt dažādi, piemēram, AB vai vienkārši AB. 6. zīmējumā EF

4,

LK

2,

MN

3, bet vektoru AB, CD, un GH ga-

rumus viegli aprēķināt pēc Pitagora teorēmas, izmantojot rūtiņu tīklu:

9


AB

32 2 2

32 2 2

13 ; CD

12 12

13 ; GH

2.

Ja vektori apzīmēti ar vienu mazo latīņu burtu, tad to garumus apzīmē b , m , n , vai vienkārši ar burtiem bez bultiņas: b, m, n. Skaitļu kopā un vektoru kopā daudziem jēdzieniem ir līdzīgi nosaukumi. Piemēram, skaitļu kopā ir tādi jēdzieni kā nulle, vienādi skaitļi, pretēji skaitļi u. c. Vektoru kopā ir līdzīgi: nulles vektors, vienādi vektori, pretēji vektori. Kas jāsaprot ar šiem jēdzieniem? Defnīcija. Vektoru, kura sākumpunkts sakrīt ar galapunktu, sauc par nullvektoru un apzīmē ar 0 . Nullvektoru mēdz apzīmēt arī šādi: AA , FF , PP , u. t. t. Nullvektora garums ir vienāds ar 0. Plaknē nullvektors tiek attēlots kā punkts. Vektoru garumi var būt vienādi vai atšķirīgi, arī virzieni var būt vienādi vai atšķirīgi. Defnīcija. Vektorus AB un CD sauc par vienādi vērstiem, ja vienāds ir staru AB un CD virziens (7. zīm.). Saīsināti to pieraksta AB

CD . B D

D

A A C

B

7. zīm.

C

8. zīm. 10

Profile for Petergailis

Matemātika 10.klasei Mācību grāmata 1.daļa  

Autoru grupa: Inese Lude, Daina Briņķe, 195 lpp Ineses Ludes un Dainas Briņķes "Matemātika 10.klasei" ievada izdevniecības "Pētergailis" sa...

Matemātika 10.klasei Mācību grāmata 1.daļa  

Autoru grupa: Inese Lude, Daina Briņķe, 195 lpp Ineses Ludes un Dainas Briņķes "Matemātika 10.klasei" ievada izdevniecības "Pētergailis" sa...

Advertisement