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FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS MÉTODOS NUMÉRICOS INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE ERRORES ERRORES DE TRUNCAMIENTO Por Pervys Rengifo Rengifo El término error de truncamiento generalmente se refiere al error involucrado al representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto. Esto se presenta particularmente cuando se utilizan series de potencia para aproximar funciones. Con el fin de ilustrar el concepto de error de truncamiento, se hará una descripción de la aproximación de funciones por medio de series de potencia, en particular, por medio de las series de Taylor y Maclaurin. SERIES DE TAYLOR Y SERIES DE MACLAURIN Sea f una función tal que ella y sus n primeras derivadas sean continuas en el intervalo cerrado [a,b], y además fn+1(x) existe para todo x en el intervalo abierto (a,b). Sea xo∈[a,b]. Entonces, para todo x∈[a,b] existe un número ξ en el intervalo abierto (a,b) tal que: ( x − x o )2 (x − xo )n n+1 (x − xo )n+1 ' '' n f ( x ) = f ( xo ) + f ( xo )( x − xo ) + f ( xo ) + ... + f ( xo ) + f (ξ ) 2! n! (n + 1)! donde n!= 1 × 2 × 3 × ×(n − 1) × n , y se lee “n factorial” Esto se puede escribir como: f ( x ) = Pn ( x ) + Rn (x ) donde Pn ( x ) = f (x o ) + f

y Rn ( x ) =

f

n +1

'

( x o )(x −

xo ) + f

''

(x o )

( x − x o )2 2!

+ ... + f

n

(x o )

(ξ )(x − xo )n+1 (n + 1)!

( x − x o )n n!

n

=∑ f k =0

k

(x o )

a Pn ( x ) se le llama polinomio de Taylor de grado n de f alrededor de xo, y a Rn (x ) se le denomina residuo o ERROR DE TRUNCAMIENTO. La serie infinita que se obtiene al tomar el límite de Pn ( x ) , cuando n → ∞ se conoce como SERIE DE TAYLOR de f alrededor de xo. En el caso de que xo=0, el polinomio de Taylor se denomina POLINOMIO DE MACLAURIN. El polinomio de Maclaurin de grado n para una función f sería:

Pn ( x ) = f (0) + f (0)x + f

2 ( x) (0)

n k n ( x) ( x) k (0) = ∑ f (0)

+ ... + f 2! y el error de truncamiento correspondiente: n +1 f n +1 (ξ )( x ) Rn ( x ) = (n + 1)! '

''

n

n!

k =0

k!

(x − x o ) k k!


EJEMPLO No. 1 Calcular el polinomio de Taylor de la función f ( x ) = e x alrededor de xo=3, para n=0, n=1, n=2, n=3, n=4. 0

Para n=0, P0 ( x ) = ∑ f k (3) k =0

(x − 3) k = f (3) = e3 k!

P0 ( x ) = e =20.0855369 es una constante(El polinomio de grado cero es una línea horizontal) 3

1

P1 ( x ) = ∑ f k (3)

Para n=1,

(x − 3) k

= f (3) + f ' (3)( x − 3)

k! k =0 d d e x = e x → f ' (3) = e 3 f ' (x ) = f (x ) = dx dx 1 (x − 3) k = f (3) + f ' (3)(x − 3) = e 3 + e 3 (x − 3) , que es la ecuación de P1 (x ) = ∑ f k (3) k! k =0 una línea recta Para n=2, 2

P2 ( x ) = ∑ f

k

k ( x − 3) (3)

k!

k =0

= f (3) + f (3)( x − 3) + f '

d2 d2 x ( ) f x = e = ex → f dx 2 dx 2

f ' ' (x ) =

k ( x − 3) P2 ( x ) = ∑ f (3) k! 2

k

k =0

''

2 ( x − 3) (3)

2

(3) = e 3

= e + e ( x − 3) + e 3

''

3

3

(x − 3)2

, que es la ecuación de una

2

parábola. Para n=3, 3

P3 ( x ) = ∑ f k (3)

(x − 3) k k!

k =0

f ' ' ' (x ) =

= f (3) + f ' (3)(x − 3) + f ' ' (3)

d3 d3 x ( ) f x = e = ex → f 3 3 dx dx 3

P3 ( x ) = ∑ f k (3)

(x − 3) k

k! un polinomio cúbico k =0

'''

n

(x − 3) k

k =0

k!

Pn ( x ) = ∑ e 3

para f ( x) = e x

2

(3) (x − 3)

3

+f

'' '

3!

(3) = e 3

= e 3 + e 3 (x − 3) + e 3

Generalizando, entonces

(x − 3)2

(x − 3)2 2

+ e3

(x − 3)3 , 3!

que corresponde a


Observe que f ( x ) = e x = lim

n

∑ e3

(x − 3)k

, al tomar n como un número finito, se k! obtiene una aproximación de f(x), ya que la suma infinita (o serie infinita), se reemplaza por una suma finita, incurriendo en un error, representado por Rn(x) que se llama ERROR TRUNCAMIENTO. n +1 n +1 f n + 1 (ξ )( x − 3) e ξ ( x − 3) = con ξ ∈ [3, x] En este caso R n ( x ) = (n + 1)! (n + 1)! No se sabe cual es el valor de ξ sólo se sabe que está entre x y 3. Note que e x ≈ Pn ( x ) Grado Polinomio Comentarios x 3 Para La cual es una e ≈e aproximación n=0 muy burda para ex, ya que supone que ex es una función constante x 3 3 Aproxima a ex Para e ≈ e + e ( x − 3) n=1 como una línea recta. 2 3 Para Aproxima a ex e ( x − 3) x 3 3 ( ) e ≈ e +e x−3 + n=2 como una 2 parábola 2 3 Para Aproxima a ex e 3 ( x − 3) e 3 ( x − 3) x 3 3 e ≈ e + e ( x − 3) + + n=3 como un 2 3! polinomio cúbico 2 3 k 3 3 3 Para Aproxima a ex e ( x − 3) e ( x − 3) e ( x − 3) 3 3 x ( ) e ≈ e + e x − 3 + + + ... + n=k como un 2 3! k! polinomio de grado k n→∞

k =0

A medida que n crece la gráfica del polinomio Pn(x) se acerca a la gráfica de la función ex. Por ejemplo si se desea estimar el valor de e3.5, con estas aproximaciones, se tiene lo siguiente, x = 3.5, el valor verdadero de e3.5= 33.115452 con 8 cifras significativas. Para n=0, ex=e3, por lo tantoe3.5= e3= 20.0855369 Error absoluto(Ea)=| 33.115452-20.0855369|=13.03(error de truncamiento) x 3 3 3.5 3 3 Para n=1, e =e +e (x-3) → e = e +e (3.5-3)= 30.128305

Error absoluto(Ea)=| 33.115452-30.128305|=2.987(error de truncamiento) 3 e3 x 3 3 (x − 3)2 → e 3.5 ≈ e 3 + e 3 (3.5 − 3) + e (3.5 − 3)2 = Para n=2, e ≈ e + e ( x − 3) + 2 2 32.638998 Error absoluto(Ea)=| 33.115452-32.638998|=0.4764(error de truncamiento)

Como se puede apreciar el error de truncamiento disminuye a medida que n aumenta y el valor estimado para e3.5 se acerca al verdadero.


EJEMPLO No 2 Hallar el polinomio de Maclaurin para f(x)=ex, para n=0, n=1, n=2, n=3, y el polinomio general. El polinomio de Maclaurin de grado n, para cualquier función se define como:

Pn ( x ) = f (0) + f (0)x + f '

''

2 x) ( (0)

2!

+ ... + f

n

n k n x) x) ( ( k (0) = ∑ f (0)

n!

k!

k =0

Para n=0 → Po(x)=f(0)= e =1 Para n=1 → P1(x)=f(0)+f ’(0)x= e0+e0x= 1+x f ' ' (0 ) 2 x2 x2 Para n=2 → P2 ( x ) = f (0 ) + f ' (0 )x + x = e0 + e0 x + e0 = 1+ x + 2 2 2 Para 2 3 k f ' ' (0 ) 2 f ' ' ' (0 ) 3 f k (0) k 0 0 0 x 0 x 0 x ( ) () () 0

Pk x = f 0 + f ' 0 x +

2

x +

3!

x + ... +

k!

x = e +e x+e

2

+e

3!

+ ... + e

k!

n=k → = 1+ x +

x 2 x3 xk + + ... + 2 3! k!

En notación de sumatoria quedaría

e x ≈ Pn ( x ) =

n

(x ) k

∑ k! k =0

Para ilustrar la estimación del error para métodos iterativos se plantea el siguiente ejercicio: Agregando un término a la vez, estímese e0.5. Después de que se agregue cada término, calcúlense los errores relativos y porcentuales verdadero (εv) y aproximado (εa), así: Error verdadero εv = × 100% Valor verdadero Aproximación actual − Aproximación anterior εa = × 100% Aproximación actual Agréguense términos hasta que se obtenga una estimación con, por lo menos, tres cifras significativas. Aquí se puede emplear el criterio visto en clase, que establece que, si se verifica que ε a ≤ ε s = 0.5 × 10 2− k % , se tiene una respuesta con por lo menos k cifras significativas. En este caso, se requieren 3 cifras significativas, entonces k=3 y, reemplazando ε s = 0.5 × 10 2 −3 % = 0.05% Se agregarán términos hasta que |εa|<0.05% El valor verdadero de e0.5, con 10 cifras significativas es e0.5=1.648721271 Primera estimación(para n=0): e x ≈ Po ( x) = 1

e 0.5 ≈ 1 → εv =

Valor verdadero − valor aproximado 1.648721271 - 1 × 100% = × 100% = 39.3% valor verdadero 1.648721271

Para n=1


e x ≈ P1 ( x) = 1 + x e 0.5 ≈ 1 + 0.5 = 1.5 Aproximación anterior: e0.5=1 Aproximación actual: e0.5=1.5 Valor verdadero − valor aproximado 1.648721271 - 1.5 → εv = × 100% = × 100% = 9.02.3% valor verdadero 1.648721271 Aproximaci ón actual − Aproximaci ón anterior 1.5 − 1 × 100% = × 100% = 33.3% > ε s = 0.05% Aproximaci ón actual 1. 5 , entonces se prosigue

εa =

Para n=2:

e x ≈ P2 ( x ) = 1 + x +

n x2 xk (Recuerde que e x ≈ ∑ ) 2 k =o k!

0.5 2 = 1.625 2 Aproximación actual=1.625 Aproximación anterior=1.5 e 0.5 ≈ 1 + 0.5 +

→εv = εa =

Valor verdadero − valor aproximado 1.648721271 - 1.625 × 100% = × 100% = 1.44% valor verdadero 1.648721271

Aproximación actual − Aproximación anterior 1.625 − 1.5 ×100% = ×100% = 7.69% > ε s = 0.05% Aproximación actual 1.625

, se continúa. Para n=3: x2 x3 x2 x3 + =1 + x + + 2 3! 2 6 2 3 0.5 0.5 ≈ 1 + 0.5 + + = 1.6458333333 2 6

e x ≈ P3 ( x ) = 1 + x +

e 0.5

→ εv = εa =

Valor verdadero − valor aproximado 1.64872127 1 - 1.64583333 3 × 100% = × 100% = 0.175% valor verdadero 1.64872127 1

Aproximación actual − Aproximación anterior 1.645833333− 1.625 × 100% = ×100% = 1.27% > ε s = 0.05% Aproximación actual 1.645833333

Para n=4: x2 x3 x4 x2 x3 x4 + + =1 + x + + + 2 3! 4! 2 6 24 0.5 2 0.5 3 0.5 4 ≈ 1 + 0.5 + + + = 1.648437500 2 6 24

e x ≈ P4 ( x) = 1 + x +

e 0.5

→ εv = εa =

Valor verdadero − valor aproximado 1.64872127 1 - 1.64843750 0 × 100% = × 100% = 0.0172% valor verdadero 1.64872127 1

Aproximación actual − Aproximación anterior 1.648437500− 1.645833333 ×100% = ×100% = 0.158% > ε s = 0.05% Aproximación actual 1.648437500

Para n=5:


x 2 x3 x 4 x5 x 2 x3 x 4 x5 =1 + x + + + + + + + 2 3! 4! 5! 2 6 24 120 0.5 2 0.5 3 0.5 4 0.5 5 ≈ 1 + 0.5 + + + + = 1.648697917 2 6 24 120

e x ≈ P5 ( x) = 1 + x + e 0.5

→ εv = εa =

Valor verdadero − valor aproximado 1.64872127 1 - 1.648697917 × 100% = × 100% = 0.00142% valor verdadero 1.64872127 1

Aproximación actual − Aproximación anterior 1.648697917 − 1.648437500 ×100% = ×100% = 0.0158% < ε s = 0.05% Aproximación actual 1.648697917

Se alcanza la tolerancia indicada y se detiene el proceso, ya que 0.0158%<0.05% El criterio fijado garantiza, por lo menos, tres cifras significativas. Ahora determínese el número de cifras significativas obtenidas. Se dice que un número, Va aproxima a otro Vv con t dígitos significativos si t es el mayor entero no negativo, para el cual se verifica que: Vv − Va < 5 × 10 −t Vv Para este caso Vv=1.648721271 y Va= 1.648697917 1.648721271 − 1.648697917 < 5 × 10 −t Ahora se busca al mayor entero no negativo, t, 1.648721271 para el cual se verifica la desigualdad. 0.0000142<5x10-t 0.0000142<5x10-1 0.0000142<5x10-2 0.0000142<5x10-3 0.0000142<5x10-4 0.0000142<5x10-5 0.0000142>5x10-6 para t=6 la desigualdad ya no se cumple, por lo tanto t=5 es el mayor entero no negativo para el cual se verifica la desigualdad anterior, lo que quiere decir, que el número 1.648697917 aproxima a 1.648721217 con 5 cifras significativas.


Aproximación de la función e^x mediante una expansión en series de potencias de Maclaurin 50 Serie1

45

Serie2 Serie3

40 35

Serie4 Serie5

y

30 25

Serie6 Serie7

20

Serie8 Serie9

15 10

Serie10

5 0 0

1

2

x

3

4

5

La línea superior corresponde al función f(x)= ex. Las líneas siguientes corresponden a las aproximaciones de grado 8, 7,6,5,4,3,2,1,0, respectivamente. Se puede apreciar que a medida que se incrementa el grado del polinomio su gráfica se va ajustando mejor a la gráfica de ex


ERRORES DE TRUNCAMIENTO