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CAPĂ?TULO

3 LĂ­mite de una funciĂłn

1

3.3 Límites laterales  Supongamos que f .x/ estå definida en un cierto intervalo .a; x0 /. Si para números x del dominio de f suficientemente próximos a x0 y menores que x0 , los valores correspondientes de f .x/ estån tan próximos a ˛1 como queramos, decimos que ˛1 es el límite por la izquierda de f .x/, cuando x tiende a x0 . Lo anterior se denota mediante lím f .x/ D ˛1 I

x!x0

x ! x0 se lee: x tiende a x0 por la izquierda.  Supongamos que f .x/ estå definida en un cierto intervalo .x0 ; b/. Si para números x del dominio de f suficientemente próximos a x0 y mayores que x0 , los valores correspondientes de f .x/ estån tan próximos a ˛2 como queramos, decimos que ˛2 es el límite por la derecha de f .x/, cuando x tiende a x0 . Lo anterior se denota lím f .x/ D ˛2 I

x!x0C

x ! x0C se lee: x tiende a x0 por la derecha. 1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1


2

Cålculo Diferencial e Integral I y lím f .x/ D ˛2 







C

x!x0

lím f .x/ D ˛1

x!x0

x ! x0C

x



a

x0

b

x ! x0

A los lĂ­mites lĂ­m f .x/ & lĂ­m f .x/ se les conoce como lĂ­mites laterales. x!x0

x!x0C

Es claro que:  lĂ­m f .x/ D Ë› , lĂ­m f .x/ D Ë› D lĂ­m f .x/. x!x0

x!x0

x!x0C y

y D f .x/

Ë› 





x

a x0 b

Este resultado se usa frecuentemente para probar la no existencia de un lĂ­mite.  Si no existe alguno de los lĂ­mites laterales, el lĂ­mite no existe.  Si los lĂ­mites laterales existen pero son diferentes, el lĂ­mite no existe. ObservaciĂłn: para los lĂ­mites laterales lĂ­m f .x/ & lĂ­m f .x/ hallamos resultados anĂĄlogos a los x!x0

x!x0C

que hemos enlistado anteriormente para el lĂ­mite lĂ­m f .x/. x!x0

jx Ejemplo 3.3.1 Dada la funciĂłn f .x/ D x tes: 1. lĂ­m f .x/. x!a

2

aj , calcular (en caso de existir) cada uno de los lĂ­mites siguiena

2. lĂ­m f .x/. x!aC

3. lĂ­m f .x/. x!a


3.3 Límites laterales

3

H Por definición de valor absoluto: ( x a jx aj D .x a/

si x si x

a0 D a<0

( x

a .x

a/

si x  aI si x < a:

Por lo tanto 1. Si x ! a , entonces x < a & x jx

a < 0, por lo que jx aj .x a/ D D 1 ) x a .x a/ jx aj ) lím D lím 1 D 1: x!a x!a x a

a j D .x

2. Si x ! aC , entonces x > a & x

x!a

lím f .x/ no existe.

a > 0, por lo que jx aj .x a/ D D1 ) x a .x a/ jx aj ) lím D lím 1 D 1: x!a a x!aC x

jx

3. Ya que lím f .x/ D

a/ &

aj D x

a&

1 & lím f .x/ D 1 entonces lím f .x/ ¤ lím f .x/ y por lo tanto x!a

x!aC

x!aC

x!a

Observa que f .x/ D

jx x

aj jx j se obtiene de la función g.x/ D desplazándola a unidades. a x



  3x C 5 si x < 1I Ejemplo 3.3.2 Dada la función g.x/ D x 2 C 1 si 1 < x < 2I   6 x si x > 2; calcular (en caso de existir) cada uno de los límites siguientes: 1. 2.

lím g.x/.

3. lím g.x/.

5. lím g.x/.

lím g.x/.

4. lím g.x/.

6. lím g.x/.

x! 1

x! 1

x! 1C

x!2C

x!2

x!2

H 1. 2.

lím g.x/ D lím .3x C 5/ D 3. 1/ C 5 D

x! 1

x! 1

3 C 5 D 2.

lím g.x/ D lím .x 2 C 1/ D . 1/2 C 1 D 1 C 1 D 2.

x! 1C

x! 1C

3. Ya que lím g.x/ D 2 D lím g.x/, entonces lím g.x/ D 2. x! 1

x! 1

x! 1C

4. lím g.x/ D lím .x 2 C 1/ D 22 C 1 D 4 C 1 D 5. x!2

x!2

5. lím g.x/ D lím .6 x!2C

x!2C

x/ D 6

2 D 4. 3


4

Cálculo Diferencial e Integral I 6. Ya que lím g.x/ D 5 ¤ 4 D lím g.x/, entonces lím g.x/ no existe. x!2

x!2

x!2C

y 5 

4 

y D g.x/

2 

1

2

x

   si x < 1I ax C 5 2 Ejemplo 3.3.3 Dada la función h.x/ D x C 1 si 1 < x < 2I   mx C 6 si x > 2; determinar los valores de las constantes a, m que aseguran la existencia de los límites: lím h.x/ & lím h.x/. x! 1

x!2

H 1. lím h.x/ existe si y sólo si x! 1

lím h.x/ D lím h.x/ , lím .ax C 5/ D lím .x 2 C 1/ ,

x! 1

x! 1C 2

, a. 1/ C 5 D . 1/ C 1 ,

x! 1

aC5D1C1 ,

x! 1

aD2

5 D 3 , a D 3:

2. lím h.x/ existe si y sólo si x!2

lím h.x/ D lím h.x/ , lím .x 2 C 1/ D lím .mx C 6/ ,

x!2

x!2C

x!2

x!2

, 22 C 1 D m.2/ C 6 , 5 D 2m C 6 , 2m D 5

6D 1 , mD

1 : 2

3. Resumiendo: Con a D 3 y con m D

4

1 sucede que lím h.x/ D 2 & lím h.x/ D 5I h.x/ sería ahora x! 1 x!2 2   si x < 1I  3x C 5 2 si 1 < x < 2I h.x/ D x C 1  x   C 6 si x > 2: 2


3.3 Límites laterales

5 y

5 

y D h.x/ 2 

1

x

2

   si x < 1I  3x C 5 2 Ejemplo 3.3.4 Dada la función .x/ D mx C n si 1 < x < 2I  x  6 si x > 2; 2 determinar los valores de las constantes m, n que aseguran la existencia de los límites: lím .x/ & lím .x/. x! 1

x!2

H 1. lím .x/ existe si y sólo si x! 1

lím .x/ D lím .x/ , lím .3x C 5/ D lím .mx 2 C n/ ,

x! 1

x! 1

x! 1C

2

, 3. 1/ C 5 D m. 1/ C n ,

x! 1

3 C 5 D m.1/ C n , m C n D 2:

2. lím .x/ existe si y sólo si x!2

2



lím .x/ D lím .x/ , lím .mx C n/ D lím 6

x!2

x!2C

x!2

, m.2/2 C n D 6

x!2

2 , 4m C n D 5: 2

x , 2

( mCn D 2I 3. Debemos resolver el sistema de ecuaciones 4m C n D 5: ( 4m C n D 5I m n D 2:

3m D 3 ) m D 1 & m C n D 2 ) ) n D 2 m D 2 1 D 1: 5


6

Cálculo Diferencial e Integral I 4. Con m D 1 y con n D 1 se cumple que lím .x/ D 2

&

x! 1

donde ahora

   3x C 5 2 .x/ D x C 1  x  6 2

lím .x/ D 5;

x!2

si x < 1I si 1 < x < 2I si x > 2:

y

5 

y D .x/ 2 

1

2

x

 Ejercicios 3.3.1 Soluciones en la página 8 1. Dada f .x/ D

jxj , calcular: x

a. lím f .x/; x!0

2. Dada f .x/ D

x jx

c. lím f .x/.

x!aC

2j

a. lím g.x/; x!2

   2 4. Dada f .x/ D x 2 3   2 x 6

b. lím f .x/;

x!0

a , calcular: aj

x!a

Calcular:

c. lím f .x/.

x!0C

a. lím f .x/; 3. Dada g.x/ D j x

b. lím f .x/;

x!a

x C 2, calcular: b. lím g.x/; x!2C

si x < 1I si 1 < x < 2I si x > 2:

c. lím g.x/. x!2


3.3 Límites laterales a. b.

7

lím f .x/;

c. lím f .x/;

e. lím f .x/;

lím f .x/;

d. lím f .x/;

f. lím f .x/.

x! 1

x! 1

x! 1C

x!2C

x!2

( ax C 11 5. Dada g.x/ D x 2 8x C 16

x!2

si x < 3I si x > 3:

Determinar el valor de la constante a que asegura la existencia de lím g.x/. x!3

r

v2 indica la longitud de un objeto en función de su velocidad v, c2 donde Lo es la longitud del objeto en reposo y c es la velocidad de la luz.

6. La expresión L D Lo

1

¿Qué pasa con la longitud del objeto cuando v se aproxima a la velocidad de la luz? jx j x : x!0 x

7. Calcular: lím

x2 1 . x!1 j x 1j

8. Calcular: lím

9. Sea la función definida por f .x/ D n; para cada x 2 Œn; n C 1/; donde n 2 f : : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : : g D Z :

a. Grafique esa función f . b. Calcular para n 2 f : : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : : g D Z .

lím f .x/; lím f .x/; lím f .x/ & lím f .x/, donde a ¤ n.

x!n

x!nC

x!n

( x2 C 3 10. Considerar f .x/ D xC1

x!a

si x  1I y considerar g.x/ D si x > 1I

( x2 2

si x  1I si x > 1:

Calcular

a. lím f .x/g.x/;

b. lím f .x/g.x/;

x!1

c. lím f .x/g.x/. x!1

x!1C

p p 2x C 1 3 11. Calcular: lím : x 1 x!1C    2 3 : 12. Calcular: lím j x j x C 1 x!0 x  2 2x C 1    4 x C3 13. Calcular: lím f .x/, donde f .x/ D x! 1  x3 C 1   x 2 C 6x C 5 14. Calcular: lím

x!2C

15. Calcular: lím

x! 3

2 jx

si x <

1I

si x >

1:

x . 2j

jj2 C x j 3j x2 9

2

:

7


8

Cálculo Diferencial e Integral I

Ejercicios 3.3.1 Límites laterales, página 6 1. lím f .x/ D

1;

x!0

9.

lím f .x/ D 1;

a.

x!0C

lím f .x/ no existe.

y

y D f .x/

x!0

4 3

2. lím f .x/ D 1;

2

x!a

1 3 2 1

lím f .x/ D 1;

x!aC

lím f .x/ no existe.

x!a

3. lím g.x/ D 0;

1 2 3 4 1

x

2

3

x!2

lím g.x/ D 0;

b. lím f .x/ D n x!n

x!2C

lím f .x/ D n;

lím g.x/ D 0 .

x!nC

x!2

4.

no existe lím f .x/;

lím f .x/ D 2;

x!n

lím f .x/ D n si a 2 Œn; n C 1/ .

x! 1

lím f .x/ D 2;

x!

1C

lím f .x/ D

x! 1

2;

x!a

10. lím Œf .x/g.x/ D 4; x!1

lím Œf .x/g.x/ D 4;

lím f .x/ D 1;

x!1C

lím f .x/ D 0;

x!1

x!2

x!2C

lím f .x/ no existe .

x!2

5. a D

10 . 3 r

6. lím Lo v!c

1

p p 1 2x C 1 3 Dp . 11. lím x 1 x!1C 3   2 D 0. 12. lím j x j3 x C 1 x!0 x 13. lím f .x/ D x! 1

14.

x2 1 . x!1 j x 1j

15.

x!0

8. No existe lím

8

v2 D 0. c2

lím Œf .x/g.x/ D 4.

jx j x . x

7. No existe lím

1;

lím

x!2C

lím

x! 3

2 jx

3 . 4

x D 1. 2j

jj2 C x j 3j x2 9

2

D

1 . 6

Límites laterales  

limites laterales

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