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Trigonometria

Razões trigonométricas de ângulos agudos

Matemática 9.º ano


1

Atividade

Razões trigonométricas de um ângulo agudo

90º adjacente oposto agudo hipotenusa adjacente oposto Matemática 9.º ano

hipotenusa agudo 90º


Razões trigonométricas de um ângulo agudo

b

a c

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2

Razões trigonométricas do ângulo de 30°

Atividade

2.1. Observa os dados da figura e determina as razões trigonométricas do ângulo de 30º, com aproximação às centésimas. 4,33 cm sen 30º =

? 2,5

______

5 ?

= 0,5

5 cm 2,5 cm

? 4,33

cos 30º = ______ 5? ? 2,5

tg 30º = ______ 4,33 ?

Matemática 9.º ano

Utiliza a calculadora para te ajudar nos cálculos.


Construção

?

Matemática 9.º ano

?

?

?

?

?

?


2.3. Compara os valores que obtiveste, ao preencher a tabela anterior, com os valores dos teus colegas. O que verificas?

Carrega no ícone do Geogebra. Movimenta os pontos A e B do triângulo e repara que alteras as dimensões do triângulo mas manténs a amplitude de cada ângulo. Ao mesmo tempo, observa a folha de cálculo ao lado.

Abra o ficheiro Geogebra Razões trigonométricas do ângulo de 30°

Agora preenche tu as células correspondentes às razões trigonométricas do ângulo de 60º . Por exemplo, na célula correspondente ao seno de 60º escreve a/b (onde a representa o cateto oposto e b a hipotenusa). Matemática 9.º ano


Parece que: A cada ângulo agudo de amplitude α corresponde um só seno, um só cosseno e uma só tangente, independentemente do triângulo retângulo considerado.

Mas… será sempre assim?

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3

Atividade

Demonstrar

Os triângulos [GHI] e [JKL] são retângulos e têm ambos um ângulo agudo com a mesma amplitude α, como sugere a figura:

3.1. a) Atendendo ao triângulo [GHI] , sen α =

? b) Atendendo ao triângulo [JKL] , sen α = ______ ?

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?

______

?


3.2. a) Justifica que os triângulos [GHI] e [JKL] são semelhantes. Os triângulos são semelhantes porque são ambos triângulos retângulos e têm em comum o ângulo agudo α (Critério de semelhança AA). b) Completa: Em triângulos semelhantes os comprimentos dos lados diretamente proporcionais correspondentes são ..............................................

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numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e, portanto, numa proporção podemos trocar os meios. Repara que:

sen α no ∆ [GHI]

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sen α no ∆ [JKL]


Concluímos que, em triângulos retângulos com um ângulo agudo comum α , o sen α tem sempre o mesmo valor, independentemente do triângulo retângulo considerado. Podemos fazer uma demonstração análoga para o cosseno e tangente. Podemos então afirmar que:

A cada ângulo agudo de amplitude α corresponde um só seno, um só cosseno e uma só tangente, independentemente do triângulo retângulo considerado.

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Construção do triângulo: 1.° Desenha um segmento de reta DE, com o comprimento que quiseres.

2.° Com o transferidor marca um ângulo de 30º , com vértice em D .

D

Utiliza o

E

eo

para te ajudar na construção.

D

E F

3.° Com o esquadro desenha o segmento de reta perpendicular ao segmento DE. Marca o ponto F.

D Matemática 9.º ano

E


razoes_trigonometricas