Issuu on Google+

Základní pojmy Základní metody

Numerická a výpočetní matematika 2. Numerické řešení rovnic

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Obsah přednášky Základní pojmy Numerické řešení rovnic Motivační příklad Popis konkrétní metody Odhady přesnosti Podmínky konvergence Základní metody Metoda půlení intervalu Metoda prosté iterace Metoda regula falsi Metoda Newtonova 2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Numerické řešení rovnic Motivační příklad Popis konkrétní metody Odhady přesnosti Podmínky konvergence

Základní pojmy

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Numerické řešení rovnic Motivační příklad Popis konkrétní metody Odhady přesnosti Podmínky konvergence

Základní pojmy

Numerické řešení rovnic I

popis konkrétní metody

I

podmínky konvergence

I

odhady přesnosti výpočtu

I

rychlost konvergence

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Numerické řešení rovnic Motivační příklad Popis konkrétní metody Odhady přesnosti Podmínky konvergence

Průsečík dvou funkcí

Řešte rovnici x = cos x nebo ekvivalentní rovnici x − cos x = 0

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Numerické řešení rovnic Motivační příklad Popis konkrétní metody Odhady přesnosti Podmínky konvergence

Popis metody 1 Popis konkrétní metody I

formulace úlohy

I

předpoklady použití metody

I

startovací krok

I

iterační krok

I

ukončení iteračního procesu

I

dosažení požadované přesnosti

I

odhad rychlosti konvergence

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Numerické řešení rovnic Motivační příklad Popis konkrétní metody Odhady přesnosti Podmínky konvergence

Odhady přesnosti 1

Odhady přesnosti iteračního procesu I

závisí na charakteru iteračního procesu

I

využívají předpoklady úlohy

I

využívají obecná matematická tvrzení

I

důležitá součást výpočtu

I

přesnost během výpočtu a přesnost výsledku

I

podmíněnost úloh

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Numerické řešení rovnic Motivační příklad Popis konkrétní metody Odhady přesnosti Podmínky konvergence

Podmínky konvergence 1 Iterační proces pro danou metodu postupně počítá aproximace I

x1 , x2 , . . . , xi , . . .

Podmínky konvergence zaručují, že I

existuje limita posloupnosti vypočtených aproximací

Řád iterační metody ukazuje efektivnost metody I

je definován jako reálné číslo p, pro které existuje konstanta C 6= 0 tak, že |xi+1 − α| lim =C i→∞ |xi − α|p

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Základní metody pro numerické řešení rovnic

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Základní metody pro numerické řešení rovnic

Nejjednodušší, resp. nejčastěji používané metody I

metoda půlení intervalu

I

metoda prosté iterace

I

metoda regula falsi

I

metoda Newtonova

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda půlení intervalu 1

Předpoklady I

funkce f je spojitá na intervalu ha, bi

I

hodnoty f (a), f (b) jsou nenulové a mají různá znaménka

Rovnice f (x) = 0

(1)

má tedy kořen uvnitř intervalu ha, bi.

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Kořeny spojité funkce - obrázek

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda půlení intervalu 2 Startovací krok Položíme i := 0 a označíme hodnoty xi = a, xi0 = b a interval Ii = hxi , xi0 i. Iterační krok xi + xi0 . 2 Když f (s) = 0, pak číslo s je hledaným kořenem rovnice (1). Vypočteme střed intervalu Ii = hxi , xi0 i, tj. hodnotu si =

0 i ten z Když f (s) 6= 0, pak zvolíme za interval Ii+1 = hxi+1 , xi+1 0 dílčích intervalů hxi , si, hs, xi i, ve kterém dochází ke změně znaménka. Pak položíme i := i + 1 a iterační krok opakujeme. 2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda půlení intervalu - obrázek

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda půlení intervalu 3 Ukončení iteračního procesu I

střed některého z intervalů je hledaným kořenem α, nebo

I

délka některého intervalu Ik je menší než dvojnásobek požadované přesnosti ε

Za aproximaci kořene α vezmeme střed intervalu sk =

xk + xk0 . 2

Odchylka aproximace od skutečné hodnoty kořene je

xk − xk0

<ε |sk − α| ≤

2

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda prosté iterace 1

Předpoklady prosté iterace I

rovnice f (x) = 0 se dá přepsat do tvaru x = ϕ(x)

I

x ∈ ha, bi ⇒ ϕ(x) ∈ ha, bi (funkce ϕ je injektivní na intervalu ha, bi)

I

existuje kladná konstanta K < 1 taková, že x, y ∈ ha, bi ⇒ |ϕ(x) − ϕ(y )| ≤ K |x − y | (funkce ϕ je kontrahující na intervalu ha, bi)

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda prosté iterace 2 Banachova věta Když jsou předpoklady prosté iterace splněny, pak I

v intervalu ha, bi existuje právě jeden bod α takový, že

I

α = ϕ(α), tj. α je kořenem rovnice f (x) = 0.

Bod α je limitou posloupnosti x0 , x1 , . . . , xi , . . . , pro kterou platí I

x0 ∈ ha, bi

I

xi+1 = ϕ(xi ) pro i = 0, 1, 2, . . . K |xi − α| ≤ |xi − xi−1 | 1−K

I

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda iterační - obrázek

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda prosté iterace 3

Ukončení prosté iterace Když je požadována přesnost ε, pak výpočet ukončíme, jakmile 1−K I |xi − xi−1 | ≤ ε K Podle Banachovy věty pak platí K I |xi − α| ≤ |xi − xi−1 | ≤ ε 1−K

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda prosté iterace 4 Předpoklady pro kontrahování funkce ϕ I

funkce ϕ je diferencovatelná na intervalu ha, bi

I

existuje kladná konstanta M < 1 taková, že x ∈ ha, bi ⇒ |ϕ0 (x)| ≤ M

Pak podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro x, y ∈ ha, bi existuje ξ ∈ ha, bi takové, že I

|ϕ(x) − ϕ(y )| = |ϕ0 (ξ)| |x − y | ≤ M |x − y |

tj. funkce ϕ je kontrahující na intervalu ha, bi

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda prosté iterace 5 Hledání kontrahující funkce ϕ, když I

funkce f je diferencovatelná na intervalu ha, bi

I

existují kladné konstanty m, M takové, že x ∈ ha, bi ⇒ m ≤ f 0 (x) ≤ M

Rovnici f (x) = 0 přepíšeme do tvaru I

x = ϕ(x), kde ϕ(x) = x − λ f (x), λ > 0

I

λ zvolíme tak, aby existovala konstanta K < 1 tak, že

I

|ϕ0 (x)| = |1 − λ f 0 (x)| ≤ K < 1

Pak funkce ϕ bude kontrahující na intervalu ha, bi 2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda prosté iterace 6 - Volba konstanty λ Iterační proces konverguje pro vhodnou volbu parametru λ 1 m I možná volba je λ = , pak pro K = 1 − máme M M 0 = 1 − λ M ≤ 1 − λ f 0 (x) ≤ 1 − λ m = K < 1 I

jiná možná volba je λ =

2 M −m , pak pro K = platí m+M M +m

−1 < −K = 1 − λ M ≤ 1 − λ f 0 (x) ≤ 1 − λ m = K < 1 V obou případech je |ϕ0 (x)| = |1 − λ f 0 (x)| ≤ K < 1

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda regula falsi 1

Regula falsi - předpoklady I

funkce f je dvakrát diferencovatelná na intervalu ha, bi

I

hodnoty f (a), f (b) jsou nenulové a mají různá znaménka

I

druhá derivace f 00 (x) je nenulová a nemění znaménko na intervalu ha, bi

Rovnice f (x) = 0 má jediný kořen α uvnitř intervalu ha, bi.

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda regula falsi 2 Startovací krok Označíme x1 = a, x2 = b, pokud f (a) · f 00 (a) > 0, (nebo x1 = b, x2 = a, pokud f (b) · f 00 (b) > 0). Položíme i := 2. Iterační krok Body [x1 , f (x1 )], [xi , f (xi )] proložíme přímkou a průsečík této přímky s osou x označíme xi+1 . Jednoduchým výpočtem se dá zjistit, že x1 f (xi ) − xi f (x1 ) xi+1 = f (xi ) − f (x1 ) Když f (xi+1 ) = 0, pak jsme nalezli kořen rovnice f (x) = 0. Když f (xi+1 ) 6= 0, položíme i := i + 1 a iterační krok opakujeme. 2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda regula falsi - obrázek

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda regula falsi 3 Ukončení iteračního procesu I

když absolutní hodnota derivace f 0 (x) je na intervalu ha, bi omezena zdola kladnou konstantou 0 < m1 ≤ f 0 (x)

I

pak odchylka aproximace od skutečné hodnoty kořene je |xi − α| ≤

I

|f (xi )| m1

iterační proces ukončíme, jakmile tato odchylka je menší než požadovaná přesnost ε

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda Newtonova 1

Předpoklady pro Newtonovu metodu I

funkce f je dvakrát diferencovatelná na intervalu ha, bi

I

hodnoty f (a), f (b) jsou nenulové a mají různá znaménka

I

první a druhá derivace f 0 (x), f 00 (x) jsou nenulové a nemění znaménko na intervalu ha, bi

Rovnice f (x) = 0 má jediný kořen α uvnitř intervalu ha, bi.

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda Newtonova 2 Startovací krok Zvolíme x0 ∈ ha, bi, pro které platí f (x0 ) · f 00 (x0 ) > 0. Položíme i := 0. Iterační krok Vypočteme další aproximaci xi+1 = xi −

f (xi ) f 0 (xi )

Když f (xi+1 ) = 0, pak jsme nalezli kořen rovnice f (x) = 0. Když f (xi+1 ) 6= 0, položíme i := i + 1 a iterační krok opakujeme. 2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda Newtonova - obrázek

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Metoda Metoda Metoda Metoda

půlení intervalu prosté iterace regula falsi Newtonova

Metoda Newtonova 3 Ukončení iteračního procesu I

když absolutní hodnota derivace f 0 (x) je na intervalu ha, bi omezena zdola kladnou konstantou 0 < m1 ≤ f 0 (x)

I

a když absolutní hodnota druhé derivace f 00 (x) je na intervalu ha, bi omezena shora kladnou konstantou f 00 (x) ≤ M2

I

pak odchylka aproximace od skutečné hodnoty kořene je |xi − α| ≤

I

M2 2 m1

(xi − xi−1 )2

iterační proces ukončíme, jakmile tato odchylka je menší než požadovaná přesnost ε 2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Základní pojmy Základní metody

Děkuji Vám za pozornost!

2. Numerické řešení rovnic

NUMA

Martin Gavalec


Numa2