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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO CONCEPTO DE PLANO Un plano es una superficie de infinitos puntos Si dos puntos de una recta están en un mismo plano, entonces la recta está en un mismo plano. Esta afirmación describe la condición del plano de ser una superficie no curva. Es usual representar un plano por un paralelogramo o por una figura de contorno irregular, entendiéndose que sus lados o contornos no son el límite del plano, ya que este es ilimitado. Se le nombra por la letra P o por tres puntos no colineales. En términos físicos, un plano se considera como superficie sin puntos de inflexión y que se extiende hasta el infinito en todas las direcciones. Toda recta de un plano lo separa o divide en dos semiplanos P1 y P2 . La recta es la frontera de estos semiplanos Axiomas relativos al plano Un único plano queda determinado por: •

Tres puntos no colineales C A

Dos rectas que se intersectan

L1 L2

Dos rectas paralelas L1

L2

Una recta y un punto exterior a ella.

B


Determinación de infinitos planos • Si dos planos distintos se intersectan, su intersección es una recta P1 ≠ P2

P1 ∩ P2 = L

Por una recta pasa un número infinito de planos .

P2

P1

P3 L

Posiciones de rectas en el espacio De acuerdo co su posición en el espacio, las rectas pueden ser: a. Paralelas no tinen puntos comunes y existe sólo un plano que los contiene

L1 ∩ L2 = φ

P

L1 y L2 ⊂ P

L1 L2

b. Coincidentes tienen todos sus puntos comunes

P

L1 B A

L2

c. Secantes se intersectan en un solo punto

P

L1

L2

L2

P1

P2

L1 ∩ L2 = { A} L1 y L2 ⊂ P

A

L1

A, B ∈ L1   ⇒ L1 = L2 A, B ∈ L 2 


d. Alabeadas están contenidas en planos distintos y no tienen puntos comunes ( no se intersectan)

L1 ∩ L2 = φ L1 ⊂ P1 y L2 ⊂ P2

Posiciones de planos en el espacio De acuerdo con la posición relativa que tengan dos planos en el espacio, estos pueden ser : a. Paralelos no tienen puntos comunes, su intersección es vacía

P2

P1 ∩ P2 = φ P1

b. Secantes es decir, se intersectan. Los planos pueden ser perpendiculares u oblicuos

P1 ∩ P2 = L P1 ⊥ P2 P1 ∩ P2 = L P1 ⊥/ P2

c. Coincidentes tienen a lo menos tres puntos comunes

A, B, C ∈ P1   ⇒ P1 = P2 A, B, C ∈ P2 

P1 A

C

B P2

Planos y rectas perpendiculares Propiedades relacionadas con rectas y planos:


a. Recta perpendicular a un plano Esta situación ocurre cuando la recta es perpendicular a dos rectas del plano que contienen al punto de intersección de la recta con el plano. De este modo, la recta es perpendicular a toda recta del plano que contiene a dicho punto de intersección b. Recta perpendicular a planos paralelos

Si L1 ⊂ P y L 2 ⊂ P

L2

tales que

L1

L1 ∩ L2 ∩ L = { A} y

P

L ⊥ L1 , L ⊥ L2 ⇒ L ⊥ P

L

Si una recta es perpendicular a un plano P1 que es paralelo a otro plano P2, entonces esta recta también es perpendicular a P2. Se verifica que la distancia entre P1 y P2 es la medida del segmento de recta que intersecta perpendicularmente a estos planos paralelos c. Rectas perpendiculares a un mismo plano Dos o más rectas perpendiculares a un mismo plano P1 son paralelas entre sí.

Si P1 // P2

P1

R

y L ⊥ P1 ⇒ L ⊥ P2 Q

P2

d ( P1 , P2 ) = d ( RQ)

Si L1 ⊥ P, L 2 ⊥ P, L3 ⊥ P, L4 ⊥ P entonces L1//L 2 //L3 //L 4

Ángulos Diedros En el espacio la intersección de dos planos nos da una recta.


' '' ' '' Cada plano queda dividido en dos semiplanos P1 , P1 , P2 , P2 Se forman cuatro “diedros” cuyas caras son los semiplanos y cuya arista es la recta R. Definimos ángulo diedro como la unión de dos semiplanos no coplanarios, de frontera común.

P' ∪ P'' forman el 1

2

∠ diedro

P'RP' 1

2

Los ángulos diedros se miden por medio de sus ángulos rectilíneos. Escogemos un punto cualquiera A de la arista del ángulo y por A trazamos dos semirrectas, una en cada semiplano, perpendicular a la arista del diedro. Obtenemos así un ángulo rectilíneo de vértice A que es la imagen del diedro. La medida de este ángulo se toma como medida del diedro. Todas las imágenes constituidas de la misma forma en un mismo ángulo diedro, tienen igual medida.

El ángulo diedro P1 RP2 BA ⊥ R AC ⊥ R ∠BAC ≅ ∠B ' A ' C ' ≅ ∠B '' A '' C '' son imágenes del diedro. Medida BAC= medida del ángulo diedro. Si el ángulo imagen es recto (90º), el diedro también se llama recto. Si el ángulo es extendido (180º), el diedro también es extendido o llano y se confunde con un semiespacio. Los diedros que suman 90º son complementarios. Los diedros que suman 180º son suplementarios. Ángulos triedros y ángulos poliedros


La medida de un ángulo poliedro es igual a la suma de las medidas de los ángulos formados en cada una de sus caras α + β + χ + δ + ε + γ . El ángulo diedro debe medir menos de 360º.

Ejercicios 1) mediante el análisis de la figura, indica cuales puntos: i. pertenece a una misma recta ii. no pertenece a una misma recta, pero con coplanarios (pertenece a un mismo plano) iii. no son coplanarios


2) Indica cuántas rectas pueden trazarse por los distintos puntos A,B,C y D, tomados de dos en dos, si: a) A,B y C son colineales b) tres puntos cualesquiera no son colineales c) A, B, C y D no son coplanarios 3) Si en un plano se dibuja una recta, ¿cuál de los semiplanos que esta determina pertenecen los puntos de la recta? 4) ¿Cuál es el mayor número de rfectas que determinan cinco puntos no colineales del espacio?

5) De acuerdo con la figura, en la cual los puntos A,B,C y D son coplanarios, indica en cada caso si la afirmación es V o F, según corresponda. i.- A,E y F son colineales ii.- B,C,E y F son coplanarios iii.- AC se intersecta con BD iv.- AC se intersecta con DF v.- B,E,F son coplanarios vi.- B,D,F y G son coplanarios


geometria en el espacio