Unidad 3 combinatoria y polinomios

Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

1er cuatrimestre

Introducción al álgebra superior

Unidad 3 Combinatoria y polinomios

Clave: 05141106/06141106

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 1

Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios

Índice Unidad 3. Combinatoria y polinomios............................................................................................. 3 Presentación de la unidad ............................................................................................................... 3 Propósitos de la unidad ................................................................................................................... 3 Competencia específica .................................................................................................................. 3 Combinatoria................................................................................................................................... 4 Ordenaciones, permutaciones y combinaciones ............................................................................ 4 Actividad 1. Ordenaciones y permutaciones .................................................................................. 7 Teorema del binomio de Newton ................................................................................................... 7 Triángulo de Pascal.......................................................................................................................... 7 Actividad 2. Combinaciones ........................................................................................................... 8 Polinomios ....................................................................................................................................... 8 Conceptos básicos ........................................................................................................................... 9 Suma y producto de polinomios ................................................................................................... 10 Raíces de polinomios..................................................................................................................... 11 Teorema del residuo ..................................................................................................................... 12 Teorema de la raíz y del factor...................................................................................................... 14 Teorema Fundamental del Álgebra............................................................................................... 15 Factorización de un polinomio ...................................................................................................... 15 Actividad 3. Polinomios ................................................................................................................. 16 Actividad 4. Polinomios ................................................................................................................. 16 Evidencia de aprendizaje. Polinomios y Combinatoria ................................................................. 16 Cierre de la unidad ........................................................................................................................ 16 Para saber más .............................................................................................................................. 17 Fuentes de consulta ...................................................................................................................... 17

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Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios

Unidad 3. Combinatoria y polinomios Presentación de la unidad En esta unidad aprenderás a resolver problemas básicos de conteo, a partir de los principios del producto y la suma, mediante estrategias que se adapten a ciertas situaciones de conteo agrupándolas en tres tipos básicos: ordenaciones, permutaciones y combinaciones. A partir de estos tipos, se probará el Teorema del Binomio de Newton, observándolo desde un punto de vista combinatorio.

Conocerás el conjunto de polinomios con coeficientes en un conjunto de números dado, junto con sus operaciones básicas: suma y producto y las propiedades de las operaciones análogas a las de los números enteros y usarlas para resolver problemas.

Propósitos de la unidad Mediante el estudio de esta unidad podrás:   

Diferenciar las ordenaciones de las permutaciones y de las combinaciones.

Resolver problemas de conteo.

Utilizar el álgebra de los polinomios.

Competencia específica Utilizar la combinatoria y las propiedades de los polinomios para resolver problemas de conteo y funciones polinomiales, aplicando los conceptos de combinaciones, ordenaciones y permutaciones, además de la estructura algebraica de los polinomios.

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Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios

Combinatoria En este tema estudiarás los conceptos básicos para resolver problemas de conteo, Jakob Bernoulli (Matemático suizo, 1654-1705) publicó el primer libro de texto donde se trata parte del material de esta unidad, en donde se explica el teorema del binomio, el cual se estudió en casos pequeños hasta de grado 17 en el siglo XVI. Jakob Bernoulli demostró la forma general del teorema del binomio en forma combinatoria, y Blas Pascal (Matemático francés, 1623-1662) publicó un tratado acerca de las relaciones entre los coeficientes binomiales, las combinaciones y los polinomios.

La forma en que se abordan estos problemas es mediante los conceptos de conjuntos, los cuales estudiaste a lo largo de la primera unidad de la asignatura, por lo que se te pide tenerlos presentes.

Ordenaciones, permutaciones y combinaciones Principios fundamentales de conteo Partiendo de la observación trivial de que si tengo un conjunto con objetos, y selecciono uno entonces lo podemos hacer de formas, formulamos el Principio de la suma: Si una primera tarea se puede hacer de formas, una segunda tarea puede hacerse de formas y no es posible hacer ambas tareas al mismo tiempo, entonces para llevar a cabo una sola de las tareas es posible hacerlo de formas. Más generalmente, si tenemos tareas y cada tarea se puede hacer de formas y no es posible realizar dos tareas al mismo tiempo, entonces para llevar a cabo una sola de las tareas es posible hacerlo de ∑ formas. Por ejemplo, si queremos elegir un producto de la paletería La sonriente y sabemos que hay paletas de 24 sabores, aguas frescas de 6 sabores y helados sencillos de 12 sabores, entonces podemos elegir un producto de 24+6+12=42 diferentes.

El segundo principio llamado Principio del producto se formula de manera parecida: Si un procedimiento se puede descomponer en tareas donde existen n1 formas de hacer la tarea 1, después de que se ha realizado la tarea 1, hay n2 formas de hacer la tarea 2, n3 formas de hacer las tareas 1 y 2, y así en general nk-1 formas de hacer la tarea , después de que se han realizado las tareas . Por ejemplo: ¿Cuántos números pares de tres dígitos sin que se repitan se pueden construir usando los dígitos 2, 3, 4 y 5?

Escribir el número de tres dígitos (es decir, cada dígito se puede usar a lo más una vez) se puede descomponer en tres tareas: escribir el dígito de las centenas: c, escribir el dígito de las decenas: d, y escribir el dígito de las unidades: u, por la condición del problema el dígito de las unidades tiene que ser par, así sólo hay dos formas de escogerlo, d se puede escribir de 3 formas, pues ya se usó un número en las unidades, y Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 4

Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios para c sólo quedan 2 dígitos, pues ya se usaron dos, así por el principio del producto hay números distintos que cumplen la condición pedida. Para resolver los problemas de conteo de la sección de combinatoria será siempre básico el uso de estos principios.

Si tomamos un conjunto con n elementos, y tomamos sucesivamente m objetos y los acomodamos uno tras otro, hablaremos de un arreglo o un acomodo, así una pregunta natural es ¿cuántos arreglos diferentes podemos hallar de m objetos de un conjunto dado de n elementos? Para el primer elemento hay n formas de escogerlo, para el segundo hay ) formas de elegirlo, así por el n-1 formas de escogerlo,…, para el m-ésimo hay ( )( ) ( ) acomodos con la condición principio del producto hay ( pedida, llamaremos a estos arreglos ordenaciones de n elementos tomados de m en m y denotaremos por el número de ordenaciones de n elementos tomados de m en m.

Ejemplo: Tres personas suben a un autobús en el cual hay seis asientos libres, ¿de cuántas maneras pueden ocuparlos? La solución de este problema corresponde a ordenaciones de seis elementos (los asientos) tomados de 3 en 3 (las personas que los ocupan), así la respuesta es . ( ) ( )) ( ) ( ) Si en m=n, entonces ( ( ) ( ), llamaremos a uno de estos arreglos permutación y denotaremos por y definirá el número de permutaciones de n objetos. Si n es un número natural denotamos ( ) Así por el factorial de n y lo definimos como Un problema clásico sobre ajedrez es el siguiente ¿de cuántas formas podemos colocar 8 torres idénticas en el tablero de ajedrez sin que se ataquen? Ya que debemos colocar una torre por columna, para la torre que va en la columna a tenemos 8 posibilidades, una vez colocada la primera colocaremos la segunda en la columna b, ya que la anterior torre domina un renglón del tablero (del 1 al 8) tenemos solo 7 lugares para colocar la segunda, si proseguimos de la misma forma tenemos 6 lugares para colocar la tercera torre, así hasta llegar a un lugar para la octava torre, usando el principio del producto, la solución es es decir, el número de permutaciones de 8 objetos. Para establecer la correspondencia observemos que cada torre queda en un lugar del tablero, las + a cada ( )),…,( ( )) con * ( ) ( )+ * coordenadas de cada torre son ( +, la imagen una de estas formas le asociamos una permutación del conjunto * de cada letra es la posición que ocupa en la permutación, ya que la función es biyectiva, la asignación es única, por lo que cuenta el número de funciones biyectivas de un conjunto de n elementos sobre otro conjunto de n elementos. Ahora observemos que ( ) ( ) ( )( ) por lo que podemos escribir (

)

.

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Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios Si al elegir un subconjunto de tamaño m de un conjunto dado de tamaño n el orden no importa, entonces estaremos hablando de una combinación. Por ejemplo, queremos elegir 2 estudiantes de un grupo de 30 para participar en un concurso de matemáticas, si importara el orden la respuesta sería , pero cada pareja pudo elegirse de 2 maneras, así la respuesta es

, en general ya que no importa el orden sino sólo el conjunto, cada

subconjunto de tamaño m pudo elegirse de m! formas. Denotamos por el número de combinaciones de n en m ó número de subconjuntos de tamaño m de un conjunto de tamaño n, también lo denotaremos por ( ) por lo que

( )

(

)

.

Un comité formado por dos mujeres y tres hombres es elegido de un grupo de cinco hombres y cuatro mujeres, ¿de cuántas formas se puede elegir el comité? Los tres hombres pueden ser elegidos de ( ) formas y las dos mujeres de ( ) formas, por el principio del producto el comité puede ser elegido de ( )( ) formas.

Otro problema de ajedrez es el siguiente: ¿De cuántas formas se pueden acomodar dos torres, una blanca y una negra, sin que se ataquen? Si colocamos primero la torre blanca tenemos 64 casillas para colocarla, esta torre domina una columna y un renglón transverso, lo que da 15 casillas. La torre negra se puede colocar en las 49 casillas restantes, por el principio del producto se pueden colocar de 64∙49=3136 formas.

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Actividad 1. Ordenaciones y permutaciones Es momento de utilizar lo aprendido para hacer algunas distinciones entre ordenaciones y permutaciones y así resolver problemas de conteo en algunas situaciones cotidianas.

Teorema del binomio de Newton Dado un elemento de un conjunto de números con dos operaciones de suma y producto, definimos , n veces. Un binomio es una expresión de la ) en forma . El teorema del binomio de Newton nos da una expresión para ( términos de combinaciones. Explícitamente nos dice que si y son variables (elementos de un conjunto numérico) y es un número entero. Entonces (

)

. /

. /

. /

.

/

. /

Antes de dar la demostración general usando combinatoria observemos el caso particular ) =( )( . Queremos hallar el coeficiente de del desarrollo de ( )( )( ), para obtener se deben tomar dos a´s y dos b´s de los factores, dado que hay cuatro factores, nombramos 1 al primero, 2 al segundo, 3 al tercero y 4 al cuarto, escogiendo un subconjunto de dos números del conjunto {1, 2, 3, 4}, por ejemplo si elegimos {1,3}, le asociamos un término que da , el término (sin tomar en cuenta conmutatividad) es , así el coeficiente de es ( ). En general el coeficiente de corresponde a todas las cadenas de que con la observación anterior corresponde al número de subconjuntos de tamaño k de un conjunto de tamaño n dado, es decir ( ).

Triángulo de Pascal Un problema que aparece en muchos libros de combinatoria es el siguiente: tenemos una abeja reina y diez abejas obreras, ¿cuántos enjambres de 6 abejas se pueden formar, si la abeja reina pertenece al enjambre y cuántos si la abeja reina no está en el enjambre?

Si la abeja está en el enjambre entonces sólo necesito 5 abejas más para formar el enjambre, esto se puede hacer de ( ) formas y si no está en el enjambre entonces sólo es un subconjunto de tamaño 6 del subconjunto de las obreras y de estos hay ( ), así el número total de enjambres de tamaño 6 del conjunto de las 11 abejas es la suma de los anteriores, es decir se tiene ( ) ( ) ( ).

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Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios En general, la fórmula de Pascal es: ( Para r y n números enteros con

)

. /

.

/

.

Ahora bien, el triángulo de Pascal está definido como el triángulo de números en el que en el renglón número n aparecen los n+1 números . / . / . /

.

/ . /

Los cuatro primeros renglones son:

Se obtienen a partir del segundo renglón usando ( ) ( ) y la fórmula de Pascal, es mediante este método que se calculan todos los coeficientes de un binomio a la n-ésima potencia.

Actividad 2. Combinaciones Para esta actividad resolverás problemas de situaciones reales y reforzarás tus conocimientos en el tema de combinatoria.

Polinomios Los polinomios son el primer nivel de abstracción al que se enfrenta un estudiante durante su educación, se da el salto cognitivo del uso de números al uso mezclado de letras y números operándolos con las propiedades de conjuntos numéricos. Su uso en las expresiones de aplicación en otras áreas, hace que su estudio sea obligatorio en el nivel medio superior. Históricamente son los árabes, en el siglo IX, los que inician el estudio de los polinomios al resolver casos de ecuaciones de segundo grado y ecuaciones lineales, de hecho la palabra álgebra tiene su origen del árabe.

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Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios En este tema estudiarás los polinomios como un conjunto con dos operaciones básicas y las propiedades que se deriven de ellas, que incluyen los teoremas básicos: Teorema del residuo, Teorema de la raíz y el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Conceptos básicos Conocemos de nuestra experiencia escolar previa que los polinomios son expresiones del tipo: y sabemos cómo operar con ellas, si observamos esta expresión, los coeficientes se caracterizan por subíndices en los naturales, así que es natural identificar estas expresiones con sucesiones del conjunto numérico al que pertenezcan los coeficientes.

Se dará una definición de sucesión y luego la de polinomio.

Definición. Una sucesión de elementos de un conjunto los números naturales

, por ejemplo ( )

es una función del conjunto de /

es la sucesión:.

esta sucesión tiene un número infinito de elementos distintos de cero, nuestro interés se centra en las sucesiones que a partir de un elemento son todas cero, estas sucesiones son las que nos servirán.

Cuando queremos resolver ecuaciones del tipo , que no tienen solución en los enteros, nos obliga a ampliar nuestro sistema numérico, e introducimos el sistema de los números racionales construido a partir de los números enteros, como parejas ordenadas de enteros con con dos operaciones definidas, la suma y el producto definidos como . /

. /

(

)

y. /

. /

(

) (

). Se puede

verificar que estas dos operaciones satisfacen las propiedades: asociativa para la suma y el producto, existencia de identidades para las dos operaciones, existencia de inversos para las dos operaciones, leyes conmutativas y propiedad distributiva del producto con respecto a la suma. Con este sistema numérico podemos resolver ecuaciones como con la que iniciamos el párrafo.

De manera similar a los racionales se construye el sistema de los números reales, que pueden ser construidos a partir de los números racionales con el fin, entre otros, de incluir soluciones de ecuaciones de la forma . Los números reales contienen una copia de los racionales, satisfacen las mismas propiedades con sus operaciones y otra propiedad adicional: el supremo. Los números reales contienen a los números irracionales, es decir, aquellos números que no se pueden expresar como el cociente de dos números naturales. Denotaremos por a este conjunto.

Por último, al querer resolver ecuaciones como , que no tienen soluciones en los reales, extendemos nuestro sistema numérico a los números complejos que Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 9

Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios ) ordenadas de reales en los denotaremos como , estos son definidos como parejas ( ) ( ) ( que se definen dos operaciones: la suma definida por ( ) y el ) ( ) ( producto definido por ( ), con las operaciones así definidas se puede probar que satisfacen las mismas propiedades que las de los reales y los racionales.

Estos sistemas numéricos reciben el nombre de campos, así se habla del campo de los números racionales, del campo de los números reales o del campo de los números complejos. Los números complejos también se denotan como con números reales y . ( ) , * | ( ) son sucesiones de casi puros ceros.

+, los elementos de , -

, - se llaman polinomios con coeficientes reales. ( ) , lo representamos con √ , así nuestra definición corresponde con nuestro √ conocimiento intuitivo. Sabemos sumar polinomios, daremos una definición que nos servirá para definir la suma de polinomios.

Definición. Los elementos de , -, * ( )+ Por ejemplo,

Cambiando , -.

por otro conjunto

de números obtenemos otro conjunto de polinomios

, -, denotaremos ( ) * | ( ) Definición. Si Definimos el grado de f como el máximo ( ) .

Del ejemplo anterior el soporte de es igual a * +.

+.

Suma y producto de polinomios Definición. La suma de polinomios se define como ( )( ) ( ) ( ).

Ejemplo: la suma de los polinomios ( ) ( ) Observación: (  (  

, -

cumple las siguientes propiedades: ))( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( )

)( ) (propiedad asociativa). ( )( ) ( ) ( ) ( ) ̂ ̂ Existe el neutro: , ( )

( )

(

, -

, - dada por

(

)

( ))

( )

((

)

)( ) (propiedad conmutativa).

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Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios  

( ) Existe el inverso respecto a (( ))( ) El grado de f es igual al máximo de n tal que ( )

( )

.

La definición de producto también es la formalización de nuestra idea intuitiva. , , - como ( )( ) Definición. Definimos el producto en , - como *: , ∑ ( ) ( ). ( ) ( )( ) ∑ () () El producto * está bien definido, ya que si ( ) ( ) ( ) para alguna i y alguna j tal que , ya que ( ) son finitos, también es finito el conjunto de productos ( ) ( ), por tanto ( ) es finito.

El producto de polinomios satisface propiedades heredadas de los números reales.

Teorema. El producto en , - satisface: 1. * es una operación asociativa.

2. Existe en neutro multiplicativo.

3. * es conmutativo.

4. * se distribuye sobre la suma.

Demostración: ) 1) ((

)( )

∑

(

)( ) ( )

,( ,∑ ∑ )( )- ( ) ∑ ( ) ( )- ( ) ∑ ( ( ) ( )) ( ). Si ))( ) se obtiene ∑ hacemos lo mismo para ( ( ( )( ( ) ( )). ̂( ) 2) El neutro es la función ̂ , definida como ̂ ( ) ̂( ) ( ) ̂( ) ( ) ̂ )( ). ( ) ( . (̂ )( ) ∑ Las partes 3 y 4 se prueban de manera análoga.

Definición. ( ).

Como consecuencia de la anterior definición se tiene: ̂ ( ), …, ( ). Además ⏟ Sea

( )̂

, -, entonces

( )

( )

(

).

. Así podemos escribir

.

Raíces de polinomios , - con grado Dado un polinomio podemos igualarlo a cero para obtener una ecuación algebraica: ( ) . En esta ecuación la x representa un número desconocido, a menudo llamado incógnita, a los números c que satisfacen la ecuación ( ) los llamamos raíces de la ecuación. Resolver una ecuación significa hallar todas las raíces de la ecuación. Ejemplo: 3 es raíz de , pues .

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Teorema del residuo Divisibilidad de polinomios Consideraremos polinomios en un conjunto de números dados, que pueden ser los números enteros, los racionales, los números reales o incluso los números complejos. Así consideraremos los polinomios en , -, con el conjunto de números dados dependiendo de las operaciones que se indiquen. Daremos en esta sección una definición de divisibilidad que generalice la de los números enteros.

Definición. Dados , -, decimos que divide a o que es factor de , si existe , - tal que (abusando del lenguaje, algunas veces no escribiremos*).

Se escribirá | para indicar que divide a . ( ), ( ), ) Ejemplo: - divide a -, pues ( ( )( ). El concepto de divisibilidad depende del conjunto numérico en el , - para que se definan los coeficientes. Por costumbre escribiremos ( ) , -, si es necesario. La divisibilidad satisface propiedades análogas a la divisibilidad de los números enteros.

Proposición. En , -: 1) ( )| ( ) para cualquier , -.

2) Si ( ) y ( )| ( ), entonces ( ) .

3) Si ( ) con entonces ( )| ( ) para cualquier ( ) 4) Si ( ) , entonces ( )| ( ), para todo ( ) , -.

5) Sea ( ) , con . Si ( )| ( ), entonces ( ) con .

6) Si | y | , entonces | .

7) Si | y | , entonces | y | .

8) Si | , entonces | para cualquier , -.

9) Sean . Si | y | , entonces para alguna , 10) | | , con .

, -.

.

De la definición de divisibilidad se obtiene la siguiente proposición: Proposición. Sean , -, con . Si | , entonces o ( ) ( ).

Demostración. Si | , implica que existe , - tal que , si , entonces ( ) ( ) lo que implica que ( ), por tanto ( ) ( ).

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,

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Si le pedimos a que sea campo, es decir que para cada elemento distinto de cero tenga inverso como los números racionales, reales o complejos, entonces se tiene un algoritmo de la división análogo al de los enteros.

En , - tenemos algoritmo de la división.

Proposición. Si ( ) ( ) , -y ( ) , entonces existe un único ( ) y un único ( ) ( ) , - tales que ( ( )),y . ( ( )) Demostración. ̂ entonces ̂.

Si Demostraremos por inducción sobre ( ) ̂ . Si ̂. ( ) Base. Supongase que ( ), entonces . / Si

( )

( )

( ), entonces

Paso inductivo: ( ) Si ( ), entonces Si ( ) ( ), escribamos . Multipliquemos por . Entonces ( ). En el primer caso se tiene tenemos que por hipótesis de inducción ( ), lo que implica que ( )

( ).

( )

( ). , ̂o ( ) ̂ es decir ̂ , en el segundo caso ( ) , con ̂ o ( ) ( ). y ̂

, - existe una única función llamada la evaluación Definición. Sea , dado ( ) de f en a denotada por: ( ̂) 1. . ( ) 2. .

3. respeta la suma, el producto y el uno. ( ) ( ) Ejemplo: ( ) ( )= .

Notación: Escribiremos ( ) en lugar de

(

)

(

)

( )

(

)

( ( )).

Ahora tenemos todos los elementos para enunciar: , -y Teorema. Teorema del residuo. Sea ( ) , el residuo de dividir ( ) entre , - es ( ). Es decir ( ) ( )( ) ( ) ( ).

Demostración: ( )( ) Por el algoritmo de la división existen ( ) ( ) tal que ( ) ( ), donde ( ) ( )) ( ) o ( ). Por tanto constante. Por lo tanto ( ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) , si evaluamos en c se obtiene de donde se ( )( ) obtiene ( ) ( ).

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Teorema de la raíz y del factor Un interesante corolario del Teorema del residuo es el siguiente: Corolario (Teorema de la raíz y el factor). ( ) nos será muy útil para factorizar polinomios.

| ( ). Este corolario

Definición.  Se dice que es una raíz de multiplicidad ( ) del polinomio ( ) si ( ) | ( ) pero ( ) ( ).  Se dice que a es una raíz múltiple de si la multiplicidad de es .  Se dice que una raíz es simple si su multiplicidad es 1.

Ejemplos: 1. es raíz del polinomio ) | decir ( pero ( ( ) 2. -3 es raíz de

( ) ( , su multiplicidad es 2 ya que ) , la multiplicidad de -1 también es dos. , pues ( ) , su multiplicidad es uno.

) es

Un teorema muy útil para determinar la multiplicidad de una raíz requiere definir su derivada formal.

Definición. Sea ( ) polinomio en , -, su derivada es ( ) .

Otra definición muy útil que se generaliza de la propiedad del producto de los enteros es la siguiente: , Definición. Sean ( ) se llama divisor común de , si es divisor de cada uno de estos polinomios, todos los polinomios tienen a las constantes como divisores comunes, si dos polinomios solo tienen a las constantes decimos que son primos entre sí.

Para definir el análogo de máximo común divisor se necesita adaptar la definición al caso de polinomios, como se verá en la siguiente: Definición. Se llama máximo común divisor de los polinomios ( ) ( ) diferentes de cero al polinomio ( ) que es común divisor y que a la vez es divisible por cualquier otro divisor común de estos polinomios. El máximo común divisor de los polinomios ( ) ( ) se denota por ( ( ) ( )).

Ejemplo: El máximo común divisor de ( ) y ( ) , es el polinomio ( ) .

Aunque se puede ahondar en algoritmos para hallar el máximo común divisor de dos polinomios, nuestro interés es el siguiente teorema:

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Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios Teorema. Si el número es una raíz de multiplicidad del polinomio ( ), entonces para , éste será una raíz de multiplicidad de la primera derivada del polinomio; si , el número no será raíz de ( ). ) ( ), Demostración. Sea ( ) ( , donde ( ) ya no es divisible por ( ), ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) derivando ( ) se obtiene ( ) ( ) ( ) ( )-. Se observa que el primer término de la suma entre corchetes es divisible por ( ) mientras que el segundo no, así la suma no puede ser divisible por ) ( ). Por lo tanto aplicando el teorema de la raíz y el residuo ( es la máxima potencia de ( ) que divide a ( ).

Un resultado muy útil para determinar la multiplicidad de una raíz es el siguiente: ( )|( ).

Corolario. es una raíz múltiple de ( ) Ejemplo: 3 es raíz del polinomio de ( ) , ( ) pero ( ) . Así la multiplicidad de 3 es uno.

Teorema Fundamental del Álgebra Hay polinomios que no tienen raíces reales como , pero tienen como raíz al número complejo , de hecho esta es una forma de ampliar el sistema de los números reales, la introducción de este conjunto garantiza que cualquier polinomio tenga raíces aunque no sean números reales.

El siguiente es un teorema de existencia, no es constructivo: Teorema Fundamental del Álgebra de los números complejos. Todo polinomio con coeficientes reales, cuyo grado no sea menor que la unidad, tiene por lo menos una raíz, generalmente compleja.

La prueba de este teorema se estudia en los cursos de Variable compleja.

Factorización de un polinomio En el subtema 3.2.5. Teorema de la raíz y del factor, se dio la definición de cuando dos polinomios son primos relativos. Ahora se dará una definición de primos como en los enteros.

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Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios

, -( Definición. Sea ( ) ) decimos que ( ) es primo o irreducible en ( ) ( ) en , -, entonces , - si siempre que se tenga ( ) son polinomios constantes. Se dice que ( ) es reducible si se puede factorizar como producto de dos polinomios no constantes.

Ejemplo: Todos los polinomios de primer grado en cualquier campo son irreducibles.

Actividad 3. Polinomios Es momento de utilizar las propiedades de los polinomios, al plantear y resolver algunos problemas.

Actividad 4. Polinomios La siguiente actividad te ayudará a reforzar el álgebra de los polinomios, para ello realiza lo siguiente:

Evidencia de aprendizaje. Polinomios y Combinatoria

Cierre de la unidad En esta unidad has conocido las definiciones formales de los números naturales y los números enteros, la formalidad es importante porque da certeza en la existencia de estos objetos matemáticos como producto de la mente humana en relación con el conocimiento intuitivo que de ellos se tiene. Los números naturales son la base de los sistemas numéricos, porque a partir de ellos se van construyendo todos los demás sistemas numéricos, y de vital importancia para el programador de computadoras. Las propiedades de los números enteros conocidas desde los antiguos griegos, adquieren importancia en nuestro tiempo para los sistemas de seguridad de datos en la Criptografía. La combinatoria hará uso de las propiedades operativas de estos sistemas numéricos para resolver problemas de conteo. Es importante conocer la estructura de los enteros, pues se hallará una similitud de la estructura de los polinomios con sus dos operaciones de suma y producto, se encontrarán generalizaciones del teorema fundamental de la aritmética y el algoritmo de la división.

En esta unidad se abordaron los conceptos básicos para los polinomios y se presentó el teorema del residuo para la identificación de las raíces en los polinomios. Asimismo, se Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 16

Introducción al álgebra superior Unidad 3. Combinatoria y polinomios revisaron cuestiones generales sobre la teoría de la combinatoria para tratar los conceptos de ordenaciones, permutaciones y combinaciones, los cuales son útiles en la probabilidad, la estadística y el muestreo. Además, se presentó el teorema del binomio de Newton, que muestra que todo binomio puede ser elevado a cualquier potencia natural.

Con ello, estás listo(a) para continuar con la siguiente unidad, en donde estudiarás el plano cartesiano desde un punto de vista algebraico. Este plano cartesiano será retomado en Geometría analítica I y II, mediante vectores expresados como parejas ordenadas de números reales.

Para saber más Para fortalecer y complementar los conocimientos adquiridos en esta unidad, se te sugiere la lectura y revisión de los siguientes materiales:  





Interesante página sobre la aplicación de la aritmética en la Criptografía: http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/lessons/clock.html Historia de las matemáticas del siglo XVII a los comienzos del siglo XX, incluye unas secciones dedicadas a los trabajos de Peano sobre los números naturales: Collete, Jean Paul (2007). Historia de las Matemáticas II. México: Siglo XXI. Una historia completa sobre aritmética desde sus orígenes hasta la primera mitad del siglo XX: Ore, Oystein (1976). Number Theory and its History. USA: Dover Publications Inc. Interesante libro que incluye reflexiones sobre la idea de número en los pitagóricos: Livio, Mario (2009). ¿Es Dios un matemático? España: Ariel.

Fuentes de consulta Básica:  Bravo Mójica, A., Rincón Mejía, H., Rincón Orta, C. (2011). Álgebra superior.

México: Las Prensas de Ciencias.  Cárdenas Trigos, Humberto, Lluis, Emilio, Raggi, Francisco, (1973). Algebra Superior. México: Trillas.  Fregoso, Arturo (1980). Los elementos del lenguaje de la matemática 3. México: Trillas.

Complementaria:  Gentile, Enzo R. (1985). Aritmética elemental. USA: OEA.  Pérez Seguí, María Luisa. (2004). Combinatoria. México: UNAM.

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