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Presentación Contenido Temático Recursos Evaluación Bibliografía Créditos

Prof. Pedro Eche Querevalú CTA 5to de Secundaria 2012


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Presentación La circunferencia y parábolas son curvas que tienen una gran importancia en la Física y se ajustan a la descripción y a la representación matemática de muchos fenómenos naturales. Estas curvas tienen presencia e importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o no seamos conscientes de ello, tenemos muchas circunferencias y parábolas a nuestro alrededor. Hace poco se inauguró el parque de “Las aguas”, en el parque de la reserva de nuestra ciudad de Lima, aquí podemos observar como el agua producto de la aplicación de una fuerza ejercida sobre ella, y la fuerza gravitatoria forman hermosas figuras geométricas, entre ellas apreciamos hermosas parábolas.


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Contenido Temático MOVIMIENTO PARABÓLICO PARABÓLA

CARACTERISTICAS MOVIMIENTO CIRCULAR RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES ELEMENTOS MOVIMIENTO CIRCULAR EJERCICIOS Y PROBLEMA


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MOVIMIENTO PARABÓLICO La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola. Un MRU horizontal de velocidad VOx constante. Un MRUA vertical con velocidad inicial VOy hacia arriba. Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil. Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad. Ejemplos: Cuando una pelota es lanzada horizontalmente sobre una mesa y sale fuera de está, el movimiento que describe en el aire es curvilíneo. Si lanzamos una pelota en forma oblicua (con determinado ángulo) por el aire, la trayectoria que describe también es curvilínea, un estudio detallado nos llevará a la conclusión que estas trayectorias corresponden a parábolas. CONTINUA>>


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Composición del movimiento parabólico Galileo demostró que este tipo de movimiento se puede considerar compuesto de: 1°) Un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección horizontal. 2°) Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en la dirección vertical, similar a un lanzamiento vertical con aceleración de gravedad "g". CONTINUA>>


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MOVIMIENTO PARABÓLICO y v1

v1y vO

-g

vx v2x

v1x

Vfymax = 0 y = altura máxima

v2y

v2

VOy=VO.sen

vOx Distancia horizontal recorrida

O VOx=VO.cos 

R = Vxtvuelo

vOy

vR

x CONTINUA>>


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MOVIMIENTO PARABÓLICO

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MOVIMIENTO PARABÓLICO La existencia de la fuerza de la gravedad modifica la trayectoria. Supongamos que disparamos con distintas inclinaciones respecto a la horizontal. La citada fuerza actúa verticalmente hacia el centro de la tierra y produce una aceleración constante de 9,81 m/s2. El resultado de la composición de ambos movimientos es una trayectoria parabólica como la de la imagen.

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También conocido como movimiento Semi-parabólico. Imaginemos que lanzamos una pelota horizontalmente desde el borde de un edificio. Observemos que la pelota se mueve simultáneamente en línea vertical y en línea horizontal. Podemos estudiar este movimiento como la composición de dos movimientos rectilíneos. Y

V 0

h0 r

X

<<REGRESAR

alcance

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El cuerpo se mueve horizontalmente porque fue lanzado en esa dirección. Si despreciamos los efectos del aire, la velocidad del lanzamiento horizontalmente no tiene por qué alterarse, por lo tanto permanece constante. Se concluye que: “En la horizontal la pelota recorre distancias iguales en intervalos de tiempos iguales” En el eje X el movimiento cumple las ecuaciones del MRU. Alcance. x  v

x

.t .......... .. 1 

donde v x  v Ox

Donde: x= desplazamiento V =velocidad o rapidez t = tiempo

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En esta dirección, el cuerpo está en caída libre a partir del reposo; esto significa que: “en la vertical la pelota cada segundo que cae recorre distancias cada vez más grande”. Estas distancias siguen la serie propuesta por Galileo: 5 m, 15 m, 25 m … En el eje Y el movimiento cumple las ecuaciones de la caída libre. y 

1

g .t

2

........

2 donde g

2 

:

  9 ,8 m / s

Donde: g= aceleración de la gravedad t = tiempo

2

Si combinamos estas dos ecuaciones (1 y 2) encontramos la ecuación de la trayectoria, que corresponde a un segmento de parábola.

  g  2 y   . x  2  2V x 

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Propiamente el movimiento parabólico, llamado también tiro parabólico. Imaginemos que lanzamos una pelota hacia arriba en forma oblicua. La trayectoria que describe la pelota es una curva. Vamos a estudiar este movimiento como la composición de dos movimientos rectilíneos, como lo hemos visto en el lanzamiento horizontal.

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El cuerpo se mueve horizontalmente porque la velocidad de lanzamiento tiene un componente horizontal. Si despreciamos los efectos del aire, el componente horizontal de la velocidad permanece constante, por lo tanto: “En la componente horizontal la pelota recorre distancias iguales en tiempos iguales” En el eje X el movimiento cumple las ecuaciones del MRU. Alcance.

x  v x .t .......( 1 )

Donde: Vx = VOx .cos  (velocidad horizontal) es el componente horizontal de la velocidad inicial de lanzamiento. CONTINUA>>


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En esta dirección, el componente vertical de la velocidad está afectado por la aceleración gravitatoria, por lo tanto: En la componente vertical la pelota realiza un MRUV retardado en la subida y un MRUV acelerado en la caída, independientemente de su avance horizontal. En el eje Y el movimiento cumple las ecuaciones del MRUV. y  V

Oy

.t 

1

g .t

2

.......( 2 )

2 donde

:

g   9 ,8 m / s V

Oy

2

 V Oy sen  ...

(velocidad vertical) es el componente vertical de la velocidad inicial del lanzamiento

Si combinamos estas dos ecuaciones (1 y 2) encontramos la ecuación de la trayectoria, que corresponde a una parábola completa.

 g y   tan  . x   2 2  2V O cos 

 2 . x 


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En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (llamada eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. Partes:


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EJEMPLO: 1.- Una pelota es pateada desde el suelo lanzándola con una velocidad de 20 m/s formando 53° con respecto a la horizontal. Calcula su posición y velocidad luego de 3s. RESOLUCIÓN: 1.- Calculamos los componentes de la velocidad inicial. V

ix

 ( 20 m / s ) cos 53   ( 20 ).(

3

)  12 m / s

5 V

iy

 ( 20 m / s ) sen 53   ( 20 ).(

4

)  16 m / s

3.- Calculamos los componentes de la velocidad inicial luego de 3 s. V

3x

V

ix

 12 m / s

V

3y

V

iy

 g .t

V

3y

 (16 m / s )  (  9 . 8 m / s )( 3 s )

V

3y

  13 , 4 m / s

2

5

2.- Calculamos la posición luego de 3 s. x V

ix

.t  (12 m / s )( 3 s )  36 m

y V

iy

.t 

1

gt

4.- Calculamos el valor de la velocidad resultante luego de 3 s.

2

2 y  (16 m / s )( 3 s ) 

1 2

y  3 ,9 m

(  9 ,8 m / s )( 3 s ) 2

2

V

3

(12 )  (13 , 4 )

V

3

 18 m / s

2

2

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EJEMPLO: 2.- Desde una mesa de 1,6 m de alto se lanza una moneda con una velocidad horizontal de 7 m/s. Calcula el tiempo que demora en caer y la distancia horizontal que recorre desde el filo de la mesa.

RESOLUCIÓN Datos

y   1, 6 m V

x

 7m / s

g   9 ,8 m / s

2

2.- Calculamos la distancia horizontal

1.- Calculamos el tiempo de caída y 

1 2

g .t

2

  1, 6 m 

1 2

(  9 ,8 m / s ) t 2

2

 t 

4 7

s

x  V x . t  x  ( 7 m / s )(

4

s)  x  4m

7

Rpta.- El tiempo que demora em caer es 4/7 s y la distancia que recorre (alcance) la moneda es +4m CONTINUA>>


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MOVIMIENTO CIRCULAR En la figura se muestra el movimiento giratorio de la rueda de Chicago. Si tomamos un punto cualquiera de la rueda, observamos que describe una trayectoria circunferencial, por lo que decimos que realiza un movimiento circular. En nuestra vida diaria muchos objetos se mueven circularmente: las aspas de un ventilador, las manecillas del reloj, un CD Rom, las ruedas de los autos, de las bicicletas, y muchos otros objetos. Entonces definimos Movimiento circular como aqu茅l realizado en un plano por un m贸vil cuya trayectoria es una circunferencia.

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MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS

“Es todo cuerpo que describe el movimiento”

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MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS

Es la l铆nea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un m贸vil.

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MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS

“Es la porción de la trayectoria circular generada por el movimiento del móvil en un intervalo de tiempo”

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MOVIMIENTO CIRCULAR: ELEMENTOS

“Es el ángulo central generado por el movimiento del móvil en un cierto intervalo de tiempo”

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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) “Es aquel movimiento realizado en un plano donde el móvil describe una circunferencia pero su rapidez permanece constante”

Cuando un móvil gira con una rapidez angular constante, decimos que el movimiento que describe es circular uniforme. En este movimiento la rapidez angular media  m es igual que la rapidez angular instantánea  , por lo tanto se cumple:



 t

Donde: Posición angular Velocidad angular Tiempo

 t

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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME(MCU)

m Se denomina rapidez angular media al cociente entre el desplazamiento angular y el tiempo (t) empleado en su giro. En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo . El ' móvil se habrá desplazado en el intervalo de tiempo  t=t'-t       comprendido entre t y t'.

m 

 t

En el SI de unidades la rapidez angular se mide en radianes por segundo (rad/s) CONTINUA>>


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RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES En el movimiento circular, el desplazamiento angular  está relacionado con la longitud de arco L que recorre el móvil. Entonces podemos relacionar la rapidez angular  con la rapidez lineal o tangencial “v” y la aceleración angular con la aceleración lineal o tangencial “a”

L

L   .r 

t

 .r t

 v m   m .r

Donde: Desplazamiento angular  Rapidez angular Rapidez lineal v Aceleración angular  Tiempo t Longitud de arco L Radio r CONTINUA>>

v m  m .r 

v t

  .r t

 a m   m .r


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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV) Cuando un móvil gira con una aceleración angular constante, es decir, cuando su rapidez angular cambia uniformemente con el tiempo, decimos que el movimiento que describe es circular uniformemente variado. En este movimiento la aceleración angular media  m es igual que la aceleración instantánea  . Las ecuaciones en este movimiento son muy similares a las que hemos visto en el MRUV.

   i   .t 

2

 i

2

 2  .

   i .t 

1

 .t 2

2

   i      .t 2  

Donde: Posición angular Velocidad angular Aceleración angular Tiempo

 t

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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)

 Durante el movimiento circular del cuerpo, la rapidez angular media puede variar con el tiempo, es decir, el cuerpo puede ir incrementando o disminuyendo su rapidez de giro; este cambio se mide con la aceleración angular media. Si en el instante t la velocidad angular del móvil es w y en el instante t' la velocidad angular del móvil es w'. La velocidad angular del móvil ha cambiado  w=w' - w en el intervalo de tiempo  t=t'-t comprendido entre t y t'. Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

 

 t

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EJEMPLO:

3.-Un péndulo cónico, como muestra en la figura, tiene una esfera que gira con rapidez angular constante. Calcular la rapidez angular si se sabe que la esfera da 10 vueltas en 20 s. Resolución:  = Posición angular T= 20 s. Calculamos la rapidez angular



 t

 

10 ( 2  rad ) 20 s

Rpta.- La rapidez angular es

  3 . 14 rad / s

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EJEMPLO:

4.- Una rueda de 2 m de diámetro gira con rapidez angular de 12 rad/s. ¿Cuánto ha recorrido la rueda en 10 s? Resolución: El recorrido longitudinal de la rueda es igual a la longitud del arco recorrido por un punto de su periferia. Diámetro d = 2r 2=2r r=1m

L   .t . r

L   . r   .t . r L  (12 rad / s )( 10 s )( 1 m ) L  120 m

Rpta.- La rueda ha recorrido 120 m CONTINUA>>


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EJEMPLO:

5.- Un disco compacto acelera desde el reposo con una aceleración angular  =6rad/s2. Calcula la longitud (en km) que habrá recorrido un punto de la periferia del disco de radio 6 cm, durante 10 minutos. Resolución: 1.- Calculamos el desplazamiento angular    i .t   

1 2

1

 .t

L   .r

2

2

6 rad

  1080000

/ s

2

 600 s 

rad

2.- Calculamos la longitud de arco L:

L  (1080000 rad )( 0 , 06 m ) 2

L  64800 m L  64 ,8 km

Rpta.- La longitud que ha recorrido el disco es 64,8 km.


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Actividades interactivas


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Créditos Concepto movimiento parabólico http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/comp_movimientos/parabo lico.htm Movimiento parabólico http://rsta.pucmm.edu.do/tutoriales/fisica/leccion6/6.1.htm Movimiento de proyectiles http://www.walter-fendt.de/ph14s/projectile_s.htm Movimiento de proyectiles simulador aplle http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/Tiro/Tiro.htm Movimiento parabólico (simulador) http://platea.pntic.mec.es/curso20//77_newton/html7/tiro_parabolico.htm Movimiento circular http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htm Simulador Movimiento circular uniforme http://www.walter-fendt.de/ph14s/circmotion_s.htm Imagen de rueda http://fotos.diariosur.es/200907/movimiento_circular-640x640x80-1.jpg Movimiento circular: MCU – MCUV http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/circular/circular/circular.xhtml Simulador MCU http://www.aprendebrasil.com.br/sites/secretarias/aprendeamericas.com/scorm/ CACM/popcacm_esp.asp?URL=/sites/secretarias/aprendeamericas.com/scorm /Esp/sco010/index.htm?e=27&q=1&d=1 Ejemplo MCU: el ventilador http://www.educ.ar/educar/site/educar/Gira,%20gira%20el%20ventilador.html? uri=urn:kbee:4c809710-360e-11dc-81e7-00163e000024&pageuri=urn:kbee:ff9221c0-13a9-11dc-b8c4-0013d43e5fae

Imagen paseo de aguas http://www.miguelparedesharo.com/wp-content/uploads/2009/10/c6.jpg Imagen de paseo de aguas 2 http://img.webdelanovia.com/wpcontent/uploads/2008/03/Circuito%20magico%20de%20las%20aguas%20Parque%20de%20la %20Reserva%204.JPG Pendiente http://www.educaplus.org/movi/3_1pendiente.html

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