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Presentación Contenido Temático Recursos Evaluación Bibliografía Créditos

Prof. Pedro Eche Querevalú CTA 5to de Secundaria 2012


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Presentación Si deseamos tener toda la información posible del viento, no solo necesitaremos su intensidad, por ejemplo 60 km/h, además es necesario saber su dirección y sentido. No es lo mismo para un velero que quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h hacia el mar que hacia la costa. Existen muchas magnitudes físicas cuya descripción completa exige conocer su intensidad y dirección. Una forma de describir un viento a 60 km/h de forma sencilla es mediante una flecha cuya longitud sea proporcional a su velocidad y que apunte en la dirección del viento. A estas flechas se les denomina vectores, y a su magnitud que los miden “vectoriales” Hermann Grassmann


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Contenido Temático DEFINICIÓN DE VECTORES

MAGNITUDES ESCALARES MAGNITUDES VECTORIALES PROPIEDADES DE UN VECTOR DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR

VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO OPERACIÓN CON VECTORES: IGUALDAD DE LOS VECTORES OPERACIÓN CON VECTORES: ADICIÓN OPERACIÓN CON VECTORES: SUSTRACCIÓN EJEMPLOS


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MAGNITUDES FÍSICAS


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Magnitudes Escalares Son aquellas magnitudes físicas

que necesitan sólo de un número (puede ser positivo o negativo) y

de una magnitud para quedar definidas. Por lo tanto es una magnitud que queda definida completamente por una cantidad y una unidad apropiada. Por ejemplo: el tiempo, temperatura, volumen, longitud,

masa, carga eléctrica, etc


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Magnitudes Vectoriales Son aquellas magnitudes físicas que, además de tener un valor numérico y una

unidad, necesitan de una dirección y un sentido para quedar correctamente

definidas. Muchas magnitudes se pueden representar

en forma gráfica por medio de una flecha (vector). Ejemplos de magnitudes vectoriales: La velocidad. La aceleración. La fuerza. El campo eléctrico, etc.


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Vector Un vector es un segmento de recta orientado, caracterizado por: Su origen o punto de aplicación: El punto O en Fig. 1. Su extremo: A en la figura 1. Su dirección: La dirección de la recta que lo contiene y el ángulo que forma con el eje de las abscisas u ordenada(la recta r en la figura 1). Su sentido: Indicado por la punta de la flecha. Su módulo: La longitud del vector. Se designa escribiendo el nombre del vector entre dos líneas verticales. Para el vector Como se indica también en la figura, un vector se suele designar escribiendo su origen y su extremo con una flecha encima , o bien, simplemente mediante una letra mayúscula o minúscula con una flecha encima Entendemos por vector unitario un vector de módulo la unidad: = 1. Por convención, la dirección y el sentido de un vector están determinados por el ángulo que forman el vector con el eje +X.


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Operación con Vectores: Igualdad de los vectores: Dos vectores y pueden definirse como iguales si tienen la misma magnitud y apuntan en la misma dirección. Es decir, = , sólo si = y, los dos actúan a lo largo de direcciones paralelas. Como se pude ver en la imagen de la derecha. También:


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Operación con Vectores: Adición Cuando dos o más vectores se suman todos deben tener las mismas unidades. Existen diferentes métodos para calcular la suma de vectores, entre los cuales se tienen los siguientes:  El método de adición del triángulo

Resultante de dos vectores coplanares y concurrentes Cuando el vector A se suma al vector B la resultante R es el vector que va desde el origen del vector A hasta la saeta o cabeza del vector B.

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Operación con Vectores: Adición  El método de adición del triángulo Resultante de dos vectores coplanares y concurrentes

B

A

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Operación con Vectores: Adición  MÉTODO DEL POLÍGONO El vector que completa el polígono: Cuando se suman más de dos vectores, por ejemplo hallar la suma de los vectores A + B + C + D la resultante R, es el vector que va desde el origen del primer vector hasta la punta del último vector, en este caso del vector A (primer vector) hasta la punta del último vector D.

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Operación con Vectores: Adición  MÉTODO DEL POLÍGONO El vector que completa el polígono:

D C

B A

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Operación con Vectores: Adición La regla de adición de paralelogramo: - En la siguiente construcción los orígenes de los dos vectores A y B están juntos y el vector resultante R es la diagonal de un paralelogramo con lados A y B. Algunas de las leyes que se utilizan en la suma de vectores son las siguientes: La ley conmutativa y la asociativa.

- Cuando la suma de vectores A y B es independiente del orden, lo cual le da origen a la ley conmutativa de la suma, esta se puede observar a continuación:

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Operación con Vectores: Adición Adición de paralelogramo: MÉTODO ANALÍTICO

B

R=A+B

  A

R 

A  B  2 AB cos  2

2

 - 90 <

< 90 +

La dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos.

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Operación con Vectores: Adición  La regla de adición del paralelogramo : Cuando tres o más vectores se suman, y su total es independiente de la forma en la que se agruparon los vectores individuales. Lo antes mencionado recibe el nombre de la ley asociativa de la suma de vectores.


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Operación con Vectores: Sustracción  Opuesto (También llamado: Negativo) de un Vector: Es cuando se suma dos vectores con la misma magnitud pero con diferente sentido, lo cuál ocasiona que el resultado de la operación sea cero, como un ejemplo tenemos

A + (-A) = 0.  Diferencia de vectores: Es la sustracción de vectores A – B = D se usa la definición del negativo de un vector. En esta operación se da de la siguiente manera: A - B en donde el vector -B sumado al vector A, que podemos reemplazar por: A + ( -B ) = D

Por lo tanto: ( A - B = A + (-B) )


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Operación con Vectores: Sustracción  Diferencia de vectores:

A–B=D

A + ( -B ) = D

B A -B R

=D


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Propiedades de un Vector  Opuesto:

A  Nulo:

 Vector Unitario:

-A

0= A + ( -A )


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Descomposición rectangular de un vector Un vector oblicuo puede expresarse como la composición de dos vectores perpendiculares; estos vectores son llamados componentes rectangulares. Los componentes rectangulares se trazan sobre los ejes de coordenadas X e Y desde el origen de coordenadas. Componentes rectangulares

Módulo del componente horizontal

Módulo del componente vertical

Indica la dirección y el sentido de

Observación: Cuando un vector está sobre un eje de coordenadas, el sentido del vector está dado por el signo del eje respectivo, los vectores orientados hacia la derecha o hacia arriba son positivos y los vectores orientados hacia la izquierda o hacia abajo son negativos.


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Descomposici贸n rectangular de un vector Componentes rectangulares


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Ejemplo 1 ď ś Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores:

A

B C

A

B R = 2C CONTINUA>>


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Versores: Vectores unitarios en el espacio Para indicar la direcci贸n y el sentido de los componentes de un vector, usamos los vectores unitarios llamados versores. Versores rectangulares en dos dimensiones

i: es el versor que indica la direcci贸n del eje +X J: es el versor que indica la direcci贸n del eje +Y K: es el versor que indica la direcci贸n del eje +Z

Versores rectangulares en tres dimensiones


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Ejemplo 2  Determinando la resultante de los siguientes vectores:

4u Donde

 R

 A es la resultante:

3u  B

   R  A B

7u CONTINUA>>


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Ejemplo 3

 A

 B

 Determinando la resultante de los siguientes vectores:

8u

+

4u

=

4u

   R  A B CONTINUA>>


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Ejemplo 4  Determinando la resultante de los siguientes vectores:

 A

 B

   R  A B La magnitud en este caso, no se puede determinar directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla.

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Ejemplo 4  Determinando la resultante de los siguientes vectores:

 A

 B

   R  A B Por Pitágoras podemos determinar ahora la magnitud del vector resultante(R):

R 

3 4 2

2

 5u


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Recursos Haz clic en “Actividades interactivas” para ingresar para desarrollar las actividades educativas lúdicas


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Créditos Imagen de la presentación http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hgrassmann.jpg ¿Qué es un vector? http://bacterio.uc3m.es/docencia/profesores/mongema/Industriales/Apuntes/matematicas.pdf http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Vectores/Vectores.html

Vectores http://www.aulafacil.com/matematicas-coordenadas/curso/Lecc-4.htm http://www.tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici%C3%B3n_de_vectores.htm

Historia introducción de vectores http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geova-walter/node1.html Espacio vectorial http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

Ejercicios http://www.educaplus.org/play-115-Magnitudes-escalares-y-vectoriales.html Suma de vectores http://andromeda.ls.utp.ac.pa/mai/notas/vectores/#cantidad Simulador de vectores: interactivo http://www.perueduca.edu.pe/recursos/simuladores/CTA_mask_simul_FIS_30.html Laboratorio Virtual http://www.educaplus.org/index.php?mcid=2


Magnitudes escalares y vectoriales