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ESPIRALES CON GEOGEBRA Paula Sancho Martínez 1º Bachillerato A

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Índice 1. ¿Qué es una espiral?……………………………………………………………3 2. Tipos de espirales………………………………………………………………4 3. Espiral dorada o áurea………………………………………………………….7 3.1 ¿Qué es el rectángulo dorado o áureo?……………………………… 7 4. La espiral dorada o áurea con Geogebra………………………………………. 9 5. Bibliografía……………………………………………………………………. 14 6. Conclusiones……………………………………………………………………15

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Las espirales están presentes de manera constante en la naturaleza: conchas, fósiles, telarañas y hasta en algunas escaleras podemos apreciar esta figura matemática:

Ilustración 1: Huracán desplazándose sobre el Mar Caribe www.quo.es/naturaleza/espirale s-de-la-naturaleza

Ilustración 3: Escalera

Ilustración 2: Piña en forma de espiral logarítmica

https://ar.pinterest.com/pin/3399514 https://scargirl.wordpress.com/20 71847201091/ 14/06/29/science-and-spirit-thirdeye-blind-the-pineal-gland-part-3/

Pero, ¿qué son en realidad?...

1. ¿Qué es una espiral? Antes de definirla fijémonos en su origen etimológico: “spiralis” Esta palabra procedente del latín está compuesta por dos partes: “spira”, que es sinónimo de “tirabuzón”, y el sufijo “-al”, que puede traducirse en su conjunto como “de forma helicoidal”. Por lo tanto podemos afirmar que, una espiral es una línea curva generada por un punto que a medida que se va alejando progresivamente del centro, va girando alrededor de él. Ilustración 4: Espiral de Arquímedes www.matematicasdigitales.com/espiral es/

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2. Tipos de espirales Encontramos una gran variedad de espirales atendiendo a la forma en la que se va alejando del centro, es decir a la curvatura y el incremento del radio de curvatura, los dos parámetros que van a definir el radio de la espiral en cada punto, su distancia respecto al origen y el ángulo ejercido hasta llegar a ese punto. De este modo destacamos las siguientes espirales bidimensionales:

Ilustración 5: Espiral de Arquímedes

Espiral de Arquímedes (o uniforme): Se trata de una curva que se aleja de un punto fijo (el centro) con una velocidad angular constante, es decir la distancia entre vuelta y vuelta es siempre la misma. Es la espiral que todos tenemos en mente cuando pensamos en una de ellas. Esta espiral puede escribirse mediante la siguiente ecuación: r=a+b θ (siendo r la distancia al origen, a y b constantes y θ el ángulo ejercido)

https://www.ecured.cu/Espiral_de_Arqu %C3%ADmedes

Espiral logarítmica: También conocida como espiral equiangular, de crecimiento, de Bernouilli o de Fibonacci es una de las más fascinantes y más numerosas en la naturaleza. Una de sus ecuaciones es: θ=log (r / a)

Se caracteriza porque la expansión y la rotación tienen un vínculo exponencial. Esta es la gran diferencia que presenta respecto a la de Arquímedes, ya que la logarítmica crece respecto al producto de valores anteriores, razón por la cual crece mucho más rápido que otras espirales.

Ilustración 6: Espiral logarítmica o de Fibonacci laplace.us.es/wiki/index.php/Espiral_log arítmica

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Además, está estrechamente relacionada con el número de oro. De este modo podemos hablar de la espiral dorada o áurea, un tipo de espiral logarítmica asociada a las características del rectángulo de oro del cual hablaremos más adelante.

Ilustración 7: Espiral dorada o áurea https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_d orada •

Espiral de Fermat: También conocida como espiral parabólica, es una espiral bastante especial y difícil de encontrar de forma natural. Se puede decir que es un caso especial de la espiral de Arquímedes, sin embargo su fórmula contiene una raíz cuadrada, por lo que cada caso tiene dos soluciones. Es decir, a cada valor del ángulo le corresponden dos valores del radio, uno de ellos positivo y el otro negativo. Ilustración 8: Espiral de Fermat Es como si fueran dos Espirales de Arquímedes, https://es.wikipedia.org/wiki/Espir al_de_Fermat que salen desde el mismo punto u origen (punto es común en las dos espirales) y después cada una coge una dirección diferente. Este tipo de espiral contiene la ecuación polar: r 2=a 2 θ

Espiral hiperbólica: También conocida como espiral recíproca es una curva plana trascendental, es decir una curva que no es algebraica. Esta espiral se puede representar mediante la siguiente ecuación polar: r=a/θ

Comienza desde una distancia infinita (radio muy grande) y se enrolla cada vez más rápidamente mientras se aproxima al centro de la espiral, reduciendo así su radio. Ilustración 9: Espiral hiperbólica https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_hip erbólica#/media/File:Hyperspiral.png

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Clotoide: También denominada radioide de arcos o espiral de Cornu. La clotoide es una espiral en la que el radio de curvatura y la distancia hasta el centro son inversamente proporcionales, es decir, que conforme te vas alejando del centro, el radio de curvatura va disminuyendo progresivamente. Es por ello que en el punto de origen de la curva, el radio es infinito. Se puede expresar mediante la siguiente expresión matemática: p· s=C 2

Ilustración 10: Espiral clotoide

(siendo p el radio de curvatura, s el https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide#/m desarrollo o arco y C la constante de la edia/File:Cornu_Spiral.svg espiral)

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3. La espiral dorada o áurea La Espiral dorada (denominada también espiral áurea) es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado. La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada. Pero, antes definamos el concepto de rectángulo dorado...

Ilustración 11: Espiral dorada aureo.webgarden.es/menu/numero-aureo/el-rectangulo-aureo

3.1 ¿Qué es el rectángulo dorado o áureo? El rectángulo dorado (o áureo) es un rectángulo muy especial. Esto se debe a la proporcionalidad que existe entre sus lados igual a la razón áurea, es decir si dividimos la longitud del lado largo entre la longitud del lado corto obtenemos la misma proporción que si dividimos la suma de los dos lados (el corto y el largo) obtenemos el número de oro: a/ b=( a+b)/ a=Φ Arquitectos, pintores, escultores de todas las épocas adoptaron esta Ilustración 12: Cálculo del numero de oro (phi) Φ razón como modelo de armonía y belleza trasladando estas https://jaaguirrecaballero.wordpress.com/2010/05/28/ proporciones a sus edificios, templos el-rectangulo-aureo-la-divina-proporcion/ y construcciones. También se conoce a este número como razón áurea, sección áurea y los renacentistas lo bautizaron como Divina Proporción.

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Es fascinante ver cómo aparece esta espiral dorada en la naturaleza desde conchas de moluscos, hasta la formación de galaxias, pasando por la forma que toman los huracanes o los girasoles. Pero es que además, históricamente ha sido utilizada en la arquitectura y en la pintura como sinónimo de belleza y proporción perfecta.

Ilustración 14: Nautilus, descendiente actual del ammonites Ilustración 13: El rostro de “La Gioconda” elaborado mediante el rectángulo áureo fuensantasantos.blogspo t.com.es/2012/07/alguna -vezse-ha-preguntadoporque-la.html

https://estocastico.org/2012/11/08/esuna-prova/

Ilustración 15: Cola de camaleón elautor.blogspot.com.es/2006/1 1/matemticas-fibonacci.html

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4. La espiral dorada o áurea con Geogebra Ahora vamos a explicar como dibujar este tipo de espirales mediante el Geogebra: 1 En primer lugar dibujaremos el rectángulo áureo. 2 Creamos dos puntos (A(0,1) y B(0,0)) y generamos un polígono regular a partir de esos dos puntos.

3 Encontramos el punto medio en base a esos dos puntos (M (0’5 , 0))

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4 Trazamos un segmento de recta que vaya desde el punto medio hasta uno de los vĂŠrtices de nuestro cuadrado que serĂĄ el radio de nuestra circunferencia.

5 Creamos la circunferencia, tomando el punto medio como centro y el segmento de recta como radio:

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6 Trazamos rectas paralelas y creamos un punto en la intersección entre circunferencia y recta paralela ( E (1’62,0) y F (1’62,1) respectivamente)

7 Ocultamos las líneas guías, paralelas, cónicas y segmentos dejando únicamente los cuatro vértices del polígono inicial, y creamos un polígono:

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8 Y ahora comenzamos a crear cuadrados inscritos, obteniendo como resultado nuestro rectángulo áureo o dorado:

9 Creamos segmentos de arcos basados en dos puntos (del punto E al P hasta N, del F al N hasta el A….y así sucesivamente):

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Y ya tendríamos nuestra espiral dorada!! Si quisiéramos podríamos mejorar la presentación aumentando el grosor de los segmentos, cambiando el color….

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5. BibliografĂ­a http://www.matematicasdigitales.com/espirales/ https://definicion.de/espiral/ https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral https://www.ecured.cu/Espiral www.ite.educacion.es/formacion/enred/web_espiral/matematicas/espiral%20matem.htm https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_dorada dma.aq.upm.es/profesor/casas_a/L02-DOC%20Espirales.pdf https://www.youtube.com/watch?v=1DfIUQA_oz8 https://www.geogebra.org/material/show/id/440679 https://www.geogebra.org/m/R7xYjTCF pinturajuanmacontreras.blogspot.com.es/2016/05/ejemplo-de-proporcion-traves-de-unode.html

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6. Conclusiones Después de realizar este trabajo y profundizar en los diferentes tipos de espirales, he descubierto una gran cantidad de información que aunque no vaya a usarla en mi vida diaria, es un concepto indispensable en la naturaleza y podemos encontrarlo en numerosos monumentos antiguos de gran importancia. Además he descubierto una herramienta nueva, Geogebra, bastante interesante con la que podemos representar una gran cantidad de fórmulas, figuras… y conceptos que hemos dado en clase.

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