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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior Instituto Universitario de Tecnología ‘’Antonio José de Sucre’’

Limite Matemático

Integrantes: Patricia Carta C.I: 28083391

Valencia, 14 de abril de 2019


¿Qué es? El término que ahora vamos a analizar es interesante recalcar que está formado por la unión de dos vocablos que tienen su origen etimológico en lenguas antiguas. Así limites procede de la palabra latina limes que es el genitivo de limitis que puede traducirse como borde o frontera de algo. Por su parte, matemáticos es una palabra que tiene su citado origen en el griego y concretamente en el término mathema. Este puede definirse como el estudio de un tema o asunto determinado. La división que marca una separación entre dos regiones se conoce como límite. Este término también se utiliza para nombrar a una restricción o limitación, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto físico y al extremo a que llega un periodo temporal. Para la matemática, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor. Una definición informal del límite matemático indica que el límite de una función f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x)sea tan cercano a T como se pretenda. No obstante, además del límite citado, no podemos obviar que existen otros muy importantes en el ámbito de las Matemáticas. Así, también se puede hablar del límite de una sucesión que puede ser existente o único y divergente, en el caso de que los términos de aquella no converjan en ningún punto. La definición formal del límite matemático fue desarrollada por diversos teóricos de todo el mundo a lo largo de los años, con trabajos que constituyeron la base del cálculo infinitesimal.


Límite de una sucesión El límite de una sucesión es uno de los conceptos mas antiguos del análisis matemático. Es el valor al que tienden los términos de la sucesión cuando toma valores muy grandes. Se representa mediante, y se lee limite cuando tiende a mas infinito de sub. Este concepto está estrechamente ligado al de convergencia. El límite de una sucesión numérica {an} en muchos de los casos existe. Es cuando sus términos van aproximándose a un valor L. Y a este valor se le denomina límite. Los límites de las sucesiones se calculan siempre en el infinito, aunque no todas las sucesiones tienen límites. A las sucesiones que tienen limite finito se les denomina sucesiones convergentes. Se escribe: El límite de {an} es L. Una sucesión {an} tiende a un valor numérico L, cuando los términos de la sucesión an se aproximan a L tanto como se desee, para todos los lugares n de la sucesión a partir de un lugar arbitrario N tan grande como se quiera. Dicho de otra manera, en una sucesión numérica {an}, para que L sea su límite, a todo debe existir un entero natural N tal que si entonces |an – L | < ε.


Límite de una función La idea intuitiva de limite forma parte del acervo popular. Tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático, esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo infinitamente pequeños (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito). Noción de límite de una función Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x=a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a. En términos matemáticos se expresa como:

Dado el punto a, y según la anterior definición, existen dos formas de aproximar x a a: desde valores x> a (por la derecha) y desde valores x<a (por la izquierda). En cada caso se obtienen valores denominados límite por la derecha (x-----a + ) y limite por la izquierda (x-----a-). Por definición, por definición, para que exista el límite de una función ha de cumplirse que existan los dos limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y que ambos sean iguales. Ello se expresa como:

Propiedades de los limites Dadas dos funciones f (x) y g (x) que tienen limite en un punto a, se cumplen las siguientes propiedades:  El límite de la suma de ambas funciones es igual a la suma de los limites.  El límite de la diferencia se calcula como la diferencia de los limites  El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites.  El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los limites, siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero


 El límite del producto de una constante por una función viene determinado por la multiplicación de la constante por el límite de la función. Estas propiedades se expresan matemáticamente como sigue:

Asíntotas verticales y horizontales Si una función f(x) crece indefinidamente cuando el valor de la variable x, tiende a a, se dice que su límite es infinito (+∞, si el crecimiento es en sentido positivo, y -∞ , si lo es en sentido negativo). Análogamente, también es posible definir límites de una función cuando el valor de x tiende a +∞ o a-∞. Entonces, se dice que una función f(x) tiene por asíntota vertical la recta cuya ecuación es x=a, cuando al menos existe uno de los limites laterales de la función en el punto a y dicho límite es +∞ o -∞. De igual forma, la función f(x) tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y=b, cuando existe al menos uno de los límites de la función en el caso de que x tienda a +∞ o -∞ y dicho límite sea b.

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