Brevi note sulla Somma dei Quadrati di Interi

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Patrizio Gravano

BREVI NOTE

marzo 2020



Stesura provvisoria

PATRIZIO GRAVANO

BREVI NOTE SULLA SOMMA DI QUADRATI DI INTERI

Questa breve nota attiene allo studio della seguente questioneâˆś a quali condizioni la somma di quattro quadrati e’ il quadrato di un intero. In altri termini ci si deve chiedere a quali condizioni risulta vera la seguente relazione đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 + đ?‘? 2 + đ?‘‘2 = đ?‘˜ 2 e cioe’ sia k intero assoluto quando a, b, c, d sono quattro interi assoluti. Vi sono dei casi banali che conducono a soluzioni banali o note. Ad esempio se b=c=d=0 la condizione risulta verificata per a intero. Un caso banale che conduce a soluzioni non banali e’ quello per il quale sia c=d= che conduce alla equazione đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = đ?‘˜ 2 . In questo caso le soluzioni non banali sono quelle di Eulero (terne pitagoriche). Esiste un caso banale evidente che e’ quello per il quale vale la condizione a= b=c=d≠0 . In questo caso risulta đ?‘Ž2 + đ?‘Ž2 + đ?‘Ž2 + đ?‘Ž2 = đ?‘˜ 2 da cui 4đ?‘Ž2 = đ?‘˜ 2 da cui se ci si limita ai numeri interi assoluti si ha k =2 a , che per la condizione su a e’ un intero assoluto. Evidentemente il caso piu’ generale e’ quello per il quale sia a≠b≠c≠d≠0 .


Avendo l’intento di risolvere la questione nel caso piu’ generale ho ipotizzato di dare della questione algebrica una interpretazione geometrica definendo una particolare funzione che associ al numero k il numero f(k)= 1 ed opportunamente f(a), f(b), f(c) e f(d) introdotta non nel senso classico delle funzioni di una variabile reale, cioe’ non definita con il significato che nel piano x,y ha la scrittura y = �(�) , �

đ?‘“

đ?‘“

In altri termini ho imposto k→ 1 ed anche a → đ?›ź ∈ đ?‘„ , b → đ?›˝ ∈ đ?‘„ dovendo essere imposta la condizione đ?›ź+đ?›˝ =1 (parte da ampliare, ma non essenziale) In buona sostanza sono partito da una ipotesi di esistenza, ovvia, di đ?‘˜ 2 intero per k intero e ne ho dato una banale rappresentazione di geometria analitica come da figura seguente.

k

k Quindi un quadrato di lato k essendo tratteggiata la retta che individua la diagonale di essa. La impossibilita’ di quaterne (a,b,c,d) costituite da quattro interi si evince da una osservazione costruttiva sulla diagonale di essa. Infatti l’esistenza della soluzione nel caso a= b=c=d≠0 corrisponde alla costruzione di quattro quadrati di lato

đ?‘˜ 2

essendo dato k (cioe’ avendo supposto risolto il problema, o

meglio avendo supposto esistente il quadrato di area đ?‘˜ 2).


I casi generali possono essere ricondotti al caso descritto dalla seguente figura sempre da intendersi riferita ad un piano cartesiano Oxy.

Da tale rappresentazione si evince che un quadrato di dato lato e’ sempre scomponibile nella somma di due quadrati e di due rettangoli, questi ultimi eguali aventi la stessa area . Non deve trarre in inganno il fatto che si abbiano anche due rettangoli. Cio’ che pero’ rileva e’ che essi sono eguali e quindi anche ammesso che uno di essi abbia area eguale ad un quadrato perfetto (un esempio potrebbe essere a = 1 , đ?‘? = 49 đ?‘žđ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ đ?‘ đ?‘–đ?‘Ž đ?‘˜ = 50) si avrebbe đ?‘? 2 = đ?‘‘2 = 49 = 72 e non come si era posto đ?‘? 2 ≠đ?‘‘2 . Per ogni k intero fissato e quindi dato đ?‘˜ 2 non possono esistere quattro interi a, b, c, d, tutti non nulli per i quali sia đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 + đ?‘? 2 + đ?‘‘ 2 = đ?‘˜ 2 Deve in particolare essere per un dato đ?‘˜ 2 vero che đ?‘? = đ?‘‘ = đ?‘Žđ?‘? Pertanto l’aver posto dato k (potendosi ammettere valido il ragionamento per ogni k intero) si evince che đ?‘˜ 2 non puo’ esprimersi come somma di quattro quadrati di interi, potendosi, per contro, scrivere đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 + 2đ?‘Žđ?‘? = đ?‘˜ 2 cioe’ (đ?‘Ž + đ?‘?)2 = đ?‘˜ 2


Alcune brevi osservazioni sul caso n= đ?&#x;‘ nell’equazione di Fermat Gia’ nel XIX secolo fu affrontato e risolto in via generale il teorema di Fermat nel caso n = 3, essendo stato evidenziato che non esistono terne intere (a,b,c) che verificano l’equazione đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 = đ?‘? 3 Il caso piu’ generale (riferito a n = 3) presuppone đ?‘Ž ≠đ?‘? ≠đ?‘? ≠0 . Vi sono casi particolari che non sono soluzioni di đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 = đ?‘? 3 quali ad esempio l’ipotesi đ?‘Ž = đ?‘? per il quale si ha 2đ?‘Ž3 = đ?‘? 3 da cui

đ?‘?3 đ?‘Ž3

= 2 Pertanto deve essere vera la condizione đ?‘Ž = đ?‘? = 2đ?›ź (cioe’ un numero

pari ). Risultando incompatibile la condizione đ?‘Ž = đ?‘? con l’essere tali numeri dispari. Si puo’ scrivere (2đ?›ź)3 + (2đ?›ź)3 = đ?‘? 3 da cui 2(2đ?›ź)3 = đ?‘? 3 e quindi 16đ?›ź 3 = đ?‘? 3 o meglio quindi 42 đ?›ź 3 = đ?‘? 3 . Si osservi che comunque sia la scomposizione in fattori il primo membro non puo’ mai essere il cubo di un intero. Pertanto in ogni caso (a, a, c) non soddisfa l’equazione nel caso n= 3. A conclusione negativa si perviene anche nel caso in cui (a,b,c) siano una terna pitagorica. In questo caso infatti da đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = đ?‘? 2 (vera per definizione) seppur in modo laborioso si puo’ moltiplicare tale relazione per a, per b e per c e sommare le tre relazioni membro a membro. Sviluppati i calcoli ed elisi i termini eguali si ottiene la relazione đ?‘? 3 = đ?‘Ž2 đ?‘? + đ?‘? 2 đ?‘? . Dati a e b i numeri đ?‘Ž2 đ?‘? đ?‘’ đ?‘? 2 đ?‘? potrebbero essere cubi di un numero intero ad esempio se đ?‘Ž = đ?‘? = đ?‘? che conduce ad un risultato palesemente assurdo. Questo non e’ l’unico caso possibile. E’ noto che se (x, y, z) e’ una terna pitagorica elementare anche (2x, 2y, 2z) e’ una terna pitagorica, come e’ immediato desumere. E’ utile ricordare che una terna elementare non puo’ essere costituita da tre numeri pari. Sia b il numero pari elemento di una terna pitagorica. Si puo’ scrivere đ?‘? = đ?œ‡2đ?œ— (per una opportuna coppia (đ?œ‡, đ?œ—) di interi assoluti).


Quindi si ha đ?‘? 2 = đ?œ‡22đ?œ— . Poiche’ c e’ dispari, per ipotesi, esso nella scomposizione non puo’ contenere il fattore 2 ad esponente maggiore di 1 quindi il numero đ?‘? 2 đ?‘? non puo’ essere il cubo di un intero . A questo punto non e’ piu’ neppure rilevante indagare sulla natura del numero đ?‘Ž2 đ?‘?.

In definitiva ∀(đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) ∈ đ?‘ 3 ⎚ đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = đ?‘? 2 l’equazione đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 = đ?‘? 3 non ammette soluzioni intere. In realta’ e’ noto dal XIX secolo che comunque si prendano tre interi assoluti l’equazione đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 = đ?‘? 3 non ammette soluzioni intere.

A questa dimostrazione manca il caso (a,b,c) interi ma non appartenenti ad una terna pitagorica. E’ un caso residuale che mi riprometto di considerare atteso che tertium non datur. Tre interi possono costituire o meno una terna pitagorica. Mi riprometto di studiare anche questo caso particolare. Patrizio Gravano Roma, 24 marzo 2020