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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

STUDIO DI FUNZIONI MATEMATICHE numero 34 - ottobre 2017


INTRODUZIONE

Questo numero di Appunti matematici e’ dedicato allo sviluppo della parte applicativa dell’Analisi matematica 1 e 2, essendo, in gran parte, dedicato allo studio delle funzioni.

La prima parte riguarda lo studio delle funzioni reali di una variabile reale e ricomprende tutte le funzioni matematiche usualmente studiate nei corsi di Analisi 1, dalle successioni numeriche, alle funzioni polinomiali, a quelle razionali fino alle esponenziali (e alla funzione inversa, quella logaritmica) oltre alle funzioni trigonometriche circolari e alle funzioni iperboliche e relative funzioni inverse. La seconda parte dell’elaborato riguarda le funzioni di � � → R mente la terza parte introduce le funzioni vettoriali e le loro applicazioni alla fisica.

L’elaborato essendo nato da una mia esigenza personale di ripasso della materia non e’ un testo che contiene la materia nel suo sviluppo storico ne’ tantomeno e’ strutturato come testo di apprendimento.

Non ne avevo la pretesa‌ Esso piuttosto puo’ risultare utile per ripassare la materia.

Ho ritenuto comunque utile pubblicarlo sperando che possa essere di qualche utilita’ a qualche lettore‌

In alcune parti credo di essere stato anche originale nelle impostazioni.


Mi sono ripromesso di elaborare un testo sugli integrali, che pubblichero’ nel prossimo numero di Appunti matematici (novembre-dicembre) e un successivo testo sui limiti che ho deciso di mettere in cantiere proprio in questi giorni quando, rivedendo le dimostrazioni đ?›ż − đ?œ€

ho pensato a qualche approccio originale che ho condensato,

seppure con una certa rapidita’ nell’ultimo paragrafo dell’elaborato.

Patrizio Gravano

patrizio.gravano@libero.it


FUNZIONI REALI DI UNA O PIU’ VARIABILI REALI 1. Le funzioni polinomiali Esse sono funzioni matematiche della forma y = ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘– . đ?‘“

In termini formali si scrive f : R → R | x → ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘– . Il grado della funzione polinomiale e’ k se đ?‘Žđ?‘˜ ≠0 e đ?‘Žđ?‘˜+đ?‘› = 0 ∀n intero assoluto. In definitiva il grado del polinomio e’ il piu’ grande intero assoluto k tale che per i > k allora risulta sempre đ?‘Žđ?‘– = 0. Le funzioni lineari e affini sono casi particolari di funzioni polinomie. Si tratta, infatti, di funzioni polinomie di primo grado nella indeterminata x. Le funzioni del tipo y =đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? sono funzioni polinomie di secondo grado. Queste funzioni sono ben note e oggetto di riflessioni in precedenti elaborati e non saranno oggetto di considerazioni senon in via incidentale, se necessario. A questo punto si ripropongono le riflessioni contenute in appendice nel numero di luglioagosto di Appunti matematici. Esse attendono alle funzioni polinomie di III grado.

APPENDICE SULLE FUNZIONI POLINOMIALI ED IN PARTICOLARE SU QUELLE DI TERZO GRADO

Le funzioni polinomiali di terzo grado sono del tipo p(x) = ađ?‘Ľ 3 + đ?‘?đ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘‘. La funzione polinomiale e’ una funzione per la quale dom p(x) = Re Im p(x) = R.


E’ una suriezione.

Le intersezioni con gli assi sono cosi’ ottenute: 1) intersezione con l’asse delle ascisse, ponendo y = 0, ovvero risolvendo l’equazione ađ?‘Ľ 3 + đ?‘?đ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘‘ = 0. 2) intersezione con l’asse delle ordinate ponendo x = 0, ovvero p(0) = d. Passaggio per l’origine

Pertanto la funzione polinomiale di III grado passa per l’origine quando d = 0. In

questo caso si ha (0, p(0)) ≥ (0, 0) � origine del sistema di riferimento.

Limiti all’infinito

lim đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ) = Âąâ&#x2C6;&#x17E; a seconda che sia a > 0 oppure sia a < 0.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

lim đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x201C; â&#x2C6;&#x17E; a seconda che sia a > 0 oppure sia a < 0.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Derivata del primo ordine

pâ&#x20AC;&#x2122;(x) = 3ađ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ 1 +đ?&#x2018;? + 0 =3ađ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;?

(In generale una derivata prima di una funzione polinomiale p(x) di grado n puoâ&#x20AC;&#x2122; essere scritta come pâ&#x20AC;&#x2122;(x) = â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013;=1 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;1 .)

Le funzioni polinomiali di terzo grado sono derivabili ovunque.

Ricerca dei punti stazionari di una polinomiale di III grado


I punti stazionari sono le coppie (x, fâ&#x20AC;&#x2122;(x)) tali che fâ&#x20AC;&#x2122;(x) = 0.

Punti di discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122;

Non sono presenti. Infatti per ogni x del dominio di essa si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026;. đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?

Studio delle relazioni p(x) = đ?&#x2019;&#x2018;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122;) e p(x) =â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2018;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122;).

Con riferimento alla prima relazione, ovvero p(x) = đ?&#x2018;?(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) si ottiene una eguaglianza palesemente assurda, ovvero ađ?&#x2018;Ľ 3 +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ = (â&#x2C6;&#x2019;1)( ađ?&#x2018;Ľ 3 +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ) non vera in generale. Sarebbe vera solo per x = 0.

Oltre a questo valore si puoâ&#x20AC;&#x2122; discutere 2ađ?&#x2018;Ľ 3 +2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ = 0 ovvero ađ?&#x2018;Ľ 3 +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ = 0 cioeâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 =â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? e quindi dopo brevi passaggi si ottengono i particolari ammessi, ovvero x =Âą â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;

che per la condizione di realtaâ&#x20AC;&#x2122; del

radicale impone siano c ed a discordi e sia a â&#x2030; 0.

Lo studio della seconda relazione conduce p(x) =â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) per x = 0 e per x =Âąâ&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?

Per la condizione di realtaâ&#x20AC;&#x2122; del radicale deve risultare che d e b sono discordi con b â&#x2030; 0.

Asintoti

Non esistono asintoti neâ&#x20AC;&#x2122; orizzontali neâ&#x20AC;&#x2122; verticali.

Metodo della derivata prima

Si pone pâ&#x20AC;&#x2122;(x) = 0

Si ha pâ&#x20AC;&#x2122;(x) = 3ađ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;? = 0

Dalla teoria delle equazioni di II grado si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:


x=

â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;?Âąâ&#x2C6;&#x161;(2đ?&#x2018;?)2 â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 6đ?&#x2018;&#x17D;

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile introdurre la condizione per la quale una funzione polinomiale di III grado non ha punti stazionari.

Essa eâ&#x20AC;&#x2122; priva di punti stazionari quando (2đ?&#x2018;?)2 â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? < 0 ovvero 4đ?&#x2018;? 2 < 3đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?.

La p(x) ha un punto stazionario (ed uno solo) quando (2đ?&#x2018;?)2 â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? = 0 .

In questo caso il punto stazionario eâ&#x20AC;&#x2122; ( â&#x2C6;&#x2019;

1 3đ?&#x2018;&#x17D;

, p(â&#x2C6;&#x2019;

1 3đ?&#x2018;&#x17D;

))

Quando (2đ?&#x2018;?)2 â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? > 0 la funzione p(x) ha due distinti punti stazionari.

Se đ?&#x2018;Ľ0 eâ&#x20AC;&#x2122; uno zero di pâ&#x20AC;&#x2122;(x) allora il punto (đ?&#x2018;Ľ0 p(đ?&#x2018;Ľ0 ) ) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto stazionario di p(x).

Derivata seconda di p(x)

Il calcolo della derivate seconda di p(x) eâ&#x20AC;&#x2122; immediate quando la si intenda come la derivate prima di pâ&#x20AC;&#x2122;(x).

Immediatamente per le regole di derivazione si ottiene:

pâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(x) = 6ax + 2đ?&#x2018;?

Se risulta per x = đ?&#x2018;Ľ0 che pâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(x) > 0 allora il punto (đ?&#x2018;Ľ0 p(đ?&#x2018;Ľ0 ) ) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di minimo della funzione di p(x).

Si ha pâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(x) > 0 quando eâ&#x20AC;&#x2122; 6ađ?&#x2018;Ľ0 + 2đ?&#x2018;? > 0 ovvero 6ađ?&#x2018;Ľ0 > â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;? ovvero 3ađ?&#x2018;Ľ0 > â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? .

Con osservazioni analoghe si puoâ&#x20AC;&#x2122; agevolmente dimostrare che 3ađ?&#x2018;Ľ0 > â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? eâ&#x20AC;&#x2122; la condizione per un punto di massimo di p(x), essendo il punto (đ?&#x2018;Ľ0 p(đ?&#x2018;Ľ0 ) ) un punto stazionario di p(x).


Un punto stazionario che non eâ&#x20AC;&#x2122; di minimo relativo o di massimo assoluto eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di flesso della p(x).

La condizione di flesso eâ&#x20AC;&#x2122; 6ađ?&#x2018;Ľ0 + 2đ?&#x2018;? = 0 â&#x;ş 6ađ?&#x2018;Ľ0 = â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;? â&#x;ş 3đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ0 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 = â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;? 3đ?&#x2018;&#x17D;

La conseguenza eâ&#x20AC;&#x2122; che se esiste un punto di flesso eâ&#x20AC;&#x2122; unico.

Non possono esistere flessi a tangente verticale in quanto pâ&#x20AC;&#x2122;(x) eâ&#x20AC;&#x2122; definita ovunque.

Considero ora alcuni casi concreti di funzioni polinomiali di grado diverso.

Molte volte le funzioni polinomiali sono scritte in una forma non standard quale il caso seguente che ho rielaborato a partire da una funzione contenuta in un testo liceale di analisi matematica.

Ho considerato questo caso generale:

y = đ?&#x2018;Ľ 2 (xâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;) ove a â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026; +

La si puoâ&#x20AC;&#x2122; mettere in forma polinomiale osservando che y = đ?&#x2018;Ľ 2 (xâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;) â&#x;ş y = đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2

Che si tratti della stessa funzione lo si evidenzia osserando che per le due forme il campo di esistenza eâ&#x20AC;&#x2122; il medesimo, ovvero lâ&#x20AC;&#x2122;intervallo (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; , +â&#x2C6;&#x17E;).

Determiniamo subito le intersezioni con lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle y ponendo x = 0 nellâ&#x20AC;&#x2122;espressione analitica della funzione.


Risulta immediatamente che f(0) = đ?&#x2018;Ľ 2 (xâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;) = 0 (legge di annullamento del prodotto).

Quindi la curva passa per lâ&#x20AC;&#x2122;origine dei sistema di assi cartesiani. Risolvendo lâ&#x20AC;&#x2122;equazione đ?&#x2018;Ľ 2 (xâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;) = 0 si ottiene per quali valori di x si ha f(x) = 0.

Detta equazione ha una soluzionedi molteplicitaâ&#x20AC;&#x2122; algebrica due , costituita dal valore x = 0 e una soluzione x = a | a â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026; + .

Quanto al segno della funzione si deve osservare che f(x) > 0 quando xâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; > 0 â&#x;ş x > a.

Con riferimento invece alla determinazione dei punti stazionari eâ&#x20AC;&#x2122; sicuramente piuâ&#x20AC;&#x2122; utile ragionare sulla funzione scritta in forma standard, ovvero su:

y = đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 .

Eâ&#x20AC;&#x2122; piuâ&#x20AC;&#x2122; agevole, in questa forma, calcolare la funzione derivata prima.

Usando la notazione di Cauchy si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 ) = 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ.

Questa funzione ha un dominio esteso a tutto R.

I punti stazionari della funzione f(x) = 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 sono i punti per i quali risulta che eâ&#x20AC;&#x2122;:


đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 ) = 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ = 0. đ??´ questo punto eâ&#x20AC;&#x2122; possibile risolvere lâ&#x20AC;&#x2122;equazione 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ = 0.

Si tratta di una equazione di secondo grado spuria per la quale si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere: 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľ(3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;) = 0.

In buona sostanza (0 , 0) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto stazionario in quando x = 0 â&#x2021;&#x2019; y = 0.

Il secondo punto stazionario si ha per (3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;) = 0 đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łero per 3x = 2a da cui x =

Sostituendo x =

2đ?&#x2018;&#x17D; 3

2đ?&#x2018;&#x17D;

2đ?&#x2018;&#x17D;

2đ?&#x2018;&#x17D;

2đ?&#x2018;&#x17D; 3

2đ?&#x2018;&#x17D;

nella f(x) si ha y = đ?&#x2018;Ľ 2 (xâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;) =( 3 )2 ( 3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;) = ( 3 )3 â&#x2C6;&#x2019; ( 3 )2a. 2đ?&#x2018;&#x17D;

2đ?&#x2018;&#x17D;

2đ?&#x2018;&#x17D;

Il secondo punto stazionario si ha in ( 3 , ( 3 )3 â&#x2C6;&#x2019; ( 3 )2a).

Per stabilire se si tratta di un minimo o di un massimo si utilizza il metodo della derivata seconda.

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ) = 6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;. Sia đ?&#x2018;Ľ0 lâ&#x20AC;&#x2122;ascissa di un punto stazionario di f(x). Se al variare di a in đ?&#x2018;&#x2026; + si ha 6đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D; > 0 allora (đ?&#x2018;Ľ0 f(đ?&#x2018;Ľ0 ) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di minimo di f(x).

Nel caso đ?&#x2018;Ľ0 = 0 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D; > 0 non eâ&#x20AC;&#x2122; ammissibile per la limitazione su a (positivo).


In definitiva eâ&#x20AC;&#x2122; vero il contrario, ovvero â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x17D; < 0 â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x17D; | đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026; + .

La funzione f(x) = đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 ha immediati limiti allâ&#x20AC;&#x2122;infinito del tipo:

lim đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 = Âąâ&#x2C6;&#x17E; in quanto đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;ż đ?&#x2018;Ľ 3 .

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;Âąâ&#x2C6;&#x17E;

La derivata prima offre lo spunto per ricercare gli intervalli nei quali la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; crescente e quelli per i quali la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; decrescente. đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 ) = 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ. đ??şđ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013; x per i quali 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ > 0 sono quelli per i quali la funzione cresce.

Occorre risolvere lâ&#x20AC;&#x2122;equazione 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ = 0. Gli zeri sono immediati e sono:

2đ?&#x2018;&#x17D;

x=0ex=3 .

Per x â&#x2C6;&#x2C6; ( 0,

2đ?&#x2018;&#x17D; 3

) si ha che fâ&#x20AC;&#x2122;(x) < 0 pertanto in detto intervallo la funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; decrescente.

Per x â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 0) la funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; crescente.


Ci si coordina bene con il limite per x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; in quanto la funzione passa da detto limite negativ0 al valore f(0) = 0.

La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; poi crescente per x >

2đ?&#x2018;&#x17D; 3

.

Puoâ&#x20AC;&#x2122; essere utile lo studio della concavitaâ&#x20AC;&#x2122; e della convessitaâ&#x20AC;&#x2122; delle funzioni.

Molto banalmente lo studio della concavitaâ&#x20AC;&#x2122; e della convessitaâ&#x20AC;&#x2122; delle funzioni polinomiali (e delle funzioni in generale) eâ&#x20AC;&#x2122; ricondotto al segno della derivata seconda.

La derivata seconda della funzione considerata vale: đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ) = 6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;.

đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153; 6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D; = 0 si ottiene 6x = 2đ?&#x2018;&#x17D; â&#x;ş x =

đ?&#x2018;&#x17D;

2đ?&#x2018;&#x17D; 6

đ?&#x2018;&#x17D;

=3.

đ?&#x2018;&#x17D;

đ??źđ?&#x2018;&#x2122; punto (3 , f(3) ) eâ&#x20AC;&#x2122; un possibile punto di interflessione.

Per verificare se detto punto eâ&#x20AC;&#x2122; di interflessione (o punto di flesso) si puoâ&#x20AC;&#x2122; dire che se detto punto eâ&#x20AC;&#x2122; anche un punto stazionario, allora il punto eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di flesso a tangente orizzontale.

Resta la questione dei flessi in generale.


Occorre cioeâ&#x20AC;&#x2122; verificare gli intervlli in cui la derivata prima eâ&#x20AC;&#x2122; positiva e quello in cui eâ&#x20AC;&#x2122; negativa.

Occorre cioeâ&#x20AC;&#x2122; risolvere la seguente disequazione di primo grado.

6đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D; > 0 â&#x;ş 6x > 2đ?&#x2018;&#x17D; â&#x;ş x >

đ?&#x2018;&#x17D;

2đ?&#x2018;&#x17D; 6

đ?&#x2018;&#x17D;

= 3.

đ?&#x2018;&#x17D;

đ??źđ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153; (3 , f(3)) eâ&#x20AC;&#x2122; un flesso discendente. đ??ź punti di flesso discendente o ascendente sono collocati in un tratto monotono della funzione f(x).

Un flesso discendente (ascendente) eâ&#x20AC;&#x2122; collocato sulla curva tra un punto di massimo (minimo) relativo e un punto di minimo (massimo) relativo.

In altri termini se eâ&#x20AC;&#x2122; data una restrizione di f(x), detta r(x), in (a, b) tale che r(x) eâ&#x20AC;&#x2122; monotona se râ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ0 ) = 0 allora (đ?&#x2018;Ľ0 , r(đ?&#x2018;Ľ0 )) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di flesso di f(x).

Detto flesso non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere a tengente orizzontale.


2. Le funzioni razionali fratte

Una importante classe di funzioni algebriche eâ&#x20AC;&#x2122; quella rappresentata dale funzioni razionali fratte.

đ??´(đ?&#x2018;Ľ)

Esse hanno la forma f(x) = đ??ľ(đ?&#x2018;Ľ).

Le funzioni A(x) e B(x) sono funzioni polinomiali (dette anche razionali intere).

Relativamente ai gradi non sono date limitazioni dei gradi delle funzioni a numeratore e a denominatore.

Quando il grado di A(x) eâ&#x20AC;&#x2122; maggiore del grado di B(x) eâ&#x20AC;&#x2122; ammessa la divisione dei polinomi, ma le considerazioni sul risultato devono tenere conto che il dominio di f(x) inteso come ratio deve corrispondere al dominio del quoziente in x, di grado pari alla differenza tra i gradi di A(x) e di B(x).

Per esempio si potrebbe studiare la seguente funzione razionale fratta. đ?&#x2018;&#x17D;

f(x) = đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 ) ove a e k sono due parametri reali con a â&#x2030; 0 e k â&#x2030;Ľ 0.

Deve risultare đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 ) â&#x2030; 0.

Cioâ&#x20AC;&#x2122; si ha se sono verificate entrambe le seguenti condizioni đ?&#x2018;Ľ â&#x2030; 0, e đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;  0 ovvero đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;  đ?&#x2018;&#x2DC; ovvero x â&#x2030; Âąâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;.


Questo passaggio impone palesemente una ulteriore restrizione, quella relativa al parametro k per il quale (condizione di realtaâ&#x20AC;&#x2122; del radicale) deve essere k â&#x2030;Ľ 0. đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x17D;

Da f(x) = đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 ) si evince immediatamente che f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 ) = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 )

La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; dispari.

(Questa rappresentazione delle funzioni dispari non eâ&#x20AC;&#x2122; riferita a quella considerata.)

Occorre quindi dire che il dominio di definizione della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; costituito dal continuo reale cui vanno tolti i punti per i quali la funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; definita.

Detti punti sono sostanzialmente tre, ovvero â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; , o e +â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;.

Si ha che Dom f(x) = ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; ) â&#x2039;&#x192; (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; , 0 ) â&#x2039;&#x192; (0 , +â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;) â&#x2039;&#x192; ( â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; , +â&#x2C6;&#x17E;)

Gli asintoti orizzontali sono tre e si hanno nei punti â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; , o e +â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;.


Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile definire il comportamento asintotico della funzione f(x) =

si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 )

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 )

per la quale

đ?&#x2018;&#x17D;

â&#x2C6;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 3 con i limiti allâ&#x20AC;&#x2122;infinito eguali a zero consente di affermare

che lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ascisse eâ&#x20AC;&#x2122; un asintoto orizzontale per la funzione assegnata.

Vanno ricercati gli eventuali punti di massimo e di minimo.

Allâ&#x20AC;&#x2122;uopo occorre calcolare la funzione derivata prima e verificare per quali valori x del dominio della funzione assegnata risulti fâ&#x20AC;&#x2122;(x) = 0. đ?&#x2018;&#x17D;

Data la funzione f(x) = đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 ) occorre utilizzare il teorema della derivate del rapporto di due funzioni.

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

f(x) =

(đ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D; )đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 )â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 )) (đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 ))2

=â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ 2 ) (đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 ))2

đ?&#x2018;&#x2018;

La condizione per la quale sia đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ f(x) = fâ&#x20AC;&#x2122;(x) = 0 eâ&#x20AC;&#x2122; che sia đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ 2 ) = 0.

In definitiva deve essere ak = 3đ?&#x2018;Ľ 2 da cui di ha đ?&#x2018;Ľ 2 =

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; 3

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;

ovvero x =Âąâ&#x2C6;&#x161; 3

Dovendo essere đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 0 si ha a > 0 . Il caso a = 0 eâ&#x20AC;&#x2122; degenere.

Con il metodo della derivate seconda si evincono agevolmente massimo e minimo.

La curva non puoâ&#x20AC;&#x2122; avere asintoti obliqui in quanto 0 â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2030; 1.


I numeri 0 e 3 sono rispettivamente I gradi delle polinomiali a numeratore e a denominatore.

La determinazione degli intervalli nei quali la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; crescente si hanno per

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ 2 )

f(x) = â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 ))2 > 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

Detta condizione eâ&#x20AC;&#x2122; immediatamente verificata per đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ 2 ) < 0.

Su a opera una restrizione per la quale a > 0 .

Deve pertanto essere ak < 3đ?&#x2018;Ľ 2 ovvero 3đ?&#x2018;Ľ 2 > ak ovvero đ?&#x2018;Ľ 2 > đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; 3

e in definitiva per x tale

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;

che x â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161; 3 ) â&#x2039;&#x192; (â&#x2C6;&#x161; 3 , +â&#x2C6;&#x17E;)

Qui occorre ancora coordinare e verificare i risultati ottenuti.

La curva non puoâ&#x20AC;&#x2122; intersecare lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle x in quanto y = 0 impone sia a = 0.

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; x= 0 â&#x2C6;&#x2030; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; f(x) allora la curva f(x) non taglia lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle y.

La curva non ha quindi intersezioni con gli assi e non passa per lâ&#x20AC;&#x2122;origine del sistema di riferimento cartesiano.

Quanto al segno di f(x)=

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 )

si ha


f(x) > 0 quando per a > 0 eâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 ) > 0 Poicheâ&#x20AC;&#x2122; deve essere k â&#x2030;Ľ 0 allora per x > 0 deve essere đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 > 0 , ovvero đ?&#x2018;Ľ 2 > đ?&#x2018;&#x2DC; e per la limitazione su x deve essere x > â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;.

Per x negativo f(x) > 0 quando đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 < 0, ovvero k < đ?&#x2018;Ľ 2 ed anche đ?&#x2018;Ľ 2 > đ?&#x2018;&#x2DC; e per la limitazione su x (posto negativo) allora x < â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;.

In definitiva f(x) > 0 per x â&#x2C6;&#x2C6; dom f | x â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;) â&#x2039;&#x192; (â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;, +â&#x2C6;&#x17E;).

f(x) > 0 per x â&#x2C6;&#x2C6; dom f â&#x2039;&#x201A; {(â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;) â&#x2039;&#x192; (â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;, +â&#x2C6;&#x17E;)}.

2.1 Ricerca di un asintoto obliquo di una funzione razionale fratta

Sia data una funzione quale la seguente:

f(x) =

đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1

Questa funzione razionale fratta si caratterizza per il fatto che la differenza tra il grado del polinomio a numeratore e il grado del polinomio a denominatore eâ&#x20AC;&#x2122; 1.

Lâ&#x20AC;&#x2122;interesse eâ&#x20AC;&#x2122; rivolto alla determinazione dellâ&#x20AC;&#x2122;asintoto obliquo di essa.

Si ha che:

m = lim

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;Âąâ&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ

= lim

1 đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;Âąâ&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1

= lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;Âąâ&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľ2

~ đ?&#x2018;Ľ2 = 1


Si procede ora al calcolo di q.

q

= lim âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;ĽâŚ&#x152; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;Âąâ&#x2C6;&#x17E;

2 lim

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;Âąâ&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1

= lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;Âąâ&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = lim

đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;Âąâ&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1

= 2.

Lâ&#x20AC;&#x2122;asintoto obliquo ha quindi equazione y = mx + đ?&#x2018;? = x +2.

2.2 Ulteriori casi di funzioni razionali fratte

Si consideri, ad esempio, la seguente funzione, ove k eâ&#x20AC;&#x2122; un reale positivo.

đ?&#x2018;&#x2DC;+đ?&#x2018;Ľ

f(x) =đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ Deve essere x â&#x2030; đ?&#x2018;&#x2DC;

Verifica delle simmetrie.

đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) =

đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC;+đ?&#x2018;Ľ

La funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; pari in quanto in generale

đ?&#x2018;&#x2DC;+đ?&#x2018;Ľ

â&#x2030; đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC;+đ?&#x2018;Ľ

La funzione neppure puoâ&#x20AC;&#x2122; essere dispari in quanto si avrebbe che:

f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

= lim

2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;Âąâ&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1

=


đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; +đ?&#x2018;Ľ

=â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2DC;+đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

(đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ)2 = â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x2018;Ľ)2

Questa eguaglianza eâ&#x20AC;&#x2122; palesemente assurda in quanto un numero positivo, al primo membro, sarebbe eguale ad un numero negativo, al secondo membro.

La funzione, quindi, non eâ&#x20AC;&#x2122; neâ&#x20AC;&#x2122; pari neâ&#x20AC;&#x2122; dispari.

Verifica dellâ&#x20AC;&#x2122;intersezioni con gli assi.

Intersezione con lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ordinate.

đ?&#x2018;&#x2DC;+0

Si pone x = 0 avendo che f(0) = đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;0 =

đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC;

= 1.

La curva passa per (0, 1).

Lâ&#x20AC;&#x2122;intersezione con lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ascisse si pone ponendo y = 0.

Deve essere k +đ?&#x2018;Ľ = 0 da cui si ottiene che lâ&#x20AC;&#x2122;intersezione con lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ascisse si ha nel punto x = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; < 0 per la condizione posta su k.

Va ora considerate il segno della funzione.

Affincheâ&#x20AC;&#x2122; sia f(x) > o deve essere che:

k +đ?&#x2018;Ľ > 0


kâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ >0

Da k +đ?&#x2018;Ľ > 0 si ha x > â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; mentre da k â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ > 0 si ottiene â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ > â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; ovvero x < đ?&#x2018;&#x2DC;.

Gli x ammissibili sono x đ?&#x153;&#x2013; (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;, đ?&#x2018;&#x2DC;).

Vi eâ&#x20AC;&#x2122; un secondo caso astrattamente possibile, quello per il quale risulti contemporaneamente vero che

k +đ?&#x2018;Ľ < 0

kâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ <0

Dalla prima si ha x < â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; mentre dalla seconda relazione si ha x > đ?&#x2018;&#x2DC;.

Si evince che le due condizioni non sono compatibili.

Infatti si ha che, posto đ??´1 = {đ?&#x2018;Ľ |đ?&#x2018;Ľ < â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;} e đ??´2 = {đ?&#x2018;Ľ |đ?&#x2018;Ľ > đ?&#x2018;&#x2DC;} eâ&#x20AC;&#x2122; vero che đ??´1 â&#x2039;&#x201A; đ??´2 =â&#x2C6;&#x2026;.

La funzione considerata ammette lâ&#x20AC;&#x2122;inversa.

Basta provare la monotonia.

Si considerino due distinti punti di essa e siano essi đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 . đ?&#x2018;&#x2DC;+đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2DC;+đ?&#x2018;Ľ

Si ammetta per assurdo che sia đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ1 )= f( đ?&#x2018;Ľ2 ) â&#x;ş đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ1 = đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ2 â&#x;ş (đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x2018;Ľ1 )( đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 ) = 1

(kâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ1 )( đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x2018;Ľ2 ) â&#x;şâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś..â&#x;ş 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ2 = 2k(đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 ) = 0.

2


Detta relazione non eâ&#x20AC;&#x2122; vera in quanto k â&#x2030; o e anche (đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 )â&#x2030;  0. In pratica se (x , y) sono punti di f i punti della funzione inversa đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;1 sono, riferendosi al medesimo sistema di riferimento cartesiano, sono (y, x).

Esiste una semplice regola pratica che consente di ricavare la funzione inversa di una funzione data.

đ?&#x2018;&#x2DC;+đ?&#x2018;Ľ

Sia y = đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

Si ha che

y(đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x2018;Ľ

yk â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x2018;Ľ

â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ś + 1) = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;

x=

đ?&#x2018;&#x2DC;(đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;1) đ?&#x2018;Ś+1

e quindi đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;1 (x) =

đ?&#x2018;&#x2DC;(đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1) đ?&#x2018;Ľ+1

In generale vi eâ&#x20AC;&#x2122; un nesso tra monotonia e invertibilitaâ&#x20AC;&#x2122;.


Una funzione nonotona non eâ&#x20AC;&#x2122; invertibile.

Ma una funzione puoâ&#x20AC;&#x2122; essere monotona a tratti. E con riferimento ad ogni tratto di monotonia eâ&#x20AC;&#x2122; data una funzione inversa della funzione data considerate rispetto al cmapo di variazione ove essa risulta monotona.

Va peroâ&#x20AC;&#x2122; precisato che f(x) definisce distinte funzioni quando si considerino distinti I tali che I â&#x160;&#x2020; dom f.

3. Funzioni contenenti radicali

In generale le funzioni contenenti radicali possono essere viste come f(x)= đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) ove g(x) eâ&#x20AC;&#x2122; una funzione reale di una variabile reale ed n un numero intero positivo.

Un esempio eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente:

y = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;? +â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?

Si tratta di una funzione irrazionale, in quanto contiene radicali, nel caso di specie, quadratici.

Deve essere garantita la condizione di realtaâ&#x20AC;&#x2122; di entrambi i radicali, dovendo, quindi, risultare che:


đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2030;Ľ 0 ovvero x â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;?

Deve intendersi b dato.

Si osservi che b puoâ&#x20AC;&#x2122; essere negativ0.

Per esempio si puoâ&#x20AC;&#x2122;, ad esempio, porre b =â&#x2C6;&#x2019; 3.

In questo caso particolare si ha:

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;3) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ + 3 che impone sia đ?&#x2018;Ľ + 3 â&#x2030;Ľ 0 ovvero x â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3.

Va ora studiata la condizione di realtaâ&#x20AC;&#x2122; del radicale â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; partire dalla risoluzione dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;? = 0 da cui si ha đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? ovvero đ?&#x2018;?

x =Âąâ&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; .

đ?&#x2018;?

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; deve essere â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;Ľ 0 allora c ed a devono essere discordi. Deve essere a â&#x2030; 0.

Quanto al segno della funzione g(x) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;? si puoâ&#x20AC;&#x2122; dare la seguente rappresentazione grafica.


La condizione dei realtaâ&#x20AC;&#x2122; del primo radicale impone che x sia tale che:

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

x â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; âŚ&#x152; â&#x2039;&#x192; âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; , +â&#x2C6;&#x17E;)

Per il secondo radicale si era detto che doveva essere x â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;?.

Intersezioni con gli assi cartesiani.

Lâ&#x20AC;&#x2122;intersezione con lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ascisse di ottiene ponendo y = 0.

Risulterebbe 0 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;? +â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?

E quindi si avrebbe che â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?

Essa eâ&#x20AC;&#x2122; assurda percheâ&#x20AC;&#x2122; renderebbe eguali una quantitaâ&#x20AC;&#x2122; positiva e una negativa.

La curva non interseca lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ascisse.

Non eâ&#x20AC;&#x2122; legittimo porre x = o in f(x) ovvero determinare f(o) in quanto o â&#x2C6;&#x2030; dom f.

La f(.) non passa per lâ&#x20AC;&#x2122;origine (0, o) del sistema di riferimento dato.

La funzione considerata eâ&#x20AC;&#x2122; monotona in I ove I â&#x160;&#x201A; R eâ&#x20AC;&#x2122; il dom f.

Infatti eâ&#x20AC;&#x2122; la somma di due funzioni monotone crescenti quali h(x) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;? e g(x) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;.


đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

La funzione considerata ha un minimo min f(.) = (max (â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; , b) , f( (max (â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; , b) ).

In funzioni di questo genere (considerazione generalizzabile ado gni tipo di funzione del tipo r(x) + s(x) ) il dom ( r(x) + s(x) ) = dom r(x) â&#x2039;&#x201A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľ) .

Non necessariamente le funzioni contenenti radicali hanno una funzione razionale sotto il segno di radicale.

Eâ&#x20AC;&#x2122; ben giustificata una funzione quale la seguente:

g(x) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;

Si vedraâ&#x20AC;&#x2122; piuâ&#x20AC;&#x2122; oltre che đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ > 0 â&#x2C6;&#x20AC; x | x đ?&#x153;&#x2013; ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; , +â&#x2C6;&#x17E;).

La condizione di realtaâ&#x20AC;&#x2122; del radicale inpone che sia: đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;Ľ 0 â&#x;ş đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; .

Applicando la nozione di logaritmo e utilizzando un teorema sui logaritmi si ha:

x ln đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2030;Ľ ln đ?&#x2018;&#x2DC;

x â&#x2030;Ľ ln đ?&#x2018;&#x2DC;

Deve ovviamente essere k > 0.


Esiste un unico limite allâ&#x20AC;&#x2122;infinito che eâ&#x20AC;&#x2122; del tipo (+â&#x2C6;&#x17E;) + (+â&#x2C6;&#x17E;) .

Si ha lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = +â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Va osservato che la osservazione preliminare sulla condizione di realtaâ&#x20AC;&#x2122; del radicale e necessaria solo se si hanno funzioni del tipo x â&#x2020;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)

In questi casi va posta la condizione g(x) â&#x2030;Ľ 0.

Tale studio preliminare non eâ&#x20AC;&#x2122; necessario in relazione a funzioni del tipo x â&#x2020;&#x2019;

2đ?&#x2018;&#x203A;+1

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)

5

come ad esempio f(x) = â&#x2C6;&#x161;sin(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;.

4. Funzioni contenenti valori assoluti

Occorre sicuramente partire dalla funzione valore assoluto che puoâ&#x20AC;&#x2122; essere facilmente considetata come il caso di una funzione composta. Si tratta evidentemente di una funzione da R a đ?&#x2018;&#x2026; + .

La formalizzazione della funzione composta puoâ&#x20AC;&#x2122; essere data come segue:

đ?&#x2018;&#x201C;1

đ?&#x2018;&#x201C;2

x â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;1 (x) â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;2 (đ?&#x2018;&#x201C;1 (x)) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x201C;2 °đ?&#x2018;&#x201C;1 .

Non ogni x soddisfa le condizioni formali.


Si consideri ora il caso sia đ?&#x2018;&#x201C;1 = ln đ?&#x2018;Ľ.

Come si vedraâ&#x20AC;&#x2122; piuâ&#x20AC;&#x2122; ampiamente in seguito deve essere x > 0.

Quindi in generale la funzione composta considerata eâ&#x20AC;&#x2122; una funzione da đ?&#x2018;&#x2026; + â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026; + .

In termini generali per la funzione valore assoluto si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: f : I â&#x160;&#x2020; đ?&#x2018;&#x2026; â&#x2020;&#x2019; đ??źâ&#x20AC;˛ â&#x160;&#x2020; đ?&#x2018;&#x2026;+

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare qualche esempio concreto, tipo il seguente.

f(x) = |ađ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? | + |đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + â&#x201E;&#x17D;|

Il dominio della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; il continuo reale, ovvero si ha dom f = (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, +â&#x2C6;&#x17E;).

La funzione non passa per lâ&#x20AC;&#x2122;origine in quanto sarebbe:

f(0) = | đ?&#x2018;? | +| â&#x201E;&#x17D; | â&#x2030; 0.

Intersezioni con gli assi.

La condizione per la quale si deve ottenere lâ&#x20AC;&#x2122;intersezione con lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ascisse, deve essere y = 0.

Deve essere vero che:


|ađ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? | = â&#x2C6;&#x2019; |đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + â&#x201E;&#x17D;|

Tale relazione eâ&#x20AC;&#x2122; in generale impossible salvo che per gli x per i quali sia ađ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? = 0 e pure đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + â&#x201E;&#x17D; = 0.

Dalla seconda relazione deve essere x = â&#x2C6;&#x2019;

â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2019;

La prima relazione eâ&#x20AC;&#x2122; gestibile con la formula risolutiva delle equazioni di II grado in x.

Si tratta di verificare se i parametri contenuti nella funzione sono tali che sia:

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?Âąâ&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 2đ?&#x2018;&#x17D;

â&#x201E;&#x17D;

= â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;

đ??żâ&#x20AC;˛đ?&#x2018;Ľ tale che f(x) = 0 se esiste eâ&#x20AC;&#x2122; unico.

Non esiste un x tale che sia f(x) = 0 quando đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;¤ 0.

Quando eâ&#x20AC;&#x2122; dato đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;¤ 0 esiste sicuramente un x tale che g(x) = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; > 0. Si eâ&#x20AC;&#x2122; posto g(x) = |ađ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? |

La ricerca del minimo eâ&#x20AC;&#x2122; ottenibile con gli strumenti delle derivate.

Un approccio alternativo potrebbe basarsi sui seguenti elementi.


La funzione ha un minimo non nullo quando esistendo un x tale che f(x) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; > 0 detto x eâ&#x20AC;&#x2122; tale che g(x) = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; > 0 eâ&#x20AC;&#x2122; tale che sia |đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + â&#x201E;&#x17D;| = 0.

Simmetricamente si puoâ&#x20AC;&#x2122; dire che x eâ&#x20AC;&#x2122; tale che f(x) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; > 0 se per esso si ha |đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + â&#x201E;&#x17D;| = 0 e per esso si ha g(x) = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; > 0.

Ci si deve porre il seguente quesito.

Quale dei due x eâ&#x20AC;&#x2122; tale che la funzione abbia valore minore ?

Lâ&#x20AC;&#x2122;x per il quale si annulla |đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + â&#x201E;&#x17D;| oppure quello per il quale g(x) = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; > 0 o quello che minimizza |ađ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? | ?

Sia đ?&#x2018;Ľ0 il valore di x per il quale |ađ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? | = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030; 0.

Allora si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: f(đ?&#x2018;Ľ0 ) = |ađ?&#x2018;Ľ02 +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ0 +đ?&#x2018;?| + |đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0 +đ?&#x2018;&#x201C;|

Sia đ?&#x2018;Ľ1 lâ&#x20AC;&#x2122;x per il quale sia |đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ1 +đ?&#x2018;&#x201C;| = 0 ovvero đ?&#x2018;Ľ1 = â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2019;

(incidentalmente si ricordi che qui e eâ&#x20AC;&#x2122; un numero reale non il numero di Nepero).

Pertanto si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:


đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2019;

f(đ?&#x2018;Ľ1 ) = |a(â&#x2C6;&#x2019; )2 + đ?&#x2018;?(â&#x2C6;&#x2019; ) +đ?&#x2018;?|

Evidentemente il problema va trattato in generale.

La funzione considerata eâ&#x20AC;&#x2122; comunque la somma di due funzioni entrambe positive, data la presenza dei valori assoluti.

Si ha che f(x) = đ?&#x2018;&#x201C;1 (đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;&#x201C;2 (đ?&#x2018;Ľ) ove đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013;=1,2(x) â&#x2030;Ľ 0.

Si procede con la ricerca dei punti stazionari, ovvero imponendo nulla la derivata prima della funzione.

In buona sostanza i punti stazionari, al variare dei parametri, si ottengono ordinariamente e sono tali che:

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ f(x) = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;&#x201C;1 (đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;&#x201C;2 (đ?&#x2018;Ľ)) = 0 e quindi, in definitiva:

đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛1 (đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛2 (đ?&#x2018;Ľ)

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; ora considerare una ulteriore funzione contenente valori assoluti.

Essa eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente:

f(x) =

| đ?&#x2018;Ľ 3 |â&#x2C6;&#x2019;8 đ?&#x2018;Ľ2


Si osservi primariamente che il dominio di essa eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;insieme R â&#x2C6;&#x2019;{0} .

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere f(x) =

| đ?&#x2018;Ľ 3 |â&#x2C6;&#x2019;8 đ?&#x2018;Ľ2

=

|đ?&#x2018;Ľ|3 â&#x2C6;&#x2019;8 |đ?&#x2018;Ľ|2

8

8

= |đ?&#x2018;Ľ|3â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 = |x| â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2

Si osservi che il punto (o ,f(o) ) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; della funzione f.

Lo studio della simmetria eâ&#x20AC;&#x2122; immediato:

Infatti di puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:

8

8

|x| â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 =|â&#x2C6;&#x2019;x| â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)2 Cioâ&#x20AC;&#x2122; in quanto |x| =|â&#x2C6;&#x2019;x| e đ?&#x2018;Ľ 2 = (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)2 â&#x2C6;&#x20AC; x | x đ?&#x153;&#x2013; dom f.

Questo prova che f(x) = f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ).

Se una funzione eâ&#x20AC;&#x2122; pari essa non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere dispari e non eâ&#x20AC;&#x2122; necessario studiare lâ&#x20AC;&#x2122;altra eventuale simmetria.

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; x = 0 non eâ&#x20AC;&#x2122; un elemento di dom f allora la curva considerate non passa per (0, f(o)) e essa non interseca lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ordinate.

Vanno ora calcolati gli zeri della funzione, ponendo y = 0.

8

Occorre risolvere lâ&#x20AC;&#x2122;equazione |x| =đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x;ş |x|đ?&#x2018;Ľ 2 = 8.


I valori che verificano la condizione sono due, potendosi scrivere che: â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 ) = 8 quando x < 0

đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľ 2 ) = 8 quando x > 0.

3

3

đ?&#x2018;Ľ 3 = 8 â&#x;ş đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x161;8 = â&#x2C6;&#x161;23 = 2

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; osservi che anche il valore x=â&#x2C6;&#x2019;2 verifica le condizioni del problema.

Per la funzione data puoâ&#x20AC;&#x2122; essere calcolato il limite allâ&#x20AC;&#x2122;infinito positive, ovvero il seguente limite:

8

lim |đ?&#x2018;Ľ| â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľ)2 đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

avendosi i seguenti passaggi formali:

8

lim |đ?&#x2018;Ľ| â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľ)2 =lim |đ?&#x2018;Ľ| â&#x2C6;&#x2019; lim đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

8 (đ?&#x2018;Ľ 2 )

=0+ â&#x2C6;&#x2019;8 lim

1

.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 (đ?&#x2018;Ľ 2 )

A questo punto si puoâ&#x20AC;&#x2122; osservare che i due limiti destro e sinistro sono tali che:

lim

1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2

1

= lim+ đ?&#x2018;Ľ 2 = +â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0


La f in prossimitaâ&#x20AC;&#x2122; dello zero eâ&#x20AC;&#x2122; ben rappresentata nella precedente figura.

Lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle y eâ&#x20AC;&#x2122; un asintoto verticiale.

Calcolo della derivata prima.

8

Da f(x) = |x| â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 si ottiene la funzione derivata prima, ovvero fâ&#x20AC;&#x2122;(x) = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ |x| â&#x2C6;&#x2019; 8 đ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2.

Dalla nozione di funzione valore assoluto si puoâ&#x20AC;&#x2122; ricavare la derivate nei due casi possibili, ovvero fâ&#x20AC;&#x2122;(x) = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ |x| â&#x2C6;&#x2019; 8 đ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2 quando x > 0 che conduce a fâ&#x20AC;&#x2122;(x) = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ x â&#x2C6;&#x2019;16 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 = 1 â&#x2C6;&#x2019; 16 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 .

Nel caso x < 0 deve essere ricordato che |x| =â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ.

Conseguentemente si ha fâ&#x20AC;&#x2122;(x) = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ x â&#x2C6;&#x2019;16 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 = â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 16 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3.

Calcolo dei punti stazionari per x < 0.

In questo caso si ha fâ&#x20AC;&#x2122;(x) = 1 â&#x2C6;&#x2019; 16 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3. Detta relazione va eguagliata a zero, avendosi

16

1 â&#x2C6;&#x2019; 16 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 = 0 â&#x;ş 1 = 16 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x;ş 1 = đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x;şđ?&#x2018;Ľ 3 = 16. 3

In definitiva il punto (â&#x2C6;&#x161;16 , f(â&#x2C6;&#x161;16) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto stazionario della f.


3

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; pari pure il punto (â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;16 , f(â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;16) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto stazionario della f. Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare il segno della funzione.

Si ha y > 0 quando |x| >

8 đ?&#x2018;Ľ2

. Se x > 0 allora x >

8 đ?&#x2018;Ľ2

ovvero đ?&#x2018;Ľ 3 > 8, đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ > 2.

8

Per x < 0 si ha â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 > 0 e dopo passaggi simili a quelli fatti appena sopra si ha che la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; positiva (quando x < 0) per x < 2.

Occorre ora studiare la derivate seconda avendosi che:

yâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ ( 1 + 16 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 ) quando si ponga x > 0. In questo caso si ha yâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ ( 1 + 16 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 ) = 0 +16 â&#x2C6;&#x2014; 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;4 = 0 +48đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;4 = 48đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;4. Analogamente si dimostra che la derivata seconda vale yâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; = 48đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;4 .

48

In forma piuâ&#x20AC;&#x2122; usuale si scrive che yâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; = đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2018;Ľ | đ?&#x2018;Ľ â&#x2030; 0.

5. Le funzioni logaritmiche

Occorre partire dalla nozione di funzione logaritmica intesa come una funzione f tale che ad un valore reale positivo corrisponda un valore reale detto logaritmo secondo una certa base.


La base dei logaritmi, come eâ&#x20AC;&#x2122; noto, puoâ&#x20AC;&#x2122; essere un qualunque numero reale positivo non nullo.

Formalmente si scrive come segue:

đ?&#x2018;&#x201C;

f : đ?&#x2018;&#x2026; + â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026; per la quale x â&#x2020;&#x2019; log đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ.

Si osservi che deve porsi x â&#x2030; 0.

Il numero k eâ&#x20AC;&#x2122; detto base dei logaritmi e solitamente si usa la base e detta dei logaritmi naturali.

Si consideri una funzione contenenente log đ?&#x2018;&#x2DC;=đ?&#x2018;&#x2019; (x)= ln(đ?&#x2018;Ľ).

Un esempio potrebbe essere il seguente.

y=

1â&#x2C6;&#x2019;ln(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľ2

Deve porsi x â&#x2030; 0 per non annullare il denominatore.

Deve poi essere x > 0 per la definizione di logaritmo di un numero reale.

Immediatamente si evince il dominio di definizione (o campo di esistenza della funzione) che risulta essere dom f = ( 0, +â&#x2C6;&#x17E; ) .

Con un passaggio algebrico si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:


1

y = đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019;

2ln(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľ2

Dovendo calcolare il limite per x â&#x2020;&#x2019; 0+ si ottiene una forma indeterminata del tipo â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;.

Il limite per x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; non esiste per la presenza di ln(.) nella formula.

Eâ&#x20AC;&#x2122; facile invece calcolare il lmite per x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;.

Si ha infatti che lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)= lim

1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2019;2 lim

ln(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ 2

= 0 +2 â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x153; = 0 + 0 = 0.

Occorre fare alcune precisazioni sul secondo limite, ovvero su lim

ln(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ 2

che lim

ln(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ2

lim ln(đ?&#x2018;Ľ)

= đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ2

potendo scrivere

â&#x2C6;&#x17E;

=â&#x2C6;&#x17E;.

Si tratta di una forma indeterminate che richiede lâ&#x20AC;&#x2122;applicazione del teorema di Bernnoulli De lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; pertanto scrivere la seguente successione di passaggi formali:

lim

ln(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ 2

lim ln(đ?&#x2018;Ľ)

= đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ2

=

lim ( ln(đ?&#x2018;Ľ))â&#x20AC;˛

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

lim ( đ?&#x2018;Ľ 2 )â&#x20AC;˛

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

=

1 lim đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ

lim 2đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

= lim

1 1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľ

= lim

1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; 2đ?&#x2018;Ľ 2

=0+ .

Lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ordinate eâ&#x20AC;&#x2122; un asintoto orizzontale per la funzione assegnata.

Occorre ora calcolare la derivata prima della funzione considerata.

Da y = đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;2

ln(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľ2

si ottiene immediatamente che yâ&#x20AC;&#x2122; = â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;2đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (

ln(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľ2

).


Il primo termine non si annulla mai in quanto x â&#x2030; 0 e occorre verificare quando si annulla il secondo termine ovvero â&#x2C6;&#x2019;2đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (

ln(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľ2

).

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; utilizzare il teorema della derivata del rapporto di due funzioni.

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (

ln(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľ2

)=

2

(ln(đ?&#x2018;Ľ)â&#x20AC;˛đ?&#x2018;Ľ +(đ?&#x2018;Ľ 2 )â&#x20AC;˛ln(đ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;Ľ 2 )2

1 2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ4

=

1

= đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2C6;&#x2019;

2ln(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľ3

Coordinando i risultati si ha che:

1

yâ&#x20AC;&#x2122; = â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019; 2 đ?&#x2018;Ľ 3 +2

2ln(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľ3

= â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3( 1 + ln(đ?&#x2018;Ľ)).

Detta quantitaâ&#x20AC;&#x2122; non si annulla mai quando x â&#x2030; 0 e non eâ&#x20AC;&#x2122; definita per x â&#x2030;¤ 0.

La curva non ha punti stazionari.

6. Le funzioni esponenziali

Considero il caso della seguente funzione esponenziale ottenuta a partire da una nota.

Si consideri la seguente funzione esponenziale:

đ?&#x2018;Ą

y = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

t đ?&#x153;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2026;+

Deve essere x â&#x2030; 0 .


Il dominio della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; dom f = ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 0 ) â&#x2C6;Ş ( 0 , â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;)

La funzione considerata non passa per lâ&#x20AC;&#x2122;origine in quanto x = 0 non appartiene a dom f.

Vanno ora esaminate le simmetrie.

Verificare se f(x) = f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) per ogni x.

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

Allora sarebbe đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ ovvero đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = (đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;Ľ e applicando i logaritmi naturali sarebbe

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľ palesemente assurda. Quindi deve ammettersi che f(x) â&#x2030; f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ).

Occorre ora verificare lâ&#x20AC;&#x2122;altra possibile simmetria, ovvero f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ).

đ?&#x2018;Ą

Giaâ&#x20AC;&#x2122; si era evidenziato che f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = (đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;Ľ .

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

Si ha che sarebbe (đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ .

đ?&#x2018;Ą

Dividendo ambo i membri per đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030; 0.

đ?&#x2018;Ą

Si ricava immediatamente

(đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

= â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x;ş đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;1. Tale eguaglianza non eâ&#x20AC;&#x2122; vera.

Con alcuni ragionamenti si puoâ&#x20AC;&#x2122; dimostrare la monotonia.


đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľ1

đ?&#x2018;Ś1 = đ?&#x2018;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ś2 = đ?&#x2018;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; ammetta sia đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2030; đ?&#x2018;Ľ2 e si verifichi se eâ&#x20AC;&#x2122; possibile che sia f(đ?&#x2018;Ľ1 ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ2 ).

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; hanno i seguenti passaggi.

đ?&#x2018;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľ1

=đ?&#x2018;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

â&#x;ş â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ ln(đ?&#x2018;&#x2019;) = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ ln ( e) â&#x;ş â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 1

2

1

2

Detta relazione non eâ&#x20AC;&#x2122; vera quando sia đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2030; đ?&#x2018;Ľ2 .

Quindi đ?&#x2018;Ľ1 â&#x2030; đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ1 ) â&#x2030;  đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ2 ). La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; monotona.

La funzione monotona eâ&#x20AC;&#x2122; pure descescente.

Lâ&#x20AC;&#x2122;andamento della funzione puoâ&#x20AC;&#x2122; essere studiato ulteriormente calcolando i limiti di essa per x â&#x2020;&#x2019; 0Âą e per x â&#x2020;&#x2019; Âąâ&#x2C6;&#x17E;.

A rigore andrebbero calcolati i limiti quando x tende a 0, ma si tratta di limiti semplici da determinare. Gli altri due limiti saranno esaminati piuâ&#x20AC;&#x2122; oltre.

Possono considerarsi ora le intersezioni con gli assi.

Lâ&#x20AC;&#x2122;intersezione con lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ascisse si ottiene ponendo y = 0.


đ?&#x2018;Ą

(đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;Ľ = 0 . Cioâ&#x20AC;&#x2122; non eâ&#x20AC;&#x2122; possibile in quanto đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x203A;ź â&#x2030; 0 â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x203A;ź đ?&#x153;&#x20AC; (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, +â&#x2C6;&#x17E;).

Anche per đ?&#x2018;Ą = 0 sarebbe đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x203A;ź = 1 â&#x2030; 0.

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; x = 0 non eâ&#x20AC;&#x2122; un valore ammissibile per la funzione si puoâ&#x20AC;&#x2122; affermare che non si hanno intersezioni di essa con lâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ordinate.

Vanno ora considerati i limiti agli estremi del campo di definizione e gli asintoti.

đ?&#x2018;Ą

lim đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ .

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ą

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; studiare il seguente limite: lim â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ą lim

1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

= 0 â&#x2C6;&#x2019;.

đ?&#x2018;Ą

Coordinando si ha lim đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = 1â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ą

Eâ&#x20AC;&#x2122; poi possibile calcolare il secondo limite quello per x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; lim đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ . đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ą

1

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; studiare il seguente limite: lim â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = lim â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľ = 0 + . đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ą

Coordinando si ha lim đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = 1+ . đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Non eâ&#x20AC;&#x2122; necessario ricercare asintoti obliqui.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;


Calcolo della derivata prima.

đ?&#x2018;Ą

La funzione y = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; intendibile come una funzione composta.

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

La funzione derivata di y ovvero yâ&#x20AC;&#x2122; eâ&#x20AC;&#x2122; yâ&#x20AC;&#x2122; = (đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ ) đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ą

(â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2 = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2 .

Si evidenzia che il dominio della funzione derivata coincide con il dominio della funzione.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere dom y = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛.

Ricerca dei punti critici. Calcolo delle ascisse di essi.

Deve porsi eguale a zero la derivata prima della funzione avendosi che:

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2 = 0

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; avrebbe pertanto che

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľ2

= 0 ovvero deve risultare nullo il numeratore:

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

tđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = 0, inpossibile dovendo risultare t > 0, dovendo risultare đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030; 0.

La funzione non ha punti stazionari.

Assodata la monotonia di detta funzione se ne ipotizza la stretta decrescenza.

La conferma si puoâ&#x20AC;&#x2122; ottenere con il seguente ragionamento:


Sia đ?&#x2018;Ľ1 > đ?&#x2018;Ľ2 e si consideri la ratio seguente: đ?&#x2018;Ą

r=

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2

=đ?&#x2018;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019; ) đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ą

= (đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;Ľ2

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľ1

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą

Occorre considerare la quantitaâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ osservando che quando si ha đ?&#x2018;Ľ2 > đ?&#x2018;Ľ1 risulta essere 2

1

1

2

1

1

che đ?&#x203A;ź(đ?&#x2018;Ľ1 , đ?&#x2018;Ľ2 ) = đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2013; ( â&#x2C6;&#x2019;1, 0). Pertanto si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che r = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x203A;ź < 1

In coordinamento con la monotonia si evince la decrescenza di f(x) quando t > 0.

Si osservi che per t < 0 la funzione nonotona eâ&#x20AC;&#x2122; crescente in quanto tđ?&#x203A;ź > 0.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare un ulteriore caso di funzione esponenziale quale la seguente:

f(x) = đ?&#x2018;&#x2019; |đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1|

Il dominio di f eâ&#x20AC;&#x2122; il continuo reale, ovvero (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, +â&#x2C6;&#x17E;).

Quanto al segno possiamo affermare che f(x) > 0 in quanto lâ&#x20AC;&#x2122;esponente della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; un valore assoluto, quindi un numero reale non negativ0.

Vanno verificate le simmetrie.

f(x) = f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)


Se cosiâ&#x20AC;&#x2122; fosse allora sarebbe |x â&#x2C6;&#x2019;1| = | â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1| .

Occorre lavorare sul II membro per avere | â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1| = |(â&#x2C6;&#x2019;1) (đ?&#x2018;Ľ + 1)| = |(đ?&#x2018;Ľ + 1)|

Si comprende immediatamente che deve essere |x â&#x2C6;&#x2019;1| â&#x2030; |(đ?&#x2018;Ľ + 1)|

La funzione considerata eâ&#x20AC;&#x2122; monotona e non pari.

Se ne verifica ora la eventuale disparitaâ&#x20AC;&#x2122;, ovvero se eâ&#x20AC;&#x2122; f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ).

f(â&#x2C6;&#x2019;x) = đ?&#x2018;&#x2019; |â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1| =đ?&#x2018;&#x2019; |đ?&#x2018;Ľ+1| > 0

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2019; |đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1| < 0.

Dal che si desume che f(â&#x2C6;&#x2019;x)â&#x2030; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ).

Ma per evidenziare la impossibilitaâ&#x20AC;&#x2122; della condizione per la quale la funzione considerata non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere dispari eâ&#x20AC;&#x2122; che essa deve sempre essere positiva per la presenza del valore assoluto nellâ&#x20AC;&#x2122;argomento dellâ&#x20AC;&#x2122;esponenziale.

Quanto ai limiti allâ&#x20AC;&#x2122;infinito si osserva che essi sono legati al limite della quantitaâ&#x20AC;&#x2122; |đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1|.

In particolare si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che lim đ?&#x2018;&#x2019; |đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1| = +â&#x2C6;&#x17E;. đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;Âąâ&#x2C6;&#x17E;

I due limiti sono eguali ma la funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; simmetrica rispetto allâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ordinate.


La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; illimitata superiormente ad ammette un minimo per |x â&#x2C6;&#x2019;1| = 0 in corrispodenza di x = 1.

Il punto di minimo della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; (1, f(1)) â&#x2030;Ą (1, đ?&#x2018;&#x2019; 0 ) â&#x2030;Ą (1 , 1).

In buona sostanza sup f(x) = +â&#x2C6;&#x17E; mentre inf f(x) = min đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) in (1 , 1).

Va ricardato che specie nella manualistica avanzata la funzione esponenziale viene indicate con il formalismo y = exp(x).

Si ricordi quindi che: y = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą exp(x).

7. Teoremi sulle funzioni pari e dispari.

Eâ&#x20AC;&#x2122; ben noto che una funzione f eâ&#x20AC;&#x2122; pari se f(x) = f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) eâ&#x20AC;&#x2122; identicamente vera, ovvero se eâ&#x20AC;&#x2122; vera per ogni x tale che x appartiene al dominio della funzione.

Come noto, una funzione pari eâ&#x20AC;&#x2122; simmetrica rispetto allâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ordinate.

Si dimostra che la somma di due (o piuâ&#x20AC;&#x2122;) funzioni pari eâ&#x20AC;&#x2122; una funzione pari.

Si ammetta in prima ipotesi che le due funzioni f e g siano tali che dom f = dom g.


Siano f e g due funzioni pari.

Occorre dimostrare che la funzione f(x) Âą g(x) eâ&#x20AC;&#x2122; una funzione pari.

Dalle due relazioni

f(x) = f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)

g(x) = g(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)

sommando e sottranedo membro a membro si ottengono le due relazioni condensate in una unica relazione, quale la seguente:

f(x) Âą g(x) = f(â&#x2C6;&#x2019;x) Âą g(â&#x2C6;&#x2019;x) â&#x;ş f(x) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) =Âąđ?&#x2018;&#x201D;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x201C; đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x;ş f(x) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = Âą1âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x201D;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)âŚ&#x152; â&#x;ş 0 = Âą1 â&#x2C6;&#x2014; 0 ovvero 0 = 0.

In generale la somma di n funzioni pari eâ&#x20AC;&#x2122; una funzione pari.

La funzione F(x) = (â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ)) +đ?&#x2018;&#x2DC; eâ&#x20AC;&#x2122; pari se le đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013; sono pari.

Le funzioni pari hanno un dominio simmetrico rispetto alla origine del sistema di assi cartesiani ortogonali.


Riflessioni analoghe possono essere fatte per le funzioni dispari, ovvero per le funzioni per le quali si ha f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(x).

Dette funzioni sono simmetriche rispetto allâ&#x20AC;&#x2122;origine del sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

8. Le funzioni goniometriche

Si consideri la seguente funzione contenente sin(.) e cos(.). đ?&#x153;&#x2039; 3đ?&#x153;&#x2039;

y = sin(x) â&#x2C6;&#x2019; cos(x) +1 da studiare nellâ&#x20AC;&#x2122;intervallo chiuso âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019; 2 ,

2

âŚ&#x152;.

Si osserva che la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; continua e derivabile in ogni punto del dominio.

La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; limitata.

La funzione passa per lâ&#x20AC;&#x2122;origine del sistema cartesiano. Infatti, per x = 0 si ha f(0) =sin(0) â&#x2C6;&#x2019; cos(0) + 1 = 0 â&#x2C6;&#x2019; 1 + 1 = 0.

(o, f(o)) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto del luogo.

Verifica delle simmetrie.

Deve essere ricordato che cos(x) =cos(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) e che sin(x)=â&#x2C6;&#x2019; sin(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ).


Incidentalmente da esse si ottiene una proprietaâ&#x20AC;&#x2122; della funzione tangente tg(x).

Infatti, dividendo membro a membro le due relazioni trovate si ottiene che:

sin(đ?&#x2018;Ľ) cos(đ?&#x2018;Ľ)

=

â&#x2C6;&#x2019; sin(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) cos(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)

Si ottiene una ben nota relazione, ovvero:

tg(x) =â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)

Dovendo essere cos(Âąđ?&#x2018;Ľ) â&#x2030; 0.

Si imponga f(x)= f(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) â&#x;ş sin(x) â&#x2C6;&#x2019; cos(x) +1 = sin(â&#x2C6;&#x2019;x) â&#x2C6;&#x2019; cos(â&#x2C6;&#x2019;x) +1 â&#x;ş sin(x) â&#x2C6;&#x2019; cos(x) +1 â&#x2C6;&#x2019;sin(â&#x2C6;&#x2019;x) + cos(â&#x2C6;&#x2019;x) â&#x2C6;&#x2019;1 = 0 â&#x;ş sin(x) â&#x2C6;&#x2019; cos(x) + sin(x) + cos(đ?&#x2018;Ľ) = 0 â&#x;ş 2sin(đ?&#x2018;Ľ)= 0.

Tale relazione non eâ&#x20AC;&#x2122; identicamente vera per ogni x del dominio di f.

Pertanto la funzione non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere pari.

In parti ulteriori di questo breve elaborato sono contenute altre osservazioni elementari relative alle funzioni pari e dispari.

Procediamo ora al calcolo della derivata prima.

yâ&#x20AC;&#x2122; = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ sinx +đ??ˇđ?&#x2018;Ľ cosx +đ??ˇđ?&#x2018;Ľ 1 = cosx +đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ + 0 = cosx +đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ


Sono state applicate due derivate fondamentali, cioeâ&#x20AC;&#x2122;:

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ sinx = cosx

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ cosx = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ

Ricerca dei punti stazionari.

Deve essere che cosx +đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ = 0.

In definitiva cosx =â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; utilizzare la nozione di tangente goniometrica di un angolo, avendo che

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ

= â&#x2C6;&#x2019;1 = tgx e in definitiva x = arctg ( â&#x2C6;&#x2019;1)

đ?&#x153;&#x2039; 3đ?&#x153;&#x2039;

Nel dominio di f, ovvero lâ&#x20AC;&#x2122;intervallo chiuso âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019; 2 , đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

quali eâ&#x20AC;&#x2122; x = â&#x2C6;&#x2019; 4 e x = â&#x2C6;&#x2019; 4 + đ?&#x153;&#x2039; =

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x2039;+4đ?&#x153;&#x2039; 4

=

3đ?&#x153;&#x2039; 4

.

2

âŚ&#x152; i punti stazionari sono quelli per i


9. Osservazione sulla periodicitaâ&#x20AC;&#x2122; di funzioni goniometriche

Come noto, le funzioni goniometriche sono periodiche.

Alcune particolari funzioni goniometriche, studiate nel dominio del tempo, ovvero considerando t quale variabile indipedente in luogo della x, sono particolarmente utili per gli sviluppi fisici che hanno âŚ&#x2039;Bramanti, Salsa, PaganiâŚ&#x152;.

Si tratta delle seguenti:

t â&#x2020;&#x2019; Asin(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą)

t â&#x2020;&#x2019; Bcos(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą) .

Di dette funzioni eâ&#x20AC;&#x2122; possibile calcolare il periodo minimo T.

Una modalitaâ&#x20AC;&#x2122; alternativa per detto calcolo potrebbe essere la seguente.

Una prima osservazione deriva dalla periodicitaâ&#x20AC;&#x2122; del seno.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; infatti scrivere che:

sin(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą) = sin(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039;) ben potendo porre ad esempio k = 1, quindi avendo che:

sin(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą) = sin(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + 2đ?&#x153;&#x2039;) .

Ma eâ&#x20AC;&#x2122; possibile anche scrivere che sin(đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;&#x2021;)) = sin(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + 2đ?&#x153;&#x2039;).


Si puoâ&#x20AC;&#x2122; proporre una riflessione del tipo: se si ammette che sia vera detta relazione allora sono eguali gli angoli, o forse eâ&#x20AC;&#x2122; meglio fare il ragionamento alternativo e dire che due angoli eguali hanno lo stesso seno. Vi eâ&#x20AC;&#x2122; una evidente ragione di univocitaâ&#x20AC;&#x2122; che giustifica cioâ&#x20AC;&#x2122;.

Cioâ&#x20AC;&#x2122; non va inteso peroâ&#x20AC;&#x2122; che angoli diversi possano avere lo stesso valore del seno.

In buona sostanza occorre stabilire per quale T risulti:

(đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;&#x2021;)) = (đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + 2đ?&#x153;&#x2039;) â&#x;ş đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2021; = đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą + 2đ?&#x153;&#x2039; â&#x;ş đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2021; = 2đ?&#x153;&#x2039; â&#x2020;&#x2019; T =

2đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x153;&#x201D;

Il simbolo â&#x2020;&#x2019; eâ&#x20AC;&#x2122; qui utilizzato nel significato di â&#x20AC;&#x153;ottengoâ&#x20AC;?.

Eâ&#x20AC;&#x2122; stato quindi determinato il periodo minimo della funzione.

Analoghe considerazioni possono essere fatte in relazione alla funzione cos(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą) .

1

La grandezza đ?&#x2018;&#x2021; eâ&#x20AC;&#x2122; detta frequenza, mentre A eâ&#x20AC;&#x2122; detta ampiezza e đ?&#x153;&#x201D; eâ&#x20AC;&#x2122; detta pulsazione. Si tenga presente che in generale la relazione sin(đ?&#x203A;ź) = sin(đ?&#x203A;˝) non implica necessariamente sia đ?&#x203A;ź = đ?&#x203A;˝.

Vi eâ&#x20AC;&#x2122; un esempio elementare, che si impara negli studi di Trigonometria, che evidenzia đ?&#x153;&#x2039;

questa non necessaria implicazione, ovvero la relazione vera sin(đ?&#x203A;ź) = sin(đ?&#x203A;ź + 2 ).


La figura eâ&#x20AC;&#x2122; peraltro incompleta richiedendo di disegnare la circonferenza di raggio unitario.

Nelle applicazioni eâ&#x20AC;&#x2122; bene ricordare che le funzioni goniometriche del tipo y =Asin(kx), quando k eâ&#x20AC;&#x2122; intero assoluto o razionale ha periodo minimo T =

2đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2DC;

.

Se sono date due funzioni goniometriche di periodi minimi đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;2 allora la funzione f â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x201C;1 +đ?&#x2018;&#x201C;2 ha period minimo T eguale al piuâ&#x20AC;&#x2122; piccolo multiplo di đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;2 .

Esistono quindi due interi đ?&#x2018;&#x203A;1 đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;2 tali che T = đ?&#x2018;&#x203A;1 đ?&#x2018;&#x2021;1 = đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;&#x2021;2 e in definitive si ha: đ?&#x2018;&#x2021;1 đ?&#x2018;&#x2021;2

đ?&#x2018;&#x203A;

= đ?&#x2018;&#x203A;2 1

đ??źđ?&#x2018;&#x2122; periodo della funzione f eâ&#x20AC;&#x2122; T = đ?&#x2018;&#x203A;1 đ?&#x2018;&#x2021;1 se đ?&#x2018;&#x203A;1 < đ?&#x2018;&#x203A;2 . Ma il periodo della funzione f eâ&#x20AC;&#x2122; T = đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;&#x2021;2 se đ?&#x2018;&#x203A;2 < đ?&#x2018;&#x203A;1 .

Un esempio aiuta a chiarireâ&#x20AC;Ś..


2

2

3

5

Sia data la funzione f(x) = ksin( x) + 2sin( x), dovendo dimostrare che T = 15đ?&#x153;&#x2039;.

2

Si considera la prima funzione, cioeâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201C;1 = ksin(3x). Il periodo di essa non dipende dallâ&#x20AC;&#x2122;apmpiezza k.

Si ha che đ?&#x2018;&#x2021;1 =

2đ?&#x153;&#x2039; 2 3

3

= 2đ?&#x153;&#x2039; 2 = 3đ?&#x153;&#x2039;.

Il periodo della seconda funzione non dipende dalla ampiezza 2 e si puoâ&#x20AC;&#x2122; srivere che:

đ?&#x2018;&#x2021;2 =

2đ?&#x153;&#x2039; 2 5

5

= 2đ?&#x153;&#x2039; 2 = 5đ?&#x153;&#x2039;.

đ?&#x2018;&#x2021;

đ?&#x2018;&#x203A;

3đ?&#x153;&#x2039;

3

Dalla formula đ?&#x2018;&#x2021;1 = đ?&#x2018;&#x203A;2 si ottiene 5đ?&#x153;&#x2039; = 5 Essendo 3 < 5 si utilizza đ?&#x2018;&#x203A;2 . 2

1

Pertanto il periodoT vale T = đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;&#x2021;2 = 3â&#x2C6;&#x2122; 5đ?&#x153;&#x2039; = 15đ?&#x153;&#x2039;.

10. Alcuni teoremi fondamentali del calcolo differenziale

10.1 Il teorema di Fermat

Sia data una funzione f(x) derivabile in un intervallo aperto (a , b), cioeâ&#x20AC;&#x2122; derivabile in ogni punto dellâ&#x20AC;&#x2122;intervallo considerato.


Il teorema di Fermat dice che se (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x153; )) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di massimo (o di minimo) della funzione data allora in detto punto si ha đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľ|đ?&#x2018;Ľ0 ) = 0.

Il teorema di Fermat non eâ&#x20AC;&#x2122; una condizione necessaria e sufficiente in quanto la condizione fâ&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ0 ) non implica necessariamente che il punto (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x153; ) ) sia un punto di massimo o di minimo per la funzione assegnata.

Esiste infatti il controesempio rappresentato dal flesso a tangente orizzontale.

10.2 Il teorema di Rolle

Eâ&#x20AC;&#x2122; data (ipotesi) una funzione f continua in âŚ&#x2039; a, b âŚ&#x152; e derivabile in (a, b) per la quale sia f(a) = f(b). Verificate queste condizioni si ha che esiste almeno un punto đ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x153;&#x2013; (a, b) tale che f â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ0 ) = 0

Va precisato che detto punto non necessariamente eâ&#x20AC;&#x2122; unico.

Eâ&#x20AC;&#x2122; quindi utile con riferimento ad una data funzione reale di una variabile reale verificare se essa soddisfa o meno le condizioni del teorema di Rolle.

Un esempio di funzione che verifica le condizioni del teorema di Rolle eâ&#x20AC;&#x2122; y = 4đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ quando essa viene studiata in âŚ&#x2039; 0, đ?&#x153;&#x2039;âŚ&#x152;.


Per contro si dimostra che la funzione y = đ?&#x2018;Ľ 2 + |x| in âŚ&#x2039; â&#x2C6;&#x2019;1, 1âŚ&#x152; non verifica le condizioni del teorema di Rolle.

A titolo di esempio si consideri la funzione y = 4đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ studiata in âŚ&#x2039; 0, đ?&#x153;&#x2039;âŚ&#x152;.

Verifichiamo che agli estremi eâ&#x20AC;&#x2122; soddisfatta una delle condizioni del teorema di Rolle.

Vediamo se y(0) = y(đ?&#x153;&#x2039;). Tale condizione eâ&#x20AC;&#x2122; verificata immediatamente in quanto risulta che sin(0) = sin(đ?&#x153;&#x2039;) = 0.

La funzione y = 4đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; continua in ogni punto dellâ&#x20AC;&#x2122;intervallo considerato.

Infatti eâ&#x20AC;&#x2122; continua anche g(x) = sin(x).

La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; parimenti derivabile in âŚ&#x2039; 0, đ?&#x153;&#x2039;âŚ&#x152;.

Ne calcolo la derivata prima. Una complicazione nasce dal datto che in luogo di e qui si trova la costante 4.

La regola di derivazione eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente:

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = fâ&#x20AC;&#x2122; (x) đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) ln(a).

Nel caso di specie si ha a = 4 e conseguentemente si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che la derivata vale

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ 4sin(đ?&#x2018;Ľ) = cos(x) 4sin(đ?&#x2018;Ľ) ln(4).


La derivata prima esiste in ogni punto dellâ&#x20AC;&#x2122;intervallo ( 0, đ?&#x153;&#x2039; ).

Occorre trovare un valore per il quale risulti cos(x) 4sin(đ?&#x2018;Ľ) ln(4) = 0.

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; eâ&#x20AC;&#x2122; ln(4) â&#x2030; 0 allora la condizione di annullamento della derivata prima eâ&#x20AC;&#x2122; legata allâ&#x20AC;&#x2122;annullamento del prodotto cos(x) 4sin(đ?&#x2018;Ľ) . Non esistono valori di x che annullano il termine 4sin(đ?&#x2018;Ľ) . Pertanto il valore di x che annulla lâ&#x20AC;&#x2122;espressione eâ&#x20AC;&#x2122; x tale che cos(x) = 0. Nellâ&#x20AC;&#x2122;intervallo considerato la funzione si annulla per x =

đ?&#x153;&#x2039; 2

.

Tolta la restrizione nel dominio di f la nuova funzione che si esamina si annulla per x = đ?&#x153;&#x2039; 2

+ đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039; ove k eâ&#x20AC;&#x2122; un elemento di Z.

10.3 Il teorema di Cauchy

Siano date due funzioni f(x) e g(x) continue in un dato intervallo âŚ&#x2039;a , bâŚ&#x152; e derivabili in (a , b) con gâ&#x20AC;&#x2122;(x) â&#x2030; 0 in ogni x â&#x2C6;&#x2C6; (a , b).

Esiste almeno un punto đ?&#x2018;Ľ0 contenuto in (a , b) tale che sia verificata la seguente eguaglianza:

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;?)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;)

đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ )

= đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ0 ) 0


Si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare il seguente esempio relativo alle seguenti funzioni.

f(x) = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ con k intero positiv0 â&#x2030;Ľ 2

g(x) = 1 + đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

Esse vanno studiate in un intervallo âŚ&#x2039;a , b âŚ&#x152;.

Le funzioni sono continue in R e quindi continue in âŚ&#x2039;a , bâŚ&#x152;â&#x160;&#x2020; R.

Le due funzioni sono derivabili in R e se ne calcolano le derivate.

đ?&#x2018;&#x2018;

Risulta đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

kx = (đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ )k > 0 â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030; 0, â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C;.

Analogamente si deriva anche la seconda funzione avendo che:

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2018;

(1 + đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ ) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ (1) + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = 0 + đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ > 0 â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201D;.

Si imposta il primo membro della relazione di Cauchy avendo che:

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;)

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC;

= 1 +đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;?)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;)

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;

Sia x il punto che verifica la condizione del teorema di Cauchy.

Allora sarebbe:


đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;

=

(đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ )k đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

= k đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = kđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1)

La quantitaâ&#x20AC;&#x2122; a primo membro eâ&#x20AC;&#x2122; nota e la si indica con la lettera đ?&#x153;&#x2018; avendosi che:

đ?&#x153;&#x2018; = kđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1)

Applicando i logartimi in base e ad ambo i membri si ha:

Ln(đ?&#x153;&#x2018;) = đ??żđ?&#x2018;&#x203A;( kđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1))

Ln(đ?&#x153;&#x2018;) = đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 1)ln(ke)

ln(đ?&#x153;&#x2018;)

Si ottiene x =(đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1)ln(đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2019;)

10.4 Il teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange si enuncia come segue.

Una funzione f(x) continua in un intervallo âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152; e derivabile in (a, b) ha almeno un punto (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 )) tale che sia

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;) đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

= đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ0 ) con đ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x153;&#x2013; (a, b).

Detto teorema eâ&#x20AC;&#x2122; detto teorema del valore medio di una funzione.


In buona sostanza

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;) đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

indica il coefficient angolare della retta passante per i punti (a,

f(a)) e (b , f(b)).

Detta retta ammette almeno un parallela tangente la retta passante per i punti (a, f(a)) e (b , f(b)). Questa seconda retta eâ&#x20AC;&#x2122; tangente la curva f(x) nel punto (đ?&#x2018;Ľ0 , f(đ?&#x2018;Ľ0 )).

Un esempio potrebbe essere quello della funzione y =â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;Ľ + 1 da studiare in âŚ&#x2039;o, 4âŚ&#x152;.

La funzione considerata eâ&#x20AC;&#x2122; continua in âŚ&#x2039;o, 4âŚ&#x152;.

La condizione di realtaâ&#x20AC;&#x2122; del radicale impone sia 2đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2030;Ľ 0 ovvero 2x â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 1

â&#x2C6;&#x2019; 2.

Nellâ&#x20AC;&#x2122;intervallo considerato la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; definita e ivi continua e strettamente crescente, quindi monotona.

2

2

2

Si ha che f(0) = â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2014; 0 + 1 = 1 e risulta che f(4) = â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2014; 4 + 1 = â&#x2C6;&#x161;9 = 3.

Occorre ora calcolare il primo membro avendo che:

đ?&#x2018;&#x201C;(4)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(0) 4â&#x2C6;&#x2019;0

=

3â&#x2C6;&#x2019;1 4

2

1

=4=2

La funzione y =â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;Ľ + 1 eâ&#x20AC;&#x2122; una funzione composta.


Si puoâ&#x20AC;&#x2122; porre 2đ?&#x2018;Ľ + 1 = đ?&#x2018;˘.

Quindi si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere y =â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘ e applicare il teorema della derivata di una funzione composta.

La derivata eâ&#x20AC;&#x2122; scritta come segue:

1

1

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘ fâ&#x20AC;&#x2122;(2đ?&#x2018;Ľ + 1) = 2đ?&#x2018;˘2 = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;Ľ+1

Occorre ora porre

1

1

â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;Ľ+1

= 2 da cui si ha che: 2 = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;Ľ + 1. Da cioâ&#x20AC;&#x2122; si ricava che f(x) vale 2.

Si deve pertanto determinare il valore di x per il quale sia che che f(x) vale 2.

Si ha 2 =â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;Ľ + 1.

3

Elevando al quadrato si ha 4 = 2đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x;ş 2x +1 = 4 â&#x;ş 2đ?&#x2018;Ľ = 3 â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = 2.

10.5 Il teorema di Bernoulli-De lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital

Siano date due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un intervallo simmetrico di centro đ?&#x2018;Ľ0 con derivate continue in detto intorno tali che gâ&#x20AC;&#x2122;(x) â&#x2030; o e infinitesime.

Risulta che: lim

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)

= lim

đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ )

= đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ0 ) . 0


Come esempio di applicazione del teorema in oggetto si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare il seguente limite.

1

đ?&#x2018;Ľ

1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

lim ln(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; ln(đ?&#x2018;Ľ) =lim ln(đ?&#x2018;Ľ) lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 1 đ?&#x2018;Ľ

0

= 1 = 0.

Un ulteriore esempio potrebbe essere il seguente:

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1

lim sin(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

0

Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0 in quanto applicando i teoremi noti sui limiti si avrebbe questa situazione:

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1

lim đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 lim sin(đ?&#x2018;Ľ) = lim = sin(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;&#x2019; 0 â&#x2C6;&#x2019;1 sin(0)

0

= 0.

Calcolo le due derivate prime avendo che đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ e đ??ˇđ?&#x2018;Ľ sin(đ?&#x2018;Ľ) = cos(x).

Le due devitate prime hanno campo di esistenza tutto R e sono ovunque derivabili.

Quindi sono derivabili pure in un intorno simmetrico di x = 0.

đ?&#x2018;&#x2019;0

1

Sono verificate le condizioni del teorema e il limite vale đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (đ?&#x2018;&#x153;) = 1 = 1.

Pertanto si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1

lim sin(đ?&#x2018;Ľ) = 1.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0


10.6 Teorema fondamentale delle funzioni crescenti e decrescenti

Sia f(x) definita in un intervallo I di estremi a e b (aperto o chiuso) e ivi derivabile.

Se â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2013; đ??ź đ??ˇđ?&#x2018;Ľ f(x) > 0 â&#x;ş đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) eâ&#x20AC;&#x2122; crescente in I

Se â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2013; đ??ź đ??ˇđ?&#x2018;Ľ f(x) < 0 â&#x;ş đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) eâ&#x20AC;&#x2122; decrescente in I.

Si tratta di condizioni necessarie e sufficienti.

Si deve precisare che vanno tenuti distinti i punti di massimo (minimo) relativo dal punto di massimo (minino) assoluto.

La nozione di massimo relativo eâ&#x20AC;&#x2122; rimessa alla valutazione del valore di una funzione in un intorno di un punto đ?&#x2018;Ľ0 .

Il punto (đ?&#x2018;Ľ0 , f(đ?&#x2018;Ľ0 ) ) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di massimo relativo se â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ | (đ?&#x2018;Ľ â&#x2030; đ?&#x2018;Ľ0 , x đ?&#x153;&#x2013;(đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x2018;&#x;) risulta che f(x) â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 ).

In modo analogo si puoâ&#x20AC;&#x2122; determinare il minimo relativo di una funzione alegebrica o trascendente.

La nozione di minimo relativo eâ&#x20AC;&#x2122; rimessa alla valutazione del valore di una funzione in un intorno di un punto đ?&#x2018;Ľ0 .


Il punto (đ?&#x2018;Ľ0 , f(đ?&#x2018;Ľ0 ) ) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di minimo relativo se â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ | (đ?&#x2018;Ľ â&#x2030; đ?&#x2018;Ľ0 , x đ?&#x153;&#x2013;(đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x2018;&#x;) risulta che f(x) â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 ).

10.7 Teorema fondamentale sui massimi e sui minimi di una funzione

Data una funzione f(x) definita e continua in âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152; e ivi derivabile.

Condizione necessaria ma non sufficiente affincheâ&#x20AC;&#x2122; il punto (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 )) sia o un massimo o un minimo relativo eâ&#x20AC;&#x2122; che đ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;Ľ =đ?&#x2018;Ľ0 = 0.

Non si tratta di una condizione necessaria e sufficiente in quanto đ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;Ľ =đ?&#x2018;Ľ0 = 0 non implica che il punto (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0)) sia o un massimo o un minimo relativo.

Come giaâ&#x20AC;&#x2122; detto esiste il caso dei flessi a tangente orizzontale.

La questione dei massimi e dei minimi va completata con punti di massimo o di minimo corrisondenti a punti di non derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122;.

La questione saraâ&#x20AC;&#x2122; affrontata nelle pagine successive. Si tratta dei cosiddetti punti singolari.


10.8 Teorema di Bolzanoâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x203A;˝

Data una funzione f(x) continua in âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152;.

Tale funzione ammette un massimo assoluto e un minimo assoluto in âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152;.

Se max f(x) < +â&#x2C6;&#x17E; la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; limitata superiormente.

Se min f(x) > â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; limitata inferiormente.

Una funzione limitata inferiormente e superiormente eâ&#x20AC;&#x2122; limitata.

In questo caso Im f â&#x160;&#x201A; đ?&#x2018;&#x2026;.

Nel caso di funzione limitata inferiormente si ha che Im f = (đ?&#x2018;&#x2DC;, +â&#x2C6;&#x17E;) ove k đ?&#x153;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2026;.

Nel caso di funzione limita superiormente si ha che Im f = (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x201E;&#x17D;) ove h đ?&#x153;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2026;.

Una funzione limitata eâ&#x20AC;&#x2122; una funzione per la quale Im f = (a , b), ove a e b sono due numeri reali.

Un esempio tipico di funzione limitata e continua eâ&#x20AC;&#x2122; la funzione y = sin(x).

In essa, come noto, si ha Im f = âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019;1, 1âŚ&#x152;.


Ulteriori importanti teoremi del calcolo differenziale saranno esaminati nei paragrafi successivi.

11. Alcune funzioni poco utilizzate

11.1 La funzione parte intera

La funzione parte intera viene formalizzata come segue:

y =âŚ&#x2039;xâŚ&#x152;

Questa funzione istituisce una corrispondenza tra un numero reale x e la sua parte intera indicata con il formalismo âŚ&#x2039;xâŚ&#x152;.

Qualche esempio potrebbe essere utile a chiarire.

Si ha che:

âŚ&#x2039;2,339393939âŚ&#x152; = 2, ed anche âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019;10,44944949âŚ&#x152; =â&#x2C6;&#x2019;10 ed anche per elementi di Q (insieme dei đ?&#x2018;&#x17D;

razionali) si ha che âŚ&#x2039;đ?&#x2018;?âŚ&#x152;= q.

Dom f = R.

Im f = Z.


Sia Z lâ&#x20AC;&#x2122;insieme degli interi relativi. Se zâ&#x20AC;&#x2122; e zâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; sono due successivi interi relativi allora â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ | đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2013; âŚ&#x2039;đ?&#x2018;§ â&#x20AC;˛ , đ?&#x2018;§â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛âŚ&#x152; si ha che âŚ&#x2039;xâŚ&#x152;= min (zâ&#x20AC;&#x2122;, zâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;).

11.2 La funzione mantissa mant(x)

La funzione mantissa viene scritta come segue:

mant(x) = x â&#x2C6;&#x2019;[đ?&#x2018;Ľ]

Essa indica, quindi, la differenza tra la x e la sua parte intera.

Il dominio della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;insieme R dei numeri reali, mentre lâ&#x20AC;&#x2122;immagine della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;intervallo âŚ&#x2039;0, 1).

La funzione mat(x) assume il valore 0 quando x = âŚ&#x2039;1âŚ&#x152; ed ha periodo 1.

11.3 La funzione caratteristica

La funzione caratteristica assume il valore 1 in un determinato intervallo ed assume il valore 0 in ogni altro punto del continuo reale.

Essa si indica con il seguente formalismo:


đ?&#x153;&#x2018;âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D;,đ?&#x2018;?âŚ&#x152; (x) = 1 se x đ?&#x153;&#x2013; âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152;

đ?&#x153;&#x2018;âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D;,đ?&#x2018;?âŚ&#x152; (x) = 0 se x đ?&#x153;&#x2013; R â&#x2C6;&#x2019;âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152;.

Si ricordi che R â&#x2C6;&#x2019;âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152; = (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, đ?&#x2018;&#x17D;) â&#x2C6;Ş (đ?&#x2018;? , +â&#x2C6;&#x17E;).

Va precisato che dom đ?&#x153;&#x2018;âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D;,đ?&#x2018;?âŚ&#x152; (x) = đ?&#x2018;&#x2026; mentre Im đ?&#x153;&#x2018;âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D;,đ?&#x2018;?âŚ&#x152; (x) = {0, 1}.

11.4 La funzione segno di x

La funzione y =sign(x) viene definita come segue.

sign(x) = 1 per x | x đ?&#x153;&#x2013; (0, +â&#x2C6;&#x17E;)

sign(x) = 0 per x = 0

sign(x) = â&#x2C6;&#x2019;1 per x â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 0).

Dom sign(x) eâ&#x20AC;&#x2122; il continuo reale.

Im sign(x) = {â&#x2C6;&#x2019;1, 0, 1}.


11.5 Osservazione

Una funzione definita in (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; , +â&#x2C6;&#x17E;) continua e nonotona eâ&#x20AC;&#x2122; suriettiva.

In questo caso Im f = (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; , +â&#x2C6;&#x17E;).

Essa definisce una applicazione di R in seâ&#x20AC;&#x2122;.

12. Sottoinsiemi di R e successioni reali.

Per i sottoinsiemi di R sono possibili definizioni riconducibili a quelle date per le funzioni. Eâ&#x20AC;&#x2122; infatti possibile stabilire se essi sono limitati o meno e se per essi vale il teorema di Bolzano-Weierstraβ.

Sia dato ad esempio il seguente esempio.

1

Studiare lâ&#x20AC;&#x2122;insieme {(â&#x2C6;&#x2019; 2)đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; }

Esso eâ&#x20AC;&#x2122; sicuramente un insieme infinito in quanto N, insieme dei numeri naturali, eâ&#x20AC;&#x2122; illimitato superiormente.

Si possono agevolmente calcolare i primi termini ottenibili al variare di n in N.


1

n

(â&#x2C6;&#x2019; )đ?&#x2018;&#x203A;

1

â&#x2C6;&#x2019;2

2

1

1

2

4

1

â&#x2C6;&#x2019;8

3

etc.

Nella sequenza si alternano valori positivi e valori negativi.

Ragionando sui valori positivi si osserva che al variare di n in N si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:

1

1

(â&#x2C6;&#x2019; 2)2đ?&#x2018;&#x203A; > (â&#x2C6;&#x2019; 2)2(đ?&#x2018;&#x203A;+1) .

1

1

1

Pertanto max{(â&#x2C6;&#x2019; 2)đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; } = (â&#x2C6;&#x2019; 2)min(2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x20AC;˛) ovvero per nâ&#x20AC;&#x2122; = 1 cioeâ&#x20AC;&#x2122; max{(â&#x2C6;&#x2019; 2)đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; } =

1

.

4

Si osservi che per n pari la sottosuccessione associata converge al valore 0 da destra, quindi per valori via via decrescenti che per n pari arbitrariamente grande tende a 0+ .


1

Per n dispari si ha che al variare di n dispari crescente il valore negativo(â&#x2C6;&#x2019; )2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x20AC;˛+1 tende al 2

valore 0â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x203A;â&#x20AC;˛ â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;.

1

1

1

I punti (â&#x2C6;&#x2019; 2)đ?&#x2018;&#x203A; sono tutti interni allâ&#x20AC;&#x2122;intervallo âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019; 2 , 4âŚ&#x152;

1

1

1

1

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; affermare che sup{(â&#x2C6;&#x2019; 2)đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; } = max {(â&#x2C6;&#x2019; 2)đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; } = 4 e che inf {(â&#x2C6;&#x2019; 2)đ?&#x2018;&#x203A; 1

1

â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; } = min {(â&#x2C6;&#x2019; 2)đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; } = â&#x2C6;&#x2019; 2 .

Al riguardo si puoâ&#x20AC;&#x2122; ricordare il teorema di Bolzano-Weierstraβ per il quale:

Ogni insieme limitato e infinito di numeri reali ha almeno un punto di accumulazione.

Al riguardo eâ&#x20AC;&#x2122; utile ricordare la nozione di punto di accumulazione.

Un punto di accumulazione per un insieme eâ&#x20AC;&#x2122; un punto, non necessariamente appartenente allâ&#x20AC;&#x2122;insieme, tale che esiste almeno un intorno cadono punti dellâ&#x20AC;&#x2122;insieme.

Con riferimento allâ&#x20AC;&#x2122;insieme dato ad esempio il numero 0 eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di accumulazione dellâ&#x20AC;&#x2122;insieme considerato.

1

0 â&#x2C6;&#x2030; {(â&#x2C6;&#x2019; 2)đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; } ma esistono intorni dello zero che contengono elementi di detto insieme, come evidenziato.


Si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare un ulteriore semplice esempio, quello costituito dallâ&#x20AC;&#x2122;insieme {

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;+1

|n

đ?&#x153;&#x2013;đ?&#x2018; }.

Questo esempio offre lo spunto di introdurre un ulteriore concetto proprio dellâ&#x20AC;&#x2122;analisi, ovvero quello di successione reale.

Una successione reale eâ&#x20AC;&#x2122; una relazione, o piuâ&#x20AC;&#x2122; precisamente, una funzione che associa ad un numero intero un numero reale secondo una data legge.

Possiamo ad esempio scrivere che:

f: N â&#x2020;&#x2019; R tale che n â&#x2020;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;+1

La relazione considerata associa al numero intero assoluto n il numero razionale

đ?&#x2018;&#x203A;

.

đ?&#x2018;&#x203A;+1

đ?&#x2018;&#x203A;

Si tratta di una funzione iniettiva nel senso che a distinti n corrispondono distinti đ?&#x2018;&#x203A;+1. đ?&#x2018;&#x203A;

Si tratta di una biiezione in quanto ad un dato đ?&#x2018;&#x203A;+1 corrisponde un unico intero n.

Le successioni numeriche vengono indicate con un particolare formalismo, quale ad esempio il seguente:

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A;+1


Sono ottenibili i vari termini della successione, cioeâ&#x20AC;&#x2122;:

1

1

2

2

đ?&#x2018;&#x17D;1 = 1+1= 2

đ?&#x2018;&#x17D;2 = 2+1= 3

Anche in relazione alle successioni numeriche eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare lâ&#x20AC;&#x2122;operazione di passaggio al limite ovvero dare significato alla scrittura lim

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;+1

= 1.

1

La succesione eâ&#x20AC;&#x2122; quindi limitata e si ha che min đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 2 e sup đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 1.

La successione eâ&#x20AC;&#x2122; monotona e strettamente crescente.

In alcune circostanze le successioni vengono assegnate per ricorrenza.

Nella manualistica se ne trovano molte, quali ad esempio la seguente, detta frazione di Cataldi.

1

2

đ?&#x2018;&#x17D;1 = 4 e đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 = 8+đ?&#x2018;&#x17D; . đ?&#x2018;&#x203A;

Vorrei indicare i primi termini di essa che sono:âŚ&#x2039;

đ?&#x2018;&#x17D;2 =

2 8+

1 4

=

2 33 4

8

= 33 , đ?&#x2018;&#x17D;2 =

2 8+

8 33

etcâ&#x20AC;Ś..

Per le successioni numeriche eâ&#x20AC;&#x2122; di fondamentale importanza la nozione di limite.


Ho rinvenuto nella manualistica âŚ&#x2039;Galligani, Laganaâ&#x20AC;&#x2122;, MazzoneâŚ&#x152; due nozioni preliminari utili alla definizione di limite. Esse sono quelle di â&#x20AC;&#x153;trappolaâ&#x20AC;? e di â&#x20AC;&#x153;tanaâ&#x20AC;?.

Un intervallo (a, b) si dice trappola per la successione đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; se i valori di essa ad un certo punto stanno definitivamente in (a, b) cioeâ&#x20AC;&#x2122; se esiste un intero đ?&#x2018;&#x203A;0 tale che â&#x2C6;&#x20AC; n > đ?&#x2018;&#x203A;0 allora đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;>đ?&#x2018;&#x203A;0 đ?&#x153;&#x2013; (a, b).

Viene data anche la nozione di tana. Un insieme (a, b) eâ&#x20AC;&#x2122; una tana per la successione {đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; } se â&#x2C6;&#x20AC;n â&#x2C6;&#x192; đ?&#x2018;&#x203A;0 đ?&#x153;&#x2013; (a, b). Si dice che gli đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; stanno frequentemente in (a, b).

Da queste nozioni si perviene a quelle di punto limite. Un punto limite eâ&#x20AC;&#x2122; un punto tale che ogni suo intorno eâ&#x20AC;&#x2122; una tana per la successione {đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; }.

Si perviene quindi alla nozione di successione limitata.

Si scrive che esite finito ed eguale ad L il seguente limite:

lim đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = L se un qualsiasi intorno di L eâ&#x20AC;&#x2122; una trappola per la successione {đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; } .

đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

In termini formali si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x153;&#x20AC; > 0 esiste un đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x20AC; tale che â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; > đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x20AC; risulta essere

|đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ??ż| < đ?&#x153;&#x20AC;.

Eâ&#x20AC;&#x2122; ben evidente che si presuppone noto L.


Tale assunzione non eâ&#x20AC;&#x2122; in generale vera.

Viene quindi data la definzione di successione di Cauchy per la quale si ha:

Una successione reale eâ&#x20AC;&#x2122; detta di Cauchy se dato un đ?&#x153;&#x20AC; > 0 esiste un đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x20AC; tale che presi due interi m ed n maggiori di esso allora risulta |đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; | < đ?&#x153;&#x20AC;.

In genere il calcolo del limite delle successioni eâ&#x20AC;&#x2122; agevole.

Si consideri, ad esempio, il caso seguente.

lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;3

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;3

đ?&#x2018;&#x203A;2 sin(đ?&#x2018;Ľ)+3đ?&#x2018;&#x203A;3

1 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A;3

đ?&#x2018;&#x203A;2 3đ?&#x2018;&#x203A;3 sin(đ?&#x2018;Ľ)+ 3 đ?&#x2018;&#x203A;3 đ?&#x2018;&#x203A;

=

. Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile manipolare đ?&#x2018;&#x203A;2 sin(đ?&#x2018;Ľ)+3đ?&#x2018;&#x203A;3 avendo la seguente espressione

1 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A;3

1 3đ?&#x2018;&#x203A;3 sin(đ?&#x2018;Ľ)+ 3 đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;

=

1 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A;3 sin(đ?&#x2018;&#x203A;) +3 đ?&#x2018;&#x203A;

.

Con questi passaggi algebrici si puoâ&#x20AC;&#x2122; calcolare il limite per n â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; .

1 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A;3 sin(đ?&#x2018;&#x203A;) n â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; +3 đ?&#x2018;&#x203A;

Si ha lim

=

1 lim â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;đ?&#x2018;&#x203A;3 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x203A;) lim +3 đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;

0â&#x2C6;&#x2019;1

1

= 0+3 =â&#x2C6;&#x2019; 4.

(Incidentalmente va ricordato che

lim

đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x203A;) đ?&#x2018;&#x203A;

= 0. Intuitivamente questo limite si

evidenzia ricordando che sin(n) eâ&#x20AC;&#x2122; limitata mentre lim

1

đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;

= 0.)

Ad esempio si puoâ&#x20AC;&#x2122;considerare la seguente successione il cui termine generale eâ&#x20AC;&#x2122;:


đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; =

1 7+1

+

1 72 +2

+ â&#x2039;Ż.+

1

1 7đ?&#x2018;&#x203A; +đ?&#x2018;&#x203A;

1

1

Si ha đ?&#x2018;&#x17D;1 = 7+1 e đ?&#x2018;&#x17D;2 = 7+1 + 72 +2 . Si osserva che đ?&#x2018;&#x17D;2 < đ?&#x2018;&#x17D;1 . In generale risulta đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 < đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; Occorre dimostrare che tale successione eâ&#x20AC;&#x2122; limitata.

Una successione converge solo se eâ&#x20AC;&#x2122; di Cauchy. 1

1

Basta osservare che | 7đ?&#x2018;&#x203A;+1 +(đ?&#x2018;&#x203A;+1) â&#x2C6;&#x2019; 7đ?&#x2018;&#x203A;+đ?&#x2018;&#x203A; | < đ?&#x153;&#x20AC;.

Un esempio di successione riconducibile ad un limite noto eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente: 1

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; per n â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; . Occorre ricondursi ad una espressione riconducibile ad un limite noto.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; infatti scrivere che:

1

đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A;3

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; 1 đ?&#x2018;&#x203A;

1 đ?&#x2018;&#x203A;

.

Per un noto teorema si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che lim đ?&#x2018;&#x203A;3 đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; 1 đ?&#x2018;&#x203A;

1 đ?&#x2018;&#x203A;

= lim đ?&#x2018;&#x203A;3 lim đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; 1 đ?&#x2018;&#x203A;

1 đ?&#x2018;&#x203A;

.


Il primo limite vale infinito positivo, mentre il secondo vale 1, quindi detto limite vale +â&#x2C6;&#x17E;.

13. Funzioni composte e derivazione

In alcuni esercizi sono state considerate le funzioni composte ed eâ&#x20AC;&#x2122; stato utilizzato il teorema della derivata di una funzione composta. In buona sostanza occorre dare significato al seguente formalismo y = f(g(x)).

Esso eâ&#x20AC;&#x2122; sintetizzabile come segue: đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;&#x201C;

x â&#x2020;&#x2019; g(x) â&#x2020;&#x2019; f(g(x)) Mentre il formalismo y = g(f(x)) eâ&#x20AC;&#x2122; sintetizzabile come segue: đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x201D;

x â&#x2020;&#x2019; f(x) â&#x2020;&#x2019; g(f(x))

Questi due formalismi hanno un senso quando valgono le seguenti eguaglianze: Im g = dom f Im f = dom g

nei due casi considerati.


Va osservato che in generale f(g(x)) â&#x2030; g(f(x)) In luogo di f(g(x)) si scrive (f â&#x192;&#x2DC;g)(x).

La composizione di funzioni non gode della proprietaâ&#x20AC;&#x2122; commutativa.

In alcuni esercizi si eâ&#x20AC;&#x2122; fatto uso del teorema della derivata di una funzione composta per il quale:

la derivata di una funzione composta eâ&#x20AC;&#x2122; eguale al rapporto delle derivate delle singole funzioni che la costituiscono.

In formule si scrive: đ??ˇđ?&#x2018;Ľ f(g(x)) = fâ&#x20AC;&#x2122; (g(x)) gâ&#x20AC;&#x2122; (x). Un esempio di funzione composta eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente (adattamento di una funzione rinvenuta nella manualistica): y = (5 â&#x2C6;&#x2019; 2 sin(đ?&#x2018;Ľ))đ?&#x2018;&#x2DC;

Secondo le formalizzazioni note possiamo scrivere che đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x201D;

x â&#x2020;&#x2019; 5 â&#x2C6;&#x2019; 2 sin(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2020;&#x2019; (5 â&#x2C6;&#x2019; 2 sin(đ?&#x2018;Ľ))đ?&#x2018;&#x2DC;

Il dominio di f eâ&#x20AC;&#x2122; tutto R, parimenti il codominio di essa.

La funzione composta ha dominio eguale al codominio di f.


Di essa eâ&#x20AC;&#x2122; possibile calcolare dal derivata prima, avendosi che: đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2018;

(5 â&#x2C6;&#x2019; 2 sin(đ?&#x2018;Ľ))đ?&#x2018;&#x2DC; = k(5 â&#x2C6;&#x2019; 2 sin(đ?&#x2018;Ľ))đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ (5 â&#x2C6;&#x2019; 2 sin(đ?&#x2018;Ľ)) = k(5 â&#x2C6;&#x2019; 2 sin(đ?&#x2018;Ľ))đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;

2 sin(đ?&#x2018;Ľ)) = â&#x2C6;&#x2019;2 k(5 â&#x2C6;&#x2019; 2 sin(đ?&#x2018;Ľ))đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 cos(x) con k intero.

Un ulteriore esempio di funzione composta eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente.

y =â&#x2C6;&#x161;1 + 7đ?&#x2018;Ľ 2

In questo caso si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere: đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x201D;

x â&#x2020;&#x2019; 1 + 7đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;1 + 7đ?&#x2018;Ľ 2

Il dominio della funzione composta coincide con il dominio di f.

Infatti deve essere garantita la condizione di esistenza del radicale, ovvero deve risultare 1

che 1 + 7đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ľ 0 ovvero 7đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 da cui đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 sempre verificata. Si puoâ&#x20AC;&#x2122; calcolare la derivata di f(x)= 1 + 7đ?&#x2018;Ľ 2 che banalmente vale f â&#x20AC;&#x2122;(x) )= 14x. 1

Posto 2 =â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘ 1

1

1

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che đ??ˇđ?&#x2018;˘ (đ?&#x2018;˘)2 = 2 (đ?&#x2018;˘)â&#x2C6;&#x2019;2

Pertanto la derivata prima della funzione considerata eâ&#x20AC;&#x2122;:


14x

1

1

2 â&#x2C6;&#x161;1+7đ?&#x2018;Ľ 2

14. La funzione inversa di una funzione data

Una funzione strettamente monotona nel suo dominio eâ&#x20AC;&#x2122; invertibile, ovvero ammette la funzione inversa. In altra parte del testo si eâ&#x20AC;&#x2122; osservato che le due funzioni f e đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo quadrante, ovvero alla retta y = x.

Quando una funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; monotona vanno ricercati gli intervalli di monotonia e la determinazione della funzione inversa eâ&#x20AC;&#x2122; riferita a tali restrizioni.

Le funzioni periodiche vengono studiate, ai fini della invertibilitaâ&#x20AC;&#x2122;, in un periodo. đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x153;&#x2039;

Ad esempio, la funzione y = sin(x) viene studiata a tale fine nella invertibilitaâ&#x20AC;&#x2122; in âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019; 2 , 2 âŚ&#x152;. Uno dei prossimi paragrafi saraâ&#x20AC;&#x2122; dedicato allo studio delle funzioni inverse di una funzione data.

In realtaâ&#x20AC;&#x2122;, questo studio eâ&#x20AC;&#x2122; gia avvenuto in relazione alla funzione esponenziale e a quella logaritmica, una inversa dellâ&#x20AC;&#x2122;altra.

Lo studio della invertibilitaâ&#x20AC;&#x2122; a volte eâ&#x20AC;&#x2122; banale altre volte menoâ&#x20AC;Ś.


Un esempio banale di funzione invertibile eâ&#x20AC;&#x2122; la funzione affine (che eâ&#x20AC;&#x2122; rappresentata nel piano cartesiano da un a retta). Ad esempio la funzione y = 4x +5.

La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; iniettiva in quanto a distinti valori di x corrispondono distinti valori di y.

Essa eâ&#x20AC;&#x2122; una funzione da R ad R (di R in seâ&#x20AC;&#x2122;), ovvero una suriezione.

La determinazione del valore della funzione inversa si ottiene come segue: đ?&#x2018;Ś

5

y = 4x +5 â&#x;ş y â&#x2C6;&#x2019;5 = 4đ?&#x2018;Ľ â&#x;ş 4x =y â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x;ş x = 4 â&#x2C6;&#x2019; 4 đ?&#x2018;Ľ

5

1

5

Pertanto la funzione inversa eâ&#x20AC;&#x2122;: đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľ) = 4 â&#x2C6;&#x2019; 4 = 4 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4

Si consideri ad esempio la funzione y = sin â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 Deve essere sicuramente đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2030;Ľ 0 ovvero x â&#x2030;Ľ 1.

La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; limitata in quanto |sin â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 | â&#x2030;¤ 1.

Al fine di calcolare lâ&#x20AC;&#x2122;invertibilitaâ&#x20AC;&#x2122; si puoâ&#x20AC;&#x2122; procedere come segue.

Si considera la derivata prima e si vede in quale intervallo essa eâ&#x20AC;&#x2122; positiva e in quale intervallo essa eâ&#x20AC;&#x2122; negativa.

Si deve usare il teorema della derivata della funzione composta.


Un ulteriore semplice esempio eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente. 1

y =1+|đ?&#x2018;Ľ| Si osservi che poicheâ&#x20AC;&#x2122; |x| = |â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ| la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; invertibile quando x > 0 oppure quando x < 0.

La funzione y =

1 1+|đ?&#x2018;Ľ|

con la restrizione dom f= âŚ&#x2039; 0, +â&#x2C6;&#x17E;âŚ&#x152; eâ&#x20AC;&#x2122; invertibile.

1

1

Per la restrizione data si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere 1+|đ?&#x2018;Ľ| = 1+đ?&#x2018;Ľ 1

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś

Pertanto si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere y = 1+đ?&#x2018;Ľ â&#x;ş y(1+đ?&#x2018;Ľ) = 1 â&#x;ş y +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś = 1 â&#x;ş xy = 1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś â&#x;ş x =

đ?&#x2018;Ś

1

= đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1.

15. Le funzioni goniometriche inverse

Le funzioni goniometriche ammettono funzioni inverse quando vengono studiate in un intervallo corrispondente ad un periodo. đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x153;&#x2039;

Ad esempio la funzione y = sin(x) studiata in âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019; 2 , 2 âŚ&#x152; ammette la funzione inversa, detta funzione arcoseno.

Detta funzione si indica nel modo seguente:


x = arcsin y.

Nel medesimo riferimento cartesiano le due funzioni sono simmetriche rispetto alla bisettrice del I quadrante.

Si puo’ scrivere che y = arcsin(x).

In modo analogo si definiscono le funzioni inverse delle altre funzioni goniometriche, sempre riferite ad un periodo.

Ai fini del calcolo delle derivate e’ utile il teorema della derivata della funzione inversa.

Ci si puo’ aiutare con la seguente rappresentazione che evidenzia graficamente il senso del formalismo che verra’ introdotto.

Questa schematizzazione e’ riferita ad una funzione f invertibile, ovvero una iniezione e suriezione su un dato insieme (corrispondenza biunivoca).


Un elemento x tramite f diviene f(x) e tramite la funzione đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;1 , inversa di f, torna ad essere x. Eâ&#x20AC;&#x2122; noto che si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere y = f(x) da cui si ha đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;1 (y) = đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;1 ( f(x) ) =(đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;1 f )(x) = x. Solitamente la đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;1 viene indicata con la lettera g.

Comunque eâ&#x20AC;&#x2122; stato ricostruito lâ&#x20AC;&#x2122;iter logico relativo alla funzione inversa.

Il calcolo della derivata della funzione inversa tiene conto che si puoâ&#x20AC;&#x2122; ragionare in termini di funzione composta. Infatti si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che g(f(x)) = x consente đ??ˇđ?&#x2018;Ľ g(f(x)) = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ x ovvero f â&#x20AC;&#x2122;(x) gâ&#x20AC;&#x2122;(y) = 1. 1

In definitiva si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che gâ&#x20AC;&#x2122;(y) = đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ).

16. Studio di funzioni goniometriche inverse

Il primo esempio di funzione contenente funzioni goniometriche inverse eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente. y = ln arcsin(x)

Si tratta di una funzione composta. Si puoâ&#x20AC;&#x2122; porre arcsin(x) = đ?&#x2018;˘.


1

Dalla teoria si ha che đ??ˇđ?&#x2018;Ľ arcsin(x) = â&#x2C6;&#x161;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 . 1

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; la funzione contiene anche ln(.) allora deve essere verificata la condizione â&#x2C6;&#x161;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 > 0.

In altri termini deve risultare â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 > 0, ovvero, equivalentemente, 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 > 0. Ma scrivere 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 > 0 conduce a â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 > â&#x2C6;&#x2019;1 ovvero đ?&#x2018;Ľ 2 < 1. Questa ultima condizione eâ&#x20AC;&#x2122; verificata per â&#x2C6;&#x2019;1 < đ?&#x2018;Ľ < 1. 1

Eâ&#x20AC;&#x2122; poi noto che đ??ˇđ?&#x2018;˘ = ln(đ?&#x2018;˘) = đ?&#x2018;˘ Applicando il teorema della derivata della funzione composta si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:

yâ&#x20AC;&#x2122; =

1

1

đ?&#x2018;˘

â&#x2C6;&#x161;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2

1

1

= đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x161;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2

Si osservi che la funzione di partenza eâ&#x20AC;&#x2122; definita per x â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;1, 1).

Stessa osservazione vale per la funzione derivata sotto la ulteriore condizione che sia arcsin(x) â&#x2030; 0, ovvero per x â&#x2030;  0 + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039; con k elemento di Z.

Un ulteriore esempio di funzione contenente una funzione goniometrica inversa eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente, ovvero:


y = arcsin(đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ ) Si puoâ&#x20AC;&#x2122; porre đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;˘. Il dominio della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; il continuo reale, in quanto đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; definito per ogni x reale.

Si tratta di una funzione composta la cui derivata eâ&#x20AC;&#x2122;:

yâ&#x20AC;&#x2122; = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

1 â&#x2C6;&#x161;1â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ )2

Il primo termine đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ deriva dal fatto che đ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ .

La seguente funzione contiene arcocoseno. Si consideri infatti y = arccos(đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; ) con k â&#x2030;Ľ 2 e intero.

Si tratta, anche in questo caso, di una funzione composta per la quale si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che eâ&#x20AC;&#x2122;: đ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; = kđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 đ??ˇđ?&#x2018;Ľ arccos(đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; ) = â&#x2C6;&#x2019;

1 â&#x2C6;&#x161;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;&#x2DC;

Molto semplicemente, applicando il teorema della derivata della funzione composta si ha:

yâ&#x20AC;&#x2122; = â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x161;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1


Eâ&#x20AC;&#x2122; utile ricordare le proprietaâ&#x20AC;&#x2122; delle potenze ove a eâ&#x20AC;&#x2122; un numero reale e x ed y sono interi. đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ś

= đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś

(đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ )đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś

La seguente funzione contiene arctg(.).

Si ha y = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ Preliminarmente si deve osservare che deve risultare x â&#x2030;Ľ 0, ovvero si ha che dom f =đ?&#x2018;&#x2026; +

La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; composta e lâ&#x20AC;&#x2122;iter logico che conduce alla funzione composta eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente: đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x201D;

â&#x201E;&#x17D;

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; arctg(â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ) â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; arctg(â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ) e in termini sintetici la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; y = â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ))) .

1

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; ora considerare la funzione y = arccot( đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x161;

Deve essere x > 0.


đ??ˇđ?&#x2018;Ľ

1

1 â&#x2C6;&#x161;

1

1

1

3

1 1 3

= đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;2 = â&#x2C6;&#x2019; 2 (đ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;1 = â&#x2C6;&#x2019; 2 (đ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;2 = â&#x2C6;&#x2019; 2 (đ?&#x2018;Ľ)2 đ?&#x2018;Ľ 1

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ arccot( đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x161;

1 1 1+( )2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ

=

1 1 1+ đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľ

= đ?&#x2018;Ľ+1

1 1 3 đ?&#x2018;Ľ

Pertanto si ha che yâ&#x20AC;&#x2122; = â&#x2C6;&#x2019; 2 (đ?&#x2018;Ľ)2 đ?&#x2018;Ľ+1

Infine si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare una funzione piuâ&#x20AC;&#x2122; impegnativa quale la seguente. y = arctg(ln(x)) + ln(arctg(x))

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare separatamente i due termini ed applicare il teorema della linearitaâ&#x20AC;&#x2122; della derivata per il quale si ha: đ??ˇđ?&#x2018;Ľ kf(x) + hg(x) = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ kf(x) + đ??ˇđ?&#x2018;Ľ hg(x) = đ?&#x2018;&#x2DC; đ??ˇđ?&#x2018;Ľ f(x) + â&#x201E;&#x17D;đ??ˇđ?&#x2018;Ľ g(x) ove h e k sono due scalari e f(x) e g(x) sono due funzioni differenziabili. Si consideri f(x) = arctg(ln(x))

Si tratta di una funzione composta secondo lo schema seguente. đ?&#x2018;&#x201C;1

đ?&#x2018;&#x201C;2

x â&#x2020;&#x2019; ln(x) â&#x2020;&#x2019; arctg(ln(x)) 1

Si ha che đ??ˇđ?&#x2018;Ľ ln(x) = đ?&#x2018;Ľ


Posto ln(x) = u si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che đ??ˇđ?&#x2018;˘ =

1 1+đ?&#x2018;˘2

ed equivalentemente đ??ˇđ?&#x2018;Ľ =

1 1+(ln(đ?&#x2018;Ľ))2

Quindi si ha: 1

1

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ f(x) = đ?&#x2018;Ľ 1+(ln(đ?&#x2018;Ľ))2

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; quindi considerare il secondo termine, ovvero: g(x) = ln(arctg(x))

Anche in questo caso si ha a che fare con una funzione composta secondo lo schema seguente: đ?&#x2018;&#x201D;1

đ?&#x2018;&#x201D;2

x â&#x2020;&#x2019; arctg(x) â&#x2020;&#x2019; ln(arctg(x)). 1

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ ln(arctg(x)) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) 1

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ arctg(x) =1+đ?&#x2018;Ľ 2 Applicando il teorema della derivata di funzione composta si ha: 1

1

gâ&#x20AC;&#x2122;(x) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) 1+đ?&#x2018;Ľ 2

Pertanto la derivata della funzione y eâ&#x20AC;&#x2122;: 1

1

1

1

yâ&#x20AC;&#x2122; = đ?&#x2018;Ľ 1+(ln(đ?&#x2018;Ľ))2 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) 1+đ?&#x2018;Ľ 2


17. Le funzioni di piuâ&#x20AC;&#x2122; variabili

Nei termini piuâ&#x20AC;&#x2122; semplici possibili si puoâ&#x20AC;&#x2122; introdurre una funzione di piuâ&#x20AC;&#x2122; variabili indipendenti đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; nel modo seguente: f : đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2020;&#x2019; R in modo che ad una tupla di numeri reali ( đ?&#x2018;Ľ1 , đ?&#x2018;Ľ2 , â&#x20AC;Ś . . , đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; ) viene fatto corrispondere, tramite la f, un numero reale y = y( đ?&#x2018;Ľ1 , đ?&#x2018;Ľ2 , â&#x20AC;Ś . . , đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A; ). Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile porre n = 2 e considerare due sole variabili indipendenti, ovvero đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 , che per comoditaâ&#x20AC;&#x2122; possono essere indicate con le lettere x ed y. In questo particolare caso si hanno funzioni da đ?&#x2018;&#x2026; 2 a R , in ragione delle quali ad una coppia ordinata (x, y) corrisponde un solo elemento z â&#x2C6;&#x2C6; R tale che z = đ?&#x2018;§(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś). Lâ&#x20AC;&#x2122;insieme D â&#x160;&#x2020; đ?&#x2018;&#x2026; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x2026; per i quali la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; definita definiscono il dominio della funzione. Lâ&#x20AC;&#x2122;insieme degli z reali per i quali eâ&#x20AC;&#x2122; vero che z = z(x, y) eâ&#x20AC;&#x2122; detta immagine della funzione.

A titolo di esempio possono essere considerate le seguenti funzioni di due variabili indipendenti di cui si chiede di determinare il dominio di definizione.


z=

2đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;

con k > 0.

Deve risultare đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030; 0. Si osservi che đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; = 0 â&#x;ş đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś = k â&#x;şâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x;ş đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; Eâ&#x20AC;&#x2122; opportuno ricordare che đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; rappresenta, al variare di k, un fascio di rette parallele, di coefficiente angolare 1. Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che dom f ={ (x, y) â&#x2C6;&#x160; R Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x2026; | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;  0} .

Un ulteriore esempio di funzioni di due variabili indipendenti potrebbe essere il seguente: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ś

z = đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś con k intero non nullo. Deve essere đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś â&#x2030; 0 ovvero đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;  đ?&#x2018;Ś e, in definitiva, x â&#x2030; 

Il seguente esempio eâ&#x20AC;&#x2122; banale.

Da z = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

1+đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?

deve essere x â&#x2030; 0.

Infine, come ulteriore esempio, puoâ&#x20AC;&#x2122; essere proposto il seguente:

2đ?&#x2018;&#x203A;

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ś .


z = ln

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 3 đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2

Per la condizione di esistenza del logaritmo deve essere

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 3 đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2

> 0.

Questa condizione eâ&#x20AC;&#x2122; garantita in due casi.

Il primo di essi e che sia: 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 3 > 0 â&#x;ş 1 > đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x;ş đ?&#x2018;Ľ 3 < 1 ovvero x < 1 đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 >0 â&#x;şy>2

Cosiâ&#x20AC;&#x2122; facendo si eâ&#x20AC;&#x2122; definita una prima porzione di dominio, quella delle coppie ordinate (x, y) tali che x < 1 e y > 2.

La seconda porzione di dominio eâ&#x20AC;&#x2122; costituita dai punti (x, y) che verificano il seguente sistema. 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 3 < 0 â&#x;ş 1 < đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x;ş đ?&#x2018;Ľ 3 > 1 ovvero x > 1 đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;2 <0 â&#x;şy<2 In buona sostanza il dominio della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; costituito da tutti i punti di đ?&#x2018;&#x2026; 2 salvo quelli delle rette di equazione x = 1 e y = 2.


Per le funzioni di piuâ&#x20AC;&#x2122; variabili sono spesso calcolate le derivate prime e seconde.

Va ricordato che una funzione di piuâ&#x20AC;&#x2122; variabili indipendenti ha tante derivate parziali quante sono le variabili indipendenti.

Un esempio semplice chiarisce la situazione.

Sia data, ad esempio, la seguente funzione di due variabili indipendenti. z = kx + â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ś ove k e h sono due parametri reali.

La funzione considerata eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile rispetto alla variabile indipendente x.

In questo caso si considera lâ&#x20AC;&#x2122;altra variabile indipendente, nel caso di specie y, alla stregua di una costante.

Si ha: đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

kx + â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ś =

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

kx + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ś = kđ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ x+â&#x201E;&#x17D; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ś = k +0.

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

Il termine â&#x201E;&#x17D; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ś vale 0 in quanto đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ś = 0 poicheâ&#x20AC;&#x2122; y eâ&#x20AC;&#x2122; trattata come una costante. Come detto, esiste anche una derivata parziale rispetto alla y quando si ammetta che la x sia una costante.

In questo caso si ha:


đ?&#x153;&#x2022;

kx + â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

kx + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ś = kđ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś x+â&#x201E;&#x17D; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś = 0 +â&#x201E;&#x17D; = â&#x201E;&#x17D; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;&#x2020;i osservi che anche lâ&#x20AC;&#x2122;operatore derivata parziale eâ&#x20AC;&#x2122; lineare.

Questo ulteriore esempio chiarisce la situazione. z = 3đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; +2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;&#x2DC; con k intero positivo.

Si ha: đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

3đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; +2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;&#x2DC; = 3kđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 + 2đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1

Analogamente si puoâ&#x20AC;&#x2122; calcolare la seconda derivata prima, quella rispetto alla variabile y. đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

3đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; +2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś 3đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;&#x2DC; = 0 + 2đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;&#x2DC; (kâ&#x2C6;&#x2019;1) đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;2 =

2đ?&#x2018;Ľ + (đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 1)đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;2 .

Eâ&#x20AC;&#x2122; ora possibile accedere alle derivate seconde di una funzione di piuâ&#x20AC;&#x2122; variabili.

A questo punto si puoâ&#x20AC;&#x2122; infatti comprendere che una funzione f puoâ&#x20AC;&#x2122; essere derivata rispetto đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

alla x oppure rispetto alla y, avendo, quindi, le due derivate đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ f(x,y) e đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś f(x,y).


Le due funzioni ottenute possono essere derivate a loro volta rispetto alla x e rispetto alla y avendo le seguenti funzioni derivate seconde parziali. đ?&#x153;&#x2022;

La prima funzione đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ f(x,y) ammette (o piuâ&#x20AC;&#x2122; correttamente puoâ&#x20AC;&#x2122; ammettereâ&#x20AC;Ś) le seguenti due funzioni derivate: đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022;

( đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ f(x,y)) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;

( đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ f(x,y)) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;

La seconda funzione, ovvero đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś f(x,y) ammette le seguenti due derivate: đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

( f(x,y)) =đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

( f(x,y)) =đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś Data una funzione f(x,y) avente derivate parziali prime finite si ha che đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ finito. Il vettore (đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś ) eâ&#x20AC;&#x2122; detto gradiente della funzione f(x,y). Se risulta (đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś ) = (o, o) allora il punto (x, y) | (đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ś ) = (o, o) puoâ&#x20AC;&#x2122; essere di minimo o di massimo.

La ricerca dei massimi e dei minimi eâ&#x20AC;&#x2122; rimessa allâ&#x20AC;&#x2122;utilizzo della matrice hessiana.


H (f(x,y)) = [

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś ] =đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś )2 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

Sia data una funzione f(x,y) di cui sia dato il dominio. Si consideri un punto (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 ) interno a dom f(x,y) tale che le derivate prime siano continue in detto intorno e siano nulle in (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 ). Verificate queste condizioni si calcola H (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 ). Se H (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 ) > 0 si ha: un massimo in (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 ) se đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 ) < 0 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 ) < 0 un minimo in in (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 ) se đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 ) > 0 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 ) > 0.

Eâ&#x20AC;&#x2122; sicuramente utile considerare un caso completo fino alla ricerca di eventuali massimi e minimi. đ?&#x2018;Ľ

Data la funzione z = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś +đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ś si inizia con il calcolo delle derivate prime che sono: đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;Ľ

1 1

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś +đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ś = yđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ś

1

= yđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś +đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ś = xđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľ = xđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019;

Il vettore gradiente della funzione eâ&#x20AC;&#x2122;:

1 đ?&#x2018;Ś


1

1

đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ś

(yđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + , xđ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; )

Deve essere x â&#x2030; 0 e y â&#x2030;  0. Detto gradiente non puoâ&#x20AC;&#x2122; annullarsi in quanto sarebbe contemporaneamente đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś =Âą1 . đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś =1 si avrebbe per xy = 0, mentre đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019;1 non eâ&#x20AC;&#x2122; mai verificata.

Giunti a questo punto vanno fatti alcuni approfondimenti relativi alla continuitaâ&#x20AC;&#x2122;, alla derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122; e ai punti di non derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122; che si riscontrano in alcune funzioni.

18. Le funzioni continue

Va ora fatta qualche riflessione sulla continuitaâ&#x20AC;&#x2122; delle funzioni di due variabili indipendenti, ovvero le funzioni da đ?&#x2018;&#x2026; 2 a R.

Si consideri ad esempio la seguente funzione di due variabili per le quali alla coppia (x, y) corrisponde il numero reale z = z(x, y). đ?&#x2018;Ś2

z = đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś2

Ci si chiede se essa possa prolungata per continuitaâ&#x20AC;&#x2122; nel punto (0 , 0).


In detto punto la funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; definita in quanto sarebbe đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 = 0. Equivalentemente sarebbe x = đ?&#x2018;Ś = 0.

Ma in questo caso la funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; definita.

Il prolungamento per continuitaâ&#x20AC;&#x2122; presuppone che esista finito il seguente limite:

lim

đ?&#x2018;Ś2

(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś)â&#x2020;&#x2019;(0,0) đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś 2

=đ?&#x2018;&#x2122;

Si pone proprio che la funzione che si ottiene abbia valore l per x = đ?&#x2018;Ś = 0.

Vediamo ora se sussistono le condizioni del prolungamento per continuitaâ&#x20AC;&#x2122;. Si puoâ&#x20AC;&#x2122; far tendere (x, y) alla coppia (0, 0) su una retta di equazione y = mx . Calcoliamo quindi il limite della funzione per (x, y) â&#x2020;&#x2019; (0 , o) avendo che:

lim

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0)

đ?&#x2018;Ś2

= đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś 2

lim

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0)

(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ)2

= đ?&#x2018;Ľ 2 +(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ)2

lim

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0)

(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ)2

= đ?&#x2018;Ľ 2 (1+đ?&#x2018;&#x161;2 )

lim

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0)

(đ?&#x2018;&#x161;)2

= (1+đ?&#x2018;&#x161;2 )

Si osservi che detto limite dipende da m. đ?&#x2018;Ś2

Possiamo concludere che la funzione z = đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś 2 non eâ&#x20AC;&#x2122; prolungabile per continuitaâ&#x20AC;&#x2122;. đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś

In modo del tutto analogo si puoâ&#x20AC;&#x2122; studiare la funzione z = đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ś .

(đ?&#x2018;&#x161;)2 (1+đ?&#x2018;&#x161;2 )


La funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; definita nel punto (0, 0) in quanto per detta coppia sarebbe nullo il denominatore. Pertanto il dominio della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2026; 2 â&#x20AC;&#x201C; (0, o).

Occorre verificare se in detto punto la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; o meno prolungabile per continuitaâ&#x20AC;&#x2122;. Occorre in altri termini calcolare il limite della funzione per (x, y) â&#x2020;&#x2019; (0 , o).

Anche in questo caso si parte dallâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi che ci si avvicini al punto (o, 0) lungo una retta di equazione y = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ.

lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0) đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ś

=

lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0) đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ

=

lim

đ?&#x2018;Ľ(1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161;)

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0) đ?&#x2018;Ľ(1+đ?&#x2018;&#x161;)

=

lim

(1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161;)

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0) (1+đ?&#x2018;&#x161;)

=

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161; 1+đ?&#x2018;&#x161;

Anche in questo caso la dipendenza del limite da m evidenzia che detta funzione non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere prolungata per continuitaâ&#x20AC;&#x2122;.

Un ulteriore esempio di funzione da studiare puoâ&#x20AC;&#x2122; essere la seguente: đ?&#x2018;Ľ 3 +đ?&#x2018;Ś3

z = đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś2

Anche in questo caso la funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; definita in (0, o) in quanto per detta coppia ordinata essa non eâ&#x20AC;&#x2122; definita. Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile studiare il limite della funzione per (x, y) â&#x2020;&#x2019; (0 , o) partendo dallâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi che ci si avvicini al punto (o, 0) lungo una qualunque retta di equazione y = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ.


lim

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0)

đ?&#x2018;Ľ 3 +đ?&#x2018;Ś3 đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś2

=

lim

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0)

đ?&#x2018;Ľ 3 +(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ)3 đ?&#x2018;Ľ 2 +(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ)2

=

lim

đ?&#x2018;Ľ 3 (1 +đ?&#x2018;&#x161;)

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0) đ?&#x2018;Ľ 2 (1+đ?&#x2018;&#x161;)

=

lim

(x,y) â&#x2020;&#x2019; (0 ,0)

đ?&#x2018;Ľ = 0.

Il fatto che la funzione abbia un limite non dipendente da m non consente comunque di affermare che detto limite per la funzione sia quello indicato e che, conseguentemente, la funzione sia prolungabile per continuitaâ&#x20AC;&#x2122;.

La continuitaâ&#x20AC;&#x2122; della funzione si prova in modo piuâ&#x20AC;&#x2122; ampio, cioeâ&#x20AC;&#x2122; muovendosi da (x,y) verso (0, 0) su qualunque curva e dimostrando che cosiâ&#x20AC;&#x2122; facendo si ottiene sempre lo stesso limite.

Eâ&#x20AC;&#x2122; necessario ricordare le relazioni tra le coordinate rettangolari e quelle polari, date dalle seguenti formule:

Le relazioni sono ben note:

2

đ?&#x153;&#x152; = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x2014; đ?&#x2018;Ś = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2014;


In questo contesto si ammette che

lim

(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś) â&#x2020;&#x2019;(0,0)

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = đ?&#x2018;&#x2122; se esiste una funzione, data in

coordinate polari, tale che essa dipenda esclusivamente da đ?&#x153;&#x152; e non da đ?&#x153;&#x2014; e tale che g(đ?&#x153;&#x152;) â&#x2020;&#x2019; 0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x152; â&#x2020;&#x2019; 0.

Deve risultare che: |f(đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x153;&#x2014;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122; | â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x153;&#x152;)

Pertanto la funzione viene ridefinita come segue: đ?&#x2018;Ľ 3 +đ?&#x2018;Ś3

z = đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś2 â&#x2C6;&#x20AC;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) â&#x2030; (0, 0). z = 0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = (0, 0).

Ovviamente si tratta di una funzione distinta da quella assegnata.

Lâ&#x20AC;&#x2122;uso delle coordinate polari puoâ&#x20AC;&#x2122; risultare utile per lo studio di una funzione quale

đ?&#x2018;Ľ 3 +đ?&#x2018;Ś 5 đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś 4

non definita in (0, o).

Si deve calcolare

lim

đ?&#x2018;Ľ 3 +đ?&#x2018;Ś 5

(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś)â&#x2020;&#x2019;(0,0) đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś 4

.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che da f(x,y) si ottiene, per sostituzione, la funzione đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x153;&#x152;) = đ?&#x153;&#x152;3 (cos(đ?&#x153;&#x2014;)3 +đ?&#x153;&#x152;2 sin(đ?&#x153;&#x2014;)5 đ?&#x153;&#x152;2 (cos(đ?&#x153;&#x2014;)2 +đ?&#x153;&#x152;2 sin(đ?&#x153;&#x2014;)4 )

= đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x17D;(đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x153;&#x2014;).


Ma la funzione đ?&#x153;&#x17D;(đ?&#x153;&#x152;, đ?&#x153;&#x2014;) eâ&#x20AC;&#x2122; una funzione limita. Inoltre eâ&#x20AC;&#x2122; immediato constatare che đ?&#x153;&#x152; â&#x2020;&#x2019; 0 per definizione.

Dal che si deduce il limite proposto che vale zero.

Altri esempi di funzioni studiate con lo stesso metodo sono ampiamente trattate nei manuali âŚ&#x2039;BoellaâŚ&#x152;.

In relazione alle funzioni di piuâ&#x20AC;&#x2122; variabili eâ&#x20AC;&#x2122; possibile procedere al calcolo dei massimi e dei minimi raccordandosi con lo strumento della derivata direzionale. Sia P (x,y,z) un punto della superficie z = z(x,y).

Sia Pâ&#x20AC;&#x2122;(x,y,0) la proiezione di P sul piano Oxy. Si consideri il piano đ?&#x203A;ź passante per P e Pâ&#x20AC;&#x2122;. Si ammetta che detto piano formi un angolo đ?&#x153;&#x2014; con lâ&#x20AC;&#x2122;asse positivo delle x. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

La derivata direzionale đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; viene definita come segue: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

= đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľcosđ?&#x153;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Śsinđ?&#x153;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;


Per il resto gli sviluppi, ai fini della ricerca dei punti di massimo e di minino, sono quelli giaâ&#x20AC;&#x2122; noti.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare un esempio semplice di calcolo di una derivata direzionale.

I dati del problema sono i seguenti: z = đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś 2

đ?&#x153;&#x2014;=

đ?&#x153;&#x2039; 3

nel punto ( 3, 1).

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

Consideriamo la derivata direzionale nella forma đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľcosđ?&#x153;&#x2014; + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Śsinđ?&#x153;&#x2014; avendo che risulta:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x153;&#x2039;

= đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś 2 ) cos3 + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś (đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ś 2 )sin 3 = (2x +đ?&#x2018;Ś)

â&#x2C6;&#x161;3 2

1

+(đ?&#x2018;Ś + 2đ?&#x2018;Ś) 2

Il calcolo in (3, 1) si ottiene sostituendo in formula, avendo quindi che:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;

= (2x +đ?&#x2018;Ś)

â&#x2C6;&#x161;3 2

1

â&#x2C6;&#x161;3

3

1

+(đ?&#x2018;Ś + 2đ?&#x2018;Ś) 2 = 7 2 + 2 = 2(7â&#x2C6;&#x161;3 +3).

Calcolo di alcune derivate seconde di alcune funzioni, rielaborate a partire dalla manualistica âŚ&#x2039; đ??´đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ??˝đ?&#x2018;&#x;. âŚ&#x152; z = kđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161;

Calcolo delle derivate prime.


đ?&#x153;&#x2022;

z= đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

kđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ kđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161; = knđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ś +0 = knđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ś

La prima derivata seconda eâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

knđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; 0 = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;

1) đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;2.

La seconda derivata seconda eâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś =

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

knđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ś = 0 â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D; = â&#x2C6;&#x2019; h.

Dalla teoria sappiano che đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ = Da ultimo si calcola đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

Il primo passo eâ&#x20AC;&#x2122; il calcolo di đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś avendo che: đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

kđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś kđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś +

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161;

= 0 â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 = â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ +

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 . đ?&#x153;&#x2022;

đ??´ questo punto eâ&#x20AC;&#x2122; possibile scrivere che đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś (â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 )= 0 +đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;(đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 1)đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;2= đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;(đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 1)đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;2 .

19. Differenziali e derivate totali

Vanno ricordate alcune relazioni fondamentali. In particolare, le seguenti:


đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

= đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ) â&#x;ş đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ??ź diffferenziali possono essere introdotti anche in relazione alle funzioni z = f(x, y). Risulta banalmente che: đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ z =đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľdx đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś z =đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Śdy

Il differenziale totale della funzione z(.) eâ&#x20AC;&#x2122;: đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

dz = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ dx + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś dy

Ove si consideri una funzione di n variabili indipendenti, il differenziale totale eâ&#x20AC;&#x2122; dato dalla formula seguente: đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

dz = â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ dđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013;

Sia data una funzione z = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) tale che sia x = x(t) e y = y(t) di ha che: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

= đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

La funzione đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą eâ&#x20AC;&#x2122; detta derivata totale di z rispetto a t. Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare qualche semplice esempio di calcolo di differenziali totali.


Sia, ad esempio, data la seguente funzione z =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś 3

Il differenziale di detta funzione eâ&#x20AC;&#x2122;:

=

dz

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

đ?&#x153;&#x2022;

+ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Śdy= đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś 3 )đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

dx

đ?&#x153;&#x2022;

+ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś 3 )đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

= (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 +

2đ?&#x2018;Ś 3 2đ?&#x2018;Ľ )đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + (đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; + 2đ?&#x2018;Ľ 2 3đ?&#x2018;Ś 2 )đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;Ś

Un secondo esempio di differenziale totale potrebbe essere dđ?&#x153;&#x2014; quando đ?&#x153;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ ). In questo caso conviene procedere per passi. đ?&#x2018;Ś

1

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľ ) = đ?&#x2018;Śđ??ˇđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Śđ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2014; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

= â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2

1 đ?&#x2018;Ś 1+( )2 đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ś

= â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2

1

đ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;Ľ2 +đ?&#x2018;Ś2 đ?&#x2018;Ľ2

=â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś2

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2014;

đ??´ questo punto occorre calcolare đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś . đ?&#x2018;Ś

1

1

Si ha che đ??ˇđ?&#x2018;Ś (đ?&#x2018;Ľ ) = đ?&#x2018;Ľ đ??ˇđ?&#x2018;Ś (y) = đ?&#x2018;Ľ. Quindi si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2014; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

1

đ?&#x2018;Ľ

1

= đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś 2 = đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś 2

Riunendo i risultati si ottiene il differenziale totale della funzione assegnata.


Si ha che: đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2014;

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x2014;

đ?&#x2018;Ś

1

dđ?&#x153;&#x2014; = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś 2dy.

Infine, possiamo considerare un ultimo esempio. Data la funzione z = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

=(đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x203A; +đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;

)nđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1

=(đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x203A; +đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;

)nđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

đ?&#x2018;&#x203A; +đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;

si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:

A questo punto si puoâ&#x20AC;&#x2122; calcolare dz, avendo che: đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

dz =đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś =(đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x203A; +đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;

)nđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + (đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x203A; +đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;

)nđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 dy =nz(ydx+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś)

Eâ&#x20AC;&#x2122; ora il caso di considerare un caso di derivata totale quando ad esempio sia data la funzione z = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ś 2 essendo x ed y due variabili dipendenti da s e da t secondo le due seguenti leggi: x = 3đ?&#x2018; + 2đ?&#x2018;Ą y = 3đ?&#x2018;  â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ą.


Eâ&#x20AC;&#x2122;, ad esempio, possibile determinare

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą

.

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

Si ha che đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; calcolare

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

= 0+2= 2e

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

= 0 â&#x2C6;&#x2019; 2 = â&#x2C6;&#x2019;2.

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

= đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = 2x2 +(â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ś)(â&#x2C6;&#x2019;2) = 4(đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ś). đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

20. Funzioni implicite Le funzioni implicite vengono poste nella forma f(x, y) = 0. Sia data una funzione f(x, y) continua in D â&#x160;&#x2020; đ?&#x2018;&#x2026; 2 contenente un punto (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 ) | f(đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 )= 0.

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

Esiste un intorno (x, y) tale che risulti definito đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x201A;f â&#x2C6;&#x201A;y

.

Ove si consideri una funzione F(x,y,z) di cui siano esistenti in D â&#x160;&#x2020; đ?&#x2018;&#x2026; 3 le derivate parziali đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ??š

,

,

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

Se

đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

.

eâ&#x20AC;&#x2122; diversa da zero in (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 , đ?&#x2018;§0 ) allora esiste un intorno di (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 , đ?&#x2018;§0 ) in cui si ha

F(đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Ś0 , đ?&#x2018;§0 ) = 0 per il quale risulta essere:


đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

=â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

=â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

A questo punto eâ&#x20AC;&#x2122; possibile calcolare đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ della funzione đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 3 = 1 Si ha:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;đ??š

3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś +đ?&#x2018;Ś2

3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś +đ?&#x2018;Ś 2

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2022;đ??š = â&#x2C6;&#x2019; 0â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 +2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ś2 â&#x2C6;&#x2019;0 = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś +3đ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

Un ulteriore esempio potrebbe essere il seguente. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

Calcolare đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ della funzione assegnata in forma implicita xy â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ siny = 0. Possiamo scrivere che:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

=â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

=â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ś

=â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ś+đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ś

21. I casi di discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122;

Va preliminarmente osservato che una funzione definita in un intervallo non eâ&#x20AC;&#x2122; per conseguenza necessariamente continua in esso.


Un esempio eclatante di questo stato di cose eâ&#x20AC;&#x2122; la cosiddetta funzione di Dirichelet che eâ&#x20AC;&#x2122; definita in R, quindi per ogni numero reale, ovvero si ha đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C;đ??ˇ = (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, +â&#x2C6;&#x17E;). Essa eâ&#x20AC;&#x2122; definita nel modo seguente: đ?&#x2018;&#x201C;đ??ˇ (đ?&#x2018;Ľ) = 1, quando x eâ&#x20AC;&#x2122; razionale e đ?&#x2018;&#x201C;đ??ˇ (đ?&#x2018;Ľ) = 0 quando x eâ&#x20AC;&#x2122; irrazionale. Eâ&#x20AC;&#x2122; quindi necessario definire la continuitaâ&#x20AC;&#x2122; di una funzione.

Se si considerano le funzioni di una variabile reale, ovvero le f per le quali ad un numero đ?&#x2018;&#x201C;

reale corrisponde, un numero reale f(x) tale che f(x) â&#x2020;? x | x â&#x2C6;&#x2C6; đ??´ â&#x160;&#x2020; đ?&#x2018;&#x2026;.

Va introdotta una condizione necessaria e sufficiente affincheâ&#x20AC;&#x2122; una funzione f(.) sia continua in un punto x. Deve risultare che x â&#x2C6;&#x2C6; dom f. Quindi se x â&#x2C6;&#x2030; dom f allora la funzione f non eâ&#x20AC;&#x2122; ivi continua. La condizione necessaria e sufficiente affinche una funzione f sia continua in un punto đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2C6; dom f e che sia lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 ). đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

Una funzione f eâ&#x20AC;&#x2122; continua in un intervallo (a, b) se eâ&#x20AC;&#x2122; continua in ogni punto di (a, b). Analogamente f eâ&#x20AC;&#x2122; continua in un intervallo âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152; se eâ&#x20AC;&#x2122; continua in ogni punto di âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152;.

Un ulteriore caso di discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; eâ&#x20AC;&#x2122; costituito dalla discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; a salto.


Si tratta di una discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; non eliminabile.

Un esempio di funzione discontinua a salto eâ&#x20AC;&#x2122; offerto dalla funzione gradino unitario, detta anche funzione di Heavidise, definita come segue: H : R â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026; | H(x) = 1 per x â&#x2030;Ľ 0 đ?&#x2018;&#x2019; H(x) = 0 per x < 0. Dom H(x) = đ?&#x2018;&#x2026;.

Nelle applicazioni, specie in elettronica, si hanno scritture del tipo: H(x +đ?&#x203A;ź) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;.

In casi del genere si ha: H(x + đ?&#x203A;ź) = 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ đ?&#x203A;ź H(x + đ?&#x203A;ź) = 0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ < đ?&#x203A;ź. In questo caso la discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; si ha per x = đ?&#x203A;ź. La funzione H(x) ha una discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; a salto per x = 0.

Possiamo affermare che una funzione non continua in un punto eâ&#x20AC;&#x2122; ivi discontinua.

Una funzione non definita in un punto eâ&#x20AC;&#x2122; ivi discontinua.


Se đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2030; dom f allora f eâ&#x20AC;&#x2122; discontinua in đ?&#x2018;Ľ0 . Ma potrebbe accadere da questa condizione ( đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2030; dom f) che possa comunque esistere il limite lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2122;. đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

Affincheâ&#x20AC;&#x2122; questo limite esiste deve risultare: lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2122;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0+

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x153;

Il numero l eâ&#x20AC;&#x2122; un numero reale. Si dice che il limite esiste finito.

In casi del genere si introduce una nuova funzione detta prolungata per continuitaâ&#x20AC;&#x2122;.

A questo punto eâ&#x20AC;&#x2122; possibile fornire una tabella riassuntiva dei possibili casi di discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122;.

Tipo di discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122;

Caratteristiche

La funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; definita in đ?&#x2018;Ľ0 e risulta Discontinitaâ&#x20AC;&#x2122; di prima specie (a salto)

lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030; lim+ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

| limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; lim+ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)| eâ&#x20AC;&#x2122; detto salto đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

Discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; di seconda specie

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

Almeno uno dei due limiti in đ?&#x2018;Ľ0 (sinistro o destro) non esiste oppure non finito.


Discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; di terza specie Sono possibili due sottocasi:

(eliminabile)

đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2030; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x153;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C; ma f(đ?&#x2018;Ľ0 ) â&#x2030; lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

In entrambi i casi deve esistere il limite, ovvero

deve

risultare

lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030; lim+ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2122;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

Esempio di funzione discontinua di seconda specie. đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)

f(x) =(đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;)2 con P(a) â&#x2030; 0 essendo P(x) un polinomio di grado superiore al II. Il numero đ?&#x203A;ź eâ&#x20AC;&#x2122; positivo. Deve essere x â&#x2030;  đ?&#x2018;&#x17D; . đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)

1

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che lim (đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;)2 = đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x17D;) lim (đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;)2. đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

P(a) eâ&#x20AC;&#x2122; un numero reale, mentre diventa rilevante

1 lim (đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;)2

đ?&#x2018;?he vale infinito in quanto

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

lim (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;)2 = 0.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

Il punto (a, f(a)) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di discontinutaâ&#x20AC;&#x2122; non eliminabile in quanto si ha:


đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)

1

lim (đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;)2 = đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x17D;) lim (đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;)2 = +â&#x2C6;&#x17E;.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

Per la gestione di questo limite si eâ&#x20AC;&#x2122; reso necessario studiare

1 lim (đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;)2

.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

Eâ&#x20AC;&#x2122; utile ricordare un limite piuâ&#x20AC;&#x2122; semplice ma sempre utile riferimento. 1

Il limite eâ&#x20AC;&#x2122; lim đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

1

Eâ&#x20AC;&#x2122; ben evidente che in R la scrittura 0 non ha significato. La rappresentazione grafica meglio di ogni altra evidenzia cosa accade in prossimitaâ&#x20AC;&#x2122; dello zero.

Si comprende che i due limiti, desto e sinistro, non esistono finiti, essendo essi Âąâ&#x2C6;&#x17E;. 1

Alquanto diversa eâ&#x20AC;&#x2122; la soluzione quando si considera la funzione y = (đ?&#x2018;Ľ)2đ?&#x2018;&#x203A; ove n eâ&#x20AC;&#x2122; intero.


In questo caso i due limiti per đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; 0 valgono entrambi +â&#x2C6;&#x17E;.

22. Funzioni definite a tratti. Nessi con la continuitaâ&#x20AC;&#x2122;.

Una funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; definita a tratti se eâ&#x20AC;&#x2122; del tipo: f(x) = đ?&#x2018;&#x201C;1 (x) per a < x â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? f(x) = đ?&#x2018;&#x201C;2 (x) per b < x â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś. avendo che dom f = â&#x2C6;Ş dom đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013; Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile concentrarsi su una funzione semplice costituita da đ?&#x2018;&#x201C;1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;2 . Con riferimento al formalismo introdotto e agli intervalli ivi deifniti, si puoâ&#x20AC;&#x2122; dire che la funzione f eâ&#x20AC;&#x2122; continua in x = b se risulta: lim đ?&#x2018;&#x201C;1 (x) = lim+ đ?&#x2018;&#x201C;2 (x) = đ?&#x2018;&#x201C;2 (b).

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare un esmepio concreto.

Sia data la seguente funzione definita a tratti e contenente un parametro a.


đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2

Si ha f(x) = đ?&#x2018;Ľ 4 + 2đ?&#x2018;Ľ 3 + 6đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D; per x â&#x2030;¤ â&#x2C6;&#x2019;4 e f(x) = đ?&#x2018;Ľ+5 per x > â&#x2C6;&#x2019;4. Il quesito eâ&#x20AC;&#x2122; stabilire per quali valori di a la funzione definita a tratti eâ&#x20AC;&#x2122; continua in x =â&#x2C6;&#x2019;4.

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile calcolare il limite sinistro, avendo che: lim đ?&#x2018;Ľ 4 + 2đ?&#x2018;Ľ 3 + 6đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D; ottenibile banalmente per sostituzione, ovvero:

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2C6;&#x2019;

lim đ?&#x2018;Ľ 4 + 2đ?&#x2018;Ľ 3 + 6đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2C6;&#x2019;

= lim â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;4)4 + 2(â&#x2C6;&#x2019;4)3 + 6(â&#x2C6;&#x2019;4) + đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4

= 256 + 2(â&#x2C6;&#x2019;64) â&#x2C6;&#x2019;

24 + đ?&#x2018;&#x17D; = 102 + đ?&#x2018;&#x17D;

Il seocndo limite eâ&#x20AC;&#x2122; pure facile, avendosi che: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2

lim + đ?&#x2018;Ľ+5 calcolabile pure per sostituzione avendosi che lim + đ?&#x2018;Ľ+5 =

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4

đ?&#x2018;&#x17D;(â&#x2C6;&#x2019;4)(â&#x2C6;&#x2019;4) â&#x2C6;&#x2019;4+5

= 16đ?&#x2018;&#x17D;

La sostituzione eâ&#x20AC;&#x2122; tale che si possa dire che lim + =f(-4). đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4

Affincheâ&#x20AC;&#x2122; la funzione sia continua in ( â&#x2C6;&#x2019;4, đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2019;4)) deve risultare che:

102 + đ?&#x2018;&#x17D; = 16 đ?&#x2018;&#x17D; â&#x;ş 102 = 15 đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; =

102 15

.

Il valore di a che soddisfa il problema eâ&#x20AC;&#x2122; unico.

Sostituendo in formula per x = â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; =

102 15

nella đ?&#x2018;&#x201C;1 si ottiene il valore đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2019;4).

Quando si dovessero introdurre due parametri a e b con a â&#x2030; b si otterrebbe una relazione del tipo:


102 +đ?&#x2018;&#x17D; = 16đ?&#x2018;?

Cioâ&#x20AC;&#x2122; presuppone dove introdurre un a e determinare un b dipedente da a, o viceversa.

23. La derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122; delle funzioni di una variabile

La derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122; di una funzione eâ&#x20AC;&#x2122; una condizione piuâ&#x20AC;&#x2122; stringente della continuitaâ&#x20AC;&#x2122;.

Una funzione continua in un punto non necessariamente eâ&#x20AC;&#x2122; ivi derivabile.

Lâ&#x20AC;&#x2122;esempio tipico di funzione definita in un punto ma non derivabile in esso eâ&#x20AC;&#x2122;, ad esempio, rappresentato dalla funzione y = |x|. Vanno quindi considerate le condizioni di derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122; di una funzione f in un punto đ?&#x2018;Ľ0 . Sia f(x) definita e continua in un intorno simmetrico di đ?&#x2018;Ľ0 ovvero in (đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;ż, đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x203A;ż). In definitiva di ammette che la f sia definita e continua in ogni x tale che |x â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0 | â&#x2030;¤ đ?&#x203A;ż. Verificata questa condizione e data la f(x) si determina la sua derivata prima, cioeâ&#x20AC;&#x2122; la đ?&#x2018;&#x2018;

funzione fâ&#x20AC;&#x2122;(x) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ f(x). La funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile in un punto đ?&#x2018;Ľ0 se e solo se: lim đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = lim+ đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = l | l â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026;.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0


Lâ&#x20AC;&#x2122;esistenza di detti limiti eguali e finiti consente di sintetizzare scrivendo che: lim đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = lim+ đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = lâ&#x;ş lim đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = l

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

A questo punto di afferma che che la f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile in đ?&#x2018;Ľ0 . Una funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile in (a, b) se eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile in ogni punto di (a, b).

Un esempio di funzione da studiare ai fini della continuitaâ&#x20AC;&#x2122; e della derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122; eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente funzione, contenente due parametri reali h e k. f(x) = ln(x+â&#x201E;&#x17D;) + |đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;|

Dominio di definizione della funzione. Per la realtaâ&#x20AC;&#x2122; del logaritmo deve essere x+â&#x201E;&#x17D; > 0 da cui x > â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;. In definitiva dom f = ( â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;, +â&#x2C6;&#x17E;).

Continuitaâ&#x20AC;&#x2122; della funzione. La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; definita e continua per x â&#x2C6;&#x160; ( â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;, +â&#x2C6;&#x17E;).

Derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122; della funzione.

Si considerano le derivate prime delle due funzioni componenti.


đ??ˇđ?&#x2018;Ľ ln(đ?&#x2018;Ľ + â&#x201E;&#x17D;) =

1 ln(đ?&#x2018;Ľ+â&#x201E;&#x17D;)

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (x+â&#x201E;&#x17D;) =

1 ln(đ?&#x2018;Ľ+â&#x201E;&#x17D;)

La derivata contenente il valore assoluto eâ&#x20AC;&#x2122; scindibile come segue: đ??ˇđ?&#x2018;Ľ |xâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;| = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (xâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;) = 1 quando x > đ?&#x2018;&#x2DC;. đ??ˇđ?&#x2018;Ľ |xâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;| = đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (kâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;1 quando x < đ?&#x2018;&#x2DC;. đ??żđ?&#x2018;&#x17D; funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile per x = đ?&#x2018;&#x2DC;. đ??źđ?&#x2018;&#x203A; altri termini la derivata della funzione considerata puoâ&#x20AC;&#x2122; scriversi come: 1

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ f(x) = ln(đ?&#x2018;Ľ+â&#x201E;&#x17D;) Âą 1. đ??żđ?&#x2018;&#x17D; funzione derivata non eâ&#x20AC;&#x2122; definita per x = k in quanto si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che |đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;| = |đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ| = |0| e la funzione derivata prima non eâ&#x20AC;&#x2122; definita, avendosi nel caso considerato un punto angoloso. Coerentemente deve sempre risultare x > â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;.

24. Punti di non derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122;. Cuspidi e punti angolosi. Si consideri la funzione y = | x |.

Distinguendo i due casi possibili si ha:


f(x) = x per x > 0 e f(x) = x per x < 0. La funzione passa per lâ&#x20AC;&#x2122;origine, risultando f(0) = 0. La determinazione della derivata prima eâ&#x20AC;&#x2122; immediata, avendosi che per x > 0 đ?&#x2018;&#x2019; â&#x20AC;˛ : đ??ˇđ?&#x2018;Ľ x = 1 mentre per x < 0 si ha đ??ˇđ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019;x) = â&#x2C6;&#x2019;1 . đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ = 0 la funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile.

Usando la notazione di Fourier della derivata si ha:

lim

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ+â&#x201E;&#x17D;)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

â&#x201E;&#x17D;â&#x2020;&#x2019;0

â&#x201E;&#x17D;

= lim

â&#x201E;&#x17D;â&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x201E;&#x17D;)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(0) â&#x201E;&#x17D;

= lim

|â&#x201E;&#x17D;|

â&#x201E;&#x17D;â&#x2020;&#x2019;0 â&#x201E;&#x17D;

â&#x201E;&#x17D;

Si osserva che per hâ&#x2020;&#x2019; 0+ si ha che lim â&#x201E;&#x17D; = 1 mentre per hâ&#x2020;&#x2019; 0â&#x2C6;&#x2019; detto limite vale â&#x2C6;&#x2019;1 in â&#x201E;&#x17D;â&#x2020;&#x2019;0

quanto

â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D; â&#x201E;&#x17D;

= â&#x2C6;&#x2019;1.

La funzione definita e continua in x = 0 eâ&#x20AC;&#x2122; ivi non derivabile.

Essa eâ&#x20AC;&#x2122; cosiâ&#x20AC;&#x2122; rappresentata.


Un secondo interessante punto di non derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122; eâ&#x20AC;&#x2122; il punto di cuspide. Come esempio didattico di cuspide âŚ&#x2039;Bramanti, Pagani, SalsaâŚ&#x152; si puoâ&#x20AC;&#x2122; utilizzare la seguente, che ho deciso di sviluppare.

3 f : x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x161;|đ?&#x2018;Ľ|

La funzione considerata puoâ&#x20AC;&#x2122; essere studiata approfonditamente.

3

Essa passa per lâ&#x20AC;&#x2122;origine in quanto per đ?&#x2018;Ľ = 0 si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere y = â&#x2C6;&#x161;|0| = 0.

Si tratta di una funzione composta rappresentabile come segue. đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x201D;

x â&#x2020;&#x2019; | x | â&#x2020;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x161;|đ?&#x2018;Ľ| Per x > 0 si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere: đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x201D; 3

1

x â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľ 3

Eâ&#x20AC;&#x2122; immediato calcolare la derivata prima, avendo che:


1

1

1

1

2

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ 3 =3 đ?&#x2018;Ľ 3â&#x2C6;&#x2019;1 =3 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 đ??´ questo punto si puoâ&#x20AC;&#x2122; calcolare la derivata quando x â&#x2020;&#x2019;0+ .

1

2

2

1

1 2

1

1 2

lim+ 3 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 = 3 lim+ đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 = 3 lim+ ( đ?&#x2018;Ľ)3 =+â&#x2C6;&#x17E; in quanto lim+( đ?&#x2018;Ľ)3 =+â&#x2C6;&#x17E;

x â&#x2020;&#x2019;0

x â&#x2020;&#x2019;0

x â&#x2020;&#x2019;0

x â&#x2020;&#x2019;0

Va calcolato lâ&#x20AC;&#x2122;altro limite. Per x < 0 la funzione composta viene formalizzata come segue: đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x201D; 3

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ .

Lâ&#x20AC;&#x2122;ultima scrittura ha senso in R in quando il radicando eâ&#x20AC;&#x2122; dispari.

Al fine della determinazione di detto limite ho ritenuto utile utilizzare la seguente sostituzione che ancorcheâ&#x20AC;&#x2122; non nota mi eâ&#x20AC;&#x2122; sovvenuta. 3

3

â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą (â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x161;|đ?&#x2018;Ľ|

đ??´ questo punto risulta immediato calcolare il limite per x â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x153;â&#x2C6;&#x2019; . đ??żđ?&#x2018;&#x17D; presenza della costante (â&#x2C6;&#x2019;1) che premoltiplica il radicale consente di affermare che:

1

2

1

2

lim+ 3 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 = â&#x2C6;&#x2019; limâ&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 .

x â&#x2020;&#x2019;0

x â&#x2020;&#x2019;0

1

2

In altri termini, si puoâ&#x20AC;&#x2122; dire che limâ&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;. x â&#x2020;&#x2019;0


Il punto (0 ,0) eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di cuspide, oltrecheâ&#x20AC;&#x2122; di minimo per la funzione assegnata.

A questo punto eâ&#x20AC;&#x2122; possibile dare una definizione formale di punto di cuspide. Un punto (đ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 ) tale che risulti: lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = f(đ?&#x2018;Ľ0 )

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = Âąâ&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0â&#x2C6;&#x2019;

lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x201C;â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0+

eâ&#x20AC;&#x2122; detto punto di cuspide della funzione f(x).

25. Sviluppi in serie di Taylor e di McLaurin. Relazioni di Eulero.

Sia data una funzione f(.) definita e continua in un insieme A, detto dominio di definizione, essendo A â&#x160;&#x2020; đ?&#x2018;&#x2026;, ove R eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;insieme dei numeri reali. Sia dato un punto đ?&#x2018;Ľ0 tale che đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2C6; A.

Lâ&#x20AC;&#x2122;espressione f(x) = f(đ?&#x2018;Ľ0 ) + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 ) fâ&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ0 ) + fn(đ?&#x2018;Ľ0 ) +â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś. .

1 2!

1

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 ) 2 fâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ0 ) +â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś + đ?&#x2018;&#x203A;! (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 ) đ?&#x2018;&#x203A;


Va in primis precisato che lo sviluppo in serie di Taylor eâ&#x20AC;&#x2122; ammissibile quando la funzione che si considera eâ&#x20AC;&#x2122; definita e continua in un dato intervallo e quando ammette la derivata di ordine n, al variare di n in N. In đ?&#x2018;Ľ0 il valore della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; noto. Deve quindi ritenersi che sia noto f(đ?&#x2018;Ľ0 ). Lo sviluppo in serie di Taylor consente di calcolare con approssimazione a piacere il valore di f(x) quando x eâ&#x20AC;&#x2122; nelle vicinanze di đ?&#x2018;Ľ0 . Un caso particolare della serie di Taylor eâ&#x20AC;&#x2122; lo sviluppo in serie di MacLaurin che si ottiene dalla relazione di Taylor ponendo đ?&#x2018;Ľ0 = 0. Le esemplificazioni che verranno condotte consentiranno di ottenere le importanti formule di Eulero. Consideriamo il seguente esempio di funzione y = sinkx, ove k e; un intero assoluto đ?&#x153;&#x2039;

considerata nel punto đ?&#x2018;Ľ0 = 2 . Lo sviluppo in serie di Taylor eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente:

f(x) = f(đ?&#x2018;Ľ0 ) + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 ) fâ&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ0 ) + đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

1 2!

sin(k 2 ) + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 )kcos(k 2 ) +

đ?&#x153;&#x2039;

1

1

1

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 ) 2 fâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(đ?&#x2018;Ľ0 ) +â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś + đ?&#x153;&#x2039; 2

đ?&#x153;&#x2039;

1

1 đ?&#x2018;&#x203A;!

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 ) đ?&#x2018;&#x203A; fn(đ?&#x2018;Ľ0 ) +â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś. = đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 sin(đ?&#x2018;&#x2DC; 2 ) + 6 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 3(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 3 )cos(k2 ) 2 đ?&#x153;&#x2039;

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 4 đ?&#x2018;&#x2DC; 4sin(k 2 ) + 5! (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 5 đ?&#x2018;&#x2DC; 5 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (k 2 ) 4!

+


Questa eâ&#x20AC;&#x2122; una formula abbastanza generale.

Volendo si potrebbero considerare i due possibili casi ovvero che sia k pari, oppure k sia dispari.

Sia k pari. In questo caso la formula di Taylor diviene la seguente:

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039; 2

1

đ?&#x153;&#x2039;

1

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

f(x) = sin(k 2 ) + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 )kcos(k 2 ) + 2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 sin(đ?&#x2018;&#x2DC; 2 ) + 6 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 3(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 3 )cos(k 2 ) +

1

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

1

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 4 đ?&#x2018;&#x2DC; 4 sin(k 2 ) 4! đ?&#x153;&#x2039; 2

1

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

+ 5! (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 5 đ?&#x2018;&#x2DC; 5 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (k 2 ) = sin(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;) + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 )2cos(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;) + 1

đ?&#x153;&#x2039;

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 sin(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;) + 6 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 3(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 3 )cos(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;) + 2

1 4!

đ?&#x153;&#x2039;

1

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 4 đ?&#x2018;&#x2DC; 4sin(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;) + 5! (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x153;&#x2039; 5 5 ) đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;) 2

In essa kâ&#x20AC;&#x2122; eâ&#x20AC;&#x2122; un intero in quanto k eâ&#x20AC;&#x2122; pari e quindi multiplo di 2.

In detta relazione si annullano tutti i termini contenenti il seno e si ha:

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039; 2

1

1

đ?&#x153;&#x2039;

f(x)=sin(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;) + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 )kcos(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;)+ 2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 sin(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;) + 6 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 3 (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 3 )cos(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;) + 1 6

1 4!

đ?&#x153;&#x2039;

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 4 đ?&#x2018;&#x2DC; 4 sin(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;)

1

đ?&#x153;&#x2039;

+ 5! (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 5 đ?&#x2018;&#x2DC; 5 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;)

đ?&#x153;&#x2039;

1

đ?&#x153;&#x2039;

2

5!

2

=

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; ) 3 (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 3 )cos(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;) + 0 + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; ) 5 đ?&#x2018;&#x2DC; 5 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;).

Ma al variare di kâ&#x20AC;&#x2122; negli interi assoluti si ha che đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;)=â&#x2C6;&#x2019;1.

Pertanto si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:

đ?&#x153;&#x2039;

0 + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 )kcos(kâ&#x20AC;&#x2122;đ?&#x153;&#x2039;)+ 0 ) +


đ?&#x153;&#x2039;

1

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039; 5

1

đ?&#x153;&#x2039;

f(x) = + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 )k (â&#x2C6;&#x2019;1) + 6 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 3(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 3 )(â&#x2C6;&#x2019;1) + 5! (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) đ?&#x2018;&#x2DC; 5 (â&#x2C6;&#x2019;1) = â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 )k 1

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039; 5

1

+ 6 đ?&#x2018;&#x2DC; 3 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 3 â&#x2C6;&#x2019; 5! (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) đ?&#x2018;&#x2DC; 5 . In modo del tutto analogo si studia il caso k dispari, al variare di k nellâ&#x20AC;&#x2122;insieme dei dispari.

In questo caso ad annullarsi sono tutti i termini che contengono cos(.). đ?&#x153;&#x2039;

Infatti cos(k 2 ) = 0 per ogni k dispari. In questo caso si ha:

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

+

1 4!

đ?&#x153;&#x2039; 2

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

1

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

+ 5! (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 5 đ?&#x2018;&#x2DC; 5 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (k 2 ) đ?&#x153;&#x2039;

1

đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 sin(đ?&#x2018;&#x2DC; 2 ) + 6 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 3(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 3 )cos(k 2 ) 2 1

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 4 đ?&#x2018;&#x2DC; 4 sin(k 2 ) đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039; 2

1

f(x) = sin(k 2 ) + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 )kcos(k 2 ) +

đ?&#x153;&#x2039;

= 1

đ?&#x153;&#x2039;

sin(k 2 ) +0 + đ?&#x153;&#x2039; 2

1 2

1

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2039;

) (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 sin(đ?&#x2018;&#x2DC; 2 ) + 0 + 4! (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 4 đ?&#x2018;&#x2DC; 4sin(k 2 ) + 0 = 1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) + 4! đ?&#x2018;&#x2DC; 4 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 4 2

Analoghe riflessioni possono farsi per il caso della funzione y = cos(kx), con k intero đ?&#x153;&#x2039;

assoluto quando si studi lo sviluppo per đ?&#x2018;Ľ0 = 2 . Ed eccoci allâ&#x20AC;&#x2122;esponenziale complesso e alle conseguenti formule di Eulero.

Lâ&#x20AC;&#x2122;esponenziale complesso ha una forma molto semplice, potendo essere scritto come: y = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ


ove i = â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;unitaâ&#x20AC;&#x2122; immaginaria.

Sviluppando in serie si ha: 1

đ?&#x2018;&#x2013;

1

y = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ = 1 + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2! đ?&#x2018;Ľ 2 + 3! đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; 4! đ?&#x2018;Ľ 4 + â&#x2039;Ż .. Nello sviluppo eâ&#x20AC;&#x2122; bene tenere conto che đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2013; quando n = 4đ?&#x2018;&#x2DC; + 1, đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x203A; = 1 quando n = 4đ?&#x2018;&#x2DC; + 2, đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013; quando n = 4đ?&#x2018;&#x2DC; + 3 mentre đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x203A; = 1 quando n = 4đ?&#x2018;&#x2DC; + 4 cioeâ&#x20AC;&#x2122; eâ&#x20AC;&#x2122; un multiplo di 4. Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile poi considerare la funzione y = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ .

Per essa si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: 1

đ?&#x2018;&#x2013;

1

y = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ = 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2! đ?&#x2018;Ľ 2 + 3! đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; 4! đ?&#x2018;Ľ 4 + â&#x2039;Ż .. Noti, vedi piuâ&#x20AC;&#x2122; sopra, gli sviluppi di sin(x) e cos(x) si evince immediatamente che: đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ = cos(đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;&#x2013;sin(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ = cos(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;sin(đ?&#x2018;Ľ)

Le relazioni diEulero si ottengono sommando e sottraendo membro a membro dette relazioni.

Esse sono, come noto, le seguenti:

sin x =

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;&#x2013;


cos x =

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;&#x2013;

26. La funzione đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)

Detta funzione eâ&#x20AC;&#x2122; comunemente detta funzione composta esponenziale. Essa eâ&#x20AC;&#x2122; definita per f(x) > 0.

Pertanto dom y eâ&#x20AC;&#x2122; costituito da tutti gli x reali per i quali f eâ&#x20AC;&#x2122; definita e sotto lâ&#x20AC;&#x2122;ulteriore condizione che f(x) sia maggiore di zero.

Occorre poi ricordare che la derivata prima di detta funzione eâ&#x20AC;&#x2122; data dalla formula seguente:

yâ&#x20AC;&#x2122; = (đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) ) (gâ&#x20AC;&#x2122;(x)ln(f(x)) +

đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

)

La relativa dimostrazione eâ&#x20AC;&#x2122; reperibile in ogni testo di Calcolo.

Al rigurado eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare una funzione quale y = (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x203A;)đ?&#x2018;Ľ . Deve essere garantita la condizione f(x) > 0 cioeâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x203A; > 0 e quindi mx > â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; con m â&#x2030; 0.

Detta relazione eâ&#x20AC;&#x2122; immediatamente discutibile come segue:


mx > â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ > â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x161;

per m positivo.

đ?&#x2018;&#x203A;

mx > â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ < â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161; per m negativo. A questo punto eâ&#x20AC;&#x2122; utilizzabile la formula della derivata prima, cioeâ&#x20AC;&#x2122;:

yâ&#x20AC;&#x2122; = (đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) ) (gâ&#x20AC;&#x2122;(x)ln(f(x)) +

đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

)

Si calcolano quindi le derivate di f e di g. đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2018;

(x)= 1

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2018;

(mx+đ?&#x2018;&#x203A;)= đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ (mx) + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;&#x203A;)= m+0 = đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ A questo punto si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:

yâ&#x20AC;&#x2122; = (đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) ) (gâ&#x20AC;&#x2122;(x)ln(f(x)) +

đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ

)= (đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x203A;)đ?&#x2018;Ľ ((1)ln(đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x203A;) + đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;&#x203A;).

Un ulteriore esempio potrebbe essere il seguente: y = (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; )ln(đ?&#x2018;Ľ)

Questa funzione me la sono creata ad hoc, ma forse nella sterminata manualistica eâ&#x20AC;&#x2122; pure possibile che sia giaâ&#x20AC;&#x2122; notaâ&#x20AC;Ś


Poicheâ&#x20AC;&#x2122; essa contiene ad esponente la funzione g(x) = ln(x) occorre porre sia x > 0 (condizione di esistenza del logaritmo reale).

Lâ&#x20AC;&#x2122;aver introdotto della funzione ad esponente paradossalmente semplica la trattazione della condizione che deve valere su f(x). Infatti deve essere f(x) > 0 dovendo quindi discutere la condizione đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; > 0. Detta relazione eâ&#x20AC;&#x2122; sempre vera quando x > 0.

In generale eâ&#x20AC;&#x2122; possibile introdurre funzioni g(x) tali che non esistano restrizioni per x, quale potrebbe essere il seguente caso: y = (đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; )sin(đ?&#x2018;Ľ) In questo caso diviene rilevante lo studio della relazione đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; > 0 quando sia x < 0. Al riguardo vorrei osservare che đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; > 0 â&#x;ş đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; > â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ. Detta relazione va studiata sotto la condizione x < 0. Pertanto la stenografia â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ va intesa quale numero positivo.

Cioâ&#x20AC;&#x2122; premesso, discende in modo immediato che la coerenza formale della relazione dâ&#x20AC;&#x2122;ordine eâ&#x20AC;&#x2122; data quando đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; > 0 , đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;, per la condizione posta su x (x < 0) impone sia k = 2n, al variare di n in N.


Una ulteriore condizione formale che deve essere garantita eâ&#x20AC;&#x2122; che sia x đ?&#x153;&#x2013; ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 1).

Eâ&#x20AC;&#x2122; ben evidente che per x positivo non si pongono problemi.

27. Funzioni iperboliche e loro derivazione

Sono di particolare interesse le tre funzioni iperboliche.

Si definisce seno iperbolico la funzione che fa corrispondere al numero reale x il numero sinh(x)=

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2

Analogamente si definisce il coseno iperbolico cosh(x)=

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2

.

La tangente iperbolica tgh(x) eâ&#x20AC;&#x2122; definita come il rapporto tra il seno iperbolico e il coseno iperbolico, cioeâ&#x20AC;&#x2122; si ha:

sinh(đ?&#x2018;Ľ)

tgh(x) = cosh(đ?&#x2018;Ľ) =

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

= đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

Sono date tre semplici regole di derivazione.

Infatti, risulta che: đ??ˇđ?&#x2018;Ľ sinh(x) = cosh(x) đ??ˇđ?&#x2018;Ľ cosh(x) = sinh(x)


đ??ˇđ?&#x2018;Ľ tgh(x) =

1 (cosh(x))2

Come noto le funzioni iprboliche ammettono lâ&#x20AC;&#x2122;inversa.

Le funzioni iperboliche inverse sono cosiâ&#x20AC;&#x2122; definite: đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x201E;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;1 (x) = ln( x+â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x2018;Ľ 2 ) per ogni x reale. đ??żđ?&#x2018;&#x17D; scrittura đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x201E;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;1 (x) eâ&#x20AC;&#x2122; equivalente a arcsenh x. đ??´đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;logamente si definiscono le funzioni inverse di cosh(x) e cosh(x).

Le funzioni inverse si scrivono rispettivamente come:

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; â&#x201E;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;1 (x) = ln( x+â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1) dovendo porsi x â&#x2030;Ľ 1. 1

1+đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;1 (x) = 2 đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ quando si ponga đ?&#x2018;Ľ 2 < 1. đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; completezza occorre ricordare che sono definite anche le funzioni coth(x), sech(x), e cosech(x) e le relative inverse. đ??źđ?&#x2018;&#x203A; questo elaborato queste ulteriori funzioni non sono prese in considerazione.

La derivazione delle funzioni iperboliche e delle loro inverse non presenta, in linea generale, particolari difficoltaâ&#x20AC;&#x2122;.


Si possono considerare gli esempi seguenti, frutto di piccole modifiche apportate a funzioni correntemente proposte quali esercizi nella manualistica. 1

y = sinh(đ?&#x2018;&#x203A;x) Si tratta evidentemente di una funzione composta, secondo lo schema seguente: đ?&#x2018;&#x201C;

1

đ?&#x2018;&#x201D;

1

x â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; sinh( x) đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

1

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; porre đ?&#x2018;&#x203A;x = u. Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile applicare il teorema della derivata di una funzione composta.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: 1

1

1

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;x = đ?&#x2018;&#x203A; đ??ˇđ?&#x2018;Ľ x = đ?&#x2018;&#x203A; đ??ˇđ?&#x2018;˘ sinh(đ?&#x2018;˘) = cosh(u) 1

1

1

Riunendo i risultati si ha che yâ&#x20AC;&#x2122; = đ?&#x2018;&#x203A; cosh(u) = đ?&#x2018;&#x203A; cosh(đ?&#x2018;&#x203A;x).

Un ulteriore esempio eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente. Si consideri la funzione y = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; (nx).


Anche in questo caso si ha a che fare con una funzione composta secondo lo schema seguente: đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x201D;

â&#x201E;&#x17D;

x â&#x2020;&#x2019; nx â&#x2020;&#x2019; cosh(nx) â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; (nx). Si puoâ&#x20AC;&#x2122; porre cosh(nx) = u e applicare il teorema della derivata composta tenendo conto che: đ??ˇđ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2DC; = kđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2019;1 . đ??ˇđ?&#x2018;Ľ nx = n. Riunendo i risultati si ha: yâ&#x20AC;&#x2122; = 2u*3 = 6u = 6 sinh(x).

Un ulteriore esempio eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente: y = ln(cosh(x))

In questo caso si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: đ?&#x2018;&#x201C;

đ?&#x2018;&#x201D;

x â&#x2020;&#x2019; cosh(x) â&#x2020;&#x2019; ln(cosh(x)). Posto cosh(x) = u si puoâ&#x20AC;&#x2122; ovviamente scrivere che g(u) = ln(u).


Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile scrivere che: 1

đ??ˇđ?&#x2018;˘ ln(u) = đ?&#x2018;˘ đ??ˇđ?&#x2018;Ľ cosh(x) = sinh(x). đ??¸â&#x20AC;˛ quindi possibile applicare il teorema della derivata composta, avendo che: 1

1

sinh(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛ = sinh(x)đ?&#x2018;˘ = sinh(x)cosh(đ?&#x2018;Ľ) = cosh(đ?&#x2018;Ľ) = tangh(x).

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile ora considerare qualche caso di derivazione di funzioni iperboliche inverse.

Anche in questo caso la derivazione, almeno negli argomenti piuâ&#x20AC;&#x2122; semplici, eâ&#x20AC;&#x2122; priva di particolari difficoltaâ&#x20AC;&#x2122;.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare il seguente caso, rielaborato a partire da un esercizio proposto e rinvenuto nella manualistica consultata. 1

y = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x201E;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x203A;x) Si tratta anche in questo caso di una funzione composta, spiegabile secondo il seguente schema: 1

đ??ˇđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x201E;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x203A;x) =

1 1 đ?&#x2018;&#x203A;

â&#x2C6;&#x161;1+( đ?&#x2018;Ľ)2

đ?&#x2018;&#x2018;

1

1

( đ?&#x2018;Ľ) =đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;

1 1 đ?&#x2018;&#x203A;

â&#x2C6;&#x161;1+( đ?&#x2018;Ľ)2

=

1 1 đ?&#x2018;&#x203A;

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 +đ?&#x2018;&#x203A;2 ( đ?&#x2018;Ľ)2

=

1 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 +đ?&#x2018;Ľ 2


28. Rappresentazione parametrica di curve

Vi sono casi nei quali una curva y = f(x) viene data in forma parametrica.

In casi del genere le coordinate (x, y) del luogo di equazione y = f(x) vengono espresse in funzione di un parametro, quale ad esempio t, che evoca il tempo.

Questo modo di intendere ha una qualche utilitaâ&#x20AC;&#x2122; in cinematica quando si studiano le leggi orarie del moto. In questi casi si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare la funzione y = f(x) come un insieme di coppie ordinate (x, y) | x = x(t) , e y = y(t).

Alcuni esempi banali chiariscono la situazione.

Siano date le due seguenti relazioni in funzione di t. x(t) = 2 + đ?&#x2018;Ą y(t) = 1 +đ?&#x2018;Ą 2

Da queste relazioni si potrebbe evidenziare la relazione esistente tra la x e la y.

Esiste una modalitaâ&#x20AC;&#x2122; algebrica manipolativa che consente di evidenziare detta relazione. Da x = 2 + đ?&#x2018;Ą si ottiene immediatamente che t = x â&#x2C6;&#x2019;2.

La seconda relazione eâ&#x20AC;&#x2122; manipolabile come segue:


y = 1 +đ?&#x2018;Ą 2 = 1 + (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2)2 = 1 +đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 4 = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 5.

Vista in questi termini la relazione sottende una relazione per la quale esiste una relazione funzionale tra le coordinate (x, y).

Questo eâ&#x20AC;&#x2122; astrattamente vero anche se essa esprime la sintesi riferita a due leggi indipendenti, date dalle due equazioni parametriche.

Questa osservazione saraâ&#x20AC;&#x2122; sviluppata nel paragrafo relativo alle funzioni vettoriali. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

Una modalitaâ&#x20AC;&#x2122; assai semplice di calcolare đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente. Dalle relazioni x(t) = 2 + đ?&#x2018;Ą e y(t) = 1 +đ?&#x2018;Ą 2 si ha: đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2018;

(2 + đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 2 + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;

(1 +đ?&#x2018;Ą 2 ) =

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

1+

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;Ą = 0 +1 = 1

đ?&#x2018;Ą 2 = 0 +2đ?&#x2018;Ą = 2đ?&#x2018;Ą.

Una banale osservazione consente il calcolo della derivata.

Infatti si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

=

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

=2t*1 = 2t

đ??¸â&#x20AC;˛ immediato calcolare la derivata seconda, avendo che: đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2018;

( 2t)) = 2

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ


Un esempio leggermente piuâ&#x20AC;&#x2122; complesso eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente. x = x(đ?&#x153;&#x192;) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 3 (đ?&#x153;&#x192;) y = y(đ?&#x153;&#x192;) = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;3 (đ?&#x153;&#x192;) Incidentalmente si ricordi che đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;  3 (đ?&#x153;&#x192;) â&#x2030;Ą (cos(đ?&#x153;&#x192;))3. Si evince chiaramente che x(đ?&#x153;&#x192;) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;  3 (đ?&#x153;&#x192;) e y(đ?&#x153;&#x192;) = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;3 (đ?&#x153;&#x192;) sono due funzioni composte. Eâ&#x20AC;&#x2122; in questo caso possibile derivare rispetto a đ?&#x153;&#x192;.

Si ha che: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192;

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192;

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

= 3đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2 (đ?&#x153;&#x192;) (â&#x2C6;&#x2019;sin(đ?&#x153;&#x192;)) = â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;  2 (đ?&#x153;&#x192;)sin(đ?&#x153;&#x192;)

= 3đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;2 (đ?&#x153;&#x192;)đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (đ?&#x153;&#x192;)

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192;

3đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;2 (đ?&#x153;&#x192;) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (đ?&#x153;&#x192;)

sin(đ?&#x153;&#x192;)

= đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś =â&#x2C6;&#x2019;3sin(đ?&#x153;&#x192;)đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2 (đ?&#x153;&#x192;) = â&#x2C6;&#x2019; cos(đ?&#x153;&#x192;) = â&#x2C6;&#x2019;tang(đ?&#x153;&#x192;).

29. Funzioni a valori vettoriali Sono funzioni che da R a đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;&#x161; anche se in generale eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare funzioni đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;&#x161; con n â&#x2030; m. In genere nelle applicazioni fisiche si considera il caso m = 3.


In questo caso le funzioni vettoriali f : R â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2026; 3 vengono solitamente scritte in una notazione detta vettoriale. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k La funzione vettoriale eâ&#x20AC;&#x2122; definita in un I â&#x160;&#x2020; R e solitamente I = âŚ&#x2039; 0 , +â&#x2C6;&#x17E;).

Questo modo di intendere ha un significato fisico alquanto evidente.

Le tre funzioni scalari x(t), y(t), z(t) definiscono altrettante leggi orarie del moto lungo le tre direzioni (assi cartesiani ortogonali).

Dette funzioni scalari sono dette componenti della funzione vettoriale r(t). Se si ragiona in termini cinematici la funzione r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k definisce il moto risultante studiato nello spazio euclideo. Se z(t) â&#x2030;Ą 0 identicamente in I allora il moto avviene nel piano xy.

Il moto avviene lungo una sola direzione se due funzioni scalari sono identicamente nulle. Assegnata una funzione vettoriale r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k essa eâ&#x20AC;&#x2122; doppiamente derivabile quando sono doppiamente derivabili le funzioni scalari componenti.

Questo permette di ricavare, in successione, la velocitaâ&#x20AC;&#x2122; vettoriale e la accelerazione vettoriale.


Eâ&#x20AC;&#x2122; sufficiente derivare rispetto al tempo t. đ?&#x2019;&#x2026;

r(t) =

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2022;

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

( x(t)i + y(t)j + z(t)k )

Il calcolo eâ&#x20AC;&#x2122; immediato solo che si consideri la terna i, j, k come delle costanti. đ?&#x2019;&#x2026;

r(t) = xâ&#x20AC;&#x2122;(t)i + yâ&#x20AC;&#x2122;(t)j + zâ&#x20AC;&#x2122;(t)k = đ?&#x2019;&#x2014;(t)

đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2022;

Il modulo della velocitaâ&#x20AC;&#x2122; vettoriale ovvero | đ?&#x2019;&#x2014;(t)| si ottiene applicando il Teorema di Pitagora, avendosi che:

| đ?&#x2019;&#x2014;(t)| = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľâ&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ą)2 + đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ą)2 + đ?&#x2018;§â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ą)2

Detta grandezza eâ&#x20AC;&#x2122; detta velocitaâ&#x20AC;&#x2122; scalare istantanea.

Il passo successivo eâ&#x20AC;&#x2122; la definizione della accelerazione istantanea vettoriale, che si formalizza come segue: đ?&#x2018;&#x2018;2

a(t) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 2 ( x(t)i + y(t)j + z(t)k ) = xâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(t)i + yâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(t)j + zâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(t)k. Lâ&#x20AC;&#x2122;accelerazione istantanea scalare si ricava immediatamente e si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:

| a(t)| = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ą)2 + đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ą)2 + đ?&#x2018;§â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ą)2

Per la accelerazione vettoriale si potrebbe anche proporre una formula compatta ma poco operativa quale:


a(t) = lim+ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0

đ??Ż(t+dt)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2014;(đ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

30. Alcune nozioni elementari ma comunque utili

30.1 Estremi inferiore e superiore Sia dato un insieme limitato A â&#x160;&#x201A; R del tipo (a, b) con a < đ?&#x2018;?. â&#x2C6;&#x20AC; x â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D; tale quindi che x â&#x2C6;&#x2030; A eâ&#x20AC;&#x2122; detto minorante di A. đ??żâ&#x20AC;˛insieme dei minoranti eâ&#x20AC;&#x2122; X = { x â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x17D; | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2030; đ??´}. Il numero a eâ&#x20AC;&#x2122; detto estremo inferiore di A. Si osservi che a â&#x2C6;&#x2030; A. â&#x2C6;&#x20AC; y â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;? tale quindi che y â&#x2C6;&#x2030; A eâ&#x20AC;&#x2122; detto maggiorante di A. Lâ&#x20AC;&#x2122;insieme del maggioranti si indica come Y = { y â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;? | đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2030; đ??´ }.

Gli estremi inferiore e superiore di A si indicano rispettivamente come: inf(A) = đ?&#x2018;&#x17D; sup(A) = đ?&#x2018;?. Quando si considera lâ&#x20AC;&#x2122;intervallo âŚ&#x2039; a, bâŚ&#x152; si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: inf(A) = min(đ??´) = đ?&#x2018;&#x17D;


sup(A) = max(đ??´) = đ?&#x2018;?.

Lâ&#x20AC;&#x2122;intervallo (a, bâŚ&#x152; eâ&#x20AC;&#x2122; un insieme avente: inf(A) = đ?&#x2018;&#x17D; sup(A) = max(đ??´) = đ?&#x2018;?. Infine, lâ&#x20AC;&#x2122;insieme âŚ&#x2039; a, b) eâ&#x20AC;&#x2122; tale che: inf(A) = min(đ??´) = đ?&#x2018;&#x17D; sup(A) = đ?&#x2018;?.

30.2 Punti di accumulazione e punti isolati Si consideri un insieme A tale che A â&#x160;&#x201A; R. Sia đ?&#x2018;Ľ0 un punto di R. Il punto đ?&#x2018;Ľ0 eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di accumulazione di A se eâ&#x20AC;&#x2122; verificata una delle tre seguenti condizioni. Il punto đ?&#x2018;Ľ0 eâ&#x20AC;&#x2122; tale che ogni intorno completo di đ?&#x2018;Ľ0 contiene infiniti punti di A. Il punto đ?&#x2018;Ľ0 eâ&#x20AC;&#x2122; detto punto interno di A.


In questo caso si ha che đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2C6; đ??´. Il punto đ?&#x2018;Ľ0 eâ&#x20AC;&#x2122; tale che solo ogni intorno sinistro (destro) di đ?&#x2018;Ľ0 contiene infiniti punti di A. In questo caso il punto đ?&#x2018;Ľ0 eâ&#x20AC;&#x2122; detto punto di frontiera. Nel caso degli insiemi (a, b) e âŚ&#x2039;a , bâŚ&#x152; i punti a e b, e solo essi, sono di frontiera per A. I punti di âŚ&#x2039;a , bâŚ&#x152; sono di accumulazione per (a, b). Si osservi che non necessariamente il punto đ?&#x2018;Ľ0 di accumulazione per A, secondo la definizione data eâ&#x20AC;&#x2122; tale che đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x160;A. Rispetto ad un insieme A un punto đ?&#x2018;Ľ0 puoâ&#x20AC;&#x2122; essere di accumulazione, oppure un punto isolato.

Un esempio di punto isolato si evidenzia a partire da un esempio semplice ma istruttivo, quale quello offerto dal seguente insieme H = (a, b) â&#x2C6;Ş {đ?&#x2018;? } con c > đ?&#x2018;?.

Si osservi che c appartiene a H per la definizione stessa di H. Si tratta di un punto isolato in quanto ogni infinito intorno di raggio đ?&#x203A;ż di c tale che sia đ?&#x203A;ż < |c â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?| non contiene alcun punto di H.


31. Nozione di limite. Dimostrazioni đ?&#x203A;ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x20AC; Si ammette che lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2122; se per ogni đ?&#x153;&#x20AC; > 0 esiste un đ?&#x203A;ż = đ?&#x203A;ż(đ?&#x153;&#x20AC;) > 0 tale che per ogni x đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

â&#x2C6;&#x160; Dom f per |x â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0 | < đ?&#x203A;ż si ha |f(x) â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; | < đ?&#x153;&#x20AC;.

Ho rinvenuto nella manualistica consultata un tipo di esercizio quale il seguente: lim(2đ?&#x2018;Ľ + 3) = 7

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?

richiedendo per quale valore di c, se esite, tale limite vale 7. Al solito si parte fissando 0 < đ?&#x153;&#x20AC; < 1. La sostanza della dimostrazione consiste nellâ&#x20AC;&#x2122;affermare che dalla relazione | (2đ?&#x2018;Ľ + 3) â&#x2C6;&#x2019; 7| < đ?&#x153;&#x20AC; si ottiene vera la relazione |x â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?| < đ?&#x203A;ż(đ?&#x153;&#x20AC;) > 0. Da | (2đ?&#x2018;Ľ + 3) â&#x2C6;&#x2019; 7| < đ?&#x153;&#x20AC; si ottiene â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; < 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 < đ?&#x153;&#x20AC; ed anche â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; + 4 < 2đ?&#x2018;Ľ < đ?&#x153;&#x20AC; +4 ed anche

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC;+4 2

<đ?&#x2018;Ľ <

đ?&#x153;&#x20AC;+4 2

.

Eâ&#x20AC;&#x2122; quindi definito un intorno simmetrico di x che verifica le condizioni della definizione di limite.


Ho poi osservato che per đ?&#x153;&#x20AC; â&#x2020;&#x2019; 0+ le diseguaglianze 4

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC;+4 2

<đ?&#x2018;Ľ <

đ?&#x153;&#x20AC;+4 2

possono riscriversi

4

come 2 < đ?&#x2018;Ľ < 2 ovvero 2 < đ?&#x2018;Ľ < 2 che equivale a scrivere x = 2. A questo passaggio al limite puoâ&#x20AC;&#x2122; essere dato il significato di x â&#x2020;&#x2019; c, ammettendo che, al limite, sia x = c.

Le diseguaglianze â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; 2

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC;+4 2

<đ?&#x2018;Ľ <

đ?&#x153;&#x20AC;

+ 2 < đ?&#x2018;Ľ < 2 + 2 ed anche

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; 2

đ?&#x153;&#x20AC;+4 2

possono essere scritte in forma equivalente come segue: đ?&#x153;&#x20AC;

đ?&#x153;&#x20AC;

< đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 < 2 risultando in definitiva che | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 | < 2 e in

đ?&#x153;&#x20AC;

sintesi | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 | < đ?&#x203A;ż â&#x2030;¤ 2.

Non mancano neppure gli approcci âŚ&#x2039;Ayres Jr.âŚ&#x152; che consentono di dimostrare il valore del limite di funzioni di secondo grado.

Un esempio proposto eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente: lim(đ?&#x2018;Ľ 2 + 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2) = â&#x2C6;&#x2019;2 , cioeâ&#x20AC;&#x2122; dimostrare che il limite della funzione per x â&#x2020;&#x2019; 0 vale â&#x2C6;&#x2019;2.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

Ho ritenuto alternativamente di ragionare come segue. Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che |(đ?&#x2018;Ľ 2 + 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;2) | < đ?&#x153;&#x20AC;.


Piuâ&#x20AC;&#x2122; semplicemente si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che |đ?&#x2018;Ľ 2 + 3đ?&#x2018;Ľ | < đ?&#x153;&#x20AC; e quindi â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 < 3đ?&#x2018;Ľ < +đ?&#x153;&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 da cui

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 3

<đ?&#x2018;Ľ <

đ?&#x153;&#x20AC;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 3

.

Lâ&#x20AC;&#x2122;intorno della x eâ&#x20AC;&#x2122; ben definito in quanto ogni x distinto da 0 eâ&#x20AC;&#x2122; nel dominio di h(x)=đ?&#x2018;Ľ 2 .

Ponendo đ?&#x153;&#x20AC; â&#x2020;&#x2019; 0+ si ha che

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 3

<đ?&#x2018;Ľ <

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 3

da cui si ha 0 < đ?&#x2018;Ľ +

đ?&#x2018;Ľ2 3

< 0 verificata per x = 0.

Nei casi considerati i punti le funzioni sono continue anche nei punti limite. Cioâ&#x20AC;&#x2122; non eâ&#x20AC;&#x2122; vero in generale potendo essere lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2122; ma potendo la funzione non essere đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?

definita in c, risultanto cioeâ&#x20AC;&#x2122; non determinato il valore reale f(c).

Vanno considerati alcuni limiti particolari, quantunque la trattazione della nozione di limite trascenda dagli obiettivi del presente elaborato, pur presupponendo noti i limiti notevoli.

Una prima casistica di limiti poco trattati eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente: 1

lim(đ?&#x2018;&#x2DC;)đ?&#x2018;Ľ essendo k un numero reale positivo.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

Occorre distinguere i casi sia x â&#x2020;&#x2019;0â&#x2C6;&#x2019; e x â&#x2020;&#x2019;0+ .


Si consideri il caso x â&#x2020;&#x2019;0â&#x2C6;&#x2019; . In questo caso si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere la seguente successione di passaggi: 1

lim

1

1

1

lim(đ?&#x2018;&#x2DC;)đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; = (đ?&#x2018;&#x2DC;)+â&#x2C6;&#x17E; = đ?&#x2018;&#x2DC; +â&#x2C6;&#x17E; = 0+ .

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

Si tenga conto che si eâ&#x20AC;&#x2122; abusato di notazione in quanto Âąâ&#x2C6;&#x17E; non sono numeri reali. 1

1

Va ricordato che se in generale si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 ma la relazione 0 = 0â&#x2C6;&#x2019;1 non ha significato. Il secondo casoda considerare, e quindi x â&#x2020;&#x2019;0+ conduce ai seguenti passaggi:

1

lim

1

lim+ (đ?&#x2018;&#x2DC;)đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0+đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2DC; +â&#x2C6;&#x17E; = +â&#x2C6;&#x17E;.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

Un ulteriore esmepio di limite potrebbe essere il seguente:

lim

đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

ove k â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026; + .

1

Eâ&#x20AC;&#x2122; bene dare un significato alla scrittura đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ risultando che đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = (đ?&#x2018;&#x2DC;)đ?&#x2018;Ľ . đ?&#x2018;&#x2DC;0

1

La dimostrazione eâ&#x20AC;&#x2122; evidente quando si ponga đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ =đ?&#x2018;&#x2DC; 0â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ c.v.d..


Il limite vale banalmente 1 in quanto

1 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ

â&#x2020;&#x2019; 0 quando đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; e gli infiniti al numeratore e

al denominatore sono lo stesso infinito, quindi sono dello stesso ordine. La quantitaâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; quando x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;.

Con abuso di notazione si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:

lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

+â&#x2C6;&#x17E;â&#x2C6;&#x2019;0

+â&#x2C6;&#x17E;

+â&#x2C6;&#x17E;+0

+â&#x2C6;&#x17E;

=

=

=1

Si osservi che la semplificazione

+â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E;

= 1 non eâ&#x20AC;&#x2122; in generale possibile, essendo ammessa

quando si hanno infiniti dello stesso ordine.

Eâ&#x20AC;&#x2122; possiible fare il punto della situazione e ricordare che la condizione per la quale una funzione sia continua in un punto đ?&#x2018;Ľ0 eâ&#x20AC;&#x2122; che sia f(đ?&#x2018;Ľ0 ) data e che esista finito il limite seguente: lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2122;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x153;

Quando il limite esiste ma la funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; definita in detto punto allora si impone che sia f(x) = đ?&#x2018;&#x2122;.


Possiamo considerare qualche ulteriore esempio. Si puoâ&#x20AC;&#x2122;, ad esempio, dimostrare che lim ln(đ?&#x2018;Ľ) = ln(k) con k > 0. đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;

Sia dato un đ?&#x153;&#x20AC; | 0 < đ?&#x153;&#x20AC; < 1.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: | ln(x) â&#x2C6;&#x2019; ln(đ?&#x2018;&#x2DC;) | < đ?&#x153;&#x20AC; â&#x;ş â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; < ln(x) â&#x2C6;&#x2019; ln(đ?&#x2018;&#x2DC;) < đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x153;&#x20AC; â&#x;ş â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; + ln(đ?&#x2018;&#x2DC;) < ln(x) < đ?&#x153;&#x20AC; +ln(đ?&#x2018;&#x2DC;).

A questo punto eâ&#x20AC;&#x2122; necessario trovare un intorno di k.

Eâ&#x20AC;&#x2122; possiible utilizzare la definizione elementare di logaritmo, avendo che: ln(x) = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x;ş đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;Ľ cioeâ&#x20AC;&#x2122; x = đ?&#x2018;&#x2019; ln(đ?&#x2018;Ľ) .

Tanto premesso, il precedente sitema di diseguaglianze diviene: đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC;+ln(đ?&#x2018;&#x2DC;) < đ?&#x2018;Ľ < đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x153;&#x20AC;+ln(đ?&#x2018;&#x2DC;) đ??¸â&#x20AC;˛ stato definito un intorno simmetrico di x = đ?&#x2018;&#x2019; ln(đ?&#x2018;Ľ) rappresentabile come segue:


I punti a e b sono al variare di đ?&#x153;&#x20AC; gli estremi inferiore e superiore di un intorno centrato in x. Il punto x eâ&#x20AC;&#x2122; il punti limite che conincide con đ?&#x2018;Ľ0 solo come condizione di limite. La coincidenza dei punti si avrebbe per đ?&#x153;&#x20AC; = 0 . Si ha che a =â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; + ln(đ?&#x2018;&#x2DC;) e che b = đ?&#x153;&#x20AC; + ln(đ?&#x2018;&#x2DC;).

Un ulteriore esempio di studio potrebbe essere il seguente: lim 2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = 1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

Puoâ&#x20AC;&#x2122; essere utile ricordare che:

2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = 20â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ =

20 2đ?&#x2018;Ľ

=

1 2đ?&#x2018;Ľ

1

= ( )đ?&#x2018;Ľ 2

Cioâ&#x20AC;&#x2122; premesso, si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: 1

1

|(2)đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1| đ?&#x153;&#x20AC; e quindi â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; + 1 < (2)đ?&#x2018;Ľ < đ?&#x153;&#x20AC; + 1. Occrorre mettere in evidenza la x utilizzando la definizione elementare di logaritmo, avendo cioeâ&#x20AC;&#x2122; che: 1

1

(2)đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x;ş xln(2) = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x17D;) In definitiva si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che:


đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;(1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC;) 1 ln( ) 2

<x<

đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;(1+đ?&#x153;&#x20AC;) 1 2

ln( )

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; porre k =

1 1 2

ln( )

e definire il seguente intorno (k đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x20AC;), k đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;(1 + đ?&#x153;&#x20AC;) ).

Facendo tendere đ?&#x153;&#x20AC; a 0+ si ottiene x â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0 cioeâ&#x20AC;&#x2122; x â&#x2020;&#x2019; ln(1) = o.

Un ulteriore esempio da conto delle modalitaâ&#x20AC;&#x2122; che ho introdotto.

Eâ&#x20AC;&#x2122; richiesto di dimostrare che: lim log 2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) = 0

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4

0 <|log 2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) | < đ?&#x153;&#x20AC; â&#x;ş â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; < log 2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) < đ?&#x153;&#x20AC; â&#x;ş â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; < đ?&#x2018;&#x17D; < đ?&#x153;&#x20AC;. Da questo ultimo insieme di disequazioni si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere: 2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; < đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 < 2đ?&#x153;&#x20AC; Senza perdita di generalitaâ&#x20AC;&#x2122; si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x153;&#x2013; (0, 1) ed anche assegnare un indice ad đ?&#x153;&#x20AC; secondo il seguente schema đ?&#x153;&#x20AC;0 = 1 ed essendo đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2013;+1 < đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2013; e al limite đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2020;&#x2019; 0+ per n â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;. 1 <đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 <1 Ne consegue che al limite deve essere đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 = 1 cioeâ&#x20AC;&#x2122; x = 4.

Ho utilizzato un teorema applicabile ai numeri reali, ovvero che eâ&#x20AC;&#x2122;:


( a > đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;? > đ?&#x2018;&#x17D; â&#x;ş a = b) Detti passaggi vanno intesi nel senso che quanto đ?&#x153;&#x20AC; â&#x2020;&#x2019; 0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 . Detta altrimenti i punti possono considerarsi coincidenti anche seâ&#x20AC;Ś.

La ammissibilitaâ&#x20AC;&#x2122; di questo modo di procedere si evidenzia ampiamente nel seguente esempio proposto. lim 32đ?&#x2018;Ľ+1 = 27

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

|32đ?&#x2018;Ľ+1 â&#x2C6;&#x2019; 27| < đ?&#x153;&#x20AC;

In altri termini si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: 27 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x20AC; < 32đ?&#x2018;Ľ+1 < 27 + đ?&#x153;&#x20AC; log 3 (27 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x20AC;) < (2đ?&#x2018;Ľ + 1) log 3 3 < log 3 (27 + đ?&#x153;&#x20AC;) Si puoâ&#x20AC;&#x2122; far tendere đ?&#x153;&#x20AC; a zero da destra. Per conseguenza si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che: log 3 (27) < (2đ?&#x2018;Ľ + 1) < log 3 (27 ) Si tenga conto che log 3 3 = 1 e che in generale per k razionale positivo si ha log đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC; = 1. Dalle precedenti disequazioni si ha che: 3 < (2đ?&#x2018;Ľ + 1) < 3


In definitiva si ha: 2đ?&#x2018;Ľ + 1 = 3 e quindi x = 2.

Questa modalitaâ&#x20AC;&#x2122; dimostrativa che ho abbozzato eâ&#x20AC;&#x2122; anche utile a dimostrare che una relazione del tipo lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2DC; | k â&#x2C6;&#x160; R non eâ&#x20AC;&#x2122; vera. đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

lim 3đ?&#x2018;Ľ 2 + 1 = 3

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

Che detta asserzione sia falsa lo si evince usando un noto strumento dellâ&#x20AC;&#x2122;analisi, cioeâ&#x20AC;&#x2122; scrivendo: lim 3đ?&#x2018;Ľ 2 + 1 = 3 (lim đ?&#x2018;Ľ 2 ) + 1 = 3â&#x2C6;&#x2122; 1 + 1 = 4 â&#x2030; 3.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

Mi propongo di evidenziare come il metodo che ho sintetizzato eâ&#x20AC;&#x2122; utile a evidenziare la non fondatezza di una relazione di limite.

Coerentemente con quanto detto eâ&#x20AC;&#x2122; possibile scrivere che: | 3đ?&#x2018;Ľ 2 + 1 â&#x2C6;&#x2019; 3| < đ?&#x153;&#x20AC; â&#x;ş | 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2| < đ?&#x153;&#x20AC; e quindi: â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC; + 2 < 3đ?&#x2018;Ľ 2 < đ?&#x153;&#x20AC; + 2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC;+2 3

< đ?&#x2018;Ľ2 <

đ?&#x153;&#x20AC;+2 3


â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC;+2

â&#x2C6;&#x161;

3

đ?&#x153;&#x20AC;+2

<đ?&#x2018;Ľ<â&#x2C6;&#x161;

3

Per đ?&#x153;&#x20AC; â&#x2020;&#x2019; 0+ si ha, al limite, che:

2

2

â&#x2C6;&#x161; <đ?&#x2018;Ľ<â&#x2C6;&#x161; 3 3

2

In definitiva la relazione lim 3đ?&#x2018;Ľ 2 + 1 = 3 eâ&#x20AC;&#x2122; vera per x = â&#x2C6;&#x161;3. đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?

2

Piuâ&#x20AC;&#x2122; formalmente si dovrebbe porre x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;3.

2

Corrispondentemente sarebbe 3đ?&#x2018;Ľ 2 +1 â&#x2020;&#x2019; 3 quando x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;3.

2

2

3

3

Scrivere 3đ?&#x2018;Ľ 2 +1 = 3 quando x = â&#x2C6;&#x161; eâ&#x20AC;&#x2122; ammesso in quando x = â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2C6; dom f(x).

Con riferimento ai numeri reali va spiegato il significato di a â&#x2020;&#x2019; b (a tende a b).

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; ammettere che a â&#x2020;&#x2019; b consenta anche di dire che b â&#x2020;&#x2019; a (relazione simmetrica).

Ci si chiede se possa dirsi a â&#x2020;&#x2019; a. Si potrebbe dire che a â&#x2020;&#x2019; b sottende a â&#x2030; đ?&#x2018;?.

Eâ&#x20AC;&#x2122; lecito, con una forzatura, porre a â&#x2020;&#x2019; a. Infatti a â&#x2020;&#x2019; b equivale a dire che |a â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?| â&#x2020;&#x2019; 0.

Se a > đ?&#x2018;? allora a â&#x2020;&#x2019; b equivale a scrivere a â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? â&#x2020;&#x2019; 0 cioeâ&#x20AC;&#x2122; a scrivere a â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ.


1

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; pensare di ammettere dx = 0 anche se ordinariamente dx < â&#x2030; 0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; variare di n in N. đ?&#x2018;&#x203A;

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; ammettere che valga la proprietaâ&#x20AC;&#x2122; transitiva, e quindi sia:

( a â&#x2020;&#x2019; b, b â&#x2020;&#x2019; c â&#x2021;&#x2019; a â&#x2020;&#x2019; c)

Una variazione infinitesima di una grandezza eâ&#x20AC;&#x2122; assimilabile ad un infinitesimo.

Nei termini piuâ&#x20AC;&#x2122; generali un infinitesimo eâ&#x20AC;&#x2122; una proprietaâ&#x20AC;&#x2122; locale di una funzione f(x), quando sia vera la relazione:

lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 0.

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; sostenere che a â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? â&#x2020;&#x2019; 0 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2020;&#x2019; 0.


ANTICIPAZIONE

Il numero di novembre e dicembre saraâ&#x20AC;&#x2122; dedicato al calcolo integrale.

La copertina saraâ&#x20AC;&#x2122; dedicata ad Evangelista Torricelli, allievo di Galilei.


BIBLIOGRAFIA

Ayres Jr., Calcolo differenziale ed integrale, Etas Libri, 1973

Boealla, Analisi matematica 2, Esercizi, Pearson Educational, 2008

Bramanti, Pagani, Salsa, Matematica, Calcolo infinitesimale e algebra lineare, II edizione, Zanichelli, 2009

Campitelli, Campodonico, Galdi, Analisi infinitesimale 2, Societaâ&#x20AC;&#x2122; Editrice Dante Alighieri, 2007.

Fico, Cariani, Mattina, Il paesaggio matematico, rosso, 5, Loecher, 2008.

Galligani, Laganaâ&#x20AC;&#x2122;, Mazzone, Esercitazioni di analisi matematica, ECIG, 1987.


PROPRIETA’ LETTERARIA

Questo elaborato non ha finalita’ commerciali o lucrative. Ne e’ autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia finalita’ commerciali o lucrative purche’ essa avvenga con la citazione dell’autore e del soggetto diffusore dell’opera.


Appunti Matematici 34  

Questo numero di Appunti matematici è dedicato allo sviluppo della parte applicativa dell’Analisi matematica 1 e 2, essendo, in gran parte,...

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