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Linhas de transmissĂŁo


Linhas de transmissão

• As LT podem ser descritas em termos de parâmetros distribuídos. Cada troço elementar de linha Δz é modelado por parâmetros R, L, G e C definidos por unidade de comprimento: R – resistência em série dos condutores [Ω/m] L – indutância em série dos condutores [H/m] G – condutância em paralelo [S/m] C – capacidade em paralelo [F/m] L – A indutância em série representa a indutância própria dos 2 condutores. C – A capacidade em paralelo é devida à proximidade dos dois condutores. R – A resistência em série representa a resistência devida á condutividade finita dos condutores. G – Contabiliza as perdas dieléctricas no material entre condutores. R e G – Traduzem perdas


a) Dieléctrico com perdas G – dieléctrico com perdas σd ≠ 0 b) Condutor com perdas => aparecimento de uma componente E z , deixa de ser um modo TEM. c) R = Ri – resistência interna dos condutores Li, Ci ≈ 0

normalmente desprezam-se

A teoria das linhas de transmissão estabelece a ponte entre a análise dos campos electromagnéticos e a teoria dos circuitos.

Os fenómenos de propagação de ondas em linhas de transmissão podem ser abordados como uma extensão da teoria dos circuitos ou como uma especialização das equações de Maxwell.

A diferença fundamental entre a teoria dos circuitos e a teoria da linha de transmissão é o comprimento eléctrico. Nos circuitos as dimensões físicas são muito menores que o comprimento de onda, enquanto que nas linhas de transmissão são uma fracção considerável do comprimento de onda.

A linha de transmissão é vista como um circuito de parâmetros distribuídos, em que a tensão e a corrente variam em amplitude e fase ao longo da linha


C  C e  Ci Ce 

Q V

2   Hdl Le  1 I We 

1 Ce V 2 2

Wm 

1 Le I 2 2

Exterior ao condutor perfeito

Auto indução exterior ao condutor perfeito

Energia eléctrica

Energia magnética

L e Ce   C  Ce G  Ge L  L e  Li C  C e  Ci


Equações canónicas das linhas de transmissão:

 V( z, t ) I   R I ( z , t )  L ( z, t )   z  t     I ( z, t ) V(z, t )  G V ( z, t )  C  z t   d V(z)  R I(z)  jLI(z)  dz    d I( z )  G V ( z )  j C V ( z )   dz

 dV  R I  j L I   R  j L  I  dz    dI  R V  j cV   G  jc  V   dz


As eqs. resolvem-se em ordem a V e I :

d2 V   2 V  0  dz 2  ( I)  2  d I  2 I  0  2  dz  em que  

 R  jL   G  jc    j  jk z

a) Condutores perfeitos (σ = ∞) R = 0 Modos TEM → kz= k0 b) Materiais de boa qualidade (situação real) Bons dieléctricos e bons condutores e/ou alta frequência ω L >> R ω c >> G Solução geral das eqs (I):

 V( z)  a e  z  a e z 1 2   I(z)  a1 e  z  a 2 e z  Z0 Z0  Onda incidente

Onda reflectida


Gera-se uma onda incidente de tensão a partir da fonte que dá origem a uma onda incidente de corrente, que está relacionada com V através da impedância característica. Mas quando a linha está terminada por Zs ≠ Z0, a razão em V e I é Zs. Por isso surge uma onda reflectida de modo a satisfazer esta condição.

 V(z)  a e  z  a e z 1 2   a1  z a 2  z  I ( z )  e  e  Z0 Z0  em z  l

V(z  1)  V 2 e I(z  1)  I 2

V(z  1)  V 2  a1 l  a 2e  l  Vi 2  V r 2

 a1  Vi 2 e l   l  a 2  V r 2 e


 V(z)  V e  (l  z)  V e   (l  z) i2 r2    Vi 2  (l  z) V r 2   (l  z) e  e I ( z )  Z Z 0 0 

V i 2  V r 2  V 2   Vi 2  V r 2  V 2

 Vi 2 V r 2 V 2    Z0 Z0  Z0   Vi 2 V r 2   I2  Z Z 0  0 Vi 2 

V 2  Z0 I 2 2

V  Z0 I 2 V 2  Z0 I 2 Vr2  V2   2  2 2

V  Z0 I 2 Zs  Zs Vr2  k s  k e j  2  Vi2 V 2  Z0 I 2 Zs  Z0

 V2    Z s   I  2  ks - factor de reflexão na carga


 V( y)  Vi 2  e y  k s e  y       V i 2  y  y   e  ks e  I ( y )    Z 0  V ( y)   ey e jy  k e je y e  jy   ey e  jy  k e je y e  jy     Vi 2 V ( y)  e 2y  k 2e  2y  2k cos 2 y   Vi 2 I( y )  e 2y  k 2e  2y  2k cos 2y   Ii 2

• A tensão e a corrente na linha consistem na sobreposição da onda incidente e da onda reflectida. Tais ondas designam-se por ondas estacionárias. Apenas quando Z s = Z0 não há onda reflectida (ks = 0).


Linha sem perdas V ( y)  1  2 k cos 2  y     k 2 Vi2 I( y )  1  2 k cos 2  y    k 2 Ii 2 a) A tensão é máxima quando:

2 y

máx  2m

V ( y)  1 k Vi2

  m 4 2

V ( y)  1 k Vi2

y máx 

Primeiro máximo de tensão:

y 

 4

• Nos planos em que a tensão é máxima a corrente é mínima.


b) A tensão é mínima quando:

c) Factor de onda estacionária

2  y min    2 m 1     y min   m 4 4 2

Vmáx I máx 1  k   p Vmin I min 1  k

Quando a linha está adaptada p = 1. Quando a linha está terminada por uma reactância pura: um curto circuito ou um vazio: k = 1 e p = ∞ Impedância nos planos de máximo e de mínimo a) Plano de máximo ymáx de tensão

V 1  k Z0 Z ymáx  máx  Z0   Rm I min 1 k p a) Plano de mínimo ymin de tensão

V 1  k Z0 Z y min  min  Z0   Rm I máx 1 k p Nos planos de Vmáx ou Vmin (Imin ou Imáx) a impedância da linha é óhmica pura.


Linha com perdas

V ( y) Vi 2 I( y ) Ii 2

2

2

 e 2y  k 2e  2y  2k cos 2 y  

 e 2y  k 2e  2y  2k cos 2y  

Quando cos (2βy - Ө) ═ 1 tem-se:

V ( y) Vi 2

2

 e 2y  k 2e  2y  2k

V ( y)  e y  k e   y Vi 2 Quando cos (2βy - Ө) ═ -1

Vy  e  y  k e  y Vi 2

Quando há perdas os pontos de estacionaridade das funções V( y) V

i2 cos (2βy - Ө).

e

I y deixam de coincidir com os de Ii 2

Quando há fracas perdas α << 1 os pontos estão próximos.


Impedância da linha A impedância da linha (cociente entre a tensão e a corrente) varia ao longo da linha. À distância y = l da carga tem-se:

V( y l ) Z( y l )   I ( y l ) V ( y)  V i 2  e j y  k s e  j y    I ( y) 

V i 2  j y  k s e  j y  e  Z0 

1  k s e  j2 l Z( y l )  Z0 1  k s e  j2 l ks 

Zs  Z0 Zs  Z0

Z( y l )  Z0

Zs  j Z0 tg  l Z0  j ZS tg  l


I)

Linha sem perdas R =0, G = 0



 R  jL   G  jC 

a) Constante de propagação:

    j  j LC

  0    LC 

Z

(função linear de ω)

b) Velocidade de fase

 1 vf    LC

c) Impedância característica

Z0  R 0  j X 0 

(constante)

L (constante) C

R  j L G  j C

e X0  0


II) Linha com fracas perdas R << ωL (relações facilmente verificadas em altas frequências) G << ωC a) Constante de propagação

    j  j LC 1 

R G 1 jL j C

 R  G  1    j LC 1   2 jL  2 jC   1  R G  1 R L    j LC 1    j  LC  R  G    2 L C   2 j  L C   1 C L  e    LC    R G 2 L C 

(função aproximada linear com ω)


a) Velocidade de fase

vf 

 1   LC

(Aproximadamente constante)

c) Impedância característica

Z0  R 0  j X 0 

L C

1

R 1 jL 1  G jC

L R  G  1  1   C  2 jL  2 jC 

L C

 1  R G  1   2 j  L  C     

R

L L 1 e X0   C C 2

Z

R  jL G  jC

R G   0 L C


Aula1 lt 2s07  

linhas de transmissão

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