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MATRIZ INVERSA

PROFESORA PATRICIA EDITH GUILLEN APARICIO


MATRIZ INVERSA

DEFINICIÓN: Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que A·B = B·A = I Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1. Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular, porque no toda matriz tiene inversa


CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA (MÉTODO DE GAUSS - JORDAN) Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: Construir una matriz del tipo M = [A | I], es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 2x2 arbitraria

L a a m p l i a mo s co n la m at r i z i d en t i dad de o r de n 2 .

Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (es decir A-1). Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son: a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante b) Permutar dos filas c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella.


A=

Soluci贸n:


La matriz inversa de A es: =

EJERCICIOS: 1) Hallar la matriz inversa: A= Respuesta: A-1 =

2) Hallar la matriz inversa:

B=

Respuesta:


PROPIEDADES a) La inversa de una matriz, si existe, es única. b) La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

c) Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa = d) e)

=

f) Cualquier matriz multiplicada por su inversa es igual a la matriz Identidad:

g)

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Ejemplo: Dadas las matrices

y

resolver la igualdad matricial A

Solución: La matriz A tiene que desaparecer, para tener solo la matriz X. desaparece usando Multiplicamos por la izquierda los dos términos de la igualdad por Para hallar la matriz X, calculamos

y la multiplicamos por la matriz B.


Calculamos A-1 Respuesta:

Calculamos la matriz X:

Ejercicio: Si

Hallar A Respuesta: X=

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES El sistema

, se puede expresar como

Simbólicamente AX = B, donde: A es la matriz de los coeficientes X es la matriz columna de variables B es la matriz columna de las constantes


Ejemplo 2


Soluci贸n:

Ejercicios:

Respuestas: a) C.S = (2;3) b) C.S = (1;3;9)

APLICACIONES Una f谩brica de chompas y casacas tiene un costo fijo mensual de $800, el costo de producci贸n unitario (mano de obra y material) es de $20 y $30 respectivamente. Si el costo total mensual es de $3600 y se fabrican 120 prendas entre chompas y casacas. Calcule la cantidad de chompas y casacas producidas en un mes. Resuelva por el m茅todo de la matriz inversa


Soluci贸n:

EJERCICIO Una f谩brica de chompas y casacas tiene un costo fijo mensual de $ 1000, el costo del producci贸n unitario (mano de obra y material) es de $20 y $40 respectivamente. Si el costo total mensual es de $3000 y se fabrican 70 prendas entre chompas y casacas. Calcule la cantidad de chompas y casacas producidas en un mes. Resuelva por el m茅todo de la matriz inversa. Respuesta Se deben producir 40 chompas y 30 casacas


EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Hallar la matriz inversa de:

Respuesta: A-1 = 2) Resolver

Respuesta: C.S = (2;3) 3)

Resolver

Respuesta: C.S = (2;4;3) 4) Una empresa produce pantalones y faldas, con un costo de producci贸n unitario de S/. 90 y S/.60 respectivamente y con un costo fijo mensual de S/. 6000. Sabiendo que el costo total mensual es de S/. 16 800 y que cada pantal贸n se vende a S/. 200 y cada falda a S/. 180 que generan un ingreso total mensual pantalones y faldas producidas en un mes. Respuesta: Pantalones 80 y faldas 60

de S/.26 800. Determine la cantidad de


APLICACIONES

CONOCIMIENTO 1) Nombra la matriz inversa: a)

Respuesta

b)

Respuesta

)

c)

Respuesta

d)

Respuesta

e)

Respuesta

COMPRENSION T

2)Indica la matriz X tal que X.A = X + B , si

Respuesta:

APLICACIÓN - ELABORACIÓN 3) Aplica el método de la matriz inversa en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales


a)

C.S (2;3)

b)

C.S (1;1;1)

c)

C.S (5;-2)

d)

C.S (1;2;3)

ANÁLISIS 4) Calcula el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura? Respuesta: 12cm2 5) Calcula un número de dos cifras, si la cifra de las decenas es el doble de las cifras de las unidades y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras Respuesta: 63 6) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcula el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche. Respuesta: leche 1€, jamón 16 € y aceite 3 € 7) La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. Calcula ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos? Respuesta: Al nacer los hijos el padre tenía 35 y 40 años respectivamente. 8) El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza


conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592.4 €, Calcula la cantidad invertida en cada tipo de bebida. Respuesta: refrescos: 120 €, cerveza 160 €, vino: 220 €. 9) . Una empresa tiene costos fijos de s/.5000, produce pantalones y camisas siendo los costos unitarios de producción de S/40 y S/. 30 respectivamente. Silos costos totales son de S/: 30 000 y se desean producir 700 prendas entre pantalones y camisas. Calcula el número de pantalones y camisas a producir. Respuesta Se producen pantalones 400 y camisas 300

10) Una empresa fabrica y envasa cereal Bar y Angel. Por cada unidad de cereal bar que vende la ganancia es de S/.6 y por cada y por cada unidad de Angel que vende la ganancia es de S/.9. Se vendieron 500 unidades entre cereal Bar y Angel, siendo la ganancia total de 3900

Calcula el número de unidades de cada producto que se

vendieron. Respuesta: Se vendieron 200 unidades de cereal Bar y 300 unidades de Angel 11) Una fabrica que produce artículos de cuero tiene un costo fijo mensual de S/. 10 000. Además fabrica zapatos y botas , sabiendo que el costo de producción (mano de obra y material es de S/. 40 y S/.30 respectivamente). Si el costo total mensual fue de 20 000 u se fabricaron 300 artículos (entre zapatos y botas). Calcula la cantidad de zapatos y botas producidas en el mes Respuesta. Se producen 100 zapatos y 200 botas SINTESIS 12) En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. El número total de personas que usan gafas es 11. El gerente dice que hay más mujeres que hombres en

empresa. Formule usted su respuesta con base

matemática Respuesta: hay 35 hombres y 25 mujeres.


13) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que: el 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más del oeste que de infantiles. El gerente dice que hay más películas infantiles que de terror. Formule usted su respuesta con base matemática Respuesta: infantiles 500 películas oeste 600 películas y terror 900 películas EVALUACION

14) Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones: Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%) Mina A 1

2

3

Mina B 2

5

7

Mina C 1

3

1

El gerente dice que para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro debe utilizarse 200T de la minas A 300T de la mina B y 100T de la mina C. Defienda o critique la decisión del gerente Respuestas: mina A: 200T, mina B: 100T y mina C: 300T 15) Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo: El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre. El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre. El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre. El gerente dice que para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre, habrá que pesar 45gr del primer ligote, 48gr del segundo ligote 7 54gr del tercer ligote Defienda o critique la decisión del gerente Respuesta: 1° lingote:45, 2do lingote 48 y n3er lingote 54.

MATRIZ INVERSA  

Utilizaremos un método para hallar la matriz inversa

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