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Primeros pasos con Geogebra Geogebra es un programa de Geometría Dinámica que nos va a permitir estudiar la Geometría de una forma más visual, explorar las propiedades de las figuras geométricas e investigar sobre las mismas y sus aplicaciones. Lo primero que debemos hacer es descargarlo en nuestro ordenador para trabajar con él. Para ello sólo debemos ir a la página oficial del programa http://www.geogebra.org/cms o escribiendo Geogebra en el buscador de tu ordenador:

y hacemos clic con el ratón en el enlace Webstart con lo que se nos descargará e instalará en nuestro equipo la última versión disponible con el Java incluido si no dispones de él. Aparecerá una pantalla como la siguiente. En la última versión existe también la opción de Hoja de Cálculo. Cada uno de los iconos de la barra de herramientas se puede desplegar

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pinchando en la esquina inferior izquierda de los mismos y obtenemos nuevos menús que iremos conociendo a lo largo de estas prácticas. En estas primeras prácticas se trata sobre todo de investigar con las distintas herramientas de Geogebra y averiguar sus posibilidades. Actividad 1: Investigar los distintos iconos de la barra de herramientas

Practicar con ellos. Hacer un dibujo y guardarlo en vuestra carpeta de trabajo como Inicio1. Para guardar un archivo desde el menú Archivo:

Actividad 2: después de esta actividad inicial comienzan a plantearse una serie de preguntas, la primera que debemos resolver es como trata Geogebra los distintos elementos. Para ello, observemos las ventanas: Vista algebraica y Vista gráfica, por ahora la hoja de cálculo la mantendremos cerrada. Observa los diferentes objetos que han ido apareciendo en estas ventanas según hemos realizado las distintas actividades.

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Los objetos libres son aquellos que no dependen de ningún otro elemento y pueden ser definidos directamente. Por ejemplo, cuando ponemos un punto, sin más, o dibujamos una recta.

Los objetos dependientes son aquellos situados sobre otros elementos o que para su definición dependen de otros. Por ejemplo, poner un punto sobre una recta ya dibujada, o sobre una circunferencia, o sobre cualquier otra construcción.

Los objetos auxiliares son aquellos elementos que no pertenecen directamente a la construcción como puede ser un texto de ayuda.

Construcción 1: Cierra el fichero anterior y comienza una nueva construcción desde

Archivo, Nuevo. Dibuja una recta

, y desde el menú contextual (Botón

derecho) pincha en Muestra su rótulo. Para convertir la recta en el segmento AB hacemos doble clic sobre la misma y escribimos Segmento[A, B] en el campo correspondiente de la caja de diálogo emergente. Observa la Ventana algebraica y contesta las siguientes preguntas: ¿Cuáles son los objetos libres y cuáles los dependientes?. ¿Cómo les ha llamado

Geogebra?. Con la herramienta Mover activada

puedes mover los puntos A y

B. ¿Qué ocurre?.

Con el icono

pon un punto medio C en el segmento AB y con

dibuja

una circunferencia con centro en C que pase por A.

Coloca en esta circunferencia un nuevo punto

y muévelo con el icono

activado. Observarás que no puedes sacarlo de la circunferencia, es un Punto semilibre, es decir, pertenece a otro objeto geométrico y conserva movilidad sobre él. Es lo que nosotros llamamos Objeto dependiente. Este concepto es muy importante en Geogebra pues nos va a ayudar a construir nuestras ideas y Construir no es lo mismo que dibujar. En una construcción unos elementos se apoyan en otros. La eliminación de un solo elemento puede provocar la eliminación de toda la construcción. Hay que tener mucho cuidado y las ideas muy claras!!.

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Dibuja ahora un triángulo

sobre los puntos A, B y D. Mientras lo estás

dibujando, observa la Ventana algebraica, ¿qué ocurre?. ¿Cómo es este triángulo?.

Utiliza la herramienta Ángulo

para poder conocer la amplitud del ángulo

D. Cuidado al pinchar en los puntos: los ángulos están orientados!!. Prácticas con Geogebra: -

Construye un cuadrado utilizando diferentes métodos.

-

Construye un triángulo rectángulo utilizando distintos métodos

-

Dibuja una ficha de dominó.

-

Construye un triángulo equilátero de distintas formas. Aprovecha la construcción para dibujar un hexágono. Construye también un triángulo isósceles.

-

Dibuja un triángulo cualquiera. Dibuja sus líneas notables: mediatrices, bisectrices, alturas y medianas. Marca los puntos de corte de cada una de ellas. ¿Cómo se llaman?.

-

Hay una Recta muy importante que une los puntos de corte de las medianas, las alturas y las mediatrices. Encuéntrala. Se llama Recta de Euler.

-

Se conoce como Circunferencia de los nueve puntos a la circunferencia asociada a cada triángulo. Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo, salvo que el triángulo sea obtusángulo, ¿sabrías explicar porqué?. Estos puntos son: • • •

El punto medio de cada lado del triángulo, Los pies de las alturas, y Los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo.

Al círculo de los nueve puntos se le conoce también entre otros nombres, como círculo de Feuerbach, círculo de Euler, círculo de los seis puntos o círculo medioinscrito. Dibújalo, es muy interesante!!. -

Construye un rectángulo aúreo.

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-

Construye un pentágono regular utilizando la construcción anterior del rectángulo aúreo.

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Comentarios tomados del curso de GeoGebra: Diferenciar un dibujo de una construcción

geométrica

requiere

cierto

entrenamiento,

una

mirada

más

abstracta, más inteligente, de lo que la vista percibe. Justamente en esta diferencia reside el contenido matemático que subyace bajo la figura. La rapidez con la que, gracias a GeoGebra, podemos verificar las variaciones y los invariantes de las figuras al desplazar los puntos que las componen, hace de GeoGebra un excelente recurso para entrar veloz y profundamente en el centro de ese contenido geométrico. La comprensión que se alcanza mediante esta interacción con las figuras no sólo es mucho más rápida que mediante otros métodos sino que además es más permanente y sólida. Lo que a priori era una desventaja (ver con los ojos en vez de con "la mente") se convierte en un aliado ("los ojos" refutan su propia conjetura al observar el comportamiento de la construcción). Investigación: • Según cuántos puntos dejemos libres o semilibres y cuántos se encuentren fijos (o dependientes) el número total de grados de libertad (número de variables unidimensionales necesarias para determinar la posición de todos los puntos) de la figura aumentará o disminuirá. Un cuadrado con dos vértices consecutivos fijos no tiene ningún grado de libertad (ya que todos sus puntos se encuentran determinados), mientras que un rombo con dos vértices consecutivos fijos conserva todavía un grado de libertad (sus otros dos vértices se pueden desplazar sobre una circunferencia conservando en todo momento el carácter rómbico de la figura). Puede ser interesante analizar el número de grados de libertad de otras construcciones.

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INFORMACIÓN EN LA WEB: cuando escribes Geogebra en Google, aparecen una serie de páginas y lugares con información. Mis lugares favoritos son: 

La página de Manuel Sada, imprescindible!!.

La página del I.G.E., donde figuran los cursos interactivos para Primaria y Secundaria, así como el Proyecto Gauss

La página de José Manuel Arranz con actividades de Cabri y Geogebra

La página de Ignacio Larrosa, también con actividades de Cabri y Geogebra y muy organizada

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Primeros pasos con Geogebra