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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

Tercer Año Secundaria

IV IV BIMESTRE BIMESTRE

Y

Eje de ordenadas

y

P(x;y)

TEMA 02 RELACIONES EN LOS NÚMEROS REALES

x

X eje de abcisas

COMENTARIO PREVIO: 1. Par ordenado de números reales Dos números reales x e y, donde “x” es identificado como primer componente e “y” como segundo componente, se llamará par ordenado de números reales y se simbolizará por (x; y). Observaciones:  (x ; y) ≠ (y ; x)  (x ; y) = (z ; w) ↔ x = z ∧ y = w 2. Producto Cartesiano Sea R el conjunto de números reales, el producto cartesiano que se denota por R 2 se define como sigue: R2 = { (x; y )/ x ∈ R ∧ y∈ R}

CONTENIDO TEÓRICO:

Plano Cartesiano

RELACIONES EN LOS NÚMEROS REALES 1. DEFINICIÓN:

Ejercicios Explicativos 1. Graficar los siguientes pares de puntos: a)

{P( x; y ) / x − y = 0, siendo x, y∈N}

b)

{P(

x; y )

/x

2

}

2

= y , siendo x , y ∈ Z

Dados los conjuntos A y B; si a cada elemento “x” de A, le corresponden uno o más elementos “y” de B, diremos que existe una relación entre los elementos x e y. 1.1. NOTACIÓN La relación se denota por R; y la afirmación: “El elemento x está en relación R con elemento “y”, los denotaremos por: x R y. OBSERVACIONES:

c)

{P(

x; y )

2. Sean:

(

/ x

2

) =(2;1)}

−2 x −1 ; y +1

Si x ∈ A ∧ y ∈ B, decimos que la relación R es una correspondencia entre los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B, el cual también podemos denotarlo por: R : A → B ; es decir :

{x ∈R / 1 ≤ x ≤8} B = {x ∈R / 3 ≤ x ≤ 5} C = {x ∈R / 2 ≤ x ≤ 7} R / 2 ≤x ≤6} D = {x ∈ A=

A

Graficar los siguientes productos cartesianos

x1

a)

x2

AxB

b) C x D

R

B y

1

y2 y

1.2. DEFINICIÓN EQUIVALENTE Dados dos conjuntos A y B; decimos que R es una relación entre los elementos de los conjuntos A y B, y sólo si, R es un subconjunto de A x B : R ⊂A x B Es decir: Todo subconjunto del producto cartesiano A x B; es una relación entre Ay B. OBSERVACIONES 1) φ ⊂ A x B; entonces φ es una relación entre A y B, llamada relación Nula o vacía. 2) A x B ⊂ A x B; entonces A x B es una relación entre A y B, llamada relación total. 3) Si R es una relación entre A y B; entonces el conjunto A, se le llama conjunto de partida y el conjunto B, se le llama conjunto de llegada. 4) Decimos que R es una relación en A si y sólo si R ⊂ A x A 5) Recuerde que A x A = A 2 , entonces: R es una relación ↔ R ⊂ A 2 Una relación definida así se denomina RELACIÓN BINARIA o simplemente relación.

3

c) (A - B) x C

d) (A - C) x (A - D) En este caso la relación R está formada por los siguientes pares ordenados:

3. Sean: E = {1; 2; 3} , A = {1; 2} , B = {2; 3} F

=

C ExE (A x B) ,

C E A x C E B) S1RM31B

Tercer Año Secundaria

Hallar: F ∩ G

OBJETIVOS ESPECIFICOS:  Dados dos conjuntos A y B, determinar el producto cartesiano A x B  Definir y ejemplificar una relación binaria.  Identificar si una relación es reflexiva, simétrica y/o transitiva.  Dada una relación determinar si es de equivalencia.  Determinar dominio y rango e identificar su relación inversa.

ÁLGEBRA

02

01

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

G

R = { ( x ; y ) , ( x 2 ; y 2 ) , ( x 2 ; y 3 )}

= 

S1RM31B

6) Si el conjunto A tiene n elementos, el producto cartesiano A x A tendrá n 2 elementos y el número total de relaciones distintas que se pueden definir A, es decir el número de subconjunto de A x A, es : 2 n

2

Si x R y entonces (x; y) ∈ R y recíprocamente “El nuevo símbolo de una buena educación...."


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Tercer Año Secundaria

01

02

ÁLGEBRA

Tercer Año Secundaria A = {x + 1 / x

EJERCICIOS APLICATIVOS: D (R ) = {x ∈ A / ∃y ∈ B ;

01. Sean A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {2; 4; 6; 8} a)

{

R1 = ( x; y ) ∈A x B / y 2 < x , la cual tabulando sería:

}

El rango de una relación R, denotado por R(R); está formado por todos los posibles valores y ∈ B, para los cuales existen valores x ∈ A, de manera que (x; y) ∈ R. Simbólicamente:

R1 ={ b)

R 2 ={( x; y )∈A x B / x = 3 ∧ 4 ≤ y ≤ 8 } R Tabulando es:

R 2 ={ c)

(x; y )∈ R}

2.2. DEFINICIÓN

{y ∈ B/∃ x∈ A; (x ; y )∈ R} (R ) =

OBSERVACIONES: Si R es una relación entre A y B. (1)

R 3 ={( x; y )∈A x B / x + y <6}

D(R) ⊂ A

; R(R) ⊂ B R

, tabulando es:

A

B

D(R)

R(R)

4. REPRESENTACION GRÁFICA DE UNA RELACIÓN Una representación gráfica adecuada para una relación permite visualizar algunas de sus propiedades o características e incluso, para ciertas relaciones, se puede determinar a partir de dicha gráfica el dominio y el rango. Ejemplo: En el conjunto A = {2; 3; 4; 5; 6} se define la relación: R = {(x; y) ∈ A 2 / x y < 10} Resolución Mediante el DIAGRAMA SAGITAL, relacionaremos un elemento del conjunto de partida con otro elemento del conjunto de llegada de tal modo que su producto sea menor que 10, así:

R 3 ={ d)

{

R 4 = ( x; y )∈A x B / x 2 + y <x , Luego:

R 4 ={ 2. DOMINIO Y RELACIÓN

RANGO

DE

UNA

Sea R una relación entre A y B; es decir: R=

{( x; y )∈A x B / x R y}

2.1. DEFINICIÓN El dominio de una relación R denotado por D(R); está formado por todos los posibles valores x ∈ A, para los cuales existen valores y ∈ B, de manera que (x; y) ∈ R. Simbólicamente se escribe: S1RM31B

}

Dom(R)

(2) a) Se dice que R es una relación de A en B ↔ D(R) = A b) Se dice que R es una relación de A sobre B ↔ D(R) = A y R (R ) = B 3. RELACION BINARIA EN R

R: IR → IR

ó R ⊂ IR x IR

R = {(x; y) ∈ R 2 / x R y}

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5. 6.

5. 6.

Ran(R)

Luego: R = {(2;2), (2;3), (2;4), (3;2), (3;3), (4,2)} Además: Dom (R) = {2; 3; 4} Ran (R) = {2; 3; 4} Ejercicios explicativos 1. Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones: a) R ={(1; 3), (-2; 4), (3; 4), (7; -8), (6; 3)} b) R = {(x; y) ∈ RxR / x 2 – 2xy + y 2 – 6x –6y + 3 = 0} 2. Dado el conjunto universal: U = {x ∈ N / x ≤ 20}.Sean los conjuntos: S1RM31B

∈ U} Tabular, hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones: i) R = {(x; y) ∈ A x B / x < y} ii) R = {(x; y) ∈ A x B / x 2 +y < 20} 3. Sean los conjuntos: A = {x ∈ R / -5 ≤ x ≤ 5} B = {x ∈ R / -5 ≤ x ≤ 5} Graficar las siguientes relaciones: i) R = {(x; y) ∈ A x B / 4 x 2 + 9 y 2 ≤ 36} ii) R = {(x; y) ∈ AxB / x 2 + y 2 ≥ 1 ∧ x 2 + y 2 ≤9} 5. TIPOS DE RELACIONES Considerando una relación R en A, es decir R: A → A, donde A es un conjunto no vacío se tiene: 5.1. RELACION REFLEXIVA R es Reflexiva ↔ {∀ a ∈ A : (a; a) ∈ R}

2

En matemática, las relaciones de mayor importancia son aquellas que se definen en el conjunto de los números reales (IR); es decir, aquellas relaciones de la forma:

x ∈ U}

B = {x + 2 / x 3 + x

5.2. RELACION SIMETRICA

R es Simétrica ↔ {∀ (a; b) ∈ R: (b; a) ∈ R}

5.3. RELACION TRANSITIVA

R es Transitiva ↔ {∀ (a; b) ∧ (b; c) ∈ R: (a; c) ∈ R}

5.4. RELACION DE EQUIVALENCIA La relación R es de equivalencia, si y sólo si R es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez. Ejercicios Explicativos 1. Averiguar el tipo de relación: a) Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4} en el cual se define la relación: R = {(1;1), (1;2), (2;2), (2;3), (3;3), (3;4), (4;4), (4;1)}

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN b) La relación: R={(x; y) ∈ N 2 / x es un divisor de y}

Tercer Año Secundaria 01.

c) La relación: S = {(x; y) ∈ Z 2 / x 3 + y = x + y 3 } d) Siendo A = {1; 2; 3; 4; 5} se define la relación: R = {(1;3), (2; 4), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (4; 2), (3; 1)}

02.

e) La relación: R = {(x ; y) ∈ R 2 / x 2 + y 2 = 1} f) En A = {1; 2; 3; 4} se define la relación: R= {1;2), (2;3), (3; 4), (1; 3), (1; 4), (2; 4)} g) R = {(x; y) ∈ N 2 / x es un divisor de y} h) Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4} en el cual se define la relación: R = {(1; 1),(1; 2),(2; 1),(2; 2),(3; 3), (4; 4)} i) S = {(x; y) ∈ Z 2 / x + y es un número par}

04.

Ran(R) = Dom ( R −1 )

PRÁCTICA DE CLASE S1RM31B

d) 13

e) N.a.

05.

a) 5 d) 4

26 5 07.

d) 9 elementos e) 3 elementos

Sean las relaciones definidas en N R1 = { (x, y) / x 2 + y 2 = 5 } R2 = { (x, y) / x + y = 3 } El número de elementos de R1 ∩ R2 es: b) 1 e) N.A.

b) II y III e) Ninguna

c) 15

Dado el Universo U = {1; 2; 3; 4}; y las relaciones: R1 = {(x; y) / x = y } R2 = {(x; y) / y = 3 }

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

09.

b) 3 e) 6

b) 12 e) 18

c) 4

Hallar la intersección de las relaciones en R: R1 = { (x; y) / x2 + y2 = 5 } R2 = { (x; y) / x + y = 3 } a) { (1 , 1) ; (2 , 2) } b) { (1 , 2) ; (2 , 1) ; (1 , 1) } c) { (1 , 2) ; (1 , 3) ; (2 , 2) } d) { (1 , 2) ; (2 , 1) ; (1 , 1) } e) { (1 , 2) ; (2 , 3) } Si R = { (x, y) ∈ R2 / x2 +y2 - 2x = 0} es una relación. Determinar D( R ) ∩ R( R )

12.

a) [-1 ; 0] d) [0 ; 2] 13.

R = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (5, 1) ;(5, 4); (5, 2); (4, 3); (3, 5)} Si: M = { x ∈ A / (x ; 2) ∈ R } N = {y ∈ A / (3; 4) ∈ R } P = {x ∈ A / (x; 5) ∈ R } Hallar: (M ∪ N) - P

b) [-1 ; 1] e) [-1 ; 2]

c) [0 ; 1]

Sean R1 y R2 dos relaciones en R definidas por: R1 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 - 2x - 4y ≤ 0} R2 ={(x, y) ∈ R2/x2 +y2 - 2x- 4y+3 ≥ 0} ¿Cuál es el área de R1 ∩ R2? a) 2 π µ2 d) 2,5 π µ2

14.

b) 3 π µ2 e) 1,5 π µ2

c) π µ2

¿Cuál es el área de la región plana determinada por la relación:

c) 14

Si: A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} se define la relación:

S1RM31B

11.

c) 5

Dados los conjuntos: B = { 1 ; 3 ; 5} y C = { 2 ; 4 ; 6 } Se define las relaciones: R1 = { (x, y) ∈ B x C / x + y = 7 } R2 = { (x, y) ∈ B x C / y = 6 } Hallar la suma(s) de todos los elementos de: Dom (R1 - R2) ∪ Ran (R1 - R2) a) 10 d) 8

10.

b) 2 e) 1

a) { (1 , 2) ; (3 , 3) ; (3 , 5) ; (3 , 4) } b) { (2 , 2) ; (3 , 5) ; (3 , 4) ; (5 , 2) } c) { (2 , 1) ; (3 , 2) ; (4 , 3) ; (5 , 4) } d) { (2 , 2) ; (3 , 3) ; (3 , 5) ; (5 , 2) } e) N.A.

c) 8

Sea A = {1, 2, 3} y sean R, S, T relaciones en A, reflexiva, simétrica y transitiva respectivamente si: R = { (1, 1) ; (2, 3) ; (a, 2) ; (3, b) } S = { (1, 3) ; (c, d) } T = { (3, e) ; (2, 3) } El valor de: b - a + c - d + e es : a) 2 d) 5

c) I y III

Dado el conjunto: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} , R ⊂ A x A ; (a ; b) ∈ R ⇔ a es divisor de b. Hallar n(R). b) 20 e) 30

08.

b) 6 e) N.A.

Sean los conjuntos: P = { x ∈ Z / (x3 - x) (x2 - 4) = 0 } Q = { x ∈ Z / |x - 1| = 2 } R = { x ∈ Z / |2x - 1| < 2 } El número de pares ordenados de; (P∩Q) x (Q∪R) es: a) 4 d) 6

c) 2

Dado A y la relación R en A. R = {(x, y) / x = y ∨ x + y = 3} ¿Cuáles son verdaderas? I) ∀ a ∈ A; (a; a) ∈ R II) (a; b) ∈ R → (b; a) ∈ R III) (a; b) ∈ A ∧ (b; c) ∈ R → (a; c) ∈ R

a) 10 d) 25 06.

c)

Tercer Año Secundaria

R3 = {(x; y) / x = y } El número de elementos de: R3 - (R1 ∪ R2) es:

Si R es una relación en A = {2 ; 3 ; 9] tal que R = {(x, y) ∈ A x A / y + 1 ≤ x 2 } entonces R tiene:

a) Sólo I d) Todas

R −1 = {(y; x) ∈ B x A / (x ; y) ∈ R} Observaciones: (1) (y; x) ∈ R −1 ↔ (x; y) ∈ R (2) Dom (R) = Ran ( R −1 )

b)

a) 0 d) 3

6. RELACION INVERSA Definición: Dada una relación R entre A y B, es decir: R = {(x; y) ∈ A x B / (x; y) ∈ R}; la relación inversa de R se denota por R −1 o también por R* y se define como:

13 5

a) 17

ÁLGEBRA

02

Los pares ordenados: (3x + 2y; 8 + 2y) y (9 -3y; 7x - 8y) son iguales, entonces el doble de “x + y” es:

a) 2elementos b) 4 elementos c) 7 elementos 03.

01

R={(x ; y)∈ R2 / x2 + y2 ≤ 9 ∧ x - y + 3 ≤ 0 }

9 (π - 2)µ2 4 9 b) (π + 2)µ2 4 9 c) (π - 2)µ2 2 a)

9 (π + 2)µ2 2 9 e) (π + 3)µ2 7 d)

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 15. El dominio de la relación: R ={(x; y)∈R2/x2 - 6x - y + 5 = 0, y > 0} Es: a) R - [-1; 7] d) R - [2; 5]

b) R - [-1; 5] e) N.A.

c) R - [-5; 1]

Tercer Año Secundaria a) 28 ; SI

b) 24 ; SI

d) 28 ; NO

e) 14 ; SI

01

c) 24 ; NO

R = { (x; y) ∈ R2 / x2 - 4x - 3y – 14 = 0 }

a) <-6 ; +∞>

b) [ -6 ; +∞>

d) <-∞ ; -6>

e) N.A.

A 0

17. En el sistema de coordenadas rectangulares el punto que representa el par (-7 ; 3a + 2b) está sobre la bisectriz del segundo cuadrante y el del par (2a - 3b ; -17) está sobre la bisectriz del tercer cuadrante. Según esto b a es igual a: a) 0 , 2

b) 0 , 4

d) 0 , 8

e) 1 , 2

c) 0 , 6

18. Dados los conjuntos: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

y

R = { (x, y) ∈ A x B / y - x - 2 = 0 }

Entonces: n ( R ) es: a) 7

b) 6

d) 4

e) 3

c) 5

19. Siendo A = {2x / x ∈ N ∧ 3 < x < 7}, en la cual se define la relación R reflexiva y simétrica: R = {(10,10) ; (12,12) ; (a,a) ; (b,b) ; (a,b); (c, d) } Hallar: “a + b + c + d” e indicar si R es transitiva. S1RM31B

5

a 2

a) 1,25

b) 1,5

d) 2

e) 2,25

8

S = {(x; y) / x ≤ 2} y T = {(x; y) / x ≤ y}

A = {1, 2, 3, 4} y las relaciones en A: R1 = {(x, y) / x = y} R2 = {(x, y) / y = 3} R3 = {(x, y) / x ≤ y} Hallar: R – R3 – {R1 U R2} Dar como respuesta la suma de los elementos del dominio. b) 6 e) 12

Hallar el rango de S ∩ T. a) < –∞; –2] d) < –∞; 2]

c) 1,75

(x

2 0

)

; x 0 + y 0 = ( y 0 ;2 )

a) 10 d) –7

b) –4 e) 4

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Sea R la relación de: A = {2; 4; 6; 8} En B = {3; 5; 7} ; definida por : (a; b) ∈ R si y sólo si a < b. Indicar el número de elementos de R. b) 7 e) 8

c) 6

a) <0; 1> d) <–1; 1>

02. Dado el conjunto: A = {1; 2; 5/2; 3} Encontrar por extensión la siguiente relación en A: R1 = {(x, y) / x2 + y2 < 8 } a) R1 = {(1,1), (2,2), (1,2), (2,1)} b) R1 = {(1,1), (1,2), (1, 5/2), (5/2, 1), (2,1)} c) R1 = {(1,2), (1,3), (3,3)} d) R1 = {((1,1), (2,2), (5/2, 5/2), (3,3)} e) R1 = {(1,3), (3,1), (2,2)} 03. Sea el par ordenado (x0; y0) Si: (x0 – y0; x0 y0) = (0,1) Indicar la suma de los valores x0 + y0

Indicar el número de elementos del dominio

a) 2 b) –2 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) 0

de R1 ∩ R2 a) 9 d) 6

Hallar el número total de relaciones de A en B que se obtienen. c) 3

R1

=

( x − 3)

2

9

R = {( | x – 1 | + 1; x2 + 2) / 0 ≤ x < 1}

c) 7

{(x;

+

a) [ –4; 0] d) [–4; 4]

I) Si:(a; b) ∈ R y (a; c)∈R entonces b ≠ c. II) Existe al menos un (a; a) ∈ R

12.

c) VVF

2

R2

/

=1 }

4

b) [0; 6] e) φ

c) [ –1; 2]

Si: R

III) Si (a; b)∈R y (c; b)∈R entonces a = c

( y + 2)

y)

Indicar su rango.

Decir el valor de verdad de:

S1RM31B

b) 8 e) 5

11. Sea la relación:

07. Sea:

b) VFF e) FFF

c) [0; 1]

R2 = {(x; y) ∈ N2 / y ≤ 3x+2}

B = {x ∈ R / | x – 4 | = 3}

a) FVV d) FFV

b) {0; 1} e) [ –1; 1]

R1 = {(x; y) ∈ N2 / y ≥ x2 – x – 6}

c) 2

A = {x ∈ N / x – 4 = 0}

b) 2 e) 5

x }

10. Si:

2

a) 1 d) 4

c) [0; 2]

Hallar el rango de R.

c) 7

05. Calcular la suma de los valores de x0y0; si (x0; y0) se obtiene a partir de: x

b) <0, 2] e) R

09. Si R = {(x; y) ∈ R2 / x2 ≤ y ≤

06. Dados los conjuntos:

a) 12 d) 4

B = {3 ; 4 ; 6 ; 7; 8}

e) –1

a) 3 d) 10

1

c) <-∞ ; 6]

d) 1

08. Dadas las relaciones en R:

y

Es:

Tercer Año Secundaria

04. Dado el conjunto:

20.En el gráfico adjunto, la curva que se muestra es una parábola con vértice en A. El valor de “a” es:

16. El rango de la relación:

ÁLGEBRA

02

(

=

{(x;

)(

y)

)

R2

16 −x −y x +y −4 ∈ R} Indicar el dominio de R: 2

2

2

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

2

/


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Tercer Año Secundaria

b) [–4; –2] ∪ [2; 4] d) [2; 4]

a) [–2; 2] b) [–4; 4] e) [–4; –2]

c)

d)

y

01

R ={(x; y) ∈ R / (x – 2 ) y = 8 }

y

c

02

b

0

c

04

c

05

d

0

d

3

10

08

d

d

11

a

0

b)

y

c)

d)

y

1

b

b) 16 u2 e) 24 u2

y

y

a) R-1 = {(x; y) / b) R-1 = {(x; y) / c) R-1 = {(x; y) / d) R-1 = {(x; y) / e) R-1 = {(x; y) /

x > y} x < y} x ≥ y} y ≥ x} y = x}

04. Hallar el área de la región que genera la siguiente relación: R1 ={(x;y) ∈ R2 /8 ≤ x2+y2 ≤ 16 ∧ x+y≤ 4} a) 8(4+π) u2 b) 6(4 – π) u2 c) 2(4 – π) u2

x

c) 18 u2

03. Si R es la relación en N definida por: R = {(x; y) / x ≥ y } Hallar su relación inversa: x

-1

x e)

e)

d) 8(4 – π) u2 e) 8(2 – π) u2

x

06. Si R es la relación en N definida por: o o R = {(a, b) / a = y b= }

b

Hallar su relación inversa. a) R –1 = {(a, b) / b = b) R –1 = {(b, a) / b = c) R

–1

= {(a, b) /

o

a

o

a o

a

08. Dados los conjuntos: A = {(x, y) ∈ R2 /

3

y a= y a= –1

o

3 o

3

=b y b =

o

07. Bosquejar la gráfica de la relación: R1 = {(x;y) / x2 – xy – 2y2 = 0 }

B = {(x, y) ∈ R2 / y+1 ≤ x2} La región sombreada.

}

y

} o

3

1 o d) R –1 = {(a, b) / a = y a= } 3 b e) N.a.

y ≤ x ≤ 2y} 2

}

x

Es: a) A – B d) A ∩ B

b) B – A e) (A ∩ B)C

05. Esbozar la gráfica de la siguiente relación:

S1RM31B

x

R1 = {(x; y) ∈ R2 / x + y ≤ 3} a) 48 u2 d) 9 u2

y

-1

x

02. Hallar el área de la región que genera la siguiente relación:

R ={(x; y) ∈ R / y ≥ x ; y≤ x}

x

1

x

2

b)

y

y

x

01. Graficar la región acotada por la relación sobre R:

y

d)

y

1

TAREA DOMICILIARIA

a)

x

y

2

2

x

c

9

y

x

c) e)

b)

y

y

x

6 c

a)

x

x

01

Tercer Año Secundaria 2

a)

CLAVES

07

ÁLGEBRA

02

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S1RM31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) A ∪ B

Tema 01 relaciones en ir 3° 4b  
Tema 01 relaciones en ir 3° 4b  
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