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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

37

c)

I

4

= 0 . 2 ⇔ (0 . 2)4 = 0 . 0016

0 .0016

TEORÍA DE La teoría de Exponentes se basa fundamentalmente en las propiedades de la Potenciación y de la radiación, por lo tanto, para una mejor comprensión definiremos las operaciones de potenciación y luego explicaremos cada una de sus propiedades. LA POTENCIACIÓN: Es una operación que abrevia la multiplicación: (a ) (a ) (a ) .... (a ) =a n       

1. Producto de Bases Iguales: Es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de sumar los exponentes iniciales. Su forma general es: am . a n = a m + n Ejemplos : a) 23 . 25 = 23 + 5 = 28

n veces

b) ( - 5 )2 ( - 5 )4 = ( - 5 )2 + 4 = 5 6

a es la base n es el exponente an es la potencia o resultado.

4 6 4+6 10 1 1 1 1 c)     =   =  5 5 5 5

Donde :

Ejemplos: a) 32 = 3 x 3 = 9 4 2  2   2   2   2  16 b)   =         = 3  3   3   3   3  81 c) ( 0.1 )3 = ( 0.1 ) ( 0.1 ) ( 0.1 ) = 0.001 LA RADICACIÓN: Es una operación inversa a la potenciación : raíz enésima

signo radical

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION Y LA RADICACION

n

a

= b

Su forma general es:

radicando o cantidad sub radical

5

4

5

2

=5

(−12)7 (−12)

a = b ⇔bn = a

c)

Ejemplos : 25 =5 ⇔5 5 =25

a) b) S3RM31B

3

512

= 8 ⇔ 83

= 512

m −n

4 −2

2

= 5 = 25

7 −4

= (−12)

0,25 5 0,25

8

= 0,25

5 −8

3. Potencia de un Producto:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) ( 7 . c)

4

( 0,25 x 3

3

5

( 8 )4  25 

5

)

2

= (−12 ) = −1728

= 64

n

=

4

b)

 2,5  3 9 

4

(3

= (0,25 )2 .

3

5

an

n

a

   

z

=a n x y z

x

y

La solución de este caso especial, se efectúa en forma progresiva de arriba hacia abajo tal como indica la flecha.

114

Ejemplos:

) )

4

5  3 ( 5)  = 3 5 =  4 2  11 4 ( 2 )4 11 2 4

5. Potencia de Potencias: Es igual a una potencia de la misma base, cuyos exponentes se multiplican. Su forma general es: ( a m ) n = a m.n

S3RM31B

NOTA: Cuando se presentan varios exponentes, esta propiedad recibe el nombre de cadena de potencia, cuya forma general se representa así :

6. Potencia de Exponentes: Presenta la siguiente forma:

bn

2   = (2,5)  2 3    9   

Ejemplos :

)

2

3

 1 − 3 − 2. .3   7   7 2 4      =  =   2    2         

[ ]

( 3)

( (

15

y  x   an    

2

4

= (7,2 ) 2 x 3 = (7,2)6

1  =  3

1  −2 4    7           2            

4

=

3

 3    

Ejemplos : 3 73 343 7 a)   = = 3 512 8 8  3    11   

5

b)  1  

)3

=

d)

3  11 

3

= 0,25

2   8.  5  

(7,2 ) 2     

3

c)

)3 = 7 3 (

5

d)

−3

a)

a) ( 5 x 3 )2 = 52 x 32

c)

b) 4

n

= a

Es igual al producto de sus factores, cada uno afectados con el mismo exponente. Su forma general es : ( a . b )n = an . bn Ejemplos:

a    b

Ejemplos : a)

indice del radical

an

3er Año Secundaria

4. Potencia de un Cociente: Es igual al cociente de sus factores, cada uno afectados con el mismo exponente. Su forma general es:

2. Cociente de Bases Iguales: Es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de restar ambos exponentes.

am

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

4

a) M = 2

b) 5

4

2

2

2

2

8

0

=2

2

-1

=5

4

2

2

2

8

0

=2

2

2

1

=2

-1

=5

2

4

2

2

1/2

=5

2 2

=2

4

4

16

=2

2

=5

= 25

c)Hallar "E" : E = aa

a + 1 , si aa = 2

Transformamos la expresión así :

[ ]

aa a E = aa .a = aa = 22 = 4 ⇒ E = 4

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


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3er. Año Secundaria ↓

a) 7 0 = 1 b) ( 3 5 ) 0 = 1

= am −m ⇒ a = 1

a  también :   b

−n

b =  a 

3

n

c)

S3RM31B

n

3 52 =

53

= a0 − n

a .

n

b

p

a

m.n.p =

a

Ejemplos :

3

5

p

a

=

3.5.2

8 =

30

8 también

a5 =a 5 =a

b) 5

n

a . b =

n

a .

n

n

2 10

=

1

b

n a a = b n b

1/5 1/3  532 = 4 4 1 / 2         

5

n

a .b =

n

a .

n

13. Potencia de un radical Esta propiedad es una aplicación del exponente fraccionario cuya forma general es :

Ejemplos:

4x7 =

7 =2

b) 3 12 x 5 =3 12 x 3 5

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c)

d) 4 x

7

2 = 3

2

a)

3

b)

37 7 = b) 3 10 3 10

b

Ejemplo: a)

a)

53 5 81

1 = 5 . 3 . 2 4 = 30 4 = 4 30

m n n   a   = am   

Ejemplos:

⇒ 7 0 .2 = 5 7

= 2 .2 .2 .2 5 =16 5 también 5 16

c)

sabemos que :

0, 2 =

1 8 30

1

a n . bn

11. Raíz de un cociente Es igual al cociente de cada término bajo el mismo radical cuya forma general es :

5 5

2 1 d) 0.2 7 = 7 10 = 7 5 = 5 7

53

Comprobando esta propiedad tenemos :

an

1

transforma en :

n

a)

Luego por potencia de un producto, se

Ejemplo:

10. Raíz de un Producto: Es igual al producto de cada factor bajo el mismo radical siendo su forma general la siguiente :

125 5 =  = = 3 4 64   4

ao

n

Finalmente por exponente fraccionario tenemos:

1 6 6 6 64 6 = 641 = 6 64 = 2 6 = 2 6 = 2

0

−5 = 1 b) m m5 4   5

7 25

1

b)

−2 = 1 = 1 a) 3 32 9

c)

x 5

3

d) Comprobando esta propiedad, en su forma

n a n = am

Ejemplos:

−3

25

1

a)

8. Exponente negativo Toda base con exponente negativo es igual a su recíproco o inverso con exponente positivo. Su forma general es :

1 a −n = an

3

general tenemos : n a . b = (a . b) n

0

1 = a

5 2 x 7 =5 2

c)

1 = a −n ⇒ a −n = n a an

3er Año Secundaria

m

3 3  c)  2  =1  2  d) Comprobando esta propiedad se tiene :

0

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

9. Exponentes fraccionarios Todo término con exponente fraccionario es equivalente a un radical de la siguiente forma :

Ejemplos :

am

1

7. Exponente Nulo: Todo término con exponente cero, es igual a la unidad, tal que la base sea diferente de cero. Su forma general es : a0 = 1

am

37

=5

0,16 = 0, 25

c)

2 3 2 3   5 = 5   3   2  =   5

32 4

2 3 =2

5 =  

2

4  25  = 2 4  

d) Comprobando esta propiedad tenemos:

3 1 =5 81 27 0,16 0, 25

=

m

n a     

0 ,4 0 ,5

m m  1    n n =a n  = a m → a n =    

PROBLEMAS RESUELTOS 01. Simplifica la siguiente expresión:

12. Raíz de Raíz: Es igual al radicando cuyo índice del radical resultante es el producto de los índices dados. Su forma general es : S3RM31B

=16

3 2 −m :

Solución

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

3m

am


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3er. Año Secundaria

Aplicando las propiedades tenemos por la raíz de un cociente: M =

3 2 +m

1  E = 2  = 1 2

3

M =

Luego aplicamos la propiedad del exponente fraccionario:

2+m 3 2 M= m 32 Finalmente aplicamos la Cociente de bases iguales . 2 +m

M =3 2

m 2

=3

propiedad

2 +m −m

2

2

=32 =3

3

M=

6

34

M=

6

4

.

3

3

.

3 .

1

1

12

+

3

5  =8   4 

3

3

Solución: Aplicando la propiedad del exponente fraccionario al primer factor, se tiene:

 m + n −1  2 m + n −1  2  ⇒ E=   2m +n 

Luego, por el cociente de bases iguales y simplificando los exponentes se obtiene : m+n–1–m–n

E = 2 E = 2-1

Por el exponente negativo resulta : E = 2 – 1 = 1/2 Finalmente, como se trata de obtener el doble de esta expresión:

a 3b .

ab 3

=

M =34

5

=

5

2

3  −  2

3

15

7

3

a 2b2 =

a 2 b2

7  15  =a 2 b 2  

9

1 10    

15

7

a 2 b2

4

1 9 4  3   a 2 b 2     

=a

20

7

b 20

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

. a

3

9

8

b8

x15 n +8 . y8 n −6

Tenemos potencia de la misma base en el numerador y denominador. R

= 15 n + 10 −15 n −8

x

n+3 n+4 a n+2 a n+3 S = a aa . a

3

−3

   

=

3   9   

33

9

=

27

=

1 3

... (2)

Solución: Teniendo en cuenta que : m

Por lo tanto la expresión P queda reducida según ( 1 ) y ( 2 ) a:

3

. y

8 n −4 −8 n + 6

07. Determinar el resultado de simplificar:

1 (8) 3 = 3 8 = 2

9

a 2b2

(2) (3)

P 2 = =1 2 2

a n =a m

n

(1) m a n =a m n

Finalmente, la mitad de P es:

am = a m −n n a a m .a n =a m +n

En primer lugar eliminamos los radicales

Aplicando la potencia de potencia, resulta : 15

x15 n +10 . y8 n −4

R=

25 27 9 64 − − = = 8 ....( 1) 2 8 8 8

 3  3  9

1 3 ab 3 a 2 b 2

10

am = a m −n an

En el numerador efectuamos la potencia de potencia:

1 9  −  8 

Luego simplificamos el exponente:

Solución: Este ejercicio a diferencia del anterior empezaremos eliminando los radicales y agrupando bases iguales, tenemos :

=

2)

R = x 2 . y2

ab 3

3 1 a 6 b3 a 2 b 2

x15 n +8 . y 8 n −6

1) (a m ) n = a m.n

:

a 6 b3

(x 3 n +2 )5 (y 2 n −1 )4

Solución: Teniendo en cuenta que :

−3

    

9  25  27 =8  − − 8 8  16 

9

2

04. Simplifica

E = ( 2 m + n )- 1 ( 2 m + n – 1 )

R=

59

3

Luego por el producto de bases iguales, ⇒ M = 3resulta : +

9

Solución: Resolviendo primeramente las operaciones que se encuentran en la base (corchete) tenemos :

M = 3 6 . 3 12 . 3 2

4

9

 3  3 −2 −3 −1   4 2 8        9 P = 8   −  −   5   3  9   

3

33

3 . 12

3

05. Halla la mitad de la expresión P, si: 3

4

2:

02. Halla el doble de E, si :

S3RM31B

4

7

3er Año Secundaria

= a 4 b 20 . a 8 b 8 = a 8 b 40

Solución: Resolviendo el primer factor según la propiedad 11 ( raíz de raíz ) y 8 ( exponente fraccionario ) tenemos:

M =36

 1 E =  2m +n 

3

03. Calcula el valor de M, si:

3m

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

37

S=

a n +4

a n+3

a n+3

. a a n+2

a

06. Determinar el resultado de simplificar: Obsérvese que tenemos una división de dos potencias de la misma base. S3RM31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN S = aa

n + 4 −n −3

.a a

1 1) 4 −1 / 2 = = 1 4 /2

S = a 2a

2) 9 −1 / 2 =

08. Calcular el resultado de simplificar: 3

x

x

x

x

(

S = 64

Solución: Recordando que: a2

3

=

b

3

S =

a6b

Vamos a introducir la “x” al siguiente radical. P= P=

3

6

x 3 .x

x4

x

x

6

x 8 .x

P = 12

x9

x

12

x 18 .x

 .  

3  2− 16 − 9−  

Solución: Recordando que:

−n = 1) 4

2)

2 −1 =

1 4n

9

=

1 3

S = (64

).(16

− 1    

)

Indicar el resultado de efectuar: 01.

( −16 )

(3 ) (9 )

03.

a) 1/4

7 ab −1 7 ab +1

n

04.

n

05.

 n2  4   

06.

3n

4n .

m

4 m +1

m

2 m +2

07. Solución: Expresando 35 2 b = 7 2 b . 5 2 b , además teniendo en cuenta que tenemos a la vista la división de 2 radicales del mismo índice: 7 2 a +1 5 a . 7 2 b. 5 2 b 7 a

7 ab −1 7 ab +1

1 −2 b −a ⋅ 5 a −2 b 7 2a +

92

7 −2

= ...................................................

n −1

= .............................................

3n

d) n

08.

n  9 n  2

09.

c) 2 n

2

e) 1

2

2 n + 4 − 2(2 n ) 2(2 n + 3 ) a) 1 d) 7/8

b) 1/2 e) 1/8

c) ¼

15. Determinar el resultado de simplificar . = ...............................................

6 2  3    x  x        

= ..........................................

n 10. 3 x 3 n +1 = .............................................

11. Cuál es el resultado de simplificar : 7 n + 2 − 7 n +1 2 . 7n S3RM31B

b)

4 n = .......................................

= .............................................

2

64 n + 16 n 32 n + 8 n

14. Calcular el resultado de simplificar:

(3 n +1 )n

E = 35

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

n −m

= .......................................

1 . 4 4

x4

13. Marcar el resultado de efectuar: n

m 2n

x

x

= ....................................... 16

    

c)

e)

x

1/ 3

1  .  2 

n

2) x (−

b) x

x

d) 1/ 3

S = 1

a −2b

a) x+1

c)49

(− 2)n

4 n    

(3) 2 . ( −2) 3 (−4) 2

02.

Efectuando las operaciones con las potencias de la misma base: −4 −1 / 3 −1

a) 21 b)18 d) 7 e) –1/14 12. Indicar el resultado de simplificar

PRACTICA DE CLASE

a −2 b E= 7 a −2 b +1 . 5 a −2 b . 7 −1

S3RM31B

3er Año Secundaria

= ..............................................

64

E = a −2 b

1 2

1

E=

−9 −1 / 3

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

). (16 −1 / 2 )−1

7 2 a +1 5 a E = a −2 b . . 35 2 b 7a

09. Determinar el resultado de simplificar: 1  2− 9− = 64 −  

4

1 = 2

. 16 1 / 2

1 3

1 = 1 9 /2

1

10. Calcular el resultado de simplificar, 31 a > 2b.

P = 24 x 19

S

1 64 3

S =

x

x

=

S =

−1 / 3

1

x

Nuevamente repetimos la misma operación: P=

37

Transformando lo que está con línea punteada:

n + 3 −n −2

S = a a .a a

P=

3er. Año Secundaria

a)

−3

 (x 3 y − 2 ) 3   (x 2 y − 3 ) 4 

   

1 5 x y10

b)

3

 1     xy 

d)  

 (x − 2 y 3 ) 4 .   (x − 3 y 2 ) 3 

1 xy 6

 1 e)   xy5 

c)

x y3

5

   

16. Cual es el equivalente de la expresión

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

   

2


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3n

a 4n n +2

d) n a

2 a n + 2n

c) a n −2 −1 −2 −1 −2 −1 −2 −1 k = 125 −9 + 27 −9 + 64 −9 + 0 . 2 16 −4

(

a) 15 d) 18

4 /5

−1 / 2   5         3            

b) 1/3 e) N.a.

b) 21 e) N.a.

c) - 1/3 Q = n

0 . 2  35   1 E = 8   2  

b) – 2 e) N.a.

c) 5/6

−1   

a) a + b + c d) abc

a ncn + a n bn + bncn a −n + b −n + c −n b) an + bn + cn e) N.a.

c) 1

20 a +1 4 a +2 +2 2a +2

a −1

+

A=

n

2a

b) 15a e) N.a.

a) 10 d) 1

5 a −1 +3 a −1 51 −a +31 −a

b) 64 e) N.a.

S=

a) n d) n

n

b) 2n e) N.a.

c) n

2

a) 8b) 4 d) 2e) N.a.

06. Efectuar: S3RM31B

5  7 

−3 

   

10 n

2

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

64 9

c) 4

−4 −2

2 2 25 n − 15 n

a) 0 d) 5

P =

b) 1 e) 2/5

−6

c) 2

3n + 3 −3  3 n     n − 1   3 3   

a) 24 d) 3e) N.a.

b) 16

c) 4

08. Calcular: - 16

- 32

-5

-1

14. Efectúa:

M = 81

a) 1/9 d) 4

-5

b) 2 e) 1/3

0

-6

4

c) - 3 a) 5b)10 d) 20

c) 15 e) N.a.

09. Efectúa : -9

-2-4

0

15. Halla el valor de la expresión :

b) 2 e) 1/4

E=

26

x .

26

a) x5 d) x2 −1

7    5 

c) 4

2 − 6n

 1 M =   8 

c) 1

10. Reducir: c) 5

2

  

13. Calcular la octava parte de la expresión P, si sabemos que:

a) 4 d) 1/2

3 2    R = 0,125   

05. Calcular el valor de “S” :

1 n 2a 6 n

a) 1b) 2 d) 8e) N.a.

2

P = 64

−2 2 / 3

a) 2 d) 125

n 4a

c) 20

04. Calcular el valor de “R”, si :

c) b6

20. Calcular el valor de A:

 E =  

5 (16) a

− 1/ 2 −1 / 3   4     M = a 8  a 6 b 9               

c)

-1/40 1/2

5

-6

3er Año Secundaria

07. Simplificar:

03. Indicar el valor que se obtiene al efectuar :

c) 4

b) b4 e) N.a.

)

a) 8b) 4 d) 2e) N.a.

n2

19. Simplifica la expresión:

a) ab d) a3b6

1/3 16

02. Simplificar:

18. Halla el valor de E, si :

a) 3 d) 8

E=

01. Calcular el valor de “k”

17. Simplifica:

a) 3 d) - 3

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

37

PROBLEMAS PROPUESTOS N° 1

b) a 2 e) 1

a) a

3er. Año Secundaria

x2 .

26

x 3 ...

b) x4 e) N.a.

26

c) x3

x 12

  

−1

a) 2b) 4 d) 12

1  +  2

−1

c) 6 e) N.a.

16. Si x x x = 2 , calcula :

11. Hallar :

2

E = 16

- 27 - 16 - 8

a) 1/2 b) - 1/2 d) – 2 e) 1 12. Hallar el valor de E, si:

S3RM31B

- 3- 6

0

M= X c) 2

1  −  4 

a) 2b) 4 d) 16

x

x+x

c) 8 e) N.a.

17. Calcula el valor de :

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

x+x

x

−1  −1  3     2  


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

E = 16

a) 64 d) 4

-4

-2

-1

b) 32 e) N.a.

c) 16

E =

2   

 3 x  x .  4 6  x . x 

c) 6

d)

5 d) 5

b)

5

3 e) N.a.

3

0       

    

c) 12 x

3 5 3

a) 2 d) 5

c) 1/3

-4

-2

S=

1 64

-2

-1

c) 8

↓ (3 )

y

⇒ x = y

= 3 x +1

3 2x − 4 = 3 x +1

c) 1/2

− 1

    

1 −2 −   −9 −4 . 2 8   

− 1/2

     

b) 2/3 e) N.a.

c) 2/5

Entonces:

2x – 4 = x +1 x=5

2° En aquellos casos en conde existan términos de la forma kx, se hace un cambio de variable del tipo kx = y, para obtener una ecuación algebraica respecto a y. Ejemplo: Resolver: 2x + 2 x+2 = 40 2x + 2 x.22 = 40 y + 4y = 40 y = 8 ↓ 2x = 23 Entonces: x=3 3° Existen casos en los que la ecuación se consigue una igualdad en el exponente. a

S3RM31B

= a

9 x − 2 = 3 x +1

-1 -3 (-27)

c) 1

a) 2 d) 4/5

x

Ejemplo: Resolver:

2 x −2

b) 2 e) N.a.

1 −2 −   9 −4 125  

06. Reducir:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

1° Conseguir una ecuación donde queden igualadas dos potencias que tengan la misma base.

c) 4/9

10. Señalar el resultado que se obtiene al simplificar

2 m + 7 . 16 m + 8 4 m + 9 .8 m + 6

S3RM31B

b) 2/3 e) 27/8

a) 1 d) 4

-1

b) 3 e) 4

b) 5 e) 12

−0, 2

09. Operar:

05. Efectuar:

a) 3 d) 10

c) xy

2   E = (−27 )− 2 / 3 + (−27 )− 5 / 3 + 81  

P= 16

c) −

b) y e) x

TÉCNICAS DE CONVERTIBILIDAD: Las ecuaciones exponenciales se convierten en ecuaciones algebraicas aplicando ciertas técnicas que enseguida se enuncian y describen.

a

04. Calcular:

5

x a − b + ya − b xb − a + yb − a

a − b

a) 3/2 d) 9/4

b) 1/2 e) N.a.

-9 -125 - 32 16

Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes. Se entiende por igualdad relativa a aquella que se verifica para algunos valores que se le asigne a sus incógnitas.

08. Reducir:

1 −  − 2 −1  3  1    64        

a) 1 d) 1/4

c) 5

07. Reducir:

a) x d) y2

0 .2

ECUACIONES

2 2m +2m

b) 3 e) 7

2

e) N.a.

x5

03. Reduce:

c) 60

20. ¿Cuánto se debe aumentar a la expresión :

3

m

a) 1 d) 2

c) 9

b) 12 x 5

a) x12

b) 48 e) N.a.

para que el resultado sea

b) 81 e) 1/729

02. Efectúa:

4 n + 3 − 4 (4 n ) M= 4 (4 n − 1 )

 − 3−5  2 3     5    

8 5 . 54 6 . 81 2

a) 729 d) 3

1

b) 3 e) N.a.

18 5 . 12 10 . (0 . 5)4

3er Año Secundaria

2m + 2

R =

01. Simplifica:

19. Calcula el valor de M, si :

a)

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

TAREA DOMICILIARIA

3 n −1. 2   1  E = 8   3n  

a) 32 d) 64

37

-3

18. Resuelve la expresión :

a) 1 d) 18

3er. Año Secundaria

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

x

= bx ⇒ a = b


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

Ejemplo: Resolver: Se deduce:

a) 1 d) 4

(2n)x = (3 + n)x 2n = 3 + n

Entonces:

x

2 +2

n = 3

Es necesario recordar estructuras que caracterizan a cierto tipo de ejercicios, donde se aplican criterios de la teoría exponencial y ecuaciones exponenciales. 1° Si:

x

n

n

E =

n

E =

A

n

= 56 c) 5

.

3

a

n +8

  

a) 1 d) 3

b) 2 e) 4

A

n− 1

A ... ∞ ⇒E =

a) 1 d) 4

n

A:

n

A : ... ∞ ⇒E =

A

x

1

= 22

c) 3

n (n +1) + n (n +1) + ... ∞

a) 1 d) 6

E=n+1 PRACTICA DE CLASE x −4

3 x + 5 = 81

b) 2 e) 8

c) 3

a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 09. Calcular el valor de “x”

a) 6 b) 5 d) 7 e) N.a. 02. Calcular el valor de “x”:

c) 4

S3RM31B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3

a −x . a x −1 .

c) 4

4

.

a) 2 d) 1

b) 4 e) 8

a) 5 d) –3

b) -5 e) 8

c) 6

c) 3

c) 3

a) 1 d) 1/2

=

27

b) 3 e) 1/3

a 23

c) 2

5 = 45 n

135

a) 1/2 d) 2/3

b) 3/4 e) 3/2

a) 5 d) 8 16. Hallar “x”:

b) 3 e) 6

a) 0 S3RM31B

b) -1

a) 6 d) 8

c) 5/2

b) 4 e) 5

c) -6

01. Resolver: x

c) 2

5x+1 + 5 x+2 + 5x+3 + 5 x+4 = 780

a x +1 = 1

3

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02

16 x = 8 8

125

  

a. a 2

2 x +1 − 2 x − 3 − 2 x − 2 = 52

15. Resolver: 6

2 3

19. Hallar “n”:

16 2 x +1 =64 x −1

=3

5 = 11 

a

20. Hallar “x”:

08. Efectuar: 3x

c) 3

14. Efectuar:

b) 2 e) 5

11 5

01. Efectuar:

c) 6

c) 6

a 5 n +2 = 1

3 b +3 b −1 +3 b −3 = 111

07. Calcular el valor de “m”

a) 1 d) 4

x

13. Calcular el valor de “b” en:

− m −1

b) 7 e) 3

4 a −4 + 4 a −3 + 4 a −1 = 69

b) 5 e) 10

94

a) 4 d) 8 18. Hallar “x”:

12. Calcular el valor de “a” en:

A

n +1

c) 2,5

b) 2 e) 5

8 x −10 = 0, 25 x a) 3 d) 8

3

=1

⇒E =n

n

17. Hallar “a”:

(2 a − 7 )(2 a −7 ) = 3125

a −2 n .

c) 4

e) -3

c) 3

11. Determinar el valor de “n” en:

b) 2 e) 5

5° Reducir: E =

+2

x−2

06. Efectuar:

n

A:

b) 2 e) 5

5 2 x −1 = 625

b) 2 e) N.a.

a) 1 d) 4

∞ n

4° Reducir: E =

a

−n

1  44

3° Reducir: n

a) 1 d) 4

04. Calcular el valor de “n”

n

n

x −1

3er Año Secundaria

10. Resolver:

b) 4 e) N.a.

x = ± n , si"n"es par n

n

c) 3

05. Calcular el valor de “x”

2° Reducir: n

a) 1 d) 6

a) 1 d) 8

x = n , si "n"es impar

= n〈

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

03. Hallar el valor de “x”:

IMPORTANTE:

x xx

b) 2 e) N.a.

38

d) -2

2 x + 1 + 2 x + 3 = 80

En este caso se admitirá x=0, cuando a ≠b

37

c) 1

a) 27 d) 16 02. Hallar “a”

x =

03. Hallar “x”:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

3

b) 9 e) 1/3 aa

a) 4 d) 2

9

a2

b) 2 e) 16

c) 3

=2

c) 8


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN xx

x 2 +2

a) 2

b)

d) 4 2

e) 1/2

xx

=4

c)4

2

a) 3 d) 4

x

d)

x3

b)

=3 c) 3 3

3

e) N.a.

5

0,5

x 3 −x

 xx  x   

 8   27 

1 −a 2

   

d)

3

b)

5

e) N.a.

=x

xx

x3

c)

3

4

1 −a

  a  

2n− 8

a

 a   

a .

a) 12 d) 16

a) 0,25 d) 0,28

b) 1 e) 1/2

b) 8 e) 9

c) 10

a) 2 d) 1/2

25 −8

−x

−2

−1

−x

=

1

−x

2

5

b) 25 e) N.a.

a) 9 d) 9/8

−1

c) 16

2

2 =4

2

b) 8 e) N.a.

c) 8/9

=2

x

c) – 1/2

x

−16

−1

=

1 256

a) 2 b) 2 -4 –8 d) 2 e) N.a. 04. Calcular el valor de “n”: = 32

5

59 + 5n 5n + 53

a) 1 d) 1/2

08. Efectuar:

a) 9 d) 2 09. Resolver:

S3RM31B

−4 − 27 − x

b) 6 e) 12

− 2 −1

b) 3 e) 2/3

c) 2

14. Hallar “x”

=4

c) 5

n −5

c) 2 -16

x+ 2

3

a) 1 d) 6

b) 2 e) N.a.

2 5 −n + 3 5 −n

a) 1,3 d) 1,5 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 2,5 e) 2,7

28

= 36 x −1 c) 1,2

a) 1 d) 3

S3RM31B

x− 2

= 44

b) 2 e) N.a.

01. Cierto número se duplica, luego se le agrega 3, dividiéndose después entre 5, después se resta 2, luego se eleva al cuadrado, para después multiplicarlo por 2 y agregarle 8, para finalmente, obtener 10 como resultado. ¿Cuál es el triple del número inicial?

c) 3

x +1

c) 9

b) 12 e) 30

c) 18

02. Cada vez que “Pirincho” se cruza con “Mucus”, éste último duplica el dinero que lleva consigo “Pirincho”; en retribución “Pirincho” entrega a “Mucus” 20 soles como agradecimiento. Si el día de hoy se han cruzado 4 veces, luego de los cuales “Pirincho” tiene 500 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente “Pirincho”? b) S/. 80 e) N.a.

c) S/. 50

03. En un pueblo de Piura, todos veneran al milagroso “Señor Cautivo” pues triplica el dinero de sus fieles con la sola condición de entregarle S/. 40 de limosna por cada milagro. Si después de acudir a él por tres veces consecutivas, Primitiva termina con S/. 560. ¿Cuanto tenía al principio? a) S/. 200 d) S/. 600

=5

05. Efectuar: 2 n −5 + 3 n −5

OPERACIONES

)4

a) S/. 60 d) S/. 100

03. Efectuar:

12 − x

3er Año Secundaria

a) 6 d) 24

= 1024

64 x

2 x.

c) 0,50

b) 3 e) -2

5x

c) 6

8

32 x

02. Resolver:

3

13. Hallar “x”:

= 0, 2

b) 3 e) N.a.

9

4

a) 20 d) 8

12. Resolver: 8

01. Resolver:

c) 4

b) 0,20 e) 0,35

c) -1

07. Calcular:

16 −8

(

=2 3

TAREA DOMICILIARIA

a 2 −a

 81   =  16   

b) 6 e) 5

3

3 x + 3 x +1 + 3 x +2 + 3 x +3 = 40 3

a) 1 d) 9

c) 1/2

11. Hallar “x”

06. Efectuar:

a) 2 d) - 2

2

2   .  3   

243 3

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

15. Hallar “n”

1

b) 2 e) 8

a) 1 d) 8

05. Efectuar:

a)

=

37

10. Hallar el mayor valor de “a”:

04. Calcular “x”:

a) 3

3er. Año Secundaria

b) S/. 660 e) N.a.

c) S/. 40

04. Carolo y Patricio juegan billar y acuerdan que el que gana paga la mesa que es de S/. 4 y el que pierde duplica el dinero del ganador. Al final del tercer juego se dan con la sorpresa que ninguno de los dos tenía dinero y además Patricio ganó los tres juegos. ¿Cuánto empezó a jugar Patricio? a) S/. 6,5 b) S/. 5,5, c) S/. 4,5 d) S/. 3,5 e) S/. 2,5

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 05. “Pichicho”, “Cachiche” y “Chuchumeco” se encuentran jugando a las cartas y convienen en que el perdedor duplicará el dinero de los otros dos. Cada uno pierde un juego en el orden en que han sido mencionados; si después de perder “Chuchumeco”, cada uno se queda con 16 soles. ¿Con cuánto empezó a jugar “Pichicho”? a) S/. 20 d) S/. 32

b) S/. 14 e) S/. 26

c) S/. 18

06. Si por 5 libras te dan 10 soles, por 30 soles te dan 25 sucre, ¿Cuánto sucres te darán por 6 libras? a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

08. Si : 32 YEN < > 12 ZEN; 16 XEN < > 8 ZEN. ¿Cuánto XEN equivalen a 20 YEN? a) 5 d) 10

b) 15 e) 20

c) 25

09. ¿Que suma necesitará un gobierno para pagar a 4 generales, si el sueldo de 6 coroneles equivale al de 10 comandantes; el de 5 comandantes al de 12 tenientes; el de 2 generales al de 4 coroneles; el de 6 tenientes al de 9 sargentos y si 4 sargentos ganan 2400 soles al mes? a) S/.28 800 d) S/.82 000

b) S/.20 800 e) N.a.

c) S/.200 800

10. En el colegio LORD KELVIN ocurre lo siguiente: 5 profesores principales ganan tanto como 12 profesores auxiliares; 6 jefes de práctica ganan S/. 900 mensuales; 7 profesores auxiliares ganan tanto como 3 jefes de practica. Averigua, ¿Cuánto ganan al mes 14 profesores principales? a) S/. 1260 d) S/. 2016

b) S/. 2160 e) N.a.

c) S/. 2610

11. En una prueba de rapidez mental entre personas “A” , “B” y “C” se observó que; S3RM31B

3er. Año Secundaria

37

cuando compitan A y B, A demora 1 hora lo que “B” lo hace en 45 minutos. Entre B y C, B tarda media hora lo que C hace en 20 minutos. Cuando compitan A y C ¿ Qué tiempo tardará A, si C lo haría en 90 minutos? a) 60’ d) 3 hrs.

b) 1h e) N.a.

c) 120’

12. En un país extraterrestre, la unidad de medida de longitud es el KETI. La unidad de medida de superficie es el GRON. Si: 1 GRON = 5 KETI2 1 KETI = 20 m. ¿Cuántos GRON hay en una hectárea ( 10 000m2)? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

13. En un mercado por 3 kilos de arroz, dan 5 kilos de azúcar, por 8 kilos de azúcar dan 4 kilos de frijoles; por 10 kilos de frijoles dan 2 kilos de carne de res. ¿ Cuántos kilos de carne de res nos darán por 30 kilos de arroz? a) 4 d) 8

b) 2 e) 12

c) 5

14. ¿ El trabajo de cuántos hombres equivaldrá el trabajo de 8 niños, si el trabajo de 4 niños equivale al de 3 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre? a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

15. En una tienda comercial se observó que 1 pantalón cuesta lo mismo que 3 camisas, 7 corbatas lo mismo que 2 polos, 3 pares de zapatos lo mismo que 5 pantalones, 4 camisas igual que 14 pares de medias, y 3 polos lo mismo que 1 par de zapatos. ¿Cuántos pares de medias podré comprar si cuento con dinero exacto para comprar 3 corbatas y 2 camisas ? a) 5 d) 10

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 7 e) N.a.

c) 12

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

3er Año Secundaria

16. 3 envases de “A” es igual a 2 envases de “B”; del mismo modo que 4 envases de “B” es a 3 envases de “C”; 10 envases de “C” equivalen a 8 envases de “D”; 40 litros de agua entra en 4 envases “D”. ¿ Cuántos envases de “A” se van a necesitar para envasar 60 litros ? a) 20 d) 16

b) 15 e) N.a.

c) 18

17. ¿ Qué suma necesitará un gobierno para pagar a 4 generales, si el sueldo de los coroneles equivale al de 10 comandantes, el de 5 comandantes al de 12 tenientes; el de 6 tenientes al de 9 sargentos, y si 4 sargentos ganan S/. 2400 al mes ? ( en soles). a) 106 d) 12348

b) 14200 e) N.a.

c) 28800

18. Si le pago S/. 15 a cada uno de los empleados, me faltarían S/. 400, pero si sólo les pago S/. 8 me sobrarán S/. 160. ¿Cuántos empleados tengo ? a) 75 d) 80

b) 82 e) 85

c) 70

arroja 20 litros de agua cada 3 minutos. ¿ Qué capacidad tiene el cilindro (en litros) ? a) 260 d) 280

c) 240

21. Un vendedor de uvas razona de la sgte. Manera: Si vendo a S/. 50 los 5/6 de Kg entonces ganaré S/. 400; en cambio si los vendo a S/. 30 los 3/5 de Kg. Perderé S/. 160. Si vendiese toda la uva que tengo obteniendo de utilidad S/. 30 por kilo, entonces recibiría en total ? a) S/. 6300 d) S/. 4200

b) S/. 3600 e) N.a.

c) S/. 4640

22. Si a los alumnos que tengo los hago sentar de 3 en 3 los banco que poseo me sobrarían 2 de ellos, pero si los hago sentar de 2 en 2, se quedarían de pie 6 niños. ¿Cuántos alumnos adicionales tendré que traer para poder sentar a todos de 4 en 4 sin que sobre ni falte carpetas ? a) 30 d) 18

19. Pedro invita a sus amigos al cine. Si entran todos a platea le van a faltar “a” soles pues cada entrada vale “b” soles, pero si entran a platea alta le van a sobrar “m” soles pues cada entrada vale “n” soles. ¿ Cuántas personas conforman el grupo? a) m + a b) m – a c) m – a n–b b–n b+n d) m+a e) m-a b-n n-b 20. Se trata de llenar con cilindro al cual concurren 2 cañerías. Si abro la primera que arroja 52 litros de agua cada 5 minutos y la dejo funcionar cierto tiempo, logra llenar el cilindro y se ha rebalsado 72 litros. Si abro el 2do. caño y funciona el mismo tiempo que funcionó el 1ero, faltarían 40 litros de agua para llenar al cilindro, debido a que este caño S3RM31B

b) 420 e) N.a.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 12 e) 8

c) 16


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria d) 2

TAREA DOMICILIARIA 01. Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros y que 2 metros valen 3000 soles . ¿ Cuánto costarán 8 varas ? a) S/. 5000 b) S/. 10000 d) S/. 16000 e) S/. 4000

c) S/. 15000

02. En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2 pollos; por 4 pollos dan 3 gallinas; por 12 gallinas dan 8 monos; pero 5 monos cuestan S/. 150000. ¿ Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos ? a) S/. 80000 d) S/. 90000

b) S/. 50000 e) N.a.

c) S/. 75000

03. En un restaurant, 4 lomos equivale a 10 caucau; 9 cau-cau equivale a 3 bisteck, del mismo modo que 8 bisteck es a 6 ceviches; por 160 céntimos dan 4 ceviches. ¿Cuántos platos de lomo dan por 150 céntimos ? a) 2 d) 8

b) 6 e) N.a.

c) 5

a) 9 d) 4

b) 8 e) N.a.

c) 6

05. 6 gotas del grifo “a” es a 4 gotas del grifo “b”, 5 gotas del grifo “b” es a 3 gotas del grifo “c”; 6 gotas de este grifo es a 5 gotas del grifo “d”, del mismo modo que 15 gotas del grifo “d” es a 4,5 litros. ¿ Cuántos litros existe en 40 gotas del grifo “a” ? a) 8 S3RM31B

b) 4

e) 1

06. Mientras iba al mercado a vender sus pescados, Angel pensaba: si los vendo a S/. 18 cada uno, me compraría una bicicleta y me sobrarían S/. 6; pero si los vendo a S/. 20 cada uno, me sobrarían S/. 90, luego de comprarme la bicicleta. ¿Cuánto cuesta la bicicleta ? a) S/. 7800 d) 750

b) 75000 e) 420

c) 800

07. Tengo un cierto número de amigos que se reunieron con el fin de juntar dinero para hacerme un obsequio. Mientras hablaban acerca de cuánto dinero pondría cada uno, oímos las palabras de 2 de ellos : Carlos : Si cada uno pone “m-n” soles, nos van a faltar “2x+3y” soles para comprarle su obsequio. Cinthia: Antes que nos falte, mejor es que nos sobre y por eso sugiero que cada uno contribuya con “m+n” soles y así únicamente nos sobrará “3x-2y” soles. ¿ Cuántos son mis amigos?

5x + y n 10x + 2y 4n 5x − 2y d) 2n 3x − 2y m −n a)

04. 4 libros de Aritmética es a 5 libros de Geometría; de la misma manera que 9 libros de Geometría es a 6 libros de Algebra ; del mismo modo que 8 libros de Algebra es a 6 libros de Razonamiento Matemático. ¿ Cuántos libros de Aritmética podré comprar con 45000, si por S/. 32000 compro 4 libros de Razonamiento Matemático ?

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b) c)

5x + y 2n e)

08. Vanessa y Miluska se encuentran jugando “Dominó” y convienen en que cada vez que una gane, la otra le pague tanto como para duplicar el dinero de la ganado la misma señorita, ambas tienen la misma cantidad “2n” soles de dinero. Lo que tenían al empezar el juego era:

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

n 15n y b) 4 4 3n 15n n 7n c) y y 4 4 8 8 5n 15n d) e) N.a. y 8 8 a)

09. Rossy, Rocio, Rommy y Romina se encuentran jugando “Monopolio”. Cada una de ellas gana un juego en el orden inverso en que han sido nombradas. El reglamento de juego es: A la que gane en 1er lugar, las demás le darán S/. 20 c/u. a la que gane en 2do. Lugar, las demás le darán S/. 15 c/u.; a la que gane en 3er lugar, las demás le darán S/. 10 c/u.; y a la que gane en 4to. Lugar, las demás sólo le darán S/. 5. C/u. Luego de jugarse el cuarto juego y ceñirse al reglamento, cada una tiene S/. 70. Dígase, ¿Cuál es la diferencia entre lo que tenía inicialmente Rossy y Romina? a) S/. 40 d) 100

b) 60 e) N.a.

c) 80

10. Si 4 naranjas cuestan tanto como 12 plátanos, 8 plátanos tanto como 5 piñas y 10 piñas cuestan 120 soles. ¿Cuánto cuestan 20 naranjas? a) S/. 450 d) S/. 650

b) S/. 500 e) S/. 560

c) S/. 540

11. El país COM tiene 3 monedas. La PIM, la POM y la PUM. Se sabe que 3 PIM. Valen 60 POM; 20 POM valen 120 PUM. ¿Cuánto PUM hay en una PIM? a) 100 d) 130

b) 110 e) 140

c)120

c) 3 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

S3RM31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

3er Año Secundaria


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

FRACCION Ejemplo 01: Un tanque puede ser llenado por un caño A en 15 horas y por un caño B en 10 horas y puede ser vaciado por una tubería C en 12 horas. Si A y B trabajan juntos 2 horas y luego se cierran y se abre C; en cuanto tiempo C vaciará el estanque. Resolución: A = 15h

B=10h

3er. Año Secundaria

01. La mitad de lo que me queda de gaseosa en la botella es igual a la tercera parte de lo que ya me tomé. Si tomo la cuarta parte de lo que me queda. ¿Qué fracción de toda la gaseosa me habré tomado? a) 3/10 d) 7/10

En una hora A y B juntos llenan: 1/15 + 1/10 = 1/6 del tanque. En 2 horas llenarán : 2 x 1/6 = 1/3 del tanque C vacía en 1 hora: 1/12 del tanque. Luego 1/3 del tanque lo vaciará en: 1/3 : 1/12 = 4 horas. Rpta: 4 horas. Ejemplo 02: Dos personas A y B podrían terminar juntos un trabajo en 10 días. B y C lo harían en 12 días y A y C en 15 días. ¿Cuánto tiempo emplearán si trabajan los tres juntos?. Resolución: Al día realizan: A + B = 1/10 B + C = 1/12 A + C = 1/15 -----------------2 ( A + B + C ) = 1/4  A + B + C = 1/8 Juntos al día realizan 1/8 de la obra. Rpta: Juntos terminarían en 8 días. PRÁCTICA DE CLASE S3RM31B

b) 3/7 e) 2/13

c) 2/3

02. Se tiene un litro de vino en una botella y se bebe la mitad, que se reemplaza por agua y vuelve a llenarse la botella con agua. Se hace lo mismo por tercera vez. ¿Qué cantidad de vino queda en la botella? a) 1/4 d) 3/16

C=12h

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b) 1/8 e) 1/32

b) 7/15 e) N.a.

c) 11/30

04. Un trabajo puede ser realizado por Carlos en 4 días, por Luis en 6 días y por Jorge en 12 días. Si a las 7 a.m. Carlos inicia el trabajo, a las 8a.m. se le incorpora Luis y recién a las 9 a.m. se les incorpora Jorge terminando el trabajo juntos. ¿A que hora terminaron dicho trabajo? a) 10:45 a.m. d) 11 a.m.

b) 10:30 a.m. c) 10 a.m. e) N.a.

05. Dos caños pueden llenar un estanque de 24 litros en 5 y 6 horas si cada uno funciona individualmente, un desagüe puede vaciar el estanquen en 10 horas. Si se abren los 3 a la vez y se cierra apenas se llena el estanque, calcular cuantos litros de agua se fueron por el desagüe. a) 7 d) 10

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 8 e) 2

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

06. Tres obreros hacen un trabajo en 4 días. Sabiendo que el primero sólo lo haría en 9 días y el segundo en 12. ¿A que tiempo tardaría el tercero trabajando sólo? a) 16 días d) 19,5 días

b) 17,5 días e) 20 días

c) 18 días

07. Un comerciante vende 1/3 de su mercancía perdiendo 1/7 de su costo. ¿Cuánto debe ganar en las partes restantes si en toda la mercadería quiere ganar 1/5 de su costo? a) 13/35 d) 23/35

b) 17/35 e) 27/35

c) 10/35

c) 1/16

03. Un grifo A llena un depósito en 5 horas y otro B en 3 horas. Además el depósito tiene un orificio en el fondo por el que desagua en 6 horas. Suponiendo abiertos A y B y el desagüe. ¿Qué fracción del depósito se llenará en una hora? a) 8/15 d) 19/30

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c) 9

08. Los 3/4 de un carril más 7 litros es petróleo y 1/3 del barril menos unos 20 litros es agua. ¿Cuántos litros son de petróleo? a) 123 d) 156

b) 112 e) 124

c) 134

09. Hallar una fracción que no cambia su valor al sumar 5 unidades a su numerador y 9 unidades a su denominador. a) 5/29 d) 16/27

b) 15/28 e) N.a.

c) 15/27

10. Encontrar un número racional comprendido entre 2/13 y 41/52 cuya distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo. a) 11/52 d) 15/26

b) 19/52 e) 9/13

c) 49/104

11. Un hombre recorre los 3/5 de su camino en avión, 1/8 en ómnibus, 1/4 en carro y el resto a pie. ¿Qué fracción del camino recorre a pie? a) 39/40 b) 29/40 c) 1/40 d) 11/40 e) N.a. 12. Las 4/7 partes de los profesores de grupo enseñan matemáticas. Si 1/3 de los profesores de letras enseñan Historia del Perú y son 20 aquellos que enseñan los otros cursos de letras. ¿Cuántos profesores tienen el grupo? S3RM31B

3er Año Secundaria a) 40 d) 70

b) 10 e) 56

c) 30

13. Perdí la quinta parte de lo que no perdí, luego gasté la quinta parte de lo que no gasté, al cabo de 1 hora perdí tanto como gasté anteriormente. ¿Qué parte no perdí últimamente con respecto a lo que tuve? a) 1/5 d) 5/9

b) 1/3 e) N.a.

c) 1/4

14. Tres socios se reparten un beneficio. Al primero le toca las 2/5 partes, al segundo los 3/7 y al tercero el resto. Dígase ¿Cuál es la cantidad mayor que le tocó a uno de los socios. Si se sabe que el segundo recibió 42000 más que el primero? a) S/. 7200 d) S/. 63000

b) S/. 6200 e) N.a.

c) S/. 7500

15. Dos grifos llenarán un depósito en 1 3/6 horas pero la primera sólo llena el depósito los 3/9 en 1 2/4 h. ¿En que tiempo llenarían el depósito el segundo grifo? a) 3 h d) 6 h

b) 1 1/2 h e) 2 1/4 h

c) 2 h

16. Un caño llena un estanque en 6 hrs. otro lo llena en 2 hrs. y el mecanismo de desagüe lo vacía en 3 horas. Si se mantiene abierto el 1° caño, 1 hora y a partir de entonces se abre también el 2° caño y el desagüe. ¿Cuánto habrá tardado en llenarse el estanque? a) 5/2 hrs. b) 7/2 hrs. c) 2 hrs. d) 3 hrs. e) 7/3 hrs. 17. El caño A puede llenar una piscina en 12 horas, el caño B en 7 hrs. y un desagüe C la puede vaciar en 18 hrs. Si la tercera parte de la piscina está llena y durante la primera hora se abre el desagüe durante la segunda hora se abrió además el caño B y a partir de la 3ra hora trabajan A, B y C juntos. ¿Cuánto tardó en total en llenarse los 6/7 de la piscina? a) 3h 57m

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 3h 54m

c) 2h 52m


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 4h 53m

e) N.a.

b) 2’ e) N.a.

c) 3’

19. Un recipiente de 720 litros de capacidad, está vacío y cerrado el desagüe que posee. ¿En cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo tiempo el desagüe que desocupa 24 litros en 3 minutos y otras 2 llaves que llenan; la primera 72 litros en 12 minutos en y la otra 36 litros en 9 minutos? a) 360 horas d) 3600 seg.

b) 6 horas e) N.a.

c) 360 min.

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Estando un estanque lleno, se abre un desagüe que lo vacía en dos horas y al mismo tiempo se abre dos caños que se demorarían cuatro y cinco horas actuando solos. ¿En qué tiempo se vaciará el estanque? a) 15 horas b) 16 horas c) 19 horas d) 14 ¾ horas e) 20 horas 02. Dos caños A y B llenan de agua un depósito en cinco y seis horas respectivamente y un desagüe C, lo vacían en 4 horas. Se abre el caño A alas 7 am. y a las 8 am. se abre B y C. ¿ A qué hora aproximadamente se llenará el depósito? a) 2:41 pm. d) 2:38 pm.

b) 2:45 pm. e) 2:51 pm.

c) 2:35 pm.

03. En un grifo había esperando 20 personas para llenar un recipiente cada una, el grifo arroja 9 lts/m y la capacidad del recipiente es 18,000 cm3. ¿ Qué tiempo habría esperando la última persona para empezar a llenar su recipiente si S3RM31B

37

cuando llegó se estaba acabando de llenar el primero ?

18. Un caño “A” puede llenar un estanque en 5 minutos y otro caño “B” puede llenarlo en 20min. estando vacío, “A” empieza a llenarlo pero cierto tiempo después es reemplazado por “B” empleándose en total 8 minutos. ¿Cuánto tiempo llenó “B”? a) 4’ d) 1’

3er. Año Secundaria

a) 3’ d) 36’

b) 1h 30’ e) 30’

c) 45’

04. Tres grifos A, B y C, funcionando juntos, pueden llenar la mitad de un estanque en 4 horas. Si funcionan solo A y B pueden llenarlo todo en 10 horas y si funcionan solo B y C pueden llenarlo todo en 15 horas. ¿ En cuánto tiempo llenará el grifo B solo la tercera parte del estanque ? a) 10 d) 9

b) 6 e) 8

c) 7

05. Un cilindro tiene un caño de llenado, el cual puede llenar en 20 minutos y otro caño de vaciado , el cual puede vaciar totalmente en 36 minutos. Estando vacío el cilindro, se abre el caño de llenado y 4 minutos más tarde, el caño de vaciado. ¿ En cuántos minutos , se habrá llenado totalmente el cilindro ? a) 36 minutos b) 40 minutos c) 45 minutos d) 44 minutos e) 46 minutos 06. Un caño llena una piscina en 3/2 h. otro lo hace también en 3/2 h. y un desagüe la vacía en 3h. Si todos se abren a la vez (caños y desagüe). ¿En qué tiempo se llenará?. a) no se llena d) 2h

b) 1h e) N.a.

c) 3h

07. Un caño llena un depósito en 8 horas y un desagüe lo vacía en la mitad del tiempo. ¿Cuánto se demorarán en llenar el tanque los dos juntos? a) 4 b) 6 d) no se llena nunca

c) 8 e) N.a.

08. Si el depósito está lleno hasta la cuarta parte. ¿Cuánto tiempo se demorarán ambos en terminar de sacar toda el agua ?. a) 8 h

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 2 h

c) 6 h

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

d) 4 h

e) no se vacía sino llena

09. Dos caños pueden llenar un estanque de 24 litros en 5 y 6 h. cada uno funcionando individualmente; mientras que un desagüe podría vaciar el estanque en 10 h. Si se abren los tres y se cierran apenas se llena el estanque; calcular cuántos litros de agua fueron por el desagüe. a) 7 d) 10

b) 8 e) 12

c) 9

10. Dos grifos llenarán un depósito en 1 3/6 horas pero la primera sólo llena el depósito los 3/9 en 1 2/4 h. ¿En qué tiempo llenarían el depósito el segundo grifo ?. a) 3 h d) 6 h

b) 2 1/2 h e) 2 1/4 h.

c) 2 h

11. Un caño llena un estanque en 6 hrs. otro lo llena en 2 hrs. y el mecanismo de desagüe lo vacía en 3 horas. Si se mantiene abierto el 1º caño, 1 hora y a partir de entonces se abre también el 2º caño y el desagüe. ¿ Cuánto habrá tardado en llenarse el estanque ? a) 5/2 hrs. d) 3 hrs.

b) 7/2 hrs. e) 7/3 hrs.

c) 2 hrs.

12. El caño A puede llenar una piscina en 12 horas, el caño B en 7 hrs. y un desagüe C la puede vaciar en 18 hrs. Si la tercera parte de la piscina está llena y durante la primera hora se abre el desagüe durante la segunda hora se abrió además el caño B y a partir de la 3ra. hora trabajan A, B y C juntos. ¿ Cuánto tardó en total en llenarse los 6/7 de la piscina ? a) 3h 57m d) 4h 53m

b) 3h 54m e) N.a.

c) 2h 52 m

13. Un caño “A” puede llenar un estanque en 5 minutos y otro caño “B” puede llenarlo en 20 min. estando vacío, “A” empieza a llenarlo pero cierto tiempo después es reemplazado por “B”, empleándose en total 8 minutos. ¿Cuánto tiempo llenó “B”? S3RM31B

3er Año Secundaria a) 4’ d) 1’

b) 2’ e) N.a.

c) 3’

14. Un recipiente de 720 litros de capacidad, está vacío y cerrado el desagüe que posee. ¿ En cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo tiempo el desagüe que desocupa 24 litros en 3 minutos y otras 2 llaves que llenan; la primera 72 litros en 12 minutos en y la otra 36 litros en 9 minutos ? a) 360 horas b) 6 horas d) 3600 segundos

c) 30 minutos e) N.a.

15. “A” hace un trabajo en 8 días, “B” hace el mismo trabajo en 4 días. ¿ En cuántos días realizarán la obra juntos ? a) 3 d b) 8/3 d c) 2 d d) 7/2 e) 9/4 d 16. El caño “A” llena un estanque en 4 horas, el caño “B” lo llena en 6 horas y e l caño “C” lo llena en 8 horas. ¿ En cuánto tiempo lo llenarán los 3 caños juntos ? a) 3 h d) 24/13 h

b) 21/13 h e) 21/12 h

c) 2 h

17. Juan y Pedro hacen una obra juntos en 10 días. Juan puede hacer esa obra en 15 días. ¿ En cuántos días hará Pedro esa obra ? a) 30 d d) 15 d

b) 20 d e) N.a.

c) 25

18. Un depósito es llenado por los caños “A”, “B” y “C” juntos en 6/5 horas. El caño “A” lo llena en 12 horas. El caño “C” lo llena en 2 horas. ¿ En cuántas horas lo llenara el caño “B” ? a) 5h d) 3h

b) 6 h e) 4h

c) 2h

19. “A” es el doble de rápido que “B”, trabajando juntos hacen una obra en 6 días. ¿ En qué tiempo realizará “B” la misma obra ? a) 12d d) 9d

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 16d e) 24d

c) 18d


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 20. El caño “A” llena un estanque en la mitad de tiempo en que llena el caño “B”. Utilizando los dos caños, el estanque se llena en 2 horas. ¿ En qué tiempo se llenará el estanque si sólo utilizamos el caño “A” ? a) 6h. d) 24h.

b) 3h. e) 12h.

c) 4h.

10. Juan puede hacer una obra en 8 días y Pedro lo hace en 12 días. ¿ Cuánto tiempo demorarán en hacer la obra, si trabajan 4 días juntos y a partir del 5to. día únicamente trabaja Pedro ? a) 2d b) 4d c) 3d d) 5d e) 6d TAREA DOMICILIARIA 01. Susana tiene S/.120 y pierde 3 veces consecutivas 1/2, 1/3 y 1/4 de lo que iba quedando. ¿Con cuánto se quedó? a) S/. 20 d) S/. 48

b) S/. 40 e) S/. 36

c) S/. 30

02. Luego de perder en forma sucesiva 1/2 y 2/5 de lo que iba quedando, Alfredo gana en forma consecutiva sus 3 últimos juegos: 1/2, 1/4 y 1/6 de la cantidad que iba acumulando retirándose con S/.70. ¿Cuánto tenia al inicio? a) S/. 60 d) S/. 72

b) S/. 80 e) N.a.

c) S/. 48

03. En un recipiente se tiene 40 litros de mezcla alcohólica, donde al agua es 16 l, se extrae 1/3 del volumen total reemplazando por agua. Luego de la mezcla resultante, se extrae la mitad para volver a reemplazar por agua. Si finalmente se extrajo 3/4 del resto y se volvió suplir por agua. ¿Cuánto de alcohol quedó? a) 2 l d) 10 l

b) 6 l e) N.a.

c) 4 l

04. De una mezcla alcohólica donde 12 l es agua y 18 l alcohol, se extrae la mitad de la mezcla S3RM31B

3er. Año Secundaria

37

y se reemplaza por agua. Luego del resto, se extrae la tercera parte y se vuelve a reemplazar por agua. Finalmente, del nuevo resto se extrae la cuarta parte y se reemplaza por agua. ¿Cuánto de alcohol se extrajo en total? a) 11 l b) 12 l c) 13,5 l d) 10 l e) 8 l 05. En un salón “Integral”, los 7/12 de los alumnos son hombres. Si la diferencia entre mujeres y hombres es P, hallar cuantos alumnos hay en el salón. 

(

P= 0,3 + 1,3 +1,4 +... +1,7 +1,8 a) 10 d) 48

b) 60 e) N.a.

)

c) 40

06. Una tela de forma rectangular al lavarse se encoge en 1/4 de su largo y los 2/5 de su ancho. ¿Qué fracción del área inicial de tela es la nueva área? a) 9/20 d) 2/5

b) 9/10 e) N.a.

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

3er Año Secundaria

estanque se hace funcionar a “A” durante 2 horas, y luego se abre la otra tubería “B”, funcionando así las dos. ¿Qué tiempo total emplearán para llenar el estanque ?. a) 24 horas d) 22 horas

b) 26 horas e) N.a.

c) 23 horas

10. Un depósito de agua con una capacidad de 3,500 lt es llenado por una lleva en 20 horas. Una segunda llave lo llena en 28 horas y el desagüe lo vacía en 25 horas. Estando vacio el depósito se abren las tres llaves que operan normalmente por 8 horas, momento en el que se un agujero en la parte inferior del depósito. Hallar el número de litros por hora que salían por dicho agujero si se sabe que el depósito demoró un total de 23 horas para llenarse. a) 12 d) 22

b) 2 e) 18

c) 10

PORCENTA TANTO POR CIENTO (%) Es el número de centésimas partes de una cantidad. Ejemplo: De 100 personas que viajan en un ómnibus; 40 son blancos. Luego: 40 por cada 100 personas son blancas 40 por cada ciento de personas son blancas 40 por ciento de personas son blancas 40 % del N° de personas son blancas ⇒

40 (N° personas son blancas) 100

En general: 100 < > N a <> P

c) 1/10

de donde: P =

07. Un canal llena un pozo en 4 horas y otro lo vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará el pozo si se abre el desagüe una hora después de abrir el canal de entrada?. a) 7h d) 10h

b) 8h e) N.a.

P = El “a” por ciento de “N” P = a% de N

c) 9h

a% : tanto por ciento N : cantidad P : porcentaje

08. Un caño llena un tanque en 6 horas, y otro lo llena en 2 horas y el desagüe lo vacía en 3 horas. Si se mantiene abierto el primer caño durante una hora y a partir de entonces se abre también el segundo caño y el desagüe. ¿Cuánto habrá tardado en llenarse el tanque ?. a) 4h d) 2,5h

b) 2h e) 4,5 h

Ejemplos: El 28% de 50 =

28 x 50 = 14 100

El 15% de 60 =

15 x 60 = 9 100

El 25% de 40 =

25 x 40 = 10 100

c) 3,5 h

09. Una tubería “A” puede llenar un estanque en 6 horas y otra tubería “B”, de desagüe, lo puede vaciar en 8 horas. Estando vacío el

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a x N 100

S3RM31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

Gráficamente:

11

unidad < > 100 partes iguales

1 100

1 100

1 100

1 100

.................

2 1 100

1 100

3 = 3% 100

En general:

11  11  % =  % = 4 = = 0,0275 4 100 400  4  3

A) Conversión de tanto por ciento a fracción o decimal

1 = 0,01 1% = 100 2 1 = = 0,02 2% = 100 50 15 3 = = 0,15 15% = 100 20 40 2 = = 0,4 40% = 100 5 60 3 = = 0 ,6 60% = 100 5 80 4 = = 0 ,8 80% = 100 5 120 6 = = 1, 2 120% = 100 5 200 =2 200% = 100 0,6 = 0,006 0,6% = 100 2 2 1 2 5 = = = 0,004  % = 100 500 250 5

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO De donde:

a + 20% a = 120% a b - 35% b = 65% b

x = (240 x 10)/100 = 24

3(20% a) = (3 x 20)% a = 60% a

100% = 1 (total)

20% (a + b) = 20% a + 20% b

3 75% = (tres cuartas partes) 4

80% b ÷ 20% b =

25% =

1 (cuarta parte) 4

80 % b 20 % b

03. Hallar el 12% de 50. Solución:

=4

50 .......... 100% x ........... 12%

60% a ÷ 2 = (60 ÷ 2)% a = 30% a

 40 (40 %) 2 = (40 %) (40 %) =   100 36 % =

  40 % = 16 % 

36 6 3 = = 100 10 5

1 10

200% = 2 (doble)

x = ( 50 x 12)/100 = 6 04. Hallar el 16 2/3% de 42. 42 ........... 100% x ........... 16 2/3%

PROBLEMAS RESUELTOS (décima parte)

De donde:

Solución:

1 20% = (quinta parte) 5 10% =

3er Año Secundaria

80% b - 60% b = 20% b

EQUIVALENTES NOTABLES:

1 50% = (mitad) 2

a% =

S3RM31B

37

De donde: x = (42)(50/3)/100 x = ( 42 x 50/3)/100 x=7

01. ¿Cuál es el 20% de 400? Solución: (+) 400 x

Luego: 100 % a = a

x=

(-) 100 % 20 %

-

(400 )(20 ) 100

R.T. D.

05. Calcular el 25% del 4% de 300 veces 1,333... Solución:

= 80

=

100 1 = x 4

“Toda cantidad representa el 100% de sí misma” B) Conversión de fracción o decimal a tanto por ciento

A toda cantidad menor que la referencial le corresponde un porcentaje inferior al 100%.

=

02. Hallar el 10% de 240.

2 2 = x 100 % = 40 % 5 5 0,06 = 0,06 x 100% = 6% 5 = 5 x 100% = 500%

300 100

4 12 x 300 x 100 9 1 4 x 300 x 25 3 4 4 x =3x = 4. 3 3 x

Solución: Una cantidad cuando no sufre ninguna variación esta representada por su 100%, según el ejercicio. 240 es el 100%, entonces formando una regla de tres:

OPERACIONES CON PORCENTAJE:

100% ......... 240 10% ......... x

20% a + 50% a = 70% a

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

25

S3RM31B

06. Calcular el

1 3 % de los del triple de 120 3 4

Solución: =

1 360 3 9 x x 3 x 120 = = . 300 4 400 10

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria

Hallar un número cuando se conoce un tanto por ciento de él. 07. De qué número es 40 el 25%?.

25% ......... 40 100% ......... x

17 ......... x .........

Solución: 45 % 100 %

512 ....…… 100% 0,64 ........... x%

0,64 x100 % 64 1 = = % 512 512 8

13. Qué porcentaje es la mitad de los tres cuartos de 800, de 2400?. 2400

=

Solución:

11. Qué porcentaje es 75 de 1250?. Solución: Asumimos, que x es el porcentaje buscado. Luego: 1250 esta representado por el 100% y 75 por el x %. Formando la regla de tres correspondiente:

PRACTICA DE CLASE Hallar:

b) 40% e) 35%

100 % x%

(100 )(695 ) = 145 % 480

Si la cantidad referencial se descompone en otras varias, entonces la suma de los porcentajes correspondientes a las partes deberá ser siempre 100%. 15. Un futbolista dispara 17 penales, acertando todos ellos. ¿Cuántos debe tirar luego, fallando, para tener una eficiencia del 85%? Solución: 100 % = 85 % + 15 %

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) 320 d) 240

b) 310 e) 150

c) 25%

b) 1345 e) 1500

c) 1220

b) 1400 e) 1536

c) 420

c) 1120

04. ¿El 75% de que número es 450?. a) 677 d) 249

b) 108 e) 600

c) 320

05. ¿De qué número es 48 el 3 1/5%?. a) 2200 d) 1324 S3RM31B

b) 1040 e) 1500

b) 810 e) 715

c) 800

c) 1200

b) 1000 e) 1500

c) 2010

09. ¿De qué número es 150 el 7 ½%?. b) 1070 e) 1450

c) 2000

10. ¿El 20% del 25% de 500 de qué número es 400?. b) 10 e) 16

c) 20

11. ¿De qué número es el 25% de 6000, el 10%?. a) 15000 d) 12400

03. ¿El 25% de que número es 350?. a) 1200 d) 2470

a) 2000 d) 2400

a) 12 d) 24

01. El 33 1/3% de 100. a) 32 d) 33 1/3

a) 200 d) 624

a) 2120 d) 1240

02. ¿El 10% de que número es 32?.

x=

x = (100% x 200)/12,5% = 1600 Dados dos números, averiguar que tanto por ciento es uno del otro.

Precio Venta (PV) = Precio de compra(PC) + Ganancia (G)

x%

1 3   . . 800 . 100 %  2 4  =   2400    

480 ........ 695 ........

a) 1234 d) 1600

08. ¿De qué número es 70 el 3 ½%?

Recordar que, en los negocios:

.......… 100%

1 3 . . 800 .......… 2 4

Solución: 12,5% .......… 200 100% ……... x

72 = 0 . 72 100

Solución:

12,5%. 14. ¿Qué porcentaje es 695 de 480?

10. De que número es 200 el 12,5%?.

(17 )(15 ) = 3 tiros 85

PV = PC + G

Solución:

x = (100% x 75)/20% = 375.

06. ¿De qué número es 82 el 5 1/8%?.

Decir por ejemplo el 72% equivale a:

x

20% ........ 75 100% ........ x

85 % 15 %

3er Año Secundaria

07. ¿De qué número es 20 el 10% de 25%?.

Solución;

(378 )(100 ) = 840 45

09. De que número es 75 el 20%?.

x=

12. Qué porcentaje de 512 es 0,64?.

x=

08. ¿De qué cantidad es 378 su 45%?

S3RM31B

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

1250 ...…… 100% 75 ……... x %

x = (100% x 40)/25% = 160.

x=

38

x = (75 x 100%)/1250 = 6%.

Solución: Asumimos que el número es x, luego el 100% de ese número es x, y según la pregunta su 25% es 40. Entonces formamos la regla de tres:

378 ......... x .........

37

b) 10000 e) 15890

c) 20000

12. ¿Qué porcentaje de 95 es 30,4? a) 32% d) 24%

b) 10% e) 45%

c) 20%

13. ¿Qué porcentaje de 1320 es 3.3? a) 2,5% b) 0,25% c) 2% d) 2,4% e) 25% 14. ¿Qué porcentaje de 1950 es 156? a) 2% d) 8%

b) 1% e) 5%

c) 12%

15.¿La mitad de los 2/5 de 2400, qué porcentaje es de los ¾ de 3600?

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 22% d) 14%

b) 17.78% e) 15%

c) 20%

16. ¿Los 3/5 de los 4/3 de 800,qué porcentaje es del 20% de la mitad de 100 000? a) 2,8% d) 2,5%

b) 7,0% e) 6,5%

c) 6,4%

17. ¿Qué porcentaje de 18 es 0,045? a) 0,2% d) 0,24%

b) 0,10% e) 0,25%

c) 2%

18. ¿Qué porcentaje de los ¾ del 60% de 400, es la mitad de 60?. a) 21% d) 24%

b) 10,67% e) 15%

c) 16,67%

19. ¿La mitad de uno qué porcentaje es del doble de uno?. a) 25% d) 24%

b) 10% e) 15%

c) 20%

20. ¿En una canasta tenia 240 manzanas he comido 60 manzanas, que porcentaje me sobra? a) 52% d) 24%

b) 75% e) 65%

c) 12%

MÉTODO INDUCTIVO –

3er. Año Secundaria

talento pueden dedicarse a la matemática, mientras que otros afirman que para ello es preciso tener una "memoria matemática" capaz de permitir recordar fórmulas y saber cómo y cuándo aplicarlas.. Las expresiones: "soy incapaz para la matemática", "no he nacido para los números". "me falta memoria para aprender todas las fórmulas", etc, etc, son un producto amargo de tipo de enseñanza memorística y mecanizada que hemos recibido desde nuestra infancia, debido a la falta de un sistema educativo adecuado, objetivo y verdaderamente científico capaz de satisfacer las expectativas de la gran mayoría de estudiantes y no sólo de un sector, cuyo beneficio obedece a intereses egoístas. En consecuencia, nos corresponde revertir esta situación, poniendo en práctica nuestra capacidad de raciocinio y análisis objetivo. Contribuiremos con ello, en esta parte del curso, desarrollando la parte inductiva – deductiva de nuestro razonamiento para lograr, de esta manera, un mayor grado de abstracción. Quizá en algunas ocasiones, durante la búsqueda de la solución, de una interrogante relacionada con nuestra vida diaria o al intentar resolver problemas netamente matemáticos, nos hayamos encontrado un tanto desorientados sobre cómo afrontarlos, entonces nos asaltó la duda y surgieron las eternas preguntas. "¿Por donde empezar?, ¿Qué estrategia platear y seguir? Parte de culpa de esta dicha situación la tiene el hecho de no tener en claro los conceptos de razonamiento, pensamiento creativo, lógica deductiva, lógica inductiva , etc. El objetivo entonces del presente capítulo será estudiar los diversos conceptos y aplicarlos manejando criterios adecuados, desarrollando, además ejemplo necesarios para un mejor desenvolvimiento dentro del curso de razonamiento matemático y actividades en general. Recomendación final: Nunca olvides que el primer paso es comprender el problema, una vez logrado esto debe dar el siguiente paso:; idear cómo afrontarlo: cada problema debe ser un reto, para ello debe leer atentamente la parte teórica y rescatar las mayores observaciones de cada ejemplo. "Después de haber resuelto un problema, debes valorar más el proceso inductivo – deductivo y no tanto la respuesta, ello te permitirá salir airoso en cada problema siguiente? QUÉ ES ESTRATEGIA? Analiza atentamente las siguientes situaciones

INTRODUCCIÓN En relación con el estudio de la matemática en nuestra sociedad, encontramos aún algunos prejuicios: unos dicen, por ejemplo sólo las personas de gran S3RM31B

37

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ?

La palabra inducción proviene del latín "Inductio". ("in": en y "ducere": conducir); que es la acción y efecto de inducir. Es definido como un modo de razonar que consiste en sacar de los hechos particulares una conclusión general; así, la inducción desempeña un gran papel en las ciencias experimentales. Mas adelante podremos apreciar la forma de aplicar este modo de razonar en la resolución de problemas matemáticos.

Cinthia

Calcular la suma de las cifras de A

Carlos

3er Año Secundaria

2 A = (33..33  ) 100 cifras

En la primera de ellas una pelota ha caído por un estrecho orificio, no tan profundo, pero no al alcance de los brazos de Cinthia; él no dispone de palos ni varas para extraerla. Renzo, que estaba sacando agua, observa la escena y se pregunta: ¿Qué hará ella para sacar la pelota?. En el siguiente caso Carlos está frente a un problema que se ve muy laborioso: ¿Cómo resolverlo?. En ambos casos será necesario pensar detenidamente sobre la situación y elaborar un plan que les permita conseguir sus objetivos; dicho plan recibe el nombre de estrategia. La palabra estrategia proviene del riesgo "strategia" (generalato, aptitudes de general), que en el contexto de nuestro interés se entiende como el plan o técnica para dirigir un asunto o para conseguir un objetivo. En la primera situación, una posibilidad sería buscar ayuda, traer herramientas y "ampliar el hueco lo cual no está mal, pero sería muy trabajoso y mostraría que no pensamos mucho sobre el asunto y estamos procediendo de manera mecánica. Otra posibilidad sería echar abundante agua por el orificio, la pelota flotaría y podremos sacarla, lo cual sería una solución más razonada, ¿no crees?

¿QUÉ ES DEDUCCIÓN? La deducción es la acción de deducir, también es la conclusión que se obtiene de un proceso deductivo. La palabra deducir , proviene del latín "deducere" que significa sacas consecuencias. En el presente estudio veremos como a partir de casos generales llegamos a establecer cuestiones particulares que nos interesan para la resolución de problemas Podemos decir, figurativamente, que la inducción y la deducción son las dos cara de una misma moneda, estableciéndose como herramientas poderosas que han permitido el avance de la ciencia en general. ¿Cómo hizo Arquímedes para determinar, según él, el valor aproximado del número π y el cálculo de áreas re regiones sumamente complicadas para su época? ¿Cómo llegó Kepler a establecer sus tres famosas leyes? ¿De qué manera Galileo procedió a establecer la relación:

e=

gt 2 ? ¿Sospechas como llegó

Newton a dar la ley de la gravitación universal a partir de hechos comunes contemplados por todos nosotros, pero que él supo observar atentamente para enunciar tan importante teoría? y ¿Lobatcheysky, para crear una geometría euclideana? y ¿Einstein, con su teoría de la relatividad? ... En fin, gran parte de lo establecido hasta ahora por la ciencia se ha hecho en base a la experimentación, a la aplicación de la inducción, y deducción, y al proceso de ensayo – error con el estudio y el análisis de todas las consecuencias que se derivan de ellos, los cuales ha permitido el avance de la ciencia en todos los campos. MÉTODOS RAZONATIVOS: Lógica Inductiva y Lógica Deductiva

Para resolver la segunda situación, deberemos aplicar la inducción y para ello hay que tener una idea de lo que es razonamiento inductivo – deductivo, nociones que estudiaremos más delante. ¿QUÉ ES INDUCCIÓN? S3RM31B

1 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN ¿Cuántos palitos de fósforo conforman el siguiente castillo?

¿Cómo resuelvo este problema?

Al igual que Daniel, muchos estudiantes al empezar la resolución de un problema siempre se preguntan: ¿Cómo resuelvo este problema?, ¿por donde empiezo la resolución del problema?, ¿será éste el camino adecuado para su resolución?; indudablemente que para el ejemplo anterior, el contar uno por uno los palitos de fósforos del castillo no sería una resolución adecuada ya que sería muy tedioso y agotados realizar dicha operación. Siempre que se busca la solución de un problema, debemos buscar los caminos más cortos para llegar a ella, debemos analizar nuestros datos e incógnitas y al relacionarlos debemos encontrar una "estrategia" de cómo afrontar el problema, "ser creativos y analistas", para buscar esa relación de datos e incógnitas. Justamente, a partir de estas ideas ("tener estrategia", "ser creativo y analista") surgen dos herramientas importantes que nos permiten afrontar un problema ¿la lógica inductiva y la lógica deductiva Las lógicas inductiva y deductiva representan la base del razonamiento matemático, pilares sobre los cuales se constituye esta hermosa disciplina, en base a la observación y al análisis. LÓGICA INDUCTIVA (Inducción): Es un modo de razonar, en el que a partir de la observación de casos particulares, nos conduce la descubrimiento de las leyes generales, con la particularidad de que la validez de las últimas se deduce de la validez de las primeras. Así:

C A S => O 1

C A S => O 2

C A S => ...... => O 3

Casos Particulares Razonamiento Inductivo

S3RM31B

C A S O G E N E R A L

3er. Año Secundaria

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

37

El método del razonamiento inductivo es un métodos especial de demostración matemática que permite, en base a observaciones particulares, juzgar las regularidades generales correspondientes

LÓGICA DEDUCTIVA (Deducción) Es un modo de razonar mediante el cual, a partir de informaciones, casos o criterios generales, se obtiene una conclusión particular.

Ejemplo:

Así:

(15)2= 225 (35)2= 1225 Casos (85)2= 7225 Particulares (125)2= 15625 "Podemos concluir que todo número que termina en 5, al Conclusión elevarlo al cuadrado, General su resultado termina en 25" (...5)2 = ... 25

CASO 1 CASO 2

G E N E R A L

- Todos los hijos de la señora Ana son valientes

Hallar: E =abcd +mnpp +xyzw Sabiendo que:

bd +np +yw =160 Información General

ac +mp +xz =127

101 cifras

ab +mn +xy =124

Razonamiento Deductivo

Ejemplo 5: Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a MN , ¿Cuántos triángulos se contarán en total?

Conclusión Particular

Observación: En es parte se debe recordar las principales conclusiones básicas, ya aprendidas con anterioridad (criterios, generales de la adición, sustracción, multiplicación, división, etc.), las cuales ayudarán a verificar los casos particulares La deducción e inducción están íntimamente relacionadas. Generalmente, la deducción es el complemento de la inducción, y viceversa.

E = (333 ... 334 )2      

M

N

Ejemplo 6: Calcular la cantidad de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular

Ejemplo 1: La suma de los "n" primeros números impares es 900, por lo tanto, ¿cuál es el valor de "n?

Ejemplo 3 Calcular el valor de: E = 97.98.99.100 + 1

Ejemplo 2: Completar las cifras que faltan en la siguiente multiplicación, sabiendo que cada asterisco (*) representa un dígito cualquiera.

Ejemplo 4 ¿Cuántos apretines de manos se producirán al saludarse las 40 personas asistente a una reunión? Ejemplo 5: Calcular:

1 2 3

E =1111 333   ...1111   +222   ... 222  +333   ... 50 cifras

S3RM31B

98 99 100

Ejemplo 7: Hallar la suma de todos los elementos de la siguiente matriz 1 2 3 4 :

2

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Ejemplo 4:

Ejemplo:

Ejemplo 2: Calcular el valor de "E" y dar como respuesta la suma de sus cifras

50 cifras

mmm +nnn +ppp =2664

Razonamiento Deductivo

28 29 30

Ejemplo 3: Calcular m, n y p; sabiendo que: m ≠ n ≠ p y además:

CASO 4

Por lo tanto Pedro es valiente

50 cifras

Casos Particulares

CASO 3

- Pedro es hijo de la señora Ana

1 2 3

(x)

1* 8 * 3 0

: .

Ejemplo 1: Calcular el número total de palitos de fósforo que conforman la torre.

* 1* 3* 2 * 3* 3* 2 * * 2* 5

C A S O

Razonamiento Inductivo

3er Año Secundaria

2 3 4 5 :

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

3 4 5 6 :

4 5 6 7 :

... ... ... ...

9 10 11 12 :

10 11 12 13 :


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 9 10

10 11

11 12

12 13

... ...

17 18

18 19

3er. Año Secundaria

37

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

03. Calcular la suma de los términos de la veinte primeras filas en el triángulo numérico siguiente: F1 F2 F3 F4

Ejemplo 8: Calcular "n" y dar como respuesta la suma de sus cifras

S = 1 +3 + 5 +  7+9 +  ... ñ "n" tér min os

4

d) 10

A1 = 1x10 + 50 A 2 = 2 x99 + 49

1

9 9 9 16 16 16 16

n + nn +nnn  + nnnn   +... +nnn  ...nnn  =...xy9 17 sumandos

Calcular: E = (n – y )(x – y) Calcular: A20

Ejemplo 9: Calcular "E" y dar como respuesta la suma de sus cifras.

2

E =(333 333  ... 200 cifras

Ejemplo 10: ¿Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencias?

04. A una reunión asistieron cierto número de personas, si cada una fue cortés con los demás y en total se contaron 1275 estrechadas de manos (saludos), averiguar, ¿cuántas personas asistieron?

S2:

S3:

28 29 30

06.

TAREA DOMICILIARIA

S4: ...

Según el esquema mostrado, ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "INDUCCIÓN"?

01. Calcular la suma de cifras del resultado de:

M =[(a + +3)(a +  3)(a+3)...(  a + 3)( a   3) − 101 cifras

2 (a − 3)...(  3)(  a  a−3 )(a − 3)(a −  5)] 101 cifras

07.

02. En la figura, calcular el número total de "hojitas" de la forma indicada

I N N D D D U U U U C C C C C C C C C C C I I I I I I I O O O O O OO O N N N N N N N N N

08. Sabiendo que:

1

S3RM31B

2

3

49 50

51

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

4

abcd =d

Calcular:

a.b +d

F180 ÷ S137

Si: S1 = 1 S2 = 1 + 1 S3 = 1 + 2 + 1 S4 = 1 + 3 + 3 + 1 :

F1 = 2 F2 = 2 + 2 F3 = 2 + 4 + 2 F4 = 2 + 6 + 6 + 2 :

c

17. Halla la suma de las cifras del resultado de multiplicar " abc x 512 ", sabiendo que la suma de los productos parciales de esta multiplicación resulta 3496 18. Si: abc x a =428

11. Si:

abc x b =214

AA +DD +UU =ADU

abc x c =856

Calcular: E = A2 + D2 – U2 12. Reconstruir la siguiente operación de división e indicar la suma de cifras del dividendo, si cada (*) representa un dígito cualquiera

Calcular: E = (a x b x c)2 19. Si:

abcde +edcba =876 __ Y además: a < b < c < d < e Calcular: e = a2 + b2 + c2 + d2 + e2

* 2 * 5 * 3 2 5 * * * 1 * * *0 * * *9 * * - - * 5 * * * * - - -

¿De cuántas manera distintas se puede leer la palabra "ROMA" en el siguiente arreglo triangular?

R R O R R O M O R R O M A N O R

4

E= E =

¿Cuántas bolitas habrá en S12? 1 2 3

16. Si:

09. Si: Ab = (-1)n + 1 Sn = A1 + A2 + A3 + ... + An Hallar: S21 – S20 10. Hallar::

05. Dado el esquema: S1:

e) 5

15. Si:

A 3 = 3x98 + 48

4

3er Año Secundaria

20. Calcular le valor de: "2x + 5", si x ∈ Z+ y además 5(2x2 + 30) +

10(15 +x2 ) =420

13. Si: abc +cba =..... 8 abc −cba =..... 8

Calcular el máximo valor de: a + b + c 14. Si: N2 = ... 376, calcular : a + b + c Donde: 3 6 9 90

N +N +N +... +N

=...abc

a) 9

c) 7

S3RM31B

b) 8

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003

Raz matematico 3° 1b  
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