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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

1er. Año Secundaria 19

EXPRESIONES

20

MATEMÁTICA

1er. Año Secundaria

a. Racionales: Cuando sus variables están afectadas de exponentes enteros . 2 x 10 y 8 ; -1/3 a 7 b 2 ; c −3 – 3h 5 Ejemplo : 5x 2 ; b. Irracionales: Cuando sus variables están afectadas de radicales o de exponentes fraccionarios.

Una E.A. es un conjunto FINITO de constantes y variables ( números y letras ) con EXPONENTES RACIONALES y FIJOS, relacionados por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación .

3x2 + 5x4 y –

1 2

3

10

x 4

2

4x y z 7 xy 2 + x 7

2

c1 / 3

POLINOMIO :

4x2 – 5x + 1/2;

Ejemplo:  Si es una E.A. porque es FINITA.

1 – 2x + 3x + 4x + ..... 8

y ; −8 ab

Es una E.A. racional entera que consta de 2 o más T.A.

Ejemplo:

2

Ejemplo : x 1 / 2 ; 3

 No es una E.A. porque es INFINITA.  Si es una E.A. porque los exponentes son Q Racionales.  No es una E.A. porque sus exponentes son I Irracionales.

3

8

 Si es una E.A. porque sus exponentes son FIJOS.  No es una E.A. porque sus exponentes son Variables.

3x + y 3x + 5x

TÉRMINO ALGEBRAICO : ( T.A. )

11 z 4 −

5 2

3z −

7 3 m – 3

5m5 –

2m −

3m 2 ;

6z3 – 2

1 4

No son Polinomios: 8x – 3 + 5x2 – 6 + x

5x 4 + x 3 −

1 x4

+

1 x3

1 + x + x2 + x3 + x4 .......

Tiene exponente entero negativo

Los denominadores no deben tener variables

Debe tener una cantidad finita de términos.

Es una E.A. , separado por los signos + y 5a3 b2 y4 mnxyz 20 2a + 5m – 3x3 + y

Ejemplo :

es una T.A. son 4TA.

Cuando los exponentes naturales están ordenados de izquierda a derecha, se dice que es un POLINOMIO ORDENADO. VALOR NUMERICO : (V.N.)

Elementos : -3a 2 Signo

Exponente Parte literal

Coeficiente

Son aquellos que tienen la misma parte literal y los mismos exponentes en sus respectivas letras.

7 4 x ,– 2

Así:

Hallar el V.N. de: S = ( x – 1 )2 + ( 2y – 1 )2 + ( z – 1 )2

Sabiendo que : x = – 2, y = – 1 y

TÉRMINOS SEMEJANTES : ( T.S. )

Ejemplo : – 2x 4 , +

Es el número real que resulta al reemplazar valores dados de las variables en un determinado polinomio y efectuar las operaciones indicadas .

2

z=–3

Solución: S = (– 2 – 1 )2 + (– 2 – 1 )2 + (– 3 – 1 )2 S = 9 + 9 + 16

x4 , x4

( - 3 )2 + ( - 3 )2 + ( - 4 )2

S = 34

Reducción de T.S. : Se suman o restan los coeficientes y se escribe la misma parte literal . Ejemplo : 8x4 + 2x4 – 6x4 = 4x4 Clasificación de E.A. S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

Ejemplo : S1MA24B

Si: P(x) = 3x4 – 2x3 + x2 – x – 2, hallar P( - 2 )

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Solución :

1er. Año Secundaria 19

20

MATEMÁTICA

1er. Año Secundaria

Reemplazamos a x = - 2 P (– 2 ) = 3 (– 2 )4 – 2 (– 2)3 + (– 2)2 – (– 2) – 2 PROBLEMAS RESUELTOS

= 3 ( 16 ) – 2 (– 8 ) + ( 4 ) + 2 – 2 = 48 + 16 + 4 P (– 2) =

68

01. Calcular el valor de “a” si se sabe que semejantes.

t1 = 2

11

xa

– 6

y

t2 = 0,3 x9 y son términos

Solución : Al decir términos semejantes, sus exponentes son iguales. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO : ( G.A. ) Se calcula cuando los exponentes de sus variables del monomio. Ejemplo 1 :

5x2 y7; GA = 2 + 7 = 9; monomio de noveno grado.

Ejemplo 2 :

M( x,y ) = 3 2 a2 x3 y2 ¡Cuidado! Aquí “a” no es variable  GA : 3 + 2 = 5; monomio de quinto grado.

Así : a – 6 = 9

a = 15

02. Si F(x) = 5x2 + 2x – 4 Calcular : E =

F ( 1 ) + F (−1) F ( 0 ) − F (−1) F ( 1 )

Solución : Calculamos :

F (1) = 5 (1)2 + 2(1) – 4 = 5 + 2 – 4 = 3 F (–1 ) = 5(– 1)2 + 2(–1) – 4 = 5 – 2 – 4 = – 1 F (0) = 5 (0)2 + 2 ( 0 ) – 4 = – 4

Reemplazando :

E=

GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO : ( G.R. ) Está dado por el exponente de la variable referida. Ejemplo 1 : Hallar GRx en: 5x3 y7 z4 de 3er. Grado. GRz : es de 4to grado, etc.

3 + (−1) = − 4 − ( − 1 )( 3 )

2 2 = −4 +3 −1

E= –2

GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO : ( G.A. ) Está dado por el MAYOR de los G.A. de sus términos :

Solución :

Ejemplo : x5 

5 ° grado

+

5 x 2 y6 −     8 ° grado

Ejemplo : P ( x,y ) = 5

y3 

3 ° grado

El mayor de los 3 grados es 8. Luego el GA de todo el polinomio es 8

Se suman todos los exponentes y se igualan a 9. GA = m + 2 + 4 9 = m+ 6

2

m = 3

a 2 x 4 y 0,3 bx 8 y 6 +1/7 b 8 x 3 y

Como la únicas variables son “ x ” y “ y ”, se tomará el de mayor grado.  GA = 8 + 6 = 14. Grado Relativo de un Polinomio: ( G.R. ) Está dado por el MAYOR de los exponentes de la variable referida. Ejemplo : 3x 4 y 3 - 5x 3 y7 + 2x 5 y - y 4 S1MA24B

03. Calcular el valor de “m”, si se sabe que el polinomio 3 7 x m y 2 z4 es de noveno grado.

04. Si el polinomio P(x) es de octavo grado, calcular el valor de “ b ”. 7 xb + 5 + 2xb – 0,2xb + 6 P(x) = Solución: Determinamos los grados de cada término : Del 1º : b + 5  Del 2º : b 

GRx = 5º grado GRy = 7º grado

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

El mayor de ellos es b + 6 Luego: b + 6 = 8

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


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Del 3º : b + 6 

c) Homogéneo

d) Mixto

a

Ejemplo 5:

Hallar “a”, si GRx = 6 en : P(x,y) = 0,25x – 2x

Solución :

Por dato el grado relativo de x es 6.

Luego :

GRx = a + 1 = 6 → a = 5

e) N.a.

a+1

–y

01. Dado: M =

9

Se suman y/o restan los coeficientes y al resultado se le coloca la misma parte literal .

– 5 – 8 + 6 – 1 = - 8  – 8x3

Ejemplo 2:

Efectuar. A + B + C si: A = 7x3 – 2x + x2 + 6; B = –3x2 – x3+8;

04. Si los monomios a) – 4

C= x –x3 – 16 Se ordenan los polinomios y se reducen los T.S. 7x3 + x2 – 2x + 6 –x3 – 3x2 + 8 – x3 + x – 16 5x3 – 2x2 – x – 2 Ejemplo 3 : Efectuar: P( x ) – Q( x ) ; si P( x ) = 8x7 – 5x2 + 6 – x4 ; Q( x ) = 3x2 – x – 2x4 + 7x7

c) 8

d) – 8

b) 3

c) 4

b) 3

e) 6

d)7

e) 9

1 a+3 8 x y ; - 3x6 yb – 2 son semejantes. Hallar: 2a3 – 5b 2 b) 4

c) 1

d) – 32

e) N.a.

05. El polinomio R es homogéneo y de octavo grado absoluto. R = 5a8 – 3abx c2 – ay b3 c2 – a2 b2 cz Hallar el valor de : 2x – 3y + z a) 5b) – 5

c) 10

d) 8

e) N.a.

06. Simplificar la expresión : – {2a – 3b – [– 4a – b + (5a – 7b) – (a – 7b) ] + 3a} y reemplazar: a = 2 y b = -1, el resultado será : a) – 8 b) – 10 07. Hallar el V.N. de : M= a) 3/8

c) – 12

(a 2 − b 2 + c 2 )2 a 4 − b4 − c4

b) – 3/8

d – 14

e) – 16

; si : a = 1 ; b = 2 , c = 3

c) 3/4

d) – 3/4

e) 6

08. Si los monomios : x2n – 3 y3m + 8 ; x5 ym – 10 son semejantes, calcular : n2 + 2m a) – 3

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

d) – 5

c) 5

Solución : Ordenando y reduciendo: A Q( x ) se le cambia de signo. 8x7 + x4 – 5x2 + 6 –7x7 – 2x4 + 3x2 + x x7 + x4 – 8x2 + x + 6

e) N.a .

03. Si el polinomio E(x) es de octavo grado, calcular el valor de “m” si : E(x) = 4xm+3 + 3 xm+5 – 7xm a) 1

Solución :

– 5x4 y9

02. Calcular el valor de “a”, si se sabe que el monomio 5m a n2 p3 es de noveno grado.

A. Adición y Sustracción.-

Efectuar. – 5x3 – 8x3 + 6x3 – x3

9

f(2) + f(−3) , si f(x) = 3x2 + x – 3, hallar M. f(0 ) − f(1)

a) 2b) 4

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Ejemplo 1:

4

PRACTICA DE CLASE

a) 2

S1MA24B

9

Solución : - 7x4 y9 + 2x4 y9 =

Solución : Es homogéneo porque todos sus términos son de 3er. grado absoluto.

Solución :

1er. Año Secundaria

Ejemplo 4. Efectuar. (–7x y ) – (– 2x y )

05. Dado el siguiente polinomio x3 – 3 x2 y + 3 x y2 – y3 es un polinomio : b) Irracional

MATEMÁTICA 4

b=2

a) Heterogéneo

20

S1MA24B

b) 2

c) 3

d) – 4

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

e) – 2


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1er. Año Secundaria 19

09. Si 6x3 y2n + 10 xn y5 es un polinomio homogéneo, calcular a) 1

b) 2

c) 3

4

d) 4

b) 7x – 11y

c) – 7x + 11y

03. Si : P =

e) 5

d) 10x – 11y

b) 5x + 3y

c) 6x + 2y

d) 7x - y

e) N.a.

e) N.a.

12. Sumar : 4 a2 – b + 2c ; 7b – 6 a2 – 2c a) – 2a2 + 6b

b) – 3a2 – 6b

c) – 4a2 + 3b

d) a2 – b

1er. Año Secundaria

2 2 1 2 1 3 2 3 b + 3c + 7m ; Q = – 7a2 + b– c ; R= c a a 7b + 2 5 3 3 7 5

Hallar : P – ( Q + R )

11. Sumar : 4x - 5y ; 2x + 7y a) 4x - 2y

MATEMÁTICA

8n .

10. Al simplificar: – x – { –3x + [ 2y – ( 6x – 5y ) – 6y + ( x – 2y ) – 7y ] – 3y } a) 7x + 11y

20

e) N.a.

37 92 a) 37a 2 + 92b + 89c + m b) a+ c – 7c 6

a) 29a – 13b2 – c

29 13 2 b) a– b – c c) c 4 3

15

37 2 92 a + 15 6

89 b+ c + 7m 35 d) a2 – b – c + m

e) N.a.

04. Si P = 2x – 5y ; Q = – 4 [ 3 ( x – 2y ) – 5 ( x + y ) ] ; R = 2x + 4 { [ x – 3 ( y – x ) ] } Hallar : P – Q – R a) 4x – 7y

13. Sumar : 1/4 a – 5b2 ; 7a + 2/3 b2 – c

c)

b) 2x – 3y

c) 24y – x

d) – 24x – 37y

e) N.a.

05. Si P = 3x – ( 5y + 3 ) ; Q = 2x + 3 ( y – 7 ) , R = – 8x – 10 ( y – 9 ) Hallar : P – ( Q – R )

d) b2 – c

e) N.a.

d) m + n – p

e) N.a.

a) – 7x – 18y + 108

b) 7x – 8y +10

c) – 7x + 18y

d) 7x + 18y – 100

e) N.a.

14. Sumar : 7m – 4n + 2p ; 2m + 7n – p ; - 4m – 8n + 5p a) 3m – 3n + 6p

b) 4m – 4n + 6p

c) 5m – 5n + 6p

15. Hallar: 2x – 3y – ( 3x + 2y ) a) 5x – 5y

b) x + y

c) 5x – y

d) – x – 5y

e) N.a.

B. Multiplicación y División de Polinomios .Se procede de la siguiente manera : 1. Se multiplican o dividen los signos aplicando la “ LEY DE LOS SIGNOS ”. - Signos iguales da producto o cociente positivo y - Signos diferentes da producto o cociente negativo Así: (+ )(+ )

(+ )(-) +

(-)(-)

(-)(+ )

(+ ):(+ ) (-):(-)

(+ ):(-) -

+ (-):(+ )

TAREA DOMICILIARIA 2. Se multiplican o dividen los coeficientes . 3. En la multiplicación se suman los exponentes de letras iguales y en la división se restan.

01. Restar : - 4 a – 5b – 6c de 5 a - 2b + 7c a) 9 a + 3b + 13c

b) 9a + b – 3c

c) 9ª – 3b – c

d) 9a – 3b – 13c

e) N.a.

Ejemplo 1. Multiplicar : ( 4m ) ( 2m2 + 5m – 3 )

02. Restar : 1/2 a + 2b – 3c de a + 1/5 b – 2/3 c

1 a) a + 9b 7c 2 S1MA24B

1 b) a - 9/5b 7/3c 2

Así:

Solución : 4m ( 2m2 + 5m – 3 ) = 8m3 + 20m2 – 12m c) a – b – c d) ce) N.a.

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

Ejemplo 2. Multiplicar : (– 3x2 ) ( 2x – 5xy + y2 ) S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


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Solución : (–3x ) ( 2x – 5xy + y ) = – 6x + 15x y – 3x y 2

2

3

3

2

20

MATEMÁTICA

2

6 3 2  1  6 x =  x  :  x  = x 7 2 7 7    

3  1 2 3  1 2 x − y  x + y 5 2  5 2  

Ejemplo 3. Multiplicar :  Solución :

1er. Año Secundaria

Multiplicamos cada término del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, así ordenamos los términos semejando y reducimos, obteniendo el resultado final.

Respuesta : −

 1   = 8  2 

( 4x ) : 

4 2 6 x + x+8 3 7

Ejemplo 7. Dividir : ( 1 + 2x + 4x2 ) : (–1 +x ) Solución : Se ordenan los polinomios en forma DECRECIENTE y se aplica el siguiente proceso: 2 x -1 4x + 2x + 1 a. Se divide el 1er término del dividendo ( 4x 2 ) entre el primer término del divisor ( x ) cuyo resultado es ( 4x ). x -1 4x 2 + 2x + 1 4x b. El 1er. término del cociente ( 4x ) se multiplica por el divisor y lo que se obtiene se resta del dividendo y luego se baja el siguiente término del dividendo ( +1 ).

Respuesta :

x -1 4x 2 + 2x + 1 4x - 4x 2 + 4x 6x + 1 c. Se divide el 1er. término de esta diferencia ( 6x ), entre el 1er. término del divisor ( x ) y se baja el término que sigue : 2 x -1 4x + 2x + 1 2 4x + 6 - 4x + 4x

1 4 9 2 x − y 25 4

Ejemplo 4. Dividir : 20a4 : (– 5a ) Solución :

6x + 1

20 a 4 = – 4 a4 – 1 = – 4 a3 − 5a

d. Se repite el paso b, o sea : 4x 2 + 2x + 1 - 4x 2 + 4x

Ejemplo 5. Dividir : (– 48a4 b5 ) : (– 8a3 b2 ) Solución :

− 48 a 4 b 5 − 8a 3 b 2

6x + 1 - 6x + 6 7

= 6 a b3 Luego : Cociente : 4x + 6 Residuo : 7

2 3 3 2 1 Ejemplo 6. Dividir : (4x – x + x ) : ( x) 3 7 2 Solución :

Se ordena en forma DESCENDENTE el polinomio dividendo y divisor y luego se procede como el caso anterior.

 2 3 3 2  1   2  1   − x + x + 4x  :  x  =  − x 3  :  x  = 7  3  2   3  2 

S1MA24B

x -1 4x + 6

-

4 2 x 3

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

1  1 2 1 2 1 a − b  :  a + b 4 3  4  3

Ejemplo 8. Dividir : 

Solución : Se ordenan los polinomios, dejando espacios donde corresponda, así :

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1/4 a 2

1er. Año Secundaria 19

0ab - 1/9 b2

-1/4 a 2 - 1/6ab

a) 10 + 14x – 12x2 d) 12x2 –10x + 6

0

a) 4x4 +10x3 – 7x2 + 11x – 3 d) 4x4 + 11x

c) – 15x2n – 1 y

02. Efectuar : (– 2mn ) (– 5mnp ) c) 10n3

d) 10p

e) N.a.

d) – 10

e) N.a.

03. Efectuar : ( 5a2 b3 c4 ) ( - 2ab2 c3 ) ( a5 b3 c ) a) 10 a4b4c4

b) - 10 a8b8c8

c) – 10abc

20 abc 30

b)

05. Efectuar : (–3 x

n+1

a) 30 y4+n

2

2 2 2 2 a b c 3

y )(5x

n-2

y

2+n

b) 30 x4yn

2 3 3 3 a b c 3

-2n+1

d)

20 4 4 4 a b c 30

e) N.a.

d) – 30

e) N.a.

6 3  1  2 2 m  m − m +  = 3 5 7 4    

2 2 2 1 m − m + 15 7 4 2 3 2 2 1 d) m − m + m 15 7 4

a) 3m3

a) – 15 a S1MA24B

2n – 2

+3a

c) – 3m3n

d) – 3m3n

e) N.a.

c) 8 an+1 b5+n

d) 8 ab

e) N.a.

b) – x2 + 5x – 3

c) x2 – x + 3

d) x4 – x3

e) N.a.

3 2 2 3  1  x − x + 4x  :  x  3 7  2 

14. Efectuar : 

a)

2 3 2 1 m − m + 5 7 4

b) 8 an bn

13. Efectuar : ( 12x + 4x3 – 20x2 ) : (– 4x )

4 6 x+ 3 7

b)

4 2 6 x + 3 7

c)

4 3 6 2 x − x + 8x 3 7

d)

4 2 6 2 x − x + 8x 3 7

N.A. c)

15. Efectuar : ( 2an + 1 – 4an – 1 ) : ( 2a2 ) a) an+1 – 2an+3 d) a2 – 8an

b) an – 2a2n e) N.a.

c) an – 1 – 2an – 3

e) N.a.

07. Efectuar : ( - 3an) ( 5a4 – an+2 + 4 ) n-4

b) 3n3

a) – x2 – 5x + 3

06. Efectuar : 

b)

c) 30a3 - 44a2 + 10a + 4

 18 5 2   3 2  m n  : − m n   10   5 

)

c) 30 xnyn

a) 2m3 – 2m2 + m

b) 30a3 + 40a2 e) N.a.

11. Dividir : 

a) 8 an+1 b5-n

c)

) (–2 x

c) 4x4 + 10x3

12. Efectuar : ( 40 an+3 b4 ) : ( 4 a2 bn-1 )

 2 2   10  a b  ab 2 c 3  5 6    

04. Efectuar : 

a)

b) 4x4 - 3 e) N.a.

e) N.a. a) 30a3 – 44a2 + 4 d) 30a2 – 44a + 10

b) 10m2

c) 10 – 12x2

10. Efectuar : ( 3a – 2 ) ( 5a + 1 ) ( 2a – 2 )

d) – 15x2n – 1 yn – 4

2

a) 10m2n3 p

b) 10 – 14x e) N.a.

09. Efectuar : (4x2 – 2x + 3 ) ( x2 + 3x – 1 )

01. Efectuar : (– 3xn + 1 y2 ) ( 5xn – 2 y2+ n ) b) – 15x2n y4

e) N.a.

08. Efectuar : ( 5 – 3x ) ( 2 + 4x )

2

PRACTICA DE CLASE

a) – x2n yn

1er. Año Secundaria

d) –15a + 3a

1/2 a + 1/3b

1/6ab + 1/9b2 0

MATEMÁTICA n

1/2 a - 1/3b

- 1/6ab - 1/9b

20

b) – 15 a

TAREA DOMICILIARIA n+4

2n+2

+3a

– 12a

n

4

2

c) –15a + 3a – 12

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

e)


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

1er. Año Secundaria 19 5

2

3

3

01. Efectuar y hallar el cociente y residuo de : ( 21x – 15x + 14x – 28 + 41x ) : ( 2x – 5 + 7x ) a) C = 3x2 + 5 ; R = 4x – 3 c) C = x2 – 3 ; R = 0 e) N.a.

b) C = 3x + 5 ; R = 4x + 3 d) C = 3x3 + 5x2 ; R = 4x2 – 8

b) –1

2a + b

1er. Año Secundaria y

a+2b

tiene : G.A = 15 y GR(x) = 8

c) 2

d) –2

e) 3

02.¿De que grado es la expresión? E = 2xy + (x – y) 2 – x2 – y2

a) C = 4x2 + x – 12 ; R = 0 c) C = 4x2 + 8x – 3; R = 0 e) N.a.

a) 2

b) C = 4x2 - 9x + 12 ; R = - 14 d) C = 4x2 + 9x – 5 ; R = 14

a) 7x2/5 + 2x1/5 + 1 d) 7x2/5 + 2x1/5

b) 7x2/5 - 2x1/5 + 1 e) N.a.

a) 3 c) 7x2/5 + 2x1/5 – 1

04. Efectuar : ¿Qué valor debe tener “m” ? para que el polinomio: 2a 3 + 2a2 b – ab + m sea divisible por a + b b)– ab

c) 3ab

d) b2

e) – b2

05. Calcular el valor de m + n + p, sabiendo que el resto de dividir: 10x6 + 19x5 – 8x4 + 13x3 + mx2 + nx + p entre 5x3 + 2x2 + 3x + 5, es : 3x2 + 4 b) 18

c) 28

d) 30

b) 1

c) 0

d) Indefinido

e) N.A

03.Dado el polinomio: 2 x a +2 y 2 −3 x a +1 y b + 5 2 x 6 y b −1 si su grado absoluto es 10 y su grado relativo a “y” es 4. Hallar su grado relativo a “x”

03. Efectuar : ( 21x3/5 + x2/5 + x1/5 + 1 ) : ( 3x1/5 + 1 )

a) 16

M (x ; y ) = 5x a) 1

02. Hallar el cociente y residuo de : ( 3x – 2 + 4x3 – 5x2 ) : ( x + 1 )

a) 2b2

MATEMÁTICA

20

e) 32

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

04.Hallar el valor de “a” para el grado del polinomio: 3 x a +1 y − 4 a +2 x a y − 5 x 2 a) 7

b) 5

c) 6

d) 8

e) 4

n

1  05. Hallar el coeficiente del monomio 9m   x 3m +2 n y 5m −n 3  si su G.A es 10 y el grado relativo a “a” es 7 a) 1

b) 2

c)

1 27

d) 13

e) 9

06.Se tiene los polinomios P y Q determinar el grado absoluto de Q si se sabe que el grado absoluto del polinomio P es 16 y el menor exponente de “y” en el polinomio Q es 4 P =5x m +11y n −3 −3x m +7 y n +2 +7 x m +2 y n +1 Q = 4x 2 m +6 y n +2 −3x 2 m +2 y n +7 −5x 2 m y n +10

a) 20

b) 21

c) 22

d) 24

e) N.a.

07. Si G.P (x) = 3 ∩ G.Q (x) = 4 ¿Cuál es el grado de la expresión? E =

[

 P 2 Q + PQ 2  

[P3 Q2

+ P2

]3 (PQ ) 2  2 Q 3 ] PQ 2

2

a) 46 b) 47 c) 48 d) 49 e) 50 08. Marque la alternativa que representa una expresión algebraica racional fraccionaria EJERCICOS PROPUESTOS N° 1 01. Calcular (a – b) si el monomio :

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a)

1er. Año Secundaria 19

 1    x2 

−1

b) 

2x + 2 y

c) 8

1

d) 3x 3 −2 y 4

x 16

2x

b)

3

−3y

− 1

(

x − y

)

2

c)

1 1  +  y x

−1

d)

e) N.a.

10. ¿Cuál es el grado del polinomio? P (x) =x n −1 +x n −3 +x 5−n Si se sabe que tiene tres términos a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

a) 103 +41xy +19xy 5 d) −10x +13xy −19 xy 03. Efectuar: a) 4x

a) 2a – 5ab – 1

S1MA24B

m7

+

14 m . m 12

m4. m3

b) −26x 3 +13xy +19 xy 5

a) a

c)

e) N.a.

13 m 3 . m 10 m5. m2

b) 6m33 + 14m5– 13m20 e) N.a.

c) 6m6 + 14m0 – 13m23

E = [ x + { − ( x + y ) − [ − x + ( y − z) ] − y} ] − 2y + 2z b) – x + y + z

c) x + y – z

d) – x – y – z

e) N.a.

M = −{[a + a + .... + a ]− na − nb − 3 nc − c + (− b − b... − b) + (c + c + ... + c )} n veces

(n - 1) veces

b) b

c) c

d) an + b

(3n - 1) veces

e) an – c

11. Al multiplicar los polinomio : 5

3

e) 26 x −13xy −xy

5

a) 2

− 8y − { − 7 y[ ( 3y − 7 x ) − ( 2y − 8x ) ] + 5x} b) 16y – 4x

2

d) 7x – 12

e) –5

6m 5 . m 8

B = −6x 3 +9xy −3xy 5

c) –4x

d) 20x

b) –2a + 5ab+1

b) –21

c) –12

d) –3

e) 6

12.Completar la siguiente tabla del producto de dos polinomios. x

e) –y + 2x

-3

2

4

-8 1

2

c) 2a + 5ab+1

2

d) – 2a -5ab – 1

e) N.a.

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

-1

-4

04.De a2 sustraer la suma de 3ab –6 y 3a2 – 8ab + 5 2

c) 6d) 7

a) x – y + z 10. Reducir :

−10x 3 −13xy +19xy 5 3

b) 5

09. Simplificar: c) 2x 2 +11x + 2

c) 14x

e) a + 2b

Q = 5x 2 − 3( x + y ) Si : P – Q se reduce a 6 (x + y). Hallar el valor de c

a) 7m6 d) – 6m6

01. Sustraer : 3x + 5 de 2x 2 −8x + 3

02.Dadas las expresiones : A = 4x 3 −7 xy −5xy 5 Hallar el equivalente de 2A +3B

b) 14x – 11

08. Simplificar:

e) Hay dos respuestas

b) 2 x 2 −11x − 2 e) − 2x 2 +11x + 2

− [ − 3a − { b + [ − a + ( 2a − b ) − ( − a + b ) ] + 3b} + 4a ]

07. Dados : P = ( c −1)x 2 + 3x + 3y

a) 4

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 2

a) x 2 +11x + 2 d) 2x 2 −11x + 2

1er. Año Secundaria

05. Simplificar la expresión:

a) 7x – 11

09. Marque la alternativa que represente una expresión algebraica racional entera? 3

MATEMÁTICA

a) –a – 2b b) a – b c) 2a + b d) a – 2b 2 06. Reducir : P = (c −1)x ( 2x −3) −( 2x +1)( x −4 ) +11

e) 1 + 2 2 3

a)

20

2

Señalando la suma de los coeficientes positivos del polinomio producto. S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 12

b) 22

1er. Año Secundaria 19 c) 19

d) 25

e) N.A

20

MATEMÁTICA

21. Hallar la suma de coeficientes del dividendo de la siguiente división efectuada por el método de Horner:

13. Completar la siguiente del producto de dos polinomios y señale l asuma de los coeficientes del polinomio producto. x 1

2

-3

1er. Año Secundaria

8

a a c d

4

-5

-1 -4

b) –3

c) 16

d) –9

14. Al multiplicar los polinomios:

a) 1

e) 5

b) 2

b) 4

* e) N.a.

15. Hallar la coeficiente del termino de grado 5 del producto total en : 3x 5 − 1 + 2x 4 3 + 4 − 2x 2 x2 +1

(

a) 12

)(

b) 13

)(

c) 17

b) 3

c) 4

) e) N.a.

a) 2

b) 3

a) 2

b) 3

c) 4

) (mx 2 d) 6

(

)

a) 3025 b) 3045

c) 3065

d) 3410

) (x 24

b) 420

c) 70

b) 4

c) 5

*

*

d) 6

*

16

e) 6

e) –4

27 x 425 + 81 x 424 − 5 x − 19 x+3

)

+ 1 .... a) –4

b) –3

c) –2

d) –5

6x 5 +5x 4 y −26x 3y 2 +33x 2 y 3 −24xy 4 +6 y 5 entre 2 x 2 −3xy +y 2

a) xy – y2

b) xy4 – y5

c) x4y – y5

d) x – 1

e) 500 26. Calcular m + n de manera que el polinomio:

S1MA24B

e) 0

25. Dar el residuo de la siguiente división :

e) 385

d) 700

-15

24.Hallar el resto en:

20.Indicar el producto de los coeficientes de uno de los factores de: (4x + 1)(12x + 1) (3x + 1) (2x + 1) – 36 a) 42

* *

x 4 − x 3 − x + n deja un residuo igual a 10 x−2

e) N.a.

)(

8

23. Calcular el valor de “n” si la división :

a) 2

(x − m )

18. Hallar el grado absoluto del producto total en x 22 + 1 x 23 + 1 10 factores en total

*

d) 5

e) N.a.

− 3x + 1

e) 1

6

-4

c) 4

17. Hallar “m” para que en el producto resultante, el término de grado 3° tenga como coeficiente 7

+ 3x 2

2 5

Hallar la suma de coeficientes del cociente :

d) 19

d) 6

(mx

*

*

16. Hallar “m” para que en el producto resultante, el termino de grado 4° tenga como coeficiente 21. a) 2

j

22. En el siguiente esquema por Ruffini :

4

d) 7

1

g h 4 –3 6 1 – 6 –4 – 2

d) –2

A(x) = x2 + bx + c B(x) = x + 3

c) 5

f 2 3

3

c) 3

Se obtiene : P ( x ) = x 3 + ax 2 + bc + c Hallar el valor de : a + b – c a) 6

e 2

2

6 a) 6

6

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

e) y4 – y5


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1er. Año Secundaria 19

20

MATEMÁTICA

1er. Año Secundaria

x 4 + 2x 3 − 7 x 2 + mx + n sea divisible por x 2 − 3x + 5 a) 30

b) 31

c) 32

27.Calcular el valor numérico de : f (x) = x5 + (3 2 - 2) x3 + 2 Para x 0 a) 1

b)

d) 33

e) 35

2 -1

Resolución de una ecuación Resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones, es: “Hallar las raíces” que satisfacen a la ecuación o asegurar que no existen raíces.

2 -1 2 + 1c) 2

d) 2

2

e) 4

Ejemplo: 2x + 7 = 2x + 5 no tiene raíces ya que para cualquier valor de “x” el 1° miembro es diferente al 2° miembro.

28.Calcular el valor de b – a si la división:

x 7 + ax + b x 2 + 2x + 1 a) –13

b) –1

es exacta CLASES DE ECUACIONES:

c) 1

d) 0

e) -35

29. Encontrar el residuo de la siguiente división:

x4

5n

+ x4

3n n

b) 3

I. De acuerdo a la naturaleza de los términos de la ecuación. 1. Ecuación algebraica: La ecuación con una incógnita, se denomina algebraica, si ella se puede reducir de modo que su primer miembro sea un polinomio respecto a la incógnita y el segundo miembro cero. Las formas en que se presenta la ecuación algebraica son:

n

+ x4 + 2

x4 + 1 a) –1

Definición Se llama así a la igualdad que contiene por lo menos una variable a la cual llamaremos incógnita. Los valores de las incógnitas que satisfacen a la ecuación dada se llaman soluciones o raíces de la ecuación.

; n ∈ IN

A. Racional : La incógnita no está afectada por radical.

c) 4

d) 15

e) N.A

* x4 – 17x2 + 16 = 0

−3 * = 5x2 + 1 x

30.Calcular el residuo en la división:

[ ( x + 2) a) 5x –3

7

b) 2x + 9

+ 3 ( x + 2)

5

+ x +1

c) 5x + 9

( x + 1) ( x + 3 ) d) 9x + 5

Ecuación de 4° grado. 

5x3 + x + 3 = 0 e) Imposible

Ecuación de 3° grado

x ≠ 0 el denominador debe ser ≠ 0 B. Irracional : La incógnita aparece afectada por radical. *

x +3 = 11 → la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero.

x+3>0 → x ≥-3 *Es importante anotar la diferencia que existe en la resolución de las dos ecuaciones que se proponen a continuación. 1. y2 = 4 (Ec. de segundo grado por lo que debe tener dos raíces). Al extraer raíz cuadrada a ambos miembros debemos tener cuidado de considerar el doble signo: y2 = 4 S1MA24B

ECUACIO

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

 y= ± 4

y=± 2

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


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1er. Año Secundaria 19

20

2. y = 4 ecuación de primer grado por lo que sólo tiene una raíz. Cuando el radical aparece en una determinada ecuación, se debe respetar el signo que le antecede, pero cuando necesitamos extraer raíz cuadrada como técnica de solución de un problema, entonces consideraremos los dos signos, por lo que: y=

4

y=2

y la ecuación:

1er. Año Secundaria

7x x 26 +2 = + 5 15 3

Son ecuaciones equivalentes ya que ambas se satisfacen para x = 5. Teoremas de Equivalencia de Ecuaciones: Teorema 1 Si a ambos miembros de una ecuación les sumamos un mismo número o un mismo polinomio, la nueva ecuación es equivalente a la inicial.

Luego x +1 = –2, sería absurda, ya que el signo que precede a la raíz, es positivo, luego en el segundo miembro debería aparecer una cantidad positiva y no negativa como la que aparece.

Observación : Si ambos miembros se suma o resta una función arbitraria, la ecuación no es equivalente a la inicial. La ecuación: x2 – 12 = 2x + 3 tiene por raíces:

2. Ecuación Trascendente: Cuando presenta expresiones trascendentes ax + 7 = 2 ; cos (2x) = –1 ; log x + 1 = 0

x = 5 ; x = -3; sumando a los 2 miembros:

II. De acuerdo a sus coeficientes: Coeficiente es el factor que acompaña a la incógnita.

x2 – 12 +

1. Numéricas: 2x2 – 3x + 7 = 0 (los coeficientes son: 2, –3 y 7) 2. Literales: ax2 + bx + c = 0 (los coeficientes son: a, b y c)

MATEMÁTICA

2 ; obtenemos: x −5

2 2 = 2x + 3 + x −5 x −5

Para lo cual x = 5 no es solución: Ecuaciones de 1° grado con una incógnita Toda ecuación de 1° grado con una incógnita, puede reducirse a la forma: ax + b = 0 (al primer miembros se le denomina función lineal).

III. De acuerdo a su solución:

Se observa que:

1. Compatibles: Son las que admiten solución. * Determinadas: Tienen un número finito de soluciones. * Indeterminadas: Tienen un número infinito de soluciones.

1° 2° 3° 4°

Si: a ≠ 0 la raíz es -b/a Si: a = 0 y b ≠ 0 la raíz no existe Si: a = 0 y b = 0 la raíz es un número cualquiera (ecuación indeterminada) Si: a ≠ 0 y b = 0 la raíz es cero.

2x + 3 = 2x + 3 es indeterminada. 2. Incompatibles.Son las que no admiten solución: x = – i ; 2x + 1 = 2x + 3 ECUACIONES EQUIVALENTES:

Dos ecuaciones con las mismas incógnitas se llaman equivalentes si todas las soluciones de la primera ecuación son soluciones de la segunda y viceversa.

PRACTICA DE CLASE 01.

3x + 4 (x – 3) = 4 (x – 4) + 2

02.

5x +

06.

x  3 − 4  = 7 (x – 1 ) 3 

07.

2 x x+ =x–4 3 3

Ejemplo 1 La ecuación: S1MA24B

3x + 3 = 8x - 22

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

3 (x – 4) = 0 2

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

2 (x+5) = x 3

03.

8x +

04.

8 + 9 (x – 3) =

05.

x  x  4  − 3 = 3  + 2  2 3    

x 2

1er. Año Secundaria 19 08.

  0, 2 (x −3) =2, 3 (4 −x)

09.

3 (x + 4) = 0,2 (x – 1) 4

10.

2 1  x  2 (x – 3) =   − 4  3 3  2 5 

TAREA DOMICILIARIA 01.

3 (x – 4) = 5 (x + 3)

02.

8 (x+ 4) = 3 (x – 9)

03.

2 1 4  4 x +  = x −  3 2 5  3

04.

 2,6 (x +3) = 1,5 (x + 1)

x  − 0,5  2 

2,3 x +9 (x – 1) = 5 + 2 

05.

20

MATEMÁTICA

Ejm:

1er. Año Secundaria

x+ y = 5  x− y= 1

RESOLUCION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES Existen 3 métodos de Resolución: El de Sustitución, el de Igualación y el de Reducción. A. METODO DE SUSTITUCIÓN : Consiste en despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones del sistema (de preferencia la que tenga el menor coeficiente), luego sustituir su valor en la otra ecuación y por último resolver la ecuación de 1er grado con una variable que resulta. Así.

Ejm : Resolver :

 5x + y = 41 ....(1)   2x + 3y = 32....(2)

Solución : Despejando ¨y ¨ en la ecuación ( 1 ) y = 41 - 5 x Reemplazando este valor en la ecuación ( 2 ) 2 x + 3 ( 41 – 5x ) = 32 .... Luego Sustituyendo x = 7 en la ecuación ( 1 ) 5x + y = 41 ⇒ 5 ( 7 ) + y = 41 .... Luego

x= 7 y = 6 CS = { 7, 6 } Rpta

B. METODO DE IGUALACIÓN: Consiste en despejar la misma variable en cada una de las 2 ecuaciones e igualar, luego las 2 expresiones que representan el valor de la variable despejaba.

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Son las que satisfacen para iguales valores de las incógnitas

Ejm : Resolver :

Solución :

Son sistema de ecuaciones porque con los valores de: x = 3 y y = 2, se satisfacen ambas ecuaciones S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

 13x − 5y = 6.....(1)   8x + 3y = 28....(2) x=

6 + 5y 13

x=

28 − 3y 8

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


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20

MATEMÁTICA

1er. Año Secundaria

Despejando x en cada uno de las ecuaciones dadas. Igualando estos valores:

6 + 5y 28 − 3y = 13 8

8 ( 6 + 5y ) = 13 ( 28 – 3y )

EXISTE UN CUARTO METODO LLAMADO:

48 + 40 y = 364 - 39 y 40 y + 39 y = 364 - 48

D. METODO POR DETERMINANTES: Consiste en aplicar el concepto de MATRIZ

y = 4 Ejm. Resolver:

Reemplazando y = 4 en la ecuación ( 2 ) 8 x + 3 ( 4 ) = 28  8 x = 28 - 12 → x = 2

 x + 3y = 6   5x − 2y = 13

Solución.-

CS = { 2, 4 } Rpta. C. METODO DE REDUCCIÓN: Consiste en igualar el valor absoluto de los coeficientes de la misma variable en las 2 ecuaciones, por medio de la multiplicación, y luego sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones obtenidas, para de esa manera eliminar dicha variable.

 4x + 3y = 34.....(1) Ejm. Resolver :   6x − 2y = 12.....( 2)

a) Hallamos el determinante del sistema ¨D¨, usamos la matriz ¨2 x 2¨, colocamos los coeficientes de x y de y.

(SI)

(NO)

() 21 )−−= (3)5. 2 15⇒−− D= − 17 5 −2

Solución.Eliminaremos a ¨y ¨ y multiplicamos a la ecuación ( 1 ) x 2 y a la ecuación ( 2 ) por 3. Así: 2 ( 4 x + 3 y ) = ( 3 4 ) 2 → 8 x + 6y = 68 3 ( 6 x – 2 y ) = ( 12 ) 3 → 18 x – 6y = 36 26 x = 104

1 +3

Sumando miembro a miembro b) Hallando el determinante de x: D ( x ), reemplazando los coeficientes de x por los términos independientes, respetándose los coeficientes de y. Así : x = 4

Sustituyendo x = 4 en ( 1 ) 4 ( 4 ) + 3 y = 34 → 16 + 3 y = 34 3 y = 34 - 16 3 y = 18

(SI)

6 +3

(NO)

( ) 26 )−−= (3)1). D(x)= 12 39 ⇒−− D(x)= − 51

y = 6

13 − 2

CS = { 4, 6 } Rpta.

c) Hallando D ( y ), así : S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


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1er. Año Secundaria 19

20

MATEMÁTICA

1er. Año Secundaria

a) ( - 7, - 3 )

16

(SI)

(NO)

03.

= D(y) 13−= (6)5 13 30 ⇒−= D(y)= 17 5 13 Para hallar x =

x =3

D(y) 17 = = −1 D − 17

CS= {3, -1 } Rpta

y = −1 05.

Resolver: 06.

 x + 3y = 6   5x − 2y = 13 a) ( - 3, -1 )

02.

c) ( -1, 3 )

d) ( 3, 1 )

e) N.a.

 x − 5y = 8   − 7x + 8y = 25

S1MA24B

b) ( 3/4, 2/5 )

c) ( - 3/4, 5 )

d) ( - 3, - 5 )

e) N.a.

b) ( 2/3, 4 )

c) ( 2/3, 2 )

d) ( 3, - 2 )

b) ( 1/2, 1/3 )

c) ( 2,- 3 )

d) ( - 1/2, - 1/3 ) e) N.a.

b) ( -3, 4 )

c) ( 3, - 4 )

d) ( - 3, 4 )

b) ( 2, 1/3 )

c) ( 1, 1/2 )

d) ( 3, 1/4 )

e) N.a.

 7 x − 4y = 5 07.   9x + 8y = 13 a) ( 1/2, 1 )

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

e) N.a.

 x + 6y = 27   7 x − 3y = 9 a) ( 3, 4 )

b) ( 1, 3 )

e) N.a.

 10x + 18y = − 11   16x − 9y = − 5 a) ( 1/3, 1/2)

PRACTICA DE CLASE

01.

d) ( -3, 7 )

 15x + 11y = 32 04.   7 y − 9x = 8 a) ( - 2/3, - 3 )

Para hallar y =

c) ( -3, - 7 )

 4x + 5y = 5   − 10y − 4x = − 7 a) ( 4/3, - 5/2 )

D(x) −51 = =3 D − 17

b) ( 3, 7 )

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

e) N.a.


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

08.

1er. Año Secundaria 19

 15x − 11y = − 87   − 12x − 5y = − 27 a) ( 2/3, 8 )

b) ( - 2/3, 9 )

c) ( - 2/3, 1 )

d) ( - 2/3, 7 )

e) N.a.

 3x − 2y = − 2 09.   5x + 8y = − 60 a) ( - 4, - 5 )

10.

b) ( - 5, - 4 )

c) ( 4, 5 )

d) ( 5, 4 )

e) N.a.

b) ( 14, 12 )

c) ( - 12, 14)

d) ( -14, 12 )

e) N.a.

c) ( 6, 6 )

d) ( 0, 0 )

e) N.a.

 2x + 1 y =  12.  5 4  2x − 3y = − 8  a) ( 0, 3 ) S1MA24B

b) (- 6, - 8 )

c) ( 7, - 8 )

d) ( 8, 7 )

e) N.a.

b) ( - 3, - 4 )

c) ( 2, 4 )

d) ( - 3, 0 )

b) ( 3, 3 )

c) ( 4, 4)

d) ( 5, 5 )

e) N.a.

b) ( 9, 4 )

c) (– 4, 9 )

d) (– 9, 5 )

e) N.a.

2 3  3 x − 4 y = 1 14.  1 y− 5 x = 2  8 6 e) N.a.

 2x + 1 y =  15.  5 4  2 x − 3y = − 8  a) ( 2, 2 )

b) ( 2, 2 )

1er. Año Secundaria

x y  7 + 8 = 0 13.  1x− 3y= 7  7 4

a) ( 3, 4 )

 3x  2 + y = 11 11.  x + y = 7  2 a) ( 6, 2 )

MATEMÁTICA

a) ( 1, -2 )

 7x + 9y = 42   12x + 10y = − 4 a) ( 12, 14 )

20

16.

 3(x + 2) = 2y   2(y + 5) = 7x a) ( 4, 9 )

TAREA DOMICILIARIA b) ( 4, 0 )

c) ( -2, -4 )

d) ( 2, 4 )

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

e) N.a. S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

01.

1er. Año Secundaria 19

 6x − 5y = − 9   4x + 3y = 13 a) ( 3, 1 )

b) ( 1, 3 )

c) (–1, 3 )

d) (–3, 1 )

e) N.a.

05.

b) ( 5, 2 )

c) ( -2, 3 )

d) ( -2, -6 )

e) N.A.

b) ( 4, - 18 )

c) ( 4, 4 )

d) ( 4, 20 )

e) N.a.

El arte de plantear ecuaciones : El idioma del Álgebra es la ecuación. “Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del ingles u otra lengua al idioma algebraico”, escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado ARITMETICA UNIVERSAL. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. Uno de estos famosos problemas fue : ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh , milagro!, cuan larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de bello cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Paso un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su hijo primogénito que entrego su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la parte de la de su padre. Y con pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llego la muerte?. B) CONTENIDO TEÓRICO: Analice los problemas explicados y saque sus propias conclusiones : Problema (01) : Vamos ha desarrollar el problema que trata de la biografía de Diofanto(redactado en la parte inicial).

b) (–1, –2 )

c) ( 2, 1 )

d) ( 0,3 )

e) N.a.

 36x − 11y = − 14   24x − 17y = − 10 a) (1, 2 )

II. PROCEDIMIENTOS: A) MOTIVACIÓN :

 7x − 15y = 1 04.   − x − 6y = 8 a) (–2, –1 )

1er. Año Secundaria

1.1 Expresar algebraicamente una expresión verbal. 1.2 Solucionar problemas planteando ecuaciones.

 15x − y = 40 03.   19x + 8y = 236 a) (–4, - 20 )

MATEMÁTICA

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS :

 18x + 5y = − 11 02.   12x + 11y = 31 a) (–2, 5 )

20

b) (–1, –2)

c) ( 2, 1 )

d) (–2, –3 )

e) N.a.

¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh , milagro!, cuan larga fue su vida, x cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. x/6 Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de bello cubrióse su barbilla. x / 12 Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. x/7

S1MA24B

DE con nosotros....” “LosPLANTEAMIENTO más grandes hombres crecen

Paso un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito. S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

1er. Año Secundaria 19

5 Que entrego su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la parte de la de su Padre. x/2 Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo: 4 Entonces: x = x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5+x / 2 + 4 Para responder a la pregunta ¿Cuántos años vivió Diofanto cuando le llegó la muerte?, solo basta resolver la ecuación formulada al final. Así : Sacamos MCM de todos los denominadores, incluyendo el segundo miembro : 84 Dividimos el MCM entre todos los denominadores y multiplicamos por sus respectivos denominadores. Resulta : 84x = 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336

MATEMÁTICA

1er. Año Secundaria

09. El segundo de tres números es igual a 6 veces el primero. El tercero es uno más que el segundo. Si la suma de los tres números es 53. Hallar el mayor. 10. El menor de dos números es 3 menos que el mayor, si al mayor se le disminuye en el doble del más pequeño, el resultado es -9. Encontrar el mayor. 11. Se han repartido chocolates entre cierto número de niños; dando a cada uno 4 chocolates sobrarían 2; pero dando a cada uno 6 chocolates faltarían 8. Hallar el número de niños y el número de chocolates. 12. Benilde recibió 200 soles, tuvo entonces 3 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido 200 soles. ¿Cuánto tenía al principio? 13. El quíntuplo de un número, más 8 es igual al triple del mismo número aumentado en 6. Hallar dicho número. 14. La quinta parte de un número aumentado en 6, excede a en 4 a la sexta parte del mismo número aumentado en 8. Hallar dicho número.

transponiendo términos : 84x – 75x = 756 9x = 756 x = 84

15. El triple de un número, disminuido en 1 es a 4 como el doble del mismo número, aumentado en 1 es a 3. Hallar dicho número.

Respuesta: Di

16. Encontrar el menor de 4 números enteros consecutivos, de tal modo que el triple del tercero menos el segundo dé el último.

PRACTICA DE CLASE

17. Tres hermanos: Carlos, Manuel y Edwin recibieron una herencia. Carlos y Manuel recibieron en común 36 mil soles, lo correspondiente a Carlos y Edwin ascendería a 38 mil soles y la parte de Manuel junto a la de Edwin asciende a 42 mil soles. ¿Cuánto recibió Carlos?

01. La tercera parte de la diferencia de un número con 5 es igual a la cuarta parte del mismo número más 2. Hallar el número. 02. Encontrar el mayor de tres números enteros consecutivos pares que sumados den 120. 03. ¿Cuál es el número cuyos 2/ 3 ; disminuido en 2 es igual a sus 3/ 5, aumentado en 3? 04. El mayor de dos números es 10 más que 5 veces el menor. Si su suma es 28. Dar como respuesta el producto de ambos. 05. Separa 900 soles en dos partes de modo que la primera parte sea 300 soles menos que el doble de la segunda parte. Hallar la primera parte. 06. La diferencia entre dos números consecutivos impares es igual al doble del menor, disminuido en 8. Hallar el mayor: 07. Si un número entero, se le suma el doble de su consecutivo, se obtiene 41. Hallar la semisuma de dichos números. 08. El segundo de dos números es 20 menos que 4 veces el primero. Su suma es 15. Dar como respuesta los números.

S1MA24B

20

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

18. “ EL PASEO ” . • Pase Usted mañana por mi casa -- dijo el viejo doctor a un conocido. • Muy agradecido. Saldré mañana a las tres. Quizá desee usted dar también un paseo. En este caso salga a la misma hora y nos encontraremos a la mitad del camino. • Usted olvida que soy ya viejo y ando tan solo 3 kilómetros por hora, en tanto usted, jovenzuelo, cuando más despacio va, hace 4 kilómetros por hora. No seria ningún delito que me concediera una ventaja. • Tiene razón -- contestó el joven --. Como quiera que yo recorro un kilómetro a la hora más que usted, le doy este kilómetro de ventaja, es decir, saldré de mi casa un cuarto de hora antes ¿ le será suficiente? • Es usted muy amable -- aprobó el anciano. • El joven cumplió lo prometido y salió de su casa a las tres menos cuarto, marchando a 4 kilómetros por hora. El doctor salió a la calle a las tres en punto y anduvo a 3 kilómetros por hora. Cuando se encontraron, el anciano dio la vuelta, yendo juntos a su domicilio. Tan sólo cuando el joven regresó a su casa comprendió que debido a la ventaja concedida tubo que caminar, no el doble , sino el cuádruple de los que anduvo el doctor. ¿A qué distancia de la casa del doctor estaba la de su joven desconocido?

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

1er. Año Secundaria 19

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 3

a) a

01. Luego de resolver el sistema:

b) 9

b) b

1er. Año Secundaria c) ab

a) –1 c) 31

d) 7

e) 41

b) –2

2−

c) 0

a) 4 d) 3

e) 9

b) –4

c) 0

b) b2

d) ab

(12346 ) 2 − ( 24691 ) 2 (12344 ) 2 − ( 24689 ) 2 b) 37037

c) 54321

e) 1

=

a)

e) 12345

c) 31

d) 7

d) 3980

e) 4–1

b) 1

 1  1  1  1  x −  = x − − 2 2 2 2     c) 3/2

d) 2

e) 5/2

b) 640

c) 720

d)170

e) 820

b) 420

c) 400

d) 600

e) 720

a) 720

b) 180

c) 600

d) 840

e) 960

e) 41

e) 19909

07. Del sistema : x + y = 2a .... (1) x – y = 2b..... (2) se puede afirmar que “xy” es : S1MA24B

3 4−x

13. ¿Cual es el número cuyo 3/4 excede en 420 a su sexta parte?

x x x x + + = + 1990 2 3 4 12 c) 2980

2−

12. El dinero que tiene Paco, aumentado en sus 7/12 es igual a 760. ¿Cuanto tenia Paco? a) 480

5x − 5 =1 3x − 3

a) 2431 b) 1990

1 2

a) 600

05. Resolver :

a) 0 b) 9 06. Resolver :

3 4+x

1

=

11. Hallar un número, que disminuido en 5/8 de él nos da 240

3x + 2 3x − 2 d) 12321

e) 1

10. Resolver :

1 2

c) a2

04. Hallar “x” en :

a) 12123

d) 4

d) 1

03. Luego de resolver el sistema (a + b) x + by = a2 x+y =a a) b

c) –3

1

4(2x + y) + 5(2x – y) = 17 3(2x + y) – (2x – y) = 8 Indicar luego el valor de x 2 −y 2 b) 1

e) ab2

09. Resolver:

02. Resolver el sistema :

a) 2

d) a2 – b2

08. Resolver: a(x – 2) + 3(x – 3) = 4 (x – 4) Dan como respuesta (x + 1)

3(x + 4) + 2(x – y) =17 5(x + y) + 4(x – y) = 29 Señale el valor de : 3x + 4y – xy a) 11

MATEMÁTICA

20

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

14. ¿Que número es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre 2/5 y 1/8 del número? a) 300

b) 700

c) 400

d) 320

e) N.a.

15. La diferencia de dos números mas 80 unidades es igual al cuádruple del número menor, menos 60 unidades. Hallar los dos números, si el mayor es el triple del menor. a) 120 y 80

b) 70 y 210

c) 180 y 240

d) 180 y 120

e) 240 y 340

16. La suma de dos números es 74 y su cociente es 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es número menor? S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 3

b) 7

c) 10

1er. Año Secundaria 19 d) 12

e) 9

17. La suma de los números es 611, su cociente es 32 y el residuo de su división el mayor posible. Hallar el producto de dichos números. a) 4724 b) 10674 c) 12494

d) 72444

e) N.a.

b) 54

c) 72

d) 80

e) 96

19. Hallar el menor de tres números enteros consecutivos, si sabemos que los 4/5 del mayor exceden a los 3/4 del intermedio en una cantidad igual a la sexta parte del menor disminuida en 1/5 a) 10

b) 8

c) 9

d) 12

e) 15

20. Tu tienes la mitad de lo que tenias y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yo tengo, que es 180 soles más de lo que tu tendrás. ¿Cuantos tenías? a) 100

b) 110

c) 80

d) 120

e) 140

21. En una aula están agrupados en un número de bancas de 6 alumnos cada una, si se les coloca en bancas de 4 alumnos se necesitan 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay? a) 24

b) 36

c) 42

d) 90

e) 120

22. Un tren al final de su trayecto llega con 40 adultos y 30 niños, con una recaudación de s/. 200. Cada adulto y cada niño pagan pasajes únicos de s/.2 y s/.1 respectivamente. ¿Con cuantos pasajeros salió de su paradero inicial si en cada paradero por cada 3 adultos, que subían, también subían, junto con 5 niños? a) 80 b) 60 c) 90 d) 82 e) 120 23. Lo que cobra y gasta un profesor suma s/. 600, lo que gasta y lo que cobra está en relación de 2 a 3. ¿En cuanto tienen que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? a) 12

b) 36

c) 28

d) 30

b) 600

c) 720

d) 960

e) 1000

25. se desea repartir naranjas equitativamente entre cierto número de niños sobrando 3 naranjas; pero su les da 2 naranjas más a cada uno faltarían 7 naranjas. ¿Cuántos niños eran? a) 15 S1MA24B

b) 5

c) 10

d) 18

1er. Año Secundaria

26. Dos socios han contribuido a formar un capital. El 1° recibió 20% de interés por el capital que invirtió durante 2 años y el 2° recibió el 15% de interés sobre el capital que invirtió durante 18 meses. Si la ganancia total fue de S/. 1320. ¿Qué monto invirtió el 2° si la suma de los capitales invertidos fue de S/. 7600? b) S/. 400

c) S/. 7200

d) S/. 4200

e) S/. 3600

27. Dos comerciantes que han adquirido 8 y 5 docenas de pantalones tiene que pagar por dicha compra; como no poseen dinero, el primero paga con 6 pantalones y le dan S/. 300 de vuelto, el segundo paga con 4 camisas y recibe S/. 320 de vuelto. Sabiendo que los pantalones en pago no se les ha cobrado impuestos determinar el costo de cada pantalón. a) S/. 600

b) S/. 500

c) S/. 480

d) S/. 720

e) S/. 420

28. Si por 2 soles me dieron 6 naranjas más de los que dan, la docena costaría S/. 0,90 menos. Hallar el número de naranjas que me dan. a) 10

b) 8

c) 16

d) 40

e) 12

29. Una persona puede comprar 24 manzanas y 20 naranjas o 36 manzanas y 15 naranjas. Si compara sólo naranjas. ¿Cuál es el máximo número que podría comprar? a) 20

b) 15

c) 18

d) 30

e) 22

30. Se debía repartir S/. 1800 entre cierto número de personas, 4 de ellas renunciaron a su parte, con la cual a cada uno de los asistentes le tocó S/. 15 más. ¿Cuántas personas eran inicialmente? a) 24

b) 22

c) 40

d) 32

e) 44

TAREA DOMICILIARIA 01. ¿Cuál fue la longitud de la tela si a pesar de haberse ya vendido una tercera parte más la cuarta parte más la sexta parte aún sobran 30m de tela?

e) 24

24. En un pueblo correspondía cada habitante 601 de agua por día. Hoy ha aumentado la población en 40 habitantes y corresponde a cada uno 31 menos. El menor número de habitantes del pueblo es: a) 800

MATEMÁTICA

a) S/. 4000

18. Ana tiene dos veces lo que tiene Maria, si Ana le da s/.18 a Maria, entonces tendrán la misma cantidad. ¿Cuánto tienen entre las dos? a) 108

20

e) 70

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

02. Hace 10 años la edad de “A” era los 3 / 5 de la edad que tendrá dentro de 20 años. Hallar la edad actual de “A”. 03. En una fiesta, la relación de mujeres a hombres es de 4 a 3; en un momento dado se retiran 4 damas y llegan dos hombres con lo que la relación es ahora 6 a 5. Indicar cuántos hombres deben llegar para que la relación sea 1 a 1. 04. Gaste los 2/ 3 de lo que no gasté y aún me quedan S/. 20 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenia? S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

1er. Año Secundaria 19

05. De 100 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios notamos que 55 leen Comercio y Expreso; 35 leen Expreso y Extra y 60 leen Comercio y Extra. ¿Cuántas personas leen los tres diarios?

20

MATEMÁTICA

1er. Año Secundaria

Resolución : MÉTODO PRACTICO Ejemplo 1 : Resolver 8 x - 10 > 6

06. 300 empleados deben cobrar S/. 25 200, pero como algunos de ellos se retiran; el resto tiene que cobrar S/. 140; cada uno. ¿Cuántos se retiraron?

Solución : Los términos: independientes se colocan en un miembro y las variables en otro, así : 8x 8x

6 + 10 16 16 8

x

0

1 2

3 4

2, +

x

Ejemplo 2 : Resolver: 3 x – 5 ≤ 13 – 3 x Solución : 3x+3x 6x

13 + 5 18

x

18 6

x

3

-2 -1 0

1 2 3 4 ,3

Ejemplo 3 : Resolver : 11 – 5 x < 13 – 4 x Solución : Se transponen los términos :

DESIGUALD INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

- 5 x + 4 x < 13 – 11 -x<2 Nota : Cuando cambia el signo de la variable cambia también el sentido de la ecuación .

a) Relación mayor que : a > b ⇔ a - b = 0 Ejemplo : 7 > 3 ⇔ 7 – 3 > 0 porque : 7 - 3 = 4, que es positivo

x>-2

- 2, +

b) Relación menor que : a < b ⇔ a – b < 0 Ejemplo : 2 < 7 ⇔ 2 – 7 = - 5 < 0 Ejemplo 4 : Resolver :

Elementos : 2 x+ 3 > Primer mi embro

17 Segundo mi embro

Signo de desiguadad S1MA24B

-2 -1 0 1 2 3 4

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

5x − 4 ≥ 2x − 5 3

Solución : M C M = 3 5 x – 12 ≥ 6 x – 15 Trasponiendo términos : 5 x – 6 x ≥ - 15 + 12 - x≥ -3 S1MA24B

-2 -1 0

1 2 3 ,3

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

1er. Año Secundaria 19

20

Cambiando de signo y sentido : x ≤ 3

MATEMÁTICA

a) x >

PRACTICA DE CLASE

12.

01. x – 5 < 2 x – 6 :

3 14

c) x > - 1

d) x < - 1

e) N.a. 13.

02. 5 x – 12 > 3 x – 4 a) x < 4b) x > 6

c) x > 4

d) x > - 4

e) N.a.

a) x > 9b) x < 5

c) x < 3

d) x > 3

e) N.a.

14.

04. 3 x – 14 < 7 x – 2 b) x > – 4

c) x > – 5

d) x < 3

c) x > 8

d) x > 9

e) N.a.

c) x < 8

d) x < 9

e) N.a.

e) N.a.

05. 2 x – 5/3 > x/3 + 10 a) x > 6b) x > 7

e) N.a.

c) x > 3

d) x > 4

e) N.a.

b) x < 1

c) x < 2

d) x < 3

e) N.a.

c) x <

1 3

d) x <

1 2

e) N.a.

15. Hallar el mayor número entero, cuyo triple es menor de 54 b) 16

c) 17

d) 18

e) N.a.

a) 13

b) 14

c) 15

d) 16

e) 17

17. ¿Cuál es el mayor número natural, cuyo doble disminuido en 5 es menor que 31? c) x < 4

d) x < 5

a) 18

e) N.a.

b) x > 13

b) 17

c) 16

d) 15

e) N.a.

18. Hallar la máxima edad que deben tener Anita y Karin, si se diferencian en 8 años y la suma de sus edades es menor que 60 .

08. (x+ 2)(x – 1) + 26 < (x + 4) (x – 1) a) x > 14

14 3

16. Obtener el menor número natural, tal que siete veces dicho número aumentando en 2 sea mayor que 86 .

07. ( x – 1 )2 – 7 < ( x – 2 )2 a) x < 2b) x < 3

d) x <

1 1 1 > − 2 2 2 x +x x −x x −1

a) 15

06. 3 x – 4 + x/4 < 5x/2 + 2 a) x < 6b) x < 7

3 14

5 20 2 − < 3x + 1 9x 2 − 1 3x − 1

a) x < 1b) x < 2

a) x > – 3

c) x <

x+3 4 x − ≥ 3 x+2 3

a) x > 0

03. x – 6 > 21 – 8 x

14 3

b) x >

a) x > 2b) x > 6

a) x > 1b) x < 1

1er. Año Secundaria

c) x > 12

d) x > 11

e) N.a. a) 26 y 34

b) 33 y 27

c) 35 y 25

d) 34 y 26

e) N.a.

09. 3( x – 2 ) + 2 x ( x + 3 ) > ( 2 x – 1 ) ( x + 4 ) a) x > - 1

b) x > 0

c) x > 2

d) x > 1

e) N.a.

10. 6 ( x2 + 1 ) – ( 2 x – 4 ) ( 3 x + 2 ) ≤ 3 ( 5 x + 21 ) a) x ≥ 5 11.

b) x ≥ 6

c) x ≥ 7

d) x ≥ 8

a) 6

b) 7

20. Resolver :

2n − 1 3n − 1 ≥ + 2 3 2

e) x ≥ – 7

2x + 1 2x + 5 > 3x − 1 3x − 2

S1MA24B

19. Hallar el número entero cuyo cuádruplo menos 8 sea mayor que el triple menos 1 y cuyo doble disminuido en 3 sea menor que el número aumentado en 6 .

a) n ≤ – 4

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

b) n ≥ – 4

c) 8

d) 9

e) N.a.

c) n ≤ 4

d) n ≥ 4

e) N.a.

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

1er. Año Secundaria 19

20

MATEMÁTICA

1er. Año Secundaria

CLASES: 1. ABIERTO : Cuando no incluyen los EXTREMOS y no llevan signo igual. M =  x ∈ R / a < x < b

Así:

Ejemplo : B =x ∈ R / -3 < x < 3

] -3, 3 [

GRAFICA B -3 -2 -1

0 1

2 3

Se representa con un círculo sin llenar

4

2. CERRADO : Cuando incluyen los extremos y lleva signo IGUAL. Ejemplo : C =  -3 ≤ x ≤ 0

[ - 3, 0 ]

GRAFICA

NUMEROS

C

Es la unión de los números racionales (Q) con los irracionales (II)

Q

7, –

-3

-2

-1

1

2

3. ILIMITADO : Cuando sus extremos están representados por infinito + ó – .

I

GRAFICA 2,

3

1 + √5, π + 2, -

Siempre es abierto

5 , etc. 3

0

4. CERRADO POR UN EXTREMO : Cuando se incluye un extremo y el otro no.

A. VALOR ABSOLUTO : a  Es la distancia del CERO a dicho número . Luego:

0

Se representa con un círculo lleno .

Z N

Es decir: Q U II = R Ejemplo : De Números Reales: 0,5, –

R

A =  5 ≤ x ≤ 8

[ 5, 8 [

Así :

+ 11 = − 11 = 11

11

11

GRAFICA A

0 11

11

0

B. INTERVALOS:

1

2

3

4

5

6

7

8

Conjunto de números reales que pueden o no incluir los extremos. S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

1er. Año Secundaria 19

MATEMÁTICA

20

5. ABIERTO POR UN EXTREMO : No se incluye un extremo. M = 3 < x 

M

] 3, +∞ [

-1

1

GRAFICA -

M

0

1

2

3

1er. Año Secundaria N

1 2

2

3

4

5

6

7

0 1 2

N

M

4

03. Hallar el intervalo R – S , SI R = [ - 5, 1 [ Y s = ] – 2, 3 ] Solución : Se grafican los intervalos S R

-5

PROBLEMAS : Ejemplos

Solución : Se grafican los intervalos. Q

-1

-1

-0

1

2

3

R - S = [ - 5, - 2 ]

El extremo exterior se respeta, pero el INTERIOR se cambia. En la unión se toman los extremos finales.

P -2

-2

R-S

01. Dados los intervalos P = [ -3, 2 [ , Q = ] -1, 3 ] , Hallar P U Q

-3

-4 -3

Así: P U Q = [ -3,3 ] 0

-1

-2

04. Hallar el intervalo P – Q, SI P = ] – 2, + ∞ [ y Q = [ 2, 5 ] Solución : Se grafican los intervalos

3

Q P

P U Q -

02. Dados : M =  −

 1  1  ,4  y N = ,6  2  2  

-1

0

1

2

3

4

5

P – Q = ] – 2, 2 [ U ] 5, + ∞ [

Hallar M ∩ N

05. Graficar y hallar A

Solución : Se grafican los intervalos En la INTERSECCION se toma el segmento “central”, respetando sus extremos.  1  Así : M ∩N =  , 4  2  

S1MA24B

+ -2

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

B , si A= [ -4, 1 [ y B = ] – 2, 3 ]

Solución : Se grafican los intervalos

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

- 4 -3

- 2 -1

0

2

1

1er. Año Secundaria 19

En la figura simétrica, se respetan los EXTREMOS “extremos” y se cambian los extremos “MEDIOS”.

3

20

MATEMÁTICA

1er. Año Secundaria

a) C d) A

b) [ -3 , -1 [ U [ 4 , 5 ] e) N.a.

c)[ -3 , -1 ] U ] 4 , 5 ]

09. Hallar : A U C a) ] –5 , 4 ]

b) ] –5 , 5 ]

c) [ -5 , 1 ]

d) C

e) N.a.

b) A

c) B

d) C

e) N.a.

b) [ -2 , 2 ]

c) ] –3 , 3 ]

d) [ -4 , 4 ]

e) N.a.

b) [–3 , 3 ]

c) ] –5 , 3 ]

d) ] –5 , –3 ]

e) N.a.

10. Hallar : B ∩ C B = [ - 4, - 2 ] U [ 1, 3 ]

A

a) U 11. Hallar : A ∩ B

PRACTICA DE CLASE

a) ] –1 , 1 [

01. El conjunto A = { x /x ∈ R , 5< x< 9 } con notación de intervalo se escribe : a) [ 5, 9 ]

b) ] 5, 9 [

c) [ 5, 9 [

12. Hallar : C’

d) ] 5, 9 ]

e) N.A.

02. El conjunto B = { x /x ∈ R , x < - 2 } con notación de intervalo se escribe : a) ] -ω , -2 [

b) ] 0 , -2 [

c) [ 0 , - 2 ]

Sean los intervalos : A = [ 2, 4 [ y B = ] 3 , 8 [ Hallar :

d) ] 0 , -ω [

e) N.A.

03. El intervalo [ -3 , 5 [ con notación conjuntista se escribe : a) { x / -3 < x < 5 }

b) { x / x < 5 }

13. Hallar : A U B a) [– 8 , 2 ]

c) { x / x > -3 } d) { x / -3≤ x <5 }

e) N.A.

04. El intervalo [ 0 , 4 ] con notación conjuntista se escribe : a) { x / x < 4 } d) { x / 0 ≤ x ≤ 4 } 05. Representar el gráfico :

a) [–5 , –3 ]

b) { x / x ≤ 4 } e) N.a.

c) { x / 0 < x < 4 }

b) ] – 8 , – 2 [

c) [ 2 , 8 [

d) [– 2 , 8 ]

e) N.a.

b) [– 4 , – 3 [

c) [ 2 , 4 ]

d) [–1 , 6 ]

e) N.a.

b) [ 2 , 3 ]

c) [ -3 , +ω ]

d) [ 3 , 8 [

e) N.A.

14. Hallar : A ∩ B a) ] 3 ,4 [ 15. Hallar : A - B a) [ -2 , 3 [ 16. A ∆ B

-2 -1

0

1

2

a) [–2 , 3 ]

3 b) [–2 , 3 [

c) ] –2 , 3 ]

d) [–2 , 3 [

e) N. a.

a) [ -2 , 3 ] U [ -4 , 6 ] d) [ 2 , 3 ] U [ 4 , 8 [

b) [ -2 , 2 ] U [ -3 , 3 ] e) N.a.

06. Sean los intervalos U = [ -5 , 5 ] ; B = ] –1, 4 ] ; C = [ -3 , 5 ] y A = ] –5 , 1 [ Hallar B’ a) [–5 , –1 ] U ] 4, 5 ] d) [–1 , 0 ] U [ 2 , 3 ]

b) [–5 , 1 [ U [ 3, 4 ] e) N.a.

c) [–1 , 0 ] U [–4 , 5 [

a) U

PROBLEMAS PROPUESTOS N° 4 01. Resolver: x (x – 5) ≥ 7 + x2 + 2x a) x < 1

07. Hallar B U C b) A

c) B

d) C

e) N.a.

c) [ 0 , 1 ] U [ 3 , 5 ]

b) x > 1

c) x ≤ – 1

d) x ≥ 1

e) N.a.

02. Resolver: 11 > 11x (x2 + 1) – 3x2 (x + 1) – 8x (x2 + 1) + 3x(x – 1)

08. Hallar : C – B S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) ∅

b) IR

1er. Año Secundaria 19 d) x ≥ 0

c) x > 1

e) N.a.

20

MATEMÁTICA

a) x > – 4

1er. Año Secundaria b) x < 4

c) x < – 7

d) x > – 8

e) x < – 8

03. Resolver:

x −1 x ≤ +1 5 3 a) x ≤ – 9

c) x ≤ – 9

b) x < 1

TAREA DOMICILIARIA d) x < 0

e) N.a.

01. Resolver:

x x+5 > 3 2

02. Resolver:

x−2 x 3 + < 1 5 2

03. Resolver:

5 (x + 1) x+2 x + < 4 3 2

04. Resolver: 2x –

a) x ≤

2 27

b) x <

x −1 1 < 3 5

2 27

c) x > 1

d) x <

7 13

e) N.a.

05. ¿Cuántos números impares satisfacen a la siguiente inecuación?

04. Dadas los intervalos: A = ] –2; 9] ; B = [ 2; 12 [

x2 – 20 < 9x – 34 a) 1b) 2

c) 3

d) 0

C = [ 0; 7 ] ;

e) 5

D = 〈– ∞; – 9 [

Calcular: 06. ¿Cuántos cuadernos tenía Maritza, si cuando vende 900 le quedan más de la cuarta parte de los que tenía; y si luego vende otros 102 cuadernos le quedan menos de 200? a) 1 200

b) 1 301

c) 1 201

d) 1 500

e) 800

07. En un salón del primer año, hay tantos alumnos que si al triple se le suma 5 resulta una cantidad no menor de 93; y si al doble se le disminuye 1, dicha cantidad resulta ser menor de 61. ¿Cuántos alumnos hay en dicho salón de clase? a) 40

b) 32

c) 31

d) 30

e) N.a.

a) b) c) d) e)

A ∪ B C–D (C ∪ D) – A (A ∩ C) – D (A ∪ B) – (C ∩ D)

SOLUCIONARIO EJERCICIOS PROPUESTOS:

08. ¿Cuántos números enteros y positivos menores que 5, satisfacen a la siguiente inecuación?

1 x−1 x < + 1 3 3 5 a) 1b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

09. El triple de la cantidad de manzanas disminuido en uno que compró Fernando, es menor que dicha cantidad manzanas aumentada en 3. ¿Cuántas manzanas compró Fernando? a) 2b) 1 10. Resolver: S1MA24B

c) 3

d) 4

e) 5

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

OPERACIONES CON POLINOMIOS

ECUACIONES

DESIGUALDADES

B D E A A C B C A C

B D C B E C C A B A

A C B E E B D B C E

C B A B B C D C B D

5x – 1 < 6x + 7

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

B D C C E A A C D B C A B A B B D C B C

1er. Año Secundaria 19

20

MATEMÁTICA

1er. Año Secundaria

B A A D B B B A C D B C E A B A B A D A

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

copyright 2002

S1MA24B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros....”

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Matematica 1º4b  
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