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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

51

1er. Año Secundaria 52

MATEMÁTICA ∀ a; b ∈ N ⇒ (a . b) ∈ N

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. 2. 3. 4. 5.

Entender la necesidad de extender el conjunto de los números naturales. Analizar y reconocer el conjunto de los números enteros y representarlos en la recta numérica. Reconocer números enteros opuestos. Determinar el valor absoluto de números enteros. Establecer las relaciones de orden entre números enteros.

Sin embargo, la operación de sustracción existe solamente en una forma muy restringida, es decir sólo cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo, y por lo tanto la sustracción no verifica la clausuratividad en N. Por ejemplo: 15 – 7 = 8; 8 ∈N ⇒ M > S 12 – 12 = 0; 0 ∈ N ⇒ M = S 21 – 36 = x; x ∉ N ⇒ M < S Se concluye: -

PROCEDIMIENTOS

-

A. MOTIVACION

-

INTRODUCCION HISTORICA La primera consideración sobre el número entero negativo no llega en el mundo occidental sino hasta el siglo XVI como consecuencia de la solución de ecuaciones algebraicas. En oriente, en cambio, durante el siglo IV ya manipulaban números positivos y negativos en los ábacos usando bolas de diferentes colores. El matemático alemán Kronecker afirmó: “El número natural lo creó Dios y todo lo demás es obra de los hombres”. Si nos remitimos a tiempos remotos podemos encontrar que nuestros antepasados utilizaban los números, según su necesidad, cuál era el contar los animales que poseían, la cantidad de grano que almacenaban, etc. para lo cual era suficiente el conjunto de los números naturales. Posteriormente el hombre ha ido ampliando sus necesidades en la utilización de los números y se ha visto en la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales, como veremos más adelante.

-

Con el conjunto de los números naturales (N), no es suficiente para realizar todas las operaciones. Para que la sustracción siempre sea posible se hace necesario extender o ampliar el conjunto N a otro conjunto de números en el cual la sustracción sea clausurativa. Se construye un nuevo conjunto de números que incluye al conjunto N. Cumpliéndose en este nuevo conjunto las operaciones y propiedades de los naturales. Además en este conjunto se establecen otras propiedades con las que será posible ampliar el campo operatorio. Este nuevo conjunto de números se denomina conjunto de los números enteros, cuya notación es Z.

2. Conjunto de los números enteros Veamos los siguientes ejemplos: 37 – 29 = 8 ⇒ 25 – 25 = 0 ⇒ 12 – 56 = -44 2.1

CONTENIDO TEORICO 1. JUSTIFICACION PARA LA EXTENSIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES

1

2

3

4

5

S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a > b}

NOTACION POR EXTENSION + + + + + Z+= { 1; 2; 3; 4 ; 5 ; ....... }

6 .....

NOTACION POR CONVENIO MATEMATICO Z+= {1; 2; 3; 4; 5; ....}

También, quedó establecido que las operaciones de adición y multiplicación siempre son posibles en N (definidas en N), esto es: Propiedad de Clausura o cerradura: ∀ a; b ∈ N ⇒ (a + b) ∈ N

Conjunto de los números enteros positivos Al conjunto de los números enteros positivos se denota por Z+, siendo sus elementos las diferencias de números naturales (a-b), tales que a > b. NOTACION POR COMPRENSION Z+ = {a-b/a; b ∈ N

Por lo aprendido, en el módulo anterior: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5;........}; cuya representación en la semirecta es: 0

37 = 8 + 29 25 = 25 ⇒ 12 = -44 + 56

2.2 S1MA32B

Conjunto unitario, elemento cero.

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MATEMÁTICA

Este conjunto tiene como elemento al número cero (0), que se obtiene de la diferencia de números naturales (a-b), tales que a = b. {0} = {a-b/a; b ∈ N

Z -15

a = b}

El número entero cero no es positivo ni negativo, es decir: 0 ∉ Z+

N

0 ∉ Z−

2.3

7

Conjunto de los números enteros negativos NOTACION POR COMPRENSION Z− = {a-b/a; b ∈ N

3. REPRESENTACION DE LOS NUMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMERICA

a < b}

Se elige en la recta numérica un punto de origen, el que se le hace corresponder el número entero cero.

NOTACION POR EXTENSION − − − − Z−= { ...; 4 ; 3; 2; 1; } 2.4

Conjunto de los números enteros Al conjunto de los números enteros se denota por Z, siendo sus elementos todas las diferencias de números naturales, es decir, la reunión de los conjuntos antes mencionados, cuya notación son: POR COMPRENSION Z = Z- U {0} U Z+

0

A la derecha de cero se ubican a distancias iguales, los números enteros positivos. 0

+1

+2

+3

+4 .....

A la izquierda de cero se ubican a distancias iguales, los números enteros negativos. ..... -4

POR EXTENSION Z = { ..... ; −3;−2;− 1; 0 ;+ 1;+ 2;+ 3; ; ......}

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4 .....

4. NUMEROS ENTEROS OPUESTOS COROLARIO Los números naturales forman un subconjunto de los números enteros. Luego: N ⊂ Z

Todo número natural es entero, pero no todo número entero es natural. Ejemplo: 7∈N ∧ 7∈Z

Establecida la correspondencia de cada número entero, con un punto de la recta, se observa que los números enteros simétricos u opuestos +Z y −Z , equidistan de cero (expresan igual distancia al origen). ORIGEN

-15 ∈ Z ∧ -15 ∉ N

.....

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4 .....

NUMEROS ENTEROS OPUESTOS

REPRESENTACION GRAFICA DE Z

⇒ -2 y 2 son # Z opuestos. 5. VALOR ABSOLUTO: | | El valor absoluto de un número es la distancia de dicho número al origen.

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S1MA32B

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MATEMÁTICA X representa a todos los números enteros cuyas distancias al origen son iguales o menores que 5.

|a| ⇒ se lee: valor absoluto de a. Recuerda

ORIGEN

a ; si: a > 0 |a| =

.....

0 ; si: a = 0

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4 .....

Del gráfico: X = {-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}

- a; si : a < 0

4. Si |X| > 2, a qué números enteros representa X?

Ejemplos: |7| = 7; (7 > 0) |0| = 0 |-7| = 7; (-7 < 0)

Solución X representa a todos los enteros cuyas distancias al origen son mayores que 2. ORIGEN

De los ejemplos se concluye: .....

|a| nunca es un número negativo. |a| es mayor o igual que cero.

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4 .....

Del gráfico: X = {.....; -5; -4; -3; 3; 4; 5; .....} |a| ≥ 0

5.1

5. Cuando afirmamos que |X| ≥ 2. ¿A qué números representa X?

APLICACIONES

Solución X representa a todos los enteros cuyas distancias al origen son mayores o iguales que 2.

1) Si |x| = 3, a qué números enteros representa x ? Solución: X es un número que dista 6 unidades del origen. Luego: X = {- 3; 3} | ← |-3| →| ← |3|

..... -4

-3

-2

-1

0

+1

ORIGEN

.....

→ |

+2

+3

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4 .....

Del gráfico: X = {.....; -4; -3; -2; 2; 3; 4; .....} +4 ..... 6. COMPARACION ENTRE NUMEROS ENTEROS

2) Si |x| < 5, a qué números enteros representa X?

En la recta numérica para los números enteros:

Solución: X representa a todos los números enteros cuyas distancias al origen son menores que cinco. ORIGEN

.....

-4

-3

-2

-1

0

..... -5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5 .....

De aquí se deducen las siguientes propiedades de comparación entre números enteros: +1

+2

+3

+4 .....

Propiedad 1: Cualquier número positivo es mayor que cero. Del gráfico: X = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} 3) Cuando afirmamos que |X| ≤ 5, a qué números enteros representa X? Solución: S1MA32B

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Propiedad 2: Cualquier número negativo es menor que cero. Propiedad 3: Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. Ejemplo: +1 > -1 000 000. S1MA32B

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MATEMÁTICA

Propiedad 4: De dos números positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Ejemplo: +50 > +12 Propiedad 5: De dos números negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ejemplo: -16 > -58.

R

Q

P

N

M

..... -5

-4

-3

-2

-1

0

A

B

C

D

+1

+2

+3

+4

E

+5 .....

Suponiendo que cada espacio mide 1 centímetro, entonces la distancia del punto:

Escribe los símbolos <, = , > en el espacio que corresponde. +127

........

+132

+127

........

+132

D a cero es

.........................

R es acero es

.........................

+19

........

+7

|-7|

........

|7|

M a cero es .........................

B es acero es

.........................

-11

........

0

-27

........

-38

E a cero es

Q a cero es

.........................

0

........

-16

-124

........

-178

8

........

-26

-18

........

18

.........................

5. Dado |X| = 5. ¿Qué números enteros representa X? ¿Por qué?

PRACTICA DE CLASE A continuación proponemos una serie de ejercicios que te permitirán plasmar lo aprendido en la sesión. ADELANTE.

6. Si |X| < 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

1. Colocar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: -3 ∈ N ........ 5 ∈ N ........ N ⊂ Z ........ -8 ⊂ Z ........ 7 ∈ Z ........ 0 ∈ Z ........

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

7. Si |X| > 6. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué?

8. Escribe el signo >, = ó <. Según corresponda en los espacios punteados.

2. Determine el valor absoluto de: |-5| = ....................... |+5| = ....................... |-7| = ....................... |0| = ....................... |-50| = ....................... |-16| + |-5| = ....................... |-233| + |+10| = ....................... |-7| - |3| = ....................... 3. Escribir 6 pares de números opuestos:

........

-7

g) |-5|

........

|5|

b) 20

........

+20

h) |-12|

........

|-18|

c) 12

........

-12

i) |-15|

........

|+12|

d) -32

........

20

j)

0

........

-9

e) –1

........

0

k) -32

........

-1

f)

........

11

l) |0|

........

|-3|

0

TAREA DOMICILIARIA

a) ......................................

b) ......................................

c) ......................................

d) ......................................

e) ......................................

f) ......................................

1. Ordenar de menor a mayor: a) 10; -1; -8; +4; +7; -6; -9 b) –104; -26; -5; 0; -1; +1; +3; +30; -60; -24

4. En la recta numérica: S1MA32B

a) –15

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S1MA32B

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c) –12; 13; +14; -7; -10; -1; 0

MATEMÁTICA B al punto H

.....................

C al punto I

2. Ordenar en forma decreciente. a) –4; -8; -13; 0; -7; +7; +16; -1 b) –26; -32; -5; 0; -1; +1; +3; +30; +19 3. Si |X| ≥ 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 4. Si |X| ≤ 3. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 5. Si |X| = 6. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 6. Si |X| < 5. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 7. Si |X| > 4. ¿A qué números enteros representa X? ¿Por qué? 8. Aplicando las propiedades de la Igualdad y Desigualdad, escribir la conclusión en cada proposición? a) Si: a = b y b = c. b) Si: -8 < -2 y -2 < 5. c) Si: -1 > -2 y -2 > -3.

Se concluye: ................................. Se concluye: ................................. Se concluye: .................................

9. Escribe los símbolos <, =, > en el espacio que corresponde: a) b) c) d) e) f)

−15 2 ......... 2 2 ......... 5 ......... -32 ......... 3 ......... 0 0 .........

0

g) |15|

.........

|-15|

4 -60/-12 23 81 0

h) i) j) k) l)

......... ......... ......... ......... .........

|-8| |2| -999 2 |-31|

-58

|-21| |-1| 53 -39 |10|

10. En la recta numérica: A

B

C

D

E

..... -5

-4

-3

-2

-1

0

F

G

H

I

J

+1

+2

+3

+4

+5

.....

Suponiendo que cada espacio mide 1 centímetro, entonces la distancia del punto: E a cero es ..................... H a cero es .....................

S1MA32B

I a cero es

.....................

B a cero es

.....................

A a cero es

.....................

J a cero es

.....................

E al punto J

.....................

C al punto F

.....................

F al punto J

.....................

A al punto J

.....................

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S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

.....................


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MATEMÁTICA Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

OPERACIONES CON OBJETIVOS ESPECIFICOS: 1. Reconocer las propiedades de las operaciones entre números enteros. 2. Realizar operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en Z. 3. Realizar operaciones combinadas en Z teniendo en cuenta el orden operatorio, signos de agrupación y propiedades. PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACION: En el presente módulo abordaremos el estudio de las diferentes operaciones que se pueden realizar en el conjunto de los números enteros (Z), tales como: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Cuando realizamos el estudio del conjunto de los números naturales (N), ya habíamos abordado el estudio de estas operaciones anteriormente mencionadas y como quiera que N está incluido en Z (N ⊂ Z), la noción general de las operaciones en N, así como las propiedades y principios; se cumplen exactamente en Z, sin embargo Z tiene otras propiedades que le son propias.

+15 -21 +52 +127 +89

+32 -10 -75 -46 -89

(+15) + (+32) = +47 (-21) + (-10) = -31 (+52) + (-75) = -23 (+127) + (-46) = +81 (+89) + (-89) = 0

Del cuadro extraemos las siguientes reglas: 1. Para sumar números enteros que tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y el signo del resultado es el mismo que el de los sumandos. Ejemplos: (+15) + (+32) = +15 + +32 = +47 (-21) + (-10) = -21 + -10 = -31 2. Para sumar números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los números dados (el mayor menos el menor) y se coloca al resultado el signo del número del mayor valor absoluto. Ejemplos: (+52) + (-75) = +52 + -75 = -23 (+127) + (-46) = +127 + -46 = +81 De los ejemplos anteriores podemos extraer la siguiente conclusión: a) Cuando sumamos enteros de igual signo, el resultado es otro número entero del mismo signo.

B. CONTENIDO TEORICO:

FORMA PRACTICA

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

(+ ) + (+ ) = +

I. ADICION DE NUMEROS ENTEROS

1. (+15) + (+32) Suprimimos el operador y paréntesis.

SUMAR números enteros en álgebra, significa combinarías para obtener un solo número que represente el total de ellos o su efecto total.

+15 + 32 = +47 (- ) + (- ) = -

Tratando de ser más objetivos en tu aprendizaje proponemos el siguiente ejemplo: Elena dirige un negocio y diariamente ejecuta ventas donde se le podrían presentar las siguientes situaciones: GANANCIAS y PÉRDIDAS. Lo ejecutado por Elena lo detallamos en el cuadro adjunto, advirtiendo que a las ganancias y pérdidas le asignamos números enteros positivos y negativos respectivamente.

2. (-25) + (-10) Suprimimos el operador y paréntesis. -25 - 10 = -35

b) Cuando sumamos números enteros de distinto signo, el resultado lleva el signo del número de mayor valor absoluto.

FORMA PRACTICA DIA S1MA32B

SITUACIONES

Ganó Perdió Perdió Ganó Ni ganó Ni perdió

SUMANDO ALGEBRAICAMENTE

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EFECTO

(+ ) + (- ) = ? S1MA32B

1. (+52) + (-75)

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MATEMÁTICA

Suprimimos el operador y paréntesis.

(+18)

+52 - 75 = -23 (- ) + (+ ) = ?

2. +127 + -46

c) Cuando sumamos números enteros, el resultado que se obtiene es otro número entero. (La adición es cerrada en Z). ∀a , b ∈ Z

⇒ (a + b) ∈ Z

(-21)

OPERACIONES COMBINADAS DE ADICION Y SUSTRACCION EN Z

Suprimimos el operador. 127 - 46 = +81

+ (+32) ≠ (+7) + 50 ≠ -14

Veamos los ejemplos: 1) Efectuar: (+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21) Solución: Expresando las sustracciones como adiciones: (+15) + (-11) + (-17) + (+5) + (+21)

II. SUSTRACCION DE NUMEROS ENTEROS

(+4)

(-13)

Enunciemos la siguiente regla: para efectuar la sustracción de dos números enteros, basta sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. 1) (-15) – (-7)

+ (-17) + (-8)

Transformando la sustracción en adición: (+39) + (+58) = +97

Así, la sustracción queda transformada en una adición de números enteros y la regla para resolverla se dio anteriormente.

+ (+21) (+13)

2) (+39) – (-58)

La sustracción convertida en adición: (-15) + (+7) = -8

(+5)

OTRA FORMA: (+15) + (-11) – (+17) + (+5) – (-21) Expresando las sustracciones como adiciones: (+15) + (-11) + (-17) + (+5) + (21)

De los ejemplos expuestos podemos extraer las siguiente conclusión:

Suprimiendo los operadores y paréntesis: +15 – 11 – 17 + 5 + 21

a) En la sustracción de números enteros, el resultado que se obtiene es otro número entero (la sustracción es cerrada en Z).

Agrupamos los números positivos y negativos. + 15 – 11 – 17 + 5 + 21

∀ a, b ∈ Z

⇒ (a − b) ∈ Z

+15 + 5 + 21

– 11-17

+41

b) En la sustracción de números enteros, no se cumple la propiedad conmutativa. Ejemplo: (-15) – (-7) ≠ (-7) – (-15)

+4 – 17

– 28 13

S1MA32B

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+ 5 -8 + 21 13

(-15) + (+7) ≠ (-7) + (+15) -8 ≠ +8 c) Ampliamos afirmando que en la sustracción de números enteros, no se cumple la propiedad asociativa: Ejemplo: [ (+7) – (-11) ] – (-32) ≠ (+7) – [ (-11) – (-32) ] [ (+7) + (+11) ] – (-32) ≠ (+7) – [ (-11) + (+32) ] (+18) – (-32) ≠ (+7) – (+21)

-13

2) Efectuar: -15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4} Solución: Suprimimos el paréntesis (signo colector ubicado en la parte más interna); efectuando antes las operaciones del interior, lo mismo aplicamos con el corchete y llave. S1MA32B

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MATEMÁTICA

-15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7) – 4}

100 veces

7 - 15 + {7 – 29 – [-16 – (+7)] – 4}

= (100) (-24) = - 2400

Se observa que la adición de sumandos iguales, se puede expresar como una multiplicación del sumando en referencia con las veces que éste se repite.

-23 -15 + {7 – 29 – [-23] – 4}

En la multiplicación de números enteros se pueden presentar distintas situaciones:

-15 + {7 – 29 + 23 – 4}

1. (+7) . (+8) = +56

-3

(-11) . (-7) = +77

-15 – 3

Si dos números enteros tienen el mismo signo, para multiplicarlos se multiplican sus valores absolutos y el resultado es un número entero positivo.

-18 OTRA FORMA

2. (-15) (+7) = -105

Podemos ir suprimiendo los signos corchetes comenzando por la parte más interna y antes de operar los números que se encuentran en su interior, así: a) Si delante del paréntesis está el signo +, se suprime el paréntesis y los números del interior no alteran su signo. + (+7 – 10 – 8) = +7 – 10 – 8

(+13) (-6) = -78 Para multiplicar dos números enteros que tienen distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y el resultado es un número entero negativo. En resumen: (+a)(+b) = +p

b) Si delante del paréntesis está el signo, se suprime el paréntesis y los números del interior se alteran en su signo. - (+7 – 10 – 8) = -7 + 10 + 8

(-a)(+b) = -p

= Resultado con signo -

(+a)(-b) = -p

Luego tenemos: - 15 + {7 – 29 – [-16 – (8 – 3 – 5 + 7)] – 4} - 15 + {7 – 29 – [-16 – 8 + 3 + 5 - 7)] – 4} - 15 + {7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4} - 15 + 7 – 29 + 16 + 8 – 3 – 5 + 7 – 4

Observaciones: Cuando existen más de dos factores, contamos cuántos de ellos son negativos. Luego: a) Si el resultado del conteo es impar, el resultado será negativo (-). Ejemplo:

Operamos los positivos y negativos por separado. (no se observa opuestos).

-15 – 29 – 3 – 5 – 4 + 7 + 16 + 8 + 7 -56

= Resultado con signo +

(-a)(-b) = +p

+

(-2)(-3)(5)(- 4) = - 120 b) Si el resultado del conteo es un número par, el resultado será positivo (+). Ejemplo:

38

(-3)(3)(-4) = 60

-18 III. MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS Veamos: 13 + 13 + 13 + 13 + 13 = 5 . 13 = 65

IV. DIVISION DE NUMEROS ENTEROS Veamos las divisiones: 15 ÷ -3 = -5; porque 15 = (-5)(-3) ⇒ 15 es múltiplo de - 3 11 760 ÷ 245 = 48; porque 11 760 = (245)(48) ⇒ 11 760 es múltiplo de 245.

5 veces (-24) + (-24) + (-24) + (-24) + (-24) + .... + (-24) = 100 x (-24) S1MA32B

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72 ÷ 7 = x ∉ Z; porque no existe número entero que multiplicado por 7 nos de como producto 72. Por lo tanto 72 no es múltiplo de 7. De los ejemplos anteriormente expuestos se concluye: * La operación de división de números enteros no es clausurativa; no siempre se encuentra el entero que multiplicado por el divisor, dé el dividendo.

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MATEMÁTICA

Al dividir dos números enteros: - Del mismo signo, el cociente es positivo. - De distinto signo, el cociente es negativo. Observaciones: * El cero dividido por cualquier número entero distinto de cero es cero. Ejemplo:

* La división en el conjunto de los números enteros sólo será posible cuando el dividendo (D) sea múltiplo del divisor (d) y éste diferente de CERO, con esta referencia se encontrará un número q (cociente) tal que multiplicado por d, nos dé por producto el número D.

0 0 ; =0 15 − 32 * Un número entero (distinto de cero) dividido por cero es una operación que carece de sentido. Ejemplo:

Simbólicamente: Si D, d, q ∈ Z;

D d

= q ↔ D = dq

17 0 Carecen de sentido

−72 0

Los elementos de la división son: Dividendo (D).- Es la cantidad a ser dividida. Divisor (d).- Indica el número de partes iguales en que debe dividirse el dividendo. Cociente (q).- Es el número de elementos que resultan para cada una de las partes indicadas por el divisor. Además para indicar la operación de división se acostumbra usar:

a = a / b = a ÷b b __ ; / ; ÷ estos signos representan al operador de la división leyéndose como “entre”. Los números enteros pueden ser positivos o negativos, a efectos de realizar correctamente una operación de división, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas: 1. Para dividir dos números enteros del mismo signo se dividen sus valores absolutos del primero por el segundo, y se antepone al cociente el signo más (+). Ejemplos: (+16) ÷ (+4) = +4 (-54) ÷ (-3) = +18 2. Para dividir dos números enteros de distintos signos se dividen sus valores absolutos del primero por el segundo, y se antepone al cociente el signo menos (-). Ejemplos: (+52) ÷ (-4) = -13 (-16) ÷ (+2) = -8 Recordar: S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Habiendo concluido el estudio de las operaciones básicas en Z, completa el siguiente cuadro escribe la palabra NO cuando la operación no sea posible en los números enteros. Elementos a b +72 +12 -54 -3 +205 -41 -72 +24 +39 1 20 20 0 -58 +17 0 -5 +5

a+b

Operaciones Básicas a–b a.b (+72)-(+12)=60

a÷b

(+205)+(-41)=164

NO -25

Del cuadro anterior se concluye que la adición, sustracción y multiplicación son operaciones cerradas en Z (su resultado es otro número entero), cumpliendo las siguientes propiedades: Propiedad de Clausura ∀ a ; b ∈ Z ⇒ (a + b) ∈ Z ∀ a ; b ∈ Z ⇒ (a - b) ∈ Z S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

51

∀ a ; b ∈ Z ⇒ (a . b) ∈ Z

MATEMÁTICA

(− 3)3 = (-3)(-3)(-3)

Propiedad Conmutativa ∀a;b∈Z ⇒ a+b =b+a ∀a;b∈Z ⇒ a.b=b.a

(− 3)3 = -27

3 veces Por lo mostrado en los grupos anteriores, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas: 1) Si la base es positiva y el exponente cualquier número natural, el resultado es positivo: Ejemplo: (+5 )4 = + 625

Propiedad Asociativa ∀ a ; b; c ∈ Z ⇒ (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a ; b; c ∈ Z ⇒ (a . b) . c = (a . b) . c Propiedad Distributiva ∀ a ; b; c ∈ Z ⇒ a . (b + c) = ab + ac,

1er. Año Secundaria 52

(+ 6 )3 = + 216

o también

(b + c) . a = ba + ca

a +b +c a b c = + + ∀ a ; b; c ∈ Z ⇒ d d d d

2) Si la base es negativa y el exponente un número natural par, el resultado es positivo: Ejemplo: (− 2)6 = + 64

Elemento Neutro ∀ a ∈ Z ⇒ a + 0 = a, (El elemento neutro es CERO) ∀ a ∈ Z ⇒ a . 1 = a, (El elemento neutro es UNO)

3) Si la base es negativa y el exponente un número natural impar, el resultado es negativo. Ejemplo: (− 5 )3 = - 125 (− 2)7 = - 128

V. POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS Es una operación que consiste en elevar un número entero “b” a un exponente natural “n”, el cual nos indica la calidad de veces que se repite la base entera como factor, hallando así el resultado llamado Potencia.

LEYES EXPONENCIALES DE LA POTENCIACION EN EL CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS

Exponente (Número natural)

No

bn = P Base (Número Entero)

Potencia (resultado)

Ejemplos: (+ 7 )2 = (+7)(+7)

2 veces 5 (+ 3) = (+3) (+3) (+3) (+3) (+3)

(+ 7 )2 = +49

(+ 3)5 = +243

(− 2)6 = +64

5 veces (− 2)6 = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2)

6 veces

Descripción

01

Multiplicación de potencias de igual base

02

División de potencia de igual base

03

Potencias de un producto indicado

04

Potencia de un cociente indicado

05

Potencia de una potencia

06

Potencia con exponente cero

Estructura

Campo numérico a m x a n = a m +n a ∈ Z m, n ∈ N m n m − n a∈Z a ÷a =a m, n ∈ N n n nb∈Z (axb ) = a x b a, n∈N b∈Z (a ÷b)n = a n ÷a, bn n∈N a, b ∈ Z (a m )n = a mxn m, n ∈ N A∈Z a 0 =1 a≠0

Ejemplos: a)

(+5 )2 (+5 )3 (+5 )7 =(+5 )2 +3 +7 =512

b) (−3)3 (−3)(−3)9 =(−3)13 =−313 S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

51

c)

(−2)5 (−2)7 (−2)4 =(−2)5 +7 +4 =(−2)16 =216

d)

(+ 3 )6 ÷(+3)4 =(+3)6 −4 =(+ 3 )2 =3 2 =9

e)

(− 8 )7 ÷(− 8 )3 =(− 8 )7 −5 =(− 8 )4 =8 4 =4096

f)

(−10 )12 ÷(−10 )7 = (−10 )12 −7 =(−10 )5 =−100 000

g)

[(−4 )3 ]2 =(−4 )3 x 2 =(−4 )6 =4 6 =4 096

h)

[(2)4 ]36 =(2)4 x 36 =2144 (queda indicado)

i)

(− 2)3 (5 )5 =(− 2 x 5 )5 =(− 10 )5 = -100 000

j)

(3 )2 (2 2 )(− 7 )2 =(3 x 2 x −7 )2 =(− 42 )2 = 1 764

1er. Año Secundaria 52

MATEMÁTICA

Por lo mostrado en los ejemplos anteriores, es preciso tener en cuenta las siguientes reglas: 1. Cuando el radicando es un número entero positivo y el índice es un número natural par, hay dos resultados que tienen el mismo valor absoluto y distinto signo. Ejemplos: 9 4

16

Es decir: 9

La radicación es la operación inversa a la potenciación que consiste en elevar un número entero “b” a un exponente natural “n”, el cual nos indica la cantidad de veces que se repite la base entera como factor, hallando así el resultado llamado potencia. n P ⇒

=b

b: raíz enésima (b ∈ Z) n: índice (n ∈ N, n > 1) P: radicando o cantidad subradical. (P ∈ Z)

b : base n : base P : potencia Nota:

- La potenciación es la operación que permite hallar la potencia conociendo la base y el exponente. - La radicación es la operación que permite hallar la raíz enésima, conociendo el radicando y el índice.

3 5

=b

⇒ bn

= P

Ejemplos: 6

3 5

S1MA32B

64

= ±2

(±2)6 = 64

27

= (±3)

(+3)3 = 27

(−5 )5 = −3125

−3125

=2

16

= −5

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

27

=+3

Porque (+3)3 = 27

32

=+ 2

Porque (+2)5 = 32

3. Cuando el radicando es un número entero negativo y el índice es un número impar, el resultado es un número negativo. Ejemplos: 5 3

−3 125 −8

Porque (−5 )5 = −3 125

=−5

Porque (−2)3 = −8

=−2

4. Cuando el radicando es un número entero negativo y el índice es un número par, no tiene solución en el conjunto de los números enteros. Ejemplos: −64 , no tiene solución en Z, porque: − 64

La raíz enésima de un número P es otro número b que elevado al exponente “n” nos reproduce P. Simbólicamente: n P

4

=3

2. Cuando el radicando es un número entero positivo y el índice es un número impar, el resultado o raíz hallada es positiva. Ejemplos:

VI. RADICACION DE NUMEROS ENTEROS

=P

Porque (±2)4 = 16

= ±2

Recordar: Cuando el radicando es positivo y el índice par, se utiliza sólo la RAIZ POSITIVA (por conveniencia) que se le conoce con el nombre de RAIZ ARITMETICA.

Nota: La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y división.

bn

Porque (±3)2 = 9

= ±3

=

8 -8

82

⇒ ⇒

= 64

(−8 )2 = 64

64

≠ - 64

A continuación veamos algunas leyes o propiedades de la radicación en el conjunto de los números enteros. 1. RAIZ DE UN PRODUCTO INDICADO.- Se cumple la propiedad distributiva de la radicación con respecto al producto indicado. n

S1MA32B

a .b.c

n =

a

.

n

b

.

n

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c


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51

1er. Año Secundaria 52

MATEMÁTICA RAIZ CUADRADA ENTERA

Ejemplo: 3

(−125 ). 512 . 8

=n

3

3 −125 .

512

.

3

8

= -5 . 8 . 2 = -80

a) Separar el radicando en periodos de a dos cifras, comenzando por la derecha (no importa si en la izquierda queda una sola cifra).

Recíprocamente: n

a

n

.

n .

b

n =

c

Hay muchos números enteros que no tienen raíz exacta, por que no existe ningún número entero que elevado al cuadrado dé por resultado dicho número. Tal es el caso de 84 273; pero a continuación se explica el modo práctico de conocer la raíz entera de él.

a . b.c

8 42 73

Ejemplo: 4

−3 .

4

27 .

4

−1 . =

4

(− 3).(27 ).(− 1) =

4

81

=3

2. RAIZ DE UN COCIENTE INDICADO.- Se cumple la propiedad distributiva de la radicación con respecto al cociente. n

a ÷ b

n =

n ÷

a

b) Extraer la raíz cuadrada del primer periodo de la izquierda (puede ser qué dé una o dos cifras). 2 8 42 73

b

c) Elevar al cuadrado la raíz hallada y restar dicho valor al primer periodo. Escribir a continuación del resto el segundo periodo y separar las cifras de las unidades.

Ejemplo: 3

64 ÷−8

=

3

3 64 ÷ −8

= 4 ÷ −2 = −2

8 42 73 -4 4 42

Recíprocamente: n

a

n ÷

b

n =

÷

2

=

32 ÷ 2

=

16

=4

3. PASAJE DE EXPONENTE E INDICE DE UN MIEMBRO A OTRO.- La operación contraria a la potenciación. Si en una igualdad uno de los miembros tiene una raíz enésima, pasa al otro miembro con la operación contraria; es decir, como potencia indicada y viceversa. a)

n

p

=b

bn = p

Por definición:

Ejemplo: 3

b)

bn = p

x

=5

x = 5 3 = 125

⇒ n

Por definición

p

=b

d) Hallar el duplo de la raíz. Dividir por este valor el número que queda a la izquierda de la unidad separada. 8 42 73 2 44:4 = 11 2.2 = 4 -4 4 42 e) Escribir el valor del duplo de la raíz seguido del cociente hallado; multiplicando el número formado por dicho cociente. (valor adecuado). 2 8 42 73 2.2 =4 -4 49:9 = 441 4 42

f) Restar el producto obtenido al número formado por el resto más el segundo periodo (si la resta no fuera posible, se disminuye en uno el cociente). Si la resta es posible, el cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.

Ejemplo: x 5 = 32

S1MA32B

22 = 4

a ÷ b

Ejemplo: 32

2

x = 5 32

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

=2

S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

51

2 8 42 73 2.2 =4 -4 49:9 = 441 4 42 -4 41 1

g) Escribir a continuación del nuevo resto proceso. 8 42 73 -4 4 42 -4 41 1 73 0 00 1 73

el siguiente periodo, volviéndose a repetir el

e) .3 + (-5) + (+4) + (-1) + 6 =

f) +5 + +2 + -5 + -7 + -4 + -6 =

g) –36 + -112 + 144 + 50 =

h) –240 + -1260 + +1550 =

a) (a + b) + c d) (c + e) + c

b) (a + e) + c e) (d + a) + b

5. Sabiendo que: S = 36 + (-52) + (-7) S + C + (-17). a) –37 b) –47

290 2.2 = 4 49:9 = 441 2.29 = 58 580.0

6. Si

c) d + (b + c) f) e + (d + c)

C = -18 + (+16) + 5. Hallar el valor de : c) +5

d) –49

e) N.A.

A = 7 + (-49) + (+15) + (+18) + (-19) + (-25) + (+48) + (+2) y B = -32 + (-9 + 14) + (-7) + (+6) + (+1). Hallar el valor de: (A + B + 20)

a) +8

b) +12

c) -15

d) –10

e) N.A.

7. Si E = a + 8; F = b + (-13) y sabiendo que a = -15; b = 19, entonces el valor numérico de E + F + (-18) es: a) –16

Comprueba tu aprendizaje hallando la raíz cuadrada de los siguientes números. b) 127 487

c) 1 253 456

PRACTICA DE CLASE A continuación proponemos una serie de ejercicios, donde aplicarás las técnicas y procedimientos para efectuar operaciones de adición y sustracción. 1. Halla el resultado de las siguientes operaciones: a) + 8 + +9 =

b) 6 + 18 =

c) 25 + (-72) =

d) – 9 + (-7) =

e) –16 + (-15) =

f) –33 + (-28) =

g) 12 + (-9) = h) –27 + (+18) = 2. Escribe en los espacios en blanco, los números que faltan:

i) –5 + 37 =

a) 5 + ...... = 9

b) +9 + ....... = -3

c) ....... + -7 = -3

d) –8 + ...... = -13

e) –9 + ....... = 15

f) ....... + 6 = -12

g) 4 + ...... = 17

h) –13 + ....... = 16

i) ....... + (-7) = -20

3. Hallar el resultado de:

S1MA32B

MATEMÁTICA

4. Sabiendo que a = 12; b = -13; c = -24; d = +37; e = -58. Hallar el valor numérico de:

Siempre debemos verificar que: 84 273 = 290 2 + 173 84 273 = 84 100 + 173

a) 15 6661

1er. Año Secundaria 52

a) –40 + (-30) + -80 =

b) (-5) + (+8) + (+1) + (+2) + (-6) =

c) +36 + (+74) + 208 =

d) –4 + (+9) + (-5) + (+10) + (-9) =

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) –19

c) 20

d) 3

e) N.A.

8. Completa el siguiente cuadro: + -15 +12 -51 -12 +15 24 +21 -15 +24 -18 -54 22 -17 0 9. Halla el resultado de las siguientes operaciones: a) 8 + 15 = d) –4 - +8 = a) – 9 – (+12) =

-21

+37

b) + 71 – (+38) = e) 6 - -9 = b) – 18 – (+17) =

-41

+42

-13

c) 94 – 36 = f) – 3 – (+7) = c) – 6 – (+18) =

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Si a = -17; b= 38; c = -81, entonces S = a – b + c. Hallar el valor de “x” en: x + S = -150. a) –12 S1MA32B

b) –14

c) 14

d) 12

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

e) N.A.


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

51

1er. Año Secundaria 52

Hallar el valor numérico de: ( A +5) 5 + ( B −56) 2 .

02. Q = (p + n) – m + 473, siendo p = -302; m = 78; n = -105. Hallar el valor de “X” en: Q – X = -96. a) –108

b) 108

c) 104

d) -102

MATEMÁTICA

a) -1480

09. 03. (15 – M) – 32 = 64; (H + 5) – 62. Si A = M + H – 46. Hallar el valor de “A”. a) 108

b) 104

c) 106

d) 102

b) -1810

c) -1790

d) 2061

e) N.A.

e) N.A.

e) N.A.

Si:

E

=

-3(2) [(5 3 − 3 4 ) ÷11] 2 +(13 − 22 ) 2

;

F

=

[[2(-3)

+

8 ]2 −5(3 2 ) +5(3)(− 2 2 ) ] + 19.

Hallar el valor de [(3 E − 5 ) 3 + 2 F(250 ) 2 ]0 . 04. (z – 13) + 78 = -33 ; (-58 – y) + 98 = 27. Si B = z + y + 90, entonces el menor valor entero que puede tomar |x| < B es: a) –5

b) –3

c) -7

d) -4

e) N.A.

05. (p – 9) + 5 = -98; (k + 57) + -83 = 31. Si sumas (p + 100) con el opuesto de k obtienes: a) –96

b) 94

c) 98

d) -92

e) - 51

10.

Si:

a ∇b=

b) - 4

a) 37

c) 8

d) - 8

e) N.A.

= ac + bc + ab; hallar

9

c) -12

d) -9

a) (−5 )2 (−6 )(−5 +5 ) + (-3) + (+) – (+3)(-2) b) 3 −27 +(−3)2 (2)3 −(−5 )2 4

d) (− 7 )2 + (5)(2)(-3) + (− 5 )2

3

c) 39

08. Si: A = [ (− 4 )2 (5) + 3 – ( 2 3 -6)] ÷ (− 3 )3 - 5 (− 2)7 −3 3 ]÷

b) -24

c) (-81) ÷ (+27)-(-7)(-2)+ (−3)3 x

1

b) 38

[−2 3 +9 (−1)2 +[(3 5 −4 3 ) −13 2 ] ÷5

01. Efectuar las siguientes operaciones combinadas:

a c

=

d) 0

TAREA DOMICILIARIA

07. Si:

b

P

c) -2

d) 40

y

37 }2 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

e) N.A.

B = {[[ (− 6 )4 - ( 13 2 )(5)] +

e) N.A.

;

Q

=

Hallar “x” en: 4(x+45) = PQ.

a - b 2 Si y sólo si a < b a – b Si y sólo si a > b

Calcular: E = (7 ∇ 3) ∇ 2. a) 4

b) -1

{[(5 3 −4 4 ) +10 ] ÷11 +(−2)4 }2

a) -36

06. Si:

S1MA32B

a) 1

e) (−3)2 (−3)3 +(−2)4 + 121 f) 5 −32 x (− 2)3 +(− 4 )(− 10 ) +(− 13 ) g) 3 −27 +(−8 )2 (−3)2 +(−75 ) h) 3 27 2 ÷(−3)2 + [(-5)(-8) ÷ (-2) + (− 11)2 - (-4)(-7)]

S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

e) N.A.

-13

+


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria i) 5 3125 3 ÷(5 )2 - [(-5)(-3) – (-7 + 9 – 4 – 8)] j) (− 32 )3 ÷(− 16 )3 – {-11 + 7 – [(-8)(-3)(-1)-(-54)]}

51

1er. Año Secundaria 52

MATEMÁTICA

2. Definir el conjunto Q de los números racionales y representarlos en la recta numérica, para un posterior reconocimiento de las fracciones equivalentes y una comparación correcta entre dos números racionales. 3. Reconocer las propiedades comunes de las operaciones entre números racionales.

02. Si a = -2; b = - 3; c = 16; d = -8; e = 4. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones: a) ab – cd + e 2 −4 c b) ab + cd – {2e + 3 d + a – b} c) cde + [a + b + c - 3 d - (a-b-c)] d)

(ab +e )2

+ 3 d

– (abcd)

e) – b – [ae – cd + a 2 + b 2 + c 2 ]

PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACION Hablar de números racionales es hablar de números fraccionarios o lo que se decía quebrados. El primer conocimiento acerca de las fracciones se produce hacia el año 2000 a.C., en Egipto. Los griegos, quince siglos después, elaboraron con acierto las teorías de egipcios y babilonios e hicieron de ella una verdadera ciencia. B. CONTENIDO TEORICO CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS Recordando lo aprendido en el Módulo 2 tenemos: Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}

f) a 3 −5 de −[−d −(a 4 +bc −d 2 )] g) 3 ec −[2 bc −5 ae −c ÷d ] h) 3d – 5a + 3 d

Siendo su representación en la recta numérica: .....

-1

-3

-2

-1

0

1

2

3

.....

En el conjunto de los números enteros, quedó establecido que las operaciones de Adición, Sustracción y Multiplicación siempre son posibles en Z (definidos en Z), es decir: PROPIEDAD DE CLAUSURA O CERRADURA

∀ a; b ∈ Z

⇒ (a + b)

∈Z

∀ a; b ∈ Z

⇒ (a - b) ∈ Z

∀ a; b ∈ Z

⇒ (a . b) ∈ Z

En el conjunto de los números enteros, la operación división existe solamente en una forma muy restringida; es decir, sólo será posible cuando el dividendo sea múltiplo del divisor y éste diferente de cero, y por lo tanto afirmamos que la división no verifica la clausuratividad en Z, por ejemplo: 1) 58 : 29 = 2 ∈ Z porque 29 x 2 = 58 2) (-36) : (+9) = -4 ∈ Z porque (+9) x (-4) = -36 3) (-17) : (-5) = x ∉ Z ¡SE PRESENTA OTRA DIFICULTAD!

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES OBJETIVOS ESPECIFICOS 1. Descubrir la necesidad de extender el conjunto Z. S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

En el ejemplo (3), en el Conjunto de los Números Enteros NO EXISTE un número que multiplicado por (-5) nos reproduzca como resultado (-17). S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

51

Ante esta nueva dificultad se concluye: -

1er. Año Secundaria 52

e)

El conjunto de los números enteros Z no es suficiente para operar con números. Para que la división siempre sea posible se requiere extender el conjunto de los números enteros Z a otro conjunto en el cual la división sea clausurativa. Se construye un NUEVO CONJUNTO que incluye al conjunto de los números enteros Z. Cumpliéndose en este nuevo conjunto las operaciones y propiedades de los enteros. Además en este NUEVO CONJUNTO se establecen otras propiedades con las que será posible ampliar el campo operatorio. Este nuevo conjunto se denomina CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES y se denota por “Q”.

El conjunto de los números racionales Q, tiene como elementos a todos los cocientes de números enteros (donde el divisor es distinto de cero). Q = {x/x = a/b, ∀ a; b ∈ Z, b ≠ 0} Al cociente indicado de números enteros: a/b, se le conoce con el nombre de FRACCION.

x 0 = 7 9

Numerador

b

Denominador

g)

3 x = 7 21

h)

5 x+1 = 10 4

12 18 −25 24 400 28 4 18 64 38 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 48 40 30 36 160 56 40 300 360 1440 4. Comparar las fracciones escribiendo el símbolo que corresponde:

3 ... 8

3 4

b)

5 ... 13

−5 4

c)

15 ... 11

7 8

d)

7 11 ... 15 15

5. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones: a)

2 4 6 ; ; 5 7 9

b)

−2 1 1 ; ; 5 3 4

c)

−2 1 1 ; ; 5 3 4

d)

5 8 7 ; ; 3 5 4

e)

5 1 −5 ; ; 2 3 7

f)

−13 −6 2 ; ; 15 11 4

Donde:

a

7 x = 2 16

f)

3. Simplificar las fracciones:

a)

CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

MATEMÁTICA

6. Establecer el valor de verdad: a) Z ⊂ Q ........ ( d) 8 ∉ Q ........ ( g) –16 ∈ Q ........ (

) ) )

b) N ⊂ Z ........ ( e) –2/5 ∈ Z ........ ( h) ∈ Q ........ (

) ) )

c) Q ⊂ N ........ ( f) –6 ∈ N ........ (

7. Hallar el número de fracciones irreductibles de denominador 21 comprendidas entre 1/7 y 1/3. 8. Para que valor de “a”, la fracción 41 a / a 50

es propia e irreductible?

PRACTICA DE CLASE 1. Escribir 5 fracciones equivalentes de:

2 3 −1 ; ; 3 5 2

TAREA DOMICILIARIA 1. Ordenar las fracciones en forma creciente: 3/5; 4/7; 15/17; 10/21; 6/11.

2. En cada caso, determine el valor de x, para obtener fracciones equivalentes: a) S1MA32B

x 3 = 35 5

b)

x 10 = 7 35

c)

−6 −36 = x 30

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

2. ¿Cuántas fracciones irreductibles de denominador 12 existen entre 1/4 y 2/3 ? d)

2 x = x 18

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) N.A.

3. ¿Cuántas fracciones irreductibles de denominador 35 existen entre 3/5 y 6/7? S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

) )


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria a) 2

b) 6

51

c) 5

d) 7

1er. Año Secundaria 52

MATEMÁTICA

e) N.A.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS

4. El número de fracciones equivalentes a 22/36 que tiene por denominador un número de 3 cifras múltiplo de 5 es: a) 26

b) 30

c) 40

d) 50

e) N.A.

5. El numerador por el denominador de una fracción es 52 514. ¿Cuál es dicha fracción, si al simplificarla se obtiene 14/31? a) 98/2388 6. Si ab / ba a) 10

b) 97/156

c) 154/341

c) 15

7. ¿Cuál es el valor de “a” para que la fracción a) 1

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

d) 217/242

e) 151/344

1. Ejecutar correctamente las operaciones básicas de adición, sustracción, multiplicación y división, trabajando con números racionales. Aplica las propiedades de los números racionales en la solución de ejercicios.

e) N.A.

PROCEDIMIENTOS:

es equivalente a 5/6. Hallar el valor de a x b. b) 12

b) 2

d) 20 a 4 a / 498

c) 3

sea propia e irreductible?

d) 4

e) 5

8. Si se quiere que la fracción N/D esté comprendida entre 1/2 y 2/3 cuando N = 12. ¿Cuántos valores enteros puede tener D? a) 2

b) 3

c) 4

9. Hallar (a + b + c), sabiendo que la fracción a) 16 b) 17 c) 18

d) 5 aab / bca

OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES

e) N.A.

es equivalente a 75. d) 19 e) 20

A. MOTIVACION Así como hemos podido calcular el resultado de sumar, restar, multiplicar y dividir números naturales o enteros, es posible realizar estas mismas operaciones cuando se trabaja en el campo de los números racionales o fraccionarios. El propósito del presente módulo es estudiar los procedimientos a seguir para operar con números racionales y comprender las propiedades que presentan las operaciones con dichos números. CONTENIDO TEORICO OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES Enfocaremos nuestro estudio a los números racionales representados como fracción. ADICION DE FRACCIONES En la adición de fracciones pueden presentarse las siguientes situaciones: A. ADICION DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR Ejemplo: 1) Sumar:

Solución:

2) Sumar:

Solución: S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S1MA32B

3 1 5 + + 9 9 9 3 +1 + 5 9 = =1 9 9 3 −7 −2 8 + + + 13 13 13 13 3 + −7 + − 2 + 8 2 = 13 13

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

51

1er. Año Secundaria 52

MATEMÁTICA

De los ejemplos, se concluye: Al efectuar la adición de fracciones del mismo denominador (fracciones homogéneas), se suman los numeradores de las fracciones participantes y se coloca por denominador de esta suma, el denominador común. B. ADICION DE FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR.- Para que se obtenga mayor amplitud de criterio creemos conveniente exponerlo de la siguiente manera:

1 2 1 1x 5 x 2 + 2 x 3 x 2 + 1x 3 x 5 37 + + = = 3 5 2 3 x5 x 2 30 b) Fracciones cuyos denominadores no son Primos entre sí. Ejemplos: 1) Sumar:

a) Fracciones con Denominadores que sean Primos entre sí Ejemplos: 1) Sumar:

3 7 + 6 12 12 : 6 x 3 = 6

MCM(6;12) = 12 12 : 12 x 7 = 7

3 2 + 5 7 35 : 5 x 3 = 21

Luego:

3 7 6 +7 13 + = = 6 12 12 12

Solución: MCM(5; 7) = 35 35 : 7 x 2 = 10 Luego:

21 + 10 31 = 35 35

2) Sumar:

−1 −3 −9 + + 7 4 14

Solución: Observación: El ejemplo anterior por presentar fracciones cuyos denominadores son primos entre sí, se recomienda utilizar la forma práctica de los productos cruzados.

MCM(7; 4; 14) = 28

Veamos:

Luego: 3 2 21 + 10 31 + = = 5 7 35 35

28 : 7 x -1 = -4 28 : 4 x –3 = -21 28 : 14 x –9 = -18

−1 −3 −9 −4 − 21 −18 −43 + + = = 7 4 14 28 28

X

2) Efectuar:

Solución:

3) Efectuar:

1 −2 + 2 3 1 −2 3 + −4 3 −4 −1 + = = = 2 3 6 6 6

3) Sumar:

2 −1 −3 7 + + + 3 6 4 2

Solución: MCM(3; 6; 4; 2) = 12

13

8 − 2 − 9 + 42 39 13 2 −1 −3 7 + + + = = = 3 6 4 2 12 12 4

1 2 1 + + 3 5 2

4

Solución: Como 3; 5 y 2 son PESI, se procede: C. ADICION DE NUMEROS MIXTOS S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

51

Número Mixto.- Se llama número mixto a la suma de un número entero y una fracción: En el número mixto está sobreentendido el signo, de la adición, razón por la cual se prescinde de él. Ejemplo:

5

1 3

es un número mixto que indica: 5 +

Ejemplos:

15 , es posible expresarlo como número mixto porque es 7

Solución:

15 1 Residuo

Luego:

7 2

3

5 3 1 + 2 + 8 4 8

A continuación mostramos dos formas distintas de solución:

Se suman los enteros y las fracciones separadamente y luego se suman estos resultados 3+2+

una fracción impropia.

Numerador del número racional

1) Sumar:

FRACCION IMPROPIA

Recíprocamente, si a una fracción se lo quiere expresar como número mixto, bastará con dividir el numerador por el denominador, así:

MATEMÁTICA

1 3

Si se desea expresar un número mixto como fracción bastará con efectuar la suma que él indica.

1 1 15 + 1 16 5 = = 5+ = 3 3 3 3

1er. Año Secundaria 52

5 3 1 + + 8 4 8 3 + 4 3 + 4

6 8 3 5+ 4 6 5+ 4 3 3 = 5 5+ 2 2 5+

Denominador del número racional

Número entero

15 1 = 2 7 7

Transformando previamente el número mixto a fracción 3

5 3 1 + 2 + 8 4 8 29 11 1 + + 8 4 8 29 + 22 + 1 8

52 13 3 = 5 8 2 2

¡Cuidado! Si la fracción impropia, es negativa, observa su transformación a número mixto. −58 9

, 58 9 4 6

−58 4 4 = −6 − = -6 9 9 9

Con la aclaración anterior ampliaremos la transformación de un número mixto expresado como una fracción común.

1) Sumar: 4

Solución: Primera Forma:

2 5 x7 + 2 37 = = 5 5 5

2) − 2

1 3 x − 2 + −1 −7 = = 3 3 3

3) − 6

3 4 x − 6 + −3 −27 = = 4 4 4

S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Segunda Forma:

1 1 −2 + + 4 + 2 + -7 + 2 6 3

Veamos los ejemplos: 1) 7

1 1 −2 +2 + + −7 2 6 3

S1MA32B

9 13 −2 + + + −7 2 6 3

-1 +

3 +1 − 4 6

27 + 13 − 4 − 42 6

-1 +

0 = -1 6

−6 = −1 6

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


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51

1er. Año Secundaria 52

MATEMÁTICA

SUSTRACCION DE FRACCIONES La sustracción de fracciones equivale a efectuar la adición del minuendo con el opuesto del sustraendo.

OPERACIONES COMBINADAS DE ADICION Y SUSTRACCION EN Q Veamos los ejemplos:

Ejemplos:

2 1 − 7 3

1) Efectuar:

1) Efectuar: 4 +

Solución:

Solución: Por definición:

Forma práctica:

2 1 2 −1 − + = 7 3 7 3

2 1 6 −7 −1 − = = 7 3 21 21

6 + −7 −1 = 21 21

5

2) Efectuar:

2) Efectuar:

1 1 1 ��� − 2 3 4

48 + 6 − 4 − 3 47 11 = = 3 12 12 12 3 1 1 1 5 + −  − +  5 2 7 3 2 

Solución: Suprimiendo los signos de colección:

3

1 1 − −2 3 4

5

Solución:

+

1 2

-

5 7

+

1 3

-

1 2

opuestos Por definición:

1 1 5 − −2 3 4 1 1 5 + 2 3 4 1 1 + 7+ 3 4 7 7+ 12 7

Forma práctica:

5

1 1 + 2 3 4

16 9 + 3 4

3 5 1 − + , denominadores primos entre sí. 5 7 3 3 x7 x 3 − 5 x 5 x 3 + 1 x 5 x7 5 x7 x 3 23 105

63 − 75 + 35 105

⇒ Es fracción propia y no se puede expresar como un número mixto.

64 + 27 91 7 = =7 12 12 12 3) Efectuar:

7 12

3+ 6

1 1 1 − 4 + 2 7 5 3

Solución: Sumando algebraicamente los enteros y fracciones en forma separada.

S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria 3+6–4+2+

7+

4) Efectuar: A =

15 − 21 + 35 105

51

1 1 1 − + 7 5 3 = 7+

29 29 = 7 105 105

5 1 3 5  +  − 2 −  − − 2   2 4 7  7

1er. Año Secundaria 52

MATEMÁTICA

2) Efectuar:

3 7 4 5 x x − 15 12 21 6

Solución:

Simplificando:

−1 1 3 7 15 12 3 4 1

1 4 21 3

−1 5 1 = 6 54

Solución: Eliminamos los paréntesis: A =

1 5 3 5  + − 2 −  − − 2 2 7 4 7 

Suprimimos los opuestos: A =

1 5 5 3 + − 2 − + + 2 2 7 7 4

Anulamos los opuestos:

1 3 + 2 4

A=

Del ejemplo anterior, concluimos: - Siempre que sea posible, conviene simplificar antes de multiplicar. - Si hay racionales negativas en la multiplicación, es necesario multiplicar sus signos, aplicando correctamente la regla dada para los números enteros.

DIVISION DE FRACCIONES Operamos empleando el MCM: A =

2+3 5 1 = =1 4 4 4

Veamos los ejemplos: 1) Realizar:

45 18 : 11 11

MULTIPLICACION DE FRACCIONES Solución:

Veamos: ejemplo:

1) Efectuar:

2 8 1 2 x 8 x1 16 x x = = 7 5 3 7 x5 x 3 105

Se observa que al multiplicar fracciones se obtiene como resultado (producto) otra fracción, cuyo denominador es el resultado de multiplicar los numeradores y cuyo denominador es el resultado de multiplicar los denominador.

Es decir:

S1MA32B

a c e a .c.e . . = b d f b.d .f

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Cambiamos el operador de la división por el operador de la multiplicación e invirtiendo la fracción divisor, así:

5 45 11 x , se ha simplificado, luego: 11 18 2 Generalizando:

45 18 5 ÷ = 11 11 2

a c a d ÷ = x b d b c

OTRA FORMA:

S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

51

1er. Año Secundaria 52

45 11 : , se escribe: 11 11 Medios

5 45 x 11 11 x 18 2

→ →

45 11

Extremos

18 11

Producto de extremos Producto de medios 5 2

Generalizando:

Efectuar:

a c ÷ = b d

MATEMÁTICA

Si:

a c ∈Q y b d

∈ Q

a c + ∈Q b d

Si:

a c ∈Q y b d

∈ Q

a c ∈Q b d

Si:

a c ∈Q y b d

∈ Q

a c x ∈Q b d

Si:

a c ∈Q y b d

∈ Q

a c ÷ ∈Q b d

PROPIEDAD CONMUTATIVA

a c c a + = + b d d b

a b = a x d c b x c d

a c c a x = x b d d b

3 1 − 5 2 1 1 + 3 6

PROPIEDAD ASOCIATIVA

Solución:

Efectuando el numerador y denominador:

6 −5 10 2 +1 6

=

1 10 3 6

=

1 2 1 x 6 = 10 x 3 5 1

1 5

=

a e   c +  +  b f  d

c  e a  x  x b d f  

=

a e   c x  x  b d f  

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

a

¡IMPORTANTE!

b

- En la división de números racionales se obtiene otro número racional, eso implica que la división en los racionales es clausurativa. - Habiendo concluido el estudio de las operaciones básicas en Q, es necesario enunciar las siguientes propiedades.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

e a c a e c x  d + f  = b x d + b x f  

ELEMENTO NEUTRO

a 0 a + = b b b

PROPIEDAD DE CLAUSURA S1MA32B

c  e a  +  + d  f b

S1MA32B

a a . 1= b b “El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

51

ELEMENTO OPUESTO

a −a + b b

= 0

1er. Año Secundaria 52

MATEMÁTICA

b)

3 7 −15 −9 + + − 4 5 26 10

c)

7 8 3 + + 15 9 10

d)

8 13 7 61 − + + 9 54 36 90

Nota:

−a b

Si:

a es un número racional, b

Si:

−a a es un número racional, es su opuesto. b b

es su opuesto.

3. Completar con fracciones según corresponda: a) 3 +

ELEMENTO INVERSO

a es un número racional diferente de cero, b

b es su inverso. a

a)

1 5 + 5 6

d)

1 5 1 + + 5 6 3

g)

6 1 4 2 + + +− 5 5 5 5

b)

3 1 + 2 7

e)

3 1 − 7 3

h)

9 11 13 +− + 14 14 14

f)

3 1 − 2 8

i)

3 1 3 + + 4 8 2 13 21 37 41 + + − 50 50 50 50

c)

1 1 +3 b) 6 3 4 1 5 3 − 21 + 16 − 48 c) 34 2 4 4

c) 1 -

3 = 5

d) 1 -

4 = 3

4 3 10 x x 5 8 3 20 9 7 x x b) 3 10 18 3 −2 7 x x c) 19 x 5 14 73 19 2 5 1 4 x1 x −2 x −2 d) 1 7 9 6 7

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

5 8 3 x x 2 15 4 40 27 10 x ÷ f) 9 4 3 7 8 −14 1 x ÷ x g) 8 11 22 5 2 −34 21 −3 x ÷ x h) 17 19 38 42 e)

6. Halla los siguientes cocientes: a)

3 9 ÷ 7 28

b)

13 −5 ÷ 21 7

c) 30 ÷

e)

15 −25 ÷ 23 46

f)

− 44 − 11 ÷ 7 28

g) 3

2. Efectuar las operaciones:

14 −58 −37 −7 + + − 25 150 60 75

1 3 4 1 +2 +9 +6 5 10 13 20 1 3

5. Efectuar: a)

1. Efectuar las operaciones:

S1MA32B

3 = 5

a) 5

PRACTICA DE CLASE

a)

b) 6 +

4. Efectuar:

a b x =1 b a Nota: Si: Si:

1 = 4

S1MA32B

−13 45

1 21 ÷ 2 4

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

d)

29 ÷ − 36 20

h) 2

1 1 ÷1 3 5


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria i) − 3

3 18 ÷ 5 28

j) − 4

51

1 + 3. Reducir:

3 1 a) 2 + 4 1 3 4

4 −4 b) 5 + 3 1 2 3

6 4 + d) 2 3 3 2

g)

4 3 c) 9 + 1 4 4 3

1 e)

2+

1 f) 2 + 2+ 4 3

3 2

1+

2. Efectuar:

a) 1

S1MA32B

1 2

1+

1 1+

1 1−

a) 18/8

b) 11/8

4. Simplificar:

8 1 −2+ 3 2 3 5 + −4 4 2 b) 12

1 1 +1 c) 13/5

d) 11/5

e) N.A.

38 45

e) N.A.

2 3 + 5 7 3 4 − −1 2 7

1−

38 45

c) 11

38 45

d)

1 1+

1

1  1 − 2  5. Efectuar: 1  1 + 2 

1 1− 3

TAREA DOMICILIARIA

a) 2/15

1

a) 12

1

1. Efectuar:

MATEMÁTICA

1 1 ÷ −5 2 3

7. Efectuar:

1+

1er. Año Secundaria 52

a) 1

5 3 x : 9 8 10 b) 1/16

1 − 1 3 5

2

d) 5/24

e) N.A.

4 1 5 3 4 + 8 + 7 4 9 2 4 7

b) 1

3 4

c) 1

1 4

6. Simplificar:

a) 972/423

d)

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3 4

e) 2

1  1  1 +  1 −  3  4  1  1  1 −  1 +  4  3 

b) 2

2 + c) 1/48

     

 1 1 +  5 2  + 5  1 1 −   5

c) 1/2

d) 1/3

e) 1/4

c) 972/421

d) 870/321

e) N.A.

1 3+

1 4+

b) 421/972

1 5+

1 6

3 16 S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

2 7. Reducir:

1 2

1 1 3 −4 2 2

a) 55/67

x

1 3 2 1 1 − x + 2 4 9 4 1 1 + 3 1 4

a) 1

b) 49/4

1er. Año Secundaria 52

MATEMÁTICA

2

− 22 67

b) 49/67

8. Simplificar:

51

11. Efectuar:

c) 2

d) 24/67

1 3  −  5 10 2 − 2 1 5

E=

Si: A = 1 −

a) 12

 5 ÷  6

d) 5

e) N.A.

a) 0

A+B . C 3

b) 1

1. Efectuar:

c) 1/2

2/5 8 /5

C= 1+ d) 2

1 2

e) N.A.

a)3/ 8

a) 12

S1MA32B

1 4 5 9÷ x x 1 5 12 3 1 6÷ 1 2 b) 3

b)

12 19

c)

E=

4−

1 2

145 9

d)

29 5

e) N.A.

3131 1212 4545 + + 1313 2626 3939 b) 0

b) 1/ 8

c) 4

a)3/ 8

d) 1/12

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

e) N.A.

d) 1/ 2

2; 2;

e) 11/ 7

3 5 ; 1; ; ..... 2 8

c) 1/ 4

b) 3/ 5

c) 1/ 2

4. ¿Qué número racional no corresponde a n, si:

c) 1/3

1

d) 4/ 5

e) 3/ 4

3. La mitad de una fracción "m" es igual a 1/5 y la tercera parte de la otra "n" es igual también a 1/s; entonces m + n = ? a)2/ 5

10. Efectuar:

1 12

2. ¿Qué número continua en la secuencia?

B=

3−

PROPLEMAS PROPUESTOS

c) 39/4

1  1  1  1 − 1 −  2  3  4 

1

x 1−

e) 1

a) 1

9. Hallar:

1 2 +5 3 5 1 2+3 8

b) 1/ 4

d) 1

e) 2

d) 3/ 5

e) 1/ 3

1 1 <n< 8 2

c) 5/ 16

2 1 1 13 + + + 5 24 8 120 5. Hallar: A = 6 1 2 +1 + 13 5 65 S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

a) 3

9 48

b)

13 48

 216 − 6. Simplificar: S =  3  1000 

1 a) 2

51

c) 3

9 13

d)

1 2

e) 1

4   1 1  ÷ +  3   6 10  

1 b) − 2

1 c) − 4

1er. Año Secundaria 52

MATEMÁTICA

 x −1 + y −1 11. Reducir:   x −1 y −1  a)

d) 1

3 e) 4

1 x

 3 B = 3 9 

a) 1

−2

   

2 −  3

−3

12. Reducir:

b) 2

a)

c) 8

d) 9

e) 16

8. ¿Cuál es la fracción equivalente a 70/ 98, tal que el producto de sus términos sea 315?. Dar la diferencia de sus términos. a) 18

b) 10

c) 12

d) 6

c)

1 xy

d)

1 x −y

e)

1 99

1 3

c)

1 4

d)

5 3

e)

1 5

e)

9 11

1

3+ 3+

−1

−3

1 y

1 1 1−

8  −  9 

−1

b)

7. Hallar: AB ,sabiendo que:

4  A = 8  5

   

1 2

b)

13. ¿Cuánto le falta a

a)

e) 8

1 2

8 9

4 2 5 6 para ser iguales a los de los de de 7? 11 3 7 11 b)

11 5

8 3

c)

14. ¿Qué fracción de 65 hay que añadirle a los 2

1  1  1   1   9. Efectuar el producto: P = 1 − 1 − 1 − ... 1 −  4  9  16   100   1 11 111 99 a) b) c) d) 2 201 101 20

a)

e)

b) 38

c) 40

d) 42

15. Reducir:

e) 44

a) S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b)

4 5

c)

16 11

1 4 de 5 para que pueda ser igual a 130? 3 7 9 7

d)

76 2

e)

4 9

d)

1 2

e) N.a

1 99

10. Una fracción se divide entre su inversa y da como resultado: 289/ 529. Halle la suma de los términos de la fracción: a) 36

9 5

d)

S1MA32B

1 11

P =

( 2 −1 + 1) 0,5  1  −   0,5 

−1

−(0 ,5 )−1

b) −

1 11

− ( 0, 25 ) −2  1  + −   27 

−1

−3 −1

c) −

1 2

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 1er . Año Secundaria

51

1er. Año Secundaria 52

1 1 2 2 3 10 10 16. Halla: M = − + − + − ... + − 2 3 3 3 2 2 3 a)

50 6

b)

55 3

c)

17 2

d)

50 3

e)

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

55 6

17. ¿Cuál es el número que tiene 14 de diferencia entre sus 3/ 4 y sus 2/ 5? a) 10

b) 30

c) 40

d) 15

e) 18

18. ¿Cuánto es un tercio más un medio de un tercio más un medio de diez? a) 4

1 2

b) 4

19. Simplificar la expresión: P =

a) 2

b)

73 91

b) 3

1 2

e) otro valor

191919 192192 9999 + + 919191 273273 9191 

c) 1,3

20. Calcular el valor de "S": S = 1 +

a) 1

d) 5

c) 5

d) 0,51

e)

17 91

3 2

e)

2 3

1 1 1 1 + + + + ... 3 9 27 81 c) 2

MATEMÁTICA

d)

EJERCICIOS PROPUESTOS 01 02 C C B A E D D D E B D C C B D D A B D C E E D A B E C D A D

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

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SOLUCIONARIO S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S1MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”


Matematica 1º2b