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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria

01

TRIÁNGULO

4to. Año Secundaria 02

GEOMETRÍA

β

DEFINICIÓN: Es la reunión de 3 segmentos determinados por 3 puntos no colineales.

φ

α

03.

NOTACIÓN

β

Un lado está compuesto entre la suma y la diferencia de los otros lados. Es decir, según el gráfico:

∆ ABC ; se lee " triángulo ABC"

ELEMENTOS: vértice

lado exterior exterior

lado interior A

interior

C

01.

α

θ

a>θ⇔a>c

La suma de las medidas de sus 3 ángulos interiores es 180° En el gráfico, podemos observar que:

c

α + β + θ = 180°

θ

A.

α

02.

θ

SEGÚN SUS ÁNGULOS

La medida de un ángulo exterior (φ) es igual a la suma de 2 ángulos interiores (α) y (β) no adyacentes a él. φ=α+β

S4GE31B

“El nuevo símbolo de una buena educación ...”

Así :

α

α

f) Triángulo Equilátero: Es aquel triángulo que tiene sus tres lados congruentes y sus tres ángulos interiores que miden 60° cada uno.

60°

hipotenusa (lado>)

cateto

α

a) Triángulo Acutángulo: Es aquel que tiene tres ángulos agudos, o sea menores de 90° α < 90° β < 90° φ < 90°

en el vertice

β

Así: a + q = 90°

θ

CLASES: β

180 −θ 2

θ 2

θ

c) Triángulo Rectángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto y dos agudos.

a α

⇒ α = 90° −

lado mayor

A mayor ángulo se le opone mayor lado y viceversa. Es decir:

TEOREMAS

2α + θ = 180° ⇒ α =

∴α<90

b

04.

α < 90° → obtuso agudos β < 90° φ < 90°

Así :

a

c

e) Triángulo Isósceles: Es aquel triángulo que tiene dos lados congruentes y los ángulos que se oponen a dichos lados son también congruentes. Del gráfico:

b) Triángulo Obtusángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.

a-c<b<a+c

B

θ

α

60°

cateto

B.

60°

SEGÚN SUS LADOS: d) Triángulos Escaleno: Es aquel triángulo que tiene sus tres lados diferentes y sus tres ángulos interiores diferentes.

S4GE31B

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES: a)

Mediana: BM Las medianas concurren en el baricentro “G”

”El nuevo símbolo de una buena educación ...”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria

01

4to. Año Secundaria 02

GEOMETRÍA

Propiedad: AG = 2GN

B B

α

B

Bisectris interior A

M

A

θ

a) 80° d) 120°

C

α

A

Acutángulo B

N

H Obtusángulo

b) 35° e) N.a.

H

a)15° d) 60°

A

A

H

c)

03. Hallar “α” L

A

20°

90 + α

b) 20° e) 25°

c) 30°

b) 30° e) 70°

E

b) 60 e) 90

c) 70

b) 25° e) N.a.

c) 45°

c) 45°

06. Los ángulos de un triángulo están en relación de 2, 3 y 5. Calcular el menor. a) 54° d) 20° 07. Hallar “α”

b) 36° e) 50°

x

c) 30° a)20° d) 30°

N

“El nuevo símbolo de una buena educación ...”

60° B

09.Hallar “α”

10. Hallar “α”

Bisectriz: BD y BE Las bisectrices interiores concurren en el punto (1), llamado incentro.

S4GE31B

x

c) 2

a) 50 d) 80

a) 10° d) 20°

Ortocentro

C

c) 50°

x

90 + α B

b) 4 e) N.a.

C

C

c) 20°

90 + α

Rectángulo

C

20°

N

A

25 D

C

02. Hallar “α”

H

b) 20° e) 5°

05. Hallar “α”

a) 15° d) 45°

B

a) 10° d) 25°

30°

D

E

B

A

75 5

a) 1 d) 3

D

D

E

A

Altura: BH Las 3 alturas concurren en el ortocentro “H”

20° x

08. Del gráfico, hallar “x” si: CD = DE =BE

PRACTICA DE CLASE

A

c) 100°

A

50

01. Hallar “α”

b)

80 − α

B

N G

E

b) 50° e) 150°

β β

1

80 +α

04. ¿Cuántos triángulos isósceles existen?

θ θ α

x

70 − α

E

C

D

70 +α

Bisectris exterior

θ

S4GE31B

”El nuevo símbolo de una buena educación ...”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria

01

B

17. En un triángulo: El incentro es el punto determinado por la intersección de:

F

C x

x

A

E

30°

A

C

E

D G

a) 65° d) 50°

GEOMETRÍA

B

B

20°

4to. Año Secundaria 02

b) 25° e) 80°

c) 60°

11. Hallar “α”

a) 15° b) 16° d) 18° e) 20° 14. Si: x - α = 20°. Hallar x°

c) 17°

B

B

a) las bisectrices c) las mediatrices e) N.a.

b) las medianas e) las alturas

18. En un triángulo el punto determinado por la intersección de las medianas se denomina: a) incentro b) ortocentro c) circuncentro d) baricentro e) N.a.

D

α

A

C

a) 10° d) 37°

b) 28° e) 20°

C

19. En un triángulo rectángulo el ortocentro se encuentra en:

B

α

A

60°

2x E

a) 20° d) 45°

A

D

C α

b) 40° e) 35°

α

c) 30°

C

a) 16° d) 30°

12. Hallar x° ∆ ABC (Equilátero)

b) 32° e) 15°

c) 25°

15. Hallar “x”

B

70°

a) El punto medio de un cateto. b) Punto medio de la hipotenusa. c) El ángulo agudo mayor. d) El ángulo recto. e) N.a.

P

20. Si el ortocentro coincide con el baricentro y el circuncentro, entonces el triángulo es: a) rectángulo c) acutángulo e) N.a.

b) obtusángulo d) equiángulo

E A

D

a) 30° d) 20°

b) 35° e) 25°

B 35°

01. El excentro está determinado por: 20°

a

x C

A

a) 80° d) 100° D

a) 75° d) 35°

b) 15° e) N.a.

c) 45°

13. En el gráfico GE = BE = FC y AB = AE. Hallar “x”: S4GE31B

a

x

b) 32° e) 120°

c) 90°

16. El punto determinado por la intersección de las medianas en un triángulo se llama: a) mediatriz c) incentro e) ortocentro

“El nuevo símbolo de una buena educación ...”

a) La intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores b) la intersección de dos bisectrices exteriores y una interior c) La intersección de dos bisectrices interiores y una exterior d) La intersección de las medianas e) N.a.

c) 40°

04. Calcular x, si AD = DE y AB = EC

PROBLEMAS PROPUESTOS: b b

c) 30°

03. Calcular x, si BC = CE, AB = CD y triángulo ABD es equilátero.

3x

D

F

E

E x 35°

A

C

D

a) 40° d) 35°

b) 45° e) 30°

c) 70°

05. En el gráfico, calcular CD, si AB = EC = 6. C

B β

β

02. Hallar”α” si: AB = Bc = CD = EF:

40° 70°

b) circuncentro d) baricentro

A S4GE31B

”El nuevo símbolo de una buena educación ...”

α

α

D


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria a) 5 d) 12

b) 3 e) 6

01 B

c) 7

GEOMETRÍA

d) 90 C

60º

2xº

β

A

b)

a) 25 d) 55

C

D

a) 6 3 d) 4 3

4

c)

e) 5 3

5

b) 35 e) 65

x

R

c) 45

10. Calcular: “a + b + c + d + e + f” bº

1º 3α 2θ

a) 25 d) 45

b) 40 e) 60

a) 180 d) 90 c) 50

c) 540

11. Calcular “α”, si AB = BC = CD = DE = EF B

08. Calcular “x”

α

D

A

xº 3α

θ

b) 10 e) 15

α

C

a) 15 d) 24

E

b) 18 e) 30

F

c) 20

12. De la figura, calcular “x”

c) 30

2α α

09. Si AB = BC = CD; calcular “x”

60º

a) 60

“El nuevo símbolo de una buena educación ...”

b) 70

c) 80

c) 40

b) 30 e) 45

c) 35

b)

a) 35 d) 50

b) 40 e) 45

c) 30

05. Si AB = BC y AD = DE, calcular “x”. D

2θ 3

e) θ

c)

θ 2

120°

B

a) 20 d) 37

02. Si BP = AP = AC, calcular “x” S4GE31B

c) 60

04. Se tiene un triángulo ABC, AB =BC, sobre AC se toma el punto “D” tal que AB = DC, y en la prolongación de BD se toma el punto “E” tal que BC=BE. Si la m∠DAE = 35, calcular la m∠C.

01. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB=BC). En AC se toma el punto “F” y en BC el punto “G” tal que BF=BG. Calcular la m∠CFG, si la m∠ABF = θ.

3θ 2 4θ d) 3

β

b) 35 e) 55

b) 65 e) 50

TAREA DOMICLIARIA

a)

15. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD . Si m∠BAC - m∠BCA = 90. Calcular la m∠ BDA a) 25 d) 40

α

80º

a) 20 d) 70

α

c) 36

03. Sobre los lados AB , BC y AC de un triángulo ABC se consideran los puntos “P” “Q” y “R” respectivamente, tal que PQ=QR y m∠BPQ+m∠CQR=110. Si AB=BC. Calcular la m∠ARP. a) 70 d) 55

C

b) 30 e)35

β

70º

b) 270 e) 360

c) 30

β

80º xº

b) 20 e) 50

14. Calcular “x”

6θ α

a) 20 d) 40

C

A

a) 10 d) 40

x

A

Q

07. En la figura, calcular “x”

S4GE31B

40º

P D

120º

B

a) 20 d) 40

P

B

A

B

e) 100

13. De la figura, calcular “x”

100º

06. Según el gráfico, calcular AB, si AD = DC

β

4to. Año Secundaria 02

”El nuevo símbolo de una buena educación ...”

x

E

b) 26 e) 45

C

A

c) 30


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria

01

06. En un triángulo ABC, la medida del ángulo exterior en B mide 126 y las medidas de los ángulos interiores A y C están en la relación de 3 a 4. ¿De qué tipo de triángulo se trata?

GEOMETRÍA

80°

a) Escaleno b) Rectángulo c) Isósceles d) Acutángulo e) Dos respuestas son correctas

3α α

a) 140 d) 135

07. Si AB=BC=AD, calcular “x”

4to. Año Secundaria 02

02.

CUADRILÁTER x

3θ θ

b) 145 e) N.A.

c) 155

Si b // B → m = b

DEFINICIÓN Es aquella figura geométrica determinada por cuatro lados

m

CLASES 1.

B

B +b 2

B

TRAPEZOIDES: Ningún par de lados opuestos es paralelo

03.

Si b // B → x =

x

B −b 2

b x

C

60°

A

x

D

a) 75 d) 90

b) 80 e) 95

c) 85

2.

PARALELOGRAMOS: Sus opuestos son paralelos e iguales.

lados

08. En la figura AB = BC = CD = DE, calcular “x”

B

04.

α + β = 180° α

β 96°

D

3. B

A

b

x

a) 16 d) 24

C

b) 18 e) 26

E

c) 20

b) 111 e) 114

b

b

05.

m

B

B

x=

b

TEOREMAS 01.

a

x = a° + b° + c° α

α

06.

c) 112

“El nuevo símbolo de una buena educación ...”

a +b 2

B

x

x = 120° - 2θ

10. Calcular “x”

S4GE31B

β

α

h

09. Calcular la medida del mayor ángulo interno de un triángulo si un ángulo externo mide 148, y de los dos ángulos internos no adyacentes a dicho ángulo, uno mide el triple de lo que mide el otro. a) 110 d) 113

TRAPECIOS: Tienen dos lados paralelos llamados bases

S4GE31B

”El nuevo símbolo de una buena educación ...”

x

β

β


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S4GE31B

4to. Año Secundaria 02

GEOMETRÍA

a

a x

01

2θ a

“El nuevo símbolo de una buena educación ...”

S4GE31B

”El nuevo símbolo de una buena educación ...”

Geometria(3 parte) 4° 1b  
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