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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria 27

28

VÉRTICES : A, B, C

II

LADOS:

TRIÁNGU

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA 2.

3.

Isósceles B

AB, BC y AC

θ°

ÁNGULOS: Ángulos internos: α, β y θ ÁNGULOS EXTERNOS:

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1. Identifica cada triángulo según sus lados y según sus ángulos. 2. Aplica las propiedades de los triángulos en la resolución de problemas. PROCEDIMIENTOS:

L

PERÍMETRO: 2p = a + b + c A

NOTACIÓN: Triángulo ABC : Δ ABC

L

α°

C

x = α° + θ° 3.

A. SEGÚN SUS ÁNGULOS

Equilátero

A

*

60°

OBTUSÁNGULO 90° < α ° < 180°

A

60°

60°

C

B

2.TRIÁNGULO RECTÁNGULO

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

θ°

B

¿Cuántos kilómetros debe recorrer Javicho para ahorrar tiempo y zapatos?. Además se sabe que:

1.CEVIANA B

• El ∆ ABC es equilátero.

A

A

C

Escaleno

1.

α°

<

B

A

B

α°

θ° b

A

b

BM: MEDIANA

e3

C e1

C

e 1 +e 2 +e 3 = 360 °

Elementos: S3GE32B

2.MEDIANA

a

c

C

Punto cualquiera de AC e2

β°

D

A

a

c

BD : CEVIANA

C

2.

B Región triangular

α° + θ° + W° = 180°

B. SEGÚN SUS LADOS

B. CONTENIDO TEÓRICO Definición: Es una figura cerrada formada por la reunión de 3 segmentos.

c

Sea : a < b < c b-a<c<b+a c-a<b<c+a c-b<a<c+b

1.

C

b

a

PROPIEDADES GENERALES:

B

C

L

L

α°

A

4.DESIGUALDAD TRIANGULAR

B

0° < α°, θ°, W° < 90°

B

• El camino más largo es de 4 kilómetros.

x

α°

CLASIFICACIÓN :

1.TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO

A. MOTIVACIÓN. Javicho se encuentra parado en el punto A y tiene dos opciones para ir de A a C.

α° base

A

3.ALTURA: “El nuevo símbolo de una buena educación…

S3GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

M

C


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3er. Año Secundaria 27

B

B

28

Bisectriz exterior

α°

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA

CONGRUENCIAS DE TRIÁNGULOS

x

n

1er Caso : Dos triángulos serán congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre dichos lados de igual medida respectivamente.

α°

A

C

H

α°

W° W°

D

C

A

B

α°

4.Se cumple :

1.CUADRILÁTERO

x =90 °−

a

n 2

a α°

α° b

x

a BH

n

2do. Caso : Dos triángulos serán congruentes si tienen un lado y los ángulos adyacentes a dicho lado respectivamente de igual medida.

C

A

H

c W°

: ALTURA

b

b

θ°

θ°

Se cumple : 4.MEDIATRIZ:

x

x = a + b + c

B

Mediatriz de AC

5.Siendo :

2.

α°

BH → altura BF → Bi sec triz de ABC

θ° 1

3er. Caso : Dos triángulos serán congruentes si tienen sus tres lados respectivamente de igual medida.

n B

A

α°

θ° 1

C

5.BISECTRIZ:

α° α°

B

θ° θ°

a

Se cumple : A

n x =90 ° + 2

Bisectriz interior

A

x

x

α° α°

H

C

F

α°

θ° c

a

b

α°

θ° c

Se cumple : C

TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS

3.Se cumple : x=

 ∠ A −∠C x = 2

n 2

Si por el medio del lado de un triángulo se traza una paralela a otro lado, entonces dicha paralela intercepta al tercer lado en su punto medio y el segmento de paralela determinado mide la mitad del lado al cual es paralelo. Si : ↔ // AC . M es punto medio de

L

S3GE32B

b

“El nuevo símbolo de una buena educación…

S3GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

AB


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3er. Año Secundaria 27

N punto medio de BC MN =

28

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA

a

PRACTICA DE CLASE

0

AC 2

01. En el

ABC hallar el ángulo “X”

06. En la figura, calcular el valor de “x” sabiendo que BP es bisectriz del ángulo ABC y ∠ BPC = 18 B

C A

B

B

x

OA = OB

L

N

M

PROPIEDAD EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

A

C

144

En todo triángulo la mediana relativa a la hipotenusa mide la mitad de dicha hipotenusa. B

PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ

* OQ bisectriz de ∠ AOB <

A

C

M

A

BM−

E 0

Q

N

F

B

1.Triángulos Isósceles : En todo triángulo isósceles la altura relativa a la base también es: bisectriz, mediana y mediatriz. B

NE = NF OE = OF

l

a) 25 y 10 d) 4 y 20

a) 22° d) 40°

c) 25°

Si sobre la mediatriz de un segmento se ubica un punto cualquiera, entonces dicho punto equidista de los extremos del segmento. * a mediatriz de AB * “O” punto cualquiera de a

“El nuevo símbolo de una buena educación…

A

b) 108° e) N.a.

α H

40

Bi sec triz Mediana Mediatriz

D

A

a) 125° d) 140°

S3GE32B

b) 80° e) N.a.

c) 9°

07. Determinar el valor de "x" sabiendo que el  MON es equilátero. B

β

β

O

x

β N

M

Altura BH =

b) 8° e) N.a.

c) 50°

B C

Q

C

a) 5° d) 4°

c) 5 y 16

05. En la figura: AB =BD =DC . Calcular ∠ BDC

l

α

b) 8 y 18 e) N.a.

04. ¿Qué valor debe tener uno de los ángulos de un triángulo si conocemos que se encuentran en progresión aritmética? a) 30° b) 60° c) 50° d) 40° e) N.a.

PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ

S3GE32B

b) 18° e) N.a.

P

03. Los ángulos interiores de un triángulo tomados dos a dos suman 158; 130 y 72. ¿Cuánto mide el ángulo mayor?

AC 2

TRIÁNGULOS PARTICULARES α α

a) 15° d) 34°

x A

A

02. El perímetro de un triángulo mide 34 y uno de sus lados mide 16. Calcular la medida de los otros dos, si su producto es 80.

Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo :

Se cumple :

D

B

C

c) 110°

a) 75° d) 40°

b) 30° e) N.a.

c) 50°

08. El perímetro de un triángulo mide 90. Calcular la medida de sus lados sabiendo que son 3 números enteros consecutivos. a) 25, 26 y 27 c) 30, 31 y 32 e) N.a.

b) 28, 29 y 30 d) 29, 30 y 31

09. La suma de los lados de un triángulo son: a + b = 29; b + c = 21 y a + c = 24. ¿Cuánto mide el lado menor del triángulo? a) 15 d) 8

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

b) 16 e) N.a.

c) 13


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3er. Año Secundaria 27

10. El perímetro de un triángulo mide 28. Calcular la medida de sus lados sabiendo que el lado mayor excede al intermedio en 3 y éste excede al menor en 5. a) 5, 10 y 13 c) 5, 12 y 11 e) N.a.

a) 5<x<6 d) 0<x<10 12. Hallar "x"

b) 25<x<36 e) N.a.

c) 1<x<11

B 80

x

a) 25° d) 40°

b) 80° e) N.a.

c) 50°

13. Hallar " x " x

a) 20° d) 40° 14. Hallar " x" S3GE32B

α α

φ

b) 18° e) 60°

y

x

a) 100 d) 110

b) 30° e) N.a.

b) 105 e) 120

c) 40°

a) B E = C

b) B E = 2 C

c) B E = 3 C e) N.a.

d) B E = 4 C

b) 10 e) N.a.

c) 103

a) 2 d) 8

L2

b) 4 e) 2

c) 6 2

05. Según el gráfico. Calcular θ, si: a + b + c + d = 340°

02. Según el gráfico, calcular : α + β 2θ

d

θ

θ

a) 200° d) 220°

b

a

αβ

θ

θ

ω

b) 205° e) 215°

ω

c) 210°

a) 10 d) 50

b) 30 e) 75

c) 25

06. Del gráfico. Calcular “x” a+b

03. Según el gráfico, calcular “x” : x

x

a

2a

b

θ

a) 100° d) 125°

θ

70°

b) 110° e) 130°

β

β

a) 75° d) 120°

c) 115°

c) 5 04. Hallar “x” L1 // L 2

c) 50°

07. Hallar “x”

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01

“El nuevo símbolo de una buena educación…

α

50

17. En un triángulo ABC se toma en AC un punto D y se une con B de tal modo que BC = DC = AB. Hallar el ángulo exterior en B, en función del ángulo C.

a) 2.5 d) 4

b

c

18. En un triángulo ABC, A = C = 20°. D es un pinto de AC tal que el unirlo con B, BDC = 80°. Si BC = 5, Hallar Dc.

80 φ

a

c) 50°

a) 50, 50 y 80° b) 60, 60 y 60° c) 40, 40, 100° d) 30, 30, 120° e) N.a.

a) 20° d) 50°

C

α

50

16. Si uno de los ángulos externos de un triángulo mide 70! y la diferencia de los internos no adyacente es 10°.¿Cuál es el mayor de dichos ángulos internos?

AB =BC

A

n

15.Los ángulos de un triángulo ABC valen A = 60°, B = 100°.Prolongado AB una longitud BD = BC, calcúlense los ángulos del triángulo CBD.

x

2

x

m

b) 80° e) 75°

L1

θ

θ

Calcular x + y

a) 25° d) 40°

6

5

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA

01.En el gráfico : a + b – m – n = 105

x

b) 8, 12 y 8 c) 4, 10 y 14

11. Hallar entre que valores esta "x".

28

S3GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

b) 85° e) 150°

c) 90°


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria 27 P

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA

28

01. Hallar “x” si :

B

T

x

100

N

4a

AB = CD y CB = DE

E

A

x

D

40°

a 2b

U

b a) 15° d) 75°

b) 30° e) 90°

c) 60°

A

a) 4 d) 2

b) 6 e) 10

c) 8

11. En el esquema mostrado se tiene AC =12 y ED=2. Hallar AB

08. Hallar “θ”

A

θ

1

D

a) 45° d) 60°

C

b) 30° e) 15°

x B E

14. Hallar “x” a) 100 d) 60

B

b) 120 e) 75

c) 90

C 02. Hallar “x”

10 A

5x 3x

7

B a) 76 d) 85

C

c) 20°

b) 78 e) 90

2x x

14x

D

E

c) 80 a) 4 d) 7

09. Del gráfico, calcular “θ”

C

b) 5 e) 8

c) 6

D

a) 5° d) 12°

b) 8° e) 15°

c) 10° a) 38° d) 32°

15.Hallar “x”

12. De la figura; hallar “x” θ

C 4

b) 36° e) 30°

c) 34°

03. Hallar “x”

x 5

53°

2

30°

3

3

a) 21 d) 24

b) 22 e) 23

E

2

α

c) 25

10. Si : UN = 4 y NI = 3. Hallar PN

D

a) 2α d) 30 13. Hallar “x”

x

θ θ

B

A

b) α e) 45

c) α+30

a) 45

b) 45+θ

d) θ

e) 2θ

c) 45+

TAREA DOMICILIARIA S3GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…

x

S3GE32B

θ 2

a) 10° d) 30° 04. Hallar “y”

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

b) 15° e) 36°

c) 20°


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3er. Año Secundaria 27

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA

28

e

CUADRILÁTER

4y 3y

OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 1. Aplicar las propiedades de cuadriláteros en la resolución de problemas.

y

x PARALELOGRAMOS: Sus lados opuestos son paralelos e iguales. Cuadrado

a) 16° d) 30°

b) 8° e) 15°

b

c) 10°

PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACIÓN. "Descubriendo la ubicación conveniente del Aeropuerto" Supongamos que cuatro ciudades deciden unir esfuerzos para construir un aeropuerto común. Para ello es necesario simular la situación. Necesitamos cuatro chinches y un botón de 4 agujeros, además un pedazo de pabilo sobre un trozo de madera ubica los cuatro chinches que simulan las cuatro ciudades(Ver figura). Has pasar un hilo con nudo en A que las conecte a través del botón. Al tensar el fina del hilo, el lugar que pasa a ocupar el botón nos indica la posible ubicación del aeropuerto. B

3

rombo

6

TRAPECIOS: Tienen llamados bases.

m

04. α + β = 180º

b

05. x = B rectángulo

¿Qué propiedad tiene el punto final del botón respecto del cuadrilátero ABCD ?

a +b 2

B isósceles

TEOREMAS

α α

01. x = aº + bº + cº

x

β

xº 07. x =

b

a

a

B +b 02. Si b // B → m = 2

a

a +b 2

m

b

B

................................................................................ ................................................................................

α α

..............................................................................

“El nuevo símbolo de una buena educación…

β

06. x = 120º - 2θ

DEFINICION: .....................................................

S3GE32B

x

B. CONTENIDO TEÓRICO

TRAPEZOIDES: Ningún par de lados opuestos es paralelo.

b

a

D

β

α

7 9

α

lados paralelos

h

B escaleno

8 2

dos

b

b

5

1

romboide

β

C

4

A

rectángulo

B

B −b 03. Si b // B → x = 2 S3GE32B

08.

a +b x= 2

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

x a

θ

θ


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3er. Año Secundaria 27

28

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA

B

x

a

b

α

A

θ

C x

4

θ

M 80

B

A

AD +BC =10

D αα

a) 60 d) 70

B

C

M

N

b) 100 e) N.a.

P

c) 80

6

Q D

b) 2,5 e) N.a.

c) 3

b

C

x

b) 8 e) N.a.

c) 7 A

03. Calcular la relación de las bases de un trapecio si el segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la base menor. a) 3 ó 4 b) 3 ó 5 c) 3 ó 1/2 d) 1/3 ó 3 e) 3 04. Hallar “x” ABCD es paralelogramo

S3GE32B

40

a) 6 d) 12

07. Hallar “x” :

“El nuevo símbolo de una buena educación…

b) 90º e) 45º

c) 70º

b) 20º e) N.a.

c) 45º

10. En un trapecio isósceles donde uno de sus ángulos mide 45º y uno de sus lados no paralelos mide 6. Calcular el segmento que une el punto medio de las diagonales. b) 2√2 e) N.a.

45

70

b) 5 e) 6

b) 12 e) N.a.

P

B

C R

N

Q

M

A a) 8b) 12 d) 2

D c) 6 e) 10

14. En la figura mostrada M y N son punto medios de AB y AC respectivamente si CC’ = 12 y MM’ = NN’. Calcular BB’

c) 3√2

c) 7

c) 7

13. En el siguiente gráfico MNPQ es un paralelogramo RD // PQ, RD = RC y MN + NP + PQ = 12

M'

B

B'

11. En un trapecio ABCD ( AB // CD ) BC = 4, CD = 6, A = 30, y C = 120. Hallar AB a) 14 d) 10

a

b) 4 e) N.a.

D

D

a) 4 d) 4,5

N

M

a) 4 d) 3

c) 40º

09. En un cuadrilátero ABCD tenemos que AB = AD . BAD = 60º, ABC = 80º y ADC = 140º. Hallar ACD

a) √2 d) 4√2

2

b) 53º e) 20º

08. En un rombo ABCD calcular el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BAC y BDC

a) 15º d) 30º

06. Hallar MN si AB =12 , ABCD es trapecio B

a) 10º d) 30º

a) 30º d) 60º

A

a)1 d) 5

02. En la propiedad hallar “x” :

x

c) 2

C

20

80

b) 6 e) N.a.

05. ABCD es un trapecio. Hallar MN

θ θ

A

x

PRACTICA DE CLASE. a) 4 d) 10

C

N

2 D

01. Hallar “x” :

B α

M A

N' C

N C'

c) 3

12. En el siguiente gráfico “M” es el punto medio de CD? CD, AN = 7 y BN = 1. Hallar MN :

S3GE32B

a) 12 b) 3 c) 3,5 d) 2,5 e) 6 15. En la figura siguiente AE = EB, AB = AD. Hallar “x”

“El nuevo símbolo de una buena educación…”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN E

A

3er. Año Secundaria 27

45 75 D

a) 30º d) 60º

c) 45º

B

C H

Q

a) 7 d) 5

a) 5 d) 10

C B

D

a) Romboide b) Rectángulo c) Rombo d) Cuadrado e) Trapecio 02. En la figura mostrada ABCD es un trapecio P y Q puntos medios de sus diagonales M punto medio de BP y N punto medio de CQ. Hallar MN si AD + BC = 10 S3GE32B

A

C

B

40

A

a) 3 d) 3,5

H

11 +4

3

b)

11 +5

3

c)

11 +4

2

d)

11 +4

6

e)

11 +4

7

a) 90° d) 136°

P

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02 EO

AC y Hallar el valor de

b) 68° e) 73°

D c) 102°

03.En un rombo ABCD, Â ∠ 90°, se trazan BH y CR ,perpendiculares a BD ( H en AD y R en su prolongación). Hallar HD; si: AR = 17 y HR = 11 a) 6 d) 4

“El nuevo símbolo de una buena educación…

C

A

b) 7 e) 3

c) 5

04.Hallar la longitud de la mediana de un  trapecio ABCD, si: BC = 3; A =53 °  , y AB =5 y D =45 ° a) 5,5 d) 4,5 S3GE32B

b) 7,5 e)N.a.

a) 4b) 5 d) 5,5 06.En

02.La figura ABCD, es un rectángulo  BH AC ; O BC mide 34°.  BP biseca el H BO y CP biseca el  OCD Hallar la medida del ángulo BPC.

c) 6

AO =OC =OE

c) 69°

O

a)

"x"

b) 90° e) N.a.

D

04. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, A = 60, sobre BC se construye el triángulo equilátero BFC exterior y sobre AC el cuadrado AQRC, también exterior. Calcular la longitud de FQ siendo AB = 1

01. ABCD, rectángulo.

D

B 70

b) 4 e) 2.75

21°

a) 84° d) 66°

N

M

c) 3,5

01. En la figura mostrada ABCD es un trapezoide donde P, Q, R y S son puntos medios de sus lados entonces el cuadrilátero PQRS es :

c) 6

03. Se tiene un trapecio ABCD donde A = 40 y D = 70. Hallar el segmento que une los puntos medios de sus diagonales de dicho trapecio si AB = 12

TAREA DOMICILIARIA

A

b) 2,5 e) N.a.

05.En un triángulo ABC, M es punto medio de AB , se traza MH AC ; (H en AC ). Hallar la longitud de EF , si " F " está sobre BC , " E " es punto medio de HM y EF 3 y HC = 7.

O

D

α 6 90−α 2α α P D

b) 14 e) 20

C

Q

A

16. Hallar BH si ABCD es un paralelogramo.

A

P

Q

b) 15º e) 53/2

α 4

B

C

x

E x

N

M

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA

C

B

B

28

c) 6,5

HM , siendo AH =

c) 4,5 e) 6. un

trapezoide ABCD, Hallar la medida del mayor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos C y D.   A +B =136 °;

a) 48° d) 72° 07. En

b) 62° e) 80°

c) 68°

un

cuadrilátero ABCD, hallar la medida del menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos B y D.   A +B =22 °,

a) 22° d) 44°

b) 11° e) N.a.

c) 33°

08. En la figura, MN es mediana del trapecio ABCD. MR =RH y HT =TN Si: BC =36 y AD =48 . Hallar PQ

a) 28 d) 26,5

b) 27 e) 28,5

c) 30

09. En un rombo ABCD, " M " es punto medio de BC . La diagonal BD , corta a AM , en el punto R. si RM = 10 y el ángulo BRM mide 53°; hallar BD . a) 60° b) 70° c) 80° d) 36° e) 72° 10. En un trapecio ABCD, BC ∥ AD , AB =6 , BC = 4 y AD = 14; las

“El nuevo símbolo de una buena educación…”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria 27

bisectrices de los ángulos A y B, se cortan en el punto P. Hallar PQ , si " Q " está en CD y PQ \\ BC a) 5 d) 4

b) 6 e) 8

c) 7

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA D = 2R

CIRCUNFEREN OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 1. Reconocer los elementos, ángulos y las propiedades de la circunferencia. PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACIÓN. Resuelve la siguiente situación haciendo uso de tu imaginación: En el centro de un camino recto se ubica un Pino. se sabe que a cuarenta metros del camino y a cincuenta metros del pino se encuentra un tesoro. ¿En cuantos lugares se debe buscar el tesoro?. Rpta. .................

Es la línea curva, plana y cerrada cuyos puntos ( aferentes o cíclicos ) todos equidistan de otro llamado CENTRO . ELEMENTOS .1. Centro : Punto fijo : O 2. Radio : Segmento de recta que une el centro con cualquiera de los puntos aferentes o cíclicos (OB = OA = R ) 3. Cuerda : Segmento que une dos puntos cíclicos (PQ ) 4. Diámetro ( D ) : Cuerda que pasa por el centro. Se llama también CUERDA MAXIMA, y divide a la circunferencia Fig : 01

A

P

θ 2

x

θ O

6. Tangente : Recta que intersecta a la circuferencia en un punto llamado PUNTO DE TANGENCIA T ( L2 ) C. ANGULO SEMI – INSCRITO ( Fig. 4 ) 7. Normal : Recta que pasa por el CENTRO y por el punto de Tangencia ( L3 ) 8. Flecha : Parte del radio que se origina al trazar una cuerda perpendicular (ET )

Vértice : Cualquier punto cíclico Lados : Una cuerda y una tangente en P . Ejemplos : Si θ = 40° ⇒ x = 20° . Fig : 4 P x=

θ 2

x

O

ANGULOMETRIA

θ

A. ANGULO CENTRAL ( Fig. 2 ) .D. ANGULO EXINSCRITO ( Fig. 5 ) .-

Vértice : Centro O Lados : 2 radios

Vértice : Punto aferente P Lados : Una cuerda y una secante

Ejemplos : Si θ = 30° ⇒ ∠ x = 30°

Ejemplo : APC = 260° ⇒ ∠ X = 130°

Fig : 2

A

Fig : 5

x= θ

O

x

θ m

x=

arco APC 2

C

O

x

L1 B

E

L2

E. ANGULO INTERIOR ( Fig. 6 ) .B. ANGULO INSCRITO ( Fig. 3 ) .-

T L3

en 2 partes iguales llamadas SEMICIRCUNFERENCIA ( AB ) “El nuevo símbolo de una buena educación…

x=

P

Q o

Fig : 3

5. Secante : Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos ( L1 ) Una secante siempre contiene a una cuerda .

9. Arco : Porción de circunferencia (PQ ) Toda circunferencia mide 360° = 2π .

B. CONTENIDO TEÓRICO CONCEPTO .-

S3GE32B

28

Vértice : Cualquier punto aferente Lados : Dos cuerdas Ejemplos : Si θ = 90° ⇒ ∠ x = 45° S3GE32B

Lo originan 2 cuerdas que se cortan . Ejemplo : θ = 20° y α = 30° ⇒ x = 25°

“El nuevo símbolo de una buena educación…”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

Q

α 2

θ

x

α

O

F. ANGULO EXTERIOR ( Fig. 7 ) .El vértice está en el exterior de la circunferencia Lados : Dos secantes, o dos tangentes o una secante y una tangente. Ejemplo : Si θ = 80° α = 10°

80 −10 ⇒ x = 35° 2

E) Todo diámetro perpendicular a una cuerda, la biseca y también a los arcos respectivos. DE AC ; AE ≅ EC F) Todo triángulo semicircunferencia R ABC

r D

α

θ

O

2

O

x

A α

E

α α

O

B

a) 30° d) 60°

b) 40° ) 30°

A

C

c) 50°

02. Dado el siguiente gráfico, donde OD = DC , Calcular el ángulo ABC

D

O

b) Imposible la solución d) 120°

03. En el siguiente gráfico, hallar el área del triángulo rectángulo ABC si : R = 7m y r = 2m C D

A) Todo radio es perpendicular a la tangente en su punto de contacto. Así AB ⊥r

S3GE32B

01. Hallar el ángulo x, sabiendo que ∠ ADC = 80°

“El nuevo símbolo de una buena educación…

S3GE32B

a) 24° d)100°

b) 36° e) N.a.

c) 72°

07. Calcular la medida de un ángulo inscrito cuyos lados comprenden los 5/8 de 1/2 de la circunferencia . b) 56°15’ e) N.a.

c) 48°30’

08. ¿Cuál es el valor de un ángulo inscrito, si el arco comprendido entre sus lados es 70 cm, siendo la longitud de la circunferencia de 7,2 m. a) 14° d) 17°30’

b) 15°30’ e) N.a.

c) 16°

09. La longitud de una circunferencia es de 900m. Calcular la media de un ángulo inscrito cuyo arco comprendido entre sus lados es de 124 m. b) 25°50’ e) N.a.

c) 26°30’

C

a) 10m2 b) 14m2 c) 16m2 d) 18m2 e) 20m2 04. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 16 y 12m. Calcular el radio del círculo inscrito . a) 10m d) 4 m

c) 16°

06. Calcular la medida de un ángulo inscrito cuyos lados comprenden los 2/15 de la circunferencia

a) 24°48’ d) 27°15’

C + c = Hip + Diam

PRACTICA DE CLASE

b) 14° e) N.a.

R

B

r

a) 12° d) 18°

a) 63°30’ d) 39°15’

x

A

PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA

C

D

O

a) Faltan Datos c) 100° e) N.a.

B

x

θ

C

B

B

B

θ

A

A

x

α

05. La medida de un ángulo central comprende un arco que es los 2/45 de la circunferencia, Hallar dicho ángulo .

80

inscrito en una es rectángulo :

C

O

D

A

Fig : 7

θ x=

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA

C) En una circunferencia o en circunferencias iguales, A arcos iguales, corresponden cuerdas iguales . D) Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas, son congruentes AC ≅ BD

x=

28

B) Las tangentes trazadas desde un mismo punto son congruentes. Así : AB ≅ BC

Fig : 6

θ x=

3er. Año Secundaria 27

b) 8 m e) N.a.

c) 6 m

10. Un ángulo semi – inscrito comprende entre sus lados un arco cuya longitud es de 75m. Calcular la media de dicho ángulo, si la longitud de la circunferencia es de 500m. a) 17° d) 47°

b) 27° e) N.a.

c) 37°

11. El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia; el arco AB = 110°, el arco BC “El nuevo símbolo de una buena educación…”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria 27

= 84°, el arco CD = 86°. Calcular el ángulo BCD .

determinan un arco que es 1/18 de la circunferencia. Hallar el valor del ángulo .

a) 105° d) 90°

a) 35° d) 50°

b) 100° e) N.a.

c) 95°

b) 40° e) N.a.

28

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA 05.

01.

c) 45°

B

Q

M 5

O

P

A 60

x

x

12. El diámetro AB es perpendicular a la cuerda CD y el arco DE = 64 Calcular la medida del ángulo BOC . D

E

a) 111° d) 104°

b) 168° e) N.a.

c) 58°

14. Hallar el ángulo menor de un pentágono inscrito, si los arcos subtenidos por sus lados son proporcionales a : 6, 5, 4, 3 y 2 a) 71° d) 101°

b) 81° e) N.a.

c) 91°

15. En un círculo de centro “O” se trazan 2 secantes desde un punto, exterior “A”, formando un ángulo de 20°. De los extremos B y C de las secantes se trazan radios. El ángulo central BOC = 80°. Calcular la medida del arco DE . a) 55° d) 40°

b) 50° e) N.a.

m PQ = 5 cm

a) 67°30’ d) 70°

b) 68°15’ e) N.a.

06. E 02.

E O

F O

x

b) 20° e) N.a.

m EF = M AB ; EF = 12 CM

c) 69°10’ m EF = 90 y

m EF = 2 cm 07. x

03.

B

c) 25°

C

O

2

A

x

O 13

20. Desde un punto P se trazan las secantes PAB y PCD a una circunferencia; se tiene : arco BD = 20° mayor que el arco AC; los arcos AB y CD están en la relación de 2 a 5. El arco AC = 17° menor que el arco CD. Calcular la medida del ángulo BPD . a) 13° b) 12° c) 11° d) 10° e) N.a.

08. m AB = m CD = 90 x 7

04.

O

O A

B

N

PRACTICA DE CLASE II

x m

NBO = 25

16. Un ángulo interior en un círculo, subdienden sus lados un arco de 80° y sus prolongaciones S3GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…

B

A

D

c) 45°

F

60

x

H

19. Si desde un punto P se trazan la secante PBA y la tangente PC, el arco AB = 120°, los arcos BC y AC están en la relación de 5 a 7. Calcular la medida del ángulo APC . a) 15° d) 30°

AD

BC

c) 122°

13. Calcular la medida del ángulo menor de un cuadrilátero inscrito, si los arcos correspondientes a sus lados son entre si como 1, 2, 3 y 4 b) 56° e) N.a.

N

c) 103°

18. Un triángulo está inscrito en una semi – circunferencia, el ángulo A, equivale a los 3/5 del ángulo B. Calcular la medida del arco subtenido por los lados del ángulo A.

C

a) 54° d) 60°

b) 102° e) N.a.

m PQ = 60 y

D

A

B

B

A

a) 158° d) 132°

17. De los extremos del diámetro AB se trazan las cuerdas AD y BC que se cortan en “E”. El arco BC = 110°, el ángulo BAD 0 42°. Calcular la medida del ángulo DEC .

C

O

S3GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 09.

3er. Año Secundaria 27

28

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA

13.

17.

x x

03. x

O O

A R=5

71

53

B

48

O

x

32

C

14.

10.

18. x

x

32

04.

30

22

O

O

17

x

O

x

R = 12

11. 15.

5

TAREA DOMICILIARIA

52

05. A

60 O

r

r x

01.

C

E

x

B O r

12.

2

m AEB = 280 ; M ACB = x

x

06.

16.

45 O

x x

64

02.

L

T x

A

32

L // AB

“El nuevo símbolo de una buena educación…

S3GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

O r

r

x

S3GE32B

Q

B


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er. Año Secundaria 27

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03

28

T

E B

01. OA y OB , son radios de una circunferencia de centro O. Sobre el menor

b) 65° e) N.a.

c) 50°

02. En la figura:

P

A

F

a) 51° d) 47°

b) 102° e) 68°

c) 94°

A

C

M

D

Hallar la medida del BMD a) 52° d) 62°

b) 42° e) 72°

α

a) 45° d) 120°

b) 135° e) 150°

c) 60°

04. En la figura. PB y PC son tangentes. ˆ mide 26° y F ˆ mide 25°. Hallar el valor E de x.

S3GE32B

D

c) 100°

07. En la figura, AE es diámetro y N punto de tangencia. Hallar el valor de "x".

“El nuevo símbolo de una buena educación…

b) 56° e) 32°

c) 17°

D

a) 119° d) 148°

P

B

A

b) 109° e) 106°

c) 122°

luego AH OE ; BP OF (H y P sobre OE ). Hallar el EP, Si: AH = 15 y BP = 8.

β C

b) 64° e) 136°

a) 28° d) 31°

B

09. En un cuarto de circunferencia de centro O y radios OA , OB se toma el punto E y

B

a) 68° d) 132°

A

c) 12°

D

A

03.Se prolonga el diámetro BA de una circunferencia de centro “O”, hasta el punto P y se traza la tangente PT . Hallar la medida del arco TB; su PT mide igual que el radio.

b) 18° e) 10°

08. En la figura AB es diámetro y PD tangente. El ángulo P mide 32°. Hallar la medida del ángulo.

C

a) 82° b) 21° c) 48° d) 41° e) 42° 06. En la figura: α + β = 136°. Hallar la medida de arco AD.

c) 26°

a) 15° d) 20°

N E

E

BFD = 140°

C

C

B

B

AE = 192° y

O

x E

O

C

05. La figura muestra dos circunferencias,

M

C

2x

X

A

F

E

N

A

arco AB se toma el punto F. Si el ángulo AFB mide 130°, hallar la medida del ángulo AOB. a) 130° d) 100°

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA

a) 7 d) 1

b) 3,5 e) 2

10. En la figura, " O " es el centro y " T " punto de tangencia. Si: Â = 28° y ET AB . Hallar la medida del ángulo ETC.

S3GE32B

SOLUCIONARIO

c) 2,5 Nº

EJERCICIOS PROPUESTOS 01 02 03

01.

B

D

D

02.

B

E

A

03.

D

C

B

04.

B

C

C

“El nuevo símbolo de una buena educación…”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 05.

D

E

D

06.

C

C

E

07.

B

B

B

08.

A

E

A

09.

E

E

E

10.

D

B

D

3er. Año Secundaria 27

28

3er. Año Secundaria

GEOMETRÍA

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003

S3GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…

S3GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”


Geometria 3° 2b