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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro. Año Secundaria

17 Puntos Colineales: Son aquellos puntos que pertenecen a una misma recta. Por ejemplo, los puntos A, B, C y D, contenidos en la recta r.

I

SEGMENTO

r A

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1. Tener una idea precisa 2. Realizan operaciones con segmentos.

B. CONTENIDO TEORICO Segmentos: Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. El segmento AB de la figura adjunta

B

Se denota AB o BA . los puntos A y B son los extremos. Punto Medio de un Segmento: Es aquel punto que divide al segmento en dos segmentos congruentes. Se dice que dicho punto biseca al segmento.

A

M

B

"M" es el punto medio de AB ∴ AM ≅ MB o AM = MB = S3GE31B

C

D

∴ A, B, C y D son colineales y consecutivos.

PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACION. En el mundo encontramos miles de formas, miles de figuras: segmentos, ángulos, cuadrados, rectángulos, etc. Todo esto lo encontramos en los edificios, en las flores, en las montañas. !Ah y no olvides! que lo más concreto que percibimos de la matemática son las formas. – Identifica las formas geométricas que observas en el salón de clase. – En la naturaleza existen muchas formas geométricas regulares, menciona algunas.

A

B

AB 2

Operaciones con Segmentos: Basados en el postulado: "El Total es igual a la suma de sus partes", tenemos: B

A

P

Q

R

A B C D E F

C

AB + BC = AC

S

PQ + QR + RS =

PS

AB + BC + CD + DE + EF = AF

PRACTICA DE CLASE 01. Sobre una línea recta se toman los puntos A, B y C. Si AB = 2. Calcular el segmento que tiene por extremos los puntos medios de AC y BC respectivamente. a) 0.5 u d) 2 u

b) 1 u e) N.a.

c) 1.5 u

02. Sobre una recta se ubican los puntos A, B y C de modo que AB + AC = 18 u. Calcular AM siendo M punto medio de BC a) 4.5 u d) 15 u

b) 9 u e) 18 u

c) 12 u

03. Sobre una recta se toman los puntos A, B, C y D, de tal manera que AC + BD =10u . Calcular el segmento que tiene por extremos los puntos medios de AB y CD respectivamente . a) 2 u d) 10 u

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

b) 2.5 u e) N.a.

c) 5 u

3ro. Año Secundaria

GEOMETRÍA

18 04. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D. Se toma M punto medio de AC y N punto medio de BD . Calcular MN si AB + CD =20 m a)F. Datos d )20 m

b) 5 m e) Ninguna

c) 10 m

05. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C de manera que BC = 3 AB, luego, se toman M y N puntos medios de AB y AC respectivamente. Hallar AC si MN = 6 u a) 10 u d) 16 u

b) 12 u e) N.a.

c) 8 u

06. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, M, B y C, de tal manera que M es punto medio de AB. Hallar AC + BC, sabiendo que MC = 6 u a) 4 u d) 12 u

b) 6 u e) N.a.

c) 8 u

07. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo C punto medio de AD . Si BD - AB = 12, hallar BC. a) F. datos d) 6 u

b) 12 u e) N.a.

c) 8 u

b) 40 cm e) 50 cm

c) 45 cm

09. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C, tales que : BC – AB = 4. Luego, se ubican los puntos M, N y P, puntos medios de AB , BC y MN respectivamente. Calcular la longitud de BP . S3GE31B

b) 0.8 u e) 5 u

c) 4 u

10. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B y C. Hallar : AM 2 – BM2, sabiendo que AB x AC = 16 y que M es punto medio de BC . a) 16 u d) 10 u

b) 14 u e) 8 u

c) 12 u

11. Los puntos consecutivos A, B, C, D y E, sobre una recta determinan que AB = BC/2 = CD/3 = DE/4. Si AC = 6, Calcular AE. a) 20 u d) 5 u

b) 15 u e) N.a.

c) 10 u

12. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que : AC = 12 m, BD = 15 m y BC = CD/2. Calcular AB. a) 3 m d) 9 m

b) 5 m e) 12m

c) 7 m

13. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AC = CD/4 y BD – 4AB = 20, determinar BC. a) 2 u d) 6 u

b) 4 u e) 8 u

c) 5 u

14. A, B, C y D son puntos colineales de modo

08. Sobre una recta se toman los puntos A, M, B y N de manera tal que : AM x BN = MB x AN. Calcular AB si AM = 30 cm y AN = 60 cm a) 36 cm d) 48 cm

a) 3 u d) 1.2 u

que :

BC 3 = , luego 8AC – 3AD es : CD 5

a) AB d) 5AB

b) 4AB e) 3AB

c) 2AB

TAREA DOMICILIARIA 01. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos O, A, C y B, de tal manera que OA = 6 cm, OB = 15 cm y AC = CB/2. Se pide determinar la longitud OC.

“El nuevo símbolo de una buena educación...”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro. Año Secundaria a)7 cm d) 10 cm

b) 8 cm e) 11 cm

c) 9 cm

02. A, B, C y D son colineales de manera que BC – AB = Kcm. Si M, N y P son puntos medios de AB , BC y MN . Hallar BP en cm. a) 2 K d) K/3

b) K/2 e) K/4

17 CD = 5 m, AB – DE = 1 cm. Calcular AC – DE. a) 5 m d) 6 m

b) 4 m e) 8 m

3ro. Año Secundaria

GEOMETRÍA

18 d) 11

e) 12

c) 9 m

02. En la figura, el número de segmentos es:

c) K

03. A, B, C y D son colineales de modo que AC+BD= 100 cm y

BC 1 = . Según lo AD 3

anterior, BC es igual a : a) 25 cm d) 18 cm

b) 24 cm e) 10 cm

c) 20 cm

04. A, B, C, D, E y F son puntos colineales tal que B y E son puntos medios de AC y DF, además 2 BE – AD = 50 cm, hallar CF. a) 10 cm d) 50 cm

b) 20 cm e) 75 cm

c) 27 u

a) 2 d) 3.4

4  PM − MR   3  QM  b) 2.6 e) 4

B

C

a) 25 d) 26

b) 18 e) 30

c) 3

01. En un recta se ubican los puntos A, B, C, D, E en forma consecutiva, tal que: BC = 3m,

c) 20

04. Del gráfico. Calcular: AC + BD

-4

-3

B

C

-2 -1 0

1

a) 6b) 7 d) 9

D 2

3

ÁNGULOS

c) 8 e) 10

OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 1. Definir correctamente el termino ángulo. 2. Resolver correctamente problemas referidos a ángulos aplicando las propiedades correspondientes.

05. Según el gráfico AD = 67. Calcular “x”. P

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01

S3GE31B

M

A

06. En una recta se toman los puntos consecutivos P, Q, M y R tal que Q es punto medio de PR. Hallar E. Si :

E=

A

D

AB BC CD = = y AC=CD + 4. 2 3 4 b) 16 u e) 45 u

c) 8 e) 6

03.Según el gráfico: CD = 3(AB) = 12 y BM = MC = 5. Calcular: AB + BC + CD

c) 45 cm

05. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D. Hallar AD, si

a) 4 u d) 36 u

a) 5b) 9 d) 7

B x

a) 8b) 9

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

R 3x - 2

S

PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACION.

2x + 3

c) 10 S3GE31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro. Año Secundaria Algunas civilizaciones sorprenden por su tecnología, como el pueblo Chimu del Perú Precolombino. Vivian en uno de los desiertos más secos del mundo, pero eran expertos ingenieros hidráulicos para administrar el agua, y construyeron una amplia red de canales para irrigar las tierras. Lo más asombroso era como calibraban la pendiente del terreno(Angulo de inclinación respecto a una horizontal). Para ello inventaron un aparato que consistía en un caso de cerámica, atravesado por un fino tubo, a través de un orificio en forma de cruz con una calibración. B. CONTENIDO TEORICO

17 * ∠ AOB * ∠ AOB

3ro. Año Secundaria

GEOMETRÍA

18 2. ∠ Externos

O : vértice OA y OB : lados

a

b

b

c

a

a + b + c = 180°

a+b+c+d =360°

Clasificación de ángulos : α

1) Ángulos Agudo 2) Ángulo recto 4) Ángulo llano

Teorema :

5) Ángulo convexo

x

Internos.-

α θ θ α θ

θ O < θ< 90°

B A

θ 90° < θ< 180°

B

θ

4. ∠ Conjugados Externos.-

x = α + θ = 90°

θ = 90°

2. Bisectriz

α α

Externos.-

3) Ángulo obtuso

A

O

3. ∠ Alternos

α=θ

6) Ángulo no convexo

θ

Internos.-

θ

1. Medidas de un ángulo

O

c d

Ángulo formado por dos rectas paralelas

θ = 180°

a

b c

d

C

5. ∠ Correspondientes { …………………. ............................ ............................ ............................ } Propiedades de lados paralelos 1

3. Trisectriz

m

Observación :

q

A

α

n p

β

C O

φ φ φ

α + β = 180° D B

1. ∠ Internos

Notación : * ∠ AOB S3GE31B

{ ….…………………… ................................... ................................... ................................... }

OB : Bisectriz

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3GE31B

{ ….…………………… ................................... ................................... ................................... }

“El nuevo símbolo de una buena educación...”


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17

2

3ro. Año Secundaria

GEOMETRÍA

18

6 60° 80°

α

α α

y

α =β

a) 110° d) 140°

x=y 3

b) 120° e) 160°

110°

x

θ

L1

α α β

2x x

θ a) 9° d) 15°

x=y

L1

L1 x

β

L2

3x

Si: L1// L2 a

a) 29 d) 41

L2

b) 10° e) 16°

b) 39 e) 32

c) 11° 07. En la figura hallar “a” si, x - y = 12

θ

b

50°

5

a

L2

L1

α + β = 180°

a) 110° d) 140°

b) 120° e) 100°

L2

b) 140° e) 110°

b) 24° e) 9°

08. Hallar “x”

a) 6° 44 b) 24° 54

112° β

β

c) 130° γ γ 20° S3GE31B

c) 18°

c) 120°

05. Hallar θ.

02. Calcular “x” L 1 // L 2 .

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

a) 6° c) 12°

3a a) 130° d) 100°

60°

x

100°

x

β

2a

a

01. Hallar “x”, si L 1 // L 2

x = a +b

y

L1

PRACTICA DE CLASE

L2

c) 58

04. Hallar θ : si L 1 // L 2 .

x

S3GE31B

32°

4x

α+β = 180°

x

c) 120°

c) 170°

Nota :

α

α

b) 80° e) N.A

06. Hallar “x” L 1 // L 2

03. Calcular “x” L 1 // L 2 .

β

4

a) 100° d) 60°

x

x

β

L1

α α

θ

L2

a) 44 d) 68

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

b) 54 e) 34

x

18° c) 64 γ

12° d) 68

γ

9° e) 34 c) 64


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro. Año Secundaria

17

09. Hallar “x” si ; BOC - MOB = 36° M

A

C

a) 51° d) 48°

b) 66| e) 58°

c) 68°

x

c) 30°

b) 70° e) 100°

S3GE31B

b) 105 e) 140

b) 130° e) 125°

x+50

L1

c) 115°

L1 x

x+60

a) 5° d) 20°

b) 10° e) 25°

C

a) 60° d) 50°

b) 40° e) 80°

c) 110

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

c) 70°

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02 01. En el gráfico adjunto, se cumple : α β

a) α + β = 90 c) α=β e) 2α+3β = 180°

b) α+β=180° d) α+β=45°

02. En la siguiente figura hallar el valor de x( L 1 // L 2 ) L1 x

L2

x

c) 15°

05. Si: L 1 // L 2 y L 3 // L 4 , hallar el valor de x:

x

x

a) 20° d) 60°

0

L2

2x

c) 80°

12. La diferencia entre el suplemento y el complemento de α es igual al sextuplo de α. Calcular el suplemento del complemento de α. a) 106 d) 130

c) 18°

04. Si : L 1 // L 2 hallar el valor de x :

11. Si a un ángulo α le aumentamos el cuadrado de su complemento se obtiene un ángulo llano. Calculen el complemento del complemento de α. a) 60° d) 90°

b) 24° e) 68°

B

L4

80°

c) 124°

02. Dos ángulos están en la relación de 1 a 3. Si la diferencia entre sus complementos es un octavo de la suma de sus suplementos, hallar el complemento del mayor.

a) 65° d) 135° b) 20° e) 50°

L3

x

03. Si a uno de 2 ángulos suplementarios se le disminuye 35° para agregárselos al otro, este nuevo ángulo resulta ser ocho veces lo que queda del primero. Uno de estos ángulos mide:

α a) 60° d) 40°

b) 62° e) 65°

a) 12° d) 36°

10. Hallar “x” , si α - β = 10°.

β

20°

01. La diferencia de 2 ángulos suplementarios es 56°. Calcular el suplemento del suplemento del mayor de dichos ángulos a) 118° d) 59°

θ θx

GEOMETRÍA

18

TAREA DOMICILIARIA.

B 102°

3ro. Año Secundaria

b) 30° e) 15°

L2

04. Se tienen los ángulos AOB y BOC; calcular la medida del ángulo determinado por AO y la bisectriz del ángulo BOC, si; m ∠AOB = a, m∠ AOC = b

b 2 a+b d) 2 a) a +

a+b b c) 2a + 3 2 2 e) (a + b) 3 b)

05. Se tienen los ángulos AOB y BOC que determinan un par lineal; además OD ⊥ OB , tal que C pertenece a la región angular del ∠BOD. Si m∠AOD = m∠AOB + 30°, hallar m ∠ BOC. a) 50° d) 60°

b) 120° e) 40°

c) 150°

06. Se tienen sucesivamente los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que m ∠ AOC = 80° y m ∠ BOD = 60°. Hallar la medida del ángulo determinado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. a) 80° d) 50°

b) 65° e) 75°

c) 45° 07. En la siguiente figura :

03. En la siguiente figura, los ángulos AOB y AOC son complementarios. Hallar la medida del ángulo AOX, siendo OX bisectriz del ángulo BOC.

S3GE31B

A

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

c) 70°


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro. Año Secundaria A

17

N

x

M B

22° P

O

A

O

b) 66° e) 32°

c) 56°

08. Se tiene sucesivamente los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD cuya suma de medidas es 75°. Hallar la m ∠ AOB, si : m ∠ BOC = m ∠ COD; además la bisectriz del ángulo determinado por AO y el rayo opuesto de OC , es perpendicular a OB b) 50° e) 36°

E

b) 2° e) 8°

(m∠COD).

c) 4°

Hallar la medida del

ángulo determinado por las bisectrices de los ángulos BOC y DOE.

S3GE31B

b) 144° e) 108°

c) 100°

11. En la siguiente figura, las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD, DOE y EOA están en progresión aritmética. Hallar la medida del ángulo COD. B

A

C

O

c) 60°

a) Faltan datos d) 86°

14. Se tienen sucesivamente los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, tal que OB ⊥ OD ; además OB es bisectriz del ∠ AOC. Si m ∠ AOB = 20°, hallar la m ∠ COD. a) 80° b) 60° c) 40° d) 50° e) 70° 15. Si a la medida de un ángulo se le quita 3° más que la mitad de su suplemento, resulta un tercio de la diferencia entre el suplemento y complemento de dicho ángulo. Tal ángulo mide: a) 52° d) 82°

b) 62° e) 42°

c) 72°

D

E

10. En la siguiente figura: m ∠ BOC = m ∠ DOE

1 = 3

a) 122° d) 168°

c) 30°

09. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC cuyas medidas son respectivamente 36° y 40°. ¿Cuánto mide al ángulo determinado por OB y la bisectriz del ángulo determinado por las bisectriz de los ángulos AOB y BOC? a) 1° d) 6°

b) 66° e) 75°

Q

es bisectriz del ∠ AOQ; OM es bisectriz del ∠ AOP; m ∠ AOM = m ∠ BOQ. Calcular m ∠ BOQ.

a) 25° d) 22°

a) 72° d) 80°

D

ON

a) 22° d) 34°

GEOMETRÍA

18 del ∠ DOE es 150°. Calcular la medida del ángulo COE.

C

B

3ro. Año Secundaria

b) 80° e) 72°

c) 90°

12. Se tienen sucesivamente los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que, m ∠ AOC = 62°, m ∠ BOD = 58°, m ∠ AOD = 92°. Calcular la medida del ángulo BOC. a) 34° d) 22°

b) 28° e) 26°

c) 30°

13. Se tienen sucesivamente los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE tal que OA y OE son rayos opuestos; además ∠ BOC y ∠ DOE son complementarios; ∠ COD y ∠ AOB también son complementarios. Además la medida del ∠ BOD aumentada en el doble de la medida

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3GE31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro. Año Secundaria

POLÍGONOS

17 Nº de Lados

POLIGONO

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono

3ro. Año Secundaria

2. En todo polígono regular pueden ser inscritas y circunscritas 2 circunferencias que tienen el mismo centro. 3. Se llama región poligonal convexa a la unión del polígono convexo con su interior.

C

β

θ

p

D

Por sus elementos: # D=

B α m

e

a

e

a

n

e

e e

# D = n.v −

Equiángulos:

⇒ Vértices: A, B, C, ................ ⇒ Lados: AB, BC, CD ............... ˆ , ............... ˆ , ˆ θ , β ⇒ Angulos interiores: α ˆ, m ˆ , n ˆ, p ⇒ Angulos exteriores: ................ ⇒ Diagonal: AC; CD; ...............

θ

θ θ

60º 60º

θ θ

S = 360º 6. Suma de las medidas de los ángulos centrales:

e 60º

e

60º 60º e

S = 360º

e

e e

PARA POLIGONOS REGULARES: 1. Medida de un ángulo interior:

Polígono Cóncavo

1. En todo polígono, el número de lados es igual al número de vértices e igual número de ángulos.

CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS Por su número de lados: S3GE31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

ˆ = Sp 180(n − 4)

2. Si la estrella es regular, un ángulo ˆ = p

5. Suma de las medidas de los ángulos exteriores:

NOTAS:

Polígono Convexo

1. Suma de las medidas de los ángulos de las puntas:

180(n −4) n

S = 180(n - 2)

Regulares: Cuando son equiláteros y equiángulos.

e

(v +1)(v +2) 2

360 n

PARA POLIGONO ESTRELLADO:

4. Suma de las medidas de los ángulos internos:

60º

POLIGONOS: CONVEXO - CONCAVO Un polígono es convexo si al ser intersectado por una secante, lo hace en un máximo de dos puntos; y es cóncavo, si al intersectarlo por una secante, ésta lo hace en más de dos puntos.

ˆc =

3. Desde "v" vértices consecutivos, se puede trazar:

e

e

a A

n(n − 3) 2

e

a

a

e

360 n

3. Medida de un ángulo central:

1. Número de diagonales que se pueden trazar de un vértice: (n - 3) 2. Total de diagonales de un polígono:

e

ˆe =

FÓRMULAS:

Equiláteros:

ELEMENTOS:

GEOMETRÍA

18

ˆi = 180(n −2) n

#V = #∠ i = R

2. Medida de un ángulo exterior: S3GE31B

PRACTICA DE CLASE 01. ¿En qué polígono, el número de diagonales es igual al número de lados? a) Hexágono c) Octógono e) N.a.

b) pentágono d) Cuadrilátero

02. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono de 18 lados? a)120º d) 145º

b) 160º e) 138º

c) 118º

03. Los ángulos internos de un pentágono convexo tienen por medidas números consecutivos, expresados en grados sexagesimales. Hallar la medida menor.

“El nuevo símbolo de una buena educación...”


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro. Año Secundaria a) 108º d) 106º

b) 105º e) 109º

c) 107º

04. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuya medida de un ángulo externo es igual a los 2/13 de la medida de un ángulo interno? a) 12 lados d) 16 lados

b) 8 lados e) 14 lados

c) 15 lados

05. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 7200º? a) 36 lados d) 40 lados

b) 50 lados e) 24 lados

c) 45 lados

06. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular, si la suma de las medidas de sus ángulos internos es el triple de la suma de las medidas de sus ángulos externos? a) 6 lados d) 9 lados

b) 8 lados e) 10 lados

c) 12 lados

07. Hallar el número de lados de un polígono convexo, sabiendo que su número de diagonales es mayor que el número de lados es 150 a) 20 lados d) 22 lados

b) 12 lados c) 16 lados e) 8 lados

08. Calcular la suma de ángulo internos de aquel polígono convexo, cuyo número total de diagonales exceden en 25 al número de sus ángulos externos. a) 1400º d) 1500º

b) 1450º e) 1560º

c) 1440º

09. ¿Cuántos diagonales en total tiene aquel polígono regular convexo, en el cuál el cuadrado de su ángulo central es igual a quince veces la medida de su ángulo interior? a)10 d) 25

b) 15 e) 30

a) 1600 lados c) 1800 lados e) 820 lados

b) 1500 lados d) 1650 lados

3ro. Año Secundaria

11. Calcular el número de diagonales de un polígono regular, si se sabe que las mediatrices de dos lados consecutivos forman un ángulo cuya medida es 18º a) 27 d) 170

b) 135 e) 175

c) 104

12. En un polígono regular, la medida de un ángulo interior es igual a cinco veces la medida de un ángulo central. Calcular el número de diagonales trazadas desde los tres primeros vértices a) 32 d) 29

b) 44 e) 28

c) 26

13. Calcular el número de lados de un polígono equiángulo, sabiendo que la suma de las medidas de siete ángulos internos es igual a 1134º a) 16 d) 30

b) 20 e) 15

c) 24

14. Si en un polígono regular, su número de lados aumenta en 5, entonces la medida de su ángulo exterior disminuye en 6. Calcular su número de lados. a) 15 d) 20

b) 12 e) 25

c) 18

15. Hallar la medida del ángulo formado por BQ y ME . Si ABCDE y AMNPQ son pentágonos regulares M

B

C

N

D

d) 75º

P

E B

A

30º

α

TAREA DOMICILIARIA 01. Calcular la medida del ángulo interior de un polígono regular, sabiendo que excede en 20º a la de otro polígono regular que tiene 3 lados menos. a) 100º d) 140º

b) 120º e) 160º

c) 130º

02. Al disminuir en 8º la medida de cada ángulo interno de un polígono regular resulta otro polígono regular cuya suma de las medidas de sus ángulos internos es 68 ángulos rectos. Hallar la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales de los dos polígonos regulares. a) 4º d) 10º

b) 6º e) 12º

c) 8º

03. Si la medida de un ángulo interior y exterior de un polígono regular están en la relación de 7 a 2. Hallar el número de diagonales que tiene el polígono. a) 21 d) 26

b) 24 e) 27

c) 25

04. En cierto polígono equiángulo desde (n−9) vértices consecutivos se trazan (n−3) diagonales, calcular la medida de un ángulo interior. a) 110º d) 140º

E Q

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 60º

b) 112º e) 144º

D

a) 75º d) 60º

b) 90º e) 55º

c) 45º

06. Si : AN = 4 y NB = 5, calcular “BC” sabiendo que ABCD es un romboide. B

α α

N A

D

M

a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

07. Calcular la relación entre las medidas de las bases (mayor y menor) de un trapecio en el cual se cumple que las diagonales trisecan a la mediana a) 1/2 d) 2/3

b) 2/1 e) 1/4

c) 3/2

08. Si : EF = 2√2, calcular “BH”

B

c) 120º

A

b) 36º

C

α

C α

05. ABCD es un trapecio isósceles y DCE es un triángulo isósceles. Hallar “α”

A

a) 72º

GEOMETRÍA

18

105º

c) 20

10. Un ángulo externo del polígono regular mide 12’. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? S3GE31B

17

c) 12º S3GE31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

D H


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ro. Año Secundaria a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

17

c) 14

vértices, número de lados y número de ángulos centrales. Hallar el número de lados de dicho polígono. a) 6b) 9 d) 3

09. Si : BR + CD = 8, RC = AB y AP = PD. Calcular “PQ”

R B

C α

a) 48 d) 54

b) 4 e) N.a.

c) 2

10. Calcular : “EF”, si EB = 4, BC = 7 AB = 17 ( CF = FD )

a) 171° d) 154° y

B C

E

a) 8 d) 3

45º

D

b) 4 e) N.a.

c) 2

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03 01. La suma de las medidas de los ángulos internos de cierto polígono regular excede a la suma de los ángulos externos en 900°. ¿Cuántos lados tiene el polígono? a) 16 d) 12

b) 18 e) 15

c) 9

02. El número de diagonales de un polígono regular, es igual a la suma del número de S3GE31B

c) 52

b) 162° e) 160°

c) 152°

b) 105° e) 109°

a) El de 19 lados b) El de 23 lados c) El de 16 lados d) El de 24 lados e) El de 25 lados 09. Si el número de lados de un polígono regular aumenta en 10, cada ángulo del nuevo polígono es 3° mayor que cada ángulo del original. ¿Cuántos lados tiene el polígono original? a) 25 d) 16

b) 54 e) 104

a) 27 d) 45

c) 107°

c) 119

07. Cada lado de un polígono regular mide 6 cm y el perímetro equivale al número que expresa el total de diagonales, en cm. Hallar la medida de un ángulo central. a)10° d) 19°

b) 78° e) 30°

b) 27 e) 30

c) 20

10. En un polígono equiángulo la relación entre las medidas de un ángulo interior y otro exterior es como 5 a 1. ¿Cuántas diagonales tiene dicho polígono?

06. La suma de las medidas de ángulos internos, más la suma de las medidas de ángulos centrales de un polígono regular, es igual a ocho veces la suma de las medidas de los ángulos exteriores. Hallar el número de diagonales de dicho polígono. a) 65 d) 44

GEOMETRÍA

18

05. Los ángulos internos de un pentágono convexo, tienen por medidas números consecutivos expresados en grados sexagesimales. Hallar la medida menor. a) 108° d) 106°

F A

b) 50 e) 56

04. Tres ángulos consecutivos de un octágono convexo, mide 90° cada uno. Hallar la medida de cada uno de los restantes, sabiendo que son congruentes entre sí.

D

P

a) 8 d) 12

03. En un polígono regular se cumple que la suma de las medidas de un ángulo central, un ángulo exterior y un ángulo interior es 210°. Calcular el número total de diagonales.

Q

A

c) 12 e) 5

3ro. Año Secundaria

b) 108 e) 35

c) 54

SOLUCIONARIO Nº 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

c) 24°

08. ¿Cuál es el polígono convexo en el que el número de diagonales es mayor en 133 que el número de lados?

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S3GE31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

Ejercicios Propuestos 01 02 03 B C C B B B D A D D D B D D D D C E E D C C A A B A E B E C E B C E D


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GEOMETRÍA

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“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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Geometria 3° 1b  
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