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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3 er Año Secundaria

2

REGLA

Objetivos 01.Comparar las características de los objetos y seres y analizar su variación cuantitativamente. 02. Aplicar métodos prácticos para determinar las variaciones de las magnitudes dependiendo de los valores de otras magnitudes. 03. Resolver situaciones y problemas de la vida real partiendo de lo simple a lo complejo en una forma Inductiva. Es un procedimiento aritmético que permite hallar una cierta cantidad en la comparación de dos o más magnitudes; y pueden ser de dos tipos: a) Regla de tres simple: Es cuando se comparan sólo 2 magnitudes. b) Regla de tres compuesta: Es cuando se comparan más de 2 magnitudes.

REGLA DE TRES Pueden ser a su vez de dos tipos: a. DIRECTA: Cuando las magnitudes A y B son directamente proporcionales. A a1

B b1

a2

x

A a1

B b1

a2

x

01

Se cumple que : a 1 b1 = a 2 . x ∴

x =

a 1 . b1

ARITMÉTICA

02

1. Si las flechas van en igual sentido ↑↑; ↓↓; las magnitudes serán D.P. 2. Si las flechas van en sentido contrario ↑↓; ↓↑; las magnitudes serán I.P. 3. Consideraremos flechas para arriba “ mas o mayor ” y flecha para abajo “ menos o menor” Ejemplo 1: 36 señoras tejen 120 chompas , 108 señoras ¿Cuántas chompas tejerán? Chompas 120 x

(A mayor cantidad de señoras se tejerán mayor cantidad de chompas). Por lo tanto son magnitudes D.P.

108 . 120 x= 36 x

= 360

Días

12 4

30 x

Se cumple que :

a 2 b 2 x d 2 e1 f1 g1 h1 =a 1 b1 c1 d 1 e 2 f2 g

12 . 30 x= 4

OBSERVACIÓN:

36 108

Obreros

(A mayor números de obreros; la obra se hará en menos días). Por lo tanto son magnitudes I.P.

a2

Señoras

3 er Año Secundaria

c hom

x

= 90

obreros harán 30 m 2 de dicha obra? Obreros

REGLA DE TRES MÉTODO DE LAS RAYAS: intervienen

se

a. CAUSA : Es todo lo que hace posible la obra (hombres, máquinas, animales etc.) b. CIRCUNSTANCIA : Es todo lo concerniente al tiempo (días, horas diarias, raciones diarias etc) OBSERVACIÓN: 1. La eficiencia, habilidad, o rendimiento del obrero va junto o multiplicada a él. 2. La oposición o dificultad de la obra va junto o multiplicada a ella misma

x=

Problema General

a 2 . b1 a1

b. INVERSA : Cuando las magnitudes A y B son inversamente proporcionales.

S3AR32B

Ejemplo 2: 12 obreros hacen un trabajo en 30 días. ¿En cuantos días harán dicho trabajo 4 obreros?

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

1ra Serie 2da Serie

Hombres Efi

Días

H/D

m2

Dif

a1

b1

c1

d1

e1

f1

g1

h1

a2

b2

x

d2

e2

f2

g2

h2

S3AR32B

Días

m

12

8

60

8

x

30

2

Se cumple que: 8 . x. 60 = 12 . 8 . 30 ∴ x = 6

PRÁCTICA DE CLASE 01.Para pintar un cubo de 20 m de lado, me pagan 480 u.m. ¿Cuánto me pagarán, para pintar un cubo de 25 m de lado? a) 650 d) 800

b) 750 e) 850

c) 600

02. A es el doble de rápido que B; pero la cuarta parte de C. Si A y B hacen una obra en 33 días ¿En cuantos días harán la obra los tres juntos? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 121 03. Un jardinero siembra un terreno cuadrado, de 7 metros de lado, en 8 días ¿Cuantos días le tomará en sembrar otro terreno cuadrado, de 14 metros de lado?

pas

Se cumple que : a 1 x =a 2 . b1 ∴

a 1 b1 c1 d 1 e 2 f2 g 2 h 2 x= a 2 b 2 d 2 e1 f1 g1 h1

Ejemplo 1: 12 Obreros en 8 días hacen 60 2 de una obra, ¿En cuantos días, 8 m

días

Todas las magnitudes que clasifican en tres partes y son:

Con lo cual:

Largo Ancho

a) 16 d) 64

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 24 e) 12

c) 32


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 04. Un reloj da 4 campanadas en 4 segundos. ¿En cuantos segundos dará 13 campanadas ? a) 13 d) 16

b) 14 e) 18

c) 15

05. Ocho hombres pueden hacer una obra en 3 días ¿Cuántos hombres más harían falta, para hacer la obra en 2 días? a) 2 d) 6

b) 3 e) 8

c) 4

06. Un caballo atado a una cuerda, puede comer todo el pasto que está a su alcance en 8 días ¿Que tiempo se demoraría si la longitud de la cuerda fuese dos veces más grande? a) 16 d) 36

b) 24 e) 72

c) 32

07. Nueve caballos tienen ración para 45 días. Si se aumentan seis caballos más ¿Para cuantos días alcanzará la ración? a) 18 d) 36

b) 27 e) 56

c) 32

08. Para pintar un tetraedro regular, cuyo lado mide 4 m, se necesitan 20 latas de pintura. ¿Cuántas latas de pintura se necesitarán, para pintar un tetraedro de 12 m de lado? a) 120 d) 150

b) 130 e) 180

c) 140

09. Hugo puede hacer un trabajo en 20 días y Silvia puede hacer el mismo trabajo en 16 días . ¿En cuantos días harán juntos el trabajo? a) 6 días d) 8

S3AR32B

8 9

b) 7 e) 9

c) 8

2 5

3 er Año Secundaria

01 2

10. 14 obreros en 15 días han hecho 40 m de una obra. ¿En cuantos días 70 obreros harán 120 m 2 de obra? a) 2 d) 6

b) 3 e) 8

c) 4

11. 20 obreros hacen 144 mesas en 3 días. ¿Cuántas mesas harán 5 obreros en 1 día? a) 12 d) 18

b) 14 e) 10

c) 16

12. En 8 días, 12 obreros han hecho los 2/3 de una obra. ¿En cuantos días 3 obreros harán lo restante? a) 12 d) 18

b) 14 e) 20

c) 16

13. 14 peones, trabajando 7 horas diarias, se demoran 15 días para hacer 150 m 2 de una obra. ¿Cuántos días, de 8 horas diarias, de trabajo se demorarán 21 peones para hacer 240 m 2 de dicha obra? a) 10 d) 21

b) 14 e) 25

c) 18

14. 12 obreros hacen una obra en 34 días. Si 8 de los hombres aumentan se rendimiento en un 20%. ¿Qué tiempo se demorarán en hacer la obra? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 15. En 15 días se hará una obra con 18 obreros; luego de cierto tiempo se contratan 6 obreros mas y 9 días después se termina la obra. ¿ A los cuantos días se aumento el personal? a) 2 días d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

16. Con 12 obreros se puede hacer una obra en 40 días. ¿En cuantos días 15 obreros cuya rapidez es 5 veces, la de los anteriores, harán una obra 9 veces más difícil que la primera? “El nuevo símbolo de una buena educación....”

ARITMÉTICA

02

a) 24 d) 48

b) 32 e) 64

3 er Año Secundaria c) 36

17. 25 obreros pueden terminar una obra en 18 días; al cabo de 6 días de trabajo se le juntan cierto número de obreros de igual rendimiento, de modo que en 11 días terminan la obra. ¿Cuántos obreros se juntaron? a) 15 d) 40

b) 25 e) 50

c) 35

18. 15 obreros se comprometen hacer una obra en 10 días trabajando 8 h/d; al cabo de 2 días de trabajo, se le pidió que entreguen la obra 2 días antes de lo pactado; razón por la cual deciden trabajar 10 h/ d y contratar más obreros. ¿Cuántos obreros se contrataron? a) 1 d) 4

b) 2 e) 15

c) 3

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumentan 3 caballos más ¿para cuántos días alcanzará la ración anterior? a) 8b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 02. Un super panteón en forma de paralelepípedo pesa 2160 gramos. El peso en gramos de un minipanetón de igual forma pero con sus dimensiones reducidas a la tercera parte es: a) 40 d) 70

b) 50 e) 80

S3AR32B

b) 26 e) 32

a)

c)

e)

M B M B n B

c) 28

(Dn −B )

b)

M B

(Dn −D −B )

(Dn −D) d)

MBD n

(DM −D −B )

05. Si N es el número de obreros que pueden hacer una obra en (3 / 4)N días trabajando (1/3) N horas diarias. ¿Cuál es el número N de obreros si al duplicarse hacen la misma obra en 72 horas? a) 12 d) 48

b) 24 e) 60

c) 36

06. Un reloj se adelanta minuto y medio cada 24 horas . Después de 46 días 21 horas 20 minutos. ¿Cuánto se adelantó el reloj? a) 1 h 10 min 20 s c) 1 h 20 min 20 s e) 1 h 30 min 20 s

b) 1 h 20 min d) 1 h 30 min

TAREA DOMICILIARIA

c) 60

03. Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en veinte días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan? a) 24 d) 30

04. Se emplearon M obreros para ejecutar una obra. Al cabo de D días hicieron 1/n de ella. ¿Cuántos obreros hubo que aumentar el resto de la obra en B días?

01. Un grupo de obreros tenían que hacer un trabajo en 20 días pero debido a que tres de ellos faltaron, los restantes tuvieron que trabajar 4 días más. ¿Cuántos obreros trabajaron? a) 5 d) 16

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 18 e) 20

c) 15


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 02. Treinta y cinco obreros pueden terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo se les une cierto número de obreros de otro grupo, de modo que 15 días después terminaron la obra. ¿Cuantos obreros eran del segundo grupo? a) 10 d) 21

b) 14 e) 12

c) 20

03. 3 obreros cavan una zanja cúbica de 216 m 3 en 5 días, trabajando 10 h/ d. ¿Cuál será la profundidad de otra zanja cúbica que ha sido abierta por 15 obreros en 10 días trabajando 8 h/d? a) 3 m d) 6 m

b) 4 m e) 8 m

c) 12 m

04. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan? a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 05. En 20 días se terminó un trabajo. Al comienzo 7 obreros hicieron 350 m, luego con la ayuda de 5 más hicieron los 400 m restantes. ¿Cuántos días trabajaron los 7 obreros? a) 6 d) 16

b) 12 e) 15

b) 20 días e) 18 días

un contador y el de un asistente están en la misma relación que los números 4 y 3). a) 33 d) 42

b) 36 e) 45

a) 45 d) 27

b) 39 e) 18

c) 36

09. Si N es el número de obreros que pueden hacer una obra en

N

02

3N 4

días trabajando

ARITMÉTICA

TANTO POR CIENTO

a) 18 d) 27

b) 21 e) 30

c) 24

10. Se ha encontrado a 5 costureras que hacen 12 vestidos en 15 días. Si se necesita tener 60 vestidos e 25 días, ¿Cuántas costureras doblemente rápidas se deben contratar además contratar además de las ya se tienen ?

c) 15 días

b) 4 c) 5 e) 7

REGLA DEL TANTO Objetivos: 01. Relacionar una parte respecto al total. 02. Determinar el tanto por ciento de una cantidad. 03. Operar porcentajes. 04. Calcular aumentos o descuentos sucesivos de una cantidad de referencia.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

1 1 100 100

1 1 1 1 ........... 100 100 100 100 3 = 3% 100

Ejemplo: De 100 personas que viajan en un ómnibus; 30 son blancos. Luego:

30 por cada 100 personas son En blancas general: 30 por cada ciento de personas son blancasa % = a 100 30 por ciento de personas son blancas      30 % del N º de personas son blancas

¿Cuál es el número N de obreros, si 2N obreros hacen la misma obra en 72 horas?

unidad < > 100 partes iguales

Es el número de centésimas partes de una cantidad

horas diarias.

3

3 er Año Secundaria

05. Reconocer los elementos que intervienen en operaciones comerciales.

c) 39

08. Un grupo de obreros promete hacer una obra en 15 días pero cuando ya habían trabajado 5 días contratan 9 obreros más con lo que terminaron el trabajo 2 días antes. ¿Cuántos obreros había en el grupo inicialmente?

a) 3 d) 6

07. Un contador y tres asistentes pueden elaborar 2 balances generales en 30 días . ¿En cuanto tiempo tres contadores y un asistente pueden hacer 3 balances generales? (Si el trabajo de S3AR32B

01

30 100

( Nº

personas

)

A. CONVERSIÓN DE TANTO POR CIENTO A FRACCIÓN O DECIMAL

son blancas 1% =

2% =

15 % =

40 % =

x 50 = 14

60 % =

x 60 = 9

80 % =

120 % =

En general : 100 < > N a <> P De donde : P =

a 100

1

x N

100 2 100

P = El “ a ” por ciento de “ N ” P = a % de N

a % : tanto por ciento N : Cantidad P : porcentajes

c) 8

06. Sabiendo que un buey atado a una cuerda de 2 m de largo tarda 5 días en comerse toda la hierba que se encuentra a su alcance, ¿Cuánto tardaría si la cuerda fuera de 4 m? a) 10 días d) 25 días

3 er Año Secundaria

Ejemplo: El 28% de 50 =

El 15% de 60 =

El 25% de 40 =

28 100 15 100 25 100

x 40 = 10

Gráficamente: S3AR32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

15 100

= 0, 01

=

1

=

40 100 60 100 80 100 120 100

= 0, 02

50

=

=

=

3

= 0, 15

20 2 5 3 5 4 5

=

= 0, 4

= 0, 6

= 0, 8 6 5

= 1, 2


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN •

200 % =

0, 6 % =

200 100 0, 6 100

3 er Año Secundaria B. CONVERSIÓN DE FRACCIÓN DECIMAL A TANTO POR CIENTO

=2

= 0, 006

• • •

2

75% =

50% =

25% =

10% =

3 4 1 2 1 4 1 10

5

• •

x 100 % = 40 %

El a por b de N =

0, 006 = 0, 006 x 100% = 6% 5 = 5 x 100% = 500%

8

20% a + 50% a = 70% a 80% b . 60% b = 20% b a + 20% a = 120% a b – 35% b = 65% b 3 ( 20% a ) = (3 x 20)% a = 60% a 20% (a + b) = 20% a + 20% b 80 % b 80% b ÷ 20% b = =4 20 % b 60% a

÷ 2 = (60 ÷

( 40 % )

2

(mitad)

36 % = (cuarta parte)

100

=

6

“Toda cantidad representa el 100% de sí misma”

8 40

70 100

10

=

Pv : precio de venta Pc : precio de costo G bruta : ganancia

5

Nota: Se gana o se pierde un % del

( Pc )

Ejemplo: ¿Qué % se gana lo que se vende en 120 soles lo que ha costado 96 soles? Resolución: • G bruta = 120 – 96 = 24 soles

Ejemplo: Una sortija se vende en 250 soles; ganando el 25% del costo. ¿Cuál fue su costo? Resolución: 250 = Pc + 25 % Pc

Pc

80 = Pc

Pv = Pc = G bruta

• x%

( Pc )

= G bruta

x % (96) = 24 x % =1/4 = 0, 25% PRÁCTICA DE CLASE

250 = 125% Pc 250 =

de habitantes son flacos

En general: “El nuevo símbolo de una buena educación....”

56 = 70% Pc 56 =

x 30 = 6

APLICACIONES DE LA REGLA

3

8 de cada 40 habitantes son flacos 8 por cada 40 habitantes son flacos 8 por 40 habitantes son flacos

100 % a = a

80

− PÉRDIDA

Resolución: 56 = Pc − 30 % Pc

provincianos = 30- 6 = 24

  40 % = 16 %  

De 40 habitantes; 8 son flacos

Luego:

16

= Pc

Ejemplo: Un reloj se vendió en 56 soles; perdiendo el 30% del precio de costo. ¿Cuánto costo el reloj?

x 60 = 24

limeños =

Pv

x N

precio de costo

TANTO POR

(décima parte)

b

El 16 por 80 de 30 son limeños . ¿Cuántos son provincianos? limeños = 16 por 80 de 30

2)% a = 30% a

 4 = ( 40 % ) ( 40 % ) =   100 36

a

Ejemplos: Hallar el 8 por 20 de 60

(tres cuartas partes)

200% = 2 (doble)

S3AR32B

5

3 er Año Secundaria

O

OPERACIONES CON

• • • • 11 • 3 11  11  2 % =  % = 4 = = 0, 0275• 4 100 400 4  •

100% = 1 (total)

2

=

ARITMÉTICA

02

20

2 1 2  % = 5 = = = 0, 004 5  100 500 250  

Equivalentes Notables:

2

01

125 100

Pc

01. El 25% del 35 por 140 de 48 es: 02. El 50% de A es el 30% de B. ¿Qué tanto por ciento de 5ª + 5B es A + B?

200 = Pc S3AR32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 03. Hallar el descuento único equivalente a los descuentos de 20% y el 25% 04. Si el radio de un círculo aumenta en 20%: En que % aumenta su área. 05. Si el área de un círculo disminuye en 36%. En que porcentaje disminuye su radio. 06. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y la altura relativa a dicha base disminuye en 30%. El área de 1 triángulo varía en 54 m 2 . Hallar el área original del triángulo. 07. Si el largo de un rectángulo se incrementa en un 20% y su ancho se incrementa en un 50%. El área del rectángulo se incrementa en un 08. Un boxeador decide retirarse cuando tenga el 80% de triunfos en su carrera si la lleva realizado 100 peleas de las cuales ha perdido el 45% de ellos. ¿Cuántas peleas como mínimo debe realizarse para poder retirarse? 09. En un bidón hay 40L de alcohol al 90% de pureza, en otro hay 60L de alcohol cuyo grado de pureza es del 70%. ¿Cuál será el grado de pureza de la mezcla? 10. El precio de costo de un artículo es el 75% del precio de venta. ¿Qué % de la ganancia es le precio de venta? 11. Un artículo se ha vendido en 1200 ganando el 20% del costo mas 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artículo. 12. Se vende un artículo en 92000 generando el 155 del precio de costo. ¿Cuánto se esta ganando? 13. Para fijar el precio de venta de un artículo se aumenta su costo en 30% al venderse se hizo una rebaja del 10% sobre su precio fijado. ¿Qué tanto % de su precio de costo se gana?

3 er Año Secundaria

venderlo a un cliente, le hago una rebaja del 20% del precio fijado. ¿Qué % del costo se esta ganando? 15. Se mezcla 40 litros de alcohol de 80º con 20 litros de alcohol de 60º y para que la mezcla resulte de 40º se agrega cierta cantidad de agua. ¿Qué cantidad de agua se agrega? 16. Si en una reunión social, el 75% de los hombres es igual al 45% de las mujeres. ¿Qué porcentaje de total de personas son mujeres? a) 37, 5% d) 43, 5%

b) 62, 5% e) 36%

c) 56, 5%

17. Si gasta el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedará. Perdería S/. 156. ¿Qué cantidad d dinero tengo? 18. Al sueldo de un empleado se le hace un aumento del 20% al comenzar el año, y en el mes de Julio un aumento de 10% sobre el total. ¿Qué porcentaje de su sueldo del año anterior estará recibiendo en agosto? a) 28% d) 25%

b) 130% e) 132%

c) 103%

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 01.Roxana compra un artículo por el cual le ofrecen realizar dos descuentos sucesivos del 20% y 30%. Calcule cuanto pagó si inicialmente el artículo tenía como precio de S/. 700. a) 308 d) 400

b) 306 e) N.a.

c) 300

02. A que descuento único equivalen los descuentos sucesivos del 50%, 25% y 20%. Luego de los descuentos obtendríamos. a) 10% d) 88

14. Para fijar el precio de un artículo un comerciante aumenta su costo en 65% y al S3AR32B

01

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 20% e) N.a

02

ARITMÉTICA

3 er Año Secundaria

03. Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 20%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado? a) 30 d) 44

b) 40 e) 50

c) 60

04. Al venderse un artículo se descontó en un 25% aun así se gana el 20%. Calcule el precio de venta si la diferencia del precio fijado y pecio de costo es S/. 12. a) 20 d) 26

b) 22 e) 28

c) 24

05. Un comerciante compró cuadernos a S/. 8 cada uno y lo vendió obteniendo un beneficio neto de S/. 51. Si la venta le ocasionó un gasto del 15% de beneficio bruto y por todo obtuvo S/. 380. ¿Cuantos cuadernos compró? a) 20 d) 50

b) 30 e) 60

c) 40

06. En que tanto por ciento se debe aumentar el precio de costo de un artículo para fijar su precio al público, de modo que luego de hacer 2 descuentos sucesivos del 20% y 25% aún se gane el 60% del costo. a) 165, 6% d) 170%

b) 166, 6% e) N.a

c) 180%

07. Un obrero gana S/. 400 en el primer año, para el siguiente año le aumentan en un 10%, para el siguiente segundo año el aumento es del 20% calcule cuál será su sueldo al iniciar su tercer año de trabajo. a) 600 d) 400

b) 550 e) N.a

c) 528

c) 95% 08. En la UNMSM se ha realizado las elecciones para el tercio estudiantil. EL 48% de los sufragantes eran mujeres y el 25% de ellas votaban por la lista A que además obtuvo los S3AR32B

votos del 50% de los hombres. ¿Qué tanto por ciento de los sufragantes votaron por la lista A? a) 30% d) 40%

b) 36% e) 50%

c) 38%

09. Por cada 2 artículos “ A ” se compran 3 artículos “ B ” y sus costos productivos están en la relación d 1 a 2. Se decide venderlos a todos, pero los primeros con una ganancia de 30% y los otros con un 40% obteniendo u total de 3520. Cuanto compró de cada uno si el precio de venta del más barato es S/. 26. a) 382, 48 d) 400, 70

b) 352, 60 e) N.a

c) 360, 70

TAREA DOMICILIARIA 01. Claudia va al mercado, donde al comprar un cierto número de naranjas le reglan un 5% de las que compró, obteniendo así 420 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró? a) 200 d) 360

b) 300 e) 250

c) 400

02. Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 30% menos, costaría S/. 17, 50 ¿Cuál es el precio real del libro? a) 25 d) 18

b) 30 e) 20

c) 15

03. Un depósito contiene una mezcla de 90 litros de alcohol y 10 litros de agua. ¿Qué cantidad de alcohol debe añadirse para que la mezcla sea de 95% de pureza de alcohol? a) 5 L b) 90 L c) 120 L d) 50 L e) 100 L 04. Se vende un pantalón en S/. 120 ganando el 30% del precio de costo más el 9% del precio de venta. ¿Cuál es el precio de costo del pantalón? a) S/. 84 d) S/. 42

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) S/. 168 e) S/. 35

c) S/. 126


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 05. Cuando el lado de un cuadrado se incrementa en 20% resulta que el área aumenta en 176 m 2 . Calcular el lado inicial del cuadrado. a) 10 m d) 16 m

b) 12 m e) 15 m

c) 20 m

06. En una fiesta el número de hombres era el doble del número de mujeres, luego se retiran el 35% de los hombres, pero llegan enseguida 90 mujeres resultando tanto hombres como mujeres. ¿Cuantas mujeres había inicialmente? a) 150 d) 250

b) 200 e) 350

c) 300

07. Se tiene la misma cantidad de limones de dos clases distintas, que se venden a 2 por S/. 1 los de primera y 3 por S/. 1 los de segunda. Si los vendiera 5 por S/. 2, ¿Qué porcentaje del costo se perdería? a) 1% d) 4%

b) 2% e) 5%

c) 3%

b) $ 414 e) $ 417

a) 25% b) 28% c) 32% d) 36% e) 24, 5% 10. Al vender un artículo se observa que le precio de costo más el precio de venta es el 120% de la ganancia. Si el precio de venta del artículo fue S/. 11 000. ¿Cuál fue el precio de costo? b) 500 e) 2 000

REGLA DE S3AR32B

c) 800

ARITMÉTICA

Generalmente, para nuestro capital es dinero.

OBJETIVOS: 1. Entender la aplicación de interés en la vida. 2. Reconocer los elementos de la regla de interés. 3. Reconocer ó diferenciar el interés simple de interés compuesto. 4. Entender el significado de saldo y deudor.

Jhony desea formar un negocio; pero requiere de cierta cantidad de dinero y para ello recurre a Jaime, quien le presta S/. 1, 200 pero, Jhony observa que Jaime hará uso de ese dinero para obtener beneficios, además que el poder adquisitivo de su dinero no sea el mismo cuando este le sea devuelto. Entonces acuerdan que Jhony (deudor) devolverá a Jaime (acreedor). Luego de 6 meses, la suma de S/. 1500.

ELEMENTOS DE LA REGLA DE INTERÉS INTERÉS. ( I ). Es la ganancia (utilidad o beneficio) que se obtiene por cedes (prestar ó imponer) un bien, durante un determinado tiempo a ciertas condiciones. En el ejemplo: I = S/. 300 EL CAPITAL Es lo que se presta o impone, pudiendo ser un bien (mercancía, maquinaria, etc).

En el ejemplo : M = 1200 + 900 = 2100 CLASES DE INTERÉS

Es el período en el que permanece prestado o impuesto un capital, y durante el cual genera intereses. En el ejemplo: t = 6 meses CONSIDERACIONES ACERCA DEL TIEMPO. 1 año comercial tiene 360 días. 1 mes comercial tiene 30 días. 1 año común tiene 365 días. 1 año bisiesto tiene 366 días.

Interés Simple: Es cuando el interés, generado al cabo de cada período de tiempo, no se acumula al capital. Esquema:

3 meses

3 meses

5% (800) 3 meses

5% (800) 3 meses

Se observa que el interés total al finalizar el año es : I = 4 x 5 % (800) = S/. 160

Llamado también crédito, nos indica que tanto por ciento del capital se obtiene como ganancia en un período de tiempo, para el ejemplo. Si ganó S/. 300, que es el 25% del capital prestado, en el capital se impuso a una taza del 25 % semestral. NOTA: -

10% mensual <> 120% anual (1 año = 12 meses) 4% bimestral <> 24% anual ( 1 año = 6 bimestres) 8% trimestral <> 32% (1 año = 4 trimestres) 13% semestral <> 26% anual (1 año = 2 semestres) Usualmente se trabaja con tasas siempre anuales.

MONTO. Es la cantidad total recibida de final del tiempo de imposición, y es igual a la suma del capital más el interés que genera.

r % trimestral t (en trimestres) Luego

I = t + r%

S3AR32B

x

C

Donde “ t ” y “ r% ”, se deben expresar en las mismas unidades de tiempo. El monto que se obtiene al final del año es: M = S/. 800 + S/. 160 = S/.960 Nota: En el interés simple, el interés es proporcionar al tiempo de préstamo, considerando una misma tasa y un mismo capital. Interés Compuesto.- Es cuando el interés que produce un capital, se acumula a dicho capital (se capitalizara) al cabo de cada intervalo de tiempo especificado, generando un nuevo capital para el siguiente intervalo de tiempo; a esto le llamamos proceso de capitalización. Ejm: inductivo

Es decir : M = C + I “El nuevo símbolo de una buena educación....”

5% (800)

C : 800 5% (800)

TASA DE INTERÉS ( r %)

Jhony devuelve a Jime S/. 1, 500 6 meses

estudio, el

TIEMPO DE PRÉSTAMO O IMPOSICIÓN ( T )

I = 300 Jaime prestó a Jhony S/. 1, 200

3 er Año Secundaria

En el ejemplo C = S/. 1, 200

INTRODUCCIÓN

c) $ 415

09. AL venderse un “ V.H.S. ” se gana el 20 % del precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio de costo se está ganando?

a) 400 d) 1 000

02

01

Esquema:

08. AL vender un televisor en $ 406,4, gano el 10% del 20% del 80% del costo. ¿A cuánto debe vender el televisor para ganar el 20% del 25% del 65% del costo? a) $ 413 d) $ 416

3 er Año Secundaria

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Se impone S/. 5000 al 20% semestral capitalizable trimestralmente, durante 9 meses. Halle el interés y el monto. Resolución: C = S/. 5000 R% = 20% semestral < > 10% trimestral T = 9 meses < > 3 trimestres

3 er Año Secundaria

01

El período de capitalización determina las unidades de taza y tiempo que se debe utilizar necesariamente. El interés producido al final del año y medio es: I=M–C ⇒ I = 6655 – 5000 = S/. 1655 PRACTICA DE CLASE

10% (5000) 10% (5500) 10% (6050) S

5500 6050 6655 5000 6 meses 6 meses 6 meses I (1 semestre) = 500

a) S/. 280 d) 340

I (2 semestre) = 1050 I (3 semestre) = 1655 Se observa que: - El monto al cabo del 1er trimestre 110% (5000) = 5500. - El monto al cabo del 2do trimestre es: 110% 110% (5000) = (110 )2 (5000) = 6050 - El monto al cabo del 3er trimestre es: 110% 110% 110% (5000) = (110 % ) 3 (5000) = 6655. Se deduce que: Números de trimestres M = (1 + 10 % )3 x (5000 ) Taza Luego :

capital

M = (1 +r% )

n

01. Se deposita la suma S/. 87600 durante 15 meses al 5% trimestral. ¿Qué error se comete al considerar el año común en vez del año comercial?

x c

Donde “n” nos indica el número de período de capitalización contenido en el tiempo de préstamo de imposición.

b) 300 e) 360

c) 320

02. Un capital se impone al 15% semestral. ¿En qué tiempo se cuadruplica? a) 10 años d) 15

b) 8 e) 20

c) 12

03. Un capital se presta al 50%. ¿En que tiempo produce el 25% del monto? a) 6 meses c) 11 meses

b) 8 meses e) 1 año

c) 10 meses

04. La diferencia de dos capitales es S/. 1500, si se impone uno al 8% y el otro al 4% anual al cabo de 18 meses los montos son iguales. ¿Cuál es el capital mayor? a) S/. 26500 d) 24500

b) 28000 e) 32250

c) 32000

05. Después de cuanto tiempo un capital colocado al 30% anual de interés simple se triplica. a) 6 años, 8 meses c) 5 años, 2 meses e) 4 años, 5 meses

b) 7 años, 4 meses d) 4 años, 3 meses

02

3 er Año Secundaria

06. El monto de un capital a los 8 meses es S/. 4650, y al año 8 meses será S/. 4875. ¿Cuál fue el crédito al que fue impuesto el capital? a) 5% d) 16%

b) 10% e) 8%

c) 12%

07. Si un capital se presta a 20%. ¿Cuántos años más que para duplicarse, requiere para triplicarse ( interés simple )? a) 2 años d) 5 años

b) 3 años e) N.a

c) 4 años

08. Hallar el monto que produce un capital de 2000 al se impuesto al 5% trimestral; capitalizable semestralmente; durante año y medio. a) 2662 d) 2842

b) 2472 e) N.a

c) 3342

09. Hace 8 meses se impuso un capital y actualmente su monto es 4650. Si dentro de un año el monto será 4875. ¿Cuál fue el crédito al que fue impuesto dicho capital? a) 5% d) 7% 10. Los

b) 8% e) 12%

3 7

c) 10%

de un capital colocado al 3%

produce anualmente 420 soles menos que el resto colocado al 4%. ¿Cuál es el capital? a) 28000 d) 56000

b) 63000 e) 42000

c) 40000

11. ¿Cuánto tiempo debe estar prestado un capital para que se convierta en el doble del triple de la mitad del capital; si la tasa fue de 20%? a) 15 años d) 30 años

b) 10 años e) N.a

c) 20 años

12. Un capital, estuvo impuesto al 9% de interés anual y después de 4 años se obtuvo en monto de S/. 10200. ¿Cuál es el valor del capital? a) S/. 6528 d) 9350

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S3AR32B

b) 12000 e) 7500

c) 8750

13. Los 3/5 de un capital han sido impuestos al 4% y el resto al 5%: Al cabo de un año, entre capital e intereses hay una suma de S/. 1305. Calcular dicho capital. a) S/. 1120 d) 1140

b) 1130 e) 1250

c) 1180

14. El 40% de un capital se impone al 32% anual. ¿A cuánto debe imponerse el resto para que al cabo de un año, el monto acumulado sea el 120% del capital? a) 16% b) 12% c) 10% d) 9% e) 8% 15. El interés por un capital es equivalente a los 7/31 del monto. ¿Qué interés se obtiene si se presta S/. 4000 en un tiempo triple del anterior y a la misma tasa? a) S/. 3400 d) 3500

b) 3600 e) 3800

c) 3700

16. ¿A que porcentaje debe ser colocado un capital, para que en 3 años 4 meses produzca un interés equivalente a los 2/5 de la mitad del monto? a) 30% d) F.D.

b) 15% e) N.a

c) 7, 5%

17. Los 5/7 de un capital colocado al 3%, produce anualmente 420 soles más que el resto colocado al 4%, ¿Cuál es el capital? a) S/. 28 000 c) S/. 40 000 e) S/. 42 000

b) S/. 63 000 d) S/. 56 000

18. ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital al 20% para que se triplique? a) 15 años d) 30 años

Nota: S3AR32B

ARITMÉTICA

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 10 años e) N.a

c) 20 años


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 3 01. Los 2/5 de un capital se presta al r1 % anual y el resto al r2 % anual. Si al cabo de un año producen montos iguales , halle r2 / r1 sabiendo que r1 + r2 = 100 a) 1/2 d) 1/5

b) 1/3 e) 1/6

c) 1/4

02. ¿Cuál es el interés que se obtiene al depositar 1000 durante 820 días; si por los años se paga el 10% anual, por lo meses el 5% mensual y por los días el 2% diario (considera mes comercial)? a) 500 b) 550 c) 560 d) 600 e) 650 03. Cual es el interés que producirá un capital de 1000 durante 7 meses si por los primeros 3 meses se da el 20% mensual y por los meses siguientes el 5% mensual a) 800 d) 512

b) 850 e) 600

c) 880

04. Se deposita un capital de S/. 320 se deposita durante 1 año 3 meses al 8% bimestral, calcule el monto que se obtendría. a) 500 d) 512

b) 600 e) 680

c) 550

05. Mensual la segunda parte que es los 2/5 del resto a 4% bimestral y la tercera parte lo restante 15% trimestral todos durante un año obteniéndose un interés total de S/. 7560. Calcule el capital inicial. a) 14000 d) 17000

b) 15000 e) 18000

c) 16000

06. El interés obtenido al depositar un capital en 4 meses es el 40% de monto. Calcule la tasa anual.

3 er Año Secundaria a) 100% d) 180%

b) 200% e) 210%

01

c) 150%

07. El monto obtenido al depositar un capital durante 7 meses es S/. 1700 en 11 meses es S/. 2100. Calcule el capital y la tasa, si se deposita a interés simple. a) 1000; 10% mensual b) 100; 4% c) 1800; 6% d) 1700; 7% e) N.a

02

ARITMÉTICA

05. A qué tanto por ciento habrá estado prestado un capital de $ 120 para haberse convertido en $ 144 en 20 meses. a) 10% d) 16%

b) 12% e) 20%

a) 28000 d) 56000

b) 63000 e) 64000

d) 6 108

c) 40000

SOLUCIONARIO Nº

TAREA DOMICILIARIA 01. El interés de un capital impuesto al 3% es el 15% de dicho capital. Hallar el tiempo. a) 2 años d) 5 años

b) 3 años e) 6 años

c) 4 años

02. ¿Qué interés producirá un capital de S/. 3200 prestando al 21 % anual en 7 años y 4 meses? a) S/. 6410 d) 4928

b) 4099 e) 6028

b) 21% e) 15%

b) 6000 e) 9000

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) 3 200

08. Si S/. 167 280 es el capital de 2 personas, la primera impone su dinero al 4% durante 3 meses y recibe un interés doble del que tendría la segunda imponiendo el suyo al 5% durante 7 meses. Indique el capital menor. a) 36 480 d) 32 450

c) 22, 5%

04. ¿Qué capital es aquel que impuesto al 4% anual en 5 meses produce S/. 1100 menos que si se impusiera al 4% mensual en el mismo tiempo? a) 5000 d) 8000

b) 7 800 e) 7 000

c) 6418

03. ¿A que porcentaje debe ser colocado un capital para que en 3 años 4 meses produzca un interés equivalente a los 2/5 del monto? a) 20% d) 7, 5%

07. Dos capitales están en relación de 7 a 3. Si el primero se impone al 40% y el segundo al 30% al cabo de 9 meses el monto sería S/. 4 088. Hallar la suma de los capitales originales. a) 6 810 d) 8 840

c) 2500

b) 24 480 e) 48 960

b) 63 e) 1 013

02

03

01.

B

A

C

02.

E

D

B

03.

D

D

C

04.

C

C

D

05.

B

C

B

06.

A

B

B

07.

C

A

08.

C

09.

A

10.

c) 40 480

c) 2 016

10. Se impone S/. 4 800 al 9% anual durante año y medio. ¿Qué capital sería necesario aumentar para que en un año 8 meses al 6% de interés se duplique?

S3AR32B

b) 8 610

Ejercicios Propuestos 01

09. Una persona ahorra su dinero cobrando un interés diario D.P. al número de días transcurridos. Si cuando retira su dinero se había triplicado y en el ultimo día había ganado 1/16 del capital original. Hallar el número de días que depositó su capital. a) 64 d) 1 113

e) 6 801

c) 14%

06. Los 5/7 de un capital colocando al 3% produce anualmente 560 soles más que el resto colocando al 4%. ¿Cuál es el capital?

a) 8 106 S3AR32B

3 er Año Secundaria

c) 8 160 “El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3 er Año Secundaria

01

02

ARITMÉTICA

3 er Año Secundaria

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003

S3AR32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S3AR32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


Aritmetica 3° 2b  
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