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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

Realizar la división de polinomios por los métodos de Horner y Ruffini. Resolver problemas que involucran división de polinomios.

II. PROCEDIMIENTOS A) INICIALES Es muy frecuente realizar divisiones con expresiones numéricas en un campo numérico limitado. El hombre en su afán de tener un concepto abstracto de número ha establecido las expresiones algebraicas que constituyen las piezas fundamentales del álgebra. Siendo una de sus aplicaciones las operaciones con las expresiones algebraicas, en las cuales manejamos con soltura y precisión las reglas adecuadas a cada operación. Ahora corresponde su turno a la división de polinomios, operación que requiere de procedimientos adecuados para obtener lo deseado. B) DESARROLLO 1. División Algebraica Operación que se realiza entre polinomios y que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE Y RESIDUO, conociéndose otros dos polinomios denominados DIVIDENDO Y DIVISOR que se encuentran ligados por la relación: D(x) = d(x) . Q(x) + R(x) donde: D(x) : Dividendo Q(x) : Cociente d(x) : Divisor R(x) : Resto 2. Propiedades de la División 2.1 El grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor. Grado ( D(x) ) ≥ Grado ( d(x) ) S5AL31B

ÁLGEBRA

62

4)

5to Año Secundaria

Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes del cociente.

La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto, se tiene: Q(x ; y) = 2x3 - x2y + xy2 + 3y3 R(x ; y) =-7x3y4 + 2x2y5 + 9xy6 - y7

Grado (Q(x)) = Grado (D(x)) – Grado (d(x))

I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

61

2.2 El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor, o sea:

DIVISIÓN •

5to. Año Secundaria

2.3 El grado del Resto es menor o igual que, el grado del divisor disminuido en la unidad, es decir:

METODO DE PAOLO RUFFINI Se utiliza para dividir polinomios y cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma: (ax+b). También podría ser cualquier otro divisor que puede ser llevado o transformado a la forma antes mencionada.

ESQUEMA GENERAL 1

Grado ( R(x) ) ≤ Grado ( d(x) ) - 1 2

Lo anterior nos indica que el grado máximo que puede adoptar el resto es uno menos que el grado del divisor.

Pasos a seguir:

2.4 La relación o propiedad fundamental de la división en el álgebra forma una identidad.

3 LINEA DIVISORIA

D(x) = d(x) . Q(x) + R(x) ; ∀ x ∈ R

D(x) ≡ d(x) . Q(x) ⇒ R(x) ≡ 0

METODO DE WILLIAM G. HORNER Pasos a seguir:

2)

3)

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

3)

4)

OBSERVACIÓN: Si la división origina un cociente exacto, entonces el residuo es un polinomio nulo (todos sus coeficientes son cero). Ejemplo:

3. Principales Métodos de División

Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado. Coeficientes del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo contrario, salvo el primero. Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal.

2)

La línea divisoria se colocará separando tantos términos de la parte final del dividendo como lo indique el grado del divisor.

2.5 Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo.

1)

1)

4

Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado con respecto a una variable. Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero. Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por  y colocado en la siguiente columna. Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna.

Dividir : 6x

7

6

5

− x y + 2x y 3x

4

2

x

-2

0 +4 1 0 -1

2 5

−x y 3

+y

4

+ 4 xy

6

+ 2y

7

ESQUEMA GENERAL

0 -1 +4 +2 -2 -2 +1 0 +2 -1 -3 0 +6

1 2 -3

2 -1 +1 +3 -7 +2 +9 -1 Coeficientes del Cociente

S5AL31B

3

3

+ x y − 2 xy

3 6 -1 +2 +6 -1 0 +2 -1

4

+ 6x y

Coeficiente del Residuo

3

Ejemplo 01: Dividir :

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

4


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5

4

3

2

3 x − 2 x + 7 x − 11 x + 5 x + 1 x −2

Por Ruffini :

5to. Año Secundaria

61

del divisor. Luego de verificar esto, se procede como en los ejemplos anteriores. Ejemplo 03: Dividir :

6 x 40 - 31x 30 + 47 x 20 - 56x 10 + 57 3

x-2=0 x=2

-2

7

-11

+5

+1

3

+6 8

30

38

86

4 15

19

43

87

Residuo

Como : Grado (Q) =5 - 1=4, confeccionamos el cociente : Q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43 R(x) = 87

3x -1 Por Ruffini : +5

-17

+8

+7

1

+2

-5

+1

6

-15

+3

+8

+47

-56

+57

21

-35

+42

-49

-10

+12

-14

+8

:2 3

-5

+6

-7

Q° =40 - 10=30, los exponentes de la variable en el cociente disminuyen de 10 en 10. Q(x) = 3x30 – 5x20 + 6x10 – 7 R = 8 PRACTICA DE CLASE: 01. Siendo Q(x) y r(x) el cociente y residuo respectivamente que obtiene al dividir :

3

Resto

:3 1

2

-5

Halle : Q(x) - r(x) a) 0 d) - x2 + 5

+1

Coeficientes del cociente

Q° =4 - 1=3 ; (Q°  nos indica el grado del cociente) Confeccionamos el cociente : Q(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1 ; R = 8 OBSERVACION: Si el divisor es de la forma (axn+b), para proceder a dividir por Ruffini todos los exponentes de la variable en el dividendo deben ser múltiplos del exponente de la variable

2

b) 7x + 1 e) 1 - 7x2

2

c) x - 5

b) x2 + x + 2 e) x2 - x + 2

c) x2 +x - 2

03. Encuentre “a” y “b” para que el residuo de la división :

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

4 x 2 − 3x +1

x 2 + 2x −1 da un cociente que evaluado en x = 2 es 39. además {a; b} ⊂ Z+

8 x 5 + 4 x 3 + Ux 2 + Nx + T

a) 6 d) - 1

2x 3 + x 2 + 3

b) 22 e) N.A.

x 7 −px +q

c) 24

(x −1 ) 2

05. Calcular a . b . c, si el polinomio : x4+3x3+ax2+bx+c, es divisible por (x-1)(x+1)(x+2) b) - 2 e) - 6

a) 11 d) 14

9 n s

4 5 indica el valor de:

a) 1 d) 4

11

1

q

p 11 22

22 32

m +n + p +q

b) 2 e) 5

c) 3

07. Hallar el cociente de : ax 4 + ( a + b ) x 3 + ( a + b ) x 2 + ( a + b ) x + b

a) x 2 + ax + b 2

x + bx + a S5AL31B

b) c) x 2 + a

b) 12 e) 15

a) 3 d) 19

c) 13

b) 4 e) 45

c) 8

11. Calcula: “m”, si la división, es exacta : 2x 6 + 2 2 x 5 − 3 x 4 − 3 2x

3

+6 x + m 2

x+ 2

a) 2 d) 8 12. Dividir :

ax 2 + ( a + b ) x + b

es exacta :

10. Dividir :

Indicar el valor de: 6 m

c) - 5

3 x 5 − 2 x 4 + 3 x 2 + 7 x − 11 x −2 Dar como respuesta el coeficiente del término cuadrático del cociente :

c) 10

06. En el esquema de Horner :

8

b) - 4 e) - 6

09. Dar el valor de (p + q) si la división :

deja por resto : 3x2+2x+1

a b c

e) x 2 + b

ax 5 + 2( 3 + a ) x 4 + (12 − a ) x 3 − ( 6 − b ) x 2 + b ( 2 x − 1

04. Calcular U + N + T, si la división :

a) 20 d) 28

d) x 2 + 1

08. Hallar (a-b) si la división :

Sea : r(x) = 4x+1

a +b +c

02. Al dividir el polinomio : P(x) = 2x4 + x3 - 2x2 + 5x - 1 entre otro polinomio, el cociente que se obtuvo fue : Q(x) = 2x2 - x + 3 y el residuo 5. ¿Cuál fue el divisor? a) x2 + x d) x2 - x - 2

12 x 4 − 17 x 3 + 17 x 2 + ax + b

a) 2 d) 6

12x5 - x4 + 3x2 + 5 entre 3x3 + 2x2 - 1

1/3

S5AL31B

-31

6

Ejemplo 02: Dividir : 3 x 4 + 5 x 3 - 17 x 2 + 8 x + 7

3

6

7/2

OBSERVACION: Si en el divisor (ax+b), a≠1 ; luego de dividir por Ruffini los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto.

3x-1=0 x=1/3

40, 30, 20, 10 son múltiplos de 10, entonces es posible aplicar el Método de Ruffini. 2x10 -7=0 x10 =7/2

5to Año Secundaria

a) a = - 4 ; b = 3 b) a = -8 ; b = 2 c) a = 4 ; b = - 3 d) a=3 ; b = - 4 e) a =1 ; b = 1

2 x 10 - 7 Solución:

+2

ÁLGEBRA

62

b) 2 e) N.A.

c) 6

3 x 8 − 28 x 4 − 5 x 2 + 4 x2 +3

E indique la suma de coeficientes del cociente: a) - 12 d) - 9

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) - 11 e) - 8

c) - 10


TEOREMA DEL COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria d) 15

13. Divide : 27 x 4 −6 x 2 +x +15 entre 3x1 e indique un término del cociente. a) 27x3 d) 3x2

b) 9x2 e) 15

c

a

16 11

b

a) 1 d) 12

f 32

3x

b) 4 e) 1

b) 2 e) - 1

b) - 6 e) - 12

25

− 8x

21

2 −2  x 3 +2 

c) 2

b) 9 e) 3

c) 1

a) 3 d) 27

2 +6

c) 8

17. Hallar la suma de los coeficientes del cociente de la división :

(

)

nx 4 + 3 − n 2 + n x 3 + ( 5 n + 3 ) x 2 + 8 n 2 − 8 n 2 x x − n +1

S5AL31B

b) 11

6

+ 9 x + 3x + x + 8

b) 5 e) 9

c) 17

I. OBJETIVOS ESPECIFICOS Dado un conjunto de ejercicios sobre división, calcular el residuo aplicando correctamente el Teorema del Resto. II. PROCEDIMIENTOS A) Iniciales En la división algebraica se ha logrado determinar el cociente y residuo manejando el método adecuado para cada situación. Se presentan divisiones en la cual nos solicitan proporcionar sólo el residuo e intentamos hallarlo aplicando los procedimientos tanto de Horner y Rufini (según como se presente el divisor). Muchas de las veces los términos en la división no tienen la forma que se requiere para aplicar tales métodos. Es necesario entonces recurrir al estudio del Teorema del Resto que nos permitirá determinar el residuo en una división sin efectuarla. B) Desarrollo 1. Teorema del Resto Se utiliza para calcular el residuo en una división sin tener que efectuar la operación, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado en la forma (ax+b) y en algunos casos especiales. Enunciado del Teorema del Resto El residuo de dividir un polinomio Racional y entero entre un binomio de forma (ax+b), es igual al valor que toma dicho polinomio cuando se reemplaza “x” por (-b/a) es decir: P(x) ax+b R

Q(x)

Si: ax+b = 0,

Si el resto es 80 a) 10

8

20. ¿Calcular el valor de “m”, si el residuo de la división : x3 - mx2 + 7x - 1 entre (x - 2) es el triple del resto de dividir: x2 - (m + 2)x - 11 entre (x+2)

x − 2 +1

a) 10 d) 7

+ 2x

17

x +1 a) x2 - x+15 b) 7x2+4x+19 c) 6x2 - 2x+7 d) 11x2 + 5x - 1 e) N.A.

16. Calcular el residuo de dividir : x 5 + 3 

c) - 3

3

15. Luego de dividir : (10x5 - x4 + 3x3 + 17x2 + nx + 3) ÷ (5x+2) Se sabe que el residuo es 5. Hallar : “n” a) 4 d) 3

P (-b/a) = R

19. Calcula el resto en :

c +d +f Evaluar : K = a +b a) 1/4 d) 1/2

5to Año Secundaria P (-b/a) = 0 + R

x+2

2

ÁLGEBRA

e) 18

( 2x + 3 )7 + ( x + 3 ) 6 − 6 x

c) - 3x

(c 2) 22 d

62

18. Calcular el resto de dividir :

14. Dividiendo por Ruffini : 8

61

c) 13 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

Por definición de división: P(x) = (ax+b) Qx + R

despejando x= −

Luego: P(-b/a) = [a(-b/a) + b] Q(x) + R S5AL31B

b a

Entonces; para calcular el resto se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto. Ejemplo 01

x5 + 3x − 5 x −2

Calcular el resto :

Solución: Por el teorema del resto: x- 2 = 0 → x = 2 R = (2)5 + 3(2) – 5 → R = 33 Ejemplo 02 Calcular 4

el

3

resto:

2

2x + x − 8 x − 3 x + 7 2x − 3 Solución: Por el teorema del resto: 2x - 3 = 0 → x = 3/2 R 4

3

=

2

3  3  3  3  2   +   − 8   − 3   + 7 2 2 2       2 

81 27 9 + − 18 − + 7 8 8 2 108 9 − − 11 R = 8 2 27 9 − − 11 2 2 R=

R = 9 – 11 →

R =

R = -2

Ejemplo 03 Hallar el resto en: (3x60 – 5x45 + 3x30 – 2x15 + x5 + 7) : (x5 + 1) Solución:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria 5

Expresando el dividendo en función de x , tenemos:

61

(x 2 + 5 x + 7 )39 − 3(x 2 + 5 x + 5 )41 + (x + 1)(x + 4 ) + 7 x2 +5x + 6

3(x ) − 5 (x ) + 3(x ) − 2(x ) + (x ) + 7 Solución: Como el divisor es de la forma x 2 + 5x + 6, (x 5 ) + 1 buscamos en el dividendo las potencias de (x2 + 5x); así: Por el teorema del resto: 5 5 x + 1 = 0 → x = -1 5 12

5 9

5 6

5 3

El valor obtenido para x5 lo reemplazamos en el dividendo, así:

5

(x 2 + 5 x + 7 )39 − 3(x 2 + 5 x + 5 )41 + (x 2 + 5 x ) + 4 + 7 2

x + 5x + 6 Hacemos: x + 5x + 6 = 0 → x2 + 5x = -6, en el dividendo tendremos: 2

R = 3(-1)12 – 5(-1)9 + 3(-1)6 – 2(-1)3 + (-1) + 7 R = 3 + 5 + 3 + 2 – 1 + 7 → R = 19 Ejemplo 04: Hallar el resto de: (5x7 – 4x6 + 5x4 – 3x3 + 2x2 – 5x + 7) : (x2 + 2)

Solución: En este caso los exponentes del dividendo no son múltiplos del exponente del divisor. Siendo el divisor de segundo grado, el grado del resto será de primer grado. (es el máximo valor que puede asumir). El procedimiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior. Expresamos el dividendo en función de la potencia x2 :

R = (-6+7)39 – 3(-6+5)41 + (-6) + 11 R = 1 – 3(-1)41 – 6 + 11 R = 1 + 3 – 6 + 11 → R = 9 Ejemplo 06 Hallar el resto luego de dividir: 100

+ (x − 4 )

2

− 7 x + 12

(x − 3 )

x

47

Reemplazando en el dividendo tendremos: R = 5(-2)3x – 4(-2)3+5(-2)2–3(-2)x+ 2(-2)–5x+7

R = 5(-8)x – 4(-8) + 5(4) + 6x – 4 – 5x + 7 R = -40x + 32 + 20 + 6x – 4 – 5x + 7 R = -39x + 55 Ejemplo 05 Hallar el resto en:

S5AL31B

Ejemplo 07 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

a=2 b = -1 →

Al dividir F(x) entre (4x – 9)(x+3); se obtuvo como residuo 2(x - 3)2. Hallar el residuo de dividir F(x) entre (2x2 + 9x + 9). Solución: F(x): (4x2-9)(x+3) → R = 2(x - 3)2 Luego: F(x) =(4x2-9)(x+3).Q1 (x)+2(x- 3)2 . . . . . (α) F(x) : (2x2+9x+9) → R = ? (primer grado) F(x) = (2x2+9x+9). Q2 + ax + b . . . . . (β) De (α) y (β) :

Si x=-3/2,se obtiene: 81/2 = -3/2 a + b ↓ (-) Si x = -3, se obtiene : 72 = - 3 a + b 81/2 – 72 = -3/2 a + 3a 81 – 144 = 3 a -63 = 3 a a = -21 ; b = 9

R(x) = 2x – 1

a) 17 d) 14 05. Hallar

02. Hallar el resto :

c) 14

si

4 x 20 + 2 x + a x +1 b) 4 e) 8

el

resto

b) 3 e) 8

9

en

:

c) 4

el

resto

:

x60 + x80 + x90 + x20 + 4 x10 + 1 a) 2 d) 8

b) 4 e) 12

07. Hallar

el

2  z + x + 5    

c) 6 resto

2n

en

:

2  z + x + 4    

a) 1 d) 4

b) 2 e) 18

c) 5

c) 3

08. Qué resto se obtiene al dividir :

[(x + 3)(x + 5)(x + 4 )(x + 2) − 78 ] 2 + 15 x 2 +7x + 2 b) 16 e) 40

c) 19

09. Hallar el resto de : 102

4  4 x − 3 x + 6    

53

4 + x − 3 x + 4    

− 2 x 4 + 6 x −14

x4 −3x +5

a) –4 b) –24 d) –6 e) –2 10. Hallar el resto de :

c) 4

5 x7 − 4 x 6 + 5 x 4 − 3x 3 + 2x 2 − 5 x + 7 x2 + 2

S5AL31B

es

x −1 a) 2 d) 5

a) 15 d) 24

4 x 355 + 1 x −1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03. Hallar “a” si el resto de la división es 7

a) 3 d) 7

“a”

c) 13

z2 + x + 4

PRACTICA DE CLASE 2 x 4 − 8 x 2 + 7 x − 11 01. Hallar el resto : x −3 b) 16 e) 18

x −4

b) 12 e) 18

x3 + x 2 + 3x + a

R = - 21x + 9

a) 3 d) 16

( x − 3 ) 20 + 16

04. Hallar el resto en :

06. Hallar

(2x+3)(2x-3)(x+3).Q1+2(x-3)2=(2x+3)(x+3).Q2+(ax+b)

1er. grado

Si x = 3, se obtiene: 5 = 3 a + b . . . . . . (1) Si x=4, se obtiene: 7=4a + b . . . . . . (2)

Luego: R(x) = ax + b

5to Año Secundaria 2

+6

(x-3)100+(x-4)47+6=(x-4)(x-3) .Q(x)+(ax+b), ∀ x

Restando 2 – 1 :

ÁLGEBRA

Finalmente:

Solución: Factorizando el divisor: x2 – 7x + 12 = (x-4)(x-3) 5 (x 2 )3 x − 4 (x 2 ) 3 + 5 (x 2 )2 − 3(x 2 )x + 2(x 2 ) − 5 x + 7 En toda división: x2 +2 D ≡ d . Q + R, reemplazando los datos: Por el teorema del resto, igualamos el divisor a cero y hallamos la potencia x2 : (x- 3100) + (x- 47) + 6 = (x- 4)(x- 3) . Q(x) + R 2 2 x +2=0 → x = -2 2do. grado

62

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 55- 39x d) 55x + 39

b) 39x + 55 c) 55x – 39 e) 16x + 16

11. Hallar el resto en : 2 x 2 ( x + 3 ) 2 + 3 x + 3   + 9 x + 10

x 2 + 3x +1

a) 15 d) 18

b) 16 e) 180

c) 17

12. Hallar el resto : ( x − 8 ) 20 + ( x − 8 )19 + ( x − 8 )17 + 3

x−9 a) 6 d) 10

b) 7 e) 60

c) 8

13. Hallar el resto de dividir : ( x − 1) n + 2 + x 2 n +1

x2 − x + 1 a) 1 d) 7

b) 2 e) 8

( x − 3 ) 80 + ( x − 4 ) 15 (x − 3) (x − 4 ) a) 2x + 1 d) 2x + 3

b) 2x – 1 e) 16

x 2 + x −7 a) x + 1 d) 4

b) 2x - 1 e) 5

a) 6 d) 18

b) -3 e) -18

c) 12

18. Hallar el resto en : ( x − 7 ) 20 + ( x − 6 )16 + 4

x −6 a) 5 d) 8

b) 6 e) 10

c) 7

 81 5 n   3 13 n  x  +7  +1    ÷x     

b) 2

c) 4

e) 7

20. Hallar el resto en :

2 x10 + 3 x 7 + 4 x 6 + 5 x 4 + x 3 + x + 1 x3 − 1

c) 8 a) 11x+1 d) 10x+5

+6

c) 2x – 3

16. Hallar el resto de dividir :

S5AL31B

c) 3

17. Hallar m.n, sabiendo que : (m-3)x49 + (m-12)x32 - nx27 + nx6 + 3 es divisible entre : (x2 + 1)

a) 1 d) 6

15. Hallar el resto en :

62

ÁLGEBRA

5to Año Secundaria resto entonces al dividir dicho polinomio entre el producto de ellas nos arrojará como resto dicho resto común.

(x − 2)n (x + 3) n + (x + 1) 2 − (x + 4 )

c) 0

x8 + x4 + 1 x2 − x +1 b) 0 e) 16

61

19. Hallar el resto :

14 Hallar el resto en :

a) 1 d) 7

5to. Año Secundaria

b) 11x+3 e) 11x+2

DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA Divisibilidad Algebraica tiene por

I. Si un polinomio D(x) es divisible entre otro polinomio d(x), entonces existe otro polinomio Q(x) tal que: D(x) =d (x) . Q(x) Cuando dos polinomios son divisibles, entonces el resto es nulo (CERO) R(x) = 0 II. Si, P(x) es divisible entre (x – a), entonces: P(a) = 0 si, P(x) es divisible entre (x + b), entonces: P(-b) = 0 III. Si, P(x) es divisible independiente por (x ± a), (x ±b) y (x ± c), entonces P(x) es divisible por el producto: (x ± a) (x ± b) (x ± c) Es decir: Si: P(x) ÷ (x ± a) → r = 0 P(x) ÷ (x ± b) → r = 0 P(x) ÷ (x ± c) → r = 0 Entonces:

c) 11x+6

P(x) ÷ (x ± a )( x ± b )( x ± c)

r

≡ 0 NOTA: También se cumple el proceso inverso, es decir si un polinomio P(x) es divisible por el producto (x ± a) (x±b) (x ±c) entonces, P(x) es divisible por cada uno de sus factores. IV. Si al dividir un polinomio P(x) entre varias expresiones por separado nos da un mismo

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Así: Sea P(x) un polinomio cualquiera y: P(x) ÷ (x + a) → r = R P(x) ÷ (x + b) → r = R P(x) ÷ (x + c) → r = R

La objetivo determinar polinomios que no se conocen restos en divisiones donde el teorema del resto no se puede aplicar directamente. Para estudiar la divisibilidad algebraica, necesitaremos conocer los siguientes teoremas o principios fundamentales:

S5AL31B

Entonces: P(x) ÷ (x + a)(x + b) (x + c)

→ r = 0

AMIGO LECTOR: Recuerde que para determinar la suma de coeficientes de un polinomio entero en “x”, por decir P(x) se hace: Suma de coeficientes = P(1)

Y, para determinar el término independiente de dicho polinomio se hace: Término

Independiente

=P(0)

Ejemplo # 1 Al dividir un polinomio P(x) se 3er. Grado separadamente entre (x –1), (x + 2) y (x – 3) resulta como residuo en los 3 casos igual a 3. Si al dividir P(x) entre (x + 1) se obtiene como residuo 19, calcular el residuo de dividir P(x) ÷ (x – 2). Solución: *

Dato: P(x) es de 3er. Grado. Del enunciado: P(x) ÷ (x – 1) → R(x) = 3 P(x) ÷ (x + 2) → R(x) = 3 P(x) ÷ (x – 3) → R(x) = 3

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Por el principio fundamental # III decimos que:

P(x )

( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 3 ) *

∴ R(x ) = 3

Por Identidad: LO LLAMAREMOS "a"

P(x) = (x-1) (x+2) (x-3) TERCER GRADO

Q (x) + 3

TERCER GRADO

GRADO CERO

P(x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) a + 3 .............. (I) *

a = 2 ........................................ (II) Reemplazando (II) en (I): P(x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) 2 + 3 Nos piden calcular el residuo de dividir:

P(x )

( x − 2)

61

e) 2

02. Determinar M y N de manera que el polinomio: x4 + 2x3 – 7x2 + Mx + N sea divisible entre x2 – 3x + 5 a) 14 y 13 d) 16 y 15

→ R(x) = P(2) = (2-1)(2+2)(2-3)2+3 R(x) = -8 + 3 = -5 ∴ R(x) = -5

b) 15 y 16 e) N.a

a) 4 S5AL31B

b) 3

c) 6

ÁLGEBRA

5to Año Secundaria d) –8; 13; 15

08. Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3) se obtuvo por residuo –5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. Encontrar el residuo de dividir P(x) entre (x –1).

c) 13 y 12 a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

13. Un polinomio de grado “n” y variable x es divisible entre (xn-1 + xn-2+1) y tiene por término independiente 2. Además dicho polinomio disminuido en 9 es divisible entre (x – 1) y disminuido en 388 es divisible entre (x – 2). Calcular el valor de “n”.

c) 7 a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

03. Qué valor debe tener k para que el polinomio: P(k)=x6+2x5 + kx4 – x3 + 2(8 + k)x2 + 6x – 18,

sea divisible por x3 + 2x2 – 3 b) –2 e) 4

c) 3

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

05. Hallar un polinomio de cuarto grado en variable “x”, que dé como residuo 2x al dividirlo por (x-1)2 y dé como residuo 3x al dividirlo por (x-2)3. a) (x-3)3 (3x+1) + 2 b) (x-2)2 (4x+3) + 3x c) (x-2)3 (4x – 3) + 3x d) (x – 2)3 (3x + 1)+ 2x e) N.a 06. Encontrar el valor de K para que el polinomio: x3 + y3 + z3 + (k – 9) x y z, sea divisible por x + y + z. a) 1 b) 3 c) 6 d) 5 e) 4

PRACTICA DE CLASE: 01. Hallar m sabiendo que: P(x) = 2mx4 – mx3 + 6x – 24 es divisible entre: 2x2 –x + 4

62

c) –13; 12; 15 e) 7; -5; 25

04. Si al dividir: 12x4 + Mx3 + Nx2 + 25x – 15 entre un polinomio de segundo grado, se obtuvo como cociente 4x2 + 3x – 2 y como residuo 6x – 5. Calcular M + N

16 = 8a

*

d) 7

a) 2 d) –3

Además: x+1=0 →x=-1 Dato: P(-1) = (-2) (1) (-4) a + 3 19 = 8a + 3

*

5to. Año Secundaria

07. Al dividir un polinomio P(x) entre el producto (x+1) (x-2) (x+3) el resto obtenido es x2 – 5x+1. Encontrar cuáles son los restos que se obtiene al dividir P(x) entre x + 1 ; x-2 ; x+3 a) 7; -3 ; 12

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 14; 13; -15

09. Un polinomio de cuarto grado es divisible entre (x+2) tiene raíz cuadrada exacta. Al dividirlo entre (x – 2) y (x + 1) los restos obtenidos son iguales a 16. Calcular la suma de sus coeficientes. a) 36 d) 39

b) 37 e) N.a

c) 38

10. Determinar un polinomio P(x) de quinto grado que sea divisible entre (2x4 – 3) y que al dividirlo separadamente entre (x+1) y (x-2) los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232. a) 12x5 – 3x4 – 15x + 6 b) 10x5 – 4x4 + 15x + 6 c) 12x5 – 4x4 – 15x + 6 d) 10x5 – 4x4 – 15x+7 e) 10x5 – 3x4 – 15x + 6 11. Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x+3), (x+2) y (x-5), se obtenga siempre el mismo residuo (- 6) y al dividirlo entre (x + o1) el resto sea (- 42). a) 3x2 – 57x – 95 c) x3 + 57x – 96 e) –3x3 + 57x – 59

b) –3x3 + 57x – 95 d) 3x3 – 57x – 96

12. Un polinomio entero en “x” de tercer grado se anula para x = 7 y para x = -3 y el dividirlo entre (x – 10) da como residuo 39 si el primer coeficiente del polinomio es 3. Hallar el resto al dividirlo entre (x – 8). a) 52 S5AL31B

b) 53

c) 54

d) 55

e) 56

14. Cuál es la suma de coeficientes de un polinomio P(x) si se sabe que es mónico y de tercer grado, siendo divisible entre (x-2) (x+1) y carece de término cuadrático. a) 2 d) 8

b) –5 e) –3

c) –4

15. El siguiente polinomio: P(x) = (x2 – n2) (x3 – m3), se anula sólo para 4 valores diferentes de x. Calcular el resto de dividir entre (x – 2n) a) 27n5 d) 24n5

b) 29n5 e) 21n5

c) 25n5

16. Al efectuar la división del polinomio P(x) entre (x2+1) se obtiene como residuo (x – 2). El resto que se obtiene al dividir el cubo del polinomio P(x) entre x2 + 1 es: a) x – 11 b) x – 2 c) 11x-2 d) 11x-8 e) 11x + 2 17. Al dividir un polinomio P (x) entre (x2 + 2) se obtiene un cociente Q(x) y un resto (3x – 1). Si Q(x) es divisible entre (x2 – x – 6) el resto de dividir P(x) entre (x+2) es: a) 5 d) –7

b) –5 e) 6

c) 7

18. Si el polinomio P(x) se anula para x = 1, x = 2, x = 3, además es de cuarto grado y divisible por (x – 5), se pide calcular la suma de coeficientes de P(x) si presenta como primer coeficiente a la unidad. a) 3

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 4

c) 5


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 1

ÁLGEBRA

62

b) –2 e) 7

b) –3 e) 8

5to Año Secundaria

Exponente común

c) 30

20. Determinar el residuo de dividir un polinomio P(x) entre: x3+ x2 + x + 1 siendo dicho resto divisible por (x – 1), además el polinomio disminuido en 2 unidades es divisible por (x2+1). Señale como respuesta la suma de los cubos de sus coeficientes. a) –8 d) 0

61

e) 0

19. Señalar la suma de coeficientes de un polinomio en x, de tercer grado, que es divisible por (x + 1) y al dividirlo entre: (x – 1), (x – 2) y (x – 4) presenta en cada caso el mismo resto 30. a) –4 d) 6

5to. Año Secundaria

COCIENTE NOTABLE

c) 3

Reemplazamos en el Dividendo:

xn ± a n x±a

1. Identificar las divisiones que originan un cociente notable. 2. Proporcionar el desarrollo del cociente de una división notable. 3. Resolver ejercicios y/o problemas involucren cocientes notables.

que

PROCEDIMIENTOS A. Iniciales En el estudio de la división algebraica, hemos logrado hallar el cociente y el residuo mediante la aplicación correcta de métodos, técnicas, procedimientos o algoritmos. Ante una determinada estructura de las expresiones algebraicas denominados Dividendo y Divisor, ¡ahora! nos asiste tratar con divisiones que por su forma o estructura las denominamos DIVISIONES NOTABLES, que originarán en su desarrollo COCIENTES NOTABLES o INMEDIATOS. B. Desarrollo 1. Cocientes Notables Reciben este nombre aquellos cocientes que se originan de divisiones que adquieren la forma: xn ± a n x ±a

,

n ∈ Z+

El desarrollo de estos cocientes se puede escribir correctamente sin necesidad de efectuar la división. Es importante hacer notar que los términos de su desarrollo se caracterizan por que obedecen a una misma ley de formación, de la forma general:

x–a=0 ⇒ x=a

R = an + an

Bases

Podemos extraer las siguientes características: * El Dividendo y el Divisor deben ser binomios, o cualquier otra expresión que se reduzca a ellos. * Las bases están indicadas en el divisor, debiéndose repetir en el dividendo. * Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indicará el número de términos que tendrá en su expansión el cociente notable. 2. Estudio de la División Notable Se presentan 4 formas o casos distintos de divisiones notables, que lo vamos a determinar combinando adecuadamente los signos.

Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente completo o cociente mixto. Luego el cociente es:

x n +a n 2a = x n -1 + x n - 2 a + x n - 3 a 2 + ... + xa n - 2 + a n -1 + x −a x−

Tercer Caso:

xn − a n x +a Aplicamos el Teorema del Resto: x + a = 0 ⇒ x = -a Reemplazamos en el Dividendo:

R = (-a) n - a n

Primer Caso:

⇒ R = 2 an ≠ 0

Si n es un número par R=0 Origina un cociente exacto. Si n es un número impar R = -2 a n ≠ 0 Origina un cociente completo.

xn − a n x −a

Luego el cociente obtenido es:

Aplicamos el Teorema del Resto:

Si “n” es un número par, ocupa lugar par

x–a=0 ⇒ x=a

x n − a n = xn-1- xn-2a+xn-3 a2 - . . . + x an-2 - an-1 x +a

Reemplazamos en el Dividendo: R = an - an ⇒ R = 0 Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente exacto. Luego el cociente es:

x n − a n = xn-1+ xn-2a+xn-3 a2 + . . . + x an-2 + an- 1 x −a

Si “n” es un número impar, ocupa lugar impar. x n −a n = x n -1 −x n - 2 a +x n - 3 a 2 −... −xa n - 2 +a n -1 − x +a

Cuarto Caso:

Segundo Caso:

xn + a n x+a

xn + a n x−a

Aplicamos el Teorema del Resto: Aplicando el Teorema del Resto: S5AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AL31B

x + a = 0 ⇒ x = -a “El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

Reemplazamos en el Dividendo:

n

R = (-a) + a

n

Si n es un número impar R=0 Origina un cociente exacto.

Si “n” es un número par n

+a x −a

n

=x

n -1

−x

n-2

a +x

n -3 2

a

−.x

n-4

a

3

Si “n” es un número impar x

n

+a x −a

n

=x

n -1

−x

n-2

a +x

n-3 2

a

−.x

n -4

a

3

+ .. − xa

+a

*

Ejemplos Ilustrativos

G.A.

x 60 − y 72

x

x

−a

4

18 3

18

+x

15 5

a

+x

12 10

a

9 15

+x a

6 20

+x a

3 25

+x a

18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30

= x 20 + x 16 a 3 + x 12 a 6 + x 8 a 9 + x 4 a 12 + a 15

del

Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables, sin necesidad de conocer los demás:

x 1

±a x ±a 2

n −8 3 3 = (x ) (1)8 −1

3

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

k

n-1

Luego, el número de términos será 12. Ejemplo 4.¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable, el término cuyo grado absoluto es 252? x 4 − y7

Resolución: Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que cumpla la condición dada.

x 4 n +4 − y5n

Tk = (x 4 )40 - k (y 7 )k -1 G A TK = 160 – 4k + 7k – 7 = 3k + 153

x n +1 + y 2 n − 3 Para que sea un cociente notable.

Por dato del problema: G.A.TK = 252 3k + 153 = 252

Resolución:

4n + 4 5n = n +1 2n − 3

k = 33

4 (n + 1) 5n = (n + 1) 2n − 3

PRACTICA DE CLASE: 01. En el desarrollo de:

n S5AL31B

n – 24 = 12

x 160 − y 280

Ejemplo 2.Calcular el valor de “n” en:

=x n −1 ± x n −2 a + x n −3 a 2 ±... ± T +... ± xa n −2 ± a n −1

= x n − 24

n = 36

+a Como el divisor es de la forma (x + a) y el término ocupa lugar Par, entonces el signo será negativo (-).

Para una división de la forma:

xm ± a p

Número de términos será: n/3

30

T8 = -(x5)12-8 (y6)8-1 T8 = -x20 y42

4. Fórmula del Término General Desarrollo de los Cocientes Notables

n

Es 12, hallar el número de términos de su desarrollo.

Luego:

Resolución:

−a G.A. → 20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15

n

x 3 −1

T8

x5 + y6

Ejemplo No. 2 24

x n −1

Resolución:

Ejemplo 1.Hallar el octavo término del desarrollo de:

n −1

=x

x3 − a 5

Cuando el divisor es de la forma (x- a) entonces, el signo del término buscado será positivo (+). Cuando el divisor es de la forma (x + a) entonces, el signo del término buscado será: (-) Si el lugar que ocupa es PAR. (+) Si el lugar que ocupa es IMPAR.

Ejemplo 3.Si el grado del octavo término del cociente notable

Tk = Signo xn-k ak-1

x 21 − a 35

Los divisores de la forma (x – a) provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos. ⋅ Los divisores de la forma (x + a) provocan un desarrollo cuyos signos están en forma alternada, así: + , - , + , - , . . . . ⋅ El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose xn-1 . ⋅ A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en 1, mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta (n-1). ⋅ El desarrollo es un polinomio homogéneo. 3. Principio a cumplirse en una división notable

*

Ejemplo No. 1

Por lo expuesto anteriormente podemos concluir:

S5AL31B

n +2

8n – 12 = 5n 3n = 12 n=4

El signo del término buscado dependerá de la forma del divisor y del lugar:

Donde: n = Número de términos del cociente. m, p, q, r ∈ R ∧ n ∈ Z+ De la división notable expuesta podemos concluir: ⋅ Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos indicará la forma como aumentan o disminuyen los exponentes de las variables mencionadas. n absolutos del desarrollo ⋅ Si r > q, los grados 2a n-2 n -1 +.. + xaaumentarán −a + acuerdo a la diferencia (r - q). de x +a ⋅ Si r < q, los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia (q – r). Para ser más objetivos veamos los siguientes ejemplos:

Observaciones

xq ± a r

5to Año Secundaria

Tk = Signo xn-k ak-1

m p = =n q r

Luego el cociente obtenido es:

x

ÁLGEBRA

Es división notable o inmediata si y sólo si:

Si n es un número par R= 2a n ≠ 0 Origina un cociente completo.

62

61

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria x 4 n − y5n

x 45 + a 27

4

x 15 + a 9

x −y

hay un término de grado 24, la diferencia de los exponentes de “x” y “a” es: a) 7 d) 6

b) 24 e) Ninguno

c) 5

02. Cuál de las siguientes divisiones no genera un cociente notable? a)

x

10

+y

x 12 + y10 x6 + y5 d)

c)

x 5 + y7 e) N.A.

03. Calcular el número de términos del cociente notable: x

2n

−y

3m

x 2 − y3 si se cumple que: T20 . T30 = x100 y144 b) 150 e) 60

c) 50

a 148 m − b 296 n a

−b

b) m = 3 n=2 e) N.A. la

c) m = 3 n=3

siguiente

x120 − y180

división

notable

Calcular la suma de las

xa + yb

cifras de “ab” sabiendo que los grados absolutos de los términos de su desarrollo aumentan de 3 en 3. a) 10 d) 54

b) 9 e) 44

c) 8

a)

x −y si el penúltimo término es: x2 y82 d)

b) 390 251 e) 391 249

c) 86

x 12 − 1

b)

x 3 −1 x

15

+1

e)

3

x +1

x 12 + 1 x 3 −1 x

15

c)

a

c) 391 251

105

x 3 −1

−1

3

x −1

−a x−a

III.

x 2n + 2 − a 2n + 2 x+a

x p − yq a) 124 d) 158

;

a) 3-2

2

¿Qué valor adquiere el término central para:

c) 168

x + 48 2 2

Calcular “a+b” si el término quinto es: x c yd, además d - c = 3. c) 120

;

a) 2

b) 1/2

d) 24 2

e) 48 2

17. Efectuando:

7

b) 100 e) 140

2

2

2a 2 + 2 b 2

a= b) 144 e) N.A.

e) 3+2

c)

(a + b ) 50 + (a − b ) 50

calcular (m + p + q).

x −y

b) 2

2

16. En el cociente notable de:

xa − yb

a) 70 d) 130

2

c) I, II y III

12. Si xm-96 y14 es el octavo término del desarrollo del cociente notable: x m − y 24

para x = 3, y = 2

d) 1

Con n ∈ Z+, son exactos: a) Sólo I b) Sólo I y II d) Sólo II y III e) Ninguno

b=

x − 48 2 2 c)

2

y15 − y −10

y 3 − y −2 el número de términos enteros es: a) 6 d) 3

b) 2 e) 5

c) 4

18.Hallar el número de términos que tendrá el cociente notable:

xa − yb

x 5 m +10 − y 5 m −50

x 2 − y3

x 2n +9 − y 2 n +5

hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término? S5AL31B

c) 4

8 xy (x 2 + y 2 )

14. En el desarrollo del cociente notable de: −a

b) 3 e) 6

( x + y )100 − ( x − y )100

x 2 n +1 + a 2 n +1 x +a

63

a) 2 d) 5

2n

II.

x 15 + 1

a 5 − b3 el grado del término que ocupa el lugar “k” supera en 8 al grado del término de lugar “k” contado desde el último. Calcular k . k.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) 100

13. En el cociente notable de:

10. En el cociente de:

06. El número de términos que tiene el siguiente desarrollo de:

2n

5

2

a) 42 b) 82 d) 43 e) 45 05. Calcular: (256 - 1) : 624

b) 81 e) 36

15. Calcular el valor numérico del término central del cociente notable:

x

I.

sea a56 b708

;

4n

5to Año Secundaria

11. De:

09. x12 + x9 + x6 + x3 + 1 es el desarrollo de:

xn − yn

S5AL31B

2m

08. Dado

04. Dar el número de términos del cociente notable: 2

c) 10

07. Hallar “m” y “n” para que el término 60 del cociente:

a) m = 2 n=2 d) m = 2 n=3

x 25 + y 35

x 3 + y4

a) 390 001 d) 391 250

b) 9 e) N.A.

b)

x 15 − y 20

a) 100 d) 30

a) 8 d) 11

ÁLGEBRA

62

a) 9 d) 15

5

sabiendo que el t(5) tiene grado absoluto 32, es:

10

x2 − y2

61

a) 12 d) 15

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 13 e) N.a.

c) 14


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

61

03. El resto de la división: 19.Encontrar la suma algebraica de todos los términos del desarrollo del cociente: 32

a

a +1

− 2a 8 − 15 Sabiendo que es exacto:

a) 25 d) 96

b) 32 e) 48

20. Encontrar el número de términos de: . . . . - x108 y55 + x99 y60 - . . . . sabiendo que es el desarrollo de un cociente notable. a) 12 d) 21

b) 22 e) 23

PRACTICA DE APRENDIZAJE:

c) 24 FIJACIÓN

DE

x 2 + 2x + 1

Determine la suma de los coeficientes del cociente obtenido c) 2

x−3 La suma de coeficientes del cociente es 1093, calcular “n” b) 6 e) 5

c) 7

a) 30x+77 d) x+11

b) 31x+77 e) - 31x -77

c) - 31x+77

x 10 −1 x(x −1)(x − 2)

2 x 4 + 6 x 3 + (a − 7 )x 2 + bx + 1 ax 2 + bx + 1

; {a; b}

⊂Z obtendremos como cociente y residuo polinomios no constantes mónicos de coeficientes reales; además se sabe que el residuo es un monomio halle: a + b

S5AL31B

04. En la siguiente división: 3 x n +1 + x + 2

06. Halle el resto:

02. Si dividimos:

a) 13 d) 9

c) - 2

(x + 2) 3 (x − 3) 3 + (x − 2) 2 (x + 1) 2 + (x + 3) x2 −x −5

x 6 − 7x 5 − 9x 4 + 6x 3 + 6

b) - 7 e) 5

b) 0 e) N.A

a) 3 d) 8

b) 11 e) 10

5to Año Secundaria b) 1 + x

2 n (4 − 1)(1 − x) c) 3 3 n (4 + 1)(x + 1) 2

a) 611 x 2 - 610x+1

b) 610 x 2 - 611x - 1

c) 610 x 2 +611x+1

d) 511 x 2 - 510x - 1

d)

halle a+b+c+d a) 34 d) 8

08. Halle el resto en la siguiente división: 1 + x + x 2 + x 3 + .... x 4 n −1 (1 + x)(1 + x 2 )

a) 0 d) 1 + x 2

b) 1 - x e) x 2 - 1

c) 1 + x

09. Al dividir el polinomio p(x) entre (x - 1) y luego entre (x - 2) se obtiene el mismo resto 4, además p(x) es divisible entre (x - 3). Calcular el término independiente p(x) si es de 3º y además cp es 2. a) - 1 d) - 7

b) - 3 e) - 8

10. Sea p(x) un polinomio mónico de 3º si p(x) es divisible entre (x+2) y también entre (x+3) y además al dividir p(x) entre ( x 2 - 1) el resto es 17x+19. Calcular p(0) a) 10 d) 12

b) 17 e) 6

07. Halle el resto en: (x − 1) 2 + (x 2 − 1) 3 + (x 3 − 1) 4 + ....( x 2 n −1 − 1) 2 n

(x − 1)(x + 1) Siendo n ∈ N

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

e) 8

c)

16 x 4 + 2 x + 1 12. Al dividir: − 2x − 1 como cociente : S5AL31B

(x 2 − 7 x) 2 − 4 Calcule la suma de los coeficientes del cociente obtenido a) - 140 d) - 144

b) - 156 e) - 136

c) - 175

14. Calcular a+b+c, si el resto de dividir: ax 5 + bx 4 + cx 2 − 5 x − 3

entre 2 x 3 + x 2 − x − 2 es :

a) 18 d) 19

b) 20 e) 92

c) 15

15. Halle el resto en la siguiente división: (x + 1)n + x 4 + x + 4 x 2 + 2x + 2

a) x+2 d) x+1

x 2 + x −1

d) 10

(x − 4 )(x −1)(x − 3)(x − 6 )(x 2 − 7 x − 6 )(x 2 − 7

donde n = 4º

x 5 − nx + 2 m − 2

b) 6

c) 21

13. Luego de dividir:

c) 2

11. Calcule “m” para que la división:

a) 5

b) 30 e) 50

c) - 12

e) 611 x 2 - 1

c) 15

a  b  c  q (x) =  − 1 x 3 +  − 2 x 2 +  − 3 x + d 3 4 5      

e) 0

05. Halle el resto de la siguiente división:

01. Determine al dividir:

a) 0 d) - 1

2x 2 + x − 3 Es el polinomio R(x) = 3x - 3.

a) - 1 d) 3

ÁLGEBRA

a) 1 - x

− Ax 4 + Bx 3 + Ax 2 + 8 x − 9

A Calcule 3 +B 3 c) 128

62

b) - x + 1 e) x - 1

c) - x - 1

5 2 GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL

copyright 2003

se obtiene

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


Algebra(4) 5° 1b