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COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

MULTIPLIACION I. Objetivos Específicos: 1. Evita operaciones innecesarias sobre todo multiplicaciones, ubicando directamente el resultado en este caso el producto. 2. Consigue rapidez en la reducción de expresiones cuyas formas aparentemente son operativas. 3. Conoce artificios diversos para minimizar el tiempo de resolución de los ejercicios. 4. Interpreta geométricamente los productos notables. 5. Identifica los productos notables a partir de los factores. Así como el reconocimiento de los factores a partir del producto. II. Procedimientos: A. Iniciales El razonamiento deductivo y las demostraciones matemáticas Si las matemáticas tienen tanto prestigio entre las demás ciencias, se debe al papel especial que desempeña en las matemáticas el razonamiento deductivo, base de las demostraciones matemáticas. Demostrar una propiedad es deducirla de otras anteriormente demostradas. Este tipo de razonamiento garantiza la verdad de la conclusión si la información de la que se parte (las premisas) es verdadera (o se supone verdadera). La “demostración matemática” tiene las siguientes características : - Se sabe ya la conclusión a la que se quiere llegar. - Inducción y deducción son inseparables en matemáticas - Es un concepto relativo que varía con el tiempo. S5AL31B

5to. Año Secundaria

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40

1er. Año Secundaria

Otra particularidad de la demostración matemática es que establece propiedades que son verdaderas y válidas en todos los casos, si se dan las mismas condiciones iniciales. Una vez demostrado el teorema de Pitágoras, por ejemplo, sabemos que es verdadero para cualquier triángulo rectángulo, con lados que tengan milímetros o kilómetros de largo. La generalización que produce la demostración permite la aplicación de un teorema dado a cualquier caso particular. Hay otra razón que hace necesarias las demostraciones matemáticas: La geometría, por ejemplo, no es una colección fortuita de verdades sobre propiedades especiales de las figuras, es también un “sistema axiomático” o “deductivo” en el que cada teorema se deduce de otro, demostrado previamente, hasta llegar a un pequeño número de “axiomas” o “postulados” que no pueden ser demostrados y que hay que aceptar como verdaderos.

Afirma Raymond Wilder (E.U.A. 1898): “Lo que constituye una “demostración” varía de una cultura a otra y de una época a otra”. Morris Kline, profesor de matemáticas de la Universidad de New York, escribe: “La típica actitud en el siglo XVIII era: ¿Para qué preocuparse tanto por demostrar lo evidente mediante abstrusos razonamiento, cosas que nunca se pusieron en duda? ¿Para qué demostrar lo evidente mediante lo menos evidente? Incluso la geometría euclidiana fue criticada por presentar demostraciones que no se consideraban necesarias” La primera “demostración” tal como se entiende hoy en matemáticas parece haber sido hecha por Tales de Mileto unos 600 años antes de nuestra era; él demostró que “todo diámetro biseca a la circunferencia”. ¿Por qué esa necesidad de demostrar lo que es evidente e incontrovertible?

Pruebas Geométricas En cuanto se descubrió el conjunto de los números irracionales, se observó que la colección de las magnitudes geométricas (por ejemplo los segmentos) era más completa que el conjunto de los números racionales, entonces se construyó una herramienta matemática más amplia denominada álgebra geométrica. Los principales elementos del álgebra geométrica fueron los segmentos de recta, donde a partir de ellos se definieron las operaciones de cálculo, por ejemplo, la adición se interpretaba como la unión de los segmentos. (En forma colineal uno a continuación de otro), la sustracción como la eliminación de una parte del segmento minuendo igual al segmento sustraendo, la multiplicación de segmentos originó la aparición del sistema bidimensional (la representación en el plano cartersiano), la división resultaba posible sólo bajo la condición de que la dimensión (tamaño del

Una razón es que ninguna ciencia exacta puede basarse sistemáticamente en lo que es “obvio” o “evidente”. Lo “obvio” es siempre subjetivo, inestable y sospechoso, casi nunca permite llegar a resultados importantes y menos cuando la ciencia se vuelve más y más abstracta. La demostración pretende convencer a todos los interlocutores, incluso a uno mismo: también pretende, y eso es importante en la docencia, aclarar y hacer comprender mejor lo que se quiere enseñar. Si la demostración no va a facilitar la comprensión, es mejor descartarla. Es lo que hicieron los matemáticos chinos en el siglo XVII cuando, a través de los misioneros jesuitas descubrieron la geometría euclidiana: adoptaron todo el contenido de la obra de Euclides excepto las demostraciones, que les parecieron demasiado verbosas y no explicaban nunca cómo se habían descubierto.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

ÁLGEBRA

S5AL31B

segmento) dividendo era mayor que la dimensión del divisor. Pruebas geométricas de algunas identidades algebraicas: El álgebra geométrica también interpretaba las identidades algebraicas. Los ejemplos siguientes, conocidos desde tiempos inmemoriales, muestran claramente el uso de áreas de figuras geométricas para “demostrar” identidades algebraicas. Trinomio Cuadrado Perfecto

B a b ab a

a2

b C b2 = ab

+ ab + ab + b 2

a2

D

A

Area de ABCD= (a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2 (a

+ b )2 = a 2 + 2 ab + b2

b

a-b

b2 a b

b (a-b)

2

a-b

a (a - b)2= a2 - b(a - b) - b(a - b) - b2 (a

− b )2

= a 2 − 2 ab + b2

Diferencia de cuadrados a-b b a

a b a-b =

a

b a-b

a+b

a 2 − b 2 = (a + b ) . (a − b )

Desarrollo de un Trinomio al cuadrado:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

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ÁLGEBRA

1er. Año Secundaria

Los principales productos notables son: a

b

c

a

a2

ab

ac

b

ab

b2

bc

bc

2

c

ac

c

(a+b)4 - (a - b)4= 8 ab(a2+b2) I. Trinomio cuadrado perfecto: El desarrollo de un binomio al cuadrado nos da el cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo término, más este elevado al cuadrado.

2.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc

( a +b ) 2 ≡ a

B. Desarrollo En la multiplicación algebraica encontramos los factores que la constituyen con una característica especial que hará posible el conocimiento inmediato del producto. Dicha multiplicación notable generará como resultado un producto notable, generándose de esa manera las identidades algebraicas a mencionarse en la presente sesión: Es importante que el alumno los estudie y los reconozca de inmediato para su posterior aplicación no sólo en el nivel secundario, sino también cuando esté cursando estudios superiores.

+2 ab +b

2

Sin lugar a dudas los Productos Notables son importantes, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar operaciones. Las multiplicaciones notables generan productos notables y la relación de ambos recibe el nombre de identidades algebraicas o equivalencias algebraicas ya que se cumplen para cualquier valor que se dé a la variables.

(ab + ac + bc ) 2 ≡(ab ) 2 + (ac ) 2 +(bc ) 2 + 2 abc (a + b 4.

(a −b )2 ≡ a 2 −2 ab +b 2

Multiplicación de binomios con un término en común: Al multiplicar dos binomios con un término en común se obtiene: el común al cuadrado, más el producto de la suma de no comunes, más el producto de no comunes, es decir:

(am + bn) (am – bn) ≡ a2m – b2n

Consecuencias:

(x+a)(x+b) ≡ x 2 + (a + b )x + ab

Consecuencias :

a2 + 2a + 1 ≡ (a + 1)2

x–y=

Consecuencias:

 y +y   x −y  ;x∈ R+ ; y ∈ R+        

( x +a )( x −b ) ≡ x

a2 – 2a + 1 ≡ (a - 1)2

2 2 a 4 + b 4 .... = a 2 n −1 − b 2 n −1 (a − b)(a + b) a + b                    2

a2 + b2 = (a-b)2 + 2ab

( x −a )( x −b ) ≡ x

n factores

2

a + b = (a+b) – 2ab

Se denomina Producto al resultado de una multiplicación y llamamos Notable a todo aquello que merece una nota o atención, es decir a aquello importante que se da a notar.

+ b −c )2 =a 2 +b 2 +c 2 +2 ab . 2 ac . 2 bc

(a+b)(a-b) = a2 – b2

2

PRODUCTO

S5AL31B

2

Diferencia de cuadrados El producto de dos binomios uno que presenta la suma de 2 expresiones y el otro la diferencia de las mismas expresiones es el cuadrado de la primera, menos la segunda al cuadrado.

(a

3.

Identidades de Legendre

Desarrollo de un trinomio al cuadrado Al desarrollar un trinomio al cuadrado se obtiene la suma de cuadrados de los tres términos, más el doble de la suma de los productos tomados de dos en dos. (Productos binarios).

( a +b +c ) 2 ≡ a

2

+b

(a+b) – (a-b) ≡ 4ab 2

Consecuencias:

2

+c

2

5.

S5AL31B

2

−( a +b ) x +ab

+2 ab +2 ac +2 bc

Desarrollo de un binomio al cubo Al desarrollar un binomio al cubo se obtiene: el cubo del primer término, más el producto del triple del primero al cuadrado por el segundo, más el producto del primero por el segundo al cuadrado, más el cubo del segundo término.

( a +b ) 3 ≡ a

Consecuencias:

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+( a −b ) x −ab

m x m +a  x m +b ≡x 2 m + (a +b )x + ab        

(a+b)2 + (a - b)2 ≡ 2(a2 + b2)

2

2

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

3

+3 a

2

b +3 ab

2

+b

3


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5to. Año Secundaria

Consecuencias:

(a − b )

3

≡a

3

2

−3 a b +3 ab

2

−b

3

* (a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3  Foma  desarrolla da 3 3 2 2 3 * (a − b) = a − 3a b + 3ab − b  * (a + b)3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b) Forma  semidesarr ollada * (a − b)3 = a 3 − b 3 − 3ab (a − b)

(a+b)3 ≡ a3 + b3 + 3ab (a+b)

(a-b)3 ≡ a3 – b3 – 3ab (a-b)

3

    (a + b) a 2 − ab + b 2  = a 3 + b 3  

(a+b)3 + (a-b)3 ≡ 2a (a2+3b2)

05. Binomio con un término común: (a-b) (a2 + ab + b2) ≡ a3 – b3

* (x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

06. Producto de binomios: * (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

A continuación mencionaremos un resumen de las principales identidades algebraicas donde identificaremos los más importantes productos notables:

07. Trinomio al cuadrado:

09. Polinomios de una variable *(x+a)(x+b)(x+c)..............(n factores ) = xn+(Σa) xn - 1+(Σab) xn - 2+...+(abc...) 10. Identidades de Legendre:

01. Binomio al cuadrado:

2 (a + b + c) 2 = a 2 +b 2  +  c  + 2ab+2 ac  +  2bc

b)=

 a 5 + b5 + c5   5 

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Identidades auxiliares: * a3+b3+c3 - 3 abc= (a+b+c)(a2+b2+c2 - ab - ac - bc) * a3+b3+c3 - 3 abc=

1 (a+b+c)[(a - b)2+(c - a)2 +(b - c)2 2 * (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+ac+bc) - 3 abc * (a+b+c)3+2(a3+b3+c3)= 3(a+b+c)(a2+b2+c2)+6 abc

01. Sabiendo que: a - b= b - c= 7 7 . Determine el valor numérico de:

a) 10 d) 16

b) 13 e) 12

Resolución: Del dato:

a − b = 7 7 Sumando ambos miembros se obtiene b− c = 77 (a − c) a − c = 77

Identidades condicionales:

S5AL31B

 a 7 + b7 + c7 =  7 

PROBLEMAS EXPLICATIVOS 1

I. Si a+b+c= 0; se demuestra que: S5AL31B

 a 2 + b 2 + c 2   2 

*

(a − c)7 + (b − c)7 + (a − b)7 70

* (x2+x+1) (x2 - x+1)= x4+x2+1

 a 5 + b5 + c5 =  5 

Donde n ε N, es posible sólo si: a= b= c= .........= m= 0

12. Identidad de Argan:

*(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+ 3c2b+6abc

 a 2 + b 2 + c 2   2 

2 n a + 2 n b + 2 n c + ... + 2 n m = 0

* (a2+b2)(x2+y2)= (ax+by) 2+(ay - bx)2 * (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)= (ax+by+cz)2+(ay - bx)2+(az - cx)2 + (bz - cy)2

08. Trinomio al cubo:

Forma desarrollada

 a 3 + b3 + c3   3 

11. Identidades de Lagrande:

2 2(ab + ac + bc ) (a + b + c)2 = a 2 +b 2  +  c +        Forma semidesarr ollada

Trinomio Cuadradro Perfecto

2

* a +b +c = - 2(ab+bc+ac) * a3+b3+c3= 3 abc * a4+b4+c4= 2(a2b2+a2c2+b2c2) * a5+b5+c4= - 5 abc (ab+ac+bc) * (a2+b2+c2)2= 2 (a4+b4+c4) * (ab+aac+bc)2= a2b2+a2c2+b2c2

* (a+b)4 - (a - b)4= 8 ab(a2+b2)

*

* (a − b)2 = a 2 − 2ab +b 2

03. Binomio al cubo:

Corolario:

Forma desarrolla da

* (a+b)2 = a2+2ab+b2

2

II. Si a2+b2+c2= ab+bc+ac Donde a, b, c ∈ R Se demuestra que: a= b= c III. Si: a2n+b2n+c2n+...+m2n=0

* (a+b)2+(a - b)2= 2(a2+b2) * (a+b)2 - (a - b)2= 4(ab)

*

2

*

diferencia de cubos

(a+b)(a2 – ab + b2) ≡ a3 + b3

-

1er. Año Secundaria 3

Forma semidesarrollada

(a − b) a 2 + ab + b 2  = a 3 −  b3  

Suma y diferencia de cubos

2 a b2   − Diferencia de Cuadrados

3

* (a+b+c) = a +b +c +3(a+b)(a+c)(b+c)

*

02. Suma por diferencia: * (a+b)(a

3

04. Binomio por trinomio: Suma de cubos

6.

ÁLGEBRA

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“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 2


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 7

7

5to. Año Secundaria 7

 27 7  +  7 7  +  7 7  Reemplazando:       70

Efectuando obtenemos:

128 (7 ) + 7 + 7

4

Determine el valor de (a - b) - (a+b) a) 44 d) 45

b) 22 e) 88

39

2

c) - 88

4

4

2

2

Se solicita: (a - b) - (a+b) = - 8ab(a +b ) Reemplazando datos:

13

= − 8 (1 + 10 ) = − 88

E E

(a+b+c)(1+ab+ac+bc)= 32

Reducir:

a) - 1 d) - 2

b) - 3 e) 3

b) 3 32 e) 2

c) 16

04. Siendo a ≠ b ≠ c.

E=(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3+3 abc a) 1

(α)en(β):

2 2 2 (a + b +c) =  a + b +c + 2 ab + 2 ac + 2 bc   = 64                  d) (a +b +c) 2

Luego: (a+b+c)3= 64

Dato: a+b+c= 0

CLAVE “A” 03. Siendo: ab= 3 100 − 3 10 +1

Luego: E=(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3+3 abc E= - c3 - a3 - b3 + 3abc E= - (a3+b3+c3)+ 3abc E= - 3 abc + 3 abc= 0 CLAVE “C” 05. Siendo a3+b3+c3= 4 abc

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

2

2

Según ello reducir: (a − 2 b) 2 (2 b − 3 c) 2

+

a) abc d) - 36

bc

+

(3 c − a ) 2 ac

b) 14 e) a+b+c

c) - 14

Solución: La expresión a reducir es:

a 2 + 4 b 2 − 4 ab 4 b 2 + 9 c 2 − 12 bc 9 c 2 + a 2 − 6 ac a +b =c (ab −1) + + en Re eplazando ab bc ac b +c =a (bc −1) lo que solicitan a +c =b (ac −1)   a 4b 4 b 9c 9c a + −4+ + − 12 + + −6 b a c b a c

c) 0

e) - 1

a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac

ab

− 3 abc =

Reemplazando (β) en (α) tenemos: a+b+c= abc, luego:

(bc −1 +ac −1 +ab −1) −(bc +ac +ab ) =− 3 CLAVE “B”

4 b + 9c a + 4 b a + 9c + + = - 22 a c b

06. Si se cumple que: a3 + b3 + c3= 0, simplificar:

(- 1) + (- 9) + (- 4) - 22

Solución:

Se concluye = a+b+c= 4

a 2 + b 2 = 1 + 3 10

b) 3

a +b c

3

Luego: a3+b3+c3 - 3 abc= a+b+c ......(β)

Determine el valor numérico de:

(a+b+c)(2+2ab+2ac+2bc)= 64 .........(β)

+c

1

1 1 1 + + (a − b)(b − c) (b − c)(c − a ) (c − a )(a − b)

Del dato: a2 + b2 + c2= 2 ...............................(α)

3

 (a + b + c) a + b + c −ab −ac − bc               

a+b+c=

Solución:

+b

a 3 + b 3 + c 3 − 3 abc

a+b+c

Del dato:

3

3 abc 2 2 2 − a + b + c − ab − bc − ac    

c) 0

3 a 3 +b 3 +  c − 3 abc  = abc ................. (α) Por Gauss

a

Se solicita:

CLAVE “A” 07. Siendo: a + 4b + 9c= 0

2

CLAVE “C”

Calcule: a+b+c

S5AL31B

1er. Año Secundaria 2

Solución:

(a − b)4 − (a + b)4 = −8  1 + 3 10  1 − 3 10 + 3 100    

CLAVE “B” 02. Dadas las condiciones: a2+b2+c2= 2

a) 4 d) 64

2

b +c a +c a +b 1 1 1  + + − + +  b c   a b c   a

Solución:

70 130 (7 ) 70

ÁLGEBRA

40

Además: a +b +c = ab+ac+bc+1 ∧ abc ≠ 0

4

- 36

3 abc ; abc ≠ 0 a (b − a ) + b(c − b) + c(a − c) a) a+b+c c) ab+bc+ac e) a2+b2+c2 Solución: S5AL31B

b) abc d) 0

CLAVE “D” EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Si x + x −1 = 5 . Halle x 5 + x −5

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


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5to. Año Secundaria Hallar : E =

a 4 + a −4

a n − bn

a) a3

02. Si x 2 + 8x + 8 = 0 . Hallar :

1 6

3

2+ 3

+

3

2− 3

. Hallar :

2+ 1 )(

(

2− 1 ) +3 .5 .7 .2 5 7

6.1 Simplificar : 6 1 6 E= 1 5 (1 3 ) (9 7 ) (6 8 1 7 ) −2

a3 + Halle : N = a2 +

b3

7.1 Si : x + y = 4 5 + 2y

b2

Calcular :

5x + 2y 5x − 2y − x + 2y 3x + 2y

E=

∧ xy =

a) 1

b) 2

(a +1) 4 − (a −1) 4 −1 (2a +1) 2 − (2a −1) 2

(

si x,y ∈ R

a) 2

2

b) 2

e) –1 3

d) 4

6

c) 2

a) 16

6 (a 2 + b 2) - 4 (a 3 − b 3)

:

)

d)

a) 3

2

05. Si

x +

x −1 = 7 . Hallar :

M = 8 x − 8 x −1

(a + b)(a

a) a

b) b2

2

+ b )(a

c) a2

4

4

+ b )(a − b) + b

d) b

a   b

5.1 Si 

S5AL31B

b +  a 

n

= 11

12. Hallar

a) 2

:

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

13. Efectuar : (x2+5x+5)2 – (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 18

d) 24

b) 4

c) 5

b) –1

c) 2

S5AL31B

c) x – 7

a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 06. Empleando equivalencia algebraica, encuentre el equivalente de: S= 3 x 5 x17 x 257 +1

e) 25

d) 6

a) 256 d) 32

e) 7

b) 128 e) 16

07. Si: x + x-1 = 1.

d) –2

e) 3

a) –2-1 d) 20

FIJACION

DE

c) 0

c) 64

Calcular:

2 −2 F = x +x

01. Si las variables “x” e “y” verifican la igualdad de x + y = 1 podemos afirmar que: E = (x2 + y) – (x – y2) es equivalente a: b) –2 e) – 2

b) x + 7 e) – (x + 7)

Calcular: E = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2

8

a) 1 d) 2

c) 3

05. Si: a + b + c = 3 ............................ (α) a2 + b2 + c2 = 9 ........................ (β)

e) 7

ax+by = 8 ay – bx = 6 a2+b2 = 5 c) 20

b) 2 e) 5

a) 0 d) 7 – x

d) 6

PRACTICA DE APRENDIZAJE

e) ab

K = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 n

c) 5

c) 3

04. Simplificar: M = (x – 1) (x + 3) (x + 1)+(x – 1) (x – 2) (x+ 4) – 2(x + 3) (x +1) (x – 2)

x+y = 3 x3+y3 = 9 Luego x.y resulta : a) 1

2

a) 1 d) 4

20. Dados :

e)

11. Reducir: 4

b) 4

b) 2 e) N.a

03. Si : a + b = 5 ∧ a2 + b2 = 17 Hallar: a – b , si a > b

a+b+c = 3 a3+b3+c3 = 9 obtener : N = (a+b)(b+c)(c+a)

3 4.1 Si (a + b) = 1 . Halle :

a) 5 d) 4

19. Si

e) 5

2+ 3− 5

3

e) 2b3

Calcule : x2+y2

2 ) −14 (1 + 2 )

)(

d) 2a3

a+b+c = 4 a2+b2+c2 = 6

18. Conociendo que :

d) 4

c) 3

2+ 3+ 5

c) c3

x 2 + x −2 + 2

Calcule: P =

a) ab+cd b) ac+bd c) ad+bc d) a2+b2+c2+d2 e) (a+b) (c+d)

a) 3

3

09. Reducir : 5(2 +

02. Si: x + x-1 = 3

e) 5

Hallar : ab+ac+bc

5 +

c) 3

10. Calcular

04. Si a > 0. Hallar E=

b) 2

b) b3

17. Sabiendo que :

08. Efectuar : (x+2)2 – 2(x+1)2 + x2 a) 1

d) 4

a) a2+b2+c2 b) ab+bc+ca c) a2+bc d) b2+ac e) c2+ab

x 3 − x −3

Calcular e = x 2 −y 2

x 4y + = 2 x,y≠0 y x

3.1 Si

x + x −1 = 3 . Halle

07. Si

c) 3

16. Hallar la raíz cuadrada de : (a+b+c)4 – 4(ab+bc+ac)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)

E = x 3 − 3x +12 03. Si : a + b = 3 y ab = 2

b) 2

15. Efectuar : (a+b+c)(a+b+d)+(b+c+d)(a+c+d) – (a+b+c+d)2

E=

E = (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7)

1er. Año Secundaria

14. Reducir : (a+b+c)3 – (a+b)3 – 3(a+b+c)(a+b)c

06. Simplificar :

2.1 Si x =

ÁLGEBRA

a) 1

a>b

(ab ) n

= 8 . Hallar E = a + a −1 a 2 + a −2

1.1 Si

40

39

x 3 + x −3

b) 2 e) 2-1

08. Simplificar la expresión: E

(

 8 2  ( x − 1) x + x + 1 8  x 3 −1 

(

a) (x + 1)17 d) x

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

)

c) – 2

)

8

b) (x – 1)17 e) 1

   

9

(

=

)

9  9 2  ( x + 1) x − x + 1 9  x 3 +1 

(

c) x17

)

   

8


COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to. Año Secundaria

09. Calcule M y N, si se sabe que son enteros, a partir de: 10022 + 1022 = 2(M2+N2) a) 502 y 405 d) 562 y 452

b) 552 y 450 e) N.a

Calcule:

b) 191 e) 753

40

ÁLGEBRA

1er. Año Secundaria

c) 573

16. A partir de: x4 + x-4 = 47 Calcular: P = x + x-1

c) 550 y 402

a) 1 d) 4

a b 10. Si se cumple que: + =7 b a a + b

a) 243 d) 373

39

b) 2 e) 5

c) 3

17. Si se cumple que:

b a

(x+y+z+w)2 = 4(x+y) (z+w) Calcule el valor de:

a) 1 d) 4

b) 2 e) N.a

11. Efectuar :

(1 +

5 (x +y ) 3(x −z)  E = 32 (z +w)  8 (w −y )    

)(

6 + 3 + 2 1+ 6 − 3 − 2

a) 1 d) 4 12. Si:

c) 3

b) 2 e) 5

c) 3

1 x − =1 . Calcular: x 

2 R =  x +

)

b) 6 e) 16

b) 4ab e) 1bab

15. Si se cumple que: a + b = 3 y ab = -2 Determinar el valor de a5+b5

S5AL31B

3− 8

b) 2 e) – 2 3

x +

a) 1 d) 27

3

y +

c) 0

z =0 . Calcular:

( x + y + z) 3 xyz b) 1/3 e) 13

c) 9

20. Si se cumple: c) 6

14. Reducir: N = (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4(a – b)2 + 2(a + b + c) (a + b - c) a) 0 d) – 1

3

3+ 8 −

G=

5a +b Calcule: E = a −b b) 4 e) N.a

3

c) 4

13. Sabiendo que: (3b+a)2 ≡ 3[(a+b)2 – (b – a)2]

a) 2 d) 8

3

a) 1 d) – 1 19. Si:

a) 8 d) 12

c) 22

18. Encontrar el valor numérico de: M = x3 + 3x - 4 2 Si: x =

1  3 1  x −  2  x  x3 

b) 20 e) N.a

a) 2 d) 23

(x+a) (x+b) )(x+c) ≡ x3 + 3x2 + 3x + 2 Obtener el valor de: K=

c) 8ab a) 3/4 d) 4/3

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a 2 + b2 + c2 abc b) 3/2 e) 1

c) 2/3

S5AL31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."


Algebra(3) 5° 1b