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4 ESO


© grupo edebé

• 5,674223158 · 108; 4,56 · 10−4; 7,980032 · 106

1

1. Números reales

Solucionario

error relativo:

– 3 –2

0 , 002732 = 0 , 06 % 4 , 397268

–1

0

211 2 3 1

2

Actividad inicial

• 4,40; error absoluto: 4,40 − 4,397268 = 0,002732; ¼ 0 ,1153846 es ilimitado periódico mixto; 3,141595... es ilimitado no periódico; 1,8 es limitado; 9,48683... es ilimitado no periódico

• 1,414213 es ilimitado no periódico;

3 y, luego, se transporta Primero representamos con un compás a la parte negativa de la recta. 5. − 3 :

El cociente es un número periódico, ya que el repre184 184 es y su denominasentante canónico de 19 19 dor, 19, contiene un número primo distinto de 2 y de 5.

0

1

2

Se observa que las cifras decimales no se repiten. El cociente debe ser un número decimal exacto o periódico porque se trata del número decimal corres184 pondiente a la fracción . 19 130 160 080 040 020 0100 050 12 • 184

3

2 0

1

2

3

1

9,684 210 52 0

19

1

2

permite medir hasta los centímetros: 1 cm, 2 cm, 3 cm...

3

1

• No, porque en principio la cinta métrica elegida sólo

4.

2 ;   −1, 25 ;   6 , 34 5 π Irracionales: − 11 ;   ;   1 − 2 ;   −1, 202 002... 3

g) Falso.

Actividades

— El número de oro aparece en la pirámide de Keops, en el Partenón (cuyo alzado se inscribe en un rectángulo áureo), en el boceto del cuadro de Dalí Leda atómica, en las tarjetas de crédito (donde los lados están en relación aproximadamente igual a φ), en la relación entre las longitudes de las falanges humanas y en el cálculo del número de descendientes de una abeja macho. — La relación entre los lados de un carné de identidad es: 8 , 6 cm 5 , 4 cm

1 1. − 2 5 −56 10 2. a ) −3 ; b )

Entero Racional Irracional Natural 3 ; c ) 6 π cm . 4

3. a) Falso. 3 − 4 = −1 no es natural.

= 1, 6 ≈ φ

b) Falso. 6 : 7 no es entero. c) Cierto. d) Falso. 2 ⋅ 2 = 2 no es irracional.

Preparación de la unidad

e) Cierto.

2 • Racionales: − ;   −1, 25 ;   6 , 34 5 π Irracionales: − 11 ;   ;   1 − 2 ;   −1, 202 002... 3

f) Cierto. g) Falso.

2 no es irracional. 3

4.

• No, porque en principio la cinta métrica elegida sólo permite medir hasta los centímetros: 1 cm, 2 cm, 3 cm... • 184 130 160 080 040 020 0100 050 12

1

19

0

1

2

3

9,684 210 52

1 0

• Racionales: −

2 no es irracional. 3

f) Cierto. e) Cierto.

1

Se observa que las cifras decimales no se repiten. El cociente debe ser un número decimal exacto o periódico porque se trata del número decimal corres184 . 19

Preparación de la unidad

c) Cierto. d) Falso. 2 ⋅ 2 = 2 no es irracional.

pondiente a la fracción

5 , 4 cm

• 1,414213 es ilimitado no periódico; ¼ 0 ,1153846 es ilimitado periódico mixto; 3,141595... es ilimitado no periódico; 1,8 es limitado; 9,48683... es ilimitado no periódico

2

3

2

El cociente es un número periódico, ya que el repre184 184 es y su denominasentante canónico de 19 19 dor, 19, contiene un número primo distinto de 2 y de 5.

8 , 6 cm

b) Falso. 6 : 7 no es entero. = 1, 6 ≈ φ

3. a) Falso. 3 − 4 = −1 no es natural.

— El número de oro aparece en la pirámide de Keops, en el Partenón (cuyo alzado se inscribe en un rectángulo áureo), en el boceto del cuadro de Dalí Leda atómica, en las tarjetas de crédito (donde los lados están en relación aproximadamente igual a φ), en la relación entre las longitudes de las falanges humanas y en el cálculo del número de descendientes de una abeja macho. — La relación entre los lados de un carné de identidad es:

0

1

2

3

5. − 3 : 3 y, luego, se transporta Primero representamos con un compás a la parte negativa de la recta.

• 4,40; error absoluto: 4,40 − 4,397268 = 0,002732;

Actividad inicial

2. a ) −3 ; b )

3 ; c ) 6 π cm . 4

10

Natural

−56

Irracional

5 1. −

Racional

1 2

Entero

Actividades

error relativo:

1

1. Números reales

Solucionario

0 , 002732 = 0 , 06 % 4 , 397268

–2

• 5,674223158 · 108; 4,56 · 10−4; 7,980032 · 106

–1

0

1

– 3

2 2 3

211

© grupo edebé


© grupo edebé

(1,3) –2 –2

–3

–2

–3

–1

0

–1

0

–1

0

1

2

1

3

2

1

4

3

2

3,1 < 3,162 277 66... < 3,2

–3

4

3

4

13. 0

3,16 < 3,162 277 66... < 3,17

–3

Primero representamos 5 y luego, con ayuda del compás, tomaremos el doble de esta longitud.

212

6. 3 < 3,162 277 66... < 4

2 5:

2

(–3, 2] (–3, 2)

11. (−8, −2)

5

− 3 <−

6

1 < 3

3

4 3,1514

2

2 < π < 3 ,1514

2 5

Intervalo

Representación

9.

[2, 5]

[−1, 3]

5

−3 6 :

2

3

0

0

(2, 5)

–1

5

(−3, 3)

2

3

0

0

[−4, 1]

–3

1

[−4, 1]

0

1

–4

(−3, 3)

3

0

0

–4

–3

[−1, 3]

3

Primero representamos 6 y luego, con ayuda del compás, trasladamos esta longitud tres veces hacia la parte negativa de la recta.

Primero representamos 6 y luego, con ayuda del compás, trasladamos esta longitud tres veces hacia la parte negativa de la recta.

0

(2, 5)

–1

5

Intervalo

2

Representación

−3 6 :

0

9.

2 5 6

− 3 <−

1 < 3

– 3

2

–3

8. c ) π < 11 ) b ) π < 3 ,14 7. a ) − 3 < −

5

4

2

4

3

0

3

2

–3

2

1

2

1

3,1514

0

0

0

–1

2

–3

1 2

[–3, 2)

2 5

1 3

2

5

0

(–3, 2)

— Otra forma de hacerlo sería introducir el factor 2 en la raíz, con lo que obtendríamos 20 , y representar este valor.

–2

2 < π < 3 ,1514

–3

5

2

4

0

3

[–3, 2] –3

2

11. (−8, −2) 12.

1

— Otra forma de representar −3 6 : sería la siguiente. Partimos de 3 6 e introducimos el factor en la raíz, con lo que obtenemos 54 . Representamos este valor y, con ayuda del compás, lo trasladamos a la parte negativa de la recta.

0

10. En un intervalo abierto ninguno de los extremos pertenece al intervalo, mientras que en uno semiabierto uno de los extremos sí pertenece al intervalo.

(–3, 2]

3,16 < 3,162 277 66... < 3,17

0

1

2

3

4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

6. 3 < 3,162 277 66... < 4

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–1

2 5:

212

–2

3,1 < 3,162 277 66... < 3,2

(1,3)

–3

Primero representamos 5 y luego, con ayuda del compás, tomaremos el doble de esta longitud.

13.

Solucionario unidad 1. Números reales

Solucionario unidad 1. Números reales

4

2

[2, 5]

3

1

5

0 1 – 3

2

–1

0

–2

10. En un intervalo abierto ninguno de los extremos pertenece al intervalo, mientras que en uno semiabierto uno de los extremos sí pertenece al intervalo.

2

12.

2

–3

– 3

1

0

8.

2

0

–3

c ) π < 11

[–3, 2]

— Otra forma de hacerlo sería introducir el factor 2 en la raíz, con lo que obtendríamos 20 , y representar este valor.

2

) b ) π < 3 ,14

1 2

0

7. a ) − 3 < −

2 5

–3

5

5

— Otra forma de representar −3 6 : sería la siguiente. Partimos de 3 6 e introducimos el factor en la raíz, con lo que obtenemos 54 . Representamos este valor y, con ayuda del compás, lo trasladamos a la parte negativa de la recta.

4

2

3

0

2

–3

1

[–3, 2)

0


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14.

b)

4,6 − 0,04 = 4,56; 4,6 + 0,04 = 4,64

a)

La masa exacta del objeto estará comprendida entre 4,56 kg y 4,64 kg.

213 3,872 983 ⋅ 5,196 152 < √ 15 ⋅ √ 27 < 3,872 984 ⋅ ⋅ 5,196 153 



5,196 152 < √ 27 < 5,196 153 

0

22. Valor exacto − 4 , 6 < 0 , 04

3,872 983 <

0

3

23. 3

5

2

4

1

c)

21. 3 ,141592... − 3 ,1415 = 0 , 000 092... < 0 , 0001

–5 d)

Reloj. El reloj no es conveniente utilizarlo para medir tiempos muy pequeños con precisión.

√ 15 < 3,872 984 

√ 15 = 3,872 983 34... . 3,872 983  √ 27 = 5,196 152 42... . 5,196 152 

26. Seis. No podemos aceptar ninguna de las cuatro  cifras decimales obtenidas inicialmente para π ? 8. √  π ? √8 . 9

–2

13 1

0

2 13 +

–1

0

2

0

1

2

3

e) 0

–3

Regla graduada. No es conveniente utilizar la regla graduada para medir las dimensiones de una habitación.

8,8548 ≤ π ? √ 8 ≤ 8,9145

13

4

2

5

6

2

2

f) –1

0

24.

15.

15 = 3 , 872 983 34... .   3 , 873 0 27 = 5 ,196 152 42...  .   5 ,196 2

20. Respuesta sugerida: 17 = 4 ,123 105 62...   . 4 ,12310

3 , 872 9 ≤ 15 ≤ 3 , 873 0

2 , 567 929 0 , 000 929

3,14 ? 2,82 ≤ π ? √ 8 ≤ 3,15 ? 2,83 

= 0 , 000 3617 → 0 , 036 17 %

Sólo podemos aceptar una de las dos cifras deci males obtenidas inicialmente para π + √8.  π + √ 8 . 6,0

El error relativo es el cociente del error absoluto entre el valor exacto.

5,96 ≤ π + √ 8 ≤ 5,98

16. (3,1, 3,2) es un intervalo abierto que contiene a π. El extremo 3,1 es una aproximación por defecto y el extremo 3,2 es una aproximación por exceso.

5 ,196 1 ≤

9 , 069 0 ≤ 15 + 27 ≤ 9 , 069 2 15 + 27 . 9 , 069

17. 2,3476 . 2,35; 0,005 . 0,01; 3,899 . 3,90; 15,762 . . 15,76 18.

27 ≤ 5 ,196 2

3 , 872 9 + 5 ,196 1 ≤ 15 + 27 ≤ 3 , 873 0 + + 5 ,196 2

— π = 3,141 592 653... . 3,1416 — Por truncamiento, se tiene: 3,1415

2,567 929 − 2,567 = 0,000 929

3,14 + 2,82 ≤ π + √ 8 ≤ 3,15 + 2,83

19. Para calcular el error absoluto restamos el valor aproximado del valor exacto

3,14 ≤ π ≤ 3,15; 2,82 ≤ √ 8 ≤ 2,83 

12,3987

12,399

12,398

Redondeo mayor que truncamiento

3,0056

3,006

3,005

Redondeo mayor que truncamiento

0,0001

0,000

0,000

Mismo resultado

6,345

3 , 872 9 ⋅ 5 ,196 1 ≤ 15 ⋅ 27 ≤ 3 , 873 0 ⋅ 5 ,196 2 20 ,123 975 69 ≤ 15 ⋅ 27 ≤ 20 ,124 882 6

Número Redondeo Truncamiento

12,399

12,3987

6,345

6,345

3,0056

18.

6,345

6,345

Mismo resultado

Número Redondeo Truncamiento

Veamos si todas las cifras de estos resultados son correctas. π + √ 8 = 5,97; π ⋅ √ 8 = 8,8862 

25. Efectuamos los cálculos directos. — Se obtiene un mayor número de cifras correctas en la suma. 15 ⋅ 27 . 20 ,12

Comparación

20 ,123 975 69 ≤ 15 ⋅ 27 ≤ 20 ,124 882 6

17. 2,3476 . 2,35; 0,005 . 0,01; 3,899 . 3,90; 15,762 . . 15,76

3 , 872 9 ⋅ 5 ,196 1 ≤ 15 ⋅ 27 ≤ 3 , 873 0 ⋅ 5 ,196 2 15 + 27 . 9 , 069

— π = 3,141 592 653... . 3,1416 — Por truncamiento, se tiene: 3,1415

9 , 069 0 ≤ 15 + 27 ≤ 9 , 069 2 + 5 ,196 2

0,0001

6,345

Comparación

15 ⋅ 27 . 20 ,12

Mismo resultado

— Se obtiene un mayor número de cifras correctas en la suma.

Redondeo mayor que truncamiento

12,398

3,006

Redondeo mayor que truncamiento

3,005

0,000

0,000

25. Efectuamos los cálculos directos. 

π + √ 8 = 5,97; π ⋅ √ 8 = 8,8862 Veamos si todas las cifras de estos resultados son correctas.

Mismo resultado

3,14 ≤ π ≤ 3,15; 2,82 ≤ √ 8 ≤ 2,83

19. Para calcular el error absoluto restamos el valor aproximado del valor exacto

3,14 + 2,82 ≤ π + √ 8 ≤ 3,15 + 2,83 

5,96 ≤ π + √ 8 ≤ 5,98

2,567 929 − 2,567 = 0,000 929 El error relativo es el cociente del error absoluto entre el valor exacto.

16. (3,1, 3,2) es un intervalo abierto que contiene a π. El extremo 3,1 es una aproximación por defecto y el extremo 3,2 es una aproximación por exceso.

3 , 872 9 + 5 ,196 1 ≤ 15 + 27 ≤ 3 , 873 0 + 5 ,196 1 ≤

0 , 000 929 2 , 567 929

Sólo podemos aceptar una de las dos cifras deci males obtenidas inicialmente para π + √8.  π + √ 8 . 6,0

= 0 , 000 3617 → 0 , 036 17 %

3,14 ? 2,82 ≤ π ? √ 8 ≤ 3,15 ? 2,83

15.

27 ≤ 5 ,196 2

3 , 872 9 ≤ 15 ≤ 3 , 873 0

17 = 4 ,123 105 62...   . 4 ,12310

27 = 5 ,196 152 42... .   5 ,196 2

8,8548 ≤ π ? √ 8 ≤ 8,9145

20. Respuesta sugerida: Regla graduada. No es conveniente utilizar la regla graduada para medir las dimensiones de una habitación.

–1

24.

0

15 = 3 , 872 983 34... .   3 , 873 0

f) –3

0

2

2

Reloj. El reloj no es conveniente utilizarlo para medir tiempos muy pequeños con precisión.

e) –1

0

0

2

1

2

3

13

4

5 13 +

–5 d)

–2

6 2

2

0

1 13

No podemos aceptar ninguna de las cuatro  cifras decimales obtenidas inicialmente para π ? √ 8.  π ? √8 . 9 26. Seis. 

√ 15 = 3,872 983 34... . 3,872 983  √ 27 = 5,196 152 42... . 5,196 152

21. 3 ,141592... − 3 ,1415 = 0 , 000 092... < 0 , 0001

c)



√ 15 < 3,872 984

3,872 983 <

22. Valor exacto − 4 , 6 < 0 , 04

0

1

4

2



5,196 152 < √ 27 < 5,196 153

4,6 − 0,04 = 4,56; 4,6 + 0,04 = 4,64

b) 0





3,872 983 ⋅ 5,196 152 < √ 15 ⋅ √ 27 < 3,872 984 ⋅ ⋅ 5,196 153

La masa exacta del objeto estará comprendida entre 4,56 kg y 4,64 kg.

14.

3

5

3

a)

23.

213

© grupo edebé


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=

I2 + I2 = 4 2 ⇒ 2 I2 = 16

l = 1,414 213 562...

Utilizamos el teorema de Pitágoras.

Si tomamos √ 2 como 1,41 y π como 3,14, tenemos:

c ) x + 7 = 2 ⇒ x = 2 − 7 , es   irracional . es   irracional .

4 9 es un   número   racional.

30

=

6,

c ) x + 7 = 2 ⇒ x = 2 − 7 , es   irracional .

36. 1,202 002 0002... y 0,352 410 300 30... 3 35. a) −6; b) – 4 Así, la longitud de la circunferencia es l = 4,4 cm con una cota de error absoluto de 1 mm. 4,4274 < √ 2 ⋅ π < 4,473 

=

22 2

=

8

d2 2

16 =8⇒I= 2

d2 = I2 + I2; d2 = 2I2; I =  = √2

I2 =



l = 1,414 213 562...

© grupo edebé

I2 + I2 = 4 2 ⇒ 2 I2 = 16



Utilizamos el teorema de Pitágoras. 34. La diagonal del cuadrado mide el doble que el radio de la circunferencia grande, 2 cm. Calculamos el lado del cuadrado aplicando el teorema de Pitágoras.

20,124 608 36 < √ 15 ⋅ √ 27 < 20,124 617 43   √ 15 ⋅ √ 27 . 20,1246

Para calcular la longitud de la circunferencia pequeña debemos multiplicar este resultado por π.

Volumen = 0,031 m3

Si tomamos √ 2 como 1,41 y π como 3,14, tenemos:

0,030 664 297 < 0,030 959 144 < 0,031 255 875

Hayque tomar cinco cifras decimales: π ø 3,14159 y √ 8 ø 2,82843.

1,41 < √ 2 < 1,42

4 cm

0,3133 < 0,3143 < 0,3153

π · √ 8 ø 8,8857

3,14 < π < 3,15

40.

Volumen = a3

Entonces:

1,41 ⋅ 3,14 < √ 2 ⋅ π < 1,42 ⋅ 3,15

Área lateral = 0,39 m2

10−12 10−5 ⋅ (102)−5 = 10−5 ⋅ 10−10 = 10−15 1018 ⋅ 109 = 1027 10−1 ⋅ 10−5 : 10−16 = 1010

39. a) Falsa. 3 y 4 son dos números enteros comprendidos entre 5 y 17 . b) Cierta. c) Falsa. Los números decimales ilimitados no periódicos no son números racionales. d) Cierta.

27. a) b) c) d)

= 3 ⇒ x = 3 21 , es   irracional .

21

28. 2,742 ⋅ 106; 6,75 ⋅ 10−8; 4 ⋅ 10−4; 7,5 ⋅ 10−7; 5,125 77 ⋅ 102; 5,4837 ⋅ 107; 1,2 ⋅ 107

x

29. 542 000; 41 876 000; 0,001; 0,000 157; −0,03 Cifras significativas: 5,42 ⋅ 105: tres; 4,1876 ⋅ 107: cinco; 10−3: una; 1,57 ⋅ 10−4: tres; −3 ⋅ 10−2: una.

d)

37. a) Racional; b) irracional; c) racional; d) racional; e) irracional; f) irracional.

0,391 876 < 0,394 384 < 0,3969

5

4 ⋅ 0,3132 < 4 ⋅ 0,3142 < 4 ⋅ 0,3152

30 ⇒ x =

Área lateral = 4a2

38. a ) x 5 =

32. Puesto que la cantidad más pequeña que puede apreciar la cinta métrica es de 1 cm, el error máximo cometido en cada medición será de 0,01 m. Al efectuar cuatro mediciones, una cota del error absoluto cometido es 0,04 m. El perímetro medirá entre 17,43 m y 17,51 m, aproximadamente 17,47 m.

b) La medida de la arista estará comprendida entre 0,313 m y 0,315 m.

es irracional .

⇒ 9 x = −4 ⇒ x = −

4 2 ⇒ 2 + 3x = ⇒ 9 3

< 5 , 32 ⋅ 10 2 < 8 , 42 ⋅ 10 5

4 + 3x =

⇒ 6 + 9x = 2 ⇒ 9x = 2 − 6 ⇒

b)

< 3 , 295 ⋅ 10 0 < 1, 57 ⋅ 101 < 4 , 25 ⋅ 10 2 <

33. a) Hasta los milímetros.

⇒ 6 + 9x = 2 ⇒ 9x = 2 − 6 ⇒

31. 9 , 385 ⋅ 10 −6 < 3 , 56 ⋅ 10 −3 < 7 , 863 ⋅ 10 −3 <

4 2 ⇒ 2 + 3x = ⇒ 9 3

31. 9 , 385 ⋅ 10 −6 < 3 , 56 ⋅ 10 −3 < 7 , 863 ⋅ 10 −3 <

4 + 3x =

1,5166 · 104 2,088 775 706 ⋅ 10−11 251 690 82,13 3,817 8,751 203 291 ⋅ 10−12 0,113 736 263 −4,13 · 10−4

6,

< 3 , 295 ⋅ 10 0 < 1, 57 ⋅ 101 < 4 , 25 ⋅ 10 2 <

=

5

< 5 , 32 ⋅ 10 2 < 8 , 42 ⋅ 10 5

30

4 ⇒ 9 x = −4 ⇒ x = − 9 es un   número   racional.

30 ⇒ x =

30. a) b) c) d) e) f) g)

= 3 ⇒ x = 3 21 , es   irracional .

38. a ) x 5 =

b)

214

x

Solucionario unidad 1. Números reales

21

37. a) Racional; b) irracional; c) racional; d) racional; e) irracional; f) irracional.

d)

1,5166 · 104 2,088 775 706 ⋅ 10−11 251 690 82,13 3,817 8,751 203 291 ⋅ 10−12 0,113 736 263 −4,13 · 10−4

36. 1,202 002 0002... y 0,352 410 300 30...

Solucionario unidad 1. Números reales

30. a) b) c) d) e) f) g)

3 35. a) −6; b) – 4

32. Puesto que la cantidad más pequeña que puede apreciar la cinta métrica es de 1 cm, el error máximo cometido en cada medición será de 0,01 m. Al efectuar cuatro mediciones, una cota del error absoluto cometido es 0,04 m. El perímetro medirá entre 17,43 m y 17,51 m, aproximadamente 17,47 m.

29. 542 000; 41 876 000; 0,001; 0,000 157; −0,03 Cifras significativas: 5,42 ⋅ 105: tres; 4,1876 ⋅ 107: cinco; 10−3: una; 1,57 ⋅ 10−4: tres; −3 ⋅ 10−2: una.

33. a) Hasta los milímetros.

Así, la longitud de la circunferencia es l = 4,4 cm con una cota de error absoluto de 1 mm.

b) La medida de la arista estará comprendida entre 0,313 m y 0,315 m.

28. 2,742 ⋅ 10 ; 6,75 ⋅ 10 ; 4 ⋅ 10 ; 7,5 ⋅ 10 ; 5,125 77 ⋅ 102; 5,4837 ⋅ 107; 1,2 ⋅ 107

Área lateral = 4a2

4,4274 < √ 2 ⋅ π < 4,473

−7

39. a) Falsa. 3 y 4 son dos números enteros comprendidos entre 5 y 17 . b) Cierta. c) Falsa. Los números decimales ilimitados no periódicos no son números racionales. d) Cierta.

−4

4 ⋅ 0,3132 < 4 ⋅ 0,3142 < 4 ⋅ 0,3152

40.

1,41 ⋅ 3,14 < √ 2 ⋅ π < 1,42 ⋅ 3,15

0,391 876 < 0,394 384 < 0,3969

4 cm

3,14 < π < 3,15

Área lateral = 0,39 m2

1,41 < √ 2 < 1,42

Volumen = a3

10 10−5 ⋅ (102)−5 = 10−5 ⋅ 10−10 = 10−15 1018 ⋅ 109 = 1027 10−1 ⋅ 10−5 : 10−16 = 1010

0,3133 < 0,3143 < 0,3153

−12

−8

0,030 664 297 < 0,030 959 144 < 0,031 255 875

π · √ 8 ø 8,8857

6

Volumen = 0,031 m3

Para calcular la longitud de la circunferencia pequeña debemos multiplicar este resultado por π.

27. a) b) c) d)

8

Hayque tomar cinco cifras decimales: π ø 3,14159 y √ 8 ø 2,82843.

22 2

=

16 =8⇒I= 2

√ 15 ⋅ √ 27 . 20,1246

Entonces:

d2 2

d2 = I2 + I2; d2 = 2I2; I =  = √2

I2 =



34. La diagonal del cuadrado mide el doble que el radio de la circunferencia grande, 2 cm. Calculamos el lado del cuadrado aplicando el teorema de Pitágoras.





√ 27 < 20,124 617 43

214



20,124 608 36 < √ 15 ⋅


© grupo edebé

b) −2 + 4 = 2; 6 + 8 = 14; a + b pertenece al intervalo [2, 14].

215 d) Centésima de hora. Por ejemplo, 1,54 h. c) Diezmilésima de metro. Por ejemplo, 5,3 mm.

45. a) a es un número del intervalo [−2,8] ya que está comprendido entre −2 y 6. De b se sabe que está comprendido entre 4 y 8. Por tanto, b sólo puede pertenecer al intervalo [−2,4] si su valor es b = 4.

b) Millar de metro. El radio de la Tierra mide 6 371 km. 52. a) Décimas de kilogramo. Por ejemplo: 62,7 kg.

El lado del cuadrado mide

8 cm.

El número 8 es irracional por tratarse de una raíz cuadrada no entera.  1 41. h 2 = I2 −    2

2

I2 3 I2 = I2 − = 4 4

46. a) | x | < 4 –4

h=

3 I2 4

3

=

2

I

0

4

b) | x | ≤ 3 –3

– 2

–1

0

0

3

c) | x − 2| < 3

1

2

5

51. a) 1,732;

b) 0,2;

c) 4,22.

1

La altura de un triángulo equilátero de lado l mide

2

5

50. Entre 4,15 y 4,25, concretamente el intervalo [4,15, 4,25). Una cota de error absoluto es 0,1.

44. El intervalo común es: [ − 2 ,   5 ]. Por defecto: 3,91; por exceso: 3,911. 49. Respuesta sugerida: 43. Si x es un número real mayor que 1, su ordenación de menor a mayor es: ) 1 2 4x − x < x ⋅ 10 2 < 0 , 3x < x< <x 5 5 9

L = 2 ⋅ 3,15 ⋅ 5 cm = 31,5 cm L = 2 ⋅ 3,2 ⋅ 5 cm = 32 cm

3 I. 2 3 En cualquier triángulo equilátero la altura es 2 veces la longitud del lado, ya que se obtiene multi3 por el lado. plicando

–1

0

h 2 = 5 2 + 3 2 = 25 + 9 = 34 ⇒ h =

34

0

1

I2 = 5 2 + 5 2 = 25 + 25 = 50

El punto P corresponde a la representación sobre la recta del número 34 ya que se obtiene al trasladar sobre la recta un segmento de longitud 34 . Hallamos la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 34 y 1. h ′ 2 = ( 34 ) 2 + 12 = 34 + 1 = 35

5

d) | x + 1| ≤ 2 –3

47. 5 cm

2

5 cm

42. Hallamos la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 3:

Por exceso: El punto Q corresponde a la representación sobre la recta del número 35 , ya que se obtiene al trasladar sobre la recta un segmento de longitud 35 . h′ =

L = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 cm = 31,4 cm L = 2 ⋅ 3,1 ⋅ 5 cm = 31 cm Por defecto:

35

h ′ 2 = ( 34 ) 2 + 12 = 34 + 1 = 35

48. Respuesta sugerida:

El punto P corresponde a la representación sobre la recta del número 34 ya que se obtiene al trasladar sobre la recta un segmento de longitud 34 . Hallamos la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 34 y 1. h 2 = 5 2 + 3 2 = 25 + 9 = 34 ⇒ h =

Aproximando este resultado por redondeo hasta las centésimas obtenemos 7,07 cm. I=

50 = 7 , 07106...

I2 = 5 2 + 5 2 = 25 + 25 = 50

34

I=

50 = 7 , 07106...

Aproximando este resultado por redondeo hasta las centésimas obtenemos 7,07 cm. 48. Respuesta sugerida:

L = 2 ⋅ 3,1 ⋅ 5 cm = 31 cm

El punto Q corresponde a la representación sobre la recta del número 35 , ya que se obtiene al trasladar sobre la recta un segmento de longitud 35 .

Por defecto:

h′ =

35

L = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 cm = 31,4 cm

42. Hallamos la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 3: 2 veces la longitud del lado, ya que se obtiene multi3 plicando por el lado. 2

Por exceso: L = 2 ⋅ 3,2 ⋅ 5 cm = 32 cm

43. Si x es un número real mayor que 1, su ordenación de menor a mayor es: ) 1 2 4x − x < x ⋅ 10 2 < 0 , 3x < x< <x 5 5 9

L = 2 ⋅ 3,15 ⋅ 5 cm = 31,5 cm

49. Respuesta sugerida:

En cualquier triángulo equilátero la altura es 2

Por defecto: 3,91; por exceso: 3,911. 44. El intervalo común es: [ − 2 ,   5 ].

3

5 cm 5 cm

47. 0

–3

1

3 d) | x + 1| ≤ 2

I.

–1

5

0

La altura de un triángulo equilátero de lado l mide

2

h=

– 2

50. Entre 4,15 y 4,25, concretamente el intervalo [4,15, 4,25). Una cota de error absoluto es 0,1.

5 1

1

3 I2 4

2

=

3

c) | x − 2| < 3

I

–1

0

2

5

51. a) 1,732;

b) 0,2;

c) 4,22.

–3

 1 41. h = I −    2 2

2

= I2 − 2

I2 3 I2 = 4 4

3

0

b) | x | ≤ 3 –4

El número 8 es irracional por tratarse de una raíz cuadrada no entera. El lado del cuadrado mide

0

4

46. a) | x | < 4

8 cm.

45. a) a es un número del intervalo [−2,8] ya que está comprendido entre −2 y 6. De b se sabe que está comprendido entre 4 y 8. Por tanto, b sólo puede pertenecer al intervalo [−2,4] si su valor es b = 4.

52. a) Décimas de kilogramo. Por ejemplo: 62,7 kg. b) Millar de metro. El radio de la Tierra mide 6 371 km. c) Diezmilésima de metro. Por ejemplo, 5,3 mm.

b) −2 + 4 = 2; 6 + 8 = 14; a + b pertenece al intervalo [2, 14].

d) Centésima de hora. Por ejemplo, 1,54 h.

215

© grupo edebé


905

B

1 452

1500

A

Valor aproximado

Valor exacto

Calle

952 325

2,5 · 1012

−6,2 · 1010

2,5 · 104

3,2 · 106

B

A

48

48

Error absoluto

Valor exacto – Valor aproximado

26

−26

47

−47

3,175 · 106

3,225 · 106

A–B

A+B

−2,562 · 1012

2,438 · 1012 1,512 · 10 −4

1,488 · 10 − 4 3,1875 · 106

A·B 8 · 1010 −1,55 · 1023 1,8 · 10 −10 4 · 1010

Error relativo 0,032 0,051 0,086

A:B 1,28 · 102 −2,48 · 10

−2

1,25 · 102 2,56 · 102

10 x 2 = 10 ⇒ x 2 = 1

9 x 2 + x 2 = 10

1,25 · 102

3,2 · 106

1,25 · 104

3,2125 · 106

3,1875 · 106

4 · 1010

2,56 · 102 −2

En el embalse hay 6,03 · 108 m3 de agua. b) 1,34 · 109 − 6,03 · 108 = 7,37 · 108 Son necesarios 7,37 · 108 m3 de agua. 62. Si el radio de la circunferencia mide 0,50 mm, significa que su valor se sitúa entre 0,49 mm y 0,51 mm. Si no consideramos el error de π, tenemos que el área está comprendida entre: 2 ⋅ π ⋅ 0,49 mm < L < 2 ⋅ π ⋅ 0,51 mm

0,086

1+ 5 6+6 5 1+ 5 d = ⇒ = ⇒ I 2 I 2

26

3,078 76... < L < 3,204 42...

= 12 m

Solucionario unidad 1. Números reales

10

1,8 · 10 −10

−26

53. a)

299

C

b) La medida de la calle A es la que se realizó con mayor precisión.

1,2· 10 −6

1,5 · 10 −4

3,2125 · 106

P = 12 · 5 = 60 El perímetro del pentágono mide 60 m. ( 3 x )2 + x 2 = ( 10 )2

59. 3x

x= 1 =1 3x = 3

1,488 · 10 − 4

325

54.

1,25 · 104

3,2 · 106

El lado del pentágono mide 12 m.

12 4 = 9 3 16 9 16 8 32 = + = 9 3 9 ) 56 = 6,2 9

x

El perímetro del triángulo expresado de manera

1,512 · 10 −4

299

) 13 − 1 = 56. 1, 3 = 9 ) 17 - 1 1, 7 = = 9 4 P = 2⋅ +2⋅ 3 24 32 = + = 9 9

2

P = 1 + 3 + 10 = 4 + 10 = 7 ,162...

exacta es 4 + 10 cm y aproximando el resultado hasta las centésimas por redondeo es 7,16 cm.

1,2· 10 −6

C

2

    16 256 4 16 + = d2 =   +   = 9 81  9  3 144 256 400 = + = 81 81 81 ) 400 20 d= = = 2, 2 81 9

1,5 · 10 −4

−2,48 · 10 0,051

) El perímetro ) del rectángulo mide 6 , 2 mm y la diagonal 2 , 2 mm.

−1,55 · 1023 47

60. Error absoluto = 40 − 38 = 2 2 = 0 , 05 = 5 % Error relativo = 40 El porcentaje de error relativo cometido es 5%.

−2,562 · 1012 −47

57. Hallamos la longitud del parterre:

2,438 · 1012

952

61. a) 45% de 1,34 · 109 =

2,5 · 1012 905

45 ⋅ 1, 34 ⋅ 10 9 = 6 , 03 ⋅ 10 8 10 2

−6,2 · 1010 B

=

1,28 · 102 0,032

L = 1, 5 ⋅ π = 1, 5 ⋅ 3 ,141 = 4 , 7115 m . En consecuencia 4,71 m de valla no son suficientes para cercar el parterre.

8 · 1010 48

58. En un pentágono regular la relación entre la longitud de una de las diagonales y el lado del pentágono es el número de oro (Φ):

3,175 · 106 48

1+ 5

3,225 · 106

1 452

2

2,5 · 104 1500

Φ=

3,2 · 106 A

2 ⋅ (6 + 6 5 )

A:B Error relativo

L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅ 0 , 75 = 1, 5 ⋅ π Si tomamos 3,141 como aproximación por defecto de π, la longitud aproximada del parterre es:

10 x 2 = 10 ⇒ x 2 = 1 A·B Error absoluto

1+ 5

45 ⋅ 1, 34 ⋅ 10 9 = 6 , 03 ⋅ 10 8 10 2

exacta es 4 + 10 cm y aproximando el resultado hasta las centésimas por redondeo es 7,16 cm. 3x = 3 x= 1 =1 10

A–B Valor exacto – Valor aproximado

⇒I=

© grupo edebé

Por tanto la longitud será de 3 mm y no podemos aproximarla más.

= 12 m

3,078 76... < L < 3,204 42... 2 ⋅ π ⋅ 0,49 mm < L < 2 ⋅ π ⋅ 0,51 mm 62. Si el radio de la circunferencia mide 0,50 mm, significa que su valor se sitúa entre 0,49 mm y 0,51 mm. Si no consideramos el error de π, tenemos que el área está comprendida entre: b) 1,34 · 109 − 6,03 · 108 = 7,37 · 108 Son necesarios 7,37 · 108 m3 de agua. En el embalse hay 6,03 · 108 m3 de agua. =

61. a) 45% de 1,34 · 109 = 60. Error absoluto = 40 − 38 = 2 2 = 0 , 05 = 5 % Error relativo = 40 El porcentaje de error relativo cometido es 5%. El perímetro del triángulo expresado de manera P = 1 + 3 + 10 = 4 + 10 = 7 ,162... x

2

3x

9 x 2 + x 2 = 10 ( 3 x )2 + x 2 = ( 10 )2

59.

El perímetro del pentágono mide 60 m. P = 12 · 5 = 60 El lado del pentágono mide 12 m. A+B

Valor aproximado

Por tanto la longitud será de 3 mm y no podemos aproximarla más.

216

1+ 5 2

1+ 5 2

12 4 = 9 3 16 9 16 8 32 = + = 9 3 9 ) 56 = 6,2 9 B

Valor exacto

Solucionario unidad 1. Números reales

216 ⇒I=

2 ⋅ (6 + 6 5 )

1+ 5 6+6 5 1+ 5 d = ⇒ = ⇒ I 2 I 2 Φ=

58. En un pentágono regular la relación entre la longitud de una de las diagonales y el lado del pentágono es el número de oro (Φ): L = 1, 5 ⋅ π = 1, 5 ⋅ 3 ,141 = 4 , 7115 m . En consecuencia 4,71 m de valla no son suficientes para cercar el parterre. L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅ 0 , 75 = 1, 5 ⋅ π Si tomamos 3,141 como aproximación por defecto de π, la longitud aproximada del parterre es: 57. Hallamos la longitud del parterre: ) El perímetro ) del rectángulo mide 6 , 2 mm y la diagonal 2 , 2 mm. ) 400 20 = = 2, 2 81 9

d=

144 256 400 = + = 81 81 81 4  16  16 256 + = d =  +  = 9 81  9  3 2

) 13 − 1 = 56. 1, 3 = 9 ) 17 - 1 1, 7 = = 9 4 P = 2⋅ +2⋅ 3 24 32 = + = 9 9 A

54.

b) La medida de la calle A es la que se realizó con mayor precisión. Calle

53. a)

© grupo edebé


© grupo edebé

63. A = π ⋅ r2 a) A = 3,1415 ⋅ 52 = 78,5375 b) A = 3,1416 ⋅ 52 = 78,54 En la aproximación por exceso, porque 3,1416 tiene una cota de error absoluto de una cienmilésima y en cambio 3,1415 no tiene una cota de error tan pequeña.

Evaluación 1. 0

1,1948 · 1019

Plutón

1,021554 · 1023

Neptuno

8,6623 · 1022

Urano

64. Calculamos la diagonal de la base de un ortoedro de 40 cm de arista.    

√ 40 2+40 2

11

0 11



= √ 3 200 = 56,57 →

5,687248 · 1023

Saturno

2,2211332 · 1024

Júpiter

6,39218 · 1021

Marte

5,974 · 1020

Tierra

4,86881 · 1021

Venus Mercurio

d=

Planeta

→ 56,57 cm < 67 cm 67.

Calculamos la diagonal del ortoedro. D=

  

√ 3 200 + 40 2

 

= √ 4 800 = 69,28 →

217

• A partir del valor de 2 de una calculadora que da hasta nueve cifras decimales, si extraemos la raíz cuadrada diez veces y con el resultado calculamos su potencia enésima, se obtiene: 1,999999713 que es aproximadamente 2, pero no exactamente 2. El error absoluto cometido es 2,87 · 10−7. Si la calculadora es muy simple no recuperamos el valor 1 inicial, pero si la calculadora da bastantes cifras decimales, sí, se recupera el 1 inicial.

Atrévete

3,2857 · 1020 Masa

66. Si el 48% se ha evaporado, queda 100 − 48 = = 52%. El 52% de 3,6 · 1024 es: 52 — · 3,6 · 1024 = 1,872 · 1024 100

→ 69,28 cm . 67 cm Podrá empaquetar la flauta situándola diagonalmente en el interior del paquete postal. 4 4 65. a) V = – π r3 = – π · 103 = 4 188,8 cm3 = 4,1888 l 3 3

 P · ap 12 √3 A = —–– = —– = 6 √ 3 = 6 · 1,7320 = 10,392 2 2 El área del hexágono es 10,392 cm2. 

10. ap = √ 22 − 12 = √ 3    

Una molécula de gas ocupa 3,72 ⋅ 10−23 dm3. = 3,72 ? 10−23 dm3

6,022 · 1023 Número de moléculas = ———– ⋅ 22,4 ⋅ 4,1888 = 1,13 ⋅ 1023

3. (0,1) 4. 2,56 5. 12,567 589 − 12,568 = 0,000411

V=

22,4 dm3 ——————– 6,022 · 1023 moléculas

=

c) 22,4 l = 22,4 dm3

9. h = 9 2 − 3 2 = 72 = 8 , 49 La altura es de 8,49 cm 8. 4,5678 · 1025 7. Entre 5,19 y 5,21 cm.

= 2,688 39... ⋅ 1022 . 2,69 ⋅ 1022 En un cubo de 1 dm de arista caben 2,69 ⋅ 1022 moléculas.

6,022 · 1023 Número de moléculas = ———– = 22,4

6,022 · 1023 Número de moléculas = ———– = 22,4

= 2,688 39... ⋅ 10 . 2,69 ⋅ 10 En un cubo de 1 dm de arista caben 2,69 ⋅ 1022 moléculas. 22

En una esfera de 10 cm de radio caben 1,13 ⋅ 1023 moléculas. b) V = a3 = (1 dm)3 = 1 dm3 = 1 l

c) 22,4 l = 22,4 dm3 V=

| 0,56 − 0,6| | 0,079 − 0,08| | 14,1 − 14| 6. ——— . ———–— . ——— 0,56 0,079 14,1 a) 0,56 . 0,6 7. Entre 5,19 y 5,21 cm.

3

22,4 dm ——————– 6,022 · 1023 moléculas

=

8. 4,5678 · 1025 9. h = 9 2 − 3 2 = 72 = 8 , 49 La altura es de 8,49 cm

6,022 · 1023 Número de moléculas = ———– ⋅ 22,4 ⋅ 4,1888 = 1,13 ⋅ 1023

= 3,72 ? 10−23 dm3

a) 0,56 . 0,6 | 0,56 − 0,6| | 0,079 − 0,08| | 14,1 − 14| 6. ——— . ———–— . ——— 0,56 0,079 14,1 5. 12,567 589 − 12,568 = 0,000411 4. 2,56 3. (0,1) 2. Son, por ejemplo, 1,8 y 2.

4 4 65. a) V = – π r3 = – π · 103 = 4 188,8 cm3 = 4,1888 l 3 3

Una molécula de gas ocupa 3,72 ⋅ 10−23 dm3.

   

66. Si el 48% se ha evaporado, queda 100 − 48 = = 52%. El 52% de 3,6 · 1024 es: 52 — · 3,6 · 1024 = 1,872 · 1024 100 67.

11

2. Son, por ejemplo, 1,8 y 2.

En una esfera de 10 cm de radio caben 1,13 ⋅ 1023 moléculas. b) V = a3 = (1 dm)3 = 1 dm3 = 1 l

22

0

Planeta

Masa

Mercurio

3,2857 · 1020

Venus

4,86881 · 1021

Tierra

5,974 · 1020

Marte

6,39218 · 1021

Júpiter

2,2211332 · 1024

Saturno

5,687248 · 1023

Urano

8,6623 · 1022

Neptuno

1,021554 · 1023

Plutón

1,1948 · 1019

10. ap = √ 22 − 12 = √ 3

 P · ap 12 √ 3 A = —–– = —– = 6 √ 3 = 6 · 1,7320 = 10,392 2 2 El área del hexágono es 10,392 cm2.

Atrévete Si la calculadora es muy simple no recuperamos el valor 1 inicial, pero si la calculadora da bastantes cifras decimales, sí, se recupera el 1 inicial. • A partir del valor de 2 de una calculadora que da hasta nueve cifras decimales, si extraemos la raíz cuadrada diez veces y con el resultado calculamos su potencia enésima, se obtiene: 1,999999713 que es aproximadamente 2, pero no exactamente 2. El error absoluto cometido es 2,87 · 10−7. © grupo edebé

217

0

11

→ 69,28 cm . 67 cm Podrá empaquetar la flauta situándola diagonalmente en el interior del paquete postal. D=

√ 3 200 + 40 2

  

= √ 4 800 = 69,28 →  

Calculamos la diagonal del ortoedro. → 56,57 cm < 67 cm d=

√ 40 2+40 2

   

= √ 3 200 = 56,57 → 

11

64. Calculamos la diagonal de la base de un ortoedro de 40 cm de arista. 63. A = π ⋅ r2 a) A = 3,1415 ⋅ 52 = 78,5375 b) A = 3,1416 ⋅ 52 = 78,54 En la aproximación por exceso, porque 3,1416 tiene una cota de error absoluto de una cienmilésima y en cambio 3,1415 no tiene una cota de error tan pequeña.

0 0

1.

Evaluación

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Ejercicios Matemáticas Tema 1  
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