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EL ENIGMA DE FERMAT Pierre  de  Fermat  (1601­1665)  fue  un  matemático  francés  apodado  el príncipe  de  los  aficionados.  Fue  uno  de  los  matemáticos  más importantes  de  la  primera  mitad  del  siglo  XVII  y,  aunque  tuvo  grandes aportaciones en  distintos  campos, es más conocido por su trabajo en la Teoría  de  Números  donde  dejó  por resolver durante  siglos el  conocido Último Teorema de Fermat.

1­ Teorema y origen 2­ Evolución del teorema, etapa clásica 3­ Evolución del teorema, etapa moderna 4­ Relación con otros ámbitos 5­ Conclusión Bibliografía

1- Teorema y origen El  origen  del  teorema surge del  ejemplar  que  poseía  Fermat de la  Arithmetica  de Diofanto  de  Alejandría.  En  este  libro,  al  tratar  con  el  problema  de  escribir  un  número cuadrado  como  suma  de  dos  cuadrados,  es  decir, lo  que se conoce  como  Teorema de Pitágoras, Fermat conjeturó el teorema que dice lo siguiente: Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos x,y,z tales que se cumpla la igualdad: zn = xn + yn Fermat,  con su costumbre  de  anotar en  los márgenes,  anotó en  el margen:  poseo una  prueba   en  verdad  maravillosa  para  esta  afirmación  pero  este  margen  es 1


demasiado  estrecho  para  contenerla.  Con  esta  inocente  anotación,  se  inicia  así  el Enigma de Fermat.

2- Evolución del teorema, etapa clásica El  enunciado  del  teorema  es  bastante  sencillo  por  lo  que  puede inducir a pensar que  no  debe  ser  muy  difícil  demostrarlo.  Sin  embargo,  no  habrá  persona  que  esté  de acuerdo  con  esta  afirmación  ya  que  fue   demostrado  350  años  más  tarde  por  Andrew Wiles,  en  1995.  Su  demostración  es  tremendamente  complicada  y  extensa  y,  como veremos  a  continuación, muchos de  los grandes matemáticos  de  la historia fracasaron al intentar demostrarlo. El  propio  Fermat  fue  el  primero  en  avanzar  sobre  este  teorema  demostrando  el caso  n=4  con  la  técnica  conocida  como  el  descenso  finito,  una  variante del  Principio de Inducción. Lo hizo por reducción al absurdo suponiendo que no se cumplía el teorema. Posteriormente,  casi  100  años  más  tarde  de  la  muerte  de  Fermat,  Leonhard Euler  en  1753  demostró  el  caso  n=3  con  bastantes  dificultades  para  conseguirlo. Además,  también  surgieron  los  números  enteros  imaginarios  ya  que  los  introdujo  en  la demostración. El  siguiente  avance lo  produjeron la  matemática Sophie Germain y el matemático Adrien­Marie  Legendre  en  el  caso  especial  de  número  primos.  Propusieron  que  se demostrara el teorema para los números primos de la forma 2p+1. Los siguientes avances  significativos fueron  demostraciones de ciertos casos. Así, en  1825  los  matemáticos  Dirichlet y Legendre demostraron  el caso n=5 generalizando la  demostración   de  Euler.  En 1839, Lamé  consigue demostrar el  caso n=7  y  publica los fundamentos   de  la  demostración  que  se  basaba en la  unicidad de la  factorización de un número cualquiera en números primos. Posteriormente,  en  1843,  Ernst  Eduard  Kummer  hizo  temblar  el  mundo matemático  afirmando  que  había  encontrado  una  demostración  del  teorema.  Por desgracia  para  la  comunidad  matemática,  Dirichlet  encontró  un  error  en  su  prueba  y aunque  Kummer,  junto  con  Mirimanoff,  consiguieron  arreglar  la  demostración,  seguían habiendo casos, como n = 37, 59, y 67, que no pudieron demostrarlos. Con  todo  esto y hasta mediados  del siglo  XX,  no  se  obtuvieron más aportaciones significativas  sobre  la  demostración  del  teorema  y  ilustres  matemáticos,  como  Gauss, rehusaron intentar resolver el enigma.

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3- Evolución del teorema, etapa moderna Para  conseguir  demostrar  el  teorema, Andrew  Wiles  necesitó utilizar  numerosas técnicas  y  conceptos  que  ya  habían  aportado  otros  matemáticos.  Aunque  originalmente fueron  propuestos  para  otros  propósitos,  fueron  claves  en  la  demostración  del  Último Teorema de Fermat. Dos  conceptos  clave  que  usó  Fermat  son  las  curvas  elípticas  y  las  formas modulares.  En  especial,  dos  matemáticos  importantes  que  trabajaron  en  este  campo  y allanaron el  camino a Wiles fueron Goro Shimura y Yutaka Taniyama. Con su conjetura, colaboraron   muy  activamente  en  la  demostración  ya  que,  en  1984,  Gerhard  Frey  probó que si se puede probar la conjetura, el teorema de Fermat estaba probado. En  1995,  Andrew  Wiles  y  Richard  Taylor  probaron  un   caso  especial  de  la conjetura  que   era  suficiente  para  demostrar  el  Último  Teorema  de  Fermat.  En 2001  fue finalmente  demostrada  por  Christophe  Breuil,  Brian  Conrad,  Fred  Diamond  y Richard  Taylor.  Desde  ese  momento,  la  Conjetura  de  Taniyama­Shimura  pasó  a conocerse como el Teorema de Taniyama­Shimura o Teorema de la Modularidad. Todo  este  preámbulo  histórico  sirve  para  que,  350  años  después,  en  1995, Andrew  Wiles  publique  la  gran  esperada  demostración  del Último Teorema de Fermat, un  artículo  de  casi   100  páginas  con  grandes  cálculos  y  cadenas  lógicas  que involucran, entre  otras  cosas,  la  Geometría  Diferencial,  la  Conjetura  de  Taniyama­Shimura  y  el Teorema  de Ribet. Esto supuso  un  gran  descubrimiento para las  matemáticas ya que  se resolvió  uno  de  los  grandes  problemas  de  los  últimos  siglos.  Sin  embargo,  en  su presentación  de  la  demostración,  Wiles  pareció  no  darle  importancia  cuando   acabo pronunciando la siguiente frase para la historia: creo que lo dejaré aquí.

4- Relación con otros ámbitos Como  se  ha  visto,  el  origen del  teorema surge de  la  Teoría  de  Números.  Aún así, todos  los  matemáticos  anteriores  que  han  hecho  su  aportación  a  la  demostración  del teorema,  han aportado  también técnicas y conceptos a las matemáticas en general. Pero, además,  esta  relación  es  bidireccional  ya  que  técnicas  y  conceptos  propuestos  para tratar  otros  aspectos  distintos  al  teorema,  también  han  servido  para  elaborar  su demostración. 3


Por  ejemplo,  la  demostración  de  Wiles  abrió  una  nueva  vía  de  investigación  que hoy en día hace que exista una área de las matemáticas llamada Modularidad. El  trabajo de  Wiles  aportó  distintos  teoremas  en  este  campo  denominados  Teoremas  de Levantamiento Modular. Por  otro  lado,  con  las  técnicas  de  este  trabajo  se  han  podido  resolver, posteriormente,  otras  importantes  conjeturas,  como  la  Conjetura  de   Serre  y  la  de Sato­Tate.  Además,  curiosamente,  la  Conjetura de Serre permite  dar  una demostración alternativa del Último Teorema de Fermat.

5- Conclusión Aunque  actualmente  por  fin  se  ha  desvelado  cómo  demostrar  el  Último  Teorema de  Fermat,  aún  continúa  existiendo  un  gran  enigma,  conocido  como  el   Enigma  de Fermat. Como  es  lógico, saber cómo se demuestra  el teorema  ya  no  entraña un enigma pero,  ¿fue  Fermat  verdaderamente  capaz  de  demostrar  su  teorema?.  Pero  aún  más, ¿cómo lo  hizo Fermat?. Es  improbable que  Fermat demostrara su teorema  como lo  hizo Wiles ya que éste lo consiguió con técnicas y conceptos de principios del siglo XX. Este  es el  enigma que aún  perdura  sobre el Último Teorema de Fermat y el propio Fermat y puede que sea uno de esos enigmas que queda para la eternidad.

Bibliografía Simon Singh, El Enigma de Fermat, Planeta, Barcelona, 1998. http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermat http://www.ciencia.cl/CienciaAlDia/volumen2/numero1/articulos/articulo1.html Ana  Patrícia  Araujo­Colín,  Historia  sobre  el  Último  Teorema  de  Fermat,  Universidad Autónoma Metropolitana, México. http://www.youtube.com/watch?v=vDLEt_AQjIM

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El enigma de fermat  
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