Page 30

Matematiken och d matematisk perversion

Det finns folk som gillar matte. Det finns folk som hatar matte. Sedan finns det dom som avgudar matematiken till den gräns att det övergår till något nära besläktat med perversion. Olof Somell är en av dem människorna. Här förklarar han hur man delar tårtor.

problemen på varje fikarast är vem som ska få den största biten av fikabrödet. I fallet av prinsesstårta så finns det ännu större problem; tårtan som helhet har ju ett flertal olika mumsigheter i sig. I rättvisans namn bör ju alla få lika mycket av både marsipanen, sockerkakan och smörkrämen. Fördelningsproblemet här är uppenbart: kan man garantera att alla får lika mycket av varje ingrediens, även om fördelningen av dessa inom tårtan kan vara oregelbunden eller t.o.m. helt okänd. Lyckligtvis har matematiken lösningen. ETT AV DE STORA

OSQLEDAREN #1 05/06 MATEMATISK PERVERSION

ETT SPECIALFALL av Stone- Tukeys sats är känt som “ham sandwich

theorem” men kan lika gärna som för skinksmörgåsar tillämpas på prinsesstårtor. Stone- Tukey ger oss att givet n objekt i ett n- dimensionellt rum så kan vart och ett av objekten delas i två (relativt volym) av ett (n-1)– dimensionellt hyperplan. Objekten i sig måste givetvis vara begränsade och mätbara, vissa andra detaljer (kontinuitet av objekten längs hyperplanet etc.) är också förutsatta. Fallet n = 3 ger oss “ham sandwich theorem” – eller som vi kommer att kalla den här: prinsesstårtesatsen. För n = 3 så kan vi ansätta våra tre objekt som marsipanen, sockerkakan och smörkrämen. Det (n-1)– dimensionella hyperplanet är här 2-dimensionellt, dvs. ett vanligt plan, dvs. ett snitt av en kniv. Hur ingredienserna är fördelade i tårtan är i princip irrelevant; t ex kan smörkrämen mycket väl vara i två lager, så länge den är kontinuerligt fördelad. Eventuella marsipanrosor hanteras analogt. Med detta som bakgrund meddelar prinsesstårtesatsen oss att med ett

30

snitt av en kniv så kan tårtan delas så att de två delarna var för sig innehåller lika mycket smörkräm, marsipan och sockerkaka. Om man vill dela i fler delar än två så är det bara att fortsätta. Vän av ordning noterar att detta fungerar väl så länge antalet personer som delar på tårtan är en potens av två (ty Stone- Tukey garanterar att volymen delas i två). Dessutom kanske tårtan är för liten och någon vill ha mer. Hur ska vi göra? Lyckligtvis har matematiken lösningen även här. 1924 FORMULERADES Banach- Tarski- paradoxen (BTp). BTp säger att det är möjligt att ta ett 3-dimensionellt klot, dela upp det i ändligt många delar, och sedan – med endast rotationer och translationer – sätta ihop dessa delar till två klot, bägge med samma radie som det första. Lite terminologi för att göra diskussionen enklare: låt A och B vara två delmängder av det euklidiska rummet. A och B kallas ekvidekomposabla om de kan representeras som ändliga unioner av disjunkta delmängder A = U Ai och B = U Bi sådan att Ai för varje i är kongruent med Bi. BTp kan då formuleras som följer: klotet är ekvidekomposabelt med två kopior av sig självt. Vad innebär då allt det här i praktiken? Jo: ta en prinsesstårta, dela upp den i ett ändligt antal bitar (för en klotformad tårta så kan det visas att fem bitar är tillräckligt), snurra och flytta runt bitarna, sätt ihop dem och simsalabim: två tårtor, båda lika stora som den första! Nu kan det argumenteras att tårtor sällan är klotformade, dock så är det inget problem; en starkare version av BTp säger oss att: två godtyckliga begränsade

OL 05/06 #1  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you