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OLIMPIADAS MATEMÁTICAS Septiembre 7 de 2008 Grado Décimo Nota: La prueba consta de 20 problemas, 15 de selección múltiple y 5 que requieren justificación por parte del estudiante, cada uno de los 15 primeros problemas tendrá un valor de una unidad; y cada uno de los 5 últimos problemas tendrá un valor de 3 unidades. La duración de la prueba es de 2 horas.

Problemas de selección múltiple con única respuesta 1.

Si

entonces

7.

Las soluciones de la ecuación

es igual a: vienen dadas por:

a. a. b. c. d.

b. c. d. 2.

Ninguna de las anteriores El número de cuadrados de caben en un cuadrado de

a. b. c. d. 3.

100 1000 10000 100000

el número inicial el doble del número inicial el número inicial más 1 el número inicial menos 1 Los números y además , b . El valor de es :

8.

y y2 y 4 y 5

La mitad del número

El valor de ecuación a. b. c. d.

entero positivo que satisface la es:

8 9 10 11

10. La expresión

son positivos, y

es:

a. b. c. d. 9.

Un número positivo se eleva al cuadrado, luego al resultado se le suma el mismo número y lo que resulta se divide por el mismo número, el resultado que se obtiene al final es:

a. b. c. d. 4.

de lado que de lado es :

0 0 3 4

es igual a:

a. b. c. d. 11. Sea

a.

, . El valor de

y es:

b. c. d. 5.

3

La probabilidad de obtener un 3 en la suma de los puntos al lanzar dos dados es: a. b. c. d.

6.

a. b. c. d.

1 2

12. El diseño abajo muestra un semicírculo y un triángulo isósceles con igual área. El valor de es: a.

Ninguna de las anteriores

En el triángulo Δ ABC se sabe que a=10, b=7 y , el área de dicho triángulo es: a. b. c. d. 35

b. c. d. 13. El conjunto de los valores de c para el cual la ecuación posee soluciones reales viene dado: a. b. c. d.

[ ) [-1,2) (] (-1,1)


14. En la lista de los 6 números cada uno es la suma de todos los anteriores a él. Por ejemplo a . Si f=7392, el valor de es: a. b. c. d.

461 462

1.

Si

2.

Una función definida sobre los números reales satisface que y para todo x e y. Encuentre el valor de

3.

Cuánto da la suma de los dígitos del número –

4.

Halle el valor de , donde y son números positivos y satisfacen el siguiente sistema:

5.

Si m y n son números naturales y , determine el valor de

464

15. Dos de los vértices de un rectángulo son (2,0) y (-2,0), si los otros dos vértices se encuentran sobre la parábola , el área de dicho rectángulo viene dada por: a. b. c. d.

Problemas para justificar

16 7 8 9

e b son las raíces de la ecuación , determine el valor de .

.


Prueba olimpiadas decimo