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CALCOLARE VELOCEMENTE I LIMITI DI SUCCESSIONI finora 51 esercizi sviluppati + molti limiti notevoli dimostrati di Leonardo Calconi Abbreviazioni: N = Numeratore, D = Denominatore, sgn = segno di La classificazione che segue è chiaramente informale, ma credo sia utile per velocizzare l’avvio del processo mentale di calcolo del limite. I primi tre paragrafi sono essenziali per seguire agevolmente quelli seguenti nei quali sono stato più conciso. Inoltre do per scontata la conoscenza completa dei ferri del mestiere. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

GENERALITA’ SUCCESSION I POLINOMIALI SUCCESSIONI IRRAZIONALI SUCCESSIONI FATTORIALI SUCCESSIONI ESPONENZIALI SUCCESSIONI LOGARITMICHE SUCCESSIONI TRIGONOMETRICHE SUCCESSIONI IRREGOLARI

GENERALITA’ Non esiste un metodo unico per il calcolo dei limiti di successioni ma si può affermare che l’esercizio da svolgere consiste essenzialmente nella rimozione della forma di indeterminazione nella quale si presenta quasi sempre il limite. Ad esempio, trovare il 1 ► lim n→∞ n non è un esercizio in quanto la soluzione, 0, è immediata, il limite è detto ‘notevole’ e si vede ad ‘occhio’. Se desiderate una giustificazione formale dirò che, adoperando le operazioni sui limiti, il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti, e poichè è lim1 = 1 n→∞

lim n = ∞ n→∞

si ha la forma determinata

1 =0 ∞

Trovare invece il n +1 ► lim n→∞ n è un esercizio, anche se molto facile, in quanto il limite della successione si presenta sotto la ∞ forma indeterminata ∞ forma che è molto facile rimuovere scrivendo la successione come 1 1+ n che ha come limite la somma dei limiti 1 + 0 = 1.


Riflettete sul fatto che si è trasformata una successione il cui limite si presenta in forma indeterminata nella somma di una costante ed un’altra successione il cui limite si presenta in forma determinata. Ecco uno schema di approccio che può esservi utile: 1. Individuate, tra le sette esistenti, la forma indeterminata sotto la quale si presenta il limite. Se tale forma non c’è tanto meglio, il limite è notevole e quindi immediato. 2. Inquadrate il tipo di successione (esponenziale, irrazionale ecc.) e fate mente locale agli artifizi specifici applicabili per rimuovere l’indeterminazione. 3. Rimuovete tale forma riscrivendo la successione in modo che tramite le quattro operazioni siano legati tra loro solo limiti notevoli, costanti e forme determinate. Importante ! Se dopo 2-4 passaggi l’indeterminazione non è stata rimossa è molto probabile che la strada imboccata non sia quella giusta. 4. Rimossa l’indeterminazione calcolate i limiti per parti e ricavate quello finale della successione adoperando le operazioni sui limiti. Ferri del mestiere (contenuti nel libro di Analisi 1): • Forme indeterminate • Forme determinate • Limiti notevoli • Operazioni sui limiti • Teoremi sui limiti di successioni

Ed ora passiamo agli esempi, ma prima di iniziare voglio porre come icona di questo lavoro un limite che, più che notevole, definirei ‘sublime’:

Fn+1 F 1 = φ , lim n = n→∞ F n→∞ F φ n n +1 lim

limite che avrete senz’altro riconosciuto e del quale parlo in www.4dmatrix.it/math/fibonacci.pdf. SUCCESSIONI POLINOMIALI Limiti notevoli da tenere a mente (la dimostrazione è elementare): 9 lim c = c, c ∈ n→∞

9 lim n x = ∞, x ∈ n→∞

1 = 0, x ∈ n→∞ n x n±a = 1, a ∈ 9 lim n→∞ n n±a = 1, a, b ∈ 9 lim n→∞ n ± b an x ± c a = , a, b, c, d ∈ , x ∈ 9 lim x n →∞ bn ± d b 9 lim

Successioni costituite da un solo polinomio.


Sia la successione an = ± a0 n p ± a1n p −1 ± a2 n p − 2 ± .... ± a p −1n ± a p allora è lim an = sgn a0 ⋅ ∞ n →∞

Infatti la successione può essere scritta come a a a a n p (± a0 ± 1 ± 22 ± ... ± pp−−11 ± pp ) n n n n da cui adoperando le operazioni sui limiti avremo: lim an = ∞(± a0 ± 0 ± ... ± 0) = ±∞ n →∞

Successioni costituite dal quoziente di due polinomi. Sia la successione ± a0 n p ± a1n p −1 ± a2 n p − 2 ± .... ± a p −1n ± a p an = ±b0 n q ± b1n q −1 ± b2 n q − 2 ± .... ± bq −1n ± aq allora è a • se p = q, lim an = 0 n →∞ b0 a • se p>q, lim an = sgn 0 ⋅ ∞ n →∞ b0 • se p<q, lim an = 0 n →∞

Infatti, dividendo N e D per i rispettivi elementi con esponente maggiore, la successione può essere scritta come a a a a n p (± a0 ± 1 ± 22 ± ... ± pp−−11 ± pp ) n n n n b b b b n q (±b0 ± 1 ± 22 ± ... ± qq−−11 ± qq ) n n n n della quale è facile calcolare i limiti dopo la semplificazione dei termini in evidenza ed adoperando le solite operazioni sui limiti. Nel caso la successione presenti uno o due polinomi fattorizzati non perdete tempo nello svolgimento di calcoli noiosi ed inutili che possono portare ad errori. Calcolate solo indice e segno degli elementi con indici maggiori a N e D e applicate la regola. Le due regole sopra esposte esauriscono tutto l’argomento. Negli esercizi che seguono le verificheremo coi calcoli cominciando a prendere dimestichezza con i passaggi necessari alla rimozione delle forme di indeterminazione in genere.

n =0 n →∞ n + 1 Che il limite di questa successione sia 0 lo si vede a occhio in quanto per n che tende all’infinito il D cresce molto più che il N. In ogni caso per trovare il limite coi calcoli dobbiamo rimuovere la ∞ sotto cui si presenta e per far ciò possiamo scrivere la successione come forma indeterminata ∞ ► lim

2


1 n

1 n2 il che si ottiene dividendo N e D per n 2 . A questo punto applicando i limiti notevoli avremo 1 1 lim = lim 2 = 0 n→∞ n n→∞ n da cui applicando le operazioni sui limiti avremo 0 =0 1+ 0 che è il limite cercato. Ma avremmo potuto anche dividere per n ottenendo: 1 1 n+ n da cui applicando le operazioni sui limiti avremmo avuto 1 1 = che è una forma determinata il cui limite è zero. ∞+0 ∞ 1+

Ecco un esercizio della stessa specie, risolvibile con lo stesso metodo. n +1 1 = ► lim n →∞ 3n + 4 3 ∞ 1) La forma indeterminata è . ∞ n 1 1 1+ + n 2) Per rimuoverla dividiamo N e D per n: n n = 3n 4 4 3+ + n n n 3) I limiti delle costanti 1 e 3 sono uguali alle costanti stesse. 1 4 4) I limiti di e sono limiti notevoli uguali a 0. n n 1+ 0 1 = . 5) Adoperando le operazioni sui limiti avremo: 3+ 0 3 Ed ecco una stravagante successione trovata girovagando in Internet il cui limite si presenta, ∞ neanche a dirlo, sotto la forma indeterminata . ∞ 3 2 n − 2002n − 1 = +∞ ► lim n →∞ 500n 2 + 1974n + 3948 Si tratta semplicemente del quoziente di due polinomi nei quali coefficienti e costanti hanno buffi valori studiati per gettare fumo negli occhi. Bene, ignoriamoli e proviamo a dividere N e D per n 2 . Otterremo 1 n − 2002 − 2 n 1974 3998 500 + − n n


In questa nuova scrittura della nostra successione ci sono tre limiti notevoli della famiglia

a che nx

hanno, ormai lo sappiamo, limite zero, due costanti e un altro limite più che notevole: n. Facendo ricorso alle operazioni sui limiti otterremo: ∞ − 2002 − 0 = +∞ 500 + 0 − 0 Riflettete sul fatto che riscrivendo questa successione come n3 − (unità d'Italia) ⋅ n 2 − (scoperta dell'America) lim n →∞ (presa della Bastiglia) ⋅ n 2 + (la vostra età) ⋅ n + (mutuo da pagare) il suo limite rimane immutato, così come rimane immutato se sostituite coefficienti e costanti con l’unità: n3 − n 2 − 1 lim 2 = +∞ n →∞ n + n + 1 n 2 − 2n + 3 ► = +∞ 2n + 1 Si può dividere per n o per n 2 ottenendo rispettivamente il limite con le forme ∞−0+0 ∞ 1− 0 + 0 1 = = +∞ o determinate = = +∞ 2+0 2 0+0 0 2 ► lim 3n − 2n − 4 = +∞ n →∞

La forma indeterminata è ∞ − ∞ . Per rimuoverla è sufficiente dividere e moltiplicare per n 2 : 2 4 (3 − − 2 )n 2 , da cui (3 − 0 − 0)∞ = +∞ n n ► lim 4n 4 + 5n3 − 2n 2 − 10n + 1 = +∞ . n →∞

Ancora un polinomio, stesso metodo di approccio. Infatti dividendo e moltiplicando per n 4 si ottiene ancora come limite +∞ . n3 − 1 =1 ► lim n →∞ ( n + 1)( n 2 + 2n + 1) n −1 1 1 1+ + 2 n − 1 n2 + n + 1 = n i n n i n + 1 n 2 + 2n + 1 n + 1 1 + 2 + 1 n n n2 a Abbiamo così ottenuto limiti notevoli del tipo x con limite zero sommate a costanti unità e limiti n n ±1 con limite uno come moltiplicatori. Pertanto il limite è 1. notevoli del tipo n (2n + 1)(3n 2 − n3 + 3) = −∞ ► lim n →∞ n (n 2 + 2n + 2)( + 1) 2 n Simile al precedente, il trucco sta nel togliere prima il fastidioso a D con una modesta operazione 2 per poi proseguire col solito metodo: dividere N e D del primo quoziente per n e del secondo per n2.


2 3 3− n + 2 2(2n + 1)(3n − n + 3) 4n + 2 3n − n + 3 n⋅ n = ⋅ 2 = 2 2 2 n + 2 n + 2n + 2 1 + 1 + + 2 (n + 2n + 2)(n + 2) n n n2 a Ora nell’espressione ci sono solo costanti, forme del tipo x e un − n che determina il limite della n nostra successione: −∞ n 2 − 2n + 3 n 3 − n − 1 + = −∞ ► lim n →∞ 2n + 1 3− n Applicando separatamente la regola del quoziente ai due membri della successione si ottiene la forma indeterminata ∞ − ∞ , quindi è necessario prima ridurre a comune denominatore: (n 2 − 2n + 3)(3 − n) + (n3 − n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(3 − n) Svolgendo i noiosissimi calcoli e le semplificazioni si otterrà un quoziente con a N un polinomio di 4° e a D uno di 2°; poi si dovrebbe proseguire dividendo N ed D per... Ma basta con le complicazioni!. Come ricavare a mente e in un istante il limite ? Calcolate SOLO gli elementi con esponenti maggiori a N ( n3 ⋅ − n ) e D ( n ⋅ n ) ed applicate la a0 n4 n4 formuletta magica: sgn = sgn 2 , p > q ⇒ lim an = sgn 2 ⋅ ∞ = −∞ et voilà ! n →∞ n b0 n Ma forse vi state annoiando, quindi cambiamo famiglia di successioni. 2

3

2

3

4+

SUCCESSIONI IRRAZIONALI Limiti notevoli da tenere a mente; anche questi, tranne uno, di dimostrazione elementare. 1 9 lim n a = 1, a ∈ ; n a = a1/ n , n → ∞ ⇒ → 0 ⇒ n a → 1 n →∞ n 9 lim n n = e n→∞

( 1n ) ln n = 1

9 lim n nb = 1, b ∈ n →∞

; n a b = a b / n ecc.

c c = c, a ∈ ; 1 a n 9 lim n ! = +∞ ; con o senza radice n ! → +∞ 9 lim n n→∞

n →∞

n = e ; la dimostrazione di questo limite è invece interessante e la si ottiene tramite la n! 1 a a n proprietà lim an = lim ann = lim n+1 che è compagna dell’altra lim n = lim an+1 − an . n→∞ n→∞ n→∞ a n→∞ n n→∞ n

9 lim

n →∞ n

nn la successione data diventa n an ed applicando la suddetta proprietà Infatti ponendo an = n! a (n + 1) n+1 n! (n + 1) n n 1 ⋅ n = da cui lim n = lim(1 + ) n = e (questo limite si ottiene n+1 = n n→∞ an (n + 1)! n n n n! n→∞ notevole è dimostrato nella famiglia delle successioni esponenziali). Successioni composte da un radicale, dal rapporto di due radicali o dal rapporto tra un radicale e un polinomio.


Possiamo utilizzare quanto detto per i limiti dei polinomi.. Per un singolo radicale abbiamo lim a0 n p ± a1n p −1 ± a2 n p − 2 ± .... ± a p −1n ± a p = +∞ n →∞

mentre per il quoziente di due radicali o di un radicale e un polinomio è a0 n p ± a1n p −1 ± a2 n p − 2 ± .... ± a p −1n ± a p

lim

b0 n q ± b1n q −1 ± b2 n q − 2 ± .... ± bq −1n ± aq

n →∞

a0

se p = q, lim an =

se p>q, lim an = +∞

se p<q, lim an = 0

b0

n →∞

(o, se a N o D c’è un polinomio, =

a0 b0

,=

a0 ) b0

n →∞ n →∞

Due esempi: ► lim

n →∞

n2 + 2 1 = 2n + 3 2 n2 + 2

2 2 2n + 3 Nel primo limite a N abbiamo un radicando che è un polinomio con limite 1 e a D un polinomio con limite 2. Controlliamo coi calcoli dividendo N e D per n: 2 n2 + 2 1+ 2 2 n +2 n n = = 3 3 2n + 3 2+ 2+ n n ovvero, passando al limite, 1+ 0 1 = 2+0 2 Controllate come invertendo N e D anche il limite si inverta: 2. Nel secondo limite applichiamo direttamente la regola per il limite del quoziente di radicali di polinomi che fornirà 1 2 = 2 2 Per controllare con i calcoli basta dividere N e D per n. Anche in questo caso verificate l’inversione di N e D e del limite: 2

► lim

n →∞

2

=

Altri esempi in breve: ► lim

n →∞ 3

2n 4 − 11 5n − 11n − 11 6

=

3

2 (regola del quoziente) 5

7n2 + 7 = 7 (idem) n →∞ n 2 n − 3n 2 ► lim = −3 (considerate N e D come polinomi...) . n →∞ 2 n + n 2

► lim

► lim n n →∞

1 = +∞ (trascinate n sotto radice...). n +1


9 + n2 − 3

► lim

n →∞

3 (separate nel prodotto di due quozienti...) 121 + n 2 − 11 11

=

Successioni composte da più radicali misti o meno a polinomi. La forma sotto cui si presenta il limite è sempre indeterminata e bisogna rimuoverla coi soliti artifizi che in genere consistono nel moltiplicare e/o dividere N e D per qualcosa. 2n + 1 − 2n ► lim =0 n →∞ 2n + 1 + n dividiamo N e D per 2n 1 1+ −1 2n + 1 − 2n 2 n = 2n + 1 + n 1 1 1+ + 2n 2 ovvero, passando al limite, 1+ 0 −1 =0 1 1+ 0 + 2 n +1 =0 ► lim 2 n →∞ n + n +1 − n In questo caso dividiamo N e D per n 1 1+ n 1 n +1+ −1 n quindi passando al limite 1+ 0 1 = =0 ∞ +1+ 0 −1 ∞

► lim n 2 + 1 − n →∞

n2 + 1 = −∞ ; trattare separatamente i due termini della successione, moltiplicando e n +1

dividendo il primo per

n2 + 1 e applicando sul secondo membro la regola del quoziente di n2

polinomi. Successioni composte da radicali con indici diversi. Per rimuovere l’indeterminazione si può fare ricorso alle operazioni elementari sui radicali. n−3n ► lim 4 = +∞ n →∞ n−6n A N possiamo raccogliere n e a D 4 n : 3

n 1 n2 ) 1+ 6 n (1 + 6 3 ) n− n n = n = 8 n2 ⋅ n = 6 6 4 4 1 n− n 4 n 1 + 24 2 n (1 + 4 ) 4 n (1 + 24 n 6 ) n n n per poi passare al limite utilizzando le operazioni sui medesimi: 3

n (1 +


∞⋅

1+ 0 = +∞ 1+ 0

► lim n 2 + 1 − 4 n 4 + 3n − 1 = 0 n →∞

Qui conviene non far caso agli indici diversi ma completare il binomio (vedi più avanti) moltiplicando e dividendo per

n 2 + 1 + 4 n 4 + 3n − 1 . Si otterrà infine la forma determinata n2

1+ 0 − 1+ 0 − 0 =0 0 + 0 + 1+ 0 − 0 Successioni completabili in un binomio del tipo a 2 − b 2 . Moltiplicando e dividendo per a + b si razionalizza il N e si crea un D irrazionale che però sarà della forma a + b , in genere determinata o facilmente riducibile a determinata. ► lim n + 2 − n − 1 = 0 n →∞

Moltiplicando e dividendo per n + 2 + n − 1 si ottiene n + 2 − n +1 n + 2 + n +1 passando alle operazioni sui limiti si ottiene la forma determinata 3 =0 ∞+∞ 1 ► lim n( n 2 + 1 − n) = n →∞ 2 Si può completare il binomio ma è necessario anche eliminare il moltiplicatore n che provoca indeterminazione. Quindi moltiplicare e dividere per

n2 + 1 + n . n

► lim n 2 + 2n − n 2 + 8n = −3 n →∞

Anche in questo caso assieme al completamento del binomio è necessaria una divisione per n, stavolta per abbattere gli esponenti dei polinomi sotto radice ed evitare a D la forma indeterminata ∞−∞. Successioni con radicali profondi. E’ necessario rimuoverli; ma ciò non è sempre vero (vedi esercizio seguente).

► lim (n − 1) 3 n + 1 = +∞ n →∞

Unificando i radicali (n − 1)3 (n + 1) e sviluppando il radicando si ottiene come successione la radice di un polinomio che ha come limite +∞ . n ► lim =1 n →∞ n+ n+ n 6

In questo caso i radicali annidati si lasciano dove sono e si divide N e D per

n ottenendo


n n

lim

=

n →∞

1 =1 1+ 0 + 0

n n n + 2+ 4 n n n E per finire con le successioni irrazionali ecco un simpatico esercizio. Siano le successioni an = n 2 + 1; bn = n 2 + n ; cn = 3 n 2 + 1; d n = 3 n 2 + n i cui limiti sono elementari ed uguali a +∞ . riga) dei loro quozienti otteniamo Ora, se calcoliamo i limiti delle combinazioni (colonna facilmente questi risultati: ÷ an bn cn dn 1 1 +∞ +∞ an bn

1

1

cn

0

0

+∞ 1

+∞ 1

0 1 1 dn 0 Ora possiamo provare a calcolare, se non tutti, alcuni dei limiti dei 256 quozienti di tipo n2 + 1 − 3 n2 + n

► lim

n2 + 1 − n2 + n

n →∞ 3

i cui valori sono 0, ± 1, ± ∞ . Ad esempio si vede subito che il limite della combinazione proposta si presenta sotto forma ∞ indeterminata ; ma osservando la tabella si vede altrettanto facilmente che per rimuoverla basta ∞ dividere N e D per n 2 + n . Infatti scrivendo la successione come n2 + 1

3

n2 + n

n2 + n n 2 + n e quindi passando al limite applicando la tabella si ottiene la forma determinata 3 2 n +1 −1 n2 + n 1− 0 ed il limite cercato che sarà -1. 0 −1 Ma forse state pensando che abbiamo scoperto l’acqua calda; bene, allora passiamo alle successioni fattoriali. SUCCESSIONI FATTORIALI Limiti notevoli da tenere a mente. n 9 lim n = e ; già dimostrato n →∞ n! n

n! 1 = ; segue dal precedente n e n 9 lim = 0 ; elementare n→∞ n ! 9 lim n→∞


n! = +∞ ; elementare n→∞ n La dimostrazione dei limiti notevoli seguenti si basa sul teorema del rapporto per il quale una a successione an è infinitesima se lim n+1 < 1 . n→∞ a n 9

lim

a n+1 n ! a an ⋅ n = lim = 0 < 1. = 0 ; infatti lim n→∞ ( n + 1)! a n→∞ n + 1 n →∞ n ! n! 9 lim n = +∞ ; segue dal precedente n→∞ a n! (n + 1)! n n nn 1 1 9 lim n = 0 ; infatti lim ⋅ = lim = lim = <1. n →∞ n n→∞ ( n + 1) n +1 n ! n→∞ ( n + 1) n n→∞ 1 (1 + ) n e n n n 9 lim = +∞ ; segue dal precedente n→∞ n !

9 lim

Successioni con limiti notevoli facilmente isolabili ► lim14327 n − n ! = −1 , lim n !− 14327 n = 1 n →∞

n →∞

dividete per n ! per passare dalla forma indeterminata ∞ − ∞ alle forme determinate 0 − 1 e 1 − 0 . n !− 2n n n n − n3 1 ► lim n = − 2 , lim =− 3 n n →∞ n − n n →∞ n !− 2n 2 0 − 2 1− 0 dividete N e D per n n per ottenere le forme determinate e . 1− 0 0 − 2 n !+ 2n ► lim =0 n →∞ ( n + 1)! provate a scrivere la successione in questo modo: n !+ 2n . Se ancora non vi suggerisce nulla scrivetela così (è roba da terza media...) (n + 1)n ! 1 2n ⋅ (1 + ) ed ecco che otterrete la forma determinata 0 ⋅ (1 + 0) . n +1 n! ► lim

n →∞

n n 66n − 33n n

=

n !− 66n

SUCCESSIONI ESPONENZIALI Limiti fondamentali n n  1  1 1 9 lim  1 +  = e ; lim 1 −  = , definizione del numero di Nepero n→∞ n→∞  n  n e n

9 lim e n = +∞ ; caso particolare di a → +∞ n→∞

Limiti notevoli da tenere a mente n

 a 9 lim  1 +  = e a , a ∈ n→∞  n

; w=

n a

 ⇒  1 + 

    w  1

w

a

→e

a


9 lim n − e = 0 ; elementare n→∞

Per il limite n

b

= 0, a > 1, b > 0 n a ci si serve del criterio del rapporto già visto in precedenza, e già che ci siamo definiamo gli

9 lim

n →∞

b

n

n

infiniti di ordine crescente: ln n, n , a , n !, n per i quali i limiti dei rapporti valgono: 9 lim

n →∞

ln n n

a

= lim

b

n →∞

n

b

a

n

= lim

n →∞

a

n

n!

= lim

n→∞

n! n

n

=0

n

= +∞; a > 1, b > 0 , segue dal precedente b n en na 9 lim a = +∞, lim n = 0 ; casi particolari dei precedenti. n →∞ n n →∞ e

9 lim

n →∞

Successioni con limiti calcolabili in un passaggio

n+6 ► lim   n+2

n

=e

4

n →∞

Scomponendo si ottiene un limite notevole come base ed un limite polinomiale come esponente:

 n + 6  =  1 +     n + 2   n

n n+ 2

    n+2  n+2

4

→ ( e4 ) . 1

Come caso particolare si ha

n+2 ► lim    n +1 

n

=e

n →∞

e come caso generale un limite che può essere considerato notevole:

n+a ► lim   n+b

n

=e

a −b

n →∞

n

, a, b ∈

b

► lim a − n = +∞ , a , b ∈ n →∞

 nb Ponendo a − n = a  1 − n  a n

b

n

  si rimuove la forma indeterminata ∞ − ∞ ottenendo ∞ ⋅ 1 

Successioni con limiti calcolabili in max tre passaggi n

1   ► lim  1 +  = +∞ n →∞  ln n 

1. Poniamo

1 + 1     ln n 

n

 

= 1 +

n ln n

 ln n  ln n 

2. Risolviamo a parte

1

 1      1 + ln n     ln n

=

n ln n


lim

n →∞

n ln n

1

= lim

=

ln n

n →∞

1 0

= +∞

n

3. Avremo



lim  1 +

n→∞



    ln n  

 n2 ► lim  n →∞ 

ln n

1

n ln n

+ 2n + 1 

2

n + 2n + 1 2

n 2. Sarà

 1 lim  1 +  n →∞  n

n

 

2

n 1. Osservando che

=e =∞

 n +1 =   n 

=e

2

2

 1 = 1 +   n

2

2n

=e

 n3 + 1  ► lim  3  n→∞  n 

n

3

2

+1

=e

1. Posto 3

n +1 3

n 2. Sarà

=1+

1 n

3

n  1   1  lim  1 + 3   1 + 3   = e n →∞  n   n    3

SUCCESSIONI LOGARITMICHE Limiti notevoli da tenere a mente; dimostrazioni elementari o già affrontate 9 lim ln n = +∞ n →∞

n n →∞ ln n 1 9 lim n →∞ ln n ln n 9 lim b n →∞ n ln n 9 lim n n →∞ b 9 lim

=

eln n = +∞ ln n

=0 =0 =0 1

ln n

n n eln n e 2 n = +∞; = = ,n → ∞ ⇒ → +∞ 9 lim n→∞ ln n ln n ln n ln n ln n


9 lim

ln n

n →∞

9

= 0; segue dal precedente

n

 1 lim n ln  1 +  = 1 ; n →∞  n

 1  n ln  1 +  = ln  1 +  n 

1

n

 → ln e = 1

n

Successioni con limiti calcolabili in un passaggio

► lim ln n −

n = −∞

n→∞

Ponendo ln n − ► lim

n +1

ln

Ponendo ► lim

n →∞

ln

si avrà la forma determinata ∞ ⋅ (0 ⋅ −1)

=0

n

n→∞

 ln n − 1    n1 / 2 

n

n =

n +1

n 1 + ln n

n − ln n

=

1 ln( n + 1) n + 1 2

n +1

n

si ottiene la forma determinata

ln n n

1+

n →∞

1.

ln n

ln( n + 1) ln n

⋅ 1−

ln n per ottenere la forma determinata 0 ⋅ 1 + 0 ln n 1− 0 n

=1

   

ln n  1 + =

⋅ 0 ⋅1

1

Successioni con limiti calcolabili in max tre passaggi

ln( n + 1)

2

=0

E’ sufficiente scomporre in

► lim

1

1 

 1   ln n + ln  1 +  n   n ⇒ =

ln n 1  1 ⋅ ln  1 +  = 1 + 0 2. lim 1 + n →∞ ln n  n

ln n

SUCCESSIONI TRIGONOMETRICHE Limiti fondamentali sin an 9 lim = 1, a ≠ 0, ∀n an →0 a n Limiti notevoli da tenere a mente a a 9 lim sin = 0; lim cos = 1, a ∈ n →∞ n →∞ n n n


a a = a; lim n sin =a n →∞ n →∞ n n a a 9 lim n cos = ∞; lim n cos =∞ n →∞ n →∞ n n a a 9 lim n tan = a; lim n tan =a n →∞ n →∞ n n 9 lim n sin

Successioni con limiti notevoli facilmente isolabili 1 ► lim n sin = 0 n →∞ n Trasformiamo la forma indeterminata ∞ ⋅ 0 nella forma 0 ⋅ 1 : 1 1 1 lim n sin = lim n sin = 0 n →∞ n n →∞ n n 1 2 ► lim n sin = ∞ n →∞ n In modo analogo trasformiamo nella forma ∞ ⋅ 1 : 1 1 2 lim n sin = lim n ⋅ n sin = ∞ n →∞ n n→∞ n 1 ► lim n sin =∞ n →∞ n Ancora una semplice trasformazione: 1 1 lim n sin = lim n n sin =∞ n →∞ n n→∞ n sin a n = a ► lim n →∞ b sin b n La forma è indeteminata del tipo 0/0, ma è immediatamente eliminabile moltiplicando N e D per n. SUCCESSIONI IRREGOLARI

► lim ( −1)

n

n→∞

La successione assume solo i valori ±1 e pertanto non può essere divergente; del resto non può neanche convergere ad l in quanto | ±1 − l |= 1 + l ≥ 1 > ε se ε < 1 ► lim ( −1)

n

2

n +1

n +1 Ricordando le successioni polinomiali si vede che la parte irrazionale del limite tende a infinito quindi, per quanto sopra visto, per n pari la successione tende a +∞ e per n dispari a −∞ . Ugualmente, se il grado dei due polinomi fosse stato pari la successione non avrebbe avuto limite tendendo a l per n pari e a –l per n dispari. Ma se il polinomio a N fosse stato di grado inferiore a quello a D la successione avrebbe avuto come limite lo zero. n→∞


► lim sin n , lim cos n n →∞

n →∞

Le due successioni sono limitate ( ±1) ma non ammettono limite. Non divergono perchè esistono infiniti M in corrispondenza dei quali per un indice ν > 0 la diseguaglianza sin n, cos n > M non è verificata. E non convergono ad l in quanto per un ε > 0 qualsiasi non esiste un indice ν > 0 per il quale sia | sin n − l || cos n − l |< ε .

limiti  

limiti ddddddddddddddddddddddddddddd

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