Issuu on Google+

TRANSFORMACIÓNS XEOMÉTRICAS

HOMOTETIA TRASLACIÓN XIRO SIMETRÍA

Departamento Debuxo

1º bacharelato

IES As Mercedes


HOMOTETIA A homotetia se define como á correspondencia puntual do plano consigo mesmo, de xeito que:

QA'/QA=k na que Q é o centro de homotetia, A e A' son dous puntos homotéticos e k é a razón de homotetia. É unha transformación ou correspondencia pola que a cada punto do plano facémoslle corresponder outro, cumpríndose que as rectas que unen os puntos homólogos pasan por un punto Q, chamado centro de homotetia, e verificándose sempre que se A' é o homólogo de A, QA'/QA=k, sendo k unha constante chamada razón de homotetia. HOMOTETIA DUN PUNTO Q

A

A'

QA' =k QA

HOMOTETIA DE SEGMENTOS A' A B

Q

B'

QA' QB' QC' = = =k QA QB QC

C C'

BA e B'A' son homólogos, así mesmo BC e B'C', e AC e A'C', polo tanto AC // A'C', BC // B'C' e AB // A'B'. VALOR DA HOMOTETIA k>0 k<0 k=1 k = -1

A e A' están a un lado de Q. A e A' están a ambos lados de Q. a homotetia é unha identidade. A e A' están a ambos lados de Q e á mesma distancia.

Q

A

A'

A

k>0

Q

A'

k<0

Q

A A'

A

k=1

Q

A'

k = -1

PRODUCTO DE HOMOTETIAS 1.- DE IGUAL CENTRO. O producto de dúas homotetias de igual centro, é outra homotetia de centro o común e razón de homotetia o producto das homotetias factores.

Q

QA' =k 1 QA

A

QA'=k 1 · QA

QA'' =k 2 QA'

A'

QA''=k 2 · QA'

A''

QA'' =k 3 QA

QA'' =k 1 · k 2 QA

k 3 =k 1 · k 2 1


2.- DE DISTINTO CENTRO. O producto de dúas homotetias de distinto centro, é outra homotetia de centro aliñado cos outros dous e razón o producto das homotetias dadas. A' A

Q1

B'

B

A'' B''

Q 1 A'

Q 1 B'

=

Q 1A Q 3 A'' Q 3A

Q 1B

=

Q 3 B'' Q 3B

Q 2 A''

=k1

Q 2 A'

Q 2 B''

=

Q 2 B'

Q 3 A''

=k3

Q 3A

=

=k2

Q 3 B'' Q 3B

Q2

= k 1·k 2

k 3 =k 1 · k 2

Q3

HOMOTETIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS

A homóloga dunha circunferencia de radio r e centro O, será outra de radio r' e centro O' cumpríndose que: T'

QO' = k QO

T

r

r'

r' = k r

Q

O'T' // OT

O

O'

CENTROS DE HOMOTETIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS QO' =k QO

QM' =k QM

r' =k r M'

N

Q é o centro de homotetia directa. M

Q'

Q

O'

O

Q'O' =k Q'O

Q'N' =k Q'N

r' =k -r

Q' é o centro de homotetia inversa. N'

2


CENTROS DE HOMOTETIA DE TRES CIRCUNFERENCIAS

e 12

Q 12

Q' 12 O1

O2

i 13 i 23 Q' 13 Q' 23

i 12

O3 e 23 Q 23 e 13

Q 13

HOMOTETIA DE CENTRO IMPROPIO Nunha homotetia de centro impropio, o centro de homotetia atópase fóra do plano (considerámolo no infinito). Ó estar tan lonxe as rectas que unen os puntos con este son paralelas, será, polo tanto, unha traslación.

A' A

D' B'

D B

C' C

3


TRASLACIÓN A traslación é a transformación xeométrica do plano, tal que, dado un vector guía v, para todo punto A existe un A' de xeito que AA'=v. Sendo v un vector libre. A

A'

v

B

T (v) (A) = A'

B'

C

C'

Traslación identidade: T(v)(A) = A. O valor do vector é nulo. Traslación inversa: T-1(v)(A') = A. Cando aplicando unha traslación a un punto A' sitúase onde estaba A. Propiedades: – os segmentos conservan a lonxitude e a dirección. – as rectas homólogas son paralelas. – os ángulos homólogos matéñense iguais. – as figuras xeométricas transfórmanse en outras iguais. A traslación considérase unha homotetia de centro impropio, na que o centro de homotetia atópase fóra do plano (no infinito). PRODUCTO DE TRASLACIÓNS O producto de traslacións é outra trasalación de vector igual ó producto dos vectores factores. T(v1)(AB) • T(v2)(A1B1) • T(v3)(A2B2) • T(v4)(A3B3) = A4B4 T(vx)(AB) = AxBx

AxBx = A4B4

A1 v1

A3

v2

A

v3 A2 v4

B1

B3

B

A4 Ax

B2 vx Bx B4

4


XIRO B

É a transformación xeométrica do plano de xeito que; definido un centro de xiro Q e unha amplitude ou ángulo de xiro a, faiselle corresponder ó punto A o seu homólogo A'.

A'

B'

Xiro de centro Q e amplitude a: X (Q, a) - Xiro identidade: Ten como amplitude un ángulo a = 360°: X (Q, 360°) AB = AB

a A

a

- Xiro inverso: Faille corresponder ó punto A' o punto A: X-1 (Q, a) = X (Q, -a) A amplitude terá sentido negativo.

a=60° X (Q, 60°) AB=A'B'

Q Propiedades:– se conservan segmentos e ángulos. – os xiros de amplitude p equivalen a unha simetría central (respecto a un punto). – conservan o sentido de ordenación dos elementos do plano.

DETERMINACIÓN DO CENTRO DE XIRO V

B

A

vV B

a

A' mAA’

Q

A

A'

B'

O centro de xiro se determina mediante a bisectriz do ángulo que forman o segmento e o seu homólogo coa mediatriz do segmento que une un punto e o seu homólogo.

Q

B'

PRODUCTO DE XIROS Xiros do mesmo centro. O resultado de dous xiros do mesmo centro e de amplitudes co centro común e de amplitude a suma das amplitudes dos dous xiros.

a e b, será un xiro

B'

B

X (Q, a) AB = A'B' => X (Q, a + b) AB = A''B'' A'

X (Q, b) A'B' = A''B'' A

a+b a

b A'' Q B''

5


Xiros de distinto centro. O producto de xiros de distinto centro será un novo xiro cun centro distinto e unha nova amplitude. X (Q1, a) AB = A'B'

X (Q2, b) A'B' = A''B''

X (Q1, a) AB · X (Q2, b) A'B' = X (Q3, g) AB = A''B''

A''

B

g A' B' Q3

A

a

B''

b

Q1 mAA'' mBB''

Q2

Producto de xiros de distinto centro. Para un polígono.

C' C

A''

B

C'' B'

A'

B''

g Q3

A

a

b

Q1

mBB''

Q2 mAA''

6


SIMETRÍA SIMETRÍA CENTRAL É a transformación xeométrica do plano, que fai corresponder a todo punto A outro A’, de xeito que QA = QA’, sendo Q o centro de simetría. S (Q)A = A' Propiedades: - os elementos transfórmanse noutros iguais. - conserva a ordeación dos elementos que formas as figuras. C'

A

B' Q

B A'

C

Producto de dúas simetrías. O producto de dúas simetrías é unha traslación S(Q1) • S(Q2) = T (v)

S(Q1) AB = A’B’

=>

S(Q2) A’B’ = A’’B’’

S(Q1) AB • S(Q2)A’B’ = T(v) AB = A’’B’’

B’

A

Q1

A’

Q2 A’’

B v

B’’

SIMETRÍA AXIAL Simetría axial ou respecto dun eixe, é a transformación xeométrica que fai corresponder a puntos do plano outros puntos, de xeito que, sendo e o eixe de simetría, é mediatriz dos segmentos que unen puntos homólogos. S (e) A = A' Propiedades: - Invirte o sentido do plano - conserva os valores de segmentos e ángulos así como as figuras xeométricas e circunferencias 7


e

e

A

A'

A

A

A

A’ B

B’

C

B'

B

C’

PRODUCTO DE SIMETRÍAS EIXES PARALELOS. O producto de dúas simetrías de eixes paralelos é unha traslación de vector guía igual a dúas veces a distancia entre os eixes. S (e1) · S (e2)= T (v) S (e1) AB = A'B'

v = 2(e1e2) => T (v) AB = A’’B’’v = 2d

S (e2) A'B' = A''B'' e1

e2

A

A’

A’’

B

B’

C

B’’

C’

C’’ d

EIXES NON PARALELOS. O producto de dúas simetrías de eixes non paralelos é un xiro de centro o punto de corte dos eixes, e amplitude igual ó dobre do ángulo que forman ditos eixes. S (e1) · S (e2) = X (Q, 2e1e2)

Q = punto de intersección e1e2 e1 A

A’

S (e1) AB = A'B' S (e2) A'B' = A''B'' e2

S (e1) AB · S (e2) A’B’ = A’’B’’

B

B’

S (e1) AB · S (e2) A’B’ = X (Q, 2a) AB 2a

X (Q, 2a) AB = A’’B’’

B’’

a A’’ Q

8


Transformacións xeométricas