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Relaciones y Funciones *Conjunto de Partes *Producto Cartesiano *Relaciones *Composición de Relaciones

*Propiedades de las Relaciones *Clasificación de las Relaciones *Partición de un Conjunto *Funciones *Clasificación de funciones *Representación Gráfica de Funciones Profesor: Orlando Melo


Conjunto de partes Se escribe P(A)

se lee “partes de A”

y está formado por todos los subconjuntos posibles que pueden formarse con los elementos del conjunto A, incluido el conjunto vacío {}=

Sea A { a, b, c }

{a}

•a

{b}

•b

{c}

•c

A •a •b •c •a

•b

•c

•a

•b

{a,b}

•a

•c

{a,c}

•b

•c

{b,c}

{a, b, c}

entonces el conjuntos de partes de A es:

El número de elementos que conforman P(A) es 2n donde n = A A se lee cardinal del conjunto A y es igual a la cantidad de elementos que tiene el conjunto A

P(A)= { {a}; {b}, {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}  }


Producto Cartesiano Dado un conjunto A = { a, b }

y un conjunto B = { 1, 2 }

El producto cartesiano A x B se forma con todos los pares ordenados posibles conformados por elementos del conjunto A en el primer lugar del par ordenado y elementos del conjunto B en el segundo lugar del par ordenado

A

B •a •b

•1 •2

A x B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1),(b, 2) } También podemos representar el producto cartesiano en un par de ejes coordenados B 2 1

A x B (a, 2) (b, 2) (a, 1) (b, 1)

a A

b

En el eje de abscisas (x) el conjunto A En el eje de ordenadas (y) el conjunto B y los pares ordenados en las intersecciones de las perpendiculares a cada uno de los ejes, que pasan por los elementos involucrados


1) Si A = { 1, 2 }

P(A) = { ; {1}; {2}; {1,2} }

Recuerda que cada uno de los subconjuntos posibles formados con los elementos del conjunto A, es un elemento de P(A)

P(A) xA = { (,1); (,2); ({1},1); ({1},2); ({2},1); ({2},2); ({1,2},1); ({1,2},2) } observa que en cada par ordenado, el 1er elemento  P(A) y el 2do elemento  A 2) a) Si C

•a

A={a}

B={2}

C = { a, b }

D

A

•2

ubicamos ahora

B

2 1

A x B C x D (a, 2)

(b, 2)

(a, 1) (b, 1)

a

b

A  C

y

B  D

A x B = { (a,2) }

en ejes cartesianos B

2

C x D = { (a,1); (a,2); (b,1); (b,2) }

•1

•b

D = { 1, 2 }

1

el único par ordenado de AxB; (a,2)  CxD entonces A x B  C x D


2 b) Si A x B  C x D ¿se sigue de esto necesariamente que A  C y B  D ?. Explique. Si

a  A  (a, b)  A x B, b  B

si el elemento a pertenece al conjunto entonces el par ordenado (a, b) pertenece A producto cartesiano A x B para todo elemento b que pertenece al conjunto B al

Si a es elemento del conjunto A, entonces el elemento a con cualquier otro elemento del conjunto B forma un par ordenado del producto cartesiano A x B Por la consigna del ejercicio A x B  C x D , entonces . . . si (a, b)  A x B entonces (a, b)  C x D luego a  C, luego

AC

Análogamente puede hallarse que B  D si b  B  (a, b)  A x B, a  A por la consigna del ejercicio A x B  C x D , entonces . . . si (a, b)  A x B entonces (a, b)  C x D luego b  D, luego

BD


Relaciones

Dado un producto cartesiano A x B,

si se verifica que entre los elementos de algunos (o todos) los pares ordenados que lo conforman se cumple una cierta propiedad, existe una relación

R  A x B  (x,y)  R : x  A  Y  B

incluida en el producto cartesiano A xB si y solo si para todo par ordenado (x, y) que pertenece a la relación R se verifica que el elemento x pertenece al conjunto A y que el elemento y pertenece al conjunto B

A

B

•1

•2

•2

•3

Sean A = { 1, 2 }

y

B = { 2, 3 }

En A x B = { (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3) }

Definimos R  A x B : (x,y)  R  y = 2x De analizar los pares ordenados que conforman A x B resulta que algunos pueden verificar (otros no) o puede suceder que todos verifiquen e incluso también puede suceder que ningún par ordenado verifique la condición

Analizamos

en el par (1, 2) x = 1 y = 2 2=21 en el par (1, 3) x = 1 y = 3 321 en el par (2, 2) x = 2 y = 2 22 en el par (2, 3) x = 2 y = 3 32

R = { (1, 2) }

entonces (1, 2)  R

Y=2x

entonces (1, 3)  R 2 entonces (2, 2)  R 2 entonces (2, 3)  R


La relación antes vista R = { (1, 2) } definida por comprensión será: R = { (x, y) / x  A  y  B  y = 2x } Observe que la definición por comprensión considera: los elementos que componen la relación

pares ordenados (x, y)

a qué conjunto pertenecen cada uno de los elementos

x  A;

cómo se vinculan los elementos de cada par ordenado

y  B y = 2x

La relación se representa en ejes cartesianos, en diagrama de Venn y en tablas B 3 2

R  A x B (1, 3) (1, 2)

1

A x B (2, 3) (2, 2)

2 A Ejes cartesianos

R

A •1 •2

B •2 •3

Diagramas de Venn

B

2

3

1

x

-

2

-

-

A

Tabla de R


3) Si A = { x  N / 1  x  5 }

por extensión

A = {1, 2, 3, 4, 5 }

B = { 3, 4, 5 } Se define R  A x B mediante (x,y)  R  x + y  5. 1+3=45 1+4=5=5 1+5=65 2+3=5=5 2+4=65 2+5=75 3+3=65 3+4=75 3+5=85

        

(1, 3)  R (1, 4)  R (1, 5)  R (2, 3)  R (2, 4)  R (2, 4)  R (3, 3)  R (3, 4)  R (3, 5)  R

B

4+3=75 4+4=85 4+5=95 5+3=85 5+4=95 5 + 5 = 10  5

•1 •2

A x B

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

3

1

•4 •5 en Diagrama de Venn

R = { (1, 3), (1, 4), (2, 3) }

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)

4

B •3

(4, 3)  R (4, 4)  R • 3 •4 (4, 5)  R (5, 3)  R •5 (5, 4)  R (5, 5)  R

     

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)

5

R

A

2

3

4

5

En Gráfico cartesiano

A

R

R-1 se conforma con los pares ordenados de R, pero cambiando el orden de los elementos en cada par Si (x,y)  R entonces (y,x) R-1

R-1 = { (3, 1); (4, 1); (3, 2) } R-1 = { (y, x)  BxA  y + x  5 }


Composición de Relaciones A

Sean los conjuntos A; B y C

a

Y entre ellos se establecen relaciones R: A  B

y

S C

2

v w

S: B  C

Como una relación que va de A en C

(a, 2)  R

Puede suceder: Entonces:

B 1

b

Definimos la composición de R y S, que se escribe S  R

(a, w)  S  R

R

A a b

y (2, w)  S SR

R

1

B S

S  R = { (a, w) }

C

2

S  R = { (b, w); (b, v) }

v w


4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 }

C = {2 ;3 ;8 ;10}

y la relación R  A x B ; S  B x C, definidas por : A x B = { (1,1); (1,4); (1,6); (1,16); (2,1); (2,4); (2,6); (2,16); (3,1); (3,4); (3,6); (3,16); (4,1); (4,4); (4,6); (4,16); (5,1); (5,4); (5,6); (5,16) } de analizar cuales son los pares ordenados que verifican la condición y = x 2

(x,y)  R  y = x2 ; R  A x B A

1

3

1

1 2 4

5

R = { (1,1); (2,4); (4,16) } B

B

4  16

6

surge que

4 6 16

C 2 3

 10

8

B x C = { (1,2); (1,3); (1,8); (1,10); (4,2); (4,3); (4,8); (4,10); (6,2); (6,3); (6,8); (6,10); (16,2); (16,3); (16,8); (16,10) }

analizando los pares ordenados que verifican la condición z = y / 2

(y,z)  S  z = y/2 ; S  B x C

surge que

S = { (4,2); (6,3); (16,8) }


Si

El dominio de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto (A), que intervienen en la relación

R = { (x,y)  A x B / y = x2 } A

R

1

3

2 4

5

B

1

La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación

4 6  16

Dm R = { 1, 2, 4 } El dominio de la relación S es un conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto (A), que intervienen en la relación

S = { (y,z)  B x C / z = y/2 }

La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación Dm S = { 4, 6, 16 }

Im R = { 1, 4, 16 }

Im R = { 2, 3, 8 }

B

S 1 4 6  16

C 2 3 8

 10


S  R es la composición de dos relaciones Sean R: A  B

A

R

1

3

y

S: B  C

B

S  R = S[R]

B

1

S

1 4

2

4

5 4

6  16

2

6

3

 16

 8  10

S cerito R ó R compuesta con S

Que se lee

C

Se conforma con los elementos de A y de C

De manera que (x,z)  S  R  (x,y)  R  (y,z)  S (1, 1)  R pero 1  B no se relaciona con ningún elemento de C (2,4)  R y (4,2)  S entonces (2,2)  S  R S  R = { (2,2); (4,8)} 3  A no se relaciona con ningún elemento de B Dm S  R = { 2, 4 } (4,16)  R y (16,8)  S entonces (4,8)  S  R Im S  R = { 2, 8 } 5  A no se relaciona con ningún elemento de B

A

R

1

3

2

5 4

B

S

1 4 6  16

C

2  3  10 8


Propiedades de las Relaciones

Cuando decimos que una Relación R está definida en A2 , decimos que : Los pares ordenados (x, y) de la relación están conformados por elementos x  A y elementos y  A si consideramos los elementos de A relacionándose consigo mismo, (o no) puede suceder que : Cada elemento del conjunto A se relaciona consigo mismo

A

•a

•b

Es Reflexiva x : x  A  (x, x)  R para todo elemento x se verifica que si x pertenece al conjunto A entonces el par ordenado (x, x) pertenece a la Relación R 5-6 7-8-9 11

Si algún(os) elemento(s) de A se relaciona(n) consigo mismo.

A

•a

5

6

7

8

9

11

Si ningún elemento de A se relaciona consigo mismo

A •b

•a

Es No reflexiva  x / x  A  (x, x)  R existe(n) xtal que x pertenece al conjunto A y el par ordenado (x, x) no pertenece a la Relación R

•b

Es Arreflexiva x : x A  (x, x)  R

para todo elemento x se verifica que si x pertenece al conjunto A entonces el par ordenado (x, x) no pertenece a la Relación R


Es Simética

A

Si para cada par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, el par simétrico también pertenece a la relación x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R

•a

•b •c

A

Es No simétrica

Si algún(os) par(es) de elementos de A, (x,y) que se relacionan, tiene(n) par(es) simétrico(s) que también pertenece(n) a la relación, pero otro(s) no

•a •c

x y  A / (x, y)  R  (y, x)  R

A

Es Asimétrica

Si ningún par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, tiene par simétrico que también pertenece a la relación x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R

Es Antisimétrica

•a

A

•a Si en cada par de elementos de A, (x,y) que admite simétrico, sucede que x = y x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R  x = y 5-6

7-8-9

11

•b

•b •c •b •c

5

6

7

8

9

11


Si para todos los elementos x, y, z que verifican que (x,y)  R y (y,z)  R entonces el par ordenado (x, z)  R

A

Es transitiva

•b

•a

x,y,z A : (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R

•c

5

7

8

9

Si algunos de los elementos x, y, z verifican que (x,y)  R y (y,z)  R pero el par ordenado (x, z)  R (otros no)

A •d

6

•a

•b

Es No transitiva x y z  A / (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R

•c

Si todos los elementos x, y, z verifican que si (x,y)  R y (y,z)  R entonces el par ordenado (x, z)  R

Es Atransitiva x  y z  A : (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R 5-6

7-8-9

11

A •d

•a

•b •c

11


Clasificación de las Relaciones Si R es una relación es reflexiva, simétrica y transitiva Es Relación de Equivalencia Si R es una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva Es Relación de Orden amplio

5

6

7

8

9

11

Si R es una relación es arreflexiva, asimétrica y transitiva dicho de otra manera,

hay pares ordenados de elementos que no se relacionan entre sí de Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . . ninguna forma

Es Relación de Orden estricto

a, b / (a, b)  R  (b, a)  R

Es Relación de Orden parcial

en caso contrario . . .

Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . . a  b  (a, b)  R  (b, a)  R Es Relación de Orden total 5-6

7-8-9

11

dicho de otra manera, todos los elementos diferentes se relacionan entre sí al menos de una forma


5 a) si R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } A

en A = { -3, -2, -1, 0 }

Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn -3 -1

En el diagrama de Venn y en la definición por extensión se aprecia que hay elementos que se relacionan consigo mismo

0

Pero otros elementos como el –3 no se relacionan consigo mismo, vemos que el par ordenado (-3, -3)  R entonces x  A / (x, x)  R la relación es No Reflexiva -2

En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (-1, -3)  R pero (-3,-1)  R ; pero también hay pares ordenados que tienen simétrico, como: (-1,-1)  R y (0, 0)  R. Escribir x, y A / (x, y)  R  (y, x)  R la relación es No simétrica Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo Entonces se aplica que en cada par de elementos Es antisimétrica de R que admiten simétrico, x = y ( -1, -1 )  R  ( -1, -3 )  R  ( -1, -3 )  R ( -2, 0 )  R  ( 0, 0 )  R  ( -2, 0 )  R ( -1, -1 )  R  ( -1, -1 )  R  ( -1, -1 )  R ( 0, 0 )  R  ( 0, 0 )  R  ( 0, 0 )  R No es Relación de Equivalencia

Es transitiva

5 b

Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación


5 b) S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x  N0 / x  3 } Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn A 3

En el diagrama de Venn y en la definición por extensión se aprecia que todos los elementos del conjunto A se relacionan consigo mismo

0 1

Podemos escribir

2

x: x  A  (x, x)  R

la relación es Reflexiva

En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (3, 2)  R ; pero (2, 3)  R pero también hay pares ordenados que tienen simétrico, como: (1, 1)  R y (0, 0)  R.

Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación

x, y A / (x, y)  R  (y, x)  R la relación es No simétrica Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo Entonces se aplica que en cada par de elementos Es antisimétrica de R que admiten simétrico, x = y ( 3, 3 )  R  ( 3, 2 )  R  ( 3, 2 )  R

pero . . .

( 3, 2 )  R  ( 2, 1 )  R  ( 3, 1 )  R

Es No transitiva

No es Relación de Equivalencia


6) (a,b)  R1  el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que el libro b. Asumimos que A es un conjunto de libros que en precio y cantidad de hojas es tan amplio como sea posible Por ejemplo . . . R1 = { (1, 2); (1,4); (1,5); (3,1); (3,2); (3,4); (3,5); (5,4) }

Libro 1

$ 30

60 hojas

Libro 2

$ 15

120 hojas

Libro 3

$ 45

50 hojas

Libro 4

$ 7

80 hojas

Libro 5

$ 12

70 hojas

Esta relación no tiene pares reflexivos, porque ningún libro cuesta mas que lo que él mismo cuesta ni tiene menos hojas que las que tiene. Es Arreflexiva La relación no tiene pares simétricos, porque si el libro 1 cuesta mas y tiene menos hojas que el libro 2, no puede suceder que el libro 2 cueste mas y tenga menos hojas que el libro 1.Si (1,2)  R  (2, 1)  R. Es Asimétrica Por ejemplo . . .

(1, 5)  R  (5,4)  R  (1,4)  R

( a, b )  R  ( b, c )  R

 ( a, c )  R

Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación

y en general, si un libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b (a, b)  R

entonces necesariamente el libro a y el libro b cuesta mas y tiene menos cuesta mas y tiene menos hojas que hojas que el libro c (b, c)  R el libro c (a, c)  R Es transitiva Es Relación de Orden Estricto


7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, tal que : R = { (a, b) / a  b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros }. Los elementos que conforman los pares ordenados son sucesiones de ceros y unos, por ejemplo : 00; 01; 010; 000; 100; 1010; 00110010; 1110100; etc. . . R es un conjunto infinito . . . porque son infinitas las sucesiones de ceros y unos

Reflexiva Simétrica

Sabido es que cada cadena tendrá Transitiva así, afirmamos que : exactamente la cantidad de ceros Clasificación que ella misma tiene x: x  A  (x, x)  R la relación es Reflexiva si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena y (x, y)  R  (y, x)  R la relación es Simétrica la cadena y tendrá igual cantidad de ceros que la cadena x

si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena y y la cadena y tiene igual cantidad entonces la cadena x tiene igual de ceros que la cadena z cantidad de ceros que la cadena z

(x, y)  R  (y, z)  R

 (x, z)  R

la relación es Transitiva

Por tanto R es Relación de Equivalencia


8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos , tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. La relación R está conformada por pares ordenados de números enteros positivos (naturales) tal que la diferencia entre ellos sea un entero positivo impar En primer lugar corresponde descartar los pares ordenados que estén conformados por el mismo elemento , por ejemplo (2, 2); (3, 3); (4, 4) En cualquiera de esos casos x – x = 0 y 0 NO es entero positivo impar x: x  A  (x, x)  R

luego, la relación es Arreflexiva

Si tomo dos números enteros positivos, puedo efectuar x – y con resultado positivo, solamente si x > y, en ese caso, al efectuar b – a el resultado será negativo

Reflexiva Simétrica Transitiva Clasificación

x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R

luego, la relación es Asimétrica y – z entero Supongamos tres enteros positivos x, y, z; de manera que x > y > z positivo Si x es par e y es impar x – y será entro positivo impar, si z es par impar x – z será entero positivo par (x,y)  R  (y,z)  R pero (x,z)  R y – z entero Si x es impar e y es par

x – y será entro positivo impar, si z es impar

x – z entero (x,y)  R  (y,z)  R pero (x,z)  R positivo par luego, la relación es Atransitiva

positivo impar


9) El razonamiento falso dice que: si x R y  x R y  y R x  x R x

de otra manera

( x, y )  R  (y,x)  R  (x,x)  R Si una relación es simétrica y transitiva . . .

( x, y )  R

el par ordenado ( x, y ) pertenece a la relación R

es reflexiva

xRy  yRx porque la relación debe ser simétrica (por hipótesis)

xRx

y también transitiva por hipótesis

Supongamos una relación definida en A

A

Igualmente, ahora decimos que si

x

a y

( y, x )  R

 yRx  xRy

Reflexiva Simétrica Transitiva

 yRy

Hasta aquí, la reflexividad parece ser una consecuencia de la simetría y de la transitividad Pero si algún elemento del conjunto A no se relaciona con ningún otro, no se establecen la simetría ni la transitividad (por ejemplo el elemento a) Luego este elemento no tiene porqué relacionarse consigo mismo Observa que la relación definida en A es simétrica y transitiva, pero No Reflexiva


PARTICION DE UN CONJUNTO Dado un conjunto A cualquiera no vacío, es posible establecer una partición de A

A A1

1 4

Conformando con los elementos de A subconjuntos Ai ; Aj ; . . . . Así tenemos por ejemplo

A2 2 A3 5

A1 = { 1; 4 }

3

A2 = { 2; 3 }

Donde: 1) A1  ; 2) A1  A2 = 

P = {A1; A2; A3 } es partición de A

A3 = { 5 }

A2  ; A1  A3 = 

3) A1  A2  A3 = A

Todos los subconjuntos son distintos de l conjunto vacío (tienen algún elemento) Ai   La intersección entre todos los subconjuntos tomados de a dos, es vacía. Ai  Aj =  La unión de todos los subconjuntos es igual al conjunto particionado . .  . Aj  Aj  . . = A

A3   A2  A3 = 


10) a) A1 = {x  Z : 2  x} y A2 = { x  Z : 2  x } con

P = { A1; A2 }

A1 está conformado por todos los números enteros que son divisibles por 2

A1 = { enteros pares}

A2 está conformado por todos los números enteros que no son divisibles por 2

A2 = { enteros impares}

1) A1  

y

A2  

si un entero es par, no es impar; y viceversa

2) A1  A2 = 

3) A1  A2 = A

los enteros pares con los impares; conforman la totalidad de los elementos del conjunto de números enteros

P = { A1; A2 } es partición de Z (números enteros ) b)

Son subconjuntos de Q N (naturales) Z- (enteros negativos)

Evaluar si Q = { N; Z- } es partición de Z

1) N   y 2) N  Z- =  Z-   porque en N están todos los enteros positivos (Z +) y en (Z-) los enteros negativos

3) N  Z-  Z pero . . . 0  N

Q = { N; Z- } NO es partición de Z (no verifica la tercera condición)

y

0  Z-


11) Dado el conjunto de conjuntos A = {1, 2, 3, 4}

M = {A, B, C, }, donde B = {1, 3} C = {3}

escribimos por extensión la relación “” definida en M todo conjunto está incluido en sí mismo el conjunto vacío está en todos los conjuntos

A B

2 1 3

C

R = { (A,A); (B,B); (C,C); (,); (,C); (,B); (,A);(C,B); (C,A); (B,A) } La Relación en diagrama de Venn será :

4

M C

cada elemento se relaciona consigo mismo

Es Reflexiva

si A  B y

B  A; A  B

BA

B

No Simétrica

Antisimétrica Pero al ser reflexiva, cada par reflexivo, tiene simétrico, entonces . . . Si C  B ; y

A

CA

Transitiva Es una Relación de Orden Amplio

en la relación de inclusión siempre está presente la transitividad . . .


FUNCIONES Dados dos conjuntos

A = { 1, 2, 3 }

definimos en el producto cartesiano A x B una Relación

R : (a, b)  b = a + 1

Una relación R  A x B Si verifica dos condiciones:

B = { 2, 3,4 }

es función . . . Existencia

y

13a

Unicidad

Existencia verifica si para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B Simbólicamente a  A : b  B / (a, b)  f para todo elemento a que pertenece al conjunto A se verifica que existe un elemento b que pertenece al conjunto B tal que el par ordenado (a, b) pertenece a f

Unicidad, si cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B

A

13b

14 i

14 ii

14 iii

14 iv

14 v

14 vi

B 1

2

2 3

3 4

Simbólicamente (a, b)  f  (a, c)  f  b = c Si el par ordenado (a, b) pertenece a f y el par ordenado (a, c) pertenece a f entonces b es igual a c 13

14

13c

Es función si cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo un elemento del conjunto B


A

En situaciones como

B 1

también se verifica que

2

2

para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B (existencia)

4

3

cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B (unicidad)

Es función

Situaciones como . . . no verifica la condición de existencia el elemento 2  A pero no tiene un correspondiente en B no verifica la condición de unicidad

En el caso . . .

el elemento 1  A se relaciona con dos elementos diferentes de la imagen (B )

NO es función 13

14

A 1

13a

B 2

2 4

3 A

NO es función

B

1

1 2 3

3 4

2

13b

13c

14 i

14 ii

14 iii

14 iv

14 v

14 vi


Clasificación de funciones Una función es inyectiva si dos elementos cualesquiera diferentes del dominio tienen imágenes diferentes x1 x2  A : x1  x2  f(x1)  f(x2)

En este caso tenemos función inyectiva

Porque cada elemento del conjunto A tiene imagen diferente en el conjunto B

Una función es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto B (codominio) son Imagen de la función, es decir que todos los elementos del conjunto B admiten al menos un antecedente en el dominio

1

13a

A

B 2

13c

14 i

14 ii

14 iii

14 iv

14 v

14 vi

3

2 3

13b

4

y  B, x  A / y = f(x)

En este caso tenemos función sobreyectiva

Porque todos los elementos del conjunto B tienen un antecedente con el que se relacionan en el conjunto A

Si una función es inyectiva y sobreyectiva . . . es BIYECTIVA 13

14


A

Puede suceder que . . .

1

se verifica que 1  2 pero f(1) = f(2) = 2

2 3

2

función NO inyectiva asimismo el elemento 3 del conjunto B no admite antecedente en el conjunto A Si . . .

B

3

4

función NO sobreyectiva

13a

se verifica que 1  2 pero f(1) = f(2) = 2

función NO inyectiva

2

2

3

3 13

función sobreyectiva B

1

4 14

B 1

pero todos los elementos del conjunto B admiten antecedente en A A

A

1

2

13b

13c

14 i

14 ii

14 iii

14 iv

14 v

14 vi

2 3

4

cada elemento del conjunto A tiene imagen diferente en el conjunto B pero no todos los función inyectiva elementos del conjunto B admiten antecedente en A

función NO sobreyectiva


Representación Gráfica de Funciones Para representar cualquier función se debe conocer . . . Cuál es el dominio donde está definida la función . . . Dm

Im

Y = f(x)

y

x

y cuál es la imagen que se corresponde con el dominio de la función y se estudia la ley de variación de la función definida por y = f(x) . . . esto se hace asignándo valores xi en la expresión y = f(x); encontrando el resultado yi que le corresponde a f(xi)

el dominio de la función son los valores que puede tomar xi en f(x)

14

13b

13c

14 i

14 ii

14 iii

14 iv

14 v

14 vi

La imagen de la función son los valores que se corresponden con cada valor del dominio de la función

recuerde siempre que: si un valor del conjunto “de salida A” no tiene imagen, la expresión no es función (Existencia) 13

13a

Si dos elementos diferentes del codominio (conjunto B) son imagen del mismo elemento de A, la expresión no es función (Unicidad)


N y R

Podemos representar gráficamente una función en un par de ejes coordenados

5

Sea f : N  N / f(x) = x + 1

4

Sea la función f que va de Naturales en Naturales tal que “f de x” es igual a

3 2 1

y confeccionamos una tabla, asignándole valores a x para hallar valores de y x si R N

x+1

13a

x

x + 1

y

13b

13c

1

1+1

2

14 i

14 ii

en el eje de abscisas (x) En el eje de ordenadas (y) si 2 2+1 3 el dominio N la imagen N si 3 3+1 4 Si la misma ley de variación (y = x + 1) si 4 4+1 5 estuviera definida de R  R La función ahora es el dominio ahora será Reales f : R  R / f(x) = x + 1 y la imagen también Reales

14 iii

14 iv

14 v

14 vi

1

2

3

4

Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x (reales), la función está definida para todo x debemos unir todos los puntos obtenidos 13

14


13 a) Para representar f: R  R / f(x) = - 5 x Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y Trazamos un par de ejes coordenados

Funciones

y confeccionamos una tabla de valores

x

- 5 x

Y

1

-5 · 1

-5

-1

-5 · (-1)

5

0

-5 · 0

0

2

-5 · 2

-10

-2

-5 · (-2)

Clasificación Rep. Gráfica

10

Y finalmente porque es una relación que va de Reales en Reales, trazamos con línea llena una recta que une los puntos identificados 13 b

13 c


13 b) Para representar g: Zpares  Z / g(x) = 1 x 2 reconocemos el dominio y la imagen de la relación Entonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente aquellos donde x e y sean números enteros Funciones

Trazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores

x

Y la relación queda representada por puntos porque va de Enteros pares en Enteros.

-2

(no corresponde el trazado de linea llena)

6

2 4 -4 -6 0

1 x 2

Y

½·2

1

½ · (-2) ½·4 ½ · (-4) ½·6

-1 2 -2 3

½ · (-6) - 3 ½·0 0

13 c

Clasificación Rep. Gráfica


13 c) Para representar h(x) = 2x + 3 Primero reconocemos cual es el dominio y cual es la imagen de la relación Significa que serán pares ordenados de la relación aquellos en los que x  N y resulta de aplicar x en h(x), que también h(x)  N

definida de N en N En este caso tanto el dominio como la imagen son el conjunto de los números naturales (N) Funciones Clasificación

x

2x + 3

Y

Rep. Gráfica

1

2·1+3

5

2

2·2+3

7

Trazamos un par de ejes coordenados

3

2·3+3

9

4

2·4+3

11

5

2·5+3

13

Y la función queda representada por puntos porque va de Naturales en Naturales

Y confeccionamos una tabla de valores para g(x)


14 i) Para analizar el dominio de la expresión y = –3x + 4 consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real entonces

Dm = { x / x  R }

Dm = [ - ;  ]

de la misma manera, los valores que tome y para los diferentes valores de x, van a estar contenidos en la recta de los reales entonces

Im = { x / x  R }

Im = [ - ;  ]

Trazamos un par de ejes coordenados

- 3 x + 4

Y

1

-3·1+4

1

-1

- 3 · (-1) + 4

7

2

-3·2+4

-2

Rep. Gráfica

Inyectiva

Todos los elementos de la imagen (eje y) admiten un antecedente en el dominio (eje x)

es una función Sobreyectiva que va de Reales en Reales

Por ser una función inyectiva y sobreyectiva

Es función biyectiva 14 ii

Clasificación

Cada valor del dominio (x) tiene un valor diferente en la imagen (y)

y confeccionamos una tabla de valores

x

Funciones

14 iii

14 iv

14 v

14 vi


14 ii)

Para analizar el dominio de la expresión y = – x 2 + 4x - 3

consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real entonces

Dm = { x / x  R }

Dm = [ - ;  ]

Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la parábola Funciones

Trazamos un par de ejes coordenados y para confeccionar la tabla de valores buscamos los valores de x que hacen 0 la función (raíces)

Clasificación

 4  42  4( 1)( 3)  2( 1)

x1  1  4  16  12  2 x2  3

Rep. Gráfica

x

- x2 + 4x - 3

Y

1

- 12 + 4 · 1 - 3

0

3

- 32 + 4 · 3 - 3

0

2

- 22 + 4 · 2 - 3

1

0

- 02 + 4 · 0 - 3

-3

4

- 42 + 4 · 4 - 3

-3

con estos valores empezamos -1 -(-1)2 + 4·(-1) - 3 - 8 la representación gráfica 5 - 52 + 4 · 5 - 3 - 8 El vértice de la parábola estará en un punto equidistante Tomamos valores a la izquierda y finalmente trazamos la curva uniendo y a la derecha de los ya todos los puntos ( R  R ) hallados 14 iii

14 iv

14 v

14 vi


La Relación definida por y = – x2 + 4 x – 3 que tiene una gráfica tiene el dominio en Reales Dm = { x / x  R } De observar el gráfico, vemos que la relación no tiene valores de y mayores que 1 Im = { x / x  R  x  1 } en el gráfico y en la tabla se nota que hay valores diferentes del dominio (x) que tienen la misma imagen (y); por ejemplo f(0) = - 02 + 4 · 0 – 3 = - 3

No Inyectiva

f(4) = - 42 + 4 · 4 – 3 = - 3 Igualmente es posible ver que, de los elementos del conjunto de llegada (Reales - eje Y), solamente los menores o iguales que 1 pertenecen a la imagen de la función

No Sobreyectiva

Funciones Clasificación Rep. Gráfica

con solo un par de valores del dominio que admita la misma imagen, es suficiente para que la función sea No Inyectiva


14 iii)

Antes de analizar la expresión y = log2 (2x - 3)

Recordamos que a la función logarítmica la podemos definir mediante :

loga b  c

 ac  b

ejemplo : log2 8  3

Las calculadoras en general, con la tecla

Log x

entregan valores

de logaritmo decimal; es decir de logaritmos en base 10 NO porque si el logaritmo es decimal, NO se coloca la base y con la tecla

Ln x

23  8

¿ en la tecla de la calculadora falta la base ?

entregan valores de logaritmo natural; ( logaritmos en base e )

Si deseamos conocer un logaritmo con base distinta de 10 ó e plantear la siguiente expresión : Ejemplo : calcula log2 8 =

log2 8 

loga x 

log x log a

log 8 0,903089987   log 2 0,3010299957 14 iv

3

14 v

debe . . .

con la calculadora (que resuelve solo logaritmos decimales), podemos resolver un logaritmo que no es decimal

14 vi


14 iii) Ahora representamos gráficamente log2 (2x - 3) Vamos a confeccionar una tabla de valores x 2 2,5

[log(2x-3)]/log2 0/0,301030

Y 0

0,301030/0,301030

1

3,5 0,602060/0,301030

2

5,5 0.903090/0,301030

3

9,5 1,204120/0,301030 4 1,75 –0,301030/0,301030 -1 1,65 –0,522879/0,301030 -2,26 1,55

-1/0,301030

-3,32

recuerda que :

log( 2x  3)  log2( 2x  3)  log 2 Funciones Clasificación Rep. Gráfica

siempre que 2x – 3 > 0 habrá algún valor para f(x)

si x = 1,5 trazamos entonces en x = 1,5 la 2x – 3 = 0 asíntota de la función 2x – 3 toma valores negativos porque no existe ningún valor al Sabemos que el y la función no está definida se cual pueda elevar 2 y obtener log 0  como resultado un negativo en esos valores ( x < 1.5 ) trazamos la curva con los puntos conocidos (sin tocar la asíntota)

investigamos qué pasa a la izquierda de la asíntota, por ejemplo para x = 0


la relación definida por y= log2 ( 2x – 3 ) se representa en el gráfico x toma solamente valores mayores que 1,5

entonces:

Dm = { x / x  R  x  1,5 } En cambio, en el gráfico se ve que todos los valores del eje y tienen antecedente en x Im = { x / x  R } Cada valor del dominio (eje x) tiene un valor diferente en la imagen (eje y)

Funciones Clasificación Rep. Gráfica

Función Inyectiva Todos los elementos del codominio (eje y) son imagen de la función -admiten un antecedente en el dominio (eje x)-

Función Sobreyectiva Por ser una función inyectiva y sobreyectiva

Es función biyectiva

Recuerda que siempre es conveniente empezar a representar una función logarítmica localizando la asíntota


14 iv)

 x 1  Si f(x) =  3 x3  1 

si

x0

si x0 si  2  x  0

En primer lugar reconocemos que x no puede tomar valores menores que -2

En consecuencia Dm = {x/x  R  x  –2 }

Dn = [-2 ;  )

Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con “tres relaciones diferentes”

Funciones Clasificación

Se trata de una sola relación (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO si x > 0 la ley de variación es x - 1 si x = 0 la función vale 3 si x  0 la función vale x3 + 1

Rep. Gráfica

La representación gráfica se realiza como para cualquier otra relación

Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio 14 v

14 vi


Para x > 0

x

f(x) = x - 1

y = x - 1

Y

1

1-1

0

3

3–1

2

Si x se acerca mucho a 0, pero sin ser igual a 0, toma por ejemplo valores como 0,1; 0,01; 0,001, etc si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a - 1 debemos entender que si x se acerca a 0 con valores mayores que 0, y se acerca a –1, pero sin ser y = -1

Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (-1) para valores muy próximos de x = 0 (por derecha ); pero sin ser y = – 1 en x = 0 Unimos con una recta todos los valores hallados por tratarsae de una ley de variación lineal y comprobamos que hay “al menos” tres puntos alineados En x = 0 la función vale 3

Funciones Clasificación Rep. Gráfica


Para x < 0

x

f(x) = x + 1 3

y = x3 + 1

Y

Si x se acerca mucho a 0, pero sin ser igual a 0, toma por ejemplo valores como -0,1; -0,01; -0,001, etc

si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1 (con esta ley de variación) -1 (-1)3 + 1 0 debemos entender que si x se acerca a -2 (-2)3 + 1 -7 0 con valores menores que 0, y se acerca a 1, pero sin ser y = 1 Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (1) para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser y = 1 en x = 0 Unimos los tres puntos hallados con uina curva de parábola cúbica solo para valores comprendidos en el intervalo [-2; 0) y tenemos así la representación gráfica de la función

 x 1  f : Dm  Im / f(x) =  3 x3  1 

si

x0

si x0 si  2  x  0

Funciones Clasificación Rep. Gráfica


El dominio de la función ya fue encontrado [ -2;  ) Y podemos observar en el gráfico que llos valores del eje y que admiten antecedente en los valores del dominio del eje x, van de –7a

Im = { x / x  R  x  -7 }

Im = [-7; )

Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo para x= 1 ó x = - 1; y = 0

La función es No inyectiva Como la función está definida de Dm  R y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im  R

La función es No sobreyectiva

Funciones Clasificación Rep. Gráfica


2x   14 v) Si f(x) =  1   ln x

si

x 0

En primer lugar reconocemos que x puede tomar valores que van de -  a + 

si 0  x  1 si

x 1

En consecuencia Dm = {x/x  R }

Dn = (-  ; +  )

Con frecuencia los alumnos confunden esta relación (definida por partes) con “tres relaciones diferentes”

Funciones Clasificación

Se trata de una sola función (tiene y hemos hallado un solo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO si x < 0 la ley de variación es 2x si 0  x  1 la función vale 1 si x > 0 la ley de variación es lnx

Rep. Gráfica

La representación gráfica se realiza como para cualquier otra función

Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio 14 vi


Para x > 0

f(x) = ln x

x

ln x

y

4

ln 4

1,39

8

ln 8

2,08

Si x fuera igual a 1 entonces y sería igual a 0 debemos entender que si x se acerca a 1 con valores mayores que 1, y se acerca a 0, pero sin ser y = 0

Funciones Clasificación Rep. Gráfica

representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 0 para valores muy próximos de x = 1 (por derecha ); pero sin ser y = 0 en x = 1 Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación logarítmica luego, estudiamos qué sucede con los valores de x comprendidos entre 0 y 1; – intervalo [0; 1] -

si x = 0

y=1

si x = 1

y=1

para cualquier valor del intervalo [0; 1] la función vale 1


Para los valores de x < 0 estudiaremos la ley de variación

y = 2x

Confeccionamos tabla de valores

x

2x

y

-1

2-1

1/2

-2

2

1/4

-2

Si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1

Funciones Clasificación

debemos entender que si x se acerca a 0 con valores menores que 0 ; y se acerca a 1, pero sin ser y = 1

Rep. Gráfica

representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a y = 1 para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser necesariamente y = 1 en x = 0 Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación exponencial (2 x) Luego prolongamos la curva hasta el punto y =1, porque de un estudio anterior resulta que en x = 0 la función efectivamente vale 1 y borramos el círculo rojo de y = 1 porque al tomar valor la función en ese punto, ya no tiene sentido mantenerlo


Cualquier valor del eje x tiene un correspondiente en el eje y

Dm = { x / x  R }

Dm = (-; )

Pero se ve también que, solamente los valores de y > 0 admiten algún antecedente en el eje x

Im = { y / y  R  y > 0 }

Im = (0; )

Existen valores diferentes del dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo para x = 0 ó x = 1; y = 1

La función es No inyectiva Como la función está definida de Dm  R y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im  R

La función es No sobreyectiva

Funciones Clasificación Rep. Gráfica


Trazamos un par de ejes coordenados en ese caso tendríamos 2 / 0; así podemos decir que para x = - 3 no En primer lugar reconocemos que existe un valor finito de la función x no puede tomar el valor - 3 trazamos una asíntota en x = -3 Luego confeccionamos tabla de valores, y estudiamos qué sucede a la para x próximos a –3 por derecha izquierda de x= –3 Funciones 2 14 vi) Si f(x) = x 3

x

2 x 3

y

x

2 x 3

-2

2/(-2+3)

2

-4

2/(-4+3)

-1 0

2/(-1+3) 1 2/(0+3) 2/3

-5 -6

2/(-5+3) - 1 2/(-6+3) -2/3

1

2/(1+3)

1/2

-7

2/(-7+3)

2

2/(2+3)

2/5

-8

2/(-8+3) - 2/5

-2,5 2/(-2,5+3) 4 -2,6 2/(-2,6+3) 5

y

Clasificación

Rep. Gráfica

-2

-1/2

-3,5 2/(-3,5+3) - 4 -3,6 2/(-3,6+3) - 5

x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea de la función no puede cortar la línea de trazos punteada Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3 por un lado y los puntos de la derecha de x = -3 por otro lado


Cualquier valor del eje x  -3 tiene un correspondiente en el eje y

Dm = { x / x  R  x  - 3 }

Dm = (-; -3)  (-3; )

los valores del eje y que se relacionan con algún valor de x; son todos, menos el 0

Im = { y / y  R  y  0 }

Im = (-; 0)  (0; )

No Existen valores diferentes del dominio que tengan la misma imagen todos los valores del dominio tienen imágenes diferentes

La función es inyectiva Como la función está definida de Dm  R y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im = R – {0}

La función es No sobreyectiva

Funciones Clasificación Rep. Gráfica


14 d) De todas la funciones analizadas solo son biyectivas f : R  R / f(x) = –3x + 4

y

f : R > 1,5  R / f(x) = log2 (2x – 3)

y precisamente, por ser biyectivas admiten función inversa para hallar la inversa de la función, transformamos el dominio en imagen y viceversa

f : R  R / f(x) = –3x + 4

f en la ley de variación hacemos pasajes de términos, para despejar x y = –3x + 4 3x = 4 - y

y - 4 = –3x luego despejo x

y 

4x 3

-1

4x : R  R / f (x)  3 1

Funciones Clasificación Rep. Gráfica

multiplico todo por (-1) y permuto los miembros (para ordenar)

x 

4y 3

y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)

La ley de variación así obtenida, es la ley de variación de la función inversa


Representamos gráficamente

4x 3 en el mismo gráfico que hemos representado

f 1 : R  R / f 1 ( x ) 

f : R  R / f ( x )  3x  4 confeccionamos una tabla de valores

x 4 -2 -8

Funciones

4x 3 44 3 4  ( 2 ) 3 4  ( 8 ) 3

Clasificación

Rep. Gráfica

f-1(x) 0 2 4

trazamos la recta, que también va de R  R tenga siempre presente que los puntos de una función cualquiera que admite inversa; y su inversa son equidistantes respecto de la bisectriz (recta a 45º) del primer cuadrante


para hallar la inversa de la función, recordemos que ya hemos hallado

f : Dm  R / f(x) = log2(2x-3)

Dm = { x / x  R  x > 1,5 }

transformamos el dominio en imagen y viceversa

f:R

luego despejamos la incógnita x de la ley de variación de f= log2(2x-3)

> 1,5

entonces

 R / f(x) = log2(2x-3)

f-1 : R  R

> 1,5

/ f

2x  3  2y

2y = 2x - 3 luego despejo x

2x  3 (x)  2

ac = b

permuto los miembros (para ordenar) 2x  2y  3

2y  3 x  2

y efectúo ahora un cambio de variables (x por y) 2x  3 y  2

Clasificación Rep. Gráfica

recuerde que: logab = c

y = log2(2x – 3)

1

Funciones

La ley de variación así obtenida, es la ley de variación de la función inversa


Representamos gráficamente en el mismo gráfico que hemos representado

X

2

x

0

3 2

2

1

2 3 2

2,5

2

2 3 2

3,5

4

2 3 2

9,5

-1 -4 -10

4

2 2

1

3 2

4

3

2

2

10

2

3

(x) 

2

x

3 2

f : R  1.5  R / f ( x )  log2( 2x  3)

f-1(x) borramos la asíntota de f(x) para limpiar el dibujo

0

2

: R  R  1,5 / f

1

confeccionamos una tabla de valores

2 3 2 1

f

1

1,75 1,53 1,5001

unimos los puntos con trazo continuo porque f-1 va de R  R también aquí f-1 es equidistante de f respecto de la bisectriz del primer cuadrante recuerde que f tiene asíntota en x = 1,5

y finalmente podemos trazar la asíntota de f-1 que es y = 1,5 porque aunque tomemos valores muy pequeños de x, f-1 será siempre  1,5

Rep. Gráfica Funciones

Clasificación

03 relaciones orlando  
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