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Prácticas

Para resolver problemas

Recursos para el docente Recursos para el docente de MATEMÁTICA III – NAP 9.º; ES 3.º; CABA 2.º – Santillana Prácticas es una obra colectiva creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Herminia Mérega y Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo: Andrea Berman • Alicia E. López • Patricia V. Parodi • Ana Verónica Veltri Edición: Pablo J. Kaczor Jefa de edición: María Laura Latorre Gerente de gestión editorial: Mónica Pavicich

Índice Recursos para la planificación.............................. 2 Soluciones de las actividades del libro.................. 7

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Determinación de los elementos de una situación expresada de manera coloquial que pueden expresarse algebraicamente. Lectura, identificación e interpretación de una fórmula y de la información relevante para la situación que describe. Reconocimiento, análisis y transformación de expresiones algebraicas en otras equivalentes. Reconocimiento y análisis de regularidades en problemas numéricos y geométricos. Uso de recursos que permitan su generalización. Planteo de situaciones que posibiliten distintas formas de expresión. Uso de la parte literal de un término como forma simplificada de describir un conjunto de soluciones de un problema. Utilización y aplicación de la propiedad distributiva y del factor común como operaciones inversas. Relación entre el cuadrado de un binomio y la diferencia de cuadrados con el cálculo de áreas de figuras. Estudio y aplicación del Teorema de Pitágoras y de las ternas pitagóricas como estrategia válida en la resolución de problemas. Utilización de ecuaciones en la resolución de problemas o de cualquier situación que pueda ser modelizada algebraicamente.

Expresiones algebraicas. Elementos que se utilizan en el lenguaje algebraico. Correspondencia entre el lenguaje algebraico y el lenguaje coloquial. Expresiones algebraicas como generalizaciones de propiedades. Operaciones con expresiones algebraicas. Propiedad distributiva. Factor común. Cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados. Ternas pitagóricas. Expresiones algebraicas para hallar esas ternas. Sucesiones sencillas. Análisis de los términos y expresión del término general. Ecuaciones sencillas. Resolución de ecuaciones.

Formular y validar conjeturas relacionadas con las propiedades de las operaciones utilizadas con números racionales utilizando expresiones algebraicas. Representar, mediante tablas, esquemas o fórmulas, regularidades y relaciones observadas entre valores. Escribir fórmulas que representen el término general de sucesiones sencillas. Producir y comparar diferentes expresiones algebraicas que expresen las mismas relaciones. Interpretar información presentada por medio de fórmulas, figuras de análisis, lenguaje coloquial y expresiones algebraicas, con posibilidad de pasar de una forma de expresión a otra. Resolver ecuaciones que comprendan una restricción impuesta sobre cierto dominio, y estén asociadas a un conjunto solución. Reconocer la letra como símbolo variable en una expresión algebraica y como incógnita en una ecuación. Utilizar ecuaciones como un recurso simplificador y ordenador en la resolución de un problema.

Interpretar, registrar, comunicar y comparar números racionales en diferentes contextos. Comprender la aplicación de la potenciación y la radicación como operaciones inversas por medio de la utilización de sus propiedades. Comprender las limitaciones de la radicación interpretando su definición. Realizar operaciones combinadas reconociendo el orden de aplicación de cada operación. Utilizar la calculadora científica como una herramienta útil que permita explorar y anticipar resultados. Estimar, interpretar y comunicar los resultados de los cálculos. Comprobar su razonabilidad, valorar la precisión en su expresión y justificar los procedimientos empleados para obtenerlos.

Reconocimiento, comprensión y uso de los números racionales expresados como fracciones o como decimales en función de la situación planteada. Formulación y validación de conjeturas que involucren las propiedades de las operaciones. Identificación de operaciones inversas y su aplicación en la resolución de problemas. Investigación sobre la validez de las propiedades de los números al ampliarse el campo numérico. Expresión de números muy grandes o muy pequeños en notación científica para facilitar las operaciones y la comprensión de la magnitud de los resultados. Uso de la calculadora científica para obtener potencias y raíces, y trabajar en notación científica.

Números racionales expresados como fracción. Suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación con fracciones. Propiedades. Expresiones decimales: periódicas y exactas. Conversión a fracción. Expresiones equivalentes. Expresiones decimales finitas e infinitas. Operaciones con expresiones decimales. Radicación en racionales. Concepto y propiedades de la radicación en el conjunto de los números racionales. Potencia de exponente entero. Propiedades. Notación científica. Uso de la calculadora científica.

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Lenguaje algebraico

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Números racionales

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CONTENIDOS

Recursos para la planificación

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Gráficos y funciones

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Números reales

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Creación de números irracionales a partir de reglas de formación. Incentivación en la búsqueda de números con determinadas características. Comparación de diferentes aproximaciones de un mismo número, determinando cuál es la más adecuada según el contexto. Utilización de radicales para la comparación de diferentes expresiones que representan un mismo número. Uso de las propiedades de la radicación y de la potenciación para fundamentar la equivalencia. Ubicación de números irracionales en la recta numérica a partir de la construcción de triángulos y la aplicación del teorema de Pitágoras. Comprensión, análisis y uso de propiedades para la resolución de inecuaciones. Uso de inecuaciones en la resolución de problemas. Representación de intervalos en la recta numérica como soluciones de inecuaciones. Presentación y análisis de números irracionales destacados, su trascendencia histórica y su relación con otras áreas del conocimiento. Interpretación y diseño de gráficos que representen situaciones contextualizadas. Análisis de situaciones funcionales y no funcionales a partir de diversas representaciones gráficas. Establecimiento de las condiciones necesarias para que una relación sea función. Construcción de tablas y representaciones gráficas de relaciones funcionales. Determinación de intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos, mínimos, raíces y ordenada al origen de una función, a partir de la lectura de su gráfico cartesiano. Análisis a partir de su dominio (discreto o continuo) e imagen. Extracción e interpretación de información acerca de una situación problema a partir del gráfico que la representa. Reconocimiento de una situación de comportamiento cíclico y búsqueda del correspondiente período en su representación gráfica.

Reconocimiento de números irracionales. Creación de números irracionales usando reglas para su formación. Potenciación con exponente racional. Expresión de potencias como raíces. Representación de números irracionales en la recta numérica. Aproximaciones de números racionales e irracionales. Cálculos exactos y aproximados. Errores absoluto y relativo al aproximar. El conjunto de los números reales. Relación y análisis comparativo de los conjuntos numéricos. Propiedades. Conjuntos densos y discretos. Operaciones con radicales. Expresiones equivalentes de un número. Inecuaciones. Representación de las soluciones en la recta numérica. Intervalos. El número e y el número de oro. Uso de la calculadora científica.

Representaciones gráficas. Relación entre variables. Función. Definición. Análisis, interpretación y reconocimiento de una función mediante diferentes gráficos. Funciones definidas por fórmulas. Construcción de gráficos a partir de tablas de valores. Ordenada al origen y ceros o raíces de una función. Funciones de la forma y = m x + b. Representación gráfica por medio de búsqueda de puntos. Funciones de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa. Fórmulas y gráficos. Noción de continuidad. Cálculo y estimación de imágenes. Dominio e Imagen de una función. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. Valores máximo y mínimo que toma una función en un intervalo. Gráficos de funciones cíclicas. Períodos.

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Interpretar gráficos que expresen diferentes tipos de situaciones y contextos. Utilizar el lenguaje gráfico para expresar relaciones funcionales y no funcionales. Reconocer funciones como modelos matemáticos que posibilitan interpretar diferentes situaciones. Analizar alcances y restricciones del modelo en relación con la situación. Proponer situaciones en las que se relacionen las características de la gráfica de una función con su fórmula, y viceversa. Calcular y estimar imágenes usando gráficos y fórmulas. Reconocer la validez de la fórmula como recurso para anticipar resultados. Reconocer funciones de la forma y = m x + b, de proporcionalidades directa e inversa desde sus gráficos, fórmulas o tablas de valores. Reconocer funciones cíclicas y hallar sus períodos a partir de sus gráficos.

Identificar números racionales e irracionales. Reconocer los distintos conjuntos numéricos y sus elementos. Leer, escribir, comparar y ordenar números reales. Establecer equivalencias entre distintas formas de escritura de un mismo número. Fundamentar las equivalencias usando propiedades de las operaciones involucradas. Interpretar los significados y los usos de las operaciones con números reales, aplicándolos a la resolución de situaciones problemáticas. Decidir qué tipo de cálculo es más adecuado a una determinada situación y fundamentar esa decisión. Aproximar por redondeo o por truncamiento números reales. Reconocer la diferencia entre valores exactos y aproximados. Determinar errores absolutos y relativos al aproximar números. Reconocer, encontrar y usar aproximaciones del número e y del número de oro.


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Plantear, interpretar y utilizar gráficos lineales. Estimar, anticipar y generalizar soluciones de problemas relacionados con nociones de la función lineal. Reconocer y operar con gráficos lineales y sus ecuaciones correspondientes. Obtener soluciones numéricas y sus representaciones gráficas. Promover e interpretar fórmulas que modelicen situaciones contextualizadas. Realizar un tratamiento de los sistemas de ecuaciones que implique utilizar la noción de sistemas equivalentes. Resolver problemas en los cuales el planteo y la resolución mediante un sistema de ecuaciones lineales faciliten la obtención de la solución. Identificar y resolver los diferentes sistemas en relación con la cantidad de soluciones que posean: una, ninguna o infinitas. Emplear programas informáticos como herramientas para visualizar y obtener soluciones acerca de rectas y sistemas lineales.

Identificar, en el plano, posiciones relativas de circunferencias con rectas y otras circunferencias. Realizar construcciones aplicando las propiedades geométricas de las figuras a dibujar. Explorar y validar las propiedades de alturas, medianas y mediatrices de un triángulo. Identificar, relacionar y distinguir puntos notables de un triángulo. Construir, interpretar y relacionar figuras inscriptas y circunscriptas a una circunferencia. Reconocer ángulos centrales, inscriptos y semiinscriptos en una circunferencia, y utilizar la relación numérica que los vincula para obtener datos angulares acerca de las figuras que los contienen. Utilizar las propiedades estudiadas en la resolución de problemas, fundamentando correctamente cada suposición o etapa en la búsqueda de los resultados.

Análisis de problemas con variables relacionadas linealmente. Resolución de situaciones con información presentada en forma coloquial, o mediante tablas, fórmulas y gráficos. Conversiones entre esas formas de expresión. Construcción de gráficos a partir de tablas de valores, y viceversa. Detección de regularidades como recurso que permite generalizar algebraicamente lo observado en cada caso, usando fórmulas de relaciones lineales. Formulación de la ecuación general de la recta. Análisis e interpretación de los parámetros que intervienen en esa ecuación. Análisis de paralelismo y perpendicularidad de rectas mediante gráficos y fórmulas. Determinación de la intersección de rectas a partir del análisis gráfico y analítico. Resolución de problemas que involucren el planteo de ecuaciones lineales, permitiendo su resolución por distintos métodos. Análisis de la conveniencia del uso de cada método. Planteo y análisis de sistemas con una, ninguna o infinitas soluciones. Relación de estas situaciones con su representación gráfica. Reconocimiento de diferentes posiciones relativas entre circunferencias y rectas. Formulación y análisis de sus propiedades, y utilización de ellas en la construcción de figuras. Uso del programa informático GeoGebra para realizar construcciones y analizar propiedades en ellas. Trazado de bisectrices y mediatrices con regla no graduada y compás. Su utilización como recurso para resolver problemas geométricos. Exploración de las propiedades de las alturas, las medianas y las mediatrices de los triángulos. Su relación con las construcciones de circunferencias inscriptas y circunscriptas. Exploración y formulación de conjeturas basadas en la relación entre los ángulos inscripto y semiinscripto en un arco de circunferencia, y el ángulo central correspondiente.

Ecuación de la recta. Análisis de sus parámetros: pendiente y ordenada al origen. Intersección con el eje de las abscisas: cero o raíz. Rectas verticales. Rectas paralelas, secantes y perpendiculares. Relación entre sus pendientes. Representaciones gráficas. Ecuación lineal con dos incógnitas. Gráfico. Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Métodos de resolución de sistemas. Método gráfico: intersección de rectas. Métodos analíticos: sustitución, igualación, reducción por sumas o restas, determinantes. Clasificación de un sistema de ecuaciones y análisis de las rectas que lo componen en función de la cantidad de soluciones.

Elementos de la circunferencia: centro, radio, diámetro, cuerda. Circunferencias y rectas. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia: rectas exteriores, secantes y tangentes. Posiciones relativas de dos circunferencias: exteriores, interiores, secantes, tangentes exteriores e interiores. Triángulos: alturas, medianas, mediatrices y bisectrices. Puntos notables de un triángulo: ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro. Ángulos inscriptos y semiinscriptos en una semicircunferencia. Relaciones con el ángulo central correspondiente. Construcciones. Uso de programas informáticos de geometría (GeoGebra).

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Circunferencias. Puntos notables

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Ecuación de la recta. Sistemas

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CONTENIDOS

Recursos para la planificación

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Movimientos

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Funciones y ecuaciones cuadráticas

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Análisis de gráficos. Determinación de regularidades. Reconocimiento de la simetría de la parábola. Uso del carácter simétrico de la curva para encontrar valores de la función. Análisis e interpretación de los parámetros que forman parte de la fórmula de una función cuadrática. Exploración y análisis de la relación entre los parámetros y los aspectos de la representación gráfica. Uso de programas informáticos (por ejemplo, Microsoft Excel) en la comparación y el análisis de esas relaciones. Estudio de dominio, imagen, concavidad, vértice, eje de simetría, raíces y ordenada al origen, mediante el empleo de diferentes gráficos. Uso de ecuaciones cuadráticas en la búsqueda de preimágenes. Resolución de problemas que admiten un modelo de comportamiento acorde con funciones cuadráticas. Análisis y reconocimiento de construcciones realizadas a partir de uno o más movimientos. Aplicación de movimientos a una figura como recurso para resolver problemas. Búsqueda de ejes de simetría en diferentes figuras. Aplicación de simetrías axiales y búsqueda del eje correspondiente. Aplicación consecutiva de simetrías axiales; búsqueda de un movimiento equivalente. Aplicación de simetrías centrales y búsqueda del centro de rotación. Reconstrucción de figuras simétricas. Uso de ángulos orientados en la aplicación de rotaciones. Rotaciones sucesivas. Identificación entre una simetría central y una rotación de 180º. Representación gráfica y analítica de vectores. Traslaciones a partir de la utilización de vectores. Traslaciones sucesivas y suma de vectores. Aplicación de movimientos sucesivos. Análisis y determinación de composiciones de dos o más movimientos, para determinar uno equivalente que dé igual resultado.

Función cuadrática. Características de la parábola. Influencia del coeficiente principal en la representación grafica. Eje de simetría y vértice de una parábola. Concavidad, máximo y mínimo de la función cuadrática. Raíces y ordenada al origen. Dominio e imagen de la función cuadrática. Representaciones gráficas a partir de y = x2. Desplazamientos verticales y horizontales. Ecuaciones cuadráticas, búsqueda de las raíces de la función.

Noción de movimiento en el plano. Simetría axial. Figuras simétricas y ejes de simetría. Composición de simetrías axiales. Simetría central. Ángulos orientados y rotaciones. Vectores: descripción y características (dirección, sentido y módulo). Representación gráfica. Suma de vectores y vectores opuestos. Concepto de traslación. Utilización de vectores en las traslaciones. Composición de movimientos. Movimientos equivalentes.

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Reconocer si se está en presencia de un movimiento, y de qué tipo. Reconocer ejes de simetría de una figura, fundamentando esa decisión. Aplicar simetrías a partir de diferentes ejes, y poder reconocer el eje o el centro una vez aplicada la simetría. Aplicar rotaciones interpretando la información aportada por el ángulo orientado correspondiente, y reconocer un ángulo en una rotación ya realizada. Utilizar vectores en forma gráfica o analítica para aplicar traslaciones, y realizar la suma de estos en el caso de una composición de traslaciones. Obtener el vector correspondiente a partir de la traslación. Construir figuras a partir de la aplicación de movimientos sucesivos. Determinar, cuando sea posible, un único movimiento que equivalga a la composición de movimientos empleada.

Reconocer, interpretar y construir gráficos de funciones cuadráticas. Reconocer la simetría de la parábola como elemento constitutivo de su gráfica. Distinguir e interpretar los parámetros que intervienen en la fórmula de una función cuadrática y su relación con la representación gráfica. Graficar una función cuadrática a partir de condiciones dadas. Utilizar programas informáticos (Microsoft Excel, GeoGebra) para graficar y comparar diferentes parábolas. Establecer gráfica y analíticamente el dominio y la imagen de una función cuadrática. Analizar variados aspectos de la función: crecimiento y decrecimiento, máximo o mínimo, raíces y eje de simetría. Reconocer y resolver problemas que poseen características de funciones cuadráticas.


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Reconocer las condiciones necesarias para la aplicación del teorema de Thales. Resolver problemas que involucren aspectos relacionados con la proporcionalidad entre segmentos. Poder dividir un segmento cualquiera en partes iguales. Manejar los criterios de semejanza, para determinar y construir triángulos semejantes. Aplicar homotecias a figuras y reconocer figuras homotéticas, su centro y la razón. Reconocer las condiciones necesarias para aplicar el teorema de Pitágoras en situaciones de distinta naturaleza. Usar las relaciones trigonométricas y pitagóricas en la resolución de problemas. Verificar identidades trigonométricas sencillas. Usar la calculadora científica para averiguar las razones trigonométricas de un ángulo, o el valor de un ángulo a partir de una razón conocida. Recolectar, organizar, procesar, analizar, interpretar y comunicar información estadística para comprender problemas y situaciones de diversas áreas del conocimiento. Comunicar información estadística usando diferentes tipos de gráficos. Reconocer ventajas y desventajas de cada uno y la conveniencia de su utilización de acuerdo con la situación que se quiere expresar. Calcular parámetros centrales en diferentes situaciones. Analizar su representatividad para el conjunto de datos. Comparar y decidir sobre el grado de dispersión relativa de dos o más muestras. Seleccionar y aplicar estrategias adecuadas para la resolución de problemas que impliquen técnicas de conteo. Resolver problemas que involucren cálculos estadísticos y probabilísticos. Analizar la validez de interpretar frecuencias relativas como probabilidades, según el contexto. Interpretar datos probabilísticos y valorar sus resultados en la toma de decisiones.

Resolución de problemas a partir de las proporciones que enuncia el teorema de Thales. Aplicación en la división de un segmento. Reconocimiento de triángulos semejantes a partir de la proporcionalidad de sus lados. Análisis y determinación de criterios de semejanza de triángulos. Relación entre los lados y los ángulos de triángulos semejantes. Introducción del concepto de homotecia por medio de la construcción de figuras semejantes. Obtención del centro y la razón de homotecia. Determinación de razones trigonométricas aplicando razones de semejanza. Uso de las relaciones trigonométricas para hallar longitudes y ángulos de un triángulo rectángulo. Resolución de situaciones que involucren la aplicación del teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas. Interpretación de gráficos estadísticos a partir de situaciones reales. Análisis de situaciones con variables cuantitativas continuas o discretas. Interpretación de parámetros estadísticos en relación con el contexto. Análisis de la representatividad de la muestra. Uso de la calculadora científica en el cálculo de los parámetros. Interpretación de los resultados. Utilización del diagrama de árbol y de la estructura multiplicativa en problemas de conteo. Resolución de problemas con permutaciones, variaciones y combinaciones simples. Análisis y discusión de problemas que abordan el cálculo de probabilidades. Comparación de sucesos equiprobables con los que no lo son. Análisis y comparación de sucesos independientes con los que no lo son. Análisis de los cambios en el espacio muestral en problemas que abordan el cálculo de probabilidades condicionales. Investigación y determinación de similitudes entre la probabilidad y la frecuencia relativa.

Teorema de Thales. Cálculo de las longitudes de segmentos proporcionales. División de un segmento en partes iguales. Aplicaciones prácticas. Semejanza de triángulos. Razón de semejanza y criterios (L.L.L., L.A.L., A.A.). Criterios de semejanza. Homotecia. Centro y razón de homotecia. Construcción de figuras semejantes. Escalas. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos: seno, coseno y tangente de un ángulo. Teorema de Pitágoras y relación pitagórica. Cálculo de ángulos a partir de sus razones trigonométricas. Identidades trigonométricas sencillas. Resolución de triángulos rectángulos. Uso de la calculadora científica.

Gráficos estadísticos: gráficos de barras e histogramas. Frecuencias absoluta, relativa y acumulada. Variables continuas y discretas. Marca de clase. Medidas de tendencia central: media, moda y mediana. Medidas de dispersión: desvío estándar y coeficiente de variación. Combinatoria. Problemas de conteo, diagramas de árbol. Permutaciones, variaciones y combinaciones. Probabilidades. Sucesos aleatorios. Sucesos equiprobables. Sucesos independientes. Probabilidad condicional. Relación ente frecuencias y probabilidades.

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Estadística, combinatoria y probabilidades

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Thales. Semejanza. Trigonometría

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EXPECTATIVAS DE LOGRO

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

CONTENIDOS

Recursos para la planificación

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Soluciones Capítulo 1

17 a. 3.652,264 cm3 b. 1,826132 litros. 18 a. 21,414 b. 2,37

Para empezar Al día, 1/3, y a la noche, 2/3. 1 a. -15/8 c. -13/20 e. 1/28 b. -119/16 d. 9/4 2 Se completan con: a. 10/21 c. -7/60 e. 56/27 b. -79/168 d. -2/3 f. 15/2 3 a. • 53/6 • 105/8 • 71/6 b. Sí. c. Como el primero del ítem a. 4 a. ≠ c. = e. ≠ g. = b. ≠ d. = f. ≠ h. = • La potenciación y la radicación pueden distribuirse respecto de la multiplicación y la división, pero no respecto de la adición y la sustracción. 5 a. Mal. Es +343/8. d. Mal. Es -729. b. Bien. e. Bien. c. Mal. Es 25/9. f. Mal. Es +24. 6 a. 1/8 b. 1/81 c. 16 d. -32 7 A cargo de los alumnos. 8 a. 5/2 c. (1/3)5 = 1/243 b. (-1/9)2 = 1/81 d. (-1/4)0 = 1 9 a. Falsa. Es 1/4. c. Falsa. Es 9/4. b. Verdadera. d. Verdadera.

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10 a. 4/5 b. -3/2 c. 6/5 d. 2/9 11 Se completan con: a. (-1/4)5 c. (-1/3)3 b. (-3/2)10 d. (2/5)-3 12 a. a = 2 b. a = -3 c. a = 15 13 a. -6 b. 5/4 c. 1

19 a. 10-3 b. 100 = 1 c. 10-20 d. 10-9 20 a. 1,03 · 109 b. 2 · 10-1 c. 10-5 21 a. 1,37109 · 109 km b. La de Marte a Neptuno. 22 a. 5,781 · 1012 b. 8,1 · 10-11 23 Se completan con: a. 1,2 · 100 b. 5 · 10-11 24 Decimal exacto: Periódico puro: Periódico mixto:

120,8; −1,732. −7,5555…; −5,12121…; 1,034034… 1,52929…; 0,89555…; −5,12333…

25 Se equivocó Lucas, porque algunas fracciones no se pueden escribir como un decimal exacto, sino como uno periódico. Por ejemplo, 1/3. 26 a. b. c. d.

1,125 735/100 = 147/20 124/9 802/90 = 401/45  e. -0,81 f. 1.273/999 g. -278/1.000 = -139/500 h. -1.839/99 = -613/33

 27 a. Escierto: 0,9 = 9/9 = 1 . b. 7,9 = 72/9 = 8 12,9 = 117/9 = 13  3,9 = 36/9 = 4 Conclusiones: todo número periódico puro de período 9 puede escribirse como el número entero más  próximo. c. 25 = 24,9 Porque 75%  = 75/100 = 3/4. Porque 0,3 = 1/3. Porque 50%  = 50/100 = 1/2. Porque 0,1 = 1/9. Porque 0,6 = 6/9 = 2/3, y dividir por 2/3 equivale a multiplicar por 3/2, que es lo mismo que 1 + 1/2.

15 Entre 178 y 179 años.

28 a. b. c. d. e.

16 a. Doce decimales. d. Dos decimales. b. Seis decimales. e. Un decimal. c. Ocho decimales. f. Cuatro decimales.

29 a. 47/18 b. 35/33 c. 83/27 d. 1/2

14 a. -74,97 b. 175,71 c. 2.379,825

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31 a. Texturas suaves: 3/20 de terciopelo blanco y 3/10 de algodón coloreado (en total, 9/20). Cortezas de árboles: 11/40; piedra: 1/40. b. Área total: 8.836 cm2. Terciopelo blanco: 1.325,4 cm2; algodón coloreado 2.650,8 cm2. Cortezas de árboles: 2.429,9 cm2; piedra: 220,9 cm2. c. Es cierto: 1 - (3/20 + 3/10 + 11/40 + 1/40) = 1/4

44 a. 1,379 · 1011 c. 5,25 · 1012 b. 2,583 · 10-2 d. 8,2 · 10-14 45

 4,96

-

⋅ 1,2

 0,06

=

:

×

 0, 3

4,9

=

0,4

=

=

=

5,96

0,2

4,5

33 (50 · 12 + 5 · 16) · 3/8 + 25 + 30

 46 a. Sí, porque 0,3 = 1/3. Y dividir por 1/3 es lo mismo que multiplicar por 3.   b. No, porque 0,4 ≠ 1/4. Como 0,4 = 4/9, habría que dividir por 4 y multiplicar por 9.

34 a. 2/3 b. 7/11 c. 2

 = 9/99 = 1/11. 47 Sí; porque 0,09

35 a. 32 + 32 + 32 = 3 · 32 = 33

36 a. 2 b. 1/6 c. 0 d. -6

48 a. Blanco: 5,415 m2; gris: 10,83 m2. b. Tiene que comprar 4 cajas de cerámica blanca y 8 de color gris. c. Las cerámicas de una caja cubren en total 1,4157 m2 de superficie. Luego, pagará en total $ 506,82.

37 a. -1/6 b. -29/36 c. 16

49 a. -17/12 b. 2 c. -19/3

32 No entra: el texto más los márgenes suman 310 mm y la longitud de la hoja es 297 mm.

b.

3

6

(-5)

2

= (-5) = 25

c. 3 · 23 + 23 = 4 · 23 = 22 · 23 = 25

38 Tardará 8 meses. No todas las cuotas son iguales: los siete primeros meses paga $ 347,75 (un noveno de su sueldo) y el último, $ 215,75. 39 a. La unidad es 2; después de la coma se repite el 34. La cifra decimal que ocupa el lugar cien es 4. b. La unidad es 5, el lugar de los décimos lo ocupa el 2 y después se repite el 051. La cifra decimal que ocupa el lugar cien es 1. c. La unidad es 0; después de la coma se repite el 1234. La cifra decimal que ocupa el lugar cien es 4. 40 a. La mayor es 2-3 porque como 2 es mayor que 1, cuanto más grande es el exponente, mayor es la potencia. b. Como 0,5 = 1/2, y los exponentes son negativos, al elevar se invierten las bases y queda: 23; 25 y 28. Entonces el más grande es el que corresponde a 28, o sea, es 0,5-8. 41 a. -3,6 b. 6,25 c. -2.000 42 a. 0,0000000014 m = 1,4 · 10-9 m b. Se necesitarían alrededor de 7.143.000 moléculas (aprox. 7,14 · 106). 43 a. 1,36 · 10-10 b. Alrededor de 1,2 · 1014 horas.

Capítulo 2 Para empezar x 2 + 10x = 39 1 a. 60p b. 3p + 49 c. p/2 - p/3 2 a. La mitad de la suma entre el largo de la habitación y 25. b. La suma entre la tercera parte del largo de la habitación y 36. c. El triple del cuadrado del largo de la habitación. 3 La primera, la tercera y la quinta. 4 Área de la figura: 4x2; volumen del cuerpo: (4x)3. 5 a. 32p b. 34p2 c. 10p3 d. No, porque no es lo mismo trabajar con longitudes que hacerlo con superficies o volúmenes. 6 a. = b. ≠, ya que no se pueden sumar o restar términos que no son semejantes. c. ≠, porque p3 = p · p · p y 3p = p + p + p. d. = e. ≠, porque 6y8 : 2y2 = 3y6.

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30 Tiene que dar unos 578.667 pasos.

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f. = g. ≠, porque 3a2 + 7a2 = 10a2. h. ≠, porque 9s2 - 11s2 = -2s2. 7 (p + s) · m = p · m + s · m Propiedad distributiva. 8 a. 4x2 · (x + 2) b. 3m · (5 - 4m4) 9 a. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 10 a. 4p2 + 4p + 1 b. 9x2 - 24xy + 16y2 c. m8 + 4m4 + 4 11 a. (x + 4)2 b. (9p + 1)2 c. (z/2 + 7)2 12 a2 - b2 = (a + b) (a - b) 13 (a + b) (a - b) = a2 + ab - ab - b2 = a2 - b2 14 a. b. c. d.

(x + 3) (x - 3) (p3 + 1) (p3 - 1) (x/4 + 2/5) (x/4 - 2/5) (t2 + z/3) (t2 - z/3)

15 a. Cociente de potencias de igual base. b. Propiedad distributiva de la raíz respecto de la multiplicación. c. Potencia de exponente nulo. d. Potencia de otra potencia. 16 b ≥ 0 y c ≥ 0.

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17 a. b. c. d.

-28z - 98 100m 2p4 + 2p m3 + 12m2 + 48m + 64

• si m = 10 y n = 7, a = 140, b = 51 y c = 149; • si m = 9 y n = 8, a = 144, b = 17 y c = 145; • si m = 21 y n = 10, a = 420, b = 341 y c = 541; • si m = 18 y n = 9, a = 324, b = 243 y c = 405.

23 Se pueden dar diferentes valores, por ejemplo: • si p = 5 y q = 2, a = 24, b = 70 y c = 74; • si p = 10 y q = 7, a = 189, b = 340 y c = 389; • si p = 9 y q = 8, a = 208, b = 306 y c = 370. 24 a. 22 fósforos. b. 76 fósforos. c. 3n + 1 25 a. Agrega 5 cartas. b. Necesita 32 cartas. c. 3n + 2 26 a. 15; 17 → Tn = 2n - 1 b. 1/36; 1/49 → Tn = 1/n2 c. 63; 80 → Tn = n2 - 1 27 a. b. c. d.

45 bolitas anaranjadas. 1.275 bolitas anaranjadas. Tm = m (m + 1)/2 1 + 2 + 3 + … + m = m (m + 1)/2

28 a. b. c. d.

A cargo de los alumnos. (6 · 7 + 1)2 = 432 y (7 · 8 + 1)2 = 572. (x · (x + 1) + 1)2 x2 + (x + 1)2 + x2 · (x + 1)2 = x2 + x2 + 2x + 1 + + x4 + 2x3 + x2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 (x2 + x + 1)2 = x4 + x3 + x2 + x3 + x2 + x + x2 + + x + 1 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

29 a. Con la segunda ecuación. b. x = 77 c. 77 y 79. 30 El problema no tiene solución porque al resolver la ecuación se obtiene un número par (78) y en el problema se habla de números impares.

18 a. 2x2 + 8x + 16 b. x2 + 6x + 17 c. x2 + 2x

31 a. x = 1 c. No tiene solución, porque se llega a un absurdo. b. x = 2/5 d. x = -19

19 a. (x + 3)3 b. 2x3 + 8x2

32 a. b. c. d.

20 a. Según cuál sea el mayor, puede expresarse: a2 = b2 + c2 o b2 = a2 + c2 o c2 = a2 + b2. b. Sí; no; sí.

x x x x

= = = =

3/2 o x = -1/15. -3 o x = 5/2 o x = 10. 0 o x = 16/15. 0 o x = -8.

33 a. x = -5 b. x = 1/3 21 a2 + b2 = (2mn)2 + (m2 - n2)2 = = 4m2n2 + m4 - 2m2n2 + n4 = m4 + 2m2n2 + n4 y c2 = (m2 + n2)2 = m4 + 2m2n2 + n4 Entonces c2 = a2 + b2. 22 Se pueden dar diferentes valores, por ejemplo: • si m = 5 y n = 2, a = 20, b = 21 y c = 29;

34 La ecuación es 412 = x2 + 92 y el número es 40. 35 a. En el paso n, la fórmula es n2 + 4. b. n2 + 4 = 125. En el paso 11. 36 a. (n + 1)3 - 3

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37 a. El doble de un número más dos veces la suma entre ese número y 1. b. El cuádruplo del cuadrado de la suma entre un número y 1. c. La mitad de la raíz cuadrada de un número. d. La diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y dos. 38 a. Bien. b. Mal: como los términos no son semejantes la resta queda expresada. c. Bien. d. Mal: x5 es x · x · x · x · x, mientras que 5x es x + x + x + x + x. e. Bien. f. Mal: x-2 es (1/x)2. El exponente negativo no implica cambiar el signo de la potencia. 39 a. 13z4 f. 9/4 z0 = 9/4 b. 5z4 g. 9/4 z-5 c. Queda expresada porque no son términos semejantes. d. 36z8 h. 81z8 e. 36z13 i. 3z2 40 Se puede hacer de varias formas; una podría ser: a. 6p3 · (6p - 2p2 + 7) b. 3/2 z5 · (1/2 z2 - 3/5 + 7z3) 41 a. (6p2 - 1)2 b. (2z3 + 5z2) 2 c. No se puede expresar como potencia. El término central debería haber sido 14m3 para que fuese la potencia (m3 + 7)2. 42 a. b. c. d. e.

t10 - 24t6 + 144t2 144z6 - 24z10 + z14 64a4 - 48a2b5 + 9b10 m12 - 4 16a6 - 49a2

43 a. (6s2 - 12p) (6s2 + 12p) b. (4a3 - 5b2) (4a3 + 5b2) 44 Área = (x - 3) (2x + 5)/2 = x 2 - 1/2 x - 15/2 45 a. -3x b. -x2 + 24x + 25 c. -12x5 + 9x4 + 4 46 a. No. b. Sí. 47 No. Por ejemplo, 4, 5 y 6 no forman una terna pitagórica.

48 a. 45; 52 → Tn = 7n + 3. b. 5/6; 6/7 → Tn = n/(n + 1). 49 a. a = 52/15 c. x = 1 b. w = 2 d. y = 11 50 a. b. c. d. e.

h = -1/3 o h = -2/5. x = 0 o x = -3. g = 5 o g = -5. d = 6/7. x = 2 o x = -2.

51 Tenía 120.000 barriles.

Capítulo 3 Para empezar n = 10; e  2,59374 n = 1.000; e  2,71692 n = 10.000; e  2,71815 n = 1.000.000; e  2,71828 1 a. Después de la coma hay un 0 y un 1, dos 0 y un 1, tres 0 y un 1… Después de la coma están los números impares desde 5. b. A cargo de los alumnos. 3

27 = 3

3

42 (es irracional).

2 a.

3

4

2 (es irracional).

43 = 8

1 (es irracional). 2

1-1   = 4 = 2 4

81 (es irracional). 3

625 = 125

b. A cargo de los alumnos. 3 1

43

 1 2    4 

1,11…

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

7,6444…

−11,2

-999

π

1

¥

-

-

-

-

¢

-

-

-

¤

I

-

-

¡

1

4 a. Verdadera. c. Verdadera. e. Falsa. b. Falsa. d. Falsa. 5 a. c = 5 (terna pitagórica). b. c = c. c =

5 (es irracional). 2 (es irracional).

6 Cada cateto mide 1 cm y la hipotenusa, 2 cm.

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b. n2 + (n + 1)2 c. 1/2 · 1/3 · 4n d. 1/5 · 1/2 · (n - 1)

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Para representar 2, se traslada la medida de la hipotenusa sobre la recta (a partir de 0). 7 a. El otro lado tiene que medir 1 unidad. b. A cargo de los alumnos. 8

18

5 se puede representar a partir de un triángulo rectángulo con un cateto de 2 unidades y otro de 1;

17 a. Por cualquiera de los dos métodos, porque de las dos formas da lo mismo. b. A cargo de los alumnos. c. A cargo de los alumnos.

6 , a partir de un triángulo rectángulo con un

34/7

85/32

a.

4,86

2,66

b.

ea  0,002857 er  0,000588

ea = 0,00375 er  0,00141

cateto de 5 unidades y el otro de 1.

c. La segunda es menos precisa porque el error relativo es mayor.

9 a. A cargo de los alumnos. b.

50 = 5 2 ;

12 = 2 3 ;

200 = 10 2 .

10 a. >, =, <. b.

32 = 4 2 ;

27 = 3 3 ;

20 = 2 5 .

11 Se unen la primera de la izquierda con la tercera de la derecha; la segunda de la izquierda con la primera de la derecha; la tercera de la izquierda con la última de la derecha; la cuarta de la izquierda con la segunda de la derecha; y la última de la izquierda con la cuarta de la derecha. 12 a. Bien: c. Bien: d. Mal:

3

4 ⋅ 2 = 8 = 2.

8 : 2 2 = 4 ⋅2 : 2 2 = 2 2 : 2 2 = 1 .

13 Redondeo

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Truncamiento

Número

A los centésimos

A los milésimos

A los centésimos

A los milésimos

1,23458

1,23

1,235

1,23

1,234

2,7  4, 3

2,7

2,7

2,7

2,7

4,33

4,333

4,33

4,333

5

2,24

2,236

2,23

2,236

1,89

1,889

1,88

1,888

 1, 8

14 Hay varias soluciones, por ejemplo: a. 2,71 b. 5,8703 c. 0,79. 15 a. El mayor error sería de 0,05. b. El mayor error se aproximaría a 0,1, sin llegar a ese valor. 16

A los centésimos

1,62

Por truncamiento 1,61

A los milésimos

1,618

1,618

Φ

85/32

4,85

2,65

ea  0,007143 er  0,001471

ea = 0,00625 er  0,002353

El error absoluto cometido al truncar 34/7 a los centésimos es mayor que al hacerlo con 85/32; sin embargo, la primera aproximación es mejor porque el error relativo es menor. 19 La del buey, porque el error relativo es menor.

21 a. Hay varias opciones, por ejemplo: -1,5; -1; 0; 0,8 y 1,2. Se podrían nombrar infinitos. b. Algunos pueden ser: -1,91234567891011…;

b. Mal: 2 5 ⋅ 3 5 = 6 25 = 6 ⋅ 5 = 30 . 3

34/7

20 La de Río de Janeiro es más precisa.

5 ⋅ 5 = 25 = 5 . 3

d.

Por redondeo

− 3;  − 2;  2   y 0,01001000100001… c. No, porque -1; 0 y 1 son los únicos enteros entre ambos. En consecuencia, tampoco hay cinco naturales. 22 Marcelo, porque -1.234 + 1 = -1.233, y Carla, porque los racionales y los irracionales no son conjuntos discretos y, por lo tanto, no se puede hablar del siguiente. 23 a. Rocío, por truncamiento; Claudio, por redondeo. b. Entero no, pero racional sí. Por ejemplo, 2,711; 2,715; 2,718… c. Sí, e está entre ambos. Además, hay otros irracionales como: 2,71123456789…; 2,71010203040506… ; 2,713579111315… d. Por ejemplo, 2,718 (redondeo o truncamiento); 2,7182 (truncamiento); 2,7183 (redondeo). 24 Se unen la primera inecuación con el tercer intervalo, la segunda inecuación con el cuarto intervalo, la tercera inecuación con el último intervalo, la cuarta inecuación con el primer intervalo, y la última inecuación con el segundo intervalo.

(

25 a. (-1,5, +∞) b. - 2,   2  c. (-∞, 3/4] 

11

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26 [-5, 1) y (-2, 4).

40 a. 410 ≤ p ≤ 450 b. t ≤ 0

27 Es menor: -x < -4.

41 a. [-8, +∞) d. [3, 3,5] b. x < -9 e. -1 < x < 0 c. -6 < x ≤ -2

29 a. Se forman poniendo después de la coma todos los números pares mayores que 2. b. Se forma poniendo después de la coma un 0 y un 1, dos 0 y un 2, tres 0 y un 3, etcétera. c. Se forma poniendo después de la coma los números naturales a partir de 31. 30 a. 253/2 = 125 c. 141/2 (es irracional). b. 641/3 = 4 d. 163/7 (es irracional). 31 Carlos escribió: 20 = 16 + 4 = 42 + 22 ; entonces el otro cateto mide 2 unidades. Dibujó un triángulo con esas medidas y trasladó la hipotenusa. Clara, en cambio, pensó: 20 = 4 ⋅ 5 = 2 5 ; entonces representó 5 dos veces consecutivas, a partir de 0. 32 a. 10 7 b. 9 3 c. 2 4 2 d. 3 3 2 33 a. 7 10 < 8 10 c. −6 3 = −6 3 b. −6 3 > −12 3 d. 6 2 > 5 2 34 a. 3 3 3 b. 6 2 − 3 (queda expresada). c. −3 7 d. −8 6 35 a. 12 b. 3 c. -5/2 d. 12/7 36 a. π  3,142; 22/7  3,143. La diferencia entre ambas aproximaciones es de 1 milésimo. b. π  3,14; 22/7  3,14. Las aproximaciones son iguales. 37 Por redondeo: local, 117; depósito, 74. Por truncamiento: local, 117; depósito, 73. La mejor aproximación es la del local (por redondeo o truncamiento) porque el error relativo cometido es menor. 38 a. Que el botellón puede contener hasta un 5% más o un 5% menos que el valor declarado de 5 litros. O sea, el error relativo es 0,05. b. En el botellón entran entre 4,75 y 5,25 litros. 39 a. Puede ser 3. b. Puede ser 3/2. c. No hay ningún entero entre ambos. d. Cualquiera de los anteriores, porque todos son reales. También puede ser, por ejemplo, 1,97.

42 a. Por ejemplo, (-∞, 0] y [-1, +∞).  b. Por ejemplo, -0,8, - 0,8 . 

)

43 a. Sí. b. No. c. Sí. d. Sí. 44 a. x > 2/3 → (2/3, +∞) b. x ≤ 17/5 → (-∞, 17/5] c. x ≥ 4/3 → [4/3, +∞)

Capítulo 4 Para empezar • 1.500 millones. • Entre 1800 y 1900: 500 millones. Entre 1900 y 2000: 4.500 millones. • En 1930. 1 a. A cargo de los alumnos. b. 5.300 c. No. 2 a. Es función, pues a cada valor de x le corresponde una única imagen. b. No es función, pues existen valores de x a los que les corresponde más de un valor de y. 3 a. Sí. b. A x = 2 le corresponden infinitas imágenes, y a los demás valores de x no les corresponde ningún valor de y. c. El gráfico de Analía corresponde a una función, pero el de Rocío, no. 4 a. f(1) = 1; f(-1) = -3; f(3) = 5; f(0) = -1. b. Es la recta que corta a los ejes en x = 1/2, y el eje y en -1. c. Se tachan (5, 7) y (3, 3). 5 a. Es la recta que pasa por (0, 4) y (3, -2). x

-1

0

1

2

3

4

5

f(x)

6

4

2

0

-2

-4

-6

b. El gráfico corta el eje y en x = 0 e y = 4. c. El gráfico corta el eje x en y = 0 y x = 2. 6 a. Es cierto, alcanza con dos puntos. b. Función

f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x)

Punto de la ordenada

(0, -3)

(0, 2)

(0, 5)

(0, 0)

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28 a. x > -10 → (-10, +∞) b. x ≤ 13/3 → (-∞, 13/3]

12

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c.

Se trata de cuatro rectas:  f1(x) corta los ejes en x = 3/2 e y = -3;  f2(x) corta los ejes en x = -4 e y = 2;  f3(x) corta los ejes en x = 5 e y = 5;  f4(x) pasa por los puntos (0, 0) y (1, -1).

b.

7 Los gráficos I y III. 8 a. Sí, porque en ambos la razón entre f(x) y x es constante; en este caso, 25. b. En 2,5 h, 62,5 km; en 15 min, 6,25 km. c. No, pues se venden por unidad. d. Sí, porque el tiempo y la distancia son magnitudes continuas. 9 a. 8 horas. b. El gráfico es una hipérbola que pasa por los puntos (20, 20), (40, 10) y (80, 5). V (km/h)

20

40

50

T (h)

20

10

8

60  6,6

80 5

100 120  4 3,3

c. Se reduce a la mitad. d. Se triplica. 10 Solo el gráfico II. 11 a. La función que corresponde al gráfico III. b. f(-1) = 5; f(4) = 1. c. Es cierto, porque la curva no corta la recta vertical x = 1. d. f(0) = -3 12 Las opciones 1.ª, 3.ª y 5.ª. 13 a. Sí. c. Entre -∞ y 4. b. El conjunto . d. El conjunto (-∞, 4].

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14 a. Es cierto: x = 2 no tiene imagen, pues para ese valor de x el denominador sería nulo. b. El conjunto  - {2}. c. y = 0. La imagen es el conjunto  - {0}. 15 a. No existe imagen para x = -4 ni para ningún otro valor negativo, pues ningún número real elevado al cuadrado da menor que 0. b. [0, +∞) c. [0, +∞) 16 a. Entre las 8:00 y las 11:00, y entre las 13:00 y las 20:00. b. Entre las 12:00 y las 13:00, y entre las 20:00 y las 24:00. c. Entre las 11:00 y las 12:00. d. A las 20:00; había 5.000 personas. e. A las 13:00; había 1.500 personas. 17 a. En 2008 aumenta el consumo entre enero y febrero, entre marzo y abril, entre mayo

c.

d. e.

y agosto, y entre noviembre y diciembre. Y disminuye entre febrero y marzo, entre abril y mayo, y entre agosto y noviembre. En 2009 aumenta el consumo entre enero y febrero, entre abril y mayo, entre junio y agosto, y entre noviembre y diciembre. Y disminuye entre febrero y marzo, y entre agosto y noviembre. En 2008, el máximo consumo fue de 195 kWh, y en 2009, de 185 kWh, ambos en el mes de agosto. En 2008, el mínimo consumo fue de 155 kWh, en el mes de mayo; y en 2009, fue de 150 kWh, en noviembre. Entre enero y febrero, y entre junio y diciembre. Menos de 185 kWh.

18 Una respuesta posible podría ser el tramo horizontal entre dos picos máximos consecutivos. 19 A cargo de los alumnos. 20 a. El mayor valor que alcanza la función es y = 6. En el gráfico lo alcanza en x = 0 y en x = 18. b. El próximo máximo será para x = 36, ya que el período es 18. c. Por ejemplo, x = -12 y x = -30. Se encuentran buscando valores de x ubicados a 18 unidades (o múltiplos) a la izquierda de x = 6. 21 a. d. e. f. g. h. i.

[-6, 10] b. [-6, 7] c. [-6, -3] (-1, 1), (4, 6) y (8, 10). (-3, -1), (1, 4) y (6, 8). Alcanza su valor máximo, que es 7, en x = 10. Alcanza su valor mínimo, que es -6, en x = 4. x = -2, x = 0, x = 2, x = 5 y x = 8. y=0

22 A cargo de los alumnos. 23 Hay varias maneras. Una es calcular f(-1) y f(0), para ver si da 2 y -1, respectivamente. Otra, graficar la función f(x) = -2x para ver si contiene los puntos (-1, 2) y (0, -1). 24 a. b. c.

f1(x) y f4(x). Una respuesta posible: • para f1(x): los puntos (0, 3) y (1, 5); • para f4(x): los puntos (0, 2) y (1, -1). A cargo de los alumnos.

25 a. f(1/2) = 9/8; f(-1/2) = 7/8; f(0) = 1; f(1) = 2; f(-1) = 0. b. A cargo de los alumnos. 26 El segundo gráfico. 27 a. A cargo de los alumnos. b. El segundo gráfico es una curva continua, mien-

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tras que el primero solo contiene los puntos de esa curva cuya abscisa es entera. 28 La primera función. 29 Las funciones I y III. En cada caso, por ejemplo, el período podría señalarse entre dos picos máximos consecutivos. 30 A cargo de los alumnos.

3 -2x - 4 = 0 → x = 4 : (-2) → x = -2 -x + 3 = 0 → x = 3 2x = 0 → x = 0 mx + b = 0 → x = -b/m es la raíz, siempre que m no sea 0. 4 a. y = (4/3)x + 2 b. R3 a la primera; R1 a la segunda y R2 a la tercera. 5 Se podría agregar la ordenada al origen, otro punto por el que pase la recta, o la pendiente.

32 a. Tiene un cero en x = -3; la ordenada al origen es y = 4,5. b. No es creciente en ningún intervalo. Decrece en (-∞; -1) y en (-1; +∞). c. No, porque es discontinua en x = -1. d. Dom f = (-∞, -1)  (-1, +∞). Im f = (-∞, 1,5)  (1,5, +∞).

Capítulo 5 Para empezar El de una recta que corta el eje y en 4 y pasa por el punto (1, 1). 1 a. Para Casablanca, la fila se completa empezando con 1.000 y aumentando de a 250. Para El Parque, la fila se completa comenzando con 250 y aumentando de a 500. b. Conviene elegir escalas de 50 en 50 para el eje x y de 250 en 250 para el eje y. Los puntos correspondientes a Casablanca pertenecen a una recta que corta el eje y en 1.000 y pasa por el punto (150, 1.750); los correspondientes a El Parque pertenecen a una recta que corta el eje y en 250 y también pasa por el punto mencionado. c. Casablanca → y = 5x + 1.000 El Parque → y =10x + 250 d. La variable x representa la cantidad de invitados; la variable y, el costo fijo del alquiler del salón. e. El Parque; Casablanca. f. 150 personas.

6 y = 2x - 5; la recta corta el eje y en -5. 7 a. y = (1/4)x; la recta pasa por el punto (4, 1). b. No, es única. Que pasa por el origen de coordenadas. 8 y = (3/2)x + 2 9 a. La primera corta el eje y en 1 y el eje x en 4; la segunda pasa por el origen de coordenadas y por (4, -1); la tercera corta el eje y en -2 y pasa por (4, -3). b. Son paralelas, porque tienen la misma pendiente. 10 a. y = (-1/2)x + 4 b. y = 2x - 1 c. La primera corta el eje y en 4; la segunda lo corta en -1. d. A cargo de los alumnos. 11 a. Puede ser cualquiera cuya pendiente sea -1,5. b. A cargo de los alumnos. c. Son paralelas. 12 a. y + x = 55 b. x = y + 37 c. Para la primera ecuación: x 50 48 46 y 5 7 9

Para la segunda ecuación: x 50 48 46 y 13 11 9

42,5 12,5

40 15

42,5 5,5

40 3

d. La solución es x = 46; y = 9. Micaela pesa 46 kg, y Alex, 9 kg. 13 a. 2y = 55 - 37 → y = 9 b. x = 9 + 37 → x = 46

2 Ecuación

Pendiente

y = -2x - 4

-2

Ordenada al origen -4

y = -x + 3

Raíz -2

-1

3

3

y = 2x

2

0

0

y = mx + b

m

b

14 Los números son 42 y 24. 15 a. x = 1; y = -3. b. I. Las rectas son y = -x - 1; y = 2x + 1/2. La solución es x = -0,5 e y = -0,5. II. Las rectas son y = 2x - 2 e y = 2x + 4. Son paralelas.

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31 a. En [0, 100], la función alcanza 13 veces su valor máximo y 7 veces su valor mínimo. b. En [0, 1.000], la función alcanza 125 veces su valor máximo, y 63 veces, su valor mínimo.

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III. Ambas ecuaciones tienen como gráfico la recta y = 2x - 3. c. En los casos I. y III. El sistema I. tiene una solución; el II. no tiene solución y el III. tiene infinitas soluciones. 16 a. Tiene infinitas soluciones, son todos los puntos de la recta y = -2x + 2. b. Tiene una solución: x = 0 e y = 2. c. No tiene solución. 17 Porque las rectas son paralelas; el sistema no tiene solución. 18 Queda 0 = 0; significa que el sistema tiene infinitas soluciones. 19 a. Los números de la primera fila ascienden de 1 en 1; los de la segunda descienden de 1 en 1, y los de la última descienden de 5 en 5, desde 110 hasta 55. b. 7 billetes de $ 5 y 4 de $ 10. c. El sistema, sí; si se llama x a la cantidad de billetes de $ 5 e y al número de billetes de $ 10, su solución es x = 12 e y = -1, pero el problema no tiene solución, ya que la cantidad de billetes no puede ser un número negativo. d. No sería cómodo armar una tabla. Se puede x + y = 561 plantear este sistema:  . 5 x + 10 y = 3.910 Su solución es x = 340 e y = 221.

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20 La solución es x = 3 e y = 1.

27 a. x = -0,5; y = 1. b. No tiene solución. c. x = -5; y = -8. 28 ∆x = 0,5 + 4 = 4,5 ∆y = (-1) · (-4) - (-2) · (0,5) = 5 ∆ = (-1) · 1 - (-2) · 1 = 1 x = 4,5 y = 5 29 Sí, con cualquier otro método. 30 a. x = 2; y = 1. b. x = 10; y = 5. c. x = 2; y = 1. 31 a. 54º y 36º. b. 6 fueron correctas. c. Hay 4 personas y 23 alfajorcitos. 32 a. I. y = -x + 1 II. y = 3x - 2 III. y = -0,5x + 1 IV. y = (2/3)x - 2 b. I. Pendiente: -1. Ordenada al origen: 1. Raíz: 1. II. Pendiente: 3. Ordenada al origen: -2. Raíz: 2/3. III. Pendiente: -0,5. Ordenada al origen: 1. Raíz: 2. IV. Pendiente: 2/3. Ordenada al origen: -2. Raíz: 3. c. Los gráficos II. y IV.

21 a. I. x = 4; y = 1. II. x = 5; y = 12. III. Se elimina la variable, y queda planteada una falsedad. b. El III. no tiene solución, ya que al igualar las expresiones queda una falsedad.

33 a. b. c. d.

22 $ 11 por el kilo de dulce de leche y $ 1,60 por el kilo de harina.

35 a. y = (-3/2)x + 4 b. y = (2/3)x - 1/3 c. A cargo de los alumnos.

Corta el eje x en 3. Pasa por el punto (3, 5). Pasa por el punto (3, 2). y = (2/3)x - 2; y = (2/3)x + 3; y = (2/3)x.

34 a. y = 3x + 1 b. y = -x + 3

23 200 cm2 24 La primera, la tercera y la cuarta. 25 V; F; V; F; V; V. 26 Para hallar x: multiplicó la segunda ecuación por 2; sumó las ecuaciones (desapareció y) y dividió ambos miembros por 7. Para hallar y: multiplicó la primera ecuación por 2; multiplicó la segunda ecuación por 3; restó ambas ecuaciones (desapareció x) y dividió ambos miembros por 7.

36 a. b. c. d.

Por Por Por Por

ejemplo, x + y = 36. ejemplo, L - D = 7. ejemplo, p = 2h. ejemplo, m = h + 15.

37 Es la e. 38 a. Por ejemplo: y = -x + 5; y = x + 1. b. x = 2 e y = 3. 39 (2, 3)

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40 a. x = -1; y = 1. d. x = 4; y = -2. b. x = 3; y = 2. e. x = -2; y = 5. c. x = 1; y = -2.

7 a. b. c. d.

A cargo de los alumnos. A cargo de los alumnos. No, solo en el triángulo acutángulo. Sí, ocurre en todos los triángulos.

41 Sí; las rectas son paralelas. 42 Fueron 6 mayores y 14 chicos. 43 Desodorante: $ 3; jabón: $ 2. 44 Luis tiene 39 años y su hijo, 13. 45 La abuela, 60 años, y Sofía, 10. 46 Tiene 120 monedas de $ 0,50 y 80 de $ 0,25. 47 El coche, 5 m; el micro, 9 m. 48 El tío tiene 27 años y el sobrino, 11.

8 a. A cargo de los alumnos. b. Trazó las mediatrices del triángulo para hallar su circuncentro, que coincide con el centro de la circunferencia incompleta. c. Es correcto: la intersección de las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera de la circunferencia determina el mismo circuncentro que el triángulo del ítem anterior. 9 Las casas están ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero de 7 km de lado, y el quiosco se encuentra en el circuncentro. 10 El perrito iba por la bisectriz del ángulo formado por los dos caminos. 11 a. El incentro solo puede ser interior al triángulo. b. Los lados son tangentes a la circunferencia.

Para empezar • Por circunferencias concéntricas. • Sí, es una circunferencia. • No hay ningún óvalo, porque los tres supuestos que se aprecian son, en realidad, circunferencias.

12 a. b. c. d.

1 a. Radio: ob. Diámetro: ac. Cuerda: ad. b. Otros radios: ao y oc; otra cuerda: ac. Hay una única cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, y esa es el diámetro.

13 a. A cargo de los alumnos. b. El baricentro siempre es interior al triángulo, por ser la intersección de las medianas.

2 R → secante. V → exterior.

W → secante. U → tangente.

3 a. Secante. b. Tangente . c. Exterior. 4 a. Las azules son tangentes exteriores entre sí, y secantes con respecto a las celestes. b. Es exterior respecto de la lila, y tangente interior respecto de la celeste de la derecha. c. Es concéntrica. 5 a. No pueden ser tangentes interiores, ni exteriores. b. Son circunferencias secantes. c. Si son tangentes interiores, la distancia entre sus centros es la misma que la diferencia entre el radio mayor y el menor. Si son tangentes exteriores, la distancia entre sus centros es la suma de sus radios. 6 Se pueden ubicar infinitos puntos, que forman la mediatriz del segmento MP.

A cargo de los alumnos. Queda contenido en un plano horizontal. Queda contenido en un plano vertical. Si el punto no es el baricentro, el triángulo quedará contenido en un plano vertical.

14 En el triángulo acutángulo es interior, en el obtusángulo es exterior y en el rectángulo está en el vértice del ángulo recto. 15 a. En el triángulo abc, los triángulos agq y qgc tienen igual área (llamémosla I) por tener la misma altura (respecto de ac) y por ser iguales las bases aq y qc (ya que q es el punto medio). De igual manera se puede demostrar que las áreas de pga y bgp son iguales entre sí (llamémoslas II), y que las áreas de bgr y rgc también son iguales (llamémoslas III). Falta demostrar que I = II = III. Para eso observemos que los triángulos abr y acr tienen igual área (pues tienen la misma altura con respecto a bc y r es su punto medio). Por lo tanto: área abr = área acr → II + II + III = I + I + III → II + II = I + I → 2 · II = 2 · I → II = I. De forma similar se demuestra que II = III, y, entonces, I = III. Finalmente: I = II = III. Esto sucede en cualquier triángulo, ya que es una consecuencia de la definición de punto medio. b. Como las áreas de agp, pgb, bgr son iguales, el área de agb es el doble que la de bgr.

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Capítulo 6

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Por compartir la misma altura h con respecto a ar, necesariamente la base ag debe ser el doble que gr. Por lo tanto, ag es 2/3 de la mediana ar. 16 Coinciden los cuatro en el mismo punto. 17 El radio mide, aproximadamente, 6,93 cm. 18 a. $ 1.242.000 b. En el incentro. . , mop  y rot 19 a. Se trata de los ángulos aoc  = 112° , mnp  = 30°.  = 40° , rst b. aoc 20. Ángulo inscripto

Ángulo central

32º

64º

52º 30’

105º

48º 23’

96º 46’

107º 12’

214º 24’

 = 20° b. α  = 40° 21 a. α 2 2 22 a. No varía.  y el anterior son suplemenb. El nuevo ángulo abc tarios. c. 90° 23 x = 20°,  a = 40°,  b = 90° y  c = 50° .  = 24° 24 α  y hog , boc , respectiva25 Se trata de los ángulos doe mente. Cada ángulo central mide el doble que su semiinscripto.

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26 Se traza la mediatriz del segmento ab, que determina sendos diámetros en cada circunferencia. Luego se traza la mediatriz de cada diámetro para determinar el centro de cada circunferencia. 27 Se traza la mediatriz del segmento pq. Se elige un punto o de la mediatriz como centro de la circunferencia, y se la traza con radio op. Se repite el procedimiento con otros puntos de la mediatriz.

ab: uno es o y otro es el punto m buscado. De esta forma, m será el punto medio de uno de los lados del triángulo a construir. b. Hay que trazar la perpendicular a am que pasa por m, para que este sea el punto medio del lado pq del triángulo a construir. Se traza la circunferencia de centro c y radio ca que al intersecar a la perpendicular a am determina el segmento pq. De esta forma, el triángulo apq tiene a c por circuncentro, y am es una de sus medianas, por lo que b será su baricentro. 31 a. I. Son tangentes exteriores. II. Son exteriores. b. Es tangente. 32 a. Debería ser igual a 3 cm. b. Debería ser mayor que 3 cm. 33 a. A cargo de los alumnos. b. Sí. c. Que la distancia entre sus centros sea menor que la suma de sus radios, y mayor que la diferencia entre el radio mayor y el menor. d. Tangentes exteriores: que la distancia entre sus centros sea igual a la suma de sus radios. Tangentes interiores: que la distancia entre sus centros sea igual a la diferencia entre el radio mayor y el menor. 34 Equilátero o isósceles (no equilátero) donde esa mediatriz corresponda al lado desigual. 35 5 cm 36 a. Sí, en ambos casos. b. No es una altura, pero sí, una mediana. 37 El incentro. 38 a. Ángulos rectos. b. Semiinscriptos. c. A cargo de los alumnos. 39 a. A cargo de los alumnos. b. 300° y 160°, respectivamente. c. A cargo de los alumnos.

28 Los ángulos anaranjados suman 180°, ya que la suma de sus ángulos centrales correspondientes representa un giro.

 = 56° , acb  = 76°. 40 abc

29 Se obtiene un cuadrado, porque sus diagonales son perpendiculares e iguales.

41 a. Ambos miden lo mismo, 73º 30’, por ser los ángulos inscriptos correspondientes al ángulo cen. tral toc b. 106º 30’

30 a. Se puede trazar la mediatriz de ab , que determina el punto medio o de ese segmento. Se traza la circunferencia de centro b y radio bo, que interseca en dos puntos a la recta que contiene a

42 Suman 180°, porque la suma de sus ángulos centrales es 360°.

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un número h, se desplaza h unidades hacia la derecha. d. En todas el mínimo es 0; la abscisa correspondiente está desplazada con respecto al 0 tantas unidades como se le hayan sumado o restado a x.

43 Hay que hacer que ab sea el diámetro de una circunferencia, y p será cualquier punto de esa circunferencia, distinto de a y b. 44 38º 34’ 17,14”

Para empezar • 1,2 s desde que fue arrojada. • Porque en un caso está subiendo y en el otro está bajando. • 1 m • 0,6 s 1 La tabla se completa de arriba hacia abajo con: 4; 1; 0,25; 0; 0,25; 1; 4. El dibujo, a cargo de los alumnos. 2 x 0 1 2 -1 -2 3 -3

y = -x2 0 -1 -4 -1 -4 -9 -9

3 f(x) = x2  [0, +∞) (0, +∞) (-∞, 0) — 0 arriba

f(x) = -x2  (-∞, 0] (-∞, 0) (0, +∞) 0 — abajo

4 a. A cargo de los alumnos. b. A cargo de los alumnos. c. Cuando se le suma el número k, se desplaza k unidades hacia arriba; cuando se le resta el número k, se desplaza k unidades hacia abajo. d. Im f1 = [3, +∞); Im f2 = [-2, +∞). En general, para f(x) = x2 + k, Im f = [k, +∞). 5 La fórmula a. corresponde a la parábola verde; la b., a la azul; la c., a la fucsia, y la d., a la roja. 6 a. A cargo de los alumnos. b. A cargo de los alumnos. c. Cuando se le suma un número h, se desplaza h unidades hacia la izquierda; cuando se le resta

8 Braulio, porque para que las ramas vayan hacia abajo, x2 debe estar multiplicado por un número negativo. Claudio, porque si a > 0, se desplaza hacia arriba, pero si a < 0, se desplaza hacia abajo. 9 a. b. c. d. e.

A cargo de los alumnos. x=1 (1, -4) (4, 5) Por ejemplo, (-1, 0) y (3, 0); (0, -3) y (2, -3).

10 a. El eje de simetría es x = -1. b. (0, 8); (-3, 5) y (2, 0). c. Es (-5, -7), ya que la distancia desde el eje de simetría hasta la abscisa del punto debe ser la misma y ambos deben tener igual ordenada. 11 a. Eje de Gráfico Vértice simetría b (2, 0) x=2 a x = -2 (-2, -1) d x=2 (2, -3) c x = -3 (-3, 2) b. Si el vértice es el punto (xv, yv), la fórmula es: y = (x - xv)2 + yv. 12 a. Por ejemplo, y = x2 - 4. b. Sí, por ejemplo, y = 2x2 - 4 (puede ser cualquiera de la forma y = ax2 - 4, con a > 0). c. El valor del número que multiplica a x2. 13 a. y = -(x - 2)2 + 3 b. Sería y = (x - 2)2 + 3. 14 Gráf. a. b. c. d. e. f.

Ord. al origen -4 -5 1 -3 1 -1

Raíces -2 y 2 — -2 y 2 -3 y 1 — —

Eje de simetría x=0 x = -2 x=0 x = -1 x=0 x=0

Coord. vértice (0, -4) (-2, -1) (0, 1) (-1, -4) (0, 1) (0, -1)

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Capítulo 7

7 a. El gráfico es como el de f(x) = x2, pero desplazado una unidad hacia la izquierda. b. Es simétrico al anterior con respecto al eje x. c. Es igual al del ítem b., pero desplazado 2 unidades hacia arriba.

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15 Función f1 f2 f3 f4

(-∞, 0)

Intersección con el eje x y 3 y -3 -9 1y3 3 No hay. 1 0 0 y -6

Para f3: 5. Para f4: 6 y -0,5.

18 En 3 lugares, no, ya que a lo sumo lo corta en 2 lugares. Que no lo corte nunca sí puede ser. Una función cuadrática puede tener 2 raíces reales, una o ninguna. 19 a. Sí, está bien. b. Sí, porque ese valor de x es la abscisa del vértice, ya que este pertenece al eje de simetría. f1 → Eje sim.: x = 1; v = (1, -1). f2 → Eje sim.: x = -3/4; v = (-3/4, -9/4). f3 → Eje sim.: x = 5; v = (5, 0). f4 → Eje sim.: x = 11/4; v = (11/4, -169/16). En f3, porque como hay un solo valor que anula la función, ese valor es la abscisa del vértice, y la ordenada del vértice, obviamente, es 0. c. A cargo de los alumnos.

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20 a. b.

21 Se buscan dos puntos de la parábola con la misma ordenada. Si se conocen los valores numéricos de sus abscisas, se calcula su semisuma para determinar la fórmula del eje de simetría. Si no se conocen esos valores numéricos, se puede trazar la mediatriz del segmento determinado por esos dos puntos; esa mediatriz será el eje de simetría. La intersección entre el eje de simetría y la parábola determina el vértice. 22 a. 9 3 y -3 x=0 (0, 9) Abajo

-1,5 -1 y 3 x=1 (1, -2) Arriba

16 No tiene. x=0 (0, 16) Arriba

(0, +∞)

(-∞, 2) (2, ∞)

(-∞, 1) (-∞, 0) b. A cargo de los alumnos.

16 a. Igualó la fórmula a 0; la escribió como producto; si un producto es igual a 0, al menos uno de los factores es 0, entonces igualó cada factor a 0 y así obtuvo una de las soluciones con el primer factor (x = 0); en el otro factor, restó 8 a ambos miembros de la igualdad; dividió ambos miembros por 2 y obtuvo el valor de x que anula ese factor. b. Tiene dos raíces: 0 y -4. c. Se debe obtener 0. 17 Para f1: 0 y 2. Para f2: 0 y -1,5.

(1, +∞)

(0, ∞)

0 0y4 x=2 (2, 12) Abajo

(-∞, 9]

[-2, +∞)

[16, +∞)

(-∞, 12]

23 a. A cargo de los alumnos. b. A cargo de los alumnos. c. Cuanto menor es el valor absoluto de a, más ancha es; cuanto mayor es, más rápido crece. d. La raíz es 0, y la ordenada al origen, también. 24 a. b. c. d.

Al cabo de 7 años. 190 A partir de 1987. Al cabo de 20 años, en 2000.

25 a. Tiene dos soluciones, x = 30 y x = -30, pero solo sirve x = 30, porque la medida del lado no puede ser un número negativo. b. 60 m de largo y 30 m de ancho. 26 a. 3,2 m b. 1,6 s 27 Todos, excepto (-7, 29). 28 a. x = -1 b. (-2, -35) 29 a. x = -3 b. (-6, -7) y (-5, -12), por simetría. 30 Función a. b. c. d. e.

Está desplazada 2 unidades hacia la derecha 4 unidades hacia arriba 2 unidades hacia la derecha y 4 hacia arriba 3 unidades hacia la izquierda 3 unidades hacia la izquierda y una hacia abajo

31 a., b. y c. Función

Eje de simetría

Vértice

Dom

Im

a. b. c. d. e.

x=2 x=0 x=2 x = -3 x = -3

(2, 0) (0, 4) (2, 4) (-3, 0) (-3, -1)

    

[0, +∞) [4, +∞) [4, +∞) [0, +∞) [-1, +∞)

32 Función

Raíces

a. b. c. d. e.

2 No tiene. No tiene. -3 -2 y -4

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33 a. y b. Función

Ordenada al origen

Punto de intersección con el eje y

Simétrico

a. b. c. d. e.

4 4 8 9 8

(0, 4) (0, 4) (0, 8) (0, 9) (0, 8)

(4, 4) (0, 4) (4, 8) (-6, 9) (-6, 8)

34 El vértice. 35 a. b. c. d.

Raíces: 0 y 4. Ordenada al origen: 0. x=2 (2, -12) A cargo de los alumnos.

36 a. b. c. d.

Raíces

Ord. al origen

Eje de simetría

Vértice

0 y -3 0y3 0y3 0 y -3

0 0 0 0

-1,5 1,5 1,5 -1,5

(-1,5, -4,5) (1,5, -4,5) (1,5, 4,5) (-1,5, 4,5)

Las representaciones y las comparaciones quedan a cargo de los alumnos.

• Después de haber girado -90° en C (rotación) caminó en línea recta hasta D (traslación). 1 Las figuras 2 (rotación) y 3 (simetría axial). Las figuras 4 y 5 no se obtuvieron con un movimiento porque no conservan el tamaño de la figura original. 2 a. y b. “Baja temperatura”, “Campo magnético intenso”, “Materias tóxicas”, “Peligro en general”, “Radiaciones no ionizantes” y “Materias nocivas o irritantes”: tienen un eje. “Materias radiactivas” y “Riesgo biológico” tienen 3 ejes. 3 A cargo de los alumnos. 4 A cargo de los alumnos. 5 Se traza la mediatriz de cualquier segmento cuyos extremos sean un punto de B y su simétrico en B’. 6 a. Mariposa: un eje; cancha: dos ejes. b. Hojas de plantas, cuerpo humano, frente de edificios, muebles, objetos de arte, etcétera. 7 a. Triángulo. b. Cuadrado. c. Pentágono. 8 A cargo de los alumnos.

37 Sí, porque 0 es raíz. 9 A cargo de los alumnos.

39 a. (2, 8) d. (6, 0) b. En (0, 6). e. (-2, 0) c. (4, 6) f. A cargo de los alumnos. 40 Es simétrica a la anterior respecto del eje x. 41 a. Puede ser cualquiera de la forma y = a(x2 - 4), con a < 0. b. A cargo de los alumnos.

Capítulo 8 Para empezar • Una traslación. • Se encontró con un espejo y observó su imagen (simetría axial). • No pudo avanzar y giró 90° en sentido horario (rotación) y caminó en línea recta hasta C (traslación). • Se encontró con un espejo que redujo su imagen casi a la mitad de su altura. • La primera imagen tiene la misma forma y el tamaño que la real; la segunda, no (no es un movimiento).

10 a. A cargo de los alumnos. b. Una simetría con centro en el punto de intersección de los ejes. 11 A cargo de los alumnos. 12 Basta con hallar la intersección de los segmentos aa’ y bb’. 13 A cargo de los alumnos. 14 a. b.

A cargo de los alumnos. a = (1, 1), b = (2, 4), c = (3, 3), d = (4, 3), e = (4, 2), f = (5, 1), a’ = (1, -1), b’ = (4, -2), c’ = (3, -3), d’ = (3, -4), e’ = (2, -4), f’ = (1, -5). Se invierten las coordenadas y cambia el signo de la ordenada.

15 a. A cargo de los alumnos. b. Los dos giros consecutivos de 90° y 60° de centro o equivalen a un giro de 150° del mismo centro. c. No, también es un único giro de 150°, pero respecto de otro centro de rotación. 16 a. No son suficientes. Falta indicar la dirección y el sentido de la traslación. b. A cargo de los alumnos.

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38 a. Sí, porque no están desplazadas respecto de la parábola y = x2. b. Sí, es correcto; la ordenada al origen es c.

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c. Por ejemplo, que sea horizontal y hacia la izquierda. 17 A cargo de los alumnos. 18 Se puede trazar el vector con origen en cualquier vértice de F y con extremo en el vértice correspondiente de F’.   19 a. ab = (-5, 2) y   ab   = 29 .   b. ab = (-5, -5) y   ab   = 50 .   20 a. Por ejemplo, v = (9, 0), w = (0, 9) y  z = (5, 56 ). Hay infinitos. b. Ninguno, porque el módulo (o distancia) es un número no negativo.   21 a. a = (1, 6), b = (5, 1), ab = (4, -5) y   ab   = 41.   b. a = (1, 2), b = (6, 5), ab = (5, 3) y   ab   = 34 . 22 a. V b. F c. F d. V 23 A cargo de los alumnos.  24 aa′ = (-3, 10) 25 b = (-1, 9) 26 a. A cargo de los alumnos. b. Es posible. Las componentes del vector de la traslación son (1, -5).     c. v = (3, -3), w = (-2, -2) y v + w = (1, -5). Se trata del mismo vector.

36 a. b. c.

A cargo de los alumnos. a’ = (-1, -1), b’ = (1, -1), c’ = (1, 1) y d’ = (-1, 1). a” = (1, 1), b” = (3, 1), c” = (3, 3) y d” = (1, 3).

37 a.

2 4 × 360° = 60° b. × 360° = 120° 12 12

c.

8 × 360° = 240° 12

38 a’ = (0, 1), a’ = (0, -1), p = (5, 0), m’ = (-1, -2) y 90°. 39 Sí, es cierto. 40 a. y b. A cargo de los alumnos.  c. Se trata del vector 2 ab. 41 a. De igual dirección y sentido.  b. Por ejemplo, si v y w fuesen perpendiculares entre sí. 42 a. p’’ = (1, 8) b. a = (1, -5) 43 A cargo de los alumnos.

Capítulo 9

29 a. A cargo de los alumnos.  b. Con una traslación de vector 2 om .

Para empezar • 67,5 m • Se dice que lo utilizó para calcular la altura de la Gran Pirámide de Keops. Algunas fuentes señalan que comparó la longitud de la sombra de la pirámide con la de sí mismo, y otras, que utilizó la de un bastón. Como fuere, debió comparar la proporción entre la altura de la pirámide y la longitud de su sombra, con la correspondiente del otro objeto.

30 A cargo de los alumnos.

1 A 12 m.

31 a. y b. A cargo de los alumnos. c. a’ = (3, 5), b’ = (8, 4) y c’ = (6, 2). a’’ = (6, 2), b’’ = (11, 1) y c’’ = (9, -1).

2 100,1 m y 44,8 m, respectivamente.

32 a. y b. A cargo de los alumnos. c. F’

4 x = 5,625 cm

33 Todas tienen simetría axial vertical, excepto “E” que tiene una horizontal. Las vocales “0” e “I” (sin punto) tienen ambas simetrías.

5 a. Noelia comparó las longitudes de segmentos consecutivos, mientras que Julián comparó con las longitudes totales. b. 3,2 cm

27 A cargo de los alumnos. 28 a. A cargo de los alumnos.  b. Con una traslación de vector 2 cb .

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35 a’ = (-1, 3), m = (0, 3), d = (-3, 0), p’ = (2, 1), s’ = (2, 1), b = (5, 0), s’ = (0, 5) y t = (-3, 1).

34 a. y b. A cargo de los alumnos. c. a’ = (2, 1), b’ = (4, -5) y c’ = (-3, -6).

3 En el 2.º caso, pues nt no es paralela a mo ni a pv.

6 a. 3,45 cm b. 42,5 cm y 55 cm.

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7 ab = 8 cm; ob = 15,52 cm. 8 Puede trazar una semirrecta con origen o en uno de los extremos del listón, formando un ángulo con él. Hace una marca m en la semirrecta, y traslada consecutivamente 6 veces la longitud om en la semirrecta, de manera que esta ahora contiene un segmento dividido en 7 partes iguales. Une la última marca (la más alejada de o) con el otro extremo del listón. Luego traza paralelas a esta última línea, que pasen por las diferentes marcas de la semirrecta. De esta forma, el listón queda dividido en 7 partes iguales.

21 a. Una posibilidad es que midan 3, 4 y 5 cm. b. Otra posibilidad es que midan 27, 36 y 45 cm. 22 a. 32,5 b. 37,5 23 a. 1,06 m b. 22,5 cm, aproximadamente. 24 Ancho: 7,25 m; largo: 10 m; área: 72,5 m2. 25 a. 2,1 cm y 1,05 cm, respectivamente. b. 1 : 56 26 34 km 27 1 : 1.200.000

9 A cargo de los alumnos.

11 A cargo de los alumnos. 12 a. El abc. b. 1 cm c. Son iguales.  13 a. 6,6 cm b. El teorema de Thales. Los triángulos son semejantes. 

  14 a. ab =bc  por ser abc isósceles; abd = dbc por ser bd bisectriz; los triángulos amarillo y verde comparten el lado bd. Por criterio L.A.L., esos triángulos son semejantes.  ; abc  = dbe  = 90º por ser db ⊥ ae.  = bde b. cab Por criterio A.A., los triángulos amarillo y verde son semejantes. 15 Sí, porque tienen igual forma. 16 Tienen razón Sofi y Male. En ambos casos, por el criterio A.A.: todos los triángulos equiláteros tienen tres ángulos interiores de 60º, y todos los triángulos rectángulos isósceles tienen dos ángulos de 45º.

28 a. b. c.

I. 8,54 cm, aprox. II. 7,94 cm, aprox.  I. sen α  0,94; cos α  0,35; tg α = 2,6 . II. sen α  0,66; cos α = 0,75; tg α  0,88. sen β = cos α  0,35 cos β = sen α  0,94 tg β = 1/tg α = 0,375

29 a. sen 27º 43’  0,4651 sen 27’ 43”  0,0081 cos 27º 43’  0,8853 cos 65º 23”  0,4225 tg 27º 43’  0,5254 tg 45º = 1 b. 43º 11’ 46,67” 60º 30’ 46º 48’ 13,33” 15º 19’ 52,69” 34º 23’ 30” 58º 30’ 23,84” 30 33º 49,53” 31 54º 32 ab  30,54 cm; bc  17,10 cm;  a = 29º 15’. 33 49º 11’ 21,59” 34 a.

cos2 α cos α 1 = = sen α sen α tg α

b. cos α ⋅

sen α ⋅ sen α - sen2 α = sen2 α - sen2 α = 0 cos α

 35 sen α = 0,8; tg α = 1,3 . 36 a. A 2,35 m, aprox. del suelo. b. 70º 7’ 23,25”

17 a. ma/sa = 2,5 b. 2,5 c. 2,52 = 6,25 37 323,9 m 18 A cargo de los alumnos. 38 a. 29° b. 46,5 m, aproximadamente. 19 No, en general. Sí, en particular: cuando la razón de homotecia es 1 o -1. 20 La razón de homotecia es 2. El centro de homotecia está ubicado a la izquierda de F, a la misma distancia del centro de F que este del centro de F’.

39 28,96 m, aproximadamente. 40 968,6 m, aproximadamente. 41 a. 1,5 cm b. 1,25 cm

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10 a. Hay tres grupos: uno con tres triángulos rectángulos escalenos; otro con dos triángulos rectángulos isósceles; otro con tres triángulos isósceles (no rectángulos). b. Por ejemplo, en los dos triángulos rectángulos isósceles la razón entre los lados del triángulo grande y los correspondientes del chico es 1,5. c. Sí, porque son semejantes.

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42 oa’ = 2,875 cm; ab = 2,24 cm; bc = 3,6 cm. 43 A cargo de los alumnos.

[1.000, 1.200)

8

20

8/32

[1.200, 1.400]

12

32

12/32

b. A 20 pacientes. 44 a. A cargo de los alumnos. b. 2,5 cm y 7,5 cm, respectivamente.

3 a.

45 Karina, que utiliza el criterio L.L.L., y Marco, que usa el criterio A.A. 46 a. 68 cm b. 1,7 c. 1,7 d. Porque cada lado del rectángulo grande es 1,7 veces su correspondiente en el rectángulo chico. e. No, la razón entre sus áreas es (1,7)2 = 2,89. 47 a. Hay tres, considerando que 80 cm puede estar en proporción con el lado de 13 cm, o con el de 15 cm, o con el de 20 cm. b. 52 cm y 60 cm. 48 Ancho: 72 m; largo: 110m.

Dinero ($)

f

fr

[10, 20)

7

7/20

[20, 30)

9

9/20

[30, 40)

3

3/20

[40, 50]

1

1/20

b. 45% c. 9/20 = 45/100 → 45% 4 a. Me = 11 años; x = 20 años. b. La mediana, pues la mayoría de las edades está próxima a ese valor. 5 A = 400 B = 470 C = 600 6 a. Media

Mediana

Moda

Lunes

162

164

164

Martes

166

164

164

49 ac = 195,43 cm; bc = 117,25 cm. 50 qr = 27 cm  = 36º 52’ 11,63” qpr  = 53º 7’ 48,37” qrp

b. La media, ya que se reemplazó un dato por otro bastante mayor.

51 19,84 m, aproximadamente.

7 a. Marca de clase: 12, 16, 20, 24. Frecuencia: 2, 16, 10, 2. Media: 17,6 g. b. Se ubican en el último intervalo, porque si se hubieran ubicado en cualquier otro, la media daría menor que 19 g.

52 cos α  0,37; tg α  2,51. 53 45°

8 a. Marca de clase: 4, 6, 8, 10. La frecuencia que falta es 8. b. El promedio no cambia, porque al triplicar las frecuencias también se triplica la cantidad total de datos.

54 A cargo de los alumnos.

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Capítulo 10

9 x = 50 ; σ  17,89; CV  0,36.

Para empezar • Es más probable que vaya ganando Caro, porque hay más sumas pares (16) que impares (12). • No es un juego justo, ya que Caro tiene más posibilidades a su favor. Una manera de lograr que el juego fuese justo podría ser que Edu también se anotara un punto cuando saliesen algunos resultados no impares (por ejemplo, 3-3; 4-4; 5-5 y 6-6).

11 a. 24 alumnos en 2.º A, y 28, en 2.º B. b. x A = 7 y σ A  0,91 . x B = 7 y σB  1,85. c. CVA  0,13 y CVB  0,26: O sea que hay mayor dispersión en 2.º B.

1 Se completa, respectivamente, con: 9, gráfico de barras, 12, histograma, discreta y continua.

12 a. A cargo de los alumnos. b. 12 c. 3 · 2 · 2 d. m · p · n

2 a.

13 a. 3 · 3 · 3 = 33 = 27 b. 1 · 1 · 3 + 1 · 3 · 3 = 12 c. 4 · 4 · 4 = 43 = 64

Suero (ml)

f

facum

fr

[800, 1.000)

3

12

3/32

10 x = 131 , ; σ  0,84.

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14 a. 10 b. 10 c. 35

23 a. 4,4 km b. 5 km o más. c. 9,68 km

15 En la bolsa que tiene 6 caramelos, porque la probabilidad es mayor (3/6 = 50%).

24 a. Se completa con 6 y 12, respectivamente. b. x = 12,875 cm c. A cargo de los alumnos.

16 Nico tiene mayor probabilidad de ganar: 5/22 contra 2/11. 17 a. 5/12 b. 4/11 18 a. < c. = e. < g. = b. > d. = f. < 19 a. 32/100 = 32% b. La probabilidad de cada opción. % c. 31/99 = 31,31

25 a. x = 6 ; Me = 6; Mo = 6. b. x = 6 ; Mo = 6. c. x = 10 26 Alberto (CV  0,18) más que Ana (CV  0,13). 27 a. 5! = 120 b. 3! = 6 28 a. 263 · 103 = 17.576.000 b. 263 · 104 = 175.760.000 29 a. 30 partidos b. 20 puntos.

20 Verdes

Marrones

Celestes

Total

Varones

100

250

50

400

Mujeres

180

320

100

600

Total

280

570

150

1.000

a. 57% b. 10% c. 62,5% d. 87,5%

30 Negro

Blanco

Totales

Fruta

56

44

100

D. de leche

94

36

130

Totales

150

80

230

a. 56/230 b. 36/80 21 La opción es la c. 31 a. 60/200.000 b. 1.000 c. 10.000

Jefa de arte: Claudia Fano

© 2010, EDICIONES SANTILLANA S.A.

Diagramación: Sergio Israelson

Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

Corrección: Paula Smulevich Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

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ISBN: 978-950-46-2194-2 Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina Primera edición: enero de 2010. Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2010 en Grafisur S.H., Cortejarena 2943, Buenos Aires, República Argentina.

Matemática III : recursos para el docente / Andrea Berman ... [et.al.]. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2010. 24 p. ; 26x19 cm. - (Santillana Prácticas) ISBN 978-950-46-2194-2 1. Matemática . 2. Enseñanza Secundaria . 3. Libros de Texto. I. Berman, Andrea CDD 510.712

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

22 La respuesta no es única. Algunos ejemplos son: {10; 12; 12; 12; 13; 14; 15; 16} {10; 12; 12; 12; 13; 13; 16; 16}

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Prácticas matematica 9/3º