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Las matemáticas son:

Las matemáticas son:

(Macnab, B.C. y Cummine, A.:”La enseñanza de las matemáticas de 11 a 16”.)

(Macnab, B.C. y Cummine, A.:”La enseñanza de las matemáticas de 11 a 16”.)

 Fijas, inmutables, externas, intratables, irreales.  Abstractas y no relacionadas con la realidad.  Un misterio accesible a pocos.  Una ofensa al sentido común en algunas cosas que asegura.

Las matemáticas son: (Macnab, B.C. y Cummine, A.:”La enseñanza de las matemáticas de 11 a 16”.)

 Una colección de reglas y hechos que deben ser recordadas.  Se refiere sobre todo al cálculo  Están llenas de “x” e “y” y fórmulas incomprensibles

 Un área en la que se harán juicios, no sólo sobre el intelecto, sino sobre la valía personal.  Una asignatura en la que las opiniones y puntos de vista personales no tienen importancia

“No son otra cosa que una lógica que prolonga de la forma más natural la lógica corriente” “No hay otro campo en el que el pleno desarrollo de la personalidad y la conquista de los instrumentos lógicos o racionales que aseguran la autonomía intelectual, sean más realizables, dado que además están obstaculizados sin cesar en la práctica de la enseñanza tradicional.”

Jean Piaget


“Toda la matemática tiene por objeto el conocimiento del mundo que nos rodea, el conocimiento del universo, el conocimiento del ambiente en que debemos vivir. En este sentido amplio, la matemática debe ayudar a conocernos a nosotros mismos, que formamos parte del universo, a nuestro intelecto y al de nuestros semejantes.” L. Santaló

“El profesor de matemáticas es, esencialmente, un profesor de matematización.” A. Revuz

Dos enfoques teóricos... Teorías: de la absorción, Teorías: del desarrollo behaviorista, conductista,... cognitivo, constructivistas,..

Aspectos formativos de las matemáticas.  Actividad creadora  Uso de rigor lógico  Poder de abstracción  Facilidad para comprender y resolver situaciones problemáticas  Adquisición de automatismos mentales  Cultivo de la intuición espacial  Desarrollo de actitudes críticas

Características del aprendizaje:   Se desarrolla por asociación: E-R   Pasivo y receptivo: no creativo. “La práctica conduce a la perfección”   Acumulativo: ampliación del almacén de datos y técnicas   Más memorización , más asociaciones.   Unión de hábitos sencillos para lograra otros complejos.   Control externo   Eficaz y uniforme:

  Aprendizaje significativo.   Las relaciones son claves básicas: La esencia del conocimiento es la estructura.   La memoria no es fotográfica.   Cambios cuantitativos y cualitativos; modificación de la forma en que se estructura el pensamiento.   Regulación interna.   Es lento y no uniforme:


Noción de obstáculo:  Es un conocimiento.  Permite dar respuestas correctas a ciertos problemas.  Provoca errores en otro tipo de problemas.  Es resistente a toda modificación o transformación, siendo además recurrente.  Su rechazo puede provocar el aprendizaje de otro nuevo conocimiento.

Nuestras hipótesis cognitivas:

 Numerosos conocimientos (saberes, concepciones, representaciones) se construyen y toman sentido a través de las acciones que permiten resolver un problema o responder a una pregunta, en situaciones que el sujeto ha podido “apropiarse”.  Los conocimientos no se almacenan y acumulan, ni se construyen a partir de la nada, su elaboración está sometida a rupturas y reestructuraciones. Se aprende a partir de, pero también en contra de lo que se sabe.

Tipos de obstáculos:  Ontogénicos.  Culturales  Didácticos  Epistemológicos.

Nuestras hipótesis cognitivas:

 Rara vez se aprende de una vez. Aprender es recomenzar, entrenarse, volver hacia atrás, y por tanto repetir, pero repetir comprendiendo lo que se hace y por qué se hace.  Un conocimiento no es plenamente operatorio hasta que puede ser movilizado en situaciones diferentes a aquellas que dieron lugar a su nacimiento.  Aprender se hace en un contexto de interacciones sociales


Contrato didáctico:

Características del contrato didáctico:  El objetivo del contrato didáctico es la adquisición del saber por parte del alumno.  Se negocia constantemente.  Depende de las concepciones del aprendizaje, de las matemáticas,...

Tipos de reglas del contrato didáctico: Unilaterales / negociadas

LA EDAD DEL CAPITÁN En un barco hay 26 corderos y 10 cabras. ¿Cuál es la edad del capitán?

Externas / internas Espontáneas / preexistentes Explícitas / tácitas / implícitas

“De 97 alumnos (de 6 a 10 años) 76 dieron la edad del capitán”


TU EDAD A un niño de 7 años se le propuso el problema siguiente: “Tienes 10 lápices en tu bolsillo izquierdo y 10 en tu bolsillo derecho. ¿qué edad tienes?”

El niño respondió que tenía 20 años. Se le hizo notar que el no tenía 20 años, a lo que respondió:

“Si, pero la culpa no es mía, no me has dado bien los números”

EFECTOS DEL CONTRATO DIDÁCTICO   DESLIZAMIENTO

METACOGNITIVO

Tomar una técnica, una representación, útil para resolver un problema, como objeto de estudio, perdiendo de vista el verdadero saber a desarrollar. El medio se convierte en objeto de enseñanza.   EFECTO

DE ANALOGÍA

Reemplazar el estudio de una noción compleja por el de otra análoga. Los alumnos obtienen la solución por lectura de las indicaciones didácticas

EFECTOS DEL CONTRATO DIDÁCTICO

El profesor toma a su cargo las dificultades que encuentra el alumno en su aprendizaje, suplantándole en el trabajo de búsqueda. Se buscan preguntas cada vez más fáciles, hasta que el alumno encuentra la respuesta.   EFECTO

JOURDAIN

El comportamiento banal del alumno es interpretado por el profesor como manifestación de un saber sabio. Se sustituye la problemática verdadera por una metáfora que no da sentido a la situación.

Características de la situaciones en el aprendizaje significativo  Las

situaciones deben permitir modificar el estado de los conocimientos del alumno:  utilizando

conocimientos anteriores y sometiéndolos a revisión,  modificándolos

 rechazándolos,

y completándolos,

si fuera preciso, para construir concepciones nuevas.


Características de la situaciones en el aprendizaje significativo situaciones deben provocar un deseo de implicarse por parte del alumno, y ello exige:

Características de la situaciones en el aprendizaje significativo

 Las

 la

posibilidad de emplear conocimientos anteriores,

percepción de una dificultad que se desea resolver,

 Las

situaciones deben permitir una evolución de las interacciones alumnosituación y alumno-alumno. Para ello, los alumnos podrán:

 la

campo de búsqueda adaptado a sus posibilidades, ni muy pequeño, ni muy amplio.

 establecer

intercambios constantes con la situación, sin la interpretación o sanción del maestro,

 un

 poner

a prueba todos sus recursos.

A modo de conclusión...

A modo de conclusión...

  Los conocimientos no se acumulan, no se almacenan. El conocimiento no es simplemente empírico (constataciones sobre el medio), ni preformado (estructuras innatas), sino el resultado de una interacción sujeto/medio.

  Las producciones de los alumnos son una información sobre el "estado de su saber". Ciertos errores corresponden así, más que a una ausencia de saber, a una manera de conocer contra la que debe construirse el nuevo conocimiento (preconceptos).

  La actividad matemática consiste a menudo en la elaboración de una estrategia, de un procedimiento que permita anticipar un resultado; requiere por tanto de la accion.

  Los conceptos matemáticos no están aislados. Es necesario hablar de campos conceptuales, y de ahí que haya que proponer a los alumnos campos de problemas que permitan la construcción de una red conceptual.

  Sólo hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problema a resolver. Es la resistencia de la situación la que obliga al sujeto a acomodarse a ella, a cuestionar o percibir los límites de sus conocimientos antiguos y a elaborar nuevos útiles (conflicto cognitivo)

  La interacción social es un elemento muy importante del aprendizaje. Las actividades de formulación (decir, describir, expresar...), de validación (convencer, contestar...) o de cooperación (ayuda, trabajo conjunto...), utilizan las relaciones maestro-alumno y alumnos-alumnos para provocar conflictos socio-cognitivos.


Situación didáctica. Situación didáctica Alumno Profesor Medio Situación adidáctica

HIPÓTESIS EPISTEMOLÓGICA Para todo saber existe una familia de situaciones susceptible de darle un sentido correcto

SITUACIÓN FUNDAMENTAL Una situación fundamental de un conocimiento es una modelización de una familia de situaciones específicas de un saber determinado.

Condiciones para que una situación sea a-didáctica   El alumno debe poder dar una propuesta inicial – procedimiento de base – que no coincide con lo que se quiere enseñar. Si la respuesta fuera ya conocida, entonces no se trataría de una situación de aprendizaje   El procedimiento de base debe revelarse rápidamente como insuficiente o ineficaz para el alumno, que debe verse así obligado a hacer acomodaciones, modificaciones en su sistema de conocimientos   Exista un medio para la validación   Otras condiciones:   Que exista incertidumbre en el alumno en cuanto a las decisiones a tomar   Que el medio permita retroacciones   Que el juego sea repetible   Que el conocimiento buscado deba necesitarse como requisito, de forma lógica, para pasar de la estrategia de base a la estrategia optimal

Tipos de situaciones: Acción  Formulación  Validación  Institucionalización


Situaciones de acción: •  El alumno actúa sobre el medio, formula, prevé‚ y explica la situación. •  Organiza las estrategias a fin de construir una representación de la situación que le sirva de modelo y le ayude a tomar decisiones. •  Las retroacciones proporcionadas por el medio funcionan como sanciones de sus acciones. •  Movilización y creación de modelos implícitos.

Situaciones de formulación: •  El alumno intercambia con una o varias personas informaciones. •  La comunicación puede llevar conllevar asimilaciones y también contradicciones. •  Las interacciones entre emisor y receptor pueden producirse a través de acciones sin codificación, o bien a través de un lenguaje. El fracaso de un mensaje obliga a su revisión •  Se crea un modelo explícito que pueda ser formulado con ayuda de signos y reglas, conocidas o nuevas.

Situaciones de acción: condiciones para que se produzca una situación a-didáctica: •  Que exista un procedimiento de base insuficiente. •  Que haya incertidumbre del alumno en cuanto a las decisiones a tomar •  Que el medio permita retroacciones y que el juego sea repetible •  Que se requiera, de forma lógica, el conocimiento buscado para pasar de la estrategia de base a la estrategia optimal

Situaciones de formulación: condiciones para que se produzca una situación adidáctica: •  Que haya necesidad de comunicación entre alumnos cooperantes. •  Que las posiciones de los alumnos sean asimétricas respecto a los medios de acción sobre el medio o las informaciones. •  Que el medio permita retroacciones con el mismo medio para la acción, y con el receptor del mensaje. •  El medio debe forzar al alumno a utilizar sus conocimientos para producir formulaciones


Situaciones de validación: •  El alumno debe hacer declaraciones que se someterán a juicio de su interlocutor. •  El interlocutor debe protestar, rechazar una justificación que él considere falsa, probando sus afirmaciones. •  La discusión no debe desligarse de la situación, para evitar que el discurso se aleje de la lógica y la eficacia de las pruebas.

Situaciones de validación: condiciones para que se produzca una situación a-didáctica:

•  Que haya necesidad de comunicación entre alumnos oponentes. •  Que las posiciones de los alumnos sean simétricas respecto a los medios de acción sobre el medio y las informaciones. •  Que el medio permita retroacciones a través de la acción (mensajes), y con el juicio del interlocutor. •  Las interacciones con el medio son los mensajes intercambiados: afirmaciones, teoremas, demostraciones, etc.

" En matemáticas el "por qué" no puede ser aprendido por referencia a la autoridad del adulto. La verdad no puede ser la conformidad a la regla, a la convención social, como lo "bello" o lo "bueno". Exige una adhesión, una convicción personal, una interiorización que por esencia no puede ser recibida de otro sin perder justamente su valor. Pensamos que empieza a construirse en una génesis, de la que Piaget ha mostrado lo esencial, BROUSSEAU, G. : “Étude local des processus d’acquisition encon pero que implica también relaciones especificas situations scolaires”, Barcelona, 1976, el medio, en particular conp.12 la escolaridad. Consideramos, pues, que hacer matemáticas es, en

Situaciones de institucionalización: •  Las respuestas encontradas al problema planteado deben ser transformadas (redescontextualización y redespersonalización) para que los conocimientos puedan ser convertidos en saberes. (Saber a enseñar) •  El profesor tiene la responsabilidad de cambiar el estatuto de los conocimientos construidos. •  Paso de la relación personal con un saber personal a una relación personal con un saber institucional.


" El saber es el producto cultural de una institución que tiene por objeto localizar, analizar y organizar los conocimientos, a efectos de facilitar su comunicación, su uso bajo forma de conocimientos o saber, y la producción de nuevos saberes.(...) La manipulación social de los saberes en las relaciones sociales, exige conocimientos personales por parte del actor (alumno), pero el producto de esta actividad es una explicación de ciertos conocimientos que se han convertidos en públicos, y después en institucionalizados. La referencia cultural y el análisis del uso que se hará de los conocimientos, los convertirá  en saber cultural." BROUSSEAU, G. y CENTENO, J.: La mémoire du sytmème didactique", en Recherches en Didactique des Mathématiques, vol 11.2-3, 1991, Grenoble, La pensée Sauvage, p.176

"La institucionalización es el cambio de régimen de los conocimientos que se instituyen como saberes. Importa determinar en qué‚ medida, por qué beneficio, en términos de saber, el alumno será actor de esta transformación. El objetivo, para él, es la entrada en una cultura matemática que sería una cultura con la cual y en la cual, él ha podido jugar" ROUCHIER, A,: Étude de la conceptualisation dans le système didactique en mathématique et informatuique élémentaires: porportionalité, structures itérativo-récursives, institusionalisation, Thèse d'État, Université d'Orleans, 1991, p.31.

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