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Algunas demostraciones del teorema de Pit´agoras
ximadamente en el a˜no 290 de nuestra era y muri´o alrededor del 350. Es considerado como el u´ ltimo de los grandes ge´ometras griegos. La demostraci´on de Pappus est´a tambi´en basada en la proposici´on 4, y la describiremos a continuaci´on. Sea ABC un tri´angulo rect´angulo y dibujemos en cada uno de sus lados un cuadrado. Sea P la base de la altura sobre la hipotenusa, y continuemos esta recta en las dos direcciones: por un lado hasta el punto Q, que es la intersecci´on con HI; y por otro lado hasta T que es la intersecci´on con la prolongaci´on de F G. Como EC es paralela a F G y AF es paralela a DE, el punto T est´a en la intersecci´on de las rectas F G y DE. I
Q H D
A P
E
C
B
A′
T
F
C′
G
La proposici´on 4 implica que los paralelogramos ADEB y AA′ T B tienen la misma a´ rea. Adem´as, los lados el tri´angulo BET cumplen que AB = BE, BC = ET y AC = BT . Luego, BT = AA′ = AC = AI y los paralelogramos AA′ T B y AP QI tienen la misma a´ rea. An´alogamente, concluimos que BT C ′ C y P CHQ tienen la misma a´ rea. Calculando estas a´ reas en t´erminos de los lados del tri´angulo ABC concluimos que AB 2 + BC 2 = AC 2 .
Algunas demostraciones gr´aficas
Como siempre tomemos un tri´angulo rect´angulo ABC. Llamemos a, b y c a las longitudes de los lados AB, BC y AC, respectivamente. En la figura, los cuatro tri´angulos son congruentes entre si y congruentes a ABC.