´ c °2009 Jorge Juan Gil Nobajas y Angel Rubio D´ıaz-Cordov´es
La funci´on de transferencia que relaciona la fuerza aplicada a la masa y su desplazamiento aparece en (9.2), sustituyendo tambi´en los valores num´ericos. G(s) =
9.2.1.
1 4 = ms2 + cs s(s + 2)
(9.2)
Ajuste por el lugar de las ra´ıces
La introducci´on de un polo y un cero en el sistema puede beneficiar al r´egimen transitorio, es decir, puede hace el sistema m´as r´apido si el nuevo cero est´a m´as cerca del origen que el nuevo polo. En ese caso, las ramas del lugar de las ra´ıces se alejan del eje imaginario del plano S. Por tanto, se puede elegir una ganancia para el sistema que deje los polos dominantes del sistema con un tiempo de establecimiento menor. S Sistema compensado
–b
S
Sistema sin compensador
Sistema sin compensador
–a
–a
Sistema mal compensado
–b
Figura 9.4: Efecto de la adici´on de un polo y un cero en el lugar de las ra´ıces Este efecto se muestra cualitativamente en la Fig. 9.4 y justifica la definici´on del compensador de adelanto de fase de la ecuaci´on (9.1), donde se dec´ıa a < b. Evidentemente, la localizaci´on de polo y del cero del compensador depender´a de cu´anto se quiera alejar las ramas del lugar de las ra´ıces del eje imaginario. Son las especificaciones que se deseen conseguir las que van a marcar la separaci´on relativa del nuevo polo y cero. Resulta casi inmediato, a partir de los requerimientos de tiempo de establecimiento y sobreimpulso calcular los polos dominantes objeto del dise˜ no. Mp ≤ 0.2 ⇒ ζ ≥ 0.45, se elige ζ = 0.5 (9.3) ts ≤ 2 segundos ⇒ ωn ≥ 4 rad/s, se elige ωn = 4 rad/s p p4 = −ζωn ± ωn 1 − ζ 2 j = −2 ± 3.46j
(9.4) (9.5)
Con el valor de sobreimpulso se elige un valor para el amortiguamiento de los polos objetivo, ecuaci´on (9.3), y con ´este y el tiempo de establecimiento se calcula la frecuencia natural, ecuaci´on (9.4). La posici´on final de los polos objetivo, ecuaci´on (9.5), depende de las elecciones que haya realizado el ingeniero. Es dif´ıcil que dos ingenieros obtengan exactamente la misma soluci´on num´erica para un mismo problema. Por tanto, las soluciones que se proponen en estos apuntes no son las u ´nicas que se pueden dar correctamente para cada problema. Obtenida la localizaci´on de los polos objetivo, se aplica en ese punto la condici´on del ´angulo. Esto se realiza precisamente porque se quiere garantizar que esos puntos pertenecen al nuevo lugar de las ra´ıces del sistema. Evidentemente, la condici´on del ´angulo se debe aplicar teniendo en cuenta el nuevo polo y cero que introduce el compensador, cuya posici´on todav´ıa est´a por determinar, Fig. 9.5. m X i=1
z[ i p4 −
n X
◦ p[ j p4 = θz − θp − θ1 − θ2 = φc − θ1 − θ2 = −180
(9.6)
j=1
En la ecuaci´on (9.6) los ´angulos vistos desde los polos o ceros de la planta son conocidos. La u ´nica inc´ognita es la diferencia de ´angulos del cero y polo del compensador. A esa diferencia se le llamar´a φc 91