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Chapitre 3 Le son Objectif intermédiaire 2.3 Employer les ondes sonores pour décrire la résonance dans des tuyaux ouverts ou fermés, l'effet Doppler et le battement. Objectif intermédiaire 2.4 Connaître les notions d'intensité et de niveau de puissance acoustique, puis les employer pour décrire les ondes sonores émises par une source ponctuelle. Perturbations sonores Une corde ou une membrane vibrante produit des ondes sonores dans l'air environnant. La corde, ou la membrane, en vibrant dans l'air, produit une perturbation dans le gaz qui se traduit par une augmentation suivie d'une diminution locale de la pression. L'augmentation de pression résulte de la compression de l'air par le corde ou la membrane; puis, la diminution de pression correspond à une raréfaction de l'air. Ainsi, on a

P = P0 + ∆P où et

P P0 ∆P

est la pression de l'air en pascals, est la pression d'équilibre en pascals est la variation de pression de la zone de compression en pascals.

La perturbation se propage de proche en proche comme une onde progressive. Une membrane verticale ayant de petites oscillations harmoniques simples produit des ondes progressives sinusoïdales. La propagation des ondes sonores produites par la membrane s'effectue horizontalement devant la surface de la membrane. La compression et la raréfaction de l'air en un point sont obtenues par le déplacement des molécules présentes dans l'air par rapport à leur position d'équilibre. Pour une membrane verticale, les zones de compression et de raréfaction sont verticales; le déplacement des molécules est alors horizontal. L'onde sonore est une onde longitudinale car une propagation horizontale correspond à un déplacement horizontal des molécules. ∆P ∆P0

Les ondes sonores peuvent être décrites à l'aide du déplacement longitudinal des molécules par rapport à leur position d'équilibre. De plus, les ondes sonores peuvent être décrites par la variation de pression par rapport à la pression d'équilibre. Les ondes de pression et de déplacement sont déphasées de 90°.

x

-∆P0

∆r ∆r0

→ ∆r0

→ ∆r0

→ ∆r0

-∆r0

La vitesse de propagation des ondes sonores dépend des caractéristiques du milieu de propagation; soit

x


Chapitre 3: Le son

Page C3-2

v= où et

v K ρ

K ρ

est la vitesse du son en mètres par seconde, est le module de compressibilité en newtons par mètre carré est la masse volumique en kilogrammes par mètre cube.

Le module de compressibilité est défini par

K=où

et Note: 1.

K ∆P ∆V V

∆P ∆V/V

est le module de compressibilité en newtons par mètre carré, est la variation de pression de la zone de compression en pascals, est la variation de volume de la zone de compression en mètres cubes est le volume de la zone de compression en mètres cubes.

Dans un matériau compressible, une variation de pression produit une variation de volume. Le module de compressibilité établit la relation entre la variation de pression et la variation de volume. Un bruit (très fort) produit une variation locale de pression de 28 Pa lors du passage de la perturbation sonore. À 1 atm et 0°C, le module de compressibilité de l'air est de 1,41⋅105 N/m2 et la masse volumique de l'air est 1,29 kg/m3.

Rappel: 1 atmosphère = 1 atm = 101,3 kPa 3 3 1 litre = 1 L = 1000 cm = 0,001 m a)

Quelle est la variation de volume d'un litre d'air subissant une variation de pression de 28 Pa ?

b)

Quelle est la vitesse du son dans l'air à 1 atm et 0°C ?

Résonance dans un tuyau fermé à un bout λ1 À l'extrémité fermée d'un tuyau, la condition aux limites impose à l'onde sonore un déplacement nul des molécules d'air puisque la paroi s'y oppose. Lors de la résonance dans le tuyau, il doit nécessairement y avoir un noeud dans l'onde de déplacement à l'extrémité fermée du tuyau. Ainsi, il y a un ventre dans l'onde de pression à l'extrémité fermée du tuyau.

L λ3

L

n=1 λ5

n=2

L

n=3

Attention : Les cas 1,2,3 donnent λ1, λ3, λ5. À l'extrémité ouverte d'un tuyau, la condition aux limites impose à l'onde sonore un déplacement maximal des molécules d'air puisque l'ouverture n'offre aucune opposition. Lors de la résonance dans le tuyau, il doit

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Chapitre 3: Le son

Page C3-3

nécessairement y avoir un ventre dans l'onde de déplacement à l'extrémité ouverte du tuyau. Ainsi, il y a un noeud dans l'onde de pression à l'extrémité ouverte du tuyau. Le mode fondamental dans un tuyau fermé à un bout correspond à une onde stationnaire n'ayant qu'un noeud (à l'extrémité fermée) et qu'un ventre (à l'extrémité ouverte). Ainsi, la longueur d'onde du mode fondamental est

λ1 = 4 L où et

λ1 L

est la longueur d'onde de l’harmonique fondamentale en mètres est la longueur du tuyau en mètres.

D'après les conditions aux limites, les modes de résonance dans un tuyau fermé à un bout sont

4L  λ1  λ 2n −1 = 2n − 1 = 2n − 1    f 2n −1 = v = ( 2n − 1 ) v = 2n − 1  4L 4L λ 2n −1 où

et

λ 2n−1 λ1 L n f 2n −1 v K ρ

K ρ

est une longueur d'onde de résonance d’un tuyau ouvert à un bout en mètres, est la longueur d'onde de l’harmonique fondamentale en mètres, est la longueur du tuyau en mètres, est un nombre entier positif ( n =1,2,3,...), est une fréquence de résonance d’un tuyau ouvert à un bout en mètres, est la vitesse du son en mètres par seconde, est le module de compressibilité en newtons par mètre carré est la masse volumique en kilogrammes par mètre cube.

2.

Un tuyau fermé à un bout possède une longueur de 1,2 m. La vitesse du son dans ce tuyau vaut 330 m/s.

a)

Quelles sont les longueurs d'onde des trois premiers modes de résonance ?

b)

Quelles sont les fréquence des trois premiers modes de résonance ?

Résonance dans un tuyau ouvert aux deux bouts

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Chapitre 3: Le son

Page C3-4 λ1

Les conditions aux limites imposent des déplacements maximaux des molécules dans l'air aux extrémités d'un tuyau ouvert aux deux bouts. À la résonance, le mode fondamental correspond à une onde stationnaire ayant deux ventres (aux extrémités) et un noeud (au centre). Ainsi, la longueur d'onde du mode fondamental est

L λ2

n=1

L

n=2

λ1 = 2 L où et

λ1 L

n=3 λ3

L

est la longueur d'onde de l’harmonique fondamentale en mètres est la longueur du tuyau en mètres.

D'après les conditions aux limites, les modes de résonance dans un tuyau ouvert aux deux bouts sont

 λ1 2 L λn = =  n n    f n= v = n v = n  λn 2 L 2 L où

et

λn λ1 L n fn v K ρ

K ρ

est une longueur d'onde de résonance d’un tuyau ouvert aux deux bouts en mètres, est la longueur d'onde de l’harmonique fondamentale en mètres, est la longueur du tuyau en mètres, est un nombre entier positif ( n =1,2,3,...), est une fréquence de résonance d’un tuyau ouvert aux deux bouts en mètres, est la vitesse du son en mètres par seconde, est le module de compressibilité en newtons par mètre carré est la masse volumique en kilogrammes par mètre cube.

3.

Un tuyau ouvert aux deux bouts possède une longueur de 1,2 m. La vitesse du son dans ce tuyau vaut 330 m/s.

a)

Quelles sont les longueurs d'onde des trois premiers modes de résonance ?

b)

Quelles sont les fréquences des trois premiers modes de résonance ?

Effet Doppler Un son peut être perçu à une autre fréquence que celle émise si l'observateur ou la source sonore est en mouvement. Ainsi, le son d'une sirène de police est plus aigüe lorsqu'elle s'approche et plus grave lorsqu'elle s'éloigne. Le changement de la fréquence du son est plus important si la vitesse de déplacement de la sirène est grande. C'est l'effet Doppler. Effet Doppler pour une source immobile

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Chapitre 3: Le son

Page C3-5 Source sonore

Si l'observateur se rapproche d'une source sonore immobile, il rencontrera un certain nombre de fronts d'onde de plus que lorsqu'il est immobile. Après un certain temps, ce nombre est

N = vO λ où

N

et

v0 t λ

Observateur → v

t

→ v0

λ

est le nombre de fronts d'onde rencontrés (durant le temps t ) de plus dû au déplacement de l'observateur, est la vitesse de l'observateur (vers la source) en mètres par seconde, est le temps en secondes est la longueur d'onde du son émis par la source en mètres.

Pour un observateur se rapprochant d'une source sonore immobile, la fréquence du son perçue par l'observateur est

v t vO t + λ = v + vO f ′= λ t λ où

et

f′ v t λ v0

est la fréquence du son perçue par l'observateur en hertz, est la vitesse du son en mètres par seconde, est le temps en secondes, est la longueur d'onde du son émis par la source en mètres est la vitesse de l'observateur (vers la source) en mètres par seconde.

De même, pour un observateur s'éloignant d'une source sonore immobile, la fréquence du son perçue par l'observateur est

v t vO t λ = v - vO f ′= λ t λ où

et

f′ v t λ v0

est la fréquence du son perçue par l'observateur en hertz, est la vitesse du son en mètres par seconde, est le temps en secondes, est la longueur d'onde du son émis par la source en mètres est la vitesse de l'observateur (vers la source) en mètres par seconde.

En général, pour un observateur en mouvement et une source sonore immobile, la fréquence du son perçue par l'observateur est

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Chapitre 3: Le son

Page C3-6 f ′=

et Note:

f′ v v0 λ f

v ± vO  v v  v  = 1± O  = 1± O  f λ v λ  v  

est la fréquence du son perçue par l'observateur en hertz, est la vitesse du son en mètres par seconde, est la vitesse de l'observateur (vers la source) en mètres par seconde, est la longueur d'onde du son émis par la source en mètres est la fréquence du son émis par la source en hertz.

Le signe du haut s'applique pour v 0 favorisant un rapprochement relatif. Le signe du bas s'applique pour v 0 favorisant un éloignement relatif.

4.

Un observateur se déplace par rapport une source immobile émettant un son ayant une fréquence de 440 Hz. La vitesse de l'observateur est de 10 m/s et la vitesse du son dans l'air est de 345 m/s.

a)

Quelle est la fréquence du son perçue par l'observateur si celui-ci se rapproche de la source ?

b)

Quelle est la fréquence du son perçue par l'observateur si celui-ci s'éloigne de la source ?

Effet Doppler pour une source en mouvement Source sonore Si une source sonore se rapproche d'un observateur immobile, elle se déplace d'une certaine distance. Après la durée d'une période du son émis, cette distance est

D = vS T =

Observateur

→ vS

→ v

vS f λ

et

D vS T f

Note: On suppose |vS| < |v|

est la distance parcourue par la source (durant une période T ) en mètres, est la vitesse de la source (vers l'observateur) en mètres par seconde, est la période du son émis par la source en secondes est la fréquence du son émis par la source en hertz.

Pour une source sonore se rapprochant de l'observateur, la longueur d'onde vue par l'observateur est

λ′ = v T - v S T = où

λ′ v T

v - vS f

est la longueur d'onde du son perçue par l'observateur en mètres, est la vitesse du son en mètres par seconde, est la période du son émis par la source en secondes,

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Chapitre 3: Le son

et

vS f

Page C3-7

est la vitesse de la source (vers l'observateur) en mètres par seconde est la fréquence du son émis par la source en hertz.

De même, pour une source sonore s'éloignant de l'observateur, la longueur d'onde vue par l'observateur est

λ′ = v T + v S T = où

et

λ′ v T vS f

v + vS f

est la longueur d'onde du son perçue par l'observateur en mètres, est la vitesse du son en mètres par seconde, est la période du son émis par la source en secondes, est la vitesse de la source (vers l'observateur) en mètres par seconde est la fréquence du son émis par la source en hertz.

En général, pour une source sonore en mouvement et un observateur immobile, la longueur d'onde du son vue par l'observateur est

λ′ = où

et

λ′ v vS f λ

v # vS  v v  v  = 1# S  = 1# S λ f v  f  v  

est la longueur d'onde du son perçue par l'observateur en mètres, est la vitesse du son en mètres par seconde, est la vitesse de la source (vers l'observateur) en mètres par seconde, est la fréquence du son émis par la source en hertz est la longueur d'onde du son émis par la source en mètres.

Ainsi, pour une source sonore en mouvement et un observateur immobile, la fréquence du son perçue par l'observateur est

 v  1 f ′= =  λ′  # v S  1 v  où

et Note:

f′ v λ′ vS λ f

  v  1  =  λ  1 # vS   v  

  f   

est la fréquence du son perçue par l'observateur en hertz, est la vitesse du son en mètres par seconde, est la longueur d'onde du son perçue par l'observateur en mètres, est la vitesse de la source (vers l'observateur) en mètres par seconde, est la longueur d'onde du son émis par la source en mètres est la fréquence du son émis par la source en hertz.

Le signe du haut s'applique pour v S favorisant un rapprochement relatif. Le signe du bas s'applique pour v S favorisant un éloignement relatif.

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Chapitre 3: Le son

Page C3-8

5.

Une source sonore se déplace par rapport un observateur immobile. La source émet un son ayant une fréquence de 440 Hz. La vitesse de la source est de 10 m/s et la vitesse du son dans l'air est de 345 m/s.

a)

Quelle est la fréquence du son perçue par l'observateur si celui-ci se rapproche de la source ?

b)

Quelle est la fréquence du son perçue par l'observateur si celui-ci s'éloigne de la source ?

Effet Doppler pour une source et un observateur en mouvement En combinant le résultat pour une source en mouvement avec celui pour un observateur en mouvement, on a

 vO  1± v f ′ = v  1# S  v  où

et Note:

f′ v0 v vS f

   v ± vO   f = f v # vS     

est la fréquence du son perçue par l'observateur en hertz, est la vitesse de l'observateur (vers la source) en mètres par seconde, est la vitesse du son en mètres par seconde, est la vitesse de la source (vers l'observateur) en mètres par seconde est la fréquence du son émis par la source en hertz.

Le signe du haut s'applique pour v 0 ou v S favorisant un rapprochement relatif. Le signe du bas s'applique pour v 0 ou v S favorisant un éloignement relatif.

6.

Une source émet émettant un son ayant une fréquence 440 Hz. La vitesse de l'observateur est de 10 m/s, la vitesse de la source est de 5 m/s et la vitesse du son dans l'air est de 345 m/s.

a)

Quelle est la fréquence du son perçue par l'observateur pour un rapprochement relatif sourceobservateur de 15 m/s ?

b)

Quelle est la fréquence du son perçue par l'observateur pour un rapprochement relatif sourceobservateur de 5 m/s ?

c)

Quelle est la fréquence du son perçue par l'observateur pour un relatif éloignement sourceobservateur de 5 m/s ?

d)

Quelle est la fréquence du son perçue par l'observateur pour un éloignement relatif sourceobservateur de 15 m/s ?

Battements acoustiques

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Chapitre 3: Le son

Page C3-9 déplacement y(t)

Le phénomène des battements (interférence temporelle) est audible lorsque deux sons de fréquences rapprochées se combinent pour donner un son plus grave à la fréquence des battements. Deux oscillations harmoniques de même amplitude et de fréquences différentes illustrent bien le phénomène des battements. Le principe de superposition permet de trouver le déplacement total.

modulation

2A A t -A -2A

y1(t) Tbat

y2(t) Note: φ1=φ1=0 fbat=|∆f |=1/Tbat

Rappel:

 A± B   A# B  sin A ± sin B = 2 sin   cos    2   2  Si les constantes de phase sont nulles, le déplacement résultant est

y(t) = y1 (t) + y 2 (t)

= A sin ( 2 π f 1 t )+ A sin ( 2 π f 2 t

)

   f -f    f + f2   = 2 A cos  2 π  2 1  t  sin  2 π  1 t  2 2        

(

= 2 A cos ( π ∆f t ) sin 2 π f t

et

y(t) y1(t) y 2(t) f1 f2 t A ∆f f

)

est le déplacement résultant (à l’instant t ) en mètres, o

est le déplacement de l’onde n 1 (à l’instant t ) en mètres, o

est le déplacement de l’onde n 2 (à l’instant t ) en mètres, o

est la fréquence de l’onde n 1 en hertz, o

est la fréquence de l’onde n 2 en hertz, est le temps en secondes, o o est l'amplitude des ondes n 1 et n 2 en mètres, est la différence de fréquences en hertz est la fréquence moyenne en hertz.

La superposition de deux ondes sonores de fréquences voisines produisent une fréquence audible perçue à est la fréquence moyenne dont l’intensité varie. La variation de l’intensité est due à la modulation de l’amplitude et elle est perceptible si elle est lente (| ∆f | <20 Hz). Les perturbations dans le milieu de propagation produisent des oscillations à la fréquence moyenne. La modulation est responsable de la fréquence de battement qui est égale à la différence de fréquence. La fréquence de modulation est

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Chapitre 3: Le son

Page C3-10 f mod =

où et

f mod ∆f f bat

| ∆f | f bat = 2 2

est la fréquence de modulation en hertz, est la différence de fréquences en hertz, est la fréquence de battements en hertz.

La modulation de l’amplitude est donnée par

(

 y(t) = 2 A cos ( π ∆f t ) sin 2 π f t   = y mod (t ) sin 2 π f t

(

et

y(t) A ∆f t f y mod (t )

)

)

⇒ y mod (t ) = 2A cos ( π ∆f t

)

est le déplacement résultant (à l’instant t ) en mètres, o

o

est l'amplitude des ondes n 1 et n 2 en mètres, est la différence de fréquences en hertz, est le temps en secondes, est la fréquence moyenne en hertz est la modulation de l’amplitude en mètres.

7.

Deux ondes sonores se superposent et forment des battements. Les fréquences des ondes sonores sont de 950 Hz et 1 050 Hz. L'amplitude des ondes de pression est de 1⋅10-2 Pa.

a)

Quelle est l'amplitude de la modulation ?

b)

Quelle est la fréquence des battements ?

c)

Quelle fréquence est perçue à l’oreille ?

Vitesse de son Les ondes sonores sont des ondes longitudinales qui provoquent la compression du milieu de propagation. Dans la zone de compression, la variation de pression est proportionnelle à la variation relative de volume; soit

K=où

et

K ∆P ∆V V

∆P ∆V/V

est le module de compressibilité en newtons par mètre carré, est la variation de pression de la zone de compression en pascals, est la variation de volume de la zone de compression en mètres cubes est le volume de la zone de compression en mètres cubes.

La variation de pression sur les deux faces d'une zone de compression est à l'origine d'une force qui provoque le déplacement des molécules de fluide; soit

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Chapitre 3: Le son

Page C3-11 F R = [ (P0 + p1 ) - ( P0 + p 2

et

FR P0 p1 , p 2

$

) ] $ = ( p1 - p2 ) $

est la force résultante exercée sur la zone de compression en newtons, est la pression d'équilibre en pascals, o

o

sont les variations de pression sur les faces n 1 et n 2 de la zone de compression en pascals est la section de la zone de compression en mètres carrés.

Pour une mince zone de compression verticale, le volume de la zone de compression est

V

V = $ ∆x où

V

$ et

∆x

Note: et

P0 x1

est le volume de la zone de compression en mètres cubes, est la section de la zone de compression en mètres carrés est l'épaisseur de la zone de compression en mètres.

∆P1=p1 ∆P2=p2

$

P0 ∆x V

∆s

P0+p1 s1

P0+p2 ∆x

$

∆V

s2

Durant un court intervalle de temps, les molécules dans le fluide se déplacent et l'épaisseur de la zone de compression varie. Durant cet intervalle de temps, la variation du volume de la zone de compression est

∆V = $ ∆s où

∆V

et

∆s

Note:

$

est la variation de volume de la zone de compression en mètres cubes, est la section de la zone de compression en mètres carrés est la variation de l'épaisseur de la zone de compression en mètres. re

e

Les déplacements de la 1 et 2 face de la zone ne sont pas les mêmes. La différence entre les déplacements sur les faces provient de la différence entre les déplacements des molécules le long de l'onde sonore.

Le module de compressibilité donne la relation entre la variation de pression et le déplacement des molécules puisqu'on a

∆V = V où

∆V V

$

∆s ∆x p ∆P

$ ∆s = ∆s $ ∆x ∆x

⇒ p = ∆P = - K

lim ∆x → 0

∆V ∂s =-K ∂x V

est la variation de volume de la zone de compression en mètres cubes, est le volume de la zone de compression en mètres cubes, est la section de la zone de compression en mètres carrés, est la variation de l'épaisseur de la zone de compression en mètres, est l'épaisseur de la zone de compression en mètres, est la variation de pression au centre de la zone de compression en pascals, est la variation de pression de la zone de compression en pascals,

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Chapitre 3: Le son K ∂s ∂x

et Note:

Page C3-12

est le module de compressibilité en newtons par mètre carré est la dérivée du déplacement par rapport à la position.

La variation de pression au centre de la zone est également la variation de pression par rapport à la pression d'équilibre puisque la zone était à la pression d'équilibre avant le passage de la perturbation sonore.

Le résultat précédent est valide en tout point le long de l'onde sonore et sert de relation entre l'onde de pression et l'onde de déplacement. e

La 2 loi de Newton conduit à une équation différentielle; soit 2  ∂ s ∆ ( ) $ = ρ $ x p p  1 2 ∂ t2  2 ∂p  ∂ s = ρ  ∂x ∂ t2 m = ρ V = ρ $ ∆x ⇒  2 2 s s ∂ ∂  K =ρ 2 p 2 - p 1 ∂p 2  = ∂x ∂t lim ∆x ∂x ∆x →0  2 2 ∂ s= ρ ∂ s  ∂s  p= - K ∂ x2 K ∂ t2 ∂x

∂ s FR=m a= m 2 ∂t F R = ( p1 - p 2 ) $ 2

FR m a ∂2s ∂t 2 p1 p2

$

et

ρ V ∆x ∂p ∂x K ∂s ∂x ∂2s ∂x 2

est la force résultante sur la zone de compression en newtons, est la masse de la zone de compression en kilogrammes, est l’accélération de la zone de compression en mètres par seconde carrée, est la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps en mètres par seconde carrée, o est la variation de pression sur la face n 1 de la zone de compression en pascals, o

est la variation de pression sur la face n 2 de la zone de compression en pascals, est la section de la zone de compression en mètres carrés, est la masse volumique en kilogrammes par mètre cube, est le volume de la zone de compression en mètres cubes, est l'épaisseur de la zone de compression en mètres, est la dérivée de la variation de pression par rapport à la position en pascals par mètre, est le module de compressibilité en newtons par mètre carré, est la dérivée du déplacement par rapport à la position est la dérivée seconde du déplacement par rapport à la position en mètres inverses.

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Chapitre 3: Le son

Page C3-13

Par comparaison avec l'équation d'onde, on a

     où

et

∂2s ∂x 2 v ∂2s ∂t 2 ρ K

2 ∂ s 1 = ∂ x 2 v2 2 ∂ s= ρ ∂ x2 K

∂ s ∂ t2 K ⇒ v= 2 ρ ∂ s 2 ∂t 2

est la dérivée seconde du déplacement par rapport à la position en mètres inverses, est la vitesse du son en mètres par seconde, est la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps en mètres par seconde carrée, est la masse volumique en kilogrammes par mètre cube est le module de compressibilité en newtons par mètre carré.

Ondes sonores e

Les ondes sonores progressives découlent de la 2 loi de Newton et de l'équation d'onde. L'équation d'onde pour le déplacement de molécules est à l'origine de l'onde de déplacement. L'onde de déplacement est une onde progressive pouvant être décrite par

s(x,t) = s0 sin ( k x - ω t + φS où

et

s(x,t) s0 k x ω t φS

)

est le déplacement (à la position x et à l’instant t ) en mètres, est l'amplitude de l’onde sonore en mètres, est le nombre d’ondes en mètres inverses, est la position en mètres, est la pulsation en radians par seconde, est le temps en secondes est la constante de phase de l’onde sonore en radians.

Puis, l'onde de pression est donnée par

p(x,t) = - K où

p(x,t) K ∂s ∂x k s0 x

∂s = - K k s0 cos ( k x - ω t + φS ∂x

)

est la variation de pression (à la position x et à l’instant t ) en pascals, est le module de compressibilité en newtons par mètre carré, est la dérivée du déplacement par rapport à la position, est le nombre d’ondes en mètres inverses, est l'amplitude de l’onde sonore en mètres, est la position en mètres,

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Chapitre 3: Le son

et

ω t φS

Page C3-14

est la pulsation en radians par seconde, est le temps en secondes est la constante de phase de l’onde sonore en radians.

Par comparaison avec une onde progressive, on a

p(x,t) = p0 sin ( k x - ω t + φP )    p(x,t) = - K k s0 cos ( k x - ω t + φS où

et

p(x,t) p0 k x ω t φP K s0 φS

)

 p 0 = K k s0  ⇒  3π  φP = φS + 2

est la variation de pression (à la position x et à l’instant t ) en pascals, est l'amplitude de l'onde de pression en pascals, est le nombre d’ondes en mètres inverses, est la position en mètres, est la pulsation en radians par seconde, est le temps en secondes est la constante de phase de l’onde de pression en radians, est le module de compressibilité en newtons par mètre carré, est l'amplitude de l’onde sonore en mètres est la constante de phase de l’onde sonore en radians.

L'amplitude de l'onde de pression s'exprime aussi sous d'autres formes; soit

v= où

et

v K ρ ω k p0 s0

K ω ⇒ p0 = K k s0 = ρ v 2 k s0 = ρ ω v s0 = ρ k

est la vitesse du son en mètres par seconde, est le module de compressibilité en newtons par mètre carré, est la masse volumique en kilogrammes par mètre cube, est la pulsation en radians par seconde, est le nombre d’ondes en mètres inverses, est l'amplitude de l'onde de pression en pascals est l'amplitude de l’onde sonore en mètres.

8.

À 1 kHz, une onde sonore de 29,2 Pa d'amplitude correspond au seuil de la douleur pour l'oreille et une onde sonore de 2,92⋅10-5 Pa correspond au seuil de perception pour l'oreille. La vitesse du son est de 330,6 m/s et la masse volumique de l'air est 1,29 kg/m3.

a)

Quelle est l'amplitude de l'onde de déplacement des molécules dans l'air au seuil de la douleur à 1 kHz ?

b)

Quelle est l'amplitude de l'onde de déplacement des molécules dans l'air au seuil de perception à 1 kHz ?

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Chapitre 3: Le son

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Intensité sonore La puissance transmise par une onde sonore est calculée par la force exercée par une zone sur la zone re re e voisine. Si la pression dans la 1 zone est à la pression d'équilibre, la force exercée par la 1 zone sur la 2 zone. Cette force due à la variation de pression est

 F(x,t) = [ ( P0 + p(x,t) ) - P0 ] $ = p(x,t) $  = p0 $ sin ( k x - ω t + φP )   = - p0 $ cos ( k x - ω t + φS )  où

F(x,t) P0

$

et

p(x,t) p0 k x ω t φS

est la force (à la position x et à l’instant t ) en newtons, est la pression d'équilibre en pascals, est la section de la zone de compression en mètres carrés, est la variation de pression (à la position x et à l’instant t ) en pascals, est l'amplitude de l'onde de pression en pascals, est le nombre d’ondes en mètres inverses, est la position en mètres, est la pulsation en radians par seconde, est le temps en secondes est la constante de phase de l’onde sonore en radians.

La vitesse de déplacement des molécules due à la perturbation sonore est

v(x,t) = où

et

v(x,t) ∂s ∂t s0 k x ω t φS

∂s ∂ = [ s0 sin ( k x - ω t + φS ∂t ∂t

) ]= - ω s0 cos ( k x - ω t + φS )

est la vitesse (à la position x et à l’instant t ) en mètres par seconde, est la dérivée du déplacement par rapport au temps en mètres par seconde, est l'amplitude de l’onde sonore en mètres, est le nombre d’ondes en mètres inverses, est la position en mètres, est la pulsation en radians par seconde, est le temps en secondes est la constante de phase de l’onde sonore en radians.

Ainsi, la puissance instantanée et moyenne sont données par

∂  3(x,t) = F(x,t) v(x,t) = p(x,t) $ s = p0 $ ω s0 cos2 ( k x - ω t + φs )  ∂t  T T  p0 $ ω s0 2  3 = 1 3(x,t) dt = p0 $ ω s0  1 ( ) k x ω t + dt φ cos s ∫ ∫  T 0  =  T 0 2 Tous droits réservés, Richard Fradette.


Chapitre 3: Le son où

3(x,t) F(x,t) v(x,t)

$

∂s ∂t p0 ω s0 k x t φS

3

est la puissance instantanée transmise (à la position x et à l’instant t ) en watts, est la force (à la position x et à l’instant t ) en newtons, est la vitesse (à la position x et à l’instant t ) en mètres par seconde, est la section de la zone de compression en mètres carrés, est la dérivée du déplacement par rapport au temps en mètres par seconde, est l'amplitude de l'onde de pression en pascals, est la pulsation en radians par seconde, est l'amplitude de l’onde sonore en mètres, est le nombre d’ondes en mètres inverses, est la position en mètres, est le temps en secondes, est la constante de phase de l’onde sonore en radians, est la puissance moyenne transmise en watts est la période du son émis par la source en secondes.

T

et

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La puissance moyenne transmise s'exprime aussi sous d'autres formes; soit

p0 $ ω s0 ρ $ ω2 s02 v  3 = =  2 2  p 0 = ρ ω v s0 ⇒  2  3 = p0 $ ω s0 = p0 $  2 2ρv où

et

p0 ρ ω v s0

3 $

est l'amplitude de l'onde de pression en pascals, est la masse volumique en kilogrammes par mètre cube, est la pulsation en radians par seconde, est la vitesse du son en mètres par seconde, est l'amplitude de l’onde sonore en mètres, est la puissance moyenne transmise en watts est la section de la zone de compression en mètres carrés.

L'intensité sonore est définie par

I(x,t) =

et

3(x,t) où $

3(x,t) $

I(x,t)

est l'intensité sonore (à la position x et à l’instant t ) en watts par mètre

carré, est la puissance instantanée transmise (à la position x et à l’instant t ) en watts est la section de la zone de compression en mètres carrés.

Ainsi, pour l'intensité sonore moyenne, on a

3 p0 ω s0 ρ ω2 s02 v p02 I= = = = $ 2 2 2ρ v Tous droits réservés, Richard Fradette.


Chapitre 3: Le son

et

I

3 $ p0 ω s0 ρ v

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est l'intensité sonore moyenne en watts par mètre carré, est la puissance moyenne transmise en watts, est la section de la zone de compression en mètres carrés, est l'amplitude de l'onde de pression en pascals, est la pulsation en radians par seconde, est l'amplitude de l’onde sonore en mètres, est la masse volumique en kilogrammes par mètre cube est la vitesse du son en mètres par seconde.

9.

À 1 kHz, une onde sonore de 29,2 Pa d'amplitude correspond au seuil de la douleur pour l'oreille et une onde sonore de 2,92⋅10-5 Pa correspond au seuil de perception pour l'oreille. La vitesse du son est de 330,6 m/s et la masse volumique de l'air est 1,29 kg/m3.

a)

Quelle est l'intensité sonore moyenne d'une onde au seuil de la douleur pour l'oreille à 1kHz ?

b)

Quelle est l'intensité sonore moyenne d'une onde au seuil de perception pour l'oreille à 1 kHz ?

10.

Une source sonore ponctuelle émet une puissance moyenne de 1 mW. La vitesse du son est de 330,6 m/s et la masse volumique de l'air est 1,29 kg/m3.

Note:

Les ondes sonores émises par une source ponctuelle se propagent dans toutes les directions sous forme d'ondes sphériques.

a)

Quelle est l'intensité sonore moyenne à une distance de 1 m de la source ?

b)

Quelle est l'amplitude de l'onde de pression à une distance de 1 m de la source ?

c)

À quelle distance de la source l'intensité sonore moyenne vaut-elle 1⋅10

-12

2

W/m ?

Niveau acoustique -12

2

Étant donné que l'oreille percoit des ondes d'intensité sonore moyenne comprises entre 1⋅10 W/m et 1 2 W/m , il a été nécessaire d'employer une échelle de mesure logarithmique afin de réduire l'étendue des mesures d'intensité sonore perceptibles. Le niveau acoustique est défini par

β = 10 log

I I0

où et

β I I0

est le niveau acoustique en décibels, est l'intensité sonore moyenne en watts par mètre carré -12 2 est l'intensité sonore moyenne au seuil de perception (1⋅10 W/m ).

11.

Le «volume» de l'amplificateur d'un système de son est calibré en décibels.

a)

Quelle est l'intensité sonore moyenne de l'amplificateur lorsque le niveau sonore est à 50 dB ?

b)

Quelle est l'intensité sonore moyenne de l'amplificateur lorsque le niveau sonore est à 100 dB ?

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Chapitre 3: Le son

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c)

Quelle est l'augmentation du niveau sonore de l'amplificateur lorsque l'intensité sonore moyenne est doublée ?

d)

Quelle est l'augmentation du niveau sonore de l'amplificateur lorsque l'intensité sonore moyenne est décuplée (multipliée par dix) ?

12.

À 1 kHz, une onde sonore de 1 W/m2 correspond au seuil de la douleur pour l'oreille et une onde sonore de 1⋅10-12 W/m2 correspond au seuil de perception pour l'oreille.

a)

Quel est le niveau acoustique au seuil de douleur de l'oreille ?

b)

Quel est le niveau acoustique au seuil de perception de l'oreille ?

Solutions 3

1. a) -0,198 6 cm b) 330,6 m/s 2. a) 4,8 m, 1,6 m et 0,96 m b) 68,75 Hz, 206,25 Hz et 343,75 Hz 3. a) 2,4 m, 1,2 m et 0,8 m b) 137,5 Hz, 275,0 Hz et 412,5 Hz 4. a) 452,8 Hz b) 427,2 Hz 5. a) 453,1 Hz b) 427,6 Hz 6. a) 459,4 Hz b) 446,3 Hz c) 433,5 Hz d) 421,1 Hz -2 7. a) 2⋅10 Pa b) 100 Hz c) 1 000 Hz 8. a) 10,90 µm b) 10,90 pm 2 -12 2 9. a) 1 W/m b) 1⋅10 W/m 2 10.a) 79,58 µW/m b) 0,260 5 Pa c) 8,921 km -7 2 -2 2 11.a) 1⋅10 W/m b) 1⋅10 W/m c) 3 dB c) 10 dB 12. a) 120 dB b) 0 dB

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