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Matemรกtica Financeira

012G

Matemรกtica Financeira 4E


Ficha Técnica

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4ª Edição - Maio/2012


Índice

Apresentação............................................................................................................. 7 Lição 1 - O Valor do Dinheiro no Tempo Introdução................................................................................................................. 9 1. Valor Presente e Valor Futuro do Dinheiro................................................ 10 2. Conceitos Financeiros................................................................................... 10 3. Tipos de Juros................................................................................................ 11 3.1 Juros Simples........................................................................................... 11 3.2 Juros Compostos...................................................................................... 14 4. Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Juros....................................................... 16 5. Inflação........................................................................................................... 16 Exercícios Propostos............................................................................................... 17 Lição 2 - Equivalência de Taxas e de Capitais Introdução............................................................................................................... 19 1. Equivalência de Taxas de Juros Simples.................................................... 19 2. Equivalência de Taxas de Juros Compostos............................................... 19 3. Equivalência de Capitais com Juros Compostos........................................ 19 Exercícios Propostos............................................................................................... 23 Lição 3 - Séries Uniformes de Pagamentos e Recebimentos Introdução............................................................................................................... 25 1. Características das Séries Uniformes.......................................................... 25 Exercícios Propostos............................................................................................... 27 Lição 4 – Sistemas de Amortização de Empréstimos Introdução............................................................................................................... 29 1. O que é Amortização..................................................................................... 29 2. Sistema de Amortização Constante............................................................. 29 3. Sistema Francês (ou Sistema Price)............................................................. 31 Exercícios Propostos............................................................................................... 33 Resolução dos Exercícios Propostos...................................................................... 34 Bibliografia.............................................................................................................. 35

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Apresentação

Suponhamos que um jovem receba uma herança de 10 milhões de reais e resolva aplicá-la no mercado financeiro. Um banco paga, para ter esse dinheiro, juros de 5% ao ano. Assim, esse jovem vive a vida sem ter de se preocupar com trabalho, já que recebe, por ano, 500 mil reais. O banqueiro, por sua vez, recebe esse dinheiro e o empresta, a juros de 10% ao ano, a uma empresa que ganha, na produção, 15% ao ano. Parece tudo muito simples, já que todos lucram. Mas, e se todas as pessoas que dispõem de recursos resolvessem parar de produzir e viver de juros? Se isso acontecesse, o banqueiro teria muita oferta de dinheiro, e passaria a pagar cada vez menos por ele. Nesse caso, as aplicações deixariam de ser interessantes, e as pessoas tenderiam a voltar ao mercado produtivo. Sabendo que os capitais existentes no país podem estar na área financeira ou no setor produtivo, vale ressaltar que é importante um equilíbrio no direcionamento desses capitais, já que o setor produtivo é o responsável pela geração de riquezas e, consequentemente, de empregos e melhor qualidade de vida para maior parcela da população. Essa situação serve para ilustrar o funcionamento do mercado de juros, que pode variar muito em decorrência de fatores internos e externos de qualquer sistema econômico. A Matemática Financeira nos auxilia a calcular os ganhos de uma aplicação do nosso dinheiro, seja no mercado financeiro, seja numa empresa. Ela ajuda, também, a verificar os custos de um financiamento: tanto numa loja (compras a prazo) quanto num banco (empréstimo de dinheiro). Matemática Financeira é o conjunto de conceitos matemáticos utilizados para a análise e operacionalização de transações financeiras. Seu objetivo é avaliar as taxas de juros nas aplicações e nos empréstimos, já que, para fazermos uma aplicação, o melhor é procurar a mais alta taxa de juros disponível; e, para um empréstimo, o ideal é procurar a mais baixa taxa de juros disponível. Para chegar a isso, é necessário conhecer conceitos matemáticos como taxa, capital, saber calcular juros, período ideal de aplicação, etc. Assim, vemos que essa disciplina é importante para a gestão de uma empresa e no processo de tomada de decisão financeira, pois estimar o desgaste do dinheiro no tempo é fundamental para avaliar os custos financeiros de uma empresa. 012G/7


LIÇÃO

01

O Valor do dinheiro no tempo Introdução O valor do dinheiro muda ao longo do tempo, e a matemática ajuda-nos a calcular essa transformação. Podemos afirmar que R$ 1,00 hoje jamais será igual a R$ 1,00 em qualquer outro momento. Obs.: obviamente, as mercadorias e produtos não têm seus preços alterados diariamente, mas, periodicamente, sofrem reajustes de preços que visam repor as perdas verificadas em todo o período em que não tiveram aumento. R$ 1,00 Hoje

R$ 1,00 tempo 30 dias depois

Isso ocorre porque o dinheiro perde valor ao longo do tempo. O que compramos com R$ 100,00 hoje, dificilmente poderá ser comprado daqui a dois anos, pelos mesmos R$ 100,00. Isso significa que o dinheiro perde poder aquisitivo. Existem vários motivos que levam à desvalorização do dinheiro. Por exemplo, podemos citar a inflação, nossa velha conhecida. Mas é importante saber que nem sempre ela é a principal causadora da perda do poder aquisitivo do dinheiro.

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Se o dinheiro necessariamente perde valor, o maior desafio para quem guardou parte de sua renda e possui dinheiro poupado é manter o valor dessa economia ou poupança; ou seja, impedir que o dinheiro perca valor com o passar do tempo. Por outro lado, quem não tem poupança e precisa de dinheiro emprestado terá que compensar aquele que empresta, pois o pagamento do empréstimo será naturalmente efetuado em data futura. Para todas essas questões, a Matemática Financeira fornece métodos e técnicas que permitem o cálculo das perdas e dos ganhos do dinheiro ao longo do tempo.

1. Valor Presente e Valor Futuro do Dinheiro Se o dinheiro desvaloriza-se com o tempo, o primeiro fato a ser considerado é o de que o valor do dinheiro hoje é diferente do valor do dinheiro em qualquer data futura. Sendo assim, o dinheiro tem um valor presente e um valor futuro. Valor presente é aquele que, na escala do tempo, está localizado no momento atual (ou na data de hoje), também chamado de data-zero. Valor futuro é aquele que se encontra em qualquer data após a data zero. Pode ser aquele de um dia depois, um mês depois, um ano depois, dez anos depois. Valor Presente

Valor Futuro tempo

Data de hoje

Data futura

é imprescindível. Veremos aqui, os mais importantes. • Capital ou Principal: é a quantia de dinheiro transacionada1  numa operação, seja ela de aplicação ou empréstimo. Quando alguém aplica na Caderneta de Poupança, o valor investido é chamado de capital ou de principal da aplicação. Contrariamente, quando alguém vai ao banco e toma dinheiro emprestado, o valor do recurso cedido pelo banco é chamado de principal da dívida ou capital do banco. • Juros: é a remuneração do capital ou principal. Ao se tomar dinheiro emprestado, remunera-se com juros quem cedeu o dinheiro (geralmente, o banco). Ao se aplicar um recurso, os juros representam a remuneração da aplicação financeira (nesse caso, o banco remunera o investidor). Os juros impedem que o dinheiro desvalorize ao longo do tempo, compensando quem investe e quem empresta dinheiro. • Montante: é o valor composto pelo principal acrescido de juros. Quando alguém aplica na Caderneta de Poupança um determinado valor (principal) durante 6 meses, por exemplo, o montante dessa operação será composto do principal mais os juros acumulados ao longo desse tempo de aplicação. • Taxa de Juros: é a remuneração do capital expressa em porcentagem por unidade ou período de tempo, que pode ser mensal, trimestral, anual, etc. Por exemplo, a Caderneta de Poupança remunera seus aplicadores com juros de 6% ao ano. Em termos relativos, 6% equivalem a 0,06 do principal. • Período de Capitalização: refere-se àquele período de tempo (mês, ano, etc.) em que os

2. Conceitos Financeiros Para quem estuda Matemática Financeira, o conhecimento de alguns conceitos

1 Transacionada: aquilo que foi objeto de transação, que foi negociado. No contexto acima, diz respeito à quantia de dinheiro que foi empregada numa aplicação.

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juros serão efetivamente calculados e somados a uma dívida (no caso de empréstimos) ou aplicação (no caso de investimentos).

3. Tipos de Juros 3.1 Juros Simples Os juros simples são calculados pelo chamado regime de capitalização simples, o que significa dizer que não há incidência de juros sobre juros, ou seja, o juro é resultado da taxa de juros por período (mês, ano, etc.) multiplicada somente pelo principal. Vejamos um exemplo. Exemplo: O Sr. Martins aplicou R$ 1.000,00 em um banco pelo período de três meses. Ao final do trimestre, ele receberá do banco os R$ 1.000,00 que aplicou; além disso, ao final de cada mês, receberá 2% de juros simples, que correspondem à remuneração do investimento feito. Ao final de cada mês, o banco terá de pagar ao Sr. Martins: 1º mês = R$ 1.000,00 × 0,02 = R$ 20,00 2º mês = R$ 1.000,00 × 0,02 = R$ 20,00 3º mês = R$ 1.000,00 × 0,02 = R$ 20,00 Depois de 3 meses, o banco deverá ter pago ao Sr. Martins R$ 60,00 de juros, além de devolver os R$ 1.000,00 referentes ao principal do investimento. Podemos então dizer que: J = Cin Onde: J: juros C: capital i: taxa de juros n: número de períodos de investimento ou aplicação E também podemos dizer que: M = C(1+in) Onde: M: montante

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Assim, na aplicação do Sr. Martins: J = 1.000 × 0,02 × 3 = R$ 60,00 M = 1.000 (1 + 0,02 × 3) = R$ 1.060,00 Se representarmos graficamente, através dos fluxos de caixa da operação, a aplicação financeira realizada pelo Sr. Martins, teremos:

R$ 20,00 1º mês

R$ 1.000,00 + R$ 20,00 R$ 20,00

2º mês

3º mês

tempo

R$ 1.000

Os fluxos de caixa de uma operação financeira representam graficamente as entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. No caso do exemplo, o gráfico foi elaborado tendo em vista as entradas e saídas do investidor (Sr. Martins). O gráfico deve ser lido assim: o eixo horizontal representa o tempo dividido em períodos (no exemplo, cada período equivale a um mês); as setas apontadas para baixo representam as saídas de recursos ou aquilo que foi desembolsado pelo investidor; as setas apontadas para cima representam entradas de recursos ou reembolsos ao investidor. Vejamos mais um exemplo. O Sr. Pereira aplicou R$ 10.000,00 pelo período de um ano, e a remuneração anual dessa aplicação financeira é de 30%. Vejamos como calcular os juros e o montante, e como apresentar os fluxos de caixa. J = Cin J = 10.000 × 0,3 × 1 J = R$ 3.000,00 M = C(1+in) M = 10.000 (1 + 0,3 × 1) M = 13.000,00 Fluxos de caixa para o investidor (Sr. Pereira): R$ 13.000 1 ano R$ 10.000

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tempo


Um investidor aplicou R$ 100.000,00 durante seis meses, e a remuneração foi de 4% ao mês (juros simples), paga ao final de cada mês. Quanto recebeu de juros? Qual o montante da operação? J = Cin J = 100.000 × 0,04 × 6 J = R$ 24.000,00 M = C(1+in) M = 100.000 (1 + 0,04 × 6) M = R$ 124.000,00 Fluxos de caixa para o investidor:

4.000 1º mês

4.000

2º mês

4.000

3º mês

4.000

4º mês

4.000

5º mês

100.000 + 4.000

6º mês

100.000

Vejamos um caso em que se toma dinheiro emprestado. O Sr. Mateus foi ao banco e tomou emprestado R$ 5.000,00 para serem pagos ao final de três meses. Todavia, ao final de cada mês ele deve pagar ao banco 5% de juros (simples) sobre o valor emprestado (R$ 5.000,00). Quanto o Sr. Mateus pagará de juros? Qual o montante do empréstimo? Como são os fluxos de caixa da operação? J = Cin J = 5.000 × 0,05 × 3 J = R$ 750,00 M = C(1 + in) M = 5.000 (1 + 0,05 × 3) M = R$ 5.750,00

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Para o Sr. Mateus, os fluxos de caixa serão: 5.000 1º mês

2º mês 250

3º mês 250

250 + 5.000

Vejamos um exemplo. O Sr. José investiu, pelo período de três meses, R$ 10.000,00 numa aplicação financeira que oferece juros de 1% ao mês. Como ele não retirará os juros ao final de cada mês, o banco irá pagá-los no final do trimestre, quando também fará a devolução do principal. Assim, o investimento do Sr. José será acrescido de juros a cada mês:

Na data zero, o Sr. Mateus recebeu R$ 5.000,00. Ao final de cada mês, ele pagou juros; ao final do 3º mês, também pagou ao banco, além dos juros daquele mês, o principal.

1º mês = 10.000 × 1,01 = R$ 10.100,00 2º mês = 10.100 × 1,01 = R$ 10.201,00 3º mês = 10.201 × 1,01 = R$ 10.303,01 De outra forma:

Juros simples não são comuns em operações financeiras de empréstimos e aplicações. O que se pratica, de fato, é a capitalização composta, ou juros compostos.

R$ 10.000 × 1,01 × 1,01 × 1,01 = R$ 10.303,01

3.2 Juros Compostos

M = C (1 + i)n

Os juros compostos são calculados pelo chamado regime de capitalização composta, o que significa dizer que há incidência de juros sobre juros. Ou seja, os juros de cada período são somados ao principal, e sobre esse total incidem novos juros no período seguinte; e assim sucessivamente. O cálculo do montante de uma aplicação com juros compostos é dado por: M = C (1 + i)n Onde (1 + i)n representa o fator de acumulação de capital, que pode ser calculado por máquinas calculadoras que possuem a função exponencial ou ainda pode ser obtido em tabelas prontas, procedimento bastante comum em casas comerciais varejistas que vendem a prazo. O cálculo dos juros pagos por essa aplicação é dado por: J=M–C

Ou seja: M = 10.000 (1 + 0,01)3 M = 10.303,01 Os juros a serem recebidos pelo Sr. José ao final do trimestre: J=M-C J = 10.303,01 - 10.000,00 J = 303,01 Para o investidor, os fluxos de caixa serão: 10.303,01 1º mês

2º mês

3º mês

10.000,00

Mais um exemplo: a Caderneta de Poupança remunera seus investidores com juros de 6% ao ano, capitalizando 0,5% de juros

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ao mês. Um investidor aplica R$ 4.000,00 por um ano e não faz qualquer retirada durante esse período. Qual será o montante desse investimento? Quanto o investidor receberá de juros? M = 4.000 (1 + 0,005)12 M = 4.000 (1,005)12 M = 4.000 (1,061678) M = 4.246,71 J=M-C J = 4.246,71 - 4.000,00 J = R$ 246,71 Para esse investidor, os fluxos de caixa serão: 4.246,71 meses 4.000

A Sra. Luciana Alves pediu, em um banco, R$ 2.000,00 emprestados, e o pagamento total será feito depois de dois meses. Se o banco cobra juros de 5% ao mês, qual será o montante dessa dívida? Quanto ela pagará de juros por esse empréstimo? M = 2.000(1 + 0,05)2 M = 2.000(1,1025) M = 2.205,00 J = 2.205,00 - 2.000,00 J = 205,00 Para a Sra. Luciana, os fluxos de caixa serão: 2.000 1º mês

2º mês

2.205,00

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4. Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Juros Taxas de Juros Nominais são as taxas de juros cujos períodos de capitalização não coincidem com os períodos informados. A Caderneta de Poupança, por exemplo, informa que paga 6% de juros ao ano, mas esse juro é capitalizado mensalmente. Taxas de Juros Efetivas são as taxas de juros cujos períodos de capitalização são idênticos aos períodos informados. Exemplo: um banco oferece empréstimo a uma taxa mensal de juros de 3,5%, com capitalização (pagamento dos juros) também mensal. Em outras palavras, a taxa efetiva é aquela que efetivamente remunerou um investimento ou onerou um empréstimo de dinheiro. Vimos, anteriormente, que a Caderneta de Poupança oferece um rendimento anual de 6%, que é a taxa nominal da aplicação financeira. Mas como os juros são capitalizados mensalmente? Qual seria a taxa efetiva anual de remuneração da Caderneta de Poupança? A taxa efetiva é dada por: iefe = [(1 + i)n - 1] iefe = [(1 + 0,005)12 - 1] = 0,0617 Ou seja, a taxa efetiva de remuneração da Caderneta de Poupança é de 6,17% ao ano.

5. Inflação A inflação é um evento tipicamente monetário, consistindo num aumento generalizado de preços que é decorrente da perda do poder aquisitivo da moeda. Mas, por que ocorre a inflação? A inflação pode iniciar-se devido ao aumento de custos ou de demanda, ou, ainda, pela combinação dos dois fatores. Uma vez iniciada a inflação, ocorre um fenômeno denominado espiral de preços, onde todos os “atores” da economia (empresas, empregados, governo, etc.) praticam aumentos sistemáticos de preços.

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Exercícios Propostos

Um capital no valor de R$ 12.000 foi aplicado durante 6 meses à taxa de 1,3% ao mês. Assinale a alternativa correta: 1 - Qual o valor dos juros correspondente no regime de capitalização simples? ( ) a) R$ 745,60 ( ) b) R$ 845,00 ( ) c) R$ 869,23 ( ) d) R$ 936,00 ( ) e) R$1.240,00 2 - O valor do montante no regime de capitalização composta corresponde a: ( ) a) R$ 11.890,00 ( ) b) R$ 11.840,00 ( ) c) R$ 12.911,30 ( ) d) R$ 12.934,00 ( ) e) R$ 12.966,95 3 - No regime de capitalização simples, considerando o tempo de capitalização igual a 10 meses, o valor do montante é: ( ) a) R$ 13.560,00 ( ) b) R$ 13.840,00 ( ) c) R$ 14.123,00 ( ) d) R$ 14.580,00 ( ) e) R$ 14.930,00 4 - Com aumento da taxa de juros composta para 2,1% ao mês, e considerando o período de aplicação de 6 meses o valor do montante é: ( ) a) R$ 13.400,00 ( ) b) R$ 13.593,63 ( ) c) R$ 14.784,25 ( ) d) R$ 14.892,24 ( ) e) R$ 15.114,45

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LIÇÃO

02

Equivalência de taxas e de capitais

Introdução

Nesta lição, verificamos quão relevante é saber calcular a equivalência de taxas para tomar decisões a respeito dos mais diferentes investimentos. Com esses cálculos em mãos, também podemos calcular o valor real de uma mercadoria, que pode ter variação significativa de preço em uma ou outra loja. O cálculo da equivalência de capitais ou de taxas nos permite a comparação, e é comparando que tomamos decisões de compra, de investimento, de financiamento, etc.

1. Equivalência de Taxas de Juros Simples

Qual é a taxa anual equivalente à taxa mensal de 3% (juros simples)? ianual = (0,03 × 12 meses) = 0,36 ou 36% ao ano Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa anual de 20% (juros simples)? itrimestral = 0,05 ou 5% ao trimestre

2. Equivalência de Taxas de Juros Compostos O conceito de taxa equivalente para juros compostos é o mesmo aplicado aos juros simples, considerando-se aqui a característica da capitalização composta. Uma taxa mensal de 2% equivale a qual taxa anual composta? ianual = [(1 + 0,02)12 – 1]

Duas taxas de juros simples são consideradas equivalentes quando a diferença entre elas é devida exclusivamente ao fato de que representam períodos diferentes de tempo. Assim, uma taxa de juros simples de 5% ao mês é equivalente a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre, 30% ao semestre ou 60% ao ano.

itrimestral = (0,20 ÷ 4 trimestres)

Nesse exemplo, percebemos que, ao aplicar determinada quantia de dinheiro por seis meses, a uma taxa de 5% ao trimestre ou de 20% ao ano, o resultado (montante) será o mesmo.

ianual = 0,2682 ou 26,82% ao ano Uma taxa anual composta de 40% equivale a qual taxa mensal? imensal = [(1 + 0,40)1/12 – 1] imensal = 0,0284 ou 2,84% ao mês

3. Equivalência de Capitais com Juros Compostos O cálculo da equivalência entre capitais permite tomar decisões mais adequadas no que diz respeito a compras, investimentos, financiamentos, etc. A uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, R$ 1.000,00 hoje equivalem a quanto daqui a três meses?

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Valor Presente (VP) = R$ 1.000,00 Valor Futuro (VF) = ? VF = 1.000 (1 + 0,03)3 VF = 1.092,73 Ou seja, R$ 1.000,00 hoje equivalem a R$ 1.092,73 daqui a três meses, considerando uma atualização mensal de 3%. Vejamos um exemplo em que desejamos calcular o valor presente de uma determinada quantia, sabendo seu valor futuro. Se a inflação mensal prevista é de 1% ao mês, R$ 1.000,00 daqui a seis meses equivalem a qual valor hoje? VF = R$ 1.000,00 VP = ? VP = 1.000 (1 + 0,01)-6 VP = 1.000 (0,942045) VP = R$ 942,05 De outro modo: VP =

1.000 (1 + 0,01)6

VP =

1.000 (1,061520)

VP = R$ 942,05 Dessa forma, “transportamos” o valor de R$ 1.000,00 (localizado daqui a seis meses) para a data zero ou momento atual.

R$ 942,05

R$ 1.000,00

data zero

6 meses depois

Vejamos como aplicar esse conhecimento a uma situação do cotidiano. O Sr. Novais terá de pagar uma dívida de R$ 1.000,00 daqui a três meses. Quanto ele deverá investir hoje no banco para ter o equivalente ao valor da dívida daqui a três meses, se ele obtiver, para o seu dinheiro, uma remuneração de 4% ao mês nas aplicações financeiras? 012G/20


R$ 1.000,00

prestações mensais iguais de R$ 300,00 na loja A e em 6 prestações mensais iguais de R$ 110,00 na loja B. Sabendo-se que ambas as lojas cobram juros mensais de 5%, em que loja deveria o Sr. Nogueira adquirir seu aparelho de televisão?

?

VP =

1.000,00 (1,04)3

VP = 889,00 Se o Sr. Novais investir R$ 889,00 hoje, a 4% ao mês, ele terá exatamente R$ 1.000,00 daqui a três meses (dinheiro para quitar sua dívida). Uma loja vende uma geladeira por R$ 200,00 de entrada e mais duas prestações mensais de R$ 300,00. Se a loja cobra juros de 8% ao mês, qual será o valor equivalente, à vista, dessa geladeira? Os fluxos de caixa na perspectiva do comprador: 1º mês

R$ 200,00

VP =

Na loja B, o preço à vista do aparelho será de:

R$ 300,00

VP = Trazendo para valor presente todos os valores futuros, e somando-os ao valor da entrada, teremos: VP = 200,00 +

300 300 + 1,05 1,052

VP = 557,82

2º mês

R$ 300,00

Na loja A, o preço à vista do aparelho será de:

300,00 300,00 + 1,08 1,082

VP = 200,00 + 277,78 + 257,20 VP = 734,98 Ou seja, uma entrada de R$ 200,00 e mais duas prestações mensais de R$ 300,00 equivalem a um valor à vista de R$ 734,98. O Sr. Nogueira gostaria de comprar um aparelho de televisão que é vendido em duas

110 110 110 110 110   110 + + + + + 1,05 1,052 1,053 1,054 1,055 1,056

VP = 104,76 + 99,77 + 95,02 + 90,50 + 86,19 + 82,08 VP = R$ 558,32

Levando-se os dois conjuntos de prestações para a mesma data, que é a data atual (valor presente), verificamos que as duas ofertas não são equivalentes, ou seja, na loja A o aparelho de televisão é mais barato. A loja de automóveis RT Veículos vende um carro com entrada de R$ 6.000,00 e mais duas prestações de R$ 4.500,00. A loja de automóveis GP Veículos vende um carro idêntico em três prestações de R$ 5.210,00.

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Sabendo que os juros de financiamento de veículo são de 3% ao mês, qual das duas lojas vende mais barato? Loja RT: VP = 6.000 + 4.500 + 4.500 1,03 1,03² VP = 6.000 + 4.368,93 + 4.241,68 VP = 14.610,61 Loja GP: VP = 5.210 + 5.210 + 5.210 1,03 1,03² 1,033 VP = 5.058,25 + 4.910,92 + 4.767,89 VP = 14.737,07 A loja RT vende mais barato, pois seu preço à vista equivale a um valor menor do que o preço à vista da loja GP.

Anotações/Dicas

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Exercícios Propostos

Assinale a alternativa correta: 1 - A taxa de juros simples de 6% ao mês equivale a qual taxa anual? ( ) a) 72% ( ) b) 60% ( ) c) 58% ( ) d) 54% ( ) e) 49% 2 - A taxa de juros simples de 20% ao ano equivale a qual taxa trimestral? ( ) a) 3% ( ) b) 4% ( ) c) 5% ( ) d) 6% ( ) e) 10% 3 - A taxa mensal de 3% equivale a que taxa anual composta? ( ) a) 28,3% ( ) b) 37,15% ( ) c) 42,58% ( ) d) 43,67% ( ) e) 13,28% 4 - Uma geladeira foi comprada em 4 prestações iguais de R$ 450,00, sem entrada, com taxa de juros de 1,6%. Qual o valor à vista? ( ) a) R$ 1.450,23 ( ) b) R$ 1.528,40 ( ) c) R$ 1.692,60 ( ) d) R$ 1.730,24 ( ) e) R$ 1.810,28

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LIÇÃO

03

Séries uniformes de pagamentos e recebimentos

Introdução As séries de fluxos de caixa ou de capital referem-se a todo tipo de sequência de pagamentos ou recebimentos que, por algum motivo, venham a ocorrer: prestações de dívidas, retornos de investimentos, etc. Por isso a importância de saber calculá-las.

1. Características das Séries Uniformes Considerando-se aqui somente a capitalização composta, as séries uniformes, que também são chamadas de anuidades constantes, representam apenas um tipo de série de pagamentos ou de recebimentos, ou seja, são aquelas sequên­ cias de pagamentos que se caracterizam por serem iguais, constantes ou uniformes. Mas é importante frisar que, além da característica de uniformidade, as séries de pagamentos ou de recebimentos podem ainda ter outras características, tais como crescimento constante, progressão aritmética, progressão geométrica, perpetuidade, etc.

Nesse gráfico, as prestações ocorrem ao final de cada período (são chamadas de postecipadas), mas também podem ocorrer em início de período (antecipadas). O valor de prestações idênticas pode ser facilmente calculado através de calculadoras financeiras. A fórmula de cálculo para uma série de prestações iguais, a serem pagas em final de período é: R = P × i(1 + i)n (1 + i)n - 1 Onde: R: valor da prestação uniforme P: principal ou capital i: taxa de juros n: número de períodos de capitalização Um comerciante pretende vender, em três prestações iguais, sem entrada, bicicletas que custam, à vista, R$ 450,00. E gostaria de cobrar juros de 4% ao mês. Qual será o valor das prestações?

Uma série uniforme pode constituir-se, por exemplo, em uma sequência de diversas prestações iguais, que se sucedem em intervalos constantes, correspondendo aos períodos de capitalização. R$ tomado emprestado

R=

450 × 0,04(1 + 0,04)3 (1 + 0,04)3 - 1

R=

450 × 0,044995 1,124864 - 1

R=

20,247750 0,124864

R = R$ 162,16 1ª prestação

2ª prestação

Prestação n 3ª prestação

O comerciante deve vender as bicicletas em 3 prestações iguais de R$ 162,16.

012G/25


Para o comerciante, os fluxos de caixa são: 162,16

162,16

162,16

450,00 (valor à vista da bicicleta)

Em uma determinada loja, o Sr. Anselmo foi informado de que um aparelho de som, cujo valor à vista é de R$ 900,00, pode ser adquirido em 6 prestações iguais, sem entrada, considerandose um juro composto de 3% ao mês. Qual será o valor de cada prestação? R=

900 × 0,03(1,03)6 (1,03)6 - 1

R=

32,239412 0,194052

R = R$ 166,14

012G/26


Exercícios Propostos

Uma pessoa pretende comprar um equipamento no valor de R$ 9.600,00, a empresa oferece pagamentos com taxa de juros de 1,5% ao mês. Fez então as seguintes simulações, determinando o valor de cada prestação nos seguintes casos: 1 - Em quatro parcelas: ( ) a) R$ 1.970,00 ( ) b) R$ 1.986,50 ( ) c) R$ 2.150,60 ( ) d) R$ 2.428,54 ( ) e) R$ 2.490,68 2 - Em seis parcelas: ( ) a) R$ 1.498,23 ( ) b) R$ 1.530,00 ( ) c) R$ 1.570,45 ( ) d) R$ 1.685,05 ( ) e) R$ 1.736,40 3 - Em dez parcelas: ( ) a) R$ 1.040,97 ( ) b) R$ 1.098,33 ( ) c) R$ 1.110,78 ( ) d) R$ 1.320,46 ( ) e) R$ 1.345,68 4 - Uma série uniforme pode constituir-se, por exemplo, em uma sequência de diversas prestações iguais, que se sucedem em intervalos constantes, correspondendo aos períodos de capitalização. As prestações que ocorrem ao final de cada período são denominadas: ( ) a) Antecipadas ( ) b) Idênticas ( ) c) Progressão ( ) d) Postecipadas ( ) e) Reguláveis

012G/27


LIÇÃO

04

Sistemas de amortização de empréstimos Jt = i × St-1

Introdução Quando alguém contrai um empréstimo junto a um banco, por exemplo, terá que pagar a ele o valor principal emprestado e os juros, que representam a remuneração do banco pelo dinheiro cedido. Assim, seja pagando um empréstimo de uma só vez ou em diversas prestações, o devedor terá sempre que pagar esses dois valores ao credor: principal e juros. Vamos estudar, nesta lição, o que significa amortizar o valor de um empréstimo.

St = (St-1) - At

Onde: Jt: juros a serem pagos no momento t i: taxa de juros conforme contrato da dívida St: saldo devedor no momento t (uma data qualquer de vencimento da prestação) St-1: saldo devedor no momento (t - 1), no perí­odo anterior ou no vencimento anterior da prestação Período anterior ao momento t

tempo

1. Conceito de Amortização

(t -1)

Geralmente, os principais componentes da prestação de um empréstimo são uma parcela do principal e os juros. Essa parcela do principal é chamada de amortização e pode ser assim representada: Rt = At + Jt Onde: Rt: valor da prestação na data ou momento t At: amortização (parcela do principal) no momento t Jt: juros no momento t Os juros de uma prestação incidem sempre sobre o principal devido. Mas, à medida que o devedor vai pagando as prestações, ele vai amortizando ou diminuindo o principal devido. Esse principal devido, ainda não pago, é chamado de saldo devedor e pode ser calculado segundo as fórmulas:

t

No momento t: • Pagam-se juros devidos do período anterior: J = i × St-1 • Amortiza-se uma parte do principal, gerando novo saldo devedor: St = (St-1) - At A regra para a amortização de dívida depende do sistema de amortização adotado no contrato do empréstimo. Dentre os sistemas de amortização, apresentaremos os dois mais conhecidos: Sistema de Amortização Constante e Sistema Francês (ou Sistema Price).

2. Sistema de Amortização Constante Largamente utilizado por bancos e financeiras, o Sistema de Amortização Constante

012G/29


(SAC), como o próprio nome diz, caracteriza-se pelo fato de que suas amortizações são constantes, e também pelo fato de suas prestações serem decrescentes. O valor da amortização em cada prestação da dívida é dado por: P At = n Onde: At: valor da amortização da prestação no momento t P: principal da dívida n: número de prestações da dívida ou de períodos de capitalização Vejamos um exemplo. O Sr. Azevedo tomou emprestado R$ 3.000,00 em um banco, para serem pagos em três prestações mensais, a juros de 5% ao mês e pelo Sistema de Amortização Constante.   Qual será o valor de cada prestação? Quanto o Sr. Azevedo pagará de juros e de amortização em cada prestação? At =

P n

At =

3.000 3 meses

At = 1.000 n

St

At

Jt

Rt

0

3.000

0

0

0

1

2.000

1.000

(3.000 × 0,05) = 150,00

1.150,00

2 3

1.000 0

1.000 1.000

(2.000 × 0,05) = 100,00 (1.000 × 0,05) = 50,00

1.100,00 1.050,00

Para o Sr. Azevedo, os fluxos de caixa ficarão assim: 3.000 1º mês

2º mês

1.150 (1ª prestação)

3º mês

1.100 (2ª prestação)

1.050 (3ª prestação)

O Sr. Souza tomou emprestado, em um banco, R$ 12.000,00 para serem pagos em quatro prestações mensais, com juros de 8% ao mês e pelo Sistema de Amortização Constante. Qual será 012G/30


o valor de cada prestação? Quanto o Sr. Azevedo pagará de juros e de amortização em cada prestação? At =

P n

At =

12.000 4 meses

At = 3.000

n

St

At

Jt

Rt

0

12.000

0

0

0

1

9.000

3.000

(12.000 × 0,08) = 960,00

3.960,00

2 3

6.000 3.000

3.000 3.000

(9.000 × 0,08) = 720,00 (6.000 × 0,08) = 480,00

3.720,00 3.480,00

4

0

3.000

(3.000 × 0,08) = 240,00

3.240,00

3. Sistema Francês (ou Sistema Price) Nesse sistema, também conhecido como Tabela Price, as prestações são de mesmo valor, o que o caracteriza como uma série uniforme. No Sistema Price, deve-se primeiramente calcular o valor da prestação, e em seguida, os juros devidos ao final do primeiro mês (i × saldo devedor). Subtraindo os juros da prestação, teremos o valor da amortização. E assim sucessivamente: se R = J + A então, A = R - J. O Sr. Araújo tomou emprestado, em um banco, R$ 3.000,00 para serem pagos em três prestações mensais, a juros de 5% ao mês e pelo Sistema Price. Qual será o valor de cada prestação? Quanto o Sr. Araújo pagará de juros e de amortização em cada prestação?

012G/31


Valor da Prestação: R=

P × i(1 + i)n (1 + i)n – 1

R=

3.000 × 0,05(1,05)3 (1, 05)3 - 1

R=

173,64375 0,157625

R = R$ 1.101,63 n

St

At

Jt

Rt

0

3.000

0

0

0

1

2.048,37

951,63

(3.000 × 0,05) = 150,00

1.101,63

2 3

1.049,16 0

999,21 1.049,16

(2.048,37 × 0,05) = 102,42 (1.049,16 × 0,05) = 52,46

1.101,63 1.101,63

O Sr. Souza tomou emprestado R$ 20.000,00 para serem pagos em seis prestações mensais, com juros de 4% ao mês e pelo Sistema Francês de Amortização. Qual será o valor de cada prestação? Quanto o Sr. Souza pagará de juros e de amortização em cada prestação? R=

P × i(1 + i)n (1 + i)n – 1

R=

20.000 × 0,04(1 + 0,04)6 (1 + 0,04)6 - 1

R=

1.012,2552 0,265319

R = 3.815,24 n

0

St

At

Jt

Rt

20.000,00

0

0

0

1

16.984,76

3.015,00

800,00

3.815,24

2 3

13.848,91 10.587,63

3.135,85 3.261,28

679,39 553,96

3.815,24 3.815,24

4

7.195,90

3.391,73

423,51

3.815,24

5

3.668,50

3.527,40

287,84

3.815,24

6

0

3.668,50

146,74

3.815,24

012G/32


Exercícios Propostos

Considere o seguinte problema: Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00, a ser pago em 10 prestações mensais, com taxa de juros de 2% ao mês. Assinale a alternativa correta: 1 - Pelo Sistema de Amortização constante o valor da amortização no oitavo mês corresponde a: ( ) a) R$ 1.500,00 ( ) b) R$ 1.600,00 ( ) c) R$ 1.700,00 ( ) d) R$ 1.750,00 ( ) e) R$ 1.800,00 2 - No Sistema de Amortização constante o valor da prestação no sétimo mês corresponde a: ( ) a) R$ 1.850,00 ( ) b) R$ 1.740,00 ( ) c) R$ 1.620,00 ( ) d) R$ 1.590,00 ( ) e) R$ 1.485,00 3 - Considerando o Sistema Price de Amortização o valor da quarta prestação é de: ( ) a) R$ 1.438,98 ( ) b) R$ 1.585,99 ( ) c) R$ 1.590,70 ( ) d) R$ 1.650,60 ( ) e) R$ 1.669,90 4 - Pelo Sistema Price de Amortização o valor da amortização no terceiro mês corresponde a: ( ) a) R$ 1.425,25 ( ) b) R$ 1.418,23 ( ) c) R$ 1.378,24 ( ) d) R$ 1.356,28 ( ) e) R$ 1.289,32

012G/33


Respostas do Exercícios Propostos Lição 1

Lição 3

1-D

1-E

2-E

2-D

3-A

3-A

4-B

4-D

Lição 2

Lição 4

1-A

1-A

2-C

2-C

3-C

3-E

4-D

4-A

012G/34


Bibliografia HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau Matemática Financeira, 4ª ed. São Paulo: Atual, 1998 STEPHEN, A. Ross; WESTTERFIELD, Randolph W; JAFFE, Jeffrey F. Administração Financeira: corporate finance, 1ª ed. São Paulo: Atlas, 1995 VIEIRA SOBRINHO, José Dutra Matemática Financeira, 3ª ed. São Paulo: Atlas, 1981

012G/35

Exemplo de apostila de curso técnico  
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