Page 1

Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений» Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. — 6-е изд. — М.: «Просвещение», 2001 г.

учебно-практическое пособие

3


СОДЕРЖАНИЕ

Степень с рациональным показателем ........... 4 ГЛАВА IV. Элементы тригонометрии .......... 73 ГЛАВА V. Прогрессия .................................... 119

4


СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 62. 1) 23 + ( – 3)3 – ( – 2)2 + ( – 1)5 = 8 + ( – 27) – (4) + ( – 1) = – 24; 2) ( – 7)2 – ( – 4)3 – 34 = 49 – ( – 64) – 81 = 32; 3) 13 · 23 – 9 · 23 + 23 = 23 · (13 – 9 + 1) = 8 · 5 = 40; 4) 6 · ( – 2)3 – 5 · ( – 2)3 – ( – 2)3 = – 23 · (6 – 5 – 1) = 0 ⋅ ( – 23) = 0. 63. 1) 2) 3) 4)

7 2 ⋅ 715

715+ 2

=

713

713

53 ⋅ 510 ⋅ 5 2

8

a ⋅ a ⋅b

3

c 3 d 5c 9

=

10 7

c d

=

515+ 4

=

a9 ⋅ b2

713

510+3+1

=

54 ⋅ 515

717

=

a

2 +8

⋅b

3

a9 ⋅ b2

c12 10 2

c d

=

c2 d

2

= 74 ; 514 519 = =

=

a10b3 a 9b 2 c2 d2

5

1 =  ; 5 5 5 1

= ab ;

.

64. 1) 1 – 5 =

1 5

1

= 1;

0

3) ( – 10) = 1;

2) 4 – 3 = 4) ( – 5)

1 3

4 –2

=

1 ; 64

= 1

=

2

5

1 ; 25

4 1 1 1 5)   = 4 = ; 2 16 2

3 6)   7

−1

=

7 1 =2 . 3 3

65. 1) 3)

5

1 =   = 4-5 ; 45  4  1

1 x7

1 x

2)

7

=   = x – 7;

4)

1 213 1 a9

3

 1  –3  = 21 ; 21  

= 

1 a

9

=   = a – 9. 5


66.  10    3

−3

1) 

33

=

27  −9 = 0,027 ; 2)   1000  11 

=

3

10

1 5

3) (0,2) – 4 =  

−4

=

112 9

=

2

1 2

= (5)4 = 625; 4) (0,5) – 5 =  

1 ; 17

5) – ( – 17) – 1 =

−2

121 40 =1 ; 81 80

−5

= 25 = 32; 1

6) – ( – 13) – 2 = –

132

= −

1 . 169

67. 1 1 3+ 4 7 ; + = = 3 4 12 12

1) 3 – 1 + ( – 2) – 2 = −3

33 1 2 ⋅ 27 − 1 53 5  2 = =3 ; 2)   − 4−2 = 3 − 2 = 16 16 16 2 4  3 3) (0,2) – 2 + (0,5) – 5 = 52 + 25 = 25 + 32 = 57;  1    1000 

4) ( – 0,1) – 3 – ( – 0,2) – 3 = – 

−1

−1

 1  +  = – 1000 + 125 = – 875.  125 

68. 1) 12 – 3 =

1 123

2) 210 = 1;

< 1;

5 3

5

 5   19 

3) (0,6) – 5 =   > 1;

−4

4) 

4

 19   > 1.  5

= 

69. 1

1) (x – y) – 2 = 3) 3b – 5 c8 =

( х − у)

3с 8 b5

5) a −1b 2 c −3 =

2

4) 9a3 b – 4 =

;

b2 ac 3

70. 1 7

−3

1 7

1 7

 1  1 2)  −  ⋅  −   5  5

6

−4

( х + у) 3

9a 3 b4

6) a 2 b −1c − 4 =

;

1)   ⋅   =  

1

2) (х + у) – 3 =

;

−2

= 7 2 = 49 ;

 1 = −   5

−3

= (−5) 3 = −125 ;

;

a2 bc 4

.

;


 3   10 

3) 0,37 ⋅ 0,3−10 = 0,3−3 = 

4) 17 −5 ⋅ 17 3 ⋅ 17 = 17 −1 =

−3

3

1000 1  10  ; =  = = 37 3 27 27  

1 . 17

71. 1

1) 97 : 910 = 9−3 =

93

1 ; 729

=

2) (0,2) 2 : (0,2)−2 = (0.2) 4 = 0.0016 ; 2   13 

3) 

2 5

−12

3

2 :   13 

2 5

4)   :  

−10

−1

=

2

2 =   13  4

=

132 2

2

72.

( ) 3) (а ) 1) а 3

−5

3 7

=

169 1 = 42 ; 4 4

16 . 625

=

54

−2

( ) 4) (b ) 2) b − 2

= а −15 ;

−4

7 −4

= а − 21 ;

= b8 ;

= а − 28 .

73.

(

)3 = а 3 b −6 = а 6 ;

2) а 2 b −1

b

( )

3) 2а

(

3

1) аb − 2

2 −6

=2

−6

a

−12

=

1 64a

12

;

( )

4) 3а

3 −4

)4 = a 8 b −4 = a 4 ; 8

b

=3

−4

а

−12

=

1 81a 12

.

74.  8 b   

a 1)  7 

−2

 m −4 2)  −5 n

=

   

a −16 b

−14

−3

=

=

m12 n15

b14 a16

;

;

2

 2 x6  22 x12 y 8 4 x12 y 8 = 3)  − 4  = ; 2  3y 

 

  

−5

− 4 yx 4)  3 z

3

9

3

3 −15  64 y 3  = − 64 y x = − 9 15 ; 9  z z x 

7


75.

(

) 1

−2

1) x 2 y − 2 − 4 y − 2 ⋅   = ( x 2 − 4) ⋅ y − 2 ⋅ y 2 = x 2 − 4 ,  y если х = 5, то x2 = 25 и 25 – 4 = 21;

(

2 )  a 2 b −1 

=

(a 8 − b 8 ) b4

)

4

 a8 a4 − b4  − a 0 b 4  : = − b4 2 4   b b

b2

=

(a 4 − b 4 )

(a

4

)(

− b4 a4 + b4

(

b2 ⋅ a4 − b4

)

если а = 2, b = – 3, то a4 = 16, b4 = 81, b2 = 9 и

2  ⋅ b =  a4 − b4 

)= a

4

+ b4 b2

;

16 + 81 97 7 = = 10 . 9 9 9

76. 1) 2000004 = (2 · 105)4 = 24 ⋅ 1020 = 16 · 1020 = 1,6 · 1021; 2) 0,00033 = (3 · 10 – 4)3 = 33 · 10 – 12 = 27 ⋅ 10 – 12 = 2,7 · 10 – 11; 3) 4000 – 2 = (4 · 103) – 2 = 0,0625 · 10 – 6 = 6.25 · 10 – 8; 4) 0,002 – 3 = (2 · 10 – 3) – 3 = 2 – 3 · 109 = 0,125 · 109 = 1,25 · 108. 77. 1) 0,0000087 = 8,7 · 10 – 6; 2) 0,00000005086 = 5,086 · 10 – 8; 1 = 0,008 = 8 ⋅ 10−3 ; 125 1 = 0,0016 = 1.6 ⋅ 10−3 . 4) 625

3)

78, 79, 80. 3 · 10

– 3

мм =

3 мм = 0,003мм; 0,00000000001с = 10 1000

10 – 4мм = 0,0001мм. 81. a8a −7

= a8 − 7 + 2 = a 3 , a−2 если а = 0,8, то a3 = 0,512; a15a3 2) = a15+3−13 = a5 , a13

1)

5

если а = 8

1 1 1 , то a5 =   = . 32 2 2

– 11

с;


82. 1) =−

((− 20) ) : ((− 20) ) + 2 7 −7

−6 8

(

= (− 20)

−2

−49

: (− 20)

− 48

)+ 41 =

1 1 −1 + 5 1 + = = ; 20 4 20 5 2)

((−17) ) : ((−17) ) −4 − 6

2

1 −   17 

−13 −2

2

−2

= (− 17) : (− 17) − 24

26

2

1 1 1  1 1 −   =  −  −   = 2 − 2 = 0. 17 17  17   17   17  83. 1) (1,3) – 118⋅ (1,3)127 = (1,3)9 ≈ 10,6; 2) (0,87) – 74: (0,87) – 57 = (0,87) – 74 + 57 = (0,87) – 17 ≈ 10,67;  17  3)    19   23  4)    21 

−47

56

 17  :   19 

 23  ⋅   21 

−26

−25

 17  =   19 

 23  =   21 

−21

 19  =   17 

21

≈ 10,34;

31

≈ 16,78 .

84. 1) (786 – 7)4 = 786 – 28 = 5,8 ⋅ 10 – 62; 2) (9233) – 6 = 923 – 18 = 4,23 ⋅ 10 – 54; 3) (1,76) – 8 ⋅ (35,4) – 8 = (62,3) – 8 = 2,07 ⋅ 10 – 14; 4) (0,47) – 5 : (7,81) – 5 = (0,47 : 7,81) – 5 = 1,27 ⋅ 106. 85. 1) V = (1,54 ⋅ 10 – 4)3 = 3,65 ⋅ 10 – 12 мм3; 2) V = (3,18 ⋅ 105)3 = 3,21 ⋅ 1015 км3. 86.

(

)(

1) a −3 + b −3 ⋅ a − 2 − b − 2 1   1 × 2 − 2  b  a =

−1

(b

3

) ⋅ (a −1

1 1   1 ⋅ 2 − + 2 ab b  a

)

=

+ a3 ⋅ a4 b4

(

2

− a −1b −1 + b − 2

−1

a b ⋅ (b − a )(b + a ) b − ab + a 3 3

−2

2

)

=

b3 + a3 a 3b 3

)

1  1 =  3 + 3 × a b  

−1

a 2b 2

a 2b 2

b 2 − a 2 b 2 − ab + a 2

ab( b 3 + a 3 ) 3

3

( b − a )( a + b )

=

=

ab ; b−a 9


(

)(

2) a − 2b − ab− 2 ⋅ a − 2 + a −1b−1 + b− 2 a  1 1 1  b =  2 − 2 ⋅ 2 + + 2 ab b  b  a a =

b3 − a3 a2b2

a2b2 b2 + ab + a2

=

−1

)

−1

=

=

(b − a)(b2 + ab + a2 ) = b − a. b2 + ab + a2

87. 1) 1 = 1;

16 = 42 = 4;

0 = 0;

169 = 132 = 13;

2

1 1 1 =   = ; 289 17  17  2) 3 1 = 1; 3

3

3

0 = 0;

3

125 = 53 = 5;

0,027 = 3 ( 0,3 )3 = 0,3; 4

3)

4

0 = 0;

4

1 = 1;

3

256 4  4  4 =   = ; 625 5 5

88. 1)

6

3)

4

( )

3

4

4

4

1 1 1 =3 3 = ; 27 3 3

0,064 = 3 ( 0,4 )3 = 0,4

16 = 24 = 2;

4

4

3

4

16 4  2  2 =   = ; 81 3 3  

0,0016 = 4 (0,2) 4 = 0,2.

= 6 66 = 6 ;

( )

2

12

64 2 = 12 2 6

1  1  1   =4  = ; 5  25  5

4)

8

2254 = 8 (152 )4 = 158 = 15 .

10 6 = 10 2 = 100 ;

2)

3

312 = 3 4 = 81 ;

2

4

8

89.

10

= 12 212 = 2 ;

2)

36 3 = 6 6 2

1)

3

3)

4

1   2

4)

4

1   3

12

1 1 1 =  = 3 = ; 8 2 2

3

16

1 1 1 =  = 4 = . 3 81 3  

4


90. 1)

3

− 8 = −2 ;

3)

3

5)

3

− 34 3 = −34 ;

1 1 1 = −3 =− ; 27 3 27

2)

15

− 1 = −1 ;

4)

5

− 1024 = − 45 = −4 ;

6)

7

− 8 7 = −8 .

5

91. 1) х4 = 81; х = ± 4 81 = ±3 ; х1 = 3; х2 = – 3; 2) x5 = −

5

1 1 1  1 = 5 −  = − ; ; x=5 − 32 32 2  2

3) 5х5 = – 160; х5 = – 32; х = 5 − 32 = – 2. 4) 2х6 = 128; х6 = 64; х = ± 6 64 = ±2; х1 = 2 , х2 = – 2. 92. 1) 6 2 x − 3 — имеет смысл, если 2х – 3 ≥ 0 , тогда 2х ≥ 3 , x ≥

3 , 2

х ≥ 1,5. Ответ: х ∈ [1.5; + ∞). 2)

3

х + 3 — имеет смысл для любого x.

3)

3

2 х 2 − х − 1 — имеет смысл для любого x.

2 − 3х ≥ 0 2 − 3х 2 − 3х — имеет смысл, если: ≥ 0 , т.е.  2х − 4 2х − 4 2 х − 4 > 0 2 2 2    2 − 3х ≤ 0 x ≤ x ≥ x ≥ или  ;  или , поэтому 3 3 3   2 х − 4 < 0 х > 2 х < 2 x < 2    4)

4

Ответ: х ∈ [

2 ; 2). 3

93. 1)

3

2)

5

3 16 1 6 1 1 64 = 3 (−5) 3 + ⋅ 2 6 = −5 + ⋅ 2 = −5 + = −4 ; 8 8 8 4 4 1 6 5 32 − 0.5 ⋅ 3 − 216 = 2 5 − 3 (−6) 3 = 2 + = 5; 2 2 − 125 +

11


3) − 4)

3

5)

4

14 1 1 81 + 4 625 = − 4 3 4 + 4 5 4 = − ⋅ 3 + 5 = −1 + 5 = 4; 3 3 3 14 1 256 = 3 (−10) 3 − 4 4 4 = −10 − 1 = −11; − 1000 − 4 4 5

0,0001 − 2 ⋅ 0,25 + 5 −

= 0,1 − 1 − 6) 5

1 4  1 = (0,1) 4 − 2 0,5 2 + 5  −  = 32  2

1 = −1,4; 2

1 1 1 1 3 10 − 9 1 + 3 − 0,001 − 4 0,0016 = − 0,1 − 0,2 = − 0,3 = − = = . 243 3 3 3 10 30 30

94. 9 + 17 ⋅ 9 − 17 = 81 − 17 = 64 = 8;

1)

2

2)  3 + 5 − 3 − 5  = 3 + 5 − 2 9 − 5 + 3 − 5 = 6 − 4 = 2 ; 

2

3 )  5 + 21 + 5 − 21  = 5 + 21 + 2 25 − 21 + 5 − 21 =   = 10 + 4 = 14; 3+ 2 3 − 2 ( 3 + 2 )2 − ( 3 − 2 )2 4) − = = 3− 2 3− 2 3+ 2 =

3+ 2 6 + 2−3+ 2 6 − 2 2 6 + 2 6 = = 4 6. 3− 2 1

95. 1)

3

(х − 2)3

= х − 2 — для любого х.

2) т.к.

(3 − х )6

≥ 0 , то при х<3

(3 − х )6

и при х≥3

(3 − х )6

= −(3 − х )3 = ( х − 3)3 .

= (3 − х )3

96. 1987 < n < 1988; 19872 < n < 19882 , отсюда 3948169 < n < 3952144. Найдем, сколько натуральных чисел между ними 3952144 – 3948169 = 3975, а т.к. n<3952144, то таких чисел 3974. Ответ: 3974 числа. 12


97. 1)

3

343 ⋅ 0,125 = 3 73 ⋅ (0,5)3 = 3 (7 ⋅ 0,5)3 = 3 (3,5)3 = 3,5;

2)

3

864 ⋅ 216 = 3 33 ⋅ 25 ⋅ 23 ⋅ 33 = 32 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 9 ⋅ 43 4 = 36 ⋅ 3 4 ;

3)

4

256 ⋅ 0,0081 = 4 28 ⋅ (0,3) 4 = 22 ⋅ 0,3 = 4 ⋅ 0,3 = 1,2;

4)

5

32 ⋅100000 = 5 2 5 ⋅10 5 = 2 ⋅10 = 20 .

3

98. 1)

3

3

53 ⋅ 73 = 3 (5 ⋅ 7)3 = 353 = 35;

2) 4 114 ⋅ 34 = 4 (11 ⋅ 3) 4 = 4 334 = 33; 3)

5

(0,2)5 ⋅ 85

4)

7

 7 1 1   ⋅ 217 = 7  ⋅ 21 = 77 = 7.  3 3

= 5 (0,2 ⋅ 8)5 = 5 1,65 = 1,6;

7

7

99. 1)

3

3

2 ⋅ 3 500 = 3 1000 = 103 = 10;

2) 3 0,2 ⋅ 3 0,04 = 3 0,008 = 3 0,23 = 0,2; 3) 4 324 ⋅ 4 4 = 4 81⋅ 16 = 4 34 ⋅ 24 = 4 64 = 6; 4)

5

5

2 ⋅ 5 16 = 5 32 = 2 5 = 2.

100. 1)

5 10

2)

3

3 ⋅ 215 = 32 ⋅ 23 = 9 ⋅ 8 = 72; 23 ⋅ 56 = 2 ⋅ 52 = 2 ⋅ 25 = 50;

8 2 1 1 27 = 3; 3) 4 312 ⋅   = 33 ⋅   =

 3

4)

20 1 10 430 ⋅  

2

 3

9

2

 1  64 = 43 ⋅   = = 16. 4  2

(101 – 102) 1)

3

64 ⋅ х 3 ⋅ z 6 = 4 xz 2 ;

2)

4

a 8 ⋅ b 12 = a 2 b 3 ;

3)

5

32 ⋅ х 10 ⋅ у 20 = 2 х 2 у 4 ;

4)

6

а 12 b 18 = a 2 b 3 .

13


102. 3

3

3

4

4

4

1) 2ab 2 ⋅ 4a 2 b = 2 3 а 3 b 3 = 2ab; 2) 3a 2 b 3 ⋅ 27a 2 b = 3 4 а 4 b 4 = 3ab; 3)

4

ab 4 a 3 c 4 a 4 bc ⋅ = = a; 4) c b bc

3

16a b

2

1 16a 2 =3 = . 3 2ba b 2ab

⋅3

103. 4

3

1)

3

64 3 43 3  4  4 = =   = ; 3 125 5 5 5  

3)

3

3 27 3  3  3 =   = ; 3 =3 8 8 2 2  

2)

4

16 4  2  2 =   = ; 81 3 3  

4)

5

19 5 243 5  3  3 7 = =   = . 32 32 2 2  

5

3

104. 1)

4

324 4 4 = 81 = 34 = 3; 4

324 : 4 4 = 4

2) 3 128: 3 2000= 3 3)

3 3

16 2

=3

=3

2 ⋅103

64 3  4  4 2 =   = = ; 1000 10 10 5

16 3 3 = 8 = 23 = 2; 4) 2

5)

(

)

6)

( 625 − 5 ): 3

3

5

256 5

8

5

= 5 32 = 25 = 2;

20 45 − = 4 − 9 = 2 − 3 = −1 ; 5 5

20 − 45 : 5 =

3

3

128

625 3 5 3 3 − = 125 − 1 = 53 − 1 = 5 − 1 = 4. 5 5

5 =3

105.

14

а 6b7 5 5 5 = a b = ab; ab 2

1)

5

a 6b7 : 5 ab 2 = 5

2)

3

81x 4 y : 3 3 xy = 3

3)

3

3x 3 y 27 x3 3x : =3 = ; 2 2 y 9x y y3

4)

4

2b a

3

:4

a 8b

3

=4

81x 4 y 3 3 = 27 x 3 = 3 3 x 3 = 3 x; 3xy

16b 4 a

4

=

2b . a


106. 2

6 6 1)  7 3  = 7 6 = 7; 2)

10

2

2 10

8

−4

( 32 ) = 32 4) ( 16 ) = 16 3)

4 8

( 9)

−3

6

=9

3 6

=9

1 2

=

1 1 92

1 = ; 3

1 5

= 32 5 = 5 32 = 25 = 2; = 16

1 2

=

1

=

1 16 2

1 . 4

107. 3

1) 3) 4)

33

6

4 10

6

729 = 3 = 3; 2) 9 7

9 2

1024 = 2

=

5 22

= 4 2;

9 9

7

9 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 = 3 = 3;

43

6

25 ⋅ 55 = 12 25 ⋅

12 10

5

=

12 2

5 ⋅ 510 =

12 12

5

= 5.

108. 6 х3

1)

( х)

3)

( a ⋅ b) =

6

3

3

=

6

3

6

= х ; 2)  3 у 2  = 3 у 6 = у 3 = у 2 ;   2

6 a2

12

6 ⋅b3

= a3b 2 ;

24

36

4)  a 2 ⋅ 4 b3  = a 3 ⋅ b 4 = a8b9 ;   3

 5)  

6

3

2 1 6   a b  =  a 6 ⋅ b 6  = a2b;     2

4

1 3 4  3 4 3 3  12 12 6)  27a  = 27 ⋅ a  = 27a3 = 3 (3a)3 = 3a.      

109. 3

1)

3

3 3 1 3 3 9 3 3 3 ⋅ 2 = ⋅ =   = ; 2 4 2 4 2 2

2)

4

3 4 3 4 3 27 4  3  3 ⋅ 6 = ⋅ =   = ; 4 4 4 4 2 2  

4

15


4

2 4 125 5 4  5  5 = ⋅ =   = ; 5 8 2 2 2  

5 8

3) 4 15 : 4

3

1 4

4) 3 11 : 3 3

1 3 45 3 3 27 3  3  3 = ⋅ = =   = ; 3 4 10 8 2 2

2

6 3 5)  27  = 3 6 = 3; 6) 

3

3

6 16  = 212 = 2 2 = 4. 

110. 1)

3

ab 2 3 a 5 b 3 a 6 b 3 a 2 b ⋅ = = ; c c c2 c3

2)

5

8a3 5 4a 7 5 25 a10 2a 2 ; ⋅ = = b b2 b3 b5

4

a 2b 2c ⋅ 4 a 3b3c 2

3)

4 3

abc3

2a 4b ⋅ 3 4ab

4)

=4

3

2b a 2b 2

а 2b 2c ⋅ a 3b3c 2 4 4 4 = a b = ab; abc3 3

=

5

1 3 23 a 5b 2 8a 3 2a a = = = ; 2b a 2b 2 2b 2b b 3

5 3 5)  a 3  ⋅  b 2  = a 3 b 2 ;     4 3 a3b3 3 = a 2b . 6)  4 a3b3  :  ab 2  =     ab 2

111. 49 ⋅ 3 112

3

1) =3

250

4  14  =3   =2 ; 5  5

53

3)

4

54 ⋅ 4 120 4

4 4

32 2

49 ⋅ 56 3 7 2 ⋅ 7 ⋅ 8 = = 125 53

3

73 ⋅ 23

2)

16

3

=3

5 6

4

= 4 54 ⋅ 24 = 4 27 ⋅ 2 ⋅ 8 ⋅ 3 = 24 ⋅ 34 = 2 ⋅ 3 = 6 ;

+ 27 2 −

3

64 = 4

32 6 + 3 − 26 = 4 16 + 3 − 2 = 2 + 1 = 3 ; 2


3 1 3 + 4 18 ⋅ 4 4 − 8 2 1 3 = +3− 4 = ; 2 2

4)

27 4 2 ⋅ 32 ⋅ 32 4 4 + − 4 = 8 2

256 = 3

3

5) 3 11 − 57 ⋅ 3 11 + 57 = 3 112 − 57 = 3 121 − 57 = 3 64 = 4 ; 6) 4 17 − 33 ⋅ 4 17 + 33 = 4 17 2 − 33 = 4 256 = 4 44 = 4 . 112. 3

3

1)

3

2ab ⋅ 4a 2b ⋅ 3 27b = 23 ⋅ а 3b3 ⋅ 33 = 2 ⋅ 3 ⋅ ba = 6ab ;

2)

4

abc ⋅ 4 a 3b 2c ⋅ 4 b5с 2 = 4 a 4b8c 4 = ab2c ;

5

a 3 b 2 ⋅ 3a 2 b 3

3)

5

5 4

4)

3ab

2 5

2 xy 2

a 5b 5 ⋅ 3 5

3

4

8x y ⋅ 4x y 4

5

= =4

3ab

= 5 a 4b 4 ;

16 ⋅ x5 y 6 4 = 16 x 4 y 4 = 2 xy . xy 2

113. 1)

3 3

 2)   3) 2 4)

3

3

12

 a 4  = a 9 + a 6 = a 2 + a 2 = 2a 2 ; 

3

3

18

3

 a18 +  

 x 2  + 2 4   3 a 4b8 −  

6

8

8

x  = x 6 + 2 x 8 = x + 2 x = 3 x ;  2

4 8

6 12

 a 3b6  = 2a 4 b 4 − a 6 b 6 = 2ab 2 − ab 2 = ab 2 ;  5

x6 y12 −  5 xy 2  = 6 x 6 y12 − xy 2 = xy 2 − xy 2 = 0 ;  

 5)  4 x8 y 2  = x 4 y − xy 4 ;

4

  4 2 8 2 8 32 8 4 4 16 8 4 8  −  x y  = x y − x y = ( x y ) − xy 4 =   

(

)

5   10 (a − 1)5 a = a − 1. 6)   5 a 5 a  − 5 a  : a 2 = a5 a − 5 a : 5 a = 5  a  

17


114. 98

1)

7 ⋅ 14 : 3 =

2)

6,7 ⋅ 23 ⋅ 0,37 = 6,7 ⋅ 23 ⋅ 0,37 = 57,017 ≈ 7,55 ;

3)

(1,34)−7 ⋅

4)

(3,44 )−9 : (4,57) −9 = (3,44 ⋅ 4,57) −9 ≈ 3,59 .

3

≈ 5,72 ;

(0,43) − 7 = (1,34 ⋅ 0,43) − 7 ≈ 6,88 ;

115. 1

3 ⋅3 9

1)

6

3

( 4− 4) ( 9 +

3)

=6

33 ⋅ 34 6 6 = 3 = 3 ; 2) 3

3

7 ⋅ 4 343 12

7

=

3

73 ⋅ 74 1 12 7

13

= 7 12

1 12

= 7;

)( 2 + 5 ) = ( 2 ) + ( 5 ) = 2 + 5 = 7 ; 4 )( 3 − 2 ) = ( 3 ) − ( 2 ) = 3 − 2 = 1 .

3

3

10 + 3 25

3

3

6 +3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

116. 4 + 2 3 − 4 − 2 3 = 2 ; (4 + 2 3 )(4 − 2 3 ) = 4 ; 2

(4 + 2 3 )(4 − 2 3 ) = 2 ;

4 + 2 3 − 2 ( 4 + 2 3 )( 4 − 2 3 ) + 4 − 2 3 = 4 ; 2

 4 + 2 3 − 4 − 2 3  = 22 . Тогда    

117. 1)

a− b 4

a −4 b

a + 4 ab 4

a +4 b

=

4+2 3 − 4−2 3 = 2.

( a − b )( a + b ) − a ( a + b ) = 4

4

4

4

4

4

a −4 b

4

4

4

a +4 b

= 4 a + 4 b − 4 a = 4 b;

2)

a −b 3

a −3 b

+

a+b 3

a +3 b

3

=

3

3 3 (3 a + 3 b ) ( a 2 − 3 ab + a 2 )

+

3 3

2

3

a+ b 3

3

3

(3 a − 3 b ) ( a 2 + 3 ab + b 2 )

3

a −3 b

= 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2 + 3

3

+ a − ab + a 2 = 2 а 2 + 2 b 2 = 2 ( a 2 + b 2 ); 18

3

+


3)

1 4

a −4 b

1 4

a +4 b

( a − b ) = 

4

a +4 b

 a− b

(

(

)

a − 4 b  a− b = a − b 

4

)

4 a +4 b 4 a −4 b   a − b = 4 a − 4 a + 24 b = 24 b ; = −  a− b a − b    a+b  − 3 ab  : 3 a − 3 b 2 = 4)  3 3  a+ b 

(

( a + b ) 3

=

3

3

)

3 a 2 − 3 ab + b 2  − 3 ab  3 3 a+ b

3 3 =  a 2 − 3 ab + b 2 − 3 ab  :  

( a + b) 3

3

:

( a − b) 3

3

2

=

( a − b) = ( a − b) : ( a − b) 3

3

2

3

2

3

3

2

3

=

118. 4

3

x3 = x 2 ;

1)

2)

3

a4 = a 3 ;

4)

5

x −1 = x

3

3) 5)

4

6

b3 = b 4 ; a=

1 a6

;

6)

7

b −3 =

−1 5

−3 b7

; .

119. 1)

1 x4

3) a

4

= x;

−5 6

2)

6

= a −5 ;

2 5 y

4) b

−1 3

= 5 y2 ; 3

= b −1 ; −2

1

5) (2 x ) 2 = 2 x ;

6) (3b ) 3 = 3 (3b )−2 .

120. 1

1

2) 27 3 = 3 27 = 3 ;

1) 64 2 = 64 = 8 ; 2

3

4) 814 = 4 813 = 33 = 27 ;

3) 8 3 = 3 64 = 4 ; 5) 16

3 4

4

= 16

−3

1

1 = 3 = ; 8 2

6) 9

3 2

= 9−3 =

1 3

3

=

1 . 27

19


121. 4

11

2

15

1) 2 5 ⋅ 2 5 = 2 5 = 2 3 = 8; 2

1

3

1

1

5)

( )

5

1 2

4) 4 3 : 4 6 = ;

3) 9 3 : 9 6 = 9 6 = 9 2 = 3; 2 − 7 −3 3

5

2) 5 7 ⋅ 5 7 = 5;

 1  6)  812     

2

= 7 = 49 ;

−4

=8

1 3

=

1 . 2

122. 2

2

4

6

10

1) 9 5 ⋅ 27 5 = 3 5 ⋅ 3 5 = 3 5 = 32 = 9; 2)

2 73

2 ⋅ 49 3

3)

3 144 4

3 : 94

4)

3 1502

3 : 62

=

2 73

4 ⋅73

=

6 73

3

= 7 2 = 49; 3

 144  4 =  = 16 4 = 23 = 8; 9   3

3

 150  2 =  = 25 2 = 53 = 125. 6  

123. 3

4

1 − 1 − 1)   4 +   3 = 2 3 + 2 4 = 8 + 16 = 24 ;  16 

8

2) (0,04)

3 2

− (0,125)

= 125 − 4 = 121; 9

2

6

2 3

 1  =   25 

3 2

1 −  8

2 3

3

2

= 25 2 − 8 3 = 5 3 − 2 2 =

4

3) 8 7 : 8 7 − 3 5 ⋅ 3 5 = 8 − 3 2 = 8 − 9 = −1 ; 4) (5

2 5 ) −5

3 1 + ((0,2 ) 4 ) − 4 = 5 2 +   5

−3

= 25 + 125 = 150 .

124. 6

6

1) 3 a ⋅ 6 a = a 2 ⋅ 6 a = a 3 = a , при a=0,09, 2) 20

6 6 b : 6 b = b3 : 6 b = b 2 = 3 b , при b = 27,

a = 0,09 = 0,3; b =

3

27 = 3 ;


3

b ⋅ b2

3) 4)

6 3

b

6

6

b3 ⋅ b 4

=

6

6

= b6 = b = 1,3;

b

a ⋅ 4 a ⋅ 12 a 5 = 12 a 4 ⋅ 12 a3 ⋅ 12 a5 = 12 a12 = a = 2,7.

125. 1

1 1 + 2

5

1) a 3 ⋅ a = a 3 2) 3)

1 b2

1 ⋅ b3 ⋅ 6

b=

3

1 : b6

1 1 − b3 6

b

=

4

= a6 ;

5 1 + b6 6

=

4 1 − 3

4) a 3 : 3 a = a 3

=

6 b6

2 1 − b6 6

=b; 1

= b6 ;

=a;

5) x1,7 ⋅ x 2,8 : x5 = x 4,5 : x 2,5 = x 4,5− 2,5 = x 2 ; 6) y − 3 ,8 : y − 2 , 3 ⋅

y3 = y

− 3 ,8 + 2 , 3 +

3 2

= y0 =1.

126. 1) 2 2−3

5

⋅8

3

2

:9 :  4 

2) 31+ 2

3

3) 61+ 2

3

4)  51+ 

2

 

= 2 2−3

5

5 +3 5

3

= 22 = 4 ;

3

= 31+ 2 2 − 2 2 = 3 ; 3 ⋅ 9 3  = 61+ 2 3 : 62 

2

1− 2

= 51− 2 = 5 −1 =

3

= 61+ 2

3 −2 3

= 6;

1 . 5

127. 1) (а 4 )

3 4

⋅ (b

2 3 ) −6

= a −3 ⋅ b 4 ;

1

  6 4 12   a 2)   −3   = a 24b12   b    

(

10

3)  x 0, 4 ⋅ y1, 2    4) x − 2

2

1 12

)

= a 2b ;

(

= x 0 , 2 ⋅ y 0, 6

 1   ⋅   x − 2 −1 

)

10

= x2 ⋅ y6 ;

2 +1

= x−2

2

⋅ x2+ 2

2 +1

= x−2

2 + 3+ 2 2

= x3 . 21


128. 4

1

2

4 1 −

4

+

2

а 3 (а 3 + а 3 ) а3 3 +а3 3 а + а2 а (а + 1) 1) = 1 3 = = =а; 1 1 1  3 1  + а а +1 1 + − − а 4 а 4 + а 4  а 4 4 + а 4 4     1 b5

2)

⋅  5 b 4 − 5 b −1   

2 b 3 3

=

3 −2   b− b   

3)

4)

5 а3 3

1 − ⋅ b −1 − ab 3 3

a2 − b2

1 a3

b 6

1 + b3

=

1 4 + 5

1 1 − 5

b5

−b5

2 1 + b3 3

2 2 − −b3 3

2  2 ab −1  a 3 − b 3   2 a3

2 −b3

1 1 1 1 − a 3b 3  b 2 3

a

a +6 b

 

=

   

1 a6

+

=

b −1 = 1; b −1

=

а ; b

1 1 − a2 3

1 + b6

1 1 1 1   a 3b 3  b 6 + a 6  1 1    =   = a 3b 3 . 1 1

a6 + b6

129. 5 1 1 1  5 −1 −  − − 3   3 3 3 3 3 ⋅ 6 = 2 ⋅ 3 3 22 − 32 ⋅ 3 2 ⋅ 3 3 = 1) 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2     4−9 3 3 = 3 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = −5; 2⋅ 3

(

3 1 3  1 2)  5 4 : 2 4 − 2 4 : 5 4  

3)  2 

2

 

2

3  4)  (0,5)5   

22

+  3  −5

3 +1 

 

(

1  1  54 24   ⋅ 4 1000 =  − 3 3    24 54  

5 − 4 − 0,3 3

( )

)

3 −1

)

 3  5−2 4 = 3;  ⋅ 4 10 3 = ⋅ 10 3  10 4 

= 22 + 33−1 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13; −3

1

1 =   − 42 = 8 − 2 = 6 . 2


130. 1

1

1)

1 a9

3 2)  

=

1 a2

1 2 1 1  4 6 6  = a9 a3  = a9+9 = a3 ; ⋅ 6 a3 a =         1 1 1 2  1 −2 1 − −  6 ab − 2 + (ab )− 6  ⋅ ab 4 =  a 3 b 3 + a 6 b 6 a 6 ⋅ b 3 =      1 1 a 9  aa 3

1 +b2

= a + b; 1

3)

4)

1 b 12 ⋅ 3

b4 b =

( a + b ) a 3

3

=

( a) +( b) 3

3

3

3

2 3

1  1 b 12  bb 4

 

1

1 5 1 1  5 3 3  = b 12  b 4  = b 12 ⋅ b 12 = b 2 = b ;      

2  + b 3 − 3 ab  =  

( a + b ) ( a ) + ( b ) 3

3

3

2

3

2

− 3 a 3 b  = 

= a + b.

131.

1)

2)

x− y 1 x2

1

1  1 1  1  x 2 + y 2  x 2 − y 2  1 1      = x2 − y2 ; = 1 1

+ y2

x2 + y2

1  1 1  1  a 4 − b 4  a 4 + b 4  1 1    a− b    = a4 + b4 ; = 1 1 1 1

a4 − b4

3)

1 m2

1 + n2

m + 2 mn + n

a4 − b4 1

=

1

m2 + n2  1 m2  

1 + n2

   

2

=

1 1 m2

1 + n2

;

2

 1   c 2 − 1 1 1   2 c − 2c + 1   = c 2 −1 . 4) = 1 c −1 c 2 −1

23


132. 1 1  b b   2  1) 1 − 2 : a −b2 +    a a   

( a − b) a⋅( a − b) 2

=

1   1  a b 2)  a 3 + b 3  :  2 + 3 + 3  =    b a    

( a + b)= ( a + b)

3

=

ab

3

3

3

1

3)

9

a4 − a4 1 a4

3

2

3

5 − a4

b

3 1 2

4)

3

1 2b

a− b

3

=

( a − b)

2

6

1 a4

1 2

a+ b

=

3

1 4

2

(1 − a )

a +a

a −b

3

3

a 2 + 23 ab + 3 b 2 3

ab

;

a2 − a

( a + b ):

(1 − a )a − (1 − b )b =

− b2

1 b2

1 − a −1b

a −b

=

ab

a +3 b

+b = 1 + a − (1 − b) = a + b; a −a

1

1 ; a

=

2

2

2   = 1 − b  ⋅   a   

1 3

1 3b

b

2

(1 + b)b

(a − b )a =

1 2

a− b

1 2

1 2

=

(a − b )a −

1 3

a+ b 3

a

(a − b )(

=

a

) ( a − b )(a − b) =

a+ b − a−b

a −b

= a + b − a + b = 2 b.

133. 1)

3 a2

a+ b

1 ab 2

b− a

2

2a − 4ab

( a + b )( a − b )

=

24

a

2

3 1 − a 2b 2

3 + a2

=

3 a2

2

2a − 4ab = a−b

3 a2

a+ b

1 + ab 2

+

1 b2a

a− b

( a − b ) ( a + b )− 2a ( a + b )( a − b )

b + ab − 2a 2 + 4ab 5ab − a 2 ; = a −b a −b

2

+ 4ab

=

=


2) =

3xy − y 2 − x− y

y y x− y

3 xy − y 2

(

x− y

)(

y x

x+ y

=

x+ y

)

y x

x+ y

y y

x− y

3 xy − y 2 − y y

(

=

)

x+ y −y x x− y

(

x− y

)=

3

3

3xy − y 2 − y 2 x − y 2 − yx + y 2 x 2 xy − 2 y 2 2 y (x − y ) = = = = 2 y; x− y x− y x− y 1

3)

3

3

a +3 b

2 a3

3

a+ b 2 +b3

− 3 ab

3

=

2 a3

3

− ab

3

2 +b3

(

− 3 a +3 b a+b

)( a + b ) = 3

3

3

a 2 − 3 ab + b 2 − a 2 − 23 ab − b 2 − 33 ab ; = a+b a+b

=

3

4)

3

a2 − 3 b2 a −3 b

( a − b )⋅  3

3

3

3

3

a−b

2

2

a 3 + 3 ab + b 3

a + 3 ab + 3 b 2   3

3

a + ab + b

2

=

( a − b )( a − b ) − 3

3

3

3

a −3 b

= 3 a + 3 b − 3 a + 3 b = 23 b .

134. 1)

(a − b ) 3

a −3 b

(

a+b 1

1

3

)

 3 a 2 + 3 ab + 3 b 2  3 a − 3 b     = − 3 3 a− b

a3 +b3  3 a 2 − 3 ab + 3 b 2  3 a + 3 b    − = 3 a +3 b

(

3

3

3

)

3

= a 2 + 3 ab + b 2 − a 2 + 3 ab − b 2 = 23 ab; 25


2)

a+b 2 a3

1 1 − a 3b 3

2 a3

2 + b3

2 + b3

a −b 2 a3

1 1

2

1 1 2  1 1  2  a 3 − a 3b 3 + b 3  a 3 + b 3      − = 2 1 1 2

a 3 − a 3b 3 + b 3 + a 3b 3 + b 3 1 1 2  1 1  2  a 3 + a 3b 3 + b 3  a 3 − b 3  1 1  1 1 1      − = a 3 + b 3 −  a 3 − b 3  = 2b 3 ; − 2 1 1 2     a 3 + a 3b 3 + b 3

3)

a −b 1

2 2  2 1 1 2 a 3 + b 3 −  a 3 + a 3b 3 + b 3    3   = ab ; = a −b b−a

1 1 a3

1 − b3

1

1

a3 −b3 4) + a+b

2

1

1

1

1

1

a 3 − b 3 + a 3 + b 3 23 a . = = a+b a+b

1 2

a 3 − a 3b 3 + b 3

135. 1) 3 3 + 3 4 ≈ 3,02; 2) 3 7 + 5 10 ≈ 2,04; 3) 5 4)

( 2) 3

3

3

≈ 16,24;

≈ 1,49; 5) ππ ≈ 36,46.

136. 1

1

1) 2 3 < 3 3 ; 3) 5

3

<7

3

2) 5

4 5

4) 21−

;

<3 2

4 5

, т.к.

> 31−

2

,

1 5

5

4

т.к.

<

1 5

1 21

;

34

2

>

1 31

137. 1) (0,88)  5 2)    12  26

1 6

1 4

1

1

 6 6 >  ,  11  < (0,41)

1

88 6  88  6  6  6 > ,и т.к.  >  ; 100 11  100   11  1 4

1

,

1

12 100  12  4  100  4 т.к. и   < <  ; 5 41  5  41 

2

.


3) (4,09 )

3

 11  4)    12 

 3  < 4   25 

2

− 5

 12  >   13 

3

2

3   , т.к.  4,09 < 4  ; 25  

− 5

,

т.к.

12 13  12  > и   11 12  11 

5

 13  >   12 

5

.

138. 1 5

2x

x

=6 . 1 Тогда 2 x = . 5 1 . Отсюда x = 10 1) 6

3) 7

1− 3 x

2) 3 = 27 ; x

х = 3.

10

=7 .

4) 2

2+ x

2+ x

2 x +1

2 x +1

= 32 , 5

2 =2 . Тогда 2х + 1 = 5, х = 2.

Поэтому 1 – 3х = 10, х = – 3. 5) 4

3

3 =3 ;

1 6)   5

=1; 0

4 x −3

=5,

53− 4 x = 5 ,

4 =4 . Поэтому 2 + х = 0,

3 – 4х = 1, 1 x= . 2

х = – 2. 139. 1)

7

2

2

2

2

2

 3− 2  17 1 1  −  =7  =  ;  2 3  6  6 2

 1 7 1 1  4−3 7  −  =7   =  3 4  12   12  т.к.

1 1 2 > , а > 0, 6 12 7

то

7

2

2

1 1 1 1  −  >7 −  . 2 3   3 4 27


2)

5

1  1 1 − 1  5  4

3

3

и

5

1  1 1 − 1  ; 7  6

3

3

3

1  1 5  1  25 − 24  1 − 1  = 5   =  ; 4 5 20  20     

5

3

3

3

1  1  49 − 48   1 5 1 − 1  = 5   =  ; 7  6  42   42 

5

т.к.

1 1 3 > , а > 0, 20 42 5

то

5

3

3

1 1  1  1 1 − 1  > 5 1 − 1  . 5 7  4  6

140. 1) 3 2) 3

2− y

= 27 , 3

5− 2 x

=1; 3

3)

1 x −1 92

4)

1 3− y 27 3

2− y

5− 2 x

−3 = 0 ;

3

= 3 . Тогда 2 – у = 3 и у = – 1. 0

= 3 . Поэтому 5 – 2х = 0 и х = 2,5.

1 x −1 92

− 81 = 0 ;

=3;

 1  3 3− y  3 3 

1  2 x −1 2   3

= 3 . Тогда х – 2 = 1 и х = 3.

= 3 4 . Тогда 9 – у = 4 и у = 5.

141. 1 1)   9

2 x −5

=3

5 x −8

−2 ;  3   

2 x −5

=3

5 x −8

;

3−4 x +10 = 35x −8 .

Тогда 10 – 4х = 5х – 8, 9х = 18 и х = 2. x−4

1 =   ; 2 4 x −9 = 2 − x + 4 . 2 Поэтому 4х – 9 = – х + 4, 5х = 13 и х = 2,6. x x +13 1 3) 8 ⋅ 4 = ; 16 23x ⋅ 22 x + 26 = 2−4 . Тогда 3х + 2х + 26 = – 4, 5x = – 30; х = – 6. 2) 2

28

4 x −9


25 x − 2

4)

1 =  5

5

2 x −4−

x − 7 ,5

;

1 − +

2 = 5 x 7 ,5 . 5 Тогда 2х – 4,5 = – х + 7,5, 3х = 12 и х = 4.

142.  1   1)    3 (3 3

2 x +1

1 2 ) 2 x +1

− x−

1 2

=3

( )

x

= 3 3 , 3

2)

x

= 32 , 3x 2

Тогда − x −

2

3) 9

(3 )

2 3х+ 4

x −1 3

2x

,

4x

=23 . х −1 4 = x, 3 3

.

Поэтому

1 3 = x, 2 2

х – 1 = 4х,

– 2,5х = 0,5 1 и x=− . 5 3x+4

( 2)

 2   =   3  2

x −1

3

3х = – 1 и x=−

⋅ 3=

27

x −1

3

( )

⋅ 3 = 33

,

х −1

4) 2

,

1 . 3

8

( 2)

х

3

1 х 22

=4

3 х−2

2, 1

= 2 2(3 х

− 2)

⋅22 .

1 1 х = 2 (3 х − 2 ) + , 2 2 1 1 6 х=6 2 2 и х = 1.

36х + 8 + 1 = 33х – 3.

Тогда 3 −

Тогда 6х + 9 = 3х – 3, 3х = – 12 и х = – 4. 143. 2

1) log 7 49 = log 7 7 = 2 ; 1 3) log 1 4 = log 1   2 2 2 

6

2) log 2 64 = log 2 2 = 6 ;

−2

= −2 ;

4) log 3

−3 1 = log 3 3 = −3 . 27

29


144. 1) lg23 ≈ 1,4; 2) lg131 ≈ 2,1; 3) 40lg2 ≈ 12; 4) 57lg3 ≈ 27,2. 146. 1+ lg 7 , x ≈ 0,92; 2

1) 102x – 1 = 7, 2x – 1 = lg7, x = 2) 101 – 3x = 6, 1 – 3x = lg6, 1+ lg 6 x= , x ≈ 0,07. 3 146. 4

2

2

625  100   25  1) (0,175)0 + (0,36)− 2 − 1 3 = 1 +  ;  −1 =   = 36 9 81     1

1 3

 1000  3 2) 1−0,43 − (0,008) + (15,1) = 1 −   +1 =  8  = 2−3

0

103 10 = 2 − = −3 ; 2 23 1

−2

2

1 25 1 4  1 3 5 +4= − +4= 3)   −   + 4 ⋅ 379 0 =   − 3 5 27 4 27 16 3       25 11 251 11 ; = + = =5 16 3 48 48 4) (0,125) =

1 3

2

3 +   − (1,85)0 = 4

1 3

0,125

+

9 1 9 −1 = + −1 = 16 0,5 16

9 9 + 2 −1 = 1 . 16 16 147.

(

)

1) 9,3 ⋅ 10−6 : 3,1 ⋅ 10−5 = −6

9,3 ⋅ 10−6 3,1 ⋅10

−5

= 3 ⋅ 10−1 = 0,3 ;

7

2) 1,7 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10 = 5,1 ⋅ 10 = 51 ; 3) 8,1 ⋅ 1016 ⋅ 2 ⋅ 10−14 = 16,2 ⋅102 = 1620 ;

(

)

4) 6,4 ⋅10 5 : 1,6 ⋅10 7 = 30

6,4 ⋅10 5 1,6 ⋅10

7

=

4 10 2

= 0,04 ;


−1

−2

3

1 1 1  1  5) 2 ⋅10 −1 +  6 0 −  ⋅   ⋅   ⋅  −  6  3  3  4  1 2 ⋅ (−4) ⋅ 3 1 8 7 = + = − = − = 1,4; 5 5⋅3 5 5 5 1  6) 3 ⋅10 −1 −  8 0 −  8  3 2 3−4 = − = = −0,1. 10 5 10

−1

1 ⋅  4

−3

4

1 5 ⋅  ⋅  4 7

−1

=

−1

=

1 6 32 + ⋅ ⋅ (− 4 ) = 5 5 33

3 8 1 7 − ⋅ ⋅ = 10 7 4 5

148. −2

 1 5  2 5  х3 ⋅ х6   х6 ⋅ х6  1)  1  =  1       х6   х6      7 1 81 32 = =1 ; при x = 9 x 2 49 49  2 1  а3 ⋅ а9 2)  − 2   а9 

     

−3

−2

 6 1  а9 ⋅ а9 =  −2   а9 

при a = 0,1, a3 = 0,001,

1 a3

 7  х6  = 1     х6   

     

−2

= х−2 =

−3

 7 2 = а9 ⋅ а9     

1 х2

,

−3

= (а )−3 =

1 , а3

= 1000.

149.

( 125х − 8х )− ( 27х − 64х ) = (5 х − 2 х )− (3 х − 4 х ) = 4 2) ( х + 16 х )+ ( 81 х − 625 х ) =

1)

3

3

4

=

4

4

3

3

4

х + 2 4 х + 34 х − 5 4 х =

3

3

3

3

3

х;

4

4

х;

 3 + 1 − а 2  1 + а 2  3  3 + 1− а   = + 1− а  : =1; 3)   1+ а  1+ а 1 + а  3 + 1 − а 2      х2 − у2 − х х 1  :  х2 − у2 − х  = . 4) 1 − =   2 2 2 2  2 2 2 2      − − х у х у х у х у х − − −      

31


150. 1) 7

5 х −1

= 49 ; 7

5 х −1

2

=7 .

Тогда 5х – 1 = 2; 5х = 3 и х =

3 . 5

2) (0,2)1− х = 0,04 ; (0,2)1− х = (0,2)2 . Поэтому 1 – х = 2 и х = – 1. 1 3)   7

3 х +3

=7

; 7

−3 х − 3

=7

.

Значит, – 3х – 3 = 2х; – 5х = 3 и х = –

3 . 5

−2 х 5 х −7 1 =3 . =  ; 3 3 Отсюда, 5х – 7 = – 2х; 7х = 7 и х = 1.

4) 3

5 х −7

Проверь себя 1. 3

1) 3 2) 3) = 5+

5

−5

:3

−7

−2

310 ⋅ 32 −

3 25 2

⋅ 25

−1

−2

3 3

+

  2  −1  2 2 27 3 3 ⋅ 2 +    = 3 − 2 + = 9−4+3 =8 ;  3   8 8 8   4

48

= 3 2 ⋅ 2 − 3 8 = 18 − 2 = 16 ;

3

2⋅ 3 2 53 3

( )

:5

3

2 − 48 3

2 :63

= 25 + 5

−1

2 −83

=

1 − 4 = 1,2. 5

2. 8600 = 8,6 ⋅ 103;

0.0078 = 7,8 ⋅ 10 – 3;

1) 8,6 ⋅ 103 ⋅ 7,8 ⋅ 10 – 3 = 67,08;

2) 8,6 ⋅ 103 : 7,8 ⋅ 10 – 3 =

6 43 ⋅10 . 39

3. 1) 32

(

3 х −9 ⋅ 2 х5 = 6 ; 2) х−1 + у−1 х−4

−2

)⋅  ху1  

=

у+х ⋅ (ху)2 = (х + у)ху . ху


4. 5

5

а3 3 3

= а3 ⋅ а

2 3

⋅a

3 4

= а⋅а

3 4

1−

3 4

1

1

= а 4 ; при а = 81, то a 4 = 3 .

а2 ⋅ а 4

5. 2

2

а) (0,78) 3 > (0,67 ) 3 , т.к. 0,78 > 0,67, и показатель степени

2 > 0; 3

1 1 1 б) (3,09)− 3 < (3,08)− 3 , т.к. 3,09 > 3,08, и показатель − < 0. 3

151. −

3

1

1

1

3 3 1 4  19  5  243 5 3 1)   + 100004 −  7  = (16)4 + 10 −   = 2 + 10 − = 16 32 32 2       3 = 8 + 10 − = 16,5; 2

2) (0,001)

1 3

−2

−2

2 ⋅ 64 3

−8

−1

1 3

1 = 1000 3

4

1 13 − ⋅ 3 64 2 −   = 4 8

4

= 10 −

3)

16 3  1  1 15 −   = 10 − 4 − =5 ; 4 16 16 8 2 273

− (− 2)

−2

4) (− 0.5)

−4

= 16 − 625 −

 3 + 3   8

1 3

5 1 2 1 8 3 = 272 − + 3 =9− + =9 ; 4 3 12 4 27

 1 − 625 −  2   4

−1

1 2

3

4 = 16 − 625 −   = 9

8 8 = −609 . 27 27

152. 4

1) х 2 − 4 – имеет смысл, если выполнено х2 – 4 ≥ 0, т.е. (х – 2)(х + 2) ≥ 0. Ответ: х ∈ (−∞; − 2]U [2; + ∞ ) . 33


3

2) х 2 − 5 х + 6 – имеет смысл для любого х. Ответ: х ∈ ( −∞;+∞) . х−2 х−2 ≥ 0 , при этом х + 3≠0 – имеет смысл, если х+3 х+3 т.е. х≠ – 3. 3)

6

Ответ: х ∈ (−∞; − 3)U [2; + ∞ ) . 4

4) х 2 − 5 х + 6 – имеет смысл, если х2 – 5х + 6 ≥ 0, тогда (х – 3)(х – 2) ≥ 0.

Ответ: х ∈ (−∞; + 2]U [3; + ∞ ) . 8

– имеет смысл, если х3 – х ≥ 0, поэтому 5) х 3 − х х(х – 1)(х + 1) ≥ 0.

Ответ: х ∈ [−1; 0]U [1; + ∞ ) 6

6) х 3 − 5 х 2 + 6 х – имеет смысл, если х3 – 5х2 + 6х ≥ 0, тогда х ⋅ (х – 3)(х – 2) ≥ 0.

Ответ: х ∈ [ 0; 2]U [3; + ∞ ) . 153. 1

1)

а4 − а 1 а4

а3 − а 1

а3 − а 34

7 4

3 − −а 4

4

2)

− −

2 3 2 3

=

=

а

7 4

(а − 1) = а 2

3 − а 4

а

а

2 3

(а − 1)

−1

(а + 1)(а − 1) = а + 1 = 1 + 1 ; (а − 1)

а

(а − 1) = (а + 1)(а − 1) = а + 1 ;

2 3

2

(а − 1)

(а − 1)

a


5

3)

4)

3 b4

a a

=

1 a3

1

b 4 + 2b 4 + b

3 4

=

1 − +b 4

4 3 b −2

5 3 b −2

1 +b3

− a −2 b − a −2 b

4 3

5 3

b

3 4

(b

)=

2

1 − b 4

(b + 1) 2

=

1 a − 2 b − 2 (a 3

a3 a b

ab

−1

−1 3

− a b −1

− a b

b

=

a b

4

a − b =

2

1

a − 2 b − 2 (a 3 − b 3 ) 1 −b3

=

1

1

1

( a 3 + b 3 )( a 3 − b 3 ) 1 a3

)

1 −b3

=

= 3 a + 3 b;

3 −1

5)

(b + 1)2 = b + 1 ; b (b + 1) b

+ 2b + 1

b3

a b

=

a

4

ab a2 − b2

a4 − b4

=

=

a2 − b2

ab

=

2

a − b 2 (a + b)(a − b) = = a + b; a−b a−b 6)

3 1 − 4 a b 4 1 1 − a 4b 4

−a +a

1 3 4b 4

1 1 4b 4

=

a

1 1 − 4b 4

(a − b )

1 1 1 − −   4 4 a b a2

 

1 + b2

   

=

( a + b )( a − b ) = a+ b

= a − b; 1

−2

 1 + ab 4 a 3b − 4 ab3   b 2  ⋅ 1 + + 2 b  = 7)  4 +  a  ab b − a   a  

(

)(

) (

 4 3  4 3 4  1 + ab b − a + ab  a b − ab     = 4   ab ⋅ b − a     a+ b = ab ⋅ = a + b ⋅ b; a

(

)

)

−2

1 2 2  b    = ⋅  1 + a      

35


3 3  a+b ab 2 − a 2b + 8)  3 2 3 2 3 2 3 a − 23 ab + b 2  a − b

  =   

( a + b ) a − ab + b ( a − b )( a + b ) 3

3

3

3

3

2

3

3

3

3

2

  

+

3  3 a 2 − 3 ab + 3 b 2 ab  : = − 3 3  a −3 b a − 3 b   3

= =

36

3

a 2 − 23 ab + b 2 3

a −3 b

3

a −3 b

6

a −6 b

=

( a+ 6

6

6

3

 :  

( a − b )= 6

6

( b − a ) : ( a − b ) = ( a − b )  ab

3

3

3

6

2

3

( a − b )= 6

6

( a − b) = : ( a − b )= ( a − b )( a − b ) b )( a − b ) = a+ b. 6

6

a −6 b

3

6

6

3

3

3

6

6

6

2

6

6


154. Vk = a3; 4 3 Vш = π ⋅ R , 3 если Vk = Vш = 100cm3; Vш 3V 300 =3 ш =3 ≈ 2,88; 4 4π 4π π 3 2R = 5,74, 2R > a, следовательно, шар не поместится в куб, т.к. диаметр шара больше ребра куба. a = 3 V k = 3 10 2 ≈ 4,64 см; R =

3

155. T = 2π

0,185 0,185 l ≈ 2π ≈ 2 ⋅ 3,14 ⋅ ≈ 0,86c. 9,8 9,8 g

156. а) у(х) = х2 – 4х + 5, у(– 3) = (–3)(–3) – 4(–3) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26, у(– 1) = (–1)(–1) – 4(–1) + 5 =1 + 4 + 5 = 10, у(0) = 0 – 0 +5 = 5, у(2) = 22–4 ⋅ 2 + 5 = 4 – 8 + 5 = 1; б) пусть у(х) = 1, значит х2 – 4х + 5 = 1, 2 х – 4х + 4 =0; (х – 2)2 = 0, тогда x – 2 = 0, x = 2, пусть у(х) = 5, значит х2 – 4х + 5 = 5; х2 – 4х = 0, х(х – 4) = 0, тогда х1 = 4; х2 = 0, если у(х) = 10, то х2 – 4х + 5 = 10, х2 – 4х – 5 = 0, тогда х1 = 5, х2 =–1, если у(х) = 17, то х2 – 4х – 5 = 17, х2 – 4х – 12 = 0, тогда х1=6, х2=–2. 157. х+5 ; х −1 3 1) у (−2) = = −1, −3  1  5.5 у  = = −11,  2  − 0.5 у ( х) =

2) если у(х) = –3, то

5 = −5, −1 3+5 8 у (3) = = = 4; 3 −1 2

у (0) =

х+5 = −3 ; х −1 35


х + 5 + 3х – 3 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, 4 x = −2 ,  x ≠ 1 тогда х = −

1 , 2

х+5 = −2 , х −1 х + 5 + 2х – 2 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, 3х = –3, x ≠ 1, значит, х = –1, х+5 = 13 , если у(х) = 13, то х −1 х + 5 – 13х +13 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, –12х = –18, x ≠ 1, значит, х = 1,5, х+5 = 19 , если у(х) = 19, то х −1 х + 5 – 19х +19 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, –18х = –24, x ≠ 1, 4 поэтому, х = . 3

если у(х) = –2, то

158. 2 1) у = 4 х − 5 х + 1, х ∈ (-∞; ∞) ; 2) у = 2 – х – х2, х ∈ (-∞; ∞) ;

2х − 3 , x ≠ 3, х ∈ ( −∞; 3) U (3; + ∞) ; х −3 3 , x 2 ≠ 5, х ∈ (−∞;− 5 ) U (− 5 ; 5 ) U ( 5 ; ∞) ; 4) у = 5 − х2 3) у =

5) у = 4 6 − х , 6 − x ≥ 0, х ∈ (−∞;6] ; 6) у =

1 , x + 7 > 0, x ∈ (−7; ∞) . х+7

159. 1) у = 36

2х 2

х − 2х − 3

, х 2 − 2 x − 3 ≠ 0;


т.е. ( x − 1)( x − 3) ≠ 0; значит x ≠ 1, x ≠ 3 , х ∈ (−∞; 1) ∪ (1; 3) ∪ (3; ∞); 6

2) у = х 2 − 7 х + 10 , тогда х2 – 7х + 10 ≥ 0, (x–2)(x–5) ≥ 0, х ∈ (−∞; 2]∪ [5; + ∞ ) ; 8

2

3) у = 3 х − 2 х + 5 , значит, 3х2 – 2х + 5 ≥ 0. Найдем корни уравнения 3х2 – 2х + 5 = 0: D = 1 − 15 = −14 < 0 , корней нет, поэтому т.к. 3>0 – ветви вверх, 4 значит, 3х2 – 2х + 5 > 0, для любого х , х ∈ (-∞; ∞) , 2х + 4 2х + 4 ≥ 0, , тогда 3− х 3− х при этом 3–х≠0; х≠3; –2≤х<3, 4) у = 6

х ∈ (−2; 3) . 160. у(х) = |2 – x| – 2; 1) у(–3) = |2 + 3| – 2 = 5 – 2 = 3, у(–1) = |2 + 1| – 2 = 3 – 2 = 1, у(1) = |2 –1| – 2 = 1 – 2 = –1, у(3) = |2 – 3| –2 = 1 – 2 = –1, 2) если у(х) = –2, то |2 – x| – 2 = –2, |2 – x| = 0 и х = 2, если у(х) = 0, то |2 – x| – 2 = 0, |2 – x| = 2, 2 – х = 2 или –2 + х = 2, тогда х1 = 4; х2 = 0, если у(х) = 2, то |2 – x| – 2 = 2, |2 – x| = 4, 2 – х = 4 или –2 + х = 4, значит х1 = –2; х2 = 6, если у(х) = 4, то |2 – x| – 2 = 4, 37


|2 – x| = 6, 2 – х = 6 или –2 + х = 6, поэтому, х1 = 8; х2 = –4. 161. 1) у =

х−2 х−2 ≥ 0 , х+3≠0; х≠–3 ; , значит, х+3 х+3

х ∈ (−∞; − 3) ∪ [2; ∞ ); 2) у = 4 (х − 1)(х − 2 )(х − 3) ; (х – 1)(х – 2)(х – 3) ≥ 0, х ∈ [1;2]∪ [3; + ∞ ) ; 3) у = 3

1− х , тогда 1+х ≠ 0; х ≠ – 1, х ∈ (−∞; − 1) ∪ (−1; ∞); 1+ х

4) у = (х + 1)(х − 1)(х − 4 ) ; (х + 1)(х – 1)(х – 4) ≥ 0 х ∈ [−1; 1]∪ [4; + ∞ ) ; 5) у = 8

х 2 + 4х − 5 , х−2

х 2 + 4х − 5 ≥0, х−2 х–2 ≠ 0; х≠2 ( x − 1)( x + 5) ≥ 0, x ≠ 2, x−2

тогда

х ∈ [−5; 1]∪ (2; + ∞ ) ; х ≥ 0 6) у = 6 х + 1 + х , тогда  1 + х ≥ 0 38

х ≥ 0 , x ≥ 0,   х ≥ −1


х ∈ [0; + ∞ ) . 162. 1) у = 3х2 + 2х + 29. Подставим координаты М (–2; 1), 1 = 3 ⋅ 4 – 4 + 29, 1 ≠ 37, значит, не принадлежит; 2) у = |4 – 3x| – 9, М (–2; 1), 1 = |4 + 6| – 9, 1 = 1, значит, принадлежит; 3) у =

х2 + 3 , х −1

7 4+3 ;1≠– , 3 − 2 −1 значит, не принадлежит; М (–2; 1); 1 =

4) у =| 2 − x − 5 | −2 , М (–2; 1), 1 = | 2 − 2 − 5 | −2 , 1 = | 2 − 5 | −2 , 1 = 3–2, 1 = 1, значит, принадлежит. 163. 1) у = |x + 3| + 2,  х + 5, х ≥ −3 ; у= − х − 1, х < −3

−x, х ≥ 0 2) у = – |x|, у =  ; х, х < 0

39


3) у = 2|x| + 1,

1  2 х, х ≤ 2 ; 4) у = 1 – |1 – 2x|, у =  − 2 х + 2, х > 1  2

2 х + 1, х ≥ 0 у= ; − 2 х + 1, х < 0

5) у = |x| + |x – 2|, −2 х + 2, х < 0  у = 2, 0≤ x≤2; 2 х − 2, х > 2 

40

6) у =| x + 1 | − | x | , х < −1 −1,  у = 2 х + 1, 1 ≤ x < 0 . 1, х≥0 


164. 1) у = 2х + 3,

2) у = 1 – 3х,

у возрастает, если х ∈ (–∞;+∞); y убывает, если х ∈ (–∞; ∞); 3) у = х2 + 2,

4) у = 3 – х2,

y возрастает, если х ∈ (0; +∞;), y возрастает, если х ∈ (–∞; 0), у убывает, если х ∈ (–∞; 0); у убывает, если х ∈ (0; +∞); 6) у = (2 + х)2, 5) у = (1 – х)2,

y возрастает, если х ∈ (1; +∞;), у убывает, если х ∈ (–∞; 1);

у возрастает, если х ∈ (–2; +∞), y убывает, если х ∈ (–∞; –2);

166. 41


3

3 4

1) у = х 7 .

2) у = х

Ответ: возрастает.

Ответ: убывает.

3) у = х −

4) у = х

2

.

Ответ: убывает.

3

.

.

Ответ: возрастает.

167. 1

1

1) х 2 = 3 ;

2) х 4 = 2 ;

х = 32 = 9;

х = 24 = 16;

4) х

1 4

5

=2;

х = 2–4 =

1 ; 16

5) х 6 = 32 ;

168. у=4 х ; а) при у = 0,5; х≈0,6, 42

5

х= 32 6 = 2 6 =64;

1 2

4 5

= 3; 1 х = 3–2 = ; 9 3) х

6) х

= 81 ; 5

1 1 х= 4 81−5 =   = .  3  243


при у = 1; х = 1, при у = 4; х = 256, при у = 2,5; х≈39; б)

4

1,5 ≈ 1,2 ,

4

2 ≈ 1,3 ,

4

2,5 ≈ 1,4 ,

4

3 ≈ 1,5 .

169. 4

6

4 х 3 = 625; 6   х 5 = 64; 5; у = х3 ;  = у х 3 3 5 5   х = (625) 4 = (5 4 ) 4 = 5 3 ; 2)  1)  х = 64 6 = (2 6 ) 6 = 2 5 ;  у = 625; х = 125.  у = 64; х = 32.     Ответ: М (125, 625). Ответ: М (32, 64). 7

3

7 3 х 3 = 128;   х 2 = 216; 3 2 у = х ; у = х ; 3 3 2 2   7 7 3 3 2 7 3 4) 128 ( 2 ) х = = = 23 ; 3)  х = 216 = (6 ) = 6 ;   у = 216; х = 36.  у = 128; х = 8.    

Ответ: М (36, 216). Ответ: М (8, 128). 170. 2

1) у = х +

х +1 1 1 = 1 ; ; пусть х1 < х2, у1 = х1 + х х1 х1

у 2 = х2 +

х +1 1 = 2 ; х2 х2

у1 − у 2 =

х12 + 1 х 22 + 1 х12 ⋅ х 2 + х 2 − х 22 ⋅ х1 − х1 − = = х1 х2 х1 ⋅ х 2

2

=

х1 ⋅ х 2 (х1 − х 2 ) − (х1 − х 2 ) (х1 − х 2 )⋅ (х1 ⋅ х 2 − 1) , = х1 ⋅ х 2 х1 ⋅ х 2

при х1, х2 > 0, но х1, х2 < 1, имеем х1 – х2 < 0, х1 ⋅ х2 > 0, х1 ⋅ х2 – 1 < 0 (х − х 2 )(х1 ⋅ х 2 − 1) > 0 , поэтому у1 > у2 тогда 1 х1 ⋅ х 2 43


Тогда т.к. х1 < х2, а у1 > у2, функция убывает на интервале 0 < x < 1. 1 2) у = 2 ; у возрастает при х ∈ ( – ∞; 0], х +1 у убывает при х ∈ [0; + ∞).

3) у = х3 – 3х. Пусть х1<х2 и х1, х2≤ – 1, значит у1 = х13 − 3х1 ; у 2 = х 23 − 3х 2

(

)

Тогда у1 − у2 = х13 − 3 х1 − 3 х2 = х13 − х23 − 3(х1 − х2 ) =

= (х1 −

)(

х2 х12

+ х1х2 +

х22

)− 3(х − х ) = (х − х )(х 1

2

1

при х1 ≤ – 1, х2≤ – 1, имеем 2 х1

2 1

2

2 х1

)

+ х1х2 + х22 − 3 < 0

+ х1 х 2 +

2 х2

≥ 3 , поэтому

2 х2

+ х1 х 2 + − 3 ≥ 0 , значит, т.к. х1<х2 и у1<у2, то у возрастает при х≤ – 1, и х ≥ 1 и убывает при – 1 ≤ x ≤ 1 . 4) у = х − 2 х ; пусть х1<х2 и х1, х2 ≥ 1, тогда

( х )(

) (x− − 2) < 0,

у1 − у 2 = (х1 − х 2 ) − 2 х1 − х 2 =

(

) (

− 2 x1 x2 =

х1 −

2

х1 + х2

1

x2

)(

)

x1 + x 2 −

при х1 ≥ 1, х2 ≥ 1, имеем: х1 ≥ 1, х 2 ≥ 1 , значит, х1 + х 2 ≥ 2 поэтому, т.к. х1<х2 и у1<у2, то у возрастает при х≥1, убывает при 0≤х<1. 171.  х + 2, х ≤ −1 1) у =  2 ;  х , х > −1 y возрастает при x ∈ ( – ∞ , – 1] U [0, + ∞ ), y убывает при x ∈ [ – 1,0]. 44

 х 2 , х ≤ 1 ; 2) у =  2 − х 2 , х > 1 y возрастает при x ∈ [0,1], y убывает при x ∈ ( – ∞ ,0] U [1, + ∞ ).


172. 1) у = 2х4 – четная, т.к. у( – х) = 2( – х)4 = 2х4 = у(х); 2) у = 3х5 – нечетная , т.к. у( – х) = 3( – х)5 = – 3х5 = – у(х); 3) у = х2 + 3 – четная , т.к. у( – х) = ( – х)2 + 3 = х2 + 3 = у(х); 4) у = х3 – 2 – не является ни четной, ни нечетной, т.к. y( – x) = ( – x)3 – 2 = – x3 – 2 ≠ – x3 + 2 = – y(x), y( – x) = – x3 – 2 ≠ x3 – 2 = y(x). 173. 1) у = х – 4 – четная; 2) у = х – 3 – нечетная; 4 2 4) у = х3 + х5 – нечетная; 3) у = х + х – четная; –2 5) у = х – х + 1 – ни чётная ни нечётная; 1 6) у = – ни чётная ни нечётная. х +1 174. 1) у = х4;

2) у = х5;

3) у = – х2 + 3;

4) у = 5 х .

45


1 –1 –1

1

175. х+2 ; х−3 − х + 2 − ( х − 2) х − 2 у (− х) = ; = = − х − 3 − ( х + 3) х + 3 поэтому у(х) ни четная, ни нечетная. х 2 + х −1 2) у(х) = ; х+4 1) у ( х ) =

х 2 − х −1 х 2 − х −1 ; = −х+4 − ( х − 4) значит у(х) ни четная, ни нечетная. у( – х) =

у(х)≠у( – х), у(х)≠ – у( – х),

у(х)≠у( – х), у(х)≠ – у( – х),

176. 1) у = х4 + 2х2 + 3 – четная; 2) у = х3 + 2х + 1 – ни четная, ни нечетная; 3 3) у = 3 + 3 х , х 3  3  + 3 − х = − 3 + 3 х  = – y(x), т.е. нечетная; у( – х) = 3 −х х  4 4) у = х + |x| – четная; 5) у = |x| + x3 – ни четная, ни нечетная; 6) у = 3 х − 1 – ни четная, ни нечетная. 177. 1) у = х2 – 2|x| + 1; 2  х − 2 х + 1, х ≥ 0 у= ;  х 2 + 2 х + 1, х < 0 46

2) у = х2 – 2|x|; 2  х − 2 х, х ≥ 0 у= .  х 2 + 2 х, х < 0


178. 1) у = x|x| – 2x;  х 2 − 2 х х ≥ 0 у= ; − х 2 − 2 х, х < 0

2) у = x|x| + 2x;  х 2 + 2 х, х ≥ 0 у= . − х 2 + 2 х, х < 0

179. 1) у = х − 5 ;

2) у = х + 3 ;

определена при х – 5≥0, х≥5;

определена при х≥0;

у = х − 5 – ни четная,

у = х + 3 – ни четная, 47


ни нечетная; у возрастает, если х≥5; 3) у = х4 + 2; определена при любом х; у = х4 + 2 – четная; у убывает, если х∈( – ∞; 0); у возрастает, если х∈(0; + ∞);

5) у = (х + 1)3; определена при х∈( – ∞; ∞); у = (х + 1)3 – ни четная, ни нечетная; у возрастает при всех х;

ни нечетная; у возрастает, если х≥0; 4) y = 1 – x4; определена при х∈( – ∞; ∞); у = 1 – х4 – четная; у возрастает, если х∈( – ∞; 0); у убывает, если х∈(0; + ∞);

6) у = х3 – 2; определена при х∈( – ∞; ∞); у = х3 – 2 – ни четная, ни нечетная; у возрастает при всех х.

180.  х 2 , если х ≥ 0 ; 1) у =   х 3 , если х < 0

48

 х 3 , если х > 0 2) у =  ;  х 2 , если х ≤ 0


а) у>0, если х>0; а) у>0, если х≠0; б) у возрастает, если х∈( – ∞; ∞); б) у убывает, если х∈( – ∞; 0); у возрастает, если х∈(0; + ∞). 181. 1) у = х; х > 0;

а) пусть у – четная, тогда у = |x|; 2) у = х2; x > 0;

а) пусть у – четная, тогда у = х2; 3) у = х2 + х; x > 0;

б) пусть у – нечетная, тогда у = х;

б) пусть у – нечетная, тогда у = х|x|;

49


а) пусть у – четная, тогда у = х2 + |x|; 4) у = х2 – х; x > 0;

б) пусть у – нечетная, тогда у = х|x| + х;

а) пусть у – четная, тогда у = х2 – |x|;

б) пусть у – нечетная, тогда у = х|x| – х.

182. 1) у = (х + 1)6; ось симметрии: х = – 1; 2) у = х6 + 1; ось симметрии: х = 0. 183. 1) у = х3 + 1 центр симметрии: т.М (0,1); 2) у = (х + 1)3 центр симметрии: т.М ( – 1,0). 184. у=

2 ; х

1) у(х) = 4, если х =

1 ; 2

1 , если х = – 4; 2 3) у(х)>1, если 0<x<2; 4) у(х)≤1, если х<0 и х≥2. 2) у(х) = –

50


185. 1 ; у = х; х 1) в точках А(1; 1) и В( – 1; – 1); 1 2) график функции у = лежит х выше, чем график у = х, если х< – 1 и 0<x<1, и ниже, если – 1<x<0 и x>1. у=

186. 8 12   у = − у = 1)  х , точки ( 2;−4); ( −2;4) ; х , точки ( 2;6); ( −2;−6) ; 2)   у = −2 х  у = 3 х 6 2   у = у = − − 3)  , точки ( 2 ; 1 ); ( 1 ; 2 ) ; 4) х + 1 , точки (1;3); ( −4;−2) . х   у = х − 1  у = х + 2 187. 1) у =

3 ; у = х + 1; х

2) у = −

3 ; у = 1 – х; х

у=х+1

А(1,2;2,2) В( – 2,2; – 1,2)

3) у =

2 ; у = х2 + 2; х

С( – 1,2;2,3) D(2,3; – 1,2)

4) у =

1 ; у = х2 + 4х. х

В(0,5; 1,8) С( – 0,5; – 2) А( – 3,8; – 0,2

51


188. V=

12 ρ

12 = 3 (л.); 4 12 2 = 2 (л.); V (5) = 5 5 12 1 V (10) = = 1 (л.); 10 5 3)

1) V (4) =

12 12 , ρ = , ρ = 4 (атм); 3 ρ 12 2 12 , ρ = , ρ = 2 (атм); 5= 5 5 ρ 4 12 12 , ρ = , ρ = (атм). 15 = 15 5 ρ 2) 3 =

189. 6 U I= ; I= ; R R 1) R =

6 = 0,6 (Ом); 10

6 1 = 1 (Ом); 5 5 6 = 5 (Ом); R= 1,2 R=

6 = 1 (А); 6 6 1 = (А); I= 12 2 6 3 I= = (А). 20 10

2) I =

I

R

52


190. v2 60 2 ; ay = = 24000 км/ч 2 , r 0,15 ау уменьшится, если увеличится радиус. ау =

191. 1) у =

3 −2; х

2) у =

2 +1; х

3) у =

2 −1 ; х+2

4) у =

2 +1. 1− х

192. 1) х7 > 1, тогда х > 1. Ответ: х ∈ (1; ∞). 3) у3 ≥ 64; у3 ≥ 43, поэтому у ≥ 4. Ответ: у ∈ [4; + ∞).

2) х3 ≤ 27, значит, х3 ≤ 33, x ≤ 3. Ответ: х ∈ ( – ∞; 3]. 4) у3 < 125; у3 < 53, значит, у < 5. Ответ: у ∈ ( – ∞; 5). 53


5) х4 ≤ 16; (х2 – 4)(х2 + 4) ≤0, значит, (х – 2)(х + 2)(х2 + 4)≤0.

6) х4 > 625; (х2 – 25)(х2 + 25) >0, тогда (х – 5)(х + 5)(х2 + 25)>0.

Ответ: х∈[ – 2; 2].

Ответ: x∈( – ∞; – 5)∪(5; + ∞).

193. 1) S = а2, и а2 > 361 а – сторона квадрата, значит, а>0;

а2 – 361 > 0, (а – 19)(а + 19) > 0, a>0.

2) V = а3, т.е. а – ребро куба, тогда a>0

Ответ: а > 19(см). а3 > 343; а 3 > 7 3; а > 7, значит a>7(см). Ответ: а > 7(см).

194. х −3 = 2;

1)

2)

7−3 = 2;

х 2 − 13 − 2 х − 5 = 3 ;

49 − 13 − 14 − 5 = 6 − 3 = 3 ,

4 = 2, значит, 7 – корень;

поэтому 7 – корень.

195. 1) х = 3 ; х = 32 = 9;

2) х = 7 ; х2 = 72 = 49;

3) 2 х − 1 = 0 ; 4) 3 х + 2 = 0 ; 2x – 1 = 0; 3x + 2 = 0; 1 2 х= ; х=− . 2 3

196.

54

1) х + 1 = 2 по О.Д.З. х + 1 = 4; х ≥ – 1, х = 3 входит в О.Д.З.;

2) х − 1 = 3 по О.Д.З. х – 1 = 9; х ≥ 1, х = 10 входит в О.Д.З.;

3) 1 − 2 х = 4 , по О.Д.З. 1 1 – 2х = 16; х ≤ ;– 2х = 15; 2 х = – 7,5 входит в О.Д.З.;

2 х − 1 = 3 , по О.Д.З.; 1 2х – 1 = 9; х ≥ ; 2х = 10; 2 х = 5 входит в О.Д.З.

4)


197.  х ≥ −1 х + 1 = 2 х − 3 по О.Д.З.  x ≥ 1,5;  х ≥ 1,5 х + 1 = 2х – 3; х = 4 входит в О.Д.З. Ответ: х = 4.

1)

2)

х − 2 = 3 х − 6 по О.Д.З. х ≥ 2

х − 2 = 3(х − 2 ) х = 2 входит в О.Д.З. Ответ: х = 2. 3) х 2 + 24 = 11х по О.Д.З. х ≥ 0; х2 + 24 = 11х х2 – 11х + 24 = 0, x1 = 3 и x2 = 8 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 3; х2 = 8. х 2 + 4 х = 14 − х  х ≤ 14 х ∈ (−∞;−4] ∪ [0;14] ; по О.Д.З. 2  х + 4 х ≥ 0

4)

х2 + 4х + х – 14 = 0; х2 + 5х – 14 = 0, x1 = 2 и x2 = – 7 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 2; х2 = – 7. 198. 1) х + 2 = х2 по О.Д.З х ≥ 0; х2 – х – 2 = 0; х1 = 2; х2 = – 1; х2 = – 1 – не входит в О.Д.З. Ответ: x = 2. 2) 3х + 4 = х2 по О.Д.З. х ≥ 0, 1   x ≥ −1 3 ⇒ x ≥ 0;  x ≥ 0 

х2 – 3х – 4 = 0; х1 = 4; х2 = – 1; х2 = – 1 – не входит в О.Д.З., т.к. – 1<0. Ответ: x = 4. 55


[

]

20 − х 2 ≥ 0 20 − х 2 = 2 х ; О.Д.З. ; х ∈ 0;2 5 ;  х ≥ 0 20 – х2 = 4х2; 5х2 = 20; х1 = 2; х2 = – 2 , х2 = – 2 – не входит в О.Д.З., т.к. – 2 < 0. Ответ: x = 2. 0,4 − х 2 ≥ 0 4) 0,4 − х 2 = 3 x; О.Д.З. ; х ∈ 0;2 0,1 ;  х ≥ 0 0,4 – х2 = 9х2 10х2 = 0,4; х2 = 0,04; х = 0,2; х = – 0,2 , х2 = – 0,2 – не входит в О.Д.З., т.к. – 0,2 < 0. Ответ: x = 0,2. 3)

[

]

199. 1)

1 + 33   x 2 − x − 8 ≥ 0 ; x∈ ,+∞ ; x 2 − x − 8 = x − 2 ; О.Д.З.    x − 2 ≥ 0  2 

х 2 − х − 8 = х 2 − 4х + 4 3х = 12, x = 4 входит в О.Д.З. Ответ: х = 4.  x 2 + x − 6 ≥ 0 2) x 2 + x − 6 = x − 1 ; О.Д.З.  ; x ∈ [2,+∞ );  x − 1 ≥ 0 2 2 х + х − 6 = х − 2х +1 ; 1 3х = 7, х = 2 , входит в О.Д.З. 3 1 Ответ: х = 2 . 3

200. 1) (х – 1)3 > 1, тогда х – 1 > 1 и х > 2. Ответ: х ∈ (2;+∞) . 3) (2х – 3)7 ≥ 1, поэтому 2х – 3 ≥ 1 и х ≥ 2. Ответ: х ∈ [2;+∞ ) . 56

2) (х + 5)3 > 8, значит, х + 5 > 2 и x > – 3. Ответ: х ∈ (−3;+∞) . 4) (3х – 5)7 < 1, отсюда 3х – 5 < 1 и х < 2. Ответ: х ∈ (−∞;2) .


(

)(

)

5) (3 – х)4 > 256; (3 − х )2 − 16 (3 − х )2 + 16 > 0 (3 – х – 4)(3 – х + 4) > 0, т.к. (3 – x)2 + 16>0 при любом х, тогда ( – х – 1)(7 – х ) > 0.

Ответ: х ∈ ( – ∞; – 1)∪(7; + ∞).

(

)(

)

6) (4 – х)4 > 81; (4 − х )2 − 9 (4 − х )2 + 9 > 0 , т.к. (4 – x)2 + 9>0, то (4 – х – 3)(4 – х + 3) > 0, тогда ( 1 – х)(7 – х ) > 0. Ответ: х ∈ ( – ∞; 1)∪(7; + ∞). 201. 1)

х = −8 – не имеет смысла, т.к.

х ≥0;

2) х + х − 4 = −3 – не имеет смысла, т.к. слева стоит сумма неотрицательных слагаемых, а справа отрицательное число; 3) − 2 − х 2 = 12 – не имеет смысла, т.к. – 2 – х2 < 0 для любого х; 4) 7 х − х 2 − 63 = 5 не имеет смысла, т.к. 7х – х2 – 63 < 0 для любых х. 202.  х 2 − 4 х + 9 ≥ 0 5  ; х ∈  ;+∞ ; О.Д.З. 2 х − 5 ≥ 0 2  2 2 возводим в квадрат х – 4х + 9 = 4х – 20х + 25 3 х2 – 16 х + 16 = 0. Решим: D = 8 2 − 3 ⋅16 = 64 − 48 = 16 ; 4 8± 4 x1, 2 = , x1 = 4 входит в О.Д.З.; 3 1 х2 = 1 не входит в О.Д.З. 3 Ответ: x = 4. 1)

х 2 + 4 х + 9 = 2 х − 5;

57


2)

х2 + 3х + 6 ≥ 0  2  х2 + 3х + 6 = 3х + 8; О.Д.З. ; х ∈ − 2 ;+∞; 3х + 8 ≥ 0  3  2

2

возведем в квадрат х + 3 х + 6 = 9 х + 48 х + 64 ; 8х2 + 45х + 58 = 0. Решим: D = 2025 – 1856 = 169 > 0, −45 ± 13 х1, 2 = ; 16 −58 29 1 х1 = =− = −7 не входит в О.Д.З.; 16 4 4 −32 х2 = = −2 входит в О.Д.З. 16 Ответ: x = – 2. 1  3) 2 х = 1 + х 2 + 5 ; О.Д.З. 2х – 1 ≥ 0, х ∈  ;+∞  ; 2  х 2 + 5 = 2 х − 1 . Возводим в квадрат х2 + 5 = 4х2 – 4х + 1 3х2 – 4х – 4 = 0. Решим: D = 4 + 12 = 16 ; 4 2±4 2 х1 = , x1 = 2 − входит в О.Д.З.; х 2 = − − не входит в О.Д.З. 3 3 Ответ: x = 2. 13 − 4 х ≥ 0 1  О.Д.З. ; х ∈  − ∞; 3 ; 4) х + 13 − 4 х = 4; 4 − х ≥ 0 4   13 − 4 х = 4 − х . Возведем в квадрат 13 – 4х = 16 – 8х + х2; х2 + 4х = 3 = 0. Решим: х1 = 3, х2 = 1 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 3; х2 = 1. 203. 1)

х ≥ 0 х + 12 = 2 + х ; О.Д.З.  ; х ∈ [0; + ∞ );  х + 12 ≥ 0

возводим в квадрат х + 12 = 4 + 4 х + х ; 4 х = 8 ; х = 2 ; x = 4 входит в О.Д.З. Ответ: х = 4. 58


х ≥ 0 х ∈ [0; + ∞ ) ; 4 + х + х = 4 ; О.Д.З.  4 + х ≥ 0

2)

4 + x = 4 − x . Возводим в квадрат 4 + х = 16 − 8 х + х ; − 8 х = −12 ; х = 1,5 , x = 2,25 входит в О.Д.З. Ответ: х = 2,25.

204. 1)

2 х + 1 ≥ 0 2 х + 1 + 3 х + 4 = 3; О.Д.З. ; 3 х + 4 ≥ 0

 1  х ∈ − ;+∞ ; 2  

3 х + 4 = 3 − 2 х + 1 , возводим в квадрат 3х + 4 = 9 – 6 2 х + 1 + 2х + 1; х – 6 = – 6 2 х + 1 ; 6 2 х + 1 = 6 – х; О.Д.З. 6 – х ≥ 0, возводим в квадрат 36(2х + 1) = 36 – 12х + х2;  1  х ≤ 6, т.е. х ∈ − ;6 – общая О.Д.З.;  2  72х + 36 = 36 – 12х + х2; х2 – 84 х = 0. Решим: х(х – 84) = 0, x1 = 0 входит в О.Д.З.; х2 = 84 не входит в О.Д.З. Ответ: x = 0. 4 х − 3 ≥ 0 3  ; х ∈  ;+∞ ; 2) 4 х − 3 + 5 х + 4 = 4; О.Д.З. 5 х + 4 ≥ 0 4    5 x + 4 = 4 − 4 x − 3 , возводим в квадрат

5х + 4 = 16 – 8 4 х − 3 + 4х – 3 х – 9 = – 8 4 х − 3 запишем еще один О.Д.З.9 – х ≥ 0, возводим в квадрат х2 – 18х + 81 = 64(4х + 3); 3  х ≤ 9, т.е. х ∈  ; 9 – общая О.Д.З.; 4  2 х – 18х + 81 = 256х – 192; х2 – 274х + 273 = 0. Решим: х1 = 273, х2 = 1; х1 = 273 – не входит в О.Д.З., x1 = 1 – входит в О.Д.З. Ответ: x = 1. 59


х − 7 ≥ 0 х − 7 − х + 17 = −4; О.Д.З. ;  х + 17 ≥ 0

3)

х ∈ [7; + ∞ );

x + 17 = x − 7 + 4 , возводим в квадрат

х + 17 = 16 + 8 х − 7 + х – 7 8 = 8 х−7 1 = х − 7 , х – 7 = 1, х = 8 входит в О.Д.З. Ответ: х = 8. х + 4 ≥ 0 О.Д.З. ; х −1 ≥ 0

х + 4 − х − 1 = 1;

4)

х ∈ [1; + ∞ );

x + 4 = 1 + x − 1 , возводим в квадрат

х + 4 = 1 + 2 х − 1 + х – 1; 4 = 2 х −1 ; 2 = х − 1 , х – 1 = 4, х = 5 входит в О.Д.З. Ответ: х = 5. 205. 1)

 х ≥ 0 4 + х = 19 − 2 х ; О.Д.З. ; 19 − 2 х ≥ 0

возводим в квадрат 4 +

1  х ∈ 0; 90 ; 4 

х = 19 – 2 х ;

3 х = 15, тогда х = 5; х = 25 – входит в О.Д.З. Ответ: х = 25.  х ≥ 0 7 + х = 11 − х ; О.Д.З. ; 11 − х ≥ 0 возводим в квадрат 2)

7+

х = 11 –

х

2 х = 4; х = 2; х = 4 – входит в О.Д.З. Ответ: х = 4. 60

х ∈ [0; 121];


206. 1) х − 2 > 3; О.Д.З. и возведем в квадрат х − 2 ≥ 0 х ≥ 2 ;  ; х>11   х − 2 > 9  х > 11

Ответ: х ∈ (11; + ∞). х − 2 ≥ 0 х ≥ 2 ;  ; 2) х − 2 ≤ 1 ;  х − 2 ≤ 1 х ≤ 3 2≤х≤3. Ответ: х ∈ [2; 3]. 2 − х ≥ 0  х ≤ 2 х ≤ 2 3) 2 − х ≥ х ;  ; ; . 2  2 2 − х ≥ х  х + х − 2 ≤ 0 ( х + 2)( х − 1) ≤ 0

Ответ: х ∈ ( – ∞; 1]. 2 − х ≥ 0  х ≤ 2 х ≤ 2    ; х ≥ 0 ; х ≥ 0 . 4) 2 − х < х ;  х ≥ 0    2 2 2 − х < х  х + х − 2 > 0  х < −2 или х > 1

Ответ: х ∈ (1; 2]. 5)

5 х ≥ 0  х ≥ 2,2 5 х + 11 > х + 3 ;   2 2 5 х + 11 > х + 6 x + 9 х + х − 2 < 0

Ответ: х ∈ ( – 2; 1) х + 3 ≥ 0  ; 6) х + 3 ≤ х + 1 ;  х + 1 ≥ 0  2 х + 3 ≤ х + 2х + 1

 х ≥ −3  .  х ≥ −1  2 х + х − 2 ≥ 0

Ответ: х ∈ [1; + ∞). 61


207. ВС – АС ≤ 0,02. Если АС = х, 1 то ВС = х 2 + . 4 Получим 1 ≤ 0,02 + х ; О.Д.З.; 4 0,02 + х ≥ 0   2 1 2  х + 4 ≤ 0,0004 + 0,04 x + х .  х ≥ −0,02  х ≥ −0,02 ;  .  0 , 04 x ≥ 0 , 2496   х ≥ 6,24

х2 +

1 − х ≤ 0,02 ; 4

х2 +

Возведем в квадрат

Ответ: на расстоянии ≥ 6,24 (м). 208. 1 , значит, 2х + 1 ≠ 0, 2х +1 1  1 1   x ≠ − , тогда х ∈  − ∞; −  ∪  − ; ∞  ; 2  2 2  

1) у =

2) у = (3 – 2х) – 2, тогда 3 – 2х ≠ 0, х ≠ 1,5, значит х ∈ (−∞; 1,5)∪ (1,5; ∞ ) ; 3) у = − 5 − 3 х , значит – 5 – 3х ≥ 0; – 3х ≥ 5; 2 2  х ≤ − 1 , тогда х ∈  − ∞; − 1  ; 3 3 

4) у = 3 7 − 3 х , имеет смысл для любого x, т.е. х ∈ (−∞; ∞) . 209.

62

1)

4

2,7 < 4 2,9 , т.к. 2,7<2,9 и 4 х – возрастает;

2)

4

1 41 1 1 > , т.к. > и 7 8 7 8

4

х – возрастает;


3) ( – 2)5 > ( – 3)5 т.к. у = х5 – возрастает и – 2> – 3; 5 5 2 3  2  3 4)  2  <  2  т.к. у = х5 – возрастает и 2 < 2 . 3 4 3 4     210. 1) у = – 2х4;

2) у =

1 5 х ; 2

у – четная; у – нечетная; у возрастает, если х ∈ ( – ∞; 0), у возрастает для любого х; у убывает, если х ∈ (0; + ∞); 3) у = 24 х ;

4) у = 33 х ;

определена при х≥0; у – нечётная; у – ни чётная, ни нечётная; у – возрастает при всех значениях х. у – возрастает при всех х; 211. k , если k = – 4 расположены во II и IV квадрантах, x т.к. – 4<0; k у = , если k = 3 расположены в I и III квадрантах, т.к. 3>0. x у=

63


212.

А (1; 1) В ( – 1; – 1)

213.  у = х 2 1)  ; х2 = х3.  у = х 3 Тогда х2 – х3 = 0; х2 (х – 1) = 0; х1 = 0; х2 = 1. Точки А (0; 0); В (1; 1). 1  1 y = 2)  = 2 х. х ;  y = 2х х  1− 2х = 0; х 1 – 2х2 = 0; 1 х2 = ; 2 2 2 , точки M ; х2 = − х1 = 2 2 Тогда

 2     2 ; 2; N  

  2 −   2 ;− 2;  

 у = х 3)  ; х =| x | .  у =| x | Значит, х1 = 0; х2 = 1, точки M (0; 0), N (1; 1); у = 3 х 4 1  3 3 =1. ; 4)  x х ; = 1 х у = х  Получим х1 = 1; х2 = – 1, точки M (1; 1), N ( – 1; – 1). 64


214. 1) х4 ≤ 81; 2) х5 >32; 2 2 2 (х – 9)( х + 9) ≤ 0, т.к. x + 9>0, то х5 > 25, значит (х – 3)( х + 3) ≤ 0. х > 2. Ответ: х ∈ [ – 3; 3].

Ответ: х ∈ (2; + ∞).

6

4) х5 ≤ – 32; х5 ≤ ( – 2)5, получим х ≤ – 2. Ответ: х ∈ ( – ∞; – 2].

3) х > 64; х2 >4; х2 – 4 >0, тогда (х – 2)(х + 2) > 0; х>2 или x< – 2.

Ответ: х ∈ ( – ∞; – 2)∪(2; + ∞). 215. 1) 3 − х = 2 по О.Д.З.; 3 – х = 4; х ≤ 3; х = – 1 входит в О.Д.З. Ответ: х = – 1. 2)

3 х + 1 = 7 по О.Д.З.; 1 3

3х + 1 = 49 3х + 1 ≥ 0, x ≥ − ; 3х = 48; х = 16 входит в О.Д.З. Ответ: х = 16. 3)

х ≥ 0 ; 3 − 11х = 2 х по О.Д.З.  3 − 11х ≥ 0

возводим в квадрат 3 – 11х = 4х2; 0≤х≤

3 ; 11

4х2 + 11х – 3 = 0. Решим: −11 ± 13 1 х1, 2 = х1 = ; входит в О.Д.З. х 2 = −3 не входит в 8 4 О.Д.З. 1 Ответ: x = . 4 65


 х ≥ 0 ; 5 х − 1 + 3 х 2 = 3 х по О.Д.З.  2 3х + 5 х − 1 ≥ 0 возводим в квадрат: 3х2 + 5х – 1 = 9х2; х ∈ (0,2; ∞); 6х2 – 5х + 1 = 0. Решим: D = 25 – 24 = 1 > 0; 5 ±1 1 1 ; х1, 2 = х1 = и х2 = входят в О.Д.З. 12 2 3 1 1 Ответ: x1 = ; x2 = . 2 3  х − 2 ≥ 0, х ≥ 2 5) 2 х − 1 = х − 2 по О.Д.З.  . 2 х − 1 ≥ 0 Возведем в квадрат: 2х – 1 = х2 – 4х + 4; х ≥ 2; х2 – 6х + 5 = 0. Решим: х1 = 5; х2 = 1 не входит в О.Д.З. Ответ: x = 5. х + 3 ≥ 0  х ≥ −3 6) 2 − 2 х = х + 3 по О.Д.З.  ;  . 2 − 2 х ≥ 0  х ≤ 1 Возводим в квадрат: 2 – 2х = х2 + 6х + 9; х2 + 8х + 7 = 0. Решим: х1 = – 7 не входит в О.Д.З.; х2 = – 1 – входит в О.Д.З. Ответ: – 1. 4)

216. 3 1) у = х 2 + 2 х − 15 , при всех x имеет смысл х ∈ ( – ∞;∞);

2) у = 4 13х − 22 − х 2 ; – х2 + 13х – 22 ≥ 0; х2 – 13х + 22 ≤ 0. Решим уравнение x2 – 13x + 22 = 0. Корни х1 = 11; х2 = 2, тогда 2 ≤ х ≤ 11. Ответ: х ∈ [2; 11]. 66


3) у =

х2 + 6 х + 5 х+7

х2 + 6х + 5 ≥ 0 . Решим x2 + 6x + 5 = 0; х+7 ( x + 1)( x + 5) х1 = – 1; х2 = – 5; значит, ≥ 0. x+7

Значит,

Ответ: х ∈ ( – 7; – 5]∪[ – 1; + ∞). 4) у =

х2 − 9 х + 8х + 7 2

х2 −9 х 2 + 8х + 7

≥ 0 . Решим (x2 – 9)(x2 + 8x + 7) = 0;

х1 = 3; х2 = – 3; х3 = – 7; х4 = – 1 исключая x3 и x4.

Ответ: х ∈ ( – ∞; – 7)∪[ – 3; – 1) ∪ [3; + ∞). 217. 1 , ( х − 3) 2 у убывает, если х > 3; 1 2) у = , х < 2. ( х − 2)3 Если х1 = 0, х2 = 1, x1<x2, 1 у (0) = − то 8 ; у1 > y 2 , тогда у (1) = −1 т.к. х1 < x2, y1 > y2, то y – убывает, если x < 2;

1) у =

y

3) у = 3 х + 1 , х ≥ 0. Пусть х1 = 7, х2 = 26; у1 = 3 8 = 2

; у1 < у 2 , и т.к. х1 < x2, то получим, что у2 = 3 27 = 3 у – возрастает, если х ≥ 0; 67


4) у =

1

, х < – 1/ х +1 Пусть х1 = – 8, х2 = – 27, x1>x2; 1 1 у1 = 3 =− 2 1 1 −8 ; − >− , 1 1 3 2 у2 = 3 =− 3 − 27 получим, что у1 < y2, x1 > x2, значит у – убывает, если х < – 1. 3

218. 1) у = х6 – 3х4 + х2 – 2; четная; 2) у = х5 – х3 + х; нечетная; 1 3) у = +1; (х − 2)2 ни четная ни нечетная; 4) у = х7 + х5 + 1; ни четная ни нечетная/ 219. 1) у =

1 х

2

;

2) у =

1 ; х3

1. у – чётная; 1. у – нечетная; 2. у возрастает, 2. у убывает, если х ∈ ( – ∞; 0); если х ∈ ( – ∞; 0)∪ (0; + ∞); 3. у убывает, если х ∈ (0; + ∞); 68


3) у =

1 + 2; х3

4) у = 3 −

1 ; х2

1. у – ни четная, ни нечетная; 2. у убывает, если х ∈ ( – ∞; 0)∪ (0; + ∞); 1 5) у = +1; (3 − х )2

1. у – четная; 2. у возрастает, если х>0 у убывает, если x<0; 1 6) у = −2; (х − 1)3

а) у возрастает, если x<3; у убывает, если x>3; б) у – ни четная, ни нечетная;

а) у убывает, если x < 1, и x >1; б) у – ни четная, ни нечетная.

220. 1) (3х + 1)4 > 625; (3х + 1)2 – 25 > 0, т.к. (3x + 1)2 + 25>0; (3х + 1 – 5)(3х + 1 + 5) > 0; получим (3х – 4)(3х + 6) > 0.

1 3

Значит, x < – 2 или x > 1 .

2) (3х2 + 5х)5 ≤ 32; (3х2 + 5х) ≤ 2. Тогда 3х2 + 5х – 2 ≤ 0; 1 х1 = – 2; х 2 = 3

1 3

Поэтому – 2 ≤ x ≤ 1 ; 1 ) ≤ 0. 3 1 Ответ: х ∈ [ – 2; ]. 3

(х + 2)(х – 1 3

Ответ: х ∈ ( – ∞; – 2)∪( 1 ; + ∞).

69


221. 1)

2 х 2 + 5 х − 3 = х + 1 по О.Д.З.

 х + 1 ≥ 0 1 ; х ∈ ( ; + ∞).  2 2 2 х + 5 х − 3 ≥ 0 Возводим в квадрат 2х2 + 5х – 3 = х2 + 2х + 1; х2 + 3х – 4 = 0. Решим: х1 = 1; х2 = – 4 – не входит в О.Д.З. Ответ: х = 1. 2)

3х 2 − 4 х + 2 = х + 4 ; О.Д.З.:

 х + 4 ≥ 0 ; х ∈ ( – 4; + ∞).  2 3х − 4 х + 2 ≥ 0 Возводим в квадрат 3х2 – 4х + 2 = х2 + 8х + 16; 2х2 – 12х – 14 = 0; х2 – 6х – 7 = 0. Решим: х1 = 7; х2 = – 1 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 7; х2 = – 1.  х + 11 ≥ 0 ; х ≥ 0. 3) х + 11 = 1 + х ; О.Д.З.:  х ≥ 0 Возводим в квадрат х + 11 = 1 + 2 х + х; 10 = 2 х ; х = 5. Тогда х = 25 входит в О.Д.З. Ответ: х = 25.

 х + 19 ≥ 0 ; х ≥ 0. х + 19 = 1 + х ; О.Д.З.:  х ≥ 0 Возводим в квадрат 4)

х + 19 = 1 + 2 х + х; 2 х = 18; х = 9; х = 81 входит в О.Д.З. Ответ: х = 81.

70


5)

х + 3 ≥ 0 х + 3 + 2 х − 3 = 6; О.Д.З. :  ; х ∈ [1,5; ∞ ); 2 х − 3 ≥ 0

2x − 3 = 6 − x + 3 . Возводим в квадрат

2х – 3 = 36 – 12 х + 3 + х + 3; х – 6 – 36 = – 12 х + 3 . Возводим в квадрат (х – 42) = – 12 х + 3 , О.Д.З. х – 42 ≤ 0, т.е. х ∈ [1,5; 42] ; (х2 – 84х + 1764) = 144(х + 3); х2 – 228х + 1332 = 0. Решим х1 = 222; х2 = 6, х1 = 222 – не входит в О.Д.З. Ответ: x = 6. 7 − х ≥ 0 5  ; х ∈  ; 7 ; 6) 7 − х + 3 х − 5 = 4; О.Д.З. :  3 х − 5 ≥ 0 3   3x − 5 = 4 − 7 − x . Возводим в квадрат 3х – 5 = 16 – 8 7 − х + 7 – х;

4х – 5 – 16 – 7 = – 8 7 − х ; 4х – 28 = – 8 7 − х ; х – 7 = – 2 7 − х ; О.Д.З.: 5  х – 7≤0, т.е. x ∈  ; 7 . 3  Возводим в квадрат х2 – 14х + 49 = 28 – 4х; х2 – 10х + 21 = 0. Решим х1 = 3; х2 = 7 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 3; х2 = 7. 222. 1)

х 2 − 8 х > 3 ; x > 9 или x < – 1;

 х 2 − 8 х ≥ 0  х(х − 8) ≥ 0 .  2  2  х − 8 х > 9  х − 8 х − 9 > 0

Ответ: х∈ ( – ∞; – 1)∪(9; + ∞). 71


2)

х 2 − 3 х < 2;

х2 − 3х ≥ 0 х(х − 3) ≥ 0 х ≥ 3 или х ≤ 0 ; 2 ; .  2 х − 3х < 4 х − 3х − 4 < 0 −1 < x < 4

Ответ: х∈ ( – 1; 0]∪[3;4). 3)

3х − 2 > х − 2 ;

 2  2 3х − 2 ≥ 0 х ≥ х ≥ ; 3 ; 3 .  2 3х − 2 > х − 4х + 4  2  х − 7х + 6 < 0 1 < x < 6

Ответ: х∈ (1; 6). 4)

2х + 1 ≤ х − 1 ;

1  х ≥ − 2 2 х + 1 ≥ 0   x > 1 ; х ≥ 1 ; х − 1 ≥ 0  x ≤ 0 или   2 2 2 х + 1 ≤ х − 2 х + 1  х − 4 х ≥ 0 

. x≥4

Ответ: х ∈[4; + ∞).

Глава IV. Элементы тригонометрии

223. 1) 40° =

40π 2π рад.; = 180 9

105 7π рад.; π= 180 12 75 5π π= 5) 75° = рад.; 180 12

3) 105° =

72

2) 120° =

120π 2π рад.; = 180 3

150 5π рад.; π= 180 6 32 8π π= 6) 32° = рад.; 180 45

4) 150° =


7) 100° =

100 5π π= рад.; 180 9

8) 140° =

140 7π π= рад. 180 9

224. 1)

π 180° = = 30° ; 6 6

2π 2 ⋅180 = = 120° ; 3 3 180°  360  5) 2 = ⋅2 =  ° ; π  π  180° 3  270  ⋅ = 7) 1,5 = ° ; π 2  π 

3)

225. π 3,141 1) ≈ ≈ 1,57; 2 2

2)

π 180° = = 20° ; 9 9

4)

3 3 ⋅ 180° π = = 135° ; 4 4

180°  720  = ° ; π  π  180° 36  324  ⋅ = 8) 0,36 = ° . π 100  5π 

6) 4 = 4 ⋅

3 3 ⋅ 3,141 ≈ 4,71; π≈ 2 2 2 2 ⋅ 3,141 ≈ 2,09. 4) π ≈ 3 3 2)

3) 2π ≈ 2 ⋅ 3,141 = 6,28; 226. π <2; 2 3 4) π < 4,8 ; 2

1)

2) 2π < 6,7 ; 5) −

π 3 <− ; 2 2

1 5

3) π < 3 ; 3 2

6) − π < − 10 .

227. π рад.; 3 π в) 45° = рад. ; 4

а) 60° =

π рад.; 3 2π рад. г) 120° = 3

б) 90° =

228. ℓ = αR, l = 0,36 м l 0,36 , то R = если  = = 0,4 (м). α 0,9 α = 0,9 229. ℓ = αR,

73


l = 3 см l 3 если  , то α = = = 2 (рад). R = 1 , 5 см R 1 ,5  230. R2 α, 2 3π 3π 3π = если α = и R = 1 см, тогда S = (см2). 4 2⋅4 8 S=

231. S=

R2 α, 2

 R = 2,5 см 25 2 ⋅ 6,25 = 2 (рад.). , тогда α = 2 = если  2 6,25 R S = 6,25 см Ответ: α = 2 (рад). 234. 1) Получим М(0; 1). 3) Получим М( – 1; 0). 5) Получим М(0; – 1).

74

2) Получим М( – 1; 0). 4) Получим М(0; – 1). 6) Получим М(1; 0).

235. 1)

2)

3)

4)


5)

6)

7)

8)

236. 1) I четв. 3) IV четв. 5) I четв.

2) II четв. 4) IV четв. 6) II четв.

237. 1) A ( – 1; 0); 3) C (0; 1); 5) E ( – 1; 0); 238. 1) α = π + 2πn, n ∈ ∧; π 3) α = + 2πn, n ∈ ∧; 2

2) B (0; 1); 4) D ( – 1; 0); 6) F (0; 1). 2) α = 2πn, n ∈ ∧; π 4) α = – + 2πn, n ∈ ∧. 2

239. 1) α = 1рад.≈57°, I четв. 2) α = 2,75 рад.≈132°, II четв. 3) α = 3,16рад.≈181°, III четв. 4) α = 4,95 рад.≈282°, IV четв. 240.

75


1) а = 6,7π, 6

7 7 7 π= π + 6π . Тогда х = π , n = 3 . 10 10 10

2) а = 9,8π, 9

4 4 4 π = 1 π + 8π . Тогда х = 1 π , n = 4 . 5 5 5

1 2

1 2

3) а = 4 π , 4 π =

π π + 4π . Тогда х = , n = 2 . 2 2

1 1 1 1 4) а = 7 π , 7 π = 1 π + 6π . Тогда х = 1 π , n = 3 . 3 3 3 3 5) а =

1 1 1 11 π , 5 π = 1 π + 4π . Тогда х = 1 π , n = 2 . 2 2 2 2

6) а =

2 2 2 17 π , 5 π = 1 π + 4π . Тогда х = 1 π , n = 2 . 3 3 3 3

241. 1)

2)

М

3)

5)

76

4)

6)


7)

8)

242. 1) A (0; 1) ; 2) B (0; 1) ; 3) C (0; − 1) ; 4) D (0; − 1) . 243. 1) α =

2π + 2πn ; n ∈ ∧; 3

3) α = − n ∈ ∧;

7π π + 2πn ; + 2πn , α = 4 4

2) α =

π + 2πn ; n ∈ ∧; 6

4) α =

3π + 2πn ; 4

n ∈ ∧.

77


244. 1) sin 3) tg

3π 2 ; = 4 2

2) cos

3 5π 1 ; =− = − 6 3 3

5) cos( – 180°) = – 1; 7) cos( – 135°) = −

2 ; 2

2π 1 =− ; 3 2

4) sin( – 90°) = – 1; 6) tg  − 

π  = −1 ; 4

8) sin  − 

5π  2 . = 4  2

245. 1) sin α =

3) cos α =

1 ; 2

3 ; 2

5) sin α = −0,6 ;

78

2) sin α = −

1 2

4) cos α = − ;

6) cos α =

1 . 3

2 ; 2


246. 3π π + sin = 1 + (−1) = 0 ; 2 2 π  π

1) sin

2) sin  −

 + cos = −1 + 0 = −1 ; 2  2 3) sin π − cos π = 0 − ( −1) = 1 ;

4) sin 0 − cos 2π = 0 − 1 = −1 ; 5) sin π + sin 1,5π = 0 + (−1) = −1 ; 3 2

6) cos 0 − cos π = 1 − 0 = 1 . 247. 1) tg π + cos π = 0 – 1 = – 1; 3) tg π + sin π = 0;

2) tg 0° – tg 180° = 0; 4) cos π – tg 2π = – 1 – 0 = – 1.

248. 1) 3sin

1 3 3 π π π + 2 cos − tg = 3 ⋅ + 2 ⋅ − 3= ; 6 6 3 2 2 2

1 2 π π π π − 2 + 3tg − cos − 10 tg = 5 ⋅ + 3 − − 10 = − 4,5 ; 6 4 4 4 2 2 2  3  2−3 2 1 2 π π π   3)  2 tg − tg  : cos =  2 ⋅ − 3  : = =− ; ⋅ 6 3 6  2 3 3 3 3     2) 5 sin

4) sin

π π π 3 3 3 1 ⋅ cos − tg = ⋅ −1 = −1 = − . 3 6 4 2 2 4 4

249. 1 cos x = 0. 2

1) 2 sin x = 0.

2)

Тогда sin x = 0;

Значит, cos x = 0;

x = πn, n ∈ ∧;

x=

3) cos x – 1 = 0. Поэтому cos x = 1;

4) 1 – sin x = 0. Тогда sin x = 1;

x = 2πn, n ∈ ∧;

x=

250. 1) да, т.к. – 1 < 0,49 < 1;

2) да, т.к. 1 > –0,875 > –1;

3) нет, т.к. –

4) да, т.к. –1 < 2 –

2 < –1;

π + πn, n ∈ ∧; 2

π + 2πn, n ∈ ∧. 2

2 < 1. 79


80


251.

π π 2 2 = 2 +1 1) 2 sin α + 2 cosα = 2 sin + 2 sin = 2⋅ + 2 ⋅ 4 4 2 2 2) 0,5 cosα − 3 sin α = π π 1 1 3 1 3 5 = − =− = 0,5cos − 3 sin = ⋅ − 3 ⋅ 3 3 2 2 2 4 2 4

3) sin 3α − cos 2α = sin 4) cos

3π 2π 1 1 − cos = 1− = 6 6 2 2

2 1 π π α α + = = cos + sin = + sin 2 3 4 6 2 2

252. 1) sin x = –1

2 +1 2

2) cos x = –1

π x = – + 2πn n ∈ Z 2

x = π + 2πn n ∈ Z

3) sin3x = 0

4) cos 0,5x = 0

Тогда 3x = πn, n ∈ Z

Значит 0,5x =

πn n∈Z 3 5) cos2x – 1 = 0 cos2x = 1 Отсюда 2x = 2πn n ∈ Z

x=

x = πn n ∈ Z

π + πn, n ∈ Z 2

x = π + 2πn n ∈ Z 6) 1 – cos3x = 0 cos3x = 1 3x = 2πn, n ∈ Z 2πn x= n∈Z 3

253. 1) cos12° ≈ 0,98; 2) sin38° ≈ 0,62 3) tg 100° ≈ –5,67 4) sin400° = sin(360° + 40°) = sin40° ≈ 0,64 5) cos2,7 ≈ cos158° =cos(180° –22°)= –cos22° ≈ –0,93 6) tg(–13)≈ –tg745°= –tg(720° +25°)= –tg(360°⋅ 2 + 25°)= = –tg25°≈–0,47 π 7) sin = 0,5 6  π 8) cos  −  ≈ cos26°≈ 0,9  7 80


254. 1) I четв. 2) II четв. 3) III четв. 4) II четв. 5) I четв. 6) II четв. 255. 5π 3π 5π III четв. < < 0 , т.к. π < 4 4 2 π 5π 5π > 0 , т.к. 2) sin < < π II четв. 6 2 6

1) sin

5π π 5π ) < 0 , т.к. − π < − < − IV четв. 8 2 8 4π 3π 4π ) > 0 , т.к. − 4) sin(− <− < −π II четв. 2 3 3 5) sin 740° > 0 , I четв. 6) sin 510° > 0 , II четв. 3) sin(−

256. 1) cos

2π 7π < 0 , II четв. 2) cos < 0 , III четв. 3 6

3π ) < 0 , III четв. 4 5) cos290° > 0, IV четв.

3) cos(−

2π ) > 0 , IV четв. 5 6) cos(–150°) < 0, III четв.

4) cos(−

257. 5 6

5 ctg π < 0 , II четв. 6 −3π  3) tg  >0  5   −3π  ctg   > 0 , III четв.  5 

12 π >0 5 12 ctg π > 0 , II четв. 5 5π 4) tg  −  < 0  4   5π  ctg  −  < 0 , II четв.  4 

5) tg190° > 0 ctg190° > 0, III четв. 7) tg172° < 0 ctg172° < 0, II четв.

6) tg283° < 0 ctg283° < 0, IV четв. 8) tg200° > 0 ctg200° > 0, III четв.

1) tg π < 0

2) tg

81


258. 1) если π < α <

3π , то 2

sinα < 0, cosα < 0, tgα > 0, ctgα > 0 2) если

3π 7π , то <α < 2 4

sinα < 0, cosα > 0, tgα < 0, ctgα < 0 3) если

7π < α < 2π , то 4

sinα < 0, cosα > 0, tgα < 0, ctgα < 0 4) если 2π < α < 2,5π , то sinα > 0, cosα > 0, tgα > 0, ctgα > 0 259. a) sin1 > 0, cos1 > 0, tg1 > 0 б) sin3 > 0, cos3 < 0, tg3 < 0 в) sin(–3,4) > 0, cos(–3,4) < 0, tg(–3,4) < 0 г) sin(–1,3) < 0, cos(–1,3) > 0, tg(–1,3) < 0 260. π  −α  > 0 2  4) sin (π − α ) > 0

1) sin 

7) cos  α − 

π >0 2

π  +α  < 0 2  5) cos (α − π ) < 0

2) cos 

8) ctg α − 

3π  −α  > 0  2  6) tg (α − π ) > 0

3) tg 

π <0 2

261. 1) если 0 < α <

π и 2

3π , то – знаки синуса 2 и косинуса совпадают. π<α<

2) если

π <α<π и 2

3π < α < 2π , то – знаки синуса 2 и косинуса различны.

262. 2π 3π ⋅ sin >0 3 4 2π 3π т.к. sin > 0 и sin >0 3 4

1) sin

82

2π π ⋅ cos < 0 3 6 2π π т.к. cos < 0, cos > 0 3 6

2) cos


2π 3 <0, 3) 3π cos 4 2π 3π т.к. sin > 0 и cos < 0; 3 4 sin

4) tg

5π π + sin > 0 , 4 4

т.к. tg

π 5π и sin > 0 . 4 4

263. 1) sin 0,7 > sin 4, т.к. sin 0,7 > 0, sin4 < 0; 2) cos 1,3 > cos 2,3, т.к. cos 1,3 > 0, cos2,3 < 0. 264. 1) sin (5π + x) = 1; sin(4π + π + x) = 1, но sin( α + 2kπ )=sin α , где k∈∧ тогда sin(π + x) = 1; π +2πn, 2 π и x = – + 2πn, n∈ ∧; 2

π+x=

2) cos (x + 3π) = 0; cos (x+ π+2π) = 0, но т.к. cos( 2πk + α )=cos α , то cos(x+ π) = 0; n∈ z x + π = x=

π +πn, n∈ ∧ 2

π + πn, n∈ ∧; 2

 5π  3) cos + x  = −1;  2 

9  4) sin  π + x  = −1; 2 

π   cos 2π + + x  = −1, 2   т.к. cos( α + 2πk )=cos α , то π  cos + x  = −1; 2  

π   sin  2 ⋅ 2π + + x  = −1, 2   т.к. sin( 2πk + α )=sin α , то π  sin  + x  = −1; 2  

π + х = π + 2πn 2

π π + х = − + 2πn 2 2

иx=

π + 2πn, 2

n ∈ ∧;

и x = π + 2πn, n∈ ∧.

265. Т.к. sin α + cosα < 0, то М ∈ III четв., где cos α < 0, sin α <0. Т.к. sin α – cosα > 1, то sin α > 0, cosα < 0, значит, М ∈ II четв. 83


267. 3π < α < 2π , то sin α < 0, тогда 2

1) Т.к.

sin α = – 1 − cos 2 α =

1−

25 = 169

144 2 122 12 = =− ; 169 13 132

sin α −12 ⋅ 13 12 = =- . cos α 13 ⋅ 5 5 π 2) Т.к. < α < π , tgα =

2

то cos α < 0, тогда cos α = − 1 − sin 2 α = − 1 − 0,64 = − 0,36 = −0,6; sin α 0,8 4 = =− . cosα − 0,6 3 π 3) Т.к. < α < π , то sin α > 0, поэтому 2 tgα =

sin α = 1 - cos 2 α =

1−

9 16 = = 25 25

42 5

2

=

4 ; 5

sin α 4 5 4 tgα = =− ⋅ =− ; cos α 5 3 3 1 3 =− . tgα 4

сtgα =

3π , то cos α < 0, тогда 2

4) Т.к. π < α <

1 − sin 2 α =

cos α = tgα =

sin α = cosα

сtgα =

1 = tgα

2

1−

5 = 21 5

4 21 21 =− =− ; 25 25 5

2 21

;

21 . 2

5) Т.к. π < α <

3π , 2

то sin α < 0 и cos α < 0; cos2 α = 84

1

2

1 + tg α

;

sin α = − 1 − cos 2 α ;


cos α = –

1

;

2

1 + tg α

sin α = − 1 −

64 ; 289

64 225 ; ; sin α = − 289 289 8 15 cosα = − sin α = − . ; 17 17 3π < α < 2π , то sin α < 0, а cos α > 0 6) Т.к. 2 1 cosα = 1 − sin 2 α ; ; sin2 α = 2 1 + сtg α cosα = −

sin α = sin α = –

−1 2

1 + сtg α

;

1 1 ; sin α = – ; 10 10

cosα = 1 − cosα =

3 10

1 ; 10

.

268. sin α = 1 1) если  , cos α = 1

1 + 1 = 2 ≠ 1, нет; 4  sin α = − 5 , 2) если  cos α = − 3 5  16 9 + = 1, да; 25 25

sin α = 0 3) если  , cos α = −1 0 + 1 = 1, да; 1  sin α = 3 , 4) если  cos α = − 1  2 1 1 13 ≠ 1, нет. + = 36 9 4

85


269. 1 + tg 2α =

1 2

cos α

 sin α = 1)  tgα = 

; 1 + ctg 2α =

1 5 ; 1 24

sin 2 α

;

1  sin α = 5 ;  ctg 2α = 24 

1

= 25. 2 1   5 Ответ: да. 3  cos α = 4 2)  ; ctgα = 7  3 9 16 16 1 ≠ , = . 1+ 2 7 7 9 3   4 Ответ: нет. 1 + 24 =

1

3  cos α = 4 ;  tg 2α = 9  7

270.

Пусть: ∠С = 90°; ∠А = α; sin α =

2 10 ; 11

cosα = 1 − sin 2 α ; cosα = 1 − cosα =

86

9 ; 11

40 81 ; = 121 121

tgα =

sin α ; cosα

tgα =

2 10 9 : ; 11 11

tgα =

2 10 . 9


271. Пусть АВ = ВС, tg ∠B = 2 2 ; 1

cos2 α = cos 2 α =

cos α =

1 + tg 2α

;

1 . Т.к. 0 < ∠B < 90°, то 9

1 . 3

272. cos4 α – sin4α =

1 ; 8

1 8

(cos2 α– sin2α)(cos2 α+ sin2α)=(– cos2 α– sin2α)= . 1 Т.к. sin2α=1– cos2 α, то cos2α–(1– cos2α)= ; 8 9 9 3 2 cos2α = cos2α = , cosα = ± . 8 16 4 3 Ответ: cosα = ± . 4 273. 1) sin α =

2 3 ; 5

2) cosα = −

cos α = ± 1 − sin 2 α ; cos α = ± 1 − cos α = ±

1 5

;

sin α = ± 1 − cos 2 α ;

12 ; 25

sin α = ± 1 −

13 ; 5

sin α = ±

2 5

1 ; 5

.

274. tg α = 2, значит, сtg α = 1)

1 ; 2

1 +2 ctgα + tgα −5 2,5 = 2 = = ; 1 − 2 − 1,5 ctgα − tgα 3 2

87


sin α cos α − sin α − cos α cos α cos α tgα − 1 2 − 1 1 = = = = ; 2) sin α + cos α sin α cos α tgα + 1 2 + 1 3 + cos α cos α 3)

2 sin α + 3 cos α 2 tgα + 3 4 + 3 = = =7; 3 sin α − 5 cos α 3tgα − 5 6 − 5 2

4)

2

sin 2 α

sin α + 2 cos α

cos 2 α = 2 2 2 sin α − cos α sin α

+2

2 cos α

cos 2 α

2 cos 2 α = tg α + 2 = 4 + 2 = 2 . 2 2 cos α tg α − 1 4 − 1 2 cos α

276. 1) 2 sin x + sin 2 x + cos 2 x = 1 , т.к. sin2x + cos2x=1, то 2sin x + 1 = 1, 2sin x = 0. Тогда sin x = 0 и x = kπ, k ∈ ∧; 2) sin2x – 2 = sin x – cos2x; sin2x + cos2x – 2 = sin x, т.к. sin2x + cos2x=1, то sin x = –1, π значит, x = − + 2πn, n ∈ ∧; 2 −

π 2

3) 3cos2x – 1 = cos x – 2sin2x; 3cos2x + 2sin2x – 1 = cos x; cos2x + 2 – 1 = cos x;

cos2x – cos x + 1 = 0. Пусть t=cos x. Тогда t2 – t + 1 = 0. Решим уравнение D = 1 – 4 < 0. Решения нет. 4) 3 – cos x = 3cos2x + 3sin2x. Т.к. sin2x + cos2x=1, то 3 – cos x = 3; cos x = 0; х= 88

π + πn; n ∈ ∧. 2


277. 1) Т.к. 1 – cos2α = sin2α, то (1–cos α)(1+cos α)=sin2 α. sin 2 α и 3) Т.к. tg 2α = cos 2 α 2 2 cos α = 1–sin α, то sin 2 α 1 − sin 2 α

cos 2 α

= tg 2α .

5) Т.к. cos2α + sin2α = 1 и cos2 α= 1

1 2

1 + tg α

2) Т.к. sin2 α+cos2 α=1, то 2–sin2 α–cos2 α=1. cos 2 α 4) Т.к. ctg 2α = sin 2 α 2 и sin α = 1–cos2 α, то

6) Т.к. sin2α + cos2α = 1 и sin2 α =

, то

1

2

2

1 + tg α

= ctg 2α .

1 − cos 2 α

+ sin α = 1 .

1 1 + ctg 2α

, то

2

2

1 + ctg α

+ cos α = 1 .

278. cosα ⋅ tgα – 2sinα = sinα – 2sinα = –sinα; cosα – sinα ⋅ ctgα = cosα – cosα = 0;

sin 2 α 1 cos 2 α (1 + cos α )(1 − cos α ) = = = 1 − cos α ; 1 + cos α 1 + cos α 1 + cos α

cos 2 α 1 − sin 2 α (1 + sin α )(1 − sin α ) = = = 1 + sin α . 1 − sin α 1 − sin α 1 − sin α

279. 1)

sin 2 α − 1 2

1 − cos α

2)

1 2

cos α

=

− cos 2 α 2

sin α

2 − 1 = tg α ; tg

2 = −ctg α ; ctg

π π = 3 ; ctg 2 = 3 ; 3 3

3) cos 2 α + ctg 2α + sin 2 α = 1 + ctg 2α = sin

π 1 = , 6 2

1 π sin 6 2

π 1 = , 3 2

1 cos2

π 3

1 sin 2 α

,

= 4;

4) cos2 α + tg 2α + sin 2 α = 1 + tg 2α = cos

π π =1; − ctg 2 = −1 ; 4 4

1 cos2 α

,

= 4.

89


280. 1) 1 − sin 2 α 1 − tg 2α = 1 .

(

)(

(

)

) cos

1

Тогда 1 − sin 2 α ⋅ cos 2 α ⋅

1 cos 2 α

2

α

=1;

= 1 , 1 = 1.

Получим тождество. 2) sin 2 1 + ctg 2α − cos 2 α = sin 2 α .

(

)

Значит sin 2 α ⋅

1 sin 2 α

− cos 2 α = sin 2 α ;

1 − cos 2 α = sin 2 α .

Тождество sin 2 α = sin 2 α . 281.

(

)

1) 1 + tg 2α ⋅ cos 2 α =

(

)

1 cos 2 α

2) sin 2 α 1 + ctg 2α = sin 2 α ⋅

⋅ cos 2 α = 1; 1 sin 2 α

= 1;

1  2 sin 2 α + cos 2 α  2 α ⋅ α = ⋅ sin 2 α ⋅ cos 2 α = 1 ; 3) 1 + tg 2α + sin cos  sin 2 α  sin 2 α ⋅ cos 2 α  1 2 1 + tg 2α 2 cos 2 α - tg 2α = sin α - tg 2α = 0 . α = 4) tg 2 1 1 + ctg α cos 2 α sin 2 α

282. 1) (1 – cos2α)(1 + cos2α) = sin22α; 1 – cos22α = sin22α; sin22α = sin22α. Верное тождество. −1 ; + 1 sin α cos α −1 sin α − 1 = ; 1 − sin 2 α 1 + sin α sin α − 1 1 =− ; (1 − sin α )(1 + sin α ) 1 + sin α

2)

sin α − 1 2

=

1 1 =− . Верно. 1 + sin α − (1 + sin α )

90


3) cos4α – sin4α = cos2α – sin2α; (cos2α + sin2α)( cos2α – sin2α) = cos2α – sin2α; cos2α – sin2α = cos2α – sin2α. Верное тождество. 4) (sin2α – cos2α)2 + 2sin2α ⋅ cos2α = sin4α + cos4α; sin4α – 2sin2α ⋅ cos2α + cos4α + 2sin2α ⋅ cos2α = sin4α + cos4α; sin4α + cos4α = sin4α + cos4α. Верное тождество. 5)

sin α 1 + cosα 2 + = ; 1 + cosα sin α sin α

sin 2 α + (1 + cosα )2 2 ; = (1 + cosα )sin α sin α sin 2 α + 1 + 2 cosα + cos 2 α 2 ; = (1 + cosα )sin α sin α 2(1 + cosα ) 2 2 2 ; . Верное тождество. = = (1 + cosα )sin α sin α sin α sin α sin α 1 + cosα 6) ; = 1 − cosα sin α sin α (1 + cosα ) 1 + cosα ; = (1 + cosα )(1 − cosα ) sin α sin α (1 + cosα ) 1 + cosα ; = sin α 1 − cos 2 α sin α (1 + cosα ) 2

=

1 + cosα ; sin α

sin α 1 + cosα 1 + cosα . Верное тождество. = sin α sin α 1 1 7) + =1; 2 1 + tg α 1 + ctg 2α cos 2 α + sin 2 α = 1 ; 1 = 1, ч.т.д.

8) tg2α – sin2α = tg2α ⋅sin2α; sin 2 α 2

cos α

2 2 2 − sin α = tg α ⋅ sin α ;

sin 2 α − sin 2 α ⋅ cos 2 α

(

cos 2 α

2 2 sin α 1 − cos α 2

cos α

2 2 = tg α ⋅ sin α ;

) = tg 2α ⋅ sin 2 α ;

tg2α ⋅ sin2α = tg2α ⋅ sin2α, ч.т.д. 91


283. (sin α + cos α )2 − 1 + ctg 2α = 1 − 2 sin α cos α − 1 = 1) sin 2 α sin 2 α sin 2 α 2 sin α cos α = = 2ctgα ; sin 2 α

(

ctg

1 π = ; 3 3

2ctg

2 2 3 π = = ; 3 3 3

2) (1 + tg 2α ) − =

)

(sin α − cos α )2 2

cos α

=

1 2

cos α

1 + 2 sin α cos α cos 2 α

2 sin α cosα = 2tgα ; cos 2 α tg

1 π = ; 6 3

2 tg

π 2 2 3 = = . 6 3 3

284. sinα – cosα = 0,6. Возведем в квадрат (sinα – cosα)2 = 0,36; sin2α – 2sinαcosα + cos2α = 0,36. Т.к. sin2α + cos2α = 1, то 1 – 2sinαcosα = 0,36; 2sinαcosα = 1 – 0,36 = 0,64; sinαcosα = 0,32. 285. cos3α – sin3α = (cosα – sinα)(cos2α + cosα⋅ sinα + sin2α); cos3α – sin3α = 0,2 ⋅ (1 + cosα⋅ sinα); т.к. cosα–sinα = 0,2. Возведем в квадрат (cosα – sinα)2=0,04; cos2α – 2cosαsinα+sin2α=0,04; 1–2 cosαsinα= 0,04; cosαsinα=0,48, то cos3α – sin3α = 0,2 ⋅ (1 + 0,48) = 0,2 ⋅ 1,48 = 0,296. 92

=


286. 1) 3cos2x – 2sin x = 3 – 3sin2x; 3cos2x + 3sin2x – 3 – 2sin x = 0; 2sin x = 0; sin x = 0. Тогда x = πn, n ∈ ∧. 2) cos2x – sin2x = 2sin x – 1 – 2sin2x; cos2x – sin2x + 1 + 2sin2x = 2sin x; 2 = 2sin x; sin x = 1. π Значит x = + 2πn , n ∈ ∧. 2 287.

π π π  π  π  π 1) cos −  sin  −  + tg  −  = − cos ⋅ sin − tg = 6 3 4 6 3 4       =−

3 3 3 3 ⋅ − 1 = − − 1 = −1 ; 2 2 4 4

2)

1 3 = 3 +1 = 4 = 1 ; = = 2 + 1 3 3⋅ 4 3⋅ 4 3 30°) 1 + ctg 30°

1 + tg 2 ( 30°)

1 + ctg 2 (

1 + tg 2 30°

1+

 π  π  π  π 3) 2 sin  −  cos −  + tg  −  + sin 2  −  = 6 6 3        4 2

= −2 sin =−

 2 1 3 π π π π  = cos − tg + sin 2 = −2 ⋅ ⋅ − 3 +  2  6 6 3 4 2 2  

3 2 3 1 1− 3 3 − + = ; 2 2 2 2  π 3   π 4) cos(− π ) + ctg  −  − sin  π  + ctg  −  =  2 2   4

= cos π − ctg

π π 3 + sin π − ctg = −1 + 0 + (−1) − 1 = −3 . 2 2 4

288. tg(–α) ⋅ cosα + sinα = –sinα + sinα = 0; cosα – ctgα(–sinα) = cosα + cosα = 2cosα; 93


cos( α) + sin( α) 2

2

cos α − sin α

=

cos α − sin α 1 = ; (cos α + sin α )(cos α − sin α ) cos α + sin α

tg(–α) ⋅ ctg(–α) + cos2(–α) + sin2α = 1 + 1 = 2. 289. cos 2 α − sin 2 α + tg (−α) cos(−α) = cos α + sin (- α )

=

(cos α + sin α )(cos α − sin α ) cos α − sin α

sin α =

= cosα + sinα – sinα = cosα. 290. π π  π 2 π  3 1 3 − sin  −  − cos  −  3 + sin − cos 2 − 3+  3  3 3 3 2 4 = 11 + 2 3 ; = = 1) π  π 4⋅ 2 2 2 cos 2 cos −  2⋅ 4  4 2 3 π π 1 2) 2sin  −  – 3ctg  −  + 7,5tg(–π) + cos  − π  = 6 4 8      2  1 1 = 2 ⋅  −  − 3 ⋅ ( −1) + 7,5 ⋅ 0 + ⋅ 0 = −1 + 3 = 2 . 8  2

291. sin 3 (−α ) + cos3 (−α ) = 1) 1 − sin(−α ) cos(−α )

=

(cos α − sin α )(cos2 α + cos α sin α + sin 2 α ) =

1 + sin α cos α (cosα − sin α )(1 + cosα sin α ) = = cosα − sin α ; (1 + cosα sin α ) 2)

1 − (sin α + cos(−α )) 2 1 − (1 + 2 sin α cosα ) − 2 sin α cosα = = = −2 cosα . sin α sin α − sin(−α )

292. 1) sin(–x) = 1; sin x = –1. Тогда x = –

π + 2πn, n ∈ ∧. 2

2) cos(–2x) = 0; cos2x = 0; 2x =

π + πn. 2

Значит, x = 94

π πn , n ∈ ∧. + 4 2


3) cos(–2x) = 1; cos2x = 1;

4) sin(–2x) = 0; 2x = 2πn.

2x = 2πn;

Поэтому x =

πn , n ∈ ∧. 2

и x = πn, n ∈ ∧. 5) sin(–x) = sin

3 π; 2

6) cos(–x) = cosπ;

–sinx = –1; sinx = 1.

cos x = –1.

π Получим x = + 2πn, n ∈ ∧. 2

Тогда x = π + 2πn, n ∈ ∧.

293. 1) cos 135° = cos(90° + 45°) = cos 90° cos 45° − sin 90° ⋅ sin 45 o = = 0⋅

2 2 2 ; =− -1⋅ 2 2 2

2) cos120° = cos(90° + 30°) = cos 90° cos 30° − sin 90° sin 30° = 3 1 1 − 1⋅ = − ; 2 2 2 3) cos150° = cos(90° + 60°) = cos 90° cos 60° − sin 90° sin 60° =

= 0⋅

1 3 3 ; = 0 ⋅ − 1⋅ =− 2 2 2 4) cos240° = cos(180° + 60°) = cos180° cos60° − sin180° sin 60° = 1 3 1 = −1⋅ − 0 ⋅ =− . 2 2 2

294. 1) cos 57°30′ ⋅ cos 27°30′ + sin 57°30′ ⋅ sin 27°30′ = 3 ; 2 2) cos 19°30′ ⋅ cos 25°30′ − sin 19°30′ ⋅ sin 25°30′ =

= cos(57°30′ − 27°30′) = cos 30° =

2 ; 2 7π 11π 7π 11π  7 π 11π  − sin ⋅ sin = cos + 3) cos ⋅ cos  = cos 2π = 1 ; 9 9 9 9 9   9

= cos(19°30′ − 25°30′) = cos 45° =

4) cos

π π 8π 8π  8π π  ⋅ cos + sin ⋅ sin = cos +  = cos π = −1 . 7 7 7 7  7 7

95


295. 1) Т.к. 0 < α <

π , то 2

cosα > 0, тогда cos α = 1 − sin 2 α =

2 ; 3

π π π  cos + α  = cos ⋅ cos α − sin ⋅ sin α = 3 3 3  =

1 2 3 1 2− 3 ⋅ − ⋅ = . 2 3 2 3 2 3 π 2) Т.к. < α < π , то 2

sinα > 0, тогда 2

sin α = 1 − cos α = 1 −

1 2 2 = ; 9 3

π π π 1 2 2 2 2 4− 2  + ⋅ = . cos α −  = cos α ⋅ cos + sin α ⋅ sin = − ⋅ 4 4 4 3 2 3 2 6 

296. 1) cos3α ⋅ cosα – sinα ⋅ sin3α = cos(3α + α) = cos4α; 2) cos5β ⋅ cos2β + sin5β ⋅ sin2β = cos(5β – 2β) = cos3β;  π   5π  π   5π 3) cos + α  cos - α  sin  + α  sin  -α  =   14  7   14  7 5π π π  = cos + α + - α  = cos = 0 ; 14 2 7   7π   2π   7π   2π  4) cos + α  ⋅ cos + α  + sin  + α  ⋅ sin  +α  =  5   5   5   5  2π  7π  = cos +α − − α  = cos π = −1 . 5 5   297.  π  π 1) cos(α + β ) + cos − α  cos − β  = cos α ⋅ cos β − 2 2     − sin α ⋅ sin β + sin α ⋅ sin β = cosα ⋅ cos β ; 96


π π  π   π  2) sin  - α  sin  - β  - cos(α − β ) =  sin ⋅ cosα − cos ⋅ sin α x 2 2 2 2       π  π  x  sin ⋅ cos β − cos ⋅ sin β  - (cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β ) = 2 2   = cosα ⋅ cos β − cosα ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β = − sin α ⋅ sin β . 298. 1) sin73° ⋅ cos17° + cos73° ⋅ sin17° = sin(73° + 17°)=sin90°=1; 2) sin73° ⋅ cos13° – cos73° ⋅ sin13° = sin(73° – 13°)=sin60°=

3 ; 2

5π π 5π 5π π π π + sin ⋅ cos =sin  +  =sin =1; ⋅ cos 12 12 12 12 12 12 2   7π π  7π 7π π π π 4) sin – sin ⋅ cos =sin  −  =sin =1. ⋅ cos 12 12 12 12 2  12 12 

3) sin

299. 1) Т.к. π < α <

3π , то 2

sinα < 0, тогда sin α = − 1 − cos 2 α = − 1 −

9 4 =− ; 25 5

π π π 4 3 3 1  − ⋅ = sin α +  = sin α ⋅ cos + cos α ⋅ sin = − ⋅ 6 6 6 5 2 5 2  =

4 3 +3 −4 3 −3 =− . 10 10 2) Т.к.

π < α < π , то 2

cosα < 0, тогда cosα = – 1 − sin 2 α = − 1 −

2 7 ; = 9 3

π π 2  7  2 2  π ⋅ − ⋅ = sin − α  = sin ⋅ cos α − cos ⋅ sin α =   4 4 2  3  2 3  4 =

− 14 − 2 14 + 2 . =− 6 6

97


300. 1) sin(α + β) + sin( – α)cos( – β) = sinα⋅cosβ + + cosα⋅sinβ – sinα⋅cosβ = cosα ⋅ sinβ; 2) cos( – α)sin( – β) – sin(α – β) = = – cosα⋅ sinβ – ( sinα⋅cosβ – cosα⋅sinβ) = – cosα⋅sinβ – sinα⋅cosβ + + cosα⋅sinβ = – sinα⋅cosβ; 3) π π π  π    3) cos − α  sin  − β  − sin(α − β ) =  cos cos α + sin sin α  × 2 2 2  2   

π  π  ×  sin cos β − cos sin β  − sin α cos β + cos α sin β = sin α cos β − 2 2   − sin α cos β + cos α sin β = cos α sin β ; π  4) sin (α + β ) + sin  − α  sin(− β ) = sin α cos β + cos α sin β − 2  − cos α sin β = sin α cos β . 301. Т.к.

3π < α < 2π , то 2

cosα > 0, тогда cosα = 1 − sin 2 α = 1 −

Т.к. 0 < β <

9 4 = . 25 5

π , то 2

cosβ > 0, тогда cos β = 1 − sin 2 α = 1 −

64 15 ; = 289 17

cos(α + β) = cosα⋅cosβ – sinα⋅sinβ =

4 15 3 8 60 24 84 = ⋅ −  −  ⋅ = + = ; 5 17  5  17 85 85 85 4 15 3 8 60 24 36 − = . cos(α – β) = ⋅ +  −  ⋅ = 5 17  5  17 85 85 85

98


302. Т.к.

π < α < π , то sinα > 0; 2

sinα = 1 − cos 2 α = 1 − 0,64 = 0,36 = 0,6 . 3π Т.к. π < β < , 2

то cosβ < 0; cosβ = – 1 − sin 2 α = − 1 −

144 5 =− ; 169 13

sin(α – β) = sinα⋅cosβ – cosα⋅sinβ =

5  12 −15 48 63 − =− .  − (−0,8) ⋅  −  =  13 65 65 65  13

= 0,6 ⋅  −

303. 2π 2π π 2   1) cos π − α  + cosα +  = cos ⋅ cos α + sin ⋅ sin α + 3 3 3 3   + cos

1 3 1 3 π π ⋅ cosα − sin ⋅ sin α = − cosα + sin α + cosα − sin α = 0 ; 2 2 2 2 3 3

2  2π 2π  π  2) sinα + π  − sin − α  = sinα ⋅ cos + cosα ⋅ sin − 3 3 3   3  1 3 3 1 π π − sin ⋅ cosα + cos ⋅ sinα = − sinα + cosα − cosα + sinα = 0 ; 2 2 3 3 2 2 2 cos α sin β + sin(α − β ) 2 cos α sin β + sin α cos β − cos α sin β 3) = = 2 cos α cos β − cos(α − β ) 2 cos α cos β − cos α cos β − sin α sin β =

cos α sin β + sin α cos β sin(α + β ) = = tg (α + β ) ; cos α cos β − sin α sin β cos(α + β )

4)

cos α cos β − cos(α + β ) cos α cos β − cos α cos β + sin α sin β = = cos(α − β ) − sin α sin β cos α cos β + sin α sin β − sin α sin β

=

sin α sin β = tg α ⋅ tg β . cos α cos β

304. 1) sin(α – β)⋅cos(α + β) = (sinαcosβ – cosα sinβ)( sinαcosβ + + cosα sinβ) = sin2α cos2β – cos2α sin2β = sin2α(1 – sin2β) – (1 – –sin2α) sin2β = sin2α – sin2α⋅ sin2β – sin2β + sin2α ⋅ sin2β=sin2α – sin2β; 99


2) sin(α – β)⋅cos(α + β) = (cosαcosβ – sinα sinβ)( cosαcosβ + + sinα sinβ) = cos2α cos2β – sin2α sin2β = cos2α(1 – sin2β) – – (1 – cos2α) sin2β = cos2α – cos2α⋅ sin2β – sin2β + cos2α ⋅ sin2β = = cos2α – sin2β;   2 2 π  2 cos α − 2 cos α + sin α  2 cos α − 2 cos − α    2 4   2  3) = = π  1  3 2 sin  + α  − 3 sin α 2 cos α + sin α  − 3 sin α 2  6  2   2 cos α − 2 cos α − 2 sin α

=

cos α + 3 sin α − 3 sin α

=

− 2 sin α = − 2tgα ; cos α

1  3 π  cos α − 2 cos α − sin α  cos α − 2 cos + α  2  2 3    = 4) = π   3  1 2 sin α −  − 3 sin α 2 sin α + cos α  − 3 sin α 6  2   2   cos α − cos α + 3 sin α

=

3 sin α − cos α − 3 sin α

=

3 sin α = − 3tgα . − cos α

305. 1) cos6x ⋅ cos5x + sin6x ⋅ sin5x = – 1; cos (6x – 5x) = – 1. Тогда cos x = – 1; x = π + 2πn, n ∈ ∧; 2) sin3x ⋅ cos5x – sin5x ⋅ cos3x = – 1; sin (3x – 5x) = – 1; – sin2x = – 1; sin2x = 1. Значит, 2x =

π + 2πn; 2

x=

π + 2πn,n ∈ ∧; 4

3)

π  2 cos + x  − cos x = 1 ; 4  

  2 2 2 cos x − sin x  − cos x = 1 ;   2 2   cos x – sin x – cos x = 1; sin x = – 1. Поэтому x = – 100

π + 2πn, n ∈ ∧; 2


x π x  2 sin  −  + sin = 1 ; 2  4 2

4)

 2 2 x x x 2 cos − sin  + sin = 1 ;   2 2 2 2 2 

x x x − sin + sin = 1 ; 2 2 2 x cos = 1 . 2 x Значит, = 2πn и x = 4πn, n ∈ ∧. 2 cos

306. 1)

tg 29° + tg31° = tg ( 29° + 31°) = tg 60° = 3 ; 1 − tg 29° ⋅ tg31°

7π 3π − tg 16 16 = tg 7π − 3π  = tg π = 1 . 2)   7π 3π 4  16 16  ⋅ tg 1 + tg 16 16 tg

307. sinα cos β cosα sin β + cosα cos β cosα cos β tgα + tgβ sin(α + β ) sinα cosβ + cosα sin β = = = ; 1) sinα cos β cosα sin β tgα − tgβ sin(α − β ) sinα cosβ − cosα sin β − cosα cos β cosα cos β cosα cos β sinα sin β + sinα sin β sinα sin β ctgα ⋅ ctgβ + 1 cos(α − β ) cosα cosβ + sinα sin β = = . 2) = cosα cos β sinα sin β ctgα ⋅ ctgβ − 1 cos(α + β ) ctgα ⋅ ctgβ −1 − sinα sin β sinα sin β

308. 1) 2sin15°cos15° = sin2 ⋅ 15° = sin30° =

1 ; 2

2) cos215° – sin215° = cos2 ⋅ 15° – cos30° =

3 ; 2

3) (cos75° – sin75°)2 = cos275° – 2sin75°cos75° + sin275° = = 1 – sin150° = 1 – sin30° = 1 –

1 1 = ; 2 2

4) (cos15° + sin15°)2 = cos215° + 2sin15°cos15° + sin215° = 3 1 = 1 + sin30° = 1 + = . 2 2 101


309. π 8

1) 2 sin cos π 8

3) sin cos

2 2 π π π π π ; 2) cos 2 − sin 2 = cos = ; = sin = 8 4 2 8 8 4 2

2 1 π 1 1 π 1 + = sin + = + = 8 4 2 4 4 4 4

2 +1 ; 4

2

4) =

π π π π 2  2  −  cos + sin  = − 1 + 2 sin cos  = 2  8 8 2  8 8

2  2  2  2 2 π − 1 + sin  = − 1+ = −1− = −1 .   2  4 2  2  2 2 310. 1) Т.к.

π < α < π , то cos α < 0, тогда 2

9 4 =− ; 25 5 3 4 24 sin2α = 2 sin αcos α = 2 ⋅  −  = − . 5 5 25 3π 2) Т.к. π < α < , то 2 cosα = − 1 − sin 2 α = − 1 −

sin α < 0, тогда sin α = –

1−

16 3 =− ; 25 5

3 4 24 sin2α = 2sin αcos α = 2 ⋅  −  ⋅  −  = − .  5  5

25

311. 1) sin2α = 1 – cos2α;

2)cos2α = 1 – sin2α;

sin2α = 1 –

cos2α = 1 –

16 9 = . 25 25

9 16 = . 25 25

Т.к. cos2α = cos2α – sin2α, то

Т.к. cos2α = cos2α – sin2α, то

cos2α =

cos2α =

16 9 7 ; − = 25 25 25

312. 2 sin α cosα sin 2α ; = 2 2 sin 2α π 2) cosα cos − α  = sin α cosα = ; 2 2 

1) sin α cosα =

102

16 9 7 . − = 25 25 25


3) cos4α + sin22α = cos22α – sin22α + sin22α = cos22α; 4) sin2α + (sinα – cosα)2 = 2sinαcosα + sin2α – 2sinαcosα + + cos2α = 1. 313. cos 2α + 1 cos 2 α − sin 2 α + cos 2 α + sin 2 α 2 cos 2 α = = = cosα ; 2 cosα 2 cosα 2 cosα sin 2α 2 sin α cosα 2 cosα 2) = = = 2ctgα ; 2 sin α 1 − cos α sin 2 α

1)

sin 2 α

3) =

(sin α + cos α )2 − 1

=

sin 2 α sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α − 1

=

sin 2 α 1 = tgα ; 2 sin α cosα 2 4)

1 + cos 2α cos 2 α + sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α 2 cos 2 α 2 = = = ctg α . 2 1 − cos 2α cos 2 α + sin 2 α − cos 2 α + sin 2 α 2 sin α

314. 1) (sinα + cosα)2 – 1 = 1 + 2sinαcosα – 1 = 2sinαcosα = sin2α; 2) (sinα – cosα)2 = sin2α – 2sinαcosα + cos2α = 1 – sin2α; 3) cos4α – sin4α = (cos2α – sin2α)( cos2α + sin2α) = cos2α; 4) 2cos2α – cos2α = 2cos2α – cos2α + sin2α = cos2α + sin2α = 1. 315. 1) sinα + cosα =

1 . 2

Возведем в квадрат. Получим: (sinα + cosα)2 =

1 ; 4

3 1 1 ; sin2α = – 1 = – . 4 4 4 1 2) sinα – cosα = – . 3

1 + 2sinαcosα =

Возведем в квадрат (sinα – cosα)2 =

8 1 1 1 ; 1 – 2sinαcosα = ; sin2α = 1 – = . 9 9 9 9

316. 1) 1 + cos2α = sin2α + cos2α + cos2α – sin2α = 2cos2α; 2) 2sin2α = sin2α + cos2α – cos2α + sin2α = 1 – cos2α. 103


317. 1) 2 cos215° – 1 = 2 cos215° – (sin215° + cos215°) = = cos215° – sin215° = cos30° =

3 ; 2

2) 1 – sin222,5° = sin222,5° + cos222,5° – 2sin222,5° = = cos222,5° – sin222,5° = cos45° = 3) 2 cos 2 = cos

π π  π π π π − 1 = 2 cos 2 −  cos 2 + sin 2  = cos 2 − sin 2 = 8 8  8 8 8 8

2 π ; = 4 2

4) 1 - 2 sin 2

= cos

2 ; 2

π π π π π π - 2 sin 2 - sin 2 = cos 2 + sin 2 = cos 2 = 12 12 12 12 12 12

3 π . = 6 2

318. 1) 1 – 2sin25α=sin25α + cos25α – 2sin25α=cos25α – sin25α=cos10α; 2) 2cos23α – 1 = 2cos23α – (sin23α + cos23α) = = cos23α – sin23α = cos6α; 1 − cos 2α sin 2 α + cos 2 α − cos 2 α + sin 2 α 4 sin 2 α = = = 4 sin α ; α α 1 sin α sin cos sin α 2 2 2 α α 2α 2α 2 cos - 1 2 cos - cos 2 - sin 2 cos α 1 2 2 2 2 = 4) . = = 2 sin α ⋅ cos α 2 sin α cos α 2 sin α sin 2α

3)

319. 1)

cos 2α 2

sin α cos α + sin α cos α sin α = − = ctg − 1; sin α sin α

2)

sin 2α − 2 cosα 2

sin α − sin α

=

=

(cos α − sin α )(cos α + sin α ) = cos α − sin α sin α (cos α + sin α )

sin α

2 cosα (sin α − 1) 2 cosα =− = −2ctgα ; sin α (1 − sin α ) sin α

3) tgα ⋅ (1 + cos 2α ) = tgα ⋅ (cos 2 α + sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α ) =

=

sin α ⋅ 2 cos 2 α = 2 sin α cos α = sin 2α ; cos α

104

=


4)

1 − cos 2α + sin 2α = 1 + cos 2α + sin 2α

cos 2 α + sin 2 α − cos 2 α + sin 2 α + 2 sin α cos α cos α ⋅ = cos 2 α + sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α + 2 sin α cos α sin α 2 sin α (sin α + cos α ) ⋅ cos α = = 1. 2 cos α (sin α + cos α ) ⋅ sin α =

320. 1) sin2x – 2cosx = 0; 2cosx ⋅ sinx – 2cosx = 0; 2cosx (sinx – 1) = 0.

π  x = + πn cos x = 0  ; ; Тогда  2 sin x − 1 = 0 sin x = 1 

π   x = 2 + πn, n ∈ Z .   x = π + 2πn, n ∈ Z 2 

π + πn . 2 2) cos2x + 3sinx = 1; cos2x – sin2x + 3sinx – sin2x – cos2x = 0; 3sinx – 2sin2x = 0; sinx ( – 2sinx + 3) = 0; n∈Z sin x = 0  x = πn, . − 2 sin x + 3 = 0; sin x = 1,5 − нет решения  

Ответ:

Ответ: πn; n ∈ ∧. 3) 2sinx = sin2x; 2sinx – 2sinx ⋅ cosx = 0; 2sinx (1 – cosx) = 0; sin x = 0  x = πn, n ∈ Z  x = πn, n ∈ Z ;  . 1 − cos x = 0; cos x = 1    x = 2πn Ответ: πn. 4) sin2x = – cos2x; sin2x + cos2x – sin2x = 0; cos2x = 0; cosx = 0. π Ответ: + πn ; n ∈ ∧. 2

105


321. Т.к. tg 2α =

2 tgα 2

1 − tg α

, то tg 2α =

2 ⋅ 0,6 1,2 120 7 = = =1 . 1 − 0,36 0,64 64 8

322. 2 tg

1)

π 8

π 1 − tg 8 2

= tg

6 tg15° 1 π = 1 ; 2) = 3 ⋅ tg30° = 3 ⋅ = 3. 2 4 3 1 − tg 15°

323. 1) sin

13 π π  π = sin  6π +  = sin = 1 ; 2 2 2 

2) sin17π = sin (18π – π) = – sinπ = 0; 3) cos7π = cos (8π – π) = cosπ = – 1; 4) cos

11 π π  π = cos 6π −  = cos = 0 ; 2 2 2  

5) sin720° = sin (2 ⋅ 360°) = 0; 6) cos540° = cos (360° + 180°) = cos 180° = – 1. 324. 1) cos420° = cos (360° + 60°) = cos60° = 2) tg570° = tg (3 ⋅ 180° + 30°) = tg30° =

1 ; 2

1 3

3) sin3630° = sin (10⋅ 360° + 30°) = sin30° = 4) ctg960° = ctg (5 ⋅ 180° + 60°) = ctg60° =

; 1 ; 2

1 3

;

13π π π 1  = sin  2π +  = sin = ; 6 6 6 2  11π 1 π π   = tg 2π −  = − tg = − 6) tg . 6 6 6  3

5) sin

325. 1) cos150° = cos (90° + 60°) = – sin60° = – 2) sin135° = sin (90° + 45°) = cos45° = 106

2 ; 2

3 ; 2


3) cos120° = – cos60° = –

1 ; 2

4) sin315° = sin (360° – 45°) = – 45° = –

2 . 2

326. 5π π π  = tg π +  = tg = 1 ; 4 4 4  7π 1 π π   sin = sin  π +  = − sin = − ; 6 6 6 2  5π π π 1  cos = cos 2π −  = cos = ; 3 3 3 2  11 π π π 1     sin  −  = − sin  2π −  = sin = ; 6 6 2  6   π π 1  7π   cos −  = cos 2π +  = cos = ; 3 3 2  3   π π  2π   tg −  = − tg π −  = tg = 3 . 3 3  3  

1) tg 2) 3) 4) 5) 6)

327. 1) cos630° – sin1470° – ctg1125° = cos(720° – 90°) – – sin(1440° + 30°) – ctg(1080° + 45°) = cos90° – sin30° – ctg45° = 3 1 =0– –1=– ; 2 2 2) tg1800° – sin495° + cos945° = 0 – sin135° + cos225° = = –sin(90° + 45°)+cos(180° + 45°)= –cos45° –cos45° = – 2⋅

2 =– 2

2;

31π 7π − tg = − sin(6π + π ) − 3 4 π π π π   − 2 cos10π +  − tg  2π −  = − sin π − 2 cos + tg = 3 4 3 4   1 = 0 − 2 ⋅ + 1 = −1 + 1 = 0 ; 2 π   21π   49π  4) cos( −9π ) + 2 sin  −  = cos π − 2 sin  8π +  +  − ctg  − 6  6   4   π π π 1  + ctg  5π +  = −1 − sin + ctg = −1 − 2 ⋅ + 1 = −1 − 1 + 1 = −1 . 4 6 4 2   3) sin( −7π ) − 2 cos

107


328. 1) cos2(π – α) + sin2(α – π) = cos2α + sin2α = 1; 2) cos(π – α)cos(3π – α) – sin(α – π)sin(α – 3π) = = cos(π – α)cos(3π – α) – sin(π – α)sin(3π – α) = cos(π – α + 3π – α) = = cos(4π – 2α) = cos2α. 329. 1) cos723° + sin900° = cos(360°⋅20 + 30°) + sin(360°⋅2 + 180°) = = cos30° + sin180° =

3 3 ; +0 = 2 2

2) sin300° + tg150° = sin(360° – 60°) + tg(180° – 30°) = = – sin60° – tg30° = –

3 3 −5 3 ; − = 2 3 6

3) 2 sin 6,5π − 3 sin

19π π π   = 2 sin  6π +  - 3 sin  6π +  = 3 2 3  

π π 3 3 1 = 2− = ; - 3 sin = 2 − 3 ⋅ 2 3 2 2 2 1 61π π 1 π   4)) 2 cos 4,25π − cos cos10π +  = = 2 cos 4π +  −

= 2 sin

3

6

4

3

6

π π 2 1 3 1 1 1 − cos = 2 ⋅ − ⋅ = 1− = ; 4 6 2 2 2 3 3 2 π  − sin  6π +  − tg (6π + π ) sin(−6,5π ) + tg (−7π ) 2  5) = = cos(−7π ) + ctg (−16,25π ) π  cos(6π + π ) − ctg 16π +  4  π − sin − tgπ −1− 0 1 2 = = = ; π −1−1 2 cos π − ctg 4 cos(−540°) + sin 480° cos(720° − 180°) + sin(360° + 120°) 6) = = tg 405° − ctg 330° tg (360° + 45°) − ctg (360° − 30°)

= 2 cos

3 −1 + ( 3 − 2)(1 − 3 ) 5 − 3 3 cos 180° + sin 120° 3 −2 2 = . = = = = tg 45° + ctg 30° 4 1+ 3 2(1 + 3 ) 2(1 + 3 )(1 − 3 )

108


330. π  sin  − α  + sin(π − α ) cosα + sin α 2   = = −1 ; 1) cos(π − α ) + sin( 2π − α ) − cosα − sin α π  cos(π − α ) + cos − α  2  − cosα + sin α 2) = = 1; π sin α − cosα   sin(π − α ) − sin  − α  2  − sin α ⋅ ( − tgα ) sin(α − π ) tg (π − α ) ⋅ = = 1; 3) tg (α + π ) tgα ⋅ sin α π  cos − α  2 

 π sin 2 (π − α ) + sin  − α  2 sin 2 α + cos 2 α   4) ⋅ tg (π − α ) = ⋅ (−tgα ) = sin(π − α ) sin α =

1  sin α  1 ⋅− . =− sin α  cosα  cosα

331. Пусть α , β , γ – углы треугольника, sinγ = sin(180° – (α + β)) = sin180°⋅cos (α + β) – – cos180° ⋅ sin (α + β) = 0⋅cos (α + β) – ( – 1)⋅sin (α + β) = sin (α + β). 332. 1)

π π π  sin  + α  = sin ⋅ cos α + cos ⋅ sin α = 2 2 2  = 1 ⋅ cos α + 0 ⋅ sin α = cos α ;

2)

π π π  cos + α  = cos ⋅ cos α − sin ⋅ sin α = 2 2 2   = 0 ⋅ cos α − 1 ⋅ sin α = − sin α ;

3)

3π 3π  3π  cos − α  = cos ⋅ cos α + sin ⋅ sin α = 2 2 2   = 0 ⋅ cos α + (−1) ⋅ sin α = − sin α ;

4)

3π 3π  3π  sin  − α  = sin ⋅ cos α − cos ⋅ sin α = 2 2  2  = −1 ⋅ cos α − 0 ⋅ sin α = − cos α . 109


333. π  1) cos − x  = 1 ; 2   sinx = 1. π Тогда x = + 2πn, n ∈ Z . 4 3) cos (x – π) = 0; cosx = 0. Поэтому x =

π + 2πn, n ∈ Z . 4

2) sin (π – x) = 1; sinx = 1.

π + 2πn, 4 π  4) sin  x −  = 1 ; 2  – cosx = 1;

Значит x =

n∈Z .

cosx = – 1. Тогда x = π + 2πn, n ∈ Z.

334. π  π  + α  - cos - α  = 4  4 

1) sin 

2 2 2 2 cos α + sin α − cos α − sin α = 0 ; 2 2 2 2

=

π 6

π 3

2) cos - α  - sin  + α  = 

3 1 3 1 cos α + sin α − cos α − sin α = 0 . 2 2 2 2

=

336. 1) I четв.; 3) III четв.; 5) II четв. 337. 1) sin3π = 0; cos3π = – 1; 3) sin3,5π = – 1;

2) III четв.; 4) IV четв.;

2) sin4π = 0; cos4π = 1; π  5π  4) sin   = sin = 1 ; 2  2  5π =0; 2

cos3,5π = 0;

cos

5) sinπn = 0; n − четное  1, cos πn =  ; − 1 , n − нечетное 

6) sin ((2n + 1)π) = 0;

110

cos ((2n + 1)π) = – 1, n ∈ Z.


338. 3π = 0 – 0 = 0; 2

1) sin3π – cos

2) cos0 – cos3π + cos3,5π = 1 – ( – 1) + 0 = 2; 3) sinπk + cos2πk = 0 + 1 = 1; 4) cos

(2k + 1)π (4k + 1) π = 0 - 1 = −1 . - sin 2 2

339. 1) Т.к.

π < α < π , то cosα < 0, тогда 2

cosα = − 1 − sin 2 α = − 1 −

1 6 . =− 3 3

3π , то tgα < 0, 2

2) Т.к. π < α <

1

т.к. 1 + tg2α =

2

cos α

1

, то tgα =

2

cos α

−1 =

9 2 2 5 −1 = = . 5 5 5

1 1 2 π 3) Т.к. 0 < α < , то sinα > 0, ctgα = ; = = tgα 2 2 4 2

1 + ctg2α =

1 sin α

4) Т.к. π < α < 1 + tg2α = cosα = –

1

sinα =

2

2

1 + ctg α

1

=

1+

1 8

=

8 = 9

2 2 . 3

3π , то cosα < 0, 2

1

,

cos 2 α

tgα =

1 2

1 + ctg α

=

1 1 1+ 2

1 2

=

=−

2 ; 2 2 − 6 . = 3 3

340. 1) 5sin2α + tgα ⋅ cosα + 5cos2α = = 5 (sin2α + cos2α) +

sin α ⋅ cosα = 5 + sinα; cosα

2) ctgα ⋅ sinα – 2cos2α – 2sin2α =

=

sin α 2 2 ⋅ sin α – 2 (sin α + cos α) = cosα – 2; cosα

111


3) 4)

3 2

1 + tg α

5 1 + ctg 2α

2 2 = 3 cos α . Т.к. cos α =

= 5 sin 2 α . Т.к. sin2α =

1 1 + tg 2α

;

1 1 + ctg 2α

.

341. π π 1) 2sin( – α) ⋅ cos  − α  – 2cos( – α) ⋅ sin  − α  = 2

2

2

= – 2sinα ⋅ sinα – 2cosα ⋅ cosα = – 2sin α – 2cos2α = = – 2(sin2α + cos2α) = – 2;

π  π  − α  + 3sin2  − α  = 2  2 

2) 3sin(π – α)cos 

= 3sinα ⋅ sinα + 3cos2α = 3(sin2α + cos2α) = 3; 3) (1 – tg( – α)) ⋅ (1 – tg(π + α))cos2α = (1 + tgα)(1 – tgα) ⋅ cos2α = = (1 – tg2α) ⋅ cos2α = cos2α – sin2α = cos2α; 

 1  = (1 + tg2α) ⋅ =  2 + − α 1 ctg ( ) 1 ctg α +  

4) (1 + tg2( – α))⋅  =

(1 + tg 2α ) ⋅ tg 2α 1 + tg 2α

1

2

2 = tg α .

342.  3π   3π  + α  = cos α − cos α = −2 cos α . - α  + sin   2   2 

1) sin 

1 1 , то значение выражения равно – . 4 2 π π 3     2) cos + α  + cos − α  = − sin α − sin α = −2 sin α . 2   2  1 1 Т.к. sinα = , то значение выражения равно – . 6 3

Т.к. cosα =

343. 1) 2sin75° ⋅ cos75° = sin150° = sin (180° – 150°) = sin30° = 2) cos275° – sin275° = cos150° = – cos (180° – 150°) = = – cos30° = – 112

3 ; 2

1 ; 2


2 ( 3 − 1) 2 3 2 1 6− 2 ; ⋅ − ⋅ = = 2 2 2 2 4 4 2⋅ 3 2 2 ( 3 + 1) 6+ 2 + = = . 4) sin75° = sin(45° + 30°) = 2⋅2 2⋅2 4 4

3) sin15°=sin(45° – 30°) =

344. π 1) cos2(π – α) – cos2  − α  = cos2α – sin2α = cos2α;

2  π  π  2) 2sin  − α  cos  − α  = 2 ⋅ cosα ⋅ sinα = sin2α; 2  2 

cos 2 ( 2π + α ) − sin 2 ( 2π + α ) cos 2 α − sin 2 α cos 2α = = = ctg 2α ; 2 cosα sin α sin 2α π  2 cos(2π + α ) cos − α  2   π 2 sin(π − α ) sin  − α  2 cosα sin α sin 2α 2  4) = = = tg 2α . 2 2 π cos 2α 2 2 cos sin α − α sin  α −  − sin (α − π ) 2 

3)

345. 47π 1 π   π  π = sin 8π −  = sin −  = sin −  = − ; 6 6 2   6  6 π π 25π  2) tg = tg 6π +  = tg = 1 ;

1) sin

4

4

4

3) ctg

27π π  π   π = ctg 7π −  = ctg −  = ctg −  = −1 ; 4 4   4  4

4) cos

21π 2 π π π   . = cos 5π +  = cos π +  = − cos = − 4 4 4 4 2  

346. 1)cos

π 23π 15π  π   π  π = cos 6π −  - sin  4π  = cos  −  − sin  −  = - sin 4 4 4 4 4        4

π π 2 2 + sin = + = 2; 4 4 2 2 25π 10π π π π π   2) sin − tg = sin  8π +  − tg  3π +  = sin − tg = 3 3 3 3 3 3    

= cos

=

3 3 ; − 3=− 2 2

113


3) 3cos3660° + sin( – 1560°) = 3cos(10 ⋅ 360° + 60°) + + sin( – 120° – 4 ⋅ 360°) = 3⋅cos60° – sin120° = 3⋅ =

1 – sin60° = 2

3 3 3− 3 − = ; 2 2 2

4) cos( – 945°) + tg1035° = cos( – 3 ⋅ 360° + 135°) + + tg(2,5 ⋅ 360° + 135°) = cos135° + tg135° = – cos45° – tg45° = =–

2 2+ 2 −1 = − . 2 2

347. 1) sin3 > cos4, т.к. sin3 > 0, cos4 < 0.

2) cos0 > sin5, т.к. sin5 < 0, cos0 = 1.

348. 1) sin 3,5 ⋅ tg3,5 =

sin 2 3,5 < 0 , т.к. sin23,5>0, cos3,5<0; cos 3,5

2) cos5,01 ⋅ sin0,73 > 0, т.к. cos5,01>0, sin0,73>0; 3)

tg13 < 0 , т.к. tg13>0, cos15<0; cos15

4) sin1 ⋅ cos2 ⋅ tg3 >0, т.к. sin1>0, cos2 и tg3<0. 349. 1) sin

3π 3π π π π  π 3π  ⋅ cos + sin ⋅ cos = sin  +  = sin = 1 ; 8 8 8 8 8  2 8

2) sin165° = sin (120° + 45°) = sin120°⋅ cos45° + cos120° ⋅ sin45° = 2 3 −1 3 2 1 2 6− 2 ; = ⋅ − ⋅ = = 2 2 2 2 4 4 3) sin105° = sin (60° + 45°) = sin60°⋅ cos45° + cos60°⋅ sin45° = 2 3 +1 3 2 1 2 6+ 2 ; = ⋅ + ⋅ = = 2 2 2 2 4 4 4) sin =

(

)

(

)

π π π π π π π  = sin  −  = sin ⋅ cos − cos ⋅ sin = 12 3 4 3 4 3 4

(

)

2 3 −1 3 2 1 2 6− 2 ⋅ − ⋅ = = ; 2 2 2 2 4 4 5) 1 – sin2195° = cos2195° – sin2195° = cos390° = cos(360° + 30°) =

= cos30° = 114

3 ; 2


6) 2 cos 2

= cos

3π 3π 3π 3π 3π 3π - 1 = 2 cos 2 - cos 2 - sin 2 = cos 2 - sin 2 = 8 8 8 8 8 8

3π 2 =− ; 4 2

350. 1) (1 + tg( – α)) ⋅ (1 – ctg( – α) –

sin( −α ) = (1 – tgα) ⋅ (1 + ctgα) + cos(−α )

+ tgα = 1 + ctgα – tgα – 1 + tgα = ctgα; ctgα + tg (−α ) tg (−α ) ctgα − tgα 1 2) + = − = cosα + sin(−α ) sinα cosα − sinα cosα =

cos2 α − sin2 α 1 cosα + sinα 1 − = − = cosα ⋅ sinα (cosα − sinα ) cosα cosα ⋅ sinα cosα

=

cosα 1 = . cosα ⋅ sinα sinα 351.

Т.к.

π < α < π , то cosα < 0, тогда cosα = – 2

tgα =

1 − sin 2 α = − 1 −

5 2 =− ; 9 3

5 sin α 3 = − 5 ; ctg α = 1 = − 2 ; = tgα cosα 2 −2 5 3

5  2 4 5 ⋅−  = − ; 3  3 9 4 5 1 cos2 α = cos2α – sin2 α = − = − ; 9 9 9

sin 2α = 2sin α cosα = 2 ⋅

352. 1) cos3α ⋅ sinα – sin3α ⋅ cosα = cosα ⋅ sinα(cos2α – sin2α) =

=

1 1 sin2α ⋅ cos2α = sin4α; 2 4

2)

sin α + sin 2α sin α (1 + 2 cosα ) sin α (1 + 2 cosα ) = = = tgα . 1 + cosα + cos 2α cosα (1 + 2 cosα ) 2 cos 2 α + cosα

353. sin 2α − sin 2α ⋅ cos 2α sin 2α(1 − cos 2α) 2 sin α cos α ⋅ 2 sin 2 α 1) = = = sin3 α ; 4 cos α 4 cos α 4 cos α

115


2 cos2 2α 2 cos2 2α = = sin 4α ⋅ cos 4α + sin 4α sin 4α (cos 4α + 1) 1 1 ; 2 cos2 2α = = = 2 2 sin 2α cos 2α (2 cos 2α ) 2 sin 2α cos 2α sin 4α cos 2α + sin 2α ⋅ cos 2α cos 2α (1 + sin 2α ) 3) = = 2 sin 2 α − 1 sin 2 α − cos 2 α cos 2α (1 + sin 2α ) = = −(1 + sin 2α ) ; - cos 2α (cos α − sin α ) 2 1 − 2 cos α sin α = = 4) sin 2α ⋅ cos 2α − cos 2α cos 2α (sin 2α − 1) −(sin 2α − 1) −1 . = = cos 2α (sin 2α − 1) cos 2α 2)

354. cos 2 x cos 2 x − sin x(1 − sin x) 1 − sin x − sin(π − x) = = 1) =1; 1 − sin x (1 − sin x) 1 − sin x 2)

cos 2 x cos 2 x + sin x(1 + sin x) 1 + sin x + cos(1,5π + x) = = = 1; 1 + sin x 1 + sin x 1 + sin x

3)

sin 2 x sin 2 x + cos x(1 − cos x) 1 + cos x − sin(1,5π + x) = = = 1; 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x

4)

sin 2 x sin 2 x − cos x(1 − cos x) 1 − cos x + cos(3π − x) = = =1. 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x

355. 1 tg 2α + 1 (sin 2 α + cos 2 α ) cosα = = = tgα tgα cos 2 α ⋅ sin α π 1 1 2 , т.к. α = − , то = = = 1 sin 2α sin 2α 12 cosα sin α 2 1) tgα + ctgα = tgα +

 π  6

1 2 = −4 ; и значение выражения равно 2 -1 2

2) ctgα − tgα =

cosα sin α cos 2 α − sin 2 α cos 2α − = = = 2ctg 2α . 1 sin α sin α cosα cosα ⋅ sin α 2

sin2 α = sin  −  = –

Т.к. α = − 116

π π , то 2ctg2 α = 2ctg (- ) = 2 ; 8 4


cosα sin α + = cosα + sin α cosα − sin α

3) =

cos 2 α − cos α ⋅ sin α + cos α ⋅ sin α + sin 2 α 2

2

cos α − sin α

=

1 . cos 2α

1 π = Т.к. α = − , то cos 2α 6

1 1 = = 2;  π 1 cos −  2  3 sin α cosα − = cosα + sin α cosα − sin α

4) =

sin α ⋅ cos α − sin 2 α − cos 2 α − cos α ⋅ sin α 2

2

cos α − sin α π 1 = Т.к. α = , то 3 cos 2α

=

−1 . cos 2α

−1 - 1 = =2. 2π -1 cos 2 3

356. π  2 sin  + α  sin(π − α ) + cos 2α − 1 2  cos 2α + sin α ⋅ cosα − cos 2 α =

=

2 cosα sin α + cos 2 α − sin 2 α − cos 2 α − sin 2 α 2

2

2

cos α − sin α + sin α ⋅ cosα − cos α

=

2 sin α (cosα − sin α ) =2 sin α (cosα − sin α )

357. 3π   1) sin(2 x + 3π ) sin  x +  − sin 3x cos 2 x = −1 ; 2   – sin2x ⋅ ( – cos3x) – sin3x cos2x = – 1; sin (3x – 2x) = 1, т.е. sinx=1. Тогда x =

π + 2πn , 2

n∈Z.

3π ) ⋅ cos(2 x + 4π ) − sin(5 x + π ) sin 2 x = 0 ; 2 π Тогда 3 x = + πn, n ∈ Z cos 5 x ⋅ cos 2 x + sin 5 x sin 2 x = 0; 2 cos(5 x − 2 x) = 1; cos 3x = 0. π πn и x= + , n ∈ Z. 6 3

2) sin(5 x −

117


358. 1) tg (α + β) =

3 tgα + tgβ , т.к. tg α = – , tgβ = 2,4 , то 4 1 − tgα tgβ

3 + 2,4 1,65 165 33 4 ; = = = 3 1+ 2,4 2,8 280 56 4 1 4 3 2) ctg (α + β) = . Т.к. ctg α = , то tg α = , tg (α + β) 3 4

tg (α + β) =

т.к. ctg β = – 1, то tg β = – 1; tg (α + β) = =

tgα + tgβ = 1 − tgα ⋅ tgβ

3 −1 −1 4 4 = − 1 , поэтому ctg (α + β) = – 7. = 3 3 7 1 − ⋅ (−1) 1 4 4

359.   π π  π  π π 1) 2 sin  + 2α  sin  − 2α  = 2 sin  + 2α  sin  −  + 2α   = 4 4 4 2 4           π   π π = 2 sin  + 2α  cos + 2α  = sin  + 4α  = cos 4α ;  2   4 4   π π π  π  π 2) 2 cos + 2α  ⋅ cos − 2α  = 2 cos + 2α  cos −  + 2α   =   2 4 4  4  4

π  π  π  = 2 sin  + 2α  cos + 2α  = sin  + 4α  = cos 4α ; 4  4  2 

π π π π π − α ) − cos 2 ( + α ) = cos 2 ( − ( + α )) − cos 2 ( + α ) = 4 4 2 4 4 π π π = sin 2 ( + α ) − cos 2 ( + α ) = − cos 2 ( + 2α ) = sin 2α ; 4 4 2 π π π π      π  4) sin 2  + α  − sin 2  − α  = sin 2  −  − α   − sin 2  − α  = 3) cos 2 (

4

4

2

4



π  π  π  = cos 2  − α  − sin 2  − α  = cos − 2α  = sin 2α . 4  4  2 

360. 1) 1 + cos2 x = 2cos x; 2cos2x – 2cosx = 0; 118

2) 1 – cos2x = 2sin x; 2sin2x – 2sin x = 0;

4


2cosx (cos x – 1) = 0; cos x = 0 ; cos = 1 π   x = + πn, n ∈ Z ; 2   x = 2πk , k ∈ Z 

2sin x (sin x – 1) = 0; sin x = 0 ; sin x = 1  x = πn, n ∈ Z  .  π = + π ∈ x 2 k , k Z  2 

Глава V. Прогрессия 361. 1) a3 = 9; a6 = 36, an = n2; 2) аk = 4, если k = 2; аk = 25, если k = 5; аk = n2, если k = n; аk = (n + 1)2, если k = n + 1. 362. 1) Пусть an = 2n + 3; a1 = 2 ⋅ 1 + 3 = 5; a2 = 2 ⋅ 2 + 3 = 7; a3 = 2 ⋅ 3 + 3 = 9.

2) Пусть an = 1 + 3n; a1 = 1 + 3 ⋅ 1 = 4; a2 = 1 + 3 ⋅ 2 = 7; a3 = 1 + 3 ⋅ 3 = 10.

3) Пусть an = 100 – 10n2;

4) Пусть a n =

a1 = 100 – 10 ⋅ 1 = 100 – 10 = 90;

a1 =

a2 = 100 – 10 ⋅ 4 = 100 – 40 = 60; a3 = 100 – 10 ⋅ 9 = 100 – 90 = 10. 5) Пусть a n = a1 = 1; a2 =

1 ; n

1 1 ; a3 = . 2 3

n−2 ; 3

1− 2 1 =− ; 3 3 2−2 a2 = =0; 3 3− 2 1 a3 = = . 3 3

6) Пусть a n = − n 3 ; a1 = – 1; a2 = – 8; a3 = – 27.

363. xn = n2 если xn = 100, то n = 10; если xn = 144, то n = 12 если xn = 225, то n = 15 49, 169 – члены последовательности xn = n2, т.к. 49 = 72, 169 = 132 48 – не члены последовательности xn = n2. 119


364. 1) пусть an = – 3, тогда – 3 = n2 – 2n – 6; n2 – 2n – 3 = 0. Решим: n1 = 3; n2 = – 1 – не подходит, т.к. n∈N; a3 = – 3 – член an; 2) пусть an = 2, тогда 2 = n2 – 2n – 6; n2 – 2n – 8 = 0. Решим: n1 = 4; n2 = – 2 – не подходит, т.к. n∈N; а4 = 2 – член an; 3) пусть an = 3, тогда 3 = n2 – 2n – 6; n2 – 2n – 9 = 0. Решим: n 1, 2 =

D = 1 + 9 = 10; 4

1 ± 10 – не подходят, т.к. n∈N; 1

an = n2 – 2n – 6 an = – 3 – не член an; 4) пусть an = 9, тогда 9 = n2 – 2n – 6; n2 – 2n – 15 = 0. Решим: n1 = 5; n2 = – 3 – не подходит, т.к. n∈N; а5 = 9 – член an. 365. 1) a2 = 3а1 + 1 = 3 ⋅ 2 + 1 = 6 + 1 = 7; a3 = 3а2 + 1 = 3 ⋅ 7 + 1 = 21 + 1 = 22; a4 = 3а3 + 1 = 3 ⋅ 22 + 1 = 66 + 1 = 67; 2) a2 = 5 – 2a1 = 5 – 2 ⋅ 2 = 5 – 4 = 1; a3 = 5 – 2a2 = 5 – 2 ⋅ 1 = 5 – 2 = 3; a4 = 5 – 2a3 = 5 – 2 ⋅ 3 = 5 – 6 = – 1. 366. 1) Если an = 150, то 150 = (n – 1)(n + 4); 150 = n2 + 3n – 4; n2 + 3n – 154 = 0. Решим: D = 9 + 616 = 625 > 0, n 1, 2 =

−3 ± 25 ; 2

n1 = 11, n2 = – 14 ∉ N ; не подходит, т.к. n∈N. Ответ: n = 11.

2) Если an = 104, то 104 = (n – 1)(n + 4); 104 = n2 + 3n – 4; n2 + 3n – 108 = 0. Решим: D = 9 + 432 = 441 > 0, n 1, 2 =

−3 ± 21 ; 2

n1 = 9, n2 = – 12 ∉ N ; не подходит, т.к. n∈N. Ответ: n = 9.

367. а2 = а1 = 256 = 162 = 16 ; а3 = а2 = 16 = 42 = 4 ; а4 = а3 = 4 = 22 = 2 .

120


368. 1) а 2 = sin 

π π  ⋅ a 1  = sin = 1 ; 2 2  π π  а 4 = sin  ⋅ a 3  = sin = 1 ; 2 2  π π  а 6 = sin  ⋅ a 5  = sin = 1 ; 2 2 

π π  а 3 = sin  ⋅ a 2  = sin = 1 ; 2 2  π π  а 5 = sin  ⋅ a 4  = sin = 1 ; 2 2 

2) а2 = cosπ = – 1; a4 = cosπ = – 1; а6 = cosπ = – 1.

а3 = cos( – π) = – 1; а5 = cos( – π) = – 1;

369. а3 = а12 – а2 = 22 – 3 = 1; а4 = а22 – а3 = 32 – 1 = 8; а5 = а32 – а4 = 12 – 8 = – 7. 370. 1) Пусть an = – 5n + 4; an + 1 = – 5(n + 1) + 4 = – 5n – 5 + 4; an + 1 = – 5n – 1; an – 1 = – 5(n – 1) + 4 = – 5n + 5 + 4; an – 1 = – 5n + 9; an + 5 = – 5(n + 5) + 4 = – 5n – 25 + 4; an + 5 = – 5n – 21. 2) Пусть an = 2(n – 10). Тогда an + 1 = 2(n + 1 – 10) = 2n + 2 – 20; an + 1 = 2n – 18; an – 1 = 2(n – 1 – 10) = 2n – 2 – 20; an – 1 = 2n – 22; an + 5 = 2(n + 5 – 10) = 2n + 10 – 20; an + 5 = 2n – 10. 3) Пусть an = 2 ⋅ 3n + 1. Тогда an + 1 = 2 ⋅ 3n + 2; an – 1 = 2 ⋅ 3n; an + 5 = 2 ⋅ 3n + 6. 1 4) Пусть an = 7⋅  

n+2

2

1 Тогда an + 1 = 7⋅   2

1 an – 1 = 7⋅   2

n +1

n +3

. ;

1 ; an + 5 = 7⋅   2

n +7

. 121


372. 1) Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то a2 = 2 + 5 = 7; a3 = 7 + 5 = 12; a4 = 12 + 5 = 17; a5 = 17 + 5 = 22;

2) Т.к. a2 = a1 + d, то a2 = – 3 + 2 = – 1; a3 = – 1 + 2 = 1; a4 = 1 + 2 = 3; a5 = 3 + 2 = 5.

373. 1) an + 1 = 3 – 4(n + 1); an + 1 – an = 3 – 4(n + 1) – 3 + 4n = 3/ − 4/ n/ − 4 − 3/ + 4/ n/ = −4 , т.к. разность an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 2) an + 1 = – 5 + 2(n + 1); an + 1 – an = – 5 + 2(n + 1) + 5 – 2n = – 5/ + 2/ n/ + 2 + 5/ − 2/ n/ = 2 , т.к. an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 3) an + 1 = 3(n + 2); an + 1 – an = 3(n + 2) – 3(n + 1) = 3/ n/ + 6 - 3/ n/ - 3 = 3, т.к. an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 4) an + 1 = 2(2 – n); an + 1 – an = 2(2 – n) – 2(3 – n) = 4 − 2/ n/ − 6 + 2/ n/ = −2 , т.к. an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 374. 1) an = a1 + (n – 1)d, n = 15, поэтому а15 = a1 + 14d = 2 + 14 ⋅ 3 = 2 + 42 = 44. Ответ: а15 = 44. 2) an = a1 + (n – 1)d, n = 20, тогда a20 = a1 + 19d; а20 = 3 + 19 ⋅ 4 = 3 + 76 = 79. Ответ: a20 = 79. 3) an = a1 + (n – 1)d, n = 18, тогда а18 = a1 + 17d; а18 = – 3 + 17 ⋅ ( – 2) = – 37. Ответ: a18 = – 37. 4) an = a1 + (n – 1)d, n = 11, тогда а11 = a1 + 10d; а11 = – 2 + 10 ⋅ ( – 4) = – 42. Ответ: a11 = – 42. 375. 1) а1 = 1; а2 = 6; d = 6 – 1 = 5; an = a1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1) ⋅ 5; an = 5n – 4; 122

2) а1 = 25; а2 = 21; d = 21 – 25 = – 4; an = a1 + (n – 1)d=25 + (n – 1) ⋅ ( – 4); an = – 4n + 29;


3) а1 = – 4; а2 = – 6; d = – 6 – ( – 4) = – 2; an = a1 + (n – 1)d = = – 4 + (n – 1) ⋅ ( – 2); an = – 2n – 2;

4) а1 = 1; а2 = – 4; d = – 4 – 1 = – 5; an = a1 + (n – 1)d = = 1 + (n – 1) ⋅ ( – 5); an = – 5n + 6.

376. а1 = 44; d = 38 – 44 = – 6; an = a1 + (n – 1)d. Тогда – 22 = 44 + (n – 1) ⋅ ( – 6); 0 = 66 – 6n + 6; 6n = 50 + 22; 6n = 72; n = 12. 377. a1 = – 18; a2 = – 15; d = – 15 – ( – 18) = 3; an = a1 + (n – 1)d. Тогда 12 = – 18 + (n – 1) ⋅ 3; 30 = 3n – 3; 3n = 33; n = 11. Ответ: 12 является членом аn. 378. a1 = 1; a2 = – 5; d = – 5 – 1 = – 6; Тогда – 59 = 1 + (n – 1) ⋅ ( – 6); – 60 = – 6n + 6; 6n = 66;

an = a1 + (n – 1)d. Значит – 46 = 1 + (n – 1) ⋅ ( – 6); 0 = 47 – 6n + 6; 6n = 53;

n = 11;

n=8

а11 = – 59 является членом an.

значит, – 46 не является членом an.

5 – не натуральное, 6

379. 1) an = а1 + (n – 1)d; а16 = а1 + 15 ⋅ d, т.к. a1 = 7, a16 = 67, то 67 = 7 + 15d; 15d = 60. Отсюда d = 4. 2) a9 = а1 + 8d, т.к. a1 = – 4, a9 = 0, то 1 0 = – 4 + 8d; 8d = 4. Тогда d = . 2 380. 1) а9 = 12. Т.к. а9 = а1 + 8 ⋅ d, то 12 = а1 + 8 ⋅ 1,5; а1 = 12 – 12; а1 = 0.

2) а7 = – 4. Т.к. а7 = а1 + 6 ⋅ d, то – 4 = а1 + 6 ⋅ 1,5; а1 = – 4 – 9; а1 = – 13. 123


381. 1) d = – 3; а11 = 20. Т.к. а11 = а1 + 10d, то 20 = а1 + 10 ⋅ ( – 3); а1 = 20 + 30 = 50; а1 = 50; 382. 1) если а3 = 13; а6 = 22. Т.к. а6 = а3 + 8d, то 22 = 13 + 3 ⋅ d. Тогда 3d = 9 и d = 3; а3 = а1 + 2d; 13 = а1 + 2 ⋅ 3; а1 = 13 – 6. Получим а1 = 7. Значит аn = а1 + (n – 1)d; аn = 7 + (n – 1) ⋅ 3. Итак, аn = 3n + 4.

2) а21 = – 10; a22 = – 5,5; d = а22 – а21 = – 5,5 – ( – 10) = 4,5. Т.к. a21 = а1 + 20 ⋅ d, то – 10 = а1 + 20 ⋅ 4,5; а1 = – 10 – 90 = – 100. 2) если а2 = – 7; а7 = 18. Т.к. а7 = а2 + 5d, то 18 = – 7 + 5d. Значит 5d = 25 и d = 5; а2 = а1 + d; а1 = – 7 – 5. Получим а1 = – 12. Значит аn = а1 + (n – 1)d; аn = – 12 + (n – 1) ⋅ 5. Итак, аn = 5n – 17.

383. а1 = 15; a2 = 13. Тогда d = 13 – 15 = – 2. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то an = 15 + (n – 1) ( – 2); an = – 2n + 17. Т.к. an < 0, то – 2n + 17 < 0; – 2n < – 17. Тогда n > 8,5, т.е. при n ≥ 9 an<0. 384. 1 2

Т.к. an = а1 + (n – 1)d, то аn = – 10 + (n – 1)⋅ ; an =

1 1 1 1 n – 10 . Если an < 2, то n – 10 < 2; 2 2 2 2

n – 21 < 4, n<25. Т.е. при n ≤ 25; an<2. 385. 1) если а8 = 126, а10 = 146; а9 =

а 8 + а 10

, тогда

2 126 + 146 272 а9 = = 136; = 2 2

d = a9 – a8, d = 136 – 126 = 10; 124

2) если а8 = – 64, а10 = – 50; а9 =

а 8 + а 10

, тогда

2 −64 − 50 −114 а9 = = – 57; = 2 2

d = a9 – a8; d = – 57 – ( – 64) = – 57 + 64 = 7;


3) если а8 = – 7, а10 = 3; а9 =

а 8 + а 10 2

−7 + 3 −4 = = = – 2; 2 2

d = a9 – a8= – 2 – ( – 7) = 5;

4) если а8 = 0,5, а10 = – 2,5; а9 =

а 8 + а 10 2

=

0,5 − 2,5 = – 1; 2

d = a9 – a8 = – 1 – 0,5 = – 1,5.

386. Запишем данные условия: а5 = а1 + 4d. Тогда а5 = 4,9 + 4 ⋅ 9,8 = 44,1 (м). 387. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 105 = 15 + (n – 1) ⋅ 10; 90 = 10n – 10; 10n = 100, отсюда n = 10. Ответ: 10 дней. 388. an + ak = а1 + (n – 1)d + a1 + (k – 1)d = 2a1 + (n + k – 2)d, но an – ℓ + ak + ℓ = а1 + (n – ℓ – 1)d + a1 + (k + ℓ – 1)d = 2a1 + (n + k – 2)d, тогда an + ak = an – 1 + ak + 1 , доказано, поэтому а10 + а5 = а10 – 3 + а5 – 3 = а7 + а8 = 30. Ответ: а10 + а5 = 30. 389. а n + k + a n − k а n + a n 2a n = аn (из предыдущего номера), = = 2 2 2

тогда а20 =

а 10 + a 30 2

=

120 = 60. 2

390. 1) а1 = 1, an = 20, n = 50; Sn =

а1 + a n 1 + 20 ⋅ n ; S 50 = ⋅ 50 = (1 + 20) ⋅25 = 21 ⋅ 25 = 525; 2 2

2) а1 = 1, an = 200, n = 100; S100 =

1 + 200 ⋅ 100 = 201⋅50 = 10050; 2

3) а1 = – 1, an = – 40, n = 20; S 20 =

−1 − 40 ⋅ 20 = – 41⋅10 = – 410; 2

4) а1 = 2, an = 100, n = 50; S 50 =

2 + 100 ⋅ 50 = 102⋅25 = 2550. 2

125


391. an = 98; a1 = 2; d = 1. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 98 = 2 + (n – 1) ⋅ 1; 96 = n – 1; n = 97; S 97 =

2 + 98 ⋅ 97 = 50 ⋅ 97 = 4850. 2

392. а1 = 1; d = 2; an = 133. Т.к. an = a1 + (n – 1)d , то 133 = 1 + (n – 1) ⋅ 2; 132 = 2n – 2; n = 67; S67 =

1 + 133 ⋅ 67 = 67 ⋅ 67 = 4489. 2

393. 1) а1 = – 5; d = 0,5;

2) а1 =

Sn =

2a1 + (n − 1)d ⋅n ; 2

Sn =

S12 =

2 ⋅ (−5) + 11 ⋅ 0,5 ⋅ 12 = 2

S12

= ( – 10 + 5,5) ⋅ 6 = – 27;

1 ; d = – 3; 2

2a1 + (n − 1)d ⋅n ; 2 1 2 ⋅ + 11 ⋅ (−3) 2 = ⋅ 12 = 2

= (1 – 33) ⋅ 6 = – 192.

394. 1) а1 = 9; d = а2 – а1 = 13 – 9 = 4; S11 =

2 ⋅ 9 + 10 ⋅ 4 2а1 + 10d (18 + 40) ⋅11 ⋅ 11 = ⋅ 11 = = 29 ⋅ 11 = 319; 2 2 2

2) а1 = – 16; d = а2 – а1 = – 13 – ( – 16) = 6 S12 = =

2а 1 + 11d ⋅ 12 = 2

2 ⋅ (−16) + 11 ⋅ 6 ⋅ 12 = (−32 + 66) ⋅ 6 = 6 ⋅ 34 = 204. 2

395. 1) а1 = 3; d = 3; an = 273. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 273 = 3 + (n – 1) ⋅ 3; 270 = 3n – 3; 3n = 273. Тогда n = 91. S 91 =

126

a 1 + a 91 2

⋅ 91 =

3 + 273 ⋅ 91 = 138 ⋅ 91 = 12558. 2


2) а1 = 90; d = 80 – 90 = – 10; an = – 60. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то – 60 = 90 – 10n + 10; 10n = 100 + 60 = 160. Т.е. n = 16; S16 =

a 1 + a 16 2

⋅ 16 = (90 – 60) ⋅ 8 = 30 ⋅ 8 = 240.

127


396. a) а1 = 10; d = 1; an = 99. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 99 = 10 + n – 1. Тогда n = 90; S 90 =

a 1 + a 90 2

⋅ 90 =

10 + 99 ⋅ 90 = 109 ⋅ 45 = 4905. 2

б) а1 = 100; d = 1; an = 999. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 999 = 100 + n – 1. Т.е. n = 900; S 900 =

a 1 + a 900 2

⋅ 900 =

100 + 999 ⋅ 900 = 1099 ⋅ 450 = 494550. 2

397. 1) а1 = 3⋅1 + 5 = 8; а50 = 3⋅50 + 5 = 155; S50 =

а 1 + а 50 2

⋅ 50 =

8 + 155 ⋅ 50 = 163 ⋅ 25 = 4075; 2

2)а1 = 7 + 2 = 9; а50 = 7 + 2⋅50 = 107; S50 =

а 1 + а 50 2

⋅ 50 =

9 + 107 ⋅ 50 = 116 ⋅ 25 = 2900. 2

398. а1 = 7, а = аn + 1 – an = – 3, a9 = 7 – 3 ⋅ 8 = – 17. 7 − 17 Тогда S9 = ⋅ 9 = – 45. 2 399. а1 = 3; d = 1. Т.к. S n =

2a 1 + ( n − 1)d 6 + ( n − 1) ⋅n ; ⋅ n , то 75 = 2 2

150 = 6n + n2 – n; n2 + 5n – 150 = 0. Решим: n1 = 10, n2 = – 15 – не натуральное. Ответ: 10. 400. 1) а1 = 10; n = 14; S14 = 1050. Т.к. S14 =

2а 1 + 13d ⋅ 14 , то 2

1 2

5 6

2) а1 = 2 ; n = 10; S10 = 90 . Т.к. S10 =

2а 1 + 9 ⋅ d ⋅ 10 , то 2

127


1050 =

20 + 13d ⋅ 14 . 2

Отсюда 1050 = 7(20 + 13d); 910 = 91d и d = 10.

2 5 =  4 + 9d  ⋅ 5 . 6  3  5 1 Отсюда 90 – 23 = 45d; 6 3 1 45d = 67 и d = 1,5. 2

90

Тогда a14 = a1 + 13d;

Тогда a10 = a1 + 9d;

a14 = 10 + 130 = 140;

a10 = 2

401. 1) а7 = 21; S7 = 205.

2) а11 = 92; S11 = 22.

Т.к. S 7 = 205 =

a1 + a 7 2

⋅ 7 , то

a 1 + 21 ⋅7 ; 2

410 = 7а1 + 147; 7а1 = 263. 4 Тогда а1 = 37 . 7 Т.к. а7 = а1 + 6d, то 4 21 = 37 + 6d; 7 4 6d = – 16 ; 7 58 d=– . 21

Итак d = – 2

5 1 1 + 13 = 15 . 3 2 6

a 1 + a 11 ⋅ 11 , то 2 a + 92 ⋅ 11 ; 22 = 1 2

Т.к. S11 =

44 = (а1 + 92) ⋅ 11; а1 + 92 = 4. Тогда а1 = – 88. Т.к. a11 = a1 + 10d, то 92 = – 88 + 100d; 180 = 10d. Итак d = 18.

16 . 21

402. an = 12; d = 1; a1 = 1. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 12 = 1 + n – 1. Тогда n = 12. S12 =

a 1 + a 12 1 + 12 ⋅ 12 ; S12 = ⋅ 12 = 13 ⋅ 6 = 78 (брёвен). 2 2

403. а3 + а9 = а1 + 2 + a11 – 2 = a1 + а11 = 8 (из предыдущих задач). a + a 11 S11 = 1 ⋅11 . 2 128


Тогда S11 =

8 ⋅11 = 44. 2

404. 2a 1 + 4d 2a + 9d ⋅ 5 , т.к. S10 = 1 ⋅ 10 , 2 2 2/ (a 1 + 2d ) то 65 = ⋅ 5 , то 230 = (2а1 + 9d) ⋅ 5. 2/ Тогда 13 = a1 + 2d. Тогда 2а1 + 9d = 46 : 2 ,

Т.к. S 5 =

а1 + 2d = 13 5d = 20 получим  ;  ; 2a1 + 9d = 46 a1 + 2d = 13

d = 4 .  a1 = 5

405. 2a 1 + 11d ⋅ 12 ; S12 = 6 ⋅ (2a1 + 11d). Тогда 2 2a + 7 d 2a + 3d S8 − S 4 = 1 ⋅8 − 1 ⋅ 4 = 4 ⋅ ( 2a 1 + 7d ) − 2 ⋅ ( 2a 1 + 3d ) = 2 2 S12 =

= 8a1 + 28d – 4a1 – 6d = 4a1 + 22d; 3(S8 – S4) = 3⋅(4a1 + 22d) = 3⋅2(2a1 + 11d) = 6⋅(2a1 + 11d), получили: S12 = 3(S8 – S4). 407. 1) b1 = 12, q = 2; b2 = b1⋅q = 12⋅2 = 24; b3 = 24⋅2 = 48; b4 = 48⋅2 = 96; b5 = 192;

2) b1 = – 3, q = – 4; b2 = b1⋅q = – 3⋅( – 4) = 12; b3 = 12⋅( – 4) = – 48; b4 = – 48⋅( – 4) = 192; b5 = 192⋅( – 4) = – 768.

408. 1) bn = 3 ⋅ 2n. Пусть bn + 1 = 3 ⋅ 2n + 1. Тогда т.к.

b n +1 bn

=

3 ⋅ 2 n +1 3⋅ 2n

=

3/ ⋅ 2 n ⋅ 2 3/ ⋅ 2/ n

=2,

bn +1 не зависит от n то bn – геометрическая прогрессия. bn

2) bn = 5n + 3. Пусть bn + 1 = 5n + 4. Тогда

b n +1 5 n + 4 5/ n ⋅ 5 4 b = = = 5 т.к. n +1 не зависит от n, то n 3 n 3 + / bn bn 5 5/ ⋅ 5/

129


bn – геометрическая прогрессия. 1 3) bn =  

n −2

3

.

1 Пусть bn + 1 =  

n −1

3

b

n +1

b

=

n

1    3 1    3

n −1

n −2

=

;

n

−1

n

−2

1 1   ⋅  3  3 1 1   ⋅   3  3

=

1 1   3

−1

=

b 1 т.к. n +1 не зависит от n, 3 bn

то bn – геометрическая прогрессия. 4) bn =

1 5 n −1

.

Пусть bn + 1 = 1 b

n +1

b

т.к.

n

n

= 5 1

5 n −1

1 5n

; 1

n 1 = 5 = , 1 5 ⋅5 n 5

bn +1 не зависит от n, то bn – геометрическая прогрессия. bn

409. 1) Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то b4 = b1 ⋅ q3 , b4 = 3 ⋅ 103 = 3000. 2) Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то 1 1 6 4 . b7 = b1 ⋅ q6 = 4 ⋅   = = 6 2 16 3) Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то b5 = b1 ⋅ q4 = 1 ⋅ ( – 2)4 = 16. 4) Т.к. bn – b1 ⋅ q5, то 1 5 −3 b6 = b1 ⋅ q5 = – 3 ⋅  −  =  3

− 243

=

410. 1) b1 = 4; q = 3; Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1, то bn = 4 ⋅ 3 n – 1; 130

1 . 81


2) b1 = 3; q =

1 n −1 1 ; Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то bn = 4 ⋅   ; 3 3

3) b1 = 4; q = –

1 n −1 1 ; Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то bn = 4 ⋅  −  ; 4  4

4) b1 = 3; q = –

4 n −1 4 ; Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то bn = 3 ⋅  −  . 3  3

411. 1) b1 = 6; b2 = 12, … , bn = 192; q=

b2 12 = 2. = 6 b1

Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то 192 = 6 ⋅ 2n – 1 , но 32 = 25, значит, 32 = 2n – 1 , 25 = 2n – 1; 5 = n – 1; n = 6; 2) b1 = 4; b2 = 12, … , bn = 324; q=

12 = 3. 4

Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то 324 = 4 ⋅ 3n – 1; 81 = 3n – 1 , 34 = 3n – 1 , значит, 4 = n – 1; n = 5; 3) b1 = 625; b2 = 125, … , bn = q=

1 ; 25

b2 125 1 = ; = 5 b1 625

Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то

1 n −1 1 = 625 ⋅   , значит, 25 5

5 – 2 = 54 ⋅ 5 1 – n = 55 – n, отсюда –2=5–n и n = 7; 4) b1 = – 1; b2 = 2, … , bn = 128; q=

b2 = – 2 Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 , то b1

131


128 = – 1 ⋅ ( – 2)n – 1; – 128 = ( – 2)n – 1 , получили: ( – 2)7 = ( – 2)n – 1 , тогда 7=n–1 и n = 8. 412. 1) b1 = 2; b5 = 162. Т.к. b5 = b1 ⋅ q4 ,то

2) b1 = – 128; b7 = – 2. Т.к. b7 = b1 ⋅ q6 , то

162 = 2 ⋅ q4;

– 2 = 128 ⋅ q6 , значит q6 =   ;

81 = q4;

1 = q6; 64

1 2

3) b1 = 3; b4 = 81. Т.к. b4 = b1 ⋅ q3 , то 81 = 3 ⋅ q3;

1 1 , q2 = – ; 2 2 4) b1 = 250; b4 = – 2. Т.к. b4 = b1 ⋅ q3 , то – 2 = 250 ⋅ q3;

q3 = 27 поэтому q = 3;

q3 = –

34 = q4 , поэтому q1 = 3, q2 = – 3; q1 =

1 1 поэтому q = – . 125 5

413. 1) b1 = 2; q = 3. Т.к. b8 = b1 ⋅ q7 , то b8 = 2 ⋅ 37 = 4374; 2) Т.к. bn = b1 ⋅ qn – 1 162 = 2 ⋅ 3n – 1; 81 = 3n – 1 , 3n – 1 = 34, значит, 4 = n – 1, n = 5. 414. 1) b8 =

1 ; b6 = 81. 9

Т.к. b7 = b7 =

b 8 b 6 , то

1 ⋅ 81 = 9 = 3 . 9

Тогда q =

b8 1 . = b 7 27

415. 1) b4 = 5; b6 = 20. 132

2) b6 = 9; b8 = 3. Т.к. b7 = b7 =

b 8 b 6 , то

9⋅3 = 3 3 .

Тогда q =

3 3 3

=

2) b4 = 9; b6 = 4.

1 3

=

3 . 3

6


Т.к. b5 = ± b 4 ⋅ b 6 , то

Т.к. b5 = ± b 4 ⋅ b 6 , то

b5 = ± 5 ⋅ 20 = ±10 . Т.к. b6 = b4⋅q2 , то

b5 = ± 9 ⋅ 4 = ± 6 . Т.к. b6 = b4⋅q2 , то

20 = 5⋅q2.

q2 =

20 9 = 4; 4 = 9⋅q2 , q2 = . 5 4

Тогда q2 = 4, q1 = 2 или q2 = – 2; Тогда q = b4 = b1⋅q3; 5 = b1⋅( – 2)3. Если q = 2, то b1 =

5 , b5 = 10. 8

5 Если q = – 2, то b1 = – . 8 5 b5 = – 10, b1 = – . 8

Ответ: b5 = 10, b1 = b5 = – 10, b1 = –

5 . 8

5 , 8

2 2 либо q = – ; 3 3

b4 = b1⋅q3;

3

3

2 2 9 = b1⋅   либо 9 – b1 ⋅   ; 3

3

27 243 3 = = 30 либо b1 = 9 ⋅ 8 8 8 3 b1 = – 30 . 8

3 Ответ: b5 = 6, b1 = 30 ; 8 3 b5 = – 6, b1 = – 30 . 8

416. q = 1,2 b2 = 300000 ⋅ 1,2 = 360000. Тогда 300000 + 360000 = 660000 р. 660000 ⋅ 1,2 = 792000. Отсюда 660000 + 792000 = 1452000 р. Ответ: 1 452 000 р. 417.

АВСD – квадрат, АВ = 4 см, 133


A1, B1, C1, D1 – середины соответствующих сторон. Докажем, что SA, SA1, SA2, … – геометрическая прогрессия. и найдем S7 АВ = 4 см, А1В1 = 2 2 см, А2В2 = 2 см, А3В3 =

2 см.

2

 b1 = 4; q = ; 2    , значит, А2 В2 2 1 2 = = = S1 = b12 ; S n = bn2 ; А1В1 2 2 2  2

А1В1 2 2 2 = = АВ 4 2

 2    2 

n −1

bn = 4⋅  bn = 8

( 2)

Ответ: 8

n −1

. Т.к.

S7 = (b7 )2 , то S7 = (b7 )2 = (b1 ⋅ q 6 ) 2 = b12 ⋅ q12  2    2 

. Тогда S7 = 42⋅ 

( 2 )n −1 ; S

7

=

;

12

= 2 ⋅ 2− = 2− = 4

6

2

1 см2. 4

1 (см2). 4

419. 1) Если b1, b2, b3 – члены геометрической прогрессии, то b22 = b1⋅ b3, т.е. cos2α = (1 – sinα)(1 + sinα) = 1 – sin2 α = cos2 α , это верно. 2) Докажем, что

b b2 = 3 ; b1 b2

α α α 2α − sin 2 cos cos + sin cosα 2 2 = 2 2 , = 1 − sin α  α α  2 cos α − sin α  cos − sin  2 2 2 2  2

α  α α α  sin − cos  cos + sin 1 + sin α  2 2 2 2 , Но и = = α α cosα 2α 2α cos cos − sin − sin 2 2 2 2

получили, что b1, b2, b3 – геометрическая прогрессия. 420. 134


1) b1 =

1 ; q = 2; n = 6. 2

2) b1 = – 2; q =

n

Т.к. S n =

5

b 1 (1 − q ) , то 1− q

Т.к. S 5 =

1 (1 − q 6 ) 1 − 64 2 S6 = = = 31,5 ; 1− 2 −2

3) b1 = 1; q = – Т.к. S 4 =

S4 =

=

1 ; n = 4. 3

b 1 (1 − q 4 ) , то 1− q

  1 1 ⋅ 1 −  −    3  1+

1 3

4

   

1 ; n = 5. 2

 1 − 2 ⋅ 1−  31 31  32  = −4 ⋅ = − ; S5 = 1 32 8 1− 2 2 4) b1 = – 5; q = – ; n = 5. 3

Т.к. S 5 =

=

80 ⋅ 3 20 = 81⋅ 4 27

5) b1 = 6; q = 1; n = 200, т.к. q = 1, то прогрессия вырождена и S200 = 6⋅200 = = 1200.

b 1 (1 − q ) , то 1− q

b 1 (1 − q 5 ) , то 1− q

  2 5  − 5 ⋅ 1 −  −     3    S5 = = 2 1+ 3 32   − 5 ⋅ 1 +  275  243  = =− 5 81 3 6) b1 = – 4; q = 1; n = 100, т.к. q = 1, то прогрессия вырождена и S200 = – 4 ⋅ 100 = = – 400.

421. 7

1) b1 = 5; q = 2. Т.к. S 7 = S7 =

5 ⋅ (1 − 2 7 ) = – 5(1 – 128) = 635; 1− 2

2) b1 = 2; q = 3. Т.к. S 7 = S7 =

b 1 (1 − q ) , то 1− q

b 1 (1 − q 7 ) , то 1− q

2 ⋅ (1 − 3 7 ) = 37 – 1 = 2187 – 1 = 2186; 1− 3

422. 135


1) Т.к. b7 = b1⋅q6 и q = 2, то Т.к. S7 =

b 1 (1 − q 7 ) , то 1− q

b7 = 5 ⋅ 64; – 635 = b1(1 – 128). Тогда b7 = 320; b1 = – 635 : ( – 127) = 5. Ответ: b7 = 320, b1 = 5. 2) a) Т.к.

b 1 (1 − q 8 ) = S8, то 1− q

85 ⋅ 3 = b1⋅ (1 – 256). Тогда b1 = (85 ⋅ 3) / ( – 255) = 255/ ( – 255) = – 1. б) Т.к. b8 = b1⋅q7 , то b8 = ( – 1)⋅( – 2)7 = 128. Ответ: b1 = – 1, b8 = 128. 423. 1) Sn = 189, b1 = 3, q = 2.

2) Sn = 635, b1 = 5, q = 2.

n

Т.к. S n =

b 1 (1 − q ) , то 1− q

Т.к. 635 =

n

189 =

3 ⋅ (1 − 2 ) ; 1− 2

– 635 = 5⋅(1 – 2n) ;

– 189 = 3⋅(1 – 2n); – 63 = 1 – 2n; – 64 = – 2n; 2n = 26 , поэтому n = 6; 3) Sn = 170, b1 = 256, q = –

Т.к. Sn =

n

5 ⋅ (1 − 2 n ) , то 1− 2

– 127 = 1 – 2n; – 128 = 2n; 27 = 2n , поэтому n = 7; 1 . 2

b1 (1 − q ) , то 170 = 1− q

  1 256 ⋅ 1 −  −    2  3 2

n

   

;

n   1 n   1 510 = 512 ⋅ 1 −  −   , тогда 510 = 512 – 512  −  ;   2   2   n

n

8

1 1 n  1  1  1 ;  −  =  −  ; n = 8; 512  −  = 2;  −  =  2 256  2   2  2 136


4) Sn = – 99, b1 = – 9, q = – 2. Т.к. Sn =

(

)

(

)

b1 (1 − q n ) , то 1− q

n − 9 ⋅ 1 − (− 2 )n ; 33 = 1 − (−2) ; 1 − (−2) 32 = −(−2) n ; n − 9 ⋅ 1 − (− 2 ) ; (−2) 5 = (−2) n ; − 99 = 3 n = 5.

− 99 =

424. 1) b1 = 7, q = 3, Sn = 847. n

Т.к. S n =

b 1 (1 − q ) , то 1− q

847 = 7 ⋅ 121 =

7 ⋅ (1 − 3n ) ; −2

121⋅( – 2) = 1 – 3n; 243 = 3n; 35 = 3n , поэтому n = 5; b5 = 7 ⋅ 34 = 567; 2) b1 = 8, q = 2, Sn = 4088. n

Т.к. S n =

b 1 (1 − q ) 8 ⋅ (1 − 2n ) , то 4088 = 8 ⋅ 511 = ; 1− q 1− 2

– 511 = 1 – 2n , 512 = 2n; поэтому 29 = 2n; n = 9; b9 = 8 ⋅ 28 = 2048; 3) b1 = 2, bn = 1458, Sn = 2186. b 1 (1 − q n ) , то 1− q

Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то

Т.к. S n =

1458 = 2⋅qn – 1;

2186 =

729 = qn – 1, получим qn = 729q;

1093(1 – q) = 1 – qn; 1093 – 1093q – 1 + qn = 0, т.к. qn = 729 q, то 1092 – 1093q + 729q = 0; 1092 – 364q = 0; q = 3, тогда 3n – 1 = 36, n = 7;

2 ⋅ (1 − q n ) ; 1− q

137


4) b1 = 1, bn = 2401, Sn = 2801. b 1 (1 − q n ) , то 1− q

Т.к. bn = b1⋅qn – 1 ,то

Т.к. S n =

2401 = qn – 1;

2801 =

qn = 2401q.

2801(1 – q) = 1 – qn , т.к. qn = 2401q, то 2801(1 – q) = 1 – 2401q; 2800 = 2801q – 2401q; 2800 = 400q; q = 7; qn – 1 = 2401, тогда 7n – 1 = 74, значит, n = 5.

n

1− q ; 1− q

425. 1) b1 = 1; q = 2; bn = 128. Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то 128 = 2n – 1 , 27 = 2n – 1 , значит, n = 8. Т.к. S 8 =

b 1 (1 − q 8 ) , то 1− q 8

S8 =

1 ⋅ (1 − 2 ) = – (1 – 256) = 255; 1− 2

2) b1 = 1; b2 = 3; q = 3; bn = 243. Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то 243 = 1⋅3n – 1 , 35 = 3n – 1 , тогда n = 6. Т.к. S 6 = S6 =

b 1 (1 − q 6 ) , то 1− q

1 ⋅ (1 − 3 6 ) 728 = 364; = 1− 3 2

3) b1 = – 1; q = – 2; bn = 128. Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то 128 = – 1⋅( – 2)n – 1; – 128 = ( – 2)n – 1; ( – 2)7 = ( – 2)n – 1 , значит n = 8. Т.к. S 8 = 138

b 1 (1 − q 8 ) 1 ⋅ (1 − 256) 255 , то S 8 = = 85. = 1− q 3 3


4) b1 = 5; q = – 3; bn = 405. Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то 405 = 5⋅( – 3)n – 1 , ( – 3)n – 1 = 81 = 34; n = 5. 5

Т.к. S 5 =

b 1 (1 − q ) 5 ⋅ (1 + 243) , то S 5 = = 5⋅61 = 305. 1− q 4

426. 25 5 = . 15 3 125 625 Т.к. b5 = b2⋅q3 , то b5 = 15⋅ = . 27 9 5 Т.к. b1 = b2:q , то b1 = 15: = 9. 3  625 9 ⋅ 1 −  544  2  544⋅ 3 272 2 b (1 − q4 ) 81  =  =− = = 90 . :−  = S4 = 1 5 1− q 9  3 9⋅ 2 3 3 1− 3

1) Т.к. b3:b2 = q, то q =

2) Т.к. b4 = b2⋅q2 , то b1 = b2:q, 686:14 = q2; b1 = 14:7 = 2; q2 = 49 q = 7, т.к. q>0; b5 = b4⋅q. Тогда S4 =

2 ⋅ (1 − 74 ) 2(1 − 74 ) 1 − 74 = = = 800; −6 −3 1− 7

b5 = 686⋅7 = 4802. 427. 1) b1 = 3; q = 2. Т.к. S 5 =

b 1 (1 − q 5 ) , то 1− q

3 ⋅ (1 − 32) = – 3(1 – 32) = – 3⋅( – 31) = 93; 1− 2 1 2) b1 = 3; b2 = – . 2 S5 =

Т.к. b2:b1 = q , то q =

S6 =

6 b (1 − q ) 1 . Т.к. S 6 = 1 , то 2 1− q

1 ) 64 = −2 ⋅ 1 − 1  = −2 ⋅ 63 = − 1 31 . 1 32 64  64  1− 2

− 1 ⋅ (1 −

139


428. (x – 1)(хn – 1 + xn – 2 + xn – 3 + … + 1) = xn + хn – 1 + xn – 2 + … + x – n–1 –х – xn – 2 – … – x – 1 = хn – 1. 429. b3 = b1q 2 135 = b1q 2 135 = b1q 2   1)  . b1 (1 − q 3 ) ⇒  b1 (1 − q 3 ) ⇒  , 195 = , 195 = b1 (1 + q + q 2 )  S3 = 1− q 1− q  

Поделим 1 на 2 уравнение q2 135 = , тогда 195 1 + q + q 2 q2 9 = ; 13 1 + q + q 2 13q2 – 9q2 – 9q – 9 = 0; 4q2 – 9q – 9 = 0. Решим: 9 ± 81 + 4 ⋅ 4 ⋅ 9 9 ± 15 = , т.е. q= 8 8 3 q = 3 или q = – . Если q = 3, то 4 135 135 135 ⋅16 3 b1 = = 15, и b1 = = 240, если q = – . = 2 4 9 9 3   4 3 Ответ: q = 3, b1 = 15 или q = – , b1 = 240. 4 2) Т.к. S 3 = 372 =

b 1 ⋅ (1 − q 3 ) , то 1− q

12 ⋅ (1 − q 3 ) , q ≠ 1; 1− q

1 + q + q2 = 31; q2 + q – 30 = 0. Решим: q = – 6, q2 = 5. Если q1 = – 6, то b3 = 12⋅( – 6)2 = 432, и b3 = 12 ⋅ 52 = 300, если q2 = 5. Ответ: q = – 6, b3 = 432 или q = 5, b3 = 300. 140


430. 1) Т.к. b3 = b1⋅q2, b5 = b1⋅q4 и b3 + b5 = 90, то b1⋅q2 + b1⋅q4 = 90, тогда q2 + q4 – 90 = 0. Обозначим q2 = t, получим t2 + t – 90 = 0. Решим: t1 = 9; t2 = – 10. Тогда q2 = 9 т.к. q2 = – 10 не имеет решения. Поэтому q1 = 3; q2 = – 3. Ответ: q = 3 или q = – 3. 2) Т.к. b4 = b2⋅q2, b6 = b2⋅q4 и b4 + b6 = 60, то b2⋅q2 + b2⋅q4 = 60, тогда 3q2 + 3q4 – 60 = 0; q4 + q2 – 20 = 0. Обозначим q2 = t, значит t2 + t – 20 = 0. Решим: t1 = 4; t2 = – 5. Тогда q2 = 4 т.к. q2 = – 5 – не имеет решения. Поэтому q1 = 2; q2 = – 2. Ответ: q = 2 или q = – 2. b1 − b1q 2 = 15  b1q − b1q 3 = 30

b − b = 15 3)  1 3 b2 − b4 = 30 1 1 q = 2  b ⋅ (1 − q 2 ) = 15 1

Значит, S10 =

 b1 15 b1 ⋅ (1 − q 2 ) = 15  b q = 30   1 b1 ⋅ q (1 − q 2 ) = 30  2 b1 ⋅ (1 − q ) = 15

q = 2  b1 = −5

b 1 ⋅ (1 − q 10 ) − 5 ⋅ (1 − 210 ) = = 5 ⋅ (1 − 1024) = −5115 . 1− q 1− 2

b 3 − b 1 = 24 b 5 − b 1 = 624

4) 

b 1 ⋅ q 2 − b 1 = 24  b 1 ⋅ q 4 − b 1 = 624

b 1 ⋅ (q 2 − 1) = 24 .  b 1 ⋅ (q 4 − 1) = 624

Поделим 1 на 2 уравнение q 2 −1 4

q −1

Тогда

=

24 . 624

q2 − 1

(q + 1)(q 2

2

− 1)

=

1 ; 26

q2 + 1 = 26;

141


q2 = 25, q1 = 5; q2 = – 5, b1 = Если q = 5, то S 5 =

24 = 1. 24

b 1 ⋅ (1 − q 5 ) 1 − 5 5 1 − 3125 = = = 781 . 1− q 1− 5 −4

Если q = – 5, то S 5 =

b 1 ⋅ (1 − q 5 ) 1(1 + 3125) 3126 = = = 521 . 1− q 6 6

Ответ: S5 = 781, если q = 5; S5 = 521, если q = – 5. 431. 1) b1 = 1; b2 = q=

1 1 ; b3 = ; … 2 4

1 b2 1 = 2 = <1, значит прогрессия бесконечно убывает; b1 1 2

1 1 1 … ; b2 = ; b3 = 3 9 27 1 b 1 q = 2 = 9 = <1, значит, прогрессия бесконечно убывает; 1 b1 3 3

2) b1 =

3) b1 = – 81; b2 = – 27;… q=

b 17 b 16

=

−27 1 = <1, значит, прогрессия бесконечно убывает; − 81 3

4) b1 = – 16; b2 = – 8;… q=

b2 1 −8 = = <1, значит, прогрессия бесконечно убывает. b1 − 16 2

432. 1) b1 = 40; b2 = 20;… q=

b2 1 1 −20 <1, значит, прогрессия бесконечно = = − ; |q| = b1 40 2 2

убывает; 3 ;… 4 3 Т.к. b11 = b7⋅q4 , то = 12⋅q4. 4 1 1 1 1 Тогда q4 = иq= или q = – , |q| = <1, значит, прогрес16 2 2 2

2) b7 = 12; b11 =

сия бесконечно убывает; 142


3) b7 = – 30; b6 = 15;… q=

b2 −30 = = −2 ; |q| = 2>1, значит, прогрессия не бесконечно b1 15

убывающая; 1 ;… 27 1 Т.к. b9 = b5⋅q4 , то – = – 9⋅q4. 27 1 Отсюда q4 = . 243 1 1 Тогда q = ± 4 , |q| = 4 <1, значит, прогрессия бесконечно 3 3 3 3

4) b5 = – 9; b9 = –

убывает. 433. 1) 1; q=

1 1 ; … 3 9

b 1 1 , т.к. |q|<1, то S = 1 ; S = 3 1− q 1− 1

=

3 ; 2

6 b 1 , т.к. |q|<1, то S = 1 , т.е. S = 1− q 6 1− 1

=

3

1 2) 6; 1; … 6

q=

6

6 ⋅ 6 36 = ; 5 5

3) – 25; – 5; – 1… q=

b 1 , т.к. |q|<1, то S = 1 , т.е. 1− q 5

S=

125 −25 −25 ⋅ 5 ; = =− 4 4 1− 1 5

4) – 7; – 1; –

1 … 7

q=

b 1 , т.к. |q|<1, то S = 1 , т.е. 7 1− q

S=

49 −7 −7 ⋅ 7 = =− . 1 6 6 1− 7 143


434. 1) b1 =

b 1 1 ,q= , S = 1 ; 8 2 1− q

1

8 =2= 8 1− 1 2 1 3) b5 = ,q= 81 S=

1 ; 4 1 . 3

2) b1 = 9, q = –

b 1 , S= 1 ; 3 1− q

9⋅3 3 9 = =6 ; 1 4 4 1+ 3 1 1 4) b4 = – , q = – . 8 2 S=

Т.к. b5 = b1⋅q4 , то

Т.к. b4 = b1⋅q3 , то

1 4 1 = b1⋅   , b1 = 1. 81 3

Тогда S =

3 1 = = 1,5 ; 1 2 1− 3

3

1 1 = b1⋅  −  , b1 = 1. 8  2

Тогда S =

1 2 = . 1 3 1+ 2

435. 1) bn = 3⋅( – 2)n; b1 = – 6; b2 = 12; q=

b2 12 = = – 2. Т.к. |q| = 2>1, то bn – не бесконечно убыb1 −6

вающая геометрическая прогрессия; 2) bn = – 3⋅4n; b1 = – 12; b2 = – 48; q=

b2 −48 = = 4. Т.к. |q| = 4>1, то bn – не бесконечно убываюb1 − 12

щая геометрическая прогрессия; 1 3) bn = 2⋅  − 

n −1

 3

b1 = 2; b2 = – Т.к. |q| =

;

−2 b 2 3 = −1 . ;q= 2 = 3 b1 2 3

1 <1, то bn – бесконечно убывающая геометрическая 3

прогрессия; 1 4) n = 5⋅  −   2

b1 = 5; q = –

n −1

;

1 1 . Т.к. |q| = <1, то bn – бесконечно убывающая 2 2

геометрическая прогрессия. 144


436. 1 ; 3 b 12 ⋅ 3 12 S = 1 ; S= = = 18 ; 2 1− q 1− 1 3 1 2) b1 = 100, q = ; 10 b 1000 10 100 S = 1 ; S= = = 90 . 11 11 1− q 1+ 1 10

1) b1 = 12, q =

437. 1) Т.к. b5 = b1⋅q4 , то b1 =

2 . Тогда S =

2 1 b = b1 ⋅ 4 = 1 , значит, 16 16 2 2

1− 1

=2 2. 2

Ответ: S = 2 2 . 3

2) Т.к. b4 = b1⋅q3 , то отсюда b1 = и S=

9 8 ⋅ = 3; 8 3 3

3 1− 3

 3 9 = b1⋅   , 8  2 

= 2

2 3 2− 3

=

2 3 (2 + 3 ) ( 2 − 3 )(2 + 3 )

=

4 3+6 = 4 3 +6. 1

Ответ: S = 4 3 + 6. 438. а) Т.к. S =

b b1 2 , то 150 = 1 , 150 ⋅ = b1; 1− q 3 1− 1 3

b1 = 100; б) Т.к. S =

b1 75 1 1 1 , то 150 = . Тогда 2 = ;1–q= ,q= . 1− q 1− q 1− q 2 2

439. Т.к. b1 = a; q =

а 1 , то получим S = 2 1− 1

= 2а. 2

145


440.

Так как все окружности вписаны в угол, то их центры лежат на биссектрисе угла А. R R = 2R, AD = AB + R1 + R2. = 2R = sin 30° 1/ 2 АВ R 1 Т.к. ∆ADE ∼ ∆АВС, то получаем . = AD R 2

Тогда АВ =

2R 1 R 1 = 1 , R 2 = R1 . R1 − R 2 R 2 3 Действуя аналогично, рассматривая подобные треугольники, по-

Тогда

1 лучим что Rn = R 1 ⋅  

n −1

 3

.

Покажем, что R1 + 2(R2 + R3 + …Rn + …) = 2R1 . Пусть bn = Rn + 1, q = 1/3. Тогда S =

b1 . 1− q

R2 3R 2 Значит S = = = 2 1− 1 3

отсюда R1 + 2S = R1 + 2

1 3⋅ R1 R 3 = 1 , 2 2

R1 = 2R1. 2

441. 1) 0,(5) = 0,5555… Обозначим через у = 0,(5). Умножим обе части равенства на 10. Тогда 5 + 0,(5) = 10у, но y = 0,(5), следовательно, 5 + у = 10у, 5 = 9у. Итак, у = 146

5 5 , ⇒ 0,(5) = . 9 9


2) 0,(9) = 0,999… Обозначим через y = 0,(9), умножим на 10, 9 + 0,(9) = 10у; 9 + у = 10у; 9 = 9у, тогда у = 1; 0,(9) = 1; 3) 0,(12) = 0,1212… Обозначим через y = 0,(12), умножим на 100: 12 + 0,(12) = 100у, 0,(12) = y, значит, 12 + у = 100у; 12 = 99у; у=

12 4 . = 99 33

Отсюда 0,(12) =

4 . 33

4) 0,2(3) = 0,2333… Обозначим через 0,(3) = у, 0,2(3) = 0,2 + 0,0(3) = 0,2 + 0,(3) ⋅ 0,1. Вычислим 0,(3), затем искомое 3 + 0,(3) = 10у; 3 = 9у; у=

1 1 1 1 7 . Тогда 0,2(3) = 0,2 + ⋅ 0,1 = + . = 3 3 5 30 30

446. 1) an = n(n + 3) ; n = 1, a1 = 1⋅(1 + 3) = 4; n = 2, a2 = 2 ⋅(2 + 3) = 2 ⋅ 5 = 10; n = 3, a3 = 3 ⋅(3 + 3) = 3 ⋅ 8 = 18; 2) an = 4n; n = 1, a1 = 4; n = 2, a2 = 16; n = 3, a3 = 64; 3) an = 5 ⋅ 2n; n = 1, a1 = 5⋅ 2 = 10; n = 2, a2 = 5⋅ 22 = 5 ⋅ 4 = 20; n = 3, a3 = 5⋅ 23 = 5 ⋅ 8 = 40; 4) an = sin

π ; n

n = 1, a1 = sinπ = 0; n = 2, a2 = sin n = 3, a3 = sin

π = 1; 2

3 π . = 4 2 147


447. n −1 ; n +1

1) an =

10 − 1 9 ; n = 30, = 10 + 1 11 30 − 1 29 a30 = ; = 30 + 1 31 n+9 2) an = ; 2n − 1 10 + 9 19 30 + 9 39 n = 10, a10 = ; = = 1 ; n = 30, a30 = = 2 ⋅ 10 − 1 19 2 ⋅ 30 − 1 59

n = 10, a10 =

3) an = |n – 15| – 5; n = 10, a10 = |10 – 15| – 5 = 0; n = 30, a30 = |30 – 15| – 5 = 10; 4) an = 10 – |n – 20|; n = 10, a10 = 10 – |10 – 20| = 0; n = 30, a30 = 10 – |30 – 20| = 0. 448. а2 = 1 – 0,5⋅а1 = 1 – 0,5⋅2 = 0; а4 = 1 – 0,5⋅а3 =

1 ; 2

а6 = 1 – 0,5⋅а5 = 1 – 0,5 ⋅

3 3 5 = 1− = ; 4 8 8

а3 = 1 – 0,5⋅а2 = 1; 1 3 = ; 4 4 5 5 11 а7 = 1 – 0,5⋅а6 = 1 – 0,5 ⋅ = 1 − = . 8 16 16

а5 = 1 – 0,5⋅а4 = 1 –

449. 1 3

2 3

1) 4; 4 ; 4 ;… а1 = 4; d = a2 – a1 =

1 ; 3

1 1 1 ⋅ 3 = 5; а5 = 4 + ⋅ 4 = 5 ; 3 3 3 1 1 2) 3 ; 3; 2 ;… 2 2 1 1 а1 = 3 ; d = a2 – a1 = – ; 2 2 1 1 1 1 а4 = 3 – ⋅ 3 = 2; а5 = 2 – = 1 ; 2 2 2 2

а4 = 4 +

148


3) 1; 1 + 3 ; 1 + 2 3 ;… а1 = 1; d = a2 – a1 = 3 ; а4 = 1 + 3 ⋅3 = 1 + 3 3 ; а5 = 1 + 3 3 + 3 = 1 + 4 3 ; 4) 2 ; 2 – 3; 2 – 6;… а1 = 2 ; d = a2 – a1 = – 3; а4 = 2 – 3 ⋅ 3 = 2 – 9; а5 = 2 – 9 – 3 = 2 – 12. 450. Найдем an + 1 = – 2(1 – (n + 1)) = – 2( – n) = 2n; an + 1 – an = 2n – ( – 2(1 – n)) = 2n + 2(1 – n) = 2n + 2 – 2n = 2. Т.к. an + 1 – an – не зависит от n, то an – арифметическая прогрессия. 451. 1) а1 = 6; d =

1 . 2

Т.к. a5 = a1 + 4d, то a5 = 6 + 4 ⋅ 1 3

2) а1 = – 3 ; d = –

1 = 6 + 2 = 8; 2

1 . 3

Т.к. a7 = a1 + 6d, то a7 = – 3

1 1 1 1 + 6 ⋅  −  = – 3 – 2 = – 5 . 3 3 3  3

452. 1) а1 = – 1; а2 = 1; d = a2 – a1 = 1 – ( – 1) = 2. Т.к. S20 = S20 =

2а 1 + 19d ⋅ 20 , то 2

−2 + 38 ⋅ 20 = 360; 2

2) а1 = 3; а2 = – 3; d = a2 – a1 = – 3 – 3 = – 6. Т.к. S20 = S20 =

2а 1 + 19d ⋅ 20 , то 2

6 − 114 ⋅ 20 = −1080 . 2

453. 1) а1 = – 2; аn = – 60; n = 10. Т.к. S10 =

a 1 + a 10 2

⋅ 10 , то

S10 = ( – 2 – 60) ⋅ 5 = – 310;

1 1 ; аn = 25 ; n = 11. 2 2 a 1 + a 11 Т.к. S11 = ⋅ 11 , то 2 1 + 25 1 2 ⋅ 11 = 13⋅11 = 143; S11 = 2 2

2) а1 =

149


454. а1 = – 38; d = 5; an = 12. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 12 = – 38 + (n – 1)5; 50 = (n – 1)⋅5. Значит n – 1 = 10, n = 11; S11 =

26 −38 + 12 ⋅ 11 = − ⋅ 11 = −143 . 2 2

Ответ: S11 = – 143. 2) а1 = – 17; d = 3; an = 13. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 13 = – 17 + (n – 1)⋅3; 30 = (n – 1)⋅3; n – 1 = 10; n = 11 S11 =

−17 + 13 ⋅ 11 = −2 ⋅ 11 = −22 . 2

Ответ: S11 = – 22. 455. 1 … 3 1 q = b2:b1 = . 3

1) 3; 1;

3

1 1 1 1 1 Тогда b4 = 3 ⋅   = ; b5 = ⋅ ; = 9 9 27 3 3  

2)

1 1 ; ; 4 8

1 … 16

q = b2:b1 = –

1 1 ⋅4 = − . 8 2 3

Тогда b4 = 3) 3;

1  1 1 1  1 1 ; b5 = – ; ⋅ −  = ⋅−  = – 32 32  2  64 4  2

3 ; 1…

q = b2:b1 =

1

3 /3 =

3 3

.

 3 3 3 3 3 1  =3⋅ Тогда b4 = 3⋅  = ; b5 = = ; ⋅  3 3 9 3 3 3   150


4) если 5; – 5 2 ; 10… q = b2:b1 = – 5 2 :5 = – 2 . Тогда b4 = 5 ⋅ ( – 2 )3 = – 10 2 ; b5 = – 10 2 ( – 2 ) = 20. 456. 1 ; 1; – 2; 2 1 b1 = – ; q = – 2. 2

1) – 2; 4; – 8;

2) –

b1 = – 2; q = – 2. Т.к. bn = b1⋅qn – 1,

Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , то

bn = – 2⋅( – 2)n – 1 = ( – 2)n;

bn = –

1 ⋅( – 2)n – 1 = ( – 2)n – 2. 2

457. 1 ; q = 5; n = 4. 8

1) b1 = 2; q = 2; n = 6.

2) b1 =

Т.к. b6 = b1⋅q5 , то

Т.к. b4 = b1⋅q3 , то

b6 = 2⋅25 = 2⋅35 = 70;

b4 =

1 3 125 . ⋅5 = 8 8

458. 1) b1 =

1 ; q = – 4; n = 5. 2

2) b1 = 2; q = –

5

Т.к. S 5 =

b 1 (1 − q ) , то 1− q

S10

1 ; n = 10; 2

  1 5  2 ⋅ 1 −  −     2    = = 1 1+ 2

3) b1 = 10; q = 1; n = 6;

1   4 ⋅ 1 −  1024  =  = 3 4 ⋅ 1023 341 85 = = =1 3 ⋅ 1024 256 256 4) b1 = 5; q = – 1; n = 9.

S6 = b1⋅6 = 10⋅6 = 60;

Т.к. S 9 =

1 ⋅ (1 − (−4) 5 ) S5 = 2 = 1+ 4 1 + 1024 = = 102,5 2⋅5

S9 =

b 1 (1 − q 9 ) , то 1− q

5 ⋅ (1 + 1) =5. 1+1

151


459. 1) 128; 64; 32; … n = 5; 64 b2 1 = . = 2 b1 128

b1 = 128; q =

1   128 ⋅ 1 −  b (1 − q )  64  = 2(128 − 2) = 2 ⋅ 126 = 252 ; Тогда S6 = 1 = 1 1− q 1 1− 2 6

2) 162; 54; 18; … n = 5; 54 b2 1 = ; = 3 b1 162

b1 = 162; q =

 1 162 ⋅ 1 −  35 1 1− 3 − 81 ⋅ ( −242) ⋅ 3 = = 242 243

b (1 − q 5 ) S5 = 1 = 1− q

  

1   = −81 ⋅ 1 − ⋅3 =  243 

2 1 3 ; ; ; … n = 5; 3 2 8 b 1⋅ 3 2 3 b1 = ; q = 2 = = ; 3 4 b1 2 ⋅ 2

3)

5

S5 =

=

b1 (1 − q ) = 1− q

5 2   3   ⋅ 1−   3   4  

1−

3 4

243   2 ⋅ 4 ⋅ 1 −   1024  8 ⋅ 781 = = = 3 3 ⋅1024

781 13 ; =2 384 384 4)

b 1⋅ 4 3 1 1 3 2 ; ; ; … n = 4; b1 = ; q = 2 = = ; 4 2 3 4 3 b1 2 ⋅ 3

b (1 − q 4 ) = S4 = 1 1− q

152

3   2  4  ⋅ 1−   4   3   1−

2 3

 16  3 ⋅ 3 ⋅ 1 −  29  81  9 ⋅ 65 65 = = = =1 . 4 81 ⋅ 4 36 36


460. 1 1 1 ; ; ;… 2 4 8 1 1 1 q = b2:b1 = – : = – . 4 2 2 1 Т.к. − <1, то bn – беско2

1)

нечно убывает и S=

1 1 ; ;… 4 16 1 1 q = b2:b1 = : – 1 = – . 4 4 1 Т.к. − <1, то bn – бесконеч4

2) – 1;

но убывает

1

2 = 2 =1; 2⋅3 3 1+ 1 2

и S=

−1 −1 −4 . = = 1 5 5 1+ 4 4

461. n = 1, а3 = n = 2, а4 = n = 3, а5 =

a1 + a2 −1 + 3 = =1; 2 2 a2 + a3 2

=

3 +1 =2; 2

a 3 + a 4 1+ 2 3 = = . 2 2 2

462. Т.к. а8 = a1 + 7d, то 23

1 1 = 2 + 7d и d = 3. 2 2

463. 1) а1 = 5; а3 = 15. Т.к. 3 = а1 + 2d, то 15 = 5 + 2d; d = 5; a2 = 10; a3 = 15; a4 = 20; a5 = 25; Ответ: 5; 10; 15; 20; 25.

2) а3 = 8; а5 = 2. Т.к. а5 = а3 + 2d, то 2 = 8 + 2d; d = – 3; a4 = 5; a2 = 11; a1 = 14. Ответ: 14; 11; 8; 5; 2.

464. Чтобы a1, а2, а3 были членами арифметической прогрессии, а + а3 надо, чтобы а2 = 1 , 2 тогда а2 =

5 −10 + 5 = − = −2,5 . 2 2

153


465. 1) а13 = 28; а20 = 38.

2) а18 = – 6; а20 = 6.

Т.к. а20 = а13 + 7d, то

Т.к. a19 =

38 = 28 + 7d.

a19 =

Значит 10 = 7d

Отсюда d = a20 – a19 = 6.

3 иd=1 ; 7

Т.к. a20 = a1 + 19d, то

a19 = a20 – d;

6 = a1 + 19 ⋅ 6;

3 4 a19 = 38 – 1 = 36 . 7 7

а 18 + а 20 2

, то

−6 + 6 =0. 2

a1 = 6 – 19 ⋅ 6 = – 108.

Т.к. a13 = a1 + 12d, то 3 = 7 1 6 = 28 – 12 – 5 = 10 . 7 7 6 4 Ответ: а1 = 10 ; а19 = 36 . 7 7

a1 = 28 – 12⋅1

Ответ: а1 = – 108; а19 = 0.

466. 1) Для того, чтобы это была арифметическая прогрессия надо, чтобы ( 3 x + 2 x-1 ) х+2 5х − 1 = = ; 2 2 2 х + 2 = 5х – 1; 4х = 3; х=

3 ; 4

2) Для того, чтобы это была арифметическая прогрессия надо, чтобы 3 x 2 + 11x ; 2= 2 2 3х + 11х – 4 = 0. Решим: 2 1 −24 = ; х2 = = – 4. 6 3 6 1 Ответ: ; – 4. 3

х1 =

154


467. 1) b1 = sin(α + β); b2 = sinα⋅cosβ; b3 = sin(α – β). Если b2 =

b1 + b 3

, то b1, b2, b3, — арифметическая прогрессия;

2 sin(α + β ) + sin(α − β ) 2 sin α ⋅ cos β sin α ⋅ cos β = = = sin α ⋅ cos β . 2 2

Верно. 2) b1 = cos(α + β); b2 = cosα⋅cosβ; b3 = cos(α – β). Если b2 =

b1 + b 3

, то b1, b2, b3 – арифметическая прогрессия

2 cos(α + β ) + cos(α − β ) 2 cosα ⋅ cos β cosα ⋅ cos β = = cosα ⋅ cos β . = 2 2

Верно. 3) b1 = cos2α; b2 = cos2α; b3 = 1. Если b2 = cos 2 α =

=

b1 + b 3 2

, то b1, b2, b3 – арифметическая прогрессия

2 2 2 2 cos 2α + 1 cos α − sin α + cos α + sin α = = 2 2

2 cos 2 α = cos 2 α . 2

Верно. 4) b1 = sin5α; b2 = sin3αcos2α; b3 = sinα. Нужно b2 =

b1 + b 3 2

, чтобы b1, b2, b3 были арифметической

прогрессией sin 5α + sin α 2 sin 3α ⋅ cos 2α ; sin 3α ⋅ cos 2α = ; 2 2 sin 3α ⋅ cos 2α = sin 3α ⋅ cos 2α . Верно.

sin 3α ⋅ cos 2α =

468. d = a2 – a1 = 7 – 5 = 2. 2a 1 + ( n − 1)d ⋅n ; 2 10 + ( n − 1) ⋅ 2 252 = ⋅n ; 2

Тогда S n =

504 = (8 + 2n)⋅n; 252 = (4 + n) ⋅n; n2 + 4n – 252 = 0. Решим: n1 = 14; n2 = – 32 – не натуральное число. Ответ: 14. 155


469. 1) а1 = 40, n = 20, S20 = – 40. Т.к. S 20 =

a 1 + а 20 2

⋅ 20 , то

– 40 = (а1 + а20)⋅10. Значит – 4 = (40 + а20); а20 = – 44. Т.к. d = d=

a 20 − a 1 19

, то

– 16 = 120d;

−44 − 40 −84 8 = = −4 . 19 19 19

Ответ: а20 = – 44, d = −4

1 2 , n = 16, S16 = – 10 . 3 3 a 1 + а 16 Т.к. S16 = ⋅ 16 , то 2 2a + 15d S16 = 1 ⋅ 16 . 2 2 + 15d  2   ⋅ 16 ; Значит − 10 =  3  3  2   2 2 − 10 = + 15d ⋅ 8 ; 3 3

2) а1 =

8 . 19

d=−

2 . 15

Т.к. a16 = a1 + 15d, то 1 2  2 1 a16 = +15⋅  −  = − 2 = −1 . 3 3  15  3 2 2 Ответ: a16 = −1 , d = − . 15 3

470. 1) Т.к. b9 = b1 ⋅ q8 , то b9 = 4 ⋅ ( – 1)8 = 4. 2) Т.к. b7 = b1 ⋅ q6 , то b7 = 1 ⋅ ( 3 )6 = 27. 471. 1) b2 =

1 , b7 = 16; 2

b 7 = b2 ⋅ q 5 , тогда 16 =

b 6 = b3 ⋅ q 3 , тогда

1 ⋅ q5 , q5 = 32, q = 2. 2

– 81 = – 3 ⋅ q3;

Т.к. b5 = b2 ⋅ q , то

q3 = 27, значит q = 3. Т.к. b5 = b3 ⋅ q2 , то

b5 =

b5 = – 3 ⋅ 9 = – 27;

3

156

2) b3 = – 3, b6 = – 81;

1 ⋅ 8 = 4; 2


1 1 , b6 = – . 5 125

3) b2 = 4, b4 = 1.

4) b2 = –

Т.к. b4 = b2 ⋅ q2 , то

Т.к. b6 = b4 ⋅ q2 , то

1 = 4 ⋅ q 2; 1 2

q1,2 = ± . Если q =

1 1 = – ⋅q2 5 125 1 1 2 q = , q1,2 = ± 25 5 1 Если q = , 5 1 1 1 то b5 = – ⋅ = – . 5 5 25 1 Если q = – , 5  1  1 1 то b5 =  −  ⋅  −  = .  5   5  25 1 1 Ответ: b5 = – или b5 = . 25 25

1 , то 2

b5 = b4 ⋅ q, имеем: b5 = 1⋅

1 1 = . 2 2

1 , 2

Если q = –

то b5 = b4 ⋅ q, имеем: b5 = – Ответ: b5 =

1 . 2

1 1 или b5 = – . 2 2

472. Чтобы b1; b2; b3 – были членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы b22 = b1⋅ b3 , значит, b22 = 36, b2 = 6 или b2 = – 6. 473. 1) bn = 5n + 1 – последовательность; b1 = 25; b2 = 125, q =

b2 125 = 5 > 1, не является бесконечно = 25 b1

убывающей; 2) bn = ( – 4)n + 2 – последовательность; b1 = – 64; b2 = 256, q = убывающей; 3) bn = b1 =

10 7n

256 = – 4, |q|>1, не является бесконечно − 64

– последовательность;

b 7 10 10 1 ; b2 = 2 = = <1, bn – бесконечно убывает; ⋅ 7 49 10 7 b1

157


4) bn =

50

– последовательность;

3 n +3 b 50 50 81 1 b1 = – ; b2 = 2 = = <1, ⋅ 81 243 50 3 b1

bn – бесконечно убывает. 474. 1) b2 = – 81, S2 = 162. Т.к. S2 = b1 + b2 , то 162 = b1 – 81, отсюда b1 = 243; q=

b2 −81 1 = =– ; 3 b1 243

q = −

1 < 1, значит, bn бесконечно убывает; 3

2) b2 = 33, S2 = 67. Т.к. S2 = b1 + b2 , то 67 = b1 + 33, b1 = 34, q =

33 b2 = < 1, b1 34

значит, bn бесконечно убывает. 3) Пусть b1 + b3 = 130; b1 – b3 = 120, запишем систему b1 + b3 = 130 2b1 = 250 b1 = 125 ;  ;  ;  b1 − b3 = 120 2b3 = 10 b3 = 5 Т.к. b3 = b1 ⋅ q2 , то

5 = 125 ⋅ q2 , q2 =

1 1 ,q=± , 25 5

1 < 1, значит, bn бесконечно убывает; 5 4) Пусть b2 + b4 = 68; b2 – b4 = 60, решим систему b2 + b4 = 68 2b2 = 128 b2 = 64 ;  ;  ;  b2 − b4 = 60 2b4 = 8 b4 = 4 Т.к. b4 = b2 ⋅ q2 , то 4 = 64 ⋅ q2; ±

q2 = ± 158

1 1 q=± ; 16 4

1 < 1 значит, bn бесконечно убывает. 4


475. Пусть n – номер дня, an – количество минут в n день. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то 40 = 5 + (n – 1) ⋅ 5; 35 = (n – 1) ⋅ 5; n – 1 = 7 значит n = 8. Ответ: Восьмой день от среды – среда. 476. Решим систему относительно a1 и d: а1 + а 2 + а 3 = 15 а1 + а1 + d + a1 + 2d = 15 ;  ;  a1 (a1 + d )(a1 + 2d ) = 80 а1 а 2 а 3 = 80 3а1 + 3d = 15; a1 + d = 5; a1 = 5 – d. Подставим во второе уравнение системы: (5 – d)( 5 – d + d)( 5 – d + 2d) = 80; 5(5 – d)( 5 + d) = 80; 25 – d2 = 16; d2 = 9. Значит, d = 3 или d = – 3. Тогда a1 = 5 – 3 = 2 или a1 = 5 + 3 = 8. Ответ: d = 3 , a1 = 2; d = – 3, a1 = 8.

159

Reshebnik_Alimov_Algebra 9kl_2001_62-476  

за 9 класс учебно-практическое пособие к учебнику «Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений» Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you