Issuu on Google+

Решение задач А. Прокофьев, В. Бардушкин, Москва


Расстояние между двумя точками Расстояние между точками A(x1; y1 z1) и B(x2; y2; z2) вычисляется по формуле

( A ; B ) 

Журнал «Математика» № 01/2013

 x 2  x 1    y 2  y 1    z 2  z1  2

2

2

.


Задача 1

Найти координаты точки C на отрезке AB такой, что AC : CB = k, где A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2).

Журнал «Математика» № 01/2013


Задача 2 uuuur Найти координаты точки B, если A(x1; y1; z1), A B  {p; q; r }.

Журнал «Математика» № 01/2013


Пример 1

В единичном кубе A…D1 точки E, K и L — середины ребер AA1, CD и B1C1 соответственно, а точки M и N лежат соответственно на отрезках EK и LK так, что EM : EK = 2 : 3, а LN : NK = 1 : 4. Найти длину отрезка МN.

Журнал «Математика» № 01/2013


Угол между прямыми в пространстве Ненулевой вектор, коллинеарный прямой, называется ее направляющим вектором. При нахождении угла  между прямыми m и l используют формулу

r r pq

cos   r r . p  q Журнал «Математика» № 01/2013


Угол между прямыми в пространстве Или (в координатной форме)

cos  

r где p  x 1 ; y 1 ; z 1

x 1 x 2  y 1 y 2  z1 z 2 x y z  x y z 2 1

2 1

2 1

2 2

r и q  x 2 ; y 2 ; z2

— направляющие векторы прямых m и l.

Журнал «Математика» № 01/2013

2 2

2 2

,


Пример 2

В единичном кубе A…D1 найти угол между прямыми АЕ и DF, где Е и F — точки, расположенные на ребрах CD и C1D1 так, что

1 1 DE  DC , C1F  C1D1. 3 3

Журнал «Математика» № 01/2013


Способы задания плоскости Плоскость в пространстве однозначно определяется: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

Журнал «Математика» № 01/2013


Составление уравнения плоскости Составив уравнение плоскости MNP, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой и заданные своими координатами M(xM; yM; zM), N(xN; yN; zN), P(xP; yP; zP). Пусть это уравнение имеет вид ax + by + cz + d = 0, где a, b, c, d — неизвестные числа. Подставим в него координаты точек M, N, P.

Журнал «Математика» № 01/2013


Получим систему уравнений:

 ax M  by M  cz M  d  0,   ax N  by N  cz N  d  0,  ax  by  cz  d  0. P P  P Решив ее, найдем: a = pd, b = qd, c = rd (если окажется, что d = 0, то a = pc, b = qc; если d = c = 0, то a = pb). Подставив в исходное уравнение и сократив на d ≠ 0, получим уравнение рx + qy + rz + 1 = 0. Журнал «Математика» № 01/2013


Пример 3 Дан единичный куб A…D1. Составить плоскости, проходящей через точки B, D и C1.

Журнал «Математика» № 01/2013

уравнение


Решение Найдем координаты точек: B(0; 1; 0), D(1; 0; 0), C1(1; 1; 1). Записав в общем виде уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0 и подставив в него координаты этих точек, получим систему уравнений:

 a  0  b 1  c  0  d  0, (для точки B )   a 1  b  0  c  0  d  0, (для точки D )  a 1  b 1  c 1  d  0. (для точки C ) 1  Отсюда b = –d, a = –d и c = d. Тогда уравнение плоскости BC1D имеет вид –dx – dy + dz + d = 0, или –x – y + z + 1 = 0. Журнал «Математика» № 01/2013


Угол между плоскостями Угол между плоскостями  и β, заданными соответственно уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и a2x + b2y + c2z + d2 = 0 равен углу φ между их нормальными векторами r r n   a1 ; b1 ; c1  и n   a2 ; b2 ; c2  ,

и вычисляется по формуле cos   ;    | cos  |  Журнал «Математика» № 01/2013

r r n  n

r r  n  n

a1a2  b1b2  c1c2 a b c  a b c 2 1

2 1

2 1

2 2

2 2

2 2

.


Пример 4 В прямоугольном параллелепипеде A…D1 известны ребра AB = 8, AD = 6, CC1 = 5. Найти угол между плоскостями BDD1 и AD1B1.

Журнал «Математика» № 01/2013


Пример 5 В правильной четырехугольной призме A…D1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 4. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 3 : 1. Найти угол между плоскостями ABC и BED1.

Журнал «Математика» № 01/2013


Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки M до плоскости  можно вычислить по формуле ( M ; ) 

ax 0  by 0  cz 0  d a b c 2

2

2

,

где M(x0; y0; z0), а плоскость  задана уравнением ax + by + cz + d = 0.

Журнал «Математика» № 01/2013


Пример 6 Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Сторона основания равна 2, а боковое ребро — 3. Точка D — середина ребра CC1. Найти расстояние от точки C до плоскости AB1D.

Журнал «Математика» № 01/2013


Пример 7 В правильной четырехугольной призме A…D1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2. Точка E — середина ребра AA1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED1.

Журнал «Математика» № 01/2013


Расстояние от точки до прямой Рассмотрим способ вычисления расстояния от точки A до прямой l в пространстве, основанный на применении формулы расстояния от точки до плоскости.

ρ(A; BDC) = ρ(A; l)

Журнал «Математика» № 01/2013


Пример 8 В единичном кубе A…D1 найти расстояние от точки D1 до прямой РQ, где Р и Q — середины соответственно ребер A1B1 и ВС.

Журнал «Математика» № 01/2013


Угол между прямой и плоскостью Пусть введена декартова система координат, в которой уже составлено уравнение плоскости : ax + by + cz + d = 0. Выберем на прямой l две точки, A(xA; yA; zA) и B(xB; yB; zB). uuuur 2 2 2 A B   x B  x A    y B  y A    zB  z A  . Выберем на плоскости  некоторую точку C(xC; yC; zC) и проведем через нее прямую l1 || l. Журнал «Математика» № 01/2013


Пусть вектор

uuur uuur CD  AB — ее направляющий вектор.

Координаты точки D(xD; yD; zD) определяются равенствами: xD = xC + xB – xA, yD = yC + yB – yA, zD = zC + zB – zA. Поскольку l1 || l, то угол между прямой l и плоскостью  равен углу между прямой l1 и .

Журнал «Математика» № 01/2013


Пусть точка H — проекция точки D на плоскость . Тогда угол  — искомый, из прямоугольного треугольника CDH uuuur AB ,

DH , где CD  получим: sin   CD

а DH находится

по формуле расстояния от точки D до плоскости  DH  ( D; ) 

Журнал «Математика» № 01/2013

ax D  by D  cz D  d a b c 2

2

2

.


Пример 9 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, в которой AB = 5, SA = 4, точка Е — середина ребра SB. Найти угол между прямой CE и плоскостью SBD.

Журнал «Математика» № 01/2013


Пример 10 В правильной шестиугольной призме A…F1, все ребра которой равны 1, найти угол между прямой AB1 и плоскостью ACE1.

Журнал «Математика» № 01/2013


Расстояние между скрещивающимися прямыми Если скрещивающиеся прямые поместить в параллельные плоскости, то расстояние между этими прямыми будет равно расстоянию между построенными плоскостями, а оно равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, содержащей вторую прямую.

Журнал «Математика» № 01/2013


Пример 11 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 7, найти расстояние между прямыми AA1 и BC1.

Журнал «Математика» № 01/2013


Пример 12 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро и сторона основания равны 5 и 3 соответственно. Точка N — середина ребра SF, а точка M делит ребро SD так, что SM : MD = 1 : 3. Найти расстояние между прямыми AN и EM.

Журнал «Математика» № 01/2013


O reshenii stereometricheskih zadach koordinatno vektornym metodom