Issuu on Google+

ПередПлатний індекс 74326

5. 2012

Загальна культура вчителя математики та її формування в системі післядипломної освіти урок-подорож «сім чудес україни» королівська математика. досвід шкільної математичної освіти норвегії

освітніЙ портал

www.PEDPRESA.com


Перший Всеукраїнський з’їзд учителів математики Для учителів математики 23 квітня 2012 року стало визначною датою – у цей день в Україні відбувся І Всеукраїнський з'їзд учителів математики. Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України організувало роботу з’їзду та провело його у приміщенні Червоного корпусу Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Учасники з'їзду – вчителі математики з різних регіонів України, завідувачі кабінетів природничо-математичних дисциплін обласних інститутів післядипломної педагогічної освіти, науковці з провідних університетів країни, представники наукових установ та інші запрошені. З’їзд відкрив Народний учитель України Михайло Семенович Якір, який привітав делегатів і оголосив склад робочої президії: Жебровський Борис Михайлович – заступник міністра освіти і науки, молоді та спорту; Губерський Леонід Васильович – ректор Київського національного університету імені Тараса Шевченка; Бурда Михайло Іванович – учений секретар Національної академії педагогічних наук України, професор, доктор педагогічних наук; Мальований Юрій Іванович – учений секретар відділення загальної середньої освіти, кандидат педагогічних наук; Нелін Євген Петрович – професор кафедри математики Харківського національного педагогічного університету ім. Григорія Сковороди; Номировський Дмитро Анатолійович – учитель математики Українського фізико-ма­ те­­ма­тич­ного ліцею Київського національного університету імені Тараса Шевченка, доктор фізико-математичних наук; Чемерис Михайло Валентинович – директор ліцею №  208 м. Києва; Тарасенкова Ніна Анатоліївна, проректор з наукової роботи Черкаського національного університету, доктор педагогічних наук, професор; Шитікова Лариса Олександрівна, учитель математики Харківської гімназії № 47, Герой України. З вітальними словами та побажаннями плідної роботи до учасників з'їзду звернулися заступник мі-

ністра Борис Михайлович Жебровський та ректор Київського національного університету імені Тараса Шевченка Леонід Васильович Губерський. Борис Жебровський передав вітання від міністра Дмитра Табачника, і зазначив: «Це помітна подія в історії нашої освіти. Ви стали першими, хто зорганізувався і виніс кращі напрацювання ваших представників на розгляд громадськості». Леонід Губерський підкреслив похвальне прагнення вчителів підсилити інтерес молоді до такої фундаментальної науки як математика. На порядок денний роботи з’їзду було винесено такі питання: 1. Презентація та аналіз нової навчальної програми з математики для 5–9-х класів. Доповідав Бурда Михайло Іванович – учений секретар Національної академії педагогічних наук України, професор, доктор педагогічних наук, голова робочої групи. 2. Хід реалізації Державної цільової соціальної програми поліпшення якості природничоматематичної освіти на період до 2015 року. Доповідав Єресько Олег Вікторович, директор департаменту загальної середньої та дошкільної освіти. 3. Необхідність реформування системи підготовки вчителів математики. Доповідав Працьовитий Микола Вікторович, директор фізико-ма­те­ма­ тичного інституту Національного педа­­­гогічного університету ім. М. П. Драгоманова, доктор фізико-математичних наук, професор. В обговоренні, «включених до порядку денного питань», взяли активну участь багато учасників з'їзду. Всі виступи були цікаві, конкретні, змістовні та коректні. Перший Всеукраїнський з’їзд учителів математики продемонстрував, що в освіті немає байдужих до розвитку математичної освіти. За результатами роботи з'їзду прийнято рішення звернутися до Уряду країни щодо належного фінансування заходів Державної цільової соціальної програми поліпшення якості природничоматематичної освіти. Матеріали з'їзду будуть надруковані на сторінках наступних номерів науково-методичного журналу «Математика в сучасній школі» видавництва «Педагогічна преса».


Математичний календар 2 червня – 300 років з дня народження французького математика Жана де Гюа де Мальва (1712 – 1786). Основні наукові дослідження стосуються алгебри й аналітичної геометрії. Працював над загальною теорією алгебраїчних рівнянь, відшуканням границь коренів і їх кількості. Вивчав криві вищих порядків і окремі питання теорії перспективи. Отримав суттєві результати у сферичній тригонометрії. Ще в 1783 році вивів з теореми косинусів усі теореми сферичної тригонометрії. 2 червня – 80 років з дня народження російського математика Олега Лупанова. Наукові праці стосуються прикладної теорії алгоритмів, математичної логіки, математичної кібернетики, дискретної математики. Отримав суттєві результати у створенні математичної теорії синтезу для систем управління, зокрема їх мінімізації. Розробив асимптотично найкращий метод синтезу схем із функціональних елементів (метод Лупанова). 6 червня – 155 років з дня народження російського математика Олександра Ляпунова (1857 – 1918). Наукова діяльність стосувалася різноманітних галузей математики і механіки. Розв'язав питання про існування періодичних розв'язків певного типу нелінійних диференційних рівнянь. Створив сучасну теорію стійкості руху механічних систем, що визначаються скінченною кількістю параметрів. Одержав важливі результати в теорії фігур рівноваги однорідної і слабко неоднорідної рідини, що обертається. Важливим є його внесок у теорію ймовірностей – розробив оригінальний та ефективний метод характеристичних функцій, довів центральну граничну теорему тощо. Працюючи у Харківському університеті (1885 – 1902), суттєво сприяв підвищенню рівня досліджень з математики і механіки. 11 червня – 75 років з дня народження американського математика Дейвіда Мамфорда. Основні напрями досліджень – алгебраїчна геометрія, абелеві многовиди, геометрична теорія інваріантів. Велике значення мають його роботи з «патологій» в алгебраїчній геометрії, класифікації проективних поверхонь, з теорії інваріантів і з теорії тета-функцій. Працює також в галузі штучного інтелекту. Лауреат Філдсівської премії (1974), а також премії Вольфа з математики (2008). Був президентом Міжнародного математичного союзу (1995 – 1999). 12 червня – 75 років з дня народження російського математика Володимира Арнольда (1937 – 2010). Народився в Одесі. Ще в студентські роки, працюючи під керівництвом А. Колмогорова, розв'язав тринадцяту проблему Гільберта, і це поставило його в один ряд з найвидатнішими математиками світу. Основні праці стосуються диференціальних рівнянь, функціонального аналізу, теорії функцій дійсного змінного, теорії особливостей гладких відображень і теоретичної механіки. Багато його робіт заклали основи для цілих напрямів в математичній науці. Успішно розробляв математичні методи розв'язування найскладніших задач природознавства, вважаючи це істинним призначенням математики. За станом на 2009 рік був найбільш цитованим російським ученим у світі. 12 червня – 435 років з дня народження швейцарського математика Пауля Гульдіна (Гульдена) (1577 – 1643). Один із основоположників метода нескінченно малих. В роботі «Про центр мас» міс-

тяться відомі теореми про обчислення площ поверхонь і об'ємів тіл обертання, які вперше без доведень зустрічаються в роботах давньогрецького математика Паппа. Одним з перших заклав основи комбінаторики в роботі «Арифметична задача про комбінації» (1622). 14 червня – 95 років з дня народження норвезького математика Атле Сельберга (1917 – 2007). Відомий працями в галузі аналітичної теорії чисел та теорії автоморфних функцій. Розробив удосконалений метод решета для доведення закону розподілу простих чисел. Суттєвим є його внесок у різні розділи математичного аналізу. Лауреат премії ім. Дж. Філдса (1950), а також премії Вольфа з математики (1986). 16 червня – 230 років з дня народження французького математика Олрі Теркема (1782 – 1862). Основні праці стосувалися теорії функцій, аналітичної геометрії, теорії алгебраїчних рівнянь, теорії визначників. Написав декілька підручників з елементарної математики. Відомі «коло Теркема», «теорема Теркема». Заснував перший у світі бюлетень бібліографії й історії математики. Одним із перших визнав важливість робіт Евариста Галуа. 19 червня – 105 років з дня народження датського математика Берге Ієссена (1907 – 1993). Наукові дослідження стосуються теорії функцій, зокрема майже періодичних функцій. 21 червня – 95 років з дня народження російського математика і механіка Сергія Валландера (1917 – 1975). Математичні праці стосуються диференціальних рівнянь з частинними похідними, інтегральних рівнянь, функціональних рівнянь. 21 червня – 160 років з дня народження чеського математика Едуарда Вейра (1852 – 1903). Наукові дослідження присвячені проективній і диференціальній геометріям, аналізу та теорії матриць. 22 червня – 175 років з дня народження німецького математика Пауля Бахмана (1837 – 1920). Відомий працями в галузі теорії чисел. У другому томі роботи «Аналітична теорія чисел» (1894) вперше ввів позначення «”О” велике» для порівняння асимптотичної поведінки функцій. 23 червня – 100 років з дня народження англійського математика, логіка, криптографа й інженера Алана Тьюрінга (1912 – 1954). Його математичні праці стосуються математичної логіки, теорії алгоритмів, сучасної алгебри. Один із творців кібернетики. Його вважають батьком штучного інтелекту і сучасної інформатики. 23 червня – 400 років з дня народження бельгійського математика Андре Таке (1612 – 1660). Основні роботи присвячені арифметиці, геометрії, комбінаториці, історії математики. Сприяв створенню диференціального та інтегрального числення, використовуючи ідеї граничного переходу. Застосував метод вичерпування для обчислення об'ємів тіл. 30 червня – 105 років з дня народження російського математика Дмитра Фаддєєва (1907 – 1989). Наукові дослідження стосуються теорії чисел, алгебри, обчислювальної математики, теорії функцій, теорії Галуа, гомологічної алгебри, теорії інформації, наближених методів у лінійній алгебрі тощо. Широко відомі його навчальні посібники для вищої школи. Активно розробляв питання змісту і методики навчання математики у середній школі. Підготувала В. Бевз


НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ ЖУРНАЛ

№ 5 (128) 2012, травень

Щомісячник

Передплатний індекс 74326 РЕДАКЦІЙНА РАДА: Головний редактор Валентина Григорівна БЕВЗ, доктор педагогічних наук, професор (Національний педагогічний університет ім. М. Драгоманова), Київ Михайло Іванович БУРДА, доктор педагогічних наук, дійсний член НАПН України, професор (Президія НАПН України), Київ Григорій Петрович БЕВЗ, кандидат педагогічних наук, доцент, Київ Ніна Опанасівна ВІРЧЕНКО, доктор фізикоматематичних наук, професор (Національний технічний університет України «КПІ»), Київ Олександр Ігорович Глобін, кандидат педагогічних наук, старший науковий співробітник (Інститут педагогіки НАПН України), Київ Мирослав Іванович ЖАЛДАК, доктор педагогічних наук, дійсний член НАПН України, професор (Національний педагогічний університет ім. М. Драгоманова), Київ Микола Якович ІГНАТЕНКО, доктор педагогічних наук, професор (Республіканський вищий навчальний заклад «Кримський гуманітарний університет»), Ялта Юрій Іванович МАЛЬОВАНИЙ, кандидат педагогічних наук, член-кореспондент НАПН України, старший науковий співробітник (Президія НАПН України), Київ Микола Олексійович ПЕРЕСТЮК, доктор фізикоматематичних наук, академік НАН України, професор (Національний університет ім. Тараса Шевченка), Київ Микола Вікторович ПРАЦЬОВИТИЙ, доктор фізико-математичних наук, професор (Національний педагогічний університет ім. М. Драгоманова), Київ Олена Іванівна СКАФА, доктор педагогічних наук, професор (Донецький національний університет), Донецьк Ніна Анатоліївна ТАРАСЕНКОВА, доктор педагогічних наук, професор (Черкаський національний університет), Черкаси Тамара Миколаївна ХМАРА, кандидат педагогічних наук, старший науковий співробітник (Інститут педагогіки НАПН України), Київ Василь Олександрович ШВЕЦЬ, кандидат педагогічних наук, професор (Національний педагогічний університет ім. М. Драгоманова), Київ Микола Іванович ШКІЛЬ, доктор фізикоматематичних наук, дійсний член НАПН України, професор (Національний педагогічний університет ім. М. Драгоманова), Київ Василь Васильович ЯСІНСЬКИЙ, кандидат фізикоматематичних наук, професор (Національний технічний університет України «КПІ»), Київ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, молоді та спорту УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ПЕДАГОГІЧНИХ НАУК УКРАЇНИ Державне інформаційно-виробниче підприємство видавництво «Педагогічна преса» Заснований у 1997 р. До 2012 р. журнал виходив у світ під назвою «Математика в школі» Свідоцтво про державну реєстрацію друкованого засобу масової інформації, серія КВ №18310–7110 пр від 25.10.2011 р. Схвалено вченою радою Інституту педагогіки НАПН України (протокол від 23.04.2012 р. № 5)

Зміст

МЕТОДИКА, ДОСВІД, ПОШУК Наталія ЄВТУШЕНКО Загальна культура вчителя математики та її формування в системі післядипломної освіти . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Світлана ПЕТРУСЕВИЧ, Олена ЯКОВЧУК Методичні особливості розв’язування задач на суміші й сплави за допомогою квадрата Пірсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Ірина ГУЛІЄВА Урок-подорож «Сім чудес України» . . . . . . . . 13

ПРОФІЛЬНЕ НАВЧАННЯ Надія ЗАБРАНСЬКА Інтеграл. Формула Ньютона – Лейбніца (урок у профільній школі) . . . . . . . . . . . . . . . 17 Василь КУШНІР, Григорій КУШНІР Автоматизація конструювання ірраціональних рівнянь і нерівностей підвищеної складності . . . . . . . . . . . . . . . . 22

ЗАРУБІЖНИЙ ДОСВІД Олександра ХАРА Королівська математика. Досвід шкільної математичної освіти Норвегії . . . . . . . . . . . 27

Сучасні технології

Олена Скафа, Ольга Павліна Презентація як елемент комп’ютерно орієнтованого уроку математики . . . . . . . . . 35

МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК ЗАПРОШУЄ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ Микола ПИХТАР Про підготовку до контрольної роботи учнів ­– членів Малої академії наук . . . . . . . . . . . . . 39

Вітаємо ювіляра

Учений, педагог, особистість . . . . . . . . . . . . 46 За достовірність фактів, дат, назв тощо відповідають автори. Редакція не завжди поділяє їхні погляди. Листування ведеться на сторінках жур­налу. Рукописи не повертаються. У разі викори­ с­тання матеріалів, поси­лання на журнал є обов'язковим. © Видавництво «Педагогічна преса», 2012 © «Математика в сучасній школі», 2012 Усі права захищено. Жодна частина, елемент, ідея, композиційний підхід цього видання не можуть бути копійованими чи відтвореними у будь-якій формі та будь-якими засобами — як електронними, так і фотомеханічними, зокрема через ксерокопіювання, запис чи комп'ютерне ар­хівування — без письмового дозволу видавця.


2

Методика, досвід, пошук

Загальна культура вчителя математики та її формування в системі післядипломної освіти Наталія ЄВТУШЕНКО — старший викладач кафедри природничо-математичних дисциплін Чернігівського обласного інституту післядипломної педагогічної освіти імені К. Д. Ушинського

Анотація. У статті розглядаються деякі теоретичні аспекти загальної культури вчителів математики. Особлива увага приділяється ролі історії математики у формуванні загальнокультурної компетентності вчителів математики. Ключові слова: загальна культура, педагогічна культура, математична культура, інформаційна культура, учителі математики, слухачі курсів підвищення кваліфікації, формування загальнокультурної компетентності, дистанційний курс, історичні задачі. Наталия ЕВТУШЕНКО. Общая культура учителя математики и её формирование в системе последипломного образования Аннотация. В статье рассматриваются некоторые теоретические аспекты общей культуры учителей математики. Особое внимание уделяется роли истории математики в формировании общекультурной компетентости учителей математики. Ключевые слова: общая культура, педагогическая культура, математическая культура, информационная культура, учителя математики, слушатели курсов повышения квалификации, формирование общекультурной компетентности, дистанционный курс, исторические задачи. Natalia YEVTUSHENKO. The general culture of teachers of mathematics and its formation in the system of postgraduate education Summary. This article deals with some aspects of general culture of mathematics teachers. Special attention is paid to the role of history of mathematics in the forming of their general cultural competence. The article is recommended to teachers in their professional development course. Keywords: general culture, pedagogical culture, mathematical culture, information culture, teachers of mathematics, pedagogues of the in-service teacher training course, the formation of the general competence, distance-learning course, historical tasks. Головним чинником становлення культури суспільства є загальна культура особистості, що розглядається як необхідний комплекс загальнокультурних знань, ціннісних уявлень, універсальних засобів пізнання, мислення, форм практичної діяльності. Саме тому у Державній програмі «Вчитель» важливою визначається проблема поліпшення культурологічної підготовки вчителів. Показником рівня загальної культури вчителя є його загальнокультурна компетентність — професійно значима інтегративна якість особистості, яка поєднує мотиваційно-ціннісний, когнітивний, діяльнісний та емоційний компоненти, що забезпечують єдність загальної і педагогічної культури і визначає здатність суб’єкта включатися в педагогічну діяльність і орієнтуватись у соціокультурному просторі. Упровадженню компетентнісного підходу як одного з провідних напрямів реформування

національної системи освіти присвячені дослідження І.  П.  Ареф’єва, В.  І.  Лозової, О.  В.  Овчарук, О. І. Пометун, С. А. Ракова, С. Л. Троянської, С.  М.  Чистякової, В.  О.  Швеця. Методологічні дослідження ідеї культурологічного підходу в освіті розглянуто у працях: В.  П.  Андрущенка, М.  М.  Бахтіна, В.  С.  Біблера, Е.  В.  Бондаревської, А. Ф.  Лосева, В. С.  Лутая, М. В.  Поповича. Питання формування і розвитку загальнокультурної компететності особистості розкриваються у працях С.  Л.  Троянської, Т.  В.  Єжової, О.  В.  Єгоршиної, Л.  А.  Веселової. Мета статті: розкрити зміст понять «загальна культура» та «загальна культура вчителя математики», а також показати шляхи формування загальнокультурної компетентності вчителів математики в системі післядипломної освіт��. У формуванні культури всього суспільства важливим є розвиток культури кожного його

© Євтушенко Н. В., 2012 «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

Передплатний індекс 74326


Методика, досвід, пошук члена. Розмірковуючи про роль особистості у розвитку суспільства, К.  Ясперс зазначав: «Те, що досягається окремою людиною, насправді не стає загальним надбанням. … Однак те, чим стає одинична людина, опосередкованим чином змінює всіх людей. Людство в цілому здійснює стрибок» [9, 35]. Слід зазначити, що такий «стрибок» найкраще стимулюють особистості з широкою загальнокультурною підготовкою. Загальна культура окремої людини, зокрема і вчителя, не є щось механічно привнесеним ззовні. Особа — не чиста дошка, на якій суспільство пише те, що йому заманеться. В. П. Зінченко справедливо зазначав: «Людина може перебувати в культурі і залишатися поза нею, може бути також порожнім місцем, як для неї культура, дивитися на неї незрячими очима, проходити крізь неї, як крізь порожнечу, не «забрудни тися» і не залишивши на ній своїх слідів» [4, 185]. На сьогодні існує кілька підходів до тлумачення поняття «загальна культура». У вузькому значенні під загальною культурою розуміють загальну культуру поведінки особистості, а саме: культуру почуттів, освіченість, вихованість. У такому розумінні до складових загальної культури вчителя математики дослідники відносять: моральну культуру, естетичну культуру, правову культуру, культуру емоцій та почуттів, культуру взаємин, фізичну культуру [7]. У широкому значенні під загальною культурою розуміють значну частину загальної сукупності результатів людської діяльності. Такого погляду дотримується О.  В.  Картавих: «Загальна культура передбачає комплекс загальнонаукових, загальнокультурних, художньо-естетичних знань, що складають духовно-моральний та інтелектуальний зміст особистості, за допомогою якого визначаються її життєві інтереси» [6]. У статті будемо дотримуватися широкого підходу до розуміння загальної культури. Вважаємо, що загальна культура містить: а) внутрішню культуру, яка визначається власне особистісними, діяльнісними та інтерактивними особливостями людини, вихованими у сім’ї, та системою освіти; б) освіченість як засвоєну сукупність знань, що характеризується системністю, широтою, всебічністю і глибиною. Розглядаючи загальну культуру вчителя математики, вважатимемо її однією з визначальних складових культури вчителя та розумітимемо її як сукупність загальнокультурних знань, ціннісних уявлень, універсальних засобів діяльності, пізнання, мислення, що сприяють взаєморозумінню, взаємодії особистості й суспільства. Загальна культура включає ті етичні, загальноосвітні, релігійні й інші знання, якими має володіти і керуватися у своїй діяльності кожен Передплатний індекс 74326

3

член суспільства, незалежно від його професії. Водночас загальна культура особистості є основою її життєдіяльності. Тому загальну культуру вчителя потрібно розглядати як чинник, що впливає на успішність його педагогічної діяльності, вона тісно пов’язана з педагогічною культурою. В.  О.  Сухомлинський вважав, що педагогічна культура вчителя — це насамперед складова загальної культури людини. Вона неможлива без опанування надбань загальнолюдської культури — наукових, моральних знань та естетичних цінностей. На сучасному етапі розвитку педагогічної думки педагогічну культуру розуміють як інтегровану якість особистості вчителя, що проектує його загальну культуру у сферу професії; це синтез високого професіоналізму та внутрішніх властивостей педагога, володіння методикою викладання та наявність культурологічних здібностей. Педагогічна культура пов’язана з індивідуальними властивостями, природними даними, особливостями психічних процесів. У її структурі дослідники виділяють інтелектуальний, естетичний, моральний, світоглядний та інші компоненти загальної культури вчителя. Учитель з високим рівнем педагогічної культури має розвинуте педагогічне мислення та свідомість, володіє творчим потенціалом. На основі педагогічної культури формуються голов­ ні компоненти педагогічної творчості: • ефективність застосування відомого досвіду в нових умовах; • гнучкість у застосуванні запланованого в несподіваних ситуаціях; • уміння обґрунтовувати інтуїтивні рішення; • уміння фантазувати, бачити ближню, середню і далеку перспективу в роботі; • уміння розвивати ідею, реалізовувати її в конкретних умовах; • бачення варіантів вирішення однієї і тієї самої проблеми; • уміння застосовувати досвід інших, трансформувати рекомендації методичного посібника, теоретичні положення наукової публікації. Отже, педагогічна культура це сукупність загальнокультурних і педагогічних цінностей, професійних знань, умінь, навичок, педагогічної майстерності, необхідних для успішного здійс­ нення навчально-виховного процесу. Крім того, наявність педагогічної культури передбачає засвоєння вчителем системи знань про моральнопсихологічну сутність особистості як вищу цінність, а також сформованість у нього міцної власної позиції, що полягає в чуйному, терплячому, поблажливому ставленні до людини взагалі і до конкретної індивідуальності зокрема. Відомий учений-математик Ніна Опанасівна Вірченко до загальнолюдської культури відносить «Математика в сучасній школі», № 5, 2012


4

Методика, досвід, пошук

також математичну культуру, а володіння основними математичними знаннями вважає ознакою високої кваліфікації в більшості галузей знань, пояснюючи це широким застосуванням математики в техніці, природознавстві та в інших науках. Загальне значення математики дослідниця вбачає: • у вивченні математичних структур; • в опануванні математичної мови; • у набутті навичок математичного моделювання; • в оволодінні основними методами моделювання [1, 234]. До загальної культури вчителя математики ми також віднесемо володіння основними математичними знаннями. Підтримуючи погляд В.  І.  Трофименко [8], можна зазначити, що фактично математична культура є частиною загальної культури і ядром професійної культури спеціаліста, в даному випадку – вчителя математики. Термін «математична культура» використовується для того, щоб зазначити, яким чином особистість оволодіває таким знанням, як математика, і як математика може впливати на внутрішній світ особистості. У сучасному інформаційному світі не можна говорити про високий рівень загальної культури вчителя математики без урахування рівня його інформаційної культури. Найбільш повно схарактеризував цей вид культури М.  І.  Жалдак: «Основи інформаційної культури мають методологічний, світоглядний, загальноосвітній та загальнокультурний характер, що виявляється у використанні в загальній практиці універсальних процедур пошуку, обробки та подання інформації на базі відповідної системи наукових понять, принципів та законів як необхідних чинників системно-цілісного пізнання та відображення об’єктивної реальності та пов’язаного з такою системою фактографічного матеріалу (бази даних, бази знань тощо), і мають формуватися в процесі вивчення комплексу всіх навчальних дисциплін» [3]. У дисертаційному дослідженні О.  П.  Значенко [5] виділяє такі складові інформаційної культури вчителя: • технічна складова спирається на знання архітектури персонального комп’ютера, характеристик базових і допоміжних периферійних пристроїв та вміння й навички їх використовувати; • системна складова визначається знаннями характеристик операційної системи, їх призначення та складових, об’єктів та елементів управління та відповідними вміннями й навичками; • програмна складова передбачає оволодіння основами роботи з прикладним програмним забезпеченням загального призначення; «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

• гігієнічно-ергономічна складова передбачає знання санітарних умов і режимів безпечного використання комп’ютерів і стандарти, яким має відповідати комп’ютерна техніка, що використовується у навчальному процесі; • навчальна складова передбачає оволодіння педагогічними програмними засобами (ППЗ) навчального призначення з математики; • методична складова, підготовленість до використання ІКТ, яка базується на сформованості загальних, спеціальних і конкретних методичних умінь, що спираються на знання, вміння та навички, одержані при вивченні педагогіки, психології та методики навчання дисциплін. Таким чином, у педагогічній, математичній та інформаційній культурі учителя математики, як і в культурі взагалі, можна виділити загальнокультурну компоненту (мал. 1).

²í ôî ðì àö³éí à êóëüòóðà Ï åäàãî ã³÷í à êóëüòóðà

Ì àòåì àòè÷í à êóëüòóðà

Мал. 1

Вона виявляється у здатності вчителя успішно жити у соціумі в цілому, наприклад в інформаційному просторі, а також ефективно використовувати у професійній діяльності та поза нею набуті ключові та предметні (педагогічні, математичні та інформаційні) компетентності. Загальнокультурна діяльність припускає здатність особистості цілеспрямовано й ефективно використовувати загальні поняття з математики та педагогіки, користуватися новими інформаційними та комунікаційними технологіями як у професійній діяльності, так і повсякденному житті. До критеріїв оцінки ефективності формування загальної культури відносять: • мотивацію та інтерес до навчальної і професійної діяльності; • творчу ініціативу; • пізнавальну активність у практичній діяльності; • раціональну організацію вільного часу; • інтерес до загальнокультурних, професійних, естетичних цінностей, що представляють у цілому культуру особистості і становлять новий аспект ціннісної орієнтації [6]. Найбільший вплив на підвищення рівня загальної культури мають чинники, що характеризують культуру діяльності, культуру спілкуПередплатний індекс 74326


Методика, досвід, пошук вання, культуру мислення, культуру організації свого життя, культуру мови. Особистісним показником рівня розвитку загальної культури вчителя є його загальнокультурна компетентність — багатофункціональна трансферабельна (що має можливість «перенесення» на іншу ситуацію, контекст) сукупність знань, умінь та ставлень, яких потребують усі індивідууми для особистісної діяльності (розвит­ ку), інтеграції у суспільство та для хорошого працевлаштування. Загальнокультурна компетентність важлива для багатьох сфер життєдіяльності, є складовою успішного життя особистості та добре функціонуючого суспільства. Формується вона поступово у процесі навчання в закладах різних рівнів і є основою для навчання протягом усього життя. Загальнокультурна компетентність фахівців визначається як: • інтегративна здатність особистості, що зумовлена досвідом освоєння культурного простору, рівнем навченості, вихованості й розвитку та орієнтована на використання культурних еталонів як критеріїв оцінки під час розв’язування проблем навчального, світоглядного, життєвого, професійного характеру; • загальнокультурний кругозір, культура мови, комунікативна культура, а також знання із суміжних предметів, які необхідні для реалізації міжпредметних зв’язків; • професійно значима інтегративна якість особистості, що поєднує мотиваційно-ціннісний, когнітивний, діяльнісний та емоційний компоненти, які забезпечують єдність загальної і педагогічної культури і визначають здатність суб’єкта включатися в педагогічну діяльність. У зв’язку з тим, що розвиток особистості відбувається протягом усієї професійної діяльності, актуальним постає питання розвитку загальнокультурної особистості вчителя математики протягом усього життя та, зокрема, створення педагогічних умов під час проходження курсів підвищення кваліфікації у системі післядипломної освіти. Загальновідомо, що кожен учитель є компетентним не сам по собі, а стосовно реалізації тих зовнішніх функцій, які він виконує в суспільстві, тобто вчителем якого фаху він є і які педагогічні функції виконує. Зовнішній вияв залежить від внутрішньої індивідуальної структури компетентності, яка є конгломератом знань, когнітивних умінь, маніпуляційних навичок, мотивації, моральних та етичних цінностей, інтересів, ставлень, емоцій та інших соціальнопсихологічний компонентів, що мобілізуються разом для ефективної дії. Таким чином, до внутрішньої структури загальнокультурної компетентності вчителя маПередплатний індекс 74326

5

тематики належать когнітивні, психомоторні, емоційні, мотиваційні, соціальні, етичні та поведінкові компоненти. Властивості та характеристики вчителя, такі як знання, когнітивні вміння, практичні навички, ставлення, емоції, цінності, етичні погляди, мотивація тощо є основою потенціалу загальнокультурної компетентності. Залежно від характеру зовнішніх вимог (фаху вчителя) та контексту (педагогічних умов, у яких розвивається особистість) частина цього потенціалу компетентності людини мобілізується для активної дії — виникає виявлена компетентність. За різних умов, у різному контексті в однієї людини мобілізуються, активізуються різні властивості. Навпаки, для реалізації однакових вимог у різних однаково компетентних осіб може мобілізуватися різний «набір» властивостей для реалізації компетентності. Загальнокультурна компетентність вчителя математики насамперед характеризується рівнем сформованості математичної культури вчителя, що має бути достатнім для здійснення самоосвіти та самостійних суджень стосовно математичних уявлень. Це професійно значима інтегративна якість особистості, яка поєднує загальну і педагогічну культуру, визначає здатність учителя математики включатися в педагогічну діяльність, орієнтуватися в сучасному соціокультурному просторі та адаптуватися до змін, що відбуваються в математичній освіті. Важлива роль у розв’язуванні проблеми розвитку загальної культури вчителів відводиться системі післядипломної педагогічної освіти як ланці освіти, що ставить за мету задоволення індивідуальних потреб громадян в особистісному та професійному зростанні; забезпечення потреб держави у кваліфікованих кадрах високого рівня професіоналізму та культури. Для того щоб правильно визначити перспективи подальшого зростання вчителя, напрями, засоби, форми підвищення його кваліфікації й побудувати індивідуальну траєкторію розвитку, необхідно створити відповідні педагогічні умови, вивчити шлях його становлення як професіонала, рівень досягнутої майстерності, виявити можливі недоліки в діяльності, розробити персонал-технологію кожного педагога. Такі умови для постійного розвитку особи­ стості вчителя створює післядипломна освіта, що є джерелом постійного зростання інтелектуального і духовного потенціалу вчителів. Метою саме післядипломної освіти окрім забезпечення умов для постійного підвищення кваліфікації фахівців безперервного розвитку їхнього потенціалу є розвиток інтелектуального та загальнокультурного рівнів кожного спеціаліста впродовж усього життя. «Математика в сучасній школі», № 5, 2012


6

Методика, досвід, пошук

Система післядипломної педагогічної освіти надає можливість учителю математики підвищувати не лише рівень математичної культури, а й розвивати його інформативну культуру. Особливо це стосується вчителів, які закінчили вищі навчальні заклади понад 10 років тому. На курсах підвищення кваліфікації вчителі математики навчаться (або удосконалять навички) здійснювати такі дії: • обмін інформацією з іншими вчителями математики або адміністрацією через комп’ютерну мережу; • систематичне заповнення електронного журналу школи для своїх учнів і їх батьків, а також адміністрації школи; • організацію участі учнів школи в телекомунікаційних проектах: олімпіадах, вікторинах, конкурсах, фестивалях тощо з математики; • використання комунікаційних програмних продуктів у навчальному процесі з математики, наприклад програму NetMeeting, що входить у систему Windows і має цікаві для педагога можливості; • створення і підтримку свого авторського ресурсу в мережі Інтернет з метою здійснення елементів дистанційного навчання; • регулярний комп’ютерний контроль знань учнів з математики за рахунок використання готових програм для тестування і складання своїх власних; • програмування процедурних понять шкільної математики; • створення авторських мультимедійних презентацій для демонстрації на великому екрані ключових моментів навчального матеріалу з математики на етапі його пояснення. В основу підвищення кваліфікації, перепідготовки фахівців та інших форм післядипломної освіти закладаються прогресивні технології, які стимулюють зацікавлене ставлення слухачів до теоретичних знань та передового досвіду, відбивають у формах і методах навчання цілісний і загальний зміст професійної діяльності, сприяють засвоєнню ефективних способів вирішення фахових проблем. Одним зі шляхів для розвитку загальної культури вчителів математики у системі післядипломної освіти є використання дистанційних технологій навчання. Саме дистанційне навчання у закладах післядипломної освіти надає слухачам можливість здобувати якісні знання, уміння та навички відповідно до обраної навчальної програми без відриву від виконання ними професійних обов’язків за місцем їх проживання або тимчасового перебування. Розроблений нами дистанційний курс «Культура вчителя математики» був створений на засадах інтеграції вимог до загальних і фахових компетенцій учителів. Мета курсу — сприяти «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

розвитку загальнокультурної компетентності вчителів засобами історії математики з використанням дистанційних технологій, а також підвищення фахового, інтелектуального і культурного рівнів слухачів на основі розвитку творчого потенціалу особистості. Завдяки використанню вищезгаданого курсу розв’язуються такі завдання: • мотивація розвитку особистісних характеристик учителями на основі загальнокультурних аспектів освітньої і предметної діяльності; • систематизація вже існуючих та здобуття нових знань про культуру, діяльність, загальнокультурну компетентність; • навчання слухачів найбільш продуктивним засобам розвитку і самовиховання загальнокультурної компетентн��сті; • розширення можливостей доступу вчителів математики до якісного навчання за програмами післядипломної освіти завдяки застосуванню дистанційних технологій; • індивідуалізація процесу навчання відповідно до потреб, особливостей і можливостей слухачів; • підвищення ефективності навчання слухачів шляхом застосування сучасних психологопедагогічних та інформаційно-комунікаційних технологій; • забезпечення контролю якості засвоєння слухачами знань із застосуванням комп’ютерних програм для тестування. Результатом навчання в умовах електронного дистанційного курсу стають роботи вчителів, які користуються попитом під час викладання математики і виправдовують спільні зусилля викладачів та слухачів курсів підвищення кваліфікації. Наприклад, навчально-методичний посібник «Історичні задачі як засіб формування і розвитку загальнокультурної компетенції» [2] буде корисним учителям математики, які у професійнопедагогічній діяльності використовують мультимедійний комплекс. У посібнику розкриваються особливості компетентнісного підходу до викладання математики у середніх загальноосвітніх закладах. Запропонований матеріал базується на безпосередньому застосуванні міжпредметних зв’язків історії, математики та інформатики і спрямований на формування й розвиток загальнокультурної компетентності учнів. Даний посібник містить більше 50 історичних задач, що належать до різних історичних епох. Збережені історією, створені відомими математиками або іншими історичними особами, з давніх підручників і трактатів, журналів та інших друкованих джерел, а також із математичних фольклорів різних народів, задачі є своєрідною історичною пам’яткою, що дає можливість сучасникам оцінити рівень розвитку математики в різні часи. Передплатний індекс 74326


Методика, досвід, пошук Задачі, різноманітні за змістом і ступенем складності, вони об’єднані за тематикою і розділами відповідно до чинних програм з математики. Їх можна використовувати під час фронтальної, групової та індивідуальної роботи з учнями. Учитель на свій розсуд може використовувати їх під час підготовки до вивчення нового матеріалу, первинного ознайомлення, закріплення, ліквідації прогалин у знаннях учнів, для формування умінь і навичок застосовувати здобуті знання у подібних та нових ситуаціях. Щоб полегшити працю вчителя, після кожної задачі подані розв’язання, рекомендації та відповіді. Для надання наочності та інтерактивності більшість задач має електронний супровід, здійснений на основі програмного продукту Macromedia Flash Professional (версія 8.0). Наприклад, до задачі Архімеда подається анімація, за допомогою якої відбувається перетворення бічної поверхні циліндра у рівновеликий круг. 1. Задача Архімеда. Бічна поверхня довільного прямого циліндра рівновелика кругу, радіус якого є середнім пропорційним між стороною (твірною) циліндра і діаметром його основи. Розв’язання. Якщо взяти відрізок x так, що H : x = x : 2R, де H – твірна циліндра, R — радіус основи, то x2 = 2RH. Площа круга радіуса x дорівнює Sk = πx2 = 2  πRH. Одержаний вираз дає бічну поверхню даного прямого циліндра. Електронний супровід подано на малюнках 2 і 3.

7

2. Задача з «Арифметики» Л. Ф.  Магни­ цького. Купець купував олію. Коли він давав гроші за 8 бочок олії, то у нього залишилося 20 алтинів. Коли ж став давати за 9 бочок, то не вистачило півтора рубля з гривнею. Скільки грошей було у купця? За допомогою гіперпосилання можна швидко відкрити «Довідку». 1 рубль = 10 гривень, 1 гривня = 10 копійок, 1 алтин = 3 копійки. Розв’язання. Нехай бочка коштує х руб. Тоді 8х + 0,6 = 9х – 1,6, звідси х = 2,2 руб. До покупки в нього було 2,2 ⋅ 8 + 0,6 = 18,2 руб. Відповідь. У купця було 18 рублів і 2 гривні. Електронний супровід подано на малюнках 4 і 5.

Мал. 4

Мал. 2

Мал. 5

Мал. 3 Передплатний індекс 74326

Останній розділ посібника присвячений безпосередньо методиці створення електрон­ного супроводу до задач з використанням інформа­ ційно-комунікаційних технологій на базі програми Macromedia Flash Professional (версія 8.0), що дає змогу самостійно працювати у цій програмі «Математика в сучасній школі», № 5, 2012


8

Методика, досвід, пошук

та створювати власне програмне забезпечення для своїх уроків. Це доречно, оскільки головною дійовою особою залишається вчитель, його власна потреба і готовність до постійної самоосвіти у сфері інформаційно-комунікаційних технологій та прагнення до використання сучасних форм, методів і засобів навчання. Електронну версію деяких задач презентовано на сайті «Історична мозаїка в математиці» (режим електронного доступу — http://ist-matemat. at.ua, мал. 6), який також було створено слухачем групи підвищення кваліфікації вчителів, учителем математики та інформатики спеціалізованої загальноосвітньої школи №  2 І — ІІІ ступенів з поглибленим вивченням іноземних мов м. Чернігова О.  І.  Коваленко разом з її учнями.

Мал. 5

Сайт містить багато цікавої інформації з історії математики. Меню сайта має такі рубрики: «Методична скарбничка», «Видатні математики», «Математичні кросворди», «Історичні задачі», «Ребуси», «Відео», «Математичний словник», «Софізми, парадокси», «Крилаті вислови», «Старі російські міри». Сайт має форум та зворотний зв’язок з відвідувачами. Ведеться опитування за такими запитаннями. І. Чи доводилося Вам використовувати знання, здобуті на уроках математики поза межами уроків? ІІ. Яка сторінка на сайті Вас найбільше зацікавила? Хоча сайт існує порівняно недавно, на сьогоднішній день він має 74 614 відвідувань. Основне призначення сайта — пропагувати математику, надати допомогу вчителеві під час підготовки цікавих уроків і позаурочних заходів, доступну і цікаву інформацію школярам і студентам про математику та історію математики. Найбільш яскравою частиною сайта є розділ «Історичні задачі», де можна переглянути фрагменти анімаційного збірника «Історична мозаїка в математиці», в якому розв’язано понад 20 відомих історичних задач. Сайт відкритий до спілкування і обміну інформацією, його автори запрошують усіх бажаючих стати співавторами та розмістити свої матеріали, які містять історичний матеріал та сприятимуть «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

розвитку та формуванню загальнокультурної компетентності вчителів та учнів. Учитель сучасної школи має вільно і швидко інтегруватися в широкий світовий соціокультурний простір та адаптуватися до змін, які постійно супроводжують педагогічну діяльність. Швидкий і багатоаспектний розвиток учнів основної школи та профільність старшої школи вимагають від учителя глибоких знань предмета, високого рівня професійних умінь, широкого кругозору тощо. Усі ці якості певною мірою формуються у майбутніх учителів під час навчання у вищому навчальному закладі. Але для їх покращення та розвитку потрібна цілеспрямована робота вчителя — як самостійна, так і в умовах системи післядипломної освіти. Необхідно створити умови, що сприятимуть виникненню бажання вчителя до інноваційної педагогічної діяльності, вдосконалення його професійної компетентності. Виникає необхідність у відпрацюванні індивідуальних, інноваційнорефлексивних форм підвищення кваліфікації, що орієнтують педагогів на пізнання і переосмислення власного педагогічного досвіду, на створення і розвиток власних педагогічних систем, індивідуального стилю педагогічної діяльності, що неможливе без розвитку загальної культури педагога та підвищення рівня загальнокультурної компетентності.

ЛІТЕРАТУРА 1. В і р ч е н к о Н. О. Нариси з методики викладання вищої математики. — К., 2006. — 396 с. 2. Є в т у ш е н к о Н. В., К о в а л е н к о О. І. Історичні задачі як засіб формування і розвитку загальнокультурної компетенції. Навчально-довідковий посібник. — Чернігів: ЧОІППО ім. К.Д.Ушинського, 2011. — 47 с. 3. Ж а л д а к М. И. Система подготовки учителя к использованию информационной технологии в учебном процессе. — Дис. доктора пед. наук. — М.: 1989. — 48 с. 4. З и н ч е н к о В. П. Живое знание: Психологическая педагогика. — Самара: СГПУ РАВ, 1998. — 256 с. 5. З н а ч е н к о О. П. Формування інформаційної культури майбутніх учителів гуманітарних дисциплін: Дис. … канд. пед. наук.: 13.00.04 / НПУ ім. М. П. Драгоманова. — К., 2005. 6. К а р т а в и х О. В. Аксіологічні основи формування загальної культури студентів вищих технічних навчальних закладів: Дис... канд. пед. наук: 13.00.04 / Харківський держ. пед. ун-т ім. Г. С. Сковороди. — Харків, 2002. — 188 с. 7. М и х а л і н Г. О. Професійна підготовка вчителя математики у процесі навчання математичного аналізу. — К.: РННЦ «ДІНІТ», 2003. — 320 с. 8. Т р о ф и м е н к о В. І. Формування математичної культури студентів технічного університету в умовах подальшого впровадження кредитно-модульної системи навчання. — [Електроний ресурс]. — Режим доступу: http://www.ii.npu.edu.ua/files/Zbirnik_ KOSN/10/30.pdf. 9. Я с п е р с К. Смысл и назначение истории: пер. с нем. — М.: Политиздат, 1991. — 527 с. Передплатний індекс 74326


Методика, досвід, пошук

9

МЕТОДИЧНІ ОСОБЛИВОСТІ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА СУМІШІ Й СПЛАВИ ЗА ДОПОМОГОЮ КВАДРАТА ПІРСОНА Світлана ПЕТРУСЕВИЧ — учитель математики вищої кваліфікаційної категорії ЗНЗ № 29 м. Чернігова; Олена ЯКОВЧУК — учитель математики вищої кваліфікаційної категорії ЗНЗ № 29 м. Чернігова

Постановка проблеми. Світ вимагає від людини мобільності у вирішенні проблем. Це спонукає до пошуку раціональних способів їх розв’язування. Тому одним із завдань учителя математики є ознайомлення учнів з різноманітними способами розв’язування навчальних задач та навчання вибору з них найраціональніших, у тому числі й на інтеграцію наукових знань. Актуальність поставленої проблеми. Серед різноманітних навчальних задач, які розв’язують у шкільному курсі математики, особливе місце посідають задачі на суміші й сплави. Їм приділяють велику увагу і в основ­ній, і в старшій школі. Зазначимо, що даний клас задач є типовим як для Державної підсумкової атестації за дев’ятий клас, так і для зовнішнього незалежного оцінювання. Даний тип задач пропонується учням на уроках хімії, може трапитися у повсякденному житті і ча­сто викликає у школярів значні труднощі. Крім того, навчаючи розв’язувати задачі на суміші і сплави, учитель розвиває в учнях мобільність, уміння продуктивно діяти в ситуації невизначеності тощо. Тому обрана проблема є актуальною. Аналіз публікацій з проблеми дослідження. Огляд чинних підручників та посібників з математики говорить про те, що задачі на суміші і сплави є типовими як для підручників, так і для різноманітних додаткових матеріалів. У цих книжках даний клас задач розв’язується лише за допомогою введення рівнянь або їх систем. Цікаві способи розв’язування задач на суміші і сплави використовувалися в давнину. Так, у відомій «Арифметиці» Л. Ф. Магницького розглядаються задачі про змішування і сплави двох і трьох речовин. Як змішувати олію? В одного чоловіка була для продажу олія двох сортів: вартість однієї — 10 грн. за відро, а другої — 6 грн. за відро. Скільки частин кожної олії потрібно взяти, щоб отримати відро олії вартістю 7 грн.?

Старовинний спосіб розв’язування цієї задачі подано в [6]. Він полягає у використанні схеми, що утворюється у такий спосіб: • одне під одним пишуться значення вартості кожної олії; • ліворуч від них — вартість олії, яку хочуть отримати після змішування; • меншу ціну віднімаємо від ціни змішаної олії, а результат записуємо праворуч від більшої ціни; • від більшої ціни віднімаємо ціну змішаної олії, а результат записуємо праворуч від меншої ціни. 7

6 10

3 1

Отримана схема дає можливість зробити висновок: дешевої олії потрібно взяти втричі більше, ніж дорогої. Отже, щоб отримати відро олії вартістю 7 грн., потрібно взяти 3

1 відра олії за 4

10 грн. і відра олії вартістю 6 грн. 4 Пізніше задачі на суміші й сплави розв’язу­ ва­лися за допомогою дещо іншої, зручнішої, але ідейно подібної схеми, — так званого квадрата Пірсона [1]. Підкреслимо, що у жодному чинному підручнику з математики, які рекомендовано до використання в середній школі, нестандартні способи розв’язування таких непростих задач на суміші й сплави, не використовуються. Мета статті — розкрити методичні особливості розв’язування задач на суміші й сплави за допомогою квадрата Пірсона. Виклад основного матеріалу. Задачі на суміші й сплави є типовими для шкільних підручників. Розглянемо, наприклад, задачу № 1114 з підручника алгебри для 7 класу (авт. О. С. Істер). В одному сплаві міститься 9 % цинку, а в другому – 24 % цинку. Скільки треба взяти від першого і скільки – від другого сплаву, щоб, сплавивши їх, одержати 260 г сплаву, що містить 15 % цинку?

© Петрусевич С. І., Яковчук О. М., 2012 Передплатний індекс 74326

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


10

Методика, досвід, пошук

Ця задача віднесена автором підручника до високого рівня складності й пропонується в розділі «Розв’язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь». Проілюструємо її умову і розв’язання. І спосіб. Якщо через х г позначити масу першого сплаву, яку треба взяти, а через y г — масу, відповідно, другого сплаву, то перше рівняння системи отримуємо за умови, що маса нового сплаву має становити 260 г, тобто x + y = 260. Для того щоб скласти друге рівняння системи, знайдемо масу чистого цинку в новому сплаві, а саме: 0,15 ⋅ 260 = 39 (г). Оскільки маса чистого цинку у першому сплаві 9 %, то в новому сплаві його буде 0,09х (г). Аналогічно, маса чистого цинку з другого сплаву — 0,24у (г). Маємо друге рівняння системи: 0,09х + 0,24у = 39. Отже, слід розв’язати систему рівнянь:

260, x + y =  39. 0, 09x + 0, 24 y = Звичайний метод підстановки дає результат: х = 156 (г); у = 104 (г). Цю саму задачу можна розв’язати за допомогою звичайного рівняння. ІІ спосіб. Якщо за х г так само позначити масу першого сплаву, яку потрібно взяти, то масу другого сплаву можна знайти як (260 – х) г. Тоді при визначенні маси чистого цинку в новому сплаві аналогічно до попереднього розв’язання отримаємо рівняння: 0,09х + 0,24(260 – х) = 39. Розв’язання цього рівняння дає аналогічний результат. Схожі задачі трапляються і в підручниках для сьомого та дев’ятого класів, як для звичайних, так і для класів з поглибленим вивченням математики. Усі ці задачі пропонуються учням у розділах «Розв’язування задач за допомогою рівнянь або систем рівнянь». Проте у журналі «Квант» [2] запропоновано інший спосіб розв’язування задач на суміші й сплави. Він полягає у використанні так званого «квадрата Пірсона». Розглянемо вищезгадану задачу і на її даних продемонструємо зазначений спосіб. ІІІ спосіб. Побудуємо квадрат, проведемо його діагоналі, в лівому верхньому куті проставимо більший відсотковий вміст цинку в сплаві (24  %), а нижньому — відсотковий вміст іншого сплаву (9  %). На перетині діагоналей квадрата проставляємо відсотковий вміст шуканого сплаву (15  %). Після цього виконуємо віднімання відсоткових вмістів по діагоналях квадрата (від більшої величини — меншу): 24 – 15 = 9, 15 – 9 = 6. 69

24

6 9

15 9

9

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012

= 32

Перше число записуємо у правому нижньому куті квадрата, друге — у верхньому. Таким чином, отримуємо кількість частин першого та другого сплаву, які треба взяти, щоб отримати шуканий сплав, тобто 6 і 9 або 2 та 3 частини. Для отримання маси кожного сплаву загальну масу шуканого сплаву поділимо на загальну кількість частин (3 + 2 = 5) : 260 : 5 = 52 (г) — це маса однієї частини. Тоді першого сплаву потрібно взяти 52 ⋅ 3 = 156 (г), а другого — 52 ⋅ 2 = 104 (г). Для доведення справедливості вищезазначеного способу розглянемо наведену задачу в загальному випадку. Нехай дано дві суміші (або сплави), один з яких містить a % певної речовини, а другий — b % тієї самої речовини. Необхідно знайти: скільки першої суміші (за масою) і скільки другої суміші треба взяти, щоб отримати суміш масою m з відсотковим вмістом даної речовини с %. Розв’яжемо цю задачу двома способами: за допомогою рівняння та за допомогою квадрата Пірсона. Перед початком розв’язання позначимо: х = с – b, у = а – с. Таким чином, х + у = a – b. І спосіб. Нехай z — маса першої суміші для утворення нової, тоді (m – z) — маса другої суміші. Вміст чистої речовини в новій суміші можна подати так:

a 100

b ( m − z) =c m . Розв’язком z + 100 100 c−b

цього рівняння= є: z = m x +x y m . a−b ІІ спосіб. Складемо квадрат Пірсона: як правило, у верхньому лівому куті записують відсотковий зміст речовини тієї суміші (або сплаву), яка має більшу концентрацію даної речовини, а в нижньому — відповідно меншу. a

x

Маса першої суміші становить x x+ y

c b

y

m,

відповідно другої —

y x+ y

m.

Як бачимо, результат і в першому, і в другому випадку однаковий. Проте, другий спосіб значно простішій за обчисленням, ніж перший. Цей спосіб засновано на специфічному вигляді кількості суміші, яка отримується (тобто в результаті розв’язування задачі ми отримуємо не масу кожної суміші, а відношення мас даних сумішей). Ця кількість дорівнює різниці концентрацій шуканої суміші та вихідних речовин. Таке припущення можливе, оскільки нас цікавлять не абсолютні величини, а відносні кількості двох частин суміші. Чистої речовини в ній буде:

x⋅a y⋅b = + 100 100

( c − b)a − ( a − c)b = 100

ac − bc 100

частин, а відсотковий вміст суміші дорівнює: ac − bc 100( a − b)

c , тобто с %. = 100 Передплатний індекс 74326


Методика, досвід, пошук Задачі подібного змісту зустрічаються у підручниках з алгебри для 7—9 класів, як для звичайних, так і для класів з поглибленим вивченням математики. Вони часто трапляються у збірниках завдань для абітурієнтів, безпосередньо у тестах ЗНО, у збірниках завдань для державної підсумкової атестації з математики (9 клас) тощо. Наведемо кілька прикладів розв’язання таких задач із різних джерел. Задача 1. Маємо два водно-сольових розчини. Концентрація солі в першому розчині становить 0,25, а в другому — 0,4. На скільки більше треба взяти кілограмів одного розчину, ніж другого, щоб отримати розчин масою 50 кг, концентрація солі в якому — 0,34. Складемо квадрат Пірсона за умовою задачі: 9 6

= 32 . Отже, 50 кг нового розчину солі становлять 5 частин, тоді першого розчину треба взя34 ти 20 кг, а другого — 30 кг, тобI 6 то другого розчину треба взяти 25 на 10 кг більше, ніж першого. Відповідь: 10 кг. Задача 2. Молода домогосподарка вичитала у кулінарній книжці, що нормальний суп має містити не більше 0,5 % солі. Однак, у 2-літрову каструлю вже було покладено стільки солі, що її вміст становив 2 %. Яку мінімальну кількість літрів води потрібно долити у те, що має бути супом, щоб дотриматися пор��ди кулінарів? II

9

40

А 8

Б 3 0,5

2

I 2ë

В 5

0,5 II ? ë

1,5

0

Г 4

Д 6

0,5 : 1,5 = 5 : 15 = 1 : 3, отже, кількість 2  % розчину відноситься до кількості води, яку потрібно долити, як 1 : 3, тобто долити потрібно 2 л ⋅ 3 = 6 (л).

Відповідь: Д. Задача 3. 50 %-й розчин змішали з 20 %-й розчином, об’єм якого вдвічі менший, ніж 50 %-го. Знайти концентрацію суміші. А

Б

В

Г

Д

30 %

40 %

35 %

45 %

42 %

y − 20

50 y 20

y − 20

2 , оскільки об’єм друго= 50 = −y 1 го розчину вдвічі менший, ніж 50− y першого, звідки у = 40 %.

Відповідь: Б. Інколи даний метод допомагає обчислити лише додаткові дані, без яких подальше розв’я­ зан­ня задачі є ускладненим. Задача 4. Є сталь двох сортів, один з яких містить 5 %, а інший – 10 % нікелю. Скільки тон кожного сорту потрібно взяти, щоб отримати Передплатний індекс 74326

I

10

3

I II

150

3 2

11

сплав, що містить 8 % нікелю, якщо нікелю у сталі 2-го 8 сорту на 4 т більше, ніж у 1-го?

= 32

8 III

3 2

150

Тобто 8дані сорти сталі потрібно взяти у відношенні 3 : 2, або II 0,05 5 ⋅ 2х +24 = 0,1 ⋅ 3х; х = 20 тонн на одну частину. І — 2 ⋅ 20 = 40 (тонн); ІІ — 3 ⋅ 20 = 60 (тонн). Відповідь: 40 т, 60 т. Задача 5. Два метали містяться у кожному з двох сплавів. У першому сплаві вони знаходяться у співвідношенні 1 : 2, а у другому — 3 : 2. У якому співвідношенні потрібно взяти частини цих сплавів, щоб отримати новий сплав з відношенням металів 8 : 7? Перший метал у першому зі сплавів становить 1 частину з (1 + 2) = 3 частин, тобто 1 сплаву, а 3

перший метал у другому сплаві відповідно 3 . У 5

новому ж сплаві згаданий метал має становити 8 частин з 15. Складемо квадрат Пірсона: I

1 3

1 15

3 1 1 , отже, сплави потріб= 15 = : 15 3 но взяти у відношенні 1 : 3.

8 15

II

3 15

3 5

Відповідь: 1 : 3. Задача 6. Маємо два сплави золота і срібла. В одному сплаві кількості цих металів відносяться як, 1 : 2, а у другому, — як 2 : 3. Скільки грамів кожного сплаву треба взяти, щоб дістати 38 г сплаву, в якому золото і срібло були б у співвідношенні 7 : 12? 9 , отже, всього 9 + 10 = 3 : 2 3 = = 95 57 10 95 = 19 частин, що за умовою 38 г, 7 19 отже, на одну частину спла2 2 ву припадає 38 : 19 = 2 г, тоді II 57 5 9 ⋅ 2=18 (г) — маса першого сплаву; 10 ⋅ 2 = 20 (г) — маса другого сплаву. Відповідь: 18 г, 20 г. Задача 7. Є два розчини кислоти різної концентрації. Об’єм одного – 4 л, а другого – 6 л. Якщо ж їх змішати, то отримаємо 35 %-й розчин кислоти. Якщо ж змішати рівні об’єми розчинів, то отримаємо 36 %-й розчин. Скільки кислоти міститься у початкових розчинах?

I

1 3

x

|y − 35| 4 6

35 6ë

y

|y − 35|

= |x − 35|

|x − 35| «Математика в сучасній школі», № 5, 2012


Методика, досвід, пошук

12 Î Ä Í À Ê Î Â ²

x

|y − 36| 1 1

36 y

|y − 36|

= |x − 36|

|x − 36|

х < y, тобто х < 36 < y

х > у

4(35 − x) = 6( y − 35),  36 − x = y − 36;

4( x − 35) = 6(35 − y),   x − 36 = 36 − y;

 y = 31.   x = 41;

 x = 39%;   y = 33%.

Оскільки за правилом побудови квадрата Пірсона x > y, то розв’язок, де х < у, нас не задовольняє. Відповідь: 39 %, 33 % Задача 8. Є три зливки. Маса першого – 5 кг, другого 3 кг, кожен з них містить 30 % міді. Якщо I зливок сплавити з ІІІ, то отримаємо сплав, що містить 56 % міді, а якщо ІІ з ІІІ — 60 % міді. Знайти масу ІІІ зливка та концентрацію міді в ньому. І — 5 кг 30 % ІІ — 3 кг 30 % ІІІ — х кг у % ²

5 êã

y − 56

30 56

²²² ²I

x êã

y

26

3êã 30

y − 60 60

²²²

x êã

y

30

 y − 56 = 5 ,  26 x  y − 60  = 3x ;  30

 x = 10,   y = 69.

Відповідь: маса ІІІ зливка 10 кг, а його концентрація – 69 %. Щоб відпрацювати навички використання квадрата Пірсона для розв’язування задач на суміші та сплави, пропонуємо самостійно розв’язати цим способом відомі задачі. 1. Сплав міді й цинку, що містить 2 кг міді, сплавили з 6 кг міді. Отримали сплав, у якому відсоток міді на 30  % більший, ніж у поперед­н ьому. Якою була маса початкового сплаву? 2. Сплав міді й цинку масою 36 кг містить 45  % міді. Яку масу міді потрібно додати до цього сплаву, щоб отриманий новий сплав мі­ стив 60  % міді? 3. З двох розчинів солі — 10-відсоткового і 15-відсоткового — треба утворити 40 г 12-відсоткового розчину. Скільки для цього слід узяти кожного розчину? «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

4. У двох сплавах мідь і цинк відносяться як 5 : 2 і 3 : 4. На скільки кілограмів одного зі сплавів треба взяти більше, щоб одержати 28 кг нового сплаву з рівним вмістом міді й цинку? 5. Для маринування огірків рекомендовано використовувати 12  %-й розчин оцтової кислоти. На складі консервного цеху є 20  %-й і 5  %-й розчини цієї кислоти. У якому відношенні слід взяти ці розчини, щоб отримати маринад для огірків? 6. При переробці молока жирністю 5,8 % отримують сир та сироватку жирністю відповідно 19,33 % и 0,63 %. Скільки кілограмів сиру отримують під час переробки 18,7 кг молока? Висновки. На нашу думку, застосування квадрата Пірсона допомагає значно спростити розв’язування задач на суміші й сплави. Крім того, слід зазначити, що з досвіду власної роботи і в профільних, і в звичайних класах, учні краще сприймають, розуміють і використовують описаний метод до розв’язування задач на суміші й сплави, ніж розв’язують даний клас задач за допомогою складання рівняння чи системи рівнянь. До того ж, при розв’язанні рівнянь із дробовими коефіцієнтами учні, традиційно, припускаються обчислювальних помилок. У випадку ж використання квадрата Пірсона дії переважно виконуються з цілими числами. Знання даного методу значно допомогло випускникам – учням авторів даної статті при складанні зовнішнього незалежного оцінювання з математики 2008 та 2010 рр., коли на правильне розв’язування задачі на сплави, що пропонувалась у завданні відкритої форми з короткою відповіддю (воно оцінювалось 2 балами при правильному розв’язанні) учні затратили не більше однієї хвилини, на відміну від тих, хто розв’язував запропоновані задачі класичними способами.

ЛІТЕРАТУРА 1. А з и я   А.  П. Квадрат Пирсона / А.  П.  Азия, И.  М.  Вольпер // Квант. — № 3, 1973. — С. 61. 2. Б у р д а   М.  І. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики / М.  І.  Бурда, О.  П.  Вашуленко, Н.  С.  Прокопенко. — Харків: Гімназія, 2010. — 256 с. 3. З а х а р і й ч е н к о   Ю.  О. Математика. Збірник завдань для абітурієнтів / Ю.  О.  Захарійченко, О. В. Школьний. — К.: Вид. дім «Києво-Могил. акад.», 2006. — 230 с. 4. І с т е р  О. С. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. 9 кл. / О.  С.  Істер, О.  І.  Глобін, О.  В.  Комаренко. — 2011. — 107 с. 5. К а п і н о с о в   А.  М. Зовнішнє оцінювання. Математика: навч. посібн. / А.  Капіносов, Г.  Білоусова, Г.  Гап’юк. — Тернопіль: Підручники і посібники, 2009. — 288 с. 6. О л е х н и к   С.  Н., Н е с т е р е н к о   Ю.  В., П о т а п о в   М.  К. Старинные занимательные задачи. — М.: Дрофа, 2002. — 176 с. Передплатний індекс 74326


Методика, досвід, пошук

13

Урок-подорож «Сім чудес України» Ірина ГУЛІЄВА — вчитель математики вищої категорії, вчитель-методист СЗШ № 67, м. Києва Реформування системи освіти в Україні передбачає зміни у пріоритетних цілях навчання. На перший план виносяться завдання розвитку особистості на основі її внутрішнього потенціалу, згідно з найкращими культурноісторичними та технологічними досягненнями людства і національними цінностями. Сучасні тенденції оновлення змісту освіти передбачають, крім іншого, його культуровідповідність, гуманізацію, гуманітаризацію, інтеграцію і особистісну орієнтацію. Сучасна система освіти орієнтується на нове соціальне замовлення — заміну освітньої парадигми просвітительства на парадигму культуротворчості і культуроосвіченості. Математичні знання і вміння розглядаються як засіб розвитку особистості школяра, забезпечення його математичної грамотності як здатності розуміти роль математики в світі, висловлювати обґрунтовані математичні судження і використовувати математичні знання для задоволення пізнавальних і практичних потреб [1]. У новому Державному стандарті базової і пов­ ної загальної середньої освіти підкреслюється, що визначальним для системи вітчизняної загальної середньої освіти є українознавче спрямування всіх освітніх галузей [2]. Усе це визначає необхідність включення до системи навчання математики нестандартних уроків, спрямованих на активізацію навчальної діяльності учнів і розвиток їх пізнавальних інтересів. Пропонуємо методичну розробку уроку математики на тему «Дії над звичайними дробами», який проводився в 6 класі. Тема уроку: «Дії над звичайними дробами». Мета: сприяти формуванню та розвитку інтелектуальних та творчих здібностей учнів у процесі узагальнення та систематизації знань з теми. Виховувати почуття прекрасного та любові до рідної країни. Обладнання: інтерактивна дошка, презентація PowerPoint, карта-схема маршруту, зображення семи чудес України, кросворд, дидактичні матеріали. Хід уроку І. Організаційний момент. Мотивація уроку. Учитель. Сьогодні урок математики пройде у вигляді подорожі до найцікавіших місць рідної країни. Наша мандрівка до семи чудес України буде не лише до історико-культурних місць країни, а й у далеке минуле.

До семи чудес України відносять творіння природні та людського генія, які своєю технічною чи художньою довершеністю викликають подив світу. ІІ. Подорож по чудовим місцям України разом з математикою. Чудо І. Національний історико-архітектурний заповідник «Кам’янець» Учитель. Невід’ємною частиною Старого міста, його перлиною є Стара фортеця, яка стала візитною карткою Кам’янця-Подільського, його символом. Історія її заснування починається в XII ст. Немов продовження кам’яних скель височать башти фортеці. До нашого часу збереглася система ходів і казематів. Денна вежа призначена для спостерігачів. А щоб нам з вами дозволили піднятися на вежу, потрібно згадати відповіді на запитання (проектуються на інтерактивну дошку). • Як додати дроби з різними знаменниками? • Як відняти дроби з різними знаменниками? • Що називають добутком двох звичайних дробів? • Як помножити дріб на натуральне число? • Як помножити два мішаних числа? • Як знайти дріб від числа? • Чому дорівнює добуток, якщо один із множників дорівнює нулю? • Як знайти відсотки від числа? • Які числа називаються взаємно оберненими? • Як знайти число, обернене до звичайного дробу? • Яке число буде оберненим до натурального числа? • Як поділити звичайний дріб на звичайний дріб? • Чи можна ділити на нуль? • Як знайти число за значенням його дробу? • Як знайти число за його відсотками? Діти дають відповіді на поставлені теоретичні запитання в уявний мікрофон — будь-який предмет схожий на нього (інтерактивна вправа «Мікрофон»). Учитель демонструє слайд із зображенням Національного історико-архітектурного заповід­ника «Кам’янець» (мал. 1) і його розташування на території України (мал. 2). Протягом уроку з’являються нові кружечки на

© Гулієва І. О., 2012

Передплатний індекс 74326

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


Методика, досвід, пошук

14

карті, що показують географічне положення наступних чудес України.

Діти розв’язують вправи самостійно, потім обмінюються зошитами і перевіряють правильність розв’язування за допомогою готових відповідей, що проектуються вчителем на інтерактивну дошку. Якщо у роботі сусіда є помилки, то учень виправляє їх і пояснює сусіду, як правильно виконати завдання (інтерактивна вправа «Навчаючи — вчусь»). Учитель демонструє слайди із зображенням Києво-Печерської Лаври (мал. 3) і пояснює, що вона знаходиться в столиці України — Києві.

Мал. 1

Мал. 3 Мал. 2

Чудо ІІ. Києво-Печерська лавра Учитель. Києво-Печерська лавра — православний монастир, заснований у 1051 році монахами Антонієм і Феодосієм у печерах біля літньої княжої резиденції Берестов поблизу Києва. В ХІ ст. монастир став центром розповсюдження і затвердження християнства в Київській Русі. У ХІІ ст. монастир отримав статус «лаври» — головного великого монастиря. Щоб переступити поріг лаври, слід виконати завдання, які й будуть перепусткою до монастиря. Виконайте дію (завдання проектуються на інтерактивну дошку). 8−3 5 1 18 = 118 28 ⋅ 25 4 ⋅ 5 20 Б) 5 3 ⋅1 4 = =1⋅ 3 = 3 =6 32 . 5 21 5 ⋅ 21

А) 3 4 − 2 1= 9 6

14 34 2 20 += В) 4 + = . 7

5

35

35

3 5 ⋅ 3 15 1 35 : = 7 35 ⋅ = Г) 8 3 : 2 = = = 33 . 4

3

2 Д) 12 := 35 5

4

3

4⋅7

4

4

12 ⋅ 5 6 ⋅ 1 6 = = . 35 ⋅ 2 7 ⋅ 1 7

13 ⋅ 32 13 ⋅ 4 52 Е) 13 ⋅ 32 = = = = 17 1 . 24

К) 15= :5 17

24

3

3

15 ⋅ 1 3 = . 17 ⋅ 5 17

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012

3

4

Чудо ІІІ. Софія Київська Учитель. Ми продовжуємо свою подорож Києвом. Назва місця, до якого ми наближаємося, зашифрована в чарівній таблиці. Щоб прочитати назву третього чуда, слід виконати вказані у клітинках таблиці дії, а отримані в результаті числа розташувати в порядку зро­ стання. Відповідні їм літери утворять потрібне нам слово (таблиця проектуються на інтерактивну дошку). Діти заповнюють таблицю і дізнаються назву — Софія Київська (елемент гри «Кодувальник»). 2 1 ⋅ 3 2

1 від 12 3

ф

с

0: я

6 7

1 2

1 + о

1 2

2 : 20 7

і

Учитель. Дивне відчуття охоплює кожного, хто переступає поріг славетної Софії Київської. Десь поза стінами залишається гомінливе сьогодення, століття розступаються, і постає далеке минуле... Софійський собор — всесвітньо відома пам’ятка архітектури і монументального живопису ХI ст. Заснування собору згадується в літописах як 1017 р., так і 1037 р. Будівничим Cв. Софії літописці називають великого київського князя Ярослава Мудрого. При соборі велося літописання і були створені перші відомі на Русі бібліотека та школа (мал. 4). Передплатний індекс 74326


Методика, досвід, пошук

Мал. 4

Чудо IV. Херсонес Таврійський Учитель. Місто Херсонес було засноване давньогрецькими колоністами більше ніж 2500 тисячі років тому на південному заході Криму. Нині його руїни — одна з найвизначніших пам’яток Севастополя. До наших днів збереглося багато давніх споруд. Серед них еллініський театр, римська цитадель, середньовічні християнські храми, житлові квартали, вулиці, гончарні майстерні, колодязі тощо. Щоб подивитися на руїни цих житлових кварталів, нам слід розв’язати кілька рівнянь. Завдання, що проектуються на інтерактивну дошку, учні розв’язують біля дошки. 4 x + 2, 4 = 6 9 4 x= 9

6 − 2, 4 ,

x = 3,6:

4 9,

4 x − 2, 4 = 6 9 4 4 x = 3,6 , x= 9 9

x=

36 ⋅ 9 10 ⋅ 4

Відповідь. 8,1

6 + 2, 4 ,

15

Чудо V. Хотинська фортеця Сьогодні на території Хотинської фортеці створено Державний історико-архітектурний заповідник. Тут полюбляють проводити свята козацької звитяги та знімати фільми. Про те, коли і де було створено Хотинську фортецю ви дізнаєтесь після того, як розв’яжете задачу. Зміст задачі проектується на інтерактивну дошку. Один учень розв’язує її біля дошки з відповідними коментарями. Задача. У 6-А класі навчається 40  %, у 6-Б — 20  % шестикласників школи, а у 6-В — решта 28 учнів. Скільки всього шестикласників навчається в школі? Розв’язання. 1) 100  % – (40  % + 20  %) = 40  % — навчаються у 6-В класі; 2) 40  % = 0,4; 3) 28 : 0,4 = 70 (учнів) — всього. Відповідь. У школі 70 шестикласників. Учитель. Хотинська фортеця веде свій початок від Хотинського форту, що був створений у ІХ ст. князем Володимиром Святославовичем як одне із порубіжних укріплень Південного Заходу Русі, у зв’язку з приєднанням до неї буковинських земель. Укріплення було споруджено на кам’янистому мисі, утвореному високим правим берегом Дністра і долиною дрібної притоки. Учитель демонструє слайди із зображенням Хотинської фортеці (мал. 6) та її географічного положення.

4 x = 8, 4 9 ,

4 9

x = 8, 4: , x = x =

84 ⋅ 9 . 10 ⋅ 4

Відповідь. 18,9

Учитель демонструє слайд із зображенням руїн Херсонеса Таврійського (мал. 5 ) і його місцезнаходження на карті.

Мал. 6

Мал. 5

Учитель. А тепер — знову в дорогу. Передплатний індекс 74326

Чудо VI. Національний заповідник-острів «Хортиця» Учитель. Тепер ми наближаємося до Національного заповідника-острова «Хортиця». Острів «Хортиця» є найбільшим островом на Дніпрі, унікальність якого – в рідкісному поєднанні на одній території різноманітних природних комплексів – цілинних степів, байрачних та плавневих лісів, наскальної рослинності, рідкісних та зникаючих видів рослин, пам’яток геології. А що є основою найбільшого острова на Дніпрі, ви дізнаєтеся після того, як виконаєте на«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


Методика, досвід, пошук

16

ступне завдання. Зміст завдання проектується на інтерактивну дошку. Один учень розв’язує його біля дошки з відповідними коментарями. Знайдіть усі натуральні значення х, за яких є правильною нерівність: x 8

<

31 . 48

Розв’язання. Побудуємо модель до задачі (мал. 9)

Розв’язання: 6x 48

<

31 , 6х < 31 , 48

Мал. 8

À

1 6

Á

Â

Ã

Ä

x <5 .

Оскільки х ∈ N, то х може набувати значень 1, 2, 3, 4, 5. Учитель. Основу найбільшого острова на Дніпрі (довжина 12 км, а ширина, в середньому, 2,5 км) є граніти і гнейси, яким близько 2 млрд років. Саме вони, здіймаючись у вигляді скель у північній частині острова, до 30 м над поверхнею Дніпра, створюють тут гірську країну в мініатюрі. Учитель демонструє слайд із зображенням Національного заповідника-острова «Хортиця» (мал. 7) та його географічного положення.

I

II

III

Мал. 9

IV

V

З малюнку видно, що ІІІ сорт лежить у кошику В, а ІV — у кошику Д. Тоді ІІ сорт лежить у кошику Г. Для кошиків А і Б можливі варіанти: 1) V сорт у кошику А, І сорт у кошику Б; 2) V сорт у кошику Б, І сорт у кошику А. Кросворд (мал. 10)

5 1 2 4 3

Мал. 7

Чудо VII. Національний дендрологічний парк «Софіївка» Учитель. Далі вирушаємо до Національного дендрологічного парку «Софіївка». Уманський парк «Софіївка» є шедевром і зразком світового садово-паркового мистецтва кінця XVIII — початку XIX ст. Парк розкинувся на площі 154,7 га на узбіччі старовинного міста Умань Черкаської області. Я покажу вам цей парк після того, як ви розв’яжете задачу логічного змісту і розгадаєте кросворд. Задача. У п’яти кошиках лежать яблука п’яти різних сортів. Яблука ІІ сорту лежать у кошиках Г або Д, яблука І сорту в кошиках А або Б або Г, в кошиках А або Б або В лежать яблука — V сорту, в кошику Д — яблука IV, а в кошику В — III. Якого сорту яблука лежать в кожному кошику? Зміст задачі проектується на інтерактивну дошку (мал. 8) (інтерактивна вправа «Мозковий штурм»). «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

Мал. 10

По горизонталі: 1. Одна сота частина від цілого — це…; 2. Результат множення — …; 3. Дріб

2 5 … до дробу . 5 2

По вертикалі: 4. Частка двох дробів є … . 5. Якщо ти все виконав правильно, то ти... . Відповіді: По горизонталі: 1) відсоток; 2) добуток; 3) обернений. По вертикалі: 4) дріб; 5) молодець. Учитель. Заснований парк у 1796 р. бага­тим польським магнатом Станіславом Потоцьким на честь своєї дружини красуні-гречанки Софії, і був подарований їй у день її янгола у травні 1802  р. Вчитель демонструє слайд із зображенням Національного дендрологічного парку «СофіПередплатний індекс 74326


Профільне навчання

Мал. 11

Мал. 12

ївка» (мал. 11) та його географічного положення (мал. 12). ІІІ. Домашнє завдання. Учням повідомляється домашнє завдання відповідно до чинного підручника. IV. Підсумки уроку. Повторити відомості про дії над звичайними дробами. Систематизувати інформацію про сім чудес України.

ЛІТЕРАТУРА

17

1. Математика: Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. / М.  І.  Бурда, Г.  В.  Апостолова, В.  Г.  Бевз та ін. — К.: Перун, 2003. — 64 с. 2. Державний стандарт базової і повної загальної середньої освіти // Математика в сучасній школі, 2012. — № 3.

ІНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА — ЛЕЙБНІЦА (урок у профільній школі) Надія ЗАБРАНСЬКА — вчитель-методист спеціалізованої школи № 302 Дарницького району м. Києва Диференціація — це одна з ключових проб­ лем організації навчання сучасної школи. Різні погляди на ідею диференційованого навчання певною мірою відображають дві діалектично протилежні тенденції у розвитку сучасної нау­ ки, виробництва й освіти. Одна з них — інтеграція, яка зумовлена об’єктивними процесами взаємозв’язку і взаємозалежності різних наукових дисциплін, що потребує від кваліфікованого працівника широкої загальної культури й обізнаності у багатьох суміжних галузях. Водночас й інша тенденція, що виключає можливість «універсалізму» в умовах величезного нарощування наукових і професійних знань, набуває широких масштабів. Важливою умовою досягнення успіху у будь-якій діяльності вважається спеціалізація працівника. Більшість педагогів світу є прихильниками саме цієї тенденції, про що свідчить той факт, що диференціація навчання є одним з основних організаційних принципів середньої

загальноосвітньої школи зарубіжжя впродовж багатьох десятиліть. Під диференціацією навчання розуміють таку систему навчання, при якій кожен учень, оволодіваючи деяким мінімумом загальноосвітньої підготовки, отримує право і гарантовану можливість приділяти переважну увагу тим напрямам, які найбільшою мірою відповідають його схильностям та інтересам. Розрізняють два види диференціації навчання математики: профільну і рівневу. Відмінною рисою профільної диференціації є диференціація по змісту, тобто навчальні плани і програми для різних навчальних груп учнів, відрізняються кількістю навчального часу, глибиною викладу матеріалу, обсягом навчальних відомостей і номенклатурою питань. Профільна диференціація створює умови для навчання і професійного самовизначення учнів, враховуючи їх освітні потреби, нахили та здібності. Це забезпечується за рахунок змін у цілях, змісті та ор-

© Забранська Н. В., 2012

Передплатний індекс 74326

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


18

Профільне навчання

ганізації навчання. Профільне навчання набуває систематичного характеру на старшому ступені навчання (10—11 класи). Вивчення математики в сучасній старшій школі диференціюється за чотирма рівнями: рівнем стандарту, академічним, профільним та поглибленого вивчення. Кожному з них відповідає окрема навчальна програма. Змістове наповнення програм усіх рівнів реалізує компетентнісний підхід до навчання, спрямований на формування системи відповідних знань, навичок, досвіду, здібностей і ставлення (відношення), який дає змогу обґрунтовано судити про застосування математики в реальному житті, визначає готовність випускника школи до успішної діяльності в різних сферах. Водночас в умовах профільної старшої школи актуальною залишається рівнева диференціація навчання математики. Це означає, що навчаючись в одному класі, за одною програмою та підручником, різні учні мають право і можливість обрати обсяг і глибину засвоєння даного навчальною матеріалу, тобто можуть засвоювати навчальний матеріал на різних рівнях вимог до математичної підготовки. Але рівнева диференціація передбачає не лише різні рівні вимог до математичної підготовки, що висуваються різним групам учнів одного класу, а й диференціацію допомоги їм з боку вчителя в процесі навчання. Зміст математики, визначений програмою, тут є єдиним для всіх учнів класу і викладатися він має для всіх на однаково високому рівні, але кожен учень, враховуючи свої можливості, має право і можливість вибрати глибину засвоєння даного навчального матеріалу. У методичній літературі виділяють такі рівні засвоєння: початковий, середній, достатній, високий. Назви цих рівнів відповідають і рівням компетенцій у критеріях оцінювання навчальних досягнень учнів. З огляду на специфіку навчання математики, важливо, щоб середній рівень засвоєння відповідав рівню державних вимог до загальноосвітньої підготовки учнів, що визначений державним освітнім стандартом з математики. Це той обов’язковий мінімум, що є необхідним для подальшого успішного вивчення в школі математики та суміжних предметів. В умовах рівневої диференціації одні школярі, засвоюючи курс математики, обмежаться середнім рівнем вимог до математичної підготовки, інші — відповідно до своїх здібностей та нахилів досягнуть більш високих рівнів. Таким чином, кожен учень має не тільки обов’язки (зокрема, засвоїти матеріал на відповідному рівні), а й право, найважливішим із яких є право вибору — отримати відповідно до своїх здібностей і нахилів підвищену підготовку з предмета чи обмежитися середнім або достатнім рівнем засвоєння матеріалу. Тему «Первісна та інтеграл» вивчають за програмами всіх рівнів, але в різних обсягах. Спіль«Математика в сучасній школі», № 5, 2012

ною частиною цієї теми є: первісна та її властивості, таблиця первісних, формула Ньютона — Лейбніца, обчислення площ плоских фігур. Пропонуємо розробку уроку, що розрахований на дві академічні години і підійде, певною мірою, для класів усіх профілів на етапі засвоєння нових знань. Важливо на цьому уроці максимально унаочнити матеріал, показати зв’язок з раніше вивченим. З цією метою ми пропонуємо використати презентацію в програмі Power Point із застосуванням мультиплікації під час побудови фігур. Тема уроку: «Інтеграл. Формула Ньютона — Лейбніца». Мета уроку: засвоєння учнями понять: невизначений інтеграл, криволінійна трапеція, площа криволінійної трапеції, визначений інтеграл, формули Ньютона — Лейбніца. Формування вмінь учнів обчислювати інтеграли, визначати площі фігур, обмежених лініями. І. Самостійна робота. За допомогою цієї роботи ми перевіряємо виконання учнями домашнього завдання. Варіанти перевірки — зібрати зошити (листки) або взаємоперевірка. Варіант I. Для функції f (x) = 3x2 знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(0; 1). (4 бали) Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій: а) f  (x) = cos  2x + sin  3x; (4 бали) б) f ( x) =

2 . (4 бали) (3x − 1)2

Варіант II. Для функції f (x) = 4x3 знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(0; 1). (4 бали) Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій: а) = f ( x)

1 cos2 2x

1 ; (4 бали) sin 2 x

б) f (= x) 23 3 − 2x . (4 бали) Відповіді до завдань самостійної роботи: (при взаємоперевірці подаються на слайд) В-І 1. F  (x) = x3 + 1 2. а) F ( x) = 1 sin 2x − 1 cos3x + C 2

3

б) F ( x) = −2⋅

+C

1. F  (x) = x4 + 1

В-ІІ

1 3 (3x − 1)

2. а) F ( x= ) 1 tg 2x + ctg x + C 2

−3x2−)x⋅2)3x⋅33+−3C −x2x+ C +C =) =−34 2⋅34(3 − 2 F (б)x) =F (F34x(⋅)x(3 x⋅)(3 ⋅ 32 Передплатний індекс 74326


Профільне навчання ІІ. Актуалізація опорних знань. Пропонуємо провести усно за допомогою запитань, що подаються на слайдах. Кожне запитання з’являється на слайді, а після його обговорення на слайд подається правильна відповідь. • Яку функцію називають первісною для функції f  (x) на деякому проміжку? • Сформулювати основні властивості первісної. • Як називається процес знаходження первісної? • До якої дії є обернененою дія інтегрування? • Чи однозначним є інтегрування? ІІІ. Сприйняття та первинне усвідомлення нового матеріалу. Пояснювально-ілюстративний метод поєднано з частково-пошуковим. 1) Оскільки для однієї функції можна знайти безліч первісних, то для всієї множини первісних даної функції введемо нове позначення ) dx F ( x) + C , ∫ f ( x= де F  (x) — одна з первісних функції f  (x), а С — довільний сталий доданок. ∫ f ( x) dx читають так: «інтеграл еф від ікс де ікс», називають невизначеним інтегралом. 2) Аналізуємо з учнями таблицю невизначених інтегралів, яку вони вже знають як таблицю первісних (таблиця подається на слайд). Таблиця первісних (невизначених інтегралів) № п/п 1 2

Функція Загальний вигляд f  (x) первісних F  (x) + С 0 1

∫ 0 dx = C

C x + C n+1

x n +1

Невизначений інтеграл

+C

n

dx ∫ x=

x n +1

+C

x n (n ≠ 1)

4

1 x

ln  |  x  | + C

dx = ∫ x ln | x | + C

5

sin  x

–  cos  x + C

− cos x + C ∫ sin x dx =

6

cos  x

sin  x + C

dx sin x + C ∫ cos x=

7

1 cos2 x

tg  x + C

dx tg x + C ∫ cos2= x

8

1 sin 2 x

–  ctg  x + C

9

ex

ex + C

10

ax

+C

dx − ctg x + C ∫ sin2 x =

x = ex + C ∫ e dx x

dx ∫a =

ax ln a

+C

3) Введення поняття криволінійної трапеції (абстрактно-дедуктивний метод). Означення. Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком функції у = f  (x), яка є неперервною і невід’ємною на відрізку [a; b], прямими х = а; х = b i відрізком [a; b]. Передплатний індекс 74326

Y

y = f(x)

00 a

b

X

Мал. 1

4) Обчислення площі криволінійної трапеції: (доцільним є проблемне запитання: «Як обчислити площу цієї фігури?»). Можна пригадати з учнями, як у початковій школі за допомогою палетки наближено обчислювали площі різних фігур. На слайді криволінійна трапеція поступово покривається прямокутниками, які разом утворюють східчастий многокутник. Фрагмент слайда зображено на мал. 2. Y f(x2) f(x1) f(x0)

y = f(x)

Довжина кожної такої частини дорівнює: X b= xn

b− a n

= Δx .

Мал. 2

n+1

3

ax ln a

Ілюстрація до означення криволінійної трапеції (на слайді поступово, покроково, відповідно до означення з’являється криволінійна трапеція. Учні мають побачити процес побудови криволінійної трапеції, який фактично описано у її означенні). Фрагмент слайда зображено на мал. 1. Ілюстрація до означення криволінійної трапеції

a = x0 x1 x2 x3 ... xn−2 xn−1

∫ dx= x + C

19

Розглядаючи анімацію на слайді, помічаємо, що непокритих частинок на криволінійній трапеції ще доволі багато. Підводимо учнів до думки, що зі зменшенням сторони прямокутничків покрита ними площа наближатиметься до площі криволінійної трапеції. (З’являється новий слайд, на якому відрізок [a; b] поділяється на більшу кількість п рівних частин: а = х0 < х1 < х2 < … < хn – 1 < хn = b і прямокутники, утворені на цих відрізках, поступово покривають криволінійну трапецію. Цей східчастий многокутник буде меншою мірою відрізнятися від криволінійної трапеції). Фрагмент слайда зображено на мал. 3. Y f(x4) f(x2) f(x1) f(x0)

y = f(x)

a = x0 x1x2x3x2x5x3 x7 ... xn−2 xn−1 b= xn

X

Мал. 3 «Математика в сучасній школі», № 5, 2012


20

Профільне навчання

Довжина нижньої сторони кожного прямокутника дорівнює: b− a n

= Δx .

Утворимо суму Sn добутків f  (xі) ⋅ Δx, де і = 0; 1; …; п. Sn = f  (x0) ⋅ Δx + f  (x1) ⋅ Δx + f  (x2) ⋅ Δx + … + f  (xn – 1) ⋅ Δx + f  (xn) ⋅ Δx, тобто S — площа ­криволінійної трапеції дорівнює:

S = lim Sn . Sn — називається інтегральною сумою. 5) За означенням, lim Sn називають інтегралом b

функції у = f  (x) від а до b lim Sn = ∫ f ( x) dx . n→∞

b

∫ f ( x) dx

ІV. Застосування знань (формування навичок та вмінь). Обчисліть (письмово, колективне розв’я­зуван­ ня вправ):

a

читають так: «інтеграл від а до b еф від х де ікс». a У позначенні інтеграла все вказує на спосіб його утворення. Знак інтеграла нагадує видовжену латинську літеру S — першу літеру слова summa (сума). Підінтегральний вираз f  (x)  dx нагадує вигляд кожного окремого доданка f  (xi) ⋅ Δx інтегральної суми. Множник dx називають диференціалом. Число а називається нижньою межею інтегрування, а число b — верхньою межею інтегрування. b Таким чином, ∫ f ( x) dx , якщо f  (x) ≥ 0 для всіх a

x ∈ [а; b] — це площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями: y = f  (x); x = a; x = b; y = 0. 6) Формула Ньютона — Лейбніца встановлює інший спосіб обчислення інтеграла (без обчислення границі інтегральних сум) (подається на слайді). Фрагмент слайда зображено на мал. 4.

b

Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716)

Ісаак Ньютон (1643—1727)

«Без справжніх одиниць не може бути й множини»

«Якщо я бачив далі від інших, то тільки тому, що стояв на плечах гігантів»

0

0

x2 2

π 2

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012

π

0

0

)

= в)

43 33 − 3 3 2

)

64 − 27 3

=

=

37 3

1 3

= 12 ;

∫ (3x − 1) dx =

−1

3

 x2  2 3 2 3 1 1 − x = ⋅ 2 − 2 − ( −1) − 1 = 6 − 4 = =  3⋅ 1 ; 2 2 2 2 2   −1 г)

2

2 ∫ (5x + 1) dx =

1 1 = 5

д)

є)

(5x + 1)3

2

=

3

1

1 ((5 ⋅ 2 + 1)3 − 15

1 1 (113 − 63 ) = 15 15 2 3

⋅1115 =

223 3

(5⋅1+ 1= )3 ) 1 3

=74 ;

∫ ( x + 2) dx =

0

( x+2)4 4 3

2

44 4

= 0

(

24 4

= 43 − 4 = 64 − 4 = 60 ;

)

2 dx= = ∫ x − 2 x dx

1

3

3  3   2 x x 2  = ∫  x − 2x  dx= − 2⋅ 3  =  3     1  2   1

3

1 2

Мал. 4

На цьому етапі уроку доречним є розповіді учнів про біографії вчених, їх особисті якості, тернистий шлях до вершин, взаємостосунки,

π

π

+ cos x 02 = 8 ⋅ x 2 2 + cos x 02 =

(

=

a

0

(

a

dx F ( a) − F ( b) ∫ f ( x)=

π 2

 π2  π =4 ⋅  − 0  + cos − cos0 =π2 − 1 ; 4 2   2 2 2 ( x + 2)3 = (2 + 2)3 − (1 + 2)3 = x + 2 dx = б) ∫ 3 3 3 1 1

=

dx F ( a) − F ( b) ∫ f ( x)=

π 2

= 8⋅

Формула Ньютона — Лейбніца

b

π 2

∫ (8x − sin x ) dx =∫ 8x dx − ∫ sin x dx =

а)

n→∞

n→∞

відкриття. Цікаві статті про це можна знайти на сайті «Вікіпедія».

3

=

3

x3 − 4 x 2 3

3

=

33 − 4 ⋅ 3 2 3

1 − 4 ⋅1 3

1

= 9 − 4 ⋅ 3 2 + 1 = 10 − 4 ⋅ 3 .

1

Передплатний індекс 74326


Профільне навчання Запропонувати учням опорну схему для знаходження площ фігур, обмежених лініями, що по-різному розташовані на координатній площині. Опорна схема подається на слайд. Права частина слайда з’являється після обговорення з учнями. Фрагмент слайда подано на мал. 5.

Розв’язування вправ за готовими малюнками (колективна фронтальна форма роботи) (Завдання подається на слайди). Фрагменти слайдів подано на мал. 6. y y C B

Обчислення площ y = f(x)

1 a

a

b x

y = f(x)

y = g(x)

b

c

a

b

= S ∫ f ( x) dx + ∫ g( x) dx

2

c x

b

S (= ) y = gx

3 a

c

x

b

b

a

x

4

b

b

a

c

a

y = f(x)

y = f(x) b

5

= S ∫ ( f ( x) − g( x) ) dx b x a

a y = gx ()

Мал. 5

Доцільно усно обговорити всі представлені випадки розташування фігур і відповідні формули обчислення їх площ. Права частина слайда з’являється після того, як учні запропонують відповідь. (Перший ілюструє означення криволінійної трапеції та формулу Ньютона — Лейбніца, другий — обчислення площі як суми площ двох криволінійних трапецій, третій — різницю площ двох криволінійних трапецій, четвертий — функцію від’ємну, можна скористатися перетворенням графіків на площині, множення на (–1), адже, за означенням, f   (x) має бути невід’ємною, п’ятий — фігуру, що складається з фігур, подібних до випадків (1) і (4), тож і шукану площу знаходять як суму площ відповідних фігур).

Передплатний індекс 74326

C

y B

B A

S = − ∫ f ( x) dx

x

D

Запишіть площу заштрихованих фігур, як суму або різницю площ криволінійних трапецій, обмежених графіками відомих функцій. Учням бажано продемонструвати розв’язу­ ван­ня деяких із цих завдань у динаміці. Фрагменти слайдів подано на мал. 7, 8.

∫ f ( x) dx − ∫ g( x) dx

b

0

F

Мал. 6

y

y = f(x)

B

A

C x

= S ∫ f ( x)= dx F ( b) − F ( a)

S

a

0

A

b

21

0

0 A

D x

m

Мал. 7

A 0 Cx à y B m C D x 0A ã

A y

F0 D á B

0A

C

m

ä

B

y

E D x

Мал. 8

D x y

y m C B

y B

C

0

C

m A0 D â m

C n D å

x

Письмове розв’язування вправ (колективна або групова форма роботи): Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: y = x2 – 6x + 5, y = 11 – x; = y x +1 , = y 7 − x , y = 0; y = 4 – x2, y = (x – 2)2, y = 0; y = x2 – 2x + 3, x + y = 5; y = x , y = 2 – x2, x = –1, y = 0; y = –x2 + 6x – 2, y = x2 – 2x + 4. V. Домашнє завдання: Нелін Є. П., Долгова О. Є. Алгебра і початки аналізу. підруч. для 11 кл. — С. 207—208 № 1, 3—8, с. 215 № 1  —  6.

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


22

Профільне навчання

АВТОМАТИЗАЦІЯ КОНСТРУЮВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ Василь КУШНІР — професор кафедри математики Кіровоградського державного педагогічного університету імені Володимира Винниченка Григорій КУШНІР — пенсіонер, кандидат технічних наук, доцент

Анотація. Досліджуються проблеми конструювання ірраціональних рівнянь певного типу на основі створення, дослідження та розв’язування математичної моделі. Ключові слова: ірраціональне рівняння математична модель, дослідження та розв’язування математичної моделі, алгоритм, програма в середовищі Maple. Василий КУШНИР, Григорий КУШНИР. Автоматизация конструирования иррациональных уравнений и неравенств повышенной сложности Аннотация. Исследуются проблемы конструирования иррациональных уравнений определенного типа на основе создания, исследования и решения математической модели. Ключевые слова: иррациональное уравнение, математическая модель, исследование и решение математической модели, алгоритм, программа в среде Maple. Vasyl KUSHNIR, Hrygorij KUSHNIR. The automation of constructing irrational equations and inequalities of heightened complication. Summary. The problem of irrationale quations of certain type constructing on thebasis ofcreation, investigation and solving the proper mathematical model is researched. Keywords: irrational equations, mathematical model, investigation and solution of mathematical model, algorithm, program in «Maple» environment. Досліджується проблема конструювання ірраціонального рівняння виду ax1 + b + cx 1+= d mx1 + n ; (5) ax + b + cx + d= mx + n (1) й пропонується відповідна технологія конструax2 + b + cx2 += d mx2 + n . (6) ювання за різних умов. Піднесемо до квадрата 2 ліву й праву частини рівняння (1). Після простих Позначимо p = p22 ax2 + b , 1 ax1 + b , = перетворень одержимо: 2 2 2 ( ax + b)( cx + d ) = ( m − a − c) x + ( n − b − d ) . (2) q= = r12 mx1 + n , 1 cx1 + d , q 2 cx2 + d , = Піднесемо ще раз до квадрата ліву й праву частини рівняння (2). Після перетворень маємо = r22 mx2 + n . (7)  2 4(ax + b) (cx + d) = [(m – a – c)x + (n – b – d)] . (3) Вважатимемо, що p1 > 0, q1 > 0, p2 > 0, Вважатимемо, що квадратне рівняння q2 > 0, r1 > 0, r2 > 0. (8) [4ac – (m – a – c)2]  x2 + [4(ad + bc) – 2(m – a – Рівність нулю в (8) не досліджуємо, оскільки це тривіальні окремі випадки. З (7) і (8) маємо: – c)(n – b – d)]x + (4bd – n + b + d) = 0, (4) що отримується після перетворень рівняння = p1 ax1 + b ,= p2 ax2 + b , (3), має два різних дійсних корені x1 ≠ x2. = q1 cx1 + d = , q2 cx2 + d , (9) А) Ставиться задача конструювання рівняння (1) за умови, що рівняння (4) має два різні r1 mx1 + n= , r2 mx2 + n . (10) дійсні корені і вони обидва будуть коренями = рівняння (1). Тоді математичною моделлю, з Враховуючи (9), (10), система (5), (6) набуде якої будуть визначені коефіцієнти a, b, c, d, вигляду: m, n рівняння (1), може бути суттєво нелінійна p1 + q1 = r1, (11) система рівнянь (12) p2 + q2 = r2. © Кушнір В. А., Кушнір Г. А., 2012 «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

Передплатний індекс 74326


Профільне навчання Знайдемо довільні додатні розв’язки системи (11), (12). Наприклад, p1 = 2, p2 = 3, q1 = 5, q2 = 1, r1 = 7, r2 = 4. (13) Тоді математичною моделлю визначення коефіцієнтів a, b, c, d, m, n рівняння (1) за умови, що рівняння (1) має два корені x1, x2, буде сукупність трьох лінійних систем. Причому кожна з них міститиме два рівняння і дві невідомі:

 ax + b = p12; 1 (14)  p22, ax2 + b =  cx + d = q12; 1 (15)  q22, cx2 + d =  mx + n = r12; 1 (16)  r22. mx2 + n = Головні визначники систем (14) — (16): ∆ = x1 – x2 ≠ 0. Тоді системи (14) — (16) мають тільки один розв’язок. Розв’язуючи їх, одержимо a= c= m=

p22 − p12 ; x2 − x1 q22 − q12 x2 − x1

= b p12 − ax 1 ,

(17)

; = d q12 − cx 1 ,

(18)

r22 − r12 ; x2 − x1

= n r12 − mx 1 .

a=

p22 − p12 x2 − x1

;= b p12 − ax 1 .

(У прикладі a =

c=

q22 − q12 x2 − x1

6) Шукані коефіцієнти рівняння (1) знайдено, а саме рівняння набуває вигляду: 5 2

Передплатний індекс 74326

( p22 − p12 ) x 2 − x1

: b=: p12 − a ⋅ x1:

c=:

( q22 − q12 ) x 2 − x1

: d=: q12 − c ⋅ x1:

( r 22 − r 12 ) x 2 − x1

: n := r12 − m⋅ x1:

4x + 5 + 12 10x + = 26 32 6x + 10 , x1 = 1, x2 = –1 3x + 4 + 5x + = 9

16x + 25 , x1 = –1, x2 = 0

−10x + 36 + −4x + 9= 32 −6x + 16 , x1 = 0, x2 = 2

1 2

4x + 5 + 12 10x + = 26 32 6x + 10 , x1 = –1, x2 = 1 −8x + 9 + 5x + 4 = −9x + 25 , x1 = 0, x2 = 1 1 2

6x + 4 + 4x= + 1 12 42x + 16 , x1 = 2, x2 = 0 −3x + 1 + 8x + 9=

= n r12 − mx 1 .

(У прикладі m= −

x + 82 .

if a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ m ⋅ n ≠ 0 and a ≠ c and d ≠ n then i := i + 1 : print ( a ⋅ x + b + c ⋅ x + d = m⋅ x + n , ′x1′= x1, ′x2′= x2) end if end do: −5x + 14 + 8x − 7= 9x + 7 , x1 = 2, x2 = 1

5 , b = –1). 2

33 , n = 82). 2

a=:

m:=

(У прикладі c = –12, d = 49).

m=

33 2

Програма 1. (Maple 15). y := rand(–1 ..2) : z := rand(1 ..3) : j := 33 : i := 1 : while i ≤ j do x1 := y( ) : x2 := y( ) : while x1 = x2 do x1 := y( ) : x2 := y( ) :end do: p1 := z( ) : p2 := z( ) : q1 := z( ) : q2 := z( ) : r1 := p1 + q1 : r2 := p1 + q2 :

; = d q12 − cx 1 .

r22 − r12 ; x2 − x1

x − 1 + −12x + 49 = −

Його коренями будуть x1 = 2, x2 = 4, що перевіряється підстановкою в рівняння. Неважко переконатися, що відповідне квадратне рівняння для цього прикладу набуде вигляду x2 – 6x + 8 = 0 з тими самими коренями x1 = 2, x2 = 4. 7) Якщо потрібно 33 варіанти завдань, то йти до 1) і цикл повторити 33 рази. 8) Кінець роботи алгоритму 1.

(19)

Таким чином, формули (17) — (19) дають можливість визначити шукані коефіцієнти рівняння (1) у вигляді раціональних чисел (звичайних дробів). Якщо при цьому |x2 – x1| = 1, то a, b, c, d, m, n будуть цілими числами. Алгоритм 1 відшукання коефіцієнтів рівняння (1) у випадку, коли рівняння (1) має два різних дійсних коренів (p1 > 0, p2 > 0, q1 > 0, q2 > 0). 1) Генеруємо цілі x1, x2 ∈ [–  6; 6]. Наприклад, x1 = 2, x2 = 4. 2) Якщо умова x1 = x2, то йти до 1). 3) Генеруємо цілі додатні p1, q1, p2, q2 ∈ [1; 6]. Наприклад, p1 = 2, q1 = 5, p2 = 3, q2 = 1. 4) Обчислюємо: r1 = p1 + q1, r2 = p2 + q2 (r1 > 0, r2 > 0). У нашому прикладі r1 = 7, r2 = 4. 5) Обчислюємо:

23

7x + 16 , x1 = –1, x2 = 0

5x + 4 + 3x += 1

16x + 9 , x1 = 0, x2 = 1

5x + 4 + 3x += 1

16x + 9 , x1 = 1, x2 = 0

−3x + 1 + −8x + 1 = −21x + 4 , x1 = 0, x2 = –1 1 2

−10x + 36 + 4x= + 1 12 18x + 64 , x1 = 0, x2 = 2 «Математика в сучасній школі», № 5, 2012


24

Профільне навчання

4x + 5 + 12 10x + = 26 32 6x + 10 , x1 = –1, x2 = 1 −8x + 1 + 5x + 9 = −9x + 16 , x1 = –1, x2 = 0

1 3

8x + 9 + 3x + = 4

21x + 25 , x1 = 0, x2 = –1

−3x + 1 + 8x + 9=

7x + 16 , x1 = 0, x2 = –1

−24x + 57 + 13 −15x + 66 = 3 − x + 3 , x1 = 2,

x2 = –1

− x + 3 + 13 24x = + 33 13 21x + 102 , x1 = –1, x2 = 2 −3x + 4 + −8x + 9 = −21x + 25 , x1 = 0, x2 = 1 −3x + 4 + −8x + 9 = −21x + 25 , x1 = 0, x2 = 1 4x + 5 + 12 −6x += 10 12 14x + 50 , x1 = –1, x2 = 1 5x + 9 + 8x + = 9 3 3x + 4 , x1 = 0, x2 = –1 −5x + 9 + −8x + 9 = 3 −3x + 4 , x1 = 1, x2 = 0 −4x + 5 + 12 10x + 26 = 12 −18x + 82 , x1 = 1, x2 = –1 − x + 3 + 13 −24x + 57 = −7x + 18 , x1 = 2, x2 = –1 3x − 2 + −8x + 17 = −7x + 23 , x1 = 1, x2 = 2 1 2

−6x + 16 + 12 −10x + 36 = −8x + 25 , x1 = 0, x2 = 2 −3x + 7 + −5x + 14 = −16x + 41 , x1 = 1, x2 = 2 8x − 7 + −3x + 7=

7x + 2 , x1 = 1, x2 = 2

1 3

−15x + 66 + − x + 3 =

1 2

6x + 10 + 12 10x + 26 =

1 2

−10x + 36 + 4x= +1

1 3

−48x + 177 , x1 = –1, x2 = 2

1 2

8x + 17 , x1 = –1, x2 = 1 18x + 64 , x1 = 0, x2 = 2

−8x + 17 + 5x − 1 = −9x + 34 , x1 = 2, x2 = 1 Б) Якщо ми хочемо, щоб x1, x2 були коренями рівняння (4) і x1 не був коренем рівняння (1), то відповідною математичною моделлю для відшукання коефіцієнтів a, b, c, d, m, n буде сукупність таких систем рівнянь: ax + b =− p2; 1 1  2 p2 ,  ax2 + b = cx + d = −q12; 1  q22,  cx2 + d = 2 mx1 + n =−r1 ;  r22.  mx2 + n = «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

(20) (21) (22)

Зауважимо, що праві частини перших рівнянь систем (20)  —  (22) від’ємні, що й уможливлює появу стороннього кореня x1. Зрозуміло, що в разі виконання умов (20)  —  (22) матимемо: ax1 + b = ip1 , cx1 + d = iq1 , mx1 + n = ir1 . (23) Тоді рівняння (11) буде правильним. Будьякі інші комбінації знаків у правих частинах перших рівнянь систем (20)  —  (22) приведуть до хибної математичної моделі. Наприклад, ax1 + b =− p12 , cx1 + d = q12 , mx1 + n = r12 . Тоді рівняння (5) набуде вигляду ip1 + q1 = r1, i2 = –1. Піднесемо до квадрата обидві частини останнього рівняння. Одержимо після простих перетворень: 2ipq = r12 + p12 − q12 . (24) При піднесенні обох частин рівності (24) до квадрата одержимо хибну рівність: −2 p12q12 = ( r12 + p12 − q12 )2 . Алгоритм 2 відшукання коефіцієнтів рівняння (1) у випадку, коли рівняння (4) має два різних дійсних корені, а рівняння (1) тільки один. 1) Генеруємо цілі x1, x2 ∈ [–  6, 6]. Наприклад, x1 = 2, x2 = 4. 2) Якщо x1 = x2, то йти до 1). 3) Генеруємо цілі додатні p1, q1, p2, q2 ∈ [1, 6]. Наприклад, p1 = 2, q1 = 5, p2 = 3, q2 = 1. 4) Обчислюємо згідно з (11) і (12) r1 = p1 + q1, r2 = p2 + q2. У нашому прикладі r1 = 7, r2 = 4. 5) Обчислюємо: p22 + p12 ; x2 − x1

a=

b= − p12 − ax 1 .

(У прикладі a =

c=

q22 + q12 ; x2 − x1

13 , b = –17). 2

d= −q12 − cx 1 .

(У прикладі c = 13, d = –51).

m=

r22 + r12 ; x2 − x1

n= −r12 − mx 1 . 65

(У прикладі m= , n = –114). 2 6) Шукані коефіцієнти рівняння (1) знайдено, а саме рівняння набуде вигляду: 13 2

x − 17 + 13x − 51 =

65 2

x − 114 .

Рівняння (4) для цього рівняння набуде вигляду (26x – 68)(13x – 51) – (13x – 46)2 = 0, або після перетворень: x2 – 6x + 8 = 0. 7) Якщо потрібно 33 варіанти завдань, то йти до 1) і цикл повторити 33 рази. 8) Кінець роботи алгоритму 2. Програма 2. (Maple 15). y := rand(–2 ..1) : z := rand(1 ..3) : j := 33 : i := 1 : Передплатний індекс 74326


Профільне навчання while i ≤ j do x1 := y( ) : x2 := y( ) : while x1 = x2 do x1 := y( ) : x2 := y( ) :end do: p1 := z( ) : p2 := z( ) : q1 := z( ) : q2 := z( ) : r1 := p1 + q1 : r2 := p1 + q2 : ( p22 + p12 )

a := x 2 − x1 : b :=− p12 − a ⋅ x1: ( q22 + q12 )

c := x 2 − x1 : d :=−q12 − c ⋅ x1: ( r 22 + r 12 )

m:= x 2 − x1 : n := −r12 − m⋅ x1: if a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ m ⋅ n ≠ 0 and 4 ⋅ a ⋅ c – (m – n – c)2 ≠ 0 and a ≠ c and d ≠ n then print ( a ⋅ x + b + c ⋅ x + d = m⋅ x + n , ′x′= x2) : i := i + + 1 : end if end do: −5x − 4 + 3 −2x − 1 = −41x − 25 , x = –1

5x − 4 + 12 26x −= 10 32 10x − 6 , x = 1 13x + 17 + 10x + 19= 5x + 4 + 3 2x += 1

41x + 66 , x = –1 41x + 25 , x = 0

−5x + 1 + 3 −2x + 1 = −41x + 16 , x = 0 2 2x + 3 + 13x + 22 =

41x + 66 , x = –1

−2x − 3 + −13x − 22 =−25x − 41 , x = –2 2x + 1 + 13x += 9

25x + 16 , x = 0

−2x + 1 + −5x + 1 = −13x + 4 , x = 0 −5x − 9 + −10x − 19 = −29x − 54 , x = –2 10x − 9 + 3 2x= − 1 2 13x − 9 , x = 1 5x + 1 + 10x += 1

29x + 4 , x = 0

−5x − 9 + −2x − 3 = −13x − 22 , x = –2 1 3

39x − 3 +

2 3

6= x +3

13x + 4 + 10x + = 9 13x − 4 + 5x −= 1

1 3

123x + 21 , x = 1

41x + 25 , x = 0 34x − 9 , x = 1

−13x − 4 + −5x − 4 = 4 −2x − 1 , x = –1 2 −2x − 1 + −13x − 4 = −41x − 16 , x = –1 1 3

−15x + 6 + 13 −6x − 3 = 13 −39x + 3 , x = –2 5x + 1 + 10x += 1

13x + 22 + 3 2x += 3 Передплатний індекс 74326

29x + 4 , x = 0 61x + 97 , x = –1

1 3

25

−15x − 21 + 13 −6x − 3 = 13 −39x − 42 , x = –2 −13x − 17 + 2 −2x − 3 = −41x − 57 , x = –2 −10x + 1 + −5x + 1 = −29x + 4 , x = 0

3 2x + 3 + 13x + 17 = 1 2 1 2

61x + 86 , x = –1

10x + 4 + 12 26x + 16 = 26x − 10 + 12 10x − = 6

17x + 9 , x = 0 17x − 8 , x = 1

10x + 9 + 13x + = 9 3 5x + 4 , x = 0 −2x + 1 + −5x + 1 = −13x + 4 , x = 0 2x − 1 + 10x −= 1 2 5x − 1 , x = 1 В) У випадку, коли рівняння (4) має два різних дійсні корені, а рівняння (1) жодного, алгоритмом побудови потрібного рівняння виду (1) базується на такій математичній моделі:  ax + b =− p2, 1 1  2 ax2 + b =− p2 ; −q12,  cx1 + d =  −q22; cx2 + d =  mx + n =−r 2, 1 1  2 mx2 + n =−r2 . Алгоритм 3 відшукання коефіцієнтів рівняння (1) у випадку, коли рівняння (4) має два різних дійсних корені, а рівняння (1) — жодного, такий. 1) Генеруємо цілі x1, x2 ∈ [–  6, 6]. Наприклад, x1 = 2, x2 = 4. 2) Якщо x1 = x2, то йти до 1). 3) Генеруємо цілі додатні p1, q1, p2, q2 ∈ [1, 6]. Наприклад, p1 = 2, q1 = 5, p2 = 3, q2 = 1. 4) Обчислюємо згідно з (11) і (12) r1 = p1 + q1, r2 = p2 + q2. У нашому прикладі r1 = 7, r2 = 4. 5) Обчислюємо: a=

− p22 + p12 ; x2 − x1

b= − p12 − ax 1 .

(У прикладі a = −

c=

− q22 + q12 x2 − x1

5 , 2

b = 1).

; d= −q12 − cx 1 .

(У прикладі c = 12, d = –  49).

m=

− r22 + r12 ; x2 − x1

n= −r12 − mx 1 .

(У прикладі m=

33 , n = –82). 2

6) Шукані коефіцієнти рівняння (1) знайдено, а саме рівняння набуде вигляду:

5 2

x + 1 + 12x − = 49

33 2

x − 82

.

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


26

Профільне навчання

Підносимо до квадрата останнє рівняння, перетворюємо отримане рівняння й знову підносимо до квадрата. Одержимо після перетворень (–10x + 4)(12x – 49) – (7x – 34)2 = 0, або, знову ж таки після спрощень x2 – 6x + 8 = 0. 7) Якщо потрібно 30 варіанти завдань, то йти до 1) і цикл повторити 30 разів. 8) Кінець роботи алгоритму 3. Програма 3. (Maple 15). y := rand(–1 ..2) : z := rand(1 ..3) : j := 33 : i := 1 : while i ≤ j do x1 := y( ) : x2 := y( ) : while x1 = x2 do x1 := y( ) : x2 := y( ) :end do: p1 := z( ) : p2 := z( ) : q1 := z( ) : q2 := z( ) : r1 := p1 + q1 : r2 := p1 + q2 : ( − p22 + p12 )

a := x 2 − x1

( − q22 + q12 ) c := x 2 − x1

−8x − 9 + −3x − 4 = −21x − 25 −4x − 1 + 12 10x − 36= 12 −18x − 64 8x − 1 + 3x −= 1

−4x − 5 + 12 −6x − 10 = 12 −42x − 58 1 3

24x − 57 + − x= − 2 13 21x − 123

1 3

15x − 66 + 13 24x − 57 = 3 x − 3

1 2

−10x − 26 + 4x= − 5 12 18x − 82

5x − 4 + 8x −= 1 3 3x − 1

: b :=− p12 − a ⋅ x1:

−4x − 1 + 12 −10x − 16= 32 −6x − 4

2

: d :=−q1 − c ⋅ x1:

8x − 1 + 3x −= 1

( − r 22 + r 12 )

m:= x 2 − x1 : n := −r12 − m⋅ x1: if a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ m ⋅ n ≠ 0 and a ≠ c and d ≠ n then print ( a ⋅ x + b + c ⋅ x + d = m⋅ x + n ): : i := i + 1 : end if end do:

−8x − 9 + 5x − 4 = −9x − 25 −4x − 1 +

1 2

1 2

−10x − 16=

−10x − 26 + 4x= −5 −4x − 1 +

1 2

−10x − 16=

8x − 17 + −5x + 1=

3 2 1 2

−6x − 4 18x − 82

3 2

−6x − 4

9x − 34

3x − 7 + −8x + 7 = −7x − 2 1 2

6x − 10 + −4x − 5= 12 −14x − 50

1 2

−10x − 26 + 4x= − 5 12 18x − 82

3x − 1 + −8x − 9 = −7x − 16 3x − 4 + −8x − 1 = −7x − 9 8x − 9 + 5x − = 9 3 3x − 4 −3x + 2 + −5x + 1 = −16x + 7 4x − 9 + 12 −6x= − 4 12 14x − 64 −4x − 5 + 12 −6x − 10 = 12 −42x − 58 −8x − 1 + 5x − 9 = −9x − 16 1 2

6x − 16 + 12 10x − 36 =

8x − 25

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012

21x − 4

21x − 47

−4x − 5 + 12 10x − 26 = 12 −18x − 82 1 2

6x − 10 + 4x= − 5 12 42x − 58

1 2

−6x − 10 + 12 −10x − 26 = −8x − 17

1 2

−10x − 26 + −4x − 5= 32 −6x − 10

1 3

−24x − 33 + x − 3 = 13 −21x − 102

1 2

6x − 10 + 4x= − 5 12 42x − 58

1 2

10x − 26 + 12 6x − 10 =

8x − 17

Для суб’єкта розв’язування задачі конструювання рівняння виду (1) важливим є створення різних моделей і, відповідно, різних способів і алгоритмів розв’язування задачі. Важливо розглянути різні можливі випадки конструюван­ня рівняння (1), коли тільки один корінь рівняння (4) є розв’язком (1) та коли розв’язки (4) не будуть розв’язками (1). За наведеною вище технологією конструювання складних ірраціональних рівнянь, за відповідними способами й алгоритмами можна конструювати складні ірраціональні нерівності виду ax + b + cx + d < ( ≤, >, ≥) mx + n . (25) Однак на відміну від ірраціональних рівнянь виду (1), де розв’язки визначаються безпосередньо математичною моделлю і, відповідно, в алгоритмі конструювання рівнянь, розв’язки нерівностей (25) не визначаються в алгоритмі конструювання цих нерівностей, сконструйовані нерівності ще потрібно розв’язувати. Розв’язування навчальних проблем «зворотним шляхом» формує навчальну ситуацію з різномаПередплатний індекс 74326


Зарубіжний досвід їттям способів розв’язування, що вимагає від суб’єкта розв’язування творчості і на чому наголошував В. А. Крутецький [1]. Стосовно навчальної проблеми конструювання математичних об’єктів, то творчість суб’єкта розв’язування — у створенні нелінійної математичної моделі задачі, її дослідженні і пошуку способу розв’язування, створенні відповідного алгоритму та програми. Особливо важливими є задачі конструювання математичних об’єктів для математично обдарованих учнів чи студентів [2]. Пропонована технологія дає можливість учителю в автоматичному режимі в системі Maple підготувати потрібну кількість одноманітних прикладів, що можуть використовуватися для індивідуальних завдань, самостійної роботи, на заняттях проблемних груп і математичних гуртках, факультативах, для виконання учнівських чи студентських проектів, пошуководослідницької роботи учнів чи студентів. Особливо важливо при розв’язуванні таких рівнянь

27

використовувати інформаційно-комп’ютерні технології, в яких застосовується символьне обчислення, що дасть змогу не виконувати рутинну обчислювальну роботу, формувати в суб’єктів навчання інтегративні знання. Стаття буде корисною вчителям, викладачам, учням і студентам профільних шкіл, коледжів, ліцеїв, гімназій, у яких програми з математики є поглибленими й розширеними, а також студентам фізико-математичних факультетів вищих педагогічних навчальних закладів, магістрантам і аспірантам.

ЛІТЕРАТУРА

1. К р у т е ц к и й В.  А. Психология математических способностей школьников. — М.: Просвещение, 1968. — 432 с. 2. Кушнір В.  А., Кушнір Г.  А., Рожк о в а Н .   Г . Інноваційні підходи до розвитку творчих здібностей математично обдарованих учнів // Шлях освіти. — 2009. — №  4(54). — С.  9—17.

Королівська математика. Досвід шкільної математичної освіти Норвегії Олександра Хара — доцент кафедри інноваційних технологій викладання загальноосвітніх дисциплін НПУ ім. М. П. Драгоманова

You don’t go to school to learn that 2 + 2 = 4. You go to school to learn how to add, and then you can figure out by yourself that 2 + 2 = 4. Unknown source1

Нещодавно Україна приєдналася до Болонського процесу в освіті. Перехід до європейської системи вищої освіти ускладнено відмінностями у навчальній системі нашої країни та країн Європи. Будь-яка система вищої освіти ґрунтується на системі загальної середньої освіти. Для вступу до вищого навчального закладу потрібно отримати атестат про закінчення середньої школи. Яким же чином усунути прогалини та суперечності між середньою та вищою освітою, між українською та європейськими освітніми Ви йдете до школи не для того, щоб вивчити, що 2 + 2 = 4. Ви йдете до школи, щоб навчитися додавати і тоді ви самі зрозумієте, що 2 + 2 = 4. ( Епіграф до збірника статей Норвезького центру математичної освіти)

1

системами? На нашу думку, корисним буди вивчення досвіду різних європейських країн та адаптація його до українських освітніх потреб. В Європі однією з перших країн, яка прийняла Болонську угоду і запровадила систему «3 + 2 + 3», стала Норвегія. У зв’язку з цим у 2005 р. в країні прийнято законодавчу ініціативу з метою зменшення розбіжностей між державними та приватними вищими навчальними закладами та стандартизації навчальних програм. Навчання у вищих закладах Норвегії складається з трьох циклів: бакалаврат (3 роки), магістратура (2 роки), докторантура (3 роки). Для деяких спеціальностей навчання в магістратурі може тривати до 5 років. Докторантура передбачає проведення наукового дослідження і для деяких спеціальностей обов’язковим є рік викладацької діяльності. Вступ до вищих навчальних закладів здійснюється на основі конкурсу атестатів. Одним із обов’язкових випускних іспитів є іспит з математики.

© Хара О. М., 2012 Передплатний індекс 74326

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


Зарубіжний досвід

28

Проте в норвезьких університетах математика та інженерні спеціальності не користуються попитом. Більш популярними є «спеціальності самореалізації»: соціальна та ґендерна психологія, антропологія тощо. Відповідно до дослідження, проведеного у 2005 р. (участь взяло 279 учнів з 6 норвезьких шкіл) [1]. Більшість норвезьких учнів вважають математику корисною, проте нудною. Близько 50  % респондентів стверджували у своїх відповідях, що математика — це нудно. Щоправда, незважаючи на це, більшість учнів зазначали, що їхня успішність залежить від того, наскільки старанно вони працюють на уроках. Більшість респондентів зізналися, що математика є важливою (91 %) і корисною (82 %) в їхньому житті. При цьому дев’ятикласники налаштовані до вивчення предмета більш позитивно, ніж одинадцятикласники. Система освіти в Норвегії значно відрізняється від української. Загальну стуктуру представлено на схемі [2]. На початку ХХ ст. обов’язкова освіта в Норвегії поділялася на два рівні: початкова школа та середня школа. Сьогодні шкільну освіту поділено на три рівні: початкова школа (6  —  13 років), середня школа нижчого рівня (13 — 16 років), середня школа вищого рівня (16  —  19 років). Зазвичай учні мають змінити школу, коли закінчують певний рівень, оскільки у більшості випадків одна школа забезпечує навчання тільки на одному рівні. Óí ³âåðñèòåòè òà Óí ³âåðñèòåòñüê³ ñï åö³àë³çî âàí ³ êî ëåäæ³ óí ³âåðñèòåòè 8 7 Äî êòî ð 6 5 4 Ì àã³ñòð 3 2 Áàêàëàâð 1

Ï ðèâàòí ³ êî ëåäæ³

Äî êòî ð Ì àã³ñòð Áàêàëàâð

Äèï ëî ì

Àòåñòàò (Generell studiekompetanse) Ñèñòåì à 23/ 5 (5 ðî ê³â í àâ÷àí í ÿ ³ ðî áî òè)

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6

³ê ó÷í ³â

Êëàñè

Çàãàëüí à î ñâ³òà VG3 Çàãàëüí à î ñâ³òà (Yrkestag) VG2 (Studiespesialisering) VG1 Í åï î âí à ñåðåäí ÿ î ñâ³òà 10 (Ungdomeskole) 9 8 7 6 5 Ï î ÷àòêî âà ø êî ëà 4 (Bameskole) 3 2 1 Äî ø ê³ëüí à î ñâ³òà (1 − 5 ðî ê³â)

Схема

Для вступу до університету в Норвегії потрібно отримати атестат про закінчення середньої школи або закінчити професійний профіль за так званою системою 23/5: студент має бути не старший за 23 роки та завершити 5 років навчання у школі, поєднане з практикою, а також склати іспити з норвезької мови, математики, англійської мови, природничих та соціальних наук. Вступ до бакалаврату здійснюється через Норвезьку службу вступу в коледжі та університети за кількістю набраних балів. Бали розраховують на основі оцінок, отриманих протягом навчання у повній середній школі, тому чим краще дитина навчалась у школі, тим більше у неї шансів на вступ до університету. Концепцію шкільної освіти висвітлено у навчальному плані. Провідною ідеєю є те, що у школі навчання засновано на розкритті досягнень минулого, їх перетворення у великі традиції суспільства: традиції створювати, шукати і переживати. Зокрема, з традицією шукати учні стикаються, коли нові знання здобуваються на основі розвитку теорії і досліджуються через логічні міркування і досвід, факти і дослідження при вивченні математики. Залучення до цієї традиції передбачає тренування мислення: від створення певних уявлень, через вивчення їх до формування висновків. Одночасно формується вміння ясно висловлювати власну думку при аргументації, обговоренні і наведенні доведень. Розвиток математичної освіти здійснюється через Національний центр математики в галузі освіти. Його основна мета: направляти і координувати розробку нових досконаліших методів навчання та інструментів для математичної освіти в дитячих садах, початкових і середніх школах, навчання дорослих та підготовку вчителів. Центр активно сприяє інноваціям, дискусіям та обміну досвідом у цій дисципліні. Цільовою аудиторією Центру є вчителі математики в школі та центрах підготовки вчителів, викладачі та студенти коледжів та університетів, і розробники навчальних матеріалів. А також батьки, ЗМІ та громадськість з метою створення позитивного погляду на математику суспільства в цілому (http://www.matematikksenteret.no). Шкільна програма з математики [3] не передбачає тематичного розподілу. Вона містить лише загальні рекомендації. Шкільний курс математики у норвезькій школі має просту структуру. У початковій та середній школі нижчого рівня вивчають математику, що становить основу для всіх інших математичних курсів у середній школі вищого рівня, які будуть залежати від обраної спеціальності. У середній школі вищого рівня на першому році навчання VG1 курс математики можна виПередплатний індекс 74326


Зарубіжний досвід вчатися за двома варіантами програм: Т (теоретичний) та Р (практичний) (див. таблицю 1). Таблиця 1

Рік

Основні розділи

1  —  4 Числа

Геометрія

та Вимірювання Статистика ймовірності

та 8  —  10 Числа алгебра Геометрія

Статистика та Вимірювання ймовірності та комбінаторика

VG1T

Числа та Геометрія алгебра

VG1P

Числа та Геометрія алгебра

Економіка

Деякі завдання позначено спеціальними символами: калькулятор електронні таблиці

дослідження завдання підвищеної складності

В задачнику завдання до кожного розділу поділено на три рівні складності та завдання для повторення.

Вимірювання Статистика

та 5  —  7 Числа алгебра Геометрія

29

Функції

Імовірності

Функції

Імовірності

Функції

Розкриємо зміст кожного розділу на прикладі підручника для 10 класу [5]. Структура підручника дуже проста. Весь курс поділено на розділи відповідно до змістових ліній програми. Кожен розділ передбачає: вивчення нового матеріалу, практичні завдання, тести для самоконтролю, цікаві відомості з теми та підсумки. На малюнку 1 представлено обкладинку.

Мал. 2. Вступ

Зміст підручника має такий вигляд. 1. Числа та алгебра Числові системи Розв’язування задач Пропорції Арифметика з невідомими Перевір себе Цікав�� знати Підсумки

Мал. 1. Обкладинка підручника з математики для 10 класу

На першій сторінці підручника (мал. 2) повідомляється: «Ласкаво просимо до Faktor 3. Це третя з трьох книжок, які ви використовуєте у середній школі. До кожної книжки додається також задачник. Ось ваші знайомі, що супроводжують вас в усіх книгах». Кожен розділ підручника поділено на 4 ча­ стини: • теоретичний матеріал та завдання; • тести для самоконтролю; • цікаві завдання; • підсумки. Передплатний індекс 74326

2. Геометрія та обчислення Теорема Піфагора Особливий трикутник Побудова та обчислення Подібність та рівність Порівняння зображень Перспектива Геометрія і технологія, мистецтво та архітектура Перевір себе Цікаво знати Підсумки 3. Функції Функції у повсякденному житті Лінійна функція Графік квадратичної функції Пряма пропорційність Обернена пропорційність Перевір себе Цікаво знати Підсумки

4. Рівняння і нерівності Розв’язування рівнянь Задачі та рівняння Графічне розв’язування рівнянь Два рівняння з двома невідомими Нерівності Перетворення формул Перевір себе Цікаво знати Підсумки 5. Стереометрія та щільність Пряма призма та циліндр Об’єм піраміди Об’єм конуса Об’єм та площа поверхні кулі Щільність Використання формул для розв’язування задач Перевір себе Цікаво знати Підсумки

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


30

Зарубіжний досвід

6. Статистика, комбінаторика та ймовірності Статистичні дослідження Джерела помилок у статистиці Інтерпретація діаграм Комбінаторика Імовірність однієї або кількох подій Експерименти і моделювання Найпоширеніші помилки в обчисленні ймовірностей Перевір себе Цікаво знати Підсумки

7. Економіка Зарплата та податки Кредити Страхування Бюджет та бухгалтерський облік Валюта Перевір себе Цікаво знати Підсумки Використання цифрових засобів Калькулятор Електронні таблиці

У розділі «Числа та алгебра» вивчають поняття числа та розуміння чисел як частини математичних систем та моделей, використання чисел для кількісних вимірювань, цілі числа, звичайні та десяткові дроби, відсотки. При вивченні алгебри узагальнюються розрахунки з числами за допомогою букв та інших символів для опису й аналізу закономірностей і взаємозв’язків. Алгебра використовується у тісному зв’язку з геометрією та вивченням функцій. У підручнику для 10 класу розділ «Tall og algebra» («Числа та алгебра») представлено темами числові системи, пропорції, вирази зі змінними. Перша тема — «Числові системи». Дуже часто в підручнику вивчення нової теми починається з проблемної ситуації. Наприклад, як ми можемо записати великі і маленькі числа у стандартному вигляді (мал. 3)?

Перша сторінка розділу містить інформацію про те, що учні дізнаються з цієї теми (мал. 4). Числа та алгебра

Мал. 4

Цілі У цій главі ви вивчите:

• числа в різних системах числення; • запис маленьких та великих чисел у стандартній формі; • властивості особливих чисел; • пропорції; • вирази зі змінними, що містять дужки та дроби.

Мал. 3

Пояснення нового матеріалу є достатньо традиційним. Порівняно з українськими підручниками відрізняється більшою кількістю веселих ілюстрацій та персонажів. «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

Мал. 4, а

Завдання у розділі «Числа та алгебра» є цілком традиційними: Передплатний індекс 74326


Зарубіжний досвід • запишіть числа у стандартному вигляді; • виконайте обчислення; • розкладіть числа по розрядах; • запишіть числа у звичній формі. Завдання підвищеної складності позначено зірочками. Як було зазначено вище, до кожного розділу крім обов’язкового матеріалу пропонуються додаткові завдання «Noe å lure på» іноді досить цікавого і нетрадиційного у нашому уявленні змісту. Наведемо приклади таких завдань. Так у завданнях до першого розділу «Числа та алгебра» нашу увагу привернули такі. 1. Число 6 є дуже цікавим. Це досконале число: воно є сумою своїх дільників. 6 = 1 + 2 + 3 та 6 = 1 · 2 · 3. Чи можете ви знайти інше число, яке також є сумою своїх дільників? (Підказка: числа мають бути меншими від 30). 2. Число 7 дуже часто зустрічається в різних контекстах: сьомий батько в домі (дідусь з норвезького фольклору, домовик), семимильні чоботи, сім чудес світу. Число 13 є числом невдачі. Багато хто не хоче сидіти на 13 місці, а п’ятниця 13 має погану славу. Число 3 часто зустрічається у казках. Використовуючи Інтернет та додаткову літературу, знайдіть ще зв’язок чисел і містики. 3. Знайдіть приклади використання числа 6 в Біблії. У шкільному курсі геометрії основну увагу зосереджують на вивченні плоских та просторових фігур, основних геометричних перетворень (симетрій, поворотів, рухів), розв’язуванні задач на побудову на площині, вимірювання та обчислення.

31

Розділ «Вимірювання» передбачає вивчення одиниць вимірювання та відповідних методів та формул, оцінку результатів та обчислення похибок. На малюнку 5 зображено першу сторінку теми «Стереометрія та густина». У цій главі ви вивчите:

• об’єм піраміди; • об’єм конуса; • об’єм та площу поверхні кулі; • густина; • як ми використовуємо формули для розв’я­ зування задач. У підручнику вивчення геометрії тісно пов’язане з мистецтвом та архітектурою. В розділі «Геометрія та обчислення» учні ознайомлюються з поняттям золотого перерізу та його використанням в архітектурі (мал. 6).

Мал. 6

Мал. 5 Передплатний індекс 74326

Статистика охоплює планування, збір, організацію, аналіз і представлення даних. Оцінка, формулювання висновків та подання даних є ключовими елементами в статистиці. Обчислення ймовірностей дає змогу виразити в числах вірогідність того, що подія відбудеться. Комбінаторика використовується для розрахунку ймовірності. Наведемо приклади завдань. 1. За допомогою експериментів знайшли ймовірності того, що мишеня вибереться з лабіринту (мал. 7). «Математика в сучасній школі», № 5, 2012


32

Зарубіжний досвід

Друг — це ти, тільки в інший спосіб. Так само як 220 та 284.

Мал. 7

Яка ймовірність того, що мишеня спочатку знайде вихід А? вихід В? 2. Який з кубиків ми отримаємо, якщо складемо розгортку (мал. 8)?

Мал. 9

Мал. 8

Вивчення функцій передбачає дослідження спеціальних характеристик, таких як швидкість зміни функції або досягнення певних значень. Увагу спрямовано на виявлення та застосування функціональних залежностей у повсякденному житті, що відображається у завданнях. 1. Оберіть правильні твердження: а) периметр квадрата пропорційний довжині сторони квадрата; б) площа квадрата пропорційна довжині сторони квадрата; в) ціна текстових повідомлень пропорційна кількості повідомлень; г) час руху пропорційний швидкості; д) зріст людини пропорційний її віку. Зв’язок навчання з релігією яскраво представлений у підручнику. Наприклад, додаткове завдання до розділу «Функції». 2. Що пов’язує дружні числа та Книгу Буття (мал. 9)? Дільниками числа 220 є числа 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 та 110. Сума всіх дільників 284. Дільниками числа 284 є числа 1, 2, 4, 71 та 142. Їх сума 220. «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

Чому, на вашу думку, Яків дав 200 овець та 20 баранів Ісаву? (див. Книгу Буття 32, 14) Вивчення економіки зосереджено на розрахунках та оцінках економічних умов. Зокрема, в 10 класі в курсі математики вивчають нарахування заробітної плати та податків, кредити, страхування, бюджет та бухгалтерський облік, курси обміну валют. Розподіл навчальних годин відповідно до класу подано в таблиці 2. Тривалість уроку — 1 година (45 або 60 хвилин). Таблиця 2

Рік

Кількість годин Початкова школа

1  —  4

560

5  —  7

328

Середня школа нижчого рівня 8  —  10

313

Середня школа вищого рівня (1 рік навчання) загальноосвітній напрям

140

професійне навчання

84

Перевірка та оцінка знань мають вибірковий характер. У програмі з математики зазначено перелік компетенцій, якими мають володіти учні після 2, 4, 7, 10 та VG1 (перший рік навчання у середній школі вищого рівня) років навчання. Проте офіційна атестація передбачена лише після 10-го року навчання та рівня VG1. Деякі учні можуть бути обрані для іспиту з математики. Це може бути національний письмовий екзамен або шкільний усний. Передплатний індекс 74326


Зарубіжний досвід • Перелічимо компетенції з математики, якими мають володіти учні після 10 років навчання. Числа та алгебра • Порівнювати і перетворювати цілі числа, десяткові та звичайні дроби, відсотки і вміти виражати ці цифри по-різному; • виконувати дії з дробами, ділити та скорочувати дроби; • використовувати множники, степені, квадратні корені і прості числа в розрахунках; • розвивати, використовувати та конкретизувати усні методи обчислень, оцінку обчислень та письмові обчислення з чотирма арифметичними операціями; • обчислювати прості алгебраїчні вирази і проводити розрахунки з формулами, які містять дужки і дробові вирази з одним членом в знаменнику; • розв’язувати рівняння і нерівності першого порядку та прості системи рівнянь з двома невідомими; • складати простий бюджет та проводити розрахунки, пов’язані з приватними фінансами; • використовувати за допомогою і без цифрових засобів числа та змінні в дослідженнях, експериментах, при розв’язуванні практичних та теоретичних проблем, у техніці і розробці проектів. Геометрія • Аналізувати характеристики дво- �� тривимірних фігур і використовувати їх для побудови та розрахунків; • виконувати і обґрунтовувати креслення, побудови та ескізи з циркулем і лінійкою та іншими засобами; • використовувати конгруентність та теорему Піфагора для обчислення невідомих довжин і кутів; • інтерпретувати і виконувати креслення і просторові малюнки за допомогою різних засобів; • використовувати координати для представлення даних і знаходження характеристики геометричних форм; • досліджувати, експериментувати та будувати логічні міркування за допомогою геометричних ідей, а також конкретизувати геометричні співвідношення, які мають важливе значення в технології, мистецтві і архітектурі. Вимірювання • Вимірювати і обчислювати довжину кола, міру кута, площу поверхні, об’єм і час, використовувати і змінювати масштаби; • вибирати відповідні одиниці вимірювання, пояснювати взаємозв’язки між різними одиницями вимірювання, переводити одні одиниці в інші, використовувати й оцінювати Передплатний індекс 74326

33

вимірювальні прилади і методи вимірювання для практичного застосування, а також обговорювати і деталізувати точність і похибку вимірювання; • уточнювати число π і використовувати його для розрахунку довжини кола, площі та об’єму. Статистика, ймовірності та комбінаторика • Проводити дослідження і використовувати бази даних для пошуку та аналізу статистичних даних та продемонструвати опрацьовані джерела; • впорядковувати і групувати дані, шукати, обговорювати і конкретизувати медіану, моду, середнє і відхилення, та подавати дані за допомогою і без цифрових засобів; • знаходити ймовірність за допомогою експериментів, моделювання і обчислень у повсякденних ситуаціях та іграх; • описувати вибірку і виражати ймовірності у вигляді звичайних і десяткових дробів, відсотків; • демонструвати на прикладах і знаходити можливі розв’язки простих задач комбінаторики. Функції • Демонструвати на папері і в цифровій формі функції, що описують числові співвідношення і практичні ситуації, інтерпретувати їх і користуватися різними способами задання функцій, такими як графіки, таблиці, формули і текст; • виявляти і використовувати характеристики прямої пропорційності, оберненої пропорційно­ сті, лінійної і квадратичної функцій і наводити приклади ситуацій, які можуть бути описані за допомогою цих функцій. У 1984  —  1989 рр. існувало два варіанти випускних іспитів з математики: з використанням калькуляторів та без їх використання. Тип іспиту обирала школа або конкретний учитель залежно від того, чи використовували калькулятори учні під час навчання. Характерною особливістю шкільної освіти Норвегії є система оцінювання учнів. До 1938 р. існували різні системи оцінювання в школах різних регіонів. У 1938 р. відповідно до національних навчальних планів було опубліковано рекомендації щодо шкільної системи оцінювання та випускних екзаменів. На той момент обов’язкова освіта становила сім років. В середині 50-х рр. ХХ ст. було вирішено продовжити обов’язкову освіту до дев’яти років. У зв’язку з цим було здійснено перегляд системи оцінювання. І у 1978 р. оприлюднено документ, в якому було рекомендовано не використовувати формальне оцінювання у середній школі нижчого рівня. Тобто не використовувати вимірювальні шкали, а об«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


34

Зарубіжний досвід

межитися неформальним оцінюванням учителя, яке він повідомляє учням та батькам у письмовому або усному вигляді. Така заява викликала багато нарікань та протестів, і не була підтримана на державному рівні. За наступної зміни навчальних планів у 1978 р. система оцінювання особливих змін не зазнала. На сьогодні формального оцінювання немає у початковій школі. А в середній школі використовують шкалу від 1 до 6; 6 є найвищим і 2 – найнижчим прохідним балом. Для проміжних оцінювань використовують бали зі знаками + або – (за винятком 6+, 1+ і 1–) або 5/6 або 3/4. Оцінити якість освіти в різних країнах допоможуть міжнародні програми. Міжнародна програма з оцінки освітніх досягнень учнів PISA (Programme for International Student Assessment) здійснюється Організацією Економічного Співробітництва та Розвитку (ОЕСР) (OECD — Organization for Economic Cooperation and Development) [4]. Дослідження PISA проводиться трирічними циклами. У 2009 р. проводився четвертий цикл дослідження PISA, у якому взяло участь 65 країн. Основними складовими оцінки освітніх досягнень у 2009 р. стали «грамотність читання» (пріоритетна складова оцінки, на яку відведено дві третини часу тестування), «наукова грамотність» і «математична грамотність». Основною метою дослідження PISA є оцінка освітніх досягнень учнів 15-річного віку. Ключове питання дослідження: чи володіють учні 15-річного віку, які отримали загальну обов’язкову освіту, знаннями та вміннями, необхідними їм для повноцінного функціонування в суспільстві? Дослідження спрямоване не на виявлення рівня засвоєння шкільних програм, а на оцінку здатності учнів застосовувати отримані в школі знання та вміння в життєвих ситуаціях. Це відображає сучасні тенденції в оцінці освітніх досягнень. У дослідженні PISA також вивчаються чинники, які дають змогу пояснити відмінності в результатах учнів країн-учасниць програми. До даних чинників належать характеристики учнів та їх сімей, характеристики освітніх установ та навчального процесу. Таким чином, у дослідженні PISA одночасно реалізовано кілька сучасних інноваційних ідей у вимірюваннях: оцінка функціональної грамотності, вивчення стосунків, інтересу, мотивації та навчальних стратегій. Математична грамотність (математика) передбачає більш широкий спектр знань та вмінь, ніж ті, що традиційно асоціюються з математикою в школі. Особливу увагу приділяють умінню учнів формулювати, розв’язувати «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

та інтерпретувати проблеми з використанням математики в різних ситуаціях і контекстах. Завдання поділено на три кластери компетенцій. Репродуктивний кластер містить завдання на використання фактичних знань, розпізнавання стандартних математичних об’єктів, виконання рутинних процедур і алгоритмів. У кластері взаємозв’язків представлено завдання, в яких учні мають інтегрувати інформацію як основу для їх розв’язування. Це означатиме, що учні мають можливість бачити зв’язки між різними областями математики. Кластер роздумів має на меті виявлення уміння учнів критично мислити, аналізувати і міркувати, формулюючи математичні задачі на основі даного контексту, розв’язувати цю задачу і обговорювати, чи може розв’язок бути узагальнений незалежно від заданого контексту. За цими дослідженнями рівень знань норвезьких учнів з математики знаходяться на середньому рівні. А лідерами з математичної грамотності є учні Кореї та Фінляндії (PISA Assessment 2009). Відповідно до звіту математична грамотність норвезьких учнів лишилася майже незмінною порівняно з 2003 роком. На жаль, Україна в цих дослідженнях не представлена на відміну від Росії, Казахстану та Польщі. Підсумовуючи, зазначимо, що в Норвегії шкільна математика має яскраво виражену практичну спрямованість. А весь шкільний курс спрямований на інтеграцію змістових ліній, посилення міжпредметних та внутрішньопредметних зв’язків. Сьогодні норвезькі педагоги не задоволені станом математичної освіти в країні. Певним чином вони пов’язують це з недостатньою кількістю компетентних учителів математики.

ЛІТЕРАТУРА 1. K i s l e n k o K. (in press). Structuring students’ beliefs in mathematics: A Norwegian case. Proceedings of the MAVI12 Workshop, May 2006. Lapland, Finland. 2. Система образования в Норвегии// http://www. diplomabroad.ru /norvegiya/sistema_obrazovaniya_v_ norvegii/ 3. MATHEMATICS SUBJECT CURRICULUM. Established as a Regulation by the Ministry of Education and Research on 24 June 2010. Applicable from: 1 August 2010 4. M a r i t K j a e r n s l i and A s t r i d R o e (Eds). On the right track. Norwegian Students’ proficiency in Reading, Mathematics and Science Literacy in the PISA Assessment 2009 5. E s p e n H j a r d a r , J a n - E r i k P e d e r s e n . Faktor 3. Grunnbok. Matematikk for ungdomstrinnet. Передплатний індекс 74326


Сучасні технології

35

ПРЕЗЕНТАЦІЯ ЯК ЕЛЕМЕНТ КОМП’ЮТЕРНО ОРІЄНТОВАНОГО УРОКУ МАТЕМАТИКИ Олена СКАФА — завідувач кафедри вищої математики і методики викладання математики Донецького національного університету, доктор педагогічних наук, професор Ольга ПАВЛІНА — доцент кафедри вищої математики і методики викладання математики Донецького національного університету, кандидат педагогічних наук

Анотація. У статті розглянуто прийоми використання презентацій лінійної та розгалуженої структури на уроках математики та виявлено їх вплив на організацію евристичної діяльності школярів. Ключові слова: евристичне навчання математики, презентації, урок математики. Елена Скафа, Ольга Павлина. Презентация как элемент компьютерно ориентированного урока метематики Аннотация. В статье рассмотрены приемы использования презентаций линейной и разветвленной структуры на уроках математики и определено их влияние на организацию эвристической деятельности школьников. Ключевые слова: эвристическое обучение математики, презентации, урок математики. Elena Skafa, Olga Pavlivna. Presentation as element computer the oriented lesson of mathematics. Summary. In the article techniques of presentations’ using on the lessons of mathematics are considered. The influence of presentations on organization of pupils’ heuristic activity are determined. Keywords. Heuristic teaching of mathematics, presentations, mathematics lesson. Вивчення багатьох розділів шкільного курсу математики важко представити без використання засобів наочності та візуалізації базових еле­ментів математичної теорії, призначених супроводжувати навчальний процес. При візуалізації навчального матеріалу його основна частина може бути зосереджена на малюнку, таблиці або графіку у вигляді одного кадру, послідовності зображень або складно організованої серії у комп’ютерній презентації. Тобто, комп’ютерні презентації в сучасних умовах комп’ютерно зорієнтованих уроків математики, як зазначає Г.  К.  Селевко [2], є важливим елементом візуалізації та демонстрації основних математичних теорій, фактів та понять. Питаннями використання демонстрацій у навчальному процесі займалися О.  Г.  Баришкін, О.  Б.  Драхлер,  Т.  Г.  Крамаренко, Н.  О.  Резнік, Т.  В.  Шубіна та ін. На думку цих авторів, якщо порівняти урок із використанням презентації з традиційним уроком, на якому вчитель постійно звертається до крейди та дошки, то можна зазначити, що застосування презентаційних сценаріїв звільняє велику кількість часу. Ми вважаємо, що цей час доцільно запровадити, наприклад, для додаткового пояснення матеріалу або розгляду евристичних задач [3]. Презентації доречно використовувати на різних етапах уроку математики. Методика їх застосування має свої особливості. Мета статті —

розгляд прийомів використання презентацій на уроках математики та виявлення їх впливу на організацію евристичної діяльності школярів. Залежно від способу демонстрації учитель може обрати структуру презентації: лінійну або розгалужену. Презентації лінійної структури створюються для послідовного подання матеріалу із застосуванням мультимедійних засобів. Вони здебільшого використовуються для введення нового матеріалу і мають містити лише тези повідомлення, які допомагають усвідомити його зміст, ілюструвати формули. Приклад  1. Для демонстрації додавання векторів за правилом трикутника учитель створює слайд (мал.  1). Статична картинка не створить

Мал. 1

Скафа О. І,, Павліна О. В., 2012

Передплатний індекс 74326

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


36

Сучасні технології

ніякого педагогічного ефекту. Ефект досягається за допомогою анімації, яка в необхідний момент надасть  змогу  переміщуватися кожному з векто рів a і c до накладання кінця вектора a на  початок вектора c і створення трикутника. Презентації лінійної структури представляють навчальний матеріал як систему яскравих опорних образів, що допомагає полегшити його запам’ятовування, сформувати необхідне правило-орієнтир, тобто загальні рекомендації, які наштовхують на «відкриття» нової закономірності, факту, поняття, теореми та ін. Приклад  2. Під час формування у школярів уміння доводити теорему, учням корисно запропонувати в презентації слайд (мал. 2), на якому в потрібний час з’являються пункти із загальною евристичною схемою доведення математичного твердження.

Мал. 2

Це можуть бути, наприклад, рекомендації, запропоновані З.  І.  Слєпкань [6]: 1. Виділить те, що дано в твердженні й те, що необхідно довести. 2. Уведіть усі необхідні позначення. У геометричних доведеннях спочатку виконайте малюнок. 3. Запишіть умову та вимоги теореми у символічній формі. 4. Назвіть признаки, необхідні для доведення. 5. Розгорніть умову, тобто з того, що дано, виведіть можливі наслідки. 6. Зіставте з умовою та його наслідками кожну з ознак, за якою можна довести те, що необхідно. Оберіть ознаку, зручну для доведення. 7. Якщо безпосередньо обрати необхідну ознаку не вдається, подумайте, які ще ознаки, необхідні для доведення, можуть бути задані в умові. 8. Постійно пам’ятайте, що у випадку труднощів при доведенні необхідно звернутися до даних і до того, що випливає з них. Учні, дотримуючись наданих рекомендацій, оформляють у зошитах доведення запропонованого математичного твердження. Основа будь-якої правильно спланованої презентації лінійної структури — це логічний аналіз «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

послідовності відображення матеріалу, можливих запитань і добре продумані репліки для коментаря кожного слайда презентації. Якість такої презентації, як зазначає І. Скляр [7], залежить від того, наскільки ретельно перед її розробкою було продумано та враховано: • мету: наскільки точно визначено суть того, про що ви хочете розповісти, і дібрані факти, які використовуються для аргументації; • аудиторію: чи враховано особливості конкретного класу (як учні сприймуть ваші інформаційні дані); • зміст: наскільки продумано сценарій презентації (текст, зображення, звуки, анімацію й інші елементи, що супроводжують навчальні відомості); • спосіб демонстрації створеної презентації: проектування слайдів на великий екран, робота учнів зі слайдами за власними комп’ютерами або самостійне їх ознайомлення з презентацією. Спосіб демонстрації створеної презентації залежить від складності матеріалу, що пропонується учням, від рівня їх підготовки, методів навчання, які використовує вчитель на уроці. Але при організації уроку необхідно враховувати такі чинники: • робота школярів зі слайдами за власними комп’ютерами протягом усього уроку є непродуктивною; • одночасна (синхронна) робота під керівництвом учителя доцільна тільки протягом короткого проміжку часу з метою адаптації до навчальної програми і досліджуваних прийомів діяльності; • комп’ютер як навчальний засіб не може пов­ ністю замінити вчителя, не може оперативно реагувати на зміни педагогічних ситуацій, що виникають у ході навчально-виховного процесу. Важливим є й те, як буде представлено друкований текст з екрана. Так само, як і наочність, текст має з’явитися у заздалегідь продуманий учителем час. Як і з наочністю, не слід захоплюватися ефектами анімації. Літери, які хаотично «вистрибують», будуть тільки відволікати учня. Найбільше підходить для демонстрації друкованого тексту ефект «поява». Розробнику варто звернути увагу на напрямок і обрати появу тексту «ліворуч», що відповідає порядку читання. Крім того, необхідно врахувати швидкість появи тексту: повільна поява тексту знижує темп уроку (в учнів, які добре читають, швидко зникає інтерес до тексту). І навпаки, зосереджує увагу Г.  О.  Авастацатуров [1], дуже швидка поява тексту, його змінюваність, призведуть до нерозуміння учнями навчального матеріалу, що пропонується. Однією з найпоширеніших помилок при створенні презентацій лінійної структури є вміщенПередплатний індекс 74326


Сучасні технології ня в неї великого обсягу відомостей, графічних зображень та анімаційних ефектів, що відвертають увагу слухачів від змісту слайдів. Презентації, які завдяки гіпертекстовим посиланням мають розгалужену структуру, можуть використовуватися на етапі засвоєння нових знань, при закріпленні та застосуванні вивченого матеріалу, при узагальненні й систематизації знань, у визначенні рівня навчальних досягнень учнів та ін. Такі презентації допомагають скорегувати помилки школярів у необхідний момент і надати евристичну підказку, якщо це необхідно. Учні мають змогу опрацьовувати запропонований матеріал з урахуванням їх здіб­ ностей, якщо організувати їх роботу індивідуально за персональним комп’ютером. Особливу увагу звернемо на комп’ютерну підтримку етапу актуалізації знань школярів, що можна зробити за допомогою презентацій розгалуженої структури у програмі MS  Power  Point. На прикладах звернемо увагу на три з таких програм [4]: • «Тест-корекція»; • «Задача-метод»; • «Задача-софізм». Приклад  3. У процесі навчання учнів розв’язувати задачі за темою «Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл» учитель може створити презентацію у вигляді тесту з програмою корекції (мал.  3).

37

Мал. 4

інформаційна — розв’язування (мал.  5);

надається

алгоритм

Мал. 5

повне розв’язання задачі — ознайомлення зі зразком розв’язування задачі (мал.  6).

Мал. 3

Школярам пропонується система навчальних задач (не менше від п’яти), де в індивідуальному режимі вони мають змогу не тільки перевірити правильність отриманої відповіді, а й зосередити увагу на ході розв’язування кожної із задач. У разі неправильної відповіді корекція представляється у вигляді різнорівневих підказок, що направляють на пошук правильного розв’язання: евристична — «розмите» наведення на пошук розв’язування задачі (мал.  4); Передплатний індекс 74326

Мал. 6

Учень сам обирає ту підказку, яка для нього є переважною, тобто забезпечується індивідуалізація навчання. «Математика в сучасній школі», № 5, 2012


38

Сучасні технології

Робота з такою презентацією може проходити в класі, якщо мається кількість комп’ютерів, щоб забезпечити кожного учня. Організується самостійна робота. Учитель направляє цю роботу, перевіряючи, як працює кожен школяр. У разі необхідності таку презентацію можна надавати учням як домашнє завдання. Розробляючи таку презентацію, слід ураховувати те, що завдання в тесті краще підбирати базового рівня, щоб вони були зрозумілими кожному учню. Можна спланувати вивчення теми у такий спосіб. На першому уроці традиційним способом провести подання нового матеріалу та первинне ��ого засвоєння. Наступний урок можна спланувати у комп’ютерному класі, де учні індивідуально працюють із розробленою вчителем презентацією, тобто закріплюють вивчений матеріал. На третьому уроці можна провести самостійну роботу для перевірки рівня опанування матеріалу на базовому рівні. Так, програма «Тест-корекція» актуалізує базові знання учнів. Забезпечити більш глибоке сприйняття й розуміння навчального матеріалу можна за допомогою презентацій у вигляді програми «Задачаметод». Ідея таких програм полягає в тому, що розв’язання задачі на слайдах подається покроково. Учню потрібно знайти правильне обґрунтування кожного здійсненого кроку. Це сприяє формуванню вміння аналізувати, шукати аналогії, перебирати варіанти різних підходів до пошуку розв’язання задачі. Приклад  4. Актуалізацію вивчення теми «Піраміда» можна організувати за допомогою презентації, побудованої у вигляді програми «Задача-метод»  (мал.  7).

кроку. Учням необхідно обрати правильне обґрунтування кроку розв’язування. У випадку правильної відповіді з’являється слайд з наступним кроком розв’язування задачі. Якщо школярі помиляються у виборі обґрунтування, надається інформація про те, чому воно неправильне, та пропонується повернутися до попереднього кроку розв’язування задачі, ще раз подивитися на можливі шляхи обґрунтування та обрати інше (мал.  8).

Мал. 8

За допомогою цієї програми в класі можна організувати узагальнення і систематизацію знань. При цьому учні вчаться аналізувати, досліджувати, мислити раціонально. Приклад  5. При вивченні теми «Циліндр» учитель може застосовувати програми «Задачасофізм». Тексти програм представляють ланцюжок виконаних дій з розв’язування задачі, де на одному з кроків розв’язання припущено помилку. Мета завдання полягає у знаходженні помилки в міркуванні. Учень розв’язує в зошиті задачу, порівнює власний результат з тим, що пропонується на слайді та шукає помилку на слайді. У випадку помилково обраного шляху пропонується слайд з корекцією помилки учня (мал.  9).

Мал. 7

Організовується колективна робота у класі. На слайді після умови задачі надається перший крок її розв’язування і до нього пропонується набір певних міркувань, один з яких може бути правильним обґрунтуванням здійснення цього «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

Мал. 9 Передплатний індекс 74326


Мала академія наук запрошує до дослідження Якщо її знайдено правильно, то наступним слайдом є правильне розв’язання усієї задачі (мал. 10).

39

ня відповіді в процесі евристичного діалогу, коли акцентується увага на теоретичних фактах, деяких способах розв’язування завдання, пропонується «розмите наведення» на розв’язування та надається можливість самостійно знайти «свій шлях» до відкриття розв’язання, одержання розв’язку та перевірки результатів.

ЛІТЕРАТУРА

Мал. 10

Для пошуку помилкового твердження необхідно вміти аналізувати розв’язання задачі, проводити аналогію з передбачуваним розв’язанням і своїм власним, встановлювати правильність вибору невідомого тощо. Презентації розгалуженої структури можуть використовуватися вчителем не тільки у навчальному процесі на певних етапах уроку, а й корисно їх застосовувати як різнорівневі домашні завдання школярам, особливо, коли увага вдома зосереджується на навчанні доведенням, про що йшлося у нашій статті [5]. Такі презентації поступово наближають учня до пошуку розв’язування завдання та знаходжен-

1. Дизайн мультимедийного урока: методика, технологические приемы, фрагменты уроков / сост. Г.  О.  Авастацатуров. – Волгоград : Учитель, 2009. – 133  с. 2. С е л е в к о   Г.  К. Педагогические технологии на основе информационно–коммуни­кационных средств / Г.  К.  Селевко. – М. : НИИ школьных технологий, 2005. – 208 с. 3. С к а ф а   О.  І. Комп’ютерно-орієнтовані уроки в евристич­ному навчанні математики: навчальнометодичний посібник / О.  І.  Скафа, О.  В.  Тутова; [Донецький національний університет]. — Донецьк: вид-во «Вебер» (Донецька філія), 2009. — 320 с. 4. С к а ф а   Е.  И. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология. Монография / Е.  И.  Скафа. — Донецк: Изд–во ДонНУ, 2004. — 439  с. 5. С к а ф а   О.  І. Навчання доведенням та евристики / О.  І.  Скафа // Математика в школі. — 2004. — № 5. — С. 14—19. 6. С л є п к а н ь  З. І. Методика навчання математики / З.  І.  Слєпкань. — К.: Вища шк., 2006. — 582 с. 7. Створюємо презентації. PowerPoint / Упоряд. І. Скляр. — К.: Ред. загальнопед. газ., 2005. — 112 с. — (Б-ка «Шк. світу»).

ПРО ПІДГОТОВКУ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ УЧНІВ — ЧЛЕНІВ МАЛОЇ АКАДЕМІЇ НАУК Микола ПИХТАР — викладач Славутицької філії НТУУ «КПІ», учитель математики Славутицького ліцею, м. Славутич Київської області

Статтю присвячено проблемі щодо підготовки дослідницьких робіт учнів — членів МАН Украучнів –– членів МАН до контрольної роботи з ма- їни, оскільки програма конкурсу передбачає: тематики. Як один з шляхів вирішення вищевказа• конкурс науково-дослідницьких робіт; ної проблеми пропонується використання простого • виконання контрольних завдань із базових прийому — дотримання своєрідної стратегії та до- дисциплін; • захист науково-дослідницьких робіт. бору задач для школярів МАН. Контрольна робота з математики є однією зі складових конкурсу-захисту науково-

Контрольні завдання з математики містять 9 завдань трьох рівнів складності і виконуються протягом 3 астрономічних годин:

© Пихтар М. П., 2012

Передплатний індекс 74326

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


40

Мала академія наук запрошує до дослідження

Задачі III рівня складності — задачі, спрямоперший рівень — 3 завдання; вані на формування вміння застосування знань другий рівень — 3 завдання; в новій, нестандартній ситуації. третій рівень — 3 завдання [1]. Зрозуміло, що така градація рівнів складносВ організації підготовки до контрольної роботи членів МАН необхідно врахувати такі важливі ті є умовною і тому зосередимо увагу лише на основних якостях, які повинні бути притаманні аспекти: • контрольна робота з математики для учнів задачам олімпіадного рівня, оскільки не кожмає бути не тільки однією зі складових конкурсу- на задача, яка пропонувалася на якій-небудь захисту науково-дослідницьких робіт, а й однією олімпіаді, може вважатися олімпіадною. І.  Рузі складових у системі розвитку їх математичних банов [2] виділяє такі важливі функції олімпіадної задачі. здібностей; 1) Нестандартність. Олімпіадні задачі, в • найкраща підготовка до будь-якого конкурсу (контрольної роботи, олімпіади, турніру тощо) — переважній більшості, мають бути нестандартце систематичні серйозні заняття математикою. ними, тобто вимагати для свого розв’язання не Разом з тим корисним буде розв’язання задач тільки шкільних знань, а й нешаблонного підз матеріалів конкурсів попередніх років за де- ходу, логіки. Нестандартність — це не синонім складності, кілька тижнів до змагання. Тому при такому підході має бути вироблена навпаки, обдарованій дитині «однокрокові» нестандартні задачі (коли розв’язання зводиться певна стратегія. Суть її полягає у такому: 1. Конкретно для кожного учня, який готуєть- до знаходження однієї ідеї), легші за стандартні, ся до написання контрольної роботи з матема- які вимагають великої технічної роботи [2]. Нетики в рамках МАН, складається індивідуальний стандартність задачі — відносне поняття: заплан, що охоплює оптимальний набір тем, які дача, стандартна для одних учнів, для інших, необхідно повторити або вивчити; надається які знають менше, може бути нестандартною. Наведемо прклади. література. Задача 1. Площа квадрата дорівнює 32  см2. 2. При підготовці основна увага приділяється не запам’ятовуванню розв’язань опорних задач, Яка довжина його діагоналі? а формуванню вміння класифікувати задачі, заСтандартною ця задача стає для тих, хто своєнню загального підходу до їх розв’язування. знає теорему Піфагора. Для учнів, які не знаОсновою для «розкрутки» задачі може бути як її йомі з нею, задача стає нестандартною, бо результат, так і ідея розв’язування. У першому мають здогадатися: якщо розрізати даний квавипадку розглядаються аналогічні задачі, уза- драт діагоналями на чотири трикутники, то з гальнення, наслідки, факти, конкретні випадки, них можна буде скласти два рівних квадрата, що використані при розв’язуванні. У другому — площа кожного з яких 16  см2, а тому стороінші застосування тієї ж ідеї, різноманітні її на, яка дорівнює половині діагоналі даного варіації, або суміжні ідеї. квадрата — 4  см. Серед типів задач доцільно відбирати ті, які Задача 2. Перевірити, чи ділиться дане число можуть бути ефективно використані для форму- 11...1 11...1  на: а) 4; б) 6; в) 7?  вання математичних культури учнів, зокрема: 2011 2011 задачі підвищеного рівня складності; відкриЗрозуміло, що це цілком стандартна задача ті задачі, або задачі пошуково-дослідницького для учнів середньої ланки. Зовсім інша картина спрямування. стає, якщо ідею — перевірити ознаки подільІ. Задачі підвищеного рівня складності ності чисел, приховати, тобто сформулювати навмисно спрямовані на формування змісто- задачу так. вого аналізу й узагальнення та на розвиток Задача 3. Чи існують такі натуральні числа відповідних умінь і навичок. Задачі такого n, для яких виконуються рівність: D( n) ⋅ n = 11...1 11...1 ,  типу традиційно розбиваємо на три рівня 2011 2011 складності, переважна більшість яких — олім- де D(n) — добуток усіх цифр десяткового запису піадного рівня. натурального числа n. Задачі I рівня складності зорієнтовані на Такого роду задача вже може вважатися неформування теоретичних знань (фактів, понять, стандартною для учнів. теорем, алгоритмів, методів доведення матема2) Ідейність. Ще один важливий компонент тичних тверджень). математичних здібностей — кмітливість. ТобЗадачі II рівня складності — це комбіновані то при розв’язанні задачі необхідно придумати задачі, розв’язування яких потребує знань хоча б одну неочевидну ключову ідею. Такого різних розділів курсу математики гуртка роду якість задачі будемо називати ідейністю. МАН (принцип неперервного повторення ма- Тому важливо, щоб олімпіадні задачі були заснотеріалу). вані на таких ідеях, які працюють і в «великій» «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

Передплатний індекс 74326


Мала академія наук запрошує до дослідження математиці. Ідейність і нестандартність тісно пов’язані, бо нестандартна задача найчастіше всього випливає з її ідейного конструювання [2]. Та бувають задачі нестандартні, але зовсім безідейні. З іншого боку, деякі нестандартні раніше ідеї або методи можуть стати для багатьох учнівгуртківців МАН певною мірою стандартними. Звернемося до розглянутих задач. Розв’язу­ вання задачі 1 базується на ідеї розрізання та складання, яка являється головною при виведенні формул площ фігур, при доведенні теореми Піфагора. При розв’язуванні задачі 3 можна використати метод перебору цифр числа n (n ∈ N). 3) Краса задачі. Пригадаємо одну з відомих російських приказок: «Зустрічають по одежині, а проводжають по розуму», тобто красу та вишуканість формулювання задачі називатимемо тут «одежиною», а якщо цю красу наповнити красою дизайну — «розумом», то така математична задача і буде «товаром» найвищої якості. Наповнити математичну задачу зовнішньою та внутрішньою красою є також мистецтвом. Краса математичної задачі не вичерпується її формулюванням, її збагачує ідея розв’язання. Вона має свою внутрішню логіку розвитку, завдяки їй і складаються методи або підходи багатьох розділів математики [3]. Наприклад. Задача 4. Чи існують два ірраціональних числа α і β такі, що число αβ є раціональним?, яка має таке розв’язання α = 2 , β =log 2 3 (воно ще потребує доведення ірраціональності числа log 2 3 ), можна знайти таку яскраву ідею: візьмемо два ірраціональних числа; якщо число 2

Задача називається задачею з відкритим твердженням, якщо невизначеність наявна в її твердженні, наприклад, дослідити властивості параболічного чотирикутника. Зрозуміло, що існують задачі, в яких невизначеність присутня і в умові, і в твердженні — так звана вища форма відкритості (наприклад: За яких умов параболічний чотирикутник має певну кількість осей симетрії?). Найвищою формою «відкритості» задачі є предметна область задачі, в якій немає ні умови, ні твердження [4]. Наприклад. 1) Дослідити властивості (x] — найменшого цілого числа, яке не менше за x. 2) Побудувати арифметику лишків за натуральним модулем m. Починати складати відкриті задачі можна і треба на будь-якому етапі навчання на заняттях гуртка МАН, але краще цього навчати з узагальнення. Узагальнення задачі або цілого класу задач та пошук її розв’язування формують в учнів — слухачів, кандидатів і членів МАН дослідницькі вміння й математичну культуру, а тому до домашнього завдання доцільно включати завдання, які вимагатимуть від учня не тільки узагальнення деякої задачі, а й пошук її розв’язування. Роботу з навчання прийомам узагальнення корисно починати ще при розгляді теоретичної бази теми. Розглянемо приклади узагальнення задач. Задача 5. Згадаємо ряд Фібоначчі: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (an = an – 1 + an – 2, a0 = a1 = 1). Геометрична інтерпретація чисел цього ряду дає змогу побудувати софізм зі «зникненням» або «появою» квадратика 1 × 1 (мал.  1):

3 — раціональне, то такі числа α і β знайдено, а якщо воно ірраціональне, то візьме2

, β = 2 і число  3

Передплатний індекс 74326

2

8

2

  =3 є   раціональним. Така надзвичайно яскрава ідея розв’язання буде корисною і при розв’язанні інших задач, особливо логічного спрямування. II. Відкриті задачі — задачі, головна вимога яких містить деяку невизначеність: чи існує об’єкт A, що задовольняє умові B?; чи можна побудувати об’єкт A, що задовольняє властивостям B і C?; об’єкт A має властивість B, а які ще властивості має даний об’єкт? Скласти задачу обернену даній; скласти задачу на застосування методу; узагальнити дану задачу. Розв’язування відкритої навчальної задачі полягає у тому, щоб спочатку її довизначити і тільки після цього знайти розв’язок або деякі суттєві кроки розв’язання в разі узагальнення. Задача називається задачею з відкритою умовою, якщо невизначеність наявна в умові задачі.

мо α = 3

41

I

II 3

III

IV 5

5

5

8 I 5 III 3 II 5

3

8 8= 64

3 IV

5

8

5 13= 65

Мал. 1

Ця задача Кассіні викликає щире здивування у дітей, адже аксіоми площі многокутника виконуються (щоправда, на перший погляд). І все ж таки, звідки з’являється зайвий квадратик? Задача узагальнюється на наступні члени ряду Фібоначчі (мал.  2). 13 5

I

5 8 III

II 8 IV

8 5 21 8= 168

13

5 8

8 I

8

III 5 II 8

Мал. 2

5 IV

8

13 13 13= 169

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012


Мала академія наук запрошує до дослідження

42

Куди подівся один квадратик? Які ще наступні члени послідовності чисел Фібоначчі дають змогу побудувати такого роду софізм? Запропонуйте розрізання на чотири частини для чисел an – 2, an – 1, an, an + 1, для n ≥ 8 і дайте геометричну інтерпретацію. Задача 6. Нехай при вивченні теми «Функціональні співвідношення» були включені для колективного розв’язання такі задачі: 1) Функція f : R → R задовольняє умові

f ( x + a) =

1 2

+

f ( x) − f 2( x) , де a ∈ R+. Довести,

що f — періодична та навести приклад такої, відмінної від сталої, функції при a = 1. 2) Функція f : R → R задовольняє умові

f ( x + a) =

1 3

+3−

1 3

f ( x) + f 2( x) − f 3( x) , де a ≠ 0. Які

властивості має така функція? Одне з можливих узагальнень цих задач може бути таким: 3) а) Якими мають бути дійсні числа b0 (b0 > 0), b1, b2, …, bn, щоб функція f : R → R, яка задовольняє умові

падку тупокутного трикутника), та довести це твердження. Спеціальними випадками цієї задачі можуть бути такі: а) Відновити рівносторонній трикутник за основами трьох його висот. б) Відновити рівнобедрений трикутник за основами трьох його висот. Розв’язування цих задач не повинно викликати ускладнень, до того ж вони підштовхують до знаходження основної ідеї (загальної). Задача 8. Дано точку А і три промені, які виходять з цієї точки і не лежать в одній площині. Потрібно провести через точку В, відмінну від точки А, площину так, щоб кути між променями та площиною були однаковими. Для даної задачі ключ до її розв’язування може дати подібна задача в R2: 8, а) Через точку В провести пряму під одним кутом до сторін ∠  LAM (мал.  3).

f ( x + a) = b0 + n b1 f ( x) − b2 f 2( x) +  + bn f n ( x) (a > 0, n ≠ 1, n ∈ N), була періодичною з періодом T = 2a? б) Чи не можна сформулювати подібну задачу при ∀n ∈ R, замінивши вираз n A на ви1

раз A n ? в) Наведіть приклад функції f, множина значень якої містить не менше від двох чисел (тобто f  (x) ≠ c) і яка задовольняла б умовам а) і б). Зазначимо, що формулювання й результати багатьох задач, особливо більш простих, можуть бути значно узагальнені — це завжди високо оцінюється, а розв’язання або часткове розв’язування більш узагальнених задач часто потребує розгляду спеціальних випадків. Спеціалізація задачі є оберненою дією до її узагальнення. Доцільніше спеціалізацію задачі проводити на основі спеціалізації даних або невідомих. Особливо корисно розглядати спеціальні випадки для задач олімпіадного характеру, оскільки окремі (частинні) спеціальні випадки допомагають знайти головну (більш загальну) ідею розв’язування. Розглянемо приклади таких задач, взятих з різних галузей математики. Задача 7. Відновити трикутник, якщо відомо основи трьох його висот. Складність її розв’язування полягає в тому, що треба здогадатися про збіг прямих, на яких лежать висоти шуканого трикутника і бісектриси трикутника з вершинами в основах висот шуканого (бісектрис двох зовнішніх кутів у ви«Математика в сучасній школі», № 5, 2012

Мал. 3

А ця задача, в свою чергу, містить такий спеціальний випадок: коли точка B′ ∈ AL або точка B′ ∈ AM. Якщо точка B′ ∈ AL, то відкладемо AB′ = AC′ на промені AM і ∆AB′C′ буде рівнобедреним, а отже, ∠AB′C′ = ∠AC′B′. Далі, побудувавши пряму BC || B′C′, ми тим самим знайшли головну ідею розв’язання задачі 8, а. Тепер у випадку R3 спрацьовує аналогія: • будуємо рівні відрізки AB′, AC′, AD′ на променях AL, AM, AN відповідно; • через точку В будуємо площину (BCD||B′C′D′). Задача 9. Порівняти числа: 1) πe і eπ; 2)

(

π cos n

)

sin

π n

і

(sin ) π n

cos

π n

, n ≥ 5.

Розв’язання задач на порівняння чисел виду ab і ba (a > 0, b > 0) потребує знання спеціалізованої задачі на дослідження монотонності ln x , яка є узагальненням задачі x ln a ln b про порівняння чисел і . a b

функції f ( x) =

Розглянемо тепер на прикладах застосування певної ідеї та різноманітні її варіації. Задача 10. Побудувати ∆ABC у якого медіана AM хоча б в 10 разів довша за бісектрису AL, а бісектриса AL принаймні в 10 разів довша за висоту AH. Розв’язання. Візьмемо рівнобедрений прямокутний ∆ABC (AB = BC), в якому закріпимо точку A і будемо рухатися в протилежну Передплатний індекс 74326


Мала академія наук запрошує до дослідження сторону вздовж променя BC. Оскільки обидві сторони трикутника, які виходять з вершини A, а з ними й бісектриса будуть при цьому необмежено збільшуватися, то настане момент, коли бісектриса рухомого трикутника AB1C1 виявиться мінімум в 10 разів довшою за його фіксовану висоту AB. Закріпимо вершину B1, а вершину C1 будемо рухати в тому ж напрямку. При цьому кут між бісектрисою рухомого трикутника і перпендикуляром AB завжди буде менше, ніж

ϕ = ∠BAC1 +

90 − ∠BAC1 2

< 90 .

Отже, бісектриса рухомого трикутника, збіль­шу­ю­ чись, завжди буде меншою за гіпотенузу прямокутного трикутника з гострим кутом, а медіана його буде так само необмежено збільшуватися. Врешті, настане момент, коли відношення медіани до бісектриси стане більшим від 10. Основна ідея розглянутого розв’язання — метод послідовних наближень. Наближенням тут є рівнобедрений прямокутний трикутник, який послідовно перетворювався доти, поки не отримав усі необхідні властивості. Задача 11. Коник-стрибунець, який сидить у початку координат, починає стрибати по числовій осі. Перший його стрибок — на 1  м, а кожний наступний — в 2 рази довший за попередній. Напрямок кожного стрибка коник-стрибунець обирає сам. Знайдіть координати всіх точок, в які він може потрапити за скінченне число стрибків. Відповідь тут очевидна — це всі точки з непарними цілочисельними координатами. Розв’язання. Зрозуміло, що довжина n-го стрибка коника-стрибунця становитиме 2n – 1, бо після першого стрибка він з’явиться в точці 1 або –1, а довжини всіх інших наступних стрибків — парні цілі числа, а тому після кожного стрибка він потраплятиме в точку з непарною координатою. Покажемо тепер, що він зможе потрапити в будь-яку таку точку. При цьому достатньо розглянути випадок, коли її координата додатна: щоб потрапити в точку з рівною їй за модулем від’ємною координатою, достатньо змінити напрямок усіх стрибків. Нехай k — непарне число, а n — найменше з цілих чисел, для яких 2n – 1 > k. Покажемо, що коник-стрибунець зможе потрапити в точку k за n cтрибків. Якщо кожен стрибок розглядати як вектор, то вектор, що з’єднує початкову і кінцеві точки, дорівнюватиме сумі векторів всіх здійснених стрибків. Сума векторів не змінюється від перестановки доданків, а тому точка, в яку потрапить коник-стрибунець залежить лише від довжин і напрямків стрибків, але не залежить від порядку, в якому вони здійснюються. Тепер змусимо коника-стрибунця стрибати в зворотному порядку: спочатку — на 2n – 1, потім на Передплатний індекс 74326

43

2n – 2 і т. д., до 20 = 1, причому стрибати кожного разу він буде в той бік, де знаходиться точка k (в саму точку k коник-стрибунець не зможе потрапити, доки не стрибне на 1, бо до цього його координата буде завжди парною). Далі, за індукцією доводиться, що при цьому відстань від коника-стрибунця до точки k буде завжди меншою за довжину останнього стрибка. Ця задача належить до задач, при розв’язу­ ванні яких використовується декілька прийомів: метод послідовних наближень, ідея «оберненого ходу» (стрибки в зворотному порядку) і математичної індукції. У цих двох задачах озвучено і геометричні, і алгебраїчні, і комбінаторні мотиви: метод послідовних наближень застосовується майже в усіх галузях математики. Наприклад, його різновидом є «метод подібності» в задачах на побудову, коли спочатку будують фігуру, подібну даній, а потім за допомогою гомотетії будують шукану. Іншим різновидом є метод ітерації необмеженого знаходження коренів рівнянь. Метод математичної індукції теж можна вважати різновидом методу послідовних обмежень. Таким чином, одна олімпіадна задача приводить до розгляду цілого ряду важливих методів. 3. Спеціальну увагу приділяють Всеукраїнським учнівським олімпіадам усіх етапів, а також репетиційним як домашнім, так і аудиторним контрольним роботам, оскільки такі роботи є яскравим індикатором рівня математичної культури учня. У першому семестрі бажано провести дві домашні та дві аудиторні контрольні олімпіади (аудиторні можна суміщати із Всеукраїнськими учнівськими олімпіадами I та II етапів), учасниками яких мають бути всі члени гуртка МАН. У другому семестрі — дві такі аудиторні роботи: одна перед захистом науково-дослідницької роботи (для членів МАН), а друга — в кінці занять гуртка МАН поточного навчального року. У другому семестрі домашніх репетиційних олімпіад не передбачається, адже їх можуть замінити заочні математичні олімпіади, які проводять окремі факультети ВНЗ, журнали «У світі математики», «Математика в школі». До таких олімпіад діти долучаються з бажанням і ентузіазмом. При складанні варіантів контрольної роботи слід дотримуватися таких простих правил. Правило 1. Пропонуючи задачу, ми повинні бути впевнені в тому, що учасники такої роботи мають володіти або володіють необхідними знаннями для її розв’язування. Правило 2. Задачі варіанта мають бути різноманітними за тематикою: арифметико-алгебраї­ чні задачі, геометричні задачі, бажаною є наявність комбінаторних і логічних задач. «Математика в сучасній школі», № 5, 2012


44

Мала академія наук запрошує до дослідження

Правило 3. Задачі варіанта мають бути різними за складністю. В олімпіадному варіанті обов’язково має бути задача, «що втішає» для слабкіших учасників і складна задача для найсильніших учнів. Правило 4. Матеріали, розібрані на заняттях гуртка, є основою при складанні та доборі текстів задач. Варіант можна вважати якісно складеним, якщо він добре диференціює (розділяє за рівнем підготовленості) учасників. Наведені нижче варіанти завдань контрольної роботи з математики для учнів — членів МАН 9—11-х класів повністю задовольняють вимогам вказаних правил. 9 клас Перший рівень 1. Чи існують такі різні цифри, що всі трицифрові числа, складені з них без повторень, є простими? 2. Кути трикутника ABC утворюють арифметичну прогресію, α — величина середнього з них. Знайдіть всі цілі розв’язки рівняння y – x  tg  α = 0. 3. Доведіть, що числа n , n +1 , n + 2 , де n — натуральне число, не є послідовними членами арифметичної прогресії. Другий рівень 4. Доведіть нерівність: a3 + 2 ≥ a2 + 2 a , якщо a ≥ 0. 5. Відомо, що площа прямокутного трикутника ABC дорівнює S, радіус вписаного кола — r, радіус описаного кола — R. Доведіть, що

r = S + R2 − R . 6. В лабораторії є розчин кухонної солі чотирьох різних концентрацій. Якщо змішати перший, другий і третій розчини у відношенні 3 : 2 : 1, то утвориться 15 %-й розчин. Другий, третій і четвертий розчини, які взято в рівній пропорції, дають при змішуванні 24 %-й і, нарешті, розчин, утворений із рівних частин першого і другого розчинів, має концентрацію 10  %. Якою буде концентрація при змішуванні другого і четвертого розчинів у пропорції 2 : 1? Третій рівень 7. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f ( x )= 3 1 − x + 4 x . 8. Початок координат і точки перетину прямої y = –x + 1 визначають трикутник OAB. Знайдіть точку, для якої сума відстаней до вершин цього трикутника була б найменшою. 9. Знайти всі дійсні значення параметра a, при яких з нерівності 0 ≤ x ≤ 1 випливає нерівність (a2 + a – 2)  x2 – (a + 5)  x – 2 ≤ 0. 10 клас Перший рівень 1. За допомогою циркуля та лінійки побудуйте ГМТ, з яких даний відрізок AB видно під даним кутом α. «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

2. Які числа виду 222  …  22 можна подати у вигляді або суми, або різниці квадратів натуральних чисел? 3. Розв’яжіть нерівність x2 – px + 1 ≥ 0 для всіх дійсних значень p. Другий рівень 4. Обчисліть суму n+ 2 n!

+

2 2!

+

7 3!

+

14 4!

+ ... +

n2 − 2 , n!

де n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n. 5. У площині трикутника ABC знайдіть точку, сума квадратів відстаней якої до вершин трикутника є найменшою. 6. Для додатних чисел а, b, с доведіть нерівність: a2 ( b + c − a) b+ c

+

b2 ( a + c − b) a+c

+

c2 ( b + a − c) b+ a

ab + bc + ca . 2

Третій рівень 7. Знайти найбільше значення функції

y = x + 4 1−

x . 2

8. При якому дійсному значенні λ розв’язком нерівності 1 − x 2 + 1 ≥ λx 2 є відрізок довжиною c? 9. У даному трикутнику ABC заштрихуйте ГМТ M таких, щоб площа трикутника ABM була більшою від площі трикутника ACM. Відповідь обґрунтуйте. 11 клас Перший рівень 1. Довести, що куб гіпотенузи прямокутного трикутника більший від суми кубів його катетів. 2. Знайдіть всі значення параметра a, при яких обидва корені квадратного рівняння x2 – ax + + 2 = 0 дійсні і належать проміжку (0; 3). 3. Спростіть вираз 1 − 2x − 1

1+

1 + 2x − 1

1−

1 x 1 x

2x − 1 2x − 1

при

1 2

≤ x <1.

Другий рівень 4. Куб вписано в піраміду, утворену координатними площинами і площиною π: 2x – 3y – 4z – 12 = 0 так, що одна з вершин куба належить площині π, а три його суміжні грані — координатним площинам. Знайдіть площу поверхні куба. 5. Розв’яжіть рівняння:

7 5( ) − 5 7( ) = 2. 6. Основа піраміди — паралелограм, сторони якого 16  см і 22  см. Відстань від вершини піраміди до центра основи 4  см. Знайдіть довжини бічних ребер піраміди, знаючи, що вони виражаються послідовними непарними числами. log x −1

log x +1

Передплатний індекс 74326


Мала академія наук запрошує до дослідження Третій рівень 7. У сферу радіуса R вписано конус найбільшого з можливих об’єму. Визначте площу поверхні цього конуса. 8. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу 5  sin  x cos  y + 8  sin  x sin  y + 6  cos  x. 9. Відомо, що функція y = f  (x) задовольняє умові: при будь-якому дійсному x 1+ f ( x)

f ( x + a) =

1 − f ( x)

, де 0 ≠ a — фіксоване дійсне

число. Доведіть, що функція f — періодична. Відповіді та вказівки до завдань 11 класу 1. В к а з і в к а . Скористайтесь тим, що в довільному прямокутному трикутнику ABC, у якого ˆ , b = c cos Aˆ i AB = c, BC = a, CA = b, a = c sin A

45

t

2 7 тина рівняння   = 1 + tt 5 5

є зростаючою

функцією, а права – спадною, то воно має не більше одного розв’язку. Не важко переконатися, що t = 1 є його розв’язком. Таким чином, якщо t = 1 , то x = 6 єдиний розв’язок вихідного рівняння. 6. Відповідь: 11, 13, 15, 17.

8 (1 + 2 )πR 2 (кв. од.). 9 min f ( x, y ) = −5 5 , max f ( x, y ) = 5 5.  a = (5;8;6) ,  Вказівка. Позначте через b = (sin x cos y; sin x sin y; cos x) . Тоді даний 7. Відповідь: 8. Відповідь:

S=

вираз є скалярним добутком цих векторів,   3 ˆ 3 2 ˆ 2 ˆ 3 ˆ a + b = c (sin A + cos A) < c (sin A + cos A) = c , тобто f ( x, y ) = a ⋅ b . Як відомо, з шкільно   3 ˆ бо кут А – гострий, а тому sin A < sin 2 Aˆ , го курсу геометрії a ⋅ b = a ⋅ b cos a, b . Тому cos 3 Aˆ < cos 2 Aˆ .       − a ⋅ b ≤ f ( x, y ) = a ⋅ b ≤ a ⋅ b . 1   2. Відповідь: a ∈ 2 2; Залишається знайти довжини цих векторів та . 3  значення змінних, при яких досягається най3

3

3

3

( )

В к а з і в к а. Корені рівняння x2 – ax + 2 = 0 є y = f (x) = x2 – ax + 2 нулями функції , графіком якої є парабола, вітки якої напрямлені вгору. Корені існуватимуть тоді і тільки тоді, коли дискримінант D = a2 – 8 буде невід’ємним, а належатимуть проміжку (0; 3) тоді, коли f (0) > 0, f (3) > 0, і xb ∈ (0; 3). 3. Відповідь:

1− 1+ 4. 5.

1 1 + ⋅ 2x − 1 2x − 1 1  x ⋅ = 1 при x ∈  ;1. 2x − 1 1 − 1 ⋅ 2x − 1 2  x 2 Відповідь: S = 10 10 (кв.од.). 3 Відповідь: x = 6 .

В к а з і в к а . Перепишемо дане рівняння log ( x −1) так 7 5 − 1 = 5 log 7 ( x +1) + 1 та покажіть, що log ( x −1) функції f ( x) = 7 5 − 1 і g ( x) = 5 log 7 ( x +1) + 1 log ( x −1) взаємно обернені. Оскільки f ( x) = 7 5 −1 (1; ∞ ) , то рівняння – зростаюча на log 5 ( x −1) log 7 ( x +1) 7 −1 = 5 + 1 рівносильне наступlog ( x −1) ному 7 5 − 1 = x , тобто 7 log5 ( x −1) = 7 log 7 ( x +1) або log 5 ( x − 1) = log 7 ( x + 1). Останнє рівtt t няння рівносильне такому 5 +1 = 7 −1 tt

2 7 або ж такому   = 1 + tt завдяки заміни 5 5 log 5 ( x − 1) = log 7 ( x + 1) = t. Оскільки ліва часПередплатний індекс 74326

більше та найменше значення. 9. В к а з і в к а. З умови випливає, що

1 + f ( x + a) 1 . =− 1 − f ( x + a) f ( x) 1 З того, що f ( x + 2a ) = − , матимемо f ( x)

f ( x + 2a) = f (( x + a) + a ) =

f ( x + 4a ) = −

1 = f ( x). f ( x + 2a )

Отже, f (x)– періодична з періодом 4a (a ≠ 0).

ЛІТЕРАТУРА 1. П р а ц ь о в и т и й   М.  В. Контрольна робота з математики як складова конкурсу-захисту науководослідницьких робіт учнів — членів Малої академії наук України / М.  В.  Працьовитий, В.  О.  Швець // У світі математики. – Том 7. — 2001. — Вип.  3. — С. 60—73. 2. Р у б а н о в   И. Лекции по олимпиадным задачам / И.  Рубанов // Газета «Математика», приложение 1 сентября. — 2001. — № 1,  2,  3. 3 . Я к и р   М.  С. Что же такое красивая задача? (Урок-диспут) / М. С. Якир // Математика в школе. — 1989. — №  6. —  С.  41—46. 4. Р а к о в   С.  А. Формування математичних компетентностей учителя математики на основі дослідницького підходу в навчанні з використанням інформаційних технологій: автореф. дис. … д-ра пед. наук: 13.00.02 / Раков  С.  А. — Харків: ХНПУ, 2005. — 44 с. «Математика в сучасній школі», № 5, 2012


46

ВІтаємо ювіляра

УЧЕНИЙ, ПЕДАГОГ, ОСОБИСТІСТЬ Доктору педагогічних наук, професору Миколі Яковичу Ігнатенку – 60 років! «Життя є здійснення внутрішньо можливого» – цей вислів видатного німецького філософа Освальда Шпенглера якнайкраще розкриває сутність життєвого шляху, що ним простує Микола Якович Ігнатенко, доктор педагогічних наук, професор, заслужений працівник освіти України, заслужений діяч науки і техніки АР Крим, перший проректор РВНЗ «Кримський гуманітарний університет» (м.  Ялта). Для Миколи Яковича, який народився 19 травня 1952 року, цей рік – ювілейний. Для всіх, хто знає ювіляра, незаперечним є те, що його доля – історія життєвого успіху, породженого природною обдарованістю, завзятою наполегливою працею, невтомним самовдосконаленням. Особистісне становлення Миколи Яковича розпочалося у роки дитинства, у родині чесних і сумлінних сільських трударів з невеличкого села Миколаївка на Чернігівщині, коли і мама, і тато плекали у синові вміння поважати людину, розуміти її самоцінність, шанувати простоту у поведінці, справедливість у вчинках, відвертість і добровільність у громадському житті. Саме родинне виховання сформувало у Миколі Ігнатенко впевненість у тому, що все здобуте у житті має бути результатом власних цілеспрямованих зусиль. Ці переконання укріпилися в юні роки, коли, після закінчення початкового навчання вдома, підліток щоденно долав шлях у чотири кілометри, щоб дістатися школи у сусідньому селі, а для отримання повної шкільної освіти впродовж двох років відвідував середню школу, розташовану на відстані восьми кілометрів від домівки. Але від початку, коли у старших класах, кохаючись у математиці, із захопленням слухав шкільного вчителя-фахівця, й до моменту, як у 1973 році після закінчення Ніжинського педагогічного інституту, двадцятиоднорічним юнаком розпочав професійну діяльність як учитель математики в одній зі шкіл міста Ніжин, Микола Ігнатенко був переконаний у власному життєвому призначенні – бути педагогом, ділитися з іншими тією радістю від пізнання нового, яку сам так цінував. Ця впевненість лише укріпилася армійською службою, коли недавньому студенту, тепер – електромеханіку військової частини ракетних військ стратегічного призначення, стали в нагоді знання, отримані в інституті. «Математика в сучасній школі», № 5, 2012

Подальша доля Миколи Яковича Ігнатенка засвідчила здійснення внутрішніх можливостей, що відчував у собі змалечку: у двадцять п’ять років – директор середньої загальноосвітньої школи у місті Ніжин, кілька років по тому – начальник міського та обласного управління освіти, з 1994 року – декан, пізніше – перший проректор Чернігівського державного педагогічного інституту. На цих відповідальних ділянках практичної роботи Микола Якович зарекомендував себе як успішний менеджер освітянської справи, керівник, котрий постійно вдосконалював професійно-фаховий рівень, ефективно поєднував адміністративну діяльність із педагогічною працею. Наукові інтереси Миколи Яковича Ігнатенка вже тоді концентрувалися у сфері вдосконалення системи фахової підготовки майбутніх вчителів математики. Він був переконаний – формуванню наукового світогляду молоді сприятиме включення до навчальних програм теоретикометодологічних питань математики, укріплення послідовного зв’язку між шкільними та вишівськими ступенями оволодіння дисциплінами математичного циклу. Тому Миколою Яковичем був обраний провідний аспект перспективних наукових зацікавлень – аналіз шляхів активізації навчально-пізнавальної діяльності учнівської та студентської молоді у процесі навчання математики. Наукова кар’єра Миколи Ігнатенка складалася успішно – 1992 року він став кандидатом, 1997 року – доктором педагогічних наук за спеціальністю «теорія та методика навчання математики», 1998 року отримав звання професора кафедри геометрії. Відтоді й дотепер неухильно зростає науковий доробок Миколи Яковича, у якому він позиціонується як фахівець із ґрунтовною методологією, із інноваційним стилем мислення. На сьогодні науково-педагогічна спадщина Миколи Яковича Ігнатенка сягає понад ста наукових праць, з них – 10 монографій, 12 навчальнометодичних посібників з математики та методики її викладання у середній та вищій ланках освіти. З кінця 1998 року й до сьогоднішнього дня Микола Якович Ігнатенко перебуває у професорськовикладацькому складі РВНЗ «Кримський гуманітарний університет» (м. Ялта). Він є першим проректором цього вищого навчального закладу, у становленні та розвитку якого брав безпосередню участь від моменПередплатний індекс 74326


Вітаємо ювіляра ту заснування. Можна без перебільшення констатувати, що еволюційне зростання Кримського гуманітарного університету, зміцнення його наукового та практично-дієвого потенціалу відбувалося при результативному сприянні Миколи Яковича, коли було ліцензовано та акредитовано 18 спеціальностей, зроблено значний поступ у запровадженні новітніх технологій навчання, уведенні кредитно-модульної системи навчання, у процесі інтеграції ВНЗ до європейського освітнього простору. В умовах сьогодення Микола Якович успішно реалізує накопичений роками досвід плідного поєднання адміністративної роботи з науково-практичною педагогічною діяльністю. Творчий підхід до вирішення актуальних проблем середньої та вищої математичної освіти забезпечив високий потенціал діяльності кафедри математики, теорії та методики навчання математики Кримського гуманітарного університету, яку очолює Микола Якович Ігнатенко. Як завідувач, він неухильно опікується покращенням кадрового потенціалу, професійним ростом викладачів, зокрема, за роки його керівництва кафедра була повністю забезпечена викладачами із науковим ступенем. Під керівництвом ученого науково-педагогічні працівники кафедри плідно працюють над реалізацією науково-дослідної ��еми кафедри «Методологічні та методичні основи активізації навчально-пізнавальної діяльності учнів і студентів у процесі вивчення математичних дисциплін». На сьогодні як найбільш перспективні у роботі колективу кафедри математики, теорії та методики навчання математики, очолюваної Миколою Яковичем, визнані такі напрями: психолого-дидактичний аспект проблеми активізації навчально-пізнавальної діяльності студентів і учнів у процесі навчання математики; компьютерно орієнтовані та інтерактивні технології навчання при опануванні дисциплін математичного циклу; актуальні питання методики навчання математичних дисциплін. Микола Ігнатенко переконаний – сумлінний учений має працювати для майбутнього, плекати кадри для науки завтрашнього дня, турбуватися проблемою формування національних наукових шкіл. Під керівництвом професора Миколи Яковича Ігнатенка захищено 10 кандидатських дисертацій, 8 готується до захисту. Він є членом трьох спеціалізованих рад із захисту кандидатських і докторських дисертацій, в одній із яких є головуючим. Успіх дослідницької праці забезпечує вченому широка ерудиція не тільки у сфері математики, а й у таких галузях, як теорія управління, методологія та методика педагогічної діяльності, соціологія, а також багаторічний досвід викладацької роботи. Результати наукових пошуків Миколи Яковича Ігнатенка мають не тільки теоретичну вагу. Поряд із фундаментальними аспектами досліджень науковця у галузі викладання математики у вищій школі значний практичний потенціал мають його напрацювання у Передплатний індекс 74326

47

напрямі обґрунтування методичних засад активізації навчально-пізнавальної діяльності учнів і студентів при вивченні математичних дисциплін. Вагомим підґрунтям науково-педагогічної праці Миколи Яковича є впевненість у тому, що математичні курси у педагогічних ВНЗ треба будувати так, щоб студенти уявляли структуру сучасної математики в цілому та постійно бачили в ній місце шкільних курсів. Він сповідує неперервність та наступність у системі підготовки вчителя завдяки поєднанню довишівського, вишівського навчання та професійної перепідготовки дорослих. Великим є діапазон тематики науково-методичних досліджень Миколи Яковича Ігнатенка: вирішення як загальнометодологічних, так і прикладних проблем математичної освіти. Його лекції та практичні заняття відрізняються високою науковістю, сучасним підходом, прагненням залучити студентів до самостійної роботи. Не менш значущою ділянкою просвітницької роботи професора Миколи Ігнатенка стала праця у складі редакційних колегій поважних наукових та науково-методичних видань – всеукраїнських часописів «Математика в сучасній школі», «Гуманітарні науки», міжнародного збірника «Дидактика математики – проблеми і дослідження». Микола Якович користується вагомим авторитетом серед педагогічної громадськості міста Ялта та Автономної республіки Крим у цілому. Напрацюванню такого престижу сприяла його успішна праця впродовж 2000 – 2002 років на посаді начальника управління освіти Ялтинської міської ради, де він використав власний значний досвід адміністративноуправлінської діяльності. Для Миколи Яковича вагомою була і залишається просвітницька діяльність. До сьогодні Микола Якович Ігнатенко небайдуже ставиться до проблем освіти у місті: бере активну участь у роботі методичного об’єднання вчителів математики міста, здійснює керівництво філіалом Малої академії наук (математична секція), є куратором процесу довишівської підготовки, що відбувається у Кримському гуманітарному університеті. Багаторічну науково-професійну діяльність Миколи Яковича Ігнатенка вшановано державними та галузевими нагородами – знаком «Відмінник освіти», медаллю А. С. Макаренка, знаком Міністерства освіти та науки України «За наукові досягнення» та урядовою грамотою. Ці відзнаки красномовно засвідчують значні заслуги ювіляра науковій, просвітницькій, суспільно-громадській та соціально-культурній сферах на благо України. Необхідною умовою особистісно-творчої реалізації власного потенціалу для Миколи Яковича Ігнатенка завжди були люди, котрі його оточували, у першу чергу, його улюблена родина – дружина Валентина Петрівна, донька Марина, сини Сергій та Олександр, онуки. Особливою гордістю Миколи Яковича, за його власним свідченням, є те, що його «Математика в сучасній школі», № 5, 2012


Інформуємо читачів

48

на досягнення високої мети позитивно впливає на молодих науковців. Кожен, хто особисто знає Миколу Яковича, не вагаючись, скаже: якщо молодість – це стан душі, котра небайдуже, жваво реагує на все у житті, не може спокійно, холодно, відсторонено сприймати реальність, то ця людина залишається молодою, бадьорою та діяльною у праці, творчості, міжособистісному спілкуванні. Шлях майже 40-річної педагогічної праці, що його пройшов Микола Якович, переконує: життєвою метою людини має бути досягнення щастя – творчого, професійного, особистого, інакше вогонь натхнення не палатиме яскраво, життєві сили не будуть потужними, а успіх не стане безумовним. Переконані, що Микола Якович Ігнатенко є такою щасливою самодостатньою особистістю, та бажаємо цьому талановитому науковцю, педагогу, чуйній, сердечній людині тепла й поваги від оточуючих, творчої наснаги, молодості душі та міцного здоров’я.

донька, Марина Миколаївна Ігнатенко, продовжила справу батька, досягла значних успіхів на науковій та освітянській ниві, зараз є доктором історичних наук, професором кафедри історії, правознавства та методики викладання Кримського гуманітарного університету. Обдарований від природи, Микола Якович постійно займається саморозвитком. У життєвих узагальненнях, поглядах на працю, освіту, творчість він досяг побудови оригінальних особистісних моделей, які можуть стати в нагоді кожному. Визначальною особистісною рисою Миколи Яковича є людяність. Обов’язкову вимогливість до себе він поєднує з толерантним ставленням до тих, хто його оточує. Батьківське розуміння бажань і прагнень студентів, доброзичливість у стосунках з колегами, працелюбність, відповідальність у справах, порядність у спілкуванні – такі риси складають основу психологічного портрета ювіляра. Микола Якович – творча особистість, він глибоко розуміє сутність педагогічних та суспільних явищ, його налаштування

Численні колеги, друзі, однодумці

Читайте в наступних номерах  Індивідуальна траекторія підготовки до ЗНО * * *  Задачі на екстремум * * *  LII Всеукраїнська учнівська олімпіада з математики

Державне інформаційно-виробниче підприємство видавництво «Педагогічна преса» Директор видавництва Олександр ОВЧАР Головний редактор редакції природничо-математичних журналів Микола ЗАДОРОЖНИЙ Адреса видавництва та редакції:

Державний комітет зв’язку та інформації України ф.СП-1 доставна картка — доручення ПВ

місце

літер.

На

газету журнал

74326

Над номером працювали: Олена ПОПОВИЧ (відповідальний редактор) Ірина КОСОНОЦЬКА (коректор) Марина КОЛМАГОРОВА (комп'ютерний набір) Віктор Дяченко (верстальник)

«Математика в сучасній школі» найменування видання

Вартість

передплата

кількість комплектів

переадресування

1

на 2012 рік по місяцях 1

2

3

4

5

поштовий індекс ___________________________ код вулиці

буд.

корп.

кв.

6

7

8

9

10

11

01054, Київ, вул. Дмитрівська, 18/24 Тел.: 486-69-52 E-mail: 2345255@ukr.net журнал «Математика в сучасній школі»

12

місто

__________________________________

село

__________________________________

область _________________________________ район __________________________________

Підписано до друку 17.05.2012. Формат 60x84 ⅛. Папір офсет. Друк офсет. Умов. друк. арк. 5,58. Обл.-вид. арк. 6,6. Наклад 1800 пр. Зам. Видрукувано ВАТ «Видавництво "Київська правда"», 04136, м. Київ, вул. Маршала Гречка, 13 Свідоцтво про державну реєстрацію АО1 № 602408 від 11.10.2010 р.

вулиця __________________________________ прізвище, ініціали

«Математика в сучасній школі», № 5, 2012

Передплатний індекс 74326


Matematika v suchasnіj shkolі №5 2012