Page 1

А. Г. ЦЫПКИН, А. И. ПИНСКИЙ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ С МЕТОДАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ 3-е издание, исправленное

Москва ОНИКС Мир и Образование 2007


УДК 51(075.3) ББК 22.1я72 Ц97

Цыпкин А. Г. Ц97 Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы / А. Г. Цыпкин, А. И. Пинский. — 3-е изд., испр. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. — 640 с.: ил. ISBN 5-488-00721-0 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 5-94666-341-0 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)

Данное справочное пособие включает все основные разделы школьной программы по математике. Книга содержит необходимые теоретические сведения и методы решения задач, иллюстрируемые подробно разобранными примерами. Упражнения для самостоятельного решения включают задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Приводятся ответы, указания или решения ко всем упражнениям. Пособие адресовано учащимся старших классов, абитуриентам и учителям математики. УДК 51(075.3) ББК 22.1я72 ISBN 5-488-00721-0 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 5-94666-341-0 (ООО «Издательство «Мир и Образование») © Арманд Р. П., наследник, 2007 © Оформление переплета. ООО «Издательство Оникс», 2007


От издательства

Настоящее учебное пособие представляет собой третье, переработанное и исправленное издание нии тех же авторов (первые два издания под названием «Справочни по методам решения задач по математие для средней шолы» были выпущены в 1983 и 1989 .). Оно предназначено для учащихся, желающих систематизировать, улубить и расширить свои знания по математие, для тоо чтобы лучше подотовиться  выпусным эзаменам в шоле и вступительным эзаменам в вуз. Цель нии — изложить методы решения задач из урса математии средней шолы, а таже тех задач, оторым в шоле по тем или иным причинам не уделяется должноо внимания. Попытой достинуть этой цели и определяется струтура нии. В начале аждоо парарафа рато изложен теоретичесий материал (определения, основные теоремы и формулы), знание отороо необходимо для решения задач данноо раздела. Это позволяет использовать ниу, не прибеая дополнительно  шольным учебниам. Затем уазывается метод решения задач аоо-либо вида и рассматривается пример, в отором используется этот метод. После этоо приводятся упражнения для самостоятельноо решения (о всем упражнениям в онце нии даны ответы, а  неоторым — уазания или решения). Таая форма изложения, по мнению авторов, наиболее удобна для ативноо усвоения методов решения задач. В ряде случаев при рассмотрении примеров дается, возможно, не самое оротое и изящное решение. Это объясняется прежде всео тем, что при решении примеров авторы в первую очередь стремились дать налядное представление о предложенном методе, а вовсе не о демонстрации нестандартных подходов  решению различных


4

От издательства

задач. Упражнения для самостоятельноо решения в основном взяты из вариантов, предлаавшихся на вступительных эзаменах по математие в вузы с повышенными требованиями  математичесой подотове абитуриентов. В ние таже содержится материал, выходящий за рами ныне действующей прораммы по математие для учащихся средних шол: например, уравнения и неравенства, содержащие обратные трионометричесие фунции (§ 27 и § 29 л. 5); омплесные числа (§§ 31—34 л. 6); непрерывность фунции в точе (§ 44 л. 8); ряд задач на омбинации мнооранниов и фиур вращения (§ 75 л. 13); ряд задач, решаемых с помощью метода оординат и методов веторной алебры (§ 78 и § 80 л. 14). Однао авторы полаают, что изучение этоо материала будет способствовать развитию и повышению математичесой ультуры учащихся, а таже принесет пользу при дальнейшем обучении в вузе. Безусловно, уазанный дополнительный материал будет полезен учащимся шол, лицеев и имназий, изучающих математиу по расширенной прорамме. Для удобства пользования ниой в ней приняты следующие обозначения: рядом с номерами тех упражнений,  оторым даны уазания или решения, ставятся соответственно знаи  и ; те же знаи ставятся и в онце нии перед уазаниями или решениями. При подотове настоящео издания нии ее научное и литературное редатирование, переработу части материала, проверу мноих решений и ответов, устранение замеченных неточностей и опечато выполнил А. М. Суходсий. Издательство будет блаодарно всем, то пришлет свои замечания, советы и пожелания, связанные с этой ниой. Желаем вам успехов!

Глава 1 Преобразование алгебраических выражений При преобразованиях алебраичесих выражений используют формулы соращенноо умножения и правила действий со степенями. Формлы со ращенноо множения (a + b)(a – b) = a2 – b2, (a2

(2)

(a2 – ab + b2)(a + b) = a3 + b3,

(3)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(4)

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2,

(5)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,

(6)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

(7)

– b) =

a3

(1) b3,

+ ab +

b2)(a

Правила действий со степенями Если a > 0, то am · an = am + n, (am)n a0 am n

:

an

=

amn,

= 1, =

(9) (10)

am – n,

a m = am/n,

(8)

n − 0,

1 n a–n =  --a-  .  

(11) (12) (13)

Если a > 0, b > 0, n Ý N, то n

ab =

n

a

n

n a a = -------- . b n b

n ---

b,

(14) (15)


4

От издательства

задач. Упражнения для самостоятельноо решения в основном взяты из вариантов, предлаавшихся на вступительных эзаменах по математие в вузы с повышенными требованиями  математичесой подотове абитуриентов. В ние таже содержится материал, выходящий за рами ныне действующей прораммы по математие для учащихся средних шол: например, уравнения и неравенства, содержащие обратные трионометричесие фунции (§ 27 и § 29 л. 5); омплесные числа (§§ 31—34 л. 6); непрерывность фунции в точе (§ 44 л. 8); ряд задач на омбинации мнооранниов и фиур вращения (§ 75 л. 13); ряд задач, решаемых с помощью метода оординат и методов веторной алебры (§ 78 и § 80 л. 14). Однао авторы полаают, что изучение этоо материала будет способствовать развитию и повышению математичесой ультуры учащихся, а таже принесет пользу при дальнейшем обучении в вузе. Безусловно, уазанный дополнительный материал будет полезен учащимся шол, лицеев и имназий, изучающих математиу по расширенной прорамме. Для удобства пользования ниой в ней приняты следующие обозначения: рядом с номерами тех упражнений,  оторым даны уазания или решения, ставятся соответственно знаи  и ; те же знаи ставятся и в онце нии перед уазаниями или решениями. При подотове настоящео издания нии ее научное и литературное редатирование, переработу части материала, проверу мноих решений и ответов, устранение замеченных неточностей и опечато выполнил А. М. Суходсий. Издательство будет блаодарно всем, то пришлет свои замечания, советы и пожелания, связанные с этой ниой. Желаем вам успехов!

Глава 1 Преобразование алгебраических выражений При преобразованиях алебраичесих выражений используют формулы соращенноо умножения и правила действий со степенями. Формлы со ращенноо множения (a + b)(a – b) = a2 – b2, (a2

(2)

(a2 – ab + b2)(a + b) = a3 + b3,

(3)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(4)

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2,

(5)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,

(6)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

(7)

– b) =

a3

(1) b3,

+ ab +

b2)(a

Правила действий со степенями Если a > 0, то am · an = am + n, (am)n a0 am n

:

an

=

amn,

= 1, =

(9) (10)

am – n,

a m = am/n,

(8)

n − 0,

1 n a–n =  --a-  .  

(11) (12) (13)

Если a > 0, b > 0, n Ý N, то n

ab =

n

a

n

n a a = -------- . b n b

n ---

b,

(14) (15)


6

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений Если a < 0, b < 0, n = 2k, k Ý N, то n

ab =

n

a

b ,

n

(16)

n a a = ----------- . b n b

n ---

ab =

n

a

n a a = -------- , b n b

b,

(18)

b − 0.

(19)

n

a 2m =

n

am.

(20)

Под упрощением иррациональноо выражения понимают приведение ео  виду, содержащему меньшее число алебраичесих операций над входящими в исходное выражение переменными. Для упрощения иррациональноо выражения часто разлаают исходное выражение на множители, а затем выносят общий множитель за соби. П р и м е р 1. Упростить выражение a a+b b 2 b ab --------------------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b ( a + b)(a – b) a+ b

a a + b b = a3/2 + b3/2 = (a 1/2 )

3

=

+

x–y x–y ---------------------- – ---------------------x + y 2 xy x– y 1. ---------------------------------------------------- · -------------y–x . x+ y x– y ---------------------- + ---------------------x–y x–y

 a+ b  3. a  ----------------------   2b a 

–1

 a+ b  + b  ----------------------   2a b 

  (ab)–1/2.  

–1

.

 x 1/2 + y 1/2 x 1/2 – y 1/2  –1/2 - – ----------------------------  (y – x–1/2). 4.  ---------------------------1/2 1/2 x 1/2 + y 1/2   x –y 2

5. ( (

4

a –

4

b)

–2

+ (

4

a +

4

b)

–2

 a+ b  -  . ) :  -------------------- a–b 

2

( a 1/m – a 1/n ) + 4a ( m + n )/mn

3

+ (b 1/2 ) .

( a 2/m

a 2/n ) ( m

am + 1 + n an + 1 )

1 ----------------- + a – 1 a–1 a–1 - : --------------------------------------------------------------------------------- . 7. -----------------------------------------1 1 (a – 1) a + 1 – (a + 1) a – 1 ------------------ – ----------------a–1 a+1 ( a + b ) 2 – 4b

a + 9b + 6 ab 1 1 ------- + ------b a

8. --------------------------------------------------------- : --------------------------------------- .

Используя формулу (3), получаем +

Ответ. 1.

6. ------------------------------------------------------------------------------------------ .

Р е ш е н и е. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе первой дроби данноо выражения. Для этоо представим числитель в виде

(a1/2

a – ab + b + 2 ab – 2b – ab a–b ------------------------------------------------------------------------------------- = ------------- = 1. a–b a–b

–1   a– b  1 --------------------------2.  --------------------------------------–  a 3/2 – b 3/2  –2 (a 1/2 + b 1/2 )   

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

3 (b 1/2 )

(*)

Упростите выражение:

Если n Ý N, m Ý N, то

3 (a 1/2 )

a – ab + b 2 b ab ------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b a–b a+ b

Приведя выражение (*)  общему знаменателю, имеем

n ---

2n

7

Множитель a1/2 + b1/2 = a + b является общим для числителя и знаменателя дроби. После ее соращения данное выражение примет вид

(17)

Если n = 2k + 1, k Ý N, то n

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

b1/2)

(a –

a1/2b1/2

+ b).

 1 1 ( a – b ) :  --- + 3 ---  a  b


6

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений Если a < 0, b < 0, n = 2k, k Ý N, то n

ab =

n

a

b ,

n

(16)

n a a = ----------- . b n b

n ---

ab =

n

a

n a a = -------- , b n b

b,

(18)

b − 0.

(19)

n

a 2m =

n

am.

(20)

Под упрощением иррациональноо выражения понимают приведение ео  виду, содержащему меньшее число алебраичесих операций над входящими в исходное выражение переменными. Для упрощения иррациональноо выражения часто разлаают исходное выражение на множители, а затем выносят общий множитель за соби. П р и м е р 1. Упростить выражение a a+b b 2 b ab --------------------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b ( a + b)(a – b) a+ b

a a + b b = a3/2 + b3/2 = (a 1/2 )

3

=

+

x–y x–y ---------------------- – ---------------------x + y 2 xy x– y 1. ---------------------------------------------------- · -------------y–x . x+ y x– y ---------------------- + ---------------------x–y x–y

 a+ b  3. a  ----------------------   2b a 

–1

 a+ b  + b  ----------------------   2a b 

  (ab)–1/2.  

–1

.

 x 1/2 + y 1/2 x 1/2 – y 1/2  –1/2 - – ----------------------------  (y – x–1/2). 4.  ---------------------------1/2 1/2 x 1/2 + y 1/2   x –y 2

5. ( (

4

a –

4

b)

–2

+ (

4

a +

4

b)

–2

 a+ b  -  . ) :  -------------------- a–b 

2

( a 1/m – a 1/n ) + 4a ( m + n )/mn

3

+ (b 1/2 ) .

( a 2/m

a 2/n ) ( m

am + 1 + n an + 1 )

1 ----------------- + a – 1 a–1 a–1 - : --------------------------------------------------------------------------------- . 7. -----------------------------------------1 1 (a – 1) a + 1 – (a + 1) a – 1 ------------------ – ----------------a–1 a+1 ( a + b ) 2 – 4b

a + 9b + 6 ab 1 1 ------- + ------b a

8. --------------------------------------------------------- : --------------------------------------- .

Используя формулу (3), получаем +

Ответ. 1.

6. ------------------------------------------------------------------------------------------ .

Р е ш е н и е. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе первой дроби данноо выражения. Для этоо представим числитель в виде

(a1/2

a – ab + b + 2 ab – 2b – ab a–b ------------------------------------------------------------------------------------- = ------------- = 1. a–b a–b

–1   a– b  1 --------------------------2.  --------------------------------------–  a 3/2 – b 3/2  –2 (a 1/2 + b 1/2 )   

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

3 (b 1/2 )

(*)

Упростите выражение:

Если n Ý N, m Ý N, то

3 (a 1/2 )

a – ab + b 2 b ab ------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b a–b a+ b

Приведя выражение (*)  общему знаменателю, имеем

n ---

2n

7

Множитель a1/2 + b1/2 = a + b является общим для числителя и знаменателя дроби. После ее соращения данное выражение примет вид

(17)

Если n = 2k + 1, k Ý N, то n

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

b1/2)

(a –

a1/2b1/2

+ b).

 1 1 ( a – b ) :  --- + 3 ---  a  b


8

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

приведением радиалов  общему поазателю представим второй сомножитель в виде

2

 1 1 2 1 + ---  --- – t  4 t  9. ---------------------------------------------------------------------------------------- .

Дальнейшее упрощение выполним по схеме предыдущео примера:

Инода выражения, содержащие произведение радиалов с различными поазателями степени, удается упростить, приведя все радиалы  одному поазателю. П р и м е р 2. Упростить выражение x( 7 + 4 3 ) ·

2 x – 3x = =

4

4

x( 7 + 4 3 ) ·

2

=

10.

4

11.

6

=

2 x – 3x = 4

4

x 2 ( 49 – 48 ) =

x2 ( 7 + 4 3 )( 7 – 4 3 ) = 4

x2 =

x

(при переходе  последнему выражению зна модуля можно опустить, та а исходное выражение определено тольо при x l 0). Ответ.

6

( 3x – 2 x ) 2 =

6x ( 5 + 2 6 ) ·

3 2x – 2 3x .

4x ( 11 + 4 6 ) ·

3

x.

2 3x – 4 2x .

( 2p + 1 ) 3 + ( 2p – 1 ) 3

12. ------------------------------------------------------------------ . 4p + 2 4p 2 – 1

3

x + 2 – x2 ⋅ 6 1 – x 2 – x2

13. --------------------------------------------------------------------------------- . 3

3

x( 7 + 4 3 ) ·

3x – 2 x = – 6 x ( 7 + 4 3 ) · = – 6 x 2 ( 49 – 48 ) = – 3 x .

7x – 4 3x .

Тода исходное выражение преобразуется следующим образом: 4

3

Упростите выражение:

2 x – 3x та:

( 2 x – 3x )

4x – 4 3x + 3x =

6

Ответ. – 3 x .

2 x – 3x .

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал 4

3x – 2 x = – 3 2 x – 3x = – 6 ( 2 x – 3x ) 2 .

3

2

  1 1 1 1 1 + ---  --- – t  – ---  --- – t  2 4 t t   

4

9

1 – x2

26 – 15 3 ( 2 – 3 ) 7–4 3

14. -------------------------------------------------------- . 1 15.  --2

3

20 + 14 2 ·

6–4 2 +

  a–1 1 3 ( a + 3 ) a – 3a – 1  :  --------------------------- + 1  .   2( a + 1) 

+ --22b – 2 b 2 – 4

При преобразовании радиалов необходимо учитывать, что по определению орень четной степени есть величина неотрицательная, в то время а орень нечетной степени может быть а неотрицательной, та и отрицательной величиной. П р и м е р 3. Упростить выражение 6

x(7 + 4 3) ·

3

3x – 2 x .

Р е ш е н и е. Та а 3x – 2 x m 0 (в чем можно убедиться, сравнив вадраты уменьшаемоо и вычитаемоо), то перед

16. --------------------------------------------- . b2 – 4 – (b + 2 )

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля Преобразование выражений, в оторых наряду с арифметичесими операциями присутствует зна модуля (абсолютной величины) от неоторой фунции, обычно производят отдельно на аждом промежуте знаопостоянства этой фунции.


8

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

приведением радиалов  общему поазателю представим второй сомножитель в виде

2

 1 1 2 1 + ---  --- – t  4 t  9. ---------------------------------------------------------------------------------------- .

Дальнейшее упрощение выполним по схеме предыдущео примера:

Инода выражения, содержащие произведение радиалов с различными поазателями степени, удается упростить, приведя все радиалы  одному поазателю. П р и м е р 2. Упростить выражение x( 7 + 4 3 ) ·

2 x – 3x = =

4

4

x( 7 + 4 3 ) ·

2

=

10.

4

11.

6

=

2 x – 3x = 4

4

x 2 ( 49 – 48 ) =

x2 ( 7 + 4 3 )( 7 – 4 3 ) = 4

x2 =

x

(при переходе  последнему выражению зна модуля можно опустить, та а исходное выражение определено тольо при x l 0). Ответ.

6

( 3x – 2 x ) 2 =

6x ( 5 + 2 6 ) ·

3 2x – 2 3x .

4x ( 11 + 4 6 ) ·

3

x.

2 3x – 4 2x .

( 2p + 1 ) 3 + ( 2p – 1 ) 3

12. ------------------------------------------------------------------ . 4p + 2 4p 2 – 1

3

x + 2 – x2 ⋅ 6 1 – x 2 – x2

13. --------------------------------------------------------------------------------- . 3

3

x( 7 + 4 3 ) ·

3x – 2 x = – 6 x ( 7 + 4 3 ) · = – 6 x 2 ( 49 – 48 ) = – 3 x .

7x – 4 3x .

Тода исходное выражение преобразуется следующим образом: 4

3

Упростите выражение:

2 x – 3x та:

( 2 x – 3x )

4x – 4 3x + 3x =

6

Ответ. – 3 x .

2 x – 3x .

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал 4

3x – 2 x = – 3 2 x – 3x = – 6 ( 2 x – 3x ) 2 .

3

2

  1 1 1 1 1 + ---  --- – t  – ---  --- – t  2 4 t t   

4

9

1 – x2

26 – 15 3 ( 2 – 3 ) 7–4 3

14. -------------------------------------------------------- . 1 15.  --2

3

20 + 14 2 ·

6–4 2 +

  a–1 1 3 ( a + 3 ) a – 3a – 1  :  --------------------------- + 1  .   2( a + 1) 

+ --22b – 2 b 2 – 4

При преобразовании радиалов необходимо учитывать, что по определению орень четной степени есть величина неотрицательная, в то время а орень нечетной степени может быть а неотрицательной, та и отрицательной величиной. П р и м е р 3. Упростить выражение 6

x(7 + 4 3) ·

3

3x – 2 x .

Р е ш е н и е. Та а 3x – 2 x m 0 (в чем можно убедиться, сравнив вадраты уменьшаемоо и вычитаемоо), то перед

16. --------------------------------------------- . b2 – 4 – (b + 2 )

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля Преобразование выражений, в оторых наряду с арифметичесими операциями присутствует зна модуля (абсолютной величины) от неоторой фунции, обычно производят отдельно на аждом промежуте знаопостоянства этой фунции.


10

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений П р и м е р 1. Упростить выражение

y 5 + y 4 3 2 + 3 4y 9 y –1 –1

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал, записанный в знаменателе: x 2 – 2x + 1 ------------------------------- = x

(x – 1)2 x–1 --------------------- = ---------------- . x x

(*)

x x – 3 + x2 – 9 -. 3. ------------------------------------------2x 3 – 3x 2 – 9x

25 2 y + 5 – y + -----y -. 4. -------------------------------------------3y 2 + 10y – 25

4x + 4 + x – 1 x 2x – x – 1

z–1 ⋅ z z –z+1– z

-. 5. ----------------------------------------2 4

6. -------------------------------------. 2

3

a 2 – 2ab + b 2

2a

- + ------------- при 0 < a < b. 8. ---------------------------------------a+b a 2 + 2ab + b 2

(**)

1 2 x ( 1 – x )  --- + x – ---  x x   x x2 – 1 ------------------------------------------------------------ = ------- (1 + x2 – 2) = ---------------- . 1–x x x

При x Ý (1; +×) по определению модуля имеем |x – 1| = x – 1, а выражение (**) примет вид 1 2 x ( x – 1 )  --- + x + ---  x x x2 + 3 ------------------------------------------------------------ = ----------------- . x–1 x

2

 1+ 1–x 1– 1+x  x2 – 1 - + 1. 9.  --------------------------------------- + ---------------------------------------  · --------------2 1+x– 1+x   1–x+ 1–x 10.

2 (2a +

a 2 – b 2 ) a – a 2 – b 2 при a > 0, b > 0.

Упрощение выражений, содержащих полный вадрат под зна ом ради ала. Для тоо чтобы убедиться, что под знаом радиала находится полный вадрат неотороо выражения, инода удобно сделать замену, рационализирующую это выражение. П р и м е р 2. Упростить выражение x + 2 2x – 4 –

x – 2 2x – 4 .

Р е ш е н и е. Сделаем замену t =

(*) t2 + 4

2x – 4 . Тода x = --------------2 ,

а выражение (*) примет вид t 2 + 4t + 4 ----------------------------- – 2 x2 – 1 x

Ответ. При x Ý (0; 1) исходное выражение равно ---------------- , x2 + 3 x

2. -------------------------------------. 2

x – 5x + 7x – 3

Та а фунция, заданная выражением (**), определена при x > 0, x − 1, то она имеет два промежута знаопостоянства: (0; 1) и (1; +×). Упростим выражение (**) на аждом из уазанных промежутов. При x Ý (0; 1) по определению модуля имеем |x – 1| = 1 – x, а выражение (**) примет вид

а при x Ý (1; +×) оно равно ----------------- .

xx–3 (x – x – 6) x

1. ---------------------------------------------------. 3

x –x –x+1 - |x – 3|. 7. ----------------------------------------------3 2

Подставив выражение (*) в исходную дробь, получим  x–1 2  ---------------- + x x – 1 + 2 – ---  x x  x --------------------------------------------------------------------------------- . x–1

11

Упростите выражение и найдите область допустимых значений неизвестноо, если она не уазана:

2 x–1 ---------------- + x x – 1 + 2 – --x x ------------------------------------------------------------------ . 1 x – 2 + --x

1 x – 2 + --x- =

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

t 2 – 4t + 4 ----------------------------- = 2 t+2

( t + 2 )2 -------------------- – 2 t–2

- – --------------- . = --------------2 2

( t – 2)2 -------------------- = 2

(**)

Дальнейшее упрощение проводим по схеме, рассмотренной в примере 1. Разобьем все множество допустимых значений t


10

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений П р и м е р 1. Упростить выражение

y 5 + y 4 3 2 + 3 4y 9 y –1 –1

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал, записанный в знаменателе: x 2 – 2x + 1 ------------------------------- = x

(x – 1)2 x–1 --------------------- = ---------------- . x x

(*)

x x – 3 + x2 – 9 -. 3. ------------------------------------------2x 3 – 3x 2 – 9x

25 2 y + 5 – y + -----y -. 4. -------------------------------------------3y 2 + 10y – 25

4x + 4 + x – 1 x 2x – x – 1

z–1 ⋅ z z –z+1– z

-. 5. ----------------------------------------2 4

6. -------------------------------------. 2

3

a 2 – 2ab + b 2

2a

- + ------------- при 0 < a < b. 8. ---------------------------------------a+b a 2 + 2ab + b 2

(**)

1 2 x ( 1 – x )  --- + x – ---  x x   x x2 – 1 ------------------------------------------------------------ = ------- (1 + x2 – 2) = ---------------- . 1–x x x

При x Ý (1; +×) по определению модуля имеем |x – 1| = x – 1, а выражение (**) примет вид 1 2 x ( x – 1 )  --- + x + ---  x x x2 + 3 ------------------------------------------------------------ = ----------------- . x–1 x

2

 1+ 1–x 1– 1+x  x2 – 1 - + 1. 9.  --------------------------------------- + ---------------------------------------  · --------------2 1+x– 1+x   1–x+ 1–x 10.

2 (2a +

a 2 – b 2 ) a – a 2 – b 2 при a > 0, b > 0.

Упрощение выражений, содержащих полный вадрат под зна ом ради ала. Для тоо чтобы убедиться, что под знаом радиала находится полный вадрат неотороо выражения, инода удобно сделать замену, рационализирующую это выражение. П р и м е р 2. Упростить выражение x + 2 2x – 4 –

x – 2 2x – 4 .

Р е ш е н и е. Сделаем замену t =

(*) t2 + 4

2x – 4 . Тода x = --------------2 ,

а выражение (*) примет вид t 2 + 4t + 4 ----------------------------- – 2 x2 – 1 x

Ответ. При x Ý (0; 1) исходное выражение равно ---------------- , x2 + 3 x

2. -------------------------------------. 2

x – 5x + 7x – 3

Та а фунция, заданная выражением (**), определена при x > 0, x − 1, то она имеет два промежута знаопостоянства: (0; 1) и (1; +×). Упростим выражение (**) на аждом из уазанных промежутов. При x Ý (0; 1) по определению модуля имеем |x – 1| = 1 – x, а выражение (**) примет вид

а при x Ý (1; +×) оно равно ----------------- .

xx–3 (x – x – 6) x

1. ---------------------------------------------------. 3

x –x –x+1 - |x – 3|. 7. ----------------------------------------------3 2

Подставив выражение (*) в исходную дробь, получим  x–1 2  ---------------- + x x – 1 + 2 – ---  x x  x --------------------------------------------------------------------------------- . x–1

11

Упростите выражение и найдите область допустимых значений неизвестноо, если она не уазана:

2 x–1 ---------------- + x x – 1 + 2 – --x x ------------------------------------------------------------------ . 1 x – 2 + --x

1 x – 2 + --x- =

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

t 2 – 4t + 4 ----------------------------- = 2 t+2

( t + 2 )2 -------------------- – 2 t–2

- – --------------- . = --------------2 2

( t – 2)2 -------------------- = 2

(**)

Дальнейшее упрощение проводим по схеме, рассмотренной в примере 1. Разобьем все множество допустимых значений t


12

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

выражения (**) на три промежута: (–×; –2]; (–2; 2]; (2; +×). В аждом из них для выражения (**) получаем: –t–2+t–2 ------------------------------------- = –2, 2

t Ý (–2; 2];

t+2–t+2 -------------------------------- = 2, 2

t Ý (2; +×).

Чтобы возвратиться  исходной переменной x, необходимо решить неравенства –2 <

2x – 4 m 2,

2x – 4 > 2.

Их решениями являются соответственно следующие множества значений: ¾, 2 m x m 4, x > 4. Ита, оончательно имеем x + 2 2x – 4 –

16.

x 2 – 12x + 36 –

x – 2 2x – 4 =

2x – 4 , 2,

2 m x m 4, x > 4.

x2 .

Вычисление значения иррациональноо выражения с ео предварительным прощением. В неоторых случаях для тоо чтобы вычислить алебраичесое выражение при онретных значениях входящих в нео переменных, целесообразно ео предварительно упростить. П р и м е р 3. Вычислить значение выражения x–2 2 x+2 2 ------------------------------------------- – -------------------------------------------x 2 – 4x 2 + 8 x 2 + 4x 2 + 8

Упростите выражение: x–1 -------------- + x+1

x+1 -------------- – 2 · (2x + x–1

 x 0,5 + 3  x–9 - : -----------------------  12.  ----------------------------------0,5 1,5  x + 3x + 9 x – 27 

x 2 – 1 ).

0,5

2x – 4 ,

при

x = 3.

Р е ш е н и е. Упростим исходное выражение: x–2 2 x+2 2 ( x – 2 2 ) 1/2 ( x + 2 2 ) 1/2 --------------------------------- – ---------------------------------- = ---------------------------------- – ----------------------------------- . 2 2 x–2 2 x+2 2 (x – 2 2) (x + 2 2)

(*)

Значение x = 3 принадлежит промежуту (2 2 ; +×) знаопостоянства фунций, находящихся под знаом модуля. На этом промежуте имеем |x – 2 2 | = x – 2 2

Ответ. При x Ý [2; 4] данное выражение равно а при x Ý (4; +×) оно равно 2.

11.

13

17. (x + 2 2x – 4 )–1/2 + (x – 2 2x – 4 )–1/2. t Ý (–×; –2];

t+2+t–2 -------------------------------- = t, 2

2x – 4 m –2,

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

и

|x + 2 2 | = x + 2 2

и, следовательно, выражение (*) примет вид 1 1 ( x + 2 2 ) 1/2 – ( x – 2 2 ) 1/2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . (**) 1/2 – 1/2 = ( x 2 – 8 ) 1/2 (x – 2 2) (x + 2 2)

Подставив x = 3 в выражение (**), получим (3 + 2 2)

1/2

– (3 – 2 2)

1/2

=

– x0,5. = (3 + 2 2)

2

 x2 – 1  1 +  ----------------   2x  13. ----------------------------------------- . 1 ( x 2 + 1 ) · --x

1/2

 3–2 2  1 –  ----------------------   3+2 2 

1/2

.

3–2 2 3+2 2

(***)

Умножим числитель и знаменатель дроби ---------------------- на 3 + 2 2 :

14.

x+6 x–2+7 +

15.

x+2 x–1 –

x–6 x+2+7.

x–2 x–1.

3–2 2 3+2 2 9–8 1 ---------------------- · ---------------------- = -----------------------------2- = -----------------------------2- . 3+2 2 3+2 2 (3 + 2 2 ) (3 + 2 2 )


12

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

выражения (**) на три промежута: (–×; –2]; (–2; 2]; (2; +×). В аждом из них для выражения (**) получаем: –t–2+t–2 ------------------------------------- = –2, 2

t Ý (–2; 2];

t+2–t+2 -------------------------------- = 2, 2

t Ý (2; +×).

Чтобы возвратиться  исходной переменной x, необходимо решить неравенства –2 <

2x – 4 m 2,

2x – 4 > 2.

Их решениями являются соответственно следующие множества значений: ¾, 2 m x m 4, x > 4. Ита, оончательно имеем x + 2 2x – 4 –

16.

x 2 – 12x + 36 –

x – 2 2x – 4 =

2x – 4 , 2,

2 m x m 4, x > 4.

x2 .

Вычисление значения иррациональноо выражения с ео предварительным прощением. В неоторых случаях для тоо чтобы вычислить алебраичесое выражение при онретных значениях входящих в нео переменных, целесообразно ео предварительно упростить. П р и м е р 3. Вычислить значение выражения x–2 2 x+2 2 ------------------------------------------- – -------------------------------------------x 2 – 4x 2 + 8 x 2 + 4x 2 + 8

Упростите выражение: x–1 -------------- + x+1

x+1 -------------- – 2 · (2x + x–1

 x 0,5 + 3  x–9 - : -----------------------  12.  ----------------------------------0,5 1,5  x + 3x + 9 x – 27 

x 2 – 1 ).

0,5

2x – 4 ,

при

x = 3.

Р е ш е н и е. Упростим исходное выражение: x–2 2 x+2 2 ( x – 2 2 ) 1/2 ( x + 2 2 ) 1/2 --------------------------------- – ---------------------------------- = ---------------------------------- – ----------------------------------- . 2 2 x–2 2 x+2 2 (x – 2 2) (x + 2 2)

(*)

Значение x = 3 принадлежит промежуту (2 2 ; +×) знаопостоянства фунций, находящихся под знаом модуля. На этом промежуте имеем |x – 2 2 | = x – 2 2

Ответ. При x Ý [2; 4] данное выражение равно а при x Ý (4; +×) оно равно 2.

11.

13

17. (x + 2 2x – 4 )–1/2 + (x – 2 2x – 4 )–1/2. t Ý (–×; –2];

t+2+t–2 -------------------------------- = t, 2

2x – 4 m –2,

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

и

|x + 2 2 | = x + 2 2

и, следовательно, выражение (*) примет вид 1 1 ( x + 2 2 ) 1/2 – ( x – 2 2 ) 1/2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . (**) 1/2 – 1/2 = ( x 2 – 8 ) 1/2 (x – 2 2) (x + 2 2)

Подставив x = 3 в выражение (**), получим (3 + 2 2)

1/2

– (3 – 2 2)

1/2

=

– x0,5. = (3 + 2 2)

2

 x2 – 1  1 +  ----------------   2x  13. ----------------------------------------- . 1 ( x 2 + 1 ) · --x

1/2

 3–2 2  1 –  ----------------------   3+2 2 

1/2

.

3–2 2 3+2 2

(***)

Умножим числитель и знаменатель дроби ---------------------- на 3 + 2 2 :

14.

x+6 x–2+7 +

15.

x+2 x–1 –

x–6 x+2+7.

x–2 x–1.

3–2 2 3+2 2 9–8 1 ---------------------- · ---------------------- = -----------------------------2- = -----------------------------2- . 3+2 2 3+2 2 (3 + 2 2 ) (3 + 2 2 )


14

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Теперь с учетом равенства (1 + 2) чение выражения (***): (3 + 2 2)

1/2

2

= 3 + 2 2 вычислим зна-

1/2   1 (3 + 2 2 )  1 – ----------------------  = ---------------------------------- (2 + 2 2 ) = 3+2 2  3+2 2  1/2

(3 + 2 2) (1 + 2) 3+2 2

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

Числовое иррациональное выражение удается упростить, если под знаом вадратноо радиала находится полный вадрат неотороо выражения. Например, для выражения вида a 2 ä 2b упрощение достиается с помощью представления a2 ä 2 b =

(1 + 2)(1 + 2) (1 + 2)

= 2 · ---------------------------------------------------------- = 2 · ---------------------------------------------= 2. 2

x+ 3

x– 3

1+z 1–z 19. ---------------------------- – --------------------------- , 1+ 1+z 1– 1–z

 20.  

1 a 2 – b 2 1/p + x1/q), 21. --2- -----------------2 2 (x a +b

A2

+B A –B

-, 22. x3 – 3x – 2 ----------------2 x3 y

4

xy 3

x + y = 3, xy = 2.

a3 + 1 a –1

a+b  x =  -----------a–b 

2pq/ ( q – p )

П р и м е р 4. Вычислить . 30 – 12 6 -------------------------------- · (5 + 2 6 ). 2 3+3 2

A+ B A– B + 3 ------------------- . A– B A+ B

3 -------------------

 – 1 + xy  -  23.  ------------------------------------- + --------------------4 xy y– x   4

т. е. формулой (1), а система (2) при этом имела вид

-. x = ---------------3

,

x=

Р е ш е н и е. Система (2) для выражения, находящеося в числителе дроби, записывается в виде

–2

ç

 y y  ç  1 + 2 --x- + --x-     ( x 2 + a 2 ) 1/2 + ( x 2 – a 2 ) 1/2  24.  ----------------------------------------------------------------------2 2 1/2 2 2 1/2    (x + a ) – (x – a )

(2)

2

1/2

(1)

3 + 2 2 = (1 + 2) ,

3 z = -----2 .

 1+x x–1 -------------- – 2  + 3 1 x–1 +x

3 --------------

y |,

Та, в примере 3 мы воспользовались тем, что

x = 2.

x– x– 3

y)2 = | x ä

x + y = a2, xy = b2.

Вычислите значение выражения при уазанном значении неизвестноо: x+ x+ 3

( x ä

де x и y находятся а решение системы уравнений

Ответ. 2.

18. ------------------------------------- + ------------------------------------ ,

15

–2

,

x + y = 30, xy = 216

1/2

,

x = 9,

 m2 + n2  x = a  --------------------2mn   

y = 0,04.

и имеет решения (12; 18), (18, 12). Следовательно, соласно формуле (1), получаем

1/2

,

де a > 0, m > 0, n > 0, m > n. Упрощение числовых иррациональных выражений. В примере 3 после подстанови значения x = 3 решение свелось  упрощению числовоо иррациональноо выражения. Рассмотрим неоторые приемы, упрощающие решение задач подобноо типа.

30 – 12 6 =

18 – 12 = 3 2 – 2 3 .

3 2–2 3 Умножив числитель и знаменатель дроби -----------------------------2 3+3 2

3 2 – 2 3 , имеем ( 3 2 – 2 3 )2 30 – 12 6 ------------------------------------- = ---------------------------- = 5 – 2 6 . 6 18 – 12

на


14

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Теперь с учетом равенства (1 + 2) чение выражения (***): (3 + 2 2)

1/2

2

= 3 + 2 2 вычислим зна-

1/2   1 (3 + 2 2 )  1 – ----------------------  = ---------------------------------- (2 + 2 2 ) = 3+2 2  3+2 2  1/2

(3 + 2 2) (1 + 2) 3+2 2

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

Числовое иррациональное выражение удается упростить, если под знаом вадратноо радиала находится полный вадрат неотороо выражения. Например, для выражения вида a 2 ä 2b упрощение достиается с помощью представления a2 ä 2 b =

(1 + 2)(1 + 2) (1 + 2)

= 2 · ---------------------------------------------------------- = 2 · ---------------------------------------------= 2. 2

x+ 3

x– 3

1+z 1–z 19. ---------------------------- – --------------------------- , 1+ 1+z 1– 1–z

 20.  

1 a 2 – b 2 1/p + x1/q), 21. --2- -----------------2 2 (x a +b

A2

+B A –B

-, 22. x3 – 3x – 2 ----------------2 x3 y

4

xy 3

x + y = 3, xy = 2.

a3 + 1 a –1

a+b  x =  -----------a–b 

2pq/ ( q – p )

П р и м е р 4. Вычислить . 30 – 12 6 -------------------------------- · (5 + 2 6 ). 2 3+3 2

A+ B A– B + 3 ------------------- . A– B A+ B

3 -------------------

 – 1 + xy  -  23.  ------------------------------------- + --------------------4 xy y– x   4

т. е. формулой (1), а система (2) при этом имела вид

-. x = ---------------3

,

x=

Р е ш е н и е. Система (2) для выражения, находящеося в числителе дроби, записывается в виде

–2

ç

 y y  ç  1 + 2 --x- + --x-     ( x 2 + a 2 ) 1/2 + ( x 2 – a 2 ) 1/2  24.  ----------------------------------------------------------------------2 2 1/2 2 2 1/2    (x + a ) – (x – a )

(2)

2

1/2

(1)

3 + 2 2 = (1 + 2) ,

3 z = -----2 .

 1+x x–1 -------------- – 2  + 3 1 x–1 +x

3 --------------

y |,

Та, в примере 3 мы воспользовались тем, что

x = 2.

x– x– 3

y)2 = | x ä

x + y = a2, xy = b2.

Вычислите значение выражения при уазанном значении неизвестноо: x+ x+ 3

( x ä

де x и y находятся а решение системы уравнений

Ответ. 2.

18. ------------------------------------- + ------------------------------------ ,

15

–2

,

x + y = 30, xy = 216

1/2

,

x = 9,

 m2 + n2  x = a  --------------------2mn   

y = 0,04.

и имеет решения (12; 18), (18, 12). Следовательно, соласно формуле (1), получаем

1/2

,

де a > 0, m > 0, n > 0, m > n. Упрощение числовых иррациональных выражений. В примере 3 после подстанови значения x = 3 решение свелось  упрощению числовоо иррациональноо выражения. Рассмотрим неоторые приемы, упрощающие решение задач подобноо типа.

30 – 12 6 =

18 – 12 = 3 2 – 2 3 .

3 2–2 3 Умножив числитель и знаменатель дроби -----------------------------2 3+3 2

3 2 – 2 3 , имеем ( 3 2 – 2 3 )2 30 – 12 6 ------------------------------------- = ---------------------------- = 5 – 2 6 . 6 18 – 12

на


16

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 3. Доказательство тождеств

17

13. (a2 – b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2. 14. (a + b + c + d)2 + (a + b – c – d)2 + (a + c – b – d)2 + + (a + d – b – c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2).

Перемножив 5 – 2 6 и 5 + 2 6 , оончательно находим (5 – 2 6 )(5 + 2 6 ) = 25 – 24 = 1.

1

1 1 - = 1. 15. -----------------------: -------------1- – -------------------------------------1 b ( abc + a + c ) a + ------------a + ---

Ответ. 1.

1 b + --c

Вычислите значение выражения: 8 + 2 12 – 2

3 4+ 5

8 – 2 12 + 2

27.

6+2 5 –

29.

6m + 2 9m 2 – n 2 –

8+2 5

26. ------------------ · -------------------------- .

25. -------------------------------------------- .

a+3

2a 3 – a ( 1 – 5a ) – 1 8a – 12a + 6a – 1

2a + 1 ( 2a – 1 )

a2 ( c – b) b2 ( a – c) c2 ( b – a ) ------------------------ + ------------------------ + -----------------------bc ac ab 17. --------------------------------------------------------------------------------------a ( c – b ) b ( a – c ) c ( b – a ) = a + b + c. --------------------- + --------------------- + --------------------ab ac bc

2a + 2 a 2 – b 2 – a – b

2a – 2 a 2 – b 2 + a – b

6m – 2 9m 2 – n 2 .

a–x a+x -------------- – -------------a+x a–x a 18. -------------------------------------------- = --x- . a–x a+x -------------- + -------------a+x a–x

§ 3. Доказательство тождеств

x 0,5 + 1 x+x +1

1

- : -------------------19. ------------------------------= x – 1. 0,5 1,5

Непосредственная провер а. П р и м е р 1. Доазать, что (a + b + c)(bc + ca + ab) – abc = (b + c)(c + a)(a + b).

a2 – 5 4a – 4a + 1

---------------------------------- – ------------------------------------------------------ = ------------------------2- . 16. ---------------2 3 2 2a – 1 –

8–2 5

28. ---------------------------------------------------------------------- .

6–2 5.

b

(*)

Р е ш е н и е. Расроем соби в левой части выражения (*) и приведем подобные члены. Имеем abc + b2c + bc2 + a2c + abc + c2a + a2b + ab2 + abc – abc = = 2abc + b2c + bc2 + a2c + c2a + a2b + b2a. Расрытие собо в правой части выражения (*) приводит  таому же выражению. Действительно, abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2 + abc = = 2abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2. Исходное тождество доазано, та а если аждое из двух выражений равно третьему, то эти выражения равны между собой. Доажите тождество: 1. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2. 2. (a2 + b2 + c2 + d2) (x2 + y2 + z2 + t2) = = (ax – by – cz – dt)2 + (bx + ay – dz + ct)2 + + (cx + dy + az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2.

10.

x

a2 – 4

- + a + --------------a

–1

2

2a + 4

a –4 - = ---------------------- . a – --------------a 4

a

Использование словия равенства двх мноочленов. Если в левой и правой частях тождества находятся неоторые алебраичесие выражения, оторые можно рассматривать а два мноочлена одной и той же степени, то для доазательства таоо тождества можно использовать следующее свойство мноочленов. Два мно очлена n-й степени одной переменной x равны (тождественно равны), если значения этих мно очленов совпадают при x = x1, x = x2, ..., x = xn, x = xn + 1, де все x1, x2, ..., xn, xn + 1 — произвольные, не равные между собой числа. П р и м е р 2. Доазать тождество b2 ( x – c ) ( x – a ) c2 ( x – a ) ( x – b ) a2 ( x – b ) ( x – c ) ------------------------------------------- + ------------------------------------------- + ------------------------------------------- = x2. (a – b)(a – c) (b – c)(b – a) ( c – a) (c – b )

Р е ш е н и е. Сравнивая значения левой и правой частей при x = a, x = b, x = c, можно убедиться, что при этих значениях переменной мноочлены совпадают. Та а левая и правая части представляют собой мноочлены второй степени относи-


16

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 3. Доказательство тождеств

17

13. (a2 – b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2. 14. (a + b + c + d)2 + (a + b – c – d)2 + (a + c – b – d)2 + + (a + d – b – c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2).

Перемножив 5 – 2 6 и 5 + 2 6 , оончательно находим (5 – 2 6 )(5 + 2 6 ) = 25 – 24 = 1.

1

1 1 - = 1. 15. -----------------------: -------------1- – -------------------------------------1 b ( abc + a + c ) a + ------------a + ---

Ответ. 1.

1 b + --c

Вычислите значение выражения: 8 + 2 12 – 2

3 4+ 5

8 – 2 12 + 2

27.

6+2 5 –

29.

6m + 2 9m 2 – n 2 –

8+2 5

26. ------------------ · -------------------------- .

25. -------------------------------------------- .

a+3

2a 3 – a ( 1 – 5a ) – 1 8a – 12a + 6a – 1

2a + 1 ( 2a – 1 )

a2 ( c – b) b2 ( a – c) c2 ( b – a ) ------------------------ + ------------------------ + -----------------------bc ac ab 17. --------------------------------------------------------------------------------------a ( c – b ) b ( a – c ) c ( b – a ) = a + b + c. --------------------- + --------------------- + --------------------ab ac bc

2a + 2 a 2 – b 2 – a – b

2a – 2 a 2 – b 2 + a – b

6m – 2 9m 2 – n 2 .

a–x a+x -------------- – -------------a+x a–x a 18. -------------------------------------------- = --x- . a–x a+x -------------- + -------------a+x a–x

§ 3. Доказательство тождеств

x 0,5 + 1 x+x +1

1

- : -------------------19. ------------------------------= x – 1. 0,5 1,5

Непосредственная провер а. П р и м е р 1. Доазать, что (a + b + c)(bc + ca + ab) – abc = (b + c)(c + a)(a + b).

a2 – 5 4a – 4a + 1

---------------------------------- – ------------------------------------------------------ = ------------------------2- . 16. ---------------2 3 2 2a – 1 –

8–2 5

28. ---------------------------------------------------------------------- .

6–2 5.

b

(*)

Р е ш е н и е. Расроем соби в левой части выражения (*) и приведем подобные члены. Имеем abc + b2c + bc2 + a2c + abc + c2a + a2b + ab2 + abc – abc = = 2abc + b2c + bc2 + a2c + c2a + a2b + b2a. Расрытие собо в правой части выражения (*) приводит  таому же выражению. Действительно, abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2 + abc = = 2abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2. Исходное тождество доазано, та а если аждое из двух выражений равно третьему, то эти выражения равны между собой. Доажите тождество: 1. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2. 2. (a2 + b2 + c2 + d2) (x2 + y2 + z2 + t2) = = (ax – by – cz – dt)2 + (bx + ay – dz + ct)2 + + (cx + dy + az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2.

10.

x

a2 – 4

- + a + --------------a

–1

2

2a + 4

a –4 - = ---------------------- . a – --------------a 4

a

Использование словия равенства двх мноочленов. Если в левой и правой частях тождества находятся неоторые алебраичесие выражения, оторые можно рассматривать а два мноочлена одной и той же степени, то для доазательства таоо тождества можно использовать следующее свойство мноочленов. Два мно очлена n-й степени одной переменной x равны (тождественно равны), если значения этих мно очленов совпадают при x = x1, x = x2, ..., x = xn, x = xn + 1, де все x1, x2, ..., xn, xn + 1 — произвольные, не равные между собой числа. П р и м е р 2. Доазать тождество b2 ( x – c ) ( x – a ) c2 ( x – a ) ( x – b ) a2 ( x – b ) ( x – c ) ------------------------------------------- + ------------------------------------------- + ------------------------------------------- = x2. (a – b)(a – c) (b – c)(b – a) ( c – a) (c – b )

Р е ш е н и е. Сравнивая значения левой и правой частей при x = a, x = b, x = c, можно убедиться, что при этих значениях переменной мноочлены совпадают. Та а левая и правая части представляют собой мноочлены второй степени относи-


18

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

тельно x, оторые совпадают более чем при двух значениях переменной, то эти мноочлены тождественно равны.

§ 4. Условные тождества

Тода, уединив один из радиалов и возведя в уб обе части полученноо уравнения, имеем

Доажите тождество:

(x –

a b -----------------------------------------------------11. (-----------------------------------------------------x – a) (a – b ) (a – c) + (x – b )(b – a) (b – c) +

x3 – 3x2

------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------(x – c )(c – a) (c – b ) = (x – b )( x – a) (x – c ) .

3

a+b+c

-------------------------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------------------------( d – c)( a – c) (b – c) (x – c) + (a – d )( b – d) (c – d )(x – d ) = x–a–b–c–d

a–b

c–a

b–c

(a – b)(b – c)(c – a)

------------------------------------------------------------------------------14. -----------a + b + b + c + c + a + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0. a–b

c–a

b–c

--------------------------------------------------------------------15. ----------------------------------(a – b)(a – c) + (b – c)(b – a) + (c – a)(c – b) = 2

2

2

-----------------------= -----------a–b + b–c + c–a. a 2 – bc b 2 – ac c 2 – ab  16. ------------------------------------- + ------------------------------------ + ------------------------------------ = 0. (a + b )(a + c) (b + c )( b + a) (c + a )( c + b)

К доазательству алебраичесих тождеств близо примыают и задачи, связанные с проверой неоторых числовых равенств. Обычно эту проверу осуществляют теми же методами, что и доазательство тождеств (сюда же влючаются методы упрощения алебраичесих выражений, см. § 1). Однао существуют и специальные методы провери числовых равенств. П р и м е р 3. Доазать, что 3

9 + 80 +

3

9 – 80 = 3.

Р е ш е н и е. Положим x=

3

9 + 80 +

3

80 , 80 = 9 –

80 ,

9 + 80 + 3x 3 ( 9 + 80 ) 2 = 18,

3

3

9 + 80 ) = 18.

(**)

9 + 80 в силу соотношения (*) равно

9 – 80 , и, следовательно, уравнение (**) приводится  виду x3 – 3x 3 81 – 80 = 18

= -------------------------------------------------------------------------(x – a)(x – b)(x – c)(x – d) . 

9 + 80 )3 = 9 –

9 + 80 + 3x( 3 9 + 80 )2 – 9 –

Выражение x –

c+d+a b+c+d ------------------------------------------------------------------------13. ------------------------------------------------------------------------(b – a ) (c – a)( d – a) (x – a) + (c – b )(d – b )( a – b ) (x – b) +

3

x3 – 3x 3 9 + 80 (x –

(x – a)(x – b) (x – c )( x – a) (x – b )(x – c) ------------------------------------------------------------------------12. ----------------------------------( a – b ) ( a – c ) + ( b – c ) ( b – a ) + ( c – a ) ( c – b ) = 1.

d+a+b

3

x3 – 3x2

x

c

19

_

x3 – 3x – 18 = 0.

(***)

Очевидно, что x = 3 9 + 80 + 3 9 – 80 является орнем уравнения (***). Кроме тоо, непосредственной подстановой лео убедиться в том, что x = 3 таже является орнем уравнения (***). Друих действительных орней это уравнение не имеет, та а убичесий мноочлен (***) можно записать в виде x3 – 3x – 18 = (x – 3) (x2 + 3x + 6), а дисриминант вадратноо трехчлена x2 + 3x + 6 отрицателен. Ита, исходное равенство следует из существования единственноо действительноо орня уравнения (*).

§ 4. Условные тождества Тождества, справедливость оторых требуется установить лишь при выполнении неоторых условий относительно входящих в исходное тождество переменных, называют словными тождествами. П р и м е р 1. Доазать, что если a + b + c = 0, то a3 + b3 + c3 = 3abc.

3

9 – 80 .

(*)

Р е ш е н и е. Из условия a + b + c = 0 получаем c3 = –(a + b)3.


18

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

тельно x, оторые совпадают более чем при двух значениях переменной, то эти мноочлены тождественно равны.

§ 4. Условные тождества

Тода, уединив один из радиалов и возведя в уб обе части полученноо уравнения, имеем

Доажите тождество:

(x –

a b -----------------------------------------------------11. (-----------------------------------------------------x – a) (a – b ) (a – c) + (x – b )(b – a) (b – c) +

x3 – 3x2

------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------(x – c )(c – a) (c – b ) = (x – b )( x – a) (x – c ) .

3

a+b+c

-------------------------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------------------------( d – c)( a – c) (b – c) (x – c) + (a – d )( b – d) (c – d )(x – d ) = x–a–b–c–d

a–b

c–a

b–c

(a – b)(b – c)(c – a)

------------------------------------------------------------------------------14. -----------a + b + b + c + c + a + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0. a–b

c–a

b–c

--------------------------------------------------------------------15. ----------------------------------(a – b)(a – c) + (b – c)(b – a) + (c – a)(c – b) = 2

2

2

-----------------------= -----------a–b + b–c + c–a. a 2 – bc b 2 – ac c 2 – ab  16. ------------------------------------- + ------------------------------------ + ------------------------------------ = 0. (a + b )(a + c) (b + c )( b + a) (c + a )( c + b)

К доазательству алебраичесих тождеств близо примыают и задачи, связанные с проверой неоторых числовых равенств. Обычно эту проверу осуществляют теми же методами, что и доазательство тождеств (сюда же влючаются методы упрощения алебраичесих выражений, см. § 1). Однао существуют и специальные методы провери числовых равенств. П р и м е р 3. Доазать, что 3

9 + 80 +

3

9 – 80 = 3.

Р е ш е н и е. Положим x=

3

9 + 80 +

3

80 , 80 = 9 –

80 ,

9 + 80 + 3x 3 ( 9 + 80 ) 2 = 18,

3

3

9 + 80 ) = 18.

(**)

9 + 80 в силу соотношения (*) равно

9 – 80 , и, следовательно, уравнение (**) приводится  виду x3 – 3x 3 81 – 80 = 18

= -------------------------------------------------------------------------(x – a)(x – b)(x – c)(x – d) . 

9 + 80 )3 = 9 –

9 + 80 + 3x( 3 9 + 80 )2 – 9 –

Выражение x –

c+d+a b+c+d ------------------------------------------------------------------------13. ------------------------------------------------------------------------(b – a ) (c – a)( d – a) (x – a) + (c – b )(d – b )( a – b ) (x – b) +

3

x3 – 3x 3 9 + 80 (x –

(x – a)(x – b) (x – c )( x – a) (x – b )(x – c) ------------------------------------------------------------------------12. ----------------------------------( a – b ) ( a – c ) + ( b – c ) ( b – a ) + ( c – a ) ( c – b ) = 1.

d+a+b

3

x3 – 3x2

x

c

19

_

x3 – 3x – 18 = 0.

(***)

Очевидно, что x = 3 9 + 80 + 3 9 – 80 является орнем уравнения (***). Кроме тоо, непосредственной подстановой лео убедиться в том, что x = 3 таже является орнем уравнения (***). Друих действительных орней это уравнение не имеет, та а убичесий мноочлен (***) можно записать в виде x3 – 3x – 18 = (x – 3) (x2 + 3x + 6), а дисриминант вадратноо трехчлена x2 + 3x + 6 отрицателен. Ита, исходное равенство следует из существования единственноо действительноо орня уравнения (*).

§ 4. Условные тождества Тождества, справедливость оторых требуется установить лишь при выполнении неоторых условий относительно входящих в исходное тождество переменных, называют словными тождествами. П р и м е р 1. Доазать, что если a + b + c = 0, то a3 + b3 + c3 = 3abc.

3

9 – 80 .

(*)

Р е ш е н и е. Из условия a + b + c = 0 получаем c3 = –(a + b)3.


20

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 4. Условные тождества

Используя тождество (a +

b)3

=

a3

+

b3



+ 3ab(a + b),

x1

αx1 + βx2 = 0, αy1 + βy2 = 0

c3 = –a3 – b3 – 3ab(a + b)

a3 + b3 + c3 = 3abc,

следует, что α2 + β2 = 0. 8. Доажите, что если x − y, y − z, z − x и

что и требовалось доазать.

z y x ------------ + ------------- + ------------- = 0, x–y z–x y–z

1. Доажите, что если a + b + c = 0, то

то x y z -------------------2- + --------------------2- + --------------------2- = 0. (y – z) (z – x) (x – y)

a3 + b3 + c3 a2 + b2 + c2 a5 + b5 + c5 -------------------------------- = -------------------------------- · -------------------------------- . 5 3 2 

2. Поажите, что из равенства

9. Доажите, что если 2

2

2

a 1 + a 2 + ... + a n = p2,

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac 2

следует равенство a = b = c.

2

2

b 1 + b2 + ... + bn = q2,

3. Доажите, что если a1/3 + b1/3 + c1/3 = 0, то (a + b +

c)3

= 27abc.

p − 0,

q − 0,

a1b1 + a2b2 + ... + anbn = pq, то p

a1 = λb1, a2 = λb2, ..., an = λbn, де λ = --q- .

4. Доажите, что если z y x --- + --- + --- = 1 c b a

и

c b a --- + --- + --- = 0, z y x

a

y2

a2 + b2 a ------------------ = --- . c b2 + c2

z2

-----2- + -----2- + -----2 = 1. a b c

11. Доажите, что если

5. Доажите, что если x2 + 3 x4y2 +

y 2 + 3 x 2 y 4 = a,

bz – cy cx – az ay – bx --------------------- = -------------------- = ------------------- , a b c

то x y z --- = --- = --- . a b c

то x2/3 + y2/3 = a2/3. 6. Доажите, что если a + b + c = 0, то: а) (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4); б) 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2); в) 5(a3 + b3 + c3) (a2 + b2 + c2) = 6(a5 + b5 + c5).

b

10. Доажите, что если --b- = --c- , то

то x2

y1

- − ------ , то из системы уравнений 7. Доажите, что если ----x2 y2

имеем или, заменяя a + b на –c,

21

12. Доажите, что если a–b

x = -----------a+b,

то

b–c

y = -----------b+c,

c–a

z = -----------c+a,

(1 + x) (1 + y) (1 + z) = (1 – x) (1 – y) (1 – z).


20

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 4. Условные тождества

Используя тождество (a +

b)3

=

a3

+

b3



+ 3ab(a + b),

x1

αx1 + βx2 = 0, αy1 + βy2 = 0

c3 = –a3 – b3 – 3ab(a + b)

a3 + b3 + c3 = 3abc,

следует, что α2 + β2 = 0. 8. Доажите, что если x − y, y − z, z − x и

что и требовалось доазать.

z y x ------------ + ------------- + ------------- = 0, x–y z–x y–z

1. Доажите, что если a + b + c = 0, то

то x y z -------------------2- + --------------------2- + --------------------2- = 0. (y – z) (z – x) (x – y)

a3 + b3 + c3 a2 + b2 + c2 a5 + b5 + c5 -------------------------------- = -------------------------------- · -------------------------------- . 5 3 2 

2. Поажите, что из равенства

9. Доажите, что если 2

2

2

a 1 + a 2 + ... + a n = p2,

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac 2

следует равенство a = b = c.

2

2

b 1 + b2 + ... + bn = q2,

3. Доажите, что если a1/3 + b1/3 + c1/3 = 0, то (a + b +

c)3

= 27abc.

p − 0,

q − 0,

a1b1 + a2b2 + ... + anbn = pq, то p

a1 = λb1, a2 = λb2, ..., an = λbn, де λ = --q- .

4. Доажите, что если z y x --- + --- + --- = 1 c b a

и

c b a --- + --- + --- = 0, z y x

a

y2

a2 + b2 a ------------------ = --- . c b2 + c2

z2

-----2- + -----2- + -----2 = 1. a b c

11. Доажите, что если

5. Доажите, что если x2 + 3 x4y2 +

y 2 + 3 x 2 y 4 = a,

bz – cy cx – az ay – bx --------------------- = -------------------- = ------------------- , a b c

то x y z --- = --- = --- . a b c

то x2/3 + y2/3 = a2/3. 6. Доажите, что если a + b + c = 0, то: а) (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4); б) 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2); в) 5(a3 + b3 + c3) (a2 + b2 + c2) = 6(a5 + b5 + c5).

b

10. Доажите, что если --b- = --c- , то

то x2

y1

- − ------ , то из системы уравнений 7. Доажите, что если ----x2 y2

имеем или, заменяя a + b на –c,

21

12. Доажите, что если a–b

x = -----------a+b,

то

b–c

y = -----------b+c,

c–a

z = -----------c+a,

(1 + x) (1 + y) (1 + z) = (1 – x) (1 – y) (1 – z).


22

Đ&#x201C; Đť Đ° в Đ° 1. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио аНгойŃ&#x20AC;аиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

§ 5. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио НОгаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

23

§ 5. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио НОгаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

Đ&#x;ĐžĐ´Ń Ń&#x201A;авив ĐżŃ&#x20AC;авŃ&#x2039;Đľ Ń&#x2021;Đ°Ń Ń&#x201A;и вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК (*)â&#x20AC;&#x201D;(***) в Đ¸Ń Ń&#x2026;ОднŃ&#x192;Ń&#x17D; Đ´Ń&#x20AC;ОйŃ&#x152;, наŃ&#x2026;ОдиП 2

log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 --------------------------------------------------------------------- = log a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 . a log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1

Đ&#x;Ń&#x192;Ń Ń&#x201A;Ń&#x152; a â&#x20AC;&#x201D; пОНОМиŃ&#x201A;оНŃ&#x152;нОо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž, ĐžŃ&#x201A;НиŃ&#x2021;нОо ĐžŃ&#x201A; одиниŃ&#x2020;Ń&#x2039;, Đ° M â&#x20AC;&#x201D; ĐťŃ&#x17D;йОо пОНОМиŃ&#x201A;оНŃ&#x152;нОо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž. Đ&#x203A;ОаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПОП Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ° M пО ĐžŃ Đ˝ĐžĐ˛Đ°Đ˝Đ¸Ń&#x17D; a наСŃ&#x2039;ваŃ&#x17D;Ń&#x201A; Ń&#x201A;Đ°Оо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž, ОйОСнаŃ&#x2021;аоПОо loga M, Ń&#x2021;Ń&#x201A;Đž a

log a M

Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 .

= M.

Đ&#x; Ń&#x20AC; и Đź Đľ Ń&#x20AC; 2. Đ&#x2019;Ń&#x2039;Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ¸Ń&#x201A;Ń&#x152; 81 1/log5 3 + 27 log9 36 + 3 4/log 7 9 .

Đ&#x17E;Ń Đ˝ĐžĐ˛Đ˝Ń&#x2039;Đľ Ń Đ˛ĐžĐšŃ Ń&#x201A;ва НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;ПОв

Đ Đľ Ń&#x2C6; Đľ Đ˝ и Đľ. Đ&#x2DC;Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń? Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;ĐťŃ&#x192; (5), иПооП

Đ&#x;Ń&#x192;Ń Ń&#x201A;Ń&#x152; a > 0, a â&#x2C6;&#x2019; 1, b > 0, c > 0, Ń&#x201A;Ода Ń ĐżŃ&#x20AC;аводНивŃ&#x2039; Ń ĐťĐľĐ´Ń&#x192;Ń&#x17D;Ń&#x2030;ио Ń&#x20AC;Đ°Đ˛ĐľĐ˝Ń Ń&#x201A;ва: loga (bc) = loga b + loga c,

(1)

b

loga --c- = loga b â&#x20AC;&#x201C; loga c,

(2)

q = --p- loga b,

(3)

log a p

bq

log c b

1

Đ&#x201D;аНоо, Đ¸Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń? Ń Đ˛ĐžĐšŃ Ń&#x201A;ва Ń Ń&#x201A;опоноК, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;иП 81 log 3 5 = ( 3 4 ) log 3 5 = ( 3 log 3 5 ) 4 . Đ?Đž пО ОпŃ&#x20AC;одоНониŃ&#x17D; НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;Па 3 log3 5 = 5. ТаиП ОйŃ&#x20AC;аСОП,

loga b = --------------log c a , c â&#x2C6;&#x2019; 1, --------------- , loga b = log ba

81 1/log5 3 = 81 log3 5 .

(4)

b â&#x2C6;&#x2019; 1.

81 1/log5 3 = 54 = 625. Đ?наНОиŃ&#x2021;нО, 3 4/log 7 9 = 3 4 log 9 7 = ( 3 2 ) 2 log9 7 = ( 9 log 9 7 ) 2 = 72 = 49, 27 log9 36 = 27 log 3 6 = 3 3log 3 6 = ( 3 log3 6 ) 3 = 216.

(5)

Đ&#x;Ń&#x20AC;и Ń&#x201A;ĐžĐśĐ´ĐľŃ Ń&#x201A;воннŃ&#x2039;Ń&#x2026; ĐżŃ&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОваниŃ?Ń&#x2026; НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ иŃ&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК Đ¸Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń&#x17D;Ń&#x201A; Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;ĐťŃ&#x2039; (1)â&#x20AC;&#x201D;(5) и ОпŃ&#x20AC;одоНонио НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;Па.

ĐĄНадŃ&#x2039;ваŃ? наКдоннŃ&#x2039;Đľ Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ°, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;аоП ĐžŃ&#x201A;воŃ&#x201A;. Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. 890. ĐŁĐżŃ&#x20AC;ĐžŃ Ń&#x201A;иŃ&#x201A;Đľ вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМонио: 81 1/log 5 9 + 3

2

log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log 1/a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ----------------------------------------------------------------------------- . log a 2 ( a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ) log 3 6 a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1

3. ( 2

Đ Đľ Ń&#x2C6; Đľ Đ˝ и Đľ. ĐĄĐžĐťĐ°Ń Đ˝Đž Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;Но (3), иПооП (*)

= loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ,

(**)

log a 2 (a2 â&#x20AC;&#x201C; 1) = log ( a 2 ) 1/2 (a2 â&#x20AC;&#x201C; 1)1/2 = loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 .

(***)

6 a

= (â&#x20AC;&#x201C;loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 )

a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 = log

(3 a)

3

2



2

log 3

2

( 6 a2 â&#x20AC;&#x201C; 1)

6

3

2. a 1 + 2/logb a b â&#x20AC;&#x201C; 2a log a b + 1 b logb a + 1 + ab 1 + 2/loga b .

a

(log1/a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 )

3/log

2/log 25 7 (( 7) â&#x20AC;&#x201C; 125 log25 6 ) . 1. -----------------------------------------------------409

Đ&#x; Ń&#x20AC; и Đź Đľ Ń&#x20AC; 1. ĐŁĐżŃ&#x20AC;ĐžŃ Ń&#x201A;иŃ&#x201A;Ń&#x152; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМонио

= (loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ) , 3

log 4 a 2

â&#x20AC;&#x201C; 3 log 27 ( a

2

+ 1 )3

â&#x20AC;&#x201C; 2a ) : ( 7 4 log49 a â&#x20AC;&#x201C; a â&#x20AC;&#x201C; 1 ) .

4. log3 2 log4 3 log5 4 log6 5 log7 6 log8 7. 1

2

5. log2 2x2 + x logx ( log2 x + 1 ) log2 x + --2- log 4 x 2 + 2 â&#x20AC;&#x201C;3 log1/2 log2 x .  1--- logb a 2  log a b + log a  b 2  log ab b log a b   -. - ¡ ------------------------------------6. --------------------------------------------------------------log a b â&#x20AC;&#x201C; log ab b b 2 log b log a b â&#x20AC;&#x201C; 1


22

Đ&#x201C; Đť Đ° в Đ° 1. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио аНгойŃ&#x20AC;аиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

§ 5. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио НОгаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

23

§ 5. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио НОгаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

Đ&#x;ĐžĐ´Ń Ń&#x201A;авив ĐżŃ&#x20AC;авŃ&#x2039;Đľ Ń&#x2021;Đ°Ń Ń&#x201A;и вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК (*)â&#x20AC;&#x201D;(***) в Đ¸Ń Ń&#x2026;ОднŃ&#x192;Ń&#x17D; Đ´Ń&#x20AC;ОйŃ&#x152;, наŃ&#x2026;ОдиП 2

log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 --------------------------------------------------------------------- = log a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 . a log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1

Đ&#x;Ń&#x192;Ń Ń&#x201A;Ń&#x152; a â&#x20AC;&#x201D; пОНОМиŃ&#x201A;оНŃ&#x152;нОо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž, ĐžŃ&#x201A;НиŃ&#x2021;нОо ĐžŃ&#x201A; одиниŃ&#x2020;Ń&#x2039;, Đ° M â&#x20AC;&#x201D; ĐťŃ&#x17D;йОо пОНОМиŃ&#x201A;оНŃ&#x152;нОо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž. Đ&#x203A;ОаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПОП Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ° M пО ĐžŃ Đ˝ĐžĐ˛Đ°Đ˝Đ¸Ń&#x17D; a наСŃ&#x2039;ваŃ&#x17D;Ń&#x201A; Ń&#x201A;Đ°Оо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž, ОйОСнаŃ&#x2021;аоПОо loga M, Ń&#x2021;Ń&#x201A;Đž a

log a M

Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 .

= M.

Đ&#x; Ń&#x20AC; и Đź Đľ Ń&#x20AC; 2. Đ&#x2019;Ń&#x2039;Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ¸Ń&#x201A;Ń&#x152; 81 1/log5 3 + 27 log9 36 + 3 4/log 7 9 .

Đ&#x17E;Ń Đ˝ĐžĐ˛Đ˝Ń&#x2039;Đľ Ń Đ˛ĐžĐšŃ Ń&#x201A;ва НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;ПОв

Đ Đľ Ń&#x2C6; Đľ Đ˝ и Đľ. Đ&#x2DC;Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń? Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;ĐťŃ&#x192; (5), иПооП

Đ&#x;Ń&#x192;Ń Ń&#x201A;Ń&#x152; a > 0, a â&#x2C6;&#x2019; 1, b > 0, c > 0, Ń&#x201A;Ода Ń ĐżŃ&#x20AC;аводНивŃ&#x2039; Ń ĐťĐľĐ´Ń&#x192;Ń&#x17D;Ń&#x2030;ио Ń&#x20AC;Đ°Đ˛ĐľĐ˝Ń Ń&#x201A;ва: loga (bc) = loga b + loga c,

(1)

b

loga --c- = loga b â&#x20AC;&#x201C; loga c,

(2)

q = --p- loga b,

(3)

log a p

bq

log c b

1

Đ&#x201D;аНоо, Đ¸Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń? Ń Đ˛ĐžĐšŃ Ń&#x201A;ва Ń Ń&#x201A;опоноК, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;иП 81 log 3 5 = ( 3 4 ) log 3 5 = ( 3 log 3 5 ) 4 . Đ?Đž пО ОпŃ&#x20AC;одоНониŃ&#x17D; НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;Па 3 log3 5 = 5. ТаиП ОйŃ&#x20AC;аСОП,

loga b = --------------log c a , c â&#x2C6;&#x2019; 1, --------------- , loga b = log ba

81 1/log5 3 = 81 log3 5 .

(4)

b â&#x2C6;&#x2019; 1.

81 1/log5 3 = 54 = 625. Đ?наНОиŃ&#x2021;нО, 3 4/log 7 9 = 3 4 log 9 7 = ( 3 2 ) 2 log9 7 = ( 9 log 9 7 ) 2 = 72 = 49, 27 log9 36 = 27 log 3 6 = 3 3log 3 6 = ( 3 log3 6 ) 3 = 216.

(5)

Đ&#x;Ń&#x20AC;и Ń&#x201A;ĐžĐśĐ´ĐľŃ Ń&#x201A;воннŃ&#x2039;Ń&#x2026; ĐżŃ&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОваниŃ?Ń&#x2026; НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ иŃ&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК Đ¸Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń&#x17D;Ń&#x201A; Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;ĐťŃ&#x2039; (1)â&#x20AC;&#x201D;(5) и ОпŃ&#x20AC;одоНонио НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;Па.

ĐĄНадŃ&#x2039;ваŃ? наКдоннŃ&#x2039;Đľ Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ°, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;аоП ĐžŃ&#x201A;воŃ&#x201A;. Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. 890. ĐŁĐżŃ&#x20AC;ĐžŃ Ń&#x201A;иŃ&#x201A;Đľ вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМонио: 81 1/log 5 9 + 3

2

log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log 1/a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ----------------------------------------------------------------------------- . log a 2 ( a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ) log 3 6 a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1

3. ( 2

Đ Đľ Ń&#x2C6; Đľ Đ˝ и Đľ. ĐĄĐžĐťĐ°Ń Đ˝Đž Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;Но (3), иПооП (*)

= loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ,

(**)

log a 2 (a2 â&#x20AC;&#x201C; 1) = log ( a 2 ) 1/2 (a2 â&#x20AC;&#x201C; 1)1/2 = loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 .

(***)

6 a

= (â&#x20AC;&#x201C;loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 )

a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 = log

(3 a)

3

2



2

log 3

2

( 6 a2 â&#x20AC;&#x201C; 1)

6

3

2. a 1 + 2/logb a b â&#x20AC;&#x201C; 2a log a b + 1 b logb a + 1 + ab 1 + 2/loga b .

a

(log1/a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 )

3/log

2/log 25 7 (( 7) â&#x20AC;&#x201C; 125 log25 6 ) . 1. -----------------------------------------------------409

Đ&#x; Ń&#x20AC; и Đź Đľ Ń&#x20AC; 1. ĐŁĐżŃ&#x20AC;ĐžŃ Ń&#x201A;иŃ&#x201A;Ń&#x152; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМонио

= (loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ) , 3

log 4 a 2

â&#x20AC;&#x201C; 3 log 27 ( a

2

+ 1 )3

â&#x20AC;&#x201C; 2a ) : ( 7 4 log49 a â&#x20AC;&#x201C; a â&#x20AC;&#x201C; 1 ) .

4. log3 2 log4 3 log5 4 log6 5 log7 6 log8 7. 1

2

5. log2 2x2 + x logx ( log2 x + 1 ) log2 x + --2- log 4 x 2 + 2 â&#x20AC;&#x201C;3 log1/2 log2 x .  1--- logb a 2  log a b + log a  b 2  log ab b log a b   -. - ¡ ------------------------------------6. --------------------------------------------------------------log a b â&#x20AC;&#x201C; log ab b b 2 log b log a b â&#x20AC;&#x201C; 1


24

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений 17. 5 log 0,2 0,5 + log

2

4 1 ---------------------- + log ----------------------------0,5 10 + 2 21 . 7+ 3

Связь между лоарифмами составных чисел обычно удается установить, используя лоарифмы их простых сомножителей. П р и м е р 3. Найти log30 8, если известно, что lg 5 = a, lg 3 = b. Р е ш е н и е. Представим log30 8 в виде lg 8

log30 8 = -----------lg 30 .

Разложим числа 30 и 8 на простые множители и воспользуемся свойствами лоарифмов; тода получим 3 lg 2

log30 8 = ------------------------------------------lg 5 + lg 3 + lg 2 .

Учитывая, что 10

lg 2 = lg -----5 = 1 – lg 5,

§ 5. Преобразование логарифмических выражений П р и м е р 4. Доазать, что a+b

3( 1 – a) Ответ. --------------------b+1 .

1

--lg -----------3 = 2 (lg a + lg b),

(*)

если a2 + b2 = 7ab, a > 0, b > 0. Р е ш е н и е. Преобразуем равенство a2 + b2 = 7ab, выделив в ео левой части полный вадрат: a2 + b2 + 2ab = 9ab, т. е.

(a + b)2 = 9ab.

Лоарифмируя последнее равенство по основанию 10 и приводя подобные члены, получаем 2 lg (a + b) – 2 lg 3 = lg a + lg b. Разделив обе части этоо равенства на 2 и используя формулу (2), получаем требуемое соотношение (*). 14. Доажите, что при условии x > 0, y > 0 из равенства x2 + 4y2 = 12xy следует равенство

и используя условие, оончательно находим 3(1 – a) log30 8 = --------------------b+1 .

25

1

lg (x + 2y) – 2 lg 2 = --2- (lg x + lg y). 15. Доажите, что если m2 = a2 – b2, то loga + b m + loga – b m = 2 loga + b m · loga – b m.

18. Вычислите без помощи таблиц log 3 135 log 3 5 ----------------------- – --------------------- . log 15 3 log 405 3

19. Зная, что lg 2 = a, log2 7 = b, найдите lg 56. 10. Зная, что lg 3 = a, lg 2 = b, найдите log5 6. 11. Известно, что log3 7 = a, log7 5 = b, log5 4 = c. Найдите log3 12.

12. Зная, что b = 8 1/ ( 1 – log8 a ) и c = 8 1/ ( 1 – log8 b ) , выразите log8 a через log8 c.  13. Известно, что loga x = α, logb x = β, logc x = γ, logd x = δ; x − 1. Найдите logabcd x. Для доазательства тождественности двух лоарифмичесих выражений при выполнении неоторых условий инода удобно сначала преобразовать данные условия, а затем их пролоарифмировать.

16. Доажите, что если a, b, c — последовательные (положительные) члены еометричесой прорессии, то log a N – log b N log a N ------------------------------------------ = ----------------- . log b N – log c N log c N

17. Доажите, что если ( ac ) log a b = c2, то для любоо положительноо N числа loga N, logb N, logc N являются тремя последовательными членами арифметичесой прорессии. При доазательстве тождеств обычно используют те же приемы, что и при упрощении лоарифмичесих и поазательных выражений. П р и м е р 5. Доазать, что logp logp

p p

... p p = –n

n радиалов

при p > 1.


24

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений 17. 5 log 0,2 0,5 + log

2

4 1 ---------------------- + log ----------------------------0,5 10 + 2 21 . 7+ 3

Связь между лоарифмами составных чисел обычно удается установить, используя лоарифмы их простых сомножителей. П р и м е р 3. Найти log30 8, если известно, что lg 5 = a, lg 3 = b. Р е ш е н и е. Представим log30 8 в виде lg 8

log30 8 = -----------lg 30 .

Разложим числа 30 и 8 на простые множители и воспользуемся свойствами лоарифмов; тода получим 3 lg 2

log30 8 = ------------------------------------------lg 5 + lg 3 + lg 2 .

Учитывая, что 10

lg 2 = lg -----5 = 1 – lg 5,

§ 5. Преобразование логарифмических выражений П р и м е р 4. Доазать, что a+b

3( 1 – a) Ответ. --------------------b+1 .

1

--lg -----------3 = 2 (lg a + lg b),

(*)

если a2 + b2 = 7ab, a > 0, b > 0. Р е ш е н и е. Преобразуем равенство a2 + b2 = 7ab, выделив в ео левой части полный вадрат: a2 + b2 + 2ab = 9ab, т. е.

(a + b)2 = 9ab.

Лоарифмируя последнее равенство по основанию 10 и приводя подобные члены, получаем 2 lg (a + b) – 2 lg 3 = lg a + lg b. Разделив обе части этоо равенства на 2 и используя формулу (2), получаем требуемое соотношение (*). 14. Доажите, что при условии x > 0, y > 0 из равенства x2 + 4y2 = 12xy следует равенство

и используя условие, оончательно находим 3(1 – a) log30 8 = --------------------b+1 .

25

1

lg (x + 2y) – 2 lg 2 = --2- (lg x + lg y). 15. Доажите, что если m2 = a2 – b2, то loga + b m + loga – b m = 2 loga + b m · loga – b m.

18. Вычислите без помощи таблиц log 3 135 log 3 5 ----------------------- – --------------------- . log 15 3 log 405 3

19. Зная, что lg 2 = a, log2 7 = b, найдите lg 56. 10. Зная, что lg 3 = a, lg 2 = b, найдите log5 6. 11. Известно, что log3 7 = a, log7 5 = b, log5 4 = c. Найдите log3 12.

12. Зная, что b = 8 1/ ( 1 – log8 a ) и c = 8 1/ ( 1 – log8 b ) , выразите log8 a через log8 c.  13. Известно, что loga x = α, logb x = β, logc x = γ, logd x = δ; x − 1. Найдите logabcd x. Для доазательства тождественности двух лоарифмичесих выражений при выполнении неоторых условий инода удобно сначала преобразовать данные условия, а затем их пролоарифмировать.

16. Доажите, что если a, b, c — последовательные (положительные) члены еометричесой прорессии, то log a N – log b N log a N ------------------------------------------ = ----------------- . log b N – log c N log c N

17. Доажите, что если ( ac ) log a b = c2, то для любоо положительноо N числа loga N, logb N, logc N являются тремя последовательными членами арифметичесой прорессии. При доазательстве тождеств обычно используют те же приемы, что и при упрощении лоарифмичесих и поазательных выражений. П р и м е р 5. Доазать, что logp logp

p p

... p p = –n

n радиалов

при p > 1.


26

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Р е ш е н и е. Преобразуем иррациональное выражение, записанное под вторым знаом лоарифма: p p

§ 5. Преобразование логарифмических выражений

Если одинаовы числа, лоарифмы оторых вычисляются, и a > 1, b > 1 или 0 < a < 1 и 0 < b < 1, то при c > 1:

n

... p p = p 1/p .

n радиалов

log p

1 = -----n- , p

1 logp -----n- = –n. p

Таим образом, исходное тождество доазано.  18. Доажите, что для любых допустимых положительных чисел a и N имеет место равенство

= 

 b a log a 4 --a- + log b 4 --b-   

_

b > a.

(9)

1 1 1 log8  1 + --8-  < log7  1 + --8-  < log7  1 + --7-  .      

Таим образом, log8 9 < log7 8.

20. Доажите, что

Не пользуясь таблицами, доажите неравенство: 

log N log N log N

a b c = -------------------------------------------------------. log N

22. log3 75 < log2 22.



23. log3 70 < log2 20.

1 24. log log 2 --2- > 1. 3

abc

21. Доажите тождество

 25. Доажите, что для любоо натуральноо N > 3 справедливо неравенство

log a x log b x loga/b x = -------------------------------------log b x – log a x .

logN (N + 1) < logN – 1 N.

При сравнении двух лоарифмичесих выражений удобно пользоваться эвивалентностью приведенных ниже неравенств. Если основания лоарифмов одинаовы, то при a > 1: _

loga b < loga c,

(6)

_

loga b > loga c.

(7)

при 0 < a < 1: 0<b<c

loga c < logb c

В силу соотношений (8) и (6) справедливы неравенства log a b =

2, 1 < a m b, 2 loga b, 1 < b < a.

0<b<с

(8)

1 log7 8 = log7 (7 + 1) = 1 + log7  1 + --7-  .  

loga N logb N + logb N logc N + logc N loga N =



a > b,

1 log8 9 = log8 (8 + 1) = 1 + log8  1 + --8-  ,  

19. Доажите, что  2  log a 4 ab + log b 4 ab –  

_

П р и м е р 6. Не пользуясь таблицами, определить, что больше: log8 9 или log7 8. Р е ш е н и е. Представим исследуемые лоарифмы в следующем виде:

1 1 1 1 ----------------- + -------------------- + -------------------- + -------------------- = 10 log a. N log a 2 N log a 3 N log a 4 N log a N 

loga c < logb c при 0 < c < 1:

Лоарифмируя дважды это равенство по основанию p, получаем n p 1/p

27


26

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Р е ш е н и е. Преобразуем иррациональное выражение, записанное под вторым знаом лоарифма: p p

§ 5. Преобразование логарифмических выражений

Если одинаовы числа, лоарифмы оторых вычисляются, и a > 1, b > 1 или 0 < a < 1 и 0 < b < 1, то при c > 1:

n

... p p = p 1/p .

n радиалов

log p

1 = -----n- , p

1 logp -----n- = –n. p

Таим образом, исходное тождество доазано.  18. Доажите, что для любых допустимых положительных чисел a и N имеет место равенство

= 

 b a log a 4 --a- + log b 4 --b-   

_

b > a.

(9)

1 1 1 log8  1 + --8-  < log7  1 + --8-  < log7  1 + --7-  .      

Таим образом, log8 9 < log7 8.

20. Доажите, что

Не пользуясь таблицами, доажите неравенство: 

log N log N log N

a b c = -------------------------------------------------------. log N

22. log3 75 < log2 22.



23. log3 70 < log2 20.

1 24. log log 2 --2- > 1. 3

abc

21. Доажите тождество

 25. Доажите, что для любоо натуральноо N > 3 справедливо неравенство

log a x log b x loga/b x = -------------------------------------log b x – log a x .

logN (N + 1) < logN – 1 N.

При сравнении двух лоарифмичесих выражений удобно пользоваться эвивалентностью приведенных ниже неравенств. Если основания лоарифмов одинаовы, то при a > 1: _

loga b < loga c,

(6)

_

loga b > loga c.

(7)

при 0 < a < 1: 0<b<c

loga c < logb c

В силу соотношений (8) и (6) справедливы неравенства log a b =

2, 1 < a m b, 2 loga b, 1 < b < a.

0<b<с

(8)

1 log7 8 = log7 (7 + 1) = 1 + log7  1 + --7-  .  

loga N logb N + logb N logc N + logc N loga N =



a > b,

1 log8 9 = log8 (8 + 1) = 1 + log8  1 + --8-  ,  

19. Доажите, что  2  log a 4 ab + log b 4 ab –  

_

П р и м е р 6. Не пользуясь таблицами, определить, что больше: log8 9 или log7 8. Р е ш е н и е. Представим исследуемые лоарифмы в следующем виде:

1 1 1 1 ----------------- + -------------------- + -------------------- + -------------------- = 10 log a. N log a 2 N log a 3 N log a 4 N log a N 

loga c < logb c при 0 < c < 1:

Лоарифмируя дважды это равенство по основанию p, получаем n p 1/p

27


§ 6. Нахождение корней многочленов

Глава 2 Уравнения

В алебре рассматривают два вида равенств — тождества и уравнения. Тождество — это равенство, оторое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в нео був. Для записи тождества наряду со знаом = таже используется зна Þ. Уравнение — это равенство, оторое выполняется лишь при неоторых значениях входящих в нео був. Бувы, входящие в уравнение, по условию задачи моут быть неравноправными: одни моут принимать все свои допустимые значения, и их называют оэффициентами (реже параметрами) равнения; друие, значения оторых требуется отысать, называют неизвестными* (их обычно обозначают последними бувами латинсоо алфавита: x, y, z, или теми же бувами, снабженными индесами: x1, x2, ..., xn или y1, y2, ..., yk). В общем виде уравнение с n неизвестными x1, x2, ..., xn можно записать та: F(x1, x2, ..., xn) = 0, де F(x1, x2, ..., xn) — фунция уазанных переменных. В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и более неизвестными. Значения неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями (или орнями) равнения. Уравнение считается решенным, если найдены все ео решения или поазано, что уравнение решений не имеет. Если все решения уравнения F = 0 являются решениями уравнения G = 0, то оворят, что уравнение G = 0 есть следствие уравнения F = 0, и пишут F=0

^

Таим образом, два уравнения считаются эвивалентными, если множества решений этих уравнений совпадают. Уравнение F = 0 считают эвивалентным двум (или несольим) уравнениям F1 = 0, F2 = 0, если множество орней уравнения F = 0 совпадает с объединением множеств орней уравнений F1 = 0, F2 = 0. Приведем примеры эвивалентности неоторых уравнений. 1. Уравнение F + G = G эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. F G

2. Уравнение ---- = 0 эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 3. Уравнение FG = 0 эвивалентно двум уравнениям F = 0 и G = 0, аждое из оторых рассматривается на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 4. Уравнение F

n n

= 0 эвивалентно уравнению F = 0. n

5. Уравнение F = G при нечетном n эвивалентно уравнению F = G, а при четном n эвивалентно двум уравнениям: F = G и F = –G. Алебраичесим равнением с одним неизвестным называют уравнение, сводящееся  уравнению вида a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an = 0, де n — целое неотрицательное число; оэффициенты мноочлена a0, a1, a2, ..., an – 1, an называют оэффициентами (или параметрами) равнения и считают заданными; x называется неизвестным и является исомым. Число n называют степенью уравнения. Значения неизвестноо x, обращающие алебраичесое уравнение в тождество, называют орнями (или решениями) алебраичесоо уравнения.

G = 0.

Два уравнения F = 0 и G = 0 называют эвивалентными, если аждое из них является следствием друоо, и пишут F=0 _

29

G = 0.

* Если специально не о оворено, то считается, что неизвестные принимают действительные значения.

§ 6. Нахождение корней многочленов Мноочленом (полиномом) n-й степени относительно переменной величины x называют выражение вида P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an,


§ 6. Нахождение корней многочленов

Глава 2 Уравнения

В алебре рассматривают два вида равенств — тождества и уравнения. Тождество — это равенство, оторое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в нео був. Для записи тождества наряду со знаом = таже используется зна Þ. Уравнение — это равенство, оторое выполняется лишь при неоторых значениях входящих в нео був. Бувы, входящие в уравнение, по условию задачи моут быть неравноправными: одни моут принимать все свои допустимые значения, и их называют оэффициентами (реже параметрами) равнения; друие, значения оторых требуется отысать, называют неизвестными* (их обычно обозначают последними бувами латинсоо алфавита: x, y, z, или теми же бувами, снабженными индесами: x1, x2, ..., xn или y1, y2, ..., yk). В общем виде уравнение с n неизвестными x1, x2, ..., xn можно записать та: F(x1, x2, ..., xn) = 0, де F(x1, x2, ..., xn) — фунция уазанных переменных. В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и более неизвестными. Значения неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями (или орнями) равнения. Уравнение считается решенным, если найдены все ео решения или поазано, что уравнение решений не имеет. Если все решения уравнения F = 0 являются решениями уравнения G = 0, то оворят, что уравнение G = 0 есть следствие уравнения F = 0, и пишут F=0

^

Таим образом, два уравнения считаются эвивалентными, если множества решений этих уравнений совпадают. Уравнение F = 0 считают эвивалентным двум (или несольим) уравнениям F1 = 0, F2 = 0, если множество орней уравнения F = 0 совпадает с объединением множеств орней уравнений F1 = 0, F2 = 0. Приведем примеры эвивалентности неоторых уравнений. 1. Уравнение F + G = G эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. F G

2. Уравнение ---- = 0 эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 3. Уравнение FG = 0 эвивалентно двум уравнениям F = 0 и G = 0, аждое из оторых рассматривается на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 4. Уравнение F

n n

= 0 эвивалентно уравнению F = 0. n

5. Уравнение F = G при нечетном n эвивалентно уравнению F = G, а при четном n эвивалентно двум уравнениям: F = G и F = –G. Алебраичесим равнением с одним неизвестным называют уравнение, сводящееся  уравнению вида a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an = 0, де n — целое неотрицательное число; оэффициенты мноочлена a0, a1, a2, ..., an – 1, an называют оэффициентами (или параметрами) равнения и считают заданными; x называется неизвестным и является исомым. Число n называют степенью уравнения. Значения неизвестноо x, обращающие алебраичесое уравнение в тождество, называют орнями (или решениями) алебраичесоо уравнения.

G = 0.

Два уравнения F = 0 и G = 0 называют эвивалентными, если аждое из них является следствием друоо, и пишут F=0 _

29

G = 0.

* Если специально не о оворено, то считается, что неизвестные принимают действительные значения.

§ 6. Нахождение корней многочленов Мноочленом (полиномом) n-й степени относительно переменной величины x называют выражение вида P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an,


30

Г л а в а 2. Уравнения

де n — целое неотрицательное число; a0, a1, a2, ..., an – 1, an — оэффициенты мноочлена, причем оэффициент a0, называемый старшим оэффициентом, считается не равным нулю. Мноочлен первой степени называют таже линейным мноочленом, мноочлен второй степени — вадратным, а мноочлен третьей степени — бичесим мноочленом. Число c называют орнем мноочлена, если P(c) = 0. Уравнение вида ax + b = 0,

a − 0,

(1)

называют линейным равнением. Линейное уравнение имеет b

единственный орень x = – --a- . Уравнение вида ax2 + bx + c = 0,

a − 0,

(2)

называют вадратным равнением. Выражение b2 – 4ac = D называют дисриминантом вадратноо уравнения. Если D > 0, то уравнение (2) имеет два действительных орня: –b+ D

-, x1 = ----------------------2a

–b– D

x2 = ----------------------. 2a

(3)

§ 6. Нахождение корней многочленов

31

Решив вадратное уравнение (**), получаем, что исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям (x – 1)

2

=1 и

(x – 1)

2

= 2,

орни оторых x1 = 2, x2 = 0 и x3, 4 = 1 ä ми исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 0, x3, 4 = 1 ä

2 являются орня-

2.

Решите уравнение: 1. (x2 + 2x)2 – (x + 1)2 = 55. 2. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = 0.  3. (x2 – 5x + 7)2 – (x – 2)(x – 3) = 0.  4. (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.  5. (2x2 + 3x – 2)(5 – 6x – 4x2) = –5(2x2 + 3x + 2). 6. x4 – 13x2 + 36 = 0. 7. 2x8 + x4 – 15 = 0. 8. (2x – 1)6 + 3(2x – 1)3 = 10.  9. (1 + x)8 + (1 + x2)4 = 2x4. 10. (x – 2)6 – 19(x – 2)3 = 216. Метод разложения на множители. Один из способов решения уравнения n-й степени (n l 2)

Если D = 0, то уравнение (2) имеет один действительный о-

Pn(x) = 0

b - . Если D < 0, то уравнение (2) дейстрень ратности 2: x = – -----2a

состоит в разложении мноочлена Pn(x) на множители, что позволяет свести решение исходноо уравнения  решению несольих уравнений более низих степеней. Этот способ основан на следующем свойстве орней мноочлена n-й степени: если x = c является орнем мно очлена

вительных орней не имеет. Метод введения вспомоательноо неизвестноо. Решение мноих уравнений залючается в сведении их  уравнениям вида (1) или (2). Одним из таих способов является введение вспомоательноо неизвестноо.

2

– (x – 1)

2

Pn(x) = (x – c) Qn – 1(x),

+ 1 = 0.

2

Р е ш е н и е. Полаая y = (x – 1) , запишем исходное уравнение в виде (y – 1)

2

(4)

то мно очлен (4) можно записать в виде

П р и м е р 1. Решить уравнение (x 2 – 2x)

Pn(x) = a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

– y + 1 = 0.

(*)

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  виду y2 – 3y + 2 = 0. (**)

(5)

де Qn – 1(x) — мно очлен степени n – 1, т. е. мно очлен Pn(x) делится на мно очлен x – c. Разложение мноочлена (4) на множители равносильно нахождению орней этоо мноочлена. Последнее само по себе является трудной задачей, и в общем случае для мноочлена n-й степени с действительными оэффициентами нельзя уазать универсальноо способа нахождения орней. Однао для мноочленов с целыми оэффициентами существует теорема, позволяющая находить их рациональные орни.


30

Г л а в а 2. Уравнения

де n — целое неотрицательное число; a0, a1, a2, ..., an – 1, an — оэффициенты мноочлена, причем оэффициент a0, называемый старшим оэффициентом, считается не равным нулю. Мноочлен первой степени называют таже линейным мноочленом, мноочлен второй степени — вадратным, а мноочлен третьей степени — бичесим мноочленом. Число c называют орнем мноочлена, если P(c) = 0. Уравнение вида ax + b = 0,

a − 0,

(1)

называют линейным равнением. Линейное уравнение имеет b

единственный орень x = – --a- . Уравнение вида ax2 + bx + c = 0,

a − 0,

(2)

называют вадратным равнением. Выражение b2 – 4ac = D называют дисриминантом вадратноо уравнения. Если D > 0, то уравнение (2) имеет два действительных орня: –b+ D

-, x1 = ----------------------2a

–b– D

x2 = ----------------------. 2a

(3)

§ 6. Нахождение корней многочленов

31

Решив вадратное уравнение (**), получаем, что исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям (x – 1)

2

=1 и

(x – 1)

2

= 2,

орни оторых x1 = 2, x2 = 0 и x3, 4 = 1 ä ми исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 0, x3, 4 = 1 ä

2 являются орня-

2.

Решите уравнение: 1. (x2 + 2x)2 – (x + 1)2 = 55. 2. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = 0.  3. (x2 – 5x + 7)2 – (x – 2)(x – 3) = 0.  4. (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.  5. (2x2 + 3x – 2)(5 – 6x – 4x2) = –5(2x2 + 3x + 2). 6. x4 – 13x2 + 36 = 0. 7. 2x8 + x4 – 15 = 0. 8. (2x – 1)6 + 3(2x – 1)3 = 10.  9. (1 + x)8 + (1 + x2)4 = 2x4. 10. (x – 2)6 – 19(x – 2)3 = 216. Метод разложения на множители. Один из способов решения уравнения n-й степени (n l 2)

Если D = 0, то уравнение (2) имеет один действительный о-

Pn(x) = 0

b - . Если D < 0, то уравнение (2) дейстрень ратности 2: x = – -----2a

состоит в разложении мноочлена Pn(x) на множители, что позволяет свести решение исходноо уравнения  решению несольих уравнений более низих степеней. Этот способ основан на следующем свойстве орней мноочлена n-й степени: если x = c является орнем мно очлена

вительных орней не имеет. Метод введения вспомоательноо неизвестноо. Решение мноих уравнений залючается в сведении их  уравнениям вида (1) или (2). Одним из таих способов является введение вспомоательноо неизвестноо.

2

– (x – 1)

2

Pn(x) = (x – c) Qn – 1(x),

+ 1 = 0.

2

Р е ш е н и е. Полаая y = (x – 1) , запишем исходное уравнение в виде (y – 1)

2

(4)

то мно очлен (4) можно записать в виде

П р и м е р 1. Решить уравнение (x 2 – 2x)

Pn(x) = a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

– y + 1 = 0.

(*)

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  виду y2 – 3y + 2 = 0. (**)

(5)

де Qn – 1(x) — мно очлен степени n – 1, т. е. мно очлен Pn(x) делится на мно очлен x – c. Разложение мноочлена (4) на множители равносильно нахождению орней этоо мноочлена. Последнее само по себе является трудной задачей, и в общем случае для мноочлена n-й степени с действительными оэффициентами нельзя уазать универсальноо способа нахождения орней. Однао для мноочленов с целыми оэффициентами существует теорема, позволяющая находить их рациональные орни.


32

Г л а в а 2. Уравнения

§ 6. Нахождение корней многочленов

33

П р и м е р 3. Решить уравнение

Рациональными орнями мно очлена a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0,5625.

де a0, a1, ..., an – 1, an — целые числа, мо ут быть лишь числа

Р е ш е н и е. Перемножив попарно x(x + 3) и (x + 1) (x + 2), имеем (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) = 0,5625.

m вида ---p (m — целое, p — натуральное), при этом число |m| яв-

ляется делителем числа |an|, а число p — делителем числа |a0|. П р и м е р 2. Найти орни уравнения 3x3 – 4x2 + 5x – 18 = 0. Р е ш е н и е. Делителями числа 18 являются числа 1, 2, 3, 6 и 9, а делителями числа 3 — числа 1 и 3. Множество значений m есть {–9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9}, а множество значений p есть {1, 3}. Всевозможные различные значения чисел m

- образуют следующее множество рациональных чисел: вида ---p

 2  1  ä1, ä2, ä3, ä6, ä9, ä --3- , ä --3-  . Подставляя эти числа в уравне  ние, получаем орень уравнения — число 2. Следовательно, мноочлен в левой части уравнения делится на (x – 2). Произведя деление улом, находим частное — мноочлен 3x2 + 2x + 9, оторый действительных орней не имеет. Ита, x = 2 — единственный действительный орень исходноо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение методом разложения ео на множители: 11. 8x4 + 6x3 – 13x2 – x + 3 = 0. 12. x3 + 6x + 4x2 + 3 = 0. 13. 2x4 – x3 – 9x2 + 13x – 5 = 0. 14. (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8. 15. x3 – (2a + 1)x2 + (a2 + a)x – (a2 – a) = 0. 16. x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0.

(*)

Введя вспомоательное неизвестное y = x2 + 3x, после очевидных преобразований получаем вадратное уравнение y2 + 2y – 0,5625 = 0, орнями отороо являются числа y1 = 0,25 и y2 = –2,25. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям: x2 + 3x – 0,25 = 0,

x2 + 3x + 2,25 = 0. – 3 + 10

Первое уравнение имеет два различных орня: x1 = -------------------------2 – 3 – 10

3 - , второе — один двуратный орень x --и x2 = ------------------------3, 4 = – 2 . 2 – 3 + 10 – 3 – 10 3 - , x = -------------------------- , x --Ответ. x1 = -------------------------2 3, 4 = – 2 . 2 2

Найдите орни уравнения: 17. (x + a) (x + 2a) (x – 3a) (x – 4a) = b4. 18. (x – 4) (x – 5) (x – 6) (x – 7) = 1680. 19. (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35. 20. x4 – 2x3 + x – 132 = 0. 21. (x – 1)(x + 1) (x + 2)x = 24. 22. (x – 4)(x + 2) (x + 8)(x + 14) = 354.  23. (x2 + x + 1) (2x2 + 2x + 3) = 3(1 – x – x2). Алебраичесое уравнение четвертой степени вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,

e − 0,

(7)

a+b=c+d=p

называют возвратным, если оэффициенты уравнения связаны равенствами d = λb, c = λ2a (λ — неоторое отличное от нуля число). Решение возвратноо уравнения (7) можно свести  решению вадратноо уравнения заменой

сводится  вадратному уравнению относительно неизвестноо y = x2 + px.

y = x + --x- .

Не оторые равнения специальноо вида. Уравнение четвертой степени вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m при условии

(6)

λ


32

Г л а в а 2. Уравнения

§ 6. Нахождение корней многочленов

33

П р и м е р 3. Решить уравнение

Рациональными орнями мно очлена a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0,5625.

де a0, a1, ..., an – 1, an — целые числа, мо ут быть лишь числа

Р е ш е н и е. Перемножив попарно x(x + 3) и (x + 1) (x + 2), имеем (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) = 0,5625.

m вида ---p (m — целое, p — натуральное), при этом число |m| яв-

ляется делителем числа |an|, а число p — делителем числа |a0|. П р и м е р 2. Найти орни уравнения 3x3 – 4x2 + 5x – 18 = 0. Р е ш е н и е. Делителями числа 18 являются числа 1, 2, 3, 6 и 9, а делителями числа 3 — числа 1 и 3. Множество значений m есть {–9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9}, а множество значений p есть {1, 3}. Всевозможные различные значения чисел m

- образуют следующее множество рациональных чисел: вида ---p

 2  1  ä1, ä2, ä3, ä6, ä9, ä --3- , ä --3-  . Подставляя эти числа в уравне  ние, получаем орень уравнения — число 2. Следовательно, мноочлен в левой части уравнения делится на (x – 2). Произведя деление улом, находим частное — мноочлен 3x2 + 2x + 9, оторый действительных орней не имеет. Ита, x = 2 — единственный действительный орень исходноо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение методом разложения ео на множители: 11. 8x4 + 6x3 – 13x2 – x + 3 = 0. 12. x3 + 6x + 4x2 + 3 = 0. 13. 2x4 – x3 – 9x2 + 13x – 5 = 0. 14. (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8. 15. x3 – (2a + 1)x2 + (a2 + a)x – (a2 – a) = 0. 16. x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0.

(*)

Введя вспомоательное неизвестное y = x2 + 3x, после очевидных преобразований получаем вадратное уравнение y2 + 2y – 0,5625 = 0, орнями отороо являются числа y1 = 0,25 и y2 = –2,25. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям: x2 + 3x – 0,25 = 0,

x2 + 3x + 2,25 = 0. – 3 + 10

Первое уравнение имеет два различных орня: x1 = -------------------------2 – 3 – 10

3 - , второе — один двуратный орень x --и x2 = ------------------------3, 4 = – 2 . 2 – 3 + 10 – 3 – 10 3 - , x = -------------------------- , x --Ответ. x1 = -------------------------2 3, 4 = – 2 . 2 2

Найдите орни уравнения: 17. (x + a) (x + 2a) (x – 3a) (x – 4a) = b4. 18. (x – 4) (x – 5) (x – 6) (x – 7) = 1680. 19. (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35. 20. x4 – 2x3 + x – 132 = 0. 21. (x – 1)(x + 1) (x + 2)x = 24. 22. (x – 4)(x + 2) (x + 8)(x + 14) = 354.  23. (x2 + x + 1) (2x2 + 2x + 3) = 3(1 – x – x2). Алебраичесое уравнение четвертой степени вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,

e − 0,

(7)

a+b=c+d=p

называют возвратным, если оэффициенты уравнения связаны равенствами d = λb, c = λ2a (λ — неоторое отличное от нуля число). Решение возвратноо уравнения (7) можно свести  решению вадратноо уравнения заменой

сводится  вадратному уравнению относительно неизвестноо y = x2 + px.

y = x + --x- .

Не оторые равнения специальноо вида. Уравнение четвертой степени вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m при условии

(6)

λ


34

Г л а в а 2. Уравнения П р и м е р 4. Решить уравнение 18x4 – 3x3 – 25x2 + 2x + 8 = 0.

Р е ш е н и е. Заметим, что x = 0 не является орнем уравнения, поэтому, разделив обе ео части на x2, перейдем  эвивалентному уравнению 8

2

18x2 – 3x – 25 + --x- + -----2- = 0. x

(*)

Сруппируем слааемые в правой части уравнения (*) следующим образом: 4  -- 2 9 18  x + -----2x 

 

 

Теперь очевидно, что в ачестве новоо неизвестноо можно 4 2 ----4 9 3 2 выбрать y = x – --x- ; та а x + -----2- = y2 + --3- , то уравнение (*) x

примет вид

18y2 – 3y – 1 = 0. 1

(**)

1

Корни уравнения (**) равны --3- и – --6- . Таим образом, исходное уравнение эвивалентно следующим двум уравнениям: 2 --1 3 x – --x- = --3-

и

2 --1 3 x – --x- = – --6- .

2 Первое уравнение имеет орни x1 = 1 и x2 = – --3- , а второе — – 1 ä 97 -. орни x3, 4 = ----------------------12 2

– 1 ä 97

-. Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- , x3, 4 = ----------------------12

Решите уравнение: 24. x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0. 25. 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 = 0. 26. 15x5 + 34x4 + 15x3 – 15x2 – 34x – 15 = 0. 27. 6x3 – x2 – 20x + 12 = 0. 28. x4 + 1 = 2(1 + x)4.

35

Неоторые алебраичесие уравнения n-й степени (n > 2) допусают понижение поряда, если использовать формулу бинома Ньютона (см. л. 15, § 84). П р и м е р 5. Решить уравнение 8x3 + 36x2 + 54x = 98. Р е ш е н и е. Воспользовавшись тем, что (2x + 3)3 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27, запишем исходное уравнение в виде (2x + 3)3 = 125, или

2    ---    3  – 3  x – --x-  – 25 = 0.

 

§ 6. Нахождение корней многочленов

2x + 3 = 5.

Таим образом, единственным орнем исходноо уравнения является x = 1. Ответ. x = 1. Решите уравнение: 29. 8x3 – 36x2 + 54x = 28. 30. 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x – 80 = 0. 31. x4 – 8x3 + 24x2 – 32x = 65. Уравнение вида a1un + a2un – 1v + a3un – 2v2 + ... + anvn = 0

(8)

называют однородным равнением n-й степени относительно неизвестных u и v. Делением обеих частей однородноо уравнения (8) на vn ео сводят  уравнению n-й степени относительно u

неизвестноо y = --v- . Если an = 0, то отдельно следует рассмотреть случай, ода v = 0. Сводя уравнения  однородным и производя уазанную выше замену, инода удается понизить степень исходноо уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение (x2 + 27)2 – 5(x2 + 27) (x2 + 3) + 6(x2 + 3)2 = 0. x2

x2

(*)

Р е ш е н и е. Положим + 27 = u, + 3 = v. Тода исходное уравнение примет вид однородноо уравнения второй степени относительно неизвестных u и v: u2 – 5uv + 6v2 = 0.


34

Г л а в а 2. Уравнения П р и м е р 4. Решить уравнение 18x4 – 3x3 – 25x2 + 2x + 8 = 0.

Р е ш е н и е. Заметим, что x = 0 не является орнем уравнения, поэтому, разделив обе ео части на x2, перейдем  эвивалентному уравнению 8

2

18x2 – 3x – 25 + --x- + -----2- = 0. x

(*)

Сруппируем слааемые в правой части уравнения (*) следующим образом: 4  -- 2 9 18  x + -----2x 

 

 

Теперь очевидно, что в ачестве новоо неизвестноо можно 4 2 ----4 9 3 2 выбрать y = x – --x- ; та а x + -----2- = y2 + --3- , то уравнение (*) x

примет вид

18y2 – 3y – 1 = 0. 1

(**)

1

Корни уравнения (**) равны --3- и – --6- . Таим образом, исходное уравнение эвивалентно следующим двум уравнениям: 2 --1 3 x – --x- = --3-

и

2 --1 3 x – --x- = – --6- .

2 Первое уравнение имеет орни x1 = 1 и x2 = – --3- , а второе — – 1 ä 97 -. орни x3, 4 = ----------------------12 2

– 1 ä 97

-. Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- , x3, 4 = ----------------------12

Решите уравнение: 24. x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0. 25. 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 = 0. 26. 15x5 + 34x4 + 15x3 – 15x2 – 34x – 15 = 0. 27. 6x3 – x2 – 20x + 12 = 0. 28. x4 + 1 = 2(1 + x)4.

35

Неоторые алебраичесие уравнения n-й степени (n > 2) допусают понижение поряда, если использовать формулу бинома Ньютона (см. л. 15, § 84). П р и м е р 5. Решить уравнение 8x3 + 36x2 + 54x = 98. Р е ш е н и е. Воспользовавшись тем, что (2x + 3)3 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27, запишем исходное уравнение в виде (2x + 3)3 = 125, или

2    ---    3  – 3  x – --x-  – 25 = 0.

 

§ 6. Нахождение корней многочленов

2x + 3 = 5.

Таим образом, единственным орнем исходноо уравнения является x = 1. Ответ. x = 1. Решите уравнение: 29. 8x3 – 36x2 + 54x = 28. 30. 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x – 80 = 0. 31. x4 – 8x3 + 24x2 – 32x = 65. Уравнение вида a1un + a2un – 1v + a3un – 2v2 + ... + anvn = 0

(8)

называют однородным равнением n-й степени относительно неизвестных u и v. Делением обеих частей однородноо уравнения (8) на vn ео сводят  уравнению n-й степени относительно u

неизвестноо y = --v- . Если an = 0, то отдельно следует рассмотреть случай, ода v = 0. Сводя уравнения  однородным и производя уазанную выше замену, инода удается понизить степень исходноо уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение (x2 + 27)2 – 5(x2 + 27) (x2 + 3) + 6(x2 + 3)2 = 0. x2

x2

(*)

Р е ш е н и е. Положим + 27 = u, + 3 = v. Тода исходное уравнение примет вид однородноо уравнения второй степени относительно неизвестных u и v: u2 – 5uv + 6v2 = 0.


36

Г л а в а 2. Уравнения

y2 – 5y + 6 = 0, орни отороо y = 2 и y = 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям x2 + 27 = 2(x2 + 3),

орнями оторых являются числа ä3 и ä 21 соответственно. Ответ. x1, 2 = ä3, x3, 4 = ä 21 . Решите уравнение: 32. (x2 – 1)2 + 5(x4 – 1) – 6(x2 + 1)2 = 0. 33. (x2 – 3)2 – 7(x4 – 9) + 6(x2 + 3)2 = 0. 34. (x – 2)2(x + 1)2 – (x – 2)(x2 – 1) – 2(x – 1)2 = 0. Если уравнение можно записать в виде f(f(x)) = x, то среди орней этоо уравнения содержится орень уравнения f(x) = x. П р и м е р 7. Решить уравнение (x2 – 4x + 6)2 – 4(x2 – 4x + 6) + 6 = x. Р е ш е н и е. Квадратное уравнение x2 – 4x + 6 = x

и, следовательно, оно эвивалентно двум уравнениям (**)

Второе из уравнений (**) действительных орней не имеет, и действительными орнями исходноо уравнения являются орни уравнения (*). Ответ. x1 = 2, x2 = 3. Решите уравнение: 35. (x2 + 2x – 5)2 + 2(x2 + 2x – 5) – 5 = x. 36. (x2 – x – 3)2 – (x2 – x – 3) – 3 = x.

Рациональным уравнение вида

алебраичесим

равнением называют

P(x) ------------- = 0, Q(x)

(1)

де P(x) и Q(x) — мноочлены. Далее для определенности будем полаать, что P(x) — мноочлен m-й степени, а Q(x) — мноочлен n-й степени. Множество допустимых значений рациональноо алебраичесоо уравнения (1) определяется условием Q(x) − 0, отуда следует, что x − c1, x − c2, ..., x − cn, де c1, c2, ..., cn — орни мноочлена Q(x). Метод решения уравнения (1) залючается в следующем. Сначала решают уравнение P(x) = 0; пусть x1, x2, ..., xm — ео орни. Затем сравнивают множества орней мноочленов P(x) и Q(x). Те орни мноочлена P(x), оторые не являются орнями мноочлена Q(x), представляют собой орни (решения) рациональноо уравнения (1). П р и м е р 1. Решить уравнение

(*)

имеет орни x = 2 и x = 3. Следовательно, мноочлен, записанный в левой части исходноо уравнения, делится на произведение (x – 2) (x – 3). Выполнив деление улом, находим частное: x2 – 3x + 3. Таим образом, исходное уравнение можно представить в виде (x2 – 5x + 6) (x2 – 3x + 3) = 0 x2 – 5x + 6 = 0, x2 – 3x + 3 = 0.

37

§ 7. Рациональные уравнения

u

Выполнив замену --v- = y, получаем уравнение

x2 + 27 = 3(x2 + 3),

§ 7. Рациональные уравнения

5 9–x ------------- = ------------- – 3. x–4 x–4

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению 9 – x – 5 + 3(x – 4) = 0 при условии x – 4 − 0. Решив полученное уравнение, находим x = 4. Однао x = 4 не входит в область допустимых значений неизвестноо, поэтому данное уравнение решений не имеет. Ответ. ¾. П р и м е р 2. Решить уравнение 9x + 13 x 5 -------------- – -----------------------------= -----------x+1 3–x. x 2 – 2x – 3

(*)

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде 5 x 9x + 13 -------------- – -------------------------------------+ -----------x–3 = 0 x+1 (x + 1 )(x – 3)

и умножим все члены последнео уравнения на (x + 1) (x – 3).


36

Г л а в а 2. Уравнения

y2 – 5y + 6 = 0, орни отороо y = 2 и y = 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям x2 + 27 = 2(x2 + 3),

орнями оторых являются числа ä3 и ä 21 соответственно. Ответ. x1, 2 = ä3, x3, 4 = ä 21 . Решите уравнение: 32. (x2 – 1)2 + 5(x4 – 1) – 6(x2 + 1)2 = 0. 33. (x2 – 3)2 – 7(x4 – 9) + 6(x2 + 3)2 = 0. 34. (x – 2)2(x + 1)2 – (x – 2)(x2 – 1) – 2(x – 1)2 = 0. Если уравнение можно записать в виде f(f(x)) = x, то среди орней этоо уравнения содержится орень уравнения f(x) = x. П р и м е р 7. Решить уравнение (x2 – 4x + 6)2 – 4(x2 – 4x + 6) + 6 = x. Р е ш е н и е. Квадратное уравнение x2 – 4x + 6 = x

и, следовательно, оно эвивалентно двум уравнениям (**)

Второе из уравнений (**) действительных орней не имеет, и действительными орнями исходноо уравнения являются орни уравнения (*). Ответ. x1 = 2, x2 = 3. Решите уравнение: 35. (x2 + 2x – 5)2 + 2(x2 + 2x – 5) – 5 = x. 36. (x2 – x – 3)2 – (x2 – x – 3) – 3 = x.

Рациональным уравнение вида

алебраичесим

равнением называют

P(x) ------------- = 0, Q(x)

(1)

де P(x) и Q(x) — мноочлены. Далее для определенности будем полаать, что P(x) — мноочлен m-й степени, а Q(x) — мноочлен n-й степени. Множество допустимых значений рациональноо алебраичесоо уравнения (1) определяется условием Q(x) − 0, отуда следует, что x − c1, x − c2, ..., x − cn, де c1, c2, ..., cn — орни мноочлена Q(x). Метод решения уравнения (1) залючается в следующем. Сначала решают уравнение P(x) = 0; пусть x1, x2, ..., xm — ео орни. Затем сравнивают множества орней мноочленов P(x) и Q(x). Те орни мноочлена P(x), оторые не являются орнями мноочлена Q(x), представляют собой орни (решения) рациональноо уравнения (1). П р и м е р 1. Решить уравнение

(*)

имеет орни x = 2 и x = 3. Следовательно, мноочлен, записанный в левой части исходноо уравнения, делится на произведение (x – 2) (x – 3). Выполнив деление улом, находим частное: x2 – 3x + 3. Таим образом, исходное уравнение можно представить в виде (x2 – 5x + 6) (x2 – 3x + 3) = 0 x2 – 5x + 6 = 0, x2 – 3x + 3 = 0.

37

§ 7. Рациональные уравнения

u

Выполнив замену --v- = y, получаем уравнение

x2 + 27 = 3(x2 + 3),

§ 7. Рациональные уравнения

5 9–x ------------- = ------------- – 3. x–4 x–4

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению 9 – x – 5 + 3(x – 4) = 0 при условии x – 4 − 0. Решив полученное уравнение, находим x = 4. Однао x = 4 не входит в область допустимых значений неизвестноо, поэтому данное уравнение решений не имеет. Ответ. ¾. П р и м е р 2. Решить уравнение 9x + 13 x 5 -------------- – -----------------------------= -----------x+1 3–x. x 2 – 2x – 3

(*)

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде 5 x 9x + 13 -------------- – -------------------------------------+ -----------x–3 = 0 x+1 (x + 1 )(x – 3)

и умножим все члены последнео уравнения на (x + 1) (x – 3).


38

Г л а в а 2. Уравнения

§ 7. Рациональные уравнения

Тода получим уравнение или

x2

Ответ. x = 8.

1 1 1 --- – ------------- = ------ . 12 z+1 z

(*)

z 2 + z – 12 ----------------------------- = 0, 12z ( z + 1 )

(**)

оторое эвивалентно уравнению z2 + z – 12 = 0. Эвивалентность этих уравнений следует из тоо, что орни последнео уравнения z = 3, z = –4 принадлежат множеству допустимых значений уравнения (**). Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям: x2 + 2x – 3 = 0 и x2 + 2x + 4 = 0. Корнями первоо уравнения являются x1 = 1, x2 = –3. Второе уравнение действительных орней не имеет. Ответ. x1 = 1, x2 = –3. Решите уравнение:

x–8 2x + 3x – 32x – 48

-------------------- + ------------------------------------------ = 0. 2. ----------------– ---------------------------------------------------------2 3 2 2x + 3 – 2 7 x+1

a4 + b4 (a + b)

x – 2x + 3

x – 2x + 4

5 x +5

4 x +4

- + ---------------- = 2. 10. ---------------2 2 ( x 2 – 6x ) 2 (x – 3)

81 (x – 3)

- – 2 = --------------------2- . 11. --------------------------2 15 x + 2x – 3

24 x + 2x – 8

- – ------------------------------ = 2. 12. -----------------------------2 2

  1  1  13. 7  x + --x-  – 2  x2 + -----2-  = 9. x     x 2 + 2x + 1

x 2 + 2x + 2

7

14. ------------------------------+ ------------------------------= --6- . x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 3 x–2  15. 20  ------------ x+1 

2

x+2  – 5  ------------ x–1 

2

x2 – 4 x –1

- = 0. + 48 --------------2

x+1  16.  ------------ x–2 

2

x+1 –2 x -------------  + ------------x – 4 = 12  x – 4  .

2

x+1  17.  ------------ x–1 

2

x–2 x–2 2 - – 3  --------------  = 0. – 2 -----------x–1  x+1 

Уравнение вида

108x – 36x 2 – 9 9x – 5 12x + 1 - – ------------------ = --------------------------------------------. 1. -------------------3x + 1 6x – 2 4 ( 9x 2 – 1 )

+x+1

( a – x )4 + ( x – b )4 ( a + b – 2x )

7. ------------------------------------------------= --------------------2- . 2

21 x – 4x + 10

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  уравнению

- = --- -------------- . 3. --------------------------9 x–1 x2 – x + 1

(x + 1)(x + 5)

9. ---------------------------------– x2 + 4x = 6. 2

Р е ш е н и е. Полаая z = x2 + 2x, запишем исходное уравнение в виде

x2



x – 2x + 2

1 1 1 ----------------------- – ---------------------2- = ------ . 12 x(x + 2) (x + 1 )

1 2x + 11x + 12

4x 2 + 29x + 45 – ( x + 1 ) ( 2x + 15 )

- = -------------------------------------- . 6. ---------------------------------------------------------------------------------------------(x – 1)(x – 2) ( 2 (x – 1))2 – 2 ( x + 1 )( x – 2 )

1 2 6 - + ------------------------------ = ------------------------------. 8. -----------------------------2 2 2

П р и м е р 3. Решить уравнение

1 x – 16

1

x+1

1 - + ---------------------- = ------------- – -------------- . 5. --------------2–x 2(x – 2) x+2 x2 – 4

(**)

эвивалентное исходному при условиях x − –1, x − 3. Найдем орни вадратноо уравнения (**): x1 = –1, x2 = 8. Та а x = –1 не принадлежит области допустимых значений неизвестноо, то уравнение (*) имеет единственный орень x = 8.

1

1

9

x+1

----------------------------------4. --------------------2(x – 1) = 2(x + 4) + x – 1 .

x(x – 3) – (9x + 13) + 5(x + 1) = 0, x2 – 7x – 8 = 0,

39

bx ax ---------------------------------- + --------------------------------- =c cx 2 + rx + d cx 2 + hx + d

сводится  уравнению b a -------------- + ------------- = c y+r y+h


38

Г л а в а 2. Уравнения

§ 7. Рациональные уравнения

Тода получим уравнение или

x2

Ответ. x = 8.

1 1 1 --- – ------------- = ------ . 12 z+1 z

(*)

z 2 + z – 12 ----------------------------- = 0, 12z ( z + 1 )

(**)

оторое эвивалентно уравнению z2 + z – 12 = 0. Эвивалентность этих уравнений следует из тоо, что орни последнео уравнения z = 3, z = –4 принадлежат множеству допустимых значений уравнения (**). Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям: x2 + 2x – 3 = 0 и x2 + 2x + 4 = 0. Корнями первоо уравнения являются x1 = 1, x2 = –3. Второе уравнение действительных орней не имеет. Ответ. x1 = 1, x2 = –3. Решите уравнение:

x–8 2x + 3x – 32x – 48

-------------------- + ------------------------------------------ = 0. 2. ----------------– ---------------------------------------------------------2 3 2 2x + 3 – 2 7 x+1

a4 + b4 (a + b)

x – 2x + 3

x – 2x + 4

5 x +5

4 x +4

- + ---------------- = 2. 10. ---------------2 2 ( x 2 – 6x ) 2 (x – 3)

81 (x – 3)

- – 2 = --------------------2- . 11. --------------------------2 15 x + 2x – 3

24 x + 2x – 8

- – ------------------------------ = 2. 12. -----------------------------2 2

  1  1  13. 7  x + --x-  – 2  x2 + -----2-  = 9. x     x 2 + 2x + 1

x 2 + 2x + 2

7

14. ------------------------------+ ------------------------------= --6- . x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 3 x–2  15. 20  ------------ x+1 

2

x+2  – 5  ------------ x–1 

2

x2 – 4 x –1

- = 0. + 48 --------------2

x+1  16.  ------------ x–2 

2

x+1 –2 x -------------  + ------------x – 4 = 12  x – 4  .

2

x+1  17.  ------------ x–1 

2

x–2 x–2 2 - – 3  --------------  = 0. – 2 -----------x–1  x+1 

Уравнение вида

108x – 36x 2 – 9 9x – 5 12x + 1 - – ------------------ = --------------------------------------------. 1. -------------------3x + 1 6x – 2 4 ( 9x 2 – 1 )

+x+1

( a – x )4 + ( x – b )4 ( a + b – 2x )

7. ------------------------------------------------= --------------------2- . 2

21 x – 4x + 10

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  уравнению

- = --- -------------- . 3. --------------------------9 x–1 x2 – x + 1

(x + 1)(x + 5)

9. ---------------------------------– x2 + 4x = 6. 2

Р е ш е н и е. Полаая z = x2 + 2x, запишем исходное уравнение в виде

x2



x – 2x + 2

1 1 1 ----------------------- – ---------------------2- = ------ . 12 x(x + 2) (x + 1 )

1 2x + 11x + 12

4x 2 + 29x + 45 – ( x + 1 ) ( 2x + 15 )

- = -------------------------------------- . 6. ---------------------------------------------------------------------------------------------(x – 1)(x – 2) ( 2 (x – 1))2 – 2 ( x + 1 )( x – 2 )

1 2 6 - + ------------------------------ = ------------------------------. 8. -----------------------------2 2 2

П р и м е р 3. Решить уравнение

1 x – 16

1

x+1

1 - + ---------------------- = ------------- – -------------- . 5. --------------2–x 2(x – 2) x+2 x2 – 4

(**)

эвивалентное исходному при условиях x − –1, x − 3. Найдем орни вадратноо уравнения (**): x1 = –1, x2 = 8. Та а x = –1 не принадлежит области допустимых значений неизвестноо, то уравнение (*) имеет единственный орень x = 8.

1

1

9

x+1

----------------------------------4. --------------------2(x – 1) = 2(x + 4) + x – 1 .

x(x – 3) – (9x + 13) + 5(x + 1) = 0, x2 – 7x – 8 = 0,

39

bx ax ---------------------------------- + --------------------------------- =c cx 2 + rx + d cx 2 + hx + d

сводится  уравнению b a -------------- + ------------- = c y+r y+h


40

Г л а в а 2. Уравнения

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

введением вспомоательноо неизвестноо d

y = cx + --x- . П р и м е р 4. Решить уравнение x 2x -------------------------- + --------------------------- = 1. x2 – x + 1 x2 + x + 1

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся в том, что x = 0 не является орнем исходноо уравнения. Разделив числитель и знаменатель аждой дроби на x, получаем эвивалентное уравнение 2 1 ------------------------ + ------------------------ = 1. x + --1- + 1 x + --1- – 1 x

x

1

Полаая x + --x- = y, приходим  уравнению 2 1 ------------------------y – 1 + y + 1 = 1,

сводящемуся  вадратному уравнению, орнями отороо являются y1 = 0, y2 = 3. Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям 1 x + --x- = 0,

1 x + --x- = 3,

первое из оторых не имеет действительных орней, а орни 3ä 5

второо — числа x1,2 = ---------------2 .

Если в уравнении неоторые выражения, содержащие неизвестное, находятся под знаом модуля, то решение исходноо уравнения следует исать отдельно на аждом из промежутов знаопостоянства этих выражений. П р и м е р 1. Решить уравнение |2x – 5| = x – 1. Р е ш е н и е. Выражение 2x – 5, записанное под знаом модуля, неотрицательно при x l 2,5 и отрицательно при x < 2,5. Рассмотрим исходное уравнение отдельно на аждом из этих промежутов. Пусть x l 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = = 2x – 5, и данное уравнение примет вид 2x – 5 = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 4. Та а число 4 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 4 является решением исходноо уравнения. Пусть теперь x < 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = –(2x – 5), и данное уравнение примет вид –(2x – 5) = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 2. Та а число 2 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 2 является решением исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 4. П р и м е р 2. Решить уравнение

3ä 5 Ответ. x1, 2 = ---------------2 .

|x – 1| – 2|x – 2| + 3|x – 3| = 4. Р е ш е н и е. Данное уравнение эвивалентно следующим уравнениям:

Решите уравнение: 2x 2x – 5x + 3

13x 2x + x + 3

- + ------------------------------18. ---------------------------------= 6. 2 2 2x

3x

8

- – --------------------------- = --- . 19. -----------------------------3 x2 + 1 + x x 2 + 1 – 4x 3x 2 – 1

5x

41

119

- + -----------------------------20. ------------------= --------18 . x 3x 2 – x – 1

1) 1 – x 2) x – 1 3) x – 1 4) x – 1

+ 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при x m 1; + 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 1 < x m 2; – 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 2 < x m 3; – 2(x – 2) + 3(x – 3) = 4 при x > 3.

Первое уравнение имеет решение x = 1; второе уравнение обращается в тождество для всех значений x, удовлетворяю-


40

Г л а в а 2. Уравнения

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

введением вспомоательноо неизвестноо d

y = cx + --x- . П р и м е р 4. Решить уравнение x 2x -------------------------- + --------------------------- = 1. x2 – x + 1 x2 + x + 1

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся в том, что x = 0 не является орнем исходноо уравнения. Разделив числитель и знаменатель аждой дроби на x, получаем эвивалентное уравнение 2 1 ------------------------ + ------------------------ = 1. x + --1- + 1 x + --1- – 1 x

x

1

Полаая x + --x- = y, приходим  уравнению 2 1 ------------------------y – 1 + y + 1 = 1,

сводящемуся  вадратному уравнению, орнями отороо являются y1 = 0, y2 = 3. Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям 1 x + --x- = 0,

1 x + --x- = 3,

первое из оторых не имеет действительных орней, а орни 3ä 5

второо — числа x1,2 = ---------------2 .

Если в уравнении неоторые выражения, содержащие неизвестное, находятся под знаом модуля, то решение исходноо уравнения следует исать отдельно на аждом из промежутов знаопостоянства этих выражений. П р и м е р 1. Решить уравнение |2x – 5| = x – 1. Р е ш е н и е. Выражение 2x – 5, записанное под знаом модуля, неотрицательно при x l 2,5 и отрицательно при x < 2,5. Рассмотрим исходное уравнение отдельно на аждом из этих промежутов. Пусть x l 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = = 2x – 5, и данное уравнение примет вид 2x – 5 = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 4. Та а число 4 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 4 является решением исходноо уравнения. Пусть теперь x < 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = –(2x – 5), и данное уравнение примет вид –(2x – 5) = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 2. Та а число 2 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 2 является решением исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 4. П р и м е р 2. Решить уравнение

3ä 5 Ответ. x1, 2 = ---------------2 .

|x – 1| – 2|x – 2| + 3|x – 3| = 4. Р е ш е н и е. Данное уравнение эвивалентно следующим уравнениям:

Решите уравнение: 2x 2x – 5x + 3

13x 2x + x + 3

- + ------------------------------18. ---------------------------------= 6. 2 2 2x

3x

8

- – --------------------------- = --- . 19. -----------------------------3 x2 + 1 + x x 2 + 1 – 4x 3x 2 – 1

5x

41

119

- + -----------------------------20. ------------------= --------18 . x 3x 2 – x – 1

1) 1 – x 2) x – 1 3) x – 1 4) x – 1

+ 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при x m 1; + 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 1 < x m 2; – 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 2 < x m 3; – 2(x – 2) + 3(x – 3) = 4 при x > 3.

Первое уравнение имеет решение x = 1; второе уравнение обращается в тождество для всех значений x, удовлетворяю-


42

Г л а в а 2. Уравнения

щих неравенствам 1 < x m 2; третье не имеет решений; четвертое имеет решение x = 5. Ответ. x Ý [1; 2], x = 5. 2. |–x + 2| = 2x + 1.

3. |x – 1| + |x – 2| = 1.

4. |2 – |1 – |x||| = 1.

Ответ. x = 4.

6. |x2 – 1| = –|x| + 1.

= 1.

Решите уравнение:

7. |5x – x2 – 6| = x2 – 5x + 6. 8. |x – 1| + |x + 2| – |x – 3| = 4. 1

3

1

3

9. --2- x2 – 2x + --2- + --2- x2 – 3x + 4 = --4- .

§ 9. Иррациональные уравнения Иррациональным равнением называют уравнение, в отором неизвестная величина содержится под знаом радиала. Область допустимых значений иррациональноо уравнения состоит из тех значений неизвестноо, при оторых неотрицательны все выражения, находящиеся под знаами радиалов четной степени. Метод возведения равнения в степень. Один из способов решения иррациональноо уравнения залючается в последовательном возведении обеих частей уравнения в степень, являющуюся наименьшим общим ратным поазателей всех радиалов, входящих в данное уравнение. Если степень, в оторую возводится уравнение, четная, то полученное уравнение может иметь орни, не являющиеся орнями исходноо уравнения. В этом случае необходима провера орней. П р и м е р 1. Решить уравнение 3x + 4 +

4

орнями отороо являются x = – --3- и x = 4. Один из получен4

1. |x| = x + 2. 5.

43

ных орней, а именно x = – --3- , не удовлетворяет исходному уравнению, та а не входит в область ео допустимых значений. Проверой убеждаемся, что при x = 4 исходное уравнение обращается в тождество.

Решите уравнение:

x+1 -------------x–1

§ 9. Иррациональные уравнения

x–4 = 2 x.

1.

x+1 =8–

3x + 1 .

2.

x + x + 11 +

3.

17 + x –

17 – x = 2.

4.

3x + 7 –

x + 1 = 2.

5.

25 – x = 2 –

6.

x2

7.

x2 + x – 5 +

x 2 + 8x – 4 = 5.

8.

x2 + x + 1 =

x 2 – x + 1 + 1.

x2

+1 +

x – x + 11 = 4.

9+x. – 2x + 3 = 3.

9. (x2 – 4) x + 1 = 0. 10.

4x – 3 +

11.

x+5 +

x+3 =

12.

4–x +

5 + x = 3.

13.

4x + 2 +

14.

x– x–2 +

15.

x + 7 – x + 3 = 0. 3

5x + 1 =

2x + 7 .

4x – 2 = 4.

3

x + x – 2 = 2.

(*)

16.

Р е ш е н и е. Возведем обе части данноо уравнения в вадрат: 3x + 4 + 2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) + x – 4 = 4x. (**)

17. 18.

3

x +

Приведя подобные члены, получаем уравнение

19.

3

x+5 +

3

x+6 =

20.

3

x+1 +

3

3x + 1 =

2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) = 0,

x + 34 – 2x + 5 – 3

15x + 4 .

x – 3 = 1. 3x – 5 = 2.

x – 16 =

3

x–8. 3

2x + 11 . 3

x–1.


42

Г л а в а 2. Уравнения

щих неравенствам 1 < x m 2; третье не имеет решений; четвертое имеет решение x = 5. Ответ. x Ý [1; 2], x = 5. 2. |–x + 2| = 2x + 1.

3. |x – 1| + |x – 2| = 1.

4. |2 – |1 – |x||| = 1.

Ответ. x = 4.

6. |x2 – 1| = –|x| + 1.

= 1.

Решите уравнение:

7. |5x – x2 – 6| = x2 – 5x + 6. 8. |x – 1| + |x + 2| – |x – 3| = 4. 1

3

1

3

9. --2- x2 – 2x + --2- + --2- x2 – 3x + 4 = --4- .

§ 9. Иррациональные уравнения Иррациональным равнением называют уравнение, в отором неизвестная величина содержится под знаом радиала. Область допустимых значений иррациональноо уравнения состоит из тех значений неизвестноо, при оторых неотрицательны все выражения, находящиеся под знаами радиалов четной степени. Метод возведения равнения в степень. Один из способов решения иррациональноо уравнения залючается в последовательном возведении обеих частей уравнения в степень, являющуюся наименьшим общим ратным поазателей всех радиалов, входящих в данное уравнение. Если степень, в оторую возводится уравнение, четная, то полученное уравнение может иметь орни, не являющиеся орнями исходноо уравнения. В этом случае необходима провера орней. П р и м е р 1. Решить уравнение 3x + 4 +

4

орнями отороо являются x = – --3- и x = 4. Один из получен4

1. |x| = x + 2. 5.

43

ных орней, а именно x = – --3- , не удовлетворяет исходному уравнению, та а не входит в область ео допустимых значений. Проверой убеждаемся, что при x = 4 исходное уравнение обращается в тождество.

Решите уравнение:

x+1 -------------x–1

§ 9. Иррациональные уравнения

x–4 = 2 x.

1.

x+1 =8–

3x + 1 .

2.

x + x + 11 +

3.

17 + x –

17 – x = 2.

4.

3x + 7 –

x + 1 = 2.

5.

25 – x = 2 –

6.

x2

7.

x2 + x – 5 +

x 2 + 8x – 4 = 5.

8.

x2 + x + 1 =

x 2 – x + 1 + 1.

x2

+1 +

x – x + 11 = 4.

9+x. – 2x + 3 = 3.

9. (x2 – 4) x + 1 = 0. 10.

4x – 3 +

11.

x+5 +

x+3 =

12.

4–x +

5 + x = 3.

13.

4x + 2 +

14.

x– x–2 +

15.

x + 7 – x + 3 = 0. 3

5x + 1 =

2x + 7 .

4x – 2 = 4.

3

x + x – 2 = 2.

(*)

16.

Р е ш е н и е. Возведем обе части данноо уравнения в вадрат: 3x + 4 + 2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) + x – 4 = 4x. (**)

17. 18.

3

x +

Приведя подобные члены, получаем уравнение

19.

3

x+5 +

3

x+6 =

20.

3

x+1 +

3

3x + 1 =

2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) = 0,

x + 34 – 2x + 5 – 3

15x + 4 .

x – 3 = 1. 3x – 5 = 2.

x – 16 =

3

x–8. 3

2x + 11 . 3

x–1.


44

Г л а в а 2. Уравнения 21.

3

x+1 +

3

22.

3

1+ x +

3

1 – x = 2.

23.

3

5x + 7 –

3

5x – 12 = 1.

24.

3

9– x+1 +

25.

3

24 + x –

x+2 +

3

3

3

7 + x + 1 = 4.

5 + x = 1.

П р и м е р 2. Решить уравнение 3x 2 + 5x + 8 –

3x 2 + 5x + 1 = 1.

(*)

3x 2 + 5x + 8 + 3x 2 + 5x + 1 , являющееся сопряженным левой части уравнения (*). После приведения подобных членов получаем уравнение 3x 2 + 5x + 1 ,

(**)

эвивалентное исходному, та а уравнение 3x 2 + 5x + 8 +

3x 2 + 5x + 1 = 0

не имеет действительных орней. Сложив уравнения (*) и (**), получим 3x 2 + 5x + 8 = 4. Возведя последнее уравнение в вадрат, приходим  вадратному уравнению 3x2 + 5x – 8 = 0, 8

имеющему орни x1 = – --3- , x2 = 1. Выполнив проверу, убеждаемся, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. 8

Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- .



26.

3x 2 – 2x + 15 +

3x 2 – 2x + 8 = 7.

27.

x2 + 9 –

x 2 – 7 = 2.

28.

15 – x +

3 – x = 6.

29.

Ax 2 + Bx + C +

Ax 2 + Bx + C 1 = p.

21 + x + 21 – x

21

30. -------------------------------------------------- = -----x . 21 + x – 21 – x

В неоторых случаях введение вспомоательных неизвестных позволяет перейти от иррациональноо уравнения  системе рациональных уравнений. П р и м е р 3. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Умножим обе части уравнения на выражение

3x 2 + 5x + 8 +

45

Решите уравнение:

x + 3 = 0.

Не оторые специальные приемы решения иррациональных равнений. Инода можно освободиться от иррациональности умножением обеих частей уравнения на неоторое выражение, не обращающееся в нуль.

7=

§ 9. Иррациональные уравнения

x2 – 4x – 6 =

2x 2 – 8x + 12 .

Р е ш е н и е. Полаая 2x 2 – 8x + 12 = y, получим систему уравнений y2 = 2x2 – 8x + 12, (*) y = x2 – 4x – 6. Ислючив из системы (*) неизвестное x, приходим  уравнению y2 – 2y – 24 = 0. Ео орнями являются y1 = 6, y2 = –4. Та а через y обозначен арифметичесий орень, то из двух найденных орней уравнения выбираем положительный. Подставляя ео во второе уравнение системы (*), получаем уравнение x2 – 4x – 12 = 0, орни отороо x1 = 6, x2 = –2. Провера поазывает, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. Ответ. x1 = 6, x2 = –2. П р и м е р 4. Решить уравнение 3

x+1 =

x–3.

Р е ш е н и е. Положим 3 x + 1 = u, x – 3 = v. Ислючив x из уравнений u3 = x + 1, v2 = x – 3, придем  системе u = v, u3 – v2 = 4.


44

Г л а в а 2. Уравнения 21.

3

x+1 +

3

22.

3

1+ x +

3

1 – x = 2.

23.

3

5x + 7 –

3

5x – 12 = 1.

24.

3

9– x+1 +

25.

3

24 + x –

x+2 +

3

3

3

7 + x + 1 = 4.

5 + x = 1.

П р и м е р 2. Решить уравнение 3x 2 + 5x + 8 –

3x 2 + 5x + 1 = 1.

(*)

3x 2 + 5x + 8 + 3x 2 + 5x + 1 , являющееся сопряженным левой части уравнения (*). После приведения подобных членов получаем уравнение 3x 2 + 5x + 1 ,

(**)

эвивалентное исходному, та а уравнение 3x 2 + 5x + 8 +

3x 2 + 5x + 1 = 0

не имеет действительных орней. Сложив уравнения (*) и (**), получим 3x 2 + 5x + 8 = 4. Возведя последнее уравнение в вадрат, приходим  вадратному уравнению 3x2 + 5x – 8 = 0, 8

имеющему орни x1 = – --3- , x2 = 1. Выполнив проверу, убеждаемся, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. 8

Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- .



26.

3x 2 – 2x + 15 +

3x 2 – 2x + 8 = 7.

27.

x2 + 9 –

x 2 – 7 = 2.

28.

15 – x +

3 – x = 6.

29.

Ax 2 + Bx + C +

Ax 2 + Bx + C 1 = p.

21 + x + 21 – x

21

30. -------------------------------------------------- = -----x . 21 + x – 21 – x

В неоторых случаях введение вспомоательных неизвестных позволяет перейти от иррациональноо уравнения  системе рациональных уравнений. П р и м е р 3. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Умножим обе части уравнения на выражение

3x 2 + 5x + 8 +

45

Решите уравнение:

x + 3 = 0.

Не оторые специальные приемы решения иррациональных равнений. Инода можно освободиться от иррациональности умножением обеих частей уравнения на неоторое выражение, не обращающееся в нуль.

7=

§ 9. Иррациональные уравнения

x2 – 4x – 6 =

2x 2 – 8x + 12 .

Р е ш е н и е. Полаая 2x 2 – 8x + 12 = y, получим систему уравнений y2 = 2x2 – 8x + 12, (*) y = x2 – 4x – 6. Ислючив из системы (*) неизвестное x, приходим  уравнению y2 – 2y – 24 = 0. Ео орнями являются y1 = 6, y2 = –4. Та а через y обозначен арифметичесий орень, то из двух найденных орней уравнения выбираем положительный. Подставляя ео во второе уравнение системы (*), получаем уравнение x2 – 4x – 12 = 0, орни отороо x1 = 6, x2 = –2. Провера поазывает, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. Ответ. x1 = 6, x2 = –2. П р и м е р 4. Решить уравнение 3

x+1 =

x–3.

Р е ш е н и е. Положим 3 x + 1 = u, x – 3 = v. Ислючив x из уравнений u3 = x + 1, v2 = x – 3, придем  системе u = v, u3 – v2 = 4.


46

Г л а в а 2. Уравнения

Ее решение сводится  решению уравнения v3 – v2 – 4 = 0, имеющему единственный действительный орень v = 2. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем линейное уравнение 4 = x – 3, орень отороо является единственным орнем исходноо уравнения. Ответ. x = 7. Решите уравнение: 31. 

5

32. 33.

4

4

35 + 2x = 4.

34. (x + 4) (x + 1) – 3 x 2 + 5x + 2 = 6. 35. 36.

4

x+4+ x–4

- =x+ 37. -----------------------------------------2



38. 39.

x 2 – 16 – 6.

x x = 56.

(5 – x ) 5 – x + (x – 3) x – 3 5–x+ x–3

41. x 3 x – 4 3 x 2 + 4 = 0. 42. x2 + 3x – 18 + 4 x 2 + 3x – 6 = 0. 43. 

44.

x2

y2

+ 6y + 16 + 66 2

+ +x -------------------------------------- – x

t 2 – 2t + 1 = 1.

+ 2y = 2

y2

+ 2y + 4 .

x x 2 + 66 2 – x 2 = 5.

3 ( x – 2 ) + 4 2x 2 – 3x + 1 2(x – 1 )

49.

x+2+2 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 2.

50.

x+5–4 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 1.

51.

x+8+2 x+7 +

x + 1 – x + 7 = 4.

52.

x2 + 2 x2 – 1 –

53.

x+2 x–1 –

x – 2 x – 1 = 3.

54.

x+2 x–1 +

x – 2 x – 1 = x – 1.

55.

2x – 2 2x – 1 – 2 2x + 3 – 4 2x – 1 +

x 2 – 2 x 2 – 1 = 1.

+ 3 2x + 8 – 6 2x – 1 = 4.

- = 1. 45. -----------------------------------------------------------------------2

46. 

x – 2 + 2x – 5 +

47. (x – 3)2 + 3x – 22 = 3+x

48. ------------3x =

(*)

Решите уравнение:

40. --------------------------------------------------------------------------------- = 2.

3y 2

x – 2 = t; тода исходное уравне-

Ответ. x = 2,25.

5–x x+3 - = 2. + 7 ------------x+3 5–x 5

Р е ш е н и е. Положим ние примет вид

x – 1 – 2 x – 2 = 1.

орнем отороо является x = 2,25.

7 --------------

x5 x –

x–1+2 x–2 –

x – 2 = 0,5,

x 2 + 32 = 3.



П р и м е р 5. Решить уравнение

Уравнение (**) имеет единственный орень t = 0,5. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем уравнение

16z z–1 5 ------------- = 2,5. z–1 + 16z

5 -------------

x 2 + 32 – 2

Метод выделения полноо вадрата в под оренных выражениях.

Та а под знаами радиалов в левой части уравнения (*) находятся полные вадраты, то уазанное уравнение сводится  следующему: |t + 1| – |t – 1| = 1. (**)

4 – x = x2 – 6x + 11.

47 – 2x +

47

t 2 + 2t + 1 –

( 7x – 3 ) 3 + 8 5 ( 3 – 7x ) –3 = 7. x–2 +

§ 9. Иррациональные уравнения

x + 2 + 3 2x – 5 = 7 2 . x 2 – 3x + 7 .

2 1 1 4 --- + --- --- + -----2- . 9 x 9 x

56.

x+3–4 x–1 +

x + 8 – 6 x – 1 = 1.

1

1

x– x –x

x+ x –x

- – ------------------------------- = 57. -----------------------------2 2

58.

12 x

12 – ------2 +

12 x

x 2 – ------2 = x2.

3.


46

Г л а в а 2. Уравнения

Ее решение сводится  решению уравнения v3 – v2 – 4 = 0, имеющему единственный действительный орень v = 2. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем линейное уравнение 4 = x – 3, орень отороо является единственным орнем исходноо уравнения. Ответ. x = 7. Решите уравнение: 31. 

5

32. 33.

4

4

35 + 2x = 4.

34. (x + 4) (x + 1) – 3 x 2 + 5x + 2 = 6. 35. 36.

4

x+4+ x–4

- =x+ 37. -----------------------------------------2



38. 39.

x 2 – 16 – 6.

x x = 56.

(5 – x ) 5 – x + (x – 3) x – 3 5–x+ x–3

41. x 3 x – 4 3 x 2 + 4 = 0. 42. x2 + 3x – 18 + 4 x 2 + 3x – 6 = 0. 43. 

44.

x2

y2

+ 6y + 16 + 66 2

+ +x -------------------------------------- – x

t 2 – 2t + 1 = 1.

+ 2y = 2

y2

+ 2y + 4 .

x x 2 + 66 2 – x 2 = 5.

3 ( x – 2 ) + 4 2x 2 – 3x + 1 2(x – 1 )

49.

x+2+2 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 2.

50.

x+5–4 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 1.

51.

x+8+2 x+7 +

x + 1 – x + 7 = 4.

52.

x2 + 2 x2 – 1 –

53.

x+2 x–1 –

x – 2 x – 1 = 3.

54.

x+2 x–1 +

x – 2 x – 1 = x – 1.

55.

2x – 2 2x – 1 – 2 2x + 3 – 4 2x – 1 +

x 2 – 2 x 2 – 1 = 1.

+ 3 2x + 8 – 6 2x – 1 = 4.

- = 1. 45. -----------------------------------------------------------------------2

46. 

x – 2 + 2x – 5 +

47. (x – 3)2 + 3x – 22 = 3+x

48. ------------3x =

(*)

Решите уравнение:

40. --------------------------------------------------------------------------------- = 2.

3y 2

x – 2 = t; тода исходное уравне-

Ответ. x = 2,25.

5–x x+3 - = 2. + 7 ------------x+3 5–x 5

Р е ш е н и е. Положим ние примет вид

x – 1 – 2 x – 2 = 1.

орнем отороо является x = 2,25.

7 --------------

x5 x –

x–1+2 x–2 –

x – 2 = 0,5,

x 2 + 32 = 3.



П р и м е р 5. Решить уравнение

Уравнение (**) имеет единственный орень t = 0,5. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем уравнение

16z z–1 5 ------------- = 2,5. z–1 + 16z

5 -------------

x 2 + 32 – 2

Метод выделения полноо вадрата в под оренных выражениях.

Та а под знаами радиалов в левой части уравнения (*) находятся полные вадраты, то уазанное уравнение сводится  следующему: |t + 1| – |t – 1| = 1. (**)

4 – x = x2 – 6x + 11.

47 – 2x +

47

t 2 + 2t + 1 –

( 7x – 3 ) 3 + 8 5 ( 3 – 7x ) –3 = 7. x–2 +

§ 9. Иррациональные уравнения

x + 2 + 3 2x – 5 = 7 2 . x 2 – 3x + 7 .

2 1 1 4 --- + --- --- + -----2- . 9 x 9 x

56.

x+3–4 x–1 +

x + 8 – 6 x – 1 = 1.

1

1

x– x –x

x+ x –x

- – ------------------------------- = 57. -----------------------------2 2

58.

12 x

12 – ------2 +

12 x

x 2 – ------2 = x2.

3.


48

Г л а в а 2. Уравнения 59. 2 5

4

x+1+4 – 2

4

x + 1 – 1 = 20

60.

2x 2 – 9x + 4 + 3 2x – 1 =

61.

4x 2 + 9x + 5 – 3

4 – 4x + x 2 +

3

62.



63.

2x 2 + 8x + 6 +

64.

x–2 +

f(x) = loga b.

x2 – 1 .

49 + 14x + x 2 = 3 +

3

Сведение простейшим по азательным равнениям. Неоторые поазательные уравнения приводятся  виду (1) или (2) с помощью равенств

14 – 5x – x 2 .

x 2 – 1 = 2x + 2.

ax · ay = ax + y, (ax)y = axy,

1 – x = 2.

ax -----y- = ax – y, a

1

65. --4- x = ( 1 + x – 1) ( 1 – x + 1). 1

1

2

(a · b)

66. ------------------------------------ + ------------------------------------ = -----------2–x. x+2 x–1 x–2 x–1

67.

3

( a + x )2 + 4

3

68.

n

( x + 1)2 +

( x – 1 )2 = 4 n x2 – 1 .

x 2 + 8x x+1

69. ------------------------- +

n

7 x+1

x + 7 = ------------------ .

71.

(2 –

+

3

6

x+1

(7 +

x )2

3

x

П р и м е р 1. Решить уравнение

( 34 – x ) 3 x + 1 – ( x + 1 ) 3 34 – x

x )2

x

= a ·b ,

де a и b — любые положительные числа, а x и y — любые действительные числа.

- = 30. 70. ------------------------------------------------------------------------------------------3 3 3

x

x x  a ---  = a -----x- ,  b  b

( a – x )2 = 5 3 a2 – x2 .

34 – x –

49

то, лоарифмируя обе части этоо уравнения, приходим  эвивалентному уравнению

x + 1 + 5.

2x 2 + 21x – 11 .

2x 2 + x – 1 =



4

§ 10. Показательные уравнения

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде

( 2 – x ) ( 7 + x ) = 3.

3

2x + 4

· 2

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Используя свойство членов пропорции, имеем 2x + 4

§ 10. Показательные уравнения Поазательным равнением называют уравнение, в отором неизвестное входит тольо в поазатель степени, а основание степени является постоянным. Простейшее поазательное уравнение — это уравнение вида ax = b.

(1)

Ео решением при a > 0, a − 1 и b > 0 является

a − 1,

4–x 2 ---  = 1, 3 

получаем 4 – x = 0, отуда следует, что x = 4. Решите уравнение:

Если поазатель степени представляет собой неоторую фунцию f(x), т. е. уравнение имеет вид a > 0,

или после упрощения 34 – x = 24 – x. Преобразуя данное уравнение  виду

Ответ. x = 4.

x = loga b.

af(x) = b,

x+8

2 3 ---------------- = ----------------, 3x 2x + 4 3 2

b > 0,

(2)

1.

3

x

·

5

x

= 225.

3. 93 – 5x · 75x – 3 = 1.

2. 2

3x

· 5

x

= 1600. 9

4. 32x – 1 · 53x + 2 = --5- · 52x · 33x.


48

Г л а в а 2. Уравнения 59. 2 5

4

x+1+4 – 2

4

x + 1 – 1 = 20

60.

2x 2 – 9x + 4 + 3 2x – 1 =

61.

4x 2 + 9x + 5 – 3

4 – 4x + x 2 +

3

62.



63.

2x 2 + 8x + 6 +

64.

x–2 +

f(x) = loga b.

x2 – 1 .

49 + 14x + x 2 = 3 +

3

Сведение простейшим по азательным равнениям. Неоторые поазательные уравнения приводятся  виду (1) или (2) с помощью равенств

14 – 5x – x 2 .

x 2 – 1 = 2x + 2.

ax · ay = ax + y, (ax)y = axy,

1 – x = 2.

ax -----y- = ax – y, a

1

65. --4- x = ( 1 + x – 1) ( 1 – x + 1). 1

1

2

(a · b)

66. ------------------------------------ + ------------------------------------ = -----------2–x. x+2 x–1 x–2 x–1

67.

3

( a + x )2 + 4

3

68.

n

( x + 1)2 +

( x – 1 )2 = 4 n x2 – 1 .

x 2 + 8x x+1

69. ------------------------- +

n

7 x+1

x + 7 = ------------------ .

71.

(2 –

+

3

6

x+1

(7 +

x )2

3

x

П р и м е р 1. Решить уравнение

( 34 – x ) 3 x + 1 – ( x + 1 ) 3 34 – x

x )2

x

= a ·b ,

де a и b — любые положительные числа, а x и y — любые действительные числа.

- = 30. 70. ------------------------------------------------------------------------------------------3 3 3

x

x x  a ---  = a -----x- ,  b  b

( a – x )2 = 5 3 a2 – x2 .

34 – x –

49

то, лоарифмируя обе части этоо уравнения, приходим  эвивалентному уравнению

x + 1 + 5.

2x 2 + 21x – 11 .

2x 2 + x – 1 =



4

§ 10. Показательные уравнения

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде

( 2 – x ) ( 7 + x ) = 3.

3

2x + 4

· 2

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Используя свойство членов пропорции, имеем 2x + 4

§ 10. Показательные уравнения Поазательным равнением называют уравнение, в отором неизвестное входит тольо в поазатель степени, а основание степени является постоянным. Простейшее поазательное уравнение — это уравнение вида ax = b.

(1)

Ео решением при a > 0, a − 1 и b > 0 является

a − 1,

4–x 2 ---  = 1, 3 

получаем 4 – x = 0, отуда следует, что x = 4. Решите уравнение:

Если поазатель степени представляет собой неоторую фунцию f(x), т. е. уравнение имеет вид a > 0,

или после упрощения 34 – x = 24 – x. Преобразуя данное уравнение  виду

Ответ. x = 4.

x = loga b.

af(x) = b,

x+8

2 3 ---------------- = ----------------, 3x 2x + 4 3 2

b > 0,

(2)

1.

3

x

·

5

x

= 225.

3. 93 – 5x · 75x – 3 = 1.

2. 2

3x

· 5

x

= 1600. 9

4. 32x – 1 · 53x + 2 = --5- · 52x · 33x.


50

Г л а в а 2. Уравнения 15. 3 · 4 16. 7

1

2x 2 – 5x – 9 ---------------------------------2

17. 4 · 3

x+2

1  18. 5  ----- 25 

= ( 2)

=5· 3

3 log 2 7

x

sin x

+4· 5

x+5 --------------

.

19. 16 x – 7 = 512 · 64

cos 2x

x + 17 ----------------x–3

2 x+1

= 40.

= 25

0,5 sin 2x

–7· 3

x -----------------x

3 · 31 + x–3 -----------------

12. 8 3x – 7 · 13. 0,6

x

14. (2,4)

3

1 – sin x

.

= 81.

3x – 1 -----------------

Решите уравнение: 12  =  ----- 5 

sin x + 0,5

x 2 + 4x

0,5

16. 9

. 1

= -----25 , удовлетворяю-

Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть поазательное уравнение имеет вид g(af(x))

= 0,

(3)

де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = сводится  уравнениям вида

af(x)

оно

af(x) = yi, де yi — орни уравнения g(y) = 0. П р и м е р 2. Решить уравнение x2 – 2 + x

–5· 2

Р е ш е н и е. Полаая 2 уравнение

17. 3 18. 3 19.

x2 – 1 x

20. 4 21. 4

81 – 10

1–x

1 --64 x

– 36 · 3

– 3

– 2

log9 x

x

1+x

2 + --3-

x

x2 – 3

+ 3 = 0.

9 + 3 = 0. + 9

x

+ 9

–x

= 6.

+ 12 = 0.

– 6 · 2 log9 x + 2 log3 27 = 0.

3x 2 – 2x + 1

+2=9· 2

3x 2 – 2x

.

Поазательные уравнения, основания степеней оторых являются последовательными членами еометричесой прорессии, а поазали степеней одинаовы, приводятся  уравнениям вида (3) делением на любой из райних членов. П р и м е р 3. Решить уравнение

x – 1 + x2 – 2

x2 – 2 + x

5

= –1,5.

Ответ. x = 1,5.

3

27  =  --------125  .

15. Найдите решение уравнения 3 щее условию x > –3.

4

x + x2 – 2

Приводя подобные члены, находим единственный орень x = 1,5. Проверой убеждаемся, что этот орень удовлетворяет исходному уравнению.

0,25 x – 1 = 1.

· [0,41(6)]

2

Уединяя радиал и возводя обе части уравнения в вадрат, имеем x2 – 2 = 4 – 4x + x2.

2+ x+x ----------------------------x)

x 2 – 12

= 4,

x + x2 – 2

.

1 ·  --3-  2 ( 1 +  

25  ·  -----9 

x + x2 – 2

Второе уравнение не имеет решений, та а 2 > 0 при всех допустимых значениях x. Из первоо уравнения следует, что x + x 2 – 2 = 2.

10. 5|4x – 6| = 253x – 4. 11.

51

орнями отороо являются y1 = 4 и y2 = –1,5. Таим образом, решение данноо уравнения сводится  решению уравнений

1

x+2 x+1 x+1 + --3- · 9 =6· 4 – --2- · 9 .

x

§ 10. Показательные уравнения

= 6.

= y, получаем вадратное

y2 – --2- y – 6 = 0,

6· 4

x

– 13 · 6

x

+6· 9

x

= 0. x

Р е ш е н и е. Разделим обе части уравнения на 9 : x x 4 6 6  --9-  – 13  --9-  + 6 = 0.    


50

Г л а в а 2. Уравнения 15. 3 · 4 16. 7

1

2x 2 – 5x – 9 ---------------------------------2

17. 4 · 3

x+2

1  18. 5  ----- 25 

= ( 2)

=5· 3

3 log 2 7

x

sin x

+4· 5

x+5 --------------

.

19. 16 x – 7 = 512 · 64

cos 2x

x + 17 ----------------x–3

2 x+1

= 40.

= 25

0,5 sin 2x

–7· 3

x -----------------x

3 · 31 + x–3 -----------------

12. 8 3x – 7 · 13. 0,6

x

14. (2,4)

3

1 – sin x

.

= 81.

3x – 1 -----------------

Решите уравнение: 12  =  ----- 5 

sin x + 0,5

x 2 + 4x

0,5

16. 9

. 1

= -----25 , удовлетворяю-

Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть поазательное уравнение имеет вид g(af(x))

= 0,

(3)

де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = сводится  уравнениям вида

af(x)

оно

af(x) = yi, де yi — орни уравнения g(y) = 0. П р и м е р 2. Решить уравнение x2 – 2 + x

–5· 2

Р е ш е н и е. Полаая 2 уравнение

17. 3 18. 3 19.

x2 – 1 x

20. 4 21. 4

81 – 10

1–x

1 --64 x

– 36 · 3

– 3

– 2

log9 x

x

1+x

2 + --3-

x

x2 – 3

+ 3 = 0.

9 + 3 = 0. + 9

x

+ 9

–x

= 6.

+ 12 = 0.

– 6 · 2 log9 x + 2 log3 27 = 0.

3x 2 – 2x + 1

+2=9· 2

3x 2 – 2x

.

Поазательные уравнения, основания степеней оторых являются последовательными членами еометричесой прорессии, а поазали степеней одинаовы, приводятся  уравнениям вида (3) делением на любой из райних членов. П р и м е р 3. Решить уравнение

x – 1 + x2 – 2

x2 – 2 + x

5

= –1,5.

Ответ. x = 1,5.

3

27  =  --------125  .

15. Найдите решение уравнения 3 щее условию x > –3.

4

x + x2 – 2

Приводя подобные члены, находим единственный орень x = 1,5. Проверой убеждаемся, что этот орень удовлетворяет исходному уравнению.

0,25 x – 1 = 1.

· [0,41(6)]

2

Уединяя радиал и возводя обе части уравнения в вадрат, имеем x2 – 2 = 4 – 4x + x2.

2+ x+x ----------------------------x)

x 2 – 12

= 4,

x + x2 – 2

.

1 ·  --3-  2 ( 1 +  

25  ·  -----9 

x + x2 – 2

Второе уравнение не имеет решений, та а 2 > 0 при всех допустимых значениях x. Из первоо уравнения следует, что x + x 2 – 2 = 2.

10. 5|4x – 6| = 253x – 4. 11.

51

орнями отороо являются y1 = 4 и y2 = –1,5. Таим образом, решение данноо уравнения сводится  решению уравнений

1

x+2 x+1 x+1 + --3- · 9 =6· 4 – --2- · 9 .

x

§ 10. Показательные уравнения

= 6.

= y, получаем вадратное

y2 – --2- y – 6 = 0,

6· 4

x

– 13 · 6

x

+6· 9

x

= 0. x

Р е ш е н и е. Разделим обе части уравнения на 9 : x x 4 6 6  --9-  – 13  --9-  + 6 = 0.    


52

Г л а в а 2. Уравнения

2 Полаая  --3-   

= y, получаем уравнение

10x2 – 1 = 3x, |x – 2| − 0.

– 13y + 6 = 0, 2

3

орнями отороо являются y1 = --2- и y2 = --3- . Таим образом, решение уравнения сводится  решению двух простейших поx x 3 3 3 2 азательных уравнений  --2-  = --2- и  --2-  = --3- .    

23. 3 · 16 25. 6

x

– 9 · 14

x

+ 36

9 – 13

16x

x

x

x2

x2

x

29. (4 +

4 = 0.

4x

15 )x + (4 –

=

3x 2 – 10x + 3

log5 x – 1

x–3

x–2

. 3

37. x loga x = (a π ) loga x .

= 1.

= 5.

39. x

lg x + 7

= 10

4(lg x + 1)

2

32. 5 1 +

x3

– 51 –

x3

= 24.

Р е ш е н и е. Применяя основное лоарифмичесое тождество, преобразуем второе слааемое в левой части уравнения: x log 3 x = ( 3 log 3 x )

0,2x – 2

+5· = 26. 33. 34. 102/x + 251/x = 4,25 · 501/x.

log 3 x

2

= 3 log 3 x .

(*)

Теперь подставим выражение (*) в исходное уравнение: 2

Уравнение вида

2 · 3 log 3 x = 162. (a(x))b(x) = (a(x))c(x)

2

в свою очередь эвивалентно двум уравнениям

a(x) = 1

log3 x = 2,

и системе

Решив их, получаем x1 = 9, x2 = --9- . 1

Ответ. x1 = 9, x2 = --9- .

П р и м е р 4. Решить уравнение = |x – 2|3x.

Решите уравнение:

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению |x – 2| = 1

log3 x = –2. 1

b(x) = c(x). a(x) > 0.

10x 2 – 1

(**)

Уравнение (**) эвивалентно уравнению log 3 x = 4, оторое

эвивалентно уравнению

x–2

.

3 log3 x + x log 3 x = 162.

15 )x = 62.

31. 91/x + 121/x = 161/x.

x+1

П р и м е р 5. Решить уравнение

28. 27x + 12x = 2 · 8x.

30. ( 5 + 2 6 )x + ( 5 – 2 6 )x = 10. 5x – 1

x–3

Не оторые специальные приемы решения по азательных равнений. В ряде случае уравнения можно свести  рассмотренным выше, если преобразовать отдельные их элементы, используя основное лоарифмичесое тождество.

24. 8x + 18x = 2 · 27x.

26. –5· +6· = 0. 27. 23x – 3 – 5 + 6 · 23 – 3x = 0. 8x

4

38. ( x )

= 0.

= 2 · 81 . x

Ответ. x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

36. x – 3

+ 2 · 49

6 +6

Уравнение (*) имеет орни x1 = 3, x2 = 1, а системе (**) удовлетворяют значения x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

35.

Решите уравнение: x2

(**)

Решите уравнение:

Ответ. x1 = 1, x2 = –1.

22. 7 · 4

53

и системе

x

6y2

§ 10. Показательные уравнения

(*)

40. 5lg x = 50 – xlg 5. 42. x 2 lg 2 – 5 · 2lg x + 6 = 0.

41. 10 lg

2

x

+ xlg x = 20.


52

Г л а в а 2. Уравнения

2 Полаая  --3-   

= y, получаем уравнение

10x2 – 1 = 3x, |x – 2| − 0.

– 13y + 6 = 0, 2

3

орнями отороо являются y1 = --2- и y2 = --3- . Таим образом, решение уравнения сводится  решению двух простейших поx x 3 3 3 2 азательных уравнений  --2-  = --2- и  --2-  = --3- .    

23. 3 · 16 25. 6

x

– 9 · 14

x

+ 36

9 – 13

16x

x

x

x2

x2

x

29. (4 +

4 = 0.

4x

15 )x + (4 –

=

3x 2 – 10x + 3

log5 x – 1

x–3

x–2

. 3

37. x loga x = (a π ) loga x .

= 1.

= 5.

39. x

lg x + 7

= 10

4(lg x + 1)

2

32. 5 1 +

x3

– 51 –

x3

= 24.

Р е ш е н и е. Применяя основное лоарифмичесое тождество, преобразуем второе слааемое в левой части уравнения: x log 3 x = ( 3 log 3 x )

0,2x – 2

+5· = 26. 33. 34. 102/x + 251/x = 4,25 · 501/x.

log 3 x

2

= 3 log 3 x .

(*)

Теперь подставим выражение (*) в исходное уравнение: 2

Уравнение вида

2 · 3 log 3 x = 162. (a(x))b(x) = (a(x))c(x)

2

в свою очередь эвивалентно двум уравнениям

a(x) = 1

log3 x = 2,

и системе

Решив их, получаем x1 = 9, x2 = --9- . 1

Ответ. x1 = 9, x2 = --9- .

П р и м е р 4. Решить уравнение = |x – 2|3x.

Решите уравнение:

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению |x – 2| = 1

log3 x = –2. 1

b(x) = c(x). a(x) > 0.

10x 2 – 1

(**)

Уравнение (**) эвивалентно уравнению log 3 x = 4, оторое

эвивалентно уравнению

x–2

.

3 log3 x + x log 3 x = 162.

15 )x = 62.

31. 91/x + 121/x = 161/x.

x+1

П р и м е р 5. Решить уравнение

28. 27x + 12x = 2 · 8x.

30. ( 5 + 2 6 )x + ( 5 – 2 6 )x = 10. 5x – 1

x–3

Не оторые специальные приемы решения по азательных равнений. В ряде случае уравнения можно свести  рассмотренным выше, если преобразовать отдельные их элементы, используя основное лоарифмичесое тождество.

24. 8x + 18x = 2 · 27x.

26. –5· +6· = 0. 27. 23x – 3 – 5 + 6 · 23 – 3x = 0. 8x

4

38. ( x )

= 0.

= 2 · 81 . x

Ответ. x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

36. x – 3

+ 2 · 49

6 +6

Уравнение (*) имеет орни x1 = 3, x2 = 1, а системе (**) удовлетворяют значения x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

35.

Решите уравнение: x2

(**)

Решите уравнение:

Ответ. x1 = 1, x2 = –1.

22. 7 · 4

53

и системе

x

6y2

§ 10. Показательные уравнения

(*)

40. 5lg x = 50 – xlg 5. 42. x 2 lg 2 – 5 · 2lg x + 6 = 0.

41. 10 lg

2

x

+ xlg x = 20.


54

Г л а в а 2. Уравнения

Инода уравнение, содержащее неизвестное в поазателе степени, удается решить с помощью исследования фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение 76 – x

= x + 2.

Р е ш е н и е. Корень x = 5 можно найти подбором. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = 76 – x монотонно убывает, а фунция g(x) = x + 2 монотонно возрастает, и, следовательно, рафии этих фунций моут пересечься не более, чем в одной точе. Ответ. x = 5. x

x

x

43. ( 2 + 3 )



44. 3

x–1



46. 4

x



47. (x + 1) 9



48. x2 – x + 1 = 2 · 2x – 1 – 4x – 1. 49. 5

+ 5

+ ( 2 – 3)

x–1

+ (x – 1) 2

x

4 51.  ---   3 

x–3

+ 12 x

x

= 34. x

= 2 . 

45. 2 3x

2

– 2x 3

= 13

x–3

x.

Сведение простейшим лоарифмичес им равнениям. Неоторые лоарифмичесие уравнения решаются с использованием основных свойств лоарифмов (1)—(5) (см. § 5), позволяющих свести решение данноо уравнения  решению простейшео лоарифмичесоо уравнения. П р и м е р 1. Решить уравнение 2 – x + 3 log5 2 = log5 ( 3

x

– 5

2–x

).

x

3 –5 8

2–x

2 – x = log5 --------------------------- . Последнее уравнение эвивалентно уравнению x

50. 3

x2

+ 4

x2

= 5

x2

оторое можно записать в виде

.

3

a − 1,

(1)

с множеством допустимых значений x > 0 имеет решение x = Лоарифмичесое уравнение, в отором под знаом лоарифма находится неоторая фунция f(x): a − 1,

=9· 5

2–x

,

3

или

3

ab.

a > 0,

x

x–2

= 5

2–x

,

или

15

x–2

= 1.

Полученное поазательное уравнение эвивалентно уравнению x – 2 = 0, решение отороо есть x = 2. Множество допустимых значений x для данноо уравнения определяется неравенством

Лоарифмичесим равнением называют уравнение, содержащее неизвестную величину под знаом лоарифма. Простейшее лоарифмичесое уравнение a > 0,

2–x

2–x 3 –5 --------------------------- = 5 , 8

– 16 = 0.

§ 11. Логарифмические уравнения

loga f(x) = b,

f(x) = ab.

x2 + 1

= –2x2 + 6x –9.

loga x = b,

имеет множество допустимых значений x, задаваемых неравенством f(x) > 0, и эвивалентно уравнению

= ---------------x .

= 6 – 2x.

+ 4x · 3

55

Р е ш е н и е. Перенесем лоарифм из левой части уравнения в правую и, воспользовавшись свойствами лоарифмов, запишем уравнение в виде

Решите уравнение: 

§ 11. Логарифмические уравнения

(2)

x

– 5

2–x

> 0.

При x = 2 это неравенство справедливо, и, следовательно, x = 2 является решением исходноо лоарифмичесоо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение: 1. log5 [2 + log3 (3 + x)] = 0. 1

2. lg (5 – x) – --3- lg (35 – x3) = 0. 3. log3 ( 3

x

– 8) = 2 – x.


54

Г л а в а 2. Уравнения

Инода уравнение, содержащее неизвестное в поазателе степени, удается решить с помощью исследования фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение 76 – x

= x + 2.

Р е ш е н и е. Корень x = 5 можно найти подбором. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = 76 – x монотонно убывает, а фунция g(x) = x + 2 монотонно возрастает, и, следовательно, рафии этих фунций моут пересечься не более, чем в одной точе. Ответ. x = 5. x

x

x

43. ( 2 + 3 )



44. 3

x–1



46. 4

x



47. (x + 1) 9



48. x2 – x + 1 = 2 · 2x – 1 – 4x – 1. 49. 5

+ 5

+ ( 2 – 3)

x–1

+ (x – 1) 2

x

4 51.  ---   3 

x–3

+ 12 x

x

= 34. x

= 2 . 

45. 2 3x

2

– 2x 3

= 13

x–3

x.

Сведение простейшим лоарифмичес им равнениям. Неоторые лоарифмичесие уравнения решаются с использованием основных свойств лоарифмов (1)—(5) (см. § 5), позволяющих свести решение данноо уравнения  решению простейшео лоарифмичесоо уравнения. П р и м е р 1. Решить уравнение 2 – x + 3 log5 2 = log5 ( 3

x

– 5

2–x

).

x

3 –5 8

2–x

2 – x = log5 --------------------------- . Последнее уравнение эвивалентно уравнению x

50. 3

x2

+ 4

x2

= 5

x2

оторое можно записать в виде

.

3

a − 1,

(1)

с множеством допустимых значений x > 0 имеет решение x = Лоарифмичесое уравнение, в отором под знаом лоарифма находится неоторая фунция f(x): a − 1,

=9· 5

2–x

,

3

или

3

ab.

a > 0,

x

x–2

= 5

2–x

,

или

15

x–2

= 1.

Полученное поазательное уравнение эвивалентно уравнению x – 2 = 0, решение отороо есть x = 2. Множество допустимых значений x для данноо уравнения определяется неравенством

Лоарифмичесим равнением называют уравнение, содержащее неизвестную величину под знаом лоарифма. Простейшее лоарифмичесое уравнение a > 0,

2–x

2–x 3 –5 --------------------------- = 5 , 8

– 16 = 0.

§ 11. Логарифмические уравнения

loga f(x) = b,

f(x) = ab.

x2 + 1

= –2x2 + 6x –9.

loga x = b,

имеет множество допустимых значений x, задаваемых неравенством f(x) > 0, и эвивалентно уравнению

= ---------------x .

= 6 – 2x.

+ 4x · 3

55

Р е ш е н и е. Перенесем лоарифм из левой части уравнения в правую и, воспользовавшись свойствами лоарифмов, запишем уравнение в виде

Решите уравнение: 

§ 11. Логарифмические уравнения

(2)

x

– 5

2–x

> 0.

При x = 2 это неравенство справедливо, и, следовательно, x = 2 является решением исходноо лоарифмичесоо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение: 1. log5 [2 + log3 (3 + x)] = 0. 1

2. lg (5 – x) – --3- lg (35 – x3) = 0. 3. log3 ( 3

x

– 8) = 2 – x.


56

Г л а в а 2. Уравнения 4. log

5

(4

x

– 6) – log

5

(2

x

1

19. -----lg 10

Лоарифмичесое уравнение вида

11. log2 (2x2 – 2) = log2 (5x – 4).

f(x) = g (x), рассматриваемому на множестве допустимых значений x, задаваемом системой неравенств a(x) − 1.

Если в данное уравнение входят лоарифмы по разным основаниям, то предварительно необходимо привести все лоарифмы  одному основанию.

1

x – 1 + --2- lg (2x + 15) = 1.

(*)

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестноо x для данноо уравнения находится а решение системы x – 1 > 0, 2x + 15 > 0 и представляет собой промежуто (1; +×). Используя свойства лоарифмов, преобразуем уравнение (*)  виду lg ( x – 1 ·

2x + 15 ) = 1.

Из последнео уравнения по определению лоарифма получаем иррациональное уравнение ( x – 1 ) ( 2x + 15 ) = 10, имеющее решения x1 = 5, x2 = –11,5. Множеству допустимых значений исходноо уравнения принадлежит лишь орень x1 = 5, оторый и является решением уравнения (*). Ответ. x = 5.

13. logx + 1 (x – 0,5) = logx – 0,5 (x + 1). 14. log x 3 + 2x 2 – 3x + 5 (x3 + 3x2 – 2x – 1) = log2x x + log2x 2. 15. log1 + x (2x3 + 2x2 – 3x + 1) = 3. 16. logx + 1 (x3 – 9x + 8) · logx – 1 (x + 1) = 3. 1 log 2 ( 3 – 4x )

18. log 3 – 4x 2 (9 – 16x4) = 2 + ------------------------------------2 . 3

2 19. log3x --x- + log 3 x = 1.

20. logx 16 + log2x 64 = 3. 21. 20 log4x

x + 7 log16x x3 – 3 logx/2 x2 = 0. 7

22. logx 2 – log4 x + --6- = 0. 23. 2 – log b 2 (1 + x) = 3 logb

x – 1 – log b 4 (x2 – 1)2.

24. 3 logx 4 + 2 log4x 4 + 3 log16x 4 = 0. Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть лоарифмичесое уравнение имеет вид f(loga x) = 0, де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = loga x оно сводится  уравнениям вида (1): loga x = yi,

Решите уравнение: 6. 2 log3 (x – 2) + log3 (x – 4)2 = 0. 2+x

lg ( 35 – x 3 )

12. ------------------------------lg ( 5 – x ) = 3.

17. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4.

П р и м е р 2. Решить уравнение lg

1

1 x 2 – 4x + 4 – --2- lg x – lg ------- = 0. x

- = 0. 10. lg (x(x + 9)) + lg ------------x

эвивалентно уравнению

a(x) > 0,

3

x+9

loga (x) f(x) = loga (x) g(x)

g (x) > 0,

57

18. 0,5 lg (x2 – 10x + 25) + lg (x2 – 6x + 3) = = 2 lg (x – 5) + 0,5 lg 25.

– 2) = 2.

5. lg (3x2 + 12x + 19) – lg (3x + 4) = 1.

f(x) > 0,

§ 11. Логарифмические уравнения

2

-------------7. log5 ------------10 = log5 x + 1 .

де yi — орни уравнения f(y) = 0. П р и м е р 3. Решить уравнение (log2 x)2 – 5 log2 x + 6 = 0.


56

Г л а в а 2. Уравнения 4. log

5

(4

x

– 6) – log

5

(2

x

1

19. -----lg 10

Лоарифмичесое уравнение вида

11. log2 (2x2 – 2) = log2 (5x – 4).

f(x) = g (x), рассматриваемому на множестве допустимых значений x, задаваемом системой неравенств a(x) − 1.

Если в данное уравнение входят лоарифмы по разным основаниям, то предварительно необходимо привести все лоарифмы  одному основанию.

1

x – 1 + --2- lg (2x + 15) = 1.

(*)

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестноо x для данноо уравнения находится а решение системы x – 1 > 0, 2x + 15 > 0 и представляет собой промежуто (1; +×). Используя свойства лоарифмов, преобразуем уравнение (*)  виду lg ( x – 1 ·

2x + 15 ) = 1.

Из последнео уравнения по определению лоарифма получаем иррациональное уравнение ( x – 1 ) ( 2x + 15 ) = 10, имеющее решения x1 = 5, x2 = –11,5. Множеству допустимых значений исходноо уравнения принадлежит лишь орень x1 = 5, оторый и является решением уравнения (*). Ответ. x = 5.

13. logx + 1 (x – 0,5) = logx – 0,5 (x + 1). 14. log x 3 + 2x 2 – 3x + 5 (x3 + 3x2 – 2x – 1) = log2x x + log2x 2. 15. log1 + x (2x3 + 2x2 – 3x + 1) = 3. 16. logx + 1 (x3 – 9x + 8) · logx – 1 (x + 1) = 3. 1 log 2 ( 3 – 4x )

18. log 3 – 4x 2 (9 – 16x4) = 2 + ------------------------------------2 . 3

2 19. log3x --x- + log 3 x = 1.

20. logx 16 + log2x 64 = 3. 21. 20 log4x

x + 7 log16x x3 – 3 logx/2 x2 = 0. 7

22. logx 2 – log4 x + --6- = 0. 23. 2 – log b 2 (1 + x) = 3 logb

x – 1 – log b 4 (x2 – 1)2.

24. 3 logx 4 + 2 log4x 4 + 3 log16x 4 = 0. Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть лоарифмичесое уравнение имеет вид f(loga x) = 0, де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = loga x оно сводится  уравнениям вида (1): loga x = yi,

Решите уравнение: 6. 2 log3 (x – 2) + log3 (x – 4)2 = 0. 2+x

lg ( 35 – x 3 )

12. ------------------------------lg ( 5 – x ) = 3.

17. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4.

П р и м е р 2. Решить уравнение lg

1

1 x 2 – 4x + 4 – --2- lg x – lg ------- = 0. x

- = 0. 10. lg (x(x + 9)) + lg ------------x

эвивалентно уравнению

a(x) > 0,

3

x+9

loga (x) f(x) = loga (x) g(x)

g (x) > 0,

57

18. 0,5 lg (x2 – 10x + 25) + lg (x2 – 6x + 3) = = 2 lg (x – 5) + 0,5 lg 25.

– 2) = 2.

5. lg (3x2 + 12x + 19) – lg (3x + 4) = 1.

f(x) > 0,

§ 11. Логарифмические уравнения

2

-------------7. log5 ------------10 = log5 x + 1 .

де yi — орни уравнения f(y) = 0. П р и м е р 3. Решить уравнение (log2 x)2 – 5 log2 x + 6 = 0.


58

Г л а в а 2. Уравнения Р е ш е н и е. Полаая log2 x = y, получаем уравнение y2

орнями отороо являются y1 = 2, y2 = 3. Следовательно, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям вида (1): log2 x = 3,

y2 + 2y – 8 = 0, имеющему орни y1 = – 4, y2 = 2. Наонец, решив простейшие лоарифмичесие уравнения, находим орни исходноо уравнения:

имеющим решения x1 = 4 и x2 = 8.

log3 x = –4 _ x = 3–4,

Ответ. x1 = 4, x2 = 8.

Ответ. x1 = 32, x2 = 3–4.

Решите уравнение: 25. lg3 x – lg2 x – 6 lg x = 0.

Решите уравнение:

26.

23

2 2 log 16 x

3

35. x 2 lg

log 2 x – 6 = 0.

36. x

3

lg 2

3

x – 1,5 lg x

x + lg

x3

37. x 2 lg

x π   2 -2 4π ------28. log1/9 -----27 · log1/9  x tg 3  = 2 cos 3 .

1 + log x 27 log3 x + 1 = 0.

31. 3 lg x + 2 lg 33. log3 ( 3

x

1 --- = 2. x

– 1) log3 ( 3

x+1

32.

10 . 2

-. = ---------------------------------------------------------------1 1

2

x

= 10x3.

38. 15 log5 3 x log 5 9x + 1 = 1.

30. 4 – lg x = 3 lg x . 

+3

=

log3 x = 2 _ x = 32.

---------------------------- – ----------------------------x+1+1 x+1–1

3 3 27. --4- log 3 x – 30 log 3 x + 36 = 0.

29.

59

Полаая log3 x = y и выполнив замену переменных, приходим  вадратному уравнению

– 5y + 6 = 0,

log2 x = 2,

§ 11. Логарифмические уравнения

lg ( – x ) = lg

x2 .

– 3) = 6.

39. 9xlg x + 9x–lg x = 60. 2

40. x log 2 x

П р и м е р 4. Решить уравнение

– log 2 2x – 2

3 -------------------------2 )3

41. x ( log3 x

34. 2 log2 log2 x + log1/2 log2 (2 2 x) = 1. Метод лоарифмирования. Если неизвестное в уравнении содержится а под знаом лоарифма, та и в основании степени, то в неоторых случаях таое уравнение можно решить лоарифмированием обеих ео частей с последующим использованием приведенных выше методов решения.

2

42. 7 · x

= ( x)

+ (x + 2)

log

1 log 3 x

– log 3 x + --------------------

1 3 -------------------------- + logx ----------( log2 x 2 ) 3 2 2

(x + 2) 2

4

= 3.

.

= 5 + (x + 7)

2 ----------------------------------log 2 ( x + 7 )

.

Использование свойств лоарифмичес ой фн ции. Неоторые лоарифмичесие уравнения удается решить с помощью исследования поведения фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 5. Решить уравнение

x 2 + log 3 x = 38.

log7 (x + 2) = 6 – x.

Р е ш е н и е. Пролоарифмируем обе части уравнения по основанию 3: log3 ( x 2 + log 3 x ) = log3 38.

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся, что x = 5 является решением уравнения. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = log7 (x + 2) возрастает, а фунция g(x) = 6 – x убывает, и, следовательно, рафии этих фунций не моут иметь более одной точи пересечения.

Используя свойства лоарифмов, получаем уравнение (2 + log3 x) log3 x = 8.

Ответ. x = 5.


58

Г л а в а 2. Уравнения Р е ш е н и е. Полаая log2 x = y, получаем уравнение y2

орнями отороо являются y1 = 2, y2 = 3. Следовательно, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям вида (1): log2 x = 3,

y2 + 2y – 8 = 0, имеющему орни y1 = – 4, y2 = 2. Наонец, решив простейшие лоарифмичесие уравнения, находим орни исходноо уравнения:

имеющим решения x1 = 4 и x2 = 8.

log3 x = –4 _ x = 3–4,

Ответ. x1 = 4, x2 = 8.

Ответ. x1 = 32, x2 = 3–4.

Решите уравнение: 25. lg3 x – lg2 x – 6 lg x = 0.

Решите уравнение:

26.

23

2 2 log 16 x

3

35. x 2 lg

log 2 x – 6 = 0.

36. x

3

lg 2

3

x – 1,5 lg x

x + lg

x3

37. x 2 lg

x π   2 -2 4π ------28. log1/9 -----27 · log1/9  x tg 3  = 2 cos 3 .

1 + log x 27 log3 x + 1 = 0.

31. 3 lg x + 2 lg 33. log3 ( 3

x

1 --- = 2. x

– 1) log3 ( 3

x+1

32.

10 . 2

-. = ---------------------------------------------------------------1 1

2

x

= 10x3.

38. 15 log5 3 x log 5 9x + 1 = 1.

30. 4 – lg x = 3 lg x . 

+3

=

log3 x = 2 _ x = 32.

---------------------------- – ----------------------------x+1+1 x+1–1

3 3 27. --4- log 3 x – 30 log 3 x + 36 = 0.

29.

59

Полаая log3 x = y и выполнив замену переменных, приходим  вадратному уравнению

– 5y + 6 = 0,

log2 x = 2,

§ 11. Логарифмические уравнения

lg ( – x ) = lg

x2 .

– 3) = 6.

39. 9xlg x + 9x–lg x = 60. 2

40. x log 2 x

П р и м е р 4. Решить уравнение

– log 2 2x – 2

3 -------------------------2 )3

41. x ( log3 x

34. 2 log2 log2 x + log1/2 log2 (2 2 x) = 1. Метод лоарифмирования. Если неизвестное в уравнении содержится а под знаом лоарифма, та и в основании степени, то в неоторых случаях таое уравнение можно решить лоарифмированием обеих ео частей с последующим использованием приведенных выше методов решения.

2

42. 7 · x

= ( x)

+ (x + 2)

log

1 log 3 x

– log 3 x + --------------------

1 3 -------------------------- + logx ----------( log2 x 2 ) 3 2 2

(x + 2) 2

4

= 3.

.

= 5 + (x + 7)

2 ----------------------------------log 2 ( x + 7 )

.

Использование свойств лоарифмичес ой фн ции. Неоторые лоарифмичесие уравнения удается решить с помощью исследования поведения фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 5. Решить уравнение

x 2 + log 3 x = 38.

log7 (x + 2) = 6 – x.

Р е ш е н и е. Пролоарифмируем обе части уравнения по основанию 3: log3 ( x 2 + log 3 x ) = log3 38.

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся, что x = 5 является решением уравнения. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = log7 (x + 2) возрастает, а фунция g(x) = 6 – x убывает, и, следовательно, рафии этих фунций не моут иметь более одной точи пересечения.

Используя свойства лоарифмов, получаем уравнение (2 + log3 x) log3 x = 8.

Ответ. x = 5.


60

Г л а в а 2. Уравнения Решите уравнение: 2

43. (x + 1) log 3 x + 4x log3 x – 16 = 0.

Глава 3 Системы уравнений

44. 3x2 – 2x3 = log2 (x2 + 1) – log2 x. 45. 3 46.

x

= 10 – log2 x.

2 log 2 x

+ (x – 1) log2 x = 6 – 2x.

Несольо уравнений F1(x1, x2, ..., xn) = 0, F2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., Fk(x1, x2, ..., xn) = 0,

§ 12. Разные задачи Решите уравнение: 1. 12 3. 2

x

5. 10 

7. 5

10.

– 3 x2

= 3

x/2

3x

.

2. 2

8

x

6. x

= 100.

+ 13

– 5 · 12

3x – 2

x

x

+ 4

4. (sin 1)

= 2 · 100 .

3x – 2

x

x+8

= 1.

10(x + 1)(3x + 4)

11. 9

· 4

x

x x+1

9. 11 

2x + 4

–2·

8. x = 13

3x – 1

x 3

+ 6 · 16

x

+ (cos 1)

= ( x )x. 3x – 1

.

2 10 1 – x – x

.

= 0.

12. log3 [(x + 2)(x – 3)] = 4 logx (2x + 1) – log

7

7.

13. lg2 x3 – 20 lg x + 1 = 0. 14. |1 – log1/6 x| + 2 = |3 – log1/6 x|. 15. log

x

(x + |x – 2|) = logx (5x – 6 + 5|x – 2|).

16. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4. 1 + log ( x – 4 )

2 17. ---------------------------------------------------------------- = 1.

log

2

( x + 3 – x – 3)

18. log5 [ (2 + 5 ) 1  19. 5 ·  ----- 25 

sin 2 x

20. ( 7 + 4 3 ) 1 21.  --3-   

x

x

1

– ( 5 – 2) ] = --2- – 3 log1/5 2. 1 --- sin 2x

+ 4 · 5cos 2x = 25 2

cos x

+ ( 7 – 4 3)

log 9 ( x 2 + 2x + 4 )

x

= ( x) .

x2

=

x

=8· 3

x

– 11

10(x + 1)(x + 2)

(x + 1)/2

cos x

= 6 log 1/6 ( x + 2 ) .

5

.

= --2- .

x/3

= 1.

.

рассматриваемых совместно, называют системой равнений. Решением этой системы называют упорядоченный набор значений неизвестных, обращающий все уравнения системы в тождества. Если система уравнений имеет решения, то оворят, что она совместна. Если же система уравнений не имеет решений, то оворят, что она несовместна. Линейным равнением с n неизвестными называют уравнение вида a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, де a1, a2, ..., an, b — неоторые числа. Систему уравнений называют линейной, если все уравнения системы линейные. Совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение (т. е. существует единственный набор чисел k1, ..., kn, обращающий все уравнения системы в тождества). Совместную систему уравнений называют неопределенной, если она имеет более одноо решения. Две совместные системы уравнений называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. При решении систем уравнений часто используют следующие преобразования системы, приводящие  системе уравнений, эвивалентной исходной. 1. Если обе части аоо-либо уравнения системы умножить на одно и то же (не равное нулю) число, то полученная система будет эвивалентна первоначальной (т. е. они или обе несовместны, или же обе совместны и множества их решений совпадают). 2. Если обе части аоо-либо уравнения системы, умноженные на неоторое (отличное от нуля) число, вычесть из соответствующих частей друоо уравнения и составить систему, в оторой одно из упомянутых уравнений заменено уравнени-


60

Г л а в а 2. Уравнения Решите уравнение: 2

43. (x + 1) log 3 x + 4x log3 x – 16 = 0.

Глава 3 Системы уравнений

44. 3x2 – 2x3 = log2 (x2 + 1) – log2 x. 45. 3 46.

x

= 10 – log2 x.

2 log 2 x

+ (x – 1) log2 x = 6 – 2x.

Несольо уравнений F1(x1, x2, ..., xn) = 0, F2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., Fk(x1, x2, ..., xn) = 0,

§ 12. Разные задачи Решите уравнение: 1. 12 3. 2

x

5. 10 

7. 5

10.

– 3 x2

= 3

x/2

3x

.

2. 2

8

x

6. x

= 100.

+ 13

– 5 · 12

3x – 2

x

x

+ 4

4. (sin 1)

= 2 · 100 .

3x – 2

x

x+8

= 1.

10(x + 1)(3x + 4)

11. 9

· 4

x

x x+1

9. 11 

2x + 4

–2·

8. x = 13

3x – 1

x 3

+ 6 · 16

x

+ (cos 1)

= ( x )x. 3x – 1

.

2 10 1 – x – x

.

= 0.

12. log3 [(x + 2)(x – 3)] = 4 logx (2x + 1) – log

7

7.

13. lg2 x3 – 20 lg x + 1 = 0. 14. |1 – log1/6 x| + 2 = |3 – log1/6 x|. 15. log

x

(x + |x – 2|) = logx (5x – 6 + 5|x – 2|).

16. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4. 1 + log ( x – 4 )

2 17. ---------------------------------------------------------------- = 1.

log

2

( x + 3 – x – 3)

18. log5 [ (2 + 5 ) 1  19. 5 ·  ----- 25 

sin 2 x

20. ( 7 + 4 3 ) 1 21.  --3-   

x

x

1

– ( 5 – 2) ] = --2- – 3 log1/5 2. 1 --- sin 2x

+ 4 · 5cos 2x = 25 2

cos x

+ ( 7 – 4 3)

log 9 ( x 2 + 2x + 4 )

x

= ( x) .

x2

=

x

=8· 3

x

– 11

10(x + 1)(x + 2)

(x + 1)/2

cos x

= 6 log 1/6 ( x + 2 ) .

5

.

= --2- .

x/3

= 1.

.

рассматриваемых совместно, называют системой равнений. Решением этой системы называют упорядоченный набор значений неизвестных, обращающий все уравнения системы в тождества. Если система уравнений имеет решения, то оворят, что она совместна. Если же система уравнений не имеет решений, то оворят, что она несовместна. Линейным равнением с n неизвестными называют уравнение вида a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, де a1, a2, ..., an, b — неоторые числа. Систему уравнений называют линейной, если все уравнения системы линейные. Совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение (т. е. существует единственный набор чисел k1, ..., kn, обращающий все уравнения системы в тождества). Совместную систему уравнений называют неопределенной, если она имеет более одноо решения. Две совместные системы уравнений называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. При решении систем уравнений часто используют следующие преобразования системы, приводящие  системе уравнений, эвивалентной исходной. 1. Если обе части аоо-либо уравнения системы умножить на одно и то же (не равное нулю) число, то полученная система будет эвивалентна первоначальной (т. е. они или обе несовместны, или же обе совместны и множества их решений совпадают). 2. Если обе части аоо-либо уравнения системы, умноженные на неоторое (отличное от нуля) число, вычесть из соответствующих частей друоо уравнения и составить систему, в оторой одно из упомянутых уравнений заменено уравнени-


62

Г л а в а 3. Системы уравнений

ем, полученным в результате вычитания, а остальные уравнения оставлены без изменений, то полученная система будет эвивалентна исходной.

§ 13. Системы линейных уравнений

63

Подставляя значения z = 1 и y = 2 в первое уравнение той же системы, находим x = 1. Ответ. x = 1, y = 2, z = 1. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:

§ 13. Системы линейных уравнений Метод Гасса. При нахождении решений системы m линейных уравнений с n неизвестными удобно использовать метод Гасса, состоящий в том, что систему приводят  треуольному или трапециедальному виду.

1.

2x + 2y + 2z = 7, 2x + 2y + 2z = 8, 2x + 2y + 2z = 9.

2.

3x – 4y + 5z = 18, 2x + 4y – 3z = 26, 0x – 6y + 8z = 00.

3.

10x – y – 19z = 19, 18x – y – 12z = 10, 10x – y – 12z = 10.

4.

0x + 2y + 0z + 7 = 0, 2x + 2y – 0z – 1 = 0, 3x – 2y + 2z – 2 = 0.

П р и м е р 1. Решить систему 0x + 2y + 3z = 8, 3x + 0y + 0z = 6, 2x + 0y + 2z = 6.

y z x -----3- – -----2- + --- = 1, a a a

(*)

Р е ш е н и е. Умножим обе части первоо уравнения системы (*) на (–3) и сложим со вторым уравнением: тода получим уравнение –5y – 8z = –18, или 5y + 8z = 18. Далее, умножив обе части первоо уравнения системы (*) на (–2) и сложив с третьим ее уравнением, получаем уравнение –3y –4z = –10, или 3y + 4z = 10. Следовательно, данную систему можно записать в виде эвивалентной системы, в оторой второе и третье уравнения не содержат неизвестноо x: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, x + 3y + 4z = 10.

5.

x y z ----- – -----2 + --- = 1, b b3 b x y z ----3- – ----2- + --- = 1. c c c

Решение и исследование систем двх линейных равнений с двмя неизвестными. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными a11x + a12y = b1, a21x + a22y = b2

(1)

при условии, что хотя бы один из оэффициентов отличен от нуля. Обозначим через ∆, ∆ x и ∆ y соответственно следующие определители:

(**)

∆=

Умножив обе части второо уравнения системы (**) на 3, а третьео — на (–5) и сложив эти уравнения, придем  уравнению 4z = 4. Таим образом, система (**) эвивалентна следующей: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, (***) x + 2y + 8z = 11.

∆x =

Ита, исходная система приведена  треуольному виду. Подставляя z = 1 во второе уравнение системы (***), находим y = 2.

6.

x + a2y + b2z = 0, x + ay + bz = 0, x + y + z = 1.

∆y =

a 11

a 12

a 21

a 22

b1

a 12

b2

a 22

a 11

b1

a 21

b2

= a11a22 – a12a21, = b1a22 – b2a12, = a11b2 – a21b1.

Тода справедливо следующее утверждение. Если ∆ − 0, то система (1) имеет единственное решение ∆x

-, x = ----∆

∆y

-. y = ----∆


62

Г л а в а 3. Системы уравнений

ем, полученным в результате вычитания, а остальные уравнения оставлены без изменений, то полученная система будет эвивалентна исходной.

§ 13. Системы линейных уравнений

63

Подставляя значения z = 1 и y = 2 в первое уравнение той же системы, находим x = 1. Ответ. x = 1, y = 2, z = 1. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:

§ 13. Системы линейных уравнений Метод Гасса. При нахождении решений системы m линейных уравнений с n неизвестными удобно использовать метод Гасса, состоящий в том, что систему приводят  треуольному или трапециедальному виду.

1.

2x + 2y + 2z = 7, 2x + 2y + 2z = 8, 2x + 2y + 2z = 9.

2.

3x – 4y + 5z = 18, 2x + 4y – 3z = 26, 0x – 6y + 8z = 00.

3.

10x – y – 19z = 19, 18x – y – 12z = 10, 10x – y – 12z = 10.

4.

0x + 2y + 0z + 7 = 0, 2x + 2y – 0z – 1 = 0, 3x – 2y + 2z – 2 = 0.

П р и м е р 1. Решить систему 0x + 2y + 3z = 8, 3x + 0y + 0z = 6, 2x + 0y + 2z = 6.

y z x -----3- – -----2- + --- = 1, a a a

(*)

Р е ш е н и е. Умножим обе части первоо уравнения системы (*) на (–3) и сложим со вторым уравнением: тода получим уравнение –5y – 8z = –18, или 5y + 8z = 18. Далее, умножив обе части первоо уравнения системы (*) на (–2) и сложив с третьим ее уравнением, получаем уравнение –3y –4z = –10, или 3y + 4z = 10. Следовательно, данную систему можно записать в виде эвивалентной системы, в оторой второе и третье уравнения не содержат неизвестноо x: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, x + 3y + 4z = 10.

5.

x y z ----- – -----2 + --- = 1, b b3 b x y z ----3- – ----2- + --- = 1. c c c

Решение и исследование систем двх линейных равнений с двмя неизвестными. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными a11x + a12y = b1, a21x + a22y = b2

(1)

при условии, что хотя бы один из оэффициентов отличен от нуля. Обозначим через ∆, ∆ x и ∆ y соответственно следующие определители:

(**)

∆=

Умножив обе части второо уравнения системы (**) на 3, а третьео — на (–5) и сложив эти уравнения, придем  уравнению 4z = 4. Таим образом, система (**) эвивалентна следующей: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, (***) x + 2y + 8z = 11.

∆x =

Ита, исходная система приведена  треуольному виду. Подставляя z = 1 во второе уравнение системы (***), находим y = 2.

6.

x + a2y + b2z = 0, x + ay + bz = 0, x + y + z = 1.

∆y =

a 11

a 12

a 21

a 22

b1

a 12

b2

a 22

a 11

b1

a 21

b2

= a11a22 – a12a21, = b1a22 – b2a12, = a11b2 – a21b1.

Тода справедливо следующее утверждение. Если ∆ − 0, то система (1) имеет единственное решение ∆x

-, x = ----∆

∆y

-. y = ----∆


64

Г л а в а 3. Системы уравнений Если ∆ = 0, то: 1) в случае, о да хотя бы один из определителей ∆ x или

§ 13. Системы линейных уравнений При a = –1 имеем –x + y = 2, –x – y = –2 ^

∆ y не равен нулю, система (1) является несовместной (т. е. не имеет решений); 2) в случае, о да ∆ x = ∆ y = 0, система (1) является совместной и неопределенной (т. е. имеет бесонечно мноо решений). Каждое из уравнений системы (1) задает линейное соответствие между переменными x и y. Всяое линейное соответствие между переменными x и y определяет в прямоуольной системе оординат неоторую прямую. Если система имеет единственное решение, то прямые, задаваемые ее уравнениями, пересеаются. Если система имеет бесчисленное множество решений, то прямые совпадают; если система несовместна, то прямые параллельны. П р и м е р 2. Решить и исследовать систему ax + ay = 2, ax + ay = 2a. Р е ш е н и е. Вычислим определители ∆, ∆ x и ∆ y : ∆= ∆x = ∆y =

a

1

1

a

2 2a a

2

1

2a

– 1 − 0, т. е. a − ä1. В этом случае система 1. Пусть ∆ = имеет единственное решение: ∆ 0 - = 0, x = -----x- = --------------a2 – 1 ∆

2. Пусть ∆ =

a2

Ответ. При a − ä1 система имеет единственное решение x = 0, y = 2; при a = 1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x + y = 2; при a = –1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x – y = –2. Исследуйте систему уравнений: 7.

x + ay – 1 = 0, ax – 3ay – (2a + 3) = 0.

8.

3x + ay = 5a2, 3x – ay = a2.

9.

(a + 5)x + (2a + 3)y – (3a + 2) = 0, (3a + 10)x + (5a + 6)y – (2a + 4) = 0.

10.

a(a – 1)x + (a + 1)ay = a3 + 2, (a2 – 1)x + (a3 + 1)y = a4 – 1.

11.

ax – y = b, bx + y = a.

12.

(a2 + b2)x + (a2 – b2)y = a2, (a + b)x + (a – b)y = a.2

= 2a2 – 2.

a2

∆ 2a 2 – 2 - = 2. y = -----y- = ------------------a2 – 1 ∆

– 1 = 0, т. е. a = ä1. В этом случае ∆ = ∆ x =

= ∆ y = 0, т. е. система совместная и неопределенная. При a = 1 система примет вид x + y = 2, x + y = 2, и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x + y = 2.

x – y = –2, x – y = –2,

и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x – y = –2.

= a2 – 1, 1 = 2a – 2a = 0, a

65

13. Найдите таие значения параметров m и p, при оторых система (3m – 5p + b)x + (8m – 3p – a)y = 1, (2m – 3p + b)x + (4m – p)y = 2, была бы неопределенной. 14. Совместны ли уравнения x + ay = b + c, x + by = c + a, x + cy = a + b, де a2 + b2 + c2 = 1 и a, b, c — действительные числа?


64

Г л а в а 3. Системы уравнений Если ∆ = 0, то: 1) в случае, о да хотя бы один из определителей ∆ x или

§ 13. Системы линейных уравнений При a = –1 имеем –x + y = 2, –x – y = –2 ^

∆ y не равен нулю, система (1) является несовместной (т. е. не имеет решений); 2) в случае, о да ∆ x = ∆ y = 0, система (1) является совместной и неопределенной (т. е. имеет бесонечно мноо решений). Каждое из уравнений системы (1) задает линейное соответствие между переменными x и y. Всяое линейное соответствие между переменными x и y определяет в прямоуольной системе оординат неоторую прямую. Если система имеет единственное решение, то прямые, задаваемые ее уравнениями, пересеаются. Если система имеет бесчисленное множество решений, то прямые совпадают; если система несовместна, то прямые параллельны. П р и м е р 2. Решить и исследовать систему ax + ay = 2, ax + ay = 2a. Р е ш е н и е. Вычислим определители ∆, ∆ x и ∆ y : ∆= ∆x = ∆y =

a

1

1

a

2 2a a

2

1

2a

– 1 − 0, т. е. a − ä1. В этом случае система 1. Пусть ∆ = имеет единственное решение: ∆ 0 - = 0, x = -----x- = --------------a2 – 1 ∆

2. Пусть ∆ =

a2

Ответ. При a − ä1 система имеет единственное решение x = 0, y = 2; при a = 1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x + y = 2; при a = –1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x – y = –2. Исследуйте систему уравнений: 7.

x + ay – 1 = 0, ax – 3ay – (2a + 3) = 0.

8.

3x + ay = 5a2, 3x – ay = a2.

9.

(a + 5)x + (2a + 3)y – (3a + 2) = 0, (3a + 10)x + (5a + 6)y – (2a + 4) = 0.

10.

a(a – 1)x + (a + 1)ay = a3 + 2, (a2 – 1)x + (a3 + 1)y = a4 – 1.

11.

ax – y = b, bx + y = a.

12.

(a2 + b2)x + (a2 – b2)y = a2, (a + b)x + (a – b)y = a.2

= 2a2 – 2.

a2

∆ 2a 2 – 2 - = 2. y = -----y- = ------------------a2 – 1 ∆

– 1 = 0, т. е. a = ä1. В этом случае ∆ = ∆ x =

= ∆ y = 0, т. е. система совместная и неопределенная. При a = 1 система примет вид x + y = 2, x + y = 2, и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x + y = 2.

x – y = –2, x – y = –2,

и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x – y = –2.

= a2 – 1, 1 = 2a – 2a = 0, a

65

13. Найдите таие значения параметров m и p, при оторых система (3m – 5p + b)x + (8m – 3p – a)y = 1, (2m – 3p + b)x + (4m – p)y = 2, была бы неопределенной. 14. Совместны ли уравнения x + ay = b + c, x + by = c + a, x + cy = a + b, де a2 + b2 + c2 = 1 и a, b, c — действительные числа?


66

Г л а в а 3. Системы уравнений 15. Числа a и b таовы, что система a2x – ay = 1 – a, bx + (3 – 2b)y = 3 + a,

§ 14. Системы нелинейных уравнений

неизвестное через друое и подставляют в оставшееся уравнение, оторое после этоо превращается в алебраичесое уравнение с одним неизвестным. П р и м е р 1. Решить систему

имеет единственное решение x = 1, y = 1. Найдите числа a и b. 16. При аих значениях a и b система a2x – by = a2 – b, bx – b2y = 2 + 4b имеет бесонечно мноо решений? 17. При аих значениях a система a2x + (2 – a)y = 4 + a3, ax + (2a – 1)y = a5 – 2 не имеет решений? 18. Числа a, b и c таовы, что система ax – by = 2a – b, (c + 1)x + cy = 10 – a + 3b имеет бесонечно мноо решений, причем x = 1, y = 3 — одно из этих решений. Найдите a, b и c. 19. При аих значениях параметра a система уравнений ax – 4y = a + 1, 2x + (a + 6)y = a + 3, не имеет решений? 20. При аих значениях параметра a система 2x + ay = a + 2, (a + 1)x + 2ay = 2a + 4

x2 + y2 + 6x + 2y = 0, x + y + 8 = 0. Р е ш е н и е. Из второо уравнения следует, что y = –x – 8. Подставив это выражение вместо y в первое уравнение системы, получим x2 + (x + 8)2 + 6x – 2(x + 8) = 0, или

Системы, содержащие линейное равнение. Если одно из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными линейное, в друое — нелинейное, то таую систему решают следующим способом. Из линейноо уравнения выражают одно

x2 + 10x + 24 = 0,

отуда x1 = –4, x2 = –6. Соответствующие значения y найдем из уравнения y = –x – 8. Имеем y1 = –4, y2 = –2. Ита, система имеет два решения: (–4; –4) и (–6; –2). Ответ. (–4; –4), (–6; –2). Решите систему уравнений: 1.

(x – y)(x2 – y2) = 45, x + y = 5.

2.

(x + 0,2)2 + (y + 0,3)2 = 1, x + y = 0,9.

3.

13 y x --- + --- = ------ , 6 x y

x + y = 5.

4.

(x + y)4 + 4(x + y)2 – 117 = 0, x – y = 25.

5.

x2 + y2 = 2(xy + 2), x + y = 6.

6.

x2 + y2 + 10x – 10y = 2xy – 21, x + y = 5.

имеет бесонечно мноо решений?

§ 14. Системы нелинейных уравнений

67

Системы, содержащие однородное равнение. В тех случаях, ода одно из двух уравнений нелинейной системы однородное, можно с помощью этоо уравнения линейно выразить одно неизвестное системы через друое.


66

Г л а в а 3. Системы уравнений 15. Числа a и b таовы, что система a2x – ay = 1 – a, bx + (3 – 2b)y = 3 + a,

§ 14. Системы нелинейных уравнений

неизвестное через друое и подставляют в оставшееся уравнение, оторое после этоо превращается в алебраичесое уравнение с одним неизвестным. П р и м е р 1. Решить систему

имеет единственное решение x = 1, y = 1. Найдите числа a и b. 16. При аих значениях a и b система a2x – by = a2 – b, bx – b2y = 2 + 4b имеет бесонечно мноо решений? 17. При аих значениях a система a2x + (2 – a)y = 4 + a3, ax + (2a – 1)y = a5 – 2 не имеет решений? 18. Числа a, b и c таовы, что система ax – by = 2a – b, (c + 1)x + cy = 10 – a + 3b имеет бесонечно мноо решений, причем x = 1, y = 3 — одно из этих решений. Найдите a, b и c. 19. При аих значениях параметра a система уравнений ax – 4y = a + 1, 2x + (a + 6)y = a + 3, не имеет решений? 20. При аих значениях параметра a система 2x + ay = a + 2, (a + 1)x + 2ay = 2a + 4

x2 + y2 + 6x + 2y = 0, x + y + 8 = 0. Р е ш е н и е. Из второо уравнения следует, что y = –x – 8. Подставив это выражение вместо y в первое уравнение системы, получим x2 + (x + 8)2 + 6x – 2(x + 8) = 0, или

Системы, содержащие линейное равнение. Если одно из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными линейное, в друое — нелинейное, то таую систему решают следующим способом. Из линейноо уравнения выражают одно

x2 + 10x + 24 = 0,

отуда x1 = –4, x2 = –6. Соответствующие значения y найдем из уравнения y = –x – 8. Имеем y1 = –4, y2 = –2. Ита, система имеет два решения: (–4; –4) и (–6; –2). Ответ. (–4; –4), (–6; –2). Решите систему уравнений: 1.

(x – y)(x2 – y2) = 45, x + y = 5.

2.

(x + 0,2)2 + (y + 0,3)2 = 1, x + y = 0,9.

3.

13 y x --- + --- = ------ , 6 x y

x + y = 5.

4.

(x + y)4 + 4(x + y)2 – 117 = 0, x – y = 25.

5.

x2 + y2 = 2(xy + 2), x + y = 6.

6.

x2 + y2 + 10x – 10y = 2xy – 21, x + y = 5.

имеет бесонечно мноо решений?

§ 14. Системы нелинейных уравнений

67

Системы, содержащие однородное равнение. В тех случаях, ода одно из двух уравнений нелинейной системы однородное, можно с помощью этоо уравнения линейно выразить одно неизвестное системы через друое.


68

Г л а в а 3. Системы уравнений П р и м е р 2. Решить систему уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

Разделив обе части этоо уравнения на y2, получим относительx

x2 – 5xy + 6y2 = 0, x2 + y2 = 10.

(*)

Р е ш е н и е. Первое уравнение системы (*) — однородное. Разделив обе ео части на y2, получим относительно неизвестx ноо t = --y- вадратное уравнение

но z = --y- вадратное уравнение z2 – z – 2 = 0, орни отороо z1 = –1, z2 = 2. Таим образом, исходная система эвивалентна двум системам

t2 – 5t + 6 = 0,

x2 – y2 = 1,

орнями отороо являются t1 = 3, t2 = 2. Таим образом, имеем следующие линейные зависимости между неизвестными, входящими в исходную систему (*): x = 3y,

x = 2y.

(**)

Подставляя последовательно x = 3y и x = 2y во второе уравнение данной системы, приходим  вадратным уравнениям y2 = 1 и y2 = 2, имеющим орни y1, 2 = ä1, y3, 4 = ä 2 . Соответствующие значения x1, x2, x3, x4 находим из равенств (**). Ответ. (3; 1), (–3; –1), (2 2 ;

2 ), (–2 2 ; – 2 ).

Систему вида a1x2 + b1y2 + c1xy = d1, a2x2 + b2y2 + c2xy = d2,

d1 − 0,

П р и м е р 3. Решить систему уравнений x2 – y2 = 1, x2 + xy = 2. Р е ш е н и е. Умножив обе части первоо уравнения на 2, обе части второо — на (–1) и сложив полученные уравнения, приходим  однородному уравнению –

2y2

– xy = 0.

x --- = –1 y

x2 – y2 = 1, и

x --- = 2, y

первая из оторых несовместна, а решением второй являются 2 3 3   2 3 3  - ; -------  и  – ----------- ; – -------  . две пары чисел:  ---------3 3 3 3     2 3 3   2 3 3  - ; -------  ,  – ----------- ; – -------  . Ответ.  ---------3 3 3     3 Решите систему уравнений: 7.

x2y3 + x3y2 = 12, x2y3 – x3y2 = 4.

9.

x4 – y4 = 15, x3y – xy3 = 6.

d2 − 0,

сводят  системе, содержащей однородное уравнение, следующим образом: умножают обе части первоо уравнения на d2, обе части второо — на (–d1) и сладывают оба преобразованных уравнения. В результате получают однородное уравнение. Далее исходную систему заменяют эвивалентной системой, содержащей полученное однородное уравнение и одно из уравнений исходной системы.

x2

69

8. 10.

x3 + y3 = 65, x2y + xy2 = 20. x2 + 2y2 = 17, x2 – 2xy = –3.

Симметричес ие системы. Систему уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn называют симметричесой, если она не меняется при перестанове неизвестных. Если система содержит два неизвестных (x и y), то часто решение таой системы можно найти с помощью введения новых неизвестных u = x + y, v = xy. При этом удобно использовать следующие равенства: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = u2 – 2v, x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = u3 – 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = = ((x + y)2 – 2xy)2 – 2x2y2 = (u2 – 2v)2 – 2v2, позволяющие выразить омбинации неизвестных x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4 через неизвестные u и v.


68

Г л а в а 3. Системы уравнений П р и м е р 2. Решить систему уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

Разделив обе части этоо уравнения на y2, получим относительx

x2 – 5xy + 6y2 = 0, x2 + y2 = 10.

(*)

Р е ш е н и е. Первое уравнение системы (*) — однородное. Разделив обе ео части на y2, получим относительно неизвестx ноо t = --y- вадратное уравнение

но z = --y- вадратное уравнение z2 – z – 2 = 0, орни отороо z1 = –1, z2 = 2. Таим образом, исходная система эвивалентна двум системам

t2 – 5t + 6 = 0,

x2 – y2 = 1,

орнями отороо являются t1 = 3, t2 = 2. Таим образом, имеем следующие линейные зависимости между неизвестными, входящими в исходную систему (*): x = 3y,

x = 2y.

(**)

Подставляя последовательно x = 3y и x = 2y во второе уравнение данной системы, приходим  вадратным уравнениям y2 = 1 и y2 = 2, имеющим орни y1, 2 = ä1, y3, 4 = ä 2 . Соответствующие значения x1, x2, x3, x4 находим из равенств (**). Ответ. (3; 1), (–3; –1), (2 2 ;

2 ), (–2 2 ; – 2 ).

Систему вида a1x2 + b1y2 + c1xy = d1, a2x2 + b2y2 + c2xy = d2,

d1 − 0,

П р и м е р 3. Решить систему уравнений x2 – y2 = 1, x2 + xy = 2. Р е ш е н и е. Умножив обе части первоо уравнения на 2, обе части второо — на (–1) и сложив полученные уравнения, приходим  однородному уравнению –

2y2

– xy = 0.

x --- = –1 y

x2 – y2 = 1, и

x --- = 2, y

первая из оторых несовместна, а решением второй являются 2 3 3   2 3 3  - ; -------  и  – ----------- ; – -------  . две пары чисел:  ---------3 3 3 3     2 3 3   2 3 3  - ; -------  ,  – ----------- ; – -------  . Ответ.  ---------3 3 3     3 Решите систему уравнений: 7.

x2y3 + x3y2 = 12, x2y3 – x3y2 = 4.

9.

x4 – y4 = 15, x3y – xy3 = 6.

d2 − 0,

сводят  системе, содержащей однородное уравнение, следующим образом: умножают обе части первоо уравнения на d2, обе части второо — на (–d1) и сладывают оба преобразованных уравнения. В результате получают однородное уравнение. Далее исходную систему заменяют эвивалентной системой, содержащей полученное однородное уравнение и одно из уравнений исходной системы.

x2

69

8. 10.

x3 + y3 = 65, x2y + xy2 = 20. x2 + 2y2 = 17, x2 – 2xy = –3.

Симметричес ие системы. Систему уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn называют симметричесой, если она не меняется при перестанове неизвестных. Если система содержит два неизвестных (x и y), то часто решение таой системы можно найти с помощью введения новых неизвестных u = x + y, v = xy. При этом удобно использовать следующие равенства: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = u2 – 2v, x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = u3 – 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = = ((x + y)2 – 2xy)2 – 2x2y2 = (u2 – 2v)2 – 2v2, позволяющие выразить омбинации неизвестных x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4 через неизвестные u и v.


70

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 4. Решить систему уравнений

71

21.

2x3y2 – y3x2 = 36, 2x2y – y2x = 6.

22.

xy – x + y = 1, x2y – y2x = 30.

Р е ш е н и е. Это — симметричесая система. Положим v = xy, u = x + y. Тода, используя равенство

23.

xy + x – y = 3, x2y – xy2 = 2.

24.

x2 + xy + x = 10, y2 + xy + y = 20.

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy, получаем относительно новых неизвестных систему

25.

x2 + xy + 2y2 = 37, 2x2 + 2xy + y2 = 26.



26.

x2 – xy + y2 = 19, x4 + x2y2 + y4 = 931.

27.

(x2 + 1) (y2 + 1) = 10, (x + y) (xy – 1) = 3.



28.

x5 – y5 = 3093, x – y = 3.

x2



y2

+ = 2(xy + 2), x + y = 6.

u2 – 2v = 2v + 4, u = 6,



единственным решением оторой является u = 6, v = 8. Возвращаясь  первоначальным неизвестным, сведем исходную систему  более простой системе x + y = 6, xy = 8,

При этом удобно использовать следующие равенства:

решение оторой можно найти, используя, например, теорему Виета. Ответ. (2; 4), (4; 2). Решите систему уравнений: x2 + y2 = a,

x2y + y2x = 20, 11.

1 1 5 --- + --- = --- . x y 4

12.

13.

x4 + y4 = 82, x + y = 4.

14.

x3 + y3 = 9, xy = 2.

15.

x3 + y3 = 2, xy(x + y) = 2.

16.

(x2 + y2)xy = 78, x4 + y4 = 97.

17.

5(x4 + y4) = 41(x2 + y2), x2 + y2 + xy = 13.

18.

x4 + y4 = 97, xy = 6.



19.

20.

(x2 – x + 1) (y2 – y + 1) = 3, (x + 1) (y + 1) = 6. 10 x–y x+y -------------- + -------------- = ------ , 3 x+y x–y

x2 + y2 = 5.

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = u2 – 2v, x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – – 3(x + y + z) (xy + yz + zx) + 3xyz = u3 – 3uv + 3w. П р и м е р 5. Решить систему уравнений x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, x3 + y3 + z3 = 1.

1 1 -----2- + -----2- = b. y x

Используя омбинации изложенных ранее методов, решите систему уравнений: 

Симметричесие системы трех уравнений с тремя неизвестными x, y, z обычно решают с помощью введения новых неизвестных u = x + y + z, v = xy + yz + zx, w = xyz.

Р е ш е н и е. Данная система является симметричесой. Введя вспомоательные неизвестные x + y + z = u,

xy + yz + zx = v,

xyz = w

и используя равенство x3 + y3 + z3 = u3 – 3uv + 3w, получаем систему u = 1, v = –4, u3 – 3uv + 3w = 1, или, возвращаясь  старым неизвестным, систему x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, xyz = –4.

(*)


70

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 4. Решить систему уравнений

71

21.

2x3y2 – y3x2 = 36, 2x2y – y2x = 6.

22.

xy – x + y = 1, x2y – y2x = 30.

Р е ш е н и е. Это — симметричесая система. Положим v = xy, u = x + y. Тода, используя равенство

23.

xy + x – y = 3, x2y – xy2 = 2.

24.

x2 + xy + x = 10, y2 + xy + y = 20.

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy, получаем относительно новых неизвестных систему

25.

x2 + xy + 2y2 = 37, 2x2 + 2xy + y2 = 26.



26.

x2 – xy + y2 = 19, x4 + x2y2 + y4 = 931.

27.

(x2 + 1) (y2 + 1) = 10, (x + y) (xy – 1) = 3.



28.

x5 – y5 = 3093, x – y = 3.

x2



y2

+ = 2(xy + 2), x + y = 6.

u2 – 2v = 2v + 4, u = 6,



единственным решением оторой является u = 6, v = 8. Возвращаясь  первоначальным неизвестным, сведем исходную систему  более простой системе x + y = 6, xy = 8,

При этом удобно использовать следующие равенства:

решение оторой можно найти, используя, например, теорему Виета. Ответ. (2; 4), (4; 2). Решите систему уравнений: x2 + y2 = a,

x2y + y2x = 20, 11.

1 1 5 --- + --- = --- . x y 4

12.

13.

x4 + y4 = 82, x + y = 4.

14.

x3 + y3 = 9, xy = 2.

15.

x3 + y3 = 2, xy(x + y) = 2.

16.

(x2 + y2)xy = 78, x4 + y4 = 97.

17.

5(x4 + y4) = 41(x2 + y2), x2 + y2 + xy = 13.

18.

x4 + y4 = 97, xy = 6.



19.

20.

(x2 – x + 1) (y2 – y + 1) = 3, (x + 1) (y + 1) = 6. 10 x–y x+y -------------- + -------------- = ------ , 3 x+y x–y

x2 + y2 = 5.

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = u2 – 2v, x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – – 3(x + y + z) (xy + yz + zx) + 3xyz = u3 – 3uv + 3w. П р и м е р 5. Решить систему уравнений x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, x3 + y3 + z3 = 1.

1 1 -----2- + -----2- = b. y x

Используя омбинации изложенных ранее методов, решите систему уравнений: 

Симметричесие системы трех уравнений с тремя неизвестными x, y, z обычно решают с помощью введения новых неизвестных u = x + y + z, v = xy + yz + zx, w = xyz.

Р е ш е н и е. Данная система является симметричесой. Введя вспомоательные неизвестные x + y + z = u,

xy + yz + zx = v,

xyz = w

и используя равенство x3 + y3 + z3 = u3 – 3uv + 3w, получаем систему u = 1, v = –4, u3 – 3uv + 3w = 1, или, возвращаясь  старым неизвестным, систему x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, xyz = –4.

(*)


72

Г л а в а 3. Системы уравнений

Решение системы (*) можно найти с помощью теоремы Виета для убичесоо мноочлена: орни t1, t2, t3 убичесоо

§ 14. Системы нелинейных уравнений П р и м е р 6. Решить систему уравнений 3xy -------------- = 5, x+y

мноочлена t3 + at2 + bt + c удовлетворяют равенствам

2xz ------------- = 3, x+z

t1 + t2 + t3 = –a, t1t2 + t1t3 + t2t3 = b, t1t2t3 = –c.

yz ------------- = 4. y+z

Ясно, что при a = –1, b = –4, c = 4 орни убичесоо уравнения t3 – t2 – 4t + 4 = 0 (**)

Р е ш е н и е. Данная система равносильна системе 3 x+y -------------- = --- , 5 xy 2 x+z ------------- = --- , 3 xz

связаны теми же равенствами, что и неизвестные x, y, z системы (*), и, следовательно, тройа значений неизвестных x = t1,

y = t2,

= = = = =

t2, t3, t1, t2, t3,

y y y y y

= = = = =

t1, t2, t3, t3, t1,

z z z z z

= = = = =

t3, t1, t2, t1, t2.

1

(мы разделили почленно левые части уравнений). Полаая --x- = u, 1 1 --- = v, --- = w, получаем линейную систему относительно новых z y 3 2

u + w = --3- , 1

Решите систему уравнений: 30.

1 1 1 --- + --- = --y 4 z

u + v = --5- ,

Ответ. (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3, xyz = 2.

2 1 1 --- + --- = --- , 3 z x

или

неизвестных:

Таим образом, решение данной системы сводится  нахождению орней убичесоо уравнения (**); ими являются числа t1 = 2, t2 = –2, t3 = 1. Ита, решения исходной системы — это следующие упорядоченные тройи чисел: (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

29.

3 1 1 --- + --- = --- , 5 x y

1 y+z ------------- = --- , 4 yz

z = t3

есть решение системы (*). Кроме этой тройи, в силу симметричности системы решениями являются таже следующие тройи значений неизвестных: x x x x x

73

x + y + z = 1, x2 + y2 + z2 = 1, x3 + y3 + z3 = 1.

Инода системы трех уравнений с тремя неизвестными решают с помощью введения вспомоательных неизвестных.

w + v = --4- . 61 11 19 - ; ---------- ; ----------  . Ита, решениЕе решение есть тройа чисел  -------- 120 120 120  120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . ем исходной системы является тройа чисел  --------19  11  61 120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . Ответ.  --------19  11  61

В отличие от систем линейных уравнений системы нелинейных уравнений моут быть определенными даже в тех случаях, ода число уравнений меньше чисел неизвестных. Простейший пример таой системы представляет собой система, состоящая из одноо уравнения (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 0, единственным решением отороо является x = 1, y = 2, z = 3.


72

Г л а в а 3. Системы уравнений

Решение системы (*) можно найти с помощью теоремы Виета для убичесоо мноочлена: орни t1, t2, t3 убичесоо

§ 14. Системы нелинейных уравнений П р и м е р 6. Решить систему уравнений 3xy -------------- = 5, x+y

мноочлена t3 + at2 + bt + c удовлетворяют равенствам

2xz ------------- = 3, x+z

t1 + t2 + t3 = –a, t1t2 + t1t3 + t2t3 = b, t1t2t3 = –c.

yz ------------- = 4. y+z

Ясно, что при a = –1, b = –4, c = 4 орни убичесоо уравнения t3 – t2 – 4t + 4 = 0 (**)

Р е ш е н и е. Данная система равносильна системе 3 x+y -------------- = --- , 5 xy 2 x+z ------------- = --- , 3 xz

связаны теми же равенствами, что и неизвестные x, y, z системы (*), и, следовательно, тройа значений неизвестных x = t1,

y = t2,

= = = = =

t2, t3, t1, t2, t3,

y y y y y

= = = = =

t1, t2, t3, t3, t1,

z z z z z

= = = = =

t3, t1, t2, t1, t2.

1

(мы разделили почленно левые части уравнений). Полаая --x- = u, 1 1 --- = v, --- = w, получаем линейную систему относительно новых z y 3 2

u + w = --3- , 1

Решите систему уравнений: 30.

1 1 1 --- + --- = --y 4 z

u + v = --5- ,

Ответ. (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3, xyz = 2.

2 1 1 --- + --- = --- , 3 z x

или

неизвестных:

Таим образом, решение данной системы сводится  нахождению орней убичесоо уравнения (**); ими являются числа t1 = 2, t2 = –2, t3 = 1. Ита, решения исходной системы — это следующие упорядоченные тройи чисел: (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

29.

3 1 1 --- + --- = --- , 5 x y

1 y+z ------------- = --- , 4 yz

z = t3

есть решение системы (*). Кроме этой тройи, в силу симметричности системы решениями являются таже следующие тройи значений неизвестных: x x x x x

73

x + y + z = 1, x2 + y2 + z2 = 1, x3 + y3 + z3 = 1.

Инода системы трех уравнений с тремя неизвестными решают с помощью введения вспомоательных неизвестных.

w + v = --4- . 61 11 19 - ; ---------- ; ----------  . Ита, решениЕе решение есть тройа чисел  -------- 120 120 120  120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . ем исходной системы является тройа чисел  --------19  11  61 120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . Ответ.  --------19  11  61

В отличие от систем линейных уравнений системы нелинейных уравнений моут быть определенными даже в тех случаях, ода число уравнений меньше чисел неизвестных. Простейший пример таой системы представляет собой система, состоящая из одноо уравнения (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 0, единственным решением отороо является x = 1, y = 2, z = 3.


74

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 7. Решить систему уравнений x + y + z = 4, 2xy – z2 = 16. Р е ш е н и е. Возведя обе части первоо уравнения в вадрат, имеем x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = 16. (*) Вычитая из уравнения (*) второе уравнение системы, получаем уравнение x2 + y2 + 2z2 + 2yz + 2zx = 0, оторое можно записать в виде (x + z)2 + (y + z)2 = 0. Последнее уравнение выполняется тольо при x = –z, y = –z. Возвращаясь  исходной системе, находим из первоо уравнения z = –4 и, следовательно, x = 4, y = 4. Полученное решение (4; 4; –4) и является решением исходной системы. Ответ. (4; 4; –4). Решите систему уравнений: 31.

y2 + xy – z2 = 4, x + 5y = 8.

32.

16

xy

-, x + y = ----------------1 + xy

- = –5, 3xy – -----xz 

33.

8

- = –5, xy + ----yz

34.

3

35.

xz

----------------- , x+z= 1 + xz yz

-. y + z = ---------------1 + yz

- = 1. yz – -----xy

x2 – (y – z)2 = a, y2 – (z – x)2 = b, z2 – (x – y)2 = c.

x2 – 2yz = –1, y + z – x = 1.

xyz ------------- = a, y+z

36.

xyz ------------- = b, z+x xyz -------------- = c. x+y

37.

x + y + z = 13, x2 + y2 + z2 = 91, y2 = xz.

39.

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 2(y – x – z) –2, x3 + y3 + z3 = 3(x2 – y2 + z2).

38.

xy + yz + zx = 11, x2 + y2 + z2 = 14, xyz = 6.

75

40.

x + y + z = 1, 4x2 + y2 + z2 – 5x = x3 + y3 + z3 – 2, xyz = 2 + yz.

41.

2(x + y) = xy, xy + yz + zx = 108, xyz = 180.

43.

x2 + y2 = axyz, y2 + z2 = bxyz, z2 + x2 = cxyz.

42.

x(x + y + z) = a, y(x + y + z) = b, z(x + y + z) = c.

44.

x2y = x + y – z, z2x = x – y + z, y2x = y – x + z.

45.

4xy + x2 + y2 = 1, 8xz + x2 + 4z2 = –2, 8yz + y2 + 4z2 = 1.

46.

2(x2 + y2) = xyz, 10(y2 + z2) = 29xyz, 5(z2 + x2) = 13xyz.

47.

xyz2 = –y – 2x, 2x2yz = –y – z, 3xy2z = 2x – z.

48.

xy + x + y = 7, yz + y + z = –3, zx + x + z = –5.

Системы, содержащие иррациональное равнение. Если среди уравнений системы имеются иррациональные, то для ее решения обычно освобождаются от иррациональности. При этом используют те же методы, что и для решения иррациональных уравнений. П р и м е р 8. Решить систему уравнений 4 1 + 5x + 4 5 – y = 3, 5x – y = 11.

Р е ш е н и е. Полаая 4 1 + 5x = u и 4 5 – y = v, получаем симметричесую систему нелинейных уравнений u + v = 3, u4 + v4 = 17,

(*)

решения оторой u = 2, v = 1 и u = 1, v = 2. Возвращаясь  исходным неизвестным, приходим  двум системам линейных уравнений: 1 + 5x = 16, 1 + 5x = 1, 5 – y = 1, 5 – y = 16. Первая система имеет решение x = 3, y = 4, а вторая — решение x = 0, y = –11. Ответ. (3; 4); (0; –11).


74

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 7. Решить систему уравнений x + y + z = 4, 2xy – z2 = 16. Р е ш е н и е. Возведя обе части первоо уравнения в вадрат, имеем x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = 16. (*) Вычитая из уравнения (*) второе уравнение системы, получаем уравнение x2 + y2 + 2z2 + 2yz + 2zx = 0, оторое можно записать в виде (x + z)2 + (y + z)2 = 0. Последнее уравнение выполняется тольо при x = –z, y = –z. Возвращаясь  исходной системе, находим из первоо уравнения z = –4 и, следовательно, x = 4, y = 4. Полученное решение (4; 4; –4) и является решением исходной системы. Ответ. (4; 4; –4). Решите систему уравнений: 31.

y2 + xy – z2 = 4, x + 5y = 8.

32.

16

xy

-, x + y = ----------------1 + xy

- = –5, 3xy – -----xz 

33.

8

- = –5, xy + ----yz

34.

3

35.

xz

----------------- , x+z= 1 + xz yz

-. y + z = ---------------1 + yz

- = 1. yz – -----xy

x2 – (y – z)2 = a, y2 – (z – x)2 = b, z2 – (x – y)2 = c.

x2 – 2yz = –1, y + z – x = 1.

xyz ------------- = a, y+z

36.

xyz ------------- = b, z+x xyz -------------- = c. x+y

37.

x + y + z = 13, x2 + y2 + z2 = 91, y2 = xz.

39.

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 2(y – x – z) –2, x3 + y3 + z3 = 3(x2 – y2 + z2).

38.

xy + yz + zx = 11, x2 + y2 + z2 = 14, xyz = 6.

75

40.

x + y + z = 1, 4x2 + y2 + z2 – 5x = x3 + y3 + z3 – 2, xyz = 2 + yz.

41.

2(x + y) = xy, xy + yz + zx = 108, xyz = 180.

43.

x2 + y2 = axyz, y2 + z2 = bxyz, z2 + x2 = cxyz.

42.

x(x + y + z) = a, y(x + y + z) = b, z(x + y + z) = c.

44.

x2y = x + y – z, z2x = x – y + z, y2x = y – x + z.

45.

4xy + x2 + y2 = 1, 8xz + x2 + 4z2 = –2, 8yz + y2 + 4z2 = 1.

46.

2(x2 + y2) = xyz, 10(y2 + z2) = 29xyz, 5(z2 + x2) = 13xyz.

47.

xyz2 = –y – 2x, 2x2yz = –y – z, 3xy2z = 2x – z.

48.

xy + x + y = 7, yz + y + z = –3, zx + x + z = –5.

Системы, содержащие иррациональное равнение. Если среди уравнений системы имеются иррациональные, то для ее решения обычно освобождаются от иррациональности. При этом используют те же методы, что и для решения иррациональных уравнений. П р и м е р 8. Решить систему уравнений 4 1 + 5x + 4 5 – y = 3, 5x – y = 11.

Р е ш е н и е. Полаая 4 1 + 5x = u и 4 5 – y = v, получаем симметричесую систему нелинейных уравнений u + v = 3, u4 + v4 = 17,

(*)

решения оторой u = 2, v = 1 и u = 1, v = 2. Возвращаясь  исходным неизвестным, приходим  двум системам линейных уравнений: 1 + 5x = 16, 1 + 5x = 1, 5 – y = 1, 5 – y = 16. Первая система имеет решение x = 3, y = 4, а вторая — решение x = 0, y = –11. Ответ. (3; 4); (0; –11).


76

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

Решите систему уравнений: 49.

2x + y + 1 – 3x + 2y = 4.

50.

x + 2y + 3 x – y + 2 = 3, 2x + y = 7.

51.

x 2 – xy + xy – y 2 = 3(x – y), x2 – y2 = 41. x2 + y2 + x +

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений Для решения системы, содержащей поазательное или лоарифмичесое уравнение, обычно сводят поазательное (или лоарифмичесое) уравнение  алебраичесому уравнению, а затем решают полученную алебраичесую систему.

2xy = 8 2 ,

y = 4.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений

53.

x 2 + 5 + y 2 – 5 = 5, 2 x + y2 = 13.

54.

x + y = 2, x – 2y + 1 = 0.

56.

x +

y = 8,

x+y–

x +

x2 y2

x–y

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестных x и y определяется системой неравенств x – 2y > 0, 3x + 2y > 0.

y – 2 xy = 2. y4

xy + – = 8( x + y + (x + y)3/2 – (x – y)3/2 = 26.

57.

3x2 + 2xy + y2 = 11, x2 + 2xy + 3y2 = 17.

58.

x2 + xy + y2 = 19(x – y)2, x2 – xy + y2 = 7(x – y).

59.

(x – 1)2 + (y + 1)2 – z2 = 0, x – z – 1 = 0. 3

60.

3 2x + y 2x + y 81 ----------------------- + ----------------------- = ---------- , 182 y 2x 3

y–3

8 ( 2) = 0,5 , log3 (x – 2y) + log3 (3x + 2y) = 3.

x – y ),

Используя изложенные ранее методы, решите систему уравнений:



62.

x2 + xy + y2 = 1, y2 + yz + z2 = 3, x2 + xz + z2 = 7.

3

52.

55.

61.

x + y = 1,

x + y – z = 2, x2 + y2 + z2 = 6, x3 + y3 – z3 = 8.

77

3 2x – y 2x – y 1 ---------------------- – ---------------------- = ---------- . 182 y 2x

(*)

Из поазательноо уравнения исходной системы, записанноо в виде x–y+6 6 – 2y ( 2) , = ( 2) следует, что

x – y + 6 = 6 – 2y; из лоарифмичесоо уравнения, записанноо в виде log3 ((x – 2y)(3x + 2y)) = 3, следует, что (x – 2y)(3x + 2y) = 27. Таим образом, решение исходной системы сводится  решению системы уравнений x – y + 6 = 6 – 2y, (x – 2y)(3x + 2y) = 27,

(**)

рассматриваемой на множестве допустимых значений неизвестных, задаваемом системой (*). Выражая y из первоо уравнения системы (**) и подставляя y = –x во второе уравнение, получаем уравнение 3x2 = 27, решениями отороо являются x1 = 3, x2 = –3. Из первоо уравнения системы (**) находим


76

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

Решите систему уравнений: 49.

2x + y + 1 – 3x + 2y = 4.

50.

x + 2y + 3 x – y + 2 = 3, 2x + y = 7.

51.

x 2 – xy + xy – y 2 = 3(x – y), x2 – y2 = 41. x2 + y2 + x +

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений Для решения системы, содержащей поазательное или лоарифмичесое уравнение, обычно сводят поазательное (или лоарифмичесое) уравнение  алебраичесому уравнению, а затем решают полученную алебраичесую систему.

2xy = 8 2 ,

y = 4.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений

53.

x 2 + 5 + y 2 – 5 = 5, 2 x + y2 = 13.

54.

x + y = 2, x – 2y + 1 = 0.

56.

x +

y = 8,

x+y–

x +

x2 y2

x–y

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестных x и y определяется системой неравенств x – 2y > 0, 3x + 2y > 0.

y – 2 xy = 2. y4

xy + – = 8( x + y + (x + y)3/2 – (x – y)3/2 = 26.

57.

3x2 + 2xy + y2 = 11, x2 + 2xy + 3y2 = 17.

58.

x2 + xy + y2 = 19(x – y)2, x2 – xy + y2 = 7(x – y).

59.

(x – 1)2 + (y + 1)2 – z2 = 0, x – z – 1 = 0. 3

60.

3 2x + y 2x + y 81 ----------------------- + ----------------------- = ---------- , 182 y 2x 3

y–3

8 ( 2) = 0,5 , log3 (x – 2y) + log3 (3x + 2y) = 3.

x – y ),

Используя изложенные ранее методы, решите систему уравнений:



62.

x2 + xy + y2 = 1, y2 + yz + z2 = 3, x2 + xz + z2 = 7.

3

52.

55.

61.

x + y = 1,

x + y – z = 2, x2 + y2 + z2 = 6, x3 + y3 – z3 = 8.

77

3 2x – y 2x – y 1 ---------------------- – ---------------------- = ---------- . 182 y 2x

(*)

Из поазательноо уравнения исходной системы, записанноо в виде x–y+6 6 – 2y ( 2) , = ( 2) следует, что

x – y + 6 = 6 – 2y; из лоарифмичесоо уравнения, записанноо в виде log3 ((x – 2y)(3x + 2y)) = 3, следует, что (x – 2y)(3x + 2y) = 27. Таим образом, решение исходной системы сводится  решению системы уравнений x – y + 6 = 6 – 2y, (x – 2y)(3x + 2y) = 27,

(**)

рассматриваемой на множестве допустимых значений неизвестных, задаваемом системой (*). Выражая y из первоо уравнения системы (**) и подставляя y = –x во второе уравнение, получаем уравнение 3x2 = 27, решениями отороо являются x1 = 3, x2 = –3. Из первоо уравнения системы (**) находим


78

Г л а в а 3. Системы уравнений

y1 = –3, y2 = 3. Однао из двух найденных пар чисел (3; –3), (–3; 3) решений системы (**) лишь пара (3; –3) удовлетворяет системе неравенств (*). Ответ. (3; –3). Решите систему уравнений: 1.

3.



logy x + logx y = 2,

4 4

x+y log

2

= 2 x

y–x

,

5.

x + y = 12, 2(2 logy x – log1/x y) = 5.

6.

4 –7· 2 y – x = 3.

7.

x

2 3  --3- 

y x – --2

2x – y

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

= 2

3–y

2 + 7  --3- 

1

10.

12.

13.

xy 2

– 27 · 3

y

3

log

· 2 5

y

= 1152,

(x + y) = 2. x2

+ 2 2x – y

y2

x – – 16 = 1, x – y = 2.

+2

= 5, = 125.

(y2 + 2) log5 x = 3.

(2y2 – 1)z = 1, (y2 + 2)z = 3.

( 2x – y )/2

– 6 = 0,

y2 + 2 ------------------- = 3, 2y 2 – 1

имеющему решения y1 = 1, y2 = –1. Из первоо уравнения системы (*) находим (а при y = 1, та и при y = –1), что z = 1. Тода из уравнения log5 x = 1 получаем x = 5. Таим образом, решениями исходной системы являются две пары чисел: (5; 1) и (5; –1). Ответ. (5; 1); (5; –1).

= 0,

11.

(*)

Выразив z из первоо уравнения системы (*) и подставив во второе, придем  уравнению

Решите систему уравнений: 2

x

y

· 3

3

x

· 4 = 12.

= 6,

14.

y

y = 1 + log4 x,

15.

xy = 46. 5

16.

(0,48 ) = 1, lg (x + y) – 1 = lg 6 – lg (x + 2y). x2

–1

(2y2 – 1) log5 x = 1,

,

1 1 --- lg x + --- lg y = lg (4 – 4 x ). 2 4 –x

2

Положим log5 x = z и получим систему рациональных уравнений

= 32, 4 log3 (x – y) = 1 – log3 (x + y). 4

y2

Р е ш е н и е. Лоарифмируя оба уравнения системы по основанию 5, получаем эвивалентную исходной систему

2 – log2 x + 5 log 5 (1/y) = --3- .

x y --- + --y x

9 9.

x

y2 x2 ------ + ------ = 12, y x

lg (3x – y) + lg (x + y) – 4 lg 2 = 0. 8.

x 2y

x2 – 2y2 – 8 = 0.

4.

= y4 – 5.

79

Если основание степени в поазательном уравнении системы является фунцией неизвестных, то таую систему можно свести  системе рациональных уравнений, принимая в ачестве одноо из неизвестных лоарифм этой фунции по неоторому основанию.

log4 x – log2 y = 0,

2.

x2 – y = 20.

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

18.

(x + y)3y – x = -----27 , 3 log5 (x + y) = x – y. (x + y) · 2 (x +

y – 2x

1 ----------------y) 2x – y

= 6,25,

= 5.

y – log3 x = 1, xy = 312.

17.

xx – 2y = 36, 4(x – 2y) + log6 x = 9.

19.

lg (x + y) 2 = 1, lg y – lg |x| = lg 2.


78

Г л а в а 3. Системы уравнений

y1 = –3, y2 = 3. Однао из двух найденных пар чисел (3; –3), (–3; 3) решений системы (**) лишь пара (3; –3) удовлетворяет системе неравенств (*). Ответ. (3; –3). Решите систему уравнений: 1.

3.



logy x + logx y = 2,

4 4

x+y log

2

= 2 x

y–x

,

5.

x + y = 12, 2(2 logy x – log1/x y) = 5.

6.

4 –7· 2 y – x = 3.

7.

x

2 3  --3- 

y x – --2

2x – y

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

= 2

3–y

2 + 7  --3- 

1

10.

12.

13.

xy 2

– 27 · 3

y

3

log

· 2 5

y

= 1152,

(x + y) = 2. x2

+ 2 2x – y

y2

x – – 16 = 1, x – y = 2.

+2

= 5, = 125.

(y2 + 2) log5 x = 3.

(2y2 – 1)z = 1, (y2 + 2)z = 3.

( 2x – y )/2

– 6 = 0,

y2 + 2 ------------------- = 3, 2y 2 – 1

имеющему решения y1 = 1, y2 = –1. Из первоо уравнения системы (*) находим (а при y = 1, та и при y = –1), что z = 1. Тода из уравнения log5 x = 1 получаем x = 5. Таим образом, решениями исходной системы являются две пары чисел: (5; 1) и (5; –1). Ответ. (5; 1); (5; –1).

= 0,

11.

(*)

Выразив z из первоо уравнения системы (*) и подставив во второе, придем  уравнению

Решите систему уравнений: 2

x

y

· 3

3

x

· 4 = 12.

= 6,

14.

y

y = 1 + log4 x,

15.

xy = 46. 5

16.

(0,48 ) = 1, lg (x + y) – 1 = lg 6 – lg (x + 2y). x2

–1

(2y2 – 1) log5 x = 1,

,

1 1 --- lg x + --- lg y = lg (4 – 4 x ). 2 4 –x

2

Положим log5 x = z и получим систему рациональных уравнений

= 32, 4 log3 (x – y) = 1 – log3 (x + y). 4

y2

Р е ш е н и е. Лоарифмируя оба уравнения системы по основанию 5, получаем эвивалентную исходной систему

2 – log2 x + 5 log 5 (1/y) = --3- .

x y --- + --y x

9 9.

x

y2 x2 ------ + ------ = 12, y x

lg (3x – y) + lg (x + y) – 4 lg 2 = 0. 8.

x 2y

x2 – 2y2 – 8 = 0.

4.

= y4 – 5.

79

Если основание степени в поазательном уравнении системы является фунцией неизвестных, то таую систему можно свести  системе рациональных уравнений, принимая в ачестве одноо из неизвестных лоарифм этой фунции по неоторому основанию.

log4 x – log2 y = 0,

2.

x2 – y = 20.

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

18.

(x + y)3y – x = -----27 , 3 log5 (x + y) = x – y. (x + y) · 2 (x +

y – 2x

1 ----------------y) 2x – y

= 6,25,

= 5.

y – log3 x = 1, xy = 312.

17.

xx – 2y = 36, 4(x – 2y) + log6 x = 9.

19.

lg (x + y) 2 = 1, lg y – lg |x| = lg 2.


80

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 16. Разные задачи

§ 16. Разные задачи

Неоторые системы лоарифмичесих или поазательных уравнений сводятся  системам рациональных уравнений непосредственной заменой входящих в них лоарифмов (или соответственно степеней) новыми неизвестными. П р и м е р 3. Решить систему уравнений 5

3

5

23

· 2

x

+ 22

x

Р е ш е н и е. Полаая z = 5 ме рациональных уравнений

3

Решите систему уравнений: 

1.

yx logy x = x2,5, log3 y · logy (y – 2x) = 1.

2.

log2 x + log4 y + log4 z = 2, log3 y + log9 z + log9 x = 2, log4 z + log16 x + log16 y = 2.

= 200,

y

x

y

= 689.

иu= 2

y

, приходим  систе10 3.

zu = 200, z2 + u2 = 689, оторая с учетом условий z > 0 и u > 0 эвивалентна системе 

zu = 200, z + u = 33.

5

3

2

3

x

= 25,

5

y

= 8,

2

4.

x

= 8,

y

= 25,



5.

6.

8.

2

Решите систему уравнений:



20.

xy – 1

+ 4

= 5,

5 ( x – y) 3(x + y) ---------------------- + ---------------------- = 8. x+y x–y

11 22.

xy – 2

xz

y

– 2 · 5 = 71,

z

11 + 2 · 5 11

( x – z)z

y/2

+ 5

= 21,

y/2

= 16.



+ 10y 6 ---------------------------- = ------------------------------------------ . 3 2 x 2 + 10y – 9

21.

(x2 + y) · 2

4

x+ y

= y2

4

x+ y

=

x

3

3

y2 ,

x2 .

logy |logy x| = logx |logx y|, lg2 x + lg2 y = 8.  1  ---------------- + log y  = log x, log12 x  log 2 2 2 x  

7. zx = x,

Ответ. (8; 9); (27 log 5 2; 4 log 2 5).

2

= 100 10 ,

log2 x · log3 (x + y) = 3 log3 x.

имеющие решения x = 8, y = 9 и x = (log5 8)3, y = (log2 25)2. 3

1 2

lg --- ( x 2 + y 2 ) + 1,5

x2

y

Решениями этой системы являются следующие пары чисел: (25; 8); (8; 25). Возвращаясь  исходным неизвестным, получаем две системы уравнений

81

y – x2

9(x2 + y) = 6

= 1,

x2 – y

.

zy = y,

yy = x.

loga x · loga (xyz) = 48, loga y · loga (xyz) = 12, loga z · loga (xyz) = 84, a > 0,

a − 1.


80

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 16. Разные задачи

§ 16. Разные задачи

Неоторые системы лоарифмичесих или поазательных уравнений сводятся  системам рациональных уравнений непосредственной заменой входящих в них лоарифмов (или соответственно степеней) новыми неизвестными. П р и м е р 3. Решить систему уравнений 5

3

5

23

· 2

x

+ 22

x

Р е ш е н и е. Полаая z = 5 ме рациональных уравнений

3

Решите систему уравнений: 

1.

yx logy x = x2,5, log3 y · logy (y – 2x) = 1.

2.

log2 x + log4 y + log4 z = 2, log3 y + log9 z + log9 x = 2, log4 z + log16 x + log16 y = 2.

= 200,

y

x

y

= 689.

иu= 2

y

, приходим  систе10 3.

zu = 200, z2 + u2 = 689, оторая с учетом условий z > 0 и u > 0 эвивалентна системе 

zu = 200, z + u = 33.

5

3

2

3

x

= 25,

5

y

= 8,

2

4.

x

= 8,

y

= 25,



5.

6.

8.

2

Решите систему уравнений:



20.

xy – 1

+ 4

= 5,

5 ( x – y) 3(x + y) ---------------------- + ---------------------- = 8. x+y x–y

11 22.

xy – 2

xz

y

– 2 · 5 = 71,

z

11 + 2 · 5 11

( x – z)z

y/2

+ 5

= 21,

y/2

= 16.



+ 10y 6 ---------------------------- = ------------------------------------------ . 3 2 x 2 + 10y – 9

21.

(x2 + y) · 2

4

x+ y

= y2

4

x+ y

=

x

3

3

y2 ,

x2 .

logy |logy x| = logx |logx y|, lg2 x + lg2 y = 8.  1  ---------------- + log y  = log x, log12 x  log 2 2 2 x  

7. zx = x,

Ответ. (8; 9); (27 log 5 2; 4 log 2 5).

2

= 100 10 ,

log2 x · log3 (x + y) = 3 log3 x.

имеющие решения x = 8, y = 9 и x = (log5 8)3, y = (log2 25)2. 3

1 2

lg --- ( x 2 + y 2 ) + 1,5

x2

y

Решениями этой системы являются следующие пары чисел: (25; 8); (8; 25). Возвращаясь  исходным неизвестным, получаем две системы уравнений

81

y – x2

9(x2 + y) = 6

= 1,

x2 – y

.

zy = y,

yy = x.

loga x · loga (xyz) = 48, loga y · loga (xyz) = 12, loga z · loga (xyz) = 84, a > 0,

a − 1.


§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

Глава 4 Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

если a > 0, то b b b b x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a-  , x Ý – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a     

(f(x) > 0)

(1)

— это значит найти все значения арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо. Множество всех значений арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо, называют множеством решений неравенства или просто решением неравенства. Множество решений нестрооо неравенства f(x) m 0

(f(x) l 0)

(2)

представляет собой объединение множества решений неравенства (1) и множества решений уравнения f(x) = 0. Два неравенства называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. Под множеством допстимых значений неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения фунции f(x). Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных фунций fi(x), моут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств — это значит найти множество всех значений арументов фунций fi(x), при оторых справедливы все неравенства системы одновременно. Говорят, что системы неравенств эвивалентны, если множества их решений совпадают.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства Алебраичес ие неравенства. Линейными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax + b > 0,

ax + b < 0,

ax + b l 0,

;

если a < 0, то

Пусть f(x) — числовая фунция одноо или несольих переменных (арументов). Решить неравенство f(x) < 0

83

ax + b m 0, a − 0,

решениями оторых являются соответственно следующие промежути:

b b b b x Ý  –×; – --a-  , x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a- , x Ý – --a- ; +×  .      

Квадратными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c l 0,

ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c m 0,

де a, b, c — неоторые действительные числа и a − 0. Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от значений своих оэффициентов a, b, c имеет следующие решения: если a > 0 и D = b2 – 4ac l 0, то  –b+ D   –b– D  - ; +×  ; x Ý  –×; ---------------------- Ÿ  ----------------------2a 2a     если a > 0 и D < 0, то x Ý R (т. е. x — любое действительное число); если a < 0 и D > 0, то  –b– D –b+ D x Ý  ----------------------; ----------------------2a 2a 

 ; 

если a < 0 и D < 0, то x Ý ¾ (т. е. решений нет). Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится  решению рассмотренноо неравенства, если обе части исходноо неравенства умножить на (–1). Метод интервалов. Пусть Pn(x) — мноочлен n-й степени с действительными оэффициентами, а c1, c2, ..., ci — все действительные орни мноочлена, ратности оторых соответственно равны k1, k2, ..., ki, причем c1 > c2 > ... > ci. Мноочлен Pn(x) можно представить в виде Pn(x) = ( x – c1 ) k1 ( x – c2 ) k 2 ... ( x – ci ) k l Qm(x),

(3)

де мноочлен Qm(x) не имеет действительных орней и либо положителен, либо отрицателен при всех x Ý R. Положим для


§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

Глава 4 Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

если a > 0, то b b b b x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a-  , x Ý – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a     

(f(x) > 0)

(1)

— это значит найти все значения арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо. Множество всех значений арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо, называют множеством решений неравенства или просто решением неравенства. Множество решений нестрооо неравенства f(x) m 0

(f(x) l 0)

(2)

представляет собой объединение множества решений неравенства (1) и множества решений уравнения f(x) = 0. Два неравенства называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. Под множеством допстимых значений неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения фунции f(x). Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных фунций fi(x), моут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств — это значит найти множество всех значений арументов фунций fi(x), при оторых справедливы все неравенства системы одновременно. Говорят, что системы неравенств эвивалентны, если множества их решений совпадают.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства Алебраичес ие неравенства. Линейными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax + b > 0,

ax + b < 0,

ax + b l 0,

;

если a < 0, то

Пусть f(x) — числовая фунция одноо или несольих переменных (арументов). Решить неравенство f(x) < 0

83

ax + b m 0, a − 0,

решениями оторых являются соответственно следующие промежути:

b b b b x Ý  –×; – --a-  , x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a- , x Ý – --a- ; +×  .      

Квадратными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c l 0,

ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c m 0,

де a, b, c — неоторые действительные числа и a − 0. Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от значений своих оэффициентов a, b, c имеет следующие решения: если a > 0 и D = b2 – 4ac l 0, то  –b+ D   –b– D  - ; +×  ; x Ý  –×; ---------------------- Ÿ  ----------------------2a 2a     если a > 0 и D < 0, то x Ý R (т. е. x — любое действительное число); если a < 0 и D > 0, то  –b– D –b+ D x Ý  ----------------------; ----------------------2a 2a 

 ; 

если a < 0 и D < 0, то x Ý ¾ (т. е. решений нет). Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится  решению рассмотренноо неравенства, если обе части исходноо неравенства умножить на (–1). Метод интервалов. Пусть Pn(x) — мноочлен n-й степени с действительными оэффициентами, а c1, c2, ..., ci — все действительные орни мноочлена, ратности оторых соответственно равны k1, k2, ..., ki, причем c1 > c2 > ... > ci. Мноочлен Pn(x) можно представить в виде Pn(x) = ( x – c1 ) k1 ( x – c2 ) k 2 ... ( x – ci ) k l Qm(x),

(3)

де мноочлен Qm(x) не имеет действительных орней и либо положителен, либо отрицателен при всех x Ý R. Положим для


84 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

определенности, что Qm(x) > 0. Тода при x > ci все сомножители в разложении (3) положительны и Pn(x) > 0. Если c1 — орень нечетной ратности (k1 — нечетное), то при x Ý (c2; c1) все сомножители в разложении (3), за ислючением первоо, положительны и, значит, Pn(x) < 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) меняет зна при переходе через орень c1. Если же c1 — орень четной ратности (k1 — четное), то все сомножители (в том числе и первый) при x Ý (c2; c1) положительны и, следовательно, Pn(x) > 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) не меняет знаа при переходе через орень c1. Аналоично, используя разложение (3), нетрудно убедиться, что при переходе через орень c2 мноочлен Pn(x) меняет зна, если k2 — нечетное, и не меняет знаа, если k2 — четное. Рассмотренное свойство мноочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для тоо чтобы найти все решения неравенства

Будем двиаться по оси Ox справа налево. При переходе через точу x = 1 мноочлен P4(x) меняет зна и принимает отрицательные значения, та а x = 1 — простой орень (орень ратности 1); при переходе через точу x = 0 мноочлен таже меняет зна и принимает положительные значения, посольу x = 0 — таже простой орень; при переходе через точу x = –2 мноочлен не меняет знаа, та а x = –2 — орень ратности 2. Промежути знаопостоянства мноочлена P4(x) схематичеси + + + изображены на рис. 1. Используя этот –2 0 – 1 x рисуно, лео записать множество реРис. 1 шений исходноо неравенства. Ответ. x Ý (–×; –2) Ÿ (–2; 0) Ÿ (1; +×).

Pn(x) > 0,

(4)

достаточно знать все действительные орни мноочлена Pn(x), их ратности и зна мноочлена Pn(x) в произвольно выбранной точе, не совпадающей с орнем мноочлена.

Рациональные неравенства. Решение рациональноо неравенства, т. е. неравенства вида Pn ( x ) ----------------Q m ( x ) > 0,

+

3x3

– 4x > 0.

(5)

де Pn(x) и Qm(x) — мноочлены, сводится  решению эвивалентноо неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на мноочлен (Qm(x))2, оторый положителен при всех допустимых значениях неизвестноо x (т. е. при тех x, для оторых Qm(x) − 0), получим неравенство Pn(x) · Qm(x) > 0,

П р и м е р 1. Решить неравенство x4

85

(*)

Р е ш е н и е. Разложим на множители мноочлен P4(x), находящийся в левой части неравенства (*). Вынося множитель x за соби, получаем

эвивалентное неравенству (5). Дробно-линейными неравенствами называют неравенства вида ax + b ----------------- > k, (6) cx + d

P4(x) = x(x3 + 3x2 – 4).

де a, b, c, d, k — неоторые действительные числа, причем c − 0

Второй сомножитель, представляющий собой убичесий мноочлен, имеет орень x = 1. Следовательно, уазанный мноочлен можно представить та:

и --c- − --d- (если c = 0, то дробно-линейное неравенство превраща-

x3 + 3x2 – 4 = (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2. Поэтому P4(x) = x(x – 1) (x + 2)2 и неравенство (*) можно представить в виде x(x – 1) (x + 2)2 > 0. (**) Решим неравенство (**) методом интервалов. При x > 1 все сомножители, записанные в левой части неравенства, положительны.

a

b

a

b

ется в линейное, а если --c- = --d- , то неравенство (6) не содержит арумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), де вместо знаа > записаны знаи <, l, m. Решение дробно-линейноо неравенства сводится  решению вадратноо неравенства. Для этоо необходимо умножить обе части неравенства (6) на выражение (cx + d)2, положительное d

при всех x Ý R и x − – --c- .


84 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

определенности, что Qm(x) > 0. Тода при x > ci все сомножители в разложении (3) положительны и Pn(x) > 0. Если c1 — орень нечетной ратности (k1 — нечетное), то при x Ý (c2; c1) все сомножители в разложении (3), за ислючением первоо, положительны и, значит, Pn(x) < 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) меняет зна при переходе через орень c1. Если же c1 — орень четной ратности (k1 — четное), то все сомножители (в том числе и первый) при x Ý (c2; c1) положительны и, следовательно, Pn(x) > 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) не меняет знаа при переходе через орень c1. Аналоично, используя разложение (3), нетрудно убедиться, что при переходе через орень c2 мноочлен Pn(x) меняет зна, если k2 — нечетное, и не меняет знаа, если k2 — четное. Рассмотренное свойство мноочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для тоо чтобы найти все решения неравенства

Будем двиаться по оси Ox справа налево. При переходе через точу x = 1 мноочлен P4(x) меняет зна и принимает отрицательные значения, та а x = 1 — простой орень (орень ратности 1); при переходе через точу x = 0 мноочлен таже меняет зна и принимает положительные значения, посольу x = 0 — таже простой орень; при переходе через точу x = –2 мноочлен не меняет знаа, та а x = –2 — орень ратности 2. Промежути знаопостоянства мноочлена P4(x) схематичеси + + + изображены на рис. 1. Используя этот –2 0 – 1 x рисуно, лео записать множество реРис. 1 шений исходноо неравенства. Ответ. x Ý (–×; –2) Ÿ (–2; 0) Ÿ (1; +×).

Pn(x) > 0,

(4)

достаточно знать все действительные орни мноочлена Pn(x), их ратности и зна мноочлена Pn(x) в произвольно выбранной точе, не совпадающей с орнем мноочлена.

Рациональные неравенства. Решение рациональноо неравенства, т. е. неравенства вида Pn ( x ) ----------------Q m ( x ) > 0,

+

3x3

– 4x > 0.

(5)

де Pn(x) и Qm(x) — мноочлены, сводится  решению эвивалентноо неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на мноочлен (Qm(x))2, оторый положителен при всех допустимых значениях неизвестноо x (т. е. при тех x, для оторых Qm(x) − 0), получим неравенство Pn(x) · Qm(x) > 0,

П р и м е р 1. Решить неравенство x4

85

(*)

Р е ш е н и е. Разложим на множители мноочлен P4(x), находящийся в левой части неравенства (*). Вынося множитель x за соби, получаем

эвивалентное неравенству (5). Дробно-линейными неравенствами называют неравенства вида ax + b ----------------- > k, (6) cx + d

P4(x) = x(x3 + 3x2 – 4).

де a, b, c, d, k — неоторые действительные числа, причем c − 0

Второй сомножитель, представляющий собой убичесий мноочлен, имеет орень x = 1. Следовательно, уазанный мноочлен можно представить та:

и --c- − --d- (если c = 0, то дробно-линейное неравенство превраща-

x3 + 3x2 – 4 = (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2. Поэтому P4(x) = x(x – 1) (x + 2)2 и неравенство (*) можно представить в виде x(x – 1) (x + 2)2 > 0. (**) Решим неравенство (**) методом интервалов. При x > 1 все сомножители, записанные в левой части неравенства, положительны.

a

b

a

b

ется в линейное, а если --c- = --d- , то неравенство (6) не содержит арумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), де вместо знаа > записаны знаи <, l, m. Решение дробно-линейноо неравенства сводится  решению вадратноо неравенства. Для этоо необходимо умножить обе части неравенства (6) на выражение (cx + d)2, положительное d

при всех x Ý R и x − – --c- .


86 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами П р и м е р 2. Решить неравенство

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

87

то неравенство, эвивалентное исходному и имеющее тот же зна, получится лишь в том случае, ода обе части исходноо неравенства неотрицательны.

x+2 --------------------------- < –1. x2 – x – 2

Р е ш е н и е. Прибавив  обеим частям неравенства по 1, получаем неравенство вида (5): x2

П р и м е р 3. Решить неравенство x+3 <

x–1 +

x–2.

(*)

x2(x2 – x – 2) < 0.

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неравенства (*) представляет собой промежуто [2; +×). На этом промежуте обе части неравенства (*) неотрицательны; поэтому, возведя их в вадрат и приведя подобные члены, получим эвивалентное неравенство

Множество решений последнео неравенства находим методом интервалов: x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2).

6 – x < 2 x 2 – 3x + 2 .

-------------------------- < 0, x2 – x – 2

оторое эвивалентно неравенству

Ответ. x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2). Решите неравенство: 5

1

3

1

------------- + -------------- < 1. 1. 2 2+x –x

------------2. ------------x+2 < x–3.

3. (x + 1) (3 – x)(x – 2)2 l 0.

4. ------------------------------l 1. 2

x3 – x2 + x – 1

- m 0. 5. --------------------------------------x+8 x3

2x 2

– 5x + 6

- > 0. 7. ----------------------------------------------x–2 x–4 4x – 4x – 3

9. ---------------------------------< 0. 2

x 2 – 3x + 2 x + 3x + 2 2x – 5

1

6. -----------------------------< -----------x–3. x 2 – 6x – 7 2–

x2

8. --------------1 – x m x. x 2 – 2x + 3 x – 4x + 3

- > –3. 10. -----------------------------2

Иррациональные неравенства. Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в отором неизвестные величины (или неоторые фунции неизвестных величин) находятся под знаом радиала. Для тоо чтобы найти множество решений иррациональноо неравенства, приходится, а правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. При этом (в силу принципиальной невозможности провери полученных решений подстановой) необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств аждый раз получалось неравенство, эвивалентное исходному. При решении иррациональных неравенств следует учитывать, что возведение обеих частей неравенства в нечетную степень вседа приводит  неравенству, эвивалентному исходному. Если же обе части неравенства возвести в четную степень,

(**)

Рассмотрим теперь два возможных случая. 1. Если 6 – x < 0 (т. е. x > 6), то левая часть неравенства (**) отрицательна, а правая — неотрицательна и, следовательно, неравенство (**) справедливо при всех x Ý (6; +×). 2. Если 6 – x l 0, то при всех x Ý [2; 6] обе части неравенства (**) неотрицательны. Возведя их в вадрат, получаем неравенство 3x2 – 28 > 0, (***) решениями отороо с учетом сделанноо предположения о том,  28 что x Ý [2; 6], являются значения из промежута  -----3 ;6 .  Объединив множества решений, соответствующие двум рассмотренным случаям, оончательно получаем решение исход  28 ноо неравенства — промежуто  ------ ; +×  . 3     28 Ответ.  ------ ; +×  . 3   Решите неравенство: 11.

1 – 3x –

13.

x2

5 + x > 1.

15.

2– 3+x <

12.

4– 1–x –

+ 4x – 5 – 2x + 3 > 0. 14. x + 4 < x+4.

2 – x > 0.

x + 46 .

24 – 2x – x 2

- < 1. 16. ------------------------------------x


86 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами П р и м е р 2. Решить неравенство

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

87

то неравенство, эвивалентное исходному и имеющее тот же зна, получится лишь в том случае, ода обе части исходноо неравенства неотрицательны.

x+2 --------------------------- < –1. x2 – x – 2

Р е ш е н и е. Прибавив  обеим частям неравенства по 1, получаем неравенство вида (5): x2

П р и м е р 3. Решить неравенство x+3 <

x–1 +

x–2.

(*)

x2(x2 – x – 2) < 0.

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неравенства (*) представляет собой промежуто [2; +×). На этом промежуте обе части неравенства (*) неотрицательны; поэтому, возведя их в вадрат и приведя подобные члены, получим эвивалентное неравенство

Множество решений последнео неравенства находим методом интервалов: x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2).

6 – x < 2 x 2 – 3x + 2 .

-------------------------- < 0, x2 – x – 2

оторое эвивалентно неравенству

Ответ. x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2). Решите неравенство: 5

1

3

1

------------- + -------------- < 1. 1. 2 2+x –x

------------2. ------------x+2 < x–3.

3. (x + 1) (3 – x)(x – 2)2 l 0.

4. ------------------------------l 1. 2

x3 – x2 + x – 1

- m 0. 5. --------------------------------------x+8 x3

2x 2

– 5x + 6

- > 0. 7. ----------------------------------------------x–2 x–4 4x – 4x – 3

9. ---------------------------------< 0. 2

x 2 – 3x + 2 x + 3x + 2 2x – 5

1

6. -----------------------------< -----------x–3. x 2 – 6x – 7 2–

x2

8. --------------1 – x m x. x 2 – 2x + 3 x – 4x + 3

- > –3. 10. -----------------------------2

Иррациональные неравенства. Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в отором неизвестные величины (или неоторые фунции неизвестных величин) находятся под знаом радиала. Для тоо чтобы найти множество решений иррациональноо неравенства, приходится, а правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. При этом (в силу принципиальной невозможности провери полученных решений подстановой) необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств аждый раз получалось неравенство, эвивалентное исходному. При решении иррациональных неравенств следует учитывать, что возведение обеих частей неравенства в нечетную степень вседа приводит  неравенству, эвивалентному исходному. Если же обе части неравенства возвести в четную степень,

(**)

Рассмотрим теперь два возможных случая. 1. Если 6 – x < 0 (т. е. x > 6), то левая часть неравенства (**) отрицательна, а правая — неотрицательна и, следовательно, неравенство (**) справедливо при всех x Ý (6; +×). 2. Если 6 – x l 0, то при всех x Ý [2; 6] обе части неравенства (**) неотрицательны. Возведя их в вадрат, получаем неравенство 3x2 – 28 > 0, (***) решениями отороо с учетом сделанноо предположения о том,  28 что x Ý [2; 6], являются значения из промежута  -----3 ;6 .  Объединив множества решений, соответствующие двум рассмотренным случаям, оончательно получаем решение исход  28 ноо неравенства — промежуто  ------ ; +×  . 3     28 Ответ.  ------ ; +×  . 3   Решите неравенство: 11.

1 – 3x –

13.

x2

5 + x > 1.

15.

2– 3+x <

12.

4– 1–x –

+ 4x – 5 – 2x + 3 > 0. 14. x + 4 < x+4.

2 – x > 0.

x + 46 .

24 – 2x – x 2

- < 1. 16. ------------------------------------x


88 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x+5

18. ---------------------------- m 3.

19.

8 – x2 –

21.

x 2 – x – 2 l 2x + 3. x 2 – 16 x–3

23. ------------------------ + 24.

25 – x 2 > x.

1

1

20. ------------------ > -----------2–x. 1+x

22.

В отличие от уравнений неравенства не допусают непосредственной провери. Однао во мноих случаях можно убедиться в правильности полученных результатов рафичесим способом. Действительно, запишем неравенство из примера 4 в виде |x2 – 2| < –x.

x 2 + 3x + 4 > –2.

5 x–3

x – 3 > ------------------ .

3x 2 + 5x + 7 –

89

Объединяя найденные множества решений, оончательно получаем x Ý (–2; –1). Ответ. x Ý (–2; –1).

4– x+1 1– x+3

17. ----------------1 – x < 1.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

3x 2 + 5x + 2 > 1.

Неравенства, содержащие неизвестное под зна ом модля. При решении неравенств, содержащих неизвестное под знаом модуля, используют тот же способ, что и при решении аналоичных уравнений, а именно решение исходноо неравенства сводят  решению несольих неравенств, рассматриваемых на промежутах знаопостоянства выражений, находящихся под знаом модуля.

Построим рафии фунций y1 = |x2 – 2| и y2 = –x, входящих в левую и правую части рассматриваемоо неравенства, и найдем те значения арумента, при оторых y1 < y2. На рис. 4 заштрихованная часть оси абсцисс содержит исомые значения x.

y

y1 = |x2 – 2| 2

П р и м е р 4. Решить неравенство |x2 – 2| + x < 0.

(*)

Р е ш е н и е. Рассмотрим промежути знаопостоянства выражения x2 – 2, записанноо под знаом модуля. 1. Пусть x2 – 2 l 0. Тода неравенство (*) примет вид x2 + x – 2 < 0.

–2 – 2

0

1 2

x

Рис. 2

неравенства: x Ý (–2; – 2 ] (рис. 2). 2. Пусть x2 – 2 < 0. Тода соласно определению модуля имеем |x2 – 2| = 2 – x2, и неравенство (*) примет вид

– 2 –1

0 Рис. 3

2 2 x

(***)

Пересечение множества решений неравенства (***) и неравенства x2 – 2 < 0 дает второе множество решений исходноо неравенства: x Ý (– 2 ; –1) (рис. 3).

x 2 y2 = –x

(**)

Пересечение множества решений неравенства (**) и неравенства x2 – 2 l 0 представляет собой первое множество решений исходноо

2 – x2 + x < 0.

–2 – 2 –1 O

Рис. 4 Решение неравенств, содержащих зна модуля, инода можно значительно соратить, используя равенство |x2| = x2. П р и м е р 5. Решить неравенство x–1 -------------x+2

> 1.

(*)

Р е ш е н и е. Исходное неравенство при всех x − –2 эвивалентно неравенству |x – 1| > |x + 2|. (**) Возведя обе части неравенства (**) в вадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство 6x < –3, т. е. x < – 0,5.


88 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x+5

18. ---------------------------- m 3.

19.

8 – x2 –

21.

x 2 – x – 2 l 2x + 3. x 2 – 16 x–3

23. ------------------------ + 24.

25 – x 2 > x.

1

1

20. ------------------ > -----------2–x. 1+x

22.

В отличие от уравнений неравенства не допусают непосредственной провери. Однао во мноих случаях можно убедиться в правильности полученных результатов рафичесим способом. Действительно, запишем неравенство из примера 4 в виде |x2 – 2| < –x.

x 2 + 3x + 4 > –2.

5 x–3

x – 3 > ------------------ .

3x 2 + 5x + 7 –

89

Объединяя найденные множества решений, оончательно получаем x Ý (–2; –1). Ответ. x Ý (–2; –1).

4– x+1 1– x+3

17. ----------------1 – x < 1.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

3x 2 + 5x + 2 > 1.

Неравенства, содержащие неизвестное под зна ом модля. При решении неравенств, содержащих неизвестное под знаом модуля, используют тот же способ, что и при решении аналоичных уравнений, а именно решение исходноо неравенства сводят  решению несольих неравенств, рассматриваемых на промежутах знаопостоянства выражений, находящихся под знаом модуля.

Построим рафии фунций y1 = |x2 – 2| и y2 = –x, входящих в левую и правую части рассматриваемоо неравенства, и найдем те значения арумента, при оторых y1 < y2. На рис. 4 заштрихованная часть оси абсцисс содержит исомые значения x.

y

y1 = |x2 – 2| 2

П р и м е р 4. Решить неравенство |x2 – 2| + x < 0.

(*)

Р е ш е н и е. Рассмотрим промежути знаопостоянства выражения x2 – 2, записанноо под знаом модуля. 1. Пусть x2 – 2 l 0. Тода неравенство (*) примет вид x2 + x – 2 < 0.

–2 – 2

0

1 2

x

Рис. 2

неравенства: x Ý (–2; – 2 ] (рис. 2). 2. Пусть x2 – 2 < 0. Тода соласно определению модуля имеем |x2 – 2| = 2 – x2, и неравенство (*) примет вид

– 2 –1

0 Рис. 3

2 2 x

(***)

Пересечение множества решений неравенства (***) и неравенства x2 – 2 < 0 дает второе множество решений исходноо неравенства: x Ý (– 2 ; –1) (рис. 3).

x 2 y2 = –x

(**)

Пересечение множества решений неравенства (**) и неравенства x2 – 2 l 0 представляет собой первое множество решений исходноо

2 – x2 + x < 0.

–2 – 2 –1 O

Рис. 4 Решение неравенств, содержащих зна модуля, инода можно значительно соратить, используя равенство |x2| = x2. П р и м е р 5. Решить неравенство x–1 -------------x+2

> 1.

(*)

Р е ш е н и е. Исходное неравенство при всех x − –2 эвивалентно неравенству |x – 1| > |x + 2|. (**) Возведя обе части неравенства (**) в вадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство 6x < –3, т. е. x < – 0,5.


90 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 18. Показательные неравенства

Учитывая множество допустимых значений исходноо неравенства, определяемое условием x − –2, оончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех x Ý (–×; –2) Ÿ Ÿ (–2; –0,5).

В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (1) имеет следующий вид:

Ответ. (–×; –2) Ÿ (–2; –0,5). На рис. 5 дана рафичесая иллюстрация решения приведенноо неравенства.

91

если a > 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если b < 0, то x Ý R. В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если b < 0, то x = ¾.

y x–1

y= x+2

Множество решений аждоо из нестроих неравенств ax l b m b находят а объединение множеств решений соответи ствующео строоо неравенства и уравнения ax = b. Неравенства вида (1) или (2) можно обобщить на случай, ода поазателем степени является неоторая фунция от x. Та, множеством решений неравенства

1

ax

–2

–0,5 O

x

1

Рис. 5

2f(x) > 3 Решите неравенство: 25. |x – 3| > –1. 27. x2 + 2|x + 3| – 10 m 0. 29. x2 + x – 10 < 2|x – 2|. 31. 33.

|x2

2x – 1 ----------------x–1

является множество решений неравенства

26. |4 – 3x| m 0,5. 28. |x2 – 1| – 2x < 0. 30. x2 – |3x + 2| + x l 0.

f(x) > log2 3, эвивалентноо неравенству (3). Методы сведения более сложных поазательных неравенств  неравенствам вида (1) — (3) аналоичны методам, используемым при решении поазательных уравнений. Например, решение поазательноо неравенства вида

9 32. -------------------------x – 5 – 3 l |x – 2|.

– 3| + 2x + 1 l 0. > 2.

34. |x – 2| m |x + 4|.

35. |x2 + x + 1| < 2x2 – 4x + 7.

|x + 2| – x

P(ax) > 0,

36. --------------------------- > 0. 4–

(3)

x3

де P(ax) — мноочлен уазанноо арумента, заменой ax = y сводят  последовательному решению неравенства P(y) > 0 и решению простейших поазательных неравенств вида (1) и (2) или систем простейших поазательных неравенств.

§ 18. Показательные неравенства

П р и м е р. Решить неравенство Простейшими поазательными неравенствами называют неравенства вида (1) ax > b, ax < b, де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).

(2)

4

x

–2· 5

2x

– 10

x

> 0.

(*)

Р е ш е н и е. Та а числа 4, 10, 25 являются последовательными членами еометричесой прорессии, то неравенство (*) можно свести  вадратному относительно неизвестноо


90 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 18. Показательные неравенства

Учитывая множество допустимых значений исходноо неравенства, определяемое условием x − –2, оончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех x Ý (–×; –2) Ÿ Ÿ (–2; –0,5).

В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (1) имеет следующий вид:

Ответ. (–×; –2) Ÿ (–2; –0,5). На рис. 5 дана рафичесая иллюстрация решения приведенноо неравенства.

91

если a > 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если b < 0, то x Ý R. В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если b < 0, то x = ¾.

y x–1

y= x+2

Множество решений аждоо из нестроих неравенств ax l b m b находят а объединение множеств решений соответи ствующео строоо неравенства и уравнения ax = b. Неравенства вида (1) или (2) можно обобщить на случай, ода поазателем степени является неоторая фунция от x. Та, множеством решений неравенства

1

ax

–2

–0,5 O

x

1

Рис. 5

2f(x) > 3 Решите неравенство: 25. |x – 3| > –1. 27. x2 + 2|x + 3| – 10 m 0. 29. x2 + x – 10 < 2|x – 2|. 31. 33.

|x2

2x – 1 ----------------x–1

является множество решений неравенства

26. |4 – 3x| m 0,5. 28. |x2 – 1| – 2x < 0. 30. x2 – |3x + 2| + x l 0.

f(x) > log2 3, эвивалентноо неравенству (3). Методы сведения более сложных поазательных неравенств  неравенствам вида (1) — (3) аналоичны методам, используемым при решении поазательных уравнений. Например, решение поазательноо неравенства вида

9 32. -------------------------x – 5 – 3 l |x – 2|.

– 3| + 2x + 1 l 0. > 2.

34. |x – 2| m |x + 4|.

35. |x2 + x + 1| < 2x2 – 4x + 7.

|x + 2| – x

P(ax) > 0,

36. --------------------------- > 0. 4–

(3)

x3

де P(ax) — мноочлен уазанноо арумента, заменой ax = y сводят  последовательному решению неравенства P(y) > 0 и решению простейших поазательных неравенств вида (1) и (2) или систем простейших поазательных неравенств.

§ 18. Показательные неравенства

П р и м е р. Решить неравенство Простейшими поазательными неравенствами называют неравенства вида (1) ax > b, ax < b, де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).

(2)

4

x

–2· 5

2x

– 10

x

> 0.

(*)

Р е ш е н и е. Та а числа 4, 10, 25 являются последовательными членами еометричесой прорессии, то неравенство (*) можно свести  вадратному относительно неизвестноо


92 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x

2 y =  --5-  . Для этоо разделим обе части исходноо неравенст 

ва на 25

x

= 5

2x

: 4 x 2 ⋅ 5 x  ----- --------- 25  – 2 –  25  > 0.

x

2 Полаая  --5-  = y, получим неравенство  

y2 – y – 2 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; –1) Ÿ (2; +×). Таим образом, исходное неравенство эвивалентно двум простейшим поазательным неравенствам x 2 x  2 ---  < –1,  ---  > 2.  5   5  Решением первоо неравенства является пустое множество, а решением второо — промежуто (–×; log2/5 2). Ответ. (–×; log2/5 2). x

3. 25

+ 2 –x

5. 2 · 3

+ 5

2x 2

7. 98 – 7

9.

x2 – 3

x

<

2x + 1

+ 6

x2

x 2 + 3x + 4

x 2 + 5x – 49

.

x

x

x2 – 3 – 1

–4· 5 + 25

–1

x+1

–3· 2

.

x

2(13 + 12) –

23 – x

– 2 2 log4 6

4. 4

–7· 2

m 7 · 10 .

+3< 3

x

– x + 0,5

.

l 49

x

2x – 10 – 3 x – 2

13. 25 14. 5

x 2 + 5x – 48

x

1 12.  --4-   

x2 + 2

1 >  --3- 

+ 2 · 25

2. 4

l 50.

+4m 3

13 – 5 m

10. 9 11. 5

x

– 6 m 0.

–x+1

x+4

1 6.  --3- 

8. 5 · 4

x+1

15.

8+2

16.

4

x+1

17. 3

x+1

18. 4

x

19. 20.

3–x+1

–4

3–x

93

+ 2

3–x+1

> 5.

x

+ 17 – 5 > 2 . 9

4x 2

< ----------- . 27

m3· 2

3

2x + 1

3

2x + 2

|3tg πx

x+x

– 3

+ 41 +

x+2

–2· 3

.

+ 6 > 0,

x+2

31 – tg πx|

x

– 27 < 0.

l 2.

§ 19. Логарифмические неравенства Простейшими лоарифмичесими неравенствами называют неравенства вида loga x > b, (1) loga x < b,

Решите неравенство: 1. 4

§ 19. Логарифмические неравенства

· 28.

x–5

1/log 3 5

< 10 · 5

> 30 + 5

13 + 5 .

< 5

.

– 4 < 0.

+ 1 l 0.

де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1). В зависимости от значений a множество решений неравенства (1) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (ab; +×); если 0 < a < 1, то x Ý (0; ab). В зависимости от значений a множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (0; ab); если 0 < a < 1, то x Ý (ab; +×). Множество решений аждоо из нестроих неравенств loga x l b и loga x m b находят а объединение множеств решений соответствующео строоо неравенства и уравнения loga x = b. Неравенство вида (3) loga f(x) > b эвивалентно следующим системам неравенств*: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) > ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) < ab;

.

x–1

x

1+3 x–2

x2

–x

(2)

. x

· 30 .

* В случае, если неравенство (3) нестро ое, вторые неравенства этих систем таже нестро ие.


92 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x

2 y =  --5-  . Для этоо разделим обе части исходноо неравенст 

ва на 25

x

= 5

2x

: 4 x 2 ⋅ 5 x  ----- --------- 25  – 2 –  25  > 0.

x

2 Полаая  --5-  = y, получим неравенство  

y2 – y – 2 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; –1) Ÿ (2; +×). Таим образом, исходное неравенство эвивалентно двум простейшим поазательным неравенствам x 2 x  2 ---  < –1,  ---  > 2.  5   5  Решением первоо неравенства является пустое множество, а решением второо — промежуто (–×; log2/5 2). Ответ. (–×; log2/5 2). x

3. 25

+ 2 –x

5. 2 · 3

+ 5

2x 2

7. 98 – 7

9.

x2 – 3

x

<

2x + 1

+ 6

x2

x 2 + 3x + 4

x 2 + 5x – 49

.

x

x

x2 – 3 – 1

–4· 5 + 25

–1

x+1

–3· 2

.

x

2(13 + 12) –

23 – x

– 2 2 log4 6

4. 4

–7· 2

m 7 · 10 .

+3< 3

x

– x + 0,5

.

l 49

x

2x – 10 – 3 x – 2

13. 25 14. 5

x 2 + 5x – 48

x

1 12.  --4-   

x2 + 2

1 >  --3- 

+ 2 · 25

2. 4

l 50.

+4m 3

13 – 5 m

10. 9 11. 5

x

– 6 m 0.

–x+1

x+4

1 6.  --3- 

8. 5 · 4

x+1

15.

8+2

16.

4

x+1

17. 3

x+1

18. 4

x

19. 20.

3–x+1

–4

3–x

93

+ 2

3–x+1

> 5.

x

+ 17 – 5 > 2 . 9

4x 2

< ----------- . 27

m3· 2

3

2x + 1

3

2x + 2

|3tg πx

x+x

– 3

+ 41 +

x+2

–2· 3

.

+ 6 > 0,

x+2

31 – tg πx|

x

– 27 < 0.

l 2.

§ 19. Логарифмические неравенства Простейшими лоарифмичесими неравенствами называют неравенства вида loga x > b, (1) loga x < b,

Решите неравенство: 1. 4

§ 19. Логарифмические неравенства

· 28.

x–5

1/log 3 5

< 10 · 5

> 30 + 5

13 + 5 .

< 5

.

– 4 < 0.

+ 1 l 0.

де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1). В зависимости от значений a множество решений неравенства (1) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (ab; +×); если 0 < a < 1, то x Ý (0; ab). В зависимости от значений a множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (0; ab); если 0 < a < 1, то x Ý (ab; +×). Множество решений аждоо из нестроих неравенств loga x l b и loga x m b находят а объединение множеств решений соответствующео строоо неравенства и уравнения loga x = b. Неравенство вида (3) loga f(x) > b эвивалентно следующим системам неравенств*: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) > ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) < ab;

.

x–1

x

1+3 x–2

x2

–x

(2)

. x

· 30 .

* В случае, если неравенство (3) нестро ое, вторые неравенства этих систем таже нестро ие.


94 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами а неравенство вида

95

Решите неравенство: loga f(x) < b

(4)

— следующим системам неравенств: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) < ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) > ab.

P(loga x) > 0,

(5)

а таже неравенств P < 0, P l 0, P m 0, де P — мноочлен уазанноо арумента, находят следующим образом. Вводят новое неизвестное y = loga x и решают неравенство (5) а алебраичесое относительно неизвестноо y. После этоо решение исходноо неравенства сводят  решению соответствующих простейших неравенств (1) и (2) или систем этих неравенств. П р и м е р 1. Решить неравенство (*)

Р е ш е н и е. Учитывая, что множеством допустимых значений неравенства (*) является промежуто (0; +×), преобразуем это неравенство  виду

------4. log1/4 ---------------x + 1 < cos 3 .

2x – 1

5. log 2 x + log2 x – 2 m 0. 6. 2 log4 (2x2 + 3) < log2 (x2 + 6). 7. log2

2

x – 2 log 1/4 x + 1 l 0.

8. log1/4 (2x + 3) > log9 27. 9. lg (x – 4) + lg x < lg 21. 1

10. log7 x – logx --7- l 2. 11. log2 [(x – 3)(x + 2)] + log1/2 (x – 3) < – log 1/ 12. log100 x2 + lg2 x < 2. 9

+ 1 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; 1 + log1/2 3) Ÿ (1 – log1/2 3; +×). Таим образом, решения исходноо неравенства определяются условиями 3

log1/2 x < 1 + log1/2 3 _ x > --2- , 1 log1/2 x > 1 – log1/2 3 _ 0 < x < --6- .

1 --- + log 7 – x 9.

2

13. log3 (7 – x) m -----16 log 2

2 4

3

14. log3 x – log 3 x m --2- log 1/ ( 2 2 ) 4. 15. log1/2 (4 – x) l log1/2 2 – log1/2 (x – 1). 3π

sin ------1 4 - > -16. log2 (3 – x) – log2 --------------2 + log2 (x + 7). 5–x

17. 2 log1/4 (x + 5) > --4- log 1/ ( 3

Полаая y = log1/2 x, получаем относительно y неравенство

1 3 Ответ.  0; --6-  Ÿ  --2- ; +×  .    

3 3. log5/8  2x2 – x – --8-  l 1.  

9

(log1/2 x)2 – 2 log1/2 x > (log1/2 3)2 –1.

– 2y – (log1/2

2. log2 ------------x + 2 < 0.

2

(log1/2 x)2 – log1/2 x2 > (log1/2 3)2 – 1.

3)2

x–3

1. log1/2 (2x + 3) > 0.

2

Более сложные лоарифмичесие неравенства сводят  неравенствам вида (1) — (4) методами, аналоичными тем, оторые используются при решении лоарифмичесих уравнений. Та, множество решений неравенства вида

y2

§ 19. Логарифмические неравенства

3)

x

3 –1

x

9 + log

x+5

3

18. log4 (3 – 1) log1/4 ---------------- m --4- . 16 19. log1/2 x m log1/4 x. 20. log3 (3

4x

21. lg |2x +

–3

3|3

2x + 1

+ 3) < 2 log9 7.

+ 2 log ( 2x + 3 )3 10 < 3. log x 4

2 -. 22. logx/2 8 + logx/4 8 < ---------------------------2

log 2 x – 4

23. 8 log2 x – 2x2 > x – 2. 4π

1

24. 2 log4 x – --2- log2 (x2 – 3x + 2) m cos -----3 . 3

25. log4/3 cos x l log4/9 --2- при x Ý (–1; 1).

2.

2

3.


94 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами а неравенство вида

95

Решите неравенство: loga f(x) < b

(4)

— следующим системам неравенств: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) < ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) > ab.

P(loga x) > 0,

(5)

а таже неравенств P < 0, P l 0, P m 0, де P — мноочлен уазанноо арумента, находят следующим образом. Вводят новое неизвестное y = loga x и решают неравенство (5) а алебраичесое относительно неизвестноо y. После этоо решение исходноо неравенства сводят  решению соответствующих простейших неравенств (1) и (2) или систем этих неравенств. П р и м е р 1. Решить неравенство (*)

Р е ш е н и е. Учитывая, что множеством допустимых значений неравенства (*) является промежуто (0; +×), преобразуем это неравенство  виду

------4. log1/4 ---------------x + 1 < cos 3 .

2x – 1

5. log 2 x + log2 x – 2 m 0. 6. 2 log4 (2x2 + 3) < log2 (x2 + 6). 7. log2

2

x – 2 log 1/4 x + 1 l 0.

8. log1/4 (2x + 3) > log9 27. 9. lg (x – 4) + lg x < lg 21. 1

10. log7 x – logx --7- l 2. 11. log2 [(x – 3)(x + 2)] + log1/2 (x – 3) < – log 1/ 12. log100 x2 + lg2 x < 2. 9

+ 1 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; 1 + log1/2 3) Ÿ (1 – log1/2 3; +×). Таим образом, решения исходноо неравенства определяются условиями 3

log1/2 x < 1 + log1/2 3 _ x > --2- , 1 log1/2 x > 1 – log1/2 3 _ 0 < x < --6- .

1 --- + log 7 – x 9.

2

13. log3 (7 – x) m -----16 log 2

2 4

3

14. log3 x – log 3 x m --2- log 1/ ( 2 2 ) 4. 15. log1/2 (4 – x) l log1/2 2 – log1/2 (x – 1). 3π

sin ------1 4 - > -16. log2 (3 – x) – log2 --------------2 + log2 (x + 7). 5–x

17. 2 log1/4 (x + 5) > --4- log 1/ ( 3

Полаая y = log1/2 x, получаем относительно y неравенство

1 3 Ответ.  0; --6-  Ÿ  --2- ; +×  .    

3 3. log5/8  2x2 – x – --8-  l 1.  

9

(log1/2 x)2 – 2 log1/2 x > (log1/2 3)2 –1.

– 2y – (log1/2

2. log2 ------------x + 2 < 0.

2

(log1/2 x)2 – log1/2 x2 > (log1/2 3)2 – 1.

3)2

x–3

1. log1/2 (2x + 3) > 0.

2

Более сложные лоарифмичесие неравенства сводят  неравенствам вида (1) — (4) методами, аналоичными тем, оторые используются при решении лоарифмичесих уравнений. Та, множество решений неравенства вида

y2

§ 19. Логарифмические неравенства

3)

x

3 –1

x

9 + log

x+5

3

18. log4 (3 – 1) log1/4 ---------------- m --4- . 16 19. log1/2 x m log1/4 x. 20. log3 (3

4x

21. lg |2x +

–3

3|3

2x + 1

+ 3) < 2 log9 7.

+ 2 log ( 2x + 3 )3 10 < 3. log x 4

2 -. 22. logx/2 8 + logx/4 8 < ---------------------------2

log 2 x – 4

23. 8 log2 x – 2x2 > x – 2. 4π

1

24. 2 log4 x – --2- log2 (x2 – 3x + 2) m cos -----3 . 3

25. log4/3 cos x l log4/9 --2- при x Ý (–1; 1).

2.

2

3.


96 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 26. log1/2 |x – 3| > –1. log

2

x – 81 + 2

1/2 28. ------------------------------------------------< 1. log x–1 1/2

§ 19. Логарифмические неравенства 40. log

27. log2 ( x + 3 – x – 1) m 0. log

x–1

42. log(x + 6)/3 log2 ------------2 + x > 0.

1/2

1

x

2x 2 – 3x + 3

2x 2 – 3x + 3

- + 1 > log2 ----------------------------------- . log 4 ---------------------------------2 2 2

1 – 1 – 8 log x

2 - < 1. 33. -------------------------------------------2 log x 2

log x

3

1 + 2x

8 2 ------------------------------------ . 34. ----------------------------------log ( 1 + 2x ) m log x 2

2

Лоарифмичесое неравенство вида logg(x) f(x) > c

(6)

(7)

(*)

51. x

2

x – 3 lg x + 1 15 log 2

x2 – x – 2

> 1000. 3

2

· 3

log

x

3

50. (x 2 – x – 1) x

.

< 1.

52.

x1/lg x

2

–1

< 1.

· lg x < 1.

3 54. log cos x 2  --2- – 2x  < log cos x 2 (2x – 1).

x2 – 5x + 6 > 2x, 0 < 2x < 1.

55. (logsin x 2)2 < logsin x (4 sin3 x). 56. tg x – 1 (logtg x (2 + 4 cos2 x) – 2) l 0. 57. log5 sin x > log125 (3 sin x – 2). 58. log sin x +

Решите неравенство: x– 3 ---  2  

(x2 – 10x + 22) > 0.

3

1 Ответ. x Ý  0; --2-  Ÿ (1; 2) Ÿ (3; 6).  

3 cos x

  x2 5x ------ ----2 – 2 + 3  l 0.  

Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:

4

> 0.

37. logx + 4 (5x + 20) m logx + 4 (x + 4)2. 2(x – 2)

( 0,5 x )

53. log|sin x| (x2 – 8x + 23) > ---------------------------log 2 sin x .

Множество решений исходноо неравенства получаем а объединение множеств решений этих двух систем.

38. log1/x ------------------------------------( x + 1 ) ( x – 5 ) l 1.

2

log x (2x 3 ) .

При решении упр. 53 — 58 воспользуйтесь тем, что данное неравенство эвивалентно системе трионометричесих неравенств или системе алебраичесих и трионометричесих неравенств.

Р е ш е н и е. Данное лоарифмичесое неравенство эвивалентно двум системам неравенств:

36. log 2x – x 2

46. logx (2x) m

49. x3 > 2

f(x) > 0, 0 < g(x) < 1, f(x) < (g(x))c.

log2x (x2 – 5x + 6) < 1.

3  35. logx  x2 – -----16  > 4.

45. log|x| ( 9 – x 2 – x – 1) l 1.

48. x lg

П р и м е р 2. Решить неравенство

0 < x2 – 5x + 6 < 2x, 2x > 1;

44. xlg x < 10 · x–lg x + 3.

При решении упр. 49—52 учтите, что выражения, находящиеся в левой и правой частях неравенства, положительны, и это неравенство решается лоарифмированием обеих ео частей по одному и тому же основанию

эвивалентно двум системам неравенств: f(x) > 0, g(x) > 1, f(x) > (g(x))c;

43. log 9x 2 (6 + 2x – x2) m --2- .

47. log log log

(x2 – 3x + 1) l 0.

x+1– x–1

41. log|x + 6| 2 · log2 (x2 – x – 2) l 1.

x+4

1/2 29. -----------------------------------log ( x + 2 ) m 1.

30. log3 5 – 2x · logx 3 < 1. 31. log2 x log x ------2 m 1. 32.

97

  1 39. log x + x –1  x2 + -----2- – 4  l 1. x  



5 --- log 3 ( 12 – 3x )

59. 3 2

– 3 log2 x > 83.

1

60. x – --2- < 2 log5 (x + 2). 61. log

2π 7

2 cos ------- – x + 8

x+5–1 ---------------------------- l 0. 10 – x


96 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 26. log1/2 |x – 3| > –1. log

2

x – 81 + 2

1/2 28. ------------------------------------------------< 1. log x–1 1/2

§ 19. Логарифмические неравенства 40. log

27. log2 ( x + 3 – x – 1) m 0. log

x–1

42. log(x + 6)/3 log2 ------------2 + x > 0.

1/2

1

x

2x 2 – 3x + 3

2x 2 – 3x + 3

- + 1 > log2 ----------------------------------- . log 4 ---------------------------------2 2 2

1 – 1 – 8 log x

2 - < 1. 33. -------------------------------------------2 log x 2

log x

3

1 + 2x

8 2 ------------------------------------ . 34. ----------------------------------log ( 1 + 2x ) m log x 2

2

Лоарифмичесое неравенство вида logg(x) f(x) > c

(6)

(7)

(*)

51. x

2

x – 3 lg x + 1 15 log 2

x2 – x – 2

> 1000. 3

2

· 3

log

x

3

50. (x 2 – x – 1) x

.

< 1.

52.

x1/lg x

2

–1

< 1.

· lg x < 1.

3 54. log cos x 2  --2- – 2x  < log cos x 2 (2x – 1).

x2 – 5x + 6 > 2x, 0 < 2x < 1.

55. (logsin x 2)2 < logsin x (4 sin3 x). 56. tg x – 1 (logtg x (2 + 4 cos2 x) – 2) l 0. 57. log5 sin x > log125 (3 sin x – 2). 58. log sin x +

Решите неравенство: x– 3 ---  2  

(x2 – 10x + 22) > 0.

3

1 Ответ. x Ý  0; --2-  Ÿ (1; 2) Ÿ (3; 6).  

3 cos x

  x2 5x ------ ----2 – 2 + 3  l 0.  

Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:

4

> 0.

37. logx + 4 (5x + 20) m logx + 4 (x + 4)2. 2(x – 2)

( 0,5 x )

53. log|sin x| (x2 – 8x + 23) > ---------------------------log 2 sin x .

Множество решений исходноо неравенства получаем а объединение множеств решений этих двух систем.

38. log1/x ------------------------------------( x + 1 ) ( x – 5 ) l 1.

2

log x (2x 3 ) .

При решении упр. 53 — 58 воспользуйтесь тем, что данное неравенство эвивалентно системе трионометричесих неравенств или системе алебраичесих и трионометричесих неравенств.

Р е ш е н и е. Данное лоарифмичесое неравенство эвивалентно двум системам неравенств:

36. log 2x – x 2

46. logx (2x) m

49. x3 > 2

f(x) > 0, 0 < g(x) < 1, f(x) < (g(x))c.

log2x (x2 – 5x + 6) < 1.

3  35. logx  x2 – -----16  > 4.

45. log|x| ( 9 – x 2 – x – 1) l 1.

48. x lg

П р и м е р 2. Решить неравенство

0 < x2 – 5x + 6 < 2x, 2x > 1;

44. xlg x < 10 · x–lg x + 3.

При решении упр. 49—52 учтите, что выражения, находящиеся в левой и правой частях неравенства, положительны, и это неравенство решается лоарифмированием обеих ео частей по одному и тому же основанию

эвивалентно двум системам неравенств: f(x) > 0, g(x) > 1, f(x) > (g(x))c;

43. log 9x 2 (6 + 2x – x2) m --2- .

47. log log log

(x2 – 3x + 1) l 0.

x+1– x–1

41. log|x + 6| 2 · log2 (x2 – x – 2) l 1.

x+4

1/2 29. -----------------------------------log ( x + 2 ) m 1.

30. log3 5 – 2x · logx 3 < 1. 31. log2 x log x ------2 m 1. 32.

97

  1 39. log x + x –1  x2 + -----2- – 4  l 1. x  



5 --- log 3 ( 12 – 3x )

59. 3 2

– 3 log2 x > 83.

1

60. x – --2- < 2 log5 (x + 2). 61. log

2π 7

2 cos ------- – x + 8

x+5–1 ---------------------------- l 0. 10 – x


98 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции а)

z = log3 y

u = (0,5)z O

z

O

в)

z

б)

1

Рассмотрим неравенства, в оторые входят сложные фунции, состоящие из неоторой омпозиции трансцендентных и алебраичесих фунций. Решение подобных неравенств сводится  последовательному решению простейших неравенств, получающихся при замене арументов сложных фунций новыми переменными. П р и м е р. Решить неравенство

u

y

(0,5)

< 1.

Р е ш е н и е. Полаая z = log3 log1/5

 x2 – 4 ---  , сведем ис5  

v

)

ходное неравенство  простейшему поазательному неравенству относительно z:

1

v = x2 – 4 5 1 5

y = log1/5 v 5

–2 5

z

(0,5) < (0,5)0 _ z > 0. 4 Далее положим y = log1/5  x2 – --5-  и получим неравенство  

log3 y > 0 _ y > 1. 4

Наонец, полаая v = x2 – --5- , имеем 1

log1/5 v > 1 _ 0 < v < --5- . Ита, мы пришли  неравенству, эвивалентному исходному: 1 4 0 < x2 – --5- < --5- .

  2  2  Ответ.  –1; – -------  Ÿ  ------- ; 1  . 5 5     При решении неравенств, рассмотренных в данном примере, полезно проводить рафичесую иллюстрацию аждоо отдельноо этапа решения. На рис. 6, а— представлена рафичесая иллюстрация решения этоо примера. На аждом рисуне изображены рафии фунций, поэтапно получающихся в процессе решения. При этом на вертиаль-

O

–1

v

O 1 1

y

1

4

log 3 log1/5  x 2 – --5-   

99

–4 5

x

1 2 5

Рис. 6 ной оси аждоо рафиа отмечается интересующее нас множество значений очередной простейшей фунции, а на оризонтальной оси ищется соответствующее ему множество значений арумента. Это множество, обозначенное штриховой на оризонтальной оси, на следующем рисуне отмечается на вертиальной оси. Решите неравенство: 1 1.  --2-   

log 2 ( x 2 – 1 )

2 3.  --5-   

log0,25 ( x 2 + 5x + 8 )

5. (0,5)

x+5 x +3

log 1/3 ---------------2

2

2. 5 log 2 x < 1.

> 1. m 2,5.

> 1.

4. (0,5) log5 log0,3 ( x – 0,7 ) < 1. 1 6.  --3-   

10 x + 1 log 1/9  x 2 – -----3  

m 1.

Найдите область определения фунции: 7. y =

x–1

-. log 1/2 ----------------3x + 5 sin x – cos x + 3 2 2

9. y = log2 ---------------------------------------------------- .

8. y = 10. y =

x x –1

-. log 1/2 --------------2

log 1/3 log 3 x – 3 .


98 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции а)

z = log3 y

u = (0,5)z O

z

O

в)

z

б)

1

Рассмотрим неравенства, в оторые входят сложные фунции, состоящие из неоторой омпозиции трансцендентных и алебраичесих фунций. Решение подобных неравенств сводится  последовательному решению простейших неравенств, получающихся при замене арументов сложных фунций новыми переменными. П р и м е р. Решить неравенство

u

y

(0,5)

< 1.

Р е ш е н и е. Полаая z = log3 log1/5

 x2 – 4 ---  , сведем ис5  

v

)

ходное неравенство  простейшему поазательному неравенству относительно z:

1

v = x2 – 4 5 1 5

y = log1/5 v 5

–2 5

z

(0,5) < (0,5)0 _ z > 0. 4 Далее положим y = log1/5  x2 – --5-  и получим неравенство  

log3 y > 0 _ y > 1. 4

Наонец, полаая v = x2 – --5- , имеем 1

log1/5 v > 1 _ 0 < v < --5- . Ита, мы пришли  неравенству, эвивалентному исходному: 1 4 0 < x2 – --5- < --5- .

  2  2  Ответ.  –1; – -------  Ÿ  ------- ; 1  . 5 5     При решении неравенств, рассмотренных в данном примере, полезно проводить рафичесую иллюстрацию аждоо отдельноо этапа решения. На рис. 6, а— представлена рафичесая иллюстрация решения этоо примера. На аждом рисуне изображены рафии фунций, поэтапно получающихся в процессе решения. При этом на вертиаль-

O

–1

v

O 1 1

y

1

4

log 3 log1/5  x 2 – --5-   

99

–4 5

x

1 2 5

Рис. 6 ной оси аждоо рафиа отмечается интересующее нас множество значений очередной простейшей фунции, а на оризонтальной оси ищется соответствующее ему множество значений арумента. Это множество, обозначенное штриховой на оризонтальной оси, на следующем рисуне отмечается на вертиальной оси. Решите неравенство: 1 1.  --2-   

log 2 ( x 2 – 1 )

2 3.  --5-   

log0,25 ( x 2 + 5x + 8 )

5. (0,5)

x+5 x +3

log 1/3 ---------------2

2

2. 5 log 2 x < 1.

> 1. m 2,5.

> 1.

4. (0,5) log5 log0,3 ( x – 0,7 ) < 1. 1 6.  --3-   

10 x + 1 log 1/9  x 2 – -----3  

m 1.

Найдите область определения фунции: 7. y =

x–1

-. log 1/2 ----------------3x + 5 sin x – cos x + 3 2 2

9. y = log2 ---------------------------------------------------- .

8. y = 10. y =

x x –1

-. log 1/2 --------------2

log 1/3 log 3 x – 3 .


100 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Решите неравенство, используя омбинацию рассмотренных методов: 11. log 1 /

5

(6

x+1

x

– 36 ) l –2.

x

13. logx [log2 ( 4 – 6)] m 1. 3x 4 + 4x 5 – 4x 6 · log2 x2 > > 3 3 + 4x – 4x 2 + 4x3 log4 x4.

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами урса элементарной математии. Решение этих задач по существу представляет собой исследование фунций, входящих в уравнение, и последующим решением уравнений или неравенств с числовыми оэффициентами. При решении уравнения (неравенства) с параметрами необходимо выяснить, при аих значениях параметров уравнение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения. П р и м е р 1. Для всех значений a решить неравенство 1

ax > --x- . Р е ш е н и е. Запишем неравенство в виде ax 2 – 1 -------------------- > 0. x

 1  решения системы (*) таовы: x Ý  ------- ; +×  . Если же a m 0, то a  

 1 1  венства ax2 – 1 < 0 являются значения x Ý  – ------- ; -------  , а решеa a    1  ниями системы (**) — значения x Ý  – ------- ; 0  . Если же a m 0, a   то левая часть неравенства ax2 – 1 < 0 отрицательна при любых значениях x, т. е. это неравенство выполняется при всех x Ý R и, следовательно, решениями системы (**) являются значения x Ý (–×; 0). Ответ. Если a m 0, то x Ý (–×; 0);   1   1 если a > 0, то x Ý  – ------- ; 0  Ÿ  ------- ; +×  . a a     Приведем рафичесую иллюстрацию решения примера 1. Для этоо рассмотрим отдельно два случая: a > 0 (рис. 7, а) и a m 0 (рис. 7, б) и для аждоо из них построим рафии фунций, находящихся в левой и правой частях исходноо неравенства. Заштрихованные промежути оси Ox представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.

y

Тода исходное неравенство эвивалентно двум системам неравенств: ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0, (*) (**) x > 0; x < 0.

1

Если a > 0, то оно эвивалентно неравенству x2 > --a- , множество 1 a

решений отороо имеет вид x < – ------- и x > ------- . В этом случае

y y = ax, a > 0 y = ax, a m 0

–1

a

Рассмотрим систему (*). Запишем ее первое неравенство в виде ax2 > 1.

1 a

101

левая часть неравенства ax2 – 1 > 0 отрицательна при любом x и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и система (*). Рассмотрим систему (**). Если a > 0, то решениями нера-

12. log3 log 9/16 (x2 – 4x + 3) m 0.

14. 12x +

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

O 1

a

x

O

а)

б) Рис. 7

x


100 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Решите неравенство, используя омбинацию рассмотренных методов: 11. log 1 /

5

(6

x+1

x

– 36 ) l –2.

x

13. logx [log2 ( 4 – 6)] m 1. 3x 4 + 4x 5 – 4x 6 · log2 x2 > > 3 3 + 4x – 4x 2 + 4x3 log4 x4.

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами урса элементарной математии. Решение этих задач по существу представляет собой исследование фунций, входящих в уравнение, и последующим решением уравнений или неравенств с числовыми оэффициентами. При решении уравнения (неравенства) с параметрами необходимо выяснить, при аих значениях параметров уравнение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения. П р и м е р 1. Для всех значений a решить неравенство 1

ax > --x- . Р е ш е н и е. Запишем неравенство в виде ax 2 – 1 -------------------- > 0. x

 1  решения системы (*) таовы: x Ý  ------- ; +×  . Если же a m 0, то a  

 1 1  венства ax2 – 1 < 0 являются значения x Ý  – ------- ; -------  , а решеa a    1  ниями системы (**) — значения x Ý  – ------- ; 0  . Если же a m 0, a   то левая часть неравенства ax2 – 1 < 0 отрицательна при любых значениях x, т. е. это неравенство выполняется при всех x Ý R и, следовательно, решениями системы (**) являются значения x Ý (–×; 0). Ответ. Если a m 0, то x Ý (–×; 0);   1   1 если a > 0, то x Ý  – ------- ; 0  Ÿ  ------- ; +×  . a a     Приведем рафичесую иллюстрацию решения примера 1. Для этоо рассмотрим отдельно два случая: a > 0 (рис. 7, а) и a m 0 (рис. 7, б) и для аждоо из них построим рафии фунций, находящихся в левой и правой частях исходноо неравенства. Заштрихованные промежути оси Ox представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.

y

Тода исходное неравенство эвивалентно двум системам неравенств: ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0, (*) (**) x > 0; x < 0.

1

Если a > 0, то оно эвивалентно неравенству x2 > --a- , множество 1 a

решений отороо имеет вид x < – ------- и x > ------- . В этом случае

y y = ax, a > 0 y = ax, a m 0

–1

a

Рассмотрим систему (*). Запишем ее первое неравенство в виде ax2 > 1.

1 a

101

левая часть неравенства ax2 – 1 > 0 отрицательна при любом x и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и система (*). Рассмотрим систему (**). Если a > 0, то решениями нера-

12. log3 log 9/16 (x2 – 4x + 3) m 0.

14. 12x +

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

O 1

a

x

O

а)

б) Рис. 7

x


102 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Графичесая иллюстрация облечает решение уравнений и неравенств с параметрами. Приведем пример рафичесоо решения уравнения с параметрами.

5. Для аждоо значения параметра a решите неравенство 2|x – a| < 2ax – x2 – 2. 6. Для аждоо значения параметра a решите неравенство

П р и м е р 2. Для аждоо значения a решить уравнение 2|x| + |a| = x + 1.

O

–1 3

1 x

–1

ственно. При –1 < a < 0 орни находим из уравнений x – a = 1 и –3x – a = 1;

Рис. 8

a+1

они равны x = 1 + a и x = – ------------3 соответ-

ственно. Ответ. Если |a| > 1, то уравнение не имеет решений; если |a| = 1, то x = 0; a–1

если 0 m a < 1, то x = 1 – a и x = -----------3 ; a+1

если –1 < a < 0, то x = 1 + a и x = – ------------3 .

1. Для аждоо значения параметра a решите уравнение |x – a + 1| + |x – 2a| = x. 2. Для аждоо значения параметра a решите неравенство |3x – a| + |2x + a| m 5. 3. Для аждоо действительноо значения параметра a решите уравнение x2 + |x| + a = 0. 4. Для аждоо значения параметра a определите число решений уравнения: а)

a+x +

(*)

Р е ш е н и е. Будем отладывать на оси абсцисс значения x, а на оси ординат — значения a. Тода в оординатной плосости (x, a) еометричесое место точе, оординаты оторых удовлетворяют данному уравнению, образует фиуру, изображенную на рис. 8. Из рисуна видно, что при |a| > 1 уравнение (*) решений не имеет. Если |a| < 1, то аждому значению a соответствуют два орня уравнения, а если |a| = 1 — один орень x = 0. При 0 m a < 1 орни находим из следующих уравнений: a x + a = 1 и –3x + a = 1; 1 a–1 - соответони равны x = 1 – a и x = -----------3

2 x – x 2 = a; б) |x2 – 2x – 3| = a.

103



a – x > a.

7. Найдите все значения a, при оторых неравенство

3 – |x – a| > x2 имеет хотя бы одно отрицательное решение. 8. Для аждоо значения параметра a решите уравнение x

x

a(2 – 2) + 1 = 1 – 2 . 9. Для аждоо значения параметра a решите уравнение 144|x| – 2 · 12|x| + a = 0. 10. Найдите все значения параметра a, при оторых уравнение x

3

log3 (9 + 9a ) = x имеет два решения. 11. Найдите все значения параметра c, при оторых неравенство 7 1 + log2  2x2 + 2x + --2-  l log2 (cx2 + c)   имеет хотя бы одно решение. 12. Найдите все значения a, при оторых неравенство log a(a + 1) (|x| + 4) > 1 выполняется для любоо значения x. 13. Найдите все значения a, при оторых неравенство loga/(a + 1) (x2 + 2) > 1 выполняется для любоо значения x. 14. Найдите все таие значения x, по модулю меньшие 3, оторые при всех a l 5 удовлетворяют неравенству log 2a – x 2 (x – 2ax) > 1. 15. Найдите все значения x > 1, оторые при всех b, удовлетворяющих условию 0 < b m 2, являются решениями неравенства log ( x 2 + x )/b (x + 2b – 1) < 1. 16. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для оторых при всех x справедливо равенство aex + b = eax + b.


102 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Графичесая иллюстрация облечает решение уравнений и неравенств с параметрами. Приведем пример рафичесоо решения уравнения с параметрами.

5. Для аждоо значения параметра a решите неравенство 2|x – a| < 2ax – x2 – 2. 6. Для аждоо значения параметра a решите неравенство

П р и м е р 2. Для аждоо значения a решить уравнение 2|x| + |a| = x + 1.

O

–1 3

1 x

–1

ственно. При –1 < a < 0 орни находим из уравнений x – a = 1 и –3x – a = 1;

Рис. 8

a+1

они равны x = 1 + a и x = – ------------3 соответ-

ственно. Ответ. Если |a| > 1, то уравнение не имеет решений; если |a| = 1, то x = 0; a–1

если 0 m a < 1, то x = 1 – a и x = -----------3 ; a+1

если –1 < a < 0, то x = 1 + a и x = – ------------3 .

1. Для аждоо значения параметра a решите уравнение |x – a + 1| + |x – 2a| = x. 2. Для аждоо значения параметра a решите неравенство |3x – a| + |2x + a| m 5. 3. Для аждоо действительноо значения параметра a решите уравнение x2 + |x| + a = 0. 4. Для аждоо значения параметра a определите число решений уравнения: а)

a+x +

(*)

Р е ш е н и е. Будем отладывать на оси абсцисс значения x, а на оси ординат — значения a. Тода в оординатной плосости (x, a) еометричесое место точе, оординаты оторых удовлетворяют данному уравнению, образует фиуру, изображенную на рис. 8. Из рисуна видно, что при |a| > 1 уравнение (*) решений не имеет. Если |a| < 1, то аждому значению a соответствуют два орня уравнения, а если |a| = 1 — один орень x = 0. При 0 m a < 1 орни находим из следующих уравнений: a x + a = 1 и –3x + a = 1; 1 a–1 - соответони равны x = 1 – a и x = -----------3

2 x – x 2 = a; б) |x2 – 2x – 3| = a.

103



a – x > a.

7. Найдите все значения a, при оторых неравенство

3 – |x – a| > x2 имеет хотя бы одно отрицательное решение. 8. Для аждоо значения параметра a решите уравнение x

x

a(2 – 2) + 1 = 1 – 2 . 9. Для аждоо значения параметра a решите уравнение 144|x| – 2 · 12|x| + a = 0. 10. Найдите все значения параметра a, при оторых уравнение x

3

log3 (9 + 9a ) = x имеет два решения. 11. Найдите все значения параметра c, при оторых неравенство 7 1 + log2  2x2 + 2x + --2-  l log2 (cx2 + c)   имеет хотя бы одно решение. 12. Найдите все значения a, при оторых неравенство log a(a + 1) (|x| + 4) > 1 выполняется для любоо значения x. 13. Найдите все значения a, при оторых неравенство loga/(a + 1) (x2 + 2) > 1 выполняется для любоо значения x. 14. Найдите все таие значения x, по модулю меньшие 3, оторые при всех a l 5 удовлетворяют неравенству log 2a – x 2 (x – 2ax) > 1. 15. Найдите все значения x > 1, оторые при всех b, удовлетворяющих условию 0 < b m 2, являются решениями неравенства log ( x 2 + x )/b (x + 2b – 1) < 1. 16. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для оторых при всех x справедливо равенство aex + b = eax + b.


104 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Мноие задачи на решение уравнений и неравенств с параметрами связаны с определением расположения орней вадратноо трехчлена y = ax2 + bx + c на действительной оси. При решении этих задач следует учитывать, что если вадратный трехчлен y = ax2 + bx + c имеет два действительных орня x1 и x2 (x1 < x2), то при a > 0 фунция y(x) принимает отрицательные значения на промежуте (x1; x2) и положительные значения вне промежута [x1; x2]; при a < 0 — положительные значения на промежуте (x1; x2) и отрицательные значения вне промежута [x1; x2]. Поэтому для тоо чтобы выяснить (не находя

третье обеспечивают расположение точи x = 3 вне промежута (x1; x2) справа от нео.

орней уравнения ax2 + bx + c = 0), принадлежит ли произвольное число α промежуту (x1; x2), достаточно установить зна

действительны и больше чем 3. 18. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо уравнения

выражения aα2 + bα + c и зна оэффициента a. Та, если a > 0 и aα2 + bα + c > 0, то α находится вне промежута [x1; x2]. Если известно, что число α не находится между орнями x1 и x2, то для тоо чтобы выяснить, по аую сторону от промежута (x1; x2) (справа или слева) лежит число α, достаточно сравнить ео с неоторым числом, заведомо принадлежащим a

уазанному промежуту, например с выражением – -----2b , являющимся абсциссой вершины параболы y = ax2 + bx + c. П р и м е р 3. При аих значениях параметра a оба орня уравнения x2 + ax – 1 = 0 меньше чем 3? Ответ на этот вопрос следует дать, не вычисляя орни уравнения. Р е ш е н и е. Рассмотрим вадратичную фунцию y = x2 + + ax – 1, входящую в левую часть уравнения. Та а оэффициент при x2 равен 1, то ветви параболы направлены вверх. Для тоо чтобы орни уравнения x1 и x2 (x1 m x2) были меньше чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее промежута (x1; x2). Условия, при оторых будет выполнено это требование, определяются следующей системой неравенств: a2 + 4 l 0, 9 + 3a – 1 > 0, a – --2- < 3.

(*)

Первое неравенство ( оторое выполняется при всех значениях a) арантирует существование действительных орней, второе и

105

8 Решив систему неравенств (*), получаем a Ý  – --3- ; +×  .   8 Ответ. a Ý  – --3- ; +×  .  

17. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо трехчлена x2 – 6ax + (2 – 2a + 9a2)

x2 – ax + 2 = 0 действительны и принадлежат промежуту (0; 3). Одно неравенство является следствием друоо, если множество решений первоо неравенства целиом содержит множество решений второо. Например, если x удовлетворяет неравенству | x | < 2, то x2 < 5, т. е. неравенство x2 < 5 является следствием неравенства | x | < 2. Действительно, множество решений (– 5 ; 5 ) неравенства x2 < 5 целиом содержит множество решений (–2; 2) неравенства | x | < 2. 19. При аих действительных значениях m неравенство x2 + mx + m2 + 6m < 0 выполняется для любых x Ý (1; 2)? 20. Найдите все значения m, при оторых неравенство mx2 – 4x + 3m + 1 > 0 выполнено для всех x > 0. 21. При аих действительных значениях m из неравенства x2 – (3m + 1)x + m > 0 следует неравенство x > 1? 22. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства ax2 – x + 1 – a < 0 следует неравенство 0 < x < 1. 23. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства 0 m x m 1 следует неравенство (a2 + a – 2)x2 – (a + 5)x – 2 m 0.


104 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Мноие задачи на решение уравнений и неравенств с параметрами связаны с определением расположения орней вадратноо трехчлена y = ax2 + bx + c на действительной оси. При решении этих задач следует учитывать, что если вадратный трехчлен y = ax2 + bx + c имеет два действительных орня x1 и x2 (x1 < x2), то при a > 0 фунция y(x) принимает отрицательные значения на промежуте (x1; x2) и положительные значения вне промежута [x1; x2]; при a < 0 — положительные значения на промежуте (x1; x2) и отрицательные значения вне промежута [x1; x2]. Поэтому для тоо чтобы выяснить (не находя

третье обеспечивают расположение точи x = 3 вне промежута (x1; x2) справа от нео.

орней уравнения ax2 + bx + c = 0), принадлежит ли произвольное число α промежуту (x1; x2), достаточно установить зна

действительны и больше чем 3. 18. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо уравнения

выражения aα2 + bα + c и зна оэффициента a. Та, если a > 0 и aα2 + bα + c > 0, то α находится вне промежута [x1; x2]. Если известно, что число α не находится между орнями x1 и x2, то для тоо чтобы выяснить, по аую сторону от промежута (x1; x2) (справа или слева) лежит число α, достаточно сравнить ео с неоторым числом, заведомо принадлежащим a

уазанному промежуту, например с выражением – -----2b , являющимся абсциссой вершины параболы y = ax2 + bx + c. П р и м е р 3. При аих значениях параметра a оба орня уравнения x2 + ax – 1 = 0 меньше чем 3? Ответ на этот вопрос следует дать, не вычисляя орни уравнения. Р е ш е н и е. Рассмотрим вадратичную фунцию y = x2 + + ax – 1, входящую в левую часть уравнения. Та а оэффициент при x2 равен 1, то ветви параболы направлены вверх. Для тоо чтобы орни уравнения x1 и x2 (x1 m x2) были меньше чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее промежута (x1; x2). Условия, при оторых будет выполнено это требование, определяются следующей системой неравенств: a2 + 4 l 0, 9 + 3a – 1 > 0, a – --2- < 3.

(*)

Первое неравенство ( оторое выполняется при всех значениях a) арантирует существование действительных орней, второе и

105

8 Решив систему неравенств (*), получаем a Ý  – --3- ; +×  .   8 Ответ. a Ý  – --3- ; +×  .  

17. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо трехчлена x2 – 6ax + (2 – 2a + 9a2)

x2 – ax + 2 = 0 действительны и принадлежат промежуту (0; 3). Одно неравенство является следствием друоо, если множество решений первоо неравенства целиом содержит множество решений второо. Например, если x удовлетворяет неравенству | x | < 2, то x2 < 5, т. е. неравенство x2 < 5 является следствием неравенства | x | < 2. Действительно, множество решений (– 5 ; 5 ) неравенства x2 < 5 целиом содержит множество решений (–2; 2) неравенства | x | < 2. 19. При аих действительных значениях m неравенство x2 + mx + m2 + 6m < 0 выполняется для любых x Ý (1; 2)? 20. Найдите все значения m, при оторых неравенство mx2 – 4x + 3m + 1 > 0 выполнено для всех x > 0. 21. При аих действительных значениях m из неравенства x2 – (3m + 1)x + m > 0 следует неравенство x > 1? 22. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства ax2 – x + 1 – a < 0 следует неравенство 0 < x < 1. 23. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства 0 m x m 1 следует неравенство (a2 + a – 2)x2 – (a + 5)x – 2 m 0.


106 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

24. Найдите все значения a, при оторых справедливо неравенство 2x2 – 4a2x – a2 + 1 > 0

33. Определите все значения a, при аждом из оторых уравнение cos4 x – (a + 2) cos2 x – (a + 3) = 0

для любых | x | < 1. 25. Найдите все значения параметра a, при оторых орни уравнения x2 + x + a = 0

имеет решения, и найдите эти решения. 34. При аих значениях параметра a уравнение

действительны и больше a. 26. Найдите все значения a, при оторых неравенство

sin2 x + (a2 – 3) sin 4x + a2 – 4 = 0 имеет четыре орня, расположенных на отрезе

x – 2a – 1 --------------------------- < 0 x–a

27. Найдите все решения неравенства a2 – 9

x+1

–8· 3

x

· a > 0.

28. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x 4 –α· 2 –α+3m0 имеет хотя бы одно решение. 29. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x α · 9 + 4(α – 1) · 3 + α > 1

b + sin x b cos x -------------------------------- = ------------------------------------------------------------2 cos 2x – 1 ( cos 2 x – 3 sin 2 x ) tg x

имеет решения? Найдите эти решения. 36. Для аждоо значения параметра a решите уравнение log|sin x| 2 · log sin 2 x 3 = a. 37. Для аждоо значения параметра a > 0 решите неравенство xsin x – a > 1 π при условии, что x Ý  0; --2-  .  

38. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для аждой из оторых при всех x справедливо равенство a(cos x – 1) + b2 = cos (ax + b2) – 1.

справедливо для всех x.

39. Определите, при аих целых значениях k система

При решении упр. 30—40 учтите, что в процессе сведения трионометричесих уравнений и неравенств  рациональным использование подстанови y = sin x или y = cos x предполаает выполнение неравенства | y | m 1. 30. Для аждоо действительноо числа a решите уравнение sin x + cos (a + x) + cos (a – x) = 2. 31. Для аждоо значения параметра a решите уравнение (lg sin x)2 – 2a lg sin x – a2 + 2 = 0. 32. Найдите все значения b, при аждом из оторых неравенство cos2 x + 2b sin x – 2b < b2 – 4 выполняется для любоо числа x.

3π ------- ; 2π ? 2

35. При аих значениях b уравнение

выполняется для x таих, что 1 m x m 2. При решении упр. 27—29 воспользуйтесь тем, что лоарифмичесие и поазательные неравенства, содержащие параметр, с помощью замены переменной сводятся  вадратным неравенствам.

107

π2

(arctg x)2 + (arccos y)2 = ----k , π 2

arctg x + arccos y = --имеет решения, и найдите все эти решения. 40. Найдите все значения a, при оторых уравнения a cos 2x + | a | cos 4x + cos 6x = 1 и 1

sin x cos 2x = sin 2x cos 3x – --2- sin 5x эвивалентны.


106 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

24. Найдите все значения a, при оторых справедливо неравенство 2x2 – 4a2x – a2 + 1 > 0

33. Определите все значения a, при аждом из оторых уравнение cos4 x – (a + 2) cos2 x – (a + 3) = 0

для любых | x | < 1. 25. Найдите все значения параметра a, при оторых орни уравнения x2 + x + a = 0

имеет решения, и найдите эти решения. 34. При аих значениях параметра a уравнение

действительны и больше a. 26. Найдите все значения a, при оторых неравенство

sin2 x + (a2 – 3) sin 4x + a2 – 4 = 0 имеет четыре орня, расположенных на отрезе

x – 2a – 1 --------------------------- < 0 x–a

27. Найдите все решения неравенства a2 – 9

x+1

–8· 3

x

· a > 0.

28. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x 4 –α· 2 –α+3m0 имеет хотя бы одно решение. 29. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x α · 9 + 4(α – 1) · 3 + α > 1

b + sin x b cos x -------------------------------- = ------------------------------------------------------------2 cos 2x – 1 ( cos 2 x – 3 sin 2 x ) tg x

имеет решения? Найдите эти решения. 36. Для аждоо значения параметра a решите уравнение log|sin x| 2 · log sin 2 x 3 = a. 37. Для аждоо значения параметра a > 0 решите неравенство xsin x – a > 1 π при условии, что x Ý  0; --2-  .  

38. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для аждой из оторых при всех x справедливо равенство a(cos x – 1) + b2 = cos (ax + b2) – 1.

справедливо для всех x.

39. Определите, при аих целых значениях k система

При решении упр. 30—40 учтите, что в процессе сведения трионометричесих уравнений и неравенств  рациональным использование подстанови y = sin x или y = cos x предполаает выполнение неравенства | y | m 1. 30. Для аждоо действительноо числа a решите уравнение sin x + cos (a + x) + cos (a – x) = 2. 31. Для аждоо значения параметра a решите уравнение (lg sin x)2 – 2a lg sin x – a2 + 2 = 0. 32. Найдите все значения b, при аждом из оторых неравенство cos2 x + 2b sin x – 2b < b2 – 4 выполняется для любоо числа x.

3π ------- ; 2π ? 2

35. При аих значениях b уравнение

выполняется для x таих, что 1 m x m 2. При решении упр. 27—29 воспользуйтесь тем, что лоарифмичесие и поазательные неравенства, содержащие параметр, с помощью замены переменной сводятся  вадратным неравенствам.

107

π2

(arctg x)2 + (arccos y)2 = ----k , π 2

arctg x + arccos y = --имеет решения, и найдите все эти решения. 40. Найдите все значения a, при оторых уравнения a cos 2x + | a | cos 4x + cos 6x = 1 и 1

sin x cos 2x = sin 2x cos 3x – --2- sin 5x эвивалентны.


108 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 41. Определите, при аих значениях a уравнение a x – --2- = 4 |4|x | – a2|

имеет три орня. Найдите эти орни. 42. Найдите все значения a, при оторых уравнение |1 – ax| = 1 + (1 – 2a)x + ax2 имеет одно решение. 43. Решите уравнение |x + 3| – a|x – 1| = 4 и найдите, при аих значениях a оно имеет два решения.

§ 22. Доказательство неравенств

109

6. Доажите, что x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 l 0. Использование неравенства Коши. Средним арифметичесa + a + ... + a

1 2 n , а средним им чисел a1, ..., an называют число ---------------------------------------------n

еометричесим неотрицательных чисел a1, a2, ..., an называют число

n

a 1 a 2 ...a n .

Решение неоторых неравенств опирается на следующее неравенство Коши, справедливое для любоо набора неотрицательных чисел a1, ..., an: a 1 + a 2 + ... + a n ---------------------------------------------- l n a a ...a . 1 2 n n

§ 22. Доказательство неравенств Свед+ение очевидном неравенств. П р и м е р 1. Доазать, что при a l 0, b l 0, c l 0 справедливо неравенство ab + ac + bc m a2 + b2 + c2. Р е ш е н и е. Умножив обе части неравенства на 2, получим

П р и м е р 2. Доазать, что если a + b + c = 1 и a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 --- + --- + --- l 9. c b a

Р е ш е н и е. Та а a + b + c = 1, то, используя неравенство Коши, залючаем, что a+b+c ----------------------- l 3 abc , 3

2ab + 2ac + 2bc m 2a2 + 2b2 + 2c2. Сруппируем теперь члены неравенства следующим образом: или

a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + a2 – 2ac + c2 l 0, (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 l 0.

Мы пришли  очевидному неравенству. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то справедливо неравенство: 1. a3 + b3 + c3 l 3abc. 3

3

3

a +b a+b - l  -------------  . 2. -----------------2  2 

3. a2 + b2 + c2 + 3 l 2(a + b + c). 4. Доажите, что x2 + 4y2 + 3x2 + 14 – 2x – 12y – 6z > 0. 5. Доажите, что x2 + y2 + z2 + u2 + a2 + a(x + y + z + u) l 0.

(1)

или

1 --------------- l 3. 3 abc

(*) 1

1

1

Воспользовавшись теперь неравенством Коши для чисел --a- , --b- , --c- , получаем

1 1 1 --- + --- + --1 a b c ------------------------- l --------------- . 3 3 abc

Наонец, учитывая неравенство (*), оончательно убеждаемся в справедливости исходноо неравенства. 7. Доажите, что (a + b) (b + c) (c + a) l 8abc, де a, b, c — неотрицательные числа. 8. Доажите, что если p > 0 и q > 0, то (p + q) (p + 2) (q + 2) l 16pq. 9. Доажите, что если x > 0, то 1

x + --x- > 2.


108 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 41. Определите, при аих значениях a уравнение a x – --2- = 4 |4|x | – a2|

имеет три орня. Найдите эти орни. 42. Найдите все значения a, при оторых уравнение |1 – ax| = 1 + (1 – 2a)x + ax2 имеет одно решение. 43. Решите уравнение |x + 3| – a|x – 1| = 4 и найдите, при аих значениях a оно имеет два решения.

§ 22. Доказательство неравенств

109

6. Доажите, что x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 l 0. Использование неравенства Коши. Средним арифметичесa + a + ... + a

1 2 n , а средним им чисел a1, ..., an называют число ---------------------------------------------n

еометричесим неотрицательных чисел a1, a2, ..., an называют число

n

a 1 a 2 ...a n .

Решение неоторых неравенств опирается на следующее неравенство Коши, справедливое для любоо набора неотрицательных чисел a1, ..., an: a 1 + a 2 + ... + a n ---------------------------------------------- l n a a ...a . 1 2 n n

§ 22. Доказательство неравенств Свед+ение очевидном неравенств. П р и м е р 1. Доазать, что при a l 0, b l 0, c l 0 справедливо неравенство ab + ac + bc m a2 + b2 + c2. Р е ш е н и е. Умножив обе части неравенства на 2, получим

П р и м е р 2. Доазать, что если a + b + c = 1 и a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 --- + --- + --- l 9. c b a

Р е ш е н и е. Та а a + b + c = 1, то, используя неравенство Коши, залючаем, что a+b+c ----------------------- l 3 abc , 3

2ab + 2ac + 2bc m 2a2 + 2b2 + 2c2. Сруппируем теперь члены неравенства следующим образом: или

a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + a2 – 2ac + c2 l 0, (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 l 0.

Мы пришли  очевидному неравенству. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то справедливо неравенство: 1. a3 + b3 + c3 l 3abc. 3

3

3

a +b a+b - l  -------------  . 2. -----------------2  2 

3. a2 + b2 + c2 + 3 l 2(a + b + c). 4. Доажите, что x2 + 4y2 + 3x2 + 14 – 2x – 12y – 6z > 0. 5. Доажите, что x2 + y2 + z2 + u2 + a2 + a(x + y + z + u) l 0.

(1)

или

1 --------------- l 3. 3 abc

(*) 1

1

1

Воспользовавшись теперь неравенством Коши для чисел --a- , --b- , --c- , получаем

1 1 1 --- + --- + --1 a b c ------------------------- l --------------- . 3 3 abc

Наонец, учитывая неравенство (*), оончательно убеждаемся в справедливости исходноо неравенства. 7. Доажите, что (a + b) (b + c) (c + a) l 8abc, де a, b, c — неотрицательные числа. 8. Доажите, что если p > 0 и q > 0, то (p + q) (p + 2) (q + 2) l 16pq. 9. Доажите, что если x > 0, то 1

x + --x- > 2.


110 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 10. Доажите, что 1 1 1+ 1 ---   1 + ---   1 + ---  l 64, a  b  c  

де a, b, c — положительные числа и a + b + c = 1. 11. Доажите, что

§ 22. Доказательство неравенств

Использование метода математичес ой инд ции. Если требуется установить справедливость неотороо неравенства сразу для всех членов двух последовательностей an и bn, то удобно использовать метод математичесой индуции (см. л. 16, § 90). П р и м е р 3. Доазать, что

n

n! > 2

(1 + a1) (1 + a2) · ... · (1 + an) l 2 , де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 12. Доажите, что a1 + a2 + ... + an l n, де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 13. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 (a + b + c)  --a- + --b- + --c-  > 9.

111

n–1

,

если n > 2.

Р е ш е н и е. Воспользуемся методом математичесой индуции. Сначала убедимся в том, что при n = 3 утверждение справедливо. Действительно, 3! > 22, та а 3! = 6, 22 = 4. Далее удобно воспользоваться следующим утверждением: если при всех k, больших неоторо о N, выполняется неравенство ak + 1 bk + 1 -------------- > ------------- , ak bk

де ak и bk — k-е члены сравниваемых последовательностей, то ak + 1 ak -------------- > ------ . bk + 1 bk

14. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то (bc + ca + ab)2 > 3ab(a + b + c). 15. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то  1 1 1  2 ----------(a1 + a2 + ... + an)  ----a 1 + a 2 + ... + a n  l n .   16. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то a1 a2 an ------ + ------ + ... + ------ l n. a2 a3 a1

тельно, можно утверждать, что ak > bk при всех k > N. Используем этот подход в рассматриваемом случае. Имеем a

ak = k!,

k+1 - = k + 1, ak + 1 = (k + 1)! ^ ------------a

b k = 2 k – 1,

k+1 - = 2, bk + 1 = 2k ^ -----------b

k

b

k

k + 1 > 2,

17. Доажите, что n + 1 n n! <  ------------2  ,

ab

n

a + nb < ----------------n+1 ,

если

k > 2.

a

k+1 - > 1 при всех k l 2, т. е. треТаим образом, доазано, что ------------b k+1

буемое неравенство установлено.

де n — натуральное число, n l 2. 18. Доажите, что n+1

ak

Соласно индутивному предположению, ----b k > 1. Следова-

n Ý N,

де a, b — положительные числа, a − b.

Инода метод математичесой индуции удобнее применять в следующем виде: если для неотороо N справедливо неравенство aN > bN и при всех k l N — неравенство ak + 1 – ak > > bk + 1 – bk, то при всех k > N выполняется неравенство ak > bk.


110 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 10. Доажите, что 1 1 1+ 1 ---   1 + ---   1 + ---  l 64, a  b  c  

де a, b, c — положительные числа и a + b + c = 1. 11. Доажите, что

§ 22. Доказательство неравенств

Использование метода математичес ой инд ции. Если требуется установить справедливость неотороо неравенства сразу для всех членов двух последовательностей an и bn, то удобно использовать метод математичесой индуции (см. л. 16, § 90). П р и м е р 3. Доазать, что

n

n! > 2

(1 + a1) (1 + a2) · ... · (1 + an) l 2 , де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 12. Доажите, что a1 + a2 + ... + an l n, де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 13. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 (a + b + c)  --a- + --b- + --c-  > 9.

111

n–1

,

если n > 2.

Р е ш е н и е. Воспользуемся методом математичесой индуции. Сначала убедимся в том, что при n = 3 утверждение справедливо. Действительно, 3! > 22, та а 3! = 6, 22 = 4. Далее удобно воспользоваться следующим утверждением: если при всех k, больших неоторо о N, выполняется неравенство ak + 1 bk + 1 -------------- > ------------- , ak bk

де ak и bk — k-е члены сравниваемых последовательностей, то ak + 1 ak -------------- > ------ . bk + 1 bk

14. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то (bc + ca + ab)2 > 3ab(a + b + c). 15. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то  1 1 1  2 ----------(a1 + a2 + ... + an)  ----a 1 + a 2 + ... + a n  l n .   16. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то a1 a2 an ------ + ------ + ... + ------ l n. a2 a3 a1

тельно, можно утверждать, что ak > bk при всех k > N. Используем этот подход в рассматриваемом случае. Имеем a

ak = k!,

k+1 - = k + 1, ak + 1 = (k + 1)! ^ ------------a

b k = 2 k – 1,

k+1 - = 2, bk + 1 = 2k ^ -----------b

k

b

k

k + 1 > 2,

17. Доажите, что n + 1 n n! <  ------------2  ,

ab

n

a + nb < ----------------n+1 ,

если

k > 2.

a

k+1 - > 1 при всех k l 2, т. е. треТаим образом, доазано, что ------------b k+1

буемое неравенство установлено.

де n — натуральное число, n l 2. 18. Доажите, что n+1

ak

Соласно индутивному предположению, ----b k > 1. Следова-

n Ý N,

де a, b — положительные числа, a − b.

Инода метод математичесой индуции удобнее применять в следующем виде: если для неотороо N справедливо неравенство aN > bN и при всех k l N — неравенство ak + 1 – ak > > bk + 1 – bk, то при всех k > N выполняется неравенство ak > bk.


112 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Доажите неравенство: 19. 2

n

(n l 5). n–1

n

> (n + 1)

n

> n3 (n − 3).

20. n 21. 3

> n2 + 2

n 22.  --2-   

(n l 2). Напомним основные формулы трионометрии.

n

> n!

(n l 6).

Формлы, связывающие трионометричес ие фн ции одноо и тоо же армента

3

1

1

1

---------------------23. ------------n + 1 + n + 2 + ... + 2n > 5 . 1

1

1

1

24. -----2- + -----2- ... + -----2- < 1 – --n2 3 n

sin2 α + cos2 α = 1,

(n l 2).

sin α

tg α = ------------cos α ,

1 1 1 25. 2( n + 1 – 1) < 1 + ------- + ------- + ... + ------- < 2 n . 2 3 n

1

sec α = ------------cos α ,

1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 1 ) 26. --------------------------------------------------------m ---------------------- . 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ ( 2n ) 2n + 1 1 27.  1 + --n- 

1

tg α = ------------ctg α ,

n

< 3.

1 + tg2 α = sec2 α,

1 1 28. lg  1 + --n-  < --n- .

29. (n!)2 <

( n + 1 ) ( 2n + 1 ) -----------------------------------------6

cos α

ctg α = ------------sin α , 1

cosec α = -----------sin α , 1

ctg α = ---------tg α ,

1 + ctg2 α = cosec2 α.

Формлы сложения двх арментов sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β, cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β, cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β,

n

.

n n 30. n! >  --e-  . 1 31. Доажите, что последовательность xn =  1 + --n- 

тонно возрастает.

Глава 5 Тригонометрия

tg α + tg β

tg (α + β) = -------------------------------1 – tg α tg β ,

n

моно-

ctg α ctg β – 1

ctg (α + β) = -------------------------------------ctg β + ctg α ,

tg α – tg β

tg (α – β) = --------------------------------1 + tg α tg β , ctg α ctg β + 1

ctg (α – β) = --------------------------------------ctg β – ctg α .

Формлы двойноо и половинноо арментов sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α – sin2 α, 2 tg α 1 – tg α

-, tg 2α = ----------------------2 α 2 tg --2 sin α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2

α 1 – tg 2 --2 cos α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2


112 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Доажите неравенство: 19. 2

n

(n l 5). n–1

n

> (n + 1)

n

> n3 (n − 3).

20. n 21. 3

> n2 + 2

n 22.  --2-   

(n l 2). Напомним основные формулы трионометрии.

n

> n!

(n l 6).

Формлы, связывающие трионометричес ие фн ции одноо и тоо же армента

3

1

1

1

---------------------23. ------------n + 1 + n + 2 + ... + 2n > 5 . 1

1

1

1

24. -----2- + -----2- ... + -----2- < 1 – --n2 3 n

sin2 α + cos2 α = 1,

(n l 2).

sin α

tg α = ------------cos α ,

1 1 1 25. 2( n + 1 – 1) < 1 + ------- + ------- + ... + ------- < 2 n . 2 3 n

1

sec α = ------------cos α ,

1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 1 ) 26. --------------------------------------------------------m ---------------------- . 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ ( 2n ) 2n + 1 1 27.  1 + --n- 

1

tg α = ------------ctg α ,

n

< 3.

1 + tg2 α = sec2 α,

1 1 28. lg  1 + --n-  < --n- .

29. (n!)2 <

( n + 1 ) ( 2n + 1 ) -----------------------------------------6

cos α

ctg α = ------------sin α , 1

cosec α = -----------sin α , 1

ctg α = ---------tg α ,

1 + ctg2 α = cosec2 α.

Формлы сложения двх арментов sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β, cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β, cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β,

n

.

n n 30. n! >  --e-  . 1 31. Доажите, что последовательность xn =  1 + --n- 

тонно возрастает.

Глава 5 Тригонометрия

tg α + tg β

tg (α + β) = -------------------------------1 – tg α tg β ,

n

моно-

ctg α ctg β – 1

ctg (α + β) = -------------------------------------ctg β + ctg α ,

tg α – tg β

tg (α – β) = --------------------------------1 + tg α tg β , ctg α ctg β + 1

ctg (α – β) = --------------------------------------ctg β – ctg α .

Формлы двойноо и половинноо арментов sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α – sin2 α, 2 tg α 1 – tg α

-, tg 2α = ----------------------2 α 2 tg --2 sin α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2

α 1 – tg 2 --2 cos α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2


114

Г л а в а 5. Тригонометрия α

1 + cos α = 2 cos2 --2, 1 – cos α

α

-----------------------tg2 --2 = 1 + cos α ,

α

1 – cos α

----------------------------------------------tg --2 = 1 + cos α = sin α .

Формлы сложения трионометричес их фн ций α+β

α–β

α–β

α+β

2(sin6 α + cos6 α) – 3(sin4 α + cos4 α) + 1 = 0. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2),

α–β α+β ------------cos α + cos β = 2 cos ------------2 cos 2 ,

полаая в ней x = sin2 α, y = cos2 α. Тода получим sin6 α + cos6 α = (sin2 α + cos2 α) (sin4 α – sin2 α cos2 α + cos4 α).

β–α

------------cos α – cos β = 2 sin ------------2 sin 2 ,

sin ( α + β )

ctg α + ctg β = ---------------------------sin α sin β ,

Используя тождество

sin ( α – β ) tg α – tg β = --------------------------sin α sin β ,

sin2 α + cos2 α = 1,

sin ( β – α )

ctg α – ctg β = --------------------------sin α sin β ,

Формлы преобразования произведения в смм 1 sin α sin β = --2- [cos (α – β) – cos (α + β)],

(**)

преобразуем левую часть равенства (*)  виду 2 sin4 α – 2 sin2 α cos2 α + 2 cos4 α – 3 sin4 α – 3 cos4 α + 1. Приведя подобные члены, получаем 1 – 2 sin2 α cos2 α – sin4 α – cos4 α.

1

sin4 α + 2 sin2 α cos2 α + cos4 α = 1, т. е. тождество (*) доазано.

1

sin α cos β = --2- [sin (α – β) + sin (α + β)].

Доажите тождество: 3

1. sin6 α + cos6 α = 1 – --4- sin2 2α.

Формлы приведения

1 + sin 2α + cos 2α

sin cos tg ctg

(***)

Чтобы убедиться в том, что выражение (***) тождественно равно нулю, возведем обе части равенств (**) в вадрат. Имеем

cos α cos β = --2- [cos (α – β) + cos (α + β)],

Наименование фун ции

(*)

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой суммы убов:

-------------sin α – sin β = 2 sin -----------2 cos 2 ,

sin ( α + β ) tg α + tg β = ---------------------------cos α cos β ,

При доазательстве трионометричесих тождеств используют формулы соращенноо умножения и формулы, связывающие между собой основные трионометричесие фунции. П р и м е р. Доазать тождество

------------sin α + sin β = 2 sin ------------2 cos 2 ,

α+β

115

§ 23. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

α

1 – cos α = 2 sin2 --2, sin α

§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений

2. ---------------------------------------------------1 + sin 2α – cos 2α = ctg α.

Значение арумента –α

π --- – α 2

π --- + α 2

π–α

π+α

3π 3π ------- – α ------- + α 2 2

–sin α –cos α –tg α –ctg α

cos α sin α ctg α tg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

–sin α –cos α –tg α –ctg α

–sin α –cos α –tg α –ctg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

α–β

3. (sin α + sin β)2 + (cos α + cos β)2 = 4 cos2 -----------2 .

4. tg α + tg 2α – tg 3α = –tg α tg 2α tg 3α. 2 sin α – sin 2α

α

2 --5. -----------------------------------------2 sin α + sin 2α = tg 2 .

sin α + 2 sin 3α + sin 5 α

sin 3α

----------------6. ----------------------------------------------------------------------sin 3α + 2 sin 5α + sin 7α = sin 5α .


114

Г л а в а 5. Тригонометрия α

1 + cos α = 2 cos2 --2, 1 – cos α

α

-----------------------tg2 --2 = 1 + cos α ,

α

1 – cos α

----------------------------------------------tg --2 = 1 + cos α = sin α .

Формлы сложения трионометричес их фн ций α+β

α–β

α–β

α+β

2(sin6 α + cos6 α) – 3(sin4 α + cos4 α) + 1 = 0. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2),

α–β α+β ------------cos α + cos β = 2 cos ------------2 cos 2 ,

полаая в ней x = sin2 α, y = cos2 α. Тода получим sin6 α + cos6 α = (sin2 α + cos2 α) (sin4 α – sin2 α cos2 α + cos4 α).

β–α

------------cos α – cos β = 2 sin ------------2 sin 2 ,

sin ( α + β )

ctg α + ctg β = ---------------------------sin α sin β ,

Используя тождество

sin ( α – β ) tg α – tg β = --------------------------sin α sin β ,

sin2 α + cos2 α = 1,

sin ( β – α )

ctg α – ctg β = --------------------------sin α sin β ,

Формлы преобразования произведения в смм 1 sin α sin β = --2- [cos (α – β) – cos (α + β)],

(**)

преобразуем левую часть равенства (*)  виду 2 sin4 α – 2 sin2 α cos2 α + 2 cos4 α – 3 sin4 α – 3 cos4 α + 1. Приведя подобные члены, получаем 1 – 2 sin2 α cos2 α – sin4 α – cos4 α.

1

sin4 α + 2 sin2 α cos2 α + cos4 α = 1, т. е. тождество (*) доазано.

1

sin α cos β = --2- [sin (α – β) + sin (α + β)].

Доажите тождество: 3

1. sin6 α + cos6 α = 1 – --4- sin2 2α.

Формлы приведения

1 + sin 2α + cos 2α

sin cos tg ctg

(***)

Чтобы убедиться в том, что выражение (***) тождественно равно нулю, возведем обе части равенств (**) в вадрат. Имеем

cos α cos β = --2- [cos (α – β) + cos (α + β)],

Наименование фун ции

(*)

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой суммы убов:

-------------sin α – sin β = 2 sin -----------2 cos 2 ,

sin ( α + β ) tg α + tg β = ---------------------------cos α cos β ,

При доазательстве трионометричесих тождеств используют формулы соращенноо умножения и формулы, связывающие между собой основные трионометричесие фунции. П р и м е р. Доазать тождество

------------sin α + sin β = 2 sin ------------2 cos 2 ,

α+β

115

§ 23. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

α

1 – cos α = 2 sin2 --2, sin α

§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений

2. ---------------------------------------------------1 + sin 2α – cos 2α = ctg α.

Значение арумента –α

π --- – α 2

π --- + α 2

π–α

π+α

3π 3π ------- – α ------- + α 2 2

–sin α –cos α –tg α –ctg α

cos α sin α ctg α tg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

–sin α –cos α –tg α –ctg α

–sin α –cos α –tg α –ctg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

–cos α –sin α –ctg α –tg α

α–β

3. (sin α + sin β)2 + (cos α + cos β)2 = 4 cos2 -----------2 .

4. tg α + tg 2α – tg 3α = –tg α tg 2α tg 3α. 2 sin α – sin 2α

α

2 --5. -----------------------------------------2 sin α + sin 2α = tg 2 .

sin α + 2 sin 3α + sin 5 α

sin 3α

----------------6. ----------------------------------------------------------------------sin 3α + 2 sin 5α + sin 7α = sin 5α .


116

Г л а в а 5. Тригонометрия

sin α – sin 3α – sin 5α + sin 7α 8. --------------------------------------------------------------------------------------cos α – cos 3α + cos 5 α – cos 7α = –tg 2α.

sin2 (α + β) + p sin (α + β) cos (α + β) + q cos2 (α + β) = q.

1 1 -------------------------------------9. -------------------------------tg 3α – tg α – ctg 3α – ctg α = ctg 2α.

24. Поажите, что если улы α и β связаны соотношением

10. sin α + sin β + sin γ – sin (α + β + γ) = β+γ α+β γ+α ------------. = 4 sin ------------2 sin 2 sin -----------2

11. sin α + sin 3α + sin 5α + sin 7α = 4 cos α cos 2α sin 4α. sin 4α

12. -----------------------------------------------------------------------------= ---------------4 . 3 sin 2α – sin 3α + sin 4α

13. -----------------------------------------------------------------cos 2α – cos 3α + cos 4α = tg 3α. 1 + sin α α  π 2  ---14. sin 2α (1 + tg 2α tg α) + ----------------------1 – sin α = tg 2α + tg  4 + 2  . α

α

sin 2 α – 4

n sin β -----------------------------------sin ( 2α + β ) = m ,

| n | < | m |,

то справедливо равенство tg β 1 + ----------1 – tg α tg β tg α ---------------------- = --------------------------------- . m–n m+n

25. Известно, что α, β, γ составляют арифметичесую прорессию. Доажите, что sin α – sin γ --------------------------------- = ctg β. cos γ – cos α

6 ---------------------------- cos α. 15. sin6 --2 – cos 2 = 4

26. Доажите, что если α + β + γ = π, то

3π - + 4α  + sin (3π – 8α) – sin (4π – 12α) = 16. cos  ----- 2 

27. Доажите тождество

= 4 cos 2α cos 4α sin 6α. cos 2

cos 2

α– β sin α sin β

17. ctg2 α – ctg2 β = --------------------------------------. 2 2 sin 2 x

β

γ

----cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin --2 sin 2 sin 2 .

20. Доажите, что если α, β, γ — улы треуольниа, то β

β

γ

γ

α

----------tg --2 tg 2 + tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 = 1.

21. Доажите, что если cos (α + β) = 0, то sin (α + 2β) = sin α. 22. Доажите, что если

sin2 β

= sin α cos α, то

π cos 2β = 2 cos2  --4- + α  .  

π π π π sin  --3- – α  cos  --6- + α  + cos  --3- – α  sin  --6- + α  = 1.        

π cos 2β = 2 sin2  --- – α  . 4

19. Доажите, что если α + β + γ = π, то α

ctg α ctg β + ctg β ctg γ + ctg γ ctg α = 1.

28. Доажите, что если sin2 β = sin α cos α, то

sin x + cos x tg x – 1

--------------------------------- = sin x + cos x. 18. --------------------------------2 sin x – cos x –

α

117

23. Доажите, что если tg α и tg β — орни уравнения x2 + px + q = 0, то справедливо равенство

7. sin2 3α – sin2 2α = sin 5α sin α.

sin 3α cos 3 α + cos 3α sin 3 α

§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений

29. Доажите тождество 1 + sin 2α ---------------------------------------------------------------------- – 3π cos ( 2α – 2π ) tg  α – -------  4 α  1 α  3π --------– --4- sin 2α ctg --2 + ctg  2 + 2 

= – sin2 α.

30. Доажите тождество 3α sin -------

α  α  2 π  --π------------------- . 4 cos  --6- – --2  sin  3 – 2  = α sin --2


116

Г л а в а 5. Тригонометрия

sin α – sin 3α – sin 5α + sin 7α 8. --------------------------------------------------------------------------------------cos α – cos 3α + cos 5 α – cos 7α = –tg 2α.

sin2 (α + β) + p sin (α + β) cos (α + β) + q cos2 (α + β) = q.

1 1 -------------------------------------9. -------------------------------tg 3α – tg α – ctg 3α – ctg α = ctg 2α.

24. Поажите, что если улы α и β связаны соотношением

10. sin α + sin β + sin γ – sin (α + β + γ) = β+γ α+β γ+α ------------. = 4 sin ------------2 sin 2 sin -----------2

11. sin α + sin 3α + sin 5α + sin 7α = 4 cos α cos 2α sin 4α. sin 4α

12. -----------------------------------------------------------------------------= ---------------4 . 3 sin 2α – sin 3α + sin 4α

13. -----------------------------------------------------------------cos 2α – cos 3α + cos 4α = tg 3α. 1 + sin α α  π 2  ---14. sin 2α (1 + tg 2α tg α) + ----------------------1 – sin α = tg 2α + tg  4 + 2  . α

α

sin 2 α – 4

n sin β -----------------------------------sin ( 2α + β ) = m ,

| n | < | m |,

то справедливо равенство tg β 1 + ----------1 – tg α tg β tg α ---------------------- = --------------------------------- . m–n m+n

25. Известно, что α, β, γ составляют арифметичесую прорессию. Доажите, что sin α – sin γ --------------------------------- = ctg β. cos γ – cos α

6 ---------------------------- cos α. 15. sin6 --2 – cos 2 = 4

26. Доажите, что если α + β + γ = π, то

3π - + 4α  + sin (3π – 8α) – sin (4π – 12α) = 16. cos  ----- 2 

27. Доажите тождество

= 4 cos 2α cos 4α sin 6α. cos 2

cos 2

α– β sin α sin β

17. ctg2 α – ctg2 β = --------------------------------------. 2 2 sin 2 x

β

γ

----cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin --2 sin 2 sin 2 .

20. Доажите, что если α, β, γ — улы треуольниа, то β

β

γ

γ

α

----------tg --2 tg 2 + tg 2 tg 2 + tg 2 tg 2 = 1.

21. Доажите, что если cos (α + β) = 0, то sin (α + 2β) = sin α. 22. Доажите, что если

sin2 β

= sin α cos α, то

π cos 2β = 2 cos2  --4- + α  .  

π π π π sin  --3- – α  cos  --6- + α  + cos  --3- – α  sin  --6- + α  = 1.        

π cos 2β = 2 sin2  --- – α  . 4

19. Доажите, что если α + β + γ = π, то α

ctg α ctg β + ctg β ctg γ + ctg γ ctg α = 1.

28. Доажите, что если sin2 β = sin α cos α, то

sin x + cos x tg x – 1

--------------------------------- = sin x + cos x. 18. --------------------------------2 sin x – cos x –

α

117

23. Доажите, что если tg α и tg β — орни уравнения x2 + px + q = 0, то справедливо равенство

7. sin2 3α – sin2 2α = sin 5α sin α.

sin 3α cos 3 α + cos 3α sin 3 α

§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений

29. Доажите тождество 1 + sin 2α ---------------------------------------------------------------------- – 3π cos ( 2α – 2π ) tg  α – -------  4 α  1 α  3π --------– --4- sin 2α ctg --2 + ctg  2 + 2 

= – sin2 α.

30. Доажите тождество 3α sin -------

α  α  2 π  --π------------------- . 4 cos  --6- – --2  sin  3 – 2  = α sin --2


118

Г л а в а 5. Тригонометрия 31. Доажите тождество

sin 24° cos 6° – sin 6° sin 66°

1. ---------------------------------------------------------------------------------------sin 21° cos 39° – cos 51° sin 69° .

π

3

----------------- . 5. ---------------π – π sin -----18



8. sin 18°.

cos -----18

4 ------4 ------6. sin4 --8- + cos4 -----8 + sin 8 + cos 8 .

33. Упростите выражение 1 + cos α + 1 – cos α ---------------------------------------------------------------- , 1 + cos α – 1 – cos α

7. sin 15°.



9. sin 42°.

Вычисление значений одной трионометричес ой фн ции по известном значению дрой фн ции.

если α Ý [0; 2π]. 34. Упростите выражение

П р и м е р 2. Вычислить

2 sin α + sin 2α 1 – cos α ------------------------------------------- ------------------------ . 2 cos α + sin 2α 1 – sin α

2 sin 2α – 3 cos 2α ---------------------------------------------------- , 4 sin 2α + 5 cos 2α

если tg α = 3. Р е ш е н и е. Выразив sin 2α и cos 2α через tg α, получим

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций Вычисление значений трионометричес их выражений без помощи таблиц. Задачи, связанные с вычислением значений трионометричесих выражений без использования таблиц, обычно решают с помощью тождественных преобразований, приводящих исомое выражение  виду, содержащему тольо табличные значения трионометричесих фунций. П р и м е р 1. Вычислить без таблиц tg 20° tg 40° tg 80°. Р е ш е н и е. Имеем sin 20° ⋅ 2sin 20° cos 20° ⋅ 2sin 40° cos 40° sin 20° sin 40° sin 80° -------------------------------------------------------------- = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = cos 20° cos 40° cos 80° cos 20° cos 40° cos 80° sin 40° – sin 20°

- = ---------------------------------------------- = = --------------------------------------------------------------------------cos 80° cos 80° 2 cos 30° cos ( 90° – 10° )

- = ------------------------------------------------------------------- = = --------------------------------------------cos 80° cos 80°

3.

1

π

π

-----3. sin -----10 sin 10 .

--------4. 8 cos -----9 cos 9 cos 9 .

sin2 α – cos2 β – cos2 γ = 2 cos α cos β cos γ.

Ответ.

2. sin2 70° sin2 50° sin2 10°.

32. Доажите, что если α + β + γ = π, то

2 cos 30° sin 10°

119

Вычислите без использования таблиц:

α 1 – tg 2 --2 1 + sin 2α ---------------------------------- – ------------------------- = sin α. α sin α + cos α 1 + tg 2 --2

2 sin 20° ( cos 20° – cos 60° )

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

3.

4 tg α – 3 + 3 tg 2 α 2 sin 2α – 3 cos 2α ---------------------------------------------------- = ---------------------------------------------------. 4 sin 2α + 5 cos 2α 8 tg α + 5 – 5 tg 2 α

Подставив в правую часть этоо выражения значение tg α = 3, имеем 9 4⋅3–3+3⋅9 ---------------------------------------- = – --- . 4 8⋅3+5–5⋅9 9

Ответ. – --4- . α

α

--10. Вычислите sin α, если sin --2 + cos 2 = 1,4.

11. Вычислите 1 + 5 sin 2α – 3 cos–1 2α, если tg α = –2. 12. Найдите tg4 α + ctg4 α, если tg α + ctg α = a. 13. Вычислите sin3 α – cos3 α, если sin α – cos α = n. α 1 – 2 sin 2 --2 α --------------------------------14. Зная, что tg 2 = m, найдите 1 + sin α .


118

Г л а в а 5. Тригонометрия 31. Доажите тождество

sin 24° cos 6° – sin 6° sin 66°

1. ---------------------------------------------------------------------------------------sin 21° cos 39° – cos 51° sin 69° .

π

3

----------------- . 5. ---------------π – π sin -----18



8. sin 18°.

cos -----18

4 ------4 ------6. sin4 --8- + cos4 -----8 + sin 8 + cos 8 .

33. Упростите выражение 1 + cos α + 1 – cos α ---------------------------------------------------------------- , 1 + cos α – 1 – cos α

7. sin 15°.



9. sin 42°.

Вычисление значений одной трионометричес ой фн ции по известном значению дрой фн ции.

если α Ý [0; 2π]. 34. Упростите выражение

П р и м е р 2. Вычислить

2 sin α + sin 2α 1 – cos α ------------------------------------------- ------------------------ . 2 cos α + sin 2α 1 – sin α

2 sin 2α – 3 cos 2α ---------------------------------------------------- , 4 sin 2α + 5 cos 2α

если tg α = 3. Р е ш е н и е. Выразив sin 2α и cos 2α через tg α, получим

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций Вычисление значений трионометричес их выражений без помощи таблиц. Задачи, связанные с вычислением значений трионометричесих выражений без использования таблиц, обычно решают с помощью тождественных преобразований, приводящих исомое выражение  виду, содержащему тольо табличные значения трионометричесих фунций. П р и м е р 1. Вычислить без таблиц tg 20° tg 40° tg 80°. Р е ш е н и е. Имеем sin 20° ⋅ 2sin 20° cos 20° ⋅ 2sin 40° cos 40° sin 20° sin 40° sin 80° -------------------------------------------------------------- = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = cos 20° cos 40° cos 80° cos 20° cos 40° cos 80° sin 40° – sin 20°

- = ---------------------------------------------- = = --------------------------------------------------------------------------cos 80° cos 80° 2 cos 30° cos ( 90° – 10° )

- = ------------------------------------------------------------------- = = --------------------------------------------cos 80° cos 80°

3.

1

π

π

-----3. sin -----10 sin 10 .

--------4. 8 cos -----9 cos 9 cos 9 .

sin2 α – cos2 β – cos2 γ = 2 cos α cos β cos γ.

Ответ.

2. sin2 70° sin2 50° sin2 10°.

32. Доажите, что если α + β + γ = π, то

2 cos 30° sin 10°

119

Вычислите без использования таблиц:

α 1 – tg 2 --2 1 + sin 2α ---------------------------------- – ------------------------- = sin α. α sin α + cos α 1 + tg 2 --2

2 sin 20° ( cos 20° – cos 60° )

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

3.

4 tg α – 3 + 3 tg 2 α 2 sin 2α – 3 cos 2α ---------------------------------------------------- = ---------------------------------------------------. 4 sin 2α + 5 cos 2α 8 tg α + 5 – 5 tg 2 α

Подставив в правую часть этоо выражения значение tg α = 3, имеем 9 4⋅3–3+3⋅9 ---------------------------------------- = – --- . 4 8⋅3+5–5⋅9 9

Ответ. – --4- . α

α

--10. Вычислите sin α, если sin --2 + cos 2 = 1,4.

11. Вычислите 1 + 5 sin 2α – 3 cos–1 2α, если tg α = –2. 12. Найдите tg4 α + ctg4 α, если tg α + ctg α = a. 13. Вычислите sin3 α – cos3 α, если sin α – cos α = n. α 1 – 2 sin 2 --2 α --------------------------------14. Зная, что tg 2 = m, найдите 1 + sin α .


120

Г л а в а 5. Тригонометрия

15. Вычислите cos (θ – ϕ), если cos θ + cos ϕ = a, sin θ – – sin ϕ = b, a2 + b2 − 0.

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

Вычисление значений трионометричес их фн ций от значений обратных трионометричес их фн ций.

π

16. Сумма трех положительных чисел α, β, γ равна --2- . Вычислите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β, ctg γ являются последовательными членами арифметичесой прорессии. β α --17. Вычислите tg --2 + tg 2 , если sin α + sin β = a, cos α +

1 П р и м е р 3. Вычислить значение tg  --2- arcctg 3  . π

Р е ш е н и е. Положим α = arcctg 3. Тода ctg α = 3, 0 < α < --2- . Вычислим теперь значения sin α и cos α: 1

1 + ctg α

де α Ý

π

ctg α α

1

sin α

-----------------------Далее, используя формулу tg --2 = 1 + cos α , получаем

sin (α – β) = --2- ,

 1 1 α 3  ----------------------------------------tg --2 = 10 :  1 + 10  = 10 + 3 .  

0; --2- .

1 10 + 3

ctg β

Ответ. --------------------- .

19. Найдите отношение ------------ctg α , если известно, что

Вычислите:

p sin ( α + β ) ---------------------------- = --- . q sin ( α – β ) 1

α

--20. Найдите tg --2 , если известно, что sin α + cos α = 5 . α

3 10

1 + ctg α

π

0; --2- , β Ý

1 10

1+3

cos α = ------------------------------= ----------- . 2

18. Найдите tg (α + 2β), если sin (α + β) = 1,

1

sin α = ------------------------------= --------------------2- = ----------- , 2

+ cos β = b. 

121

sin 3α

11

---------------------21. Вычислите tg --2 , если sin α = 25 .



α

22. Составьте уравнение для нахождения cos --, если 3 cos α = m. α

23. Найдите tg --2 , если известно, что 1–m cos α ------------------------ = --------------- . 1+m 1 + sin α

24. Вычислите sin 2α, если tg α удовлетворяет соотношению tg2 α – a tg α + 1 = 0 π

и известно, что a > 0 и 0 < α < --4- .

1 25. sin  2 arccos --4-  .  

1 26. cos arcsin  – --2-  .  

8  3 27. sin  arcsin --5- + arcsin -----17  . 

2 28. tg  2 arcsin --3-  .  

29. arcsin (sin 2). 1 1 30. tg  arcsin --3- + arccos --4-  .  

31. sin (arctg 2 + arctg 3).

2 1 32. cos  arcsin --3- – arccos --3-  . 1 33. sin  2 arctg --3-  + cos (arctg 2 3 ).

Провер а справедливости равенств, содержащих обратные трионометричес ие фн ции. При решении этих задач следует иметь в виду, что сумма двух обратных трионометричесих фунций, вычисленных от положительных величин, залючена в промежуте [0; π], а разность — в промежуте

π

π

– --2- ; --2-

.


120

Г л а в а 5. Тригонометрия

15. Вычислите cos (θ – ϕ), если cos θ + cos ϕ = a, sin θ – – sin ϕ = b, a2 + b2 − 0.

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

Вычисление значений трионометричес их фн ций от значений обратных трионометричес их фн ций.

π

16. Сумма трех положительных чисел α, β, γ равна --2- . Вычислите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β, ctg γ являются последовательными членами арифметичесой прорессии. β α --17. Вычислите tg --2 + tg 2 , если sin α + sin β = a, cos α +

1 П р и м е р 3. Вычислить значение tg  --2- arcctg 3  . π

Р е ш е н и е. Положим α = arcctg 3. Тода ctg α = 3, 0 < α < --2- . Вычислим теперь значения sin α и cos α: 1

1 + ctg α

де α Ý

π

ctg α α

1

sin α

-----------------------Далее, используя формулу tg --2 = 1 + cos α , получаем

sin (α – β) = --2- ,

 1 1 α 3  ----------------------------------------tg --2 = 10 :  1 + 10  = 10 + 3 .  

0; --2- .

1 10 + 3

ctg β

Ответ. --------------------- .

19. Найдите отношение ------------ctg α , если известно, что

Вычислите:

p sin ( α + β ) ---------------------------- = --- . q sin ( α – β ) 1

α

--20. Найдите tg --2 , если известно, что sin α + cos α = 5 . α

3 10

1 + ctg α

π

0; --2- , β Ý

1 10

1+3

cos α = ------------------------------= ----------- . 2

18. Найдите tg (α + 2β), если sin (α + β) = 1,

1

sin α = ------------------------------= --------------------2- = ----------- , 2

+ cos β = b. 

121

sin 3α

11

---------------------21. Вычислите tg --2 , если sin α = 25 .



α

22. Составьте уравнение для нахождения cos --, если 3 cos α = m. α

23. Найдите tg --2 , если известно, что 1–m cos α ------------------------ = --------------- . 1+m 1 + sin α

24. Вычислите sin 2α, если tg α удовлетворяет соотношению tg2 α – a tg α + 1 = 0 π

и известно, что a > 0 и 0 < α < --4- .

1 25. sin  2 arccos --4-  .  

1 26. cos arcsin  – --2-  .  

8  3 27. sin  arcsin --5- + arcsin -----17  . 

2 28. tg  2 arcsin --3-  .  

29. arcsin (sin 2). 1 1 30. tg  arcsin --3- + arccos --4-  .  

31. sin (arctg 2 + arctg 3).

2 1 32. cos  arcsin --3- – arccos --3-  . 1 33. sin  2 arctg --3-  + cos (arctg 2 3 ).

Провер а справедливости равенств, содержащих обратные трионометричес ие фн ции. При решении этих задач следует иметь в виду, что сумма двух обратных трионометричесих фунций, вычисленных от положительных величин, залючена в промежуте [0; π], а разность — в промежуте

π

π

– --2- ; --2-

.


122

Г л а в а 5. Тригонометрия

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

П р и м е р 4. Проверить справедливость равенства 4

2

5

2

41. Доажите, что 8 77 π 3 --- + arcsin ------ = arcsin ------ + arccos  – ---  . 17 85 2  5 

Р е ш е н и е. Вычислим отаненс от левой и от правой частей равенства: 

 2  4 ctg  arcsin --5- + arccos -------  = 5   3 --- ⋅ 2 – 1 2 4 --------------------- = ------ , 11 3 --- + 2 4



π 3 – 3x 2  = --3

при

1 --- ; 1 . 2

43. Проверьте, справедливо ли равенство  2 2 – 2x 2  π ------------------------  – arcsin x = --- . arcsin  -----2 x+ 2 4  

Нахождение смм трионометричес их фн ций. Суммирование онечноо числа трионометричесих фунций

Ита,  2  4 2  ctg  arcsin --5- + arccos -------  = ctg  arcctg -----11  .  5  

Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un

(0; π), т. е. промежуту монотонности отаненса, то из равенства отаненсов следует равенство значений арументов, что и требовалось доазать. Проверьте справедливость равенства:

f(k + 1) – f(k) = uk. Если фунция f(k) найдена, то сумма (1) представляется в виде Sn = f(n + 1) – f(1).

(2)

П р и м е р 5. Найти сумму Sn = sin α + sin (α + h) + sin (α + 2h) + ... + sin (α + nh).

3 3 π --------34. arcsin -----2 + arccos 2 = 2 .

Р е ш е н и е. Воспользуемся тем, что

35. arctg 1 + arctg 2 = π – arctg 3.

2k + 1  2k – 1  h --cos  α + ----------------h – cos  α + ---------------2 2 h  = –2 sin (α + kh) sin 2 .   

2 6+1 π --- – arccos ------------------ = --- . 3 6 2 3

Тода в ачестве производящей фунции можно взять

37. Доажите, что если

1 k–1 f(k) = – -----------------h- cos  α + ------------- h  .   2 2 sin ---

arctg α + arctg β + arctg γ = π,

2

то α + β + γ = αβγ. 2+1

(1)

часто удается осуществить с помощью подбора та называемой производящей фнции, т. е. фунции, обладающей свойством

2

Та а уол arcsin --5- + arccos ------- принадлежит промежуту 5

36. arccos

42. Проверьте, справедливо ли равенство

1 x arccos x + arccos  --2- + --2

2  2 -----ctg  arcctg -----11  = 11 . 

4

π

12

-------40. Доажите, что arcsin -----13 + arcsin 13 = 2 .

arcsin --5- + arccos ------- = arcctg -----11 . 5

2 4 ctg  arcsin ---  ctg  arccos -------  – 1   5 5 = ---------------------------------------------------------------------------------------------- = 2 4 ctg  arcsin ---  + ctg  arccos -------    5 5

123

2

π

--38. Доажите, что arctg ------------------ – arctg -----2 = 4. 2–1 5 π --39. Доажите, что arctg 3 – arcsin -----5 = 4.

Соласно равенству (2), получаем 1 2n + 1  h - h – cos  α – ---  . Sn = – -----------------h- cos  α + ----------------2 2    2 sin --2


122

Г л а в а 5. Тригонометрия

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций

П р и м е р 4. Проверить справедливость равенства 4

2

5

2

41. Доажите, что 8 77 π 3 --- + arcsin ------ = arcsin ------ + arccos  – ---  . 17 85 2  5 

Р е ш е н и е. Вычислим отаненс от левой и от правой частей равенства: 

 2  4 ctg  arcsin --5- + arccos -------  = 5   3 --- ⋅ 2 – 1 2 4 --------------------- = ------ , 11 3 --- + 2 4



π 3 – 3x 2  = --3

при

1 --- ; 1 . 2

43. Проверьте, справедливо ли равенство  2 2 – 2x 2  π ------------------------  – arcsin x = --- . arcsin  -----2 x+ 2 4  

Нахождение смм трионометричес их фн ций. Суммирование онечноо числа трионометричесих фунций

Ита,  2  4 2  ctg  arcsin --5- + arccos -------  = ctg  arcctg -----11  .  5  

Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un

(0; π), т. е. промежуту монотонности отаненса, то из равенства отаненсов следует равенство значений арументов, что и требовалось доазать. Проверьте справедливость равенства:

f(k + 1) – f(k) = uk. Если фунция f(k) найдена, то сумма (1) представляется в виде Sn = f(n + 1) – f(1).

(2)

П р и м е р 5. Найти сумму Sn = sin α + sin (α + h) + sin (α + 2h) + ... + sin (α + nh).

3 3 π --------34. arcsin -----2 + arccos 2 = 2 .

Р е ш е н и е. Воспользуемся тем, что

35. arctg 1 + arctg 2 = π – arctg 3.

2k + 1  2k – 1  h --cos  α + ----------------h – cos  α + ---------------2 2 h  = –2 sin (α + kh) sin 2 .   

2 6+1 π --- – arccos ------------------ = --- . 3 6 2 3

Тода в ачестве производящей фунции можно взять

37. Доажите, что если

1 k–1 f(k) = – -----------------h- cos  α + ------------- h  .   2 2 sin ---

arctg α + arctg β + arctg γ = π,

2

то α + β + γ = αβγ. 2+1

(1)

часто удается осуществить с помощью подбора та называемой производящей фнции, т. е. фунции, обладающей свойством

2

Та а уол arcsin --5- + arccos ------- принадлежит промежуту 5

36. arccos

42. Проверьте, справедливо ли равенство

1 x arccos x + arccos  --2- + --2

2  2 -----ctg  arcctg -----11  = 11 . 

4

π

12

-------40. Доажите, что arcsin -----13 + arcsin 13 = 2 .

arcsin --5- + arccos ------- = arcctg -----11 . 5

2 4 ctg  arcsin ---  ctg  arccos -------  – 1   5 5 = ---------------------------------------------------------------------------------------------- = 2 4 ctg  arcsin ---  + ctg  arccos -------    5 5

123

2

π

--38. Доажите, что arctg ------------------ – arctg -----2 = 4. 2–1 5 π --39. Доажите, что arctg 3 – arcsin -----5 = 4.

Соласно равенству (2), получаем 1 2n + 1  h - h – cos  α – ---  . Sn = – -----------------h- cos  α + ----------------2 2    2 sin --2


124

Г л а в а 5. Тригонометрия

§ 25. Тригонометрические уравнения

Остается преобразовать выражение в вадратных собах в произведение. n+1 n sin  α + --- h sin  -------------- h 2 2 -. Ответ. Sn = -------------------------------------------------------------------h sin --2

45. cos 3α + cos 5α + cos 7α + ... + cos (2n + 1)α. α

1

α

1

α

--------------46. tg α + --2- tg --2 + 4 tg 4 + ... + 2 n tg 2 n . 3π

π

Уравнения вида P(sin x) = 0,

P(cos x) = 0,

48.

+

cos2

cos 2x – 3 sin x + 1 = 0. Р е ш е н и е. Та а cos 2x = 1 – 2 sin2 x, то данное уравнение можно переписать следующим образом: 1 – 2 sin2 x – 3 sin x + 1 = 0,

11π

 α + --π-  + cos2  α + 2π -------  + ... n  n    ( n – 1 )π  - . ... + cos2  α + --------------------n  

17π 5π 3π π ---------------------49. cos -----19 + cos 19 + cos 19 + ... + cos 19 .

или 2 sin2 x + 3 sin x – 2 = 0. Полаая y = sin x, получим вадратное уравнение 2y2 + 3y – 1

– 2 = 0, имеющее орни y1 = --2- , y2 = –2. Последний орень не одится, та а |sin x| m 1. Ита, остается решить простейшее 1

sin α + sin 2α + ... + sin nα

51. ----------------------------------------------------------------------------cos α + cos 2α + ... + cos nα .

§ 25. Тригонометрические уравнения Простейшие трионометричес ие равнения. Решения простейших трионометричесих уравнений приведены в таблице:

sin x = a

(| a | m 1)

cos x = a tg x = a ctg x = a

(| a | m 1)

Решение уравнения (k Ý Z) x x x x

= = = =

(–1)k arcsin a + πk äarccos a + 2πk arctg a + πk arcctg a + πk

n π

трионометричесое уравнение sin x = --2- , отуда x = (–1) --6- + + πn, n Ý Z.

( 2n – 1 )πm 5πm 3πm πm -------------------------------- . ----------------------50. cos -------n n + cos n + cos n + ... cos

Уравнение

P(ctg x) = 0,

П р и м е р 1. Решить уравнение

---------------------------------47. cos -----13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 .

cos2 α

P(tg x) = 0,

де P — мноочлен уазанных арументов, решают сначала а алебраичесие уравнения относительно уазанных арументов, а затем а простейшие трионометричесие уравнения.

Найдите сумму: 44. sin α sin 2α + sin 2α sin 3α + sin 3α sin 4α + ... ... + sin nα sin (n + 1)α. 1

125

n π

Ответ. x = (–1) --6- + πn, n Ý Z. Решите уравнение, сведя ео  алебраичесому уравнению относительной одной трионометричесой фунции: 1. 2 sin2 x + sin x – 1 = 0. 2. tg3 x + 2 tg2 x + 3 tg x = 0. 3. 4 sin4 x + cos 4x = 1 + 12 cos4 x. 4. 6 cos2 x + cos 3x = cos x. 

1 1 ------ + cos 4 x – --- cos 2 x + 2 16

5.

1 3 9 ------ + cos 4 x – --- cos 2 x = --- . 2 2 16

Однородные трионометричес ие равнения. Уравнение вида n

a0 sin x + a1 sin

n–1

x cos x + a2 sin

n–2

n

x cos2 x + ... + an cos x = 0, (1)

де a0, a1, a2, ..., an — действительные числа и сумма поазателей степеней при sin x и cos x в аждом слааемом равна n, на-


124

Г л а в а 5. Тригонометрия

§ 25. Тригонометрические уравнения

Остается преобразовать выражение в вадратных собах в произведение. n+1 n sin  α + --- h sin  -------------- h 2 2 -. Ответ. Sn = -------------------------------------------------------------------h sin --2

45. cos 3α + cos 5α + cos 7α + ... + cos (2n + 1)α. α

1

α

1

α

--------------46. tg α + --2- tg --2 + 4 tg 4 + ... + 2 n tg 2 n . 3π

π

Уравнения вида P(sin x) = 0,

P(cos x) = 0,

48.

+

cos2

cos 2x – 3 sin x + 1 = 0. Р е ш е н и е. Та а cos 2x = 1 – 2 sin2 x, то данное уравнение можно переписать следующим образом: 1 – 2 sin2 x – 3 sin x + 1 = 0,

11π

 α + --π-  + cos2  α + 2π -------  + ... n  n    ( n – 1 )π  - . ... + cos2  α + --------------------n  

17π 5π 3π π ---------------------49. cos -----19 + cos 19 + cos 19 + ... + cos 19 .

или 2 sin2 x + 3 sin x – 2 = 0. Полаая y = sin x, получим вадратное уравнение 2y2 + 3y – 1

– 2 = 0, имеющее орни y1 = --2- , y2 = –2. Последний орень не одится, та а |sin x| m 1. Ита, остается решить простейшее 1

sin α + sin 2α + ... + sin nα

51. ----------------------------------------------------------------------------cos α + cos 2α + ... + cos nα .

§ 25. Тригонометрические уравнения Простейшие трионометричес ие равнения. Решения простейших трионометричесих уравнений приведены в таблице:

sin x = a

(| a | m 1)

cos x = a tg x = a ctg x = a

(| a | m 1)

Решение уравнения (k Ý Z) x x x x

= = = =

(–1)k arcsin a + πk äarccos a + 2πk arctg a + πk arcctg a + πk

n π

трионометричесое уравнение sin x = --2- , отуда x = (–1) --6- + + πn, n Ý Z.

( 2n – 1 )πm 5πm 3πm πm -------------------------------- . ----------------------50. cos -------n n + cos n + cos n + ... cos

Уравнение

P(ctg x) = 0,

П р и м е р 1. Решить уравнение

---------------------------------47. cos -----13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 + cos 13 .

cos2 α

P(tg x) = 0,

де P — мноочлен уазанных арументов, решают сначала а алебраичесие уравнения относительно уазанных арументов, а затем а простейшие трионометричесие уравнения.

Найдите сумму: 44. sin α sin 2α + sin 2α sin 3α + sin 3α sin 4α + ... ... + sin nα sin (n + 1)α. 1

125

n π

Ответ. x = (–1) --6- + πn, n Ý Z. Решите уравнение, сведя ео  алебраичесому уравнению относительной одной трионометричесой фунции: 1. 2 sin2 x + sin x – 1 = 0. 2. tg3 x + 2 tg2 x + 3 tg x = 0. 3. 4 sin4 x + cos 4x = 1 + 12 cos4 x. 4. 6 cos2 x + cos 3x = cos x. 

1 1 ------ + cos 4 x – --- cos 2 x + 2 16

5.

1 3 9 ------ + cos 4 x – --- cos 2 x = --- . 2 2 16

Однородные трионометричес ие равнения. Уравнение вида n

a0 sin x + a1 sin

n–1

x cos x + a2 sin

n–2

n

x cos2 x + ... + an cos x = 0, (1)

де a0, a1, a2, ..., an — действительные числа и сумма поазателей степеней при sin x и cos x в аждом слааемом равна n, на-


126

Г л а в а 5. Тригонометрия

зывают однородным относительно sin x и cos x. Уравнение (1) при cos x − 0 эвивалентно уравнению n

a0 tg x + a 1 tg

n–1

x + a2 tg

n–2

x + ... + an = 0.

§ 25. Тригонометрические уравнения 1

15. cos6 x + sin6 x – cos2 2x = -----16 . 16. sin8 x + cos8 x = cos2 2x.  17. Найдите решение уравнения sin6 x + cos6 x = a(sin 4 x + cos4 x)

П р и м е р 2. Решить уравнение

при всех действительных значениях a.

3 sin2 x – 5 sin x cos x + 8 cos2 x = 2. Р е ш е н и е. Чтобы свести данное уравнение  однородному, воспользуемся основным трионометричесим тождеством sin2 x + cos2 x = 1. Записав уравнение в виде 3

sin2 x

– 5 sin x cos x + 8

cos2 x

=

2(sin2 x

+

Метод введения дополнительноо ла. Уравнение вида a cos x + b sin x = c

sin2 x – 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0.

c

-, sin (x + ϕ) = ---------------------2 2 a +b

де ϕ находится из системы b

Корнями полученноо вадратноо уравнения являются числа y1 = 2 и y2 = 3. Следовательно, исходное трионометричесое уравнение сводится  двум простейшим трионометричесим уравнениям tg x = 2 и tg x = 3, решения оторых имеют вид x = arctg 2 + + πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z. Ответ. x = arctg 2 + πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z. Решите уравнение сведением ео  однородному: 6. 2 sin x cos x + 5 cos2 x = 4. 7. 8 sin 2x – 3 cos2 x = 4. x 1 x 8. 4 cos2 --2- + --2- sin x + 3 sin2 --2- = 3.

sin4 x – cos4 x = 0,5. 2 sin3 x + 2 cos x sin2 x – sin x cos2 x – cos3 x = 0. 3 – 7 cos2 x sin x – 3 sin3 x = 0. 2 sin3 x – sin2 x cos x + 2 sin x cos2 x – cos3 x = 0. sin4 x + cos4 x = sin 2x – 0,5.

1 3 14. sin6 2x + cos6 2x = --2- (sin4 2x + cos4 2x) + --2- (sin x + cos x).

a

-, sin ϕ = ---------------------2 2

Разделив обе части последнео уравнения на cos2 x, приходим  вадратному уравнению относительно y = tg x: y2 – 5y + 6 = 0.

(2)

эвивалентно трионометричесому уравнению

cos2 x)

и приведя подобные члены, получаем

9. 10. 11. 12. 13.

127

-. cos ϕ = ---------------------2 2

a +b

a +b

П р и м е р 3. Решить уравнение 3 sin x + 4 cos x = 5. Р е ш е н и е. Та а 3 2 + 4 2 = 5, то данное уравнение эвивалентно уравнению sin (x + ϕ) = 1, де ϕ определяется из системы уравнений 3

4

cos ϕ = --5- .

sin ϕ = --5- ,

Посольу sin ϕ и cos ϕ положительны, в ачестве ϕ можно взять 4

ϕ = arcsin --5- , и решение данноо уравнения запишется в виде π

4

x = –arcsin --5- + --2- + 2πn. π

4

Ответ. x = –arcsin --5- + --2- + 2πn (n Ý Z). Заметим, что уравнение из примера 3 можно свести  одноx

x

родному относительно sin --2- и cos --2- , если воспользоваться формулами x

x

sin x = 2 sin --2- cos --2- ,

x

x

cos x = cos2 --2- – sin2 --2- .


126

Г л а в а 5. Тригонометрия

зывают однородным относительно sin x и cos x. Уравнение (1) при cos x − 0 эвивалентно уравнению n

a0 tg x + a 1 tg

n–1

x + a2 tg

n–2

x + ... + an = 0.

§ 25. Тригонометрические уравнения 1

15. cos6 x + sin6 x – cos2 2x = -----16 . 16. sin8 x + cos8 x = cos2 2x.  17. Найдите решение уравнения sin6 x + cos6 x = a(sin 4 x + cos4 x)

П р и м е р 2. Решить уравнение

при всех действительных значениях a.

3 sin2 x – 5 sin x cos x + 8 cos2 x = 2. Р е ш е н и е. Чтобы свести данное уравнение  однородному, воспользуемся основным трионометричесим тождеством sin2 x + cos2 x = 1. Записав уравнение в виде 3

sin2 x

– 5 sin x cos x + 8

cos2 x

=

2(sin2 x

+

Метод введения дополнительноо ла. Уравнение вида a cos x + b sin x = c

sin2 x – 5 sin x cos x + 6 cos2 x = 0.

c

-, sin (x + ϕ) = ---------------------2 2 a +b

де ϕ находится из системы b

Корнями полученноо вадратноо уравнения являются числа y1 = 2 и y2 = 3. Следовательно, исходное трионометричесое уравнение сводится  двум простейшим трионометричесим уравнениям tg x = 2 и tg x = 3, решения оторых имеют вид x = arctg 2 + + πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z. Ответ. x = arctg 2 + πk, x = arctg 3 + πn, k Ý Z, n Ý Z. Решите уравнение сведением ео  однородному: 6. 2 sin x cos x + 5 cos2 x = 4. 7. 8 sin 2x – 3 cos2 x = 4. x 1 x 8. 4 cos2 --2- + --2- sin x + 3 sin2 --2- = 3.

sin4 x – cos4 x = 0,5. 2 sin3 x + 2 cos x sin2 x – sin x cos2 x – cos3 x = 0. 3 – 7 cos2 x sin x – 3 sin3 x = 0. 2 sin3 x – sin2 x cos x + 2 sin x cos2 x – cos3 x = 0. sin4 x + cos4 x = sin 2x – 0,5.

1 3 14. sin6 2x + cos6 2x = --2- (sin4 2x + cos4 2x) + --2- (sin x + cos x).

a

-, sin ϕ = ---------------------2 2

Разделив обе части последнео уравнения на cos2 x, приходим  вадратному уравнению относительно y = tg x: y2 – 5y + 6 = 0.

(2)

эвивалентно трионометричесому уравнению

cos2 x)

и приведя подобные члены, получаем

9. 10. 11. 12. 13.

127

-. cos ϕ = ---------------------2 2

a +b

a +b

П р и м е р 3. Решить уравнение 3 sin x + 4 cos x = 5. Р е ш е н и е. Та а 3 2 + 4 2 = 5, то данное уравнение эвивалентно уравнению sin (x + ϕ) = 1, де ϕ определяется из системы уравнений 3

4

cos ϕ = --5- .

sin ϕ = --5- ,

Посольу sin ϕ и cos ϕ положительны, в ачестве ϕ можно взять 4

ϕ = arcsin --5- , и решение данноо уравнения запишется в виде π

4

x = –arcsin --5- + --2- + 2πn. π

4

Ответ. x = –arcsin --5- + --2- + 2πn (n Ý Z). Заметим, что уравнение из примера 3 можно свести  одноx

x

родному относительно sin --2- и cos --2- , если воспользоваться формулами x

x

sin x = 2 sin --2- cos --2- ,

x

x

cos x = cos2 --2- – sin2 --2- .


128

Г л а в а 5. Тригонометрия Решите уравнение методом введения дополнительноо ула: 18. sin 8x – cos 6x =

3 (sin 6x + cos 8x).

П р и м е р 4. Решить уравнение

x

Р е ш е н и е. Полаая t = tg --2- и используя формулы (4), за-

2 sin 15x.

пишем уравнение в виде

  1 3 1 ----------------21. 4 cos2 x = 2 + --2- cos 2x  ---------------cos 2x + sin 2x  .  

3t 4 + 6t 3 + 8t 2 – 2t – 3 ---------------------------------------------------------------- = 0; ( t2 + 1 ) ( 1 – t2 )

22. 4 sin 3x + 3 cos 3x = 5,2.

1 3

(*)

1 3

оно имеет орни t1 = ------- , t2 = – ------- . Таим образом, решение

23. Найдите все решения уравнения 1 + sin 2x –

129

1  (cos x – sin x)  2 tg x + -----------cos x  + 2 = 0. 

3 1 --19. sin 11x + -----2 sin 7x + 2 cos 7x = 0.

20. sin 10x + cos 10x =

§ 25. Тригонометрические уравнения

уравнения (*) сводится  решению двух простейших уравнений

2 cos 3x = 0,

x

1 3

tg --2- = ------- ,

залюченные между π и -----2 .

x

1 3

tg --2- = – ------- .

(**)

Выполнив проверу, убеждаемся что числа (2n + 1)π (орни

Универсальная трионометричес ая подстанов а. Пусть дано трионометричесое уравнение вида

уравнения cos --2- = 0) не являются орнями данноо уравнения,

R(sin kx, cos nx, tg mx, ctg lx) = 0,

и, следовательно, все решения исходноо уравнения находятся а решения уравнений (**).

(3)

де R — рациональная фунция уазанных арументов (k, n, m и l — натуральные числа). Используя формулы для трионометричесих фунций суммы улов (в частности, формулы двойноо и тройноо улов), уравнение (3) можно свести  рациональному уравнению относительно sin x, cos x, tg x и ctg x, а затем x

 рациональному уравнению относительно t = tg --2- . Подстановx

а t = tg --2- , оторую называют ниверсальной трионометричесой подстановой, позволяет выразить sin x, cos x, tg x и x

ctg x а рациональные фунции от tg --2- следующим образом: x 2 tg --2 sin x = -----------------------x; 1 + tg 2 --2

x 1 – tg 2 --2 cos x = -----------------------x; 1 + tg 2 --2

x 2 tg --2 tg x = ----------------------x; 2 1 – tg --2

x 1 – tg 2 --2 ctg x = ----------------------x . 2 tg --2

x

π

Ответ. x = ä --3- + 2πk, k Ý Z. Решите уравнение с помощью универсальной трионометричесой подстанови: x

24. sin x + ctg --2- = 2. π 25. ctg  --4- – x  = 5 tg 2x + 7.

26. 3 sin 4x = (cos 2x – 1) tg x. x

27. (1 + cos x) tg --2- – 2 + sin x = 2 cos x. Трионометричес ие равнения вида R(sin x + cos x, sin x cos x) = 0 и R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0.

(4)

Уравнение вида R(sin x + cos x, sin x cos x) = 0,

(5)

де R — рациональная фунция записанных в собах арументов, можно свести  уравнению относительно неизвестноо


128

Г л а в а 5. Тригонометрия Решите уравнение методом введения дополнительноо ула: 18. sin 8x – cos 6x =

3 (sin 6x + cos 8x).

П р и м е р 4. Решить уравнение

x

Р е ш е н и е. Полаая t = tg --2- и используя формулы (4), за-

2 sin 15x.

пишем уравнение в виде

  1 3 1 ----------------21. 4 cos2 x = 2 + --2- cos 2x  ---------------cos 2x + sin 2x  .  

3t 4 + 6t 3 + 8t 2 – 2t – 3 ---------------------------------------------------------------- = 0; ( t2 + 1 ) ( 1 – t2 )

22. 4 sin 3x + 3 cos 3x = 5,2.

1 3

(*)

1 3

оно имеет орни t1 = ------- , t2 = – ------- . Таим образом, решение

23. Найдите все решения уравнения 1 + sin 2x –

129

1  (cos x – sin x)  2 tg x + -----------cos x  + 2 = 0. 

3 1 --19. sin 11x + -----2 sin 7x + 2 cos 7x = 0.

20. sin 10x + cos 10x =

§ 25. Тригонометрические уравнения

уравнения (*) сводится  решению двух простейших уравнений

2 cos 3x = 0,

x

1 3

tg --2- = ------- ,

залюченные между π и -----2 .

x

1 3

tg --2- = – ------- .

(**)

Выполнив проверу, убеждаемся что числа (2n + 1)π (орни

Универсальная трионометричес ая подстанов а. Пусть дано трионометричесое уравнение вида

уравнения cos --2- = 0) не являются орнями данноо уравнения,

R(sin kx, cos nx, tg mx, ctg lx) = 0,

и, следовательно, все решения исходноо уравнения находятся а решения уравнений (**).

(3)

де R — рациональная фунция уазанных арументов (k, n, m и l — натуральные числа). Используя формулы для трионометричесих фунций суммы улов (в частности, формулы двойноо и тройноо улов), уравнение (3) можно свести  рациональному уравнению относительно sin x, cos x, tg x и ctg x, а затем x

 рациональному уравнению относительно t = tg --2- . Подстановx

а t = tg --2- , оторую называют ниверсальной трионометричесой подстановой, позволяет выразить sin x, cos x, tg x и x

ctg x а рациональные фунции от tg --2- следующим образом: x 2 tg --2 sin x = -----------------------x; 1 + tg 2 --2

x 1 – tg 2 --2 cos x = -----------------------x; 1 + tg 2 --2

x 2 tg --2 tg x = ----------------------x; 2 1 – tg --2

x 1 – tg 2 --2 ctg x = ----------------------x . 2 tg --2

x

π

Ответ. x = ä --3- + 2πk, k Ý Z. Решите уравнение с помощью универсальной трионометричесой подстанови: x

24. sin x + ctg --2- = 2. π 25. ctg  --4- – x  = 5 tg 2x + 7.

26. 3 sin 4x = (cos 2x – 1) tg x. x

27. (1 + cos x) tg --2- – 2 + sin x = 2 cos x. Трионометричес ие равнения вида R(sin x + cos x, sin x cos x) = 0 и R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0.

(4)

Уравнение вида R(sin x + cos x, sin x cos x) = 0,

(5)

де R — рациональная фунция записанных в собах арументов, можно свести  уравнению относительно неизвестноо


130

Г л а в а 5. Тригонометрия

t = sin x + cos x. Для этоо следует воспользоваться трионометричесим тождеством

1 2

Умножив обе части этих уравнений на число ------- , сведем их 

π 1 1 π ------- sin x + ------- cos x = 1 _ cos --- sin x + sin --- cos x = 1 _ 4 4 2 2

из отороо следует равенство

π _ sin  x + --4-  = 1;  

(6)

1 1 1 π 1 ------- sin x + ------- cos x = – --- _ sin  x + ---  = – --- . 2 4  2  2 2

Учитывая это равенство, уравнение (5) можно привести  виду

π π 1 Остается решить уравнения sin  x + --4-  = 1 и sin  x + --4-  = – --2- .    

 t2 – 1  -  = 0. R  t, -------------2  

π

Ответ. x = --4- + 2πk, x = (–1)

Аналоично уравнение вида

π --- – --- + πn, k Ý Z, n Ý Z. 4 6

n+1 π

Решите уравнение:

R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0

28. 29. 30.  31.

подстановой sin x – cos x = t сводится  уравнению  1 – t2  -  = 0. R  t, -------------2  

5(sin x + cos x) + sin 3x – cos 3x = 2 2 (2 + sin 2x). sin x + cos x + sin x cos x = 1. sin x + cos x – 2 sin x cos x = 1. Найдите решение уравнения 1 1 1 ------------- + ------------- + ---------------------------- = a sin x cos x sin x cos x

П р и м е р 5. Решить уравнение

при всех действительных значениях a.

sin x + cos x – 2 2 sin x cos x = 0. Р е ш е н и е. Полаая sin x + cos x = t и используя равенство (6), сведем исходное уравнение  виду 2 t2 – t –

131

двум более простым уравнениям:

(sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = = 1 + 2 sin x cos x,

t2 – 1 sin x cos x = -------------2 .

§ 25. Тригонометрические уравнения

2 = 0.

Корнями этоо вадратноо уравнения являются числа t1 =

2,

1 2

Использование формл понижения степени. Упрощение неоторых трионометричесих уравнений можно произвести с помощью понижения их степени. Если поазатели степеней синусов и осинусов, входящих в уравнение, четные, то понижение степени выполняют по формулам половинноо арумента. П р и м е р 6. Решить уравнение 29

4 sin10 x + cos10 x = -----16 cos 2x.

t2 = – ------- . Таим образом, решение исходноо уравнения сводится  решению двух трионометричесих уравнений sin x + cos x =

2,

1 2

sin x + cos x = – ------- .

Р е ш е н и е. Используя формулы половинноо арумента, запишем данное уравнение в виде – cos 2x 5 1 + cos 2x 5 29 1 ---------------------------  +  ----------------------------  = ------ cos4 2x. 2 2 16    


130

Г л а в а 5. Тригонометрия

t = sin x + cos x. Для этоо следует воспользоваться трионометричесим тождеством

1 2

Умножив обе части этих уравнений на число ------- , сведем их 

π 1 1 π ------- sin x + ------- cos x = 1 _ cos --- sin x + sin --- cos x = 1 _ 4 4 2 2

из отороо следует равенство

π _ sin  x + --4-  = 1;  

(6)

1 1 1 π 1 ------- sin x + ------- cos x = – --- _ sin  x + ---  = – --- . 2 4  2  2 2

Учитывая это равенство, уравнение (5) можно привести  виду

π π 1 Остается решить уравнения sin  x + --4-  = 1 и sin  x + --4-  = – --2- .    

 t2 – 1  -  = 0. R  t, -------------2  

π

Ответ. x = --4- + 2πk, x = (–1)

Аналоично уравнение вида

π --- – --- + πn, k Ý Z, n Ý Z. 4 6

n+1 π

Решите уравнение:

R(sin x – cos x, sin x cos x) = 0

28. 29. 30.  31.

подстановой sin x – cos x = t сводится  уравнению  1 – t2  -  = 0. R  t, -------------2  

5(sin x + cos x) + sin 3x – cos 3x = 2 2 (2 + sin 2x). sin x + cos x + sin x cos x = 1. sin x + cos x – 2 sin x cos x = 1. Найдите решение уравнения 1 1 1 ------------- + ------------- + ---------------------------- = a sin x cos x sin x cos x

П р и м е р 5. Решить уравнение

при всех действительных значениях a.

sin x + cos x – 2 2 sin x cos x = 0. Р е ш е н и е. Полаая sin x + cos x = t и используя равенство (6), сведем исходное уравнение  виду 2 t2 – t –

131

двум более простым уравнениям:

(sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = = 1 + 2 sin x cos x,

t2 – 1 sin x cos x = -------------2 .

§ 25. Тригонометрические уравнения

2 = 0.

Корнями этоо вадратноо уравнения являются числа t1 =

2,

1 2

Использование формл понижения степени. Упрощение неоторых трионометричесих уравнений можно произвести с помощью понижения их степени. Если поазатели степеней синусов и осинусов, входящих в уравнение, четные, то понижение степени выполняют по формулам половинноо арумента. П р и м е р 6. Решить уравнение 29

4 sin10 x + cos10 x = -----16 cos 2x.

t2 = – ------- . Таим образом, решение исходноо уравнения сводится  решению двух трионометричесих уравнений sin x + cos x =

2,

1 2

sin x + cos x = – ------- .

Р е ш е н и е. Используя формулы половинноо арумента, запишем данное уравнение в виде – cos 2x 5 1 + cos 2x 5 29 1 ---------------------------  +  ----------------------------  = ------ cos4 2x. 2 2 16    


132

Đ&#x201C; Đť Đ° в Đ° 5. ТŃ&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ? Đ&#x;ОНаĐ°Ń? cos 2x = t, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;иП Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнонио â&#x20AC;&#x201C;t 1 ------------   2 

5

1+t  +  -----------2 

5

1

49. tg x + sin 2x = -----------cos x .

29

Đ&#x;ĐžŃ ĐťĐľ Ń&#x20AC;Đ°Ń Ń&#x20AC;Ń&#x2039;Ń&#x201A;иŃ? Ń ОйО и ĐżŃ&#x20AC;иводониŃ? пОдОйнŃ&#x2039;Ń&#x2026; Ń&#x2021;НонОв ĐżŃ&#x20AC;идоП  йивадŃ&#x20AC;Đ°Ń&#x201A;нОПŃ&#x192; Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ&#x17D; 24t4 â&#x20AC;&#x201C; 10t2 â&#x20AC;&#x201C; 1 = 0, 1

иПоŃ&#x17D;Ń&#x2030;оПŃ&#x192; ĐľĐ´Đ¸Đ˝Ń Ń&#x201A;воннŃ&#x2039;Đš Đ´ĐľĐšŃ Ń&#x201A;виŃ&#x201A;оНŃ&#x152;Đ˝Ń&#x2039;Đš ĐžŃ&#x20AC;онŃ&#x152; t2 = --2- . Đ&#x2019;ОСвŃ&#x20AC;Đ°Ń&#x2030;Đ°Ń?Ń Ń&#x152;  Đ¸Ń Ń&#x2026;ОднОПŃ&#x192; Đ˝ĐľĐ¸ĐˇĐ˛ĐľŃ Ń&#x201A;нОПŃ&#x192;, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;аоП Ď&#x20AC;

Ď&#x20AC;k

cos2 2x = --2- _ 1 + cos 4x = 1 _ cos 4x = 0 _ x = --8- + -----4 , k Ă? Z. Ď&#x20AC;

Ď&#x20AC;k

Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. x = --8- + -----4 , k Ă? Z.

3

Ď&#x20AC;

17

34. sin8 x + cos8 x = -----32 . 35. cos 2x + 4 sin4 x = 8 cos6 x. 36. cos 4x â&#x20AC;&#x201C; 2 cos2 x â&#x20AC;&#x201C; 22 sin2 x + 1 = 0. 3

2 +

2

â&#x20AC;&#x201C;

â&#x20AC;&#x201C;

sin2 4x

= 0.

40. sin4 x + cos4 x = cos2 2x + 0,25. 41. 2 + cos 4x = 5 cos 2x + 8 sin6 x. 5

42. sin4 x + cos4 x = --8- . 43. 8 sin2 x + 6 cos2 x = 13 sin 2x. 44. sin3 x (1 + ctg x) + cos3 x (1 + tg x) = 2 sin x cos x . Đ ĐľŃ&#x2C6;иŃ&#x201A;Đľ Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнонио, ĐżŃ&#x20AC;иПонŃ?Ń? иСНОМоннŃ&#x2039;Đľ Ń&#x20AC;аноо ПоŃ&#x201A;ОдŃ&#x2039;: 45. 2 cos 2x = sin3 x

6 (cos x â&#x20AC;&#x201C; sin x).

cos3 x

64. 65. 66. 67. 68.

tg x + tg 2x = tg 3x. (1 â&#x20AC;&#x201C; tg x) (1 + sin 2x) = 1 + tg x. (1 + sin 2x) (cos x â&#x20AC;&#x201C; sin x) = 1 â&#x20AC;&#x201C; 2 sin2 x. tg (x + Îą) + tg (x â&#x20AC;&#x201C; Îą) = 2 ctg x. sin2 2z + sin2 3z + sin2 4z + sin2 5z = 2.

69. sin x cos x cos 2x cos 8x = --4- sin 12x.

38. sin2 3x + sin2 4x = sin2 5x + sin2 6x. sin2 2x

63. sin3 x cos 3x + cos 3x cos3 x = --8- .

1

37. cos2 3x + cos2 4x + cos2 5x = --2- .

39.

2 tg x + tg 2x = tg 4x. cos 3x + sin 5x = 0. sin x cos 5x = sin 9x cos 3x. 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. 1 + sin x + cos 3x = cos x + cos 2x + sin 2x. sin2 x (tg x + 1) = 3 sin x (cos x â&#x20AC;&#x201C; sin x) + 3. sin 2x sin 6x = cos x cos 3x. cos (x + 1) sin 2(x + 1) = cos 3(x + 1) sin 4(x + 1). sin x sin 7x = sin 3x sin 5x. cos x sin 7x = cos 3x sin 5x. sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0. cos 2x â&#x20AC;&#x201C; cos 8x + cos 6x = 1. 1

33. sin2 x + a sin2 2x = sin --6- . Đ&#x2DC;Ń Ń ĐťĐľĐ´Ń&#x192;ĐšŃ&#x201A;Đľ Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;онио.

3x cos2 -------

50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61.

62. sin x sin 2x sin 3x = --4- sin 4x.

Đ ĐľŃ&#x2C6;иŃ&#x201A;Đľ Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнонио: 32. sin2 6x + 8 sin2 3x = 0.

x cos2 ---

133

48. sin 5x sin 4x = â&#x20AC;&#x201C;cos 6x cos 3x.

4 = -----16 t .

1

§ 25. ТŃ&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Đľ Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ?

+ = 1 â&#x20AC;&#x201C; 0,5 sin 2x. 46. 47. sin 3x + sin x + 2 cos x = sin 2x + 2 cos2 x.

2 sin 3x cos 8x.

70. sin 2x sin 6x â&#x20AC;&#x201C; cos 2x cos 6x = 71. tg x + ctg 2x = 2 ctg 4x. 72. cos 3x â&#x20AC;&#x201C; cos 2x = sin 3x. 1

1

------------73. 2 sin 3x â&#x20AC;&#x201C; -----------sin x = 2 cos 3x + cos x .

74. ctg2 x â&#x20AC;&#x201C; tg2 x = 32 cos3 2x. 75. tg 2x + ctg x = 8 cos2 x. 9

76. sin2 2x â&#x20AC;&#x201C; tg2 x = --2- cos 2x. 77. sin 2x â&#x20AC;&#x201C; tg x = 2 sin 4x. sin 4x Ď&#x20AC; sin  x â&#x20AC;&#x201C; ---   4

78. ------------------------------ =

2 (sin x + cos x).

79. cos 3x tg 5x = sin 7x.


132

Đ&#x201C; Đť Đ° в Đ° 5. ТŃ&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ? Đ&#x;ОНаĐ°Ń? cos 2x = t, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;иП Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнонио â&#x20AC;&#x201C;t 1 ------------   2 

5

1+t  +  -----------2 

5

1

49. tg x + sin 2x = -----------cos x .

29

Đ&#x;ĐžŃ ĐťĐľ Ń&#x20AC;Đ°Ń Ń&#x20AC;Ń&#x2039;Ń&#x201A;иŃ? Ń ОйО и ĐżŃ&#x20AC;иводониŃ? пОдОйнŃ&#x2039;Ń&#x2026; Ń&#x2021;НонОв ĐżŃ&#x20AC;идоП  йивадŃ&#x20AC;Đ°Ń&#x201A;нОПŃ&#x192; Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ&#x17D; 24t4 â&#x20AC;&#x201C; 10t2 â&#x20AC;&#x201C; 1 = 0, 1

иПоŃ&#x17D;Ń&#x2030;оПŃ&#x192; ĐľĐ´Đ¸Đ˝Ń Ń&#x201A;воннŃ&#x2039;Đš Đ´ĐľĐšŃ Ń&#x201A;виŃ&#x201A;оНŃ&#x152;Đ˝Ń&#x2039;Đš ĐžŃ&#x20AC;онŃ&#x152; t2 = --2- . Đ&#x2019;ОСвŃ&#x20AC;Đ°Ń&#x2030;Đ°Ń?Ń Ń&#x152;  Đ¸Ń Ń&#x2026;ОднОПŃ&#x192; Đ˝ĐľĐ¸ĐˇĐ˛ĐľŃ Ń&#x201A;нОПŃ&#x192;, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;аоП Ď&#x20AC;

Ď&#x20AC;k

cos2 2x = --2- _ 1 + cos 4x = 1 _ cos 4x = 0 _ x = --8- + -----4 , k Ă? Z. Ď&#x20AC;

Ď&#x20AC;k

Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. x = --8- + -----4 , k Ă? Z.

3

Ď&#x20AC;

17

34. sin8 x + cos8 x = -----32 . 35. cos 2x + 4 sin4 x = 8 cos6 x. 36. cos 4x â&#x20AC;&#x201C; 2 cos2 x â&#x20AC;&#x201C; 22 sin2 x + 1 = 0. 3

2 +

2

â&#x20AC;&#x201C;

â&#x20AC;&#x201C;

sin2 4x

= 0.

40. sin4 x + cos4 x = cos2 2x + 0,25. 41. 2 + cos 4x = 5 cos 2x + 8 sin6 x. 5

42. sin4 x + cos4 x = --8- . 43. 8 sin2 x + 6 cos2 x = 13 sin 2x. 44. sin3 x (1 + ctg x) + cos3 x (1 + tg x) = 2 sin x cos x . Đ ĐľŃ&#x2C6;иŃ&#x201A;Đľ Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнонио, ĐżŃ&#x20AC;иПонŃ?Ń? иСНОМоннŃ&#x2039;Đľ Ń&#x20AC;аноо ПоŃ&#x201A;ОдŃ&#x2039;: 45. 2 cos 2x = sin3 x

6 (cos x â&#x20AC;&#x201C; sin x).

cos3 x

64. 65. 66. 67. 68.

tg x + tg 2x = tg 3x. (1 â&#x20AC;&#x201C; tg x) (1 + sin 2x) = 1 + tg x. (1 + sin 2x) (cos x â&#x20AC;&#x201C; sin x) = 1 â&#x20AC;&#x201C; 2 sin2 x. tg (x + Îą) + tg (x â&#x20AC;&#x201C; Îą) = 2 ctg x. sin2 2z + sin2 3z + sin2 4z + sin2 5z = 2.

69. sin x cos x cos 2x cos 8x = --4- sin 12x.

38. sin2 3x + sin2 4x = sin2 5x + sin2 6x. sin2 2x

63. sin3 x cos 3x + cos 3x cos3 x = --8- .

1

37. cos2 3x + cos2 4x + cos2 5x = --2- .

39.

2 tg x + tg 2x = tg 4x. cos 3x + sin 5x = 0. sin x cos 5x = sin 9x cos 3x. 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. 1 + sin x + cos 3x = cos x + cos 2x + sin 2x. sin2 x (tg x + 1) = 3 sin x (cos x â&#x20AC;&#x201C; sin x) + 3. sin 2x sin 6x = cos x cos 3x. cos (x + 1) sin 2(x + 1) = cos 3(x + 1) sin 4(x + 1). sin x sin 7x = sin 3x sin 5x. cos x sin 7x = cos 3x sin 5x. sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0. cos 2x â&#x20AC;&#x201C; cos 8x + cos 6x = 1. 1

33. sin2 x + a sin2 2x = sin --6- . Đ&#x2DC;Ń Ń ĐťĐľĐ´Ń&#x192;ĐšŃ&#x201A;Đľ Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;онио.

3x cos2 -------

50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61.

62. sin x sin 2x sin 3x = --4- sin 4x.

Đ ĐľŃ&#x2C6;иŃ&#x201A;Đľ Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнонио: 32. sin2 6x + 8 sin2 3x = 0.

x cos2 ---

133

48. sin 5x sin 4x = â&#x20AC;&#x201C;cos 6x cos 3x.

4 = -----16 t .

1

§ 25. ТŃ&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Đľ Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ?

+ = 1 â&#x20AC;&#x201C; 0,5 sin 2x. 46. 47. sin 3x + sin x + 2 cos x = sin 2x + 2 cos2 x.

2 sin 3x cos 8x.

70. sin 2x sin 6x â&#x20AC;&#x201C; cos 2x cos 6x = 71. tg x + ctg 2x = 2 ctg 4x. 72. cos 3x â&#x20AC;&#x201C; cos 2x = sin 3x. 1

1

------------73. 2 sin 3x â&#x20AC;&#x201C; -----------sin x = 2 cos 3x + cos x .

74. ctg2 x â&#x20AC;&#x201C; tg2 x = 32 cos3 2x. 75. tg 2x + ctg x = 8 cos2 x. 9

76. sin2 2x â&#x20AC;&#x201C; tg2 x = --2- cos 2x. 77. sin 2x â&#x20AC;&#x201C; tg x = 2 sin 4x. sin 4x Ď&#x20AC; sin  x â&#x20AC;&#x201C; ---   4

78. ------------------------------ =

2 (sin x + cos x).

79. cos 3x tg 5x = sin 7x.


134

Đ&#x201C; Đť Đ° в Đ° 5. ТŃ&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ? cos 2 2x

3Ď&#x20AC; - â&#x20AC;&#x201C; x. 107. sin4 x â&#x20AC;&#x201C; cos4 x = cos  ----- 2 

4

81. sin x ctg 3x = cos 5x. cos 5x

108. sin 2x + sin4 --2- = cos4 --2- .

cos x

cos 3x

109. cos x =

----------------83. ---------------cos 3x â&#x20AC;&#x201C; cos x = â&#x20AC;&#x201C;2 cos 2x. 1

1

----------------------------------------------------------------------84. -------------------------------cos x cos 2x + cos 2x cos 3x + cos 3x cos 4x = 0. sin 3x cos 3x 2 --------------------------------85. ---------------cos 2x + sin 2x = sin 3x . 

Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; 2 86. cos  x â&#x20AC;&#x201C; --4-  + cos  x + --4-  = --3- cos 2x.

87. 4 sin 3x + sin 5x â&#x20AC;&#x201C; 2 sin x cos 2x = 0. Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; 88. sin  x + --3-  sin  x â&#x20AC;&#x201C; --3-  = sin x.     89. 3 cos x + 2 cos 5x + 4 cos 3x cos 4x = 0. 90. 3 sin 5x = cos 2x â&#x20AC;&#x201C; cos 8x â&#x20AC;&#x201C; sin 15x. 91. cos 2x â&#x20AC;&#x201C; sin 3x â&#x20AC;&#x201C; cos 8x = sin 10x â&#x20AC;&#x201C; cos 5x. 92. sin 2x â&#x20AC;&#x201C; cos 2x = tg x. 93. cos 3x â&#x20AC;&#x201C; sin 5x â&#x20AC;&#x201C; cos 7x = sin 4x â&#x20AC;&#x201C; cos 2x. 94. sin 2x + cos 2x = 2 tg x + 1. 95. 4 sin2 x + 3 tg2 x = 1. 96. 4 sin x sin 2x sin 3x = sin 4x. sin 4x + sin 2x â&#x20AC;&#x201C; 4 sin 3x + 2 cos x â&#x20AC;&#x201C; 4 - = 0. 97. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------sin x â&#x20AC;&#x201C; 1 1 â&#x20AC;&#x201C; cos 2x

1+ 3

- (cos x + sin x). 99. cos 2x = ----------------2 cos x â&#x20AC;&#x201C; sin x

100. ctg x â&#x20AC;&#x201C; tg x = --------------------------------. 1 --- sin 2x 2

sin2 x

= 1. sin 7x + sin 3x + 2 cos x â&#x20AC;&#x201C; cos 17x = 1 + 2 sin 8x sin x â&#x20AC;&#x201C; cos 16x. sin x â&#x20AC;&#x201C; cos x = 4 sin x cos2 x. 2 cos 2x (ctg x â&#x20AC;&#x201C; 1) = 1 + ctg x.

x 105. tg x + 2 ctg 2x = sin x  1 + tg x tg --2-  .  

3 sin x + 2 cos 3x.

1 + tg x 2 110. -------------------1 â&#x20AC;&#x201C; tg x = (sin x + cos x) .

111. sin 3x + sin x = 4 sin3 x. Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; 112. tg  --2- cos x  = ctg  --2- sin x  .    

Đ ĐľŃ&#x2C6;онио Ń&#x201A;Ń&#x20AC;иОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ Đ¸Ń&#x2026; Ń&#x20AC;авнониК, дОвНоŃ&#x201A;вОŃ&#x20AC;Ń?Ń&#x17D;Ń&#x2030;иŃ&#x2026; но ĐžŃ&#x201A;ĐžŃ&#x20AC;Ń&#x2039;Đź дОпОНниŃ&#x201A;оНŃ&#x152;Đ˝Ń&#x2039;Đź Ń ĐťĐžĐ˛Đ¸Ń?Đź. Đ&#x2DC;нОĐ´Đ° Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;онио Ń&#x201A;Ń&#x20AC;иОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ иŃ&#x2026; Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониК ĐżŃ&#x20AC;одпОНаĐ°ĐľŃ&#x201A; ĐżĐžŃ ĐťĐľĐ´Ń&#x192;Ń&#x17D;Ń&#x2030;Ń&#x192;Ń&#x17D; ĐżŃ&#x20AC;ОвоŃ&#x20AC;Ń&#x192; Ń&#x192;Ń ĐťĐžĐ˛Đ¸Đš, ĐžŃ&#x201A;ĐžŃ&#x20AC;Ń&#x2039;Đź дОНМнŃ&#x2039; Ń&#x192;дОвНоŃ&#x201A;вОŃ&#x20AC;Ń?Ń&#x201A;Ń&#x152; наКдоннŃ&#x2039;Đľ ĐžŃ&#x20AC;ни. Đ&#x2022;Ń ĐťĐ¸ Ń?Ń&#x201A;и Ń&#x192;Ń ĐťĐžĐ˛Đ¸Ń? СаĐťŃ&#x17D;Ń&#x2021;Đ°Ń&#x17D;Ń&#x201A;Ń Ń? в Ń&#x201A;ОП, Ń&#x2021;Ń&#x201A;Đž ĐžŃ&#x20AC;ни Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ? дОНМнŃ&#x2039; ĐżŃ&#x20AC;инадНоМаŃ&#x201A;Ń&#x152; СаданнОПŃ&#x192; ĐżŃ&#x20AC;ОПоМŃ&#x192;Ń&#x201A;Ń&#x192;, Ń&#x201A;Đž СадаŃ&#x2021;Đ° вŃ&#x2039;доНониŃ? Ń?Ń&#x201A;иŃ&#x2026; ĐžŃ&#x20AC;ноК Ń Đ˛ĐžĐ´Đ¸Ń&#x201A;Ń Ń?  Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;ониŃ&#x17D; ноĐžŃ&#x201A;ĐžŃ&#x20AC;ОО ноŃ&#x20AC;Đ°Đ˛ĐľĐ˝Ń Ń&#x201A;ва в Ń&#x2020;оНŃ&#x2039;Ń&#x2026; Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ°Ń&#x2026;. Đ&#x; Ń&#x20AC; и Đź Đľ Ń&#x20AC; 7. Đ?Đ°ĐšŃ&#x201A;и Đ˛Ń Đľ Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;ониŃ? Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ? (tg2 x â&#x20AC;&#x201C; 1)â&#x20AC;&#x201C;1 = 1 + cos 2x, Ń&#x192;дОвНоŃ&#x201A;вОŃ&#x20AC;Ń?Ń&#x17D;Ń&#x2030;ио ноŃ&#x20AC;Đ°Đ˛ĐľĐ˝Ń Ń&#x201A;вŃ&#x192; 2x + 1 â&#x20AC;&#x201C; 8 > 0. Đ  Đľ Ń&#x2C6; Đľ Đ˝ и Đľ. Đ&#x;Ń&#x20AC;иводоП Đ¸Ń Ń&#x2026;ОднОо Ń&#x201A;Ń&#x20AC;иОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ Оо Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнонио  видŃ&#x192; 1 -  (1 + cos 2x)  1 + --------------------2 cos 2x  = 0. 

1 2  cos x â&#x20AC;&#x201C; --2-  .

- = 98. ------------------------------sin x

101. 102. 103. 104.

x

x

cos x

----------------82. ---------------cos 3x â&#x20AC;&#x201C; cos x = 8 sin x sin 3x.

1

135

106. 2 ctg 2x â&#x20AC;&#x201C; ctg x = sin 2x + 3 sin x.

Ď&#x20AC;

--80. ---------------------------------Ď&#x20AC; = cos x â&#x20AC;&#x201C; cos 4 . --cos x + cos

§ 25. ТŃ&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Đľ Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ?

Đ?аКдоП Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;ониŃ? Ń?Ń&#x201A;ОО Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ?: Ď&#x20AC;

x = â&#x20AC;&#x201C; --2- + Ď&#x20AC;k,

Ď&#x20AC;

x = ä --3- + Ď&#x20AC;n,

k Ă? Z,

n Ă? Z.

Đ&#x;Đž Ń&#x192;Ń ĐťĐžĐ˛Đ¸Ń&#x17D; Ń Ń&#x20AC;оди Ń?Ń&#x201A;иŃ&#x2026; СнаŃ&#x2021;ониК x ноОйŃ&#x2026;ОдиПО ĐžŃ&#x201A;ОйŃ&#x20AC;Đ°Ń&#x201A;Ń&#x152; Ń&#x201A;Đ°ио, ĐžŃ&#x201A;ĐžŃ&#x20AC;Ń&#x2039;Đľ Ń&#x192;дОвНоŃ&#x201A;вОŃ&#x20AC;Ń?Ń&#x17D;Ń&#x201A; Ń&#x201A;Ń&#x20AC;ойОваниŃ?Đź 2x + 1 â&#x20AC;&#x201C; 8 > 0, cos x â&#x2C6;&#x2019; 0. Đ&#x2DC;Ń ОПŃ&#x2039;Пи СнаŃ&#x2021;ониŃ?Пи Ń?вНŃ?Ń&#x17D;Ń&#x201A;Ń Ń? Ď&#x20AC;

x = ä --3- + Ď&#x20AC;n, Ď&#x20AC;

Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. x = ä --3- + Ď&#x20AC;n, n Ă? N.

n Ă? N.


134

Đ&#x201C; Đť Đ° в Đ° 5. ТŃ&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ? cos 2 2x

3Ď&#x20AC; - â&#x20AC;&#x201C; x. 107. sin4 x â&#x20AC;&#x201C; cos4 x = cos  ----- 2 

4

81. sin x ctg 3x = cos 5x. cos 5x

108. sin 2x + sin4 --2- = cos4 --2- .

cos x

cos 3x

109. cos x =

----------------83. ---------------cos 3x â&#x20AC;&#x201C; cos x = â&#x20AC;&#x201C;2 cos 2x. 1

1

----------------------------------------------------------------------84. -------------------------------cos x cos 2x + cos 2x cos 3x + cos 3x cos 4x = 0. sin 3x cos 3x 2 --------------------------------85. ---------------cos 2x + sin 2x = sin 3x . 

Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; 2 86. cos  x â&#x20AC;&#x201C; --4-  + cos  x + --4-  = --3- cos 2x.

87. 4 sin 3x + sin 5x â&#x20AC;&#x201C; 2 sin x cos 2x = 0. Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; 88. sin  x + --3-  sin  x â&#x20AC;&#x201C; --3-  = sin x.     89. 3 cos x + 2 cos 5x + 4 cos 3x cos 4x = 0. 90. 3 sin 5x = cos 2x â&#x20AC;&#x201C; cos 8x â&#x20AC;&#x201C; sin 15x. 91. cos 2x â&#x20AC;&#x201C; sin 3x â&#x20AC;&#x201C; cos 8x = sin 10x â&#x20AC;&#x201C; cos 5x. 92. sin 2x â&#x20AC;&#x201C; cos 2x = tg x. 93. cos 3x â&#x20AC;&#x201C; sin 5x â&#x20AC;&#x201C; cos 7x = sin 4x â&#x20AC;&#x201C; cos 2x. 94. sin 2x + cos 2x = 2 tg x + 1. 95. 4 sin2 x + 3 tg2 x = 1. 96. 4 sin x sin 2x sin 3x = sin 4x. sin 4x + sin 2x â&#x20AC;&#x201C; 4 sin 3x + 2 cos x â&#x20AC;&#x201C; 4 - = 0. 97. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------sin x â&#x20AC;&#x201C; 1 1 â&#x20AC;&#x201C; cos 2x

1+ 3

- (cos x + sin x). 99. cos 2x = ----------------2 cos x â&#x20AC;&#x201C; sin x

100. ctg x â&#x20AC;&#x201C; tg x = --------------------------------. 1 --- sin 2x 2

sin2 x

= 1. sin 7x + sin 3x + 2 cos x â&#x20AC;&#x201C; cos 17x = 1 + 2 sin 8x sin x â&#x20AC;&#x201C; cos 16x. sin x â&#x20AC;&#x201C; cos x = 4 sin x cos2 x. 2 cos 2x (ctg x â&#x20AC;&#x201C; 1) = 1 + ctg x.

x 105. tg x + 2 ctg 2x = sin x  1 + tg x tg --2-  .  

3 sin x + 2 cos 3x.

1 + tg x 2 110. -------------------1 â&#x20AC;&#x201C; tg x = (sin x + cos x) .

111. sin 3x + sin x = 4 sin3 x. Ď&#x20AC; Ď&#x20AC; 112. tg  --2- cos x  = ctg  --2- sin x  .    

Đ ĐľŃ&#x2C6;онио Ń&#x201A;Ń&#x20AC;иОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ Đ¸Ń&#x2026; Ń&#x20AC;авнониК, дОвНоŃ&#x201A;вОŃ&#x20AC;Ń?Ń&#x17D;Ń&#x2030;иŃ&#x2026; но ĐžŃ&#x201A;ĐžŃ&#x20AC;Ń&#x2039;Đź дОпОНниŃ&#x201A;оНŃ&#x152;Đ˝Ń&#x2039;Đź Ń ĐťĐžĐ˛Đ¸Ń?Đź. Đ&#x2DC;нОĐ´Đ° Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;онио Ń&#x201A;Ń&#x20AC;иОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ иŃ&#x2026; Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониК ĐżŃ&#x20AC;одпОНаĐ°ĐľŃ&#x201A; ĐżĐžŃ ĐťĐľĐ´Ń&#x192;Ń&#x17D;Ń&#x2030;Ń&#x192;Ń&#x17D; ĐżŃ&#x20AC;ОвоŃ&#x20AC;Ń&#x192; Ń&#x192;Ń ĐťĐžĐ˛Đ¸Đš, ĐžŃ&#x201A;ĐžŃ&#x20AC;Ń&#x2039;Đź дОНМнŃ&#x2039; Ń&#x192;дОвНоŃ&#x201A;вОŃ&#x20AC;Ń?Ń&#x201A;Ń&#x152; наКдоннŃ&#x2039;Đľ ĐžŃ&#x20AC;ни. Đ&#x2022;Ń ĐťĐ¸ Ń?Ń&#x201A;и Ń&#x192;Ń ĐťĐžĐ˛Đ¸Ń? СаĐťŃ&#x17D;Ń&#x2021;Đ°Ń&#x17D;Ń&#x201A;Ń Ń? в Ń&#x201A;ОП, Ń&#x2021;Ń&#x201A;Đž ĐžŃ&#x20AC;ни Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ? дОНМнŃ&#x2039; ĐżŃ&#x20AC;инадНоМаŃ&#x201A;Ń&#x152; СаданнОПŃ&#x192; ĐżŃ&#x20AC;ОПоМŃ&#x192;Ń&#x201A;Ń&#x192;, Ń&#x201A;Đž СадаŃ&#x2021;Đ° вŃ&#x2039;доНониŃ? Ń?Ń&#x201A;иŃ&#x2026; ĐžŃ&#x20AC;ноК Ń Đ˛ĐžĐ´Đ¸Ń&#x201A;Ń Ń?  Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;ониŃ&#x17D; ноĐžŃ&#x201A;ĐžŃ&#x20AC;ОО ноŃ&#x20AC;Đ°Đ˛ĐľĐ˝Ń Ń&#x201A;ва в Ń&#x2020;оНŃ&#x2039;Ń&#x2026; Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ°Ń&#x2026;. Đ&#x; Ń&#x20AC; и Đź Đľ Ń&#x20AC; 7. Đ?Đ°ĐšŃ&#x201A;и Đ˛Ń Đľ Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;ониŃ? Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ? (tg2 x â&#x20AC;&#x201C; 1)â&#x20AC;&#x201C;1 = 1 + cos 2x, Ń&#x192;дОвНоŃ&#x201A;вОŃ&#x20AC;Ń?Ń&#x17D;Ń&#x2030;ио ноŃ&#x20AC;Đ°Đ˛ĐľĐ˝Ń Ń&#x201A;вŃ&#x192; 2x + 1 â&#x20AC;&#x201C; 8 > 0. Đ  Đľ Ń&#x2C6; Đľ Đ˝ и Đľ. Đ&#x;Ń&#x20AC;иводоП Đ¸Ń Ń&#x2026;ОднОо Ń&#x201A;Ń&#x20AC;иОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ Оо Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнонио  видŃ&#x192; 1 -  (1 + cos 2x)  1 + --------------------2 cos 2x  = 0. 

1 2  cos x â&#x20AC;&#x201C; --2-  .

- = 98. ------------------------------sin x

101. 102. 103. 104.

x

x

cos x

----------------82. ---------------cos 3x â&#x20AC;&#x201C; cos x = 8 sin x sin 3x.

1

135

106. 2 ctg 2x â&#x20AC;&#x201C; ctg x = sin 2x + 3 sin x.

Ď&#x20AC;

--80. ---------------------------------Ď&#x20AC; = cos x â&#x20AC;&#x201C; cos 4 . --cos x + cos

§ 25. ТŃ&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Đľ Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ?

Đ?аКдоП Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;ониŃ? Ń?Ń&#x201A;ОО Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ?: Ď&#x20AC;

x = â&#x20AC;&#x201C; --2- + Ď&#x20AC;k,

Ď&#x20AC;

x = ä --3- + Ď&#x20AC;n,

k Ă? Z,

n Ă? Z.

Đ&#x;Đž Ń&#x192;Ń ĐťĐžĐ˛Đ¸Ń&#x17D; Ń Ń&#x20AC;оди Ń?Ń&#x201A;иŃ&#x2026; СнаŃ&#x2021;ониК x ноОйŃ&#x2026;ОдиПО ĐžŃ&#x201A;ОйŃ&#x20AC;Đ°Ń&#x201A;Ń&#x152; Ń&#x201A;Đ°ио, ĐžŃ&#x201A;ĐžŃ&#x20AC;Ń&#x2039;Đľ Ń&#x192;дОвНоŃ&#x201A;вОŃ&#x20AC;Ń?Ń&#x17D;Ń&#x201A; Ń&#x201A;Ń&#x20AC;ойОваниŃ?Đź 2x + 1 â&#x20AC;&#x201C; 8 > 0, cos x â&#x2C6;&#x2019; 0. Đ&#x2DC;Ń ОПŃ&#x2039;Пи СнаŃ&#x2021;ониŃ?Пи Ń?вНŃ?Ń&#x17D;Ń&#x201A;Ń Ń? Ď&#x20AC;

x = ä --3- + Ď&#x20AC;n, Ď&#x20AC;

Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. x = ä --3- + Ď&#x20AC;n, n Ă? N.

n Ă? N.


136

Г л а в а 5. Тригонометрия 113. Найдите все решения уравнения sin ( 1 – x ) =

удовлетворяющие условию x Ý [0; 2π]. 114. Найдите все решения уравнения

.

Р е ш е н и е. Упростим исходное уравнение: 5x

_ 1 + (sin x – cos x) -----2 = 1 + cos 5x _ π _ cos 5x + cos  x + --4-  = 0 _  

π π _ 2 cos  3x + --8-  cos  2x – --8-  = 0.    

m -----4 .

116. Найдите все решения уравнения

Таим образом, уравнение (*) эвивалентно уравнениям

1 --- (cos 5x + cos 7x) – cos2 2x + sin2 3x = 0, 2

удовлетворяющие условию | x | < 2.

π cos  3x + --8-  = 0,   π



π cos  2x – --8-  = 0,  

имеющим соответственно следующие решения:

Решите уравнение: 5

118. sin --x- = cos 3x.

119. sin x = cos x .  120. Доажите, что уравнение sin (cos x) = cos (sin x) не имеет орней. Решите уравнение: 2π 2π - cos x  = cos  ------- sin x  . 121. sin  ----- 5   5 

122. sin (π ctg x) = cos (π tg x). 123. Найдите орни уравнения sin (x – 2) = sin (3x – 4), принадлежащие промежуту (–π; π). 

В тех случаях, ода дополнительные условия представлены неравенством, содержащим трионометричесие фунции, выделение нужных орней производится на промежуте, равном наименьшему общему ратному периодов трионометричесих фунций, входящих в уравнение и неравенство.

πn

x = --8- + -----3 , 5π

πn

------x = -----16 + 2 ,





(**)

2

удовлетворяющие условию

117. tg x2 = ctg 5x.

(*)

sin 6x < 0. π

x x sin --2- – cos --2- = 1 – sin x,



5x

1 + (sin x – cos x) sin --4- = 2 cos2 -----2 _

115. Найдите все решения уравнения

π x --- – --2 2

π

1 + (sin x – cos x) sin --4- = 2 cos2 -----2 ,

удовлетворяющие условию

cos4 x – 3 cos 3x = 3 cos x – cos3 x cos 3x, принадлежащие промежуту

137

П р и м е р 8. Найти все решения уравнения

cos x ,

π –π; --2-

§ 25. Тригонометрические уравнения

n Ý Z, n Ý Z.

Наименьшее общее ратное периодов трионометричесих фунций, входящих в уравнение (*) и неравенство (**), равно 2π. Из найденных решений уравнения, принадлежащих промежут5π

------у [0; 2π), неравенству (**) удовлетворят числа -----16 и 16 + π. Все

решения исходноо уравнения получаются прибавлением  аждому из найденных решений чисел, ратных 2π. 5π

Ответ. x = -----16 + πk, k Ý Z.

124. Найдите все решения уравнения 3π 7π 5 – 8 cos  x – -------  = 2 sin  2x – -------  ,   2  2 

удовлетворяющие неравенству cos x > 0.


136

Г л а в а 5. Тригонометрия 113. Найдите все решения уравнения sin ( 1 – x ) =

удовлетворяющие условию x Ý [0; 2π]. 114. Найдите все решения уравнения

.

Р е ш е н и е. Упростим исходное уравнение: 5x

_ 1 + (sin x – cos x) -----2 = 1 + cos 5x _ π _ cos 5x + cos  x + --4-  = 0 _  

π π _ 2 cos  3x + --8-  cos  2x – --8-  = 0.    

m -----4 .

116. Найдите все решения уравнения

Таим образом, уравнение (*) эвивалентно уравнениям

1 --- (cos 5x + cos 7x) – cos2 2x + sin2 3x = 0, 2

удовлетворяющие условию | x | < 2.

π cos  3x + --8-  = 0,   π



π cos  2x – --8-  = 0,  

имеющим соответственно следующие решения:

Решите уравнение: 5

118. sin --x- = cos 3x.

119. sin x = cos x .  120. Доажите, что уравнение sin (cos x) = cos (sin x) не имеет орней. Решите уравнение: 2π 2π - cos x  = cos  ------- sin x  . 121. sin  ----- 5   5 

122. sin (π ctg x) = cos (π tg x). 123. Найдите орни уравнения sin (x – 2) = sin (3x – 4), принадлежащие промежуту (–π; π). 

В тех случаях, ода дополнительные условия представлены неравенством, содержащим трионометричесие фунции, выделение нужных орней производится на промежуте, равном наименьшему общему ратному периодов трионометричесих фунций, входящих в уравнение и неравенство.

πn

x = --8- + -----3 , 5π

πn

------x = -----16 + 2 ,





(**)

2

удовлетворяющие условию

117. tg x2 = ctg 5x.

(*)

sin 6x < 0. π

x x sin --2- – cos --2- = 1 – sin x,



5x

1 + (sin x – cos x) sin --4- = 2 cos2 -----2 _

115. Найдите все решения уравнения

π x --- – --2 2

π

1 + (sin x – cos x) sin --4- = 2 cos2 -----2 ,

удовлетворяющие условию

cos4 x – 3 cos 3x = 3 cos x – cos3 x cos 3x, принадлежащие промежуту

137

П р и м е р 8. Найти все решения уравнения

cos x ,

π –π; --2-

§ 25. Тригонометрические уравнения

n Ý Z, n Ý Z.

Наименьшее общее ратное периодов трионометричесих фунций, входящих в уравнение (*) и неравенство (**), равно 2π. Из найденных решений уравнения, принадлежащих промежут5π

------у [0; 2π), неравенству (**) удовлетворят числа -----16 и 16 + π. Все

решения исходноо уравнения получаются прибавлением  аждому из найденных решений чисел, ратных 2π. 5π

Ответ. x = -----16 + πk, k Ý Z.

124. Найдите все решения уравнения 3π 7π 5 – 8 cos  x – -------  = 2 sin  2x – -------  ,   2  2 

удовлетворяющие неравенству cos x > 0.


138

Г л а в а 5. Тригонометрия 125. Найдите все решения уравнения tg x + sin x +

tg x – sin x =

2 + tg x – 

16 ------ + tg x = 9

3 tg x

π π π π tg  --4- + x  = ctg  --2- – --4- – x  = ctg  --4- – x  .      

Та а π 1 tg  --4- – x  = -------------------------------- ,   π 

2 --- – cos 2 x . 9

ctg  --- – x  4

то левая часть уравнения (*) представляет собой сумму двух взаимно обратных величин. Известно, что при a > 0 справедливо неравенство

127. Найдите все решения уравнения π 3π  sin  x – --4-  – cos  x + -----4  = 1,    2 cos 7x

удовлетворяющие неравенству --------------------------------cos 3 + sin 3 > 2 

1

·

cos 2x

a + --a- l 2. .

Таим образом, равенство (*) достиается тольо при условии

128. Найдите все решения уравнения

π tg  --4- + x  = 1.  

π 1 sin  x + --4-  = -------------------------- ,  2 2 cos x

Ответ. x = πn, n Ý Z. sin x + sin 3x = 2.

π 5π  sin  4x + --4-  + cos  4x + -----4  = cos 2x



П р и м е р 10. Решить уравнение

129. Найдите все решения уравнения

удовлетворяющие неравенству -------------------------------cos 2 – sin 2 > 2

Р е ш е н и е. Та а |sin x| m 1, |sin 3x| m 1, то исходное уравнение эвивалентно системе

2, –sin 4x

sin x = 1,

.

π

x = --2- + 2πk,

2 sin2 x,

и

удовлетворяющие неравенству log cos 2 3 (1 + sin (7x + 5)) < sin 8x. Использование оцено обеих частей трионометричес оо равнения. Неоторые трионометричесие уравнения удается решить, используя оцени левой и правой частей уравнения.

π

2πn

x = --6- + ---------3 ,

kÝZ

(*)

n Ý Z.

(**)

Решением системы, а следовательно, и исходноо уравнения, моут быть тольо те значения x, оторые принадлежат а первому, та и второму множеству. Приравнивая правые части равенств (*) и (**), получаем уравнение 2πn π π --- + 2πk = --- + ----------- , 3 6 2

П р и м е р 9. Решить уравнение π π tg  --4- + x  + tg  --4- – x  = 2.    

sin 3x = 1.

Множества решений этих уравнений соответственно имеют вид

130. Найдите все решения уравнения π sin  2x – --4-  =  

(**)

Множество решений уравнения (**) имеет вид x = πn, n Ý Z.

удовлетворяющие неравенству log sin2 3 (1 + cos (2x + 4)) < cos 4x. 

139

Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой приведения, получаем

а) на промежуте [0; π]; б) на всей числовой прямой. 126. Решите уравнение cos 2 x

§ 25. Тригонометрические уравнения

(*)

оторое после тождественных преобразований приводится  виду 2n – 6k = 1.

(***)


138

Г л а в а 5. Тригонометрия 125. Найдите все решения уравнения tg x + sin x +

tg x – sin x =

2 + tg x – 

16 ------ + tg x = 9

3 tg x

π π π π tg  --4- + x  = ctg  --2- – --4- – x  = ctg  --4- – x  .      

Та а π 1 tg  --4- – x  = -------------------------------- ,   π 

2 --- – cos 2 x . 9

ctg  --- – x  4

то левая часть уравнения (*) представляет собой сумму двух взаимно обратных величин. Известно, что при a > 0 справедливо неравенство

127. Найдите все решения уравнения π 3π  sin  x – --4-  – cos  x + -----4  = 1,    2 cos 7x

удовлетворяющие неравенству --------------------------------cos 3 + sin 3 > 2 

1

·

cos 2x

a + --a- l 2. .

Таим образом, равенство (*) достиается тольо при условии

128. Найдите все решения уравнения

π tg  --4- + x  = 1.  

π 1 sin  x + --4-  = -------------------------- ,  2 2 cos x

Ответ. x = πn, n Ý Z. sin x + sin 3x = 2.

π 5π  sin  4x + --4-  + cos  4x + -----4  = cos 2x



П р и м е р 10. Решить уравнение

129. Найдите все решения уравнения

удовлетворяющие неравенству -------------------------------cos 2 – sin 2 > 2

Р е ш е н и е. Та а |sin x| m 1, |sin 3x| m 1, то исходное уравнение эвивалентно системе

2, –sin 4x

sin x = 1,

.

π

x = --2- + 2πk,

2 sin2 x,

и

удовлетворяющие неравенству log cos 2 3 (1 + sin (7x + 5)) < sin 8x. Использование оцено обеих частей трионометричес оо равнения. Неоторые трионометричесие уравнения удается решить, используя оцени левой и правой частей уравнения.

π

2πn

x = --6- + ---------3 ,

kÝZ

(*)

n Ý Z.

(**)

Решением системы, а следовательно, и исходноо уравнения, моут быть тольо те значения x, оторые принадлежат а первому, та и второму множеству. Приравнивая правые части равенств (*) и (**), получаем уравнение 2πn π π --- + 2πk = --- + ----------- , 3 6 2

П р и м е р 9. Решить уравнение π π tg  --4- + x  + tg  --4- – x  = 2.    

sin 3x = 1.

Множества решений этих уравнений соответственно имеют вид

130. Найдите все решения уравнения π sin  2x – --4-  =  

(**)

Множество решений уравнения (**) имеет вид x = πn, n Ý Z.

удовлетворяющие неравенству log sin2 3 (1 + cos (2x + 4)) < cos 4x. 

139

Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой приведения, получаем

а) на промежуте [0; π]; б) на всей числовой прямой. 126. Решите уравнение cos 2 x

§ 25. Тригонометрические уравнения

(*)

оторое после тождественных преобразований приводится  виду 2n – 6k = 1.

(***)


140

Г л а в а 5. Тригонометрия

Очевидно, что уравнение (***) не имеет решений в целых числах, посольу при любых n и k слева находится четное число, а справа — нечетное. Таим образом, множества (*) и (**) не имеют общих точе и исходное уравнение решения не имеет.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений 3

-, sin x sin y = -----4 cos x cos y = -----4 .

Р е ш е н и е. Сладывая уравнения системы, получаем уравнение

3

134. cos x + cos y – cos (x + y) = --2- . 135. sin x + sin y = 2. 136. sin x + sin y + sin z = –3. 137. logcos x sin x + logsin x cos x = 2.

3

3

------sin x sin y + cos x cos y = -----2 _ cos (x – y) = 2 .

Вычитая из второо уравнения системы первое, приходим  уравнению

138. cos2 x + cos x cos y + cos2 y = 0. 139.

141

3

Решите уравнение: 131. sin x + sin 5x = 2. 132. sin x sin y = 1. 133. 3lg tg x + 3lg ctg x = 2. 

§ 26. Системы тригонометрических уравнений

2 – y (5 sin2 x – 6 sin x cos x – 9 cos2 x + 3 3 33 ) =

cos x cos y – sin x sin y = 0 _ cos (x + y) = 0. Таим образом, исходная система равносильна системе

5π 2

= arcsin2 x + arccos2 x – --------4 . π 2  3π  140. tg x = --π-  x – --4- – x – -------  . 4  

141. Доажите, что уравнение (sin x + 3 cos x) sin 4x = 2 не имеет решений. 142. Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению 

4x 2 – 3 – x 8 [1 – cos (2π(2x + 21x2))]

Систему уравнений, в оторой неизвестные являются арументами трионометричесих фунций, называют системой трионометричесих равнений. При решении систем трионометричесих уравнений используются методы решения систем уравнений и методы решения трионометричесих уравнений.

π

x + y = --2- + πk,

π

π

π

π

x = --3- + --2- (2n + k),

n Ý Z, k Ý Z,

π

π

π

π

x = --6- + --2- (2n + k),

y = --6- + --2- (k – 2n),

y = --3- + --2- (k – 2n).

π π π π Ответ.  --3- + --2- (2n + k); --6- + --2- (k – 2n)  ,  

не обращается в нуль.

§ 26. Системы тригонометрических уравнений

x – y = ä --6- + 2πn,

отуда

πx  49 – 4x  sin πx + 3 cos -----2  = 0. 

143. Найдите все значения x, при оторых выражение

π

3

cos (x – y) = -----2 , _ cos (x + y) = 0

 --π- + --π- (2n + k); --π- + --π- (k – 2n)  , 2 3 2 6 

n Ý Z, k Ý Z.

Решите систему уравнений: 1.

sin x cos y = –0,5, cos x sin y = 0,5.

3.

sin x sin y = --4- , tg x tg y = 3.

2.

sin x cos y = 0,36, cos x sin y = 0,175. 1+ 2

3

4.

-, cos x cos y = ----------------4

ctg x ctg y = 3 + 2 2 .


140

Г л а в а 5. Тригонометрия

Очевидно, что уравнение (***) не имеет решений в целых числах, посольу при любых n и k слева находится четное число, а справа — нечетное. Таим образом, множества (*) и (**) не имеют общих точе и исходное уравнение решения не имеет.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений 3

-, sin x sin y = -----4 cos x cos y = -----4 .

Р е ш е н и е. Сладывая уравнения системы, получаем уравнение

3

134. cos x + cos y – cos (x + y) = --2- . 135. sin x + sin y = 2. 136. sin x + sin y + sin z = –3. 137. logcos x sin x + logsin x cos x = 2.

3

3

------sin x sin y + cos x cos y = -----2 _ cos (x – y) = 2 .

Вычитая из второо уравнения системы первое, приходим  уравнению

138. cos2 x + cos x cos y + cos2 y = 0. 139.

141

3

Решите уравнение: 131. sin x + sin 5x = 2. 132. sin x sin y = 1. 133. 3lg tg x + 3lg ctg x = 2. 

§ 26. Системы тригонометрических уравнений

2 – y (5 sin2 x – 6 sin x cos x – 9 cos2 x + 3 3 33 ) =

cos x cos y – sin x sin y = 0 _ cos (x + y) = 0. Таим образом, исходная система равносильна системе

5π 2

= arcsin2 x + arccos2 x – --------4 . π 2  3π  140. tg x = --π-  x – --4- – x – -------  . 4  

141. Доажите, что уравнение (sin x + 3 cos x) sin 4x = 2 не имеет решений. 142. Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению 

4x 2 – 3 – x 8 [1 – cos (2π(2x + 21x2))]

Систему уравнений, в оторой неизвестные являются арументами трионометричесих фунций, называют системой трионометричесих равнений. При решении систем трионометричесих уравнений используются методы решения систем уравнений и методы решения трионометричесих уравнений.

π

x + y = --2- + πk,

π

π

π

π

x = --3- + --2- (2n + k),

n Ý Z, k Ý Z,

π

π

π

π

x = --6- + --2- (2n + k),

y = --6- + --2- (k – 2n),

y = --3- + --2- (k – 2n).

π π π π Ответ.  --3- + --2- (2n + k); --6- + --2- (k – 2n)  ,  

не обращается в нуль.

§ 26. Системы тригонометрических уравнений

x – y = ä --6- + 2πn,

отуда

πx  49 – 4x  sin πx + 3 cos -----2  = 0. 

143. Найдите все значения x, при оторых выражение

π

3

cos (x – y) = -----2 , _ cos (x + y) = 0

 --π- + --π- (2n + k); --π- + --π- (k – 2n)  , 2 3 2 6 

n Ý Z, k Ý Z.

Решите систему уравнений: 1.

sin x cos y = –0,5, cos x sin y = 0,5.

3.

sin x sin y = --4- , tg x tg y = 3.

2.

sin x cos y = 0,36, cos x sin y = 0,175. 1+ 2

3

4.

-, cos x cos y = ----------------4

ctg x ctg y = 3 + 2 2 .


142

Đ&#x201C; Đť Đ° в Đ° 5. ТŃ&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ? 5. 6.

7.

8. 9.

10.

11. 12.

sin x â&#x20AC;&#x201C; sin y = 0,5,

sin 2x + sin 2y = 3(sin x + sin y), cos 2x + cos 2y = cos x + cos y.

143

2 3 cos x + 6 sin y = 3 + 12 sin2 x, 4 3 cos x + 2 sin y = 7. 2y +

12 ctg x = 4,

2 2y â&#x20AC;&#x201C;

27 ctg x = 1.

3 tg 3y + 2 cos x = 2 tg 60°,

tg x cos y = 0,5 3 .

19.

tg x = sin y, sin x = 2 ctg y. sin y = 5 sin x, 3 cos x + cos y = 2. y 3 tg --2- + 6 sin x = 2 sin (y â&#x20AC;&#x201C; x),

5

2 tg 3y â&#x20AC;&#x201C; 3 cos x = â&#x20AC;&#x201C; --3- cos 30°.

20.

sin (y â&#x20AC;&#x201C; 3x) = 2 sin3 x, cos (y â&#x20AC;&#x201C; 3x) = 2 cos3 x.

21.

sin (x â&#x20AC;&#x201C; y) = 3 sin x cos y â&#x20AC;&#x201C; 1, sin (x + y) = â&#x20AC;&#x201C;2 cos x sin y.

22.

tg2 x + ctg2 x = 2 sin2 y, sin2 y + cos2 z = 1.

y

tg --2- â&#x20AC;&#x201C; 2 sin x = 6 sin (y + x).

Ď&#x20AC;

x + y = --3- ,

23.

3 tg x ----------- = --- . 4 tg y

sin2 x

+ cos x sin y = cos 2y, cos 2x + sin 2y = sin2 y + 3 cos y sin x. 24.

sin2 y

2 + sin 2y = cos (x + y), cos2 x + 2 sin 2y + sin2 y = cos (x â&#x20AC;&#x201C; y).

tg2 5y + (3 â&#x20AC;&#x201C; sin2 3x + (4 â&#x20AC;&#x201C;

16.

18.

sin x ctg y = 0,5 6 ,

13.

15.

17.

cos x + cos y = 0,5 3 .

sin2 (â&#x20AC;&#x201C;2x) â&#x20AC;&#x201C; (3 â&#x20AC;&#x201C;

14.

§ 26. ĐĄĐ¸Ń Ń&#x201A;оПŃ&#x2039; Ń&#x201A;Ń&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониК

3 2â&#x20AC;&#x201C;1 2 ) tg 5y = --------------------, 2 3 2â&#x20AC;&#x201C;1



25.

4

sin x

4

â&#x20AC;&#x201C;sin x

+3¡ 9

cos y

+ 5 ¡ 81

= 3,

cos y + 0,5

= 5,5. tg x ----------- = 2, tg y

x + y + z = Ď&#x20AC;, tg x tg y = 2, tg x + tg y + tg z = 6.



26.

tg y ---------- = 3, tg z

2 ) sin (â&#x20AC;&#x201C;2x) = --------------------. 2 3

3 ) ctg (â&#x20AC;&#x201C;7y) = 2 3 â&#x20AC;&#x201C; --4- ,

ctg2 (â&#x20AC;&#x201C;7y) + (4 â&#x20AC;&#x201C;

3

3 ) sin 3x = 2 3 â&#x20AC;&#x201C; --4- .

4 sin y â&#x20AC;&#x201C; 6 2 cos x = 5 + 4 cos2 y, cos 2x = 0. 1 + 2 cos 2x = 0, 6 cos y â&#x20AC;&#x201C; 4 sin x = 2 3 (1 + sin2 y).

x + y + z = Ď&#x20AC;. 27. Đ?аКдиŃ&#x201A;Đľ Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;ониŃ? Ń Đ¸Ń Ń&#x201A;оПŃ&#x2039; 1

| sin x | sin y = â&#x20AC;&#x201C; --4- , 3

cos (x + y) + cos (x â&#x20AC;&#x201C; y) = --2- , Ń&#x192;дОвНоŃ&#x201A;вОŃ&#x20AC;Ń?Ń&#x17D;Ń&#x2030;ио Ń&#x192;Ń ĐťĐžĐ˛Đ¸Ń?Đź x Ă? (0; 2Ď&#x20AC;); y Ă? (Ď&#x20AC;; 2Ď&#x20AC;). Đ&#x2022;Ń ĐťĐ¸ ОднО иС Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониК Ń Đ¸Ń Ń&#x201A;оПŃ&#x2039; Ń&#x20AC;Đ°Ń&#x2020;иОнаНŃ&#x152;нО ĐžŃ&#x201A;Đ˝ĐžŃ Đ¸Ń&#x201A;оНŃ&#x152;нО Đ°Ń&#x20AC;Ń&#x192;ПонŃ&#x201A;Ов Ń&#x201A;Ń&#x20AC;иОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ иŃ&#x2026; Ń&#x201E;Ń&#x192;Đ˝Ń&#x2020;иК, Ń&#x201A;Đž Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;онио Ń Đ¸Ń Ń&#x201A;оПŃ&#x2039; ОйŃ&#x2039;Ń&#x2021;нО Ń Đ˛ĐžĐ´Đ¸Ń&#x201A;Ń Ń?  Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;ониŃ&#x17D; Ń&#x201A;Ń&#x20AC;иОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ ĐžĐž Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ? Đ´ĐťŃ? ОднОĐž иС Đ˝ĐľĐ¸ĐˇĐ˛ĐľŃ Ń&#x201A;Đ˝Ń&#x2039;Ń&#x2026;.


142

Đ&#x201C; Đť Đ° в Đ° 5. ТŃ&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ? 5. 6.

7.

8. 9.

10.

11. 12.

sin x â&#x20AC;&#x201C; sin y = 0,5,

sin 2x + sin 2y = 3(sin x + sin y), cos 2x + cos 2y = cos x + cos y.

143

2 3 cos x + 6 sin y = 3 + 12 sin2 x, 4 3 cos x + 2 sin y = 7. 2y +

12 ctg x = 4,

2 2y â&#x20AC;&#x201C;

27 ctg x = 1.

3 tg 3y + 2 cos x = 2 tg 60°,

tg x cos y = 0,5 3 .

19.

tg x = sin y, sin x = 2 ctg y. sin y = 5 sin x, 3 cos x + cos y = 2. y 3 tg --2- + 6 sin x = 2 sin (y â&#x20AC;&#x201C; x),

5

2 tg 3y â&#x20AC;&#x201C; 3 cos x = â&#x20AC;&#x201C; --3- cos 30°.

20.

sin (y â&#x20AC;&#x201C; 3x) = 2 sin3 x, cos (y â&#x20AC;&#x201C; 3x) = 2 cos3 x.

21.

sin (x â&#x20AC;&#x201C; y) = 3 sin x cos y â&#x20AC;&#x201C; 1, sin (x + y) = â&#x20AC;&#x201C;2 cos x sin y.

22.

tg2 x + ctg2 x = 2 sin2 y, sin2 y + cos2 z = 1.

y

tg --2- â&#x20AC;&#x201C; 2 sin x = 6 sin (y + x).

Ď&#x20AC;

x + y = --3- ,

23.

3 tg x ----------- = --- . 4 tg y

sin2 x

+ cos x sin y = cos 2y, cos 2x + sin 2y = sin2 y + 3 cos y sin x. 24.

sin2 y

2 + sin 2y = cos (x + y), cos2 x + 2 sin 2y + sin2 y = cos (x â&#x20AC;&#x201C; y).

tg2 5y + (3 â&#x20AC;&#x201C; sin2 3x + (4 â&#x20AC;&#x201C;

16.

18.

sin x ctg y = 0,5 6 ,

13.

15.

17.

cos x + cos y = 0,5 3 .

sin2 (â&#x20AC;&#x201C;2x) â&#x20AC;&#x201C; (3 â&#x20AC;&#x201C;

14.

§ 26. ĐĄĐ¸Ń Ń&#x201A;оПŃ&#x2039; Ń&#x201A;Ń&#x20AC;игОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониК

3 2â&#x20AC;&#x201C;1 2 ) tg 5y = --------------------, 2 3 2â&#x20AC;&#x201C;1



25.

4

sin x

4

â&#x20AC;&#x201C;sin x

+3¡ 9

cos y

+ 5 ¡ 81

= 3,

cos y + 0,5

= 5,5. tg x ----------- = 2, tg y

x + y + z = Ď&#x20AC;, tg x tg y = 2, tg x + tg y + tg z = 6.



26.

tg y ---------- = 3, tg z

2 ) sin (â&#x20AC;&#x201C;2x) = --------------------. 2 3

3 ) ctg (â&#x20AC;&#x201C;7y) = 2 3 â&#x20AC;&#x201C; --4- ,

ctg2 (â&#x20AC;&#x201C;7y) + (4 â&#x20AC;&#x201C;

3

3 ) sin 3x = 2 3 â&#x20AC;&#x201C; --4- .

4 sin y â&#x20AC;&#x201C; 6 2 cos x = 5 + 4 cos2 y, cos 2x = 0. 1 + 2 cos 2x = 0, 6 cos y â&#x20AC;&#x201C; 4 sin x = 2 3 (1 + sin2 y).

x + y + z = Ď&#x20AC;. 27. Đ?аКдиŃ&#x201A;Đľ Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;ониŃ? Ń Đ¸Ń Ń&#x201A;оПŃ&#x2039; 1

| sin x | sin y = â&#x20AC;&#x201C; --4- , 3

cos (x + y) + cos (x â&#x20AC;&#x201C; y) = --2- , Ń&#x192;дОвНоŃ&#x201A;вОŃ&#x20AC;Ń?Ń&#x17D;Ń&#x2030;ио Ń&#x192;Ń ĐťĐžĐ˛Đ¸Ń?Đź x Ă? (0; 2Ď&#x20AC;); y Ă? (Ď&#x20AC;; 2Ď&#x20AC;). Đ&#x2022;Ń ĐťĐ¸ ОднО иС Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониК Ń Đ¸Ń Ń&#x201A;оПŃ&#x2039; Ń&#x20AC;Đ°Ń&#x2020;иОнаНŃ&#x152;нО ĐžŃ&#x201A;Đ˝ĐžŃ Đ¸Ń&#x201A;оНŃ&#x152;нО Đ°Ń&#x20AC;Ń&#x192;ПонŃ&#x201A;Ов Ń&#x201A;Ń&#x20AC;иОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ иŃ&#x2026; Ń&#x201E;Ń&#x192;Đ˝Ń&#x2020;иК, Ń&#x201A;Đž Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;онио Ń Đ¸Ń Ń&#x201A;оПŃ&#x2039; ОйŃ&#x2039;Ń&#x2021;нО Ń Đ˛ĐžĐ´Đ¸Ń&#x201A;Ń Ń?  Ń&#x20AC;ĐľŃ&#x2C6;ониŃ&#x17D; Ń&#x201A;Ń&#x20AC;иОнОПоŃ&#x201A;Ń&#x20AC;иŃ&#x2021;ĐľŃ ĐžĐž Ń&#x192;Ń&#x20AC;авнониŃ? Đ´ĐťŃ? ОднОĐž иС Đ˝ĐľĐ¸ĐˇĐ˛ĐľŃ Ń&#x201A;Đ˝Ń&#x2039;Ń&#x2026;.


144

Г л а в а 5. Тригонометрия

x + y = -----3 ,

Решения простейших уравнений, содержащих обратные трионометричесие фунции, приведены в таблице:

sin x ------------- = 2. sin y

Р е ш е н и е. Преобразуем второе уравнение системы  виду sin x = 2 sin y.

(*)

Используя первое уравнение системы, ислючим из уравнения (*) неизвестное y: 3 cos x + sin x.

Полученное уравнение эвивалентно трионометричесому уравнению cos x = 0. (**) Подставляя орни уравнения (**) в первое уравнение системы, получим значения для неизвестноо y. π π Ответ. x = --2- + πk, y = --6- – πk, k Ý Z.

29.

π

31.

 | a | m --π-  2  

x = sin a

arccos x = a

(0 m a m π)

x = cos a

arctg x = a

 | a | < --π-  2  

x = tg a

arcctg x = a

(0 < a < π)

x = ctg a

Уравнения вида R (y (x)) = 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y(x) — одна из арфунций, сводятся  простейшим уравнениям

2 arcsin2 x – arcsin x – 6 = 0.

tg x + ctg y = 3, 30.

π

| x – y | = --3- .

sin x + sin y = sin (x + y), | x | + | y | = 1.

32. Выясните, при аих значениях a решения системы 8 cos x cos y cos (x – y) + 1 = 0, x+y=a существуют, и найдите эти решения.

arcsin x = a

П р и м е р 1. Решить уравнение

π  π 1  ---  --sin  x + -----18  sin  y + 9  = 2 . 

x – y = --6- .

Решение уравнения

де yi — орни уравнения R (y) = 0.

π x – y = -----18 ,

1 – tg x --------------------- = tg y, 1 + tg x

Уравнение

y (x) = yi,

Решите систему:

28.

145

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

2π  sin x = 2 sin  -----3 – x  _ sin x =

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

Р е ш е н и е. Введя новое неизвестное y = arcsin x, получим уравнение 2y2 – y – 6 = 0, имеющее орни y1 = 2, y2 = –1,5. Следовательно, решение исходноо уравнения сводится  решению двух простейших уравнений arcsin x = 2, arcsin x = –1,5. π

π

Та а 2 > --2- , а |–1,5| < --2- , то единственным решением является x = –sin 1,5. Ответ. x = –sin 1,5.


144

Г л а в а 5. Тригонометрия

x + y = -----3 ,

Решения простейших уравнений, содержащих обратные трионометричесие фунции, приведены в таблице:

sin x ------------- = 2. sin y

Р е ш е н и е. Преобразуем второе уравнение системы  виду sin x = 2 sin y.

(*)

Используя первое уравнение системы, ислючим из уравнения (*) неизвестное y: 3 cos x + sin x.

Полученное уравнение эвивалентно трионометричесому уравнению cos x = 0. (**) Подставляя орни уравнения (**) в первое уравнение системы, получим значения для неизвестноо y. π π Ответ. x = --2- + πk, y = --6- – πk, k Ý Z.

29.

π

31.

 | a | m --π-  2  

x = sin a

arccos x = a

(0 m a m π)

x = cos a

arctg x = a

 | a | < --π-  2  

x = tg a

arcctg x = a

(0 < a < π)

x = ctg a

Уравнения вида R (y (x)) = 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y(x) — одна из арфунций, сводятся  простейшим уравнениям

2 arcsin2 x – arcsin x – 6 = 0.

tg x + ctg y = 3, 30.

π

| x – y | = --3- .

sin x + sin y = sin (x + y), | x | + | y | = 1.

32. Выясните, при аих значениях a решения системы 8 cos x cos y cos (x – y) + 1 = 0, x+y=a существуют, и найдите эти решения.

arcsin x = a

П р и м е р 1. Решить уравнение

π  π 1  ---  --sin  x + -----18  sin  y + 9  = 2 . 

x – y = --6- .

Решение уравнения

де yi — орни уравнения R (y) = 0.

π x – y = -----18 ,

1 – tg x --------------------- = tg y, 1 + tg x

Уравнение

y (x) = yi,

Решите систему:

28.

145

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

2π  sin x = 2 sin  -----3 – x  _ sin x =

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

Р е ш е н и е. Введя новое неизвестное y = arcsin x, получим уравнение 2y2 – y – 6 = 0, имеющее орни y1 = 2, y2 = –1,5. Следовательно, решение исходноо уравнения сводится  решению двух простейших уравнений arcsin x = 2, arcsin x = –1,5. π

π

Та а 2 > --2- , а |–1,5| < --2- , то единственным решением является x = –sin 1,5. Ответ. x = –sin 1,5.


146

Г л а в а 5. Тригонометрия Решите уравнение: 1.

147

Возведя обе части уравнения в вадрат и приведя подобные члены, получаем уравнение

x --3 – 4 arctg 3 – 5 = 0.

x arctg2 ---

144x2 = 1,

2. arctg2 (3x + 2) + 2 arctg (3x + 2) = 0.

1

1

-----орнями отороо являются числа -----12 и – 12 .

π2 -----π 9 3. 2 arcsin x = --3- + --------------------arcsin x .

Выполним проверу. Подставив в уравнение (*) значение 1

x = – -----12 , имеем

4. 3 arctg2 x – 4π arctg x + π2 = 0.  5. Найдите решения уравнения

 π π 1 3  π ------arcsin  – --2-  + arcsin  – -----2  = –6 – 3 = –2 .  

a2 2 arccos x = a + --------------------arccos x

1

Таим образом, x = – -----12 является орнем исходноо уравнения.

при действительных значениях a. Если в уравнение входят выражения, содержащие разные арфунции, или эти арфунции зависят от разных арументов, то ео сводят  алебраичесому уравнению вычислением неоторой трионометричесой фунции от обеих частей данноо уравнения. Получающиеся при этом посторонние орни отделяют проверой. Если в ачестве трионометричесой фунции выбирают таненс или отаненс, то решения, не входящие в области определения этих фунций, моут быть потеряны. Поэтому перед вычислением значений таненса или отаненса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что среди точе, не входящих в область определения этих фунций, нет орней исходноо уравнения.

1

Подставив в уравнение (*) значение x = -----12 , замечаем, что левая часть полученноо соотношения положительна, а правая — 1

отрицательна. Поэтому значение x = -----12 — посторонний орень уравнения (*). 1

Ответ. x = – -----12 . П р и м е р 3. Решить уравнение 2 arctg (2x + 1) = arccos (–x).

(*)

Р е ш е н и е. Вычисляя значения осинуса от обеих частей уравнения, получаем

П р и м е р 2. Решить уравнение π

arcsin 6x + arcsin 6 3 x = – --2- .

(*)

Р е ш е н и е. Перенесем arcsin 6x в правую часть уравнения и вычислим значения синуса об обеих частей полученноо уравнения: π sin (arcsin 6x) = sin  –arcsin 6 3 x – --2-  .

Преобразуя правую часть этоо уравнения по формулам приведения, приходим  алебраичесому уравнению, являющемуся следствием уравнения (*): 6x = – 1 – 108x 2 .

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

cos (2 arctg (2x + 1)) = –x. Левую часть этоо уравнения можно преобразовать  виду 1 – ( 2x + 1 ) 2 1 + ( 2x + 1 )

2x 2 + 2x 1 + 2x + 2x

cos (2 arctg (2x + 1)) = -----------------------------------2- = – -----------------------------------2 . Таим образом, приходим  алебраичесому уравнению, являющемуся следствием уравнения (*): 2x 2 + 2x -----------------------------------2 = x _ 2x3 – x = 0; 1 + 2x + 2x 2

2

------оно имеет орни 0, -----2 , – 2 . Чтобы выяснить, аие из этих чисел удовлетворяют исходному уравнению, выполним провер-


146

Г л а в а 5. Тригонометрия Решите уравнение: 1.

147

Возведя обе части уравнения в вадрат и приведя подобные члены, получаем уравнение

x --3 – 4 arctg 3 – 5 = 0.

x arctg2 ---

144x2 = 1,

2. arctg2 (3x + 2) + 2 arctg (3x + 2) = 0.

1

1

-----орнями отороо являются числа -----12 и – 12 .

π2 -----π 9 3. 2 arcsin x = --3- + --------------------arcsin x .

Выполним проверу. Подставив в уравнение (*) значение 1

x = – -----12 , имеем

4. 3 arctg2 x – 4π arctg x + π2 = 0.  5. Найдите решения уравнения

 π π 1 3  π ------arcsin  – --2-  + arcsin  – -----2  = –6 – 3 = –2 .  

a2 2 arccos x = a + --------------------arccos x

1

Таим образом, x = – -----12 является орнем исходноо уравнения.

при действительных значениях a. Если в уравнение входят выражения, содержащие разные арфунции, или эти арфунции зависят от разных арументов, то ео сводят  алебраичесому уравнению вычислением неоторой трионометричесой фунции от обеих частей данноо уравнения. Получающиеся при этом посторонние орни отделяют проверой. Если в ачестве трионометричесой фунции выбирают таненс или отаненс, то решения, не входящие в области определения этих фунций, моут быть потеряны. Поэтому перед вычислением значений таненса или отаненса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что среди точе, не входящих в область определения этих фунций, нет орней исходноо уравнения.

1

Подставив в уравнение (*) значение x = -----12 , замечаем, что левая часть полученноо соотношения положительна, а правая — 1

отрицательна. Поэтому значение x = -----12 — посторонний орень уравнения (*). 1

Ответ. x = – -----12 . П р и м е р 3. Решить уравнение 2 arctg (2x + 1) = arccos (–x).

(*)

Р е ш е н и е. Вычисляя значения осинуса от обеих частей уравнения, получаем

П р и м е р 2. Решить уравнение π

arcsin 6x + arcsin 6 3 x = – --2- .

(*)

Р е ш е н и е. Перенесем arcsin 6x в правую часть уравнения и вычислим значения синуса об обеих частей полученноо уравнения: π sin (arcsin 6x) = sin  –arcsin 6 3 x – --2-  .

Преобразуя правую часть этоо уравнения по формулам приведения, приходим  алебраичесому уравнению, являющемуся следствием уравнения (*): 6x = – 1 – 108x 2 .

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

cos (2 arctg (2x + 1)) = –x. Левую часть этоо уравнения можно преобразовать  виду 1 – ( 2x + 1 ) 2 1 + ( 2x + 1 )

2x 2 + 2x 1 + 2x + 2x

cos (2 arctg (2x + 1)) = -----------------------------------2- = – -----------------------------------2 . Таим образом, приходим  алебраичесому уравнению, являющемуся следствием уравнения (*): 2x 2 + 2x -----------------------------------2 = x _ 2x3 – x = 0; 1 + 2x + 2x 2

2

------оно имеет орни 0, -----2 , – 2 . Чтобы выяснить, аие из этих чисел удовлетворяют исходному уравнению, выполним провер-


148

Г л а в а 5. Тригонометрия 2

π

у. При x = 0 обе части уравнения (*) равны --2- . При x = -----2 3π 4

правая и левая части уравнения (*) равны соответственно ------- и 2 arctg ( 2 + 1). Но

2( 2 + 1) 1–3–2 2

2

2

- правая и левая части уравнения (*) равны соПри x = – -----2 π 4

ответственно --- и 2 arctg (1 – 2). Имеем

2(1 – 2) 1 – (1 – 2)

2tg (arctg(1 – 2)) - = 2) ) = -------------------------------------------------------------1 – tg 2 (arctg(1 – 2)) 2(1 – 2) 1–3+2 2

2(1 – 2) 2( 2 – 1)

= -----------------------------------2- = -------------------------------- = -------------------------- = –1 2 2

π

15. arccos x – arcsin x = --6- . π

17. arcsin 2x = 3 arcsin x.

2( 2 + 1) –2( 2 + 1)

- . Значит, x = ------- являи, следовательно, 2 arctg ( 2 + 1) = -----2 4 ется орнем исходноо уравнения.

tg (2 arctg (1 –

x x 14. arctg --3- + arctg --2- = arctg x.

16. arcsin x + arcsin ------- = --2- . 3

= -----------------------------------2- = ------------------------------- = ------------------------------ = –1 3π

149

2 x.

13. 2 arcsin x = arcsin

x

2tg(arctg ( 2 + 1 ) 1 – tg (arctg( 2 + 1 ))

- = tg (2arctg ( 2 + 1 ) ) = -------------------------------------------------------------2 2( 2 + 1 ) 1 – ( 2 + 1)

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

и, значит, x = – ------- не является орнем исходноо уравнения.

18. arccos x – arcsin x = arccos 3 x. 19. arcsin x – arccos x = arcsin (3x – 2). Неоторые уравнения, содержащие неизвестное под знаом арфунции, представляют собой тождества на общей области определения левой и правой частей уравнения. Процесс решения таоо уравнения залючается в нахождении этой области. П р и м е р 4. Решить уравнение 2 arccos x = arcsin (2x 1 – x 2 ).

(*)

Р е ш е н и е. Соласно определению фунции y = arccos x, имеем x = cos y, де 0 m y m π, | x | m 1. Подставляя это выражение в правую часть уравнения (*), получаем arcsin (2 cos y sin y) = arcsin (sin 2y). Далее, в силу определения фунции y = arcsin x находим

2 2

Ответ. x = 0, x = ------- .

arcsin (sin 2y) = 2y

Решите уравнение: x

6. arccos --2- = 2 arctg (x – 1). 4x 7. arccos x – π = arcsin -----3 . 1 1 π 8. arctg  x + --2-  + arctg  x – --2-  = --4- .

11π

11. 2 arccos x + arcsin x = --------6 . x 12. 2 arccos  – --2-  = arccos (x + 3).  

π

Таим образом, левая часть уравнения (*) равна ео правой π

части при всех y Ý 0; --4- . Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что x Ý

9. arctg 2x + arctg 3x = -----4 . 10. arcsin x + arccos (x – 1) = π.

π

при – --4- m y m --4- .

Ответ. x Ý

2 ------- ; 1 2

2 ------- ; 1 2

.

.

Решите уравнение: 20. arcsin x = arccos

1 – x2 .

21. arccos x = π – arcsin

1 – x2 .


148

Г л а в а 5. Тригонометрия 2

π

у. При x = 0 обе части уравнения (*) равны --2- . При x = -----2 3π 4

правая и левая части уравнения (*) равны соответственно ------- и 2 arctg ( 2 + 1). Но

2( 2 + 1) 1–3–2 2

2

2

- правая и левая части уравнения (*) равны соПри x = – -----2 π 4

ответственно --- и 2 arctg (1 – 2). Имеем

2(1 – 2) 1 – (1 – 2)

2tg (arctg(1 – 2)) - = 2) ) = -------------------------------------------------------------1 – tg 2 (arctg(1 – 2)) 2(1 – 2) 1–3+2 2

2(1 – 2) 2( 2 – 1)

= -----------------------------------2- = -------------------------------- = -------------------------- = –1 2 2

π

15. arccos x – arcsin x = --6- . π

17. arcsin 2x = 3 arcsin x.

2( 2 + 1) –2( 2 + 1)

- . Значит, x = ------- являи, следовательно, 2 arctg ( 2 + 1) = -----2 4 ется орнем исходноо уравнения.

tg (2 arctg (1 –

x x 14. arctg --3- + arctg --2- = arctg x.

16. arcsin x + arcsin ------- = --2- . 3

= -----------------------------------2- = ------------------------------- = ------------------------------ = –1 3π

149

2 x.

13. 2 arcsin x = arcsin

x

2tg(arctg ( 2 + 1 ) 1 – tg (arctg( 2 + 1 ))

- = tg (2arctg ( 2 + 1 ) ) = -------------------------------------------------------------2 2( 2 + 1 ) 1 – ( 2 + 1)

§ 27. Уравнения, содержащие обратные тригоном. функции

и, значит, x = – ------- не является орнем исходноо уравнения.

18. arccos x – arcsin x = arccos 3 x. 19. arcsin x – arccos x = arcsin (3x – 2). Неоторые уравнения, содержащие неизвестное под знаом арфунции, представляют собой тождества на общей области определения левой и правой частей уравнения. Процесс решения таоо уравнения залючается в нахождении этой области. П р и м е р 4. Решить уравнение 2 arccos x = arcsin (2x 1 – x 2 ).

(*)

Р е ш е н и е. Соласно определению фунции y = arccos x, имеем x = cos y, де 0 m y m π, | x | m 1. Подставляя это выражение в правую часть уравнения (*), получаем arcsin (2 cos y sin y) = arcsin (sin 2y). Далее, в силу определения фунции y = arcsin x находим

2 2

Ответ. x = 0, x = ------- .

arcsin (sin 2y) = 2y

Решите уравнение: x

6. arccos --2- = 2 arctg (x – 1). 4x 7. arccos x – π = arcsin -----3 . 1 1 π 8. arctg  x + --2-  + arctg  x – --2-  = --4- .

11π

11. 2 arccos x + arcsin x = --------6 . x 12. 2 arccos  – --2-  = arccos (x + 3).  

π

Таим образом, левая часть уравнения (*) равна ео правой π

части при всех y Ý 0; --4- . Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что x Ý

9. arctg 2x + arctg 3x = -----4 . 10. arcsin x + arccos (x – 1) = π.

π

при – --4- m y m --4- .

Ответ. x Ý

2 ------- ; 1 2

2 ------- ; 1 2

.

.

Решите уравнение: 20. arcsin x = arccos

1 – x2 .

21. arccos x = π – arcsin

1 – x2 .


150

Г л а в а 5. Тригонометрия 1 – x2

22. arccos x = arctg -------------------. x

§ 28. Тригонометрические неравенства Решите неравенство: 1. sin x > – 0,5.

23. arcsin (2x 1 – x 2 ) = arccos (2x2 – 1). 24. 2 arccos x = arccos (2x2 – 1). 2x 1+x

25. 2 arctg x = arcsin ----------------2- . 1 – x2 26. 2 arctg x = arccos ----------------2- . 1+x x

27. arccos x = arcctg --------------------2 . 1–x

2x 2 – 1

28. 2 arccos x = arcctg ----------------------------2 . 2x 1 – x

 29. Решите уравнение arcsin x = 2 arcsin a при всех действительных значениях a.  30. Решите уравнение arccos x = arcsin 2a при всех действительных значениях a.



151

2. tg x > 2.

3. ctg x > –3.

4. sin (x – 1) m – 0,5 3 .

5. sin x2 m 0,5. 7. cos sin x < 0.

6. sin x + cos x > – 2 . 8. sin cos x l 0.

Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y — одна из трионометричесих фунций (синус, осинус, таненс или отаненс), решают в два этапа: сначала — рациональное неравенство относительно неизвестноо y, а затем — простейшее трионометричесое неравенство. П р и м е р 1. Решить неравенство 2 sin2 x – 7 sin x + 3 > 0. Р е ш е н и е. Полаая sin x = y, получим неравенство 2y2 – 7y + 3 > 0, 1

§ 28. Тригонометрические неравенства

имеющее множество решений y < --2- , y > 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что данное неравенство эвивалентно двум неравенствам

Решения простейших трионометричесих неравенств приведены в таблице: Неравенство

Решение неравенства (n Ý Z)

1

sin x < --2- ,

sin x > 3.

Второе неравенство не имеет решений, а решение первоо таово: π 7π - + 2πn; --- + 2πn  , n Ý Z. x Ý  – -----6  6 

sin x > a (| a | < 1)

x Ý (arcsin a + 2πn; π – arcsin a + 2πn)

sin x < a (| a | < 1)

x Ý (–π – arcsin a + 2πn; arcsin a + 2πn)

cos x > a (| a | < 1)

x Ý (–arccos a + 2πn; arccos a + 2πn)

π 7π - + 2πn; --- + 2πn  , n Ý Z. Ответ. x Ý  – -----6   6

cos x < a (| a | < 1)

x Ý (arccos a + 2πn; 2π – arccos a + 2πn)

Решите неравенство:

tg x > a

π x Ý  arctg a + πn; --2- + πn   

tg x < a

π x Ý  – --2- + πn; arctg a + πn   

9. 10. 11. 12.

ctg3 x + ctg2 x – ctg x – 1 < 0. 2 cos 2x + sin 2x > tg x. tg x + ctg x < –3. sin 2x > cos x.

ctg x > a

x Ý (πn; arcctg a + πn)

13. cos x +

ctg x < a

x Ý (arcctg a + πn; π + πn)

14.

3 cos x < 0.

3 – 4 cos 2 x > 2 sin x + 1.


150

Г л а в а 5. Тригонометрия 1 – x2

22. arccos x = arctg -------------------. x

§ 28. Тригонометрические неравенства Решите неравенство: 1. sin x > – 0,5.

23. arcsin (2x 1 – x 2 ) = arccos (2x2 – 1). 24. 2 arccos x = arccos (2x2 – 1). 2x 1+x

25. 2 arctg x = arcsin ----------------2- . 1 – x2 26. 2 arctg x = arccos ----------------2- . 1+x x

27. arccos x = arcctg --------------------2 . 1–x

2x 2 – 1

28. 2 arccos x = arcctg ----------------------------2 . 2x 1 – x

 29. Решите уравнение arcsin x = 2 arcsin a при всех действительных значениях a.  30. Решите уравнение arccos x = arcsin 2a при всех действительных значениях a.



151

2. tg x > 2.

3. ctg x > –3.

4. sin (x – 1) m – 0,5 3 .

5. sin x2 m 0,5. 7. cos sin x < 0.

6. sin x + cos x > – 2 . 8. sin cos x l 0.

Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y — одна из трионометричесих фунций (синус, осинус, таненс или отаненс), решают в два этапа: сначала — рациональное неравенство относительно неизвестноо y, а затем — простейшее трионометричесое неравенство. П р и м е р 1. Решить неравенство 2 sin2 x – 7 sin x + 3 > 0. Р е ш е н и е. Полаая sin x = y, получим неравенство 2y2 – 7y + 3 > 0, 1

§ 28. Тригонометрические неравенства

имеющее множество решений y < --2- , y > 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что данное неравенство эвивалентно двум неравенствам

Решения простейших трионометричесих неравенств приведены в таблице: Неравенство

Решение неравенства (n Ý Z)

1

sin x < --2- ,

sin x > 3.

Второе неравенство не имеет решений, а решение первоо таово: π 7π - + 2πn; --- + 2πn  , n Ý Z. x Ý  – -----6  6 

sin x > a (| a | < 1)

x Ý (arcsin a + 2πn; π – arcsin a + 2πn)

sin x < a (| a | < 1)

x Ý (–π – arcsin a + 2πn; arcsin a + 2πn)

cos x > a (| a | < 1)

x Ý (–arccos a + 2πn; arccos a + 2πn)

π 7π - + 2πn; --- + 2πn  , n Ý Z. Ответ. x Ý  – -----6   6

cos x < a (| a | < 1)

x Ý (arccos a + 2πn; 2π – arccos a + 2πn)

Решите неравенство:

tg x > a

π x Ý  arctg a + πn; --2- + πn   

tg x < a

π x Ý  – --2- + πn; arctg a + πn   

9. 10. 11. 12.

ctg3 x + ctg2 x – ctg x – 1 < 0. 2 cos 2x + sin 2x > tg x. tg x + ctg x < –3. sin 2x > cos x.

ctg x > a

x Ý (πn; arcctg a + πn)

13. cos x +

ctg x < a

x Ý (arcctg a + πn; π + πn)

14.

3 cos x < 0.

3 – 4 cos 2 x > 2 sin x + 1.


152

Г л а в а 5. Тригонометрия 15.

153

§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

3 sin x + 1 > 4 sin x + 1. 2 sin 2 x + sin x – 1

- < 0. 16. --------------------------------------------------sin x – 1

Решение простейших неравенств, содержащих обратные трионометричесие фунции, приведено в таблице:

3 cos x

17. -------------- < 4tg x. 2 18. 5 + 2 cos 2x m 3 |2 sin x – 1|. В неоторых случаях при решении неравенств используют разложение на множители. П р и м е р 2. Решить неравенство cos x + cos 2x + cos 3x > 0. Р е ш е н и е. Преобразуя сумму райних слааемых в произведение, получаем неравенство cos 2x + 2 cos 2x cos x > 0, или cos 2x (2 cos x + 1) > 0. Последнее неравенство эвивалентно двум системам простейших неравенств: cos 2x < 0,

cos 2x > 0,

1 cos x < – --2- ;

1 cos x > – --2- .

Объединяя решения этих систем, находим решение исходноо неравенства. π 3π π 2π - + 2πn; ------- + 2πn  Ÿ Ответ.  – --4- + 2πn; --4- + 2πn  Ÿ  -----4    3  4π 5π  ------Ÿ  -----4 + 2πn; 3 + 2πn  , n Ý Z.

Решите неравенство: 19. sin x sin 2x – cos x cos 2x > sin 6x. 20. 2 sin x sin 2x sin 3x < sin 4x. 21. sin x sin 3x > sin 5x sin 7x. 3

22. cos3 x sin 3x + cos 3x sin3 x < --8- . 23. sin x l cos 2x. 24. 2 tg 2x m 3 tg x. 25. sin x < | cos x |.

§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригоном. функции

Неравенство arcsin x > a

Решение неравенства

 | a | < --π-  2  

x Ý (sin a; 1)

arcsin x < a

 | a | < --π-  2  

x Ý (–1; sin a)

arccos x > a

(0 < a < π)

x Ý (–1; cos a)

arccos x < a

(0 < a < π)

x Ý (cos a; 1)

arctg x > a

 | a | < --π-  2  

x Ý (tg a; +×)

arctg x < a

 | a | < --π-  2  

x Ý (–×; tg a)

arcctg x > a

(0 < a < π)

x Ý (–×; ctg a)

arcctg x < a

(0 < a < π)

x Ý (ctg a; +×)

Решите неравенство: 1. arcsin x m 5. 1 3. arccos x m arccos --4- . π 5. arctg x > – --3- .

2. arcsin x l –2. π

4. arccos x > --6- . 6. arcctg x > 2.

Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y — одна из обратных трионометричесих фунций (арсинус, аросинус, артаненс, аротаненс), решают в два этапа: сначала — неравенство относительно неизвестноо y, а затем — простейшее неравенство, содержащее обратную трионометричесую фунцию. П р и м е р 1. Решить неравенство arcctg2 x – 5 arcctg x + 6 > 0. Р е ш е н и е. Положим arcctg x = y и перепишем исходное неравенство в виде y2 – 5y + 6 > 0;


152

Г л а в а 5. Тригонометрия 15.

153

§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

3 sin x + 1 > 4 sin x + 1. 2 sin 2 x + sin x – 1

- < 0. 16. --------------------------------------------------sin x – 1

Решение простейших неравенств, содержащих обратные трионометричесие фунции, приведено в таблице:

3 cos x

17. -------------- < 4tg x. 2 18. 5 + 2 cos 2x m 3 |2 sin x – 1|. В неоторых случаях при решении неравенств используют разложение на множители. П р и м е р 2. Решить неравенство cos x + cos 2x + cos 3x > 0. Р е ш е н и е. Преобразуя сумму райних слааемых в произведение, получаем неравенство cos 2x + 2 cos 2x cos x > 0, или cos 2x (2 cos x + 1) > 0. Последнее неравенство эвивалентно двум системам простейших неравенств: cos 2x < 0,

cos 2x > 0,

1 cos x < – --2- ;

1 cos x > – --2- .

Объединяя решения этих систем, находим решение исходноо неравенства. π 3π π 2π - + 2πn; ------- + 2πn  Ÿ Ответ.  – --4- + 2πn; --4- + 2πn  Ÿ  -----4    3  4π 5π  ------Ÿ  -----4 + 2πn; 3 + 2πn  , n Ý Z.

Решите неравенство: 19. sin x sin 2x – cos x cos 2x > sin 6x. 20. 2 sin x sin 2x sin 3x < sin 4x. 21. sin x sin 3x > sin 5x sin 7x. 3

22. cos3 x sin 3x + cos 3x sin3 x < --8- . 23. sin x l cos 2x. 24. 2 tg 2x m 3 tg x. 25. sin x < | cos x |.

§ 29. Неравенства, содержащие обратные тригоном. функции

Неравенство arcsin x > a

Решение неравенства

 | a | < --π-  2  

x Ý (sin a; 1)

arcsin x < a

 | a | < --π-  2  

x Ý (–1; sin a)

arccos x > a

(0 < a < π)

x Ý (–1; cos a)

arccos x < a

(0 < a < π)

x Ý (cos a; 1)

arctg x > a

 | a | < --π-  2  

x Ý (tg a; +×)

arctg x < a

 | a | < --π-  2  

x Ý (–×; tg a)

arcctg x > a

(0 < a < π)

x Ý (–×; ctg a)

arcctg x < a

(0 < a < π)

x Ý (ctg a; +×)

Решите неравенство: 1. arcsin x m 5. 1 3. arccos x m arccos --4- . π 5. arctg x > – --3- .

2. arcsin x l –2. π

4. arccos x > --6- . 6. arcctg x > 2.

Неравенства вида R(y) > 0, R(y) < 0, де R — неоторая рациональная фунция, а y — одна из обратных трионометричесих фунций (арсинус, аросинус, артаненс, аротаненс), решают в два этапа: сначала — неравенство относительно неизвестноо y, а затем — простейшее неравенство, содержащее обратную трионометричесую фунцию. П р и м е р 1. Решить неравенство arcctg2 x – 5 arcctg x + 6 > 0. Р е ш е н и е. Положим arcctg x = y и перепишем исходное неравенство в виде y2 – 5y + 6 > 0;


154

Г л а в а 5. Тригонометрия

решениями последнео неравенства являются y < 2 и y > 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем, что данное неравенство сводится  двум простейшим неравенствам arcctg x < 2

и

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

Таим образом, решениями исходноо неравенства являются те решения неравенства (**), оторые принадлежат промежуту [0; 1].

arcctg x > 3,

 2 -; 1 . Ответ. x Ý  ----- 2

имеющим соответственно решения x Ý (ctg 2; +×) и x Ý (–×; ctg 3). Объединяя эти решения, находим решение исходноо неравенства.

Решите неравенство: 11. arccos x > arccos x2. 13. arcsin x < arcsin (1 – x).

Ответ. (–×; ctg 3) Ÿ (ctg 2; +×). Решите неравенство: 7. arctg2 x – 4 arctg x + 3 > 0. 9. 2

arctg x

+ 2

–arctg x

l 2.

8. log2 arctg x > 1.

П р и м е р 2. Решить неравенство arcsin x > arccos x.

(*)

Р е ш е н и е. Найдем множество допустимых значений x, входящих в неравенство: x Ý [–1; 1]. При x < 0 имеем arcsin x < 0, а arccos x > 0. Следовательно, значения x < 0 не являются решениями неравенства. При x l 0 а правая, та и левая части неравенства принимают значения, принадлежащие промежуту

π

0; --2- . Та а на промежуте

π

0; --2-

синус монотонно

возрастает, то при x Ý [0; 1] неравенство (*) эвивалентно неравенству sin (arcsin x) > sin (arccos x) _ x > 1 – x 2 . Последнее неравенство при рассматриваемых значениях неизвестноо эвивалентно неравенству 2x2 > 1.

(**)

12. arctg x > arcctg x. 14. tg2 arcsin x > 1.

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

10. 4(arccos x)2 – 1 l 0.

Чтобы решить неравенства, связывающие значения различных обратных трионометричесих фунций или значения одной трионометричесой фунции, вычисленные от разных арументов, удобно вычислить значение неоторой трионометричесой фунции от обеих частей неравенства. Однао следует учитывать, что полученное при этом неравенство эвивалентно исходному лишь в том случае, ода множество значений правой и левой частей исходноо неравенства принадлежит одному и тому же промежуту монотонности этой трионометричесой фунции.

155

Доазательство неравенств, связывающих значения трионометричесих фунций на всей числовой прямой или на неотором ее промежуте, обычно основано на иcпользовании свойств фунций: монотонности, ораниченности и т. д. π π π π П р и м е р 1. Доазать, что если α Ý  – --2- ; --2-  , β Ý  – --2- ; --2-  ,    

то

α+β

cos α + cos β

- l ---------------------------------- . cos ------------2 2

Р е ш е н и е. Для доазательства данноо неравенства достаточно представить ео правую часть в виде α–β α+β cos α + cos β ---------------------------------- = cos -------------- cos ------------2 2 2 π π π π α–β - Ý и учесть, что если α Ý  – --2- ; --2-  , β Ý  – --2- ; --2-  , то и -----------2     π π α–β Ý  – --2- ; --2-  , и следовательно, 0 < cos -----------2 < 1.  

Доажите, что при x Ý

π

0; --2-

выполняется неравенство:

1. sin x cos x m 0,5. 3. tg x + ctg x l 2.

2. sin x + cos x m 4. tg x l sin x.

5. sin 2x m 2 sin x.

6.

cos x m

2. x

2 cos --2- .


154

Г л а в а 5. Тригонометрия

решениями последнео неравенства являются y < 2 и y > 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем, что данное неравенство сводится  двум простейшим неравенствам arcctg x < 2

и

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

Таим образом, решениями исходноо неравенства являются те решения неравенства (**), оторые принадлежат промежуту [0; 1].

arcctg x > 3,

 2 -; 1 . Ответ. x Ý  ----- 2

имеющим соответственно решения x Ý (ctg 2; +×) и x Ý (–×; ctg 3). Объединяя эти решения, находим решение исходноо неравенства.

Решите неравенство: 11. arccos x > arccos x2. 13. arcsin x < arcsin (1 – x).

Ответ. (–×; ctg 3) Ÿ (ctg 2; +×). Решите неравенство: 7. arctg2 x – 4 arctg x + 3 > 0. 9. 2

arctg x

+ 2

–arctg x

l 2.

8. log2 arctg x > 1.

П р и м е р 2. Решить неравенство arcsin x > arccos x.

(*)

Р е ш е н и е. Найдем множество допустимых значений x, входящих в неравенство: x Ý [–1; 1]. При x < 0 имеем arcsin x < 0, а arccos x > 0. Следовательно, значения x < 0 не являются решениями неравенства. При x l 0 а правая, та и левая части неравенства принимают значения, принадлежащие промежуту

π

0; --2- . Та а на промежуте

π

0; --2-

синус монотонно

возрастает, то при x Ý [0; 1] неравенство (*) эвивалентно неравенству sin (arcsin x) > sin (arccos x) _ x > 1 – x 2 . Последнее неравенство при рассматриваемых значениях неизвестноо эвивалентно неравенству 2x2 > 1.

(**)

12. arctg x > arcctg x. 14. tg2 arcsin x > 1.

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

10. 4(arccos x)2 – 1 l 0.

Чтобы решить неравенства, связывающие значения различных обратных трионометричесих фунций или значения одной трионометричесой фунции, вычисленные от разных арументов, удобно вычислить значение неоторой трионометричесой фунции от обеих частей неравенства. Однао следует учитывать, что полученное при этом неравенство эвивалентно исходному лишь в том случае, ода множество значений правой и левой частей исходноо неравенства принадлежит одному и тому же промежуту монотонности этой трионометричесой фунции.

155

Доазательство неравенств, связывающих значения трионометричесих фунций на всей числовой прямой или на неотором ее промежуте, обычно основано на иcпользовании свойств фунций: монотонности, ораниченности и т. д. π π π π П р и м е р 1. Доазать, что если α Ý  – --2- ; --2-  , β Ý  – --2- ; --2-  ,    

то

α+β

cos α + cos β

- l ---------------------------------- . cos ------------2 2

Р е ш е н и е. Для доазательства данноо неравенства достаточно представить ео правую часть в виде α–β α+β cos α + cos β ---------------------------------- = cos -------------- cos ------------2 2 2 π π π π α–β - Ý и учесть, что если α Ý  – --2- ; --2-  , β Ý  – --2- ; --2-  , то и -----------2     π π α–β Ý  – --2- ; --2-  , и следовательно, 0 < cos -----------2 < 1.  

Доажите, что при x Ý

π

0; --2-

выполняется неравенство:

1. sin x cos x m 0,5. 3. tg x + ctg x l 2.

2. sin x + cos x m 4. tg x l sin x.

5. sin 2x m 2 sin x.

6.

cos x m

2. x

2 cos --2- .


156

Г л а в а 5. Тригонометрия 7. Доажите, что если α Ý [0; π], β Ý [0; π], то

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

157 1

α

sin α + sin β α+β - l --------------------------------- . sin ------------2 2

--Положим y = sin --2 и рассмотрим фунцию f(y) = 2 y(1 – y), входящую в правую часть последнео неравенства. Наибольшее

Доажите, что при любом действительном x справедливо соотношение:

значение этой фунции на промежуте [0; 1] равно --4- . Поэтому

a2 + b2 .

------sin --2 sin 2 sin 2 m 8 .



8. | a cos x + b sin x | m



- m 9. ------------------------------------------------------------------------2

1

a + c – a 2 + b 2 + c 2 – 2ac

Из этоо неравенства следует, что 3 ------------------------------------------------ l 6. γ β α 3 sin --- sin --- sin --2 2 2

m a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x m a+c+

a2

+

b2

+

c2

– 2ac

-. m ------------------------------------------------------------------------2

Часто при доазательстве трионометричесих неравенств используют неравенства, устанавливающие связь между средним еометричесим и средним арифметичесим двух или несольих положительных чисел. П р и м е р 2. Доазать, что если α + β + γ = π и α > 0, β > 0, γ > 0, то 1 1 1 ------------- + ------------- + ------------- l 6. γ β α sin --sin --sin --2 2 2 α

1

γ

β

α

β

Наонец, из неравенств (**) и (***) вытеает справедливость исходноо неравенства. 

1



(**)

1 1 1 ------------- + ------------- + ------------ l 6. cos γ cos β cos α 

и, значит,

tg2 α + tg2 β + tg2 γ l 9.

13. Доажите, что если α + β + γ = π, то

α  1 γ β β+γ  α β–γ ------------------------------sin --2 sin 2 sin 2 = 2 sin 2  cos 2 – cos 2  .

β–γ cos ----------2 < 1,

π π 12. Доажите, что если α + β + γ = π и α Ý  0; --2-  , β Ý  0; --2-  ,

π γ Ý  0; --2-  , то

Преобразуем подоренное выражение:

α  β+γ α  --π----cos -----------2 = cos  2 – 2  = sin 2 ,

π π 11. Доажите, что если α + β + γ = π и α Ý  0; --2-  , β Ý  0; --2-  ,    

π γ Ý  0; --2-  , то  

γ

Учитывая, что α + β + γ = π, получим

10. Доажите, что если α + β + γ = π и α > 0, β > 0, γ > 0, то (1 – cos α) (1 – cos β) (1 – cos γ) m --8- .

(*)

----Р е ш е н и е. Та а sin --2 , sin 2 , sin 2 неотрицательны, то, используя неравенство, связывающее среднее арифметичесое трех чисел и их среднее еометричесое, имеем 3 1 1 1 ------------- + ------------- + ------------- l ------------------------------------------------ . γ β α γ β α sin --sin --sin --3 sin --- sin --- sin --2 2 2 2 2 2

(***)

α

γ

β

3

------cos --2 cos 2 cos 2 m 8 

3.

14. Доажите, что если α + β + γ = π, то α

β

3

γ

2 --2 ----sin2 --2 + sin 2 + sin 2 l 4 .

15. Доажите, что если α + β + γ = π, то α  1 γ β α α  ----------sin --2 sin 2 sin 2 m 2 sin 2  1 – sin 2  .

3

cos α + cos β + cos γ m --2- .


156

Г л а в а 5. Тригонометрия 7. Доажите, что если α Ý [0; π], β Ý [0; π], то

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

157 1

α

sin α + sin β α+β - l --------------------------------- . sin ------------2 2

--Положим y = sin --2 и рассмотрим фунцию f(y) = 2 y(1 – y), входящую в правую часть последнео неравенства. Наибольшее

Доажите, что при любом действительном x справедливо соотношение:

значение этой фунции на промежуте [0; 1] равно --4- . Поэтому

a2 + b2 .

------sin --2 sin 2 sin 2 m 8 .



8. | a cos x + b sin x | m



- m 9. ------------------------------------------------------------------------2

1

a + c – a 2 + b 2 + c 2 – 2ac

Из этоо неравенства следует, что 3 ------------------------------------------------ l 6. γ β α 3 sin --- sin --- sin --2 2 2

m a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x m a+c+

a2

+

b2

+

c2

– 2ac

-. m ------------------------------------------------------------------------2

Часто при доазательстве трионометричесих неравенств используют неравенства, устанавливающие связь между средним еометричесим и средним арифметичесим двух или несольих положительных чисел. П р и м е р 2. Доазать, что если α + β + γ = π и α > 0, β > 0, γ > 0, то 1 1 1 ------------- + ------------- + ------------- l 6. γ β α sin --sin --sin --2 2 2 α

1

γ

β

α

β

Наонец, из неравенств (**) и (***) вытеает справедливость исходноо неравенства. 

1



(**)

1 1 1 ------------- + ------------- + ------------ l 6. cos γ cos β cos α 

и, значит,

tg2 α + tg2 β + tg2 γ l 9.

13. Доажите, что если α + β + γ = π, то

α  1 γ β β+γ  α β–γ ------------------------------sin --2 sin 2 sin 2 = 2 sin 2  cos 2 – cos 2  .

β–γ cos ----------2 < 1,

π π 12. Доажите, что если α + β + γ = π и α Ý  0; --2-  , β Ý  0; --2-  ,

π γ Ý  0; --2-  , то

Преобразуем подоренное выражение:

α  β+γ α  --π----cos -----------2 = cos  2 – 2  = sin 2 ,

π π 11. Доажите, что если α + β + γ = π и α Ý  0; --2-  , β Ý  0; --2-  ,    

π γ Ý  0; --2-  , то  

γ

Учитывая, что α + β + γ = π, получим

10. Доажите, что если α + β + γ = π и α > 0, β > 0, γ > 0, то (1 – cos α) (1 – cos β) (1 – cos γ) m --8- .

(*)

----Р е ш е н и е. Та а sin --2 , sin 2 , sin 2 неотрицательны, то, используя неравенство, связывающее среднее арифметичесое трех чисел и их среднее еометричесое, имеем 3 1 1 1 ------------- + ------------- + ------------- l ------------------------------------------------ . γ β α γ β α sin --sin --sin --3 sin --- sin --- sin --2 2 2 2 2 2

(***)

α

γ

β

3

------cos --2 cos 2 cos 2 m 8 

3.

14. Доажите, что если α + β + γ = π, то α

β

3

γ

2 --2 ----sin2 --2 + sin 2 + sin 2 l 4 .

15. Доажите, что если α + β + γ = π, то α  1 γ β α α  ----------sin --2 sin 2 sin 2 m 2 sin 2  1 – sin 2  .

3

cos α + cos β + cos γ m --2- .


158

Г л а в а 5. Тригонометрия В примере 2 требовалось найти наибольшее значение фун-

α  1 α  --ции --2- sin --2  1 – sin 2  . Выполнив замену переменной, мы по-

лучили, что исомое значение совпадает с наибольшим значе-

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

Применяя полученные оцени  правой части исходноо неравенства, убеждаемся в ео справедливости.  20. Доажите, что на промежуте (0; π) справедливо неравенство

x2

1



1



18. Доажите, что если | p | < 2, то – p 2 – 4q

-. sin2 x + p sin x + q l -----------------------4 1

19. Доажите, что sin2 x cos2 x m --4- . Доазательство неравенств, связывающих трионометричесие фунции и неоторые мноочлены, заданные на определенных интервалах изменения арументов, проводят с помощью омбинации рассмотренных выше приемов. При этом в процессе доазательства часто используют двойное неравенство (1)

π

0; --2- .

П р и м е р 3. Доазать, что на промежуте (0; π) имеет место неравенство x3

x – ----4 < sin x.

Р е ш е н и е. Представим фунцию sin x в виде x x x x sin x = 2 tg --2- cos2 --2- = 2 tg --2-  1 – sin2 --2-  .  

Используя двойное неравенство (1), имеем x

x

tg --2- l --2- ,

x

x2

1 – sin2 --2- l 1 – ----4 .

x3

- < tg x. x – ----2

17. Доажите, что cos3 x + cos6 x m --4- .

справедливое при всех x Ý

π 21. Доажите, что на промежуте  0; --2-  справедливо нера 

венство

1 16. Доажите, что –4 m cos 2x + 3 sin x m 2 --8- .

sin x m x m tg x,

x4

-----cos x < 1 – ----2 + 16 .

нием фунции f(y) = --2- y(1 – y) на промежуте [0; 1]. Аналоичный прием часто используют в тех случаях, ода требуется найти множества значений неоторых трионометричесих выражений.

159

x2

22. Доажите, что 1 – cos x m ----2 .


158

Г л а в а 5. Тригонометрия В примере 2 требовалось найти наибольшее значение фун-

α  1 α  --ции --2- sin --2  1 – sin 2  . Выполнив замену переменной, мы по-

лучили, что исомое значение совпадает с наибольшим значе-

§ 30. Доказательство тригонометрических неравенств

Применяя полученные оцени  правой части исходноо неравенства, убеждаемся в ео справедливости.  20. Доажите, что на промежуте (0; π) справедливо неравенство

x2

1



1



18. Доажите, что если | p | < 2, то – p 2 – 4q

-. sin2 x + p sin x + q l -----------------------4 1

19. Доажите, что sin2 x cos2 x m --4- . Доазательство неравенств, связывающих трионометричесие фунции и неоторые мноочлены, заданные на определенных интервалах изменения арументов, проводят с помощью омбинации рассмотренных выше приемов. При этом в процессе доазательства часто используют двойное неравенство (1)

π

0; --2- .

П р и м е р 3. Доазать, что на промежуте (0; π) имеет место неравенство x3

x – ----4 < sin x.

Р е ш е н и е. Представим фунцию sin x в виде x x x x sin x = 2 tg --2- cos2 --2- = 2 tg --2-  1 – sin2 --2-  .  

Используя двойное неравенство (1), имеем x

x

tg --2- l --2- ,

x

x2

1 – sin2 --2- l 1 – ----4 .

x3

- < tg x. x – ----2

17. Доажите, что cos3 x + cos6 x m --4- .

справедливое при всех x Ý

π 21. Доажите, что на промежуте  0; --2-  справедливо нера 

венство

1 16. Доажите, что –4 m cos 2x + 3 sin x m 2 --8- .

sin x m x m tg x,

x4

-----cos x < 1 – ----2 + 16 .

нием фунции f(y) = --2- y(1 – y) на промежуте [0; 1]. Аналоичный прием часто используют в тех случаях, ода требуется найти множества значений неоторых трионометричесих выражений.

159

x2

22. Доажите, что 1 – cos x m ----2 .


§ 31. Действия с комплексными числами

Глава 6 Комплексные числа

|z| или r) называют величину a 2 + b 2 . Арментом омплесноо числа z называют уол ϕ, определяемый из условий b

-, sin ϕ = ---------------------2 2 a +b

§ 31. Действия с комплексными числами Запись числа z в виде a + bi, де a и b — действительные числа, а число i удовлетворяет равенству i2 = –1, называют алебраичесой формой омплесноо числа. Число a называют действительной частью омплесноо числа и обозначают Re z, число b — мнимой частью омплесноо числа и обозначают Im z. Символ i называют мнимой единицей. Два омплесных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i равны, если a1 = a2 и b1 = b2. Комплесное число –a – bi называют противоположным омплесному числу a + bi. Рассмотрим правила действий с омплесными числами. Пусть z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i — два омплесных числа. Смма z1 + z2, разность z1 – z2, произведение z1z2 и частz

1 ное ----z (z2 − 0) омплесных чисел z1 и z2 вычисляются по фор2

мулам

161

a

cos ϕ = ---------------------2 2 a +b

(обозначение: Arg z или ϕ). Главным значением армента омплесноо числа z (обозначение: arg z) называют значение ϕ, принадлежащее промежуту (–π; π]. Запись омплесноо числа z = a + bi y в виде b z = r (cos ϕ + i sin ϕ) |z| ϕ = arg z называют трионометричесой формой омплесноо числа. a O x Геометричеси модуль омплесноо числа можно изобразить а отреРис. 9 зо (радиус-ветор) длины r, имеющий своими онцами точи (0; 0) и (a; b); арумент омплесноо числа — а уол, оторый образует радиус-ветор с положительным направлением оси Ox (рис. 9). Два омплесных числа, записанные в трионометричесой форме, равны тода и тольо тода, ода равны их модули, а арументы отличаются на 2πk (k Ý Z). Произведением и частным двух отличных от нуля омплесных чисел z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1) и z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2), записанных в трионометричесой форме, являются числа z1z2 = r1r2[cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)],

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i, z1 – z2 = (a1 – a2) + (b1 – b2)i, z1z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i,

(1)

z1 r1 ----- = ----- [cos (ϕ – ϕ ) + i sin (ϕ – ϕ )], 1 2 1 2 z2 r2

z1 a1 b2 + a2 b1 a2 b1 – a1 b2 - + -------------------------------i. ----- = ------------------------------2 2 z2 a 22 + b 22 a2 + b2

а n-я степень омплесноо числа z = r (cos ϕ + i sin ϕ) вычисляется по формле Мавра

Сложение и умножение омплесных чисел оммутативно и ассоциативно, умножение дистрибутивно относительно сложения. Комплесное число a – bi называют омплесно сопряженным с числом z = a + bi и обозначают z . Комплесно сопря-

wn = z.

женные числа z и z обладают следующим свойством: z · z = a2 + b2.

zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). (2) Корнем n-й степени из омплесноо числа z называют омплесное число w, удовлетворяющее уравнению Все решения этоо уравнения обозначают n z и для числа z, записанноо в трионометричесой форме z = r (cos ϕ + i sin ϕ), эти решения вычисляют по формуле n

a2

b2

+ − 0) омпПусть z = a + bi — отличное от нуля (т. е. лесное число. Модлем омплесноо числа (обозначение:

z =

n

ϕ + 2πk  ϕ + 2πk + i sin --------------------, r  cos --------------------n n  

де k = 0, 1, 2, ..., n – 1.

(3)


§ 31. Действия с комплексными числами

Глава 6 Комплексные числа

|z| или r) называют величину a 2 + b 2 . Арментом омплесноо числа z называют уол ϕ, определяемый из условий b

-, sin ϕ = ---------------------2 2 a +b

§ 31. Действия с комплексными числами Запись числа z в виде a + bi, де a и b — действительные числа, а число i удовлетворяет равенству i2 = –1, называют алебраичесой формой омплесноо числа. Число a называют действительной частью омплесноо числа и обозначают Re z, число b — мнимой частью омплесноо числа и обозначают Im z. Символ i называют мнимой единицей. Два омплесных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i равны, если a1 = a2 и b1 = b2. Комплесное число –a – bi называют противоположным омплесному числу a + bi. Рассмотрим правила действий с омплесными числами. Пусть z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i — два омплесных числа. Смма z1 + z2, разность z1 – z2, произведение z1z2 и частz

1 ное ----z (z2 − 0) омплесных чисел z1 и z2 вычисляются по фор2

мулам

161

a

cos ϕ = ---------------------2 2 a +b

(обозначение: Arg z или ϕ). Главным значением армента омплесноо числа z (обозначение: arg z) называют значение ϕ, принадлежащее промежуту (–π; π]. Запись омплесноо числа z = a + bi y в виде b z = r (cos ϕ + i sin ϕ) |z| ϕ = arg z называют трионометричесой формой омплесноо числа. a O x Геометричеси модуль омплесноо числа можно изобразить а отреРис. 9 зо (радиус-ветор) длины r, имеющий своими онцами точи (0; 0) и (a; b); арумент омплесноо числа — а уол, оторый образует радиус-ветор с положительным направлением оси Ox (рис. 9). Два омплесных числа, записанные в трионометричесой форме, равны тода и тольо тода, ода равны их модули, а арументы отличаются на 2πk (k Ý Z). Произведением и частным двух отличных от нуля омплесных чисел z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1) и z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2), записанных в трионометричесой форме, являются числа z1z2 = r1r2[cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)],

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i, z1 – z2 = (a1 – a2) + (b1 – b2)i, z1z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i,

(1)

z1 r1 ----- = ----- [cos (ϕ – ϕ ) + i sin (ϕ – ϕ )], 1 2 1 2 z2 r2

z1 a1 b2 + a2 b1 a2 b1 – a1 b2 - + -------------------------------i. ----- = ------------------------------2 2 z2 a 22 + b 22 a2 + b2

а n-я степень омплесноо числа z = r (cos ϕ + i sin ϕ) вычисляется по формле Мавра

Сложение и умножение омплесных чисел оммутативно и ассоциативно, умножение дистрибутивно относительно сложения. Комплесное число a – bi называют омплесно сопряженным с числом z = a + bi и обозначают z . Комплесно сопря-

wn = z.

женные числа z и z обладают следующим свойством: z · z = a2 + b2.

zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). (2) Корнем n-й степени из омплесноо числа z называют омплесное число w, удовлетворяющее уравнению Все решения этоо уравнения обозначают n z и для числа z, записанноо в трионометричесой форме z = r (cos ϕ + i sin ϕ), эти решения вычисляют по формуле n

a2

b2

+ − 0) омпПусть z = a + bi — отличное от нуля (т. е. лесное число. Модлем омплесноо числа (обозначение:

z =

n

ϕ + 2πk  ϕ + 2πk + i sin --------------------, r  cos --------------------n n  

де k = 0, 1, 2, ..., n – 1.

(3)


162

Г л а в а 6. Комплексные числа

§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел

163

Действия с омплесными числами выполняют по формулам (1). При вычислении произведения и частноо омплесных чисел удобно использовать представление омплесных чисел в трионометричесой форме.

Отсюда, соласно формуле (3), получаем

П р и м е р 1. Представить в трионометричесой форме омплесное число z = –3 + i. Р е ш е н и е. По определению модуля омплесноо числа имеем |z| = ( – 3 ) 2 + 1 = 10 .

де k = 0, k = 1, k = 2. Ита, исомыми орнями являются следующие омплесные числа:

r=

1 10

 3 вен arccos  – ----------10 

z = –3 + i в трионометричесой форме имеет вид z=

  3    3  10 cos  arccos  – -----------   + i sin  arccos  – -----------   . 10   10      

Представьте в трионометричесой форме омплесное число: 1. 1.

2. –3.

3. i.

4. 1 + i.

5. –1 + i.

6. 1 + i 3 .

7. 3 – 4i.

8. –3 – 4i.

π

π

9. –cos --3- + i sin --3- .

10. sin α – i cos α.

 1  11.  ------------   i–1 

100

.

П р и м е р 2. Вычислить 3 i . Р е ш е н и е. Запишем омплесное число i = 0 + 1 · i в трионометричесой форме. Та а | i | = 1, arg i = --- , то трионометричесая форма числа i имеет вид π π i = cos --- + i sin --- . 2 2

1

3

1

y

------cos -----2 + i sin 2 = –i.

Геометричеси полученные орни представляют собой точи, лежащие на единичной оружности (та а r = 1), радиус-веторы оторых составляют улы 3π π 5π --- , ------- и ------- с положительным направле2 6 6

нием оси Ox (рис. 10). 3

1 5π 6

3π 2

O

π 6

1 x

Рис. 10

1

--Ответ. ä -----2 + 2 i; –i.

Используя трионометричесую форму записи омплесноо числа, вычислите:

Для вычисления орней k-й степени из омплесноо числа обычно используют представление омплесных чисел в трионометричесой форме.

π 2

2πk

π

ϕ = --6- + ---------3 ,

--------------cos -----6 + i sin 6 = – 2 + 2 i,

3 10

  . Следовательно, запись омплесноо числа 

3

π

π

cos ϕ = – ----------- ,

отуда следует, что уол ϕ принадлежит второй четверти и ра-

1 = 1,

--cos --6- + i sin --6- = -----2 + 2 i,

Обозначив арумент омплесноо числа через ϕ, получаем sin ϕ = ----------- ,

3

12. 16.

4

2i .

13.

2 – 2i 3 .

17.

4

– 8i .

14.

i.

18.

7

3 – 4i .

15.

4

–1 .

3 + 4i .

19.

3

1.

§ 32. Геометрическое изображение множеств комплексных чисел, удовлетворяющих заданным условиям Для еометричесоо изображения омплесных чисел, удовлетворяющих неоторым соотношениям, обычно используют алебраичесую форму омплесноо числа.


162

Г л а в а 6. Комплексные числа

§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел

163

Действия с омплесными числами выполняют по формулам (1). При вычислении произведения и частноо омплесных чисел удобно использовать представление омплесных чисел в трионометричесой форме.

Отсюда, соласно формуле (3), получаем

П р и м е р 1. Представить в трионометричесой форме омплесное число z = –3 + i. Р е ш е н и е. По определению модуля омплесноо числа имеем |z| = ( – 3 ) 2 + 1 = 10 .

де k = 0, k = 1, k = 2. Ита, исомыми орнями являются следующие омплесные числа:

r=

1 10

 3 вен arccos  – ----------10 

z = –3 + i в трионометричесой форме имеет вид z=

  3    3  10 cos  arccos  – -----------   + i sin  arccos  – -----------   . 10   10      

Представьте в трионометричесой форме омплесное число: 1. 1.

2. –3.

3. i.

4. 1 + i.

5. –1 + i.

6. 1 + i 3 .

7. 3 – 4i.

8. –3 – 4i.

π

π

9. –cos --3- + i sin --3- .

10. sin α – i cos α.

 1  11.  ------------   i–1 

100

.

П р и м е р 2. Вычислить 3 i . Р е ш е н и е. Запишем омплесное число i = 0 + 1 · i в трионометричесой форме. Та а | i | = 1, arg i = --- , то трионометричесая форма числа i имеет вид π π i = cos --- + i sin --- . 2 2

1

3

1

y

------cos -----2 + i sin 2 = –i.

Геометричеси полученные орни представляют собой точи, лежащие на единичной оружности (та а r = 1), радиус-веторы оторых составляют улы 3π π 5π --- , ------- и ------- с положительным направле2 6 6

нием оси Ox (рис. 10). 3

1 5π 6

3π 2

O

π 6

1 x

Рис. 10

1

--Ответ. ä -----2 + 2 i; –i.

Используя трионометричесую форму записи омплесноо числа, вычислите:

Для вычисления орней k-й степени из омплесноо числа обычно используют представление омплесных чисел в трионометричесой форме.

π 2

2πk

π

ϕ = --6- + ---------3 ,

--------------cos -----6 + i sin 6 = – 2 + 2 i,

3 10

  . Следовательно, запись омплесноо числа 

3

π

π

cos ϕ = – ----------- ,

отуда следует, что уол ϕ принадлежит второй четверти и ра-

1 = 1,

--cos --6- + i sin --6- = -----2 + 2 i,

Обозначив арумент омплесноо числа через ϕ, получаем sin ϕ = ----------- ,

3

12. 16.

4

2i .

13.

2 – 2i 3 .

17.

4

– 8i .

14.

i.

18.

7

3 – 4i .

15.

4

–1 .

3 + 4i .

19.

3

1.

§ 32. Геометрическое изображение множеств комплексных чисел, удовлетворяющих заданным условиям Для еометричесоо изображения омплесных чисел, удовлетворяющих неоторым соотношениям, обычно используют алебраичесую форму омплесноо числа.


164

Г л а в а 6. Комплексные числа

П р и м е р 1. Найти множество точе оординатной плосости xOy, изображающих омплесные числа z, для оторых | z + i – 2 | m 2. Р е ш е н и е. Алебраичесая форма омплесноо числа z имеет вид z = x + iy. Тода z + i – 2 = (x – 2) + (y + 1)i.

y > ------------------ x,

( x – 2 )2 + ( y + 1 )2 .

Поэтому неравенство | z + i – 2 | m 2 примет вид 2

(x – 2) + (y + 1)

2

m 2 _ (x – 2)

2

+ (y + 1)

2

2

m 2 .

Множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих последнему неравенству, представляет собой множество всех точе, лежащих внутри и на ранице оружности с центром в точе (2; –1) и радиусом 2. П р и м е р 2. Найти множество точе оординатной плосости xOy, для оторых действительная часть омплесноо числа (1 + i)z2 положительна. Р е ш е н и е. Представив омплесное число z в алебраичесой форме, имеем z = x + iy. Следовательно, z2 = x2 – y2 + 2xyi, 2 (1 + i)z = (1 + i) (x2 – y2 + 2xyi) = = (x2 – 2xy – y2) + (x2 + 2xy – y2)i. По условию действительная часть омплесноо числа (1 + i)z2 положительна: x2 – 2xy – y2 > 0. (*) Предполаая, что y − 0, и разделив обе части неравенства (*) на y2, получаем 2 x x ---  – 2  ---  – 1 > 0.  y   y 

Решив это вадратное неравенство, находим x --- > 1 + y

2,

x --- < 1 – y

2.

Если y > 0, то неравенства (**) можно записать в виде 1 y < ------------------ x, 1+ 2

1 y < ----------------- x. 1– 2

Множество точе плосости xOy, удовлетворяющих этим неравенствам (при y > 0), отмечено штриховой на рис. 11. Если y < 0, то неравенства (**) примут вид 1 1+ 2

Соласно определению модуля омплесноо числа, имеем | z+i–2|=

§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел

(**)

y=

1 1– 2

Рис. 11

y=

1 x 1– 2

Рис. 12

1 1– 2

2. z = | z |. 4. 1 < | z | < 2.

5. | 2z – 1 | > 2. 6. | | z | + i | < 10. 7. | z + 1 | = | z – 1 |.

1 x 1+ 2

x

O

= -----------------x (рис. 13).

π 3. arg z = --3- .

y

y=

1 1+ 2

1. | z | = 1.

1 x 1+ 2

x

O

собой прямые y = ------------------ x и y =

Найдите множество точе оординатной плосости xOy, изображающих омплесные числа z = x + iy, для оторых:

y

y=

y > ----------------- x,

и множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих этим неравенствам (при y < 0), отмечено штриховой на рис. 12. Если y = 0, то нельзя разделить обе части неравенства (*) на y2, но при y = 0 неравенство (*) превращается в неравенство x2 > 0, решением отороо является любое действительное число x, отличное от нуля, т. е. решением неравенства (*) является любая точа оси Ox, за ислючением нуля. Объединяя все три случая, оончательно получаем: исомым множеством являются улы, содержащие ось Ox, без своих раниц; стороны этих улов представляют

1 x 1– 2

165

y=

1 x 1– 2

y

y= O

Рис. 13

1 x 1+ 2

x


164

Г л а в а 6. Комплексные числа

П р и м е р 1. Найти множество точе оординатной плосости xOy, изображающих омплесные числа z, для оторых | z + i – 2 | m 2. Р е ш е н и е. Алебраичесая форма омплесноо числа z имеет вид z = x + iy. Тода z + i – 2 = (x – 2) + (y + 1)i.

y > ------------------ x,

( x – 2 )2 + ( y + 1 )2 .

Поэтому неравенство | z + i – 2 | m 2 примет вид 2

(x – 2) + (y + 1)

2

m 2 _ (x – 2)

2

+ (y + 1)

2

2

m 2 .

Множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих последнему неравенству, представляет собой множество всех точе, лежащих внутри и на ранице оружности с центром в точе (2; –1) и радиусом 2. П р и м е р 2. Найти множество точе оординатной плосости xOy, для оторых действительная часть омплесноо числа (1 + i)z2 положительна. Р е ш е н и е. Представив омплесное число z в алебраичесой форме, имеем z = x + iy. Следовательно, z2 = x2 – y2 + 2xyi, 2 (1 + i)z = (1 + i) (x2 – y2 + 2xyi) = = (x2 – 2xy – y2) + (x2 + 2xy – y2)i. По условию действительная часть омплесноо числа (1 + i)z2 положительна: x2 – 2xy – y2 > 0. (*) Предполаая, что y − 0, и разделив обе части неравенства (*) на y2, получаем 2 x x ---  – 2  ---  – 1 > 0.  y   y 

Решив это вадратное неравенство, находим x --- > 1 + y

2,

x --- < 1 – y

2.

Если y > 0, то неравенства (**) можно записать в виде 1 y < ------------------ x, 1+ 2

1 y < ----------------- x. 1– 2

Множество точе плосости xOy, удовлетворяющих этим неравенствам (при y > 0), отмечено штриховой на рис. 11. Если y < 0, то неравенства (**) примут вид 1 1+ 2

Соласно определению модуля омплесноо числа, имеем | z+i–2|=

§ 32. Геом. изображение некоторых множеств комплексных чисел

(**)

y=

1 1– 2

Рис. 11

y=

1 x 1– 2

Рис. 12

1 1– 2

2. z = | z |. 4. 1 < | z | < 2.

5. | 2z – 1 | > 2. 6. | | z | + i | < 10. 7. | z + 1 | = | z – 1 |.

1 x 1+ 2

x

O

= -----------------x (рис. 13).

π 3. arg z = --3- .

y

y=

1 1+ 2

1. | z | = 1.

1 x 1+ 2

x

O

собой прямые y = ------------------ x и y =

Найдите множество точе оординатной плосости xOy, изображающих омплесные числа z = x + iy, для оторых:

y

y=

y > ----------------- x,

и множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих этим неравенствам (при y < 0), отмечено штриховой на рис. 12. Если y = 0, то нельзя разделить обе части неравенства (*) на y2, но при y = 0 неравенство (*) превращается в неравенство x2 > 0, решением отороо является любое действительное число x, отличное от нуля, т. е. решением неравенства (*) является любая точа оси Ox, за ислючением нуля. Объединяя все три случая, оончательно получаем: исомым множеством являются улы, содержащие ось Ox, без своих раниц; стороны этих улов представляют

1 x 1– 2

165

y=

1 x 1– 2

y

y= O

Рис. 13

1 x 1+ 2

x


166

Г л а в а 6. Комплексные числа

8. | z + i | = | z + 2 |. 9. | z + i | > | z |. 10. 1 m | z + i | m 4. 11. (1 – i) z = (1 + i)z. 12. На оординатной плосости pOq изобразите множество точе (p; q) таих, что орни уравнения x2 + px + q = 0 (возможно, омплесные) по модулю не превосходят единицы. 13. Уажите все точи омплесной плосости таие, что: а) zα; б) z + α — действительные числа (α = a + bi — заданное омплесное число). 14. Найдите множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих неравенству z–1 +4

------------------------------ > 1. log1/2 3 z–1 –2

15. На оординатной плосости xOy найдите множество всех точе, оординаты оторых удовлетворяют следующему условию: z2 + z + 1 — действительное положительное число. 16. Изобразите на плосости все омплесные числа z, для оторых число (1 + i)z является действительным. 17. Точи z1, z2, z3 — вершины треуольниа. Каое омплесное число соответствует центру тяжести этоо треуольниа? 18. Точи z1, z2, z3 — три вершины параллелорамма. Найдите четвертую вершину.  19. Доажите, что три различные точи z1, z2, z3 лежат на z3 – z1

одной прямой тода и тольо тода, ода ----------------z 2 – z 1 — действи-

тельное число. 20. При аих z1 и z2 справедливо равенство |z1 + z2| = |z1 – z2|? 21. Доажите, что четырехуольни, сумма вадратов сторон отороо равна сумме вадратов ео диаоналей, — параллелорамм.

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел Решение уравнения на множестве омплесных чисел сводится  решению системы уравнений на множестве действительных чисел; эта система получается в результате сравнения

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел

167

действительных и мнимых частей выражений, входящих в исходное уравнение. П р и м е р 1. Решить на множестве омплесных чисел уравнение 2z = | z | + 2i. Р е ш е н и е. Комплесное число z в алебраичесой форме имеет вид z = x + iy, де x, y — действительные числа. Тода | z|=

x 2 + y 2 и данное уравнение запишется та:

2x + 2iy = x 2 + y 2 + 2i. Соласно определению равенства двух омплесных чисел, получаем систему уравнений для нахождения x и y: 2x – x 2 + y 2 = 0, 2y – 2 = 0. Из второо уравнения находим y = 1. Подставив y = 1 в первое уравнение системы, получим уравнение 2x =

x 2 + 1 , имею-

1 3

щее орень x = ------- . Ита, решением данноо уравнения явля1 3

ется омплесное число z = ------- + i. 1 3

Ответ. z = ------- + i. П р и м е р 2. Для аждоо действительноо числа a > 0 найти все омплесные числа z, удовлетворяющие равенству z| z | + az + i = 0. Р е ш е н и е. Записав омплесное число z в алебраичесой форме, имеем z = x + iy. Тода | z | =  уравнению

x 2 + y 2 и приходим

(x + iy) x 2 + y 2 + a(x + iy) + i = 0 _ _ (x x 2 + y 2 + ax) + (y x 2 + y 2 + ay + 1)i = 0 + 0 · i. Соласно определению равенства двух омплесных чисел, залючаем, что последнее уравнение эвивалентно системе двух уравнений x x 2 + y 2 + ax = 0, (*) y x 2 + y 2 + ay + 1 = 0,


166

Г л а в а 6. Комплексные числа

8. | z + i | = | z + 2 |. 9. | z + i | > | z |. 10. 1 m | z + i | m 4. 11. (1 – i) z = (1 + i)z. 12. На оординатной плосости pOq изобразите множество точе (p; q) таих, что орни уравнения x2 + px + q = 0 (возможно, омплесные) по модулю не превосходят единицы. 13. Уажите все точи омплесной плосости таие, что: а) zα; б) z + α — действительные числа (α = a + bi — заданное омплесное число). 14. Найдите множество точе оординатной плосости xOy, удовлетворяющих неравенству z–1 +4

------------------------------ > 1. log1/2 3 z–1 –2

15. На оординатной плосости xOy найдите множество всех точе, оординаты оторых удовлетворяют следующему условию: z2 + z + 1 — действительное положительное число. 16. Изобразите на плосости все омплесные числа z, для оторых число (1 + i)z является действительным. 17. Точи z1, z2, z3 — вершины треуольниа. Каое омплесное число соответствует центру тяжести этоо треуольниа? 18. Точи z1, z2, z3 — три вершины параллелорамма. Найдите четвертую вершину.  19. Доажите, что три различные точи z1, z2, z3 лежат на z3 – z1

одной прямой тода и тольо тода, ода ----------------z 2 – z 1 — действи-

тельное число. 20. При аих z1 и z2 справедливо равенство |z1 + z2| = |z1 – z2|? 21. Доажите, что четырехуольни, сумма вадратов сторон отороо равна сумме вадратов ео диаоналей, — параллелорамм.

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел Решение уравнения на множестве омплесных чисел сводится  решению системы уравнений на множестве действительных чисел; эта система получается в результате сравнения

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел

167

действительных и мнимых частей выражений, входящих в исходное уравнение. П р и м е р 1. Решить на множестве омплесных чисел уравнение 2z = | z | + 2i. Р е ш е н и е. Комплесное число z в алебраичесой форме имеет вид z = x + iy, де x, y — действительные числа. Тода | z|=

x 2 + y 2 и данное уравнение запишется та:

2x + 2iy = x 2 + y 2 + 2i. Соласно определению равенства двух омплесных чисел, получаем систему уравнений для нахождения x и y: 2x – x 2 + y 2 = 0, 2y – 2 = 0. Из второо уравнения находим y = 1. Подставив y = 1 в первое уравнение системы, получим уравнение 2x =

x 2 + 1 , имею-

1 3

щее орень x = ------- . Ита, решением данноо уравнения явля1 3

ется омплесное число z = ------- + i. 1 3

Ответ. z = ------- + i. П р и м е р 2. Для аждоо действительноо числа a > 0 найти все омплесные числа z, удовлетворяющие равенству z| z | + az + i = 0. Р е ш е н и е. Записав омплесное число z в алебраичесой форме, имеем z = x + iy. Тода | z | =  уравнению

x 2 + y 2 и приходим

(x + iy) x 2 + y 2 + a(x + iy) + i = 0 _ _ (x x 2 + y 2 + ax) + (y x 2 + y 2 + ay + 1)i = 0 + 0 · i. Соласно определению равенства двух омплесных чисел, залючаем, что последнее уравнение эвивалентно системе двух уравнений x x 2 + y 2 + ax = 0, (*) y x 2 + y 2 + ay + 1 = 0,


168

Г л а в а 6. Комплексные числа

решения оторой следует исать на множестве действительных чисел. Нетрудно заметить, что множество решений первоо уравнения системы (*) можно найти а объединение множеств решений двух уравнений: x = 0,

x 2 + y 2 + a = 0.

Второе из этих уравнений не имеет решений, та а по условию a > 0. Подставив x = 0 во второе уравнение системы (*), для действительноо числа y получаем уравнение y|y| + ay + 1 = 0. Множество решений этоо уравнения получается а объединение множеств решений двух систем: y l 0, y2 + ay + 1 = 0;

169

19. Решите на множестве омплесных чисел уравнение z3 – z2 + z – 1 = 0. 10. Решите на множестве омплесных чисел систему уравнений: z13w19 = 1, z5w7 = 1, z2 + w2 = –2. 11. Каому условию должно удовлетворять омплесное число a + bi для тоо чтобы ео можно было представить в виде а)

z5w7 = 1, z2 – w 3 = 0;

б)

1 – ix

a + bi = --------------1 + ix ,

де x — действительное число? 12. Среди омплесных чисел z найдите все таие числа, для оторых

y < 0, –y2 + ay + 1 = 0.

Учитывая условие a > 0, лео убедиться в том, что первая система не имеет решений, а вторая имеет единственное решение: a – a2 + 4

- . Ита, решением данноо уравнения является y = -----------------------------2 a – a2 + 4

- i. чисто мнимое число z = -----------------------------2

1 (13 + | z + 4i |)

- = 0. log14 (13 + | z2 – 4i |) + log196 --------------------------------------------2 2

13. Для аждоо действительноо числа a l 1 найдите все омплесные числа z, удовлетворяющие уравнению z + a|z + 1| + i = 0.  14. При аих действительных значениях параметра a хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее равенству | z + 2 | = a2 – 3a + 2,

a – a2 + 4

- i. Ответ. z = -----------------------------2

Решите уравнение: 1. (2 + i)z2 – (5 – i)z + 2 – 2i = 0.

2. z2 + z = 0.

3. | z | – iz = 1 – 2i.

4. z2 = ( z )3.

удовлетворяет одновременно и неравенству

5. (x + y)2 + 6 + ix = 5(x + y) + i (y + 1) (x, y — действительные числа). 6. При аих действительных значениях x и y справедливо равенство x – 2 + ( y – 3 )i ----------------------------------------- = 1 – 3i? 1+i

7. Доажите, что уравнение z3 + iz – 1 = 0 не имеет действительных орней. 1 z

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел

1

--8. Вычислите z14 + ------14 , если z — орень уравнения z + z = 1.

| z + i 2 | < a2? 15. При аих действительных значениях параметра a хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее равенству | z – ai | = a + 4, удовлетворяет одновременно и неравенству | z – 2 | < 1? 16. Найдите наименьшее по модулю омплесное число z, удовлетворяющее условию | z – 2 + 2i | = 1.


168

Г л а в а 6. Комплексные числа

решения оторой следует исать на множестве действительных чисел. Нетрудно заметить, что множество решений первоо уравнения системы (*) можно найти а объединение множеств решений двух уравнений: x = 0,

x 2 + y 2 + a = 0.

Второе из этих уравнений не имеет решений, та а по условию a > 0. Подставив x = 0 во второе уравнение системы (*), для действительноо числа y получаем уравнение y|y| + ay + 1 = 0. Множество решений этоо уравнения получается а объединение множеств решений двух систем: y l 0, y2 + ay + 1 = 0;

169

19. Решите на множестве омплесных чисел уравнение z3 – z2 + z – 1 = 0. 10. Решите на множестве омплесных чисел систему уравнений: z13w19 = 1, z5w7 = 1, z2 + w2 = –2. 11. Каому условию должно удовлетворять омплесное число a + bi для тоо чтобы ео можно было представить в виде а)

z5w7 = 1, z2 – w 3 = 0;

б)

1 – ix

a + bi = --------------1 + ix ,

де x — действительное число? 12. Среди омплесных чисел z найдите все таие числа, для оторых

y < 0, –y2 + ay + 1 = 0.

Учитывая условие a > 0, лео убедиться в том, что первая система не имеет решений, а вторая имеет единственное решение: a – a2 + 4

- . Ита, решением данноо уравнения является y = -----------------------------2 a – a2 + 4

- i. чисто мнимое число z = -----------------------------2

1 (13 + | z + 4i |)

- = 0. log14 (13 + | z2 – 4i |) + log196 --------------------------------------------2 2

13. Для аждоо действительноо числа a l 1 найдите все омплесные числа z, удовлетворяющие уравнению z + a|z + 1| + i = 0.  14. При аих действительных значениях параметра a хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее равенству | z + 2 | = a2 – 3a + 2,

a – a2 + 4

- i. Ответ. z = -----------------------------2

Решите уравнение: 1. (2 + i)z2 – (5 – i)z + 2 – 2i = 0.

2. z2 + z = 0.

3. | z | – iz = 1 – 2i.

4. z2 = ( z )3.

удовлетворяет одновременно и неравенству

5. (x + y)2 + 6 + ix = 5(x + y) + i (y + 1) (x, y — действительные числа). 6. При аих действительных значениях x и y справедливо равенство x – 2 + ( y – 3 )i ----------------------------------------- = 1 – 3i? 1+i

7. Доажите, что уравнение z3 + iz – 1 = 0 не имеет действительных орней. 1 z

§ 33. Решение уравнений на множестве комплексных чисел

1

--8. Вычислите z14 + ------14 , если z — орень уравнения z + z = 1.

| z + i 2 | < a2? 15. При аих действительных значениях параметра a хотя бы одно омплесное число z = x + iy, удовлетворяющее равенству | z – ai | = a + 4, удовлетворяет одновременно и неравенству | z – 2 | < 1? 16. Найдите наименьшее по модулю омплесное число z, удовлетворяющее условию | z – 2 + 2i | = 1.


170

Г л а в а 6. Комплексные числа

§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач Использование трионометричесой формы омплесноо числа и представление этоо числа точой омплесной плосости допусает простое решение неоторых систем трионометричесих уравнений. П р и м е р 1. Решить систему

2 2 ------cos x + i sin x + cos y + i sin y = -----2 +i 2 . 2

2

------Положим cos x + i sin x = z, cos y + i sin y = w, -----2 + i 2 = u. Тода для омплесных чисел z, w и u получим уравнение

z + w = u, де |z| = |w| = |u| = 1, т. е. все три точи лежат на оружности единичноо радиуса и, следовательно, четырехуольни с вершинами z, u, w, O — ромб с диаональю Ou, длина оторой равна единице (рис. 14). Таим образом, треуольнии Ozu и Ouw — правильные, а улы uOw и zOu π

равны --3- . Имеем Arg u = --4- + 2πk; из

1

рис. 14 видно, что если x = Arg z и y =

u 1

O

w x

π π π π = Arg w, то x = --4- + --3- + 2πk, y = --4- – --3- + π 7π -----+ 2πn, т. е. x = -----12 + 2πk, y = – 12 + 2πn. π 7π - + 2πk; – ------ + 2πn  ; Ответ.  -----12  12 

Рис. 14

sin x + sin y = sin α, cos x + cos y = cos α.

2.

2 sin x cos y = sin α, 2 cos x cos y = cos α.

4.

sin x – sin y = sin α, cos x – cos y = cos α.

3

3.

sin x + sin y = -----2 , 1 cos x + cos y = --2- .

(1)

оторую можно записать в следующем виде:

Р е ш е н и е. Первое уравнение системы, умноженное на i, сложим со вторым уравнением:

z

1.

|w · z| = |w| · |z|,

2

cos x + cos y = -----2 .

π

Решите систему уравнений:

Для любых двух омплесных чисел z = a + bi и w = c + di справедлива формула

2

sin x + sin y = -----2 ,

y

§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач 171

7π π   – -----+ 2πn; -----12 + 2πk  .  12

(a2 + b2) (c2 + d2) = (ac – bd)2 + (ad + bc)2.

(2)

С помощью формулы (1) можно находить целочисленные решения уравнений вида x2 + y2 = n, де n — натуральное число. П р и м е р 2. Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения (*) x2 + y2 = 21 125. Р е ш е н и е. Разложим 21 125 на простые множители: 21 125 = 53 · 132. Числа 5 и 13 являются суммой двух полных вадратов целых чисел: 5 = 4 + 1, 13 = 9 + 4. Используя формулу (1), можно записать, например, равенство |(2 + i) (2 + i) (2 + i) · (3 + 2i) (3 + 2i)|2 = 21 125. Перемножив омплесные числа, находящиеся под знаом модуля, получаем | 79i – 122 |

2

= 21 125.

Таим образом, одним из решений исходноо уравнения являются числа x = 122, y = 79. Очевидно, изменяя омплесные числа, вадраты модулей оторых равны 5 и 13, будем получать друие целочисленные решения уравнения (*). Ответ. Например, x = 122, y = 79.


170

Г л а в а 6. Комплексные числа

§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач Использование трионометричесой формы омплесноо числа и представление этоо числа точой омплесной плосости допусает простое решение неоторых систем трионометричесих уравнений. П р и м е р 1. Решить систему

2 2 ------cos x + i sin x + cos y + i sin y = -----2 +i 2 . 2

2

------Положим cos x + i sin x = z, cos y + i sin y = w, -----2 + i 2 = u. Тода для омплесных чисел z, w и u получим уравнение

z + w = u, де |z| = |w| = |u| = 1, т. е. все три точи лежат на оружности единичноо радиуса и, следовательно, четырехуольни с вершинами z, u, w, O — ромб с диаональю Ou, длина оторой равна единице (рис. 14). Таим образом, треуольнии Ozu и Ouw — правильные, а улы uOw и zOu π

равны --3- . Имеем Arg u = --4- + 2πk; из

1

рис. 14 видно, что если x = Arg z и y =

u 1

O

w x

π π π π = Arg w, то x = --4- + --3- + 2πk, y = --4- – --3- + π 7π -----+ 2πn, т. е. x = -----12 + 2πk, y = – 12 + 2πn. π 7π - + 2πk; – ------ + 2πn  ; Ответ.  -----12  12 

Рис. 14

sin x + sin y = sin α, cos x + cos y = cos α.

2.

2 sin x cos y = sin α, 2 cos x cos y = cos α.

4.

sin x – sin y = sin α, cos x – cos y = cos α.

3

3.

sin x + sin y = -----2 , 1 cos x + cos y = --2- .

(1)

оторую можно записать в следующем виде:

Р е ш е н и е. Первое уравнение системы, умноженное на i, сложим со вторым уравнением:

z

1.

|w · z| = |w| · |z|,

2

cos x + cos y = -----2 .

π

Решите систему уравнений:

Для любых двух омплесных чисел z = a + bi и w = c + di справедлива формула

2

sin x + sin y = -----2 ,

y

§ 34. Применение комплексных чисел для решения некоторых задач 171

7π π   – -----+ 2πn; -----12 + 2πk  .  12

(a2 + b2) (c2 + d2) = (ac – bd)2 + (ad + bc)2.

(2)

С помощью формулы (1) можно находить целочисленные решения уравнений вида x2 + y2 = n, де n — натуральное число. П р и м е р 2. Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения (*) x2 + y2 = 21 125. Р е ш е н и е. Разложим 21 125 на простые множители: 21 125 = 53 · 132. Числа 5 и 13 являются суммой двух полных вадратов целых чисел: 5 = 4 + 1, 13 = 9 + 4. Используя формулу (1), можно записать, например, равенство |(2 + i) (2 + i) (2 + i) · (3 + 2i) (3 + 2i)|2 = 21 125. Перемножив омплесные числа, находящиеся под знаом модуля, получаем | 79i – 122 |

2

= 21 125.

Таим образом, одним из решений исходноо уравнения являются числа x = 122, y = 79. Очевидно, изменяя омплесные числа, вадраты модулей оторых равны 5 и 13, будем получать друие целочисленные решения уравнения (*). Ответ. Например, x = 122, y = 79.


172

Г л а в а 6. Комплексные числа

Найдите хотя бы одно решение в натуральных числах уравнения: 6. x2 + y2 = 84 500. 15. x2 + y2 = 32 045. 17. На оружности с центром в начале оординат и радиусом 5 13 найдите хотя бы одну точу с целыми положительными оординатами. Трионометричесую форму записи омплесноо числа и связанную с ней формулу Муавра в неоторых случаях используют для вывода различных трионометричесих формул. П р и м е р 3. Выразить sin 4x и cos 4x в виде неоторой фунции от sin x и cos x. Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой Муавра, запишем (cos x + i sin x)4 = cos 4x + i sin 4x.

(*)

Разложив левую часть уравнения (*) по формуле бинома Ньютона, имеем (cos x + i sin x)4 = = cos4 x + 4i cos3 x sin x – 6 cos2 x sin2 x – 4i cos x sin3 x + sin4 x. Соласно условию равенства двух омплесных чисел, получаем cos 4x = cos4 x – 6 cos2 x sin2 x + sin4 x, sin 4x = 4 cos3 x sin x – 4 cos x sin3 x. Ответ. cos 4x = cos4 x – 6 cos2 x sin2 x + sin4 x, sin 4x = 4 cos3 x sin x – 4 cos x sin3 x. 

8. Представьте sin 3x в виде фунции от sin x и cos x. 9. Вычислите сумму: S1 = cos ϕ + cos 2ϕ + ... + cos nϕ, S2 = sin ϕ + sin 2ϕ + ... + sin nϕ, n Ý N.

10. Доажите, что cos nα можно представить в виде мноочлена с целыми оэффициентами от cos α.  11. Доажите, что cos 31° — число иррациональное. 12. Вычислите сумму sin x + a sin 2x + ... + an – 1 sin nx. 

13. Вычислите сумму 1

2

n

C n sin x + C n sin 2x + ... + C n sin nx, k

де C n — число сочетаний из n по k. 14. Выразите tg 5α через tg α.

Глава 7 Последовательности

§ 35. Определение последовательности и ее свойства Множество чисел, занумерованных либо онечным отрезом натуральноо ряда, либо всеми натуральными числами, называют числовой последовательностью. В первом случае последовательность называют онечной, во втором — бесонечной. Элементы этоо числовоо множества называют членами последовательности и обычно обозначают следующим образом: первый член a1, второй — a2, ..., n-й — an и т. д. Числовая последовательность обозначается та*: a1, a2, a3, ..., an, ... или (an). Понятие последовательности можно ввести и с помощью понятия фунции: бесонечной числовой последовательностью (xn) называют числовую фунцию f(n), определенную на множестве всех натуральных чисел. Формулу, позволяющую вычислить любой член последовательности по ео номеру n, называют формлой общео члена последовательности. Последовательность (xn) называют ораниченной, если существуют таие два числа m и M, что при всех n Ý N выполняется двойное** неравенство m m xn m M. (1) Последовательность (xn) называют ораниченной сверх (сниз), если существует таое число M, что при всех n Ý N выполняется неравенство xn m M (xn l M). (2) Последовательность xn называют монотонно возрастающей, если при любом натуральном n выполнено неравенство (3) xn + 1 > xn, * Числовые последовательности будем таже обозначать (yn), (zn), n Ý N. ** Слово «двойное» для ратости в дальнейшем будем опусать.


172

Г л а в а 6. Комплексные числа

Найдите хотя бы одно решение в натуральных числах уравнения: 6. x2 + y2 = 84 500. 15. x2 + y2 = 32 045. 17. На оружности с центром в начале оординат и радиусом 5 13 найдите хотя бы одну точу с целыми положительными оординатами. Трионометричесую форму записи омплесноо числа и связанную с ней формулу Муавра в неоторых случаях используют для вывода различных трионометричесих формул. П р и м е р 3. Выразить sin 4x и cos 4x в виде неоторой фунции от sin x и cos x. Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой Муавра, запишем (cos x + i sin x)4 = cos 4x + i sin 4x.

(*)

Разложив левую часть уравнения (*) по формуле бинома Ньютона, имеем (cos x + i sin x)4 = = cos4 x + 4i cos3 x sin x – 6 cos2 x sin2 x – 4i cos x sin3 x + sin4 x. Соласно условию равенства двух омплесных чисел, получаем cos 4x = cos4 x – 6 cos2 x sin2 x + sin4 x, sin 4x = 4 cos3 x sin x – 4 cos x sin3 x. Ответ. cos 4x = cos4 x – 6 cos2 x sin2 x + sin4 x, sin 4x = 4 cos3 x sin x – 4 cos x sin3 x. 

8. Представьте sin 3x в виде фунции от sin x и cos x. 9. Вычислите сумму: S1 = cos ϕ + cos 2ϕ + ... + cos nϕ, S2 = sin ϕ + sin 2ϕ + ... + sin nϕ, n Ý N.

10. Доажите, что cos nα можно представить в виде мноочлена с целыми оэффициентами от cos α.  11. Доажите, что cos 31° — число иррациональное. 12. Вычислите сумму sin x + a sin 2x + ... + an – 1 sin nx. 

13. Вычислите сумму 1

2

n

C n sin x + C n sin 2x + ... + C n sin nx, k

де C n — число сочетаний из n по k. 14. Выразите tg 5α через tg α.

Глава 7 Последовательности

§ 35. Определение последовательности и ее свойства Множество чисел, занумерованных либо онечным отрезом натуральноо ряда, либо всеми натуральными числами, называют числовой последовательностью. В первом случае последовательность называют онечной, во втором — бесонечной. Элементы этоо числовоо множества называют членами последовательности и обычно обозначают следующим образом: первый член a1, второй — a2, ..., n-й — an и т. д. Числовая последовательность обозначается та*: a1, a2, a3, ..., an, ... или (an). Понятие последовательности можно ввести и с помощью понятия фунции: бесонечной числовой последовательностью (xn) называют числовую фунцию f(n), определенную на множестве всех натуральных чисел. Формулу, позволяющую вычислить любой член последовательности по ео номеру n, называют формлой общео члена последовательности. Последовательность (xn) называют ораниченной, если существуют таие два числа m и M, что при всех n Ý N выполняется двойное** неравенство m m xn m M. (1) Последовательность (xn) называют ораниченной сверх (сниз), если существует таое число M, что при всех n Ý N выполняется неравенство xn m M (xn l M). (2) Последовательность xn называют монотонно возрастающей, если при любом натуральном n выполнено неравенство (3) xn + 1 > xn, * Числовые последовательности будем таже обозначать (yn), (zn), n Ý N. ** Слово «двойное» для ратости в дальнейшем будем опусать.


174

Г л а в а 7. Последовательности

и монотонно бывающей, если при любом натуральном n выполнено неравенство (4) xn + 1 < xn. Последовательность xn называют небывающей (невозрастающей), если неравенство (3) (соответственно (4)) нестроое. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности называют монотонными последовательностями. Можно обобщить определение монотонности и на те последовательности, оторые обладают этим свойством, лишь начиная с неотороо члена. В этом случае соответствующее неравенство должно выполняться при всех n > n0, де n0 — номер члена, начиная с отороо последовательность становится монотонной. П р и м е р 1. Доазать, что последовательность, общий член 3n – 1

------------------ , — возрастающая. оторой задан формулой xn = 5n +2

Р е ш е н и е. Рассмотрим разность 3(n + 1 ) – 1

3n – 1 3(n + 1 ) – 1 --------------------------------- – ------------------ > 0, 5n + 2 5(n + 1) + 2

или

+1

– xn > 0 при всех

11 ---------------------------------------------( 5n + 7 ) ( 5n + 2 ) > 0.

6–n

1. Доажите, что последовательность yn = ----------------5n – 1 является убывающей. 2. Установите, является ли монотонной последовательность 2n – 3 yn = ----------------n .

3. Установите, является ли монотонной последовательность 2

n

-. yn = ----n! 4. При аих соотношениях между a, b, c, d последовательan + b ность yn = ----------------cn + d является возрастающей?

П р и м е р 2. Найти наибольший член последовательности yn = –n2 + 5n – 6. Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию y(x) = –x2 + 5x – 6. Она принимает наибольшее значение в точе x = 2,5, причем на промежуте (–×; 2,5) фунция y (x) возрастает, а на промежуте (2,5; +×) — убывает. Таим образом, возвращаясь  последовательности, можно записать y1 < y2 и y3 > y4. Значит, наибольшим членом является либо y2, либо y3, но y2 = y3 = 0. Ответ. Наибольшими являются второй и третий члены последовательности. Найдите наибольший или наименьший член последовательности: 15. yn = n2 – 1.

6. yn = 6n – n2 – 5.



512 n

7. xn = 2n + --------2 .

18. Последовательность (xn) задана формулой общео члена xn = ----------------n . При аих натуральных значениях n выполняется

Та а последнее неравенство справедливо при всех n Ý N, то соласно условию (3) данная последовательность — возрастающая.



175

2n – 3

3n – 1

-----------------xn + 1 – xn = --------------------------------5 ( n + 1 ) + 2 – 5n + 2

и проверим выполнение неравенства xn n Ý N:

§ 35. Определение последовательности и ее свойства

условие: а) | xn – 2 | < 0,1; б) | xn – 2 | < 0,01?  9. Сольо членов последовательности yn = | n2 – 5n + 6 | удовлетворяет неравенству 2 < yn < 6?  10. Начиная с аоо номера члены последовательности yn = n2 – 5n + 6 удовлетворяют неравенству xn + 1 > xn?  11. Начиная с аоо номера n последовательность, заданная формулой общео члена yn = nqn, является монотонной, если 0 < q < 1? Если последовательность задана формулой общео члена xn = f(n), то для доазательства ораниченности последовательности сверху и снизу можно использовать ораниченность фунции f(x) при x Ý [1; +×). 3n + 8

П р и м е р 3. Ораничена ли последовательность xn = ----------------2n ?

Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию 3x + 8

f(x) = ----------------2x ,


174

Г л а в а 7. Последовательности

и монотонно бывающей, если при любом натуральном n выполнено неравенство (4) xn + 1 < xn. Последовательность xn называют небывающей (невозрастающей), если неравенство (3) (соответственно (4)) нестроое. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности называют монотонными последовательностями. Можно обобщить определение монотонности и на те последовательности, оторые обладают этим свойством, лишь начиная с неотороо члена. В этом случае соответствующее неравенство должно выполняться при всех n > n0, де n0 — номер члена, начиная с отороо последовательность становится монотонной. П р и м е р 1. Доазать, что последовательность, общий член 3n – 1

------------------ , — возрастающая. оторой задан формулой xn = 5n +2

Р е ш е н и е. Рассмотрим разность 3(n + 1 ) – 1

3n – 1 3(n + 1 ) – 1 --------------------------------- – ------------------ > 0, 5n + 2 5(n + 1) + 2

или

+1

– xn > 0 при всех

11 ---------------------------------------------( 5n + 7 ) ( 5n + 2 ) > 0.

6–n

1. Доажите, что последовательность yn = ----------------5n – 1 является убывающей. 2. Установите, является ли монотонной последовательность 2n – 3 yn = ----------------n .

3. Установите, является ли монотонной последовательность 2

n

-. yn = ----n! 4. При аих соотношениях между a, b, c, d последовательan + b ность yn = ----------------cn + d является возрастающей?

П р и м е р 2. Найти наибольший член последовательности yn = –n2 + 5n – 6. Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию y(x) = –x2 + 5x – 6. Она принимает наибольшее значение в точе x = 2,5, причем на промежуте (–×; 2,5) фунция y (x) возрастает, а на промежуте (2,5; +×) — убывает. Таим образом, возвращаясь  последовательности, можно записать y1 < y2 и y3 > y4. Значит, наибольшим членом является либо y2, либо y3, но y2 = y3 = 0. Ответ. Наибольшими являются второй и третий члены последовательности. Найдите наибольший или наименьший член последовательности: 15. yn = n2 – 1.

6. yn = 6n – n2 – 5.



512 n

7. xn = 2n + --------2 .

18. Последовательность (xn) задана формулой общео члена xn = ----------------n . При аих натуральных значениях n выполняется

Та а последнее неравенство справедливо при всех n Ý N, то соласно условию (3) данная последовательность — возрастающая.



175

2n – 3

3n – 1

-----------------xn + 1 – xn = --------------------------------5 ( n + 1 ) + 2 – 5n + 2

и проверим выполнение неравенства xn n Ý N:

§ 35. Определение последовательности и ее свойства

условие: а) | xn – 2 | < 0,1; б) | xn – 2 | < 0,01?  9. Сольо членов последовательности yn = | n2 – 5n + 6 | удовлетворяет неравенству 2 < yn < 6?  10. Начиная с аоо номера члены последовательности yn = n2 – 5n + 6 удовлетворяют неравенству xn + 1 > xn?  11. Начиная с аоо номера n последовательность, заданная формулой общео члена yn = nqn, является монотонной, если 0 < q < 1? Если последовательность задана формулой общео члена xn = f(n), то для доазательства ораниченности последовательности сверху и снизу можно использовать ораниченность фунции f(x) при x Ý [1; +×). 3n + 8

П р и м е р 3. Ораничена ли последовательность xn = ----------------2n ?

Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию 3x + 8

f(x) = ----------------2x ,


176

Г л а в а 7. Последовательности

оторая при x = n определяет члены данной последовательности. Найдем множество значений фунции на промежуте [1; +×). Записав фунцию f(x) в виде 3

4

f(x) = --2- + --x- ,

(*)

§ 36. Предел последовательности

Р е ш е н и е. Чтобы установить, что предел последовательn+1

- равен 1, достаточно уазать способ нахождености xn = ------------n

ния для любоо ε > 0 числа n0(ε), входящео в определение предела. Зададим ε > 0 и составим неравенство n+1 -------------- – 1 < ε, n

убеждаемся, что при x l 1 она монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение фунции достиается при x = 1 и 11

177

(*)

1

оно равно -----2 . Из записи (*) видно, что при всех x Ý [1; +×) вы-

оторое эвивалентно неравенству --n- < ε. Следовательно, если

3 3 11 полняется неравенство f(x) > --2- . Ита, f(n) Ý  --2- ; -----2 . 

в ачестве числа n0(ε) выбрать число

Ответ. Последовательность ораничена: все ее члены за3 11 лючены в промежуте  --2- ; -----2 . 



(–1)

n

1 n – 2n + 3

-. 14. xn = -----------------------------2



n > n0(ε) будет выполняться неравенство (*); вадратными собами обозначена целая часть числа. Таим образом, доазано, что 1 является пределом данной последовательности.

5n – 3

1 1 --------------------  15. xn =  -------------------( n + 1 )! – ( n + 2 )!  (n + 2).

§ 36. Предел последовательности Говорят, что число a является пределом бесонечной числовой последовательности (xn), и пишут lim xn = a, если nº×

для любоо ε > 0 существует таой номер n0(ε), что при всех n > n0(ε) выполняется неравенство | xn – a | < ε. Если последовательность (xn) имеет предел, то ее называют сходящейся. Необходимое словие сходимости числовой последовательности: для то о чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была о раниченной. П р и м е р. Доазать, что n+1 - = 1. lim ------------n nº×

3n – 2

1. lim ----------------2n = 1,5. nº×

3 + n2 2+n

13. xn = ----------------2- .

.

+ 1, то при всех

Доажите, что:

Выясните, ораничена ли последовательность: 12. xn = 2

1 --ε

5

------------------ = --- . 3. lim 6n 6 +2 nº× n+1 n +1 nº×

- = 0. 5. lim ---------------2

1 +1 n nº×

- = 0. 2. lim ---------------2 6n – 1

- = –6. 4. lim -----------------n º × 0,5 – n n2 n +n nº×

- = 1. 6. lim ---------------2

При решении неоторых задач на доазательство сходимости последовательности удобно пользоваться следующей еометричесой интерпретацией понятия предела последовательности. Число a является пределом последовательности (xn), если для любоо положительноо числа ε существует таой номер n = n0(ε), что все члены последовательности, начиная с xn

0

+1

, принадлежат ε-орестности числа a, т. е. промежут-

у (a – ε; a + ε). Используя приведенную выше еометричесую интерпретацию, убедитесь в справедливости следующих утверждений:  7. Если последовательность сходится  числу a, то она ораничена (необходимое условие сходимости).  8. Известно, что lim xn = a, a < q. Доажите, что почти все

nº×

члены последовательности (xn) (за ислючением, быть может, онечноо числа членов) меньше q.


176

Г л а в а 7. Последовательности

оторая при x = n определяет члены данной последовательности. Найдем множество значений фунции на промежуте [1; +×). Записав фунцию f(x) в виде 3

4

f(x) = --2- + --x- ,

(*)

§ 36. Предел последовательности

Р е ш е н и е. Чтобы установить, что предел последовательn+1

- равен 1, достаточно уазать способ нахождености xn = ------------n

ния для любоо ε > 0 числа n0(ε), входящео в определение предела. Зададим ε > 0 и составим неравенство n+1 -------------- – 1 < ε, n

убеждаемся, что при x l 1 она монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение фунции достиается при x = 1 и 11

177

(*)

1

оно равно -----2 . Из записи (*) видно, что при всех x Ý [1; +×) вы-

оторое эвивалентно неравенству --n- < ε. Следовательно, если

3 3 11 полняется неравенство f(x) > --2- . Ита, f(n) Ý  --2- ; -----2 . 

в ачестве числа n0(ε) выбрать число

Ответ. Последовательность ораничена: все ее члены за3 11 лючены в промежуте  --2- ; -----2 . 



(–1)

n

1 n – 2n + 3

-. 14. xn = -----------------------------2



n > n0(ε) будет выполняться неравенство (*); вадратными собами обозначена целая часть числа. Таим образом, доазано, что 1 является пределом данной последовательности.

5n – 3

1 1 --------------------  15. xn =  -------------------( n + 1 )! – ( n + 2 )!  (n + 2).

§ 36. Предел последовательности Говорят, что число a является пределом бесонечной числовой последовательности (xn), и пишут lim xn = a, если nº×

для любоо ε > 0 существует таой номер n0(ε), что при всех n > n0(ε) выполняется неравенство | xn – a | < ε. Если последовательность (xn) имеет предел, то ее называют сходящейся. Необходимое словие сходимости числовой последовательности: для то о чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была о раниченной. П р и м е р. Доазать, что n+1 - = 1. lim ------------n nº×

3n – 2

1. lim ----------------2n = 1,5. nº×

3 + n2 2+n

13. xn = ----------------2- .

.

+ 1, то при всех

Доажите, что:

Выясните, ораничена ли последовательность: 12. xn = 2

1 --ε

5

------------------ = --- . 3. lim 6n 6 +2 nº× n+1 n +1 nº×

- = 0. 5. lim ---------------2

1 +1 n nº×

- = 0. 2. lim ---------------2 6n – 1

- = –6. 4. lim -----------------n º × 0,5 – n n2 n +n nº×

- = 1. 6. lim ---------------2

При решении неоторых задач на доазательство сходимости последовательности удобно пользоваться следующей еометричесой интерпретацией понятия предела последовательности. Число a является пределом последовательности (xn), если для любоо положительноо числа ε существует таой номер n = n0(ε), что все члены последовательности, начиная с xn

0

+1

, принадлежат ε-орестности числа a, т. е. промежут-

у (a – ε; a + ε). Используя приведенную выше еометричесую интерпретацию, убедитесь в справедливости следующих утверждений:  7. Если последовательность сходится  числу a, то она ораничена (необходимое условие сходимости).  8. Известно, что lim xn = a, a < q. Доажите, что почти все

nº×

члены последовательности (xn) (за ислючением, быть может, онечноо числа членов) меньше q.


178

Г л а в а 7. Последовательности



9. Известно, что lim an = p, lim bn = q, p − q. Существует nº×

nº×

ли предел последовательности a1, b1, a2, b2, ..., an, bn, ... ? 10. Используя результат упр. 9, доажите, что последоваn

тельность xn = 1 + (–1) не имеет предела.  11. Выясните, имеет ли предел последовательность πn 2

Р е ш е н и е. Та а числитель и знаменатель представляют собой неораниченные последовательности, то непосредственно воспользоваться формулой (3) нельзя. Разделим числитель и знаменатель на n и  полученной дроби применим формулу (3):

2

13. Выясните, имеет ли предел последовательность: n

xn

- , де x и y — неораниченно числении пределов вида lim ----n n n º × yn

5n + 1

1 πn xn = --n- sin ------- .

(–1) n

Обычно при вычислении пределов последовательностей непосредственному применению формул (1) — (3) предшествуют неоторые тождественные преобразования. Например, при вы-

-. П р и м е р 1. Вычислить предел lim ----------------n º × 7 – 9n

12. Выясните, имеет ли предел последовательность

а) xn = 1 + --------------- ;

n  (–1)  - sin πn ------- . б) xn =  1 + -------------n  2  

1 1 lim  5 + ---  5 + --n n º × n - = ----------------------------------- . lim ------------7 7 n º × --–9 lim  --- – 9 n  n º × n

§ 37. Вычисление пределов последовательностей

Далее, используя формулу (1), получаем 1 1 lim  5 + ---  lim 5 + lim --n nº× nº×n ----------------------------------- = ------------------------------------------- . 7 7 lim  --- – 9 lim --- – lim 9  n º × n nº×n nº× n º ×

Свойства сходящихся последовательностей. Если две последовательности (xn) и (yn) сходятся  lim xn и lim yn, то: nº×

nº×

1) последовательность (xn ä yn) сходится, причем lim (xn ä yn) = lim xn ä lim yn;

nº×

nº×

Учитывая, что предел постоянной равен этой постоянной, а (1)

nº×

1

lim --- = 0, оончательно получим

nº× n

5n + 1

2) последовательность (xnyn) сходится, причем lim xnyn = lim xn · lim yn;

nº×

nº×

nº×

(2)

 xn  3) последовательность  ----y  (если, роме тоо, yn − 0 и  n 

5

Ответ. – --9- . С помощью деления числителя и знаменателя дроби на старшую степень n вычислите предел: 2

1. lim ----------------------------------2-.

nº×

n º × 2 – 5n – 6n

nº×

(3)

5

lim ------------------ = – --9- . n º × 7 – 9n

3n – 7n + 1

lim yn − 0) сходится, причем lim x n xn nº× - = -------------------- . lim ----lim y n n º × yn

179

возрастающие последовательности, таим преобразованием является деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же выражение.

xn = sin ------- . 

§ 37. Вычисление пределов последовательностей

( n + 1 )4 – ( n – 1 )4 n º × (n + 1 ) + (n – 1 )

3. lim -------------------------------------------------4 4.

3

n 3 + 2n – 1

4

n5 + 2 – 3 n2 + 1

-. 2. lim ----------------------------------n+2 nº×

-. 4. lim -------------------------------------------------5 nº×

n4 + 2 + n3 + 1


178

Г л а в а 7. Последовательности



9. Известно, что lim an = p, lim bn = q, p − q. Существует nº×

nº×

ли предел последовательности a1, b1, a2, b2, ..., an, bn, ... ? 10. Используя результат упр. 9, доажите, что последоваn

тельность xn = 1 + (–1) не имеет предела.  11. Выясните, имеет ли предел последовательность πn 2

Р е ш е н и е. Та а числитель и знаменатель представляют собой неораниченные последовательности, то непосредственно воспользоваться формулой (3) нельзя. Разделим числитель и знаменатель на n и  полученной дроби применим формулу (3):

2

13. Выясните, имеет ли предел последовательность: n

xn

- , де x и y — неораниченно числении пределов вида lim ----n n n º × yn

5n + 1

1 πn xn = --n- sin ------- .

(–1) n

Обычно при вычислении пределов последовательностей непосредственному применению формул (1) — (3) предшествуют неоторые тождественные преобразования. Например, при вы-

-. П р и м е р 1. Вычислить предел lim ----------------n º × 7 – 9n

12. Выясните, имеет ли предел последовательность

а) xn = 1 + --------------- ;

n  (–1)  - sin πn ------- . б) xn =  1 + -------------n  2  

1 1 lim  5 + ---  5 + --n n º × n - = ----------------------------------- . lim ------------7 7 n º × --–9 lim  --- – 9 n  n º × n

§ 37. Вычисление пределов последовательностей

Далее, используя формулу (1), получаем 1 1 lim  5 + ---  lim 5 + lim --n nº× nº×n ----------------------------------- = ------------------------------------------- . 7 7 lim  --- – 9 lim --- – lim 9  n º × n nº×n nº× n º ×

Свойства сходящихся последовательностей. Если две последовательности (xn) и (yn) сходятся  lim xn и lim yn, то: nº×

nº×

1) последовательность (xn ä yn) сходится, причем lim (xn ä yn) = lim xn ä lim yn;

nº×

nº×

Учитывая, что предел постоянной равен этой постоянной, а (1)

nº×

1

lim --- = 0, оончательно получим

nº× n

5n + 1

2) последовательность (xnyn) сходится, причем lim xnyn = lim xn · lim yn;

nº×

nº×

nº×

(2)

 xn  3) последовательность  ----y  (если, роме тоо, yn − 0 и  n 

5

Ответ. – --9- . С помощью деления числителя и знаменателя дроби на старшую степень n вычислите предел: 2

1. lim ----------------------------------2-.

nº×

n º × 2 – 5n – 6n

nº×

(3)

5

lim ------------------ = – --9- . n º × 7 – 9n

3n – 7n + 1

lim yn − 0) сходится, причем lim x n xn nº× - = -------------------- . lim ----lim y n n º × yn

179

возрастающие последовательности, таим преобразованием является деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же выражение.

xn = sin ------- . 

§ 37. Вычисление пределов последовательностей

( n + 1 )4 – ( n – 1 )4 n º × (n + 1 ) + (n – 1 )

3. lim -------------------------------------------------4 4.

3

n 3 + 2n – 1

4

n5 + 2 – 3 n2 + 1

-. 2. lim ----------------------------------n+2 nº×

-. 4. lim -------------------------------------------------5 nº×

n4 + 2 + n3 + 1


180

Г л а в а 7. Последовательности

При вычислении пределов выражений, содержащих поазательные фунции с натуральным арументом, используют следующее равенство: lim qn = 0,

nº×

если

| q | < 1. 2

n+1

+3

3

n+1

   1   -------------1-   2 + ---  n  

n+1

2 +3

Р е ш е н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на . Далее, применяя формулу (4), получаем

n -  lim  ----------------2n +1   nº×

n

= 0.

Ответ. 0. Вычислите предел:

Ответ. 3. Вычислите предел: n

-. 5. lim ------------------n n nº× 2 –3

n

1 <  --2-  .  

денноо выше свойства последовательности вытеает, что

n+1 2 2 lim  ---  +1 ---  +1 3 n º × 3  0+1 - = ---------------------------------------------- = ---------------------- = 3. lim -------------------------------n n 1 1 2 2 1 1 1  nº× 1  --- ⋅ 0 + ----- --- + ----- lim --- + --3 3 3 3  3 n º × 3  3 3

n

n

1 n Соласно формуле (4), имеем lim  --2-  = 0, поэтому из привеnº×

n+1

2 +3

181

Далее, используя свойство степеней, залючаем, что при всех n Ý N справедливо неравенство

(4)

-. П р и м е р 2. Вычислить предел lim ----------------------------------n n nº×

§ 37. Вычисление пределов последовательностей



3·2

n+1

n

– 7· 3 + 1

-. 6. lim -----------------------------------------------------n+1 n+1 nº× 2

–5 ·3

+6

При вычислении пределов инода удобно пользоваться следующим свойством последовательностей: если члены двух последовательностей (an) и (bn) связаны соотношением |an | m |bn |, то из равенства нулю предела последовательности (bn) следует равенство нулю предела последовательности (an). n

n -  . П р и м е р 3. Вычислить предел lim  ----------------n º ×  2n + 1 

+1 n  3n ------------------  .  7. lim n º ×  4n + 5  

nsin n!

-. 9. lim -----------------2 nº× n +1

При вычислении пределов, содержащих иррациональности, часто используют перевод иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот. П р и м е р 4. Вычислить предел lim ( n 2 + 2n – n). nº×

Р е ш е н и е. Умножим и разделим выражение, находящееся под знаом предела, на сопряженное выражение. Тода получим ( n 2 + 2n – n ) ( n 2 + 2n + n )

- = lim ---------------------------------------------------------------------------------2

Р е ш е н и е. Убедимся сначала в том, что при всех n Ý N справедливо неравенство 1 n ------------------ < --- . 2 2n + 1

Действительно, разделив на n числитель и знаменатель дроби, записанной в левой части неравенства, получим очевидное неравенство 1 1 -------------- < --- . 2 1 2 + --n

n

  n2 – 1  8. lim  ------------------------------------------  . n º ×  ( 2n + 1 ) ( n + 2 ) 

n + 2n + n

nº×

n 2 + 2n – n 2 2n - = lim ------------------------------------ . = lim ----------------------------------2 2 n º × n + 2n + n n º × n + 2n + n

Разделив числитель и знаменатель на n, находим 2n

2 2 1 + --- + 1 n

- = lim ----------------------------- = 1. lim ----------------------------------2

nº×

Ответ. 1.

n + 2n + n

nº×


180

Г л а в а 7. Последовательности

При вычислении пределов выражений, содержащих поазательные фунции с натуральным арументом, используют следующее равенство: lim qn = 0,

nº×

если

| q | < 1. 2

n+1

+3

3

n+1

   1   -------------1-   2 + ---  n  

n+1

2 +3

Р е ш е н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на . Далее, применяя формулу (4), получаем

n -  lim  ----------------2n +1   nº×

n

= 0.

Ответ. 0. Вычислите предел:

Ответ. 3. Вычислите предел: n

-. 5. lim ------------------n n nº× 2 –3

n

1 <  --2-  .  

денноо выше свойства последовательности вытеает, что

n+1 2 2 lim  ---  +1 ---  +1 3 n º × 3  0+1 - = ---------------------------------------------- = ---------------------- = 3. lim -------------------------------n n 1 1 2 2 1 1 1  nº× 1  --- ⋅ 0 + ----- --- + ----- lim --- + --3 3 3 3  3 n º × 3  3 3

n

n

1 n Соласно формуле (4), имеем lim  --2-  = 0, поэтому из привеnº×

n+1

2 +3

181

Далее, используя свойство степеней, залючаем, что при всех n Ý N справедливо неравенство

(4)

-. П р и м е р 2. Вычислить предел lim ----------------------------------n n nº×

§ 37. Вычисление пределов последовательностей



3·2

n+1

n

– 7· 3 + 1

-. 6. lim -----------------------------------------------------n+1 n+1 nº× 2

–5 ·3

+6

При вычислении пределов инода удобно пользоваться следующим свойством последовательностей: если члены двух последовательностей (an) и (bn) связаны соотношением |an | m |bn |, то из равенства нулю предела последовательности (bn) следует равенство нулю предела последовательности (an). n

n -  . П р и м е р 3. Вычислить предел lim  ----------------n º ×  2n + 1 

+1 n  3n ------------------  .  7. lim n º ×  4n + 5  

nsin n!

-. 9. lim -----------------2 nº× n +1

При вычислении пределов, содержащих иррациональности, часто используют перевод иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот. П р и м е р 4. Вычислить предел lim ( n 2 + 2n – n). nº×

Р е ш е н и е. Умножим и разделим выражение, находящееся под знаом предела, на сопряженное выражение. Тода получим ( n 2 + 2n – n ) ( n 2 + 2n + n )

- = lim ---------------------------------------------------------------------------------2

Р е ш е н и е. Убедимся сначала в том, что при всех n Ý N справедливо неравенство 1 n ------------------ < --- . 2 2n + 1

Действительно, разделив на n числитель и знаменатель дроби, записанной в левой части неравенства, получим очевидное неравенство 1 1 -------------- < --- . 2 1 2 + --n

n

  n2 – 1  8. lim  ------------------------------------------  . n º ×  ( 2n + 1 ) ( n + 2 ) 

n + 2n + n

nº×

n 2 + 2n – n 2 2n - = lim ------------------------------------ . = lim ----------------------------------2 2 n º × n + 2n + n n º × n + 2n + n

Разделив числитель и знаменатель на n, находим 2n

2 2 1 + --- + 1 n

- = lim ----------------------------- = 1. lim ----------------------------------2

nº×

Ответ. 1.

n + 2n + n

nº×


182

Г л а в а 7. Последовательности

§ 37. Вычисление пределов последовательностей

Вычислите предел: 10. lim ( n + 2 – nº×

Аналоично доазывается, что lim (–|xn |) = 0. Учитывая, 11. lim (

n ).

12. lim n( n 2 + 1 – n). nº×

nº×



n2

13. lim (n + nº×

nº×

– 5n + 6 – n). 3

что неравенство –|xn | m xn m |xn | справедливо при всех n Ý N, получаем lim xn = 0.

1 – n 3 ).

nº×

Чтобы установить сходимость монотонной последовательности, можно использовать следующее утверждение: еcли последовательность монотонно возрастает (убывает), то для ее сходимости достаточно, чтобы она была о раничена сверху (снизу). В том случае, ода известно, что предел последовательности существует, для ео вычисления в ряде случаев удобно использовать формулу lim xn = lim xn + 1.

nº×

14. Последовательность (xn), первый член оторой x1 = определяется реуррентным соотношением 

xn + 1 =

2

Найдите предел (xn). 16. Последовательность задана реуррентным соотношением  1  a ------ + x  , xn + 1 = --2-  x n  n  де x1 > 0, a > 0. Найдите предел (xn). 17. Доажите, что последовательность, первый член ото-

и lim an = lim cn, то lim bn существует, причем nº×

lim bn = lim an.

nº×

(6)

nº×

2 + xn .

xn + 1 = x n + (1 – 2a)xn + a2.

an m bn m cn nº×

2,

Найдите предел (xn).  15. Последовательность (xn), первый член оторой x1 = 1, определяется реуррентным соотношением

(5)

nº×

Убедиться в существовании предела последовательности, а инода и найти ео можно, используя следующее утверждение: если для трех последовательностей, начиная с неоторо о N справедливо неравенство

nº×

183

П р и м е р 5. Найти предел последовательности xn = qn, если |q| < 1. Р е ш е н и е. Представим последовательность в реуррентном виде: xn + 1 = qxn. Та а |q| < 1, то |xn + 1 | < |xn | при любом n Ý N, т. е. последовательность (|xn |) монотонно убывает. Далее, посольу |xn | l 0 при любом n Ý N, последовательность (|xn |) ораничена снизу. Значит, последовательность (|xn |) сходится. Пусть lim |xn | = y. nº×

Тода для вычисления y соласно формуле (5) получаем уравнение y = |q|y. (*) Но |q | < 1, поэтому уравнение (*) имеет единственный орень y = 0.

a

рой x1 = --2- , а аждый следующий удовлетворяет реуррентному соотношению a

2

x –1

n xn = --2- + ---------------2 ,

возрастает и ораничена сверху. Найдите ее предел.  18. Найдите предел последовательности, у оторой a x1 = --2- ,

2

xn – 1 a xn = --2- – ---------------2 .

19. Последовательность определяется реуррентным соотношением 1  a  xn – 1 = --3-  2xn + -----2-  , xn   де a > 0 и x > 0. Доажите, что lim xn = nº×

3

a.


182

Г л а в а 7. Последовательности

§ 37. Вычисление пределов последовательностей

Вычислите предел: 10. lim ( n + 2 – nº×

Аналоично доазывается, что lim (–|xn |) = 0. Учитывая, 11. lim (

n ).

12. lim n( n 2 + 1 – n). nº×

nº×



n2

13. lim (n + nº×

nº×

– 5n + 6 – n). 3

что неравенство –|xn | m xn m |xn | справедливо при всех n Ý N, получаем lim xn = 0.

1 – n 3 ).

nº×

Чтобы установить сходимость монотонной последовательности, можно использовать следующее утверждение: еcли последовательность монотонно возрастает (убывает), то для ее сходимости достаточно, чтобы она была о раничена сверху (снизу). В том случае, ода известно, что предел последовательности существует, для ео вычисления в ряде случаев удобно использовать формулу lim xn = lim xn + 1.

nº×

14. Последовательность (xn), первый член оторой x1 = определяется реуррентным соотношением 

xn + 1 =

2

Найдите предел (xn). 16. Последовательность задана реуррентным соотношением  1  a ------ + x  , xn + 1 = --2-  x n  n  де x1 > 0, a > 0. Найдите предел (xn). 17. Доажите, что последовательность, первый член ото-

и lim an = lim cn, то lim bn существует, причем nº×

lim bn = lim an.

nº×

(6)

nº×

2 + xn .

xn + 1 = x n + (1 – 2a)xn + a2.

an m bn m cn nº×

2,

Найдите предел (xn).  15. Последовательность (xn), первый член оторой x1 = 1, определяется реуррентным соотношением

(5)

nº×

Убедиться в существовании предела последовательности, а инода и найти ео можно, используя следующее утверждение: если для трех последовательностей, начиная с неоторо о N справедливо неравенство

nº×

183

П р и м е р 5. Найти предел последовательности xn = qn, если |q| < 1. Р е ш е н и е. Представим последовательность в реуррентном виде: xn + 1 = qxn. Та а |q| < 1, то |xn + 1 | < |xn | при любом n Ý N, т. е. последовательность (|xn |) монотонно убывает. Далее, посольу |xn | l 0 при любом n Ý N, последовательность (|xn |) ораничена снизу. Значит, последовательность (|xn |) сходится. Пусть lim |xn | = y. nº×

Тода для вычисления y соласно формуле (5) получаем уравнение y = |q|y. (*) Но |q | < 1, поэтому уравнение (*) имеет единственный орень y = 0.

a

рой x1 = --2- , а аждый следующий удовлетворяет реуррентному соотношению a

2

x –1

n xn = --2- + ---------------2 ,

возрастает и ораничена сверху. Найдите ее предел.  18. Найдите предел последовательности, у оторой a x1 = --2- ,

2

xn – 1 a xn = --2- – ---------------2 .

19. Последовательность определяется реуррентным соотношением 1  a  xn – 1 = --3-  2xn + -----2-  , xn   де a > 0 и x > 0. Доажите, что lim xn = nº×

3

a.


184

Г л а в а 7. Последовательности

20. Последовательность определяется реуррентным соотношением 2

x ( x + 2a )

n n -, xn + 1 = -------------------------------3

2x n + a

де a > 0 и x > 0. Доажите, что lim xn =

3

nº×

a.

§ 38. Арифметическая прогрессия

П р и м е р 1. При делении 9-о члена арифметичесой прорессии на ее второй член в частном получается 5, а при делении 13-о члена этой прорессии на ее 6-й член в частном получается 2 и в остате 5. Найти первый член и разность прорессии. Р е ш е н и е. Условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений: a9 = a2 · 5, a13 = 2a6 + 5.

§ 38. Арифметическая прогрессия Последовательность, у оторой задан первый член a1, а аждый следующий член, начиная со второо, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметичесой прорессией. Таим образом, an + 1 = an + d,

n Ý N,

(1)

де an — n-й член прорессии, d — разность прорессии. Формула общео члена арифметичесой прорессии имеет вид an = a1 + d(n – 1).

1 n n, Sn = ------------------2

(3)

2a 1 + d ( n – 1 ) - n. Sn = --------------------------------------2

(4)

a

+a

k < n.

(5)

a

+a

оторая содержит тольо два неизвестных: a1 и d. После упрощений получаем систему 4a1 = 3d, a1 – 2d + 5 = 0, решением оторой являются a1 = 3, d = 4. Ответ. a1 = 3, d = 4. 5

сии равна --3- , а произведение третьео и четвертоо ее членов 65

равно -----72 . Найдите сумму 17 первых членов прорессии. 2. Найдите арифметичесую прорессию, если известно, что a1 + a3 + a5 = –12, a1a2a5 = 80.  3. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметичесой прорессии, равна 2, а сумма вадратов 14

Если k = 1, то формула (4) примет вид n–1 n+1 . an = ----------------------------------2

a1 + 8d = 5(a1 + d), a1 + 12d = 2(a1 + 5d) + 5,

1. Сумма первоо и пятоо членов арифметичесой прорес-

Свойство членов арифметичесой прорессии. Любой член арифметичесой про рессии (роме перво о) равен полусумме равноотстоящих от не о членов: n–k n+k -, an = ---------------------------------2

Используя формулу общео члена арифметичесой прорессии, приходим  системе

(2)

Сумма n членов арифметичесой прорессии вычисляется по формулам a +a

185

этих чисел равна -----9 . Найдите эти числа. (6)

Арифметичесая прорессия полностью определена, если известны ее первый член a1 и разность d.

4. В арифметичесой прорессии дано: ap = q и aq = p; найдите формулу общео члена прорессии an (p − q).  5. Поажите, что если для положительных чисел a, b, c числа a2, b2, c2 являются последовательными членами арифмети-


184

Г л а в а 7. Последовательности

20. Последовательность определяется реуррентным соотношением 2

x ( x + 2a )

n n -, xn + 1 = -------------------------------3

2x n + a

де a > 0 и x > 0. Доажите, что lim xn =

3

nº×

a.

§ 38. Арифметическая прогрессия

П р и м е р 1. При делении 9-о члена арифметичесой прорессии на ее второй член в частном получается 5, а при делении 13-о члена этой прорессии на ее 6-й член в частном получается 2 и в остате 5. Найти первый член и разность прорессии. Р е ш е н и е. Условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений: a9 = a2 · 5, a13 = 2a6 + 5.

§ 38. Арифметическая прогрессия Последовательность, у оторой задан первый член a1, а аждый следующий член, начиная со второо, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметичесой прорессией. Таим образом, an + 1 = an + d,

n Ý N,

(1)

де an — n-й член прорессии, d — разность прорессии. Формула общео члена арифметичесой прорессии имеет вид an = a1 + d(n – 1).

1 n n, Sn = ------------------2

(3)

2a 1 + d ( n – 1 ) - n. Sn = --------------------------------------2

(4)

a

+a

k < n.

(5)

a

+a

оторая содержит тольо два неизвестных: a1 и d. После упрощений получаем систему 4a1 = 3d, a1 – 2d + 5 = 0, решением оторой являются a1 = 3, d = 4. Ответ. a1 = 3, d = 4. 5

сии равна --3- , а произведение третьео и четвертоо ее членов 65

равно -----72 . Найдите сумму 17 первых членов прорессии. 2. Найдите арифметичесую прорессию, если известно, что a1 + a3 + a5 = –12, a1a2a5 = 80.  3. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметичесой прорессии, равна 2, а сумма вадратов 14

Если k = 1, то формула (4) примет вид n–1 n+1 . an = ----------------------------------2

a1 + 8d = 5(a1 + d), a1 + 12d = 2(a1 + 5d) + 5,

1. Сумма первоо и пятоо членов арифметичесой прорес-

Свойство членов арифметичесой прорессии. Любой член арифметичесой про рессии (роме перво о) равен полусумме равноотстоящих от не о членов: n–k n+k -, an = ---------------------------------2

Используя формулу общео члена арифметичесой прорессии, приходим  системе

(2)

Сумма n членов арифметичесой прорессии вычисляется по формулам a +a

185

этих чисел равна -----9 . Найдите эти числа. (6)

Арифметичесая прорессия полностью определена, если известны ее первый член a1 и разность d.

4. В арифметичесой прорессии дано: ap = q и aq = p; найдите формулу общео члена прорессии an (p − q).  5. Поажите, что если для положительных чисел a, b, c числа a2, b2, c2 являются последовательными членами арифмети-


186

Г л а в а 7. Последовательности 1

1

1

- ------------- ------------чесой прорессии, то числа -----------b + c , a + c , a + b таже являются

последовательными членами арифметичесой прорессии. 6. Сумма и разность членов арифметичесой прорессии положительна. Если увеличить разность на 2, не меняя первоо члена, то сумма исходной прорессии увеличится в 3 раза. Если же разность исходной прорессии увеличить в 4 раза, то сумма прорессии увеличится в 5 раз. Определите разность исходной прорессии. 7. Найдите число членов арифметичесой прорессии, у оторой отношение суммы первых 13 членов  сумме последних 1

13 равно --2- , а отношение суммы всех членов без первых трех 4

 сумме всех членов без последних трех равно --3- .

187

тичесой прорессии при d = 2, a1 = 10, an = 98, получаем 98 – 10

- = 45. n = 1 + ------------------2

Подставляя это значение n в формулу (3), находим 98 + 10

- · 45 = 54 · 45 = 2430. Sn = -------------------2

Ответ. 2430. 10. Решите уравнение 2 + 5 + 8 + 11 + ... + x = 155. 11. За изотовление и установу первоо железобетонноо ольца было уплачено 1000 р., а за аждое следующее ольцо платили на 200 р. больше, чем за предыдущее. Кроме тоо, по оончании работы было уплачено еще 4000 р. Средняя стоимость изотовления и установи одноо ольца оазалась рав4 9

ной 2244 --- р. Сольо олец было установлено?

При решении задач, в оторых используется понятие суммы членов арифметичесой прорессии, удобно применять следующую формулу: an + 1 = Sn + 1 – Sn.

§ 38. Арифметическая прогрессия

(7)

П р и м е р 2. Известно, что при любом n сумма членов неоторой прорессии выражается формулой Sn = 4n2 – 3n. Найти общий член прорессии. Р е ш е н и е. Используя формулу (7), имеем an + 1 = Sn + 1 – Sn = 4(n + 1)2 – 3(n + 1) – (4n2 – 3n) = 8n + 1, an = 8(n – 1) + 1 = 8n – 7. Ответ. an = 8n – 7. 8. Известно, что при любом n сумма членов неоторой последовательности выражается формулой Sn = 2n2 + 3n. Найдите десятый член этой последовательности и доажите, что она является арифметичесой прорессией. 9. Последовательность чисел 1, 4, 10, 19, ... обладает тем свойством, что разности соседних членов (последующео и предыдущео) образуют арифметичесую прорессию 3, 6, 9, ... . Найдите номер члена последовательности, равноо 15 454. П р и м е р 3. Найти сумму всех четных двузначных чисел. Р е ш е н и е. Первое четное двузначное число равно 10, а последнее равно 98. Используя формулу общео члена арифме-

x–1

x–2

1

--------------12. Решите уравнение -----------x + x + ... + x = 3.  13. В арифметичесой прорессии сумма m первых ее членов равна сумме n первых ее членов (m − n). Доажите, что сумма ее первых m + n членов равна нулю.  14. Найдите сумму всех четных трехзначных чисел, делящихся на 3. 15. Найдите таую арифметичесую прорессию, в оторой отношение суммы n первых членов  сумме n членов, следующих за ними, не зависит от n.  16. Найдите сумму 502 – 492 + 482 – 472 + ... + 22 – 1.  17. Найдите сумму первых 19 членов арифметичесой прорессии a1, a2, ..., если известно, что a4 + a8 + a12 + a16 = 224. 18. Найдите a1 + a6 + a11 + a16, если известно, что a1, a2, ... — арифметичесая прорессия и a1 + a4 + a7 + ... ... + a16 = 147.  19. Найдите последовательность, в оторой сумма любоо числа членов, начиная с первоо, в 4 раза больше вадрата числа членов.  20. Доажите, что если Sn, S2n, S3n — суммы n, 2n, 3n членов арифметичесой прорессии, то S3n = 3(S2n – Sn).  21. Известно, что для неоторой арифметичесой прорессии и для неоторой пары натуральных чисел m и n имеет место S

m2

a

2m – 1

m m - = ------- . Доажите, что ------- = ------------------- . равенство ------2n – 1 Sn an n2


186

Г л а в а 7. Последовательности 1

1

1

- ------------- ------------чесой прорессии, то числа -----------b + c , a + c , a + b таже являются

последовательными членами арифметичесой прорессии. 6. Сумма и разность членов арифметичесой прорессии положительна. Если увеличить разность на 2, не меняя первоо члена, то сумма исходной прорессии увеличится в 3 раза. Если же разность исходной прорессии увеличить в 4 раза, то сумма прорессии увеличится в 5 раз. Определите разность исходной прорессии. 7. Найдите число членов арифметичесой прорессии, у оторой отношение суммы первых 13 членов  сумме последних 1

13 равно --2- , а отношение суммы всех членов без первых трех 4

 сумме всех членов без последних трех равно --3- .

187

тичесой прорессии при d = 2, a1 = 10, an = 98, получаем 98 – 10

- = 45. n = 1 + ------------------2

Подставляя это значение n в формулу (3), находим 98 + 10

- · 45 = 54 · 45 = 2430. Sn = -------------------2

Ответ. 2430. 10. Решите уравнение 2 + 5 + 8 + 11 + ... + x = 155. 11. За изотовление и установу первоо железобетонноо ольца было уплачено 1000 р., а за аждое следующее ольцо платили на 200 р. больше, чем за предыдущее. Кроме тоо, по оончании работы было уплачено еще 4000 р. Средняя стоимость изотовления и установи одноо ольца оазалась рав4 9

ной 2244 --- р. Сольо олец было установлено?

При решении задач, в оторых используется понятие суммы членов арифметичесой прорессии, удобно применять следующую формулу: an + 1 = Sn + 1 – Sn.

§ 38. Арифметическая прогрессия

(7)

П р и м е р 2. Известно, что при любом n сумма членов неоторой прорессии выражается формулой Sn = 4n2 – 3n. Найти общий член прорессии. Р е ш е н и е. Используя формулу (7), имеем an + 1 = Sn + 1 – Sn = 4(n + 1)2 – 3(n + 1) – (4n2 – 3n) = 8n + 1, an = 8(n – 1) + 1 = 8n – 7. Ответ. an = 8n – 7. 8. Известно, что при любом n сумма членов неоторой последовательности выражается формулой Sn = 2n2 + 3n. Найдите десятый член этой последовательности и доажите, что она является арифметичесой прорессией. 9. Последовательность чисел 1, 4, 10, 19, ... обладает тем свойством, что разности соседних членов (последующео и предыдущео) образуют арифметичесую прорессию 3, 6, 9, ... . Найдите номер члена последовательности, равноо 15 454. П р и м е р 3. Найти сумму всех четных двузначных чисел. Р е ш е н и е. Первое четное двузначное число равно 10, а последнее равно 98. Используя формулу общео члена арифме-

x–1

x–2

1

--------------12. Решите уравнение -----------x + x + ... + x = 3.  13. В арифметичесой прорессии сумма m первых ее членов равна сумме n первых ее членов (m − n). Доажите, что сумма ее первых m + n членов равна нулю.  14. Найдите сумму всех четных трехзначных чисел, делящихся на 3. 15. Найдите таую арифметичесую прорессию, в оторой отношение суммы n первых членов  сумме n членов, следующих за ними, не зависит от n.  16. Найдите сумму 502 – 492 + 482 – 472 + ... + 22 – 1.  17. Найдите сумму первых 19 членов арифметичесой прорессии a1, a2, ..., если известно, что a4 + a8 + a12 + a16 = 224. 18. Найдите a1 + a6 + a11 + a16, если известно, что a1, a2, ... — арифметичесая прорессия и a1 + a4 + a7 + ... ... + a16 = 147.  19. Найдите последовательность, в оторой сумма любоо числа членов, начиная с первоо, в 4 раза больше вадрата числа членов.  20. Доажите, что если Sn, S2n, S3n — суммы n, 2n, 3n членов арифметичесой прорессии, то S3n = 3(S2n – Sn).  21. Известно, что для неоторой арифметичесой прорессии и для неоторой пары натуральных чисел m и n имеет место S

m2

a

2m – 1

m m - = ------- . Доажите, что ------- = ------------------- . равенство ------2n – 1 Sn an n2


188

Г л а в а 7. Последовательности



22. При аих значениях параметра a найдутся таие значе-

ния x, что числа 5

1+x

+5

1–x

a x –x , --2- , 25 + 25 являются тремя

§ 39. Геометрическая прогрессия

Сумма n членов еометричесой прорессии вычисляется по формуле n b (1 – q )

1 Sn = ---------------------------. 1–q

последовательными членами арифметичесой прорессии? x

x

23. При аом значении x числа lg 2, lg (2 – 1), lg (2 + 3) являются тремя последовательными членами арифметичесой прорессии? 24. Доажите, что если u1, u2, u3 (u1 − u2) — члены (не обязательно последовательные) арифметичесой прорессии, то

25. Доажите, что числа 2 , 3 , 5 не моут быть членами (не обязательно соседними) арифметичесой прорессии. 

Если | q | < 1, то еометричесую прорессию называют бесонечно бывающей. Предел суммы ее членов, т. е. S = lim Sn, nº×

называют сммой бесонечно бывающей еометричесой прорессии. Он вычисляется по формуле b1

26. Моут ли числа 2; 6 ; 4,5 быть членами арифметичесой прорессии?  27. Длины сторон четырехуольниа образуют арифметичесую прорессию. Можно ли вписать в нео оружность? 28. Пусть Sn — сумма n членов неоторой последовательn2 m

n -------ности и известно, что ------S = 2 . Доажите, что для членов этой

последовательности справедливо отношение an 2n – 1 ------- = ------------------- . 2m – 1 am

2

b n = bn – kbn + k, k m n,

.

Геометричесая прорессия полностью определена, если известны ее первый член b1 и знаменатель q. П р и м е р 1. Найти четыре последовательных члена еометричесой прорессии, из оторых второй член меньше первоо на 35, а третий больше четвертоо на 560. Р е ш е н и е. Пусть b1, b2, b3, b4 — четыре последовательных члена еометричесой прорессии. Условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений:

b1 – b1q = 35,

(1)

де bn — n-й член прорессии, q — знаменатель прорессии. Формула общео члена еометричесой прорессии имеет вид n–1

(5)

Используя формулу общео члена еометричесой прорессии, перепишем эту систему в виде

Последовательность, у оторой задан первый член b1 − 0, а аждый следующий, начиная со второо, получается умножением предыдущео на одно и то же число q − 0, называют еометричесой прорессией. Таим образом,

bn = b 1 q

k Ý N.

b1 – 35 = b2, b3 – 560 = b4.

§ 39. Геометрическая прогрессия

bn = bn – 1q,

(4)

Свойство членов еометричесой прорессии. Квадрат любо о (роме перво о) члена еометричесой про рессии равен произведению равноотстоящих от не о членов:



m

(3)

S = -----------1–q.

u3 – u2 существует таое рациональное число λ, что -----------------u 2 – u 1 = λ.

S

189

(2)

b1q2 – b1q3 = 560.

(*)

Подставляя выражение b1(1 – q) во второе уравнение системы (*), получаем для q уравнение q2 = 16, орни отороо равны 4 и (–4). Теперь из первоо уравнения системы (*) по известным значениям q = 4 и q = –4 находим соответствующие значения 35

b1 = – -----3 , b1 = 7. 35 ⋅ 64 35 ⋅ 16 35 ⋅ 4 35 ------------------ , – ------------------  ; (7, –28, 112, –448). Ответ.  – -----, – -------------3 3 ,– 3  3 


188

Г л а в а 7. Последовательности



22. При аих значениях параметра a найдутся таие значе-

ния x, что числа 5

1+x

+5

1–x

a x –x , --2- , 25 + 25 являются тремя

§ 39. Геометрическая прогрессия

Сумма n членов еометричесой прорессии вычисляется по формуле n b (1 – q )

1 Sn = ---------------------------. 1–q

последовательными членами арифметичесой прорессии? x

x

23. При аом значении x числа lg 2, lg (2 – 1), lg (2 + 3) являются тремя последовательными членами арифметичесой прорессии? 24. Доажите, что если u1, u2, u3 (u1 − u2) — члены (не обязательно последовательные) арифметичесой прорессии, то

25. Доажите, что числа 2 , 3 , 5 не моут быть членами (не обязательно соседними) арифметичесой прорессии. 

Если | q | < 1, то еометричесую прорессию называют бесонечно бывающей. Предел суммы ее членов, т. е. S = lim Sn, nº×

называют сммой бесонечно бывающей еометричесой прорессии. Он вычисляется по формуле b1

26. Моут ли числа 2; 6 ; 4,5 быть членами арифметичесой прорессии?  27. Длины сторон четырехуольниа образуют арифметичесую прорессию. Можно ли вписать в нео оружность? 28. Пусть Sn — сумма n членов неоторой последовательn2 m

n -------ности и известно, что ------S = 2 . Доажите, что для членов этой

последовательности справедливо отношение an 2n – 1 ------- = ------------------- . 2m – 1 am

2

b n = bn – kbn + k, k m n,

.

Геометричесая прорессия полностью определена, если известны ее первый член b1 и знаменатель q. П р и м е р 1. Найти четыре последовательных члена еометричесой прорессии, из оторых второй член меньше первоо на 35, а третий больше четвертоо на 560. Р е ш е н и е. Пусть b1, b2, b3, b4 — четыре последовательных члена еометричесой прорессии. Условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений:

b1 – b1q = 35,

(1)

де bn — n-й член прорессии, q — знаменатель прорессии. Формула общео члена еометричесой прорессии имеет вид n–1

(5)

Используя формулу общео члена еометричесой прорессии, перепишем эту систему в виде

Последовательность, у оторой задан первый член b1 − 0, а аждый следующий, начиная со второо, получается умножением предыдущео на одно и то же число q − 0, называют еометричесой прорессией. Таим образом,

bn = b 1 q

k Ý N.

b1 – 35 = b2, b3 – 560 = b4.

§ 39. Геометрическая прогрессия

bn = bn – 1q,

(4)

Свойство членов еометричесой прорессии. Квадрат любо о (роме перво о) члена еометричесой про рессии равен произведению равноотстоящих от не о членов:



m

(3)

S = -----------1–q.

u3 – u2 существует таое рациональное число λ, что -----------------u 2 – u 1 = λ.

S

189

(2)

b1q2 – b1q3 = 560.

(*)

Подставляя выражение b1(1 – q) во второе уравнение системы (*), получаем для q уравнение q2 = 16, орни отороо равны 4 и (–4). Теперь из первоо уравнения системы (*) по известным значениям q = 4 и q = –4 находим соответствующие значения 35

b1 = – -----3 , b1 = 7. 35 ⋅ 64 35 ⋅ 16 35 ⋅ 4 35 ------------------ , – ------------------  ; (7, –28, 112, –448). Ответ.  – -----, – -------------3 3 ,– 3  3 


190

Г л а в а 7. Последовательности

11. Доажите, что для любоо четноо числа членов еометричесой прорессии Sнеч — сумма членов, стоящих на нечетных местах, и Sчет — сумма членов, стоящих на четных местах, связаны равенством qSнеч = Sчет. 12. Найдите первый и пятый члены еометричесой прорессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равно 1820. 13. Найдите четыре последовательных члена возрастающей еометричесой прорессии, если известно, что сумма райних членов равна (–49), а сумма средних членов равна 14. 14. В еометричесой прорессии с положительными членами известно, что S2 = 4, S3 = 13. Найдите S4. 15. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 13, а их произведение равно 27. Найдите эти числа. 16. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 13, а сумма вадратов тех же чисел равна 91. Найдите эти числа. 17. Определите три числа, являющиеся тремя последовательными членами еометричесой прорессии, если их сумма 7 равна 21, а сумма обратных величин равна -----12 .

18. Сумма четырех первых членов еометричесой прорессии равна 30, а сумма их вадратов равна 340. Найдите данные числа. 19. Произведение трех первых членов еометричесой прорессии равно 64, а сумма убов этих членов равна 584. Найдите прорессию. 10. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 31, а сумма первоо и третьео членов равна 26. Найдите прорессию. 11. Число членов еометричесой прорессии четно. Сумма всех ее членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Определите знаменатель прорессии. 12. Дана еометричесая прорессия с положительными членами. Выразите произведение n первых ее членов через их сумму Sn и через S n′ — сумму обратных величин этих членов. 13. Сумма любых пяти последовательных членов возрастающей еометричесой прорессии в 19 раз больше третьео из них. Найдите эту прорессию, если известно, что ее m-й член равен единице.

§ 39. Геометрическая прогрессия

191

14. Вычислите сумму вадратов n членов еометричесой прорессии, у оторой первый член равен u1 и знаменатель q − 1. 15. Доажите, что отношение суммы вадратов нечетноо числа членов еометричесой прорессии  сумме первых степеней тех же членов является неоторым мноочленом относительно q (q — знаменатель прорессии). 16. Доажите, что если Sn, S2n, S3n — суммы n, 2n, 3n первых членов еометричесой прорессии, то 2

Sn(S3n – S2n) = (S 2n – S n ) . Найдите сумму: 2

2

 1  17.  x + --x-   



n -. 18. Sn = -----0- + -----1- + -----2- + -----3- + ... + --------------n



19. Sn = x + 2x2 + 3x3 + ... + nxn,

1 2

 1  +  x2 + -----2-  x  

2



2 2

3 2

 1  + ... +  xn + -----n-  , x  

4 2

x − ä1.

2 –1

x − 1.

20. Найдите число членов еометричесой прорессии, у оторой отношение суммы последних 14 членов  сумме первых 14 членов равно 9, а отношение суммы всех членов без первых семи  сумме всех членов без последних семи равно 3. П р и м е р 2. Найти отличный от нуля знаменатель бесонечно убывающей еометричесой прорессии, у оторой аждый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов. (Считается, что b1 − 0.) Р е ш е н и е. Составим уравнение, связывающее n-й член прорессии с суммой ее членов, начиная с (n + 1)-о: bn + 1

bn = 4 ------------1–q .

Выразив bn и bn + 1 через b1 и q, получаем уравнение b1 qn

b1qn – 1 = 4 -----------1–q,

оторое после деления обеих ео частей на b1qn – 1 примет вид 4q

------------- . Ео орнем является q = 0,2. 1= 1 –q

Ответ. q = 0,2.


190

Г л а в а 7. Последовательности

11. Доажите, что для любоо четноо числа членов еометричесой прорессии Sнеч — сумма членов, стоящих на нечетных местах, и Sчет — сумма членов, стоящих на четных местах, связаны равенством qSнеч = Sчет. 12. Найдите первый и пятый члены еометричесой прорессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равно 1820. 13. Найдите четыре последовательных члена возрастающей еометричесой прорессии, если известно, что сумма райних членов равна (–49), а сумма средних членов равна 14. 14. В еометричесой прорессии с положительными членами известно, что S2 = 4, S3 = 13. Найдите S4. 15. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 13, а их произведение равно 27. Найдите эти числа. 16. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 13, а сумма вадратов тех же чисел равна 91. Найдите эти числа. 17. Определите три числа, являющиеся тремя последовательными членами еометричесой прорессии, если их сумма 7 равна 21, а сумма обратных величин равна -----12 .

18. Сумма четырех первых членов еометричесой прорессии равна 30, а сумма их вадратов равна 340. Найдите данные числа. 19. Произведение трех первых членов еометричесой прорессии равно 64, а сумма убов этих членов равна 584. Найдите прорессию. 10. Сумма трех первых членов еометричесой прорессии равна 31, а сумма первоо и третьео членов равна 26. Найдите прорессию. 11. Число членов еометричесой прорессии четно. Сумма всех ее членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Определите знаменатель прорессии. 12. Дана еометричесая прорессия с положительными членами. Выразите произведение n первых ее членов через их сумму Sn и через S n′ — сумму обратных величин этих членов. 13. Сумма любых пяти последовательных членов возрастающей еометричесой прорессии в 19 раз больше третьео из них. Найдите эту прорессию, если известно, что ее m-й член равен единице.

§ 39. Геометрическая прогрессия

191

14. Вычислите сумму вадратов n членов еометричесой прорессии, у оторой первый член равен u1 и знаменатель q − 1. 15. Доажите, что отношение суммы вадратов нечетноо числа членов еометричесой прорессии  сумме первых степеней тех же членов является неоторым мноочленом относительно q (q — знаменатель прорессии). 16. Доажите, что если Sn, S2n, S3n — суммы n, 2n, 3n первых членов еометричесой прорессии, то 2

Sn(S3n – S2n) = (S 2n – S n ) . Найдите сумму: 2

2

 1  17.  x + --x-   



n -. 18. Sn = -----0- + -----1- + -----2- + -----3- + ... + --------------n



19. Sn = x + 2x2 + 3x3 + ... + nxn,

1 2

 1  +  x2 + -----2-  x  

2



2 2

3 2

 1  + ... +  xn + -----n-  , x  

4 2

x − ä1.

2 –1

x − 1.

20. Найдите число членов еометричесой прорессии, у оторой отношение суммы последних 14 членов  сумме первых 14 членов равно 9, а отношение суммы всех членов без первых семи  сумме всех членов без последних семи равно 3. П р и м е р 2. Найти отличный от нуля знаменатель бесонечно убывающей еометричесой прорессии, у оторой аждый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов. (Считается, что b1 − 0.) Р е ш е н и е. Составим уравнение, связывающее n-й член прорессии с суммой ее членов, начиная с (n + 1)-о: bn + 1

bn = 4 ------------1–q .

Выразив bn и bn + 1 через b1 и q, получаем уравнение b1 qn

b1qn – 1 = 4 -----------1–q,

оторое после деления обеих ео частей на b1qn – 1 примет вид 4q

------------- . Ео орнем является q = 0,2. 1= 1 –q

Ответ. q = 0,2.


192

Г л а в а 7. Последовательности 21. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорес-

3 сии равна 16, а сумма вадратов ее членов равна 153 --5- . Найди-

те четвертый член и знаменатель прорессии.  22. Найдите знаменатель бесонечно убывающей еометричесой прорессии, у оторой отношение аждоо члена  сум2

ме всех последующих членов равно --3- . 23. В бесонечно убывающей еометричесой прорессии с положительными членами сумма трех первых членов равна 10,5, а сумма прорессии равна 12. Найдите прорессию. 24. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорессии равна 4, а сумма убов ее членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прорессии. 25. Первый член неоторой бесонечно убывающей еометричесой прорессии равен единице, а сумма прорессии равна S. Найдите сумму вадратов членов прорессии.  26. При аом значении x прорессия a+x -------------- , a–x

a–x -------------- , a+x

a – x 3  ------------,  a+x 

...,

де a > 0,

является бесонечно убывающей? Найдите сумму этой прорессии. 27. Сторона вадрата равна a. Середины сторон этоо вадрата соединили отрезами и получили новый вадрат. С этим вадратом поступили та же, а с исходным, и т. д. Найдите предел P суммы периметров и предел S суммы площадей этих вадратов. 28. Найдите условие, при отором три числа a, b и c были бы соответственно k-м, p-м и m-м членами еометричесой прорессии. 29. Моут ли числа 11, 12, 13 быть членами (не обязательно соседними) одной еометричесой прорессии? 30. Бесонечно убывающая еометричесая прорессия, сум1 16 --ма оторой равна -----3 , содержит член 6 . Отношение суммы всех

членов, предшествующих ему,  сумме всех членов, следующих за ним, равно 30. Определите порядовый номер этоо члена. 31. Найдите отношение первоо члена бесонечно убывающей еометричесой прорессии  сумме всех ее членов, если

§ 40. Смешанные задачи на прогрессии

193

отношение всех членов этой прорессии, имеющих четные номера,  сумме всех членов, номера оторых ратны трем, равно 3.

§ 40. Смешанные задачи на прогрессии Смешанными задачами на прорессию принято называть таие задачи, при решении оторых используются свойства а арифметичесой, та и еометричесой прорессий. П р и м е р. Три числа являются последовательными членами еометричесой прорессии. Если от третьео отнять 4, то эти числа оажутся последовательными членами арифметичесой прорессии. Если же от второо и третьео членов этой арифметичесой прорессии отнять по 1, то полученные числа снова оажутся последовательными членами еометричесой прорессии. Найти эти числа. Р е ш е н и е. Обозначим исомые числа через a, b, c. Для составления первоо уравнения, связывающео a, b и c, используем свойство членов еометричесой прорессии: b2 = ac. Из условия задачи и свойства членов арифметичесой прорессии получим второе уравнение 2b = a + c – 4. Наонец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения (b – 1)2 = a(c – 5). Чтобы решить систему b2 = ac, 2b = a + c – 4, (b – 1)2 = a(c – 5),

(*)

вычтем из первоо уравнения третье. Тода получим линейное уравнение 2b – 1 = 5a, связывающее b и a. Выразив теперь из системы линейных уравнений 2b – 1 = 5a, 2b = a + c – 4


192

Г л а в а 7. Последовательности 21. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорес-

3 сии равна 16, а сумма вадратов ее членов равна 153 --5- . Найди-

те четвертый член и знаменатель прорессии.  22. Найдите знаменатель бесонечно убывающей еометричесой прорессии, у оторой отношение аждоо члена  сум2

ме всех последующих членов равно --3- . 23. В бесонечно убывающей еометричесой прорессии с положительными членами сумма трех первых членов равна 10,5, а сумма прорессии равна 12. Найдите прорессию. 24. Сумма бесонечно убывающей еометричесой прорессии равна 4, а сумма убов ее членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прорессии. 25. Первый член неоторой бесонечно убывающей еометричесой прорессии равен единице, а сумма прорессии равна S. Найдите сумму вадратов членов прорессии.  26. При аом значении x прорессия a+x -------------- , a–x

a–x -------------- , a+x

a – x 3  ------------,  a+x 

...,

де a > 0,

является бесонечно убывающей? Найдите сумму этой прорессии. 27. Сторона вадрата равна a. Середины сторон этоо вадрата соединили отрезами и получили новый вадрат. С этим вадратом поступили та же, а с исходным, и т. д. Найдите предел P суммы периметров и предел S суммы площадей этих вадратов. 28. Найдите условие, при отором три числа a, b и c были бы соответственно k-м, p-м и m-м членами еометричесой прорессии. 29. Моут ли числа 11, 12, 13 быть членами (не обязательно соседними) одной еометричесой прорессии? 30. Бесонечно убывающая еометричесая прорессия, сум1 16 --ма оторой равна -----3 , содержит член 6 . Отношение суммы всех

членов, предшествующих ему,  сумме всех членов, следующих за ним, равно 30. Определите порядовый номер этоо члена. 31. Найдите отношение первоо члена бесонечно убывающей еометричесой прорессии  сумме всех ее членов, если

§ 40. Смешанные задачи на прогрессии

193

отношение всех членов этой прорессии, имеющих четные номера,  сумме всех членов, номера оторых ратны трем, равно 3.

§ 40. Смешанные задачи на прогрессии Смешанными задачами на прорессию принято называть таие задачи, при решении оторых используются свойства а арифметичесой, та и еометричесой прорессий. П р и м е р. Три числа являются последовательными членами еометричесой прорессии. Если от третьео отнять 4, то эти числа оажутся последовательными членами арифметичесой прорессии. Если же от второо и третьео членов этой арифметичесой прорессии отнять по 1, то полученные числа снова оажутся последовательными членами еометричесой прорессии. Найти эти числа. Р е ш е н и е. Обозначим исомые числа через a, b, c. Для составления первоо уравнения, связывающео a, b и c, используем свойство членов еометричесой прорессии: b2 = ac. Из условия задачи и свойства членов арифметичесой прорессии получим второе уравнение 2b = a + c – 4. Наонец, последнее условие задачи можно записать в виде уравнения (b – 1)2 = a(c – 5). Чтобы решить систему b2 = ac, 2b = a + c – 4, (b – 1)2 = a(c – 5),

(*)

вычтем из первоо уравнения третье. Тода получим линейное уравнение 2b – 1 = 5a, связывающее b и a. Выразив теперь из системы линейных уравнений 2b – 1 = 5a, 2b = a + c – 4


194

Г л а в а 7. Последовательности

неизвестные a и c через b, имеем 2b – 1 a = ---------------5 ,

8b + 21 -. c = -------------------5

(**)

Теперь подставим выражения (**) в первое уравнение системы (*). Тода получим вадратное уравнение 9b2 – 34b + 21 = 0, 7

орни отороо равны 3 и --9- . Подставив эти значения b в выражения (**), находим исомые числа. 1

7

49

Ответ. 1; 3; 9 или --9- ; --9- ; -----9 . 1. Три числа являются последовательными членами еометричесой прорессии. Если увеличить второе число на 2, то эти три числа станут членами арифметичесой прорессии, а если затем увеличить последнее число на 9, то вновь полученные числа опять оажутся членами еометричесой прорессии. Найдите исходные числа. 2. Три числа, из оторых третье равно 12, являются тремя последовательными членами еометричесой прорессии. Если вместо 12 взять 9, то эти три числа станут тремя последовательными членами арифметичесой прорессии. Найдите исходные числа.  3. Дано трехзначное число, цифры отороо являются тремя последовательными членами еометричесой прорессии. Если из этоо числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном поряде. Если же из цифры исходноо числа, обозначающей число сотен, вычесть 4, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры отороо являются последовательными членами арифметичесой прорессии. Найдите исходное число. 4. Даны четыре числа, из оторых первые три являются тремя последовательными членами еометричесой, а последние три — членами арифметичесой прорессии; сумма райних чисел равна 32, сумма средних чисел равна 24. Найдите эти числа. 5. Первые члены арифметичесой и еометричесой прорессий одинаовы и равны 2, третьи члены таже одинаовы, а вторые отличаются на 4. Найдите эти прорессии, если все их члены положительны. 6. Первый член арифметичесой прорессии равен 1, а сумма девяти первых членов равна 369. Первый и девятый члены еометричесой прорессии совпадают с первым и девятым чле-

§ 41. Разные задачи

195

нами арифметичесой прорессии. Найдите седьмой член еометричесой прорессии. 17. Среди 11 членов арифметичесой прорессии первый, пятый и одиннадцатый являются тремя последовательными членами неоторой еометричесой прорессии. Найдите арифметичесую прорессию, если ее первый член равен 24. 18. В неоторой арифметичесой прорессии второй член является средним пропорциональным между первым и четвертым. Поажите, что четвертый, шестой и девятый члены этой прорессии являются последовательными членами еометричесой прорессии. Найдите знаменатель этой прорессии. 19. Доажите, что если a, b и c одновременно являются 5-м, 17-м и 37-м членами а арифметичесой, та и еометричесой прорессии, то ab – c bc – a ca – b = 1. 10. Доажите, что если a, b, c — три последовательных чле1

1

1

----------------- , ----------------- , ----------------- — пона еометричесой прорессии, то log log b N log c N aN

следовательные члены арифметичесой прорессии. (Считается, что числа a, b, c положительны и не равны единице.) 11. Даны две прорессии: еометричесая с общим членом bn > 0 и знаменателем q и возрастающая арифметичесая с общим членом an и разностью d. Найдите x из условия logx bn – an = = logx b1 – a1.

§ 41. Разные задачи Установите, ораничена ли последовательность: n 1

n

1. xn = 1 + (–1) --n- . 2. xn = n(1 – (–1) ). 



3n + 5

3. xn = ----------------2n – 3 .

4. Общий член последовательности представлен в виде 1

1

1

xn = --2- + --4- + ... + -----n- . 2 1023

Сольо членов последовательности меньше ------------1024 ? 5. Доажите, что последовательность 2

u1 = 3, является убывающей.

2 + un

un + 1 = ---------------2u n


194

Г л а в а 7. Последовательности

неизвестные a и c через b, имеем 2b – 1 a = ---------------5 ,

8b + 21 -. c = -------------------5

(**)

Теперь подставим выражения (**) в первое уравнение системы (*). Тода получим вадратное уравнение 9b2 – 34b + 21 = 0, 7

орни отороо равны 3 и --9- . Подставив эти значения b в выражения (**), находим исомые числа. 1

7

49

Ответ. 1; 3; 9 или --9- ; --9- ; -----9 . 1. Три числа являются последовательными членами еометричесой прорессии. Если увеличить второе число на 2, то эти три числа станут членами арифметичесой прорессии, а если затем увеличить последнее число на 9, то вновь полученные числа опять оажутся членами еометричесой прорессии. Найдите исходные числа. 2. Три числа, из оторых третье равно 12, являются тремя последовательными членами еометричесой прорессии. Если вместо 12 взять 9, то эти три числа станут тремя последовательными членами арифметичесой прорессии. Найдите исходные числа.  3. Дано трехзначное число, цифры отороо являются тремя последовательными членами еометричесой прорессии. Если из этоо числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном поряде. Если же из цифры исходноо числа, обозначающей число сотен, вычесть 4, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры отороо являются последовательными членами арифметичесой прорессии. Найдите исходное число. 4. Даны четыре числа, из оторых первые три являются тремя последовательными членами еометричесой, а последние три — членами арифметичесой прорессии; сумма райних чисел равна 32, сумма средних чисел равна 24. Найдите эти числа. 5. Первые члены арифметичесой и еометричесой прорессий одинаовы и равны 2, третьи члены таже одинаовы, а вторые отличаются на 4. Найдите эти прорессии, если все их члены положительны. 6. Первый член арифметичесой прорессии равен 1, а сумма девяти первых членов равна 369. Первый и девятый члены еометричесой прорессии совпадают с первым и девятым чле-

§ 41. Разные задачи

195

нами арифметичесой прорессии. Найдите седьмой член еометричесой прорессии. 17. Среди 11 членов арифметичесой прорессии первый, пятый и одиннадцатый являются тремя последовательными членами неоторой еометричесой прорессии. Найдите арифметичесую прорессию, если ее первый член равен 24. 18. В неоторой арифметичесой прорессии второй член является средним пропорциональным между первым и четвертым. Поажите, что четвертый, шестой и девятый члены этой прорессии являются последовательными членами еометричесой прорессии. Найдите знаменатель этой прорессии. 19. Доажите, что если a, b и c одновременно являются 5-м, 17-м и 37-м членами а арифметичесой, та и еометричесой прорессии, то ab – c bc – a ca – b = 1. 10. Доажите, что если a, b, c — три последовательных чле1

1

1

----------------- , ----------------- , ----------------- — пона еометричесой прорессии, то log log b N log c N aN

следовательные члены арифметичесой прорессии. (Считается, что числа a, b, c положительны и не равны единице.) 11. Даны две прорессии: еометричесая с общим членом bn > 0 и знаменателем q и возрастающая арифметичесая с общим членом an и разностью d. Найдите x из условия logx bn – an = = logx b1 – a1.

§ 41. Разные задачи Установите, ораничена ли последовательность: n 1

n

1. xn = 1 + (–1) --n- . 2. xn = n(1 – (–1) ). 



3n + 5

3. xn = ----------------2n – 3 .

4. Общий член последовательности представлен в виде 1

1

1

xn = --2- + --4- + ... + -----n- . 2 1023

Сольо членов последовательности меньше ------------1024 ? 5. Доажите, что последовательность 2

u1 = 3, является убывающей.

2 + un

un + 1 = ---------------2u n


196

Г л а в а 7. Последовательности 6. Доажите, что последовательность

§ 41. Разные задачи 

16. Доажите равенство

1 1 1 un = 1 + --2- + -----2- + ... + -----n- , 2 2

(66...6) 2 + 88...8 = 44...4 . n цифр

является возрастающей. n+1

7. Пусть an — сторона правильноо 2 - уольниа, вписанноо в оружность радиуса 1. Доажите, что последовательность (an) является убывающей, а последовательность периметров (Pn) — возрастающей. 18. Катет равнобедренноо прямоуольноо треуольниа разделен на n равных частей, и на полученных отрезах построены вписанные прямоуольнии. Найдите предел последовательности (Sn) площадей, образованных из ступенчатых фиур. 

19. Найдите площадь фиуры, ораниченной параболой y = x2, отрезом [0; 1] оси абсцисс и прямой x = 1, а предел последовательности площадей ступенчатых фиур, состоящих из прямоуольниов, построенных та же, а в предыдущей задаче. 10. Найдите lim ( 3 n 3 + 1 – n). nº×

11. Найдите трехзначное число, оторое делится на 45 и цифры отороо являются последовательными членами арифметичесой прорессии.  12. Доажите, что если в арифметичесой прорессии Sn = n2p, 

Sk = k2p, k − n, то Sp = p3.  13. Доажите, что если a1, a2, ..., an — члены арифметичесой прорессии с разностью d, то an + 1 – a1 1 1 1 ---------------------------- + ---------------------------- + ... + ------------------------------------ = ----------------------------------- . d a 1 + a2 a2 + a3 an + an + 1





n цифр

2n цифр

17. Пусть x1 и x2 — орни уравнения x2 – 3x + A = 0, а x3 и

x4 — орни уравнения x2 – 12x + B = 0. Известно, что последовательность x1, x2, x3, x4 является возрастающей еометричесой прорессией. Найдите A и B. В неоторых случаях сумму n членов произвольной последовательности можно найти с помощью построения вспомоательной последовательности {Sn}, удовлетворяющей условию Sk + 1 – Sk = uk.

(1)

Нетрудно убедиться, что u1 + u2 + ... + un = = (S2 – S1) + (S3 – S2) + ... + (Sn + 1 – Sn) = Sn + 1 – S1. (2) П р и м е р. Найти сумму 1 1 1 ------------- + ------------- + ... + --------------------- , a2 a3 an an + 1 a1 a2

если известно, что a1, a2, ..., an + 1 — последовательные члены арифметичесой прорессии с разностью d − 0, ни один из оторых не равен нулю. 1

Р е ш е н и е. Записав дробь -----------a 1 a 2 в виде

 1  1 1 1  1  1 1 ------------- =  ------ – ------  · ------------------- =  ------ – ------  --- , a1 a2 a2 a2 d a1 a2 – a1 a1

14. Четыре числа a, b, c, d являются членами еометричесой прорессии. Доажите, что (a – c)2 + (b – c)2 + (b – d)2 = (a – d)2.

197

де d = a2 – a1, и взяв Sk равным

15. Решите систему уравнений

1 1

Sk = – --d- ----ak ,

s u z y x --- = --- = --- = --- = -- , t s u z y

имеем

x = 8u, 3

x + y + z + u + s + t = 15 --4- .

1  1  a k + 1 – ak  1 1  1 --- --------------------------------------------------Sk + 1 – Sk = – --d-  ------------a k + 1 – a k  = d  a k + 1 a k  = a k + 1 a k = uk.    


196

Г л а в а 7. Последовательности 6. Доажите, что последовательность

§ 41. Разные задачи 

16. Доажите равенство

1 1 1 un = 1 + --2- + -----2- + ... + -----n- , 2 2

(66...6) 2 + 88...8 = 44...4 . n цифр

является возрастающей. n+1

7. Пусть an — сторона правильноо 2 - уольниа, вписанноо в оружность радиуса 1. Доажите, что последовательность (an) является убывающей, а последовательность периметров (Pn) — возрастающей. 18. Катет равнобедренноо прямоуольноо треуольниа разделен на n равных частей, и на полученных отрезах построены вписанные прямоуольнии. Найдите предел последовательности (Sn) площадей, образованных из ступенчатых фиур. 

19. Найдите площадь фиуры, ораниченной параболой y = x2, отрезом [0; 1] оси абсцисс и прямой x = 1, а предел последовательности площадей ступенчатых фиур, состоящих из прямоуольниов, построенных та же, а в предыдущей задаче. 10. Найдите lim ( 3 n 3 + 1 – n). nº×

11. Найдите трехзначное число, оторое делится на 45 и цифры отороо являются последовательными членами арифметичесой прорессии.  12. Доажите, что если в арифметичесой прорессии Sn = n2p, 

Sk = k2p, k − n, то Sp = p3.  13. Доажите, что если a1, a2, ..., an — члены арифметичесой прорессии с разностью d, то an + 1 – a1 1 1 1 ---------------------------- + ---------------------------- + ... + ------------------------------------ = ----------------------------------- . d a 1 + a2 a2 + a3 an + an + 1





n цифр

2n цифр

17. Пусть x1 и x2 — орни уравнения x2 – 3x + A = 0, а x3 и

x4 — орни уравнения x2 – 12x + B = 0. Известно, что последовательность x1, x2, x3, x4 является возрастающей еометричесой прорессией. Найдите A и B. В неоторых случаях сумму n членов произвольной последовательности можно найти с помощью построения вспомоательной последовательности {Sn}, удовлетворяющей условию Sk + 1 – Sk = uk.

(1)

Нетрудно убедиться, что u1 + u2 + ... + un = = (S2 – S1) + (S3 – S2) + ... + (Sn + 1 – Sn) = Sn + 1 – S1. (2) П р и м е р. Найти сумму 1 1 1 ------------- + ------------- + ... + --------------------- , a2 a3 an an + 1 a1 a2

если известно, что a1, a2, ..., an + 1 — последовательные члены арифметичесой прорессии с разностью d − 0, ни один из оторых не равен нулю. 1

Р е ш е н и е. Записав дробь -----------a 1 a 2 в виде

 1  1 1 1  1  1 1 ------------- =  ------ – ------  · ------------------- =  ------ – ------  --- , a1 a2 a2 a2 d a1 a2 – a1 a1

14. Четыре числа a, b, c, d являются членами еометричесой прорессии. Доажите, что (a – c)2 + (b – c)2 + (b – d)2 = (a – d)2.

197

де d = a2 – a1, и взяв Sk равным

15. Решите систему уравнений

1 1

Sk = – --d- ----ak ,

s u z y x --- = --- = --- = --- = -- , t s u z y

имеем

x = 8u, 3

x + y + z + u + s + t = 15 --4- .

1  1  a k + 1 – ak  1 1  1 --- --------------------------------------------------Sk + 1 – Sk = – --d-  ------------a k + 1 – a k  = d  a k + 1 a k  = a k + 1 a k = uk.    


198

Г л а в а 7. Последовательности Далее, используя равенства (1) и (2), получаем

§ 41. Разные задачи

Используя равенства (3)—(5) и формулы для сумм n членов арифметичесой и еометричесой прорессий, вычислите предел:

1 1 1 --------------------------------------------a 1 a 2 + a 2 a 3 + ... + a n a n + 1 = Sn + 1 – S1 =

1 + 2 + ... + 2

n º × 1 + 5 + ... + 5

 1 2 n–1  25. lim  -----2- + -----2- + ... + ------------. n n2  nº×  n

n

--------------------- . Ответ. a a n+1 1

Доажите тождество: 

1 1 1 1 1 -------------------------------------------------------18. ---------1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n ( n + 1 ) = 1 – n + 1 . 1

1

------------------------------------------------------------------------------19. -----------------1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + ... + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 1 1 1 -  = --2-  --2- – (-------------------------------------n + 1)(n + 2)  . 



1

1

 26. lim  nº× 

1 1 3  3 + ------- + ----------- + ... + ------------n–1  . 3 3 3 3 

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1 ) 2n – 1 - – -----------------  . 27. lim  ------------------------------------------------------------------n+1 2  nº× 

1

1

n

24. lim -----------------------------------------. n

1  1 1  n -------------------------= – --d-  ------------a n + 1 – a1  = a n + 1 a 1 .  



199

 12 22 ( n – 1 )2 1  - + ---  . 28. lim  -----3- + -----3- + ... + -------------------n n n3 nº×  n 

n

---------------------------------------------------------------------------------------20. -----------------1 ⋅ 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + ... + ( 2n – 1 ) ( 2n + 1 ) ( 2n + 3 ) =

n n  7 29 5 +2  - . 29. lim  -----+ ---------2 + ... + ------------------n 10 10 nº×  10 

n(n + 1) = -------------------------------------------------2 ( 2n + 1 ) ( 2n + 3 ) .

21. Пусть a1, ..., an — арифметичесая прорессия. Доажите тождество



1 1 1 - + ----------- + ... + -----------------------  . 30. lim  ---------n(n + 1)  2⋅3 nº×  1⋅2

1 1 1 2  1 1 1  ------------- + -------------------- + ... + ------------- = -------------  ------ + ------ + ... + ------  . a1 a n a2 an – 1 an a1 a1 an a1 a2 an



  1 1 1 ------------- + ------------- + ... + ---------------------  , де (a ) — арифме31. lim  a n a 2 a3 an an + 1 n º ×  1 a2 

22. Найдите сумму n чисел вида 1, 11, 111, 1111, ... .

тичесая прорессия с разностью d, члены оторой отличны от нуля.

23. Найдите сумму: а) 1 – 2 + 3 – 4 + ... + (–n); n+1 б) 12 – 22 + 32 – 42 + ... + (–1) · n2; 2 2 в) 2 · 1 + 3 · 2 + ... + (n + 1)n2.

 1 8 n3  32. lim  -----4- + -----4- + ... + -----4-  . n  n n nº× 

При вычислении пределов последовательностей, члены оторых являются результатами суммирования, используют следующие формулы: n(n + 1) -, 1 + 2 + ... + n = ---------------------2

(3)

n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) -, 12 + 22 + ... + n2 = ---------------------------------------------6

(4)

n2 ( n + 1 )2

-. 13 + 23 + ... + n3 = ---------------------------4

(5)

Найдите предел последовательности: 

2 2

2

2

33. an = ------- · ---------------------- ... ----------------------------------------------------------------- (в последнем 2+ 2

2 + 2 + ... + 2 + 2

сомножителе n радиалов). 34. an = 

a + a + ... + a (n радиалов). 2 – 2 + ... + 2

35. an = -------------------------------------------------- (n радиалов). 2 – 2 + ... + 3


198

Г л а в а 7. Последовательности Далее, используя равенства (1) и (2), получаем

§ 41. Разные задачи

Используя равенства (3)—(5) и формулы для сумм n членов арифметичесой и еометричесой прорессий, вычислите предел:

1 1 1 --------------------------------------------a 1 a 2 + a 2 a 3 + ... + a n a n + 1 = Sn + 1 – S1 =

1 + 2 + ... + 2

n º × 1 + 5 + ... + 5

 1 2 n–1  25. lim  -----2- + -----2- + ... + ------------. n n2  nº×  n

n

--------------------- . Ответ. a a n+1 1

Доажите тождество: 

1 1 1 1 1 -------------------------------------------------------18. ---------1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n ( n + 1 ) = 1 – n + 1 . 1

1

------------------------------------------------------------------------------19. -----------------1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + ... + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 1 1 1 -  = --2-  --2- – (-------------------------------------n + 1)(n + 2)  . 



1

1

 26. lim  nº× 

1 1 3  3 + ------- + ----------- + ... + ------------n–1  . 3 3 3 3 

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1 ) 2n – 1 - – -----------------  . 27. lim  ------------------------------------------------------------------n+1 2  nº× 

1

1

n

24. lim -----------------------------------------. n

1  1 1  n -------------------------= – --d-  ------------a n + 1 – a1  = a n + 1 a 1 .  



199

 12 22 ( n – 1 )2 1  - + ---  . 28. lim  -----3- + -----3- + ... + -------------------n n n3 nº×  n 

n

---------------------------------------------------------------------------------------20. -----------------1 ⋅ 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + ... + ( 2n – 1 ) ( 2n + 1 ) ( 2n + 3 ) =

n n  7 29 5 +2  - . 29. lim  -----+ ---------2 + ... + ------------------n 10 10 nº×  10 

n(n + 1) = -------------------------------------------------2 ( 2n + 1 ) ( 2n + 3 ) .

21. Пусть a1, ..., an — арифметичесая прорессия. Доажите тождество



1 1 1 - + ----------- + ... + -----------------------  . 30. lim  ---------n(n + 1)  2⋅3 nº×  1⋅2

1 1 1 2  1 1 1  ------------- + -------------------- + ... + ------------- = -------------  ------ + ------ + ... + ------  . a1 a n a2 an – 1 an a1 a1 an a1 a2 an



  1 1 1 ------------- + ------------- + ... + ---------------------  , де (a ) — арифме31. lim  a n a 2 a3 an an + 1 n º ×  1 a2 

22. Найдите сумму n чисел вида 1, 11, 111, 1111, ... .

тичесая прорессия с разностью d, члены оторой отличны от нуля.

23. Найдите сумму: а) 1 – 2 + 3 – 4 + ... + (–n); n+1 б) 12 – 22 + 32 – 42 + ... + (–1) · n2; 2 2 в) 2 · 1 + 3 · 2 + ... + (n + 1)n2.

 1 8 n3  32. lim  -----4- + -----4- + ... + -----4-  . n  n n nº× 

При вычислении пределов последовательностей, члены оторых являются результатами суммирования, используют следующие формулы: n(n + 1) -, 1 + 2 + ... + n = ---------------------2

(3)

n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) -, 12 + 22 + ... + n2 = ---------------------------------------------6

(4)

n2 ( n + 1 )2

-. 13 + 23 + ... + n3 = ---------------------------4

(5)

Найдите предел последовательности: 

2 2

2

2

33. an = ------- · ---------------------- ... ----------------------------------------------------------------- (в последнем 2+ 2

2 + 2 + ... + 2 + 2

сомножителе n радиалов). 34. an = 

a + a + ... + a (n радиалов). 2 – 2 + ... + 2

35. an = -------------------------------------------------- (n радиалов). 2 – 2 + ... + 3


§ 42. Предел функции

Глава 8 Предел функции, непрерывность функции

201 x2 – 4

- = 4. П р и м е р 1. Доазать, что lim --------------xº2 x–2

Р е ш е н и е. Чтобы для данноо ε найти нужное число δ(ε), составим неравенство x2 – 4

0 < --------------x – 2 – 4| < ε.

§ 42. Предел функции Пусть (a; b) — неоторый промежуто числовой прямой и x0 Ý (a; b). Будем считать, что фунция y = f(x) определена во всех точах промежута (a; b) за ислючением, быть может, точи x0. Говорят, что число A — предел фнции y = f(x) в точе x0, и пишут lim f(x) = A, если для любоо ε > 0 суx º x0

ществует таое число δ(ε) > 0, что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Говорят, что число A — предел фнции y = f(x) при x, стремящемся  бесонечности, и пишут lim f(x) = A, если xº×

для любоо ε > 0 существует таое число n0(ε), что при всех

При x − 2 оно эвивалентно неравенству 0 < |x – 2| < ε,

для любоо ε > 0 существует таое δ(ε), что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), справедливо неравенство |f(x)| < ε. В этом случае пишут lim f(x) = 0. x º x0

Фунцию f(x) называют бесонечно большой при x º x0, если для любоо числа E > 0 существует таое δ(E), что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < < δ(E), справедливо неравенство |f(x)| > E. В этом случае пишут lim f(x) = ×.

x º x0

Чтобы доазать, что число A является пределом фунции f(x) при x º x0, достаточно для любоо ε найти число δ(ε), фиурирующее в определении предела.

(**)

из отороо видно, что в ачестве δ(ε) можно взять δ(ε) = ε, и в силу эвивалентности неравенств (*) и (**) при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству (**), будет выполнено неравенство (*). 2

П р и м е р 2. Доазать, что lim 2 1/x = ×. xº0

Р е ш е н и е. Чтобы для данноо E найти требуемое число δ(ε), составим неравенство 2

2 1/x > E. Лоарифмируя обе ео части по основанию 2, получаем эвивалентное неравенство 1 -----2- > log E, 2 x

x > n0(ε) выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Фунцию f(x) называют ораниченной на промежуте [a; b], если существуют таие числа m и M, что при всех x Ý [a; b] выполняется неравенство m m f(x) m M. Фунцию f(x) называют бесонечно малой при x º x0, если

(*)

решив оторое относительно x находим  1  | x | <  -----------------   log 2 E 

1/2

.

 1  Таим образом, в ачестве δ(E) можно взять число  -----------------   log 2 E  Доажите, что: 1. lim (x + 5) = 8.

2. lim (x2 – 4) = 0.

3. lim (6 – 2x) = 4.

4. lim (5x + 7) = 2.

5. lim

6. lim --x- = 0. xº×

xº3

xº2

xº1

xºa

x = 1 ----------------

a,

7. lim 2 x – a = ×. xºa

a > 0.

x º –1

1

1

8. lim -----2- = ×. xº0 x

1/2

.


§ 42. Предел функции

Глава 8 Предел функции, непрерывность функции

201 x2 – 4

- = 4. П р и м е р 1. Доазать, что lim --------------xº2 x–2

Р е ш е н и е. Чтобы для данноо ε найти нужное число δ(ε), составим неравенство x2 – 4

0 < --------------x – 2 – 4| < ε.

§ 42. Предел функции Пусть (a; b) — неоторый промежуто числовой прямой и x0 Ý (a; b). Будем считать, что фунция y = f(x) определена во всех точах промежута (a; b) за ислючением, быть может, точи x0. Говорят, что число A — предел фнции y = f(x) в точе x0, и пишут lim f(x) = A, если для любоо ε > 0 суx º x0

ществует таое число δ(ε) > 0, что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Говорят, что число A — предел фнции y = f(x) при x, стремящемся  бесонечности, и пишут lim f(x) = A, если xº×

для любоо ε > 0 существует таое число n0(ε), что при всех

При x − 2 оно эвивалентно неравенству 0 < |x – 2| < ε,

для любоо ε > 0 существует таое δ(ε), что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < δ(ε), справедливо неравенство |f(x)| < ε. В этом случае пишут lim f(x) = 0. x º x0

Фунцию f(x) называют бесонечно большой при x º x0, если для любоо числа E > 0 существует таое δ(E), что при всех x Ý (a; b), удовлетворяющих неравенству 0 < |x – x0| < < δ(E), справедливо неравенство |f(x)| > E. В этом случае пишут lim f(x) = ×.

x º x0

Чтобы доазать, что число A является пределом фунции f(x) при x º x0, достаточно для любоо ε найти число δ(ε), фиурирующее в определении предела.

(**)

из отороо видно, что в ачестве δ(ε) можно взять δ(ε) = ε, и в силу эвивалентности неравенств (*) и (**) при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству (**), будет выполнено неравенство (*). 2

П р и м е р 2. Доазать, что lim 2 1/x = ×. xº0

Р е ш е н и е. Чтобы для данноо E найти требуемое число δ(ε), составим неравенство 2

2 1/x > E. Лоарифмируя обе ео части по основанию 2, получаем эвивалентное неравенство 1 -----2- > log E, 2 x

x > n0(ε) выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Фунцию f(x) называют ораниченной на промежуте [a; b], если существуют таие числа m и M, что при всех x Ý [a; b] выполняется неравенство m m f(x) m M. Фунцию f(x) называют бесонечно малой при x º x0, если

(*)

решив оторое относительно x находим  1  | x | <  -----------------   log 2 E 

1/2

.

 1  Таим образом, в ачестве δ(E) можно взять число  -----------------   log 2 E  Доажите, что: 1. lim (x + 5) = 8.

2. lim (x2 – 4) = 0.

3. lim (6 – 2x) = 4.

4. lim (5x + 7) = 2.

5. lim

6. lim --x- = 0. xº×

xº3

xº2

xº1

xºa

x = 1 ----------------

a,

7. lim 2 x – a = ×. xºa

a > 0.

x º –1

1

1

8. lim -----2- = ×. xº0 x

1/2

.


202

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

При решении неоторых задач удобно использовать следующее определение предела фунции. Пусть фунция f(x) определена во всех точах промежута (a; b), за ислючением, быть может, точи x0 Ý (a; b). Говорят, что число A — предел фнции f(x) при x, стремящемся  x0, если для любой последовательности значений арумента (xn), стремящейся  x0 (xn − x0), соответствующая последовательность значений фунции стремится  A: lim f(xn) = A. nº×

x

П р и м е р 3. Доазать, что фунция f(x) = ----x при x º 0 не

имеет предела. Р е ш е н и е. Возьмем две последовательности значений (1)

арумента, сходящиеся  нулю: x n

1

1

(2) = --n- , x n = – --n- . Тода по-

1 --n

(1)

lim f( x n ) = lim --= lim 1 = 1, nº× 1 nº× nº× --n

lim

nº×

(2) f( x n

1 --n ) = lim ------(#1) = #1, 1 = nlim n º × – -º× n

т. е. (1)

(2)

lim f( x n ) − lim f( x n ).

nº×

nº×

Таим образом, построены две последовательности значений арумента, отличные от нуля, пределом оторых является нуль, таие, что соответствующие последовательности значений фунции сходятся  разным числам (одна  1, друая  –1). Но в определении предела требуется, чтобы для аждой из рассмотренных последовательностей значений арумента предел последовательности значений фунции был одним и тем же числом, поэтому тем самым мы доазали, что данная фунция при x º 0 не имеет предела. Доажите, что фунция не имеет предела: 1

9. f(x) = sin --x- при x º 0.

10. f(x) = e–1/x при x º 0.

203

1, x > 0, при x º 0. –1, x m 0 12. f(x) = {x} при x º 4, де {x} — дробная часть числа x. 11. f(x) =

§ 43. Вычисление пределов функций Если существуют lim f1(x) и lim f2(x), то существуют преxºa

xºa

делы: lim cf1(x) = c lim f1(x),

xºa

(1)

xºa

lim (f1(x) ä f2(x)) = lim f1(x) ä lim f2(x),

xºa

xºa

xºa

lim (f1(x) f2(x)) = lim f1(x) · lim f2(x),

xºa

лучим



§ 43. Вычисление пределов функций

f (x)

xºa

lim f 1 ( x )

1 xºa lim -------------- = -------------------------lim f 2 ( x ) x º a f2 ( x ) xºa

xºa

(де lim f2(x) − 0). xºa

(2) (3)

(4)

Нахождение предела отношения двх мноочленов при x º ×. Если требуется найти предел отношения двух мноочленов, зависящих от x, при x º ×, то оба члена отношения предварительно делят на xn, де n — наивысшая степень этих мноочленов. (x – 3)(x – 2) x º × 2x – 5x + 3

-. П р и м е р 1. Найти lim -----------------------------------2

Р е ш е н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на x2: x–3 x–2 ------------- ⋅ ------------x x (x – 3)(x – 2) ------------------------------lim -----------------------------------lim = 2 – 5x + 3 3 . 5 2x xº× x º × 2 – --- + ----x x2

Воспользовавшись теперь формулами (4), (3), а таже (2) и (1) (при c = –1), получим 3 2 lim  1 – ---  ⋅ lim  1 – ---  x xº× x --------------------------------------------------------------------------- . 5 3 lim 2 – lim --- + lim -----2xº× xº×x xº×x

xº×


202

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

При решении неоторых задач удобно использовать следующее определение предела фунции. Пусть фунция f(x) определена во всех точах промежута (a; b), за ислючением, быть может, точи x0 Ý (a; b). Говорят, что число A — предел фнции f(x) при x, стремящемся  x0, если для любой последовательности значений арумента (xn), стремящейся  x0 (xn − x0), соответствующая последовательность значений фунции стремится  A: lim f(xn) = A. nº×

x

П р и м е р 3. Доазать, что фунция f(x) = ----x при x º 0 не

имеет предела. Р е ш е н и е. Возьмем две последовательности значений (1)

арумента, сходящиеся  нулю: x n

1

1

(2) = --n- , x n = – --n- . Тода по-

1 --n

(1)

lim f( x n ) = lim --= lim 1 = 1, nº× 1 nº× nº× --n

lim

nº×

(2) f( x n

1 --n ) = lim ------(#1) = #1, 1 = nlim n º × – -º× n

т. е. (1)

(2)

lim f( x n ) − lim f( x n ).

nº×

nº×

Таим образом, построены две последовательности значений арумента, отличные от нуля, пределом оторых является нуль, таие, что соответствующие последовательности значений фунции сходятся  разным числам (одна  1, друая  –1). Но в определении предела требуется, чтобы для аждой из рассмотренных последовательностей значений арумента предел последовательности значений фунции был одним и тем же числом, поэтому тем самым мы доазали, что данная фунция при x º 0 не имеет предела. Доажите, что фунция не имеет предела: 1

9. f(x) = sin --x- при x º 0.

10. f(x) = e–1/x при x º 0.

203

1, x > 0, при x º 0. –1, x m 0 12. f(x) = {x} при x º 4, де {x} — дробная часть числа x. 11. f(x) =

§ 43. Вычисление пределов функций Если существуют lim f1(x) и lim f2(x), то существуют преxºa

xºa

делы: lim cf1(x) = c lim f1(x),

xºa

(1)

xºa

lim (f1(x) ä f2(x)) = lim f1(x) ä lim f2(x),

xºa

xºa

xºa

lim (f1(x) f2(x)) = lim f1(x) · lim f2(x),

xºa

лучим



§ 43. Вычисление пределов функций

f (x)

xºa

lim f 1 ( x )

1 xºa lim -------------- = -------------------------lim f 2 ( x ) x º a f2 ( x ) xºa

xºa

(де lim f2(x) − 0). xºa

(2) (3)

(4)

Нахождение предела отношения двх мноочленов при x º ×. Если требуется найти предел отношения двух мноочленов, зависящих от x, при x º ×, то оба члена отношения предварительно делят на xn, де n — наивысшая степень этих мноочленов. (x – 3)(x – 2) x º × 2x – 5x + 3

-. П р и м е р 1. Найти lim -----------------------------------2

Р е ш е н и е. Разделим числитель и знаменатель дроби на x2: x–3 x–2 ------------- ⋅ ------------x x (x – 3)(x – 2) ------------------------------lim -----------------------------------lim = 2 – 5x + 3 3 . 5 2x xº× x º × 2 – --- + ----x x2

Воспользовавшись теперь формулами (4), (3), а таже (2) и (1) (при c = –1), получим 3 2 lim  1 – ---  ⋅ lim  1 – ---  x xº× x --------------------------------------------------------------------------- . 5 3 lim 2 – lim --- + lim -----2xº× xº×x xº×x

xº×


204

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

x3 + 1 x º –1 x + 1

7.

1

8x 3 – 1 ----------------------------------- .

lim

+ 5x – 6

-. 1. lim ------------------------------------x º × (x – 3)(x + 2)

2. lim -------------------------------------------------------. x º × (x – 1)(x – 2)(x – 3)

x 3. lim ------------------------------------- . xº× x+ x+ x

2x + 5 4. lim ------------------ . xº× x+ x

Пусть P(x) и Q(x) — мноочлены, причем Q(a) − 0; тода P(x)

- , находят непосредственно предел их отношения, т. е. lim -----------x º a Q(x)

с помощью формул (1)—(4). Если же P(a) = 0 и Q(a) = 0, то, записав мноочлены P(x) и Q(x) в виде Q(x) = (x – a)nQ1(x)

(k и n — ратности орня x = a мноочленов P(x) и Q(x)), до перехода  пределу соращают числитель и знаменатель дроби P(x) ------------- на общий множитель. Q(x)

xºa

12. а) lim f(x); x º 0,5



x4 – x3 – x + 1 x º 1 x – 5x + 7x – 3

-. 10. lim ----------------------------------------------3 2

.

б) lim f(x), x º 1,5

2 x–1 ---------------- + x x – 1 + 2 – --x 2 -----------------------------------------------------------------. де f(x) = 1 -x–2+ x

13. а) lim f(x); xº1

б) lim f(x), x º –1

x| x – 3 |

-. де f(x) = --------------------------------------2 (x – x – 6)| x |

Нахождение пределов фн ций, содержащих иррациональности. Вычисление пределов выражений, содержащих иррациональности, инода упрощают введением новых переменных. 3

x2 – 2 3 x + 1 (x – 1)

-. П р и м е р 3. Вычислить предел lim ---------------------------------------2 xº1

3

Р е ш е н и е. Положим x = t. Тода выражение, записанное под знаом предела, примет вид x 2 – 5x + 6 x –9 xº3

Р е ш е н и е. Преобразуем выражение, находящееся под знаом предела: x–2 (x – 3)(x – 2) x2 – 5 x + 6 ------------------------------ = -------------------------------------- = -------------- . x+3 (x – 3)(x + 3) x2 – 9

Предел полученной дроби вычисляем с помощью формул (1), (2) и (4): x–2 1 lim -------------- = --6- . xº3 x+3

1

hº0

2a 2 ( x 3 – 2ax 2 – a 2 x + 2a 3 ) ( x – 2a ) –1 ----------------------------------------------------------------------------------------------- – ------------+ ------------------x–a x 2 – ax x3 – a2 x

t 2 – 2t + 1 ----------------------------. ( t3 – 1 ) 2

-. П р и м е р 2. Вычислить предел lim -----------------------------2

Ответ. --6- .

( x + h )3 – x3

-. 8. lim ---------------------------------h

2 x º 0,5 6x – 5x + 1

11. lim

Вычислите предел: x2

-. 6. lim --------------------3

  1 3 ------------- – ---------------3-  . 9. lim  2 8–x  xº2  –x

Ответ. --2- .

P(x) = (x – a)kP1(x),

( x + 1 )3 x º –1 x + 1

-. 5. lim ---------------2

 1 – lim --3-   1 – lim --2-   xº×x xº×x 1 ----------------------------------------------------------------------- = --- . 2 5 3 2 – lim --- + lim -----2xº×x xº×x

1 )2

205

Вычислите предел:

a

Используя равенство lim --x- = 0, находим xº×

(x +

§ 43. Вычисление пределов функций

Число,  оторому стремится новая переменная t при x º 1, находим а предел фунции t(x) = lim t(x) = lim

xº1

xº1

3

3

x при x º 1, т. е.

x = 1.

Таим образом, t 2 – 2t + 1

( t – 1 )2

1

1

--- = lim ------------------------------------------------------------------------------------lim ---------------------------2 2 = lim ( t 2 + t + 1 ) 2 = 9 . 3 2 2 t º 1 (t – 1) t º 1 (t – 1) (t + t + 1) tº1 1

Ответ. --9- .


204

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

x3 + 1 x º –1 x + 1

7.

1

8x 3 – 1 ----------------------------------- .

lim

+ 5x – 6

-. 1. lim ------------------------------------x º × (x – 3)(x + 2)

2. lim -------------------------------------------------------. x º × (x – 1)(x – 2)(x – 3)

x 3. lim ------------------------------------- . xº× x+ x+ x

2x + 5 4. lim ------------------ . xº× x+ x

Пусть P(x) и Q(x) — мноочлены, причем Q(a) − 0; тода P(x)

- , находят непосредственно предел их отношения, т. е. lim -----------x º a Q(x)

с помощью формул (1)—(4). Если же P(a) = 0 и Q(a) = 0, то, записав мноочлены P(x) и Q(x) в виде Q(x) = (x – a)nQ1(x)

(k и n — ратности орня x = a мноочленов P(x) и Q(x)), до перехода  пределу соращают числитель и знаменатель дроби P(x) ------------- на общий множитель. Q(x)

xºa

12. а) lim f(x); x º 0,5



x4 – x3 – x + 1 x º 1 x – 5x + 7x – 3

-. 10. lim ----------------------------------------------3 2

.

б) lim f(x), x º 1,5

2 x–1 ---------------- + x x – 1 + 2 – --x 2 -----------------------------------------------------------------. де f(x) = 1 -x–2+ x

13. а) lim f(x); xº1

б) lim f(x), x º –1

x| x – 3 |

-. де f(x) = --------------------------------------2 (x – x – 6)| x |

Нахождение пределов фн ций, содержащих иррациональности. Вычисление пределов выражений, содержащих иррациональности, инода упрощают введением новых переменных. 3

x2 – 2 3 x + 1 (x – 1)

-. П р и м е р 3. Вычислить предел lim ---------------------------------------2 xº1

3

Р е ш е н и е. Положим x = t. Тода выражение, записанное под знаом предела, примет вид x 2 – 5x + 6 x –9 xº3

Р е ш е н и е. Преобразуем выражение, находящееся под знаом предела: x–2 (x – 3)(x – 2) x2 – 5 x + 6 ------------------------------ = -------------------------------------- = -------------- . x+3 (x – 3)(x + 3) x2 – 9

Предел полученной дроби вычисляем с помощью формул (1), (2) и (4): x–2 1 lim -------------- = --6- . xº3 x+3

1

hº0

2a 2 ( x 3 – 2ax 2 – a 2 x + 2a 3 ) ( x – 2a ) –1 ----------------------------------------------------------------------------------------------- – ------------+ ------------------x–a x 2 – ax x3 – a2 x

t 2 – 2t + 1 ----------------------------. ( t3 – 1 ) 2

-. П р и м е р 2. Вычислить предел lim -----------------------------2

Ответ. --6- .

( x + h )3 – x3

-. 8. lim ---------------------------------h

2 x º 0,5 6x – 5x + 1

11. lim

Вычислите предел: x2

-. 6. lim --------------------3

  1 3 ------------- – ---------------3-  . 9. lim  2 8–x  xº2  –x

Ответ. --2- .

P(x) = (x – a)kP1(x),

( x + 1 )3 x º –1 x + 1

-. 5. lim ---------------2

 1 – lim --3-   1 – lim --2-   xº×x xº×x 1 ----------------------------------------------------------------------- = --- . 2 5 3 2 – lim --- + lim -----2xº×x xº×x

1 )2

205

Вычислите предел:

a

Используя равенство lim --x- = 0, находим xº×

(x +

§ 43. Вычисление пределов функций

Число,  оторому стремится новая переменная t при x º 1, находим а предел фунции t(x) = lim t(x) = lim

xº1

xº1

3

3

x при x º 1, т. е.

x = 1.

Таим образом, t 2 – 2t + 1

( t – 1 )2

1

1

--- = lim ------------------------------------------------------------------------------------lim ---------------------------2 2 = lim ( t 2 + t + 1 ) 2 = 9 . 3 2 2 t º 1 (t – 1) t º 1 (t – 1) (t + t + 1) tº1 1

Ответ. --9- .


206

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

§ 44. Непрерывность функции

Вычислите предел:

1 – cos 2x

3

x–1 14. lim 4------------------ . xº1 x–1

П р и м е р 5. Найти предел lim --------------------------. x xº0

1+x–1 15. lim 3----------------------------- . xº0 1+x–1

Р е ш е н и е. Используя формулу 1 – cos 2x = 2 sin2 x, преобразуем числитель дроби. Тода получим

x+ x–1–1

-. 16. lim -----------------------------------------2

xº0

При вычислении предела иррациональноо выражения инода переводят иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот. xº0

arcsin x

xº0

arcsin x

Ответ. 1. Вычислите предел: sin nx

Ответ. 0. Вычислите предел:



x2 + 4 – 2

-. 18. lim -----------------------------2

xº×

xº0

x–3 x+1–2

3– x x–5–2

19. lim ---------------------------- .

20. lim ---------------------------- .

x–2 21. lim ---------------------------- . xº4 x+5 –3

x+2–2 22. lim ---------------------------- . xº2 x+7–3

xº9

lim x( 4x 2 + 7 + 2x).

x º –×

9x – x 2 – 4 -. 25. lim ---------------------------------x xº×

sin x – sin a

27. lim -----------------sin mx .



-. 28. lim -------------------------------x–a

π 29. lim  n sin --n-  .  nº× 



30. lim -------------x+2 .



32.

31.

x +9–3

y

- = lim ------------- = 1. lim --------------------x y º 0 sin y

xº0

xº0

17. lim ( x 2 + 1 – x).

xº0

-. П р и м е р 6. Найти предел lim --------------------x

x2 + 1 – 1 x2 + 1 – 1 x2 - = lim ----------------------------------------- = lim ----------------------------------------- = 0. lim -----------------------------x xº0 x º 0 x ( x2 + 1 + 1 ) x º 0 x ( x2 + 1 + 1 )

23.

xº0

Ответ. 0.

Р е ш е н и е. Умножив числитель и знаменатель дроби, записанной под знаом предела, на выражение, сопряженное числителю, получим



sin x

xº0

Р е ш е н и е. Положим y = arcsin x, тода x = sin y. Учитывая, что если x º 0, то arcsin x º 0, находим

x2 + 1 – 1

-. П р и м е р 4. Вычислить предел lim -----------------------------x

xº3

2 sin 2 x

1 – cos 2x

- = 2 lim ------------- · lim sin x = 0. lim --------------------------= lim -------------------x x x

x –1

xº1

207

sin x – cos x --------------------------------- . 1 – tg x x º π/4

lim

π sin  x – ---   3  33. lim ------------------------------ . x º π/3 1 – 2 cos x

xºa

tg πx

x º –2

tg 3 x – 3 tg x ------------------------------------ . π x º π/3 cos  x + - 6

lim

x 1 – sin --2 34. lim ----------------------π–x . xºπ

x–3

24. lim 3------------------------------- . xº3

x2 – 1 – 2

§ 44. Непрерывность функции

x2 + 7 – 4 26. lim -----------------------------2 – 5x + 6 . x xº3 sin x

Использование предела lim -----------x = 1. При вычислении преxº0

делов выражений, содержащих трионометричесие фунции, часто используют следующий предел: sin x lim -----------x = 1. xº0

(5)

Непрерывность фн ции в точ е. Фунцию f(x), определенную на промежуте (a; b), называют непрерывной в точе x0 Ý (a; b), если: 1) существует предел lim f(x); x º x0

2) этот предел равен значению фунции в точе x0, т. е. lim f(x) = f(x0).

x º x0


206

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

§ 44. Непрерывность функции

Вычислите предел:

1 – cos 2x

3

x–1 14. lim 4------------------ . xº1 x–1

П р и м е р 5. Найти предел lim --------------------------. x xº0

1+x–1 15. lim 3----------------------------- . xº0 1+x–1

Р е ш е н и е. Используя формулу 1 – cos 2x = 2 sin2 x, преобразуем числитель дроби. Тода получим

x+ x–1–1

-. 16. lim -----------------------------------------2

xº0

При вычислении предела иррациональноо выражения инода переводят иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот. xº0

arcsin x

xº0

arcsin x

Ответ. 1. Вычислите предел: sin nx

Ответ. 0. Вычислите предел:



x2 + 4 – 2

-. 18. lim -----------------------------2

xº×

xº0

x–3 x+1–2

3– x x–5–2

19. lim ---------------------------- .

20. lim ---------------------------- .

x–2 21. lim ---------------------------- . xº4 x+5 –3

x+2–2 22. lim ---------------------------- . xº2 x+7–3

xº9

lim x( 4x 2 + 7 + 2x).

x º –×

9x – x 2 – 4 -. 25. lim ---------------------------------x xº×

sin x – sin a

27. lim -----------------sin mx .



-. 28. lim -------------------------------x–a

π 29. lim  n sin --n-  .  nº× 



30. lim -------------x+2 .



32.

31.

x +9–3

y

- = lim ------------- = 1. lim --------------------x y º 0 sin y

xº0

xº0

17. lim ( x 2 + 1 – x).

xº0

-. П р и м е р 6. Найти предел lim --------------------x

x2 + 1 – 1 x2 + 1 – 1 x2 - = lim ----------------------------------------- = lim ----------------------------------------- = 0. lim -----------------------------x xº0 x º 0 x ( x2 + 1 + 1 ) x º 0 x ( x2 + 1 + 1 )

23.

xº0

Ответ. 0.

Р е ш е н и е. Умножив числитель и знаменатель дроби, записанной под знаом предела, на выражение, сопряженное числителю, получим



sin x

xº0

Р е ш е н и е. Положим y = arcsin x, тода x = sin y. Учитывая, что если x º 0, то arcsin x º 0, находим

x2 + 1 – 1

-. П р и м е р 4. Вычислить предел lim -----------------------------x

xº3

2 sin 2 x

1 – cos 2x

- = 2 lim ------------- · lim sin x = 0. lim --------------------------= lim -------------------x x x

x –1

xº1

207

sin x – cos x --------------------------------- . 1 – tg x x º π/4

lim

π sin  x – ---   3  33. lim ------------------------------ . x º π/3 1 – 2 cos x

xºa

tg πx

x º –2

tg 3 x – 3 tg x ------------------------------------ . π x º π/3 cos  x + - 6

lim

x 1 – sin --2 34. lim ----------------------π–x . xºπ

x–3

24. lim 3------------------------------- . xº3

x2 – 1 – 2

§ 44. Непрерывность функции

x2 + 7 – 4 26. lim -----------------------------2 – 5x + 6 . x xº3 sin x

Использование предела lim -----------x = 1. При вычислении преxº0

делов выражений, содержащих трионометричесие фунции, часто используют следующий предел: sin x lim -----------x = 1. xº0

(5)

Непрерывность фн ции в точ е. Фунцию f(x), определенную на промежуте (a; b), называют непрерывной в точе x0 Ý (a; b), если: 1) существует предел lim f(x); x º x0

2) этот предел равен значению фунции в точе x0, т. е. lim f(x) = f(x0).

x º x0


208

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

Доазательство непрерывности фунции f(x) в точе x0 состоит в провере справедливости равенства lim f(x) = f(x0).

x º x0

(1)

П р и м е р 1. Доазать, что фунция f(x) = 3x2 + 5 непрерывна в точе x = 2. Р е ш е н и е. Используя свойства пределов, имеем (3x2

lim

xº2

+ 5) = 3 lim

xº2

x2

+ 5 = 17.

С друой стороны, значение фунции в точе 2 таже равно 17. Следовательно, равенство (1) выполняется, т. е. данная фунция непрерывна в точе x = 2. Доажите непрерывность фунции в уазанной точе: 1. f(x) = x2 – 2x + 1 в точе x = 1.

x 2, 1,

x − 0,

1,

x=0

5. f(x) =

e–1/x, 0,

x − 0, в точе x = 0. x=0

6. f(x) =

(1 + x)1/x, e,

4. f(x) =

7. f(x) =

x − 0, в точе x = 0. x=0 x − 0,

1 --- , 6

x=0

2

Воспользовавшись тем, что ∆x sin ------2 lim ----------------= 1, ∆x ∆x º 0 ------2

∆x  cos  x + -----2 

m 1,

а таже формулами (2) и (5) из § 43, получаем

При доазательстве непрерывности фунций часто используют следующее утверждение. Если фунции f(x) и g(x) непрерывны в точе x0, то их сумма, разность, произведение и частное (при условии g(x0) − 0) непрерывны в точе x0.

в точе x = 0.

1+x–3 1+x -------------------------------------------- , x

∆x 2x + ∆x sin (x + ∆x) – sin x = 2 sin -----2 cos ---------------------- .

Доажите непрерывность фунции на всей области ее определения:  9. f(x) = cos x. 8. f(x) = x2.  10. f(x) = ln x.  11. f(x) = ex.

x l 1, в точе x = 1. x<1

sin x ------------- , x

П р и м е р 2. Доазать, что фунция f(x) = sin x непрерывна при любом значении арумента x. Р е ш е н и е. Составим разность f(x + ∆x) – f(x) для данной фунции:

lim [sin (x + ∆x) – sin x] = 0.

- в точе x = --- . 2. f(x) = --------------------------4 cos x

3. f(x) =

209

∆x º 0

π

1 + cos 2x

§ 44. Непрерывность функции

П р и м е р 3. Доазать непрерывность фунции 2x 2 – 2 x +1

f(x) = ------------------2

в точе x = 0.

Чтобы доазать непрерывность фунции f(x), определенной на промежуте (a; b), в точе x0 Ý (a; b), в ряде случаев вместо равенства (1) удобнее проверить справедливость равенства lim [f(x0 + ∆x) – f(x0)] = 0,

∆x º 0

при выполнении отороо фунция непрерывна в точе x0.

(2)

на всей числовой прямой. Р е ш е н и е. Та а фунция f(x) представляет собой отношение двух мноочленов, причем знаменатель всюду положителен, то непрерывность f(x) в любой точе x Ý R следует из непрерывности в этой точе числителя и знаменателя. az + b

12. Доажите, что дробно-рациональная фунция w = ---------------cz + d

(ad – bc − 0) непрерывна в своей области определения. 13. Является ли фунция y = tg x непрерывной на всей числовой прямой?


208

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

Доазательство непрерывности фунции f(x) в точе x0 состоит в провере справедливости равенства lim f(x) = f(x0).

x º x0

(1)

П р и м е р 1. Доазать, что фунция f(x) = 3x2 + 5 непрерывна в точе x = 2. Р е ш е н и е. Используя свойства пределов, имеем (3x2

lim

xº2

+ 5) = 3 lim

xº2

x2

+ 5 = 17.

С друой стороны, значение фунции в точе 2 таже равно 17. Следовательно, равенство (1) выполняется, т. е. данная фунция непрерывна в точе x = 2. Доажите непрерывность фунции в уазанной точе: 1. f(x) = x2 – 2x + 1 в точе x = 1.

x 2, 1,

x − 0,

1,

x=0

5. f(x) =

e–1/x, 0,

x − 0, в точе x = 0. x=0

6. f(x) =

(1 + x)1/x, e,

4. f(x) =

7. f(x) =

x − 0, в точе x = 0. x=0 x − 0,

1 --- , 6

x=0

2

Воспользовавшись тем, что ∆x sin ------2 lim ----------------= 1, ∆x ∆x º 0 ------2

∆x  cos  x + -----2 

m 1,

а таже формулами (2) и (5) из § 43, получаем

При доазательстве непрерывности фунций часто используют следующее утверждение. Если фунции f(x) и g(x) непрерывны в точе x0, то их сумма, разность, произведение и частное (при условии g(x0) − 0) непрерывны в точе x0.

в точе x = 0.

1+x–3 1+x -------------------------------------------- , x

∆x 2x + ∆x sin (x + ∆x) – sin x = 2 sin -----2 cos ---------------------- .

Доажите непрерывность фунции на всей области ее определения:  9. f(x) = cos x. 8. f(x) = x2.  10. f(x) = ln x.  11. f(x) = ex.

x l 1, в точе x = 1. x<1

sin x ------------- , x

П р и м е р 2. Доазать, что фунция f(x) = sin x непрерывна при любом значении арумента x. Р е ш е н и е. Составим разность f(x + ∆x) – f(x) для данной фунции:

lim [sin (x + ∆x) – sin x] = 0.

- в точе x = --- . 2. f(x) = --------------------------4 cos x

3. f(x) =

209

∆x º 0

π

1 + cos 2x

§ 44. Непрерывность функции

П р и м е р 3. Доазать непрерывность фунции 2x 2 – 2 x +1

f(x) = ------------------2

в точе x = 0.

Чтобы доазать непрерывность фунции f(x), определенной на промежуте (a; b), в точе x0 Ý (a; b), в ряде случаев вместо равенства (1) удобнее проверить справедливость равенства lim [f(x0 + ∆x) – f(x0)] = 0,

∆x º 0

при выполнении отороо фунция непрерывна в точе x0.

(2)

на всей числовой прямой. Р е ш е н и е. Та а фунция f(x) представляет собой отношение двух мноочленов, причем знаменатель всюду положителен, то непрерывность f(x) в любой точе x Ý R следует из непрерывности в этой точе числителя и знаменателя. az + b

12. Доажите, что дробно-рациональная фунция w = ---------------cz + d

(ad – bc − 0) непрерывна в своей области определения. 13. Является ли фунция y = tg x непрерывной на всей числовой прямой?


210

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции Устранимый разрыв. Если lim f(x) существует, но фунx º x0

ция не определена в точе x0, то оворят, что x0 — точа странимоо разрыва. В этом случае можно доопределить фунцию f(x) по непрерывности, полаая f f (x0) = lim f(x).

§ 44. Непрерывность функции

Подберите параметр та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной в уазанной точе (если точа не уазана, то на всей числовой прямой): 18. f(x) =

(3)

x º x0

x2 – 4

20. f(x) =

x = 2 по непрерывности. Р е ш е н и е. Точа x = 2 не принадлежит области определения данной фунции, но

21. f(x) =

x2

–4 lim ---------------- = lim (x + 2) = 4. xº2 x–2 xº2

Доопределив фунцию f(x) в точе x = 2 значением, равным 4, получаем фунцию x2 – 4 ---------------x–2

4

при при

22. f(x) =

x − 2, x = 2,

оторая на всей области определения исходной фунции совпадает с этой фунцией и является непрерывной на всей числовой прямой. f Ответ. f (2) = 4.

x2 – 5 x + 6 ------------------------------- , x–3

x − 3,

A,

x = 3. 2

19. f(x) =

П р и м е р 4. Доопределить фунцию f(x) = --------------x – 2 в точе

f f (x) =

211

2 –1/x , A,

x − 0, x = 0.

sin 3x ----------------- , sin 2x

x − 0,

A,

x=0

в точе x = 0.

1 – cos x ----------------------, sin 2 x

x − 0,

A,

x=0

x2 ----------------------------- , 1 – cos mx

x − 0,

A,

x=0

sin x

14. f(x) = -----------x в точе x = 0. e x – e –x

- в точе x = 0. 15. f(x) = -------------------x 1+x– 1–x

- в точе x = 0. 16. f(x) = -----------------------------------------x 3– x 9– x

17. f(x) = ------------------ в точе x = 81.

в точе x = 0.

πx



23. f(x) =

(1 – x) tg -----2 , x − 1,

в точе x = 1.

x=1

A,

Односторонняя непрерывность и односторонние пределы. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; x0). Число A называют левым пределом фнции f(x) в точе x0 и пишут lim

x º x0 – 0

Доопределите по непрерывности данную фунцию в уазанной точе:

в точе x = 0.

f(x) = A,

если для любоо ε > 0 существует таое δ(ε) > 0, что при любом x Ý (a; x0), удовлетворяющем неравенству x0 – δ(ε) < x, выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Фунцию f(x) называют непрерывной в точе x0 слева, если точа x0 принадлежит области определения фунции и lim

x º x0 – 0

f(x) = f(x0).

Аналоично определяются правый предел фунции и непрерывность фунции справа.


210

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции Устранимый разрыв. Если lim f(x) существует, но фунx º x0

ция не определена в точе x0, то оворят, что x0 — точа странимоо разрыва. В этом случае можно доопределить фунцию f(x) по непрерывности, полаая f f (x0) = lim f(x).

§ 44. Непрерывность функции

Подберите параметр та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной в уазанной точе (если точа не уазана, то на всей числовой прямой): 18. f(x) =

(3)

x º x0

x2 – 4

20. f(x) =

x = 2 по непрерывности. Р е ш е н и е. Точа x = 2 не принадлежит области определения данной фунции, но

21. f(x) =

x2

–4 lim ---------------- = lim (x + 2) = 4. xº2 x–2 xº2

Доопределив фунцию f(x) в точе x = 2 значением, равным 4, получаем фунцию x2 – 4 ---------------x–2

4

при при

22. f(x) =

x − 2, x = 2,

оторая на всей области определения исходной фунции совпадает с этой фунцией и является непрерывной на всей числовой прямой. f Ответ. f (2) = 4.

x2 – 5 x + 6 ------------------------------- , x–3

x − 3,

A,

x = 3. 2

19. f(x) =

П р и м е р 4. Доопределить фунцию f(x) = --------------x – 2 в точе

f f (x) =

211

2 –1/x , A,

x − 0, x = 0.

sin 3x ----------------- , sin 2x

x − 0,

A,

x=0

в точе x = 0.

1 – cos x ----------------------, sin 2 x

x − 0,

A,

x=0

x2 ----------------------------- , 1 – cos mx

x − 0,

A,

x=0

sin x

14. f(x) = -----------x в точе x = 0. e x – e –x

- в точе x = 0. 15. f(x) = -------------------x 1+x– 1–x

- в точе x = 0. 16. f(x) = -----------------------------------------x 3– x 9– x

17. f(x) = ------------------ в точе x = 81.

в точе x = 0.

πx



23. f(x) =

(1 – x) tg -----2 , x − 1,

в точе x = 1.

x=1

A,

Односторонняя непрерывность и односторонние пределы. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; x0). Число A называют левым пределом фнции f(x) в точе x0 и пишут lim

x º x0 – 0

Доопределите по непрерывности данную фунцию в уазанной точе:

в точе x = 0.

f(x) = A,

если для любоо ε > 0 существует таое δ(ε) > 0, что при любом x Ý (a; x0), удовлетворяющем неравенству x0 – δ(ε) < x, выполняется неравенство |f(x) – A| < ε. Фунцию f(x) называют непрерывной в точе x0 слева, если точа x0 принадлежит области определения фунции и lim

x º x0 – 0

f(x) = f(x0).

Аналоично определяются правый предел фунции и непрерывность фунции справа.


212

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

Левый и правый пределы фунции называют односторонними пределами, а непрерывность фунции слева и справа объединяют термином «односторонняя непрерывность». Чтобы фунция f(x) была непрерывна в точе x0, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной слева и справа в точе x0. П р и м е р 5. Каим условиям должны удовлетворять параметры a и b, чтобы фунция f(x) =

x–1 ax2 + bx

при при

lim

(x – 1) = 0,

lim

xº1+0

(ax2

+ bx) = a + b.

Та а данная фунция в точе x = 1 непрерывна слева и f(1) = 0, то для ее непрерывности необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство a + b = 0.

Подберите параметры, входящие в определение фунции, та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной: π

ax + 1,

x m --2- ;

sin x + b,

x > --2- .

π

x > 0;

–x2 + b,

x m 0.

30. f(x) =

x2 + x + 1, x l –1; sin (π(x + a)), x < 1.

31. f(x) =

x + 3, a · 2x,

x m 3; x > 3.

§ 45. Разные задачи Вычислите предел: cos x sin x – tg x x sin x

-. 1. lim --------------------------------------------2 xº0

x3 – 1 x º 1 x + 5x – 6

2.

1 – ctg 3 x ----------------------------------------------- .

lim

3 x º π/4 2 – ctg x – ctg x

sin ( 2x – π )

4. lim ----------------------------------- .

-. 3. lim -----------------------------2

π x º 0 cos 3  x + -

sin 2x

2

2x + 1 – 1 3x + 4 – 2

- : lim -------------------------------- . 5. lim -------------------------3 xº0

1 – cos x sin x

6. lim ----------------------. 3 xº0

sin x – sin a

-. 8. lim --------------------------------x º a cos x – cos a

10.

25. f(x) =

x2, x m 1; ax, x > 1.

26. f(x) =

|x2 – 5x + 6|, ax – b,

x > 2; x m 2.

14.

27. f(x) =

|x2 – 5x + 6|, ax – b,

x < 3; x l 3.

16.

28. f(x) =

2x – 1 ,

x < 1;

ax2 + bx + 1,

x l 1.

1 -------------

213

3 ----------------- + 1, x2 + 1

x º π 1 + cos x

Ответ. a + b = 0.

24. f(x) =

29. f(x) =

x m 1, x>1

была непрерывной? Р е ш е н и е. Вычислим левый и правый пределы данной фунции в точе x = 1: xº1–0

§ 45. Разные задачи

lim

sin x – cos x --------------------------------- .

x º π/4 tg x – ctg x

tg x – sin x -. 12. lim -----------------------------x3 xº0

lim

x º π/4

lim

cos 2x ---------------------------- . 2 cos x – ------2 cos x ----------------- .

x º π/2 π – 2x

π sin  --- – x  3  -. 18. lim -----------------------------2 cos x – 1 x º π/3

tg x – tg a

-. 7. lim --------------------------x–a xºa

sin x – sin a

9. lim -------------------------------tg x – tg a . xºa

11.

lim

x º π/4

sin x – cos x --------------------------------- . tg x – 1

π cos  --- + x  4 13. lim ------------------------------1 – tg x . x º π/4

15.

lim

sin 2x ------------------------ .

x º 3π/2 1 + sin x

tg x

17. lim ----------------------. x º 0 1 – cos x x sin x

19. lim ----------------------. x º 0 1 – cos x


212

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции

Левый и правый пределы фунции называют односторонними пределами, а непрерывность фунции слева и справа объединяют термином «односторонняя непрерывность». Чтобы фунция f(x) была непрерывна в точе x0, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной слева и справа в точе x0. П р и м е р 5. Каим условиям должны удовлетворять параметры a и b, чтобы фунция f(x) =

x–1 ax2 + bx

при при

lim

(x – 1) = 0,

lim

xº1+0

(ax2

+ bx) = a + b.

Та а данная фунция в точе x = 1 непрерывна слева и f(1) = 0, то для ее непрерывности необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство a + b = 0.

Подберите параметры, входящие в определение фунции, та, чтобы фунция f(x) стала непрерывной: π

ax + 1,

x m --2- ;

sin x + b,

x > --2- .

π

x > 0;

–x2 + b,

x m 0.

30. f(x) =

x2 + x + 1, x l –1; sin (π(x + a)), x < 1.

31. f(x) =

x + 3, a · 2x,

x m 3; x > 3.

§ 45. Разные задачи Вычислите предел: cos x sin x – tg x x sin x

-. 1. lim --------------------------------------------2 xº0

x3 – 1 x º 1 x + 5x – 6

2.

1 – ctg 3 x ----------------------------------------------- .

lim

3 x º π/4 2 – ctg x – ctg x

sin ( 2x – π )

4. lim ----------------------------------- .

-. 3. lim -----------------------------2

π x º 0 cos 3  x + -

sin 2x

2

2x + 1 – 1 3x + 4 – 2

- : lim -------------------------------- . 5. lim -------------------------3 xº0

1 – cos x sin x

6. lim ----------------------. 3 xº0

sin x – sin a

-. 8. lim --------------------------------x º a cos x – cos a

10.

25. f(x) =

x2, x m 1; ax, x > 1.

26. f(x) =

|x2 – 5x + 6|, ax – b,

x > 2; x m 2.

14.

27. f(x) =

|x2 – 5x + 6|, ax – b,

x < 3; x l 3.

16.

28. f(x) =

2x – 1 ,

x < 1;

ax2 + bx + 1,

x l 1.

1 -------------

213

3 ----------------- + 1, x2 + 1

x º π 1 + cos x

Ответ. a + b = 0.

24. f(x) =

29. f(x) =

x m 1, x>1

была непрерывной? Р е ш е н и е. Вычислим левый и правый пределы данной фунции в точе x = 1: xº1–0

§ 45. Разные задачи

lim

sin x – cos x --------------------------------- .

x º π/4 tg x – ctg x

tg x – sin x -. 12. lim -----------------------------x3 xº0

lim

x º π/4

lim

cos 2x ---------------------------- . 2 cos x – ------2 cos x ----------------- .

x º π/2 π – 2x

π sin  --- – x  3  -. 18. lim -----------------------------2 cos x – 1 x º π/3

tg x – tg a

-. 7. lim --------------------------x–a xºa

sin x – sin a

9. lim -------------------------------tg x – tg a . xºa

11.

lim

x º π/4

sin x – cos x --------------------------------- . tg x – 1

π cos  --- + x  4 13. lim ------------------------------1 – tg x . x º π/4

15.

lim

sin 2x ------------------------ .

x º 3π/2 1 + sin x

tg x

17. lim ----------------------. x º 0 1 – cos x x sin x

19. lim ----------------------. x º 0 1 – cos x


214

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции 20. 22.

24.

lim

sec 2x + 1 ---------------------------- . cos x

21. lim --------------------------. 2

lim

1 + cos 2x ---------------------------. ctg 2 x

23. lim -------------------------------------sin ( x – a ) .

x º π/2

x º π/2

xºπ

1 – cos 2x tg x

sin 2 x – sin 2 a

xºa

π sin  --- – x  4 -. 25. lim -----------------------------x º π/4 cos 2 x – 1 --2

1 – sin x ----------------------. 2 x º π/2 cos x

lim

tg 2

-. 26. lim -----------------------------3

tg x – sin x sin x xº0

27. lim --------------------------------tg ( x – a ) .

cos 2 x – cos 2 a 28. lim --------------------------------------. x–a xºa sin ------------2

tg 3x – tg 3 x -. 29. lim ---------------------------------tg x xº0

30.

tg 2 x + tg x – 2 ------------------------------------------ . x º π/4 sin x – cos x

xºa

34.

a

πx

(a – x) sec -----2a

31.

[(1 – sin x) tg2 x].

lim

x º π/2

πx  a–x ------33. lim  sin -----------2 tg 2a  . xºa

.

tg 2 x – 2 tg x – 3 ----------------------------------------------. 2 x º arctg 3 tg x – 4 tg x + 3

lim

 x a  36. lim  2 sin -----x-  . xº×  2 

x 1 35. lim  --x- tg --2-  .  xº0  1 – cos 3 x

--------------------------------- . 37. lim x sin x cos x xº0

1 + sin x – 1 – sin x

38. lim ------------------------------------------------------------. x xº0

39.

lim

x º π/4

π (sin x – cos x) tg  --4- + x  .

Проверьте справедливость неравенства: x sin 2 --2 2x + 3 2x 2 – 5 x – 3 -. - > lim ----------------------------------------40. lim -----------------+ lim --------------2 x2 xº× x+3 x x º 1/2 4x – 18x – 10 xº0 1 + x + x2 – 1

- + 41. lim ----------------------------------------x xº0

lim

2 – 2 cos x --------------------------------- > lg 0,005.

π x º π/4 sin  x – -

4

Доопределите фунцию по непрерывности: x–3

42. f(x) = 3------------------------------- в точе x = 3. x2

–1–2

215

2– x+4

- в точе x = 0. 43. f(x) = --------------------------sin 2x 2

2

cos x – sin x – 1 44. f(x) = ------------------------------------------------в точе x = 0. 2 x +1–1

Выясните, при аом выборе параметра фунция f(x) станет непрерывной: 45. f(x) =

xºa

lim

32. lim

x–

tg 2

§ 45. Разные задачи

x2 + 7 – 4 ------------------------------, x 2 – 5x + 6

x − 3,

A,

x=3

x+2

46. f(x) =

2 – 16 --------------------------x 4 , 4 –2

x − 2,

A,

x = 2.

в точе x = 3.


214

Г л а в а 8. Предел функции, непрерывность функции 20. 22.

24.

lim

sec 2x + 1 ---------------------------- . cos x

21. lim --------------------------. 2

lim

1 + cos 2x ---------------------------. ctg 2 x

23. lim -------------------------------------sin ( x – a ) .

x º π/2

x º π/2

xºπ

1 – cos 2x tg x

sin 2 x – sin 2 a

xºa

π sin  --- – x  4 -. 25. lim -----------------------------x º π/4 cos 2 x – 1 --2

1 – sin x ----------------------. 2 x º π/2 cos x

lim

tg 2

-. 26. lim -----------------------------3

tg x – sin x sin x xº0

27. lim --------------------------------tg ( x – a ) .

cos 2 x – cos 2 a 28. lim --------------------------------------. x–a xºa sin ------------2

tg 3x – tg 3 x -. 29. lim ---------------------------------tg x xº0

30.

tg 2 x + tg x – 2 ------------------------------------------ . x º π/4 sin x – cos x

xºa

34.

a

πx

(a – x) sec -----2a

31.

[(1 – sin x) tg2 x].

lim

x º π/2

πx  a–x ------33. lim  sin -----------2 tg 2a  . xºa

.

tg 2 x – 2 tg x – 3 ----------------------------------------------. 2 x º arctg 3 tg x – 4 tg x + 3

lim

 x a  36. lim  2 sin -----x-  . xº×  2 

x 1 35. lim  --x- tg --2-  .  xº0  1 – cos 3 x

--------------------------------- . 37. lim x sin x cos x xº0

1 + sin x – 1 – sin x

38. lim ------------------------------------------------------------. x xº0

39.

lim

x º π/4

π (sin x – cos x) tg  --4- + x  .

Проверьте справедливость неравенства: x sin 2 --2 2x + 3 2x 2 – 5 x – 3 -. - > lim ----------------------------------------40. lim -----------------+ lim --------------2 x2 xº× x+3 x x º 1/2 4x – 18x – 10 xº0 1 + x + x2 – 1

- + 41. lim ----------------------------------------x xº0

lim

2 – 2 cos x --------------------------------- > lg 0,005.

π x º π/4 sin  x – -

4

Доопределите фунцию по непрерывности: x–3

42. f(x) = 3------------------------------- в точе x = 3. x2

–1–2

215

2– x+4

- в точе x = 0. 43. f(x) = --------------------------sin 2x 2

2

cos x – sin x – 1 44. f(x) = ------------------------------------------------в точе x = 0. 2 x +1–1

Выясните, при аом выборе параметра фунция f(x) станет непрерывной: 45. f(x) =

xºa

lim

32. lim

x–

tg 2

§ 45. Разные задачи

x2 + 7 – 4 ------------------------------, x 2 – 5x + 6

x − 3,

A,

x=3

x+2

46. f(x) =

2 – 16 --------------------------x 4 , 4 –2

x − 2,

A,

x = 2.

в точе x = 3.


§ 46. Нахождение производных

Глава 9 Производная и ее применения

Учитывая непрерывность фунции cos x, имеем ∆x  ∆x 2 sin ------- cos  x 0 + -----2   2 - = lim ------------------------------------------------------------∆x ∆x º 0 ∆x sin ------2 ∆x  lim cos  x0 + -----= lim ----------------∆x · ∆x 2  = cos x0.  ∆x º 0 º0 ------2

§ 46. Нахождение производных Нахождение производной непосредственно по ее определению. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; b). Рассмотрим предел отношения приращения фунции ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0)

∆f ( x )

∆x º 0

∆f(x0) = sin (x0 + ∆x) – sin x0. Чтобы найти предел sin ( x + ∆x ) – sin x

0 0 -, lim ---------------------------------------------------------∆x

∆x º 0

( sin x )′ = cos x. Ответ. ( sin x )′ = cos x. Исходя из определения производной, найдите производную данной фунции: 1

1. f(x) = --x- .

(2)

Если предел (2) существует, то оворят, что фунция f(x) имеет производню в точе x0, или что f(x) дифференцирема в точе x0. Производная фунции f(x) в точе x0 обозначается f′(x0). Если же предел (2) не существует, то оворят, что фунция f(x) не дифференцирема в точе x0. Задача, связанная с нахождением производной, исходя из ее определения, залючается в непосредственном вычислении предела (2). П р и м е р 1. Найти производную фунции f(x) = sin x. Р е ш е н и е. Составим приращение фунции:

Та а точа x0 выбрана произвольно, то залючаем, что

(1)

 приращению независимой переменной ∆x (∆x = x – x0) при ∆x, стремящемся  нулю: 0 lim ----------------∆x .

 

2. f(x) = cos x.

3. f(x) = ex. 5. f(x) = xn.



4. f(x) = ln x. 6. f(x) = c.

Односторонние производные. Односторонние пределы lim

∆x º –0

∆f ( x 0 ) ------------------ , ∆x

∆f ( x 0 ) -----------------∆x ∆x º +0

lim

(3) (4)

называют соответственно левой и правой производными (или односторонними производными) фнции f(x) в точе x0 и обозначают f –′ (x0) и f +′ (x0). Для существования производной f ′(x0) необходимо и достаточно, чтобы обе производные (левая и правая) существовали в точе x0 и были равны: f +′ (x0) = f –′ (x0). П р и м е р 2. Доазать, что фунция

воспользуемся формулой f(x) = ∆x ∆x   ------sin (x0 + ∆x) – sin x0 = 2 sin -----2 cos  x0 + 2  .

217

x, x l 1, x2, x < 1,

не дифференцируема в точе x = 1.

(5)


§ 46. Нахождение производных

Глава 9 Производная и ее применения

Учитывая непрерывность фунции cos x, имеем ∆x  ∆x 2 sin ------- cos  x 0 + -----2   2 - = lim ------------------------------------------------------------∆x ∆x º 0 ∆x sin ------2 ∆x  lim cos  x0 + -----= lim ----------------∆x · ∆x 2  = cos x0.  ∆x º 0 º0 ------2

§ 46. Нахождение производных Нахождение производной непосредственно по ее определению. Пусть фунция f(x) определена на промежуте (a; b). Рассмотрим предел отношения приращения фунции ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0)

∆f ( x )

∆x º 0

∆f(x0) = sin (x0 + ∆x) – sin x0. Чтобы найти предел sin ( x + ∆x ) – sin x

0 0 -, lim ---------------------------------------------------------∆x

∆x º 0

( sin x )′ = cos x. Ответ. ( sin x )′ = cos x. Исходя из определения производной, найдите производную данной фунции: 1

1. f(x) = --x- .

(2)

Если предел (2) существует, то оворят, что фунция f(x) имеет производню в точе x0, или что f(x) дифференцирема в точе x0. Производная фунции f(x) в точе x0 обозначается f′(x0). Если же предел (2) не существует, то оворят, что фунция f(x) не дифференцирема в точе x0. Задача, связанная с нахождением производной, исходя из ее определения, залючается в непосредственном вычислении предела (2). П р и м е р 1. Найти производную фунции f(x) = sin x. Р е ш е н и е. Составим приращение фунции:

Та а точа x0 выбрана произвольно, то залючаем, что

(1)

 приращению независимой переменной ∆x (∆x = x – x0) при ∆x, стремящемся  нулю: 0 lim ----------------∆x .

 

2. f(x) = cos x.

3. f(x) = ex. 5. f(x) = xn.



4. f(x) = ln x. 6. f(x) = c.

Односторонние производные. Односторонние пределы lim

∆x º –0

∆f ( x 0 ) ------------------ , ∆x

∆f ( x 0 ) -----------------∆x ∆x º +0

lim

(3) (4)

называют соответственно левой и правой производными (или односторонними производными) фнции f(x) в точе x0 и обозначают f –′ (x0) и f +′ (x0). Для существования производной f ′(x0) необходимо и достаточно, чтобы обе производные (левая и правая) существовали в точе x0 и были равны: f +′ (x0) = f –′ (x0). П р и м е р 2. Доазать, что фунция

воспользуемся формулой f(x) = ∆x ∆x   ------sin (x0 + ∆x) – sin x0 = 2 sin -----2 cos  x0 + 2  .

217

x, x l 1, x2, x < 1,

не дифференцируема в точе x = 1.

(5)


218

Г л а в а 9. Производная и ее применения Р е ш е н и е. Найдем приращение фунции в точе x = 1: ∆f(1) = f(1 + ∆x) – f(1) =

∆x, ∆x l 0, (1 + ∆x)2 – 1, ∆x < 0,

2∆x + ( ∆x ) 2 - = 2, lim --------------------------------∆x ∆x º –0

f +′ (1) =

Доажите недифференцируемость фунции в уазанной точе: 7. f(x) = |x| при x = 0.  8. f(x) = |x2 – 5x + 6| при x = 2 и x = 3. x, x m 1, при x = 1. 2 – x, x > 1 10. Поажите, что фунция 9. f(x) =

1

x sin --x- , x − 0, 0,

x=0

не имеет в точе x = 0 ни правой, ни левой производной. 11. Доажите, что фунция f(x) = x| x | дифференцируема в точе x = 0.

( xα )′ = αxα – 1, ax

ln a,

(12)

a > 0,

( ex )′

1 - , a > 0, a − 1, ( loga x )′ = -------------x ln a

(6) =

ex,

1 ( ln x )′ = --x- ,

( arcsin x )′ = -------------------- , 2

(13)

1 ( arctg x )′ = ----------------2- .

(14)

Правила дифференцирования Пусть c — постоянная, f(x) и g(x) — дифференцируемые фунции; тода справедливы следующие формулы: c′ = 0,

(15)

( f(x) + g(x) )′ = f ′(x) + g ′(x),

(16)

( f(x)g(x) )′ = f ′(x)g(x) + g ′(x)f(x),

(17)

f ( x ) ′ f ′ ( x )g ( x ) – g ′ ( x )f ( x )  -------------------------------------------------------------------.  g( x)  = g2 ( x)

(18)

Теорема о дифференцировании сложной фнции. Пусть фунция y = f(x) имеет производную в точе x0, а фунция g(y) имеет производную в точе y0 = f(x0); то да сложная фунция F(x) = g(f(x)) имеет производную в точе x0, равную F ′(x0) = g ′(y0) f ′(x0).

(19)

П р и м е р 3. Найти производную фунции

Производные основных элементарных фн ций

( ax )′ =

1 ( ctg x )′ = – --------------2 ,

1+x

∆x - = 1. lim -----∆x º +0 ∆x

ществует.

f(x) =

(11)

1–x

Та а f +′ (1) − f –′ (1), то производная f ′(x) в точе x = 1 не су-



1 cos x

( tg x )′ = --------------2 ,

1

∆x, ∆x l 0, 2∆x + (∆x)2, ∆x < 0.

Далее, используя определения (3) и (4), имеем f –′ (1) =

219

sin x

или, после преобразований, ∆f(1) =

§ 46. Нахождение производных

F(x) = (x2 + x + 1)100.

(7)

Р е ш е н и е. Полаая y = f(x) = x2 + x + 1, g(y) = y100, имеем g ′(y) = 100y99, f ′(x) = 2x + 1.

(8)

Тода, соласно формуле (19), находим

( sin x )′ = cos x,

(9)

( cos x )′ = –sin x,

(10)

F ′(x) = 100(x2 + x + 1)99(2x + 1). Ответ. F ′(x) = 100(x2 + x + 1)99(2x + 1).


218

Г л а в а 9. Производная и ее применения Р е ш е н и е. Найдем приращение фунции в точе x = 1: ∆f(1) = f(1 + ∆x) – f(1) =

∆x, ∆x l 0, (1 + ∆x)2 – 1, ∆x < 0,

2∆x + ( ∆x ) 2 - = 2, lim --------------------------------∆x ∆x º –0

f +′ (1) =

Доажите недифференцируемость фунции в уазанной точе: 7. f(x) = |x| при x = 0.  8. f(x) = |x2 – 5x + 6| при x = 2 и x = 3. x, x m 1, при x = 1. 2 – x, x > 1 10. Поажите, что фунция 9. f(x) =

1

x sin --x- , x − 0, 0,

x=0

не имеет в точе x = 0 ни правой, ни левой производной. 11. Доажите, что фунция f(x) = x| x | дифференцируема в точе x = 0.

( xα )′ = αxα – 1, ax

ln a,

(12)

a > 0,

( ex )′

1 - , a > 0, a − 1, ( loga x )′ = -------------x ln a

(6) =

ex,

1 ( ln x )′ = --x- ,

( arcsin x )′ = -------------------- , 2

(13)

1 ( arctg x )′ = ----------------2- .

(14)

Правила дифференцирования Пусть c — постоянная, f(x) и g(x) — дифференцируемые фунции; тода справедливы следующие формулы: c′ = 0,

(15)

( f(x) + g(x) )′ = f ′(x) + g ′(x),

(16)

( f(x)g(x) )′ = f ′(x)g(x) + g ′(x)f(x),

(17)

f ( x ) ′ f ′ ( x )g ( x ) – g ′ ( x )f ( x )  -------------------------------------------------------------------.  g( x)  = g2 ( x)

(18)

Теорема о дифференцировании сложной фнции. Пусть фунция y = f(x) имеет производную в точе x0, а фунция g(y) имеет производную в точе y0 = f(x0); то да сложная фунция F(x) = g(f(x)) имеет производную в точе x0, равную F ′(x0) = g ′(y0) f ′(x0).

(19)

П р и м е р 3. Найти производную фунции

Производные основных элементарных фн ций

( ax )′ =

1 ( ctg x )′ = – --------------2 ,

1+x

∆x - = 1. lim -----∆x º +0 ∆x

ществует.

f(x) =

(11)

1–x

Та а f +′ (1) − f –′ (1), то производная f ′(x) в точе x = 1 не су-



1 cos x

( tg x )′ = --------------2 ,

1

∆x, ∆x l 0, 2∆x + (∆x)2, ∆x < 0.

Далее, используя определения (3) и (4), имеем f –′ (1) =

219

sin x

или, после преобразований, ∆f(1) =

§ 46. Нахождение производных

F(x) = (x2 + x + 1)100.

(7)

Р е ш е н и е. Полаая y = f(x) = x2 + x + 1, g(y) = y100, имеем g ′(y) = 100y99, f ′(x) = 2x + 1.

(8)

Тода, соласно формуле (19), находим

( sin x )′ = cos x,

(9)

( cos x )′ = –sin x,

(10)

F ′(x) = 100(x2 + x + 1)99(2x + 1). Ответ. F ′(x) = 100(x2 + x + 1)99(2x + 1).


220

Г л а в а 9. Производная и ее применения

§ 46. Нахождение производных

Найдите производную сложной фунции: 2+ x 2– x

12. y = ------------------ .

13. y =

14. y =

15. y = e

sin x .

3

1– ----------------2- . 1+x

 x–1  x+1  ------------------ + ------------------ + 2  x–1  x+1 

.

x+1 x–1 -------------- + -------------- – 2 ( 2x + x 2 – 1 ) x–1 x+1 29. f(x) = ----------------------------------------------------------------------------------------------------- . (x + 1) 3 – (x – 1) 3

( a + bx n ) m 17. y = ----------------------------. ( a – bx n ) m

1+x 16. y = arctg ------------1–x.

x–1

1 15

18. y = ------ cos3 x (3 cos2 x – 5).

1 + 1 – x2 ( ( 1 + x )3 – ( 1 – x)3 )

19. y = ln cos -----------x .

30. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------------. 2 2+ 1–x

( tg 2 x – 1 ) ( tg 4 x + 10 tg 2 x + 1 ) -. 20. y = --------------------------------------------------------------------------------------3 tg 3 x

Предварительно упростив выражение, найдите производную фунции: ( x + 1 ) ( x2 – x) 21. f(x) = ------------------------------------------------- . x x+x+ x 3

x + 2 – x2

6

1 – x 2 – x2

 4 ax 3 – 4 a 3 x 1 + ax  -  31. f(x) =  ------------------------------------- + --------------------4 ax a – x  

П р и м е р 4.

1 – x2

(x 2/m – 9x 2/n )( n x 1 – m – 3 n x 1 – n ) (x + 3x ) – 12x

24. f(x) = ------------------------------------------------------------------------------------------------. 1/m 1/n 2 (m + n)/(mn)  1 25. f(x) = ( 1 – x 4 + 1) :  --------------------2- +  1+x –3

5

4

 1 – x2  . 

a

a

1 + 2 --x- + --x- .

Найти

производную

фунции

f(x) =

– 2x + 1 на промежуте [0; 2]. Р е ш е н и е. Выражение под знаом радиала представляет собой полный вадрат, поэтому, соласно определению модуля, представим данную фунцию в следующем виде: =

f(x) = |x – 1| =

1 – x, x – 1,

x Ý [0; 1), x Ý [1; 2].

(*)

Дифференцируя f(x) по отдельности на промежутах [0; 1) и (1; 2], получаем f ′(x) =

3

 2   2  ( x + 2 )  ------- – 1  – ( x – 2 )  ------- + 1  x x     27. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------------------- .  2  2 ( 2 – x + 2 ) :  --- + 1 – -------  x  x

·

x2

3

t + 2t + 4t 1 ---  – t 3 + 3 ------------------------------------2 4 – 4t + t 2 -. 26. f(x) = -----------------------------------------------------------------------------------1 1 --------------------- + --------------------t+ 2 2– t

–2

Если фунция f(x) определена на неотором промежуте [a; b], то в ачестве значений ее производных на онцах этоо промежута принимают значения левой производной на правом онце и правой — на левом онце.

-. 22. f(x) = -----------------------------------------------------------------------------3 –2 1  ( 1 – x 2 ) – 1/2 + 1 + -----------------------------------------  ( 1 – x 2 ) – 1/2 – 1  -. 23. f(x) = -------------------------------------------------------------------------------------------------------2 – x2 – 2 1 – x2

2x + 2 x 2 – 1

28. f(x) = -------------------------------------------------------------------1/3 .

x2

ln ( ax 2 + bx + c )

221

–1, –1,

x Ý [0; 1), x Ý (1; 2].

Та а левая и правая производные в точе x = 1 не совпадают, то в этой точе производная не существует; в ачестве значений f ′(x) на онцах промежута [0; 2] принимаем значения левой производной фунции (*) в точе x = 2 в правой производной фунции (*) в точе x = 0. Ответ. f ′(x) =

–1, –1,

x Ý [0; 1), x Ý (1; 2].


220

Г л а в а 9. Производная и ее применения

§ 46. Нахождение производных

Найдите производную сложной фунции: 2+ x 2– x

12. y = ------------------ .

13. y =

14. y =

15. y = e

sin x .

3

1– ----------------2- . 1+x

 x–1  x+1  ------------------ + ------------------ + 2  x–1  x+1 

.

x+1 x–1 -------------- + -------------- – 2 ( 2x + x 2 – 1 ) x–1 x+1 29. f(x) = ----------------------------------------------------------------------------------------------------- . (x + 1) 3 – (x – 1) 3

( a + bx n ) m 17. y = ----------------------------. ( a – bx n ) m

1+x 16. y = arctg ------------1–x.

x–1

1 15

18. y = ------ cos3 x (3 cos2 x – 5).

1 + 1 – x2 ( ( 1 + x )3 – ( 1 – x)3 )

19. y = ln cos -----------x .

30. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------------. 2 2+ 1–x

( tg 2 x – 1 ) ( tg 4 x + 10 tg 2 x + 1 ) -. 20. y = --------------------------------------------------------------------------------------3 tg 3 x

Предварительно упростив выражение, найдите производную фунции: ( x + 1 ) ( x2 – x) 21. f(x) = ------------------------------------------------- . x x+x+ x 3

x + 2 – x2

6

1 – x 2 – x2

 4 ax 3 – 4 a 3 x 1 + ax  -  31. f(x) =  ------------------------------------- + --------------------4 ax a – x  

П р и м е р 4.

1 – x2

(x 2/m – 9x 2/n )( n x 1 – m – 3 n x 1 – n ) (x + 3x ) – 12x

24. f(x) = ------------------------------------------------------------------------------------------------. 1/m 1/n 2 (m + n)/(mn)  1 25. f(x) = ( 1 – x 4 + 1) :  --------------------2- +  1+x –3

5

4

 1 – x2  . 

a

a

1 + 2 --x- + --x- .

Найти

производную

фунции

f(x) =

– 2x + 1 на промежуте [0; 2]. Р е ш е н и е. Выражение под знаом радиала представляет собой полный вадрат, поэтому, соласно определению модуля, представим данную фунцию в следующем виде: =

f(x) = |x – 1| =

1 – x, x – 1,

x Ý [0; 1), x Ý [1; 2].

(*)

Дифференцируя f(x) по отдельности на промежутах [0; 1) и (1; 2], получаем f ′(x) =

3

 2   2  ( x + 2 )  ------- – 1  – ( x – 2 )  ------- + 1  x x     27. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------------------- .  2  2 ( 2 – x + 2 ) :  --- + 1 – -------  x  x

·

x2

3

t + 2t + 4t 1 ---  – t 3 + 3 ------------------------------------2 4 – 4t + t 2 -. 26. f(x) = -----------------------------------------------------------------------------------1 1 --------------------- + --------------------t+ 2 2– t

–2

Если фунция f(x) определена на неотором промежуте [a; b], то в ачестве значений ее производных на онцах этоо промежута принимают значения левой производной на правом онце и правой — на левом онце.

-. 22. f(x) = -----------------------------------------------------------------------------3 –2 1  ( 1 – x 2 ) – 1/2 + 1 + -----------------------------------------  ( 1 – x 2 ) – 1/2 – 1  -. 23. f(x) = -------------------------------------------------------------------------------------------------------2 – x2 – 2 1 – x2

2x + 2 x 2 – 1

28. f(x) = -------------------------------------------------------------------1/3 .

x2

ln ( ax 2 + bx + c )

221

–1, –1,

x Ý [0; 1), x Ý (1; 2].

Та а левая и правая производные в точе x = 1 не совпадают, то в этой точе производная не существует; в ачестве значений f ′(x) на онцах промежута [0; 2] принимаем значения левой производной фунции (*) в точе x = 2 в правой производной фунции (*) в точе x = 0. Ответ. f ′(x) =

–1, –1,

x Ý [0; 1), x Ý (1; 2].


222

Г л а в а 9. Производная и ее применения Найдите производную фунции:



x–2 x–1 x–1–1

32. f(x) = x ------------------------------------ . 2

 1 1 2x ---  ------- + x  – 1 4 x  33. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------- . 2   1 1 1 1 2 ---  ------- + x  – 1 – ---  --- – x x 4 x 2   

35. f(x) =

x + 2 2x – 4 +

223

сими точами фунции y = f(x). Из определения ритичесой точи следует, что если производная фунции меняет зна, то это может произойти тольо при переходе через ритичесую точу. Таим образом, промежути убывания и возрастания (промежути монотонности) фунции f(x) ораничены ритичесими точами. Поэтому для нахождения промежутов монотонности фунции необходимо: 1) найти ритичесие точи фунции f(x); 2) определить зна производной f ′(x) внутри промежутов, ораниченных ритичесими точами.

2

 x2 – 1  1 +  ----------------   2x  34. f(x) = ----------------------------------------- . 1 ( x 2 + 1 ) -----2x 

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции

П р и м е р 1. Исследовать на возрастание фунцию f(x) = xe–3x. Р е ш е н и е. Находим производную x – 2 2x – 4 .

и

убывание

f ′(x) = e–3x – 3xe–3x = e–3x(1 – 3x). Производная f ′(x) существует всюду и обращается в нуль в точ1

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции Исследование фн ции на монотонность. Говорят, что фунция y = f(x) возрастает на промежте (a; b), если для любых x1 и x2, принадлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) < f(x2). Говорят, что фунция y = f(x) бывает на промежте (a; b), если для любых x1 и x2, принадлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(x2). Фунции, возрастающие (убывающие) на промежуте (a; b), называют монотонными на этом промежте. Достаточные словия монотонности фнции. Пусть фунция y = f(x) определена и дифференцируема на промежуте (a; b). Для то о чтобы фунция была возрастающей на промежуте (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие f ′(x) > 0 при любом x Ý (a; b). Для то о чтобы фунция была убывающей на промежуте (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие f ′(x) < 0 при любом x Ý (a; b). Точи, принадлежащие промежуту (a; b), в оторых производная равна нулю или не существует, называют ритиче-

е x = --3- . Эта точа делит числовую прямую на два промежута: 1  –×; 1 ---  и  --- ; +×  . Та а фунция e–3x вседа положи3    3

тельна, то зна производной определяется вторым сомножите1 лем. На промежуте  –×; --3-  выполняется неравенство f ′(x) > 0,   1 а на промежуте  --3- ; +×  — неравенство f ′(x) < 0.   1 Ответ. Фунция f(x) возрастает на промежуте  –×; --3-  1 и убывает на промежуте  --3- ; +×  .  

Исследуйте на возрастание и убывание фунцию: x2 – 2

1. f(x) = ----------------2x + 3 . 3

3. f(x) = --2- x – sin2 x. 2x – 1 (x – 1)

5. f(x) = --------------------2- .

x

2. f(x) = --------ln x .

4. f(x) = 2 ln (x – 2) – x2 + 4x + 1. 3 – x2

6. f(x) = --------------x .


222

Г л а в а 9. Производная и ее применения Найдите производную фунции:



x–2 x–1 x–1–1

32. f(x) = x ------------------------------------ . 2

 1 1 2x ---  ------- + x  – 1 4 x  33. f(x) = --------------------------------------------------------------------------------------------- . 2   1 1 1 1 2 ---  ------- + x  – 1 – ---  --- – x x 4 x 2   

35. f(x) =

x + 2 2x – 4 +

223

сими точами фунции y = f(x). Из определения ритичесой точи следует, что если производная фунции меняет зна, то это может произойти тольо при переходе через ритичесую точу. Таим образом, промежути убывания и возрастания (промежути монотонности) фунции f(x) ораничены ритичесими точами. Поэтому для нахождения промежутов монотонности фунции необходимо: 1) найти ритичесие точи фунции f(x); 2) определить зна производной f ′(x) внутри промежутов, ораниченных ритичесими точами.

2

 x2 – 1  1 +  ----------------   2x  34. f(x) = ----------------------------------------- . 1 ( x 2 + 1 ) -----2x 

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции

П р и м е р 1. Исследовать на возрастание фунцию f(x) = xe–3x. Р е ш е н и е. Находим производную x – 2 2x – 4 .

и

убывание

f ′(x) = e–3x – 3xe–3x = e–3x(1 – 3x). Производная f ′(x) существует всюду и обращается в нуль в точ1

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции Исследование фн ции на монотонность. Говорят, что фунция y = f(x) возрастает на промежте (a; b), если для любых x1 и x2, принадлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) < f(x2). Говорят, что фунция y = f(x) бывает на промежте (a; b), если для любых x1 и x2, принадлежащих (a; b), из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(x2). Фунции, возрастающие (убывающие) на промежуте (a; b), называют монотонными на этом промежте. Достаточные словия монотонности фнции. Пусть фунция y = f(x) определена и дифференцируема на промежуте (a; b). Для то о чтобы фунция была возрастающей на промежуте (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие f ′(x) > 0 при любом x Ý (a; b). Для то о чтобы фунция была убывающей на промежуте (a; b), достаточно, чтобы выполнялось условие f ′(x) < 0 при любом x Ý (a; b). Точи, принадлежащие промежуту (a; b), в оторых производная равна нулю или не существует, называют ритиче-

е x = --3- . Эта точа делит числовую прямую на два промежута: 1  –×; 1 ---  и  --- ; +×  . Та а фунция e–3x вседа положи3    3

тельна, то зна производной определяется вторым сомножите1 лем. На промежуте  –×; --3-  выполняется неравенство f ′(x) > 0,   1 а на промежуте  --3- ; +×  — неравенство f ′(x) < 0.   1 Ответ. Фунция f(x) возрастает на промежуте  –×; --3-  1 и убывает на промежуте  --3- ; +×  .  

Исследуйте на возрастание и убывание фунцию: x2 – 2

1. f(x) = ----------------2x + 3 . 3

3. f(x) = --2- x – sin2 x. 2x – 1 (x – 1)

5. f(x) = --------------------2- .

x

2. f(x) = --------ln x .

4. f(x) = 2 ln (x – 2) – x2 + 4x + 1. 3 – x2

6. f(x) = --------------x .


224

Г л а в а 9. Производная и ее применения

 7. Найдите множество всех значений параметра a, при оторых фунция

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции Приравниваем производную f ′(x) нулю: 4x – 1 1 --- ----------------------------------- = 0. 2 2x 2 – x + 2

f(x) = sin 2x – 8(a – 1) sin x + (4a2 + 8a – 14)x является возрастающей и не имеет ритичесих точе для всех x Ý R.  8. Найдите всех значения параметра a, при оторых фунция y(x) = 8ax – a sin 6x – 7x – sin 5x

1

1

видно, что если x > --4- , то f ′(x) > 0, а если x < --4- , то f ′(x) < 0, 1

Исследование фн ции на э стремм. Говорят, что фунция y = f(x) имеет в точе x0 масимм (или минимм), если найдется таая δ-орестность точи x0, принадлежащая области определения фунции, что для всех x − x0, принадлежащих промежуту (x0 – δ; x0 + δ), выполняется неравенство f(x) < f(x0) (соответственно f(x) > f(x0)). Точи масимума и минимума называют точами эстремма, а значения фунции в этих точах — эстремальными значениями. Необходимое словие сществования эстремма фнции. Пусть фунция f(x) дифференцируема на промежуте (a; b). То да если в неоторой точе x0 Ý (a; b) фунция f(x) дости ает эстремума, то f ′(x0) = 0. Достаточное словие сществования эстремма фнции. Пусть фунция определена и непрерывна на промежуте (a; b) и на всем промежуте (за ислючением, быть может, онечно о числа точе) дифференцируема. То да если при переходе через ритичесую точу производная фунции меняет зна, то таая ритичесая точа является точой эстремума фунции: точой масимума, если зна меняется с плюса на минус, и точой минимума, если зна меняется с минуса на плюс.

1

с минуса на плюс. Следовательно, x0 = --4- — точа минимума, причем f(x0) =

15 ------ . Знаменатель выражения (*) положителен 8 1

при x Ý R. Ита, друих ритичесих точе, роме x = --4- , фунция f(x) не имеет. 1 Ответ. min f(x) = f  --4-  =   xÝR

15 ------ . 8

Найдите эстремумы данной фунции: ( x – 2 )2 ( x + 4 )

-. 19. f(x) = ---------------------------------------4 2

10. f(x) = x + sin 2x. 2x x +9

11. f(x) = xe x – x .

-. 12. f(x) = ---------------2

13. f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 5.

14. f(x) = --------ln x .

15. f(x) = 2x3 – 6x2 – 18x + 7.

-. 16. f(x) = -----------------------------x–1

x

x 2 – 2x + 2

С помощью исследования фунций на эстремум можно устанавливать справедливость неоторых трансцендентных неравенств. П р и м е р 3. Доазать, что при x − 0 справедливо неравенство ex – x > 1.

П р и м е р 2. Найти эстремум фунции 2x 2 – x + 2 .

Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию

Р е ш е н и е. Находим производную 4x – 1 1 -. f ′(x) = --2- ---------------------------------2x 2 – x + 2

1

Отсюда получаем ритичесую точу x0 = --4- . Из выражения (*)

т. е. при переходе через точу x0 = --4- производная меняет зна

возрастает и не имеет ритичесих точе для всех x Ý R.

f(x) =

225

(*)

f(x) = ex – 1 – x и найдем ее эстремум. Решив уравнение f′(x) = 0, т. е. уравнение ex – 1 = 0, получаем x = 0.


224

Г л а в а 9. Производная и ее применения

 7. Найдите множество всех значений параметра a, при оторых фунция

§ 47. Промежутки монотонности и экстремумы функции Приравниваем производную f ′(x) нулю: 4x – 1 1 --- ----------------------------------- = 0. 2 2x 2 – x + 2

f(x) = sin 2x – 8(a – 1) sin x + (4a2 + 8a – 14)x является возрастающей и не имеет ритичесих точе для всех x Ý R.  8. Найдите всех значения параметра a, при оторых фунция y(x) = 8ax – a sin 6x – 7x – sin 5x

1

1

видно, что если x > --4- , то f ′(x) > 0, а если x < --4- , то f ′(x) < 0, 1

Исследование фн ции на э стремм. Говорят, что фунция y = f(x) имеет в точе x0 масимм (или минимм), если найдется таая δ-орестность точи x0, принадлежащая области определения фунции, что для всех x − x0, принадлежащих промежуту (x0 – δ; x0 + δ), выполняется неравенство f(x) < f(x0) (соответственно f(x) > f(x0)). Точи масимума и минимума называют точами эстремма, а значения фунции в этих точах — эстремальными значениями. Необходимое словие сществования эстремма фнции. Пусть фунция f(x) дифференцируема на промежуте (a; b). То да если в неоторой точе x0 Ý (a; b) фунция f(x) дости ает эстремума, то f ′(x0) = 0. Достаточное словие сществования эстремма фнции. Пусть фунция определена и непрерывна на промежуте (a; b) и на всем промежуте (за ислючением, быть может, онечно о числа точе) дифференцируема. То да если при переходе через ритичесую точу производная фунции меняет зна, то таая ритичесая точа является точой эстремума фунции: точой масимума, если зна меняется с плюса на минус, и точой минимума, если зна меняется с минуса на плюс.

1

с минуса на плюс. Следовательно, x0 = --4- — точа минимума, причем f(x0) =

15 ------ . Знаменатель выражения (*) положителен 8 1

при x Ý R. Ита, друих ритичесих точе, роме x = --4- , фунция f(x) не имеет. 1 Ответ. min f(x) = f  --4-  =   xÝR

15 ------ . 8

Найдите эстремумы данной фунции: ( x – 2 )2 ( x + 4 )

-. 19. f(x) = ---------------------------------------4 2

10. f(x) = x + sin 2x. 2x x +9

11. f(x) = xe x – x .

-. 12. f(x) = ---------------2

13. f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 5.

14. f(x) = --------ln x .

15. f(x) = 2x3 – 6x2 – 18x + 7.

-. 16. f(x) = -----------------------------x–1

x

x 2 – 2x + 2

С помощью исследования фунций на эстремум можно устанавливать справедливость неоторых трансцендентных неравенств. П р и м е р 3. Доазать, что при x − 0 справедливо неравенство ex – x > 1.

П р и м е р 2. Найти эстремум фунции 2x 2 – x + 2 .

Р е ш е н и е. Рассмотрим фунцию

Р е ш е н и е. Находим производную 4x – 1 1 -. f ′(x) = --2- ---------------------------------2x 2 – x + 2

1

Отсюда получаем ритичесую точу x0 = --4- . Из выражения (*)

т. е. при переходе через точу x0 = --4- производная меняет зна

возрастает и не имеет ритичесих точе для всех x Ý R.

f(x) =

225

(*)

f(x) = ex – 1 – x и найдем ее эстремум. Решив уравнение f′(x) = 0, т. е. уравнение ex – 1 = 0, получаем x = 0.


226

Г л а в а 9. Производная и ее применения

При x = 0 фунция f(x) достиает своео единственноо минимума, посольу производная f ′(x) при переходе через точу x = 0 меняет зна с минуса на плюс. Та а f(0) = 0, то при всех x − 0 справедливо неравенство f(x) > 0, т. е. ex – 1 – x > 0, или ex – x > 1, что и требовалось доазать.

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

то единственной ритичесой точой, принадлежащей заданному промежуту, является точа x = 4. Сравнивая значения фунции в этой точе со значениями фунции на онцах промежута, получаем

x3

x2

18. cos x > 1 – ----2

при

19. ln (1 + x) < x

при

x > 0.

т. е. наименьшее значение f(x) достиается в точе x = 4, а наибольшее — на левом онце промежута (при x = 1). Ответ. max f(x) = f(1) = 2 --8- ; x Ý [1; 6]

при x > 0.

x Ý [a; b]

f(x)). При отысании наибольшео или наименьшео

значения фунции может оазаться, что внутри промежута [a; b] производная существует во всех точах этоо промежута и ни в одной ео точе не обращается в нуль (т. е. ритичесие точи фунции отсутствуют). Это означает, что в рассматриваемом промежуте фунция возрастает или убывает и, следовательно, достиает наибольшео и наименьшео значений на онцах промежута. П р и м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значения x

3. f(x) = cos2 --2- sin x, 1

x

2

π

0; --2-

1

1

.

5. f(x) = --2- – --4- sin 2x + --3- cos3 x – cos x,

π

π

– --2- ; --2-

.

Инода при отысании наибольшео (наименьшео) значения фунции удобно использовать следующее свойство. Если непрерывную фунцию F(x) на промежуте [a; b] можно представить в виде F(x) = f(g(x)), де g(x) и f(y) — непрерывные фунции на промежутах x Ý [a; b] и y Ý [c; d] соответственно, c = min g(x), d = max g(x), то x Ý [a; b]

max F(x) =

x Ý [a; b]

x Ý [c; d]

max f(y)

x Ý [c; d]

и

min

x Ý [a; b]

F(x) =

min

x Ý [c; d]

f(y).

П р и м е р 2. Найти наибольшее и наименьшее значения фунции

2

1

f(x) = f(4) = 1.

x Ý [0; π].

4. f(x) = --2- cos 2x + sin x,

sin 2x

фунции f(x) = --8- + --x- на промежуте [1; 6]. Р е ш е н и е. Та а f ′(x) = --8- – -----2- , x

min

x Ý [1; 6]

Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции на уазанном промежуте: 1. f(x) = x5 – x3 + x + 2, x Ý [–1; 1]. 2. f(x) = 3x4 + 4x3 + 1, x Ý [–2; 1]. x

Пусть фунция f(x) определена и непрерывна на онечном промежуте [a; b]. Для отысания наибольшео (наименьшео) значения фунции необходимо найти все масимумы (минимумы) фунции на промежуте (a; b), выбрать из них наибольший (наименьший) и сравнить ео со значениями фунции в точах a и b. Наибольшее (наименьшее) из этих чисел и является наибольшим (наименьшим) значением фунции f(x) на промежуте [a; b]; оно обозначается max f(x) (соответственно min

f(6) = 1 -----12 ,

1

x − 0.

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

x Ý [a; b]

1

1

f(1) = 2 --8- ,

f(4) = 1,

Доажите неравенство: 17. x – ----6 < sin x < x

227

F(x) = ----------------------------π sin  --- + x 4 

на промежуте

π

0; --2-

.


226

Г л а в а 9. Производная и ее применения

При x = 0 фунция f(x) достиает своео единственноо минимума, посольу производная f ′(x) при переходе через точу x = 0 меняет зна с минуса на плюс. Та а f(0) = 0, то при всех x − 0 справедливо неравенство f(x) > 0, т. е. ex – 1 – x > 0, или ex – x > 1, что и требовалось доазать.

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

то единственной ритичесой точой, принадлежащей заданному промежуту, является точа x = 4. Сравнивая значения фунции в этой точе со значениями фунции на онцах промежута, получаем

x3

x2

18. cos x > 1 – ----2

при

19. ln (1 + x) < x

при

x > 0.

т. е. наименьшее значение f(x) достиается в точе x = 4, а наибольшее — на левом онце промежута (при x = 1). Ответ. max f(x) = f(1) = 2 --8- ; x Ý [1; 6]

при x > 0.

x Ý [a; b]

f(x)). При отысании наибольшео или наименьшео

значения фунции может оазаться, что внутри промежута [a; b] производная существует во всех точах этоо промежута и ни в одной ео точе не обращается в нуль (т. е. ритичесие точи фунции отсутствуют). Это означает, что в рассматриваемом промежуте фунция возрастает или убывает и, следовательно, достиает наибольшео и наименьшео значений на онцах промежута. П р и м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значения x

3. f(x) = cos2 --2- sin x, 1

x

2

π

0; --2-

1

1

.

5. f(x) = --2- – --4- sin 2x + --3- cos3 x – cos x,

π

π

– --2- ; --2-

.

Инода при отысании наибольшео (наименьшео) значения фунции удобно использовать следующее свойство. Если непрерывную фунцию F(x) на промежуте [a; b] можно представить в виде F(x) = f(g(x)), де g(x) и f(y) — непрерывные фунции на промежутах x Ý [a; b] и y Ý [c; d] соответственно, c = min g(x), d = max g(x), то x Ý [a; b]

max F(x) =

x Ý [a; b]

x Ý [c; d]

max f(y)

x Ý [c; d]

и

min

x Ý [a; b]

F(x) =

min

x Ý [c; d]

f(y).

П р и м е р 2. Найти наибольшее и наименьшее значения фунции

2

1

f(x) = f(4) = 1.

x Ý [0; π].

4. f(x) = --2- cos 2x + sin x,

sin 2x

фунции f(x) = --8- + --x- на промежуте [1; 6]. Р е ш е н и е. Та а f ′(x) = --8- – -----2- , x

min

x Ý [1; 6]

Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции на уазанном промежуте: 1. f(x) = x5 – x3 + x + 2, x Ý [–1; 1]. 2. f(x) = 3x4 + 4x3 + 1, x Ý [–2; 1]. x

Пусть фунция f(x) определена и непрерывна на онечном промежуте [a; b]. Для отысания наибольшео (наименьшео) значения фунции необходимо найти все масимумы (минимумы) фунции на промежуте (a; b), выбрать из них наибольший (наименьший) и сравнить ео со значениями фунции в точах a и b. Наибольшее (наименьшее) из этих чисел и является наибольшим (наименьшим) значением фунции f(x) на промежуте [a; b]; оно обозначается max f(x) (соответственно min

f(6) = 1 -----12 ,

1

x − 0.

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

x Ý [a; b]

1

1

f(1) = 2 --8- ,

f(4) = 1,

Доажите неравенство: 17. x – ----6 < sin x < x

227

F(x) = ----------------------------π sin  --- + x 4 

на промежуте

π

0; --2-

.


228

Г л а в а 9. Производная и ее применения

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

Р е ш е н и е. Используя формулы π 2 sin  --4- + x  = -----2 (sin x + cos x),  

8. f(x) = tg x + ctg x, sin 2x = (sin x + cos x)2 – 1,



y2 – 1

2,

π

0; --2-

π

принадлежит тольо x = --4- .

π π Сравнивая значения g(0), g  --4-  и g  --2-  , залючаем, что об   

ласть изменения фунции g(x) есть промежуто [1; ференцируя, имеем f ′(y) =

 1  2  1 + -----2-  > 0 y  

Перейдем  отысанию наибольшео и наименьшео значений фунций, содержащих зна модуля. П р и м е р 3. Найти наибольшее и наименьшее значения фунции (*) f(x) = | x2 – 5x + 6 | на промежуте [0; 2,4]. Р е ш е н и е. Чтобы расрыть модуль в выражении (*), найдем орни уравнения f(x) = 0. Решив уравнение x2 – 5x + 6 = 0, получаем x = 2, x = 3. Таим образом,

max

f(y) = f( 2 ) = 1,

y Ý [1; 2]

min

Ответ.

max

x Ý [0; π/2]

F(x) = 1,

min

f(x) =

x Ý [0; π/2]

Найдите наибольшее и наименьшее значения фунции: sin 2x π sin  --- + x  4 

6. f(x) = ------------------------------- , 1

π; -----2

.

f ′(x) =

1

x Ý R.

–(2x – 5, –(2x – 5),

x Ý [0; 2), x Ý (2; 2,4].

Если x Ý [0; 2), то f ′(x) < 0 и, следовательно, f(x) убывает, а если x Ý (2; 2,4], то f ′(x) > 0 и, значит, f(x) возрастает; точа x = 2 — ритичесая, та а производная f ′(x) в этой точе не существует. Сравнивая значения фунции на онцах промежута [0; 2,4] с ее значением в ритичесой точе, залючаем, что max

x Ý [0; 2,4]

- – ----------------------- , 7. f(x) = ----------------------cos x – 4 sin x + 4

–(x2 – 5x + 6, x Ý [0; 2], –(x2 – 5x + 6), x Ý (2; 2,4].

Найдем производную фунции f(x):

f(y) = f(1) = 0.

F(x) = 0.

(**)

Из формул (**) видно, что на исследуемом промежуте [0; 2,4] фунция f(x) допусает два представления в зависимости от значений арумента:

g Ý [1; 2]

Эти же значения являются наибольшим и наименьшим и для исходной фунции F(x).

–(x2 – 5x + 6, x Ý (–×; 2) Ÿ (3; +×); – (x2 – 5x + 6), x Ý [2; 3].

f(x) =

2 ]. Следовательно, фунция f(y) возрастает на проме-

жуте [1; 2 ] и достиает наибольшео и наименьшео значения соответственно на правом и левом онце промежута:



2 2 + cos x  f(x) =  ----------------------sin x 

2 ]. Диф-

на всей области определения фунции f(y), в том числе и при y Ý [1;

.

на промежуте [0; π].

g(x) = sin x + cos x.

Будем исать наибольшее и наименьшее значения фунции g(x). Критичесими точами этой фунции являются орни уравнения cos x – sin x = 0, из оторых промежуту

π π --- ; --6 3

9. Найдите наименьшее значение фунции

представим данную фунцию в виде сложной фунции F(x) = f(g(x)), де f(y) = --------------y

229

Ответ.

f(x) = f(0) = 6,

max

x Ý [0; 2,4]

min

x Ý [0; 2,4]

f(x) = f(0) = 6,

f(x) = f(2) = 0.

min

x Ý [0; 2,4]

f(x) = f(2) = 0.


228

Г л а в а 9. Производная и ее применения

§ 48. Наибольшее и наименьшее значения функции

Р е ш е н и е. Используя формулы π 2 sin  --4- + x  = -----2 (sin x + cos x),  

8. f(x) = tg x + ctg x, sin 2x = (sin x + cos x)2 – 1,



y2 – 1

2,

π

0; --2-

π

принадлежит тольо x = --4- .

π π Сравнивая значения g(0), g  --4-  и g  --2-  , залючаем, что об   

ласть изменения фунции g(x) есть промежуто [1; ференцируя, имеем f ′(y) =

 1  2  1 + -----2-  > 0 y  

Перейдем  отысанию наибольшео и наименьшео значений фунций, содержащих зна модуля. П р и м е р 3. Найти наибольшее и наименьшее значения фунции (*) f(x) = | x2 – 5x + 6 | на промежуте [0; 2,4]. Р е ш е н