Issuu on Google+

А. Г. ЦЫПКИН, А. И. ПИНСКИЙ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ С МЕТОДАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ 3-е издание, исправленное

Москва ОНИКС Мир и Образование 2007


УДК 51(075.3) ББК 22.1я72 Ц97

Цыпкин А. Г. Ц97 Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы / А. Г. Цыпкин, А. И. Пинский. — 3-е изд., испр. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. — 640 с.: ил. ISBN 5-488-00721-0 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 5-94666-341-0 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)

Данное справочное пособие включает все основные разделы школьной программы по математике. Книга содержит необходимые теоретические сведения и методы решения задач, иллюстрируемые подробно разобранными примерами. Упражнения для самостоятельного решения включают задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Приводятся ответы, указания или решения ко всем упражнениям. Пособие адресовано учащимся старших классов, абитуриентам и учителям математики. УДК 51(075.3) ББК 22.1я72 ISBN 5-488-00721-0 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 5-94666-341-0 (ООО «Издательство «Мир и Образование») © Арманд Р. П., наследник, 2007 © Оформление переплета. ООО «Издательство Оникс», 2007


От издательства

Настоящее учебное пособие представляет собой третье, переработанное и исправленное издание нии тех же авторов (первые два издания под названием «Справочни по методам решения задач по математие для средней шолы» были выпущены в 1983 и 1989 .). Оно предназначено для учащихся, желающих систематизировать, улубить и расширить свои знания по математие, для тоо чтобы лучше подотовиться  выпусным эзаменам в шоле и вступительным эзаменам в вуз. Цель нии — изложить методы решения задач из урса математии средней шолы, а таже тех задач, оторым в шоле по тем или иным причинам не уделяется должноо внимания. Попытой достинуть этой цели и определяется струтура нии. В начале аждоо парарафа рато изложен теоретичесий материал (определения, основные теоремы и формулы), знание отороо необходимо для решения задач данноо раздела. Это позволяет использовать ниу, не прибеая дополнительно  шольным учебниам. Затем уазывается метод решения задач аоо-либо вида и рассматривается пример, в отором используется этот метод. После этоо приводятся упражнения для самостоятельноо решения (о всем упражнениям в онце нии даны ответы, а  неоторым — уазания или решения). Таая форма изложения, по мнению авторов, наиболее удобна для ативноо усвоения методов решения задач. В ряде случаев при рассмотрении примеров дается, возможно, не самое оротое и изящное решение. Это объясняется прежде всео тем, что при решении примеров авторы в первую очередь стремились дать налядное представление о предложенном методе, а вовсе не о демонстрации нестандартных подходов  решению различных


4

От издательства

задач. Упражнения для самостоятельноо решения в основном взяты из вариантов, предлаавшихся на вступительных эзаменах по математие в вузы с повышенными требованиями  математичесой подотове абитуриентов. В ние таже содержится материал, выходящий за рами ныне действующей прораммы по математие для учащихся средних шол: например, уравнения и неравенства, содержащие обратные трионометричесие фунции (§ 27 и § 29 л. 5); омплесные числа (§§ 31—34 л. 6); непрерывность фунции в точе (§ 44 л. 8); ряд задач на омбинации мнооранниов и фиур вращения (§ 75 л. 13); ряд задач, решаемых с помощью метода оординат и методов веторной алебры (§ 78 и § 80 л. 14). Однао авторы полаают, что изучение этоо материала будет способствовать развитию и повышению математичесой ультуры учащихся, а таже принесет пользу при дальнейшем обучении в вузе. Безусловно, уазанный дополнительный материал будет полезен учащимся шол, лицеев и имназий, изучающих математиу по расширенной прорамме. Для удобства пользования ниой в ней приняты следующие обозначения: рядом с номерами тех упражнений,  оторым даны уазания или решения, ставятся соответственно знаи  и ; те же знаи ставятся и в онце нии перед уазаниями или решениями. При подотове настоящео издания нии ее научное и литературное редатирование, переработу части материала, проверу мноих решений и ответов, устранение замеченных неточностей и опечато выполнил А. М. Суходсий. Издательство будет блаодарно всем, то пришлет свои замечания, советы и пожелания, связанные с этой ниой. Желаем вам успехов!

Глава 1 Преобразование алгебраических выражений При преобразованиях алебраичесих выражений используют формулы соращенноо умножения и правила действий со степенями. Формлы со ращенноо множения (a + b)(a – b) = a2 – b2, (a2

(2)

(a2 – ab + b2)(a + b) = a3 + b3,

(3)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(4)

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2,

(5)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,

(6)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

(7)

– b) =

a3

(1) b3,

+ ab +

b2)(a

Правила действий со степенями Если a > 0, то am · an = am + n, (am)n a0 am n

:

an

=

amn,

= 1, =

(9) (10)

am – n,

a m = am/n,

(8)

n − 0,

1 n a–n =  --a-  .  

(11) (12) (13)

Если a > 0, b > 0, n Ý N, то n

ab =

n

a

n

n a a = -------- . b n b

n ---

b,

(14) (15)


4

От издательства

задач. Упражнения для самостоятельноо решения в основном взяты из вариантов, предлаавшихся на вступительных эзаменах по математие в вузы с повышенными требованиями  математичесой подотове абитуриентов. В ние таже содержится материал, выходящий за рами ныне действующей прораммы по математие для учащихся средних шол: например, уравнения и неравенства, содержащие обратные трионометричесие фунции (§ 27 и § 29 л. 5); омплесные числа (§§ 31—34 л. 6); непрерывность фунции в точе (§ 44 л. 8); ряд задач на омбинации мнооранниов и фиур вращения (§ 75 л. 13); ряд задач, решаемых с помощью метода оординат и методов веторной алебры (§ 78 и § 80 л. 14). Однао авторы полаают, что изучение этоо материала будет способствовать развитию и повышению математичесой ультуры учащихся, а таже принесет пользу при дальнейшем обучении в вузе. Безусловно, уазанный дополнительный материал будет полезен учащимся шол, лицеев и имназий, изучающих математиу по расширенной прорамме. Для удобства пользования ниой в ней приняты следующие обозначения: рядом с номерами тех упражнений,  оторым даны уазания или решения, ставятся соответственно знаи  и ; те же знаи ставятся и в онце нии перед уазаниями или решениями. При подотове настоящео издания нии ее научное и литературное редатирование, переработу части материала, проверу мноих решений и ответов, устранение замеченных неточностей и опечато выполнил А. М. Суходсий. Издательство будет блаодарно всем, то пришлет свои замечания, советы и пожелания, связанные с этой ниой. Желаем вам успехов!

Глава 1 Преобразование алгебраических выражений При преобразованиях алебраичесих выражений используют формулы соращенноо умножения и правила действий со степенями. Формлы со ращенноо множения (a + b)(a – b) = a2 – b2, (a2

(2)

(a2 – ab + b2)(a + b) = a3 + b3,

(3)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(4)

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2,

(5)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,

(6)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

(7)

– b) =

a3

(1) b3,

+ ab +

b2)(a

Правила действий со степенями Если a > 0, то am · an = am + n, (am)n a0 am n

:

an

=

amn,

= 1, =

(9) (10)

am – n,

a m = am/n,

(8)

n − 0,

1 n a–n =  --a-  .  

(11) (12) (13)

Если a > 0, b > 0, n Ý N, то n

ab =

n

a

n

n a a = -------- . b n b

n ---

b,

(14) (15)


6

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений Если a < 0, b < 0, n = 2k, k Ý N, то n

ab =

n

a

b ,

n

(16)

n a a = ----------- . b n b

n ---

ab =

n

a

n a a = -------- , b n b

b,

(18)

b − 0.

(19)

n

a 2m =

n

am.

(20)

Под упрощением иррациональноо выражения понимают приведение ео  виду, содержащему меньшее число алебраичесих операций над входящими в исходное выражение переменными. Для упрощения иррациональноо выражения часто разлаают исходное выражение на множители, а затем выносят общий множитель за соби. П р и м е р 1. Упростить выражение a a+b b 2 b ab --------------------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b ( a + b)(a – b) a+ b

a a + b b = a3/2 + b3/2 = (a 1/2 )

3

=

+

x–y x–y ---------------------- – ---------------------x + y 2 xy x– y 1. ---------------------------------------------------- · -------------y–x . x+ y x– y ---------------------- + ---------------------x–y x–y

 a+ b  3. a  ----------------------   2b a 

–1

 a+ b  + b  ----------------------   2a b 

  (ab)–1/2.  

–1

.

 x 1/2 + y 1/2 x 1/2 – y 1/2  –1/2 - – ----------------------------  (y – x–1/2). 4.  ---------------------------1/2 1/2 x 1/2 + y 1/2   x –y 2

5. ( (

4

a –

4

b)

–2

+ (

4

a +

4

b)

–2

 a+ b  -  . ) :  -------------------- a–b 

2

( a 1/m – a 1/n ) + 4a ( m + n )/mn

3

+ (b 1/2 ) .

( a 2/m

a 2/n ) ( m

am + 1 + n an + 1 )

1 ----------------- + a – 1 a–1 a–1 - : --------------------------------------------------------------------------------- . 7. -----------------------------------------1 1 (a – 1) a + 1 – (a + 1) a – 1 ------------------ – ----------------a–1 a+1 ( a + b ) 2 – 4b

a + 9b + 6 ab 1 1 ------- + ------b a

8. --------------------------------------------------------- : --------------------------------------- .

Используя формулу (3), получаем +

Ответ. 1.

6. ------------------------------------------------------------------------------------------ .

Р е ш е н и е. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе первой дроби данноо выражения. Для этоо представим числитель в виде

(a1/2

a – ab + b + 2 ab – 2b – ab a–b ------------------------------------------------------------------------------------- = ------------- = 1. a–b a–b

–1   a– b  1 --------------------------2.  --------------------------------------–  a 3/2 – b 3/2  –2 (a 1/2 + b 1/2 )   

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

3 (b 1/2 )

(*)

Упростите выражение:

Если n Ý N, m Ý N, то

3 (a 1/2 )

a – ab + b 2 b ab ------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b a–b a+ b

Приведя выражение (*)  общему знаменателю, имеем

n ---

2n

7

Множитель a1/2 + b1/2 = a + b ��вляется общим для числителя и знаменателя дроби. После ее соращения данное выражение примет вид

(17)

Если n = 2k + 1, k Ý N, то n

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

b1/2)

(a –

a1/2b1/2

+ b).

 1 1 ( a – b ) :  --- + 3 ---  a  b


6

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений Если a < 0, b < 0, n = 2k, k Ý N, то n

ab =

n

a

b ,

n

(16)

n a a = ----------- . b n b

n ---

ab =

n

a

n a a = -------- , b n b

b,

(18)

b − 0.

(19)

n

a 2m =

n

am.

(20)

Под упрощением иррациональноо выражения понимают приведение ео  виду, содержащему меньшее число алебраичесих операций над входящими в исходное выражение переменными. Для упрощения иррациональноо выражения часто разлаают исходное выражение на множители, а затем выносят общий множитель за соби. П р и м е р 1. Упростить выражение a a+b b 2 b ab --------------------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b ( a + b)(a – b) a+ b

a a + b b = a3/2 + b3/2 = (a 1/2 )

3

=

+

x–y x–y ---------------------- – ---------------------x + y 2 xy x– y 1. ---------------------------------------------------- · -------------y–x . x+ y x– y ---------------------- + ---------------------x–y x–y

 a+ b  3. a  ----------------------   2b a 

–1

 a+ b  + b  ----------------------   2a b 

  (ab)–1/2.  

–1

.

 x 1/2 + y 1/2 x 1/2 – y 1/2  –1/2 - – ----------------------------  (y – x–1/2). 4.  ---------------------------1/2 1/2 x 1/2 + y 1/2   x –y 2

5. ( (

4

a –

4

b)

–2

+ (

4

a +

4

b)

–2

 a+ b  -  . ) :  -------------------- a–b 

2

( a 1/m – a 1/n ) + 4a ( m + n )/mn

3

+ (b 1/2 ) .

( a 2/m

a 2/n ) ( m

am + 1 + n an + 1 )

1 ----------------- + a – 1 a–1 a–1 - : --------------------------------------------------------------------------------- . 7. -----------------------------------------1 1 (a – 1) a + 1 – (a + 1) a – 1 ------------------ – ----------------a–1 a+1 ( a + b ) 2 – 4b

a + 9b + 6 ab 1 1 ------- + ------b a

8. --------------------------------------------------------- : --------------------------------------- .

Используя формулу (3), получаем +

Ответ. 1.

6. ------------------------------------------------------------------------------------------ .

Р е ш е н и е. Выделим общий множитель в числителе и знаменателе первой дроби данноо выражения. Для этоо представим числитель в виде

(a1/2

a – ab + b + 2 ab – 2b – ab a–b ------------------------------------------------------------------------------------- = ------------- = 1. a–b a–b

–1   a– b  1 --------------------------2.  --------------------------------------–  a 3/2 – b 3/2  –2 (a 1/2 + b 1/2 )   

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

3 (b 1/2 )

(*)

Упростите выражение:

Если n Ý N, m Ý N, то

3 (a 1/2 )

a – ab + b 2 b ab ------------------------------- + ---------------------- – ------------- . a–b a–b a+ b

Приведя выражение (*)  общему знаменателю, имеем

n ---

2n

7

Множитель a1/2 + b1/2 = a + b является общим для числителя и знаменателя дроби. После ее соращения данное выражение примет вид

(17)

Если n = 2k + 1, k Ý N, то n

§ 1. Упрощение иррациональных выражений

b1/2)

(a –

a1/2b1/2

+ b).

 1 1 ( a – b ) :  --- + 3 ---  a  b


8

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

приведением радиалов  общему поазателю представим второй сомножитель в виде

2

 1 1 2 1 + ---  --- – t  4 t  9. ---------------------------------------------------------------------------------------- .

Дальнейшее упрощение выполним по схеме предыдущео примера:

Инода выражения, содержащие произведение радиалов с различными поазателями степени, удается упростить, приведя все радиалы  одному поазателю. П р и м е р 2. Упростить выражение x( 7 + 4 3 ) ·

2 x – 3x = =

4

4

x( 7 + 4 3 ) ·

2

=

10.

4

11.

6

=

2 x – 3x = 4

4

x 2 ( 49 – 48 ) =

x2 ( 7 + 4 3 )( 7 – 4 3 ) = 4

x2 =

x

(при переходе  последнему выражению зна модуля можно опустить, та а исходное выражение определено тольо при x l 0). Ответ.

6

( 3x – 2 x ) 2 =

6x ( 5 + 2 6 ) ·

3 2x – 2 3x .

4x ( 11 + 4 6 ) ·

3

x.

2 3x – 4 2x .

( 2p + 1 ) 3 + ( 2p – 1 ) 3

12. ------------------------------------------------------------------ . 4p + 2 4p 2 – 1

3

x + 2 – x2 ⋅ 6 1 – x 2 – x2

13. --------------------------------------------------------------------------------- . 3

3

x( 7 + 4 3 ) ·

3x – 2 x = – 6 x ( 7 + 4 3 ) · = – 6 x 2 ( 49 – 48 ) = – 3 x .

7x – 4 3x .

Тода исходное выражение преобразуется следующим образом: 4

3

Упростите выражение:

2 x – 3x та:

( 2 x – 3x )

4x – 4 3x + 3x =

6

Ответ. – 3 x .

2 x – 3x .

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал 4

3x – 2 x = – 3 2 x – 3x = – 6 ( 2 x – 3x ) 2 .

3

2

  1 1 1 1 1 + ---  --- – t  – ---  --- – t  2 4 t t   

4

9

1 – x2

26 – 15 3 ( 2 – 3 ) 7–4 3

14. -------------------------------------------------------- . 1 15.  --2

3

20 + 14 2 ·

6–4 2 +

  a–1 1 3 ( a + 3 ) a – 3a – 1  :  --------------------------- + 1  .   2( a + 1) 

+ --22b – 2 b 2 – 4

При преобразовании радиалов необходимо учитывать, что по определению орень четной степени есть величина неотрицательная, в то время а орень нечетной степени может быть а неотрицательной, та и отрицательной величиной. П р и м е р 3. Упростить выражение 6

x(7 + 4 3) ·

3

3x – 2 x .

Р е ш е н и е. Та а 3x – 2 x m 0 (в чем можно убедиться, сравнив вадраты уменьшаемоо и вычитаемоо), то перед

16. --------------------------------------------- . b2 – 4 – (b + 2 )

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля Преобразование выражений, в оторых наряду с арифметичесими операциями присутствует зна модуля (абсолютной величины) от неоторой фунции, обычно производят отдельно на аждом промежуте знаопостоянства этой фунции.


8

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

приведением радиалов  общему поазателю представим второй сомножитель в виде

2

 1 1 2 1 + ---  --- – t  4 t  9. ---------------------------------------------------------------------------------------- .

Дальнейшее упрощение выполним по схеме предыдущео примера:

Инода выражения, содержащие произведение радиалов с различными поазателями степени, удается упростить, приведя все радиалы  одному поазателю. П р и м е р 2. Упростить выражение x( 7 + 4 3 ) ·

2 x – 3x = =

4

4

x( 7 + 4 3 ) ·

2

=

10.

4

11.

6

=

2 x – 3x = 4

4

x 2 ( 49 – 48 ) =

x2 ( 7 + 4 3 )( 7 – 4 3 ) = 4

x2 =

x

(при переходе  последнему выражению зна модуля можно опустить, та а исходное выражение определено тольо при x l 0). Ответ.

6

( 3x – 2 x ) 2 =

6x ( 5 + 2 6 ) ·

3 2x – 2 3x .

4x ( 11 + 4 6 ) ·

3

x.

2 3x – 4 2x .

( 2p + 1 ) 3 + ( 2p – 1 ) 3

12. ------------------------------------------------------------------ . 4p + 2 4p 2 – 1

3

x + 2 – x2 ⋅ 6 1 – x 2 – x2

13. --------------------------------------------------------------------------------- . 3

3

x( 7 + 4 3 ) ·

3x – 2 x = – 6 x ( 7 + 4 3 ) · = – 6 x 2 ( 49 – 48 ) = – 3 x .

7x – 4 3x .

Тода исходное выражение преобразуется следующим образом: 4

3

Упростите выражение:

2 x – 3x та:

( 2 x – 3x )

4x – 4 3x + 3x =

6

Ответ. – 3 x .

2 x – 3x .

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал 4

3x – 2 x = – 3 2 x – 3x = – 6 ( 2 x – 3x ) 2 .

3

2

  1 1 1 1 1 + ---  --- – t  – ---  --- – t  2 4 t t   

4

9

1 – x2

26 – 15 3 ( 2 – 3 ) 7–4 3

14. -------------------------------------------------------- . 1 15.  --2

3

20 + 14 2 ·

6–4 2 +

  a–1 1 3 ( a + 3 ) a – 3a – 1  :  --------------------------- + 1  .   2( a + 1) 

+ --22b – 2 b 2 – 4

При преобразовании радиалов необходимо учитывать, что по определению орень четной степени есть величина неотрицательная, в то время а орень нечетной степени может быть а неотрицательной, та и отрицательной величиной. П р и м е р 3. Упростить выражение 6

x(7 + 4 3) ·

3

3x – 2 x .

Р е ш е н и е. Та а 3x – 2 x m 0 (в чем можно убедиться, сравнив вадраты уменьшаемоо и вычитаемоо), то перед

16. --------------------------------------------- . b2 – 4 – (b + 2 )

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля Преобразование выражений, в оторых наряду с арифметичесими операциями присутствует зна модуля (абсолютной величины) от неоторой фунции, обычно производят отдельно на аждом промежуте знаопостоянства этой фунции.


10

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений П р и м е р 1. Упростить выражение

y 5 + y 4 3 2 + 3 4y 9 y –1 –1

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал, записанный в знаменателе: x 2 – 2x + 1 ------------------------------- = x

(x – 1)2 x–1 --------------------- = ---------------- . x x

(*)

x x – 3 + x2 – 9 -. 3. ------------------------------------------2x 3 – 3x 2 – 9x

25 2 y + 5 – y + -----y -. 4. -------------------------------------------3y 2 + 10y – 25

4x + 4 + x – 1 x 2x – x – 1

z–1 ⋅ z z –z+1– z

-. 5. ----------------------------------------2 4

6. -------------------------------------. 2

3

a 2 – 2ab + b 2

2a

- + ------------- при 0 < a < b. 8. ---------------------------------------a+b a 2 + 2ab + b 2

(**)

1 2 x ( 1 – x )  --- + x – ---  x x   x x2 – 1 ------------------------------------------------------------ = ------- (1 + x2 – 2) = ---------------- . 1–x x x

При x Ý (1; +×) по определению модуля имеем |x – 1| = x – 1, а выражение (**) примет вид 1 2 x ( x – 1 )  --- + x + ---  x x x2 + 3 ------------------------------------------------------------ = ----------------- . x–1 x

2

 1+ 1–x 1– 1+x  x2 – 1 - + 1. 9.  --------------------------------------- + ---------------------------------------  · --------------2 1+x– 1+x   1–x+ 1–x 10.

2 (2a +

a 2 – b 2 ) a – a 2 – b 2 при a > 0, b > 0.

Упрощение выражений, содержащих полный вадрат под зна ом ради ала. Для тоо чтобы убедиться, что под знаом радиала находится полный вадрат неотороо выражения, инода удобно сделать замену, рационализирующую это выражение. П р и м е р 2. Упростить выражение x + 2 2x – 4 –

x – 2 2x – 4 .

Р е ш е н и е. Сделаем замену t =

(*) t2 + 4

2x – 4 . Тода x = --------------2 ,

а выражение (*) примет вид t 2 + 4t + 4 ----------------------------- – 2 x2 – 1 x

Ответ. При x Ý (0; 1) исходное выражение равно ---------------- , x2 + 3 x

2. -------------------------------------. 2

x – 5x + 7x – 3

Та а фунция, заданная выражением (**), определена при x > 0, x − 1, то она имеет два промежута знаопостоянства: (0; 1) и (1; +×). Упростим выражение (**) на аждом из уазанных промежутов. При x Ý (0; 1) по определению модуля имеем |x – 1| = 1 – x, а выражение (**) примет вид

а при x Ý (1; +×) оно равно ----------------- .

xx–3 (x – x – 6) x

1. ---------------------------------------------------. 3

x –x –x+1 - |x – 3|. 7. ----------------------------------------------3 2

Подставив выражение (*) в исходную дробь, получим  x–1 2  ---------------- + x x – 1 + 2 – ---  x x  x --------------------------------------------------------------------------------- . x–1

11

Упростите выражение и найдите область допустимых значений неизвестноо, если она не уазана:

2 x–1 ---------------- + x x – 1 + 2 – --x x ------------------------------------------------------------------ . 1 x – 2 + --x

1 x – 2 + --x- =

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

t 2 – 4t + 4 ----------------------------- = 2 t+2

( t + 2 )2 -------------------- – 2 t–2

- – --------------- . = --------------2 2

( t – 2)2 -------------------- = 2

(**)

Дальнейшее упрощение проводим по схеме, рассмотренной в примере 1. Разобьем все множество допустимых значений t


10

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений П р и м е р 1. Упростить выражение

y 5 + y 4 3 2 + 3 4y 9 y –1 –1

Р е ш е н и е. Преобразуем радиал, записанный в знаменателе: x 2 – 2x + 1 ------------------------------- = x

(x – 1)2 x–1 --------------------- = ---------------- . x x

(*)

x x – 3 + x2 – 9 -. 3. ------------------------------------------2x 3 – 3x 2 – 9x

25 2 y + 5 – y + -----y -. 4. -------------------------------------------3y 2 + 10y – 25

4x + 4 + x – 1 x 2x – x – 1

z–1 ⋅ z z –z+1– z

-. 5. ----------------------------------------2 4

6. -------------------------------------. 2

3

a 2 – 2ab + b 2

2a

- + ------------- при 0 < a < b. 8. ---------------------------------------a+b a 2 + 2ab + b 2

(**)

1 2 x ( 1 – x )  --- + x – ---  x x   x x2 – 1 ------------------------------------------------------------ = ------- (1 + x2 – 2) = ---------------- . 1–x x x

При x Ý (1; +×) по определению модуля имеем |x – 1| = x – 1, а выражение (**) примет вид 1 2 x ( x – 1 )  --- + x + ---  x x x2 + 3 ------------------------------------------------------------ = ----------------- . x–1 x

2

 1+ 1–x 1– 1+x  x2 – 1 - + 1. 9.  --------------------------------------- + ---------------------------------------  · --------------2 1+x– 1+x   1–x+ 1–x 10.

2 (2a +

a 2 – b 2 ) a – a 2 – b 2 при a > 0, b > 0.

Упрощение выражений, содержащих полный вадрат под зна ом ради ала. Для тоо чтобы убедиться, что под знаом радиала находится полный вадрат неотороо выражения, инода удобно сделать замену, рационализирующую это выражение. П р и м е р 2. Упростить выражение x + 2 2x – 4 –

x – 2 2x – 4 .

Р е ш е н и е. Сделаем замену t =

(*) t2 + 4

2x – 4 . Тода x = --------------2 ,

а выражение (*) примет вид t 2 + 4t + 4 ----------------------------- – 2 x2 – 1 x

Ответ. При x Ý (0; 1) исходное выражение равно ---------------- , x2 + 3 x

2. -------------------------------------. 2

x – 5x + 7x – 3

Та а фунция, заданная выражением (**), определена при x > 0, x − 1, то она имеет два промежута знаопостоянства: (0; 1) и (1; +×). Упростим выражение (**) на аждом из уазанных промежутов. При x Ý (0; 1) по определению модуля имеем |x – 1| = 1 – x, а выражение (**) примет вид

а при x Ý (1; +×) оно равно ----------------- .

xx–3 (x – x – 6) x

1. ---------------------------------------------------. 3

x –x –x+1 - |x – 3|. 7. ----------------------------------------------3 2

Подставив выражение (*) в исходную дробь, получим  x–1 2  ---------------- + x x – 1 + 2 – ---  x x  x --------------------------------------------------------------------------------- . x–1

11

Упростите выражение и найдите область допустимых значений неизвестноо, если она не уазана:

2 x–1 ---------------- + x x – 1 + 2 – --x x ------------------------------------------------------------------ . 1 x – 2 + --x

1 x – 2 + --x- =

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

t 2 – 4t + 4 ----------------------------- = 2 t+2

( t + 2 )2 -------------------- – 2 t–2

- – --------------- . = --------------2 2

( t – 2)2 -------------------- = 2

(**)

Дальнейшее упрощение проводим по схеме, рассмотренной в примере 1. Разобьем все множество допустимых значений t


12

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

выражения (**) на три промежута: (–×; –2]; (–2; 2]; (2; +×). В аждом из них для выражения (**) получаем: –t–2+t–2 ------------------------------------- = –2, 2

t Ý (–2; 2];

t+2–t+2 -------------------------------- = 2, 2

t Ý (2; +×).

Чтобы возвратиться  исходной переменной x, необходимо решить неравенства –2 <

2x – 4 m 2,

2x – 4 > 2.

Их решениями являются соответственно следующие множества значений: ¾, 2 m x m 4, x > 4. Ита, оончательно имеем x + 2 2x – 4 –

16.

x 2 – 12x + 36 –

x – 2 2x – 4 =

2x – 4 , 2,

2 m x m 4, x > 4.

x2 .

Вычисление значения иррациональноо выражения с ео предварительным прощением. В неоторых случаях для тоо чтобы вычислить алебраичесое выражение при онретных значениях входящих в нео переменных, целесообразно ео предварительно упростить. П р и м е р 3. Вычислить значение выражения x–2 2 x+2 2 ------------------------------------------- – -------------------------------------------x 2 – 4x 2 + 8 x 2 + 4x 2 + 8

Упростите выражение: x–1 -------------- + x+1

x+1 -------------- – 2 · (2x + x–1

 x 0,5 + 3  x–9 - : -----------------------  12.  ----------------------------------0,5 1,5  x + 3x + 9 x – 27 

x 2 – 1 ).

0,5

2x – 4 ,

при

x = 3.

Р е ш е н и е. Упростим исходное выражение: x–2 2 x+2 2 ( x – 2 2 ) 1/2 ( x + 2 2 ) 1/2 --------------------------------- – ---------------------------------- = ---------------------------------- – ----------------------------------- . 2 2 x–2 2 x+2 2 (x – 2 2) (x + 2 2)

(*)

Значение x = 3 принадлежит промежуту (2 2 ; +×) знаопостоянства фунций, находящихся под знаом модуля. На этом промежуте имеем |x – 2 2 | = x – 2 2

Ответ. При x Ý [2; 4] данное выражение равно а при x Ý (4; +×) оно равно 2.

11.

13

17. (x + 2 2x – 4 )–1/2 + (x – 2 2x – 4 )–1/2. t Ý (–×; –2];

t+2+t–2 -------------------------------- = t, 2

2x – 4 m –2,

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

и

|x + 2 2 | = x + 2 2

и, следовательно, выражение (*) примет вид 1 1 ( x + 2 2 ) 1/2 – ( x – 2 2 ) 1/2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . (**) 1/2 – 1/2 = ( x 2 – 8 ) 1/2 (x – 2 2) (x + 2 2)

Подставив x = 3 в выражение (**), получим (3 + 2 2)

1/2

– (3 – 2 2)

1/2

=

– x0,5. = (3 + 2 2)

2

 x2 – 1  1 +  ----------------   2x  13. ----------------------------------------- . 1 ( x 2 + 1 ) · --x

1/2

 3–2 2  1 –  ----------------------   3+2 2 

1/2

.

3–2 2 3+2 2

(***)

Умножим числитель и знаменатель дроби ---------------------- на 3 + 2 2 :

14.

x+6 x–2+7 +

15.

x+2 x–1 –

x–6 x+2+7.

x–2 x–1.

3–2 2 3+2 2 9–8 1 ---------------------- · ---------------------- = -----------------------------2- = -----------------------------2- . 3+2 2 3+2 2 (3 + 2 2 ) (3 + 2 2 )


12

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

выражения (**) на три промежута: (–×; –2]; (–2; 2]; (2; +×). В аждом из них для выражения (**) получаем: –t–2+t–2 ------------------------------------- = –2, 2

t Ý (–2; 2];

t+2–t+2 -------------------------------- = 2, 2

t Ý (2; +×).

Чтобы возвратиться  исходной переменной x, необходимо решить неравенства –2 <

2x – 4 m 2,

2x – 4 > 2.

Их решениями являются соответственно следующие множества значений: ¾, 2 m x m 4, x > 4. Ита, оончательно имеем x + 2 2x – 4 –

16.

x 2 – 12x + 36 –

x – 2 2x – 4 =

2x – 4 , 2,

2 m x m 4, x > 4.

x2 .

Вычисление значения иррациональноо выражения с ео предварительным прощением. В неоторых случаях для тоо чтобы вычислить алебраичесое выражение при онретных значениях входящих в нео переменных, целесообразно ео предварительно упростить. П р и м е р 3. Вычислить значение выражения x–2 2 x+2 2 ------------------------------------------- – -------------------------------------------x 2 – 4x 2 + 8 x 2 + 4x 2 + 8

Упростите выражение: x–1 -------------- + x+1

x+1 -------------- – 2 · (2x + x–1

 x 0,5 + 3  x–9 - : -----------------------  12.  ----------------------------------0,5 1,5  x + 3x + 9 x – 27 

x 2 – 1 ).

0,5

2x – 4 ,

при

x = 3.

Р е ш е н и е. Упростим исходное выражение: x–2 2 x+2 2 ( x – 2 2 ) 1/2 ( x + 2 2 ) 1/2 --------------------------------- – ---------------------------------- = ---------------------------------- – ----------------------------------- . 2 2 x–2 2 x+2 2 (x – 2 2) (x + 2 2)

(*)

Значение x = 3 принадлежит промежуту (2 2 ; +×) знаопостоянства фунций, находящихся под знаом модуля. На этом промежуте имеем |x – 2 2 | = x – 2 2

Ответ. При x Ý [2; 4] данное выражение равно а при x Ý (4; +×) оно равно 2.

11.

13

17. (x + 2 2x – 4 )–1/2 + (x – 2 2x – 4 )–1/2. t Ý (–×; –2];

t+2+t–2 -------------------------------- = t, 2

2x – 4 m –2,

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

и

|x + 2 2 | = x + 2 2

и, следовательно, выражение (*) примет вид 1 1 ( x + 2 2 ) 1/2 – ( x – 2 2 ) 1/2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . (**) 1/2 – 1/2 = ( x 2 – 8 ) 1/2 (x – 2 2) (x + 2 2)

Подставив x = 3 в выражение (**), получим (3 + 2 2)

1/2

– (3 – 2 2)

1/2

=

– x0,5. = (3 + 2 2)

2

 x2 – 1  1 +  ----------------   2x  13. ----------------------------------------- . 1 ( x 2 + 1 ) · --x

1/2

 3–2 2  1 –  ----------------------   3+2 2 

1/2

.

3–2 2 3+2 2

(***)

Умножим числитель и знаменатель дроби ---------------------- на 3 + 2 2 :

14.

x+6 x–2+7 +

15.

x+2 x–1 –

x–6 x+2+7.

x–2 x–1.

3–2 2 3+2 2 9–8 1 ---------------------- · ---------------------- = -----------------------------2- = -----------------------------2- . 3+2 2 3+2 2 (3 + 2 2 ) (3 + 2 2 )


14

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Теперь с учетом равенства (1 + 2) чение выражения (***): (3 + 2 2)

1/2

2

= 3 + 2 2 вычислим зна-

1/2   1 (3 + 2 2 )  1 – ----------------------  = ---------------------------------- (2 + 2 2 ) = 3+2 2  3+2 2  1/2

(3 + 2 2) (1 + 2) 3+2 2

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

Числовое иррациональное выражение удается упростить, если под знаом вадратноо радиала находится полный вадрат неотороо выражения. Например, для выражения вида a 2 ä 2b упрощение достиается с помощью представления a2 ä 2 b =

(1 + 2)(1 + 2) (1 + 2)

= 2 · ---------------------------------------------------------- = 2 · ---------------------------------------------= 2. 2

x+ 3

x– 3

1+z 1–z 19. ---------------------------- – --------------------------- , 1+ 1+z 1– 1–z

 20.  

1 a 2 – b 2 1/p + x1/q), 21. --2- -----------------2 2 (x a +b

A2

+B A –B

-, 22. x3 – 3x – 2 ----------------2 x3 y

4

xy 3

x + y = 3, xy = 2.

a3 + 1 a –1

a+b  x =  -----------a–b 

2pq/ ( q – p )

П р и м е р 4. Вычислить . 30 – 12 6 -------------------------------- · (5 + 2 6 ). 2 3+3 2

A+ B A– B + 3 ------------------- . A– B A+ B

3 -------------------

 – 1 + xy  -  23.  ------------------------------------- + --------------------4 xy y– x   4

т. е. формулой (1), а система (2) при этом имела вид

-. x = ---------------3

,

x=

Р е ш е н и е. Система (2) для выражения, находящеося в числителе дроби, записывается в виде

–2

ç

 y y  ç  1 + 2 --x- + --x-     ( x 2 + a 2 ) 1/2 + ( x 2 – a 2 ) 1/2  24.  ----------------------------------------------------------------------2 2 1/2 2 2 1/2    (x + a ) – (x – a )

(2)

2

1/2

(1)

3 + 2 2 = (1 + 2) ,

3 z = -----2 .

 1+x x–1 -------------- – 2  + 3 1 x–1 +x

3 --------------

y |,

Та, в примере 3 мы воспользовались тем, что

x = 2.

x– x– 3

y)2 = | x ä

x + y = a2, xy = b2.

Вычислите значение выражения при уазанном значении неизвестноо: x+ x+ 3

( x ä

де x и y находятся а решение системы уравнений

Ответ. 2.

18. ------------------------------------- + ------------------------------------ ,

15

–2

,

x + y = 30, xy = 216

1/2

,

x = 9,

 m2 + n2  x = a  --------------------2mn   

y = 0,04.

и имеет решения (12; 18), (18, 12). Следовательно, соласно формуле (1), получаем

1/2

,

де a > 0, m > 0, n > 0, m > n. Упрощение числовых иррациональных выражений. В примере 3 после подстанови значения x = 3 решение свелось  упрощению числовоо иррациональноо выражения. Рассмотрим неоторые приемы, упрощающие решение задач подобноо типа.

30 – 12 6 =

18 – 12 = 3 2 – 2 3 .

3 2–2 3 Умножив числитель и знаменатель дроби -----------------------------2 3+3 2

3 2 – 2 3 , имеем ( 3 2 – 2 3 )2 30 – 12 6 ------------------------------------- = ---------------------------- = 5 – 2 6 . 6 18 – 12

на


14

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Теперь с учетом равенства (1 + 2) чение выражения (***): (3 + 2 2)

1/2

2

= 3 + 2 2 вычислим зна-

1/2   1 (3 + 2 2 )  1 – ----------------------  = ---------------------------------- (2 + 2 2 ) = 3+2 2  3+2 2  1/2

(3 + 2 2) (1 + 2) 3+2 2

§ 2. Преобразование выражений, содержащих знак модуля

Числовое иррациональное выражение удается упростит��, если под знаом вадратноо радиала находится полный вадрат неотороо выражения. Например, для выражения вида a 2 ä 2b упрощение достиается с помощью представления a2 ä 2 b =

(1 + 2)(1 + 2) (1 + 2)

= 2 · ---------------------------------------------------------- = 2 · ---------------------------------------------= 2. 2

x+ 3

x– 3

1+z 1–z 19. ---------------------------- – --------------------------- , 1+ 1+z 1– 1–z

 20.  

1 a 2 – b 2 1/p + x1/q), 21. --2- -----------------2 2 (x a +b

A2

+B A –B

-, 22. x3 – 3x – 2 ----------------2 x3 y

4

xy 3

x + y = 3, xy = 2.

a3 + 1 a –1

a+b  x =  -----------a–b 

2pq/ ( q – p )

П р и м е р 4. Вычислить . 30 – 12 6 -------------------------------- · (5 + 2 6 ). 2 3+3 2

A+ B A– B + 3 ------------------- . A– B A+ B

3 -------------------

 – 1 + xy  -  23.  ------------------------------------- + --------------------4 xy y– x   4

т. е. формулой (1), а система (2) при этом имела вид

-. x = ---------------3

,

x=

Р е ш е н и е. Система (2) для выражения, находящеося в числителе дроби, записывается в виде

–2

ç

 y y  ç  1 + 2 --x- + --x-     ( x 2 + a 2 ) 1/2 + ( x 2 – a 2 ) 1/2  24.  ----------------------------------------------------------------------2 2 1/2 2 2 1/2    (x + a ) – (x – a )

(2)

2

1/2

(1)

3 + 2 2 = (1 + 2) ,

3 z = -----2 .

 1+x x–1 -------------- – 2  + 3 1 x–1 +x

3 --------------

y |,

Та, в примере 3 мы воспользовались тем, что

x = 2.

x– x– 3

y)2 = | x ä

x + y = a2, xy = b2.

Вычислите значение выражения при уазанном значении неизвестноо: x+ x+ 3

( x ä

де x и y находятся а решение системы уравнений

Ответ. 2.

18. ------------------------------------- + ------------------------------------ ,

15

–2

,

x + y = 30, xy = 216

1/2

,

x = 9,

 m2 + n2  x = a  --------------------2mn   

y = 0,04.

и имеет решения (12; 18), (18, 12). Следовательно, соласно формуле (1), получаем

1/2

,

де a > 0, m > 0, n > 0, m > n. Упрощение числовых иррациональных выражений. В примере 3 после подстанови значения x = 3 решение свелось  упрощению числовоо иррациональноо выражения. Рассмотрим неоторые приемы, упрощающие решение задач подобноо типа.

30 – 12 6 =

18 – 12 = 3 2 – 2 3 .

3 2–2 3 Умножив числитель и знаменатель дроби -----------------------------2 3+3 2

3 2 – 2 3 , имеем ( 3 2 – 2 3 )2 30 – 12 6 ------------------------------------- = ---------------------------- = 5 – 2 6 . 6 18 – 12

на


16

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 3. Доказательство тождеств

17

13. (a2 – b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2. 14. (a + b + c + d)2 + (a + b – c – d)2 + (a + c – b – d)2 + + (a + d – b – c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2).

Перемножив 5 – 2 6 и 5 + 2 6 , оончательно находим (5 – 2 6 )(5 + 2 6 ) = 25 – 24 = 1.

1

1 1 - = 1. 15. -----------------------: -------------1- – -------------------------------------1 b ( abc + a + c ) a + ------------a + ---

Ответ. 1.

1 b + --c

Вычислите значение выражения: 8 + 2 12 – 2

3 4+ 5

8 – 2 12 + 2

27.

6+2 5 –

29.

6m + 2 9m 2 – n 2 –

8+2 5

26. ------------------ · -------------------------- .

25. -------------------------------------------- .

a+3

2a 3 – a ( 1 – 5a ) – 1 8a – 12a + 6a – 1

2a + 1 ( 2a – 1 )

a2 ( c – b) b2 ( a – c) c2 ( b – a ) ------------------------ + ------------------------ + -----------------------bc ac ab 17. --------------------------------------------------------------------------------------a ( c – b ) b ( a – c ) c ( b – a ) = a + b + c. --------------------- + --------------------- + --------------------ab ac bc

2a + 2 a 2 – b 2 – a – b

2a – 2 a 2 – b 2 + a – b

6m – 2 9m 2 – n 2 .

a–x a+x -------------- – -------------a+x a–x a 18. -------------------------------------------- = --x- . a–x a+x -------------- + -------------a+x a–x

§ 3. Доказательство тождеств

x 0,5 + 1 x+x +1

1

- : -------------------19. ------------------------------= x – 1. 0,5 1,5

Непосредственная провер а. П р и м е р 1. Доазать, что (a + b + c)(bc + ca + ab) – abc = (b + c)(c + a)(a + b).

a2 – 5 4a – 4a + 1

---------------------------------- – ------------------------------------------------------ = ------------------------2- . 16. ---------------2 3 2 2a – 1 –

8–2 5

28. ---------------------------------------------------------------------- .

6–2 5.

b

(*)

Р е ш е н и е. Расроем соби в левой части выражения (*) и приведем подобные члены. Имеем abc + b2c + bc2 + a2c + abc + c2a + a2b + ab2 + abc – abc = = 2abc + b2c + bc2 + a2c + c2a + a2b + b2a. Расрытие собо в правой части выражения (*) приводит  таому же выражению. Действительно, abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2 + abc = = 2abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2. Исходное тождество доазано, та а если аждое из двух выражений равно третьему, то эти выражения равны между собой. Доажите тождество: 1. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2. 2. (a2 + b2 + c2 + d2) (x2 + y2 + z2 + t2) = = (ax – by – cz – dt)2 + (bx + ay – dz + ct)2 + + (cx + dy + az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2.

10.

x

a2 – 4

- + a + --------------a

–1

2

2a + 4

a –4 - = ---------------------- . a – --------------a 4

a

Использование словия равенства двх мноочленов. Если в левой и правой частях тождества находятся неоторые алебраичесие выражения, оторые можно рассматривать а два мноочлена одной и той же степени, то для доазательства таоо тождества можно использовать следующее свойство мноочленов. Два мно очлена n-й степени одной переменной x равны (тождественно равны), если значения этих мно очленов совпадают при x = x1, x = x2, ..., x = xn, x = xn + 1, де все x1, x2, ..., xn, xn + 1 — произвольные, не равные между собой числа. П р и м е р 2. Доазать тождество b2 ( x – c ) ( x – a ) c2 ( x – a ) ( x – b ) a2 ( x – b ) ( x – c ) ------------------------------------------- + ------------------------------------------- + ------------------------------------------- = x2. (a – b)(a – c) (b – c)(b – a) ( c – a) (c – b )

Р е ш е н и е. Сравнивая значения левой и правой частей при x = a, x = b, x = c, можно убедиться, что при этих значениях переменной мноочлены совпадают. Та а левая и правая части представляют собой мноочлены второй степени относи-


16

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 3. Доказательство тождеств

17

13. (a2 – b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2. 14. (a + b + c + d)2 + (a + b – c – d)2 + (a + c – b – d)2 + + (a + d – b – c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2).

Перемножив 5 – 2 6 и 5 + 2 6 , оончательно находим (5 – 2 6 )(5 + 2 6 ) = 25 – 24 = 1.

1

1 1 - = 1. 15. -----------------------: -------------1- – -------------------------------------1 b ( abc + a + c ) a + ------------a + ---

Ответ. 1.

1 b + --c

Вычислите значение выражения: 8 + 2 12 – 2

3 4+ 5

8 – 2 12 + 2

27.

6+2 5 –

29.

6m + 2 9m 2 – n 2 –

8+2 5

26. ------------------ · -------------------------- .

25. -------------------------------------------- .

a+3

2a 3 – a ( 1 – 5a ) – 1 8a – 12a + 6a – 1

2a + 1 ( 2a – 1 )

a2 ( c – b) b2 ( a – c) c2 ( b – a ) ------------------------ + ------------------------ + -----------------------bc ac ab 17. --------------------------------------------------------------------------------------a ( c – b ) b ( a – c ) c ( b – a ) = a + b + c. --------------------- + --------------------- + --------------------ab ac bc

2a + 2 a 2 – b 2 – a – b

2a – 2 a 2 – b 2 + a – b

6m – 2 9m 2 – n 2 .

a–x a+x -------------- – -------------a+x a–x a 18. -------------------------------------------- = --x- . a–x a+x -------------- + -------------a+x a–x

§ 3. Доказательство тождеств

x 0,5 + 1 x+x +1

1

- : -------------------19. ------------------------------= x – 1. 0,5 1,5

Непосредственная провер а. П р и м е р 1. Доазать, что (a + b + c)(bc + ca + ab) – abc = (b + c)(c + a)(a + b).

a2 – 5 4a – 4a + 1

---------------------------------- – ------------------------------------------------------ = ------------------------2- . 16. ---------------2 3 2 2a – 1 –

8–2 5

28. ---------------------------------------------------------------------- .

6–2 5.

b

(*)

Р е ш е н и е. Расроем соби в левой части выражения (*) и приведем подобные члены. Имеем abc + b2c + bc2 + a2c + abc + c2a + a2b + ab2 + abc – abc = = 2abc + b2c + bc2 + a2c + c2a + a2b + b2a. Расрытие собо в правой части выражения (*) приводит  таому же выражению. Действительно, abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2 + abc = = 2abc + c2a + a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2. Исходное тождество доазано, та а если аждое из двух выражений равно третьему, то эти выражения равны между собой. Доажите тождество: 1. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2. 2. (a2 + b2 + c2 + d2) (x2 + y2 + z2 + t2) = = (ax – by – cz – dt)2 + (bx + ay – dz + ct)2 + + (cx + dy + az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2.

10.

x

a2 – 4

- + a + --------------a

–1

2

2a + 4

a –4 - = ---------------------- . a – --------------a 4

a

Использование словия равенства двх мноочленов. Если в левой и правой частях тождества находятся неоторые алебраичесие выражения, оторые можно рассматривать а два мноочлена одной и той же степени, то для доазательства таоо тождества можно использовать следующее свойство мноочленов. Два мно очлена n-й степени одной переменной x равны (тождественно равны), если значения этих мно очленов совпадают при x = x1, x = x2, ..., x = xn, x = xn + 1, де все x1, x2, ..., xn, xn + 1 — произвольные, не равные между собой числа. П р и м е р 2. Доазать тождество b2 ( x – c ) ( x – a ) c2 ( x – a ) ( x – b ) a2 ( x – b ) ( x – c ) ------------------------------------------- + ------------------------------------------- + ------------------------------------------- = x2. (a – b)(a – c) (b – c)(b – a) ( c – a) (c – b )

Р е ш е н и е. Сравнивая значения левой и правой частей при x = a, x = b, x = c, можно убедиться, что при этих значениях переменной мноочлены совпадают. Та а левая и правая части представляют собой мноочлены второй степени относи-


18

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

тельно x, оторые совпадают более чем при двух значениях переменной, то эти мноочлены тождественно равны.

§ 4. Условные тождества

Тода, уединив один из радиалов и возведя в уб обе части полученноо уравнения, имеем

Доажите тождество:

(x –

a b -----------------------------------------------------11. (-----------------------------------------------------x – a) (a – b ) (a – c) + (x – b )(b – a) (b – c) +

x3 – 3x2

------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------(x – c )(c – a) (c – b ) = (x – b )( x – a) (x – c ) .

3

a+b+c

-------------------------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------------------------( d – c)( a – c) (b – c) (x – c) + (a – d )( b – d) (c – d )(x – d ) = x–a–b–c–d

a–b

c–a

b–c

(a – b)(b – c)(c – a)

------------------------------------------------------------------------------14. -----------a + b + b + c + c + a + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0. a–b

c–a

b–c

--------------------------------------------------------------------15. ----------------------------------(a – b)(a – c) + (b – c)(b – a) + (c – a)(c – b) = 2

2

2

-----------------------= -----------a–b + b–c + c–a. a 2 – bc b 2 – ac c 2 – ab  16. ------------------------------------- + ------------------------------------ + ------------------------------------ = 0. (a + b )(a + c) (b + c )( b + a) (c + a )( c + b)

К доазательству алебраичесих тождеств близо примыают и задачи, связанные с проверой неоторых числовых равенств. Обычно эту проверу осуществляют теми же методами, что и доазательство тождеств (сюда же влючаются методы упрощения алебраичесих выражений, см. § 1). Однао существуют и специальные методы провери числовых равенств. П р и м е р 3. Доазать, что 3

9 + 80 +

3

9 – 80 = 3.

Р е ш е н и е. Положим x=

3

9 + 80 +

3

80 , 80 = 9 –

80 ,

9 + 80 + 3x 3 ( 9 + 80 ) 2 = 18,

3

3

9 + 80 ) = 18.

(**)

9 + 80 в силу соотношения (*) равно

9 – 80 , и, следовательно, уравнение (**) приводится  виду x3 – 3x 3 81 – 80 = 18

= -------------------------------------------------------------------------(x – a)(x – b)(x – c)(x – d) . 

9 + 80 )3 = 9 –

9 + 80 + 3x( 3 9 + 80 )2 – 9 –

Выражение x –

c+d+a b+c+d ------------------------------------------------------------------------13. ------------------------------------------------------------------------(b – a ) (c – a)( d – a) (x – a) + (c – b )(d – b )( a – b ) (x – b) +

3

x3 – 3x 3 9 + 80 (x –

(x – a)(x – b) (x – c )( x – a) (x – b )(x – c) ------------------------------------------------------------------------12. ----------------------------------( a – b ) ( a – c ) + ( b – c ) ( b – a ) + ( c – a ) ( c – b ) = 1.

d+a+b

3

x3 – 3x2

x

c

19

_

x3 – 3x – 18 = 0.

(***)

Очевидно, что x = 3 9 + 80 + 3 9 – 80 является орнем уравнения (***). Кроме тоо, непосредственной подстановой лео убедиться в том, что x = 3 таже является орнем уравнения (***). Друих действительных орней это уравнение не имеет, та а убичесий мноочлен (***) можно записать в виде x3 – 3x – 18 = (x – 3) (x2 + 3x + 6), а дисриминант вадратноо трехчлена x2 + 3x + 6 отрицателен. Ита, исходное равенство следует из существования единственноо действительноо орня уравнения (*).

§ 4. Условные тождества Тождества, справедливость оторых требуется установить лишь при выполнении неоторых условий относительно входящих в исходное тождество переменных, называют словными тождествами. П р и м е р 1. Доазать, что если a + b + c = 0, то a3 + b3 + c3 = 3abc.

3

9 – 80 .

(*)

Р е ш е н и е. Из условия a + b + c = 0 получаем c3 = –(a + b)3.


18

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

тельно x, оторые совпадают более чем при двух значениях переменной, то эти мноочлены тождественно равны.

§ 4. Условные тождества

Тода, уединив один из радиалов и возведя в уб обе части полученноо уравнения, имеем

Доажите тождество:

(x –

a b -----------------------------------------------------11. (-----------------------------------------------------x – a) (a – b ) (a – c) + (x – b )(b – a) (b – c) +

x3 – 3x2

------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------(x – c )(c – a) (c – b ) = (x – b )( x – a) (x – c ) .

3

a+b+c

-------------------------------------------------------------------------+ ----------------------------------------------------------------------( d – c)( a – c) (b – c) (x – c) + (a – d )( b – d) (c – d )(x – d ) = x–a–b–c–d

a–b

c–a

b–c

(a – b)(b – c)(c – a)

------------------------------------------------------------------------------14. -----------a + b + b + c + c + a + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0. a–b

c–a

b–c

--------------------------------------------------------------------15. ----------------------------------(a – b)(a – c) + (b – c)(b – a) + (c – a)(c – b) = 2

2

2

-----------------------= -----------a–b + b–c + c–a. a 2 – bc b 2 – ac c 2 – ab  16. ------------------------------------- + ------------------------------------ + ------------------------------------ = 0. (a + b )(a + c) (b + c )( b + a) (c + a )( c + b)

К доазательству алебраичесих тождеств близо примыают и задачи, связанные с проверой неоторых числовых равенств. Обычно эту проверу осуществляют теми же методами, что и доазательство тождеств (сюда же влючаются методы упрощения алебраичесих выражений, см. § 1). Однао существуют и специальные методы провери числовых равенств. П р и м е р 3. Доазать, что 3

9 + 80 +

3

9 – 80 = 3.

Р е ш е н и е. Положим x=

3

9 + 80 +

3

80 , 80 = 9 –

80 ,

9 + 80 + 3x 3 ( 9 + 80 ) 2 = 18,

3

3

9 + 80 ) = 18.

(**)

9 + 80 в силу соотношения (*) равно

9 – 80 , и, следовательно, уравнение (**) приводится  виду x3 – 3x 3 81 – 80 = 18

= -------------------------------------------------------------------------(x – a)(x – b)(x – c)(x – d) . 

9 + 80 )3 = 9 –

9 + 80 + 3x( 3 9 + 80 )2 – 9 –

Выражение x –

c+d+a b+c+d ------------------------------------------------------------------------13. ------------------------------------------------------------------------(b – a ) (c – a)( d – a) (x – a) + (c – b )(d – b )( a – b ) (x – b) +

3

x3 – 3x 3 9 + 80 (x –

(x – a)(x – b) (x – c )( x – a) (x – b )(x – c) ------------------------------------------------------------------------12. ----------------------------------( a – b ) ( a – c ) + ( b – c ) ( b – a ) + ( c – a ) ( c – b ) = 1.

d+a+b

3

x3 – 3x2

x

c

19

_

x3 – 3x – 18 = 0.

(***)

Очевидно, что x = 3 9 + 80 + 3 9 – 80 является орнем уравнения (***). Кроме тоо, непосредственной подстановой лео убедиться в том, что x = 3 таже является орнем уравнения (***). Друих действительных орней это уравнение не имеет, та а убичесий мноочлен (***) можно записать в виде x3 – 3x – 18 = (x – 3) (x2 + 3x + 6), а дисриминант вадратноо трехчлена x2 + 3x + 6 отрицателен. Ита, исходное равенство следует из существования единственноо действительноо орня уравнения (*).

§ 4. Условные тождества Тождества, справедливость оторых требуется установить лишь при выполнении неоторых условий относительно входящих в исходное тождество переменных, называют словными тождествами. П р и м е р 1. Доазать, что если a + b + c = 0, то a3 + b3 + c3 = 3abc.

3

9 – 80 .

(*)

Р е ш е н и е. Из условия a + b + c = 0 получаем c3 = –(a + b)3.


20

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 4. Условные тождества

Используя тождество (a +

b)3

=

a3

+

b3



+ 3ab(a + b),

x1

αx1 + βx2 = 0, αy1 + βy2 = 0

c3 = –a3 – b3 – 3ab(a + b)

a3 + b3 + c3 = 3abc,

следует, что α2 + β2 = 0. 8. Доажите, что если x − y, y − z, z − x и

что и требовалось доазать.

z y x ------------ + ------------- + ------------- = 0, x–y z–x y–z

1. Доажите, что если a + b + c = 0, то

то x y z -------------------2- + --------------------2- + --------------------2- = 0. (y – z) (z – x) (x – y)

a3 + b3 + c3 a2 + b2 + c2 a5 + b5 + c5 -------------------------------- = -------------------------------- · -------------------------------- . 5 3 2 

2. Поажите, что из равенства

9. Доажите, что если 2

2

2

a 1 + a 2 + ... + a n = p2,

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac 2

следует равенство a = b = c.

2

2

b 1 + b2 + ... + bn = q2,

3. Доажите, что если a1/3 + b1/3 + c1/3 = 0, то (a + b +

c)3

= 27abc.

p − 0,

q − 0,

a1b1 + a2b2 + ... + anbn = pq, то p

a1 = λb1, a2 = λb2, ..., an = λbn, де λ = --q- .

4. Доажите, что если z y x --- + --- + --- = 1 c b a

и

c b a --- + --- + --- = 0, z y x

a

y2

a2 + b2 a ------------------ = --- . c b2 + c2

z2

-----2- + -----2- + -----2 = 1. a b c

11. Доажите, что если

5. Доажите, что если x2 + 3 x4y2 +

y 2 + 3 x 2 y 4 = a,

bz – cy cx – az ay – bx --------------------- = -------------------- = ------------------- , a b c

то x y z --- = --- = --- . a b c

то x2/3 + y2/3 = a2/3. 6. Доажите, что если a + b + c = 0, то: а) (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4); б) 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2); в) 5(a3 + b3 + c3) (a2 + b2 + c2) = 6(a5 + b5 + c5).

b

10. Доажите, что если --b- = --c- , то

то x2

y1

- − ------ , то из системы уравнений 7. Доажите, что если ----x2 y2

имеем или, заменяя a + b на –c,

21

12. Доажите, что если a–b

x = -----------a+b,

то

b–c

y = -----------b+c,

c–a

z = -----------c+a,

(1 + x) (1 + y) (1 + z) = (1 – x) (1 – y) (1 – z).


20

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

§ 4. Условные тождества

Используя тождество (a +

b)3

=

a3

+

b3



+ 3ab(a + b),

x1

αx1 + βx2 = 0, αy1 + βy2 = 0

c3 = –a3 – b3 – 3ab(a + b)

a3 + b3 + c3 = 3abc,

следует, что α2 + β2 = 0. 8. Доажите, что если x − y, y − z, z − x и

что и требовалось доазать.

z y x ------------ + ------------- + ------------- = 0, x–y z–x y–z

1. Доажите, что если a + b + c = 0, то

то x y z -------------------2- + --------------------2- + --------------------2- = 0. (y – z) (z – x) (x – y)

a3 + b3 + c3 a2 + b2 + c2 a5 + b5 + c5 -------------------------------- = -------------------------------- · -------------------------------- . 5 3 2 

2. Поажите, что из равенства

9. Доажите, что если 2

2

2

a 1 + a 2 + ... + a n = p2,

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac 2

следует равенство a = b = c.

2

2

b 1 + b2 + ... + bn = q2,

3. Доажите, что если a1/3 + b1/3 + c1/3 = 0, то (a + b +

c)3

= 27abc.

p − 0,

q − 0,

a1b1 + a2b2 + ... + anbn = pq, то p

a1 = λb1, a2 = λb2, ..., an = λbn, де λ = --q- .

4. Доажите, что если z y x --- + --- + --- = 1 c b a

и

c b a --- + --- + --- = 0, z y x

a

y2

a2 + b2 a ------------------ = --- . c b2 + c2

z2

-----2- + -----2- + -----2 = 1. a b c

11. Доажите, что если

5. Доажите, что если x2 + 3 x4y2 +

y 2 + 3 x 2 y 4 = a,

bz – cy cx – az ay – bx --------------------- = -------------------- = ------------------- , a b c

то x y z --- = --- = --- . a b c

то x2/3 + y2/3 = a2/3. 6. Доажите, что если a + b + c = 0, то: а) (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4); б) 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2); в) 5(a3 + b3 + c3) (a2 + b2 + c2) = 6(a5 + b5 + c5).

b

10. Доажите, что если --b- = --c- , то

то x2

y1

- − ------ , то из системы уравнений 7. Доажите, что если ----x2 y2

имеем или, заменяя a + b на –c,

21

12. Доажите, что если a–b

x = -----------a+b,

то

b–c

y = -----------b+c,

c–a

z = -----------c+a,

(1 + x) (1 + y) (1 + z) = (1 – x) (1 – y) (1 – z).


22

Đ&#x201C; Đť Đ° в Đ° 1. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио аНгойŃ&#x20AC;аиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

§ 5. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио НОгаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

23

§ 5. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио НОгаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

Đ&#x;ĐžĐ´Ń Ń&#x201A;авив ĐżŃ&#x20AC;авŃ&#x2039;Đľ Ń&#x2021;Đ°Ń Ń&#x201A;и вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК (*)â&#x20AC;&#x201D;(***) в Đ¸Ń Ń&#x2026;ОднŃ&#x192;Ń&#x17D; Đ´Ń&#x20AC;ОйŃ&#x152;, наŃ&#x2026;ОдиП 2

log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 --------------------------------------------------------------------- = log a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 . a log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1

Đ&#x;Ń&#x192;Ń Ń&#x201A;Ń&#x152; a â&#x20AC;&#x201D; пОНОМиŃ&#x201A;оНŃ&#x152;нОо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž, ĐžŃ&#x201A;НиŃ&#x2021;нОо ĐžŃ&#x201A; одиниŃ&#x2020;Ń&#x2039;, Đ° M â&#x20AC;&#x201D; ĐťŃ&#x17D;йОо пОНОМиŃ&#x201A;оНŃ&#x152;нОо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž. Đ&#x203A;ОаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПОП Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ° M пО ĐžŃ Đ˝ĐžĐ˛Đ°Đ˝Đ¸Ń&#x17D; a наСŃ&#x2039;ваŃ&#x17D;Ń&#x201A; Ń&#x201A;Đ°Оо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž, ОйОСнаŃ&#x2021;аоПОо loga M, Ń&#x2021;Ń&#x201A;Đž a

log a M

Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 .

= M.

Đ&#x; Ń&#x20AC; и Đź Đľ Ń&#x20AC; 2. Đ&#x2019;Ń&#x2039;Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ¸Ń&#x201A;Ń&#x152; 81 1/log5 3 + 27 log9 36 + 3 4/log 7 9 .

Đ&#x17E;Ń Đ˝ĐžĐ˛Đ˝Ń&#x2039;Đľ Ń Đ˛ĐžĐšŃ Ń&#x201A;ва НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;ПОв

Đ  Đľ Ń&#x2C6; Đľ Đ˝ и Đľ. Đ&#x2DC;Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń? Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;ĐťŃ&#x192; (5), иПооП

Đ&#x;Ń&#x192;Ń Ń&#x201A;Ń&#x152; a > 0, a â&#x2C6;&#x2019; 1, b > 0, c > 0, Ń&#x201A;Ода Ń ĐżŃ&#x20AC;аводНивŃ&#x2039; Ń ĐťĐľĐ´Ń&#x192;Ń&#x17D;Ń&#x2030;ио Ń&#x20AC;Đ°Đ˛ĐľĐ˝Ń Ń&#x201A;ва: loga (bc) = loga b + loga c,

(1)

b

loga --c- = loga b â&#x20AC;&#x201C; loga c,

(2)

q = --p- loga b,

(3)

log a p

bq

log c b

1

Đ&#x201D;аНоо, Đ¸Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń? Ń Đ˛ĐžĐšŃ Ń&#x201A;ва Ń Ń&#x201A;опоноК, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;иП 81 log 3 5 = ( 3 4 ) log 3 5 = ( 3 log 3 5 ) 4 . Đ?Đž пО ОпŃ&#x20AC;одоНониŃ&#x17D; НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;Па 3 log3 5 = 5. ТаиП ОйŃ&#x20AC;аСОП,

loga b = --------------log c a , c â&#x2C6;&#x2019; 1, --------------- , loga b = log ba

81 1/log5 3 = 81 log3 5 .

(4)

b â&#x2C6;&#x2019; 1.

81 1/log5 3 = 54 = 625. Đ?наНОиŃ&#x2021;нО, 3 4/log 7 9 = 3 4 log 9 7 = ( 3 2 ) 2 log9 7 = ( 9 log 9 7 ) 2 = 72 = 49, 27 log9 36 = 27 log 3 6 = 3 3log 3 6 = ( 3 log3 6 ) 3 = 216.

(5)

Đ&#x;Ń&#x20AC;и Ń&#x201A;ĐžĐśĐ´ĐľŃ Ń&#x201A;воннŃ&#x2039;Ń&#x2026; ĐżŃ&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОваниŃ?Ń&#x2026; НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ иŃ&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК Đ¸Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń&#x17D;Ń&#x201A; Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;ĐťŃ&#x2039; (1)â&#x20AC;&#x201D;(5) и ОпŃ&#x20AC;одоНонио НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;Па.

ĐĄНадŃ&#x2039;ваŃ? наКдоннŃ&#x2039;Đľ Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ°, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;аоП ĐžŃ&#x201A;воŃ&#x201A;. Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. 890. ĐŁĐżŃ&#x20AC;ĐžŃ Ń&#x201A;иŃ&#x201A;Đľ вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМонио: 81 1/log 5 9 + 3

2

log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log 1/a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ----------------------------------------------------------------------------- . log a 2 ( a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ) log 3 6 a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1

3. ( 2

Đ  Đľ Ń&#x2C6; Đľ Đ˝ и Đľ. ĐĄĐžĐťĐ°Ń Đ˝Đž Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;Но (3), иПооП (*)

= loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ,

(**)

log a 2 (a2 â&#x20AC;&#x201C; 1) = log ( a 2 ) 1/2 (a2 â&#x20AC;&#x201C; 1)1/2 = loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 .

(***)

6 a

= (â&#x20AC;&#x201C;loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 )

a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 = log

(3 a)

3

2



2

log 3

2

( 6 a2 â&#x20AC;&#x201C; 1)

6

3

2. a 1 + 2/logb a b â&#x20AC;&#x201C; 2a log a b + 1 b logb a + 1 + ab 1 + 2/loga b .

a

(log1/a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 )

3/log

2/log 25 7 (( 7) â&#x20AC;&#x201C; 125 log25 6 ) . 1. -----------------------------------------------------409

Đ&#x; Ń&#x20AC; и Đź Đľ Ń&#x20AC; 1. ĐŁĐżŃ&#x20AC;ĐžŃ Ń&#x201A;иŃ&#x201A;Ń&#x152; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМонио

= (loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ) , 3

log 4 a 2

â&#x20AC;&#x201C; 3 log 27 ( a

2

+ 1 )3

â&#x20AC;&#x201C; 2a ) : ( 7 4 log49 a â&#x20AC;&#x201C; a â&#x20AC;&#x201C; 1 ) .

4. log3 2 log4 3 log5 4 log6 5 log7 6 log8 7. 1

2

5. log2 2x2 + x logx ( log2 x + 1 ) log2 x + --2- log 4 x 2 + 2 â&#x20AC;&#x201C;3 log1/2 log2 x .  1--- logb a 2  log a b + log a  b 2  log ab b log a b   -. - ¡ ------------------------------------6. --------------------------------------------------------------log a b â&#x20AC;&#x201C; log ab b b 2 log b log a b â&#x20AC;&#x201C; 1


22

Đ&#x201C; Đť Đ° в Đ° 1. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио аНгойŃ&#x20AC;аиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

§ 5. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио НОгаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

23

§ 5. Đ&#x;Ń&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОванио НОгаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ ĐşĐ¸Ń&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК

Đ&#x;ĐžĐ´Ń Ń&#x201A;авив ĐżŃ&#x20AC;авŃ&#x2039;Đľ Ń&#x2021;Đ°Ń Ń&#x201A;и вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК (*)â&#x20AC;&#x201D;(***) в Đ¸Ń Ń&#x2026;ОднŃ&#x192;Ń&#x17D; Đ´Ń&#x20AC;ОйŃ&#x152;, наŃ&#x2026;ОдиП 2

log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 --------------------------------------------------------------------- = log a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 . a log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1

Đ&#x;Ń&#x192;Ń Ń&#x201A;Ń&#x152; a â&#x20AC;&#x201D; пОНОМиŃ&#x201A;оНŃ&#x152;нОо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž, ĐžŃ&#x201A;НиŃ&#x2021;нОо ĐžŃ&#x201A; одиниŃ&#x2020;Ń&#x2039;, Đ° M â&#x20AC;&#x201D; ĐťŃ&#x17D;йОо пОНОМиŃ&#x201A;оНŃ&#x152;нОо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž. Đ&#x203A;ОаŃ&#x20AC;иŃ&#x201E;ПОП Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ° M пО ĐžŃ Đ˝ĐžĐ˛Đ°Đ˝Đ¸Ń&#x17D; a наСŃ&#x2039;ваŃ&#x17D;Ń&#x201A; Ń&#x201A;Đ°Оо Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐž, ОйОСнаŃ&#x2021;аоПОо loga M, Ń&#x2021;Ń&#x201A;Đž a

log a M

Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 .

= M.

Đ&#x; Ń&#x20AC; и Đź Đľ Ń&#x20AC; 2. Đ&#x2019;Ń&#x2039;Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ¸Ń&#x201A;Ń&#x152; 81 1/log5 3 + 27 log9 36 + 3 4/log 7 9 .

Đ&#x17E;Ń Đ˝ĐžĐ˛Đ˝Ń&#x2039;Đľ Ń Đ˛ĐžĐšŃ Ń&#x201A;ва НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;ПОв

Đ  Đľ Ń&#x2C6; Đľ Đ˝ и Đľ. Đ&#x2DC;Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń? Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;ĐťŃ&#x192; (5), иПооП

Đ&#x;Ń&#x192;Ń Ń&#x201A;Ń&#x152; a > 0, a â&#x2C6;&#x2019; 1, b > 0, c > 0, Ń&#x201A;Ода Ń ĐżŃ&#x20AC;аводНивŃ&#x2039; Ń ĐťĐľĐ´Ń&#x192;Ń&#x17D;Ń&#x2030;ио Ń&#x20AC;Đ°Đ˛ĐľĐ˝Ń Ń&#x201A;ва: loga (bc) = loga b + loga c,

(1)

b

loga --c- = loga b â&#x20AC;&#x201C; loga c,

(2)

q = --p- loga b,

(3)

log a p

bq

log c b

1

Đ&#x201D;аНоо, Đ¸Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń? Ń Đ˛ĐžĐšŃ Ń&#x201A;ва Ń Ń&#x201A;опоноК, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;иП 81 log 3 5 = ( 3 4 ) log 3 5 = ( 3 log 3 5 ) 4 . Đ?Đž пО ОпŃ&#x20AC;одоНониŃ&#x17D; НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;Па 3 log3 5 = 5. ТаиП ОйŃ&#x20AC;аСОП,

loga b = --------------log c a , c â&#x2C6;&#x2019; 1, --------------- , loga b = log ba

81 1/log5 3 = 81 log3 5 .

(4)

b â&#x2C6;&#x2019; 1.

81 1/log5 3 = 54 = 625. Đ?наНОиŃ&#x2021;нО, 3 4/log 7 9 = 3 4 log 9 7 = ( 3 2 ) 2 log9 7 = ( 9 log 9 7 ) 2 = 72 = 49, 27 log9 36 = 27 log 3 6 = 3 3log 3 6 = ( 3 log3 6 ) 3 = 216.

(5)

Đ&#x;Ń&#x20AC;и Ń&#x201A;ĐžĐśĐ´ĐľŃ Ń&#x201A;воннŃ&#x2039;Ń&#x2026; ĐżŃ&#x20AC;оОйŃ&#x20AC;аСОваниŃ?Ń&#x2026; НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;ПиŃ&#x2021;ĐľŃ иŃ&#x2026; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМониК Đ¸Ń ĐżĐžĐťŃ&#x152;СŃ&#x192;Ń&#x17D;Ń&#x201A; Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;ĐťŃ&#x2039; (1)â&#x20AC;&#x201D;(5) и ОпŃ&#x20AC;одоНонио НОĐ°Ń&#x20AC;иŃ&#x201E;Па.

ĐĄНадŃ&#x2039;ваŃ? наКдоннŃ&#x2039;Đľ Ń&#x2021;Đ¸Ń ĐťĐ°, пОНŃ&#x192;Ń&#x2021;аоП ĐžŃ&#x201A;воŃ&#x201A;. Đ&#x17E;Ń&#x201A;воŃ&#x201A;. 890. ĐŁĐżŃ&#x20AC;ĐžŃ Ń&#x201A;иŃ&#x201A;Đľ вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМонио: 81 1/log 5 9 + 3

2

log a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 log 1/a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ----------------------------------------------------------------------------- . log a 2 ( a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ) log 3 6 a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1

3. ( 2

Đ  Đľ Ń&#x2C6; Đľ Đ˝ и Đľ. ĐĄĐžĐťĐ°Ń Đ˝Đž Ń&#x201E;ĐžŃ&#x20AC;ĐźŃ&#x192;Но (3), иПооП (*)

= loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ,

(**)

log a 2 (a2 â&#x20AC;&#x201C; 1) = log ( a 2 ) 1/2 (a2 â&#x20AC;&#x201C; 1)1/2 = loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 .

(***)

6 a

= (â&#x20AC;&#x201C;loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 )

a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 = log

(3 a)

3

2



2

log 3

2

( 6 a2 â&#x20AC;&#x201C; 1)

6

3

2. a 1 + 2/logb a b â&#x20AC;&#x201C; 2a log a b + 1 b logb a + 1 + ab 1 + 2/loga b .

a

(log1/a a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 )

3/log

2/log 25 7 (( 7) â&#x20AC;&#x201C; 125 log25 6 ) . 1. -----------------------------------------------------409

Đ&#x; Ń&#x20AC; и Đź Đľ Ń&#x20AC; 1. ĐŁĐżŃ&#x20AC;ĐžŃ Ń&#x201A;иŃ&#x201A;Ń&#x152; вŃ&#x2039;Ń&#x20AC;аМонио

= (loga a 2 â&#x20AC;&#x201C; 1 ) , 3

log 4 a 2

â&#x20AC;&#x201C; 3 log 27 ( a

2

+ 1 )3

â&#x20AC;&#x201C; 2a ) : ( 7 4 log49 a â&#x20AC;&#x201C; a â&#x20AC;&#x201C; 1 ) .

4. log3 2 log4 3 log5 4 log6 5 log7 6 log8 7. 1

2

5. log2 2x2 + x logx ( log2 x + 1 ) log2 x + --2- log 4 x 2 + 2 â&#x20AC;&#x201C;3 log1/2 log2 x .  1--- logb a 2  log a b + log a  b 2  log ab b log a b   -. - ¡ ------------------------------------6. --------------------------------------------------------------log a b â&#x20AC;&#x201C; log ab b b 2 log b log a b â&#x20AC;&#x201C; 1


24

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений 17. 5 log 0,2 0,5 + log

2

4 1 ---------------------- + log ----------------------------0,5 10 + 2 21 . 7+ 3

Связь между лоарифмами составных чисел обычно удается установить, используя лоарифмы их простых сомножителей. П р и м е р 3. Найти log30 8, если известно, что lg 5 = a, lg 3 = b. Р е ш е н и е. Представим log30 8 в виде lg 8

log30 8 = -----------lg 30 .

Разложим числа 30 и 8 на простые множители и воспользуемся свойствами лоарифмов; тода получим 3 lg 2

log30 8 = ------------------------------------------lg 5 + lg 3 + lg 2 .

Учитывая, что 10

lg 2 = lg -----5 = 1 – lg 5,

§ 5. Преобразование логарифмических выражений П р и м е р 4. Доазать, что a+b

3( 1 – a) Ответ. --------------------b+1 .

1

--lg -----------3 = 2 (lg a + lg b),

(*)

если a2 + b2 = 7ab, a > 0, b > 0. Р е ш е н и е. Преобразуем равенство a2 + b2 = 7ab, выделив в ео левой части полный вадрат: a2 + b2 + 2ab = 9ab, т. е.

(a + b)2 = 9ab.

Лоарифмируя последнее равенство по основанию 10 и приводя подобные члены, получаем 2 lg (a + b) – 2 lg 3 = lg a + lg b. Разделив обе части этоо равенства на 2 и используя формулу (2), получаем требуемое соотношение (*). 14. Доажите, что при условии x > 0, y > 0 из равенства x2 + 4y2 = 12xy следует равенство

и используя условие, оончательно находим 3(1 – a) log30 8 = --------------------b+1 .

25

1

lg (x + 2y) – 2 lg 2 = --2- (lg x + lg y). 15. Доажите, что если m2 = a2 – b2, то loga + b m + loga – b m = 2 loga + b m · loga – b m.

18. Вычислите без помощи таблиц log 3 135 log 3 5 ----------------------- – --------------------- . log 15 3 log 405 3

19. Зная, что lg 2 = a, log2 7 = b, найдите lg 56. 10. Зная, что lg 3 = a, lg 2 = b, найдите log5 6. 11. Известно, что log3 7 = a, log7 5 = b, log5 4 = c. Найдите log3 12.

12. Зная, что b = 8 1/ ( 1 – log8 a ) и c = 8 1/ ( 1 – log8 b ) , выразите log8 a через log8 c.  13. Известно, что loga x = α, logb x = β, logc x = γ, logd x = δ; x − 1. Найдите logabcd x. Для доазательства тождественности двух лоарифмичесих выражений при выполнении неоторых условий инода удобно сначала преобразовать данные условия, а затем их пролоарифмировать.

16. Доажите, что если a, b, c — последовательные (положительные) члены еометричесой прорессии, то log a N – log b N log a N ------------------------------------------ = ----------------- . log b N – log c N log c N

17. Доажите, что если ( ac ) log a b = c2, то для любоо положительноо N числа loga N, logb N, logc N являются тремя последовательными членами арифметичесой прорессии. При доазательстве тождеств обычно используют те же приемы, что и при упрощении лоарифмичесих и поазательных выражений. П р и м е р 5. Доазать, что logp logp

p p

... p p = –n

n радиалов

при p > 1.


24

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений 17. 5 log 0,2 0,5 + log

2

4 1 ---------------------- + log ----------------------------0,5 10 + 2 21 . 7+ 3

Связь между лоарифмами составных чисел обычно удается установить, используя лоарифмы их простых сомножителей. П р и м е р 3. Найти log30 8, если известно, что lg 5 = a, lg 3 = b. Р е ш е н и е. Представим log30 8 в виде lg 8

log30 8 = -----------lg 30 .

Разложим числа 30 и 8 на простые множители и воспользуемся свойствами лоарифмов; тода получим 3 lg 2

log30 8 = ------------------------------------------lg 5 + lg 3 + lg 2 .

Учитывая, что 10

lg 2 = lg -----5 = 1 – lg 5,

§ 5. Преобразование логарифмических выражений П р и м е р 4. Доазать, что a+b

3( 1 – a) Ответ. --------------------b+1 .

1

--lg -----------3 = 2 (lg a + lg b),

(*)

если a2 + b2 = 7ab, a > 0, b > 0. Р е ш е н и е. Преобразуем равенство a2 + b2 = 7ab, выделив в ео левой части полный вадрат: a2 + b2 + 2ab = 9ab, т. е.

(a + b)2 = 9ab.

Лоарифмируя последнее равенство по основанию 10 и приводя подобные члены, получаем 2 lg (a + b) – 2 lg 3 = lg a + lg b. Разделив обе части этоо равенства на 2 и используя формулу (2), получаем требуемое соотношение (*). 14. Доажите, что при условии x > 0, y > 0 из равенства x2 + 4y2 = 12xy следует равенство

и используя условие, оончательно находим 3(1 – a) log30 8 = --------------------b+1 .

25

1

lg (x + 2y) – 2 lg 2 = --2- (lg x + lg y). 15. Доажите, что если m2 = a2 – b2, то loga + b m + loga – b m = 2 loga + b m · loga – b m.

18. Вычислите без помощи таблиц log 3 135 log 3 5 ----------------------- – --------------------- . log 15 3 log 405 3

19. Зная, что lg 2 = a, log2 7 = b, найдите lg 56. 10. Зная, что lg 3 = a, lg 2 = b, найдите log5 6. 11. Известно, что log3 7 = a, log7 5 = b, log5 4 = c. Найдите log3 12.

12. Зная, что b = 8 1/ ( 1 – log8 a ) и c = 8 1/ ( 1 – log8 b ) , выразите log8 a через log8 c.  13. Известно, что loga x = α, logb x = β, logc x = γ, logd x = δ; x − 1. Найдите logabcd x. Для доазательства тождественности двух лоарифмичесих выражений при выполнении неоторых условий инода удобно сначала преобразовать данные условия, а затем их пролоарифмировать.

16. Доажите, что если a, b, c — последовательные (положительные) члены еометричесой прорессии, то log a N – log b N log a N ------------------------------------------ = ----------------- . log b N – log c N log c N

17. Доажите, что если ( ac ) log a b = c2, то для любоо положительноо N числа loga N, logb N, logc N являются тремя последовательными членами арифметичесой прорессии. При доазательстве тождеств обычно используют те же приемы, что и при упрощении лоарифмичесих и поазательных выражений. П р и м е р 5. Доазать, что logp logp

p p

... p p = –n

n радиалов

при p > 1.


26

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Р е ш е н и е. Преобразуем иррациональное выражение, записанное под вторым знаом лоарифма: p p

§ 5. Преобразование логарифмических выражений

Если одинаовы числа, лоарифмы оторых вычисляются, и a > 1, b > 1 или 0 < a < 1 и 0 < b < 1, то при c > 1:

n

... p p = p 1/p .

n радиалов

log p

1 = -----n- , p

1 logp -----n- = –n. p

Таим образом, исходное тождество доазано.  18. Доажите, что для любых допустимых положительных чисел a и N имеет место равенство

= 

 b a log a 4 --a- + log b 4 --b-   

_

b > a.

(9)

1 1 1 log8  1 + --8-  < log7  1 + --8-  < log7  1 + --7-  .      

Таим образом, log8 9 < log7 8.

20. Доажите, что

Не пользуясь таблицами, доажите неравенство: 

log N log N log N

a b c = -------------------------------------------------------. log N

22. log3 75 < log2 22.



23. log3 70 < log2 20.

1 24. log log 2 --2- > 1. 3

abc

21. Доажите тождество

 25. Доажите, что для любоо натуральноо N > 3 справедливо неравенство

log a x log b x loga/b x = -------------------------------------log b x – log a x .

logN (N + 1) < logN – 1 N.

При сравнении двух лоарифмичесих выражений удобно пользоваться эвивалентностью приведенных ниже неравенств. Если основания лоарифмов одинаовы, то при a > 1: _

loga b < loga c,

(6)

_

loga b > loga c.

(7)

при 0 < a < 1: 0<b<c

loga c < logb c

В силу соотношений (8) и (6) справедливы неравенства log a b =

2, 1 < a m b, 2 loga b, 1 < b < a.

0<b<с

(8)

1 log7 8 = log7 (7 + 1) = 1 + log7  1 + --7-  .  

loga N logb N + logb N logc N + logc N loga N =



a > b,

1 log8 9 = log8 (8 + 1) = 1 + log8  1 + --8-  ,  

19. Доажите, что  2  log a 4 ab + log b 4 ab –  

_

П р и м е р 6. Не пользуясь таблицами, определить, что больше: log8 9 или log7 8. Р е ш е н и е. Представим исследуемые лоарифмы в следующем виде:

1 1 1 1 ----------------- + -------------------- + -------------------- + -------------------- = 10 log a. N log a 2 N log a 3 N log a 4 N log a N 

loga c < logb c при 0 < c < 1:

Лоарифмируя дважды это равенство по основанию p, получаем n p 1/p

27


26

Г л а в а 1. Преобразование алгебраических выражений

Р е ш е н и е. Преобразуем иррациональное выражение, записанное под вторым знаом лоарифма: p p

§ 5. Преобразование логарифмических выражений

Если одинаовы числа, лоарифмы оторых вычисляются, и a > 1, b > 1 или 0 < a < 1 и 0 < b < 1, то при c > 1:

n

... p p = p 1/p .

n радиалов

log p

1 = -----n- , p

1 logp -----n- = –n. p

Таим образом, исходное тождество доазано.  18. Доажите, что для любых допустимых положительных чисел a и N имеет место равенство

= 

 b a log a 4 --a- + log b 4 --b-   

_

b > a.

(9)

1 1 1 log8  1 + --8-  < log7  1 + --8-  < log7  1 + --7-  .      

Таим образом, log8 9 < log7 8.

20. Доажите, что

Не пользуясь таблицами, доажите неравенство: 

log N log N log N

a b c = -------------------------------------------------------. log N

22. log3 75 < log2 22.



23. log3 70 < log2 20.

1 24. log log 2 --2- > 1. 3

abc

21. Доажите тождество

 25. Доажите, что для любоо натуральноо N > 3 справедливо неравенство

log a x log b x loga/b x = -------------------------------------log b x – log a x .

logN (N + 1) < logN – 1 N.

При сравнении двух лоарифмичесих выражений удобно пользоваться эвивалентностью приведенных ниже неравенств. Если основания лоарифмов одинаовы, то при a > 1: _

loga b < loga c,

(6)

_

loga b > loga c.

(7)

при 0 < a < 1: 0<b<c

loga c < logb c

В силу соотношений (8) и (6) справедливы неравенства log a b =

2, 1 < a m b, 2 loga b, 1 < b < a.

0<b<с

(8)

1 log7 8 = log7 (7 + 1) = 1 + log7  1 + --7-  .  

loga N logb N + logb N logc N + logc N loga N =



a > b,

1 log8 9 = log8 (8 + 1) = 1 + log8  1 + --8-  ,  

19. Доажите, что  2  log a 4 ab + log b 4 ab –  

_

П р и м е р 6. Не пользуясь таблицами, определить, что больше: log8 9 или log7 8. Р е ш е н и е. Представим исследуемые лоарифмы в следующем виде:

1 1 1 1 ----------------- + -------------------- + -------------------- + -------------------- = 10 log a. N log a 2 N log a 3 N log a 4 N log a N 

loga c < logb c при 0 < c < 1:

Лоарифмируя дважды это равенство по основанию p, получаем n p 1/p

27


§ 6. Нахождение корней многочленов

Глава 2 Уравнения

В алебре рассматривают два вида равенств — тождества и уравнения. Тождество — это равенство, оторое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в нео був. Для записи тождества наряду со знаом = таже используется зна Þ. Уравнение — это равенство, оторое выполняется лишь при неоторых значениях входящих в нео був. Бувы, входящие в уравнение, по условию задачи моут быть неравноправными: одни моут принимать все свои допустимые значения, и их называют оэффициентами (реже параметрами) равнения; друие, значения оторых требуется отысать, называют неизвестными* (их обычно обозначают последними бувами латинсоо алфавита: x, y, z, или теми же бувами, снабженными индесами: x1, x2, ..., xn или y1, y2, ..., yk). В общем виде уравнение с n неизвестными x1, x2, ..., xn можно записать та: F(x1, x2, ..., xn) = 0, де F(x1, x2, ..., xn) — фунция уазанных переменных. В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и более неизвестными. Значения неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями (или орнями) равнения. Уравнение считается решенным, если найдены все ео решения или поазано, что уравнение решений не имеет. Если все решения уравнения F = 0 являются решениями уравнения G = 0, то оворят, что уравнение G = 0 есть следствие уравнения F = 0, и пишут F=0

^

Таим образом, два уравнения считаются эвивалентными, если множества решений этих уравнений совпадают. Уравнение F = 0 считают эвивалентным двум (или несольим) уравнениям F1 = 0, F2 = 0, если множество орней уравнения F = 0 совпадает с объединением множеств орней уравнений F1 = 0, F2 = 0. Приведем примеры эвивалентности неоторых уравнений. 1. Уравнение F + G = G эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. F G

2. Уравнение ---- = 0 эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 3. Уравнение FG = 0 эвивалентно двум уравнениям F = 0 и G = 0, аждое из оторых рассматривается на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 4. Уравнение F

n n

= 0 эвивалентно уравнению F = 0. n

5. Уравнение F = G при нечетном n эвивалентно уравнению F = G, а при четном n эвивалентно двум уравнениям: F = G и F = –G. Алебраичесим равнением с одним неизвестным называют уравнение, сводящееся  уравнению вида a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an = 0, де n — целое неотрицательное число; оэффициенты мноочлена a0, a1, a2, ..., an – 1, an называют оэффициентами (или параметрами) равнения и считают заданными; x называется неизвестным и является исомым. Число n называют степенью уравнения. Значения неизвестноо x, обращающие алебраичесое уравнение в тождество, называют орнями (или решениями) алебраичесоо уравнения.

G = 0.

Два уравнения F = 0 и G = 0 называют эвивалентными, если аждое из них является следствием друоо, и пишут F=0 _

29

G = 0.

* Если специально не о оворено, то считается, что неизвестные принимают действительные значения.

§ 6. Нахождение корней многочленов Мноочленом (полиномом) n-й степени относительно переменной величины x называют выражение вида P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an,


§ 6. Нахождение корней многочленов

Глава 2 Уравнения

В алебре рассматривают два вида равенств — тождества и уравнения. Тождество — это равенство, оторое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в нео був. Для записи тождества наряду со знаом = таже используется зна Þ. Уравнение — это равенство, оторое выполняется лишь при неоторых значениях входящих в нео був. Бувы, входящие в уравнение, по условию задачи моут быть неравноправными: одни моут принимать все свои допустимые значения, и их называют оэффициентами (реже параметрами) равнения; друие, значения оторых требуется отысать, называют неизвестными* (их обычно обозначают последними бувами латинсоо алфавита: x, y, z, или теми же бувами, снабженными индесами: x1, x2, ..., xn или y1, y2, ..., yk). В общем виде уравнение с n неизвестными x1, x2, ..., xn можно записать та: F(x1, x2, ..., xn) = 0, де F(x1, x2, ..., xn) — фунция уазанных переменных. В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и более неизвестными. Значения неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями (или орнями) равнения. Уравнение считается решенным, если найдены все ео решения или поазано, что уравнение решений не имеет. Если все решения уравнения F = 0 являются решениями уравнения G = 0, то оворят, что уравнение G = 0 есть следствие уравнения F = 0, и пишут F=0

^

Таим образом, два уравнения считаются эвивалентными, если множества решений этих уравнений совпадают. Уравнение F = 0 считают эвивалентным двум (или несольим) уравнениям F1 = 0, F2 = 0, если множество орней уравнения F = 0 совпадает с объединением множеств орней уравнений F1 = 0, F2 = 0. Приведем примеры эвивалентности неоторых уравнений. 1. Уравнение F + G = G эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. F G

2. Уравнение ---- = 0 эвивалентно уравнению F = 0, рассматриваемому на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 3. Уравнение FG = 0 эвивалентно двум уравнениям F = 0 и G = 0, аждое из оторых рассматривается на множестве допустимых значений исходноо уравнения. 4. Уравнение F

n n

= 0 эвивалентно уравнению F = 0. n

5. Уравнение F = G при нечетном n эвивалентно уравнению F = G, а при четном n эвивалентно двум уравнениям: F = G и F = –G. Алебраичесим равнением с одним неизвестным называют уравнение, сводящееся  уравнению вида a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an = 0, де n — целое неотрицательное число; оэффициенты мноочлена a0, a1, a2, ..., an – 1, an называют оэффициентами (или параметрами) равнения и считают заданными; x называется неизвестным и является исомым. Число n называют степенью уравнения. Значения неизвестноо x, обращающие алебраичесое уравнение в тождество, называют орнями (или решениями) алебраичесоо уравнения.

G = 0.

Два уравнения F = 0 и G = 0 называют эвивалентными, если аждое из них является следствием друоо, и пишут F=0 _

29

G = 0.

* Если специально не о оворено, то считается, что неизвестные принимают действительные значения.

§ 6. Нахождение корней многочленов Мноочленом (полиномом) n-й степени относительно переменной величины x называют выражение вида P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an – 1x + an,


30

Г л а в а 2. Уравнения

де n — целое неотрицательное число; a0, a1, a2, ..., an – 1, an — оэффициенты мноочлена, причем оэффициент a0, называемый старшим оэффициентом, считается не равным нулю. Мноочлен первой степени называют таже линейным мноочленом, мноочлен второй степени — вадратным, а мноочлен третьей степени — бичесим мноочленом. Число c называют орнем мноочлена, если P(c) = 0. Уравнение вида ax + b = 0,

a − 0,

(1)

называют линейным равнением. Линейное уравнение имеет b

единственный орень x = – --a- . Уравнение вида ax2 + bx + c = 0,

a − 0,

(2)

называют вадратным равнением. Выражение b2 – 4ac = D называют дисриминантом вадратноо уравнения. Если D > 0, то уравнение (2) имеет два действительных орня: –b+ D

-, x1 = ----------------------2a

–b– D

x2 = ----------------------. 2a

(3)

§ 6. Нахождение корней многочленов

31

Решив вадратное уравнение (**), получаем, что исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям (x – 1)

2

=1 и

(x – 1)

2

= 2,

орни оторых x1 = 2, x2 = 0 и x3, 4 = 1 ä ми исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 0, x3, 4 = 1 ä

2 являются орня-

2.

Решите уравнение: 1. (x2 + 2x)2 – (x + 1)2 = 55. 2. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = 0.  3. (x2 – 5x + 7)2 – (x – 2)(x – 3) = 0.  4. (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.  5. (2x2 + 3x – 2)(5 – 6x – 4x2) = –5(2x2 + 3x + 2). 6. x4 – 13x2 + 36 = 0. 7. 2x8 + x4 – 15 = 0. 8. (2x – 1)6 + 3(2x – 1)3 = 10.  9. (1 + x)8 + (1 + x2)4 = 2x4. 10. (x – 2)6 – 19(x – 2)3 = 216. Метод разложения на множители. Один из способов решения уравнения n-й степени (n l 2)

Если D = 0, то уравнение (2) имеет один действительный о-

Pn(x) = 0

b - . Если D < 0, то уравнение (2) дейстрень ратности 2: x = – -----2a

состоит в разложении мноочлена Pn(x) на множители, что позволяет свести решение исходноо уравнения  решению несольих уравнений более низих степеней. Этот способ основан на следующем свойстве орней мноочлена n-й степени: если x = c является орнем мно очлена

вительных орней не имеет. Метод введения вспомоательноо неизвестноо. Решение мноих уравнений залючается в сведении их  уравнениям вида (1) или (2). Одним из таих способов является введение вспомоательноо неизвестноо.

2

– (x – 1)

2

Pn(x) = (x – c) Qn – 1(x),

+ 1 = 0.

2

Р е ш е н и е. Полаая y = (x – 1) , запишем исходное уравнение в виде (y – 1)

2

(4)

то мно очлен (4) можно записать в виде

П р и м е р 1. Решить уравнение (x 2 – 2x)

Pn(x) = a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

– y + 1 = 0.

(*)

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  виду y2 – 3y + 2 = 0. (**)

(5)

де Qn – 1(x) — мно очлен степени n – 1, т. е. мно очлен Pn(x) делится на мно очлен x – c. Разложение мноочлена (4) на множители равносильно нахождению орней этоо мноочлена. Последнее само по себе является трудной задачей, и в общем случае для мноочлена n-й степени с действительными оэффициентами нельзя уазать универсальноо способа нахождения орней. Однао для мноочленов с целыми оэффициентами существует теорема, позволяющая находить их рациональные орни.


30

Г л а в а 2. Уравнения

де n — целое неотрицательное число; a0, a1, a2, ..., an – 1, an — оэффициенты мноочлена, причем оэффициент a0, называемый старшим оэффициентом, считается не равным нулю. Мноочлен первой степени называют таже линейным мноочленом, мноочлен второй степени — вадратным, а мноочлен третьей степени — бичесим мноочленом. Число c называют орнем мноочлена, если P(c) = 0. Уравнение вида ax + b = 0,

a − 0,

(1)

называют линейным равнением. Линейное уравнение имеет b

единственный орень x = – --a- . Уравнение вида ax2 + bx + c = 0,

a − 0,

(2)

называют вадратным равнением. Выражение b2 – 4ac = D называют дисриминантом вадратноо уравнения. Если D > 0, то уравнение (2) имеет два действительных орня: –b+ D

-, x1 = ----------------------2a

–b– D

x2 = ----------------------. 2a

(3)

§ 6. Нахождение корней многочленов

31

Решив вадратное уравнение (**), получаем, что исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям (x – 1)

2

=1 и

(x – 1)

2

= 2,

орни оторых x1 = 2, x2 = 0 и x3, 4 = 1 ä ми исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 0, x3, 4 = 1 ä

2 являются орня-

2.

Решите уравнение: 1. (x2 + 2x)2 – (x + 1)2 = 55. 2. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = 0.  3. (x2 – 5x + 7)2 – (x – 2)(x – 3) = 0.  4. (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.  5. (2x2 + 3x – 2)(5 – 6x – 4x2) = –5(2x2 + 3x + 2). 6. x4 – 13x2 + 36 = 0. 7. 2x8 + x4 – 15 = 0. 8. (2x – 1)6 + 3(2x – 1)3 = 10.  9. (1 + x)8 + (1 + x2)4 = 2x4. 10. (x – 2)6 – 19(x – 2)3 = 216. Метод разложения на множители. Один из способов решения уравнения n-й степени (n l 2)

Если D = 0, то уравнение (2) имеет один действительный о-

Pn(x) = 0

b - . Если D < 0, то уравнение (2) дейстрень ратности 2: x = – -----2a

состоит в разложении мноочлена Pn(x) на множители, что позволяет свести решение исходноо уравнения  решению несольих уравнений более низих степеней. Этот способ основан на следующем свойстве орней мноочлена n-й степени: если x = c является орнем мно очлена

вительных орней не имеет. Метод введения вспомоательноо неизвестноо. Решение мноих уравнений залючается в сведении их  уравнениям вида (1) или (2). Одним из таих способов является введение вспомоательноо неизвестноо.

2

– (x – 1)

2

Pn(x) = (x – c) Qn – 1(x),

+ 1 = 0.

2

Р е ш е н и е. Полаая y = (x – 1) , запишем исходное уравнение в виде (y – 1)

2

(4)

то мно очлен (4) можно записать в виде

П р и м е р 1. Решить уравнение (x 2 – 2x)

Pn(x) = a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

– y + 1 = 0.

(*)

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  виду y2 – 3y + 2 = 0. (**)

(5)

де Qn – 1(x) — мно очлен степени n – 1, т. е. мно очлен Pn(x) делится на мно очлен x – c. Разложение мноочлена (4) на множители равносильно нахождению орней этоо мноочлена. Последнее само по себе является трудной задачей, и в общем случае для мноочлена n-й степени с действительными оэффициентами нельзя уазать универсальноо способа нахождения орней. Однао для мноочленов с целыми оэффициентами существует теорема, позволяющая находить их рациональные орни.


32

Г л а в а 2. Уравнения

§ 6. Нахождение корней многочленов

33

П р и м е р 3. Решить уравнение

Рациональными орнями мно очлена a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0,5625.

де a0, a1, ..., an – 1, an — целые числа, мо ут быть лишь числа

Р е ш е н и е. Перемножив попарно x(x + 3) и (x + 1) (x + 2), имеем (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) = 0,5625.

m вида ---p (m — целое, p — натуральное), при этом число |m| яв-

ляется делителем числа |an|, а число p — делителем числа |a0|. П р и м е р 2. Найти орни уравнения 3x3 – 4x2 + 5x – 18 = 0. Р е ш е н и е. Делителями числа 18 являются числа 1, 2, 3, 6 и 9, а делителями числа 3 — числа 1 и 3. Множество значений m есть {–9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9}, а множество значений p есть {1, 3}. Всевозможные различные значения чисел m

- образуют следующее множество рациональных чисел: вида ---p

 2  1  ä1, ä2, ä3, ä6, ä9, ä --3- , ä --3-  . Подставляя эти числа в уравне  ние, получаем орень уравнения — число 2. Следовательно, мноочлен в левой части уравнения делится на (x – 2). Произведя деление улом, находим частное — мноочлен 3x2 + 2x + 9, оторый действительных орней не имеет. Ита, x = 2 — единственный действительный орень исходноо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение методом разложения ео на множители: 11. 8x4 + 6x3 – 13x2 – x + 3 = 0. 12. x3 + 6x + 4x2 + 3 = 0. 13. 2x4 – x3 – 9x2 + 13x – 5 = 0. 14. (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8. 15. x3 – (2a + 1)x2 + (a2 + a)x – (a2 – a) = 0. 16. x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0.

(*)

Введя вспомоательное неизвестное y = x2 + 3x, после очевидных преобразований получаем вадратное уравнение y2 + 2y – 0,5625 = 0, орнями отороо являются числа y1 = 0,25 и y2 = –2,25. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям: x2 + 3x – 0,25 = 0,

x2 + 3x + 2,25 = 0. – 3 + 10

Первое уравнение имеет два различных орня: x1 = -------------------------2 – 3 – 10

3 - , второе — один двуратный орень x --и x2 = ------------------------3, 4 = – 2 . 2 – 3 + 10 – 3 – 10 3 - , x = -------------------------- , x --Ответ. x1 = -------------------------2 3, 4 = – 2 . 2 2

Найдите орни уравнения: 17. (x + a) (x + 2a) (x – 3a) (x – 4a) = b4. 18. (x – 4) (x – 5) (x – 6) (x – 7) = 1680. 19. (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35. 20. x4 – 2x3 + x – 132 = 0. 21. (x – 1)(x + 1) (x + 2)x = 24. 22. (x – 4)(x + 2) (x + 8)(x + 14) = 354.  23. (x2 + x + 1) (2x2 + 2x + 3) = 3(1 – x – x2). Алебраичесое уравнение четвертой степени вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,

e − 0,

(7)

a+b=c+d=p

называют возвратным, если оэффициенты уравнения связаны равенствами d = λb, c = λ2a (λ — неоторое отличное от нуля число). Решение возвратноо уравнения (7) можно свести  решению вадратноо уравнения заменой

сводится  вадратному уравнению относительно неизвестноо y = x2 + px.

y = x + --x- .

Не оторые равнения специальноо вида. Уравнение четвертой степени вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m при условии

(6)

λ


32

Г л а в а 2. Уравнения

§ 6. Нахождение корней многочленов

33

П р и м е р 3. Решить уравнение

Рациональными орнями мно очлена a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an,

x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0,5625.

де a0, a1, ..., an – 1, an — целые числа, мо ут быть лишь числа

Р е ш е н и е. Перемножив попарно x(x + 3) и (x + 1) (x + 2), имеем (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) = 0,5625.

m вида ---p (m — целое, p — натуральное), при этом число |m| яв-

ляется делителем числа |an|, а число p — делителем числа |a0|. П р и м е р 2. Найти орни уравнения 3x3 – 4x2 + 5x – 18 = 0. Р е ш е н и е. Делителями числа 18 являются числа 1, 2, 3, 6 и 9, а делителями числа 3 — числа 1 и 3. Множество значений m есть {–9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9}, а множество значений p есть {1, 3}. Всевозможные различные значения чисел m

- образуют следующее множество рациональных чисел: вида ---p

 2  1  ä1, ä2, ä3, ä6, ä9, ä --3- , ä --3-  . Подставляя эти числа в уравне  ние, получаем орень уравнения — число 2. Следовательно, мноочлен в левой части уравнения делится на (x – 2). Произведя деление улом, находим частное — мноочлен 3x2 + 2x + 9, оторый действительных орней не имеет. Ита, x = 2 — единственный действительный орень исходноо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение методом разложения ео на множители: 11. 8x4 + 6x3 – 13x2 – x + 3 = 0. 12. x3 + 6x + 4x2 + 3 = 0. 13. 2x4 – x3 – 9x2 + 13x – 5 = 0. 14. (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8. 15. x3 – (2a + 1)x2 + (a2 + a)x – (a2 – a) = 0. 16. x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0.

(*)

Введя вспомоательное неизвестное y = x2 + 3x, после очевидных преобразований получаем вадратное уравнение y2 + 2y – 0,5625 = 0, орнями отороо являются числа y1 = 0,25 и y2 = –2,25. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям: x2 + 3x – 0,25 = 0,

x2 + 3x + 2,25 = 0. – 3 + 10

Первое уравнение имеет два различных орня: x1 = -------------------------2 – 3 – 10

3 - , второе — один двуратный орень x --и x2 = ------------------------3, 4 = – 2 . 2 – 3 + 10 – 3 – 10 3 - , x = -------------------------- , x --Ответ. x1 = -------------------------2 3, 4 = – 2 . 2 2

Найдите орни уравнения: 17. (x + a) (x + 2a) (x – 3a) (x – 4a) = b4. 18. (x – 4) (x – 5) (x – 6) (x – 7) = 1680. 19. (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35. 20. x4 – 2x3 + x – 132 = 0. 21. (x – 1)(x + 1) (x + 2)x = 24. 22. (x – 4)(x + 2) (x + 8)(x + 14) = 354.  23. (x2 + x + 1) (2x2 + 2x + 3) = 3(1 – x – x2). Алебраичесое уравнение четвертой степени вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,

e − 0,

(7)

a+b=c+d=p

называют возвратным, если оэффициенты уравнения связаны равенствами d = λb, c = λ2a (λ — неоторое отличное от нуля число). Решение возвратноо уравнения (7) можно свести  решению вадратноо уравнения заменой

сводится  вадратному уравнению относительно неизвестноо y = x2 + px.

y = x + --x- .

Не оторые равнения специальноо вида. Уравнение четвертой степени вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m при условии

(6)

λ


34

Г л а в а 2. Уравнения П р и м е р 4. Решить уравнение 18x4 – 3x3 – 25x2 + 2x + 8 = 0.

Р е ш е н и е. Заметим, что x = 0 не является орнем уравнения, поэтому, разделив обе ео части на x2, перейдем  эвивалентному уравнению 8

2

18x2 – 3x – 25 + --x- + -----2- = 0. x

(*)

Сруппируем слааемые в правой части уравнения (*) следующим образом: 4  -- 2 9 18  x + -----2x 

 

 

Теперь очевидно, что в ачестве новоо неизвестноо можно 4 2 ----4 9 3 2 выбрать y = x – --x- ; та а x + -----2- = y2 + --3- , то уравнение (*) x

примет вид

18y2 – 3y – 1 = 0. 1

(**)

1

Корни уравнения (**) равны --3- и – --6- . Таим образом, исходное уравнение эвивалентно следующим двум уравнениям: 2 --1 3 x – --x- = --3-

и

2 --1 3 x – --x- = – --6- .

2 Первое уравнение имеет орни x1 = 1 и x2 = – --3- , а второе — – 1 ä 97 -. орни x3, 4 = ----------------------12 2

– 1 ä 97

-. Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- , x3, 4 = ----------------------12

Решите уравнение: 24. x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0. 25. 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 = 0. 26. 15x5 + 34x4 + 15x3 – 15x2 – 34x – 15 = 0. 27. 6x3 – x2 – 20x + 12 = 0. 28. x4 + 1 = 2(1 + x)4.

35

Неоторые алебраичесие уравнения n-й степени (n > 2) допусают понижение поряда, если использовать формулу бинома Ньютона (см. л. 15, § 84). П р и м е р 5. Решить уравнение 8x3 + 36x2 + 54x = 98. Р е ш е н и е. Воспользовавшись тем, что (2x + 3)3 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27, запишем исходное уравнение в виде (2x + 3)3 = 125, или

2    ---    3  – 3  x – --x-  – 25 = 0.

 

§ 6. Нахождение корней многочленов

2x + 3 = 5.

Таим образом, единственным орнем исходноо уравнения является x = 1. Ответ. x = 1. Решите уравнение: 29. 8x3 – 36x2 + 54x = 28. 30. 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x – 80 = 0. 31. x4 – 8x3 + 24x2 – 32x = 65. Уравнение вида a1un + a2un – 1v + a3un – 2v2 + ... + anvn = 0

(8)

называют однородным равнением n-й степени относительно неизвестных u и v. Делением обеих частей однородноо уравнения (8) на vn ео сводят  уравнению n-й степени относительно u

неизвестноо y = --v- . Если an = 0, то отдельно следует рассмотреть случай, ода v = 0. Сводя уравнения  однородным и производя уазанную выше замену, инода удается понизить степень исходноо уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение (x2 + 27)2 – 5(x2 + 27) (x2 + 3) + 6(x2 + 3)2 = 0. x2

x2

(*)

Р е ш е н и е. Положим + 27 = u, + 3 = v. Тода исходное уравнение примет вид однородноо уравнения второй степени относительно неизвестных u и v: u2 – 5uv + 6v2 = 0.


34

Г л а в а 2. Уравнения П р и м е р 4. Решить уравнение 18x4 – 3x3 – 25x2 + 2x + 8 = 0.

Р е ш е н и е. Заметим, что x = 0 не является орнем уравнения, поэтому, разделив обе ео части на x2, перейдем  эвивалентному уравнению 8

2

18x2 – 3x – 25 + --x- + -----2- = 0. x

(*)

Сруппируем слааемые в правой части уравнения (*) следующим образом: 4  -- 2 9 18  x + -----2x 

 

 

Теперь очевидно, что в ачестве новоо неизвестноо можно 4 2 ----4 9 3 2 выбрать y = x – --x- ; та а x + -----2- = y2 + --3- , то уравнение (*) x

примет вид

18y2 – 3y – 1 = 0. 1

(**)

1

Корни уравнения (**) равны --3- и – --6- . Таим образом, исходное уравнение эвивалентно следующим двум уравнениям: 2 --1 3 x – --x- = --3-

и

2 --1 3 x – --x- = – --6- .

2 Первое уравнение имеет орни x1 = 1 и x2 = – --3- , а второе — – 1 ä 97 -. орни x3, 4 = ----------------------12 2

– 1 ä 97

-. Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- , x3, 4 = ----------------------12

Решите уравнение: 24. x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0. 25. 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 = 0. 26. 15x5 + 34x4 + 15x3 – 15x2 – 34x – 15 = 0. 27. 6x3 – x2 – 20x + 12 = 0. 28. x4 + 1 = 2(1 + x)4.

35

Неоторые алебраичесие уравнения n-й степени (n > 2) допусают понижение поряда, если использовать формулу бинома Ньютона (см. л. 15, § 84). П р и м е р 5. Решить уравнение 8x3 + 36x2 + 54x = 98. Р е ш е н и е. Воспользовавшись тем, что (2x + 3)3 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27, запишем исходное уравнение в виде (2x + 3)3 = 125, или

2    ---    3  – 3  x – --x-  – 25 = 0.

 

§ 6. Нахождение корней многочленов

2x + 3 = 5.

Таим образом, единственным орнем исходноо уравнения является x = 1. Ответ. x = 1. Решите уравнение: 29. 8x3 – 36x2 + 54x = 28. 30. 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x – 80 = 0. 31. x4 – 8x3 + 24x2 – 32x = 65. Уравнение вида a1un + a2un – 1v + a3un – 2v2 + ... + anvn = 0

(8)

называют однородным равнением n-й степени относительно неизвестных u и v. Делением обеих частей однородноо уравнения (8) на vn ео сводят  уравнению n-й степени относительно u

неизвестноо y = --v- . Если an = 0, то отдельно следует рассмотреть случай, ода v = 0. Сводя уравнения  однородным и производя уазанную выше замену, инода удается понизить степень исходноо уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение (x2 + 27)2 – 5(x2 + 27) (x2 + 3) + 6(x2 + 3)2 = 0. x2

x2

(*)

Р е ш е н и е. Положим + 27 = u, + 3 = v. Тода исходное уравнение примет вид однородноо уравнения второй степени относительно неизвестных u и v: u2 – 5uv + 6v2 = 0.


36

Г л а в а 2. Уравнения

y2 – 5y + 6 = 0, орни отороо y = 2 и y = 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям x2 + 27 = 2(x2 + 3),

орнями оторых являются числа ä3 и ä 21 соответственно. Ответ. x1, 2 = ä3, x3, 4 = ä 21 . Решите уравнение: 32. (x2 – 1)2 + 5(x4 – 1) – 6(x2 + 1)2 = 0. 33. (x2 – 3)2 – 7(x4 – 9) + 6(x2 + 3)2 = 0. 34. (x – 2)2(x + 1)2 – (x – 2)(x2 – 1) – 2(x – 1)2 = 0. Если уравнение можно записать в виде f(f(x)) = x, то среди орней этоо уравнения содержится орень уравнения f(x) = x. П р и м е р 7. Решить уравнение (x2 – 4x + 6)2 – 4(x2 – 4x + 6) + 6 = x. Р е ш е н и е. Квадратное уравнение x2 – 4x + 6 = x

и, следовательно, оно эвивалентно двум уравнениям (**)

Второе из уравнений (**) действительных орней не имеет, и действительными орнями исходноо уравнения являются орни уравнения (*). Ответ. x1 = 2, x2 = 3. Решите уравнение: 35. (x2 + 2x – 5)2 + 2(x2 + 2x – 5) – 5 = x. 36. (x2 – x – 3)2 – (x2 – x – 3) – 3 = x.

Рациональным уравнение вида

алебраичесим

равнением называют

P(x) ------------- = 0, Q(x)

(1)

де P(x) и Q(x) — мноочлены. Далее для определенности будем полаать, что P(x) — мноочлен m-й степени, а Q(x) — мноочлен n-й степени. Множество допустимых значений рациональноо алебраичесоо уравнения (1) определяется условием Q(x) − 0, отуда следует, что x − c1, x − c2, ..., x − cn, де c1, c2, ..., cn — орни мноочлена Q(x). Метод решения уравнения (1) залючается в следующем. Сначала решают уравнение P(x) = 0; пусть x1, x2, ..., xm — ео орни. Затем сравнивают множества орней мноочленов P(x) и Q(x). Те орни мноочлена P(x), оторые не являются орнями мноочлена Q(x), представляют собой орни (решения) рациональноо уравнения (1). П р и м е р 1. Решить уравнение

(*)

имеет орни x = 2 и x = 3. Следовательно, мноочлен, записанный в левой части исходноо уравнения, делится на произведение (x – 2) (x – 3). Выполнив деление улом, находим частное: x2 – 3x + 3. Таим образом, исходное уравнение можно представить в виде (x2 – 5x + 6) (x2 – 3x + 3) = 0 x2 – 5x + 6 = 0, x2 – 3x + 3 = 0.

37

§ 7. Рациональные уравнения

u

Выполнив замену --v- = y, получаем уравнение

x2 + 27 = 3(x2 + 3),

§ 7. Рациональные уравнения

5 9–x ------------- = ------------- – 3. x–4 x–4

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению 9 – x – 5 + 3(x – 4) = 0 при условии x – 4 − 0. Решив полученное уравнение, находим x = 4. Однао x = 4 не входит в область допустимых значений неизвестноо, поэтому данное уравнение решений не имеет. Ответ. ¾. П р и м е р 2. Решить уравнение 9x + 13 x 5 -------------- – -----------------------------= -----------x+1 3–x. x 2 – 2x – 3

(*)

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде 5 x 9x + 13 -------------- – -------------------------------------+ -----------x–3 = 0 x+1 (x + 1 )(x – 3)

и умножим все члены последнео уравнения на (x + 1) (x – 3).


36

Г л а в а 2. Уравнения

y2 – 5y + 6 = 0, орни отороо y = 2 и y = 3. Возвращаясь  исходному неизвестному, залючаем, что уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям x2 + 27 = 2(x2 + 3),

орнями оторых являются числа ä3 и ä 21 соответственно. Ответ. x1, 2 = ä3, x3, 4 = ä 21 . Решите уравнение: 32. (x2 – 1)2 + 5(x4 – 1) – 6(x2 + 1)2 = 0. 33. (x2 – 3)2 – 7(x4 – 9) + 6(x2 + 3)2 = 0. 34. (x – 2)2(x + 1)2 – (x – 2)(x2 – 1) – 2(x – 1)2 = 0. Если уравнение можно записать в виде f(f(x)) = x, то среди орней этоо уравнения содержится орень уравнения f(x) = x. П р и м е р 7. Решить уравнение (x2 – 4x + 6)2 – 4(x2 – 4x + 6) + 6 = x. Р е ш е н и е. Квадратное уравнение x2 – 4x + 6 = x

и, следовательно, оно эвивалентно двум уравнениям (**)

Второе из уравнений (**) действительных орней не имеет, и действительными орнями исходноо уравнения являются орни уравнения (*). Ответ. x1 = 2, x2 = 3. Решите уравнение: 35. (x2 + 2x – 5)2 + 2(x2 + 2x – 5) – 5 = x. 36. (x2 – x – 3)2 – (x2 – x – 3) – 3 = x.

Рациональным уравнение вида

алебраичесим

равнением называют

P(x) ------------- = 0, Q(x)

(1)

де P(x) и Q(x) — мноочлены. Далее для определенности будем полаать, что P(x) — мноочлен m-й степени, а Q(x) — мноочлен n-й степе��и. Множество допустимых значений рациональноо алебраичесоо уравнения (1) определяется условием Q(x) − 0, отуда следует, что x − c1, x − c2, ..., x − cn, де c1, c2, ..., cn — орни мноочлена Q(x). Метод решения уравнения (1) залючается в следующем. Сначала решают уравнение P(x) = 0; пусть x1, x2, ..., xm — ео орни. Затем сравнивают множества орней мноочленов P(x) и Q(x). Те орни мноочлена P(x), оторые не являются орнями мноочлена Q(x), представляют собой орни (решения) рациональноо уравнения (1). П р и м е р 1. Решить уравнение

(*)

имеет орни x = 2 и x = 3. Следовательно, мноочлен, записанный в левой части исходноо уравнения, делится на произведение (x – 2) (x – 3). Выполнив деление улом, находим частное: x2 – 3x + 3. Таим образом, исходное уравнение можно представить в виде (x2 – 5x + 6) (x2 – 3x + 3) = 0 x2 – 5x + 6 = 0, x2 – 3x + 3 = 0.

37

§ 7. Рациональные уравнения

u

Выполнив замену --v- = y, получаем уравнение

x2 + 27 = 3(x2 + 3),

§ 7. Рациональные уравнения

5 9–x ------------- = ------------- – 3. x–4 x–4

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению 9 – x – 5 + 3(x – 4) = 0 при условии x – 4 − 0. Решив полученное уравнение, находим x = 4. Однао x = 4 не входит в область допустимых значений неизвестноо, поэтому данное уравнение решений не имеет. Ответ. ¾. П р и м е р 2. Решить уравнение 9x + 13 x 5 -------------- – -----------------------------= -----------x+1 3–x. x 2 – 2x – 3

(*)

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде 5 x 9x + 13 -------------- – -------------------------------------+ -----------x–3 = 0 x+1 (x + 1 )(x – 3)

и умножим все члены последнео уравнения на (x + 1) (x – 3).


38

Г л а в а 2. Уравнения

§ 7. Рациональные уравнения

Тода получим уравнение или

x2

Ответ. x = 8.

1 1 1 --- – ------------- = ------ . 12 z+1 z

(*)

z 2 + z – 12 ----------------------------- = 0, 12z ( z + 1 )

(**)

оторое эвивалентно уравнению z2 + z – 12 = 0. Эвивалентность этих уравнений следует из тоо, что орни последнео уравнения z = 3, z = –4 принадлежат множеству допустимых значений уравнения (**). Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям: x2 + 2x – 3 = 0 и x2 + 2x + 4 = 0. Корнями первоо уравнения являются x1 = 1, x2 = –3. Второе уравнение действительных орней не имеет. Ответ. x1 = 1, x2 = –3. Решите уравнение:

x–8 2x + 3x – 32x – 48

-------------------- + ------------------------------------------ = 0. 2. ----------------– ---------------------------------------------------------2 3 2 2x + 3 – 2 7 x+1

a4 + b4 (a + b)

x – 2x + 3

x – 2x + 4

5 x +5

4 x +4

- + ---------------- = 2. 10. ---------------2 2 ( x 2 – 6x ) 2 (x – 3)

81 (x – 3)

- – 2 = --------------------2- . 11. --------------------------2 15 x + 2x – 3

24 x + 2x – 8

- – ------------------------------ = 2. 12. -----------------------------2 2

  1  1  13. 7  x + --x-  – 2  x2 + -----2-  = 9. x     x 2 + 2x + 1

x 2 + 2x + 2

7

14. ------------------------------+ ------------------------------= --6- . x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 3 x–2  15. 20  ------------ x+1 

2

x+2  – 5  ------------ x–1 

2

x2 – 4 x –1

- = 0. + 48 --------------2

x+1  16.  ------------ x–2 

2

x+1 –2 x -------------  + ------------x – 4 = 12  x – 4  .

2

x+1  17.  ------------ x–1 

2

x–2 x–2 2 - – 3  --------------  = 0. – 2 -----------x–1  x+1 

Уравнение вида

108x – 36x 2 – 9 9x – 5 12x + 1 - – ------------------ = --------------------------------------------. 1. -------------------3x + 1 6x – 2 4 ( 9x 2 – 1 )

+x+1

( a – x )4 + ( x – b )4 ( a + b – 2x )

7. ------------------------------------------------= --------------------2- . 2

21 x – 4x + 10

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  уравнению

- = --- -------------- . 3. --------------------------9 x–1 x2 – x + 1

(x + 1)(x + 5)

9. ---------------------------------– x2 + 4x = 6. 2

Р е ш е н и е. Полаая z = x2 + 2x, запишем исходное уравнение в виде

x2



x – 2x + 2

1 1 1 ----------------------- – ---------------------2- = ------ . 12 x(x + 2) (x + 1 )

1 2x + 11x + 12

4x 2 + 29x + 45 – ( x + 1 ) ( 2x + 15 )

- = -------------------------------------- . 6. ---------------------------------------------------------------------------------------------(x – 1)(x – 2) ( 2 (x – 1))2 – 2 ( x + 1 )( x – 2 )

1 2 6 - + ------------------------------ = ------------------------------. 8. -----------------------------2 2 2

П р и м е р 3. Решить уравнение

1 x – 16

1

x+1

1 - + ---------------------- = ------------- – -------------- . 5. --------------2–x 2(x – 2) x+2 x2 – 4

(**)

эвивалентное исходному при условиях x − –1, x − 3. Найдем орни вадратноо уравнения (**): x1 = –1, x2 = 8. Та а x = –1 не принадлежит области допустимых значений неизвестноо, то уравнение (*) имеет единственный орень x = 8.

1

1

9

x+1

----------------------------------4. --------------------2(x – 1) = 2(x + 4) + x – 1 .

x(x – 3) – (9x + 13) + 5(x + 1) = 0, x2 – 7x – 8 = 0,

39

bx ax ---------------------------------- + --------------------------------- =c cx 2 + rx + d cx 2 + hx + d

сводится  уравнению b a -------------- + ------------- = c y+r y+h


38

Г л а в а 2. Уравнения

§ 7. Рациональные уравнения

Тода получим уравнение или

x2

Ответ. x = 8.

1 1 1 --- – ------------- = ------ . 12 z+1 z

(*)

z 2 + z – 12 ----------------------------- = 0, 12z ( z + 1 )

(**)

оторое эвивалентно уравнению z2 + z – 12 = 0. Эвивалентность этих уравнений следует из тоо, что орни последнео уравнения z = 3, z = –4 принадлежат множеству допустимых значений уравнения (**). Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум вадратным уравнениям: x2 + 2x – 3 = 0 и x2 + 2x + 4 = 0. Корнями первоо уравнения являются x1 = 1, x2 = –3. Второе уравнение действительных орней не имеет. Ответ. x1 = 1, x2 = –3. Решите уравнение:

x–8 2x + 3x – 32x – 48

-------------------- + ------------------------------------------ = 0. 2. ----------------– ---------------------------------------------------------2 3 2 2x + 3 – 2 7 x+1

a4 + b4 (a + b)

x – 2x + 3

x – 2x + 4

5 x +5

4 x +4

- + ---------------- = 2. 10. ---------------2 2 ( x 2 – 6x ) 2 (x – 3)

81 (x – 3)

- – 2 = --------------------2- . 11. --------------------------2 15 x + 2x – 3

24 x + 2x – 8

- – ------------------------------ = 2. 12. -----------------------------2 2

  1  1  13. 7  x + --x-  – 2  x2 + -----2-  = 9. x     x 2 + 2x + 1

x 2 + 2x + 2

7

14. ------------------------------+ ------------------------------= --6- . x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 3 x–2  15. 20  ------------ x+1 

2

x+2  – 5  ------------ x–1 

2

x2 – 4 x –1

- = 0. + 48 --------------2

x+1  16.  ------------ x–2 

2

x+1 –2 x -------------  + ------------x – 4 = 12  x – 4  .

2

x+1  17.  ------------ x–1 

2

x–2 x–2 2 - – 3  --------------  = 0. – 2 -----------x–1  x+1 

Уравнение вида

108x – 36x 2 – 9 9x – 5 12x + 1 - – ------------------ = --------------------------------------------. 1. -------------------3x + 1 6x – 2 4 ( 9x 2 – 1 )

+x+1

( a – x )4 + ( x – b )4 ( a + b – 2x )

7. ------------------------------------------------= --------------------2- . 2

21 x – 4x + 10

С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)  уравнению

- = --- -------------- . 3. --------------------------9 x–1 x2 – x + 1

(x + 1)(x + 5)

9. ---------------------------------– x2 + 4x = 6. 2

Р е ш е н и е. Полаая z = x2 + 2x, запишем исходное уравнение в виде

x2



x – 2x + 2

1 1 1 ----------------------- – ---------------------2- = ------ . 12 x(x + 2) (x + 1 )

1 2x + 11x + 12

4x 2 + 29x + 45 – ( x + 1 ) ( 2x + 15 )

- = -------------------------------------- . 6. ---------------------------------------------------------------------------------------------(x – 1)(x – 2) ( 2 (x – 1))2 – 2 ( x + 1 )( x – 2 )

1 2 6 - + ------------------------------ = ------------------------------. 8. -----------------------------2 2 2

П р и м е р 3. Решить уравнение

1 x – 16

1

x+1

1 - + ---------------------- = ------------- – -------------- . 5. --------------2–x 2(x – 2) x+2 x2 – 4

(**)

эвивалентное исходному при условиях x − –1, x − 3. Найдем орни вадратноо уравнения (**): x1 = –1, x2 = 8. Та а x = –1 не принадлежит области допустимых значений неизвестноо, то уравнение (*) имеет единственный орень x = 8.

1

1

9

x+1

----------------------------------4. --------------------2(x – 1) = 2(x + 4) + x – 1 .

x(x – 3) – (9x + 13) + 5(x + 1) = 0, x2 – 7x – 8 = 0,

39

bx ax ---------------------------------- + --------------------------------- =c cx 2 + rx + d cx 2 + hx + d

сводится  уравнению b a -------------- + ------------- = c y+r y+h


40

Г л а в а 2. Уравнения

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

введением вспомоательноо неизвестноо d

y = cx + --x- . П р и м е р 4. Решить уравнение x 2x -------------------------- + --------------------------- = 1. x2 – x + 1 x2 + x + 1

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся в том, что x = 0 не является орнем исходноо уравнения. Разделив числитель и знаменатель аждой дроби на x, получаем эвивалентное уравнение 2 1 ------------------------ + ------------------------ = 1. x + --1- + 1 x + --1- – 1 x

x

1

Полаая x + --x- = y, приходим  уравнению 2 1 ------------------------y – 1 + y + 1 = 1,

сводящемуся  вадратному уравнению, орнями отороо являются y1 = 0, y2 = 3. Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям 1 x + --x- = 0,

1 x + --x- = 3,

первое из оторых не имеет действительных орней, а орни 3ä 5

второо — числа x1,2 = ---------------2 .

Если в уравнении неоторые выражения, содержащие неизвестное, находятся под знаом модуля, то решение исходноо уравнения следует исать отдельно на аждом из промежутов знаопостоянства этих выражений. П р и м е р 1. Решить уравнение |2x – 5| = x – 1. Р е ш е н и е. Выражение 2x – 5, записанное под знаом модуля, неотрицательно при x l 2,5 и отрицательно при x < 2,5. Рассмотрим исходное уравнение отдельно на аждом из этих промежутов. Пусть x l 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = = 2x – 5, и данное уравнение примет вид 2x – 5 = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 4. Та а число 4 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 4 является решением исходноо уравнения. Пусть теперь x < 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = –(2x – 5), и данное уравнение примет вид –(2x – 5) = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 2. Та а число 2 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 2 является решением исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 4. П р и м е р 2. Решить уравнение

3ä 5 Ответ. x1, 2 = ---------------2 .

|x – 1| – 2|x – 2| + 3|x – 3| = 4. Р е ш е н и е. Данное уравнение эвивалентно следующим уравнениям:

Решите уравнение: 2x 2x – 5x + 3

13x 2x + x + 3

- + ------------------------------18. ---------------------------------= 6. 2 2 2x

3x

8

- – --------------------------- = --- . 19. -----------------------------3 x2 + 1 + x x 2 + 1 – 4x 3x 2 – 1

5x

41

119

- + -----------------------------20. ------------------= --------18 . x 3x 2 – x – 1

1) 1 – x 2) x – 1 3) x – 1 4) x – 1

+ 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при x m 1; + 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 1 < x m 2; – 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 2 < x m 3; – 2(x – 2) + 3(x – 3) = 4 при x > 3.

Первое уравнение имеет решение x = 1; второе уравнение обращается в тождество для всех значений x, удовлетворяю-


40

Г л а в а 2. Уравнения

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

§ 8. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля

введением вспомоательноо неизвестноо d

y = cx + --x- . П р и м е р 4. Решить уравнение x 2x -------------------------- + --------------------------- = 1. x2 – x + 1 x2 + x + 1

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся в том, что x = 0 не является орнем исходноо уравнения. Разделив числитель и знаменатель аждой дроби на x, получаем эвивалентное ��равнение 2 1 ------------------------ + ------------------------ = 1. x + --1- + 1 x + --1- – 1 x

x

1

Полаая x + --x- = y, приходим  уравнению 2 1 ------------------------y – 1 + y + 1 = 1,

сводящемуся  вадратному уравнению, орнями отороо являются y1 = 0, y2 = 3. Таим образом, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям 1 x + --x- = 0,

1 x + --x- = 3,

первое из оторых не имеет действительных орней, а орни 3ä 5

второо — числа x1,2 = ---------------2 .

Если в уравнении неоторые выражения, содержащие неизвестное, находятся под знаом модуля, то решение исходноо уравнения следует исать отдельно на аждом из промежутов знаопостоянства этих выражений. П р и м е р 1. Решить уравнение |2x – 5| = x – 1. Р е ш е н и е. Выражение 2x – 5, записанное под знаом модуля, неотрицательно при x l 2,5 и отрицательно при x < 2,5. Рассмотрим исходное уравнение отдельно на аждом из этих промежутов. Пусть x l 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = = 2x – 5, и данное уравнение примет вид 2x – 5 = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 4. Та а число 4 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 4 является решением исходноо уравнения. Пусть теперь x < 2,5. Тода по определению модуля имеем |2x – 5| = –(2x – 5), и данное уравнение примет вид –(2x – 5) = x – 1. Решив это уравнение, находим x = 2. Та а число 2 принадлежит рассматриваемому промежуту, то x = 2 является решением исходноо уравнения. Ответ. x1 = 2, x2 = 4. П р и м е р 2. Решить уравнение

3ä 5 Ответ. x1, 2 = ---------------2 .

|x – 1| – 2|x – 2| + 3|x – 3| = 4. Р е ш е н и е. Данное уравнение эвивалентно следующим уравнениям:

Решите уравнение: 2x 2x – 5x + 3

13x 2x + x + 3

- + ------------------------------18. ---------------------------------= 6. 2 2 2x

3x

8

- – --------------------------- = --- . 19. -----------------------------3 x2 + 1 + x x 2 + 1 – 4x 3x 2 – 1

5x

41

119

- + -----------------------------20. ------------------= --------18 . x 3x 2 – x – 1

1) 1 – x 2) x – 1 3) x – 1 4) x – 1

+ 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при x m 1; + 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 1 < x m 2; – 2(x – 2) – 3(x – 3) = 4 при 2 < x m 3; – 2(x – 2) + 3(x – 3) = 4 при x > 3.

Первое уравнение имеет решение x = 1; второе уравнение обращается в тождество для всех значений x, удовлетворяю-


42

Г л а в а 2. Уравнения

щих неравенствам 1 < x m 2; третье не имеет решений; четвертое имеет решение x = 5. Ответ. x Ý [1; 2], x = 5. 2. |–x + 2| = 2x + 1.

3. |x – 1| + |x – 2| = 1.

4. |2 – |1 – |x||| = 1.

Ответ. x = 4.

6. |x2 – 1| = –|x| + 1.

= 1.

Решите уравнение:

7. |5x – x2 – 6| = x2 – 5x + 6. 8. |x – 1| + |x + 2| – |x – 3| = 4. 1

3

1

3

9. --2- x2 – 2x + --2- + --2- x2 – 3x + 4 = --4- .

§ 9. Иррациональные уравнения Иррациональным равнением называют уравнение, в отором неизвестная величина содержится под знаом радиала. Область допустимых значений иррациональноо уравнения состоит из тех значений неизвестноо, при оторых неотрицательны все выражения, находящиеся под знаами радиалов четной степени. Метод возведения равнения в степень. Один из способов решения иррациональноо уравнения залючается в последовательном возведении обеих частей уравнения в степень, являющуюся наименьшим общим ратным поазателей всех радиалов, входящих в данное уравнение. Если степень, в оторую возводится уравнение, четная, то полученное уравнение может иметь орни, не являющиеся орнями исходноо уравнения. В этом случае необходима провера орней. П р и м е р 1. Решить уравнение 3x + 4 +

4

орнями отороо являются x = – --3- и x = 4. Один из получен4

1. |x| = x + 2. 5.

43

ных орней, а именно x = – --3- , не удовлетворяет исходному уравнению, та а не входит в область ео допустимых значений. Проверой убеждаемся, что при x = 4 исходное уравнение обращается в тождество.

Решите уравнение:

x+1 -------------x–1

§ 9. Иррациональные уравнения

x–4 = 2 x.

1.

x+1 =8–

3x + 1 .

2.

x + x + 11 +

3.

17 + x –

17 – x = 2.

4.

3x + 7 –

x + 1 = 2.

5.

25 – x = 2 –

6.

x2

7.

x2 + x – 5 +

x 2 + 8x – 4 = 5.

8.

x2 + x + 1 =

x 2 – x + 1 + 1.

x2

+1 +

x – x + 11 = 4.

9+x. – 2x + 3 = 3.

9. (x2 – 4) x + 1 = 0. 10.

4x – 3 +

11.

x+5 +

x+3 =

12.

4–x +

5 + x = 3.

13.

4x + 2 +

14.

x– x–2 +

15.

x + 7 – x + 3 = 0. 3

5x + 1 =

2x + 7 .

4x – 2 = 4.

3

x + x – 2 = 2.

(*)

16.

Р е ш е н и е. Возведем обе части данноо уравнения в вадрат: 3x + 4 + 2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) + x – 4 = 4x. (**)

17. 18.

3

x +

Приведя подобные члены, получаем уравнение

19.

3

x+5 +

3

x+6 =

20.

3

x+1 +

3

3x + 1 =

2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) = 0,

x + 34 – 2x + 5 – 3

15x + 4 .

x – 3 = 1. 3x – 5 = 2.

x – 16 =

3

x–8. 3

2x + 11 . 3

x–1.


42

Г л а в а 2. Уравнения

щих неравенствам 1 < x m 2; третье не имеет решений; четвертое имеет решение x = 5. Ответ. x Ý [1; 2], x = 5. 2. |–x + 2| = 2x + 1.

3. |x – 1| + |x – 2| = 1.

4. |2 – |1 – |x||| = 1.

Ответ. x = 4.

6. |x2 – 1| = –|x| + 1.

= 1.

Решите уравнение:

7. |5x – x2 – 6| = x2 – 5x + 6. 8. |x – 1| + |x + 2| – |x – 3| = 4. 1

3

1

3

9. --2- x2 – 2x + --2- + --2- x2 – 3x + 4 = --4- .

§ 9. Иррациональные уравнения Иррациональным равнением называют уравнение, в отором неизвестная величина содержится под знаом радиала. Область допустимых значений иррациональноо уравнения состоит из тех значений неизвестноо, при оторых неотрицательны все выражения, находящиеся под знаами радиалов четной степени. Метод возведения равнения в степень. Один из способов решения иррациональноо уравнения залючается в последовательном возведении обеих частей уравнения в степень, являющуюся наименьшим общим ратным поазателей всех радиалов, входящих в данное уравнение. Если степень, в оторую возводится уравнение, четная, то полученное уравнение может иметь орни, не являющиеся орнями исходноо уравнения. В этом случае необходима провера орней. П р и м е р 1. Решить уравнение 3x + 4 +

4

орнями отороо являются x = – --3- и x = 4. Один из получен4

1. |x| = x + 2. 5.

43

ных орней, а именно x = – --3- , не удовлетворяет исходному уравнению, та а не входит в область ео допустимых значений. Проверой убеждаемся, что при x = 4 исходное уравнение обращается в тождество.

Решите уравнение:

x+1 -------------x–1

§ 9. Иррациональные уравнения

x–4 = 2 x.

1.

x+1 =8–

3x + 1 .

2.

x + x + 11 +

3.

17 + x –

17 – x = 2.

4.

3x + 7 –

x + 1 = 2.

5.

25 – x = 2 –

6.

x2

7.

x2 + x – 5 +

x 2 + 8x – 4 = 5.

8.

x2 + x + 1 =

x 2 – x + 1 + 1.

x2

+1 +

x – x + 11 = 4.

9+x. – 2x + 3 = 3.

9. (x2 – 4) x + 1 = 0. 10.

4x – 3 +

11.

x+5 +

x+3 =

12.

4–x +

5 + x = 3.

13.

4x + 2 +

14.

x– x–2 +

15.

x + 7 – x + 3 = 0. 3

5x + 1 =

2x + 7 .

4x – 2 = 4.

3

x + x – 2 = 2.

(*)

16.

Р е ш е н и е. Возведем обе части данноо уравнения в вадрат: 3x + 4 + 2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) + x – 4 = 4x. (**)

17. 18.

3

x +

Приведя подобные члены, получаем уравнение

19.

3

x+5 +

3

x+6 =

20.

3

x+1 +

3

3x + 1 =

2 ( 3x + 4 ) ( x – 4 ) = 0,

x + 34 – 2x + 5 – 3

15x + 4 .

x – 3 = 1. 3x – 5 = 2.

x – 16 =

3

x–8. 3

2x + 11 . 3

x–1.


44

Г л а в а 2. Уравнения 21.

3

x+1 +

3

22.

3

1+ x +

3

1 – x = 2.

23.

3

5x + 7 –

3

5x – 12 = 1.

24.

3

9– x+1 +

25.

3

24 + x –

x+2 +

3

3

3

7 + x + 1 = 4.

5 + x = 1.

П р и м е р 2. Решить уравнение 3x 2 + 5x + 8 –

3x 2 + 5x + 1 = 1.

(*)

3x 2 + 5x + 8 + 3x 2 + 5x + 1 , являющееся сопряженным левой части уравнения (*). После приведения подобных членов получаем уравнение 3x 2 + 5x + 1 ,

(**)

эвивалентное исходному, та а уравнение 3x 2 + 5x + 8 +

3x 2 + 5x + 1 = 0

не имеет действительных орней. Сложив уравнения (*) и (**), получим 3x 2 + 5x + 8 = 4. Возведя последнее уравнение в вадрат, приходим  вадратному уравнению 3x2 + 5x – 8 = 0, 8

имеющему орни x1 = – --3- , x2 = 1. Выполнив проверу, убеждаемся, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. 8

Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- .



26.

3x 2 – 2x + 15 +

3x 2 – 2x + 8 = 7.

27.

x2 + 9 –

x 2 – 7 = 2.

28.

15 – x +

3 – x = 6.

29.

Ax 2 + Bx + C +

Ax 2 + Bx + C 1 = p.

21 + x + 21 – x

21

30. -------------------------------------------------- = -----x . 21 + x – 21 – x

В неоторых случаях введение вспомоательных неизвестных позволяет перейти от иррациональноо уравнения  системе рациональных уравнений. П р и м е р 3. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Умножим обе части уравнения на выражение

3x 2 + 5x + 8 +

45

Решите уравнение:

x + 3 = 0.

Не оторые специальные приемы решения иррациональных равнений. Инода можно освободиться от иррациональности умножением обеих частей уравнения на неоторое выражение, не обращающееся в нуль.

7=

§ 9. Иррациональные уравнения

x2 – 4x – 6 =

2x 2 – 8x + 12 .

Р е ш е н и е. Полаая 2x 2 – 8x + 12 = y, получим систему уравнений y2 = 2x2 – 8x + 12, (*) y = x2 – 4x – 6. Ислючив из системы (*) неизвестное x, приходим  уравнению y2 – 2y – 24 = 0. Ео орнями являются y1 = 6, y2 = –4. Та а через y обозначен арифметичесий орень, то из двух найденных орней уравнения выбираем положительный. Подставляя ео во второе уравнение системы (*), получаем уравнение x2 – 4x – 12 = 0, орни отороо x1 = 6, x2 = –2. Провера поазывает, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. Ответ. x1 = 6, x2 = –2. П р и м е р 4. Решить уравнение 3

x+1 =

x–3.

Р е ш е н и е. Положим 3 x + 1 = u, x – 3 = v. Ислючив x из уравнений u3 = x + 1, v2 = x – 3, придем  системе u = v, u3 – v2 = 4.


44

Г л а в а 2. Уравнения 21.

3

x+1 +

3

22.

3

1+ x +

3

1 – x = 2.

23.

3

5x + 7 –

3

5x – 12 = 1.

24.

3

9– x+1 +

25.

3

24 + x –

x+2 +

3

3

3

7 + x + 1 = 4.

5 + x = 1.

П р и м е р 2. Решить уравнение 3x 2 + 5x + 8 –

3x 2 + 5x + 1 = 1.

(*)

3x 2 + 5x + 8 + 3x 2 + 5x + 1 , являющееся сопряженным левой части уравнения (*). После приведения подобных членов получаем уравнение 3x 2 + 5x + 1 ,

(**)

эвивалентное исходному, та а уравнение 3x 2 + 5x + 8 +

3x 2 + 5x + 1 = 0

не имеет действительных орней. Сложив уравнения (*) и (**), получим 3x 2 + 5x + 8 = 4. Возведя последнее уравнение в вадрат, приходим  вадратному уравнению 3x2 + 5x – 8 = 0, 8

имеющему орни x1 = – --3- , x2 = 1. Выполнив проверу, убеждаемся, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. 8

Ответ. x1 = 1, x2 = – --3- .



26.

3x 2 – 2x + 15 +

3x 2 – 2x + 8 = 7.

27.

x2 + 9 –

x 2 – 7 = 2.

28.

15 – x +

3 – x = 6.

29.

Ax 2 + Bx + C +

Ax 2 + Bx + C 1 = p.

21 + x + 21 – x

21

30. -------------------------------------------------- = -----x . 21 + x – 21 – x

В неоторых случаях введение вспомоательных неизвестных позволяет перейти от иррациональноо уравнения  системе рациональных уравнений. П р и м е р 3. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Умножим обе части уравнения на выражение

3x 2 + 5x + 8 +

45

Решите уравнение:

x + 3 = 0.

Не оторые специальные приемы решения иррациональных равнений. Инода можно освободиться от иррациональности умножением обеих частей уравнения на неоторое выражение, не обращающееся в нуль.

7=

§ 9. Иррациональные ура��нения

x2 – 4x – 6 =

2x 2 – 8x + 12 .

Р е ш е н и е. Полаая 2x 2 – 8x + 12 = y, получим систему уравнений y2 = 2x2 – 8x + 12, (*) y = x2 – 4x – 6. Ислючив из системы (*) неизвестное x, приходим  уравнению y2 – 2y – 24 = 0. Ео орнями являются y1 = 6, y2 = –4. Та а через y обозначен арифметичесий орень, то из двух найденных орней уравнения выбираем положительный. Подставляя ео во второе уравнение системы (*), получаем уравнение x2 – 4x – 12 = 0, орни отороо x1 = 6, x2 = –2. Провера поазывает, что оба орня являются орнями исходноо уравнения. Ответ. x1 = 6, x2 = –2. П р и м е р 4. Решить уравнение 3

x+1 =

x–3.

Р е ш е н и е. Положим 3 x + 1 = u, x – 3 = v. Ислючив x из уравнений u3 = x + 1, v2 = x – 3, придем  системе u = v, u3 – v2 = 4.


46

Г л а в а 2. Уравнения

Ее решение сводится  решению уравнения v3 – v2 – 4 = 0, имеющему единственный действительный орень v = 2. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем линейное уравнение 4 = x – 3, орень отороо является единственным орнем исходноо уравнения. Ответ. x = 7. Решите уравнение: 31. 

5

32. 33.

4

4

35 + 2x = 4.

34. (x + 4) (x + 1) – 3 x 2 + 5x + 2 = 6. 35. 36.

4

x+4+ x–4

- =x+ 37. -----------------------------------------2



38. 39.

x 2 – 16 – 6.

x x = 56.

(5 – x ) 5 – x + (x – 3) x – 3 5–x+ x–3

41. x 3 x – 4 3 x 2 + 4 = 0. 42. x2 + 3x – 18 + 4 x 2 + 3x – 6 = 0. 43. 

44.

x2

y2

+ 6y + 16 + 66 2

+ +x -------------------------------------- – x

t 2 – 2t + 1 = 1.

+ 2y = 2

y2

+ 2y + 4 .

x x 2 + 66 2 – x 2 = 5.

3 ( x – 2 ) + 4 2x 2 – 3x + 1 2(x – 1 )

49.

x+2+2 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 2.

50.

x+5–4 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 1.

51.

x+8+2 x+7 +

x + 1 – x + 7 = 4.

52.

x2 + 2 x2 – 1 –

53.

x+2 x–1 –

x – 2 x – 1 = 3.

54.

x+2 x–1 +

x – 2 x – 1 = x – 1.

55.

2x – 2 2x – 1 – 2 2x + 3 – 4 2x – 1 +

x 2 – 2 x 2 – 1 = 1.

+ 3 2x + 8 – 6 2x – 1 = 4.

- = 1. 45. -----------------------------------------------------------------------2

46. 

x – 2 + 2x – 5 +

47. (x – 3)2 + 3x – 22 = 3+x

48. ------------3x =

(*)

Решите уравнение:

40. --------------------------------------------------------------------------------- = 2.

3y 2

x – 2 = t; тода исходное уравне-

Ответ. x = 2,25.

5–x x+3 - = 2. + 7 ------------x+3 5–x 5

Р е ш е н и е. Положим ние примет вид

x – 1 – 2 x – 2 = 1.

орнем отороо является x = 2,25.

7 --------------

x5 x –

x–1+2 x–2 –

x – 2 = 0,5,

x 2 + 32 = 3.



П р и м е р 5. Решить уравнение

Уравнение (**) имеет единственный орень t = 0,5. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем уравнение

16z z–1 5 ------------- = 2,5. z–1 + 16z

5 -------------

x 2 + 32 – 2

Метод выделения полноо вадрата в под оренных выражениях.

Та а под знаами радиалов в левой части уравнения (*) находятся полные вадраты, то уазанное уравнение сводится  следующему: |t + 1| – |t – 1| = 1. (**)

4 – x = x2 – 6x + 11.

47 – 2x +

47

t 2 + 2t + 1 –

( 7x – 3 ) 3 + 8 5 ( 3 – 7x ) –3 = 7. x–2 +

§ 9. Иррациональные уравнения

x + 2 + 3 2x – 5 = 7 2 . x 2 – 3x + 7 .

2 1 1 4 --- + --- --- + -----2- . 9 x 9 x

56.

x+3–4 x–1 +

x + 8 – 6 x – 1 = 1.

1

1

x– x –x

x+ x –x

- – ------------------------------- = 57. -----------------------------2 2

58.

12 x

12 – ------2 +

12 x

x 2 – ------2 = x2.

3.


46

Г л а в а 2. Уравнения

Ее решение сводится  решению уравнения v3 – v2 – 4 = 0, имеющему единственный действительный орень v = 2. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем линейное уравнение 4 = x – 3, орень отороо является единственным орнем исходноо уравнения. Ответ. x = 7. Решите уравнение: 31. 

5

32. 33.

4

4

35 + 2x = 4.

34. (x + 4) (x + 1) – 3 x 2 + 5x + 2 = 6. 35. 36.

4

x+4+ x–4

- =x+ 37. -----------------------------------------2



38. 39.

x 2 – 16 – 6.

x x = 56.

(5 – x ) 5 – x + (x – 3) x – 3 5–x+ x–3

41. x 3 x – 4 3 x 2 + 4 = 0. 42. x2 + 3x – 18 + 4 x 2 + 3x – 6 = 0. 43. 

44.

x2

y2

+ 6y + 16 + 66 2

+ +x -------------------------------------- – x

t 2 – 2t + 1 = 1.

+ 2y = 2

y2

+ 2y + 4 .

x x 2 + 66 2 – x 2 = 5.

3 ( x – 2 ) + 4 2x 2 – 3x + 1 2(x – 1 )

49.

x+2+2 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 2.

50.

x+5–4 x+1 +

x + 2 – 2 x + 1 = 1.

51.

x+8+2 x+7 +

x + 1 – x + 7 = 4.

52.

x2 + 2 x2 – 1 –

53.

x+2 x–1 –

x – 2 x – 1 = 3.

54.

x+2 x–1 +

x – 2 x – 1 = x – 1.

55.

2x – 2 2x – 1 – 2 2x + 3 – 4 2x – 1 +

x 2 – 2 x 2 – 1 = 1.

+ 3 2x + 8 – 6 2x – 1 = 4.

- = 1. 45. -----------------------------------------------------------------------2

46. 

x – 2 + 2x – 5 +

47. (x – 3)2 + 3x – 22 = 3+x

48. ------------3x =

(*)

Решите уравнение:

40. --------------------------------------------------------------------------------- = 2.

3y 2

x – 2 = t; тода исходное уравне-

Ответ. x = 2,25.

5–x x+3 - = 2. + 7 ------------x+3 5–x 5

Р е ш е н и е. Положим ние примет вид

x – 1 – 2 x – 2 = 1.

орнем отороо является x = 2,25.

7 --------------

x5 x –

x–1+2 x–2 –

x – 2 = 0,5,

x 2 + 32 = 3.



П р и м е р 5. Решить уравнение

Уравнение (**) имеет единственный орень t = 0,5. Возвращаясь  исходному неизвестному, получаем уравнение

16z z–1 5 ------------- = 2,5. z–1 + 16z

5 -------------

x 2 + 32 – 2

Метод выделения полноо вадрата в под оренных выражениях.

Та а под знаами радиалов в левой части уравнения (*) находятся полные вадраты, то уазанное уравнение сводится  следующему: |t + 1| – |t – 1| = 1. (**)

4 – x = x2 – 6x + 11.

47 – 2x +

47

t 2 + 2t + 1 –

( 7x – 3 ) 3 + 8 5 ( 3 – 7x ) –3 = 7. x–2 +

§ 9. Иррациональные уравнения

x + 2 + 3 2x – 5 = 7 2 . x 2 – 3x + 7 .

2 1 1 4 --- + --- --- + -----2- . 9 x 9 x

56.

x+3–4 x–1 +

x + 8 – 6 x – 1 = 1.

1

1

x– x –x

x+ x –x

- – ------------------------------- = 57. -----------------------------2 2

58.

12 x

12 – ------2 +

12 x

x 2 – ------2 = x2.

3.


48

Г л а в а 2. Уравнения 59. 2 5

4

x+1+4 – 2

4

x + 1 – 1 = 20

60.

2x 2 – 9x + 4 + 3 2x – 1 =

61.

4x 2 + 9x + 5 – 3

4 – 4x + x 2 +

3

62.



63.

2x 2 + 8x + 6 +

64.

x–2 +

f(x) = loga b.

x2 – 1 .

49 + 14x + x 2 = 3 +

3

Сведение простейшим по азательным равнениям. Неоторые поазательные уравнения приводятся  виду (1) или (2) с помощью равенств

14 – 5x – x 2 .

x 2 – 1 = 2x + 2.

ax · ay = ax + y, (ax)y = axy,

1 – x = 2.

ax -----y- = ax – y, a

1

65. --4- x = ( 1 + x – 1) ( 1 – x + 1). 1

1

2

(a · b)

66. ------------------------------------ + ------------------------------------ = -----------2–x. x+2 x–1 x–2 x–1

67.

3

( a + x )2 + 4

3

68.

n

( x + 1)2 +

( x – 1 )2 = 4 n x2 – 1 .

x 2 + 8x x+1

69. ------------------------- +

n

7 x+1

x + 7 = ------------------ .

71.

(2 –

+

3

6

x+1

(7 +

x )2

3

x

П р и м е р 1. Решить уравнение

( 34 – x ) 3 x + 1 – ( x + 1 ) 3 34 – x

x )2

x

= a ·b ,

де a и b — любые положительные числа, а x и y — любые действительные числа.

- = 30. 70. ------------------------------------------------------------------------------------------3 3 3

x

x x  a ---  = a -----x- ,  b  b

( a – x )2 = 5 3 a2 – x2 .

34 – x –

49

то, лоарифмируя обе части этоо уравнения, приходим  эвивалентному уравнению

x + 1 + 5.

2x 2 + 21x – 11 .

2x 2 + x – 1 =



4

§ 10. Показательные уравнения

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде

( 2 – x ) ( 7 + x ) = 3.

3

2x + 4

· 2

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Используя свойство членов пропорции, имеем 2x + 4

§ 10. Показательные уравнения Поазательным равнением называют уравнение, в отором неизвестное входит тольо в поазатель степени, а основание степени является постоянным. Простейшее поазательное уравнение — это уравнение вида ax = b.

(1)

Ео решением при a > 0, a − 1 и b > 0 является

a − 1,

4–x 2 ---  = 1, 3 

получаем 4 – x = 0, отуда следует, что x = 4. Решите уравнение:

Если поазатель степени представляет собой неоторую фунцию f(x), т. е. уравнение имеет вид a > 0,

или после упрощения 34 – x = 24 – x. Преобразуя данное уравнение  виду

Ответ. x = 4.

x = loga b.

af(x) = b,

x+8

2 3 ---------------- = ----------------, 3x 2x + 4 3 2

b > 0,

(2)

1.

3

x

·

5

x

= 225.

3. 93 – 5x · 75x – 3 = 1.

2. 2

3x

· 5

x

= 1600. 9

4. 32x – 1 · 53x + 2 = --5- · 52x · 33x.


48

Г л а в а 2. Уравнения 59. 2 5

4

x+1+4 – 2

4

x + 1 – 1 = 20

60.

2x 2 – 9x + 4 + 3 2x – 1 =

61.

4x 2 + 9x + 5 – 3

4 – 4x + x 2 +

3

62.



63.

2x 2 + 8x + 6 +

64.

x–2 +

f(x) = loga b.

x2 – 1 .

49 + 14x + x 2 = 3 +

3

Сведение простейшим по азательным равнениям. Неоторые поазательные уравнения приводятся  виду (1) или (2) с помощью равенств

14 – 5x – x 2 .

x 2 – 1 = 2x + 2.

ax · ay = ax + y, (ax)y = axy,

1 – x = 2.

ax -----y- = ax – y, a

1

65. --4- x = ( 1 + x – 1) ( 1 – x + 1). 1

1

2

(a · b)

66. ------------------------------------ + ------------------------------------ = -----------2–x. x+2 x–1 x–2 x–1

67.

3

( a + x )2 + 4

3

68.

n

( x + 1)2 +

( x – 1 )2 = 4 n x2 – 1 .

x 2 + 8x x+1

69. ------------------------- +

n

7 x+1

x + 7 = ------------------ .

71.

(2 –

+

3

6

x+1

(7 +

x )2

3

x

П р и м е р 1. Решить уравнение

( 34 – x ) 3 x + 1 – ( x + 1 ) 3 34 – x

x )2

x

= a ·b ,

де a и b — любые положительные числа, а x и y — любые действительные числа.

- = 30. 70. ------------------------------------------------------------------------------------------3 3 3

x

x x  a ---  = a -----x- ,  b  b

( a – x )2 = 5 3 a2 – x2 .

34 – x –

49

то, лоарифмируя обе части этоо уравнения, приходим  эвивалентному уравнению

x + 1 + 5.

2x 2 + 21x – 11 .

2x 2 + x – 1 =



4

§ 10. Показательные уравнения

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде

( 2 – x ) ( 7 + x ) = 3.

3

2x + 4

· 2

2x + 4

= 3

3x

· 2

x+8

.

Используя свойство членов пропорции, имеем 2x + 4

§ 10. Показательные уравнения Поазательным равнением называют уравнение, в отором неизвестное входит тольо в поазатель степени, а основание степени является постоянным. Простейшее поазательное уравнение — это уравнение вида ax = b.

(1)

Ео решением при a > 0, a − 1 и b > 0 является

a − 1,

4–x 2 ---  = 1, 3 

получаем 4 – x = 0, отуда следует, что x = 4. Решите уравнение:

Если поазатель степени представляет собой неоторую фунцию f(x), т. е. уравнение имеет вид a > 0,

или после упрощения 34 – x = 24 – x. Преобразуя данное уравнение  виду

Ответ. x = 4.

x = loga b.

af(x) = b,

x+8

2 3 ---------------- = ----------------, 3x 2x + 4 3 2

b > 0,

(2)

1.

3

x

·

5

x

= 225.

3. 93 – 5x · 75x – 3 = 1.

2. 2

3x

· 5

x

= 1600. 9

4. 32x – 1 · 53x + 2 = --5- · 52x · 33x.


50

Г л а в а 2. Уравнения 15. 3 · 4 16. 7

1

2x 2 – 5x – 9 ---------------------------------2

17. 4 · 3

x+2

1  18. 5  ----- 25 

= ( 2)

=5· 3

3 log 2 7

x

sin x

+4· 5

x+5 --------------

.

19. 16 x – 7 = 512 · 64

cos 2x

x + 17 ----------------x–3

2 x+1

= 40.

= 25

0,5 sin 2x

–7· 3

x -----------------x

3 · 31 + x–3 -----------------

12. 8 3x – 7 · 13. 0,6

x

14. (2,4)

3

1 – sin x

.

= 81.

3x – 1 -----------------

Решите уравнение: 12  =  ----- 5 

sin x + 0,5

x 2 + 4x

0,5

16. 9

. 1

= -----25 , удовлетворяю-

Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть поазательное уравнение имеет вид g(af(x))

= 0,

(3)

де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = сводится  уравнениям вида

af(x)

оно

af(x) = yi, де yi — орни уравнения g(y) = 0. П р и м е р 2. Решить уравнение x2 – 2 + x

–5· 2

Р е ш е н и е. Полаая 2 уравнение

17. 3 18. 3 19.

x2 – 1 x

20. 4 21. 4

81 – 10

1–x

1 --64 x

– 36 · 3

– 3

– 2

log9 x

x

1+x

2 + --3-

x

x2 – 3

+ 3 = 0.

9 + 3 = 0. + 9

x

+ 9

–x

= 6.

+ 12 = 0.

– 6 · 2 log9 x + 2 log3 27 = 0.

3x 2 – 2x + 1

+2=9· 2

3x 2 – 2x

.

Поазательные уравнения, основания степеней оторых являются последовательными членами еометричесой прорессии, а поазали степеней одинаовы, приводятся  уравнениям вида (3) делением на любой из райних членов. П р и м е р 3. Решить уравнение

x – 1 + x2 – 2

x2 – 2 + x

5

= –1,5.

Ответ. x = 1,5.

3

27  =  --------125  .

15. Найдите решение уравнения 3 щее условию x > –3.

4

x + x2 – 2

Приводя подобные члены, находим единственный орень x = 1,5. Проверой убеждаемся, что этот орень удовлетворяет исходному уравнению.

0,25 x – 1 = 1.

· [0,41(6)]

2

Уединяя радиал и возводя обе части уравнения в вадрат, имеем x2 – 2 = 4 – 4x + x2.

2+ x+x ----------------------------x)

x 2 – 12

= 4,

x + x2 – 2

.

1 ·  --3-  2 ( 1 +  

25  ·  -----9 

x + x2 – 2

Второе уравнение не имеет решений, та а 2 > 0 при всех допустимых значениях x. Из первоо уравнения следует, что x + x 2 – 2 = 2.

10. 5|4x – 6| = 253x – 4. 11.

51

орнями отороо являются y1 = 4 и y2 = –1,5. Таим образом, решение данноо уравнения сводится  решению уравнений

1

x+2 x+1 x+1 + --3- · 9 =6· 4 – --2- · 9 .

x

§ 10. Показательные уравнения

= 6.

= y, получаем вадратное

y2 – --2- y – 6 = 0,

6· 4

x

– 13 · 6

x

+6· 9

x

= 0. x

Р е ш е н и е. Разделим обе части уравнения на 9 : x x 4 6 6  --9-  – 13  --9-  + 6 = 0.    


50

Г л а в а 2. Уравнения 15. 3 · 4 16. 7

1

2x 2 – 5x – 9 ---------------------------------2

17. 4 · 3

x+2

1  18. 5  ----- 25 

= ( 2)

=5· 3

3 log 2 7

x

sin x

+4· 5

x+5 --------------

.

19. 16 x – 7 = 512 · 64

cos 2x

x + 17 ----------------x–3

2 x+1

= 40.

= 25

0,5 sin 2x

–7· 3

x -----------------x

3 · 31 + x–3 -----------------

12. 8 3x – 7 · 13. 0,6

x

14. (2,4)

3

1 – sin x

.

= 81.

3x – 1 -----------------

Решите уравнение: 12  =  ----- 5 

sin x + 0,5

x 2 + 4x

0,5

16. 9

. 1

= -----25 , удовлетворяю-

Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть поазательное уравнение имеет вид g(af(x))

= 0,

(3)

де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = сводится  уравнениям вида

af(x)

оно

af(x) = yi, де yi — орни уравнения g(y) = 0. П р и м е р 2. Решить уравнение x2 – 2 + x

–5· 2

Р е ш е н и е. Полаая 2 уравнение

17. 3 18. 3 19.

x2 – 1 x

20. 4 21. 4

81 – 10

1–x

1 --64 x

– 36 · 3

– 3

– 2

log9 x

x

1+x

2 + --3-

x

x2 – 3

+ 3 = 0.

9 + 3 = 0. + 9

x

+ 9

–x

= 6.

+ 12 = 0.

– 6 · 2 log9 x + 2 log3 27 = 0.

3x 2 – 2x + 1

+2=9· 2

3x 2 – 2x

.

Поазательные уравнения, основания степеней оторых являются последовательными членами еометричесой прорессии, а поазали степеней одинаовы, приводятся  уравнениям вида (3) делением на любой из райних членов. П р и м е р 3. Решить уравнение

x – 1 + x2 – 2

x2 – 2 + x

5

= –1,5.

Ответ. x = 1,5.

3

27  =  --------125  .

15. Найдите решение уравнения 3 щее условию x > –3.

4

x + x2 – 2

Приводя подобные члены, находим единственный орень x = 1,5. Проверой убеждаемся, что этот орень удовлетворяет исходному уравнению.

0,25 x – 1 = 1.

· [0,41(6)]

2

Уединяя радиал и возводя обе части уравнения в вадрат, имеем x2 – 2 = 4 – 4x + x2.

2+ x+x ----------------------------x)

x 2 – 12

= 4,

x + x2 – 2

.

1 ·  --3-  2 ( 1 +  

25  ·  -----9 

x + x2 – 2

Второе уравнение не имеет решений, та а 2 > 0 при всех допустимых значениях x. Из первоо уравнения следует, что x + x 2 – 2 = 2.

10. 5|4x – 6| = 253x – 4. 11.

51

орнями отороо являются y1 = 4 и y2 = –1,5. Таим образом, решение данноо уравнения сводится  решению уравнений

1

x+2 x+1 x+1 + --3- · 9 =6· 4 – --2- · 9 .

x

§ 10. Показательные уравнения

= 6.

= y, получаем вадратное

y2 – --2- y – 6 = 0,

6· 4

x

– 13 · 6

x

+6· 9

x

= 0. x

Р е ш е н и е. Разделим обе части уравнения на 9 : x x 4 6 6  --9-  – 13  --9-  + 6 = 0.    


52

Г л а в а 2. Уравнения

2 Полаая  --3-   

= y, получаем уравнение

10x2 – 1 = 3x, |x – 2| − 0.

– 13y + 6 = 0, 2

3

орнями отороо являются y1 = --2- и y2 = --3- . Таим образом, решение уравнения сводится  решению двух простейших поx x 3 3 3 2 азательных уравнений  --2-  = --2- и  --2-  = --3- .    

23. 3 · 16 25. 6

x

– 9 · 14

x

+ 36

9 – 13

16x

x

x

x2

x2

x

29. (4 +

4 = 0.

4x

15 )x + (4 –

=

3x 2 – 10x + 3

log5 x – 1

x–3

x–2

. 3

37. x loga x = (a π ) loga x .

= 1.

= 5.

39. x

lg x + 7

= 10

4(lg x + 1)

2

32. 5 1 +

x3

– 51 –

x3

= 24.

Р е ш е н и е. Применяя основное лоарифмичесое тождество, преобразуем второе слааемое в левой части уравнения: x log 3 x = ( 3 log 3 x )

0,2x – 2

+5· = 26. 33. 34. 102/x + 251/x = 4,25 · 501/x.

log 3 x

2

= 3 log 3 x .

(*)

Теперь подставим выражение (*) в исходное уравнение: 2

Уравнение вида

2 · 3 log 3 x = 162. (a(x))b(x) = (a(x))c(x)

2

в свою очередь эвивалентно двум уравнениям

a(x) = 1

log3 x = 2,

и системе

Решив их, получаем x1 = 9, x2 = --9- . 1

Ответ. x1 = 9, x2 = --9- .

П р и м е р 4. Решить уравнение = |x – 2|3x.

Решите уравнение:

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению |x – 2| = 1

log3 x = –2. 1

b(x) = c(x). a(x) > 0.

10x 2 – 1

(**)

Уравнение (**) эвивалентно уравнению log 3 x = 4, оторое

эвивалентно уравнению

x–2

.

3 log3 x + x log 3 x = 162.

15 )x = 62.

31. 91/x + 121/x = 161/x.

x+1

П р и м е р 5. Решить уравнение

28. 27x + 12x = 2 · 8x.

30. ( 5 + 2 6 )x + ( 5 – 2 6 )x = 10. 5x – 1

x–3

Не оторые специальные приемы решения по азательных равнений. В ряде случае уравнения можно свести  рассмотренным выше, если преобразовать отдельные их элементы, используя основное лоарифмичесое тождество.

24. 8x + 18x = 2 · 27x.

26. –5· +6· = 0. 27. 23x – 3 – 5 + 6 · 23 – 3x = 0. 8x

4

38. ( x )

= 0.

= 2 · 81 . x

Ответ. x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

36. x – 3

+ 2 · 49

6 +6

Уравнение (*) имеет орни x1 = 3, x2 = 1, а системе (**) удовлетворяют значения x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

35.

Решите уравнение: x2

(**)

Решите уравнение:

Ответ. x1 = 1, x2 = –1.

22. 7 · 4

53

и системе

x

6y2

§ 10. Показательные уравнения

(*)

40. 5lg x = 50 – xlg 5. 42. x 2 lg 2 – 5 · 2lg x + 6 = 0.

41. 10 lg

2

x

+ xlg x = 20.


52

Г л а в а 2. Уравнения

2 Полаая  --3-   

= y, получаем уравнение

10x2 – 1 = 3x, |x – 2| − 0.

– 13y + 6 = 0, 2

3

орнями отороо являются y1 = --2- и y2 = --3- . Таим образом, решение уравнения сводится  решению двух простейших поx x 3 3 3 2 азательных уравнений  --2-  = --2- и  --2-  = --3- .    

23. 3 · 16 25. 6

x

– 9 · 14

x

+ 36

9 – 13

16x

x

x

x2

x2

x

29. (4 +

4 = 0.

4x

15 )x + (4 –

=

3x 2 – 10x + 3

log5 x – 1

x–3

x–2

. 3

37. x loga x = (a π ) loga x .

= 1.

= 5.

39. x

lg x + 7

= 10

4(lg x + 1)

2

32. 5 1 +

x3

– 51 –

x3

= 24.

Р е ш е н и е. Применяя основное лоарифмичесое тождество, преобразуем второе слааемое в левой части уравнения: x log 3 x = ( 3 log 3 x )

0,2x – 2

+5· = 26. 33. 34. 102/x + 251/x = 4,25 · 501/x.

log 3 x

2

= 3 log 3 x .

(*)

Теперь подставим выражение (*) в исходное уравнение: 2

Уравнение вида

2 · 3 log 3 x = 162. (a(x))b(x) = (a(x))c(x)

2

в свою очередь эвивалентно двум уравнениям

a(x) = 1

log3 x = 2,

и системе

Решив их, получаем x1 = 9, x2 = --9- . 1

Ответ. x1 = 9, x2 = --9- .

П р и м е р 4. Решить уравнение = |x – 2|3x.

Решите уравнение:

Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению |x – 2| = 1

log3 x = –2. 1

b(x) = c(x). a(x) > 0.

10x 2 – 1

(**)

Уравнение (**) эвивалентно уравнению log 3 x = 4, оторое

эвивалентно уравнению

x–2

.

3 log3 x + x log 3 x = 162.

15 )x = 62.

31. 91/x + 121/x = 161/x.

x+1

П р и м е р 5. Решить уравнение

28. 27x + 12x = 2 · 8x.

30. ( 5 + 2 6 )x + ( 5 – 2 6 )x = 10. 5x – 1

x–3

Не оторые специальные приемы решения по азательных равнений. В ряде случае уравнения можно свести  рассмотренным выше, если преобразовать отдельные их элементы, используя основное лоарифмичесое тождество.

24. 8x + 18x = 2 · 27x.

26. –5· +6· = 0. 27. 23x – 3 – 5 + 6 · 23 – 3x = 0. 8x

4

38. ( x )

= 0.

= 2 · 81 . x

Ответ. x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

36. x – 3

+ 2 · 49

6 +6

Уравнение (*) имеет орни x1 = 3, x2 = 1, а системе (**) удовлетворяют значения x3 = 0,5, x4 = – 0,2.

35.

Решите уравнение: x2

(**)

Решите уравнение:

Ответ. x1 = 1, x2 = –1.

22. 7 · 4

53

и системе

x

6y2

§ 10. Показательные уравнения

(*)

40. 5lg x = 50 – xlg 5. 42. x 2 lg 2 – 5 · 2lg x + 6 = 0.

41. 10 lg

2

x

+ xlg x = 20.


54

Г л а в а 2. Уравнения

Инода уравнение, содержащее неизвестное в поазателе степени, удается решить с помощью исследования фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение 76 – x

= x + 2.

Р е ш е н и е. Корень x = 5 можно найти подбором. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = 76 – x монотонно убывает, а фунция g(x) = x + 2 монотонно возрастает, и, следовательно, рафии этих фунций моут пересечься не более, чем в одной точе. Ответ. x = 5. x

x

x

43. ( 2 + 3 )



44. 3

x–1



46. 4

x



47. (x + 1) 9



48. x2 – x + 1 = 2 · 2x – 1 – 4x – 1. 49. 5

+ 5

+ ( 2 – 3)

x–1

+ (x – 1) 2

x

4 51.  ---   3 

x–3

+ 12 x

x

= 34. x

= 2 . 

45. 2 3x

2

– 2x 3

= 13

x–3

x.

Сведение простейшим лоарифмичес им равнениям. Неоторые лоарифмичесие уравнения решаются с использованием основных свойств лоарифмов (1)—(5) (см. § 5), позволяющих свести решение данноо уравнения  решению простейшео лоарифмичесоо уравнения. П р и м е р 1. Решить уравнение 2 – x + 3 log5 2 = log5 ( 3

x

– 5

2–x

).

x

3 –5 8

2–x

2 – x = log5 --------------------------- . Последнее уравнение эвивалентно уравнению x

50. 3

x2

+ 4

x2

= 5

x2

оторое можно записать в виде

.

3

a − 1,

(1)

с множеством допустимых значений x > 0 имеет решение x = Лоарифмичесое уравнение, в отором под знаом лоарифма находится неоторая фунция f(x): a − 1,

=9· 5

2–x

,

3

или

3

ab.

a > 0,

x

x–2

= 5

2–x

,

или

15

x–2

= 1.

Полученное поазательное уравнение эвивалентно уравнению x – 2 = 0, решение отороо есть x = 2. Множество допустимых значений x для данноо уравнения определяется неравенством

Лоарифмичесим равнением называют уравнение, содержащее неизвестную величину под знаом лоарифма. Простейшее лоарифмичесое уравнение a > 0,

2–x

2–x 3 –5 --------------------------- = 5 , 8

– 16 = 0.

§ 11. Логарифмические уравнения

loga f(x) = b,

f(x) = ab.

x2 + 1

= –2x2 + 6x –9.

loga x = b,

имеет множество допустимых значений x, задаваемых неравенством f(x) > 0, и эвивалентно уравнению

= ---------------x .

= 6 – 2x.

+ 4x · 3

55

Р е ш е н и е. Перенесем лоарифм из левой части уравнения в правую и, воспользовавшись свойствами лоарифмов, запишем уравнение в виде

Решите уравнение: 

§ 11. Логарифмические уравнения

(2)

x

– 5

2–x

> 0.

При x = 2 это неравенство справедливо, и, следовательно, x = 2 является решением исходноо лоарифмичесоо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение: 1. log5 [2 + log3 (3 + x)] = 0. 1

2. lg (5 – x) – --3- lg (35 – x3) = 0. 3. log3 ( 3

x

– 8) = 2 – x.


54

Г л а в а 2. Уравнения

Инода уравнение, содержащее неизвестное в поазателе степени, удается решить с помощью исследования фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 6. Решить уравнение 76 – x

= x + 2.

Р е ш е н и е. Корень x = 5 можно найти подбором. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = 76 – x монотонно убывает, а фунция g(x) = x + 2 монотонно возрастает, и, следовательно, рафии этих фунций моут пересечься не более, чем в одной точе. Ответ. x = 5. x

x

x

43. ( 2 + 3 )



44. 3

x–1



46. 4

x



47. (x + 1) 9



48. x2 – x + 1 = 2 · 2x – 1 – 4x – 1. 49. 5

+ 5

+ ( 2 – 3)

x–1

+ (x – 1) 2

x

4 51.  ---   3 

x–3

+ 12 x

x

= 34. x

= 2 . 

45. 2 3x

2

– 2x 3

= 13

x–3

x.

Сведение простейшим лоарифмичес им равнениям. Неоторые лоарифмичесие уравнения решаются с использованием основных свойств лоарифмов (1)—(5) (см. § 5), позволяющих свести решение данноо уравнения  решению простейшео лоарифмичесоо уравнения. П р и м е р 1. Решить уравнение 2 – x + 3 log5 2 = log5 ( 3

x

– 5

2–x

).

x

3 –5 8

2–x

2 – x = log5 --------------------------- . Последнее уравнение эвивалентно уравнению x

50. 3

x2

+ 4

x2

= 5

x2

оторое можно записать в виде

.

3

a − 1,

(1)

с множеством допустимых значений x > 0 имеет решение x = Лоарифмичесое уравнение, в отором под знаом лоарифма находится неоторая фунция f(x): a − 1,

=9· 5

2–x

,

3

или

3

ab.

a > 0,

x

x–2

= 5

2–x

,

или

15

x–2

= 1.

Полученное поазательное уравнение эвивалентно уравнению x – 2 = 0, решение отороо есть x = 2. Множество допустимых значений x для данноо уравнения определяется неравенством

Лоарифмичесим равнением называют уравнение, содержащее неизвестную величину под знаом лоарифма. Простейшее лоарифмичесое уравнение a > 0,

2–x

2–x 3 –5 --------------------------- = 5 , 8

– 16 = 0.

§ 11. Логарифмические уравнения

loga f(x) = b,

f(x) = ab.

x2 + 1

= –2x2 + 6x –9.

loga x = b,

имеет множество допустимых значений x, задаваемых неравенством f(x) > 0, и эвивалентно уравнению

= ---------------x .

= 6 – 2x.

+ 4x · 3

55

Р е ш е н и е. Перенесем лоарифм из левой части уравнения в правую и, воспользовавшись свойствами лоарифмов, запишем уравнение в виде

Решите уравнение: 

§ 11. Логарифмические уравнения

(2)

x

– 5

2–x

> 0.

При x = 2 это неравенство справедливо, и, следовательно, x = 2 является решением исходноо лоарифмичесоо уравнения. Ответ. x = 2. Решите уравнение: 1. log5 [2 + log3 (3 + x)] = 0. 1

2. lg (5 – x) – --3- lg (35 – x3) = 0. 3. log3 ( 3

x

– 8) = 2 – x.


56

Г л а в а 2. Уравнения 4. log

5

(4

x

– 6) – log

5

(2

x

1

19. -----lg 10

Лоарифмичесое уравнение вида

11. log2 (2x2 – 2) = log2 (5x – 4).

f(x) = g (x), рассматриваемому на множестве допустимых значений x, задаваемом системой неравенств a(x) − 1.

Если в данное уравнение входят лоарифмы по разным основаниям, то предварительно необходимо привести все лоарифмы  одному основанию.

1

x – 1 + --2- lg (2x + 15) = 1.

(*)

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестноо x для данноо уравнения находится а решение системы x – 1 > 0, 2x + 15 > 0 и представляет собой промежуто (1; +×). Используя свойства лоарифмов, преобразуем уравнение (*)  виду lg ( x – 1 ·

2x + 15 ) = 1.

Из последнео уравнения по определению лоарифма получаем иррациональное уравнение ( x – 1 ) ( 2x + 15 ) = 10, имеющее решения x1 = 5, x2 = –11,5. Множеству допустимых значений исходноо уравнения принадлежит лишь орень x1 = 5, оторый и является решением уравнения (*). Ответ. x = 5.

13. logx + 1 (x – 0,5) = logx – 0,5 (x + 1). 14. log x 3 + 2x 2 – 3x + 5 (x3 + 3x2 – 2x – 1) = log2x x + log2x 2. 15. log1 + x (2x3 + 2x2 – 3x + 1) = 3. 16. logx + 1 (x3 – 9x + 8) · logx – 1 (x + 1) = 3. 1 log 2 ( 3 – 4x )

18. log 3 – 4x 2 (9 – 16x4) = 2 + ------------------------------------2 . 3

2 19. log3x --x- + log 3 x = 1.

20. logx 16 + log2x 64 = 3. 21. 20 log4x

x + 7 log16x x3 – 3 logx/2 x2 = 0. 7

22. logx 2 – log4 x + --6- = 0. 23. 2 – log b 2 (1 + x) = 3 logb

x – 1 – log b 4 (x2 – 1)2.

24. 3 logx 4 + 2 log4x 4 + 3 log16x 4 = 0. Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть лоарифмичесое уравнение имеет вид f(loga x) = 0, де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = loga x оно сводится  уравнениям вида (1): loga x = yi,

Решите уравнение: 6. 2 log3 (x – 2) + log3 (x – 4)2 = 0. 2+x

lg ( 35 – x 3 )

12. ------------------------------lg ( 5 – x ) = 3.

17. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4.

П р и м е р 2. Решить уравнение lg

1

1 x 2 – 4x + 4 – --2- lg x – lg ------- = 0. x

- = 0. 10. lg (x(x + 9)) + lg ------------x

эвивалентно уравнению

a(x) > 0,

3

x+9

loga (x) f(x) = loga (x) g(x)

g (x) > 0,

57

18. 0,5 lg (x2 – 10x + 25) + lg (x2 – 6x + 3) = = 2 lg (x – 5) + 0,5 lg 25.

– 2) = 2.

5. lg (3x2 + 12x + 19) – lg (3x + 4) = 1.

f(x) > 0,

§ 11. Логарифмические уравнения

2

-------------7. log5 ------------10 = log5 x + 1 .

де yi — орни уравнения f(y) = 0. П р и м е р 3. Решить уравнение (log2 x)2 – 5 log2 x + 6 = 0.


56

Г л а в а 2. Уравнения 4. log

5

(4

x

– 6) – log

5

(2

x

1

19. -----lg 10

Лоарифмичесое уравнение вида

11. log2 (2x2 – 2) = log2 (5x – 4).

f(x) = g (x), рассматриваемому на множестве допустимых значений x, задаваемом системой неравенств a(x) − 1.

Если в данное уравнение входят лоарифмы по разным основаниям, то предварительно необходимо привести все лоарифмы  одному основанию.

1

x – 1 + --2- lg (2x + 15) = 1.

(*)

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестноо x для данноо уравнения находится а решение системы x – 1 > 0, 2x + 15 > 0 и представляет собой промежуто (1; +×). Используя свойства лоарифмов, преобразуем уравнение (*)  виду lg ( x – 1 ·

2x + 15 ) = 1.

Из последнео уравнения по определению лоарифма получаем иррациональное уравнение ( x – 1 ) ( 2x + 15 ) = 10, имеющее решения x1 = 5, x2 = –11,5. Множеству допустимых значений исходноо уравнения принадлежит лишь орень x1 = 5, оторый и является решением уравнения (*). Ответ. x = 5.

13. logx + 1 (x – 0,5) = logx – 0,5 (x + 1). 14. log x 3 + 2x 2 – 3x + 5 (x3 + 3x2 – 2x – 1) = log2x x + log2x 2. 15. log1 + x (2x3 + 2x2 – 3x + 1) = 3. 16. logx + 1 (x3 – 9x + 8) · logx – 1 (x + 1) = 3. 1 log 2 ( 3 – 4x )

18. log 3 – 4x 2 (9 – 16x4) = 2 + ------------------------------------2 . 3

2 19. log3x --x- + log 3 x = 1.

20. logx 16 + log2x 64 = 3. 21. 20 log4x

x + 7 log16x x3 – 3 logx/2 x2 = 0. 7

22. logx 2 – log4 x + --6- = 0. 23. 2 – log b 2 (1 + x) = 3 logb

x – 1 – log b 4 (x2 – 1)2.

24. 3 logx 4 + 2 log4x 4 + 3 log16x 4 = 0. Сведение заменой переменных алебраичес ом равнению. Пусть лоарифмичесое уравнение имеет вид f(loga x) = 0, де f(x) — неоторая фунция от x. Тода заменой y = loga x оно сводится  уравнениям вида (1): loga x = yi,

Решите уравнение: 6. 2 log3 (x – 2) + log3 (x – 4)2 = 0. 2+x

lg ( 35 – x 3 )

12. ------------------------------lg ( 5 – x ) = 3.

17. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4.

П р и м е р 2. Решить уравнение lg

1

1 x 2 – 4x + 4 – --2- lg x – lg ------- = 0. x

- = 0. 10. lg (x(x + 9)) + lg ------------x

эвивалентно уравнению

a(x) > 0,

3

x+9

loga (x) f(x) = loga (x) g(x)

g (x) > 0,

57

18. 0,5 lg (x2 – 10x + 25) + lg (x2 – 6x + 3) = = 2 lg (x – 5) + 0,5 lg 25.

– 2) = 2.

5. lg (3x2 + 12x + 19) – lg (3x + 4) = 1.

f(x) > 0,

§ 11. Логарифмические уравнения

2

-------------7. log5 ------------10 = log5 x + 1 .

де yi — орни уравнения f(y) = 0. П р и м е р 3. Решить уравнение (log2 x)2 – 5 log2 x + 6 = 0.


58

Г л а в а 2. Уравнения Р е ш е н и е. Полаая log2 x = y, получаем уравнение y2

орнями отороо являются y1 = 2, y2 = 3. Следовательно, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям вида (1): log2 x = 3,

y2 + 2y – 8 = 0, имеющему орни y1 = – 4, y2 = 2. Наонец, решив простейшие лоарифмичесие уравнения, находим орни исходноо уравнения:

имеющим решения x1 = 4 и x2 = 8.

log3 x = –4 _ x = 3–4,

Ответ. x1 = 4, x2 = 8.

Ответ. x1 = 32, x2 = 3–4.

Решите уравнение: 25. lg3 x – lg2 x – 6 lg x = 0.

Решите уравнение:

26.

23

2 2 log 16 x

3

35. x 2 lg

log 2 x – 6 = 0.

36. x

3

lg 2

3

x – 1,5 lg x

x + lg

x3

37. x 2 lg

x π   2 -2 4π ------28. log1/9 -----27 · log1/9  x tg 3  = 2 cos 3 .

1 + log x 27 log3 x + 1 = 0.

31. 3 lg x + 2 lg 33. log3 ( 3

x

1 --- = 2. x

– 1) log3 ( 3

x+1

32.

10 . 2

-. = ---------------------------------------------------------------1 1

2

x

= 10x3.

38. 15 log5 3 x log 5 9x + 1 = 1.

30. 4 – lg x = 3 lg x . 

+3

=

log3 x = 2 _ x = 32.

---------------------------- – ----------------------------x+1+1 x+1–1

3 3 27. --4- log 3 x – 30 log 3 x + 36 = 0.

29.

59

Полаая log3 x = y и выполнив замену переменных, приходим  вадратному уравнению

– 5y + 6 = 0,

log2 x = 2,

§ 11. Логарифмические уравнения

lg ( – x ) = lg

x2 .

– 3) = 6.

39. 9xlg x + 9x–lg x = 60. 2

40. x log 2 x

П р и м е р 4. Решить уравнение

– log 2 2x – 2

3 -------------------------2 )3

41. x ( log3 x

34. 2 log2 log2 x + log1/2 log2 (2 2 x) = 1. Метод лоарифмирования. Если неизвестное в уравнении содержится а под знаом лоарифма, та и в основании степени, то в неоторых случаях таое уравнение можно решить лоарифмированием обеих ео частей с последующим использованием приведенных выше методов решения.

2

42. 7 · x

= ( x)

+ (x + 2)

log

1 log 3 x

– log 3 x + --------------------

1 3 -------------------------- + logx ----------( log2 x 2 ) 3 2 2

(x + 2) 2

4

= 3.

.

= 5 + (x + 7)

2 ----------------------------------log 2 ( x + 7 )

.

Использование свойств лоарифмичес ой фн ции. Неоторые лоарифмичесие уравнения удается решить с помощью исследования поведения фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 5. Решить уравнение

x 2 + log 3 x = 38.

log7 (x + 2) = 6 – x.

Р е ш е н и е. Пролоарифмируем обе части уравнения по основанию 3: log3 ( x 2 + log 3 x ) = log3 38.

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся, что x = 5 является решением уравнения. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = log7 (x + 2) возрастает, а фунция g(x) = 6 – x убывает, и, следовательно, рафии этих фунций не моут иметь более одной точи пересечения.

Используя свойства лоарифмов, получаем уравнение (2 + log3 x) log3 x = 8.

Ответ. x = 5.


58

Г л а в а 2. Уравнения Р е ш е н и е. Полаая log2 x = y, получаем уравнение y2

орнями отороо являются y1 = 2, y2 = 3. Следовательно, исходное уравнение эвивалентно двум уравнениям вида (1): log2 x = 3,

y2 + 2y – 8 = 0, имеющему орни y1 = – 4, y2 = 2. Наонец, решив простейшие лоарифмичесие уравнения, находим орни исходноо уравнения:

имеющим решения x1 = 4 и x2 = 8.

log3 x = –4 _ x = 3–4,

Ответ. x1 = 4, x2 = 8.

Ответ. x1 = 32, x2 = 3–4.

Решите уравнение: 25. lg3 x – lg2 x – 6 lg x = 0.

Решите уравнение:

26.

23

2 2 log 16 x

3

35. x 2 lg

log 2 x – 6 = 0.

36. x

3

lg 2

3

x – 1,5 lg x

x + lg

x3

37. x 2 lg

x π   2 -2 4π ------28. log1/9 -----27 · log1/9  x tg 3  = 2 cos 3 .

1 + log x 27 log3 x + 1 = 0.

31. 3 lg x + 2 lg 33. log3 ( 3

x

1 --- = 2. x

– 1) log3 ( 3

x+1

32.

10 . 2

-. = ---------------------------------------------------------------1 1

2

x

= 10x3.

38. 15 log5 3 x log 5 9x + 1 = 1.

30. 4 – lg x = 3 lg x . 

+3

=

log3 x = 2 _ x = 32.

---------------------------- – ----------------------------x+1+1 x+1–1

3 3 27. --4- log 3 x – 30 log 3 x + 36 = 0.

29.

59

Полаая log3 x = y и выполнив замену переменных, приходим  вадратному уравнению

– 5y + 6 = 0,

log2 x = 2,

§ 11. Логарифмические уравнения

lg ( – x ) = lg

x2 .

– 3) = 6.

39. 9xlg x + 9x–lg x = 60. 2

40. x log 2 x

П р и м е р 4. Решить уравнение

– log 2 2x – 2

3 -------------------------2 )3

41. x ( log3 x

34. 2 log2 log2 x + log1/2 log2 (2 2 x) = 1. Метод лоарифмирования. Если неизвестное в уравнении содержится а под знаом лоарифма, та и в основании степени, то в неоторых случаях таое уравнение можно решить лоарифмированием обеих ео частей с последующим использованием приведенных выше методов решения.

2

42. 7 · x

= ( x)

+ (x + 2)

log

1 log 3 x

– log 3 x + --------------------

1 3 -------------------------- + logx ----------( log2 x 2 ) 3 2 2

(x + 2) 2

4

= 3.

.

= 5 + (x + 7)

2 ----------------------------------log 2 ( x + 7 )

.

Использование свойств лоарифмичес ой фн ции. Неоторые лоарифмичесие уравнения удается решить с помощью исследования поведения фунций, входящих в левую и правую части уравнения. П р и м е р 5. Решить уравнение

x 2 + log 3 x = 38.

log7 (x + 2) = 6 – x.

Р е ш е н и е. Пролоарифмируем обе части уравнения по основанию 3: log3 ( x 2 + log 3 x ) = log3 38.

Р е ш е н и е. Подстановой убеждаемся, что x = 5 является решением уравнения. Друих решений уравнение не имеет, та а фунция f(x) = log7 (x + 2) возрастает, а фунция g(x) = 6 – x убывает, и, следовательно, рафии этих фунций не моут иметь более одной точи пересечения.

Используя свойства лоарифмов, получаем уравнение (2 + log3 x) log3 x = 8.

Ответ. x = 5.


60

Г л а в а 2. Уравнения Решите уравнение: 2

43. (x + 1) log 3 x + 4x log3 x – 16 = 0.

Глава 3 Системы уравнений

44. 3x2 – 2x3 = log2 (x2 + 1) – log2 x. 45. 3 46.

x

= 10 – log2 x.

2 log 2 x

+ (x – 1) log2 x = 6 – 2x.

Несольо уравнений F1(x1, x2, ..., xn) = 0, F2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., Fk(x1, x2, ..., xn) = 0,

§ 12. Разные задачи Решите уравнение: 1. 12 3. 2

x

5. 10 

7. 5

10.

– 3 x2

= 3

x/2

3x

.

2. 2

8

x

6. x

= 100.

+ 13

– 5 · 12

3x – 2

x

x

+ 4

4. (sin 1)

= 2 · 100 .

3x – 2

x

x+8

= 1.

10(x + 1)(3x + 4)

11. 9

· 4

x

x x+1

9. 11 

2x + 4

–2·

8. x = 13

3x – 1

x 3

+ 6 · 16

x

+ (cos 1)

= ( x )x. 3x – 1

.

2 10 1 – x – x

.

= 0.

12. log3 [(x + 2)(x – 3)] = 4 logx (2x + 1) – log

7

7.

13. lg2 x3 – 20 lg x + 1 = 0. 14. |1 – log1/6 x| + 2 = |3 – log1/6 x|. 15. log

x

(x + |x – 2|) = logx (5x – 6 + 5|x – 2|).

16. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4. 1 + log ( x – 4 )

2 17. ---------------------------------------------------------------- = 1.

log

2

( x + 3 – x – 3)

18. log5 [ (2 + 5 ) 1  19. 5 ·  ----- 25 

sin 2 x

20. ( 7 + 4 3 ) 1 21.  --3-   

x

x

1

– ( 5 – 2) ] = --2- – 3 log1/5 2. 1 --- sin 2x

+ 4 · 5cos 2x = 25 2

cos x

+ ( 7 – 4 3)

log 9 ( x 2 + 2x + 4 )

x

= ( x) .

x2

=

x

=8· 3

x

– 11

10(x + 1)(x + 2)

(x + 1)/2

cos x

= 6 log 1/6 ( x + 2 ) .

5

.

= --2- .

x/3

= 1.

.

рассматриваемых совместно, называют системой равнений. Решением этой системы называют упорядоченный набор значений неизвестных, обращающий все уравнения системы в тождества. Если система уравнений имеет решения, то оворят, что она совместна. Если же система уравнений не имеет решений, то оворят, что она несовместна. Линейным равнением с n неизвестными называют уравнение вида a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, де a1, a2, ..., an, b — неоторые числа. Систему уравнений называют линейной, если все уравнения системы линейные. Совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение (т. е. существует единственный набор чисел k1, ..., kn, обращающий все уравнения системы в тождества). Совместную систему уравнений называют неопределенной, если она имеет более одноо решения. Две совместные системы уравнений называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. При решении систем уравнений часто используют следующие преобразования системы, приводящие  системе уравнений, эвивалентной исходной. 1. Если обе части аоо-либо уравнения системы умножить на одно и то же (не равное нулю) число, то полученная система будет эвивалентна первоначальной (т. е. они или обе несовместны, или же обе совместны и множества их решений совпадают). 2. Если обе части аоо-либо уравнения системы, умноженные на неоторое (отличное от нуля) число, вычесть из соответствующих частей друоо уравнения и составить систему, в оторой одно из упомянутых уравнений заменено уравнени-


60

Г л а в а 2. Уравнения Решите уравнение: 2

43. (x + 1) log 3 x + 4x log3 x – 16 = 0.

Глава 3 Системы уравнений

44. 3x2 – 2x3 = log2 (x2 + 1) – log2 x. 45. 3 46.

x

= 10 – log2 x.

2 log 2 x

+ (x – 1) log2 x = 6 – 2x.

Несольо уравнений F1(x1, x2, ..., xn) = 0, F2(x1, x2, ..., xn) = 0, ..., Fk(x1, x2, ..., xn) = 0,

§ 12. Разные задачи Решите уравнение: 1. 12 3. 2

x

5. 10 

7. 5

10.

– 3 x2

= 3

x/2

3x

.

2. 2

8

x

6. x

= 100.

+ 13

– 5 · 12

3x – 2

x

x

+ 4

4. (sin 1)

= 2 · 100 .

3x – 2

x

x+8

= 1.

10(x + 1)(3x + 4)

11. 9

· 4

x

x x+1

9. 11 

2x + 4

–2·

8. x = 13

3x – 1

x 3

+ 6 · 16

x

+ (cos 1)

= ( x )x. 3x – 1

.

2 10 1 – x – x

.

= 0.

12. log3 [(x + 2)(x – 3)] = 4 logx (2x + 1) – log

7

7.

13. lg2 x3 – 20 lg x + 1 = 0. 14. |1 – log1/6 x| + 2 = |3 – log1/6 x|. 15. log

x

(x + |x – 2|) = logx (5x – 6 + 5|x – 2|).

16. logx + 1 (x2 + x – 6)2 = 4. 1 + log ( x – 4 )

2 17. ---------------------------------------------------------------- = 1.

log

2

( x + 3 – x – 3)

18. log5 [ (2 + 5 ) 1  19. 5 ·  ----- 25 

sin 2 x

20. ( 7 + 4 3 ) 1 21.  --3-   

x

x

1

– ( 5 – 2) ] = --2- – 3 log1/5 2. 1 --- sin 2x

+ 4 · 5cos 2x = 25 2

cos x

+ ( 7 – 4 3)

log 9 ( x 2 + 2x + 4 )

x

= ( x) .

x2

=

x

=8· 3

x

– 11

10(x + 1)(x + 2)

(x + 1)/2

cos x

= 6 log 1/6 ( x + 2 ) .

5

.

= --2- .

x/3

= 1.

.

рассматриваемых совместно, называют системой равнений. Решением этой системы называют упорядоченный набор значений неизвестных, обращающий все уравнения системы в тождества. Если система уравнений имеет решения, то оворят, что она совместна. Если же система уравнений не имеет решений, то оворят, что она несовместна. Линейным равнением с n неизвестными называют уравнение вида a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, де a1, a2, ..., an, b — неоторые числа. Систему уравнений называют линейной, если все уравнения системы линейные. Совместную систему уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение (т. е. существует единственный набор чисел k1, ..., kn, обращающий все уравнения системы в тождества). Совместную систему уравнений называют неопределенной, если она имеет более одноо решения. Две совместные системы уравнений называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. При решении систем уравнений часто используют следующие преобразования системы, приводящие  системе уравнений, эвивалентной исходной. 1. Если обе части аоо-либо уравнения системы умножить на одно и то же (не равное нулю) число, то полученная система будет эвивалентна первоначальной (т. е. они или обе несовместны, или же обе совместны и множества их решений совпадают). 2. Если обе части аоо-либо уравнения системы, умноженные на неоторое (отличное от нуля) число, вычесть из соответствующих частей друоо уравнения и составить систему, в оторой одно из упомянутых уравнений заменено уравнени-


62

Г л а в а 3. Системы уравнений

ем, полученным в результате вычитания, а остальные уравнения оставлены без изменений, то полученная система будет эвивалентна исходной.

§ 13. Системы линейных уравнений

63

Подставляя значения z = 1 и y = 2 в первое уравнение той же системы, находим x = 1. Ответ. x = 1, y = 2, z = 1. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:

§ 13. Системы линейных уравнений Метод Гасса. При нахождении решений системы m линейных уравнений с n неизвестными удобно использовать метод Гасса, состоящий в том, что систему приводят  треуольному или трапециедальному виду.

1.

2x + 2y + 2z = 7, 2x + 2y + 2z = 8, 2x + 2y + 2z = 9.

2.

3x – 4y + 5z = 18, 2x + 4y – 3z = 26, 0x – 6y + 8z = 00.

3.

10x – y – 19z = 19, 18x – y – 12z = 10, 10x – y – 12z = 10.

4.

0x + 2y + 0z + 7 = 0, 2x + 2y – 0z – 1 = 0, 3x – 2y + 2z – 2 = 0.

П р и м е р 1. Решить систему 0x + 2y + 3z = 8, 3x + 0y + 0z = 6, 2x + 0y + 2z = 6.

y z x -----3- – -----2- + --- = 1, a a a

(*)

Р е ш е н и е. Умножим обе части первоо уравнения системы (*) на (–3) и сложим со вторым уравнением: тода получим уравнение –5y – 8z = –18, или 5y + 8z = 18. Далее, умножив обе части первоо уравнения системы (*) на (–2) и сложив с третьим ее уравнением, получаем уравнение –3y –4z = –10, или 3y + 4z = 10. Следовательно, данную систему можно записать в виде эвивалентной системы, в оторой второе и третье уравнения не содержат неизвестноо x: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, x + 3y + 4z = 10.

5.

x y z ----- – -----2 + --- = 1, b b3 b x y z ----3- – ----2- + --- = 1. c c c

Решение и исследование систем двх линейных равнений с двмя неизвестными. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными a11x + a12y = b1, a21x + a22y = b2

(1)

при условии, что хотя бы один из оэффициентов отличен от нуля. Обозначим через ∆, ∆ x и ∆ y соответственно следующие определители:

(**)

∆=

Умножив обе части второо уравнения системы (**) на 3, а третьео — на (–5) и сложив эти уравнения, придем  уравнению 4z = 4. Таим образом, система (**) эвивалентна следующей: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, (***) x + 2y + 8z = 11.

∆x =

Ита, исходная система приведена  треуольному виду. Подставляя z = 1 во второе уравнение системы (***), находим y = 2.

6.

x + a2y + b2z = 0, x + ay + bz = 0, x + y + z = 1.

∆y =

a 11

a 12

a 21

a 22

b1

a 12

b2

a 22

a 11

b1

a 21

b2

= a11a22 – a12a21, = b1a22 – b2a12, = a11b2 – a21b1.

Тода справедливо следующее утверждение. Если ∆ − 0, то система (1) имеет единственное решение ∆x

-, x = ----∆

∆y

-. y = ----∆


62

Г л а в а 3. Системы уравнений

ем, полученным в результате вычитания, а остальные уравнения оставлены без изменений, то полученная система будет эвивалентна исходной.

§ 13. Системы линейных уравнений

63

Подставляя значения z = 1 и y = 2 в первое уравнение той же системы, находим x = 1. Ответ. x = 1, y = 2, z = 1. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:

§ 13. Системы линейных уравнений Метод Гасса. При нахождении решений системы m линейных уравнений с n неизвестными удобно использовать метод Гасса, состоящий в том, что систему приводят  треуольному или трапециедальному виду.

1.

2x + 2y + 2z = 7, 2x + 2y + 2z = 8, 2x + 2y + 2z = 9.

2.

3x – 4y + 5z = 18, 2x + 4y – 3z = 26, 0x – 6y + 8z = 00.

3.

10x – y – 19z = 19, 18x – y – 12z = 10, 10x – y – 12z = 10.

4.

0x + 2y + 0z + 7 = 0, 2x + 2y – 0z – 1 = 0, 3x – 2y + 2z – 2 = 0.

П р и м е р 1. Решить систему 0x + 2y + 3z = 8, 3x + 0y + 0z = 6, 2x + 0y + 2z = 6.

y z x -----3- – -----2- + --- = 1, a a a

(*)

Р е ш е н и е. Умножим обе части первоо уравнения системы (*) на (–3) и сложим со вторым уравнением: тода получим уравнение –5y – 8z = –18, или 5y + 8z = 18. Далее, умножив обе части первоо уравнения системы (*) на (–2) и сложив с третьим ее уравнением, получаем уравнение –3y –4z = –10, или 3y + 4z = 10. Следовательно, данную систему можно записать в виде эвивалентной системы, в оторой второе и третье уравнения не содержат неизвестноо x: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, x + 3y + 4z = 10.

5.

x y z ----- – -----2 + --- = 1, b b3 b x y z ----3- – ----2- + --- = 1. c c c

Решение и исследование систем двх линейных равнений с двмя неизвестными. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными a11x + a12y = b1, a21x + a22y = b2

(1)

при условии, что хотя бы один из оэффициентов отличен от нуля. Обозначим через ∆, ∆ x и ∆ y соответственно следующие определители:

(**)

∆=

Умножив обе части второо уравнения системы (**) на 3, а третьео — на (–5) и сложив эти уравнения, придем  уравнению 4z = 4. Таим образом, система (**) эвивалентна следующей: x + 2y + 3z = 18, x + 5y + 8z = 18, (***) x + 2y + 8z = 11.

∆x =

Ита, исходная система приведена  треуольному виду. Подставляя z = 1 во второе уравнение системы (***), находим y = 2.

6.

x + a2y + b2z = 0, x + ay + bz = 0, x + y + z = 1.

∆y =

a 11

a 12

a 21

a 22

b1

a 12

b2

a 22

a 11

b1

a 21

b2

= a11a22 – a12a21, = b1a22 – b2a12, = a11b2 – a21b1.

Тода справедливо следующее утверждение. Если ∆ − 0, то система (1) имеет единственное решение ∆x

-, x = ----∆

∆y

-. y = ----∆


64

Г л а в а 3. Системы уравнений Если ∆ = 0, то: 1) в случае, о да хотя бы один из определителей ∆ x или

§ 13. Системы линейных уравнений При a = –1 имеем –x + y = 2, –x – y = –2 ^

∆ y не равен нулю, система (1) является несовместной (т. е. не имеет решений); 2) в случае, о да ∆ x = ∆ y = 0, система (1) является совместной и неопределенной (т. е. имеет бесонечно мноо решений). Каждое из уравнений системы (1) задает линейное соответствие между переменными x и y. Всяое линейное соответствие между переменными x и y определяет в прямоуольной системе оординат неоторую прямую. Если система имеет единственное решение, то прямые, задаваемые ее уравнениями, пересеаются. Если система имеет бесчисленное множество решений, то прямые совпадают; если система несовместна, то прямые параллельны. П р и м е р 2. Решить и исследовать систему ax + ay = 2, ax + ay = 2a. Р е ш е н и е. Вычислим определители ∆, ∆ x и ∆ y : ∆= ∆x = ∆y =

a

1

1

a

2 2a a

2

1

2a

– 1 − 0, т. е. a − ä1. В этом случае система 1. Пусть ∆ = имеет единственное решение: ∆ 0 - = 0, x = -----x- = --------------a2 – 1 ∆

2. Пусть ∆ =

a2

Ответ. При a − ä1 система имеет единственное решение x = 0, y = 2; при a = 1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x + y = 2; при a = –1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x – y = –2. Исследуйте систему уравнений: 7.

x + ay – 1 = 0, ax – 3ay – (2a + 3) = 0.

8.

3x + ay = 5a2, 3x – ay = a2.

9.

(a + 5)x + (2a + 3)y – (3a + 2) = 0, (3a + 10)x + (5a + 6)y – (2a + 4) = 0.

10.

a(a – 1)x + (a + 1)ay = a3 + 2, (a2 – 1)x + (a3 + 1)y = a4 – 1.

11.

ax – y = b, bx + y = a.

12.

(a2 + b2)x + (a2 – b2)y = a2, (a + b)x + (a – b)y = a.2

= 2a2 – 2.

a2

∆ 2a 2 – 2 - = 2. y = -----y- = ------------------a2 – 1 ∆

– 1 = 0, т. е. a = ä1. В этом случае ∆ = ∆ x =

= ∆ y = 0, т. е. система совместная и неопределенная. При a = 1 система примет вид x + y = 2, x + y = 2, и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x + y = 2.

x – y = –2, x – y = –2,

и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x – y = –2.

= a2 – 1, 1 = 2a – 2a = 0, a

65

13. Найдите таие значения параметров m и p, при оторых система (3m – 5p + b)x + (8m – 3p – a)y = 1, (2m – 3p + b)x + (4m – p)y = 2, была бы неопределенной. 14. Совместны ли уравнения x + ay = b + c, x + by = c + a, x + cy = a + b, де a2 + b2 + c2 = 1 и a, b, c — действительные числа?


64

Г л а в а 3. Системы уравнений Если ∆ = 0, то: 1) в случае, о да хотя бы один из определителей ∆ x или

§ 13. Системы линейных уравнений При a = –1 имеем –x + y = 2, –x – y = –2 ^

∆ y не равен нулю, система (1) является несовместной (т. е. не имеет решений); 2) в случае, о да ∆ x = ∆ y = 0, система (1) является совместной и неопределенной (т. е. имеет бесонечно мноо решений). Каждое из уравнений системы (1) задает линейное соответствие между переменными x и y. Всяое линейное соответствие между переменными x и y определяет в прямоуольной системе оординат неоторую прямую. Если система имеет единственное решение, то прямые, задаваемые ее уравнениями, пересеаются. Если система имеет бесчисленное множество решений, то прямые совпадают; если система несовместна, то прямые параллельны. П р и м е р 2. Решить и исследовать систему ax + ay = 2, ax + ay = 2a. Р е ш е н и е. Вычислим определители ∆, ∆ x и ∆ y : ∆= ∆x = ∆y =

a

1

1

a

2 2a a

2

1

2a

– 1 − 0, т. е. a − ä1. В этом случае система 1. Пусть ∆ = имеет единственное решение: ∆ 0 - = 0, x = -----x- = --------------a2 – 1 ∆

2. Пусть ∆ =

a2

Ответ. При a − ä1 система имеет единственное решение x = 0, y = 2; при a = 1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x + y = 2; при a = –1 решения системы — все пары чисел (x; y) таих, что x – y = –2. Исследуйте систему уравнений: 7.

x + ay – 1 = 0, ax – 3ay – (2a + 3) = 0.

8.

3x + ay = 5a2, 3x – ay = a2.

9.

(a + 5)x + (2a + 3)y – (3a + 2) = 0, (3a + 10)x + (5a + 6)y – (2a + 4) = 0.

10.

a(a – 1)x + (a + 1)ay = a3 + 2, (a2 – 1)x + (a3 + 1)y = a4 – 1.

11.

ax – y = b, bx + y = a.

12.

(a2 + b2)x + (a2 – b2)y = a2, (a + b)x + (a – b)y = a.2

= 2a2 – 2.

a2

∆ 2a 2 – 2 - = 2. y = -----y- = ------------------a2 – 1 ∆

– 1 = 0, т. е. a = ä1. В этом случае ∆ = ∆ x =

= ∆ y = 0, т. е. система совместная и неопределенная. При a = 1 система примет вид x + y = 2, x + y = 2, и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x + y = 2.

x – y = –2, x – y = –2,

и ее решениями являются все пары чисел (x; y), связанные равенством x – y = –2.

= a2 – 1, 1 = 2a – 2a = 0, a

65

13. Найдите таие значения параметров m и p, при оторых система (3m – 5p + b)x + (8m – 3p – a)y = 1, (2m – 3p + b)x + (4m – p)y = 2, была бы неопределенной. 14. Совместны ли уравнения x + ay = b + c, x + by = c + a, x + cy = a + b, де a2 + b2 + c2 = 1 и a, b, c — действительные числа?


66

Г л а в а 3. Системы уравнений 15. Числа a и b таовы, что система a2x – ay = 1 – a, bx + (3 – 2b)y = 3 + a,

§ 14. Системы нелинейных уравнений

неизвестное через друое и подставляют в оставшееся уравнение, оторое после этоо превращается в алебраичесое уравнение с одним неизвестным. П р и м е р 1. Решить систему

имеет единственное решение x = 1, y = 1. Найдите числа a и b. 16. При аих значениях a и b система a2x – by = a2 – b, bx – b2y = 2 + 4b имеет бесонечно мноо решений? 17. При аих значениях a система a2x + (2 – a)y = 4 + a3, ax + (2a – 1)y = a5 – 2 не имеет решений? 18. Числа a, b и c таовы, что система ax – by = 2a – b, (c + 1)x + cy = 10 – a + 3b имеет бесонечно мноо решений, причем x = 1, y = 3 — одно из этих решений. Найдите a, b и c. 19. При аих значениях параметра a система уравнений ax – 4y = a + 1, 2x + (a + 6)y = a + 3, не имеет решений? 20. При аих значениях параметра a система 2x + ay = a + 2, (a + 1)x + 2ay = 2a + 4

x2 + y2 + 6x + 2y = 0, x + y + 8 = 0. Р е ш е н и е. Из второо уравнения следует, что y = –x – 8. Подставив это выражение вместо y в первое уравнение системы, получим x2 + (x + 8)2 + 6x – 2(x + 8) = 0, или

Системы, содержащие линейное равнение. Если одно из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными линейное, в друое — нелинейное, то таую систему решают следующим способом. Из линейноо уравнения выражают одно

x2 + 10x + 24 = 0,

отуда x1 = –4, x2 = –6. Соответствующие значения y найдем из уравнения y = –x – 8. Имеем y1 = –4, y2 = –2. Ита, система имеет два решения: (–4; –4) и (–6; –2). Ответ. (–4; –4), (–6; –2). Решите систему уравнений: 1.

(x – y)(x2 – y2) = 45, x + y = 5.

2.

(x + 0,2)2 + (y + 0,3)2 = 1, x + y = 0,9.

3.

13 y x --- + --- = ------ , 6 x y

x + y = 5.

4.

(x + y)4 + 4(x + y)2 – 117 = 0, x – y = 25.

5.

x2 + y2 = 2(xy + 2), x + y = 6.

6.

x2 + y2 + 10x – 10y = 2xy – 21, x + y = 5.

имеет бесонечно мноо решений?

§ 14. Системы нелинейных уравнений

67

Системы, содержащие однородное равнение. В тех случаях, ода одно из двух уравнений нелинейной системы однородное, можно с помощью этоо уравнения линейно выразить одно неизвестное системы через друое.


66

Г л а в а 3. Системы уравнений 15. Числа a и b таовы, что система a2x – ay = 1 – a, bx + (3 – 2b)y = 3 + a,

§ 14. Системы нелинейных уравнений

неизвестное через друое и подставляют в оставшееся уравнение, оторое после этоо превращается в алебраичесое уравнение с одним неизвестным. П р и м е р 1. Решить систему

имеет единственное решение x = 1, y = 1. Найдите числа a и b. 16. При аих значениях a и b система a2x – by = a2 – b, bx – b2y = 2 + 4b имеет бесонечно мноо решений? 17. При аих значениях a система a2x + (2 – a)y = 4 + a3, ax + (2a – 1)y = a5 – 2 не имеет решений? 18. Числа a, b и c таовы, что система ax – by = 2a – b, (c + 1)x + cy = 10 – a + 3b имеет бесонечно мноо решений, причем x = 1, y = 3 — одно из этих решений. Найдите a, b и c. 19. При аих значениях параметра a система уравнений ax – 4y = a + 1, 2x + (a + 6)y = a + 3, не имеет решений? 20. При аих значениях параметра a система 2x + ay = a + 2, (a + 1)x + 2ay = 2a + 4

x2 + y2 + 6x + 2y = 0, x + y + 8 = 0. Р е ш е н и е. Из второо уравнения следует, что y = –x – 8. Подставив это выражение вместо y в первое уравнение системы, получим x2 + (x + 8)2 + 6x – 2(x + 8) = 0, или

Системы, содержащие линейное равнение. Если одно из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными линейное, в друое — нелинейное, то таую систему решают следующим способом. Из линейноо уравнения выражают одно

x2 + 10x + 24 = 0,

отуда x1 = –4, x2 = –6. Соответствующие значения y найдем из уравнения y = –x – 8. Имеем y1 = –4, y2 = –2. Ита, система имеет два решения: (–4; –4) и (–6; –2). Ответ. (–4; –4), (–6; –2). Решите систему уравнений: 1.

(x – y)(x2 – y2) = 45, x + y = 5.

2.

(x + 0,2)2 + (y + 0,3)2 = 1, x + y = 0,9.

3.

13 y x --- + --- = ------ , 6 x y

x + y = 5.

4.

(x + y)4 + 4(x + y)2 – 117 = 0, x – y = 25.

5.

x2 + y2 = 2(xy + 2), x + y = 6.

6.

x2 + y2 + 10x – 10y = 2xy – 21, x + y = 5.

имеет бесонечно мноо решений?

§ 14. Системы нелинейных уравнений

67

Системы, содержащие однородное равнение. В тех случаях, ода одно из двух уравнений нелинейной системы однородное, можно с помощью этоо уравнения линейно выразить одно неизвестное системы через друое.


68

Г л а в а 3. Системы уравнений П р и м е р 2. Решить систему уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

Разделив обе части этоо уравнения на y2, получим относительx

x2 – 5xy + 6y2 = 0, x2 + y2 = 10.

(*)

Р е ш е н и е. Первое уравнение системы (*) — однородное. Разделив обе ео части на y2, получим относительно неизвестx ноо t = --y- вадратное уравнение

но z = --y- вадратное уравнение z2 – z – 2 = 0, орни отороо z1 = –1, z2 = 2. Таим образом, исходная система эвивалентна двум системам

t2 – 5t + 6 = 0,

x2 – y2 = 1,

орнями отороо являются t1 = 3, t2 = 2. Таим образом, имеем следующие линейные зависимости между неизвестными, входящими в исходную систему (*): x = 3y,

x = 2y.

(**)

Подставляя последовательно x = 3y и x = 2y во второе уравнение данной системы, приходим  вадратным уравнениям y2 = 1 и y2 = 2, имеющим орни y1, 2 = ä1, y3, 4 = ä 2 . Соответствующие значения x1, x2, x3, x4 находим из равенств (**). Ответ. (3; 1), (–3; –1), (2 2 ;

2 ), (–2 2 ; – 2 ).

Систему вида a1x2 + b1y2 + c1xy = d1, a2x2 + b2y2 + c2xy = d2,

d1 − 0,

П р и м е р 3. Решить систему уравнений x2 – y2 = 1, x2 + xy = 2. Р е ш е н и е. Умножив обе части первоо уравнения на 2, обе части второо — на (–1) и сложив полученные уравнения, приходим  однородному уравнению –

2y2

– xy = 0.

x --- = –1 y

x2 – y2 = 1, и

x --- = 2, y

первая из оторых несовместна, а решением второй являются 2 3 3   2 3 3  - ; -------  и  – ----------- ; – -------  . две пары чисел:  ---------3 3 3 3     2 3 3   2 3 3  - ; -------  ,  – ----------- ; – -------  . Ответ.  ---------3 3 3     3 Решите систему уравнений: 7.

x2y3 + x3y2 = 12, x2y3 – x3y2 = 4.

9.

x4 – y4 = 15, x3y – xy3 = 6.

d2 − 0,

сводят  системе, содержащей однородное уравнение, следующим образом: умножают обе части первоо уравнения на d2, обе части второо — на (–d1) и сладывают оба преобразованных уравнения. В результате получают однородное уравнение. Далее исходную систему заменяют эвивалентной системой, содержащей полученное однородное уравнение и одно из уравнений исходной системы.

x2

69

8. 10.

x3 + y3 = 65, x2y + xy2 = 20. x2 + 2y2 = 17, x2 – 2xy = –3.

Симметричес ие системы. Систему уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn называют симметричесой, если она не меняется при перестанове неизвестных. Если система содержит два неизвестных (x и y), то часто решение таой системы можно найти с помощью введения новых неизвестных u = x + y, v = xy. При этом удобно использовать следующие равенства: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = u2 – 2v, x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = u3 – 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = = ((x + y)2 – 2xy)2 – 2x2y2 = (u2 – 2v)2 – 2v2, позволяющие выразить омбинации неизвестных x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4 через неизвестные u и v.


68

Г л а в а 3. Системы уравнений П р и м е р 2. Решить систему уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

Разделив обе части этоо уравнения на y2, получим относительx

x2 – 5xy + 6y2 = 0, x2 + y2 = 10.

(*)

Р е ш е н и е. Первое уравнение системы (*) — однородное. Разделив обе ео части на y2, получим относительно неизвестx ноо t = --y- вадратное уравнение

но z = --y- вадратное уравнение z2 – z – 2 = 0, орни отороо z1 = –1, z2 = 2. Таим образом, исходная система эвивалентна двум системам

t2 – 5t + 6 = 0,

x2 – y2 = 1,

орнями отороо являются t1 = 3, t2 = 2. Таим образом, имеем следующие линейные зависимости между неизвестными, входящими в исходную систему (*): x = 3y,

x = 2y.

(**)

Подставляя последовательно x = 3y и x = 2y во второе уравнение данной системы, приходим  вадратным уравнениям y2 = 1 и y2 = 2, имеющим орни y1, 2 = ä1, y3, 4 = ä 2 . Соответствующие значения x1, x2, x3, x4 находим из равенств (**). Ответ. (3; 1), (–3; –1), (2 2 ;

2 ), (–2 2 ; – 2 ).

Систему вида a1x2 + b1y2 + c1xy = d1, a2x2 + b2y2 + c2xy = d2,

d1 − 0,

П р и м е р 3. Решить систему уравнений x2 – y2 = 1, x2 + xy = 2. Р е ш е н и е. Умножив обе части первоо уравнения на 2, обе части второо — на (–1) и сложив полученные уравнения, приходим  однородному уравнению –

2y2

– xy = 0.

x --- = –1 y

x2 – y2 = 1, и

x --- = 2, y

первая из оторых несовместна, а решением второй являются 2 3 3   2 3 3  - ; -------  и  – ----------- ; – -------  . две пары чисел:  ---------3 3 3 3     2 3 3   2 3 3  - ; -------  ,  – ----------- ; – -------  . Ответ.  ---------3 3 3     3 Решите систему уравнений: 7.

x2y3 + x3y2 = 12, x2y3 – x3y2 = 4.

9.

x4 – y4 = 15, x3y – xy3 = 6.

d2 − 0,

сводят  системе, содержащей однородное уравнение, следующим образом: умножают обе части первоо уравнения на d2, обе части второо — на (–d1) и сладывают оба преобразованных уравнения. В результате получают однородное уравнение. Далее исходную систему заменяют эвивалентной системой, содержащей полученное однородное уравнение и одно из уравнений исходной системы.

x2

69

8. 10.

x3 + y3 = 65, x2y + xy2 = 20. x2 + 2y2 = 17, x2 – 2xy = –3.

Симметричес ие системы. Систему уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn называют симметричесой, если она не меняется при перестанове неизвестных. Если система содержит два неизвестных (x и y), то часто решение таой системы можно найти с помощью введения новых неизвестных u = x + y, v = xy. При этом удобно использовать следующие равенства: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = u2 – 2v, x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = u3 – 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = = ((x + y)2 – 2xy)2 – 2x2y2 = (u2 – 2v)2 – 2v2, позволяющие выразить омбинации неизвестных x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4 через неизвестные u и v.


70

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 4. Решить систему уравнений

71

21.

2x3y2 – y3x2 = 36, 2x2y – y2x = 6.

22.

xy – x + y = 1, x2y – y2x = 30.

Р е ш е н и е. Это — симметричесая система. Положим v = xy, u = x + y. Тода, используя равенство

23.

xy + x – y = 3, x2y – xy2 = 2.

24.

x2 + xy + x = 10, y2 + xy + y = 20.

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy, получаем относительно новых неизвестных систему

25.

x2 + xy + 2y2 = 37, 2x2 + 2xy + y2 = 26.



26.

x2 – xy + y2 = 19, x4 + x2y2 + y4 = 931.

27.

(x2 + 1) (y2 + 1) = 10, (x + y) (xy – 1) = 3.



28.

x5 – y5 = 3093, x – y = 3.

x2



y2

+ = 2(xy + 2), x + y = 6.

u2 – 2v = 2v + 4, u = 6,



единственным решением оторой является u = 6, v = 8. Возвращаясь  первоначальным неизвестным, сведем исходную систему  более простой системе x + y = 6, xy = 8,

При этом удобно использовать следующие равенства:

решение оторой можно найти, используя, например, теорему Виета. Ответ. (2; 4), (4; 2). Решите систему уравнений: x2 + y2 = a,

x2y + y2x = 20, 11.

1 1 5 --- + --- = --- . x y 4

12.

13.

x4 + y4 = 82, x + y = 4.

14.

x3 + y3 = 9, xy = 2.

15.

x3 + y3 = 2, xy(x + y) = 2.

16.

(x2 + y2)xy = 78, x4 + y4 = 97.

17.

5(x4 + y4) = 41(x2 + y2), x2 + y2 + xy = 13.

18.

x4 + y4 = 97, xy = 6.



19.

20.

(x2 – x + 1) (y2 – y + 1) = 3, (x + 1) (y + 1) = 6. 10 x–y x+y -------------- + -------------- = ------ , 3 x+y x–y

x2 + y2 = 5.

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = u2 – 2v, x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – – 3(x + y + z) (xy + yz + zx) + 3xyz = u3 – 3uv + 3w. П р и м е р 5. Решить систему уравнений x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, x3 + y3 + z3 = 1.

1 1 -----2- + -----2- = b. y x

Используя омбинации изложенных ранее методов, решите систему уравнений: 

Симметричесие системы трех уравнений с тремя неизвестными x, y, z обычно решают с помощью введения новых неизвестных u = x + y + z, v = xy + yz + zx, w = xyz.

Р е ш е н и е. Данная система является симметричесой. Введя вспомоательные неизвестные x + y + z = u,

xy + yz + zx = v,

xyz = w

и используя равенство x3 + y3 + z3 = u3 – 3uv + 3w, получаем систему u = 1, v = –4, u3 – 3uv + 3w = 1, или, возвращаясь  старым неизвестным, систему x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, xyz = –4.

(*)


70

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 4. Решить систему уравнений

71

21.

2x3y2 – y3x2 = 36, 2x2y – y2x = 6.

22.

xy – x + y = 1, x2y – y2x = 30.

Р е ш е н и е. Это — симметричесая система. Положим v = xy, u = x + y. Тода, используя равенство

23.

xy + x – y = 3, x2y – xy2 = 2.

24.

x2 + xy + x = 10, y2 + xy + y = 20.

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy, получаем относительно новых неизвестных систему

25.

x2 + xy + 2y2 = 37, 2x2 + 2xy + y2 = 26.



26.

x2 – xy + y2 = 19, x4 + x2y2 + y4 = 931.

27.

(x2 + 1) (y2 + 1) = 10, (x + y) (xy – 1) = 3.



28.

x5 – y5 = 3093, x – y = 3.

x2



y2

+ = 2(xy + 2), x + y = 6.

u2 – 2v = 2v + 4, u = 6,



единственным решением оторой является u = 6, v = 8. Возвращаясь  первоначальным неизвестным, сведем исходную систему  более простой системе x + y = 6, xy = 8,

При этом удобно использовать следующие равенства:

решение оторой можно найти, используя, например, теорему Виета. Ответ. (2; 4), (4; 2). Решите систему уравнений: x2 + y2 = a,

x2y + y2x = 20, 11.

1 1 5 --- + --- = --- . x y 4

12.

13.

x4 + y4 = 82, x + y = 4.

14.

x3 + y3 = 9, xy = 2.

15.

x3 + y3 = 2, xy(x + y) = 2.

16.

(x2 + y2)xy = 78, x4 + y4 = 97.

17.

5(x4 + y4) = 41(x2 + y2), x2 + y2 + xy = 13.

18.

x4 + y4 = 97, xy = 6.



19.

20.

(x2 – x + 1) (y2 – y + 1) = 3, (x + 1) (y + 1) = 6. 10 x–y x+y -------------- + -------------- = ------ , 3 x+y x–y

x2 + y2 = 5.

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = u2 – 2v, x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – – 3(x + y + z) (xy + yz + zx) + 3xyz = u3 – 3uv + 3w. П р и м е р 5. Решить систему уравнений x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, x3 + y3 + z3 = 1.

1 1 -----2- + -----2- = b. y x

Используя омбинации изложенных ранее методов, решите систему уравнений: 

Симметричесие системы трех уравнений с тремя неизвестными x, y, z обычно решают с помощью введения новых неизвестных u = x + y + z, v = xy + yz + zx, w = xyz.

Р е ш е н и е. Данная система является симметричесой. Введя вспомоательные неизвестные x + y + z = u,

xy + yz + zx = v,

xyz = w

и используя равенство x3 + y3 + z3 = u3 – 3uv + 3w, получаем систему u = 1, v = –4, u3 – 3uv + 3w = 1, или, возвращаясь  старым неизвестным, систему x + y + z = 1, xy + yz + zx = –4, xyz = –4.

(*)


72

Г л а в а 3. Системы уравнений

Решение системы (*) можно найти с помощью теоремы Виета для убичесоо мноочлена: орни t1, t2, t3 убичесоо

§ 14. Системы нелинейных уравнений П р и м е р 6. Решить систему уравнений 3xy -------------- = 5, x+y

мноочлена t3 + at2 + bt + c удовлетворяют равенствам

2xz ------------- = 3, x+z

t1 + t2 + t3 = –a, t1t2 + t1t3 + t2t3 = b, t1t2t3 = –c.

yz ------------- = 4. y+z

Ясно, что при a = –1, b = –4, c = 4 орни убичесоо уравнения t3 – t2 – 4t + 4 = 0 (**)

Р е ш е н и е. Данная система равносильна системе 3 x+y -------------- = --- , 5 xy 2 x+z ------------- = --- , 3 xz

связаны теми же равенствами, что и неизвестные x, y, z системы (*), и, следовательно, тройа значений неизвестных x = t1,

y = t2,

= = = = =

t2, t3, t1, t2, t3,

y y y y y

= = = = =

t1, t2, t3, t3, t1,

z z z z z

= = = = =

t3, t1, t2, t1, t2.

1

(мы разделили почленно левые части уравнений). Полаая --x- = u, 1 1 --- = v, --- = w, получаем линейную систему относительно новых z y 3 2

u + w = --3- , 1

Решите систему уравнений: 30.

1 1 1 --- + --- = --y 4 z

u + v = --5- ,

Ответ. (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3, xyz = 2.

2 1 1 --- + --- = --- , 3 z x

или

неизвестных:

Таим образом, решение данной системы сводится  нахождению орней убичесоо уравнения (**); ими являются числа t1 = 2, t2 = –2, t3 = 1. Ита, решения исходной системы — это следующие упорядоченные тройи чисел: (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

29.

3 1 1 --- + --- = --- , 5 x y

1 y+z ------------- = --- , 4 yz

z = t3

есть решение системы (*). Кроме этой тройи, в силу симметричности системы решениями являются таже следующие тройи значений неизвестных: x x x x x

73

x + y + z = 1, x2 + y2 + z2 = 1, x3 + y3 + z3 = 1.

Инода системы трех уравнений с тремя неизвестными решают с помощью введения вспомоательных неизвестных.

w + v = --4- . 61 11 19 - ; ---------- ; ----------  . Ита, решениЕе решение есть тройа чисел  -------- 120 120 120  120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . ем исходной системы является тройа чисел  --------19  11  61 120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . Ответ.  --------19  11  61

В отличие от систем линейных уравнений системы нелинейных уравнений моут быть определенными даже в тех случаях, ода число уравнений меньше чисел неизвестных. Простейший пример таой системы представляет собой система, состоящая из одноо уравнения (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 0, единственным решением отороо является x = 1, y = 2, z = 3.


72

Г л а в а 3. Системы уравнений

Решение системы (*) можно найти с помощью теоремы Виета для убичесоо мноочлена: орни t1, t2, t3 убичесоо

§ 14. Системы нелинейных уравнений П р и м е р 6. Решить систему уравнений 3xy -------------- = 5, x+y

мноочлена t3 + at2 + bt + c удовлетворяют равенствам

2xz ------------- = 3, x+z

t1 + t2 + t3 = –a, t1t2 + t1t3 + t2t3 = b, t1t2t3 = –c.

yz ------------- = 4. y+z

Ясно, что при a = –1, b = –4, c = 4 орни убичесоо уравнения t3 – t2 – 4t + 4 = 0 (**)

Р е ш е н и е. Данная система равносильна системе 3 x+y -------------- = --- , 5 xy 2 x+z ------------- = --- , 3 xz

связаны теми же равенствами, что и неизвестные x, y, z системы (*), и, следовательно, тройа значений неизвестных x = t1,

y = t2,

= = = = =

t2, t3, t1, t2, t3,

y y y y y

= = = = =

t1, t2, t3, t3, t1,

z z z z z

= = = = =

t3, t1, t2, t1, t2.

1

(мы разделили почленно левые части уравнений). Полаая --x- = u, 1 1 --- = v, --- = w, получаем линейную систему относительно новых z y 3 2

u + w = --3- , 1

Решите систему уравнений: 30.

1 1 1 --- + --- = --y 4 z

u + v = --5- ,

Ответ. (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3, xyz = 2.

2 1 1 --- + --- = --- , 3 z x

или

неизвестных:

Таим образом, решение данной системы сводится  нахождению орней убичесоо уравнения (**); ими являются числа t1 = 2, t2 = –2, t3 = 1. Ита, решения исходной системы — это следующие упорядоченные тройи чисел: (2; –2; 1); (–2; 2, 1); (1; 2; –2); (–2; 1; 2); (1; –2; 2); (2; 1; –2).

29.

3 1 1 --- + --- = --- , 5 x y

1 y+z ------------- = --- , 4 yz

z = t3

есть решение системы (*). Кроме этой тройи, в силу симметричности системы решениями являются таже следующие тройи значений неизвестных: x x x x x

73

x + y + z = 1, x2 + y2 + z2 = 1, x3 + y3 + z3 = 1.

Инода системы трех уравнений с тремя неизвестными решают с помощью введения вспомоательных неизвестных.

w + v = --4- . 61 11 19 - ; ---------- ; ----------  . Ита, решениЕе решение есть тройа чисел  -------- 120 120 120  120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . ем исходной системы является тройа чисел  --------19  11  61 120 120 120  - ; ---------- ; ---------- . Ответ.  --------19  11  61

В отличие от систем линейных уравнений системы нелинейных уравнений моут быть определенными даже в тех случаях, ода число уравнений меньше чисел неизвестных. Простейший пример таой системы представляет собой система, состоящая из одноо уравнения (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 0, единственным решением отороо является x = 1, y = 2, z = 3.


74

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 7. Решить систему уравнений x + y + z = 4, 2xy – z2 = 16. Р е ш е н и е. Возведя обе части первоо уравнения в вадрат, имеем x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = 16. (*) Вычитая из уравнения (*) второе уравнение системы, получаем уравнение x2 + y2 + 2z2 + 2yz + 2zx = 0, оторое можно записать в виде (x + z)2 + (y + z)2 = 0. Последнее уравнение выполняется тольо при x = –z, y = –z. Возвращаясь  исходной системе, находим из первоо уравнения z = –4 и, следовательно, x = 4, y = 4. Полученное решение (4; 4; –4) и является решением исходной системы. Ответ. (4; 4; –4). Решите систему уравнений: 31.

y2 + xy – z2 = 4, x + 5y = 8.

32.

16

xy

-, x + y = ----------------1 + xy

- = –5, 3xy – -----xz 

33.

8

- = –5, xy + ----yz

34.

3

35.

xz

----------------- , x+z= 1 + xz yz

-. y + z = ---------------1 + yz

- = 1. yz – -----xy

x2 – (y – z)2 = a, y2 – (z – x)2 = b, z2 – (x – y)2 = c.

x2 – 2yz = –1, y + z – x = 1.

xyz ------------- = a, y+z

36.

xyz ------------- = b, z+x xyz -------------- = c. x+y

37.

x + y + z = 13, x2 + y2 + z2 = 91, y2 = xz.

39.

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 2(y – x – z) –2, x3 + y3 + z3 = 3(x2 – y2 + z2).

38.

xy + yz + zx = 11, x2 + y2 + z2 = 14, xyz = 6.

75

40.

x + y + z = 1, 4x2 + y2 + z2 – 5x = x3 + y3 + z3 – 2, xyz = 2 + yz.

41.

2(x + y) = xy, xy + yz + zx = 108, xyz = 180.

43.

x2 + y2 = axyz, y2 + z2 = bxyz, z2 + x2 = cxyz.

42.

x(x + y + z) = a, y(x + y + z) = b, z(x + y + z) = c.

44.

x2y = x + y – z, z2x = x – y + z, y2x = y – x + z.

45.

4xy + x2 + y2 = 1, 8xz + x2 + 4z2 = –2, 8yz + y2 + 4z2 = 1.

46.

2(x2 + y2) = xyz, 10(y2 + z2) = 29xyz, 5(z2 + x2) = 13xyz.

47.

xyz2 = –y – 2x, 2x2yz = –y – z, 3xy2z = 2x – z.

48.

xy + x + y = 7, yz + y + z = –3, zx + x + z = –5.

Системы, содержащие иррациональное равнение. Если среди уравнений системы имеются иррациональные, то для ее решения обычно освобождаются от иррациональности. При этом используют те же методы, что и для решения иррациональных уравнений. П р и м е р 8. Решить систему уравнений 4 1 + 5x + 4 5 – y = 3, 5x – y = 11.

Р е ш е н и е. Полаая 4 1 + 5x = u и 4 5 – y = v, получаем симметричесую систему нелинейных уравнений u + v = 3, u4 + v4 = 17,

(*)

решения оторой u = 2, v = 1 и u = 1, v = 2. Возвращаясь  исходным неизвестным, приходим  двум системам линейных уравнений: 1 + 5x = 16, 1 + 5x = 1, 5 – y = 1, 5 – y = 16. Первая система имеет решение x = 3, y = 4, а вторая — решение x = 0, y = –11. Ответ. (3; 4); (0; –11).


74

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 14. Системы нелинейных уравнений

П р и м е р 7. Решить систему уравнений x + y + z = 4, 2xy – z2 = 16. Р е ш е н и е. Возведя обе части первоо уравнения в вадрат, имеем x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = 16. (*) Вычитая из уравнения (*) второе уравнение системы, получаем уравнение x2 + y2 + 2z2 + 2yz + 2zx = 0, оторое можно записать в виде (x + z)2 + (y + z)2 = 0. Последнее уравнение выполняется тольо при x = –z, y = –z. Возвращаясь  исходной системе, находим из первоо уравнения z = –4 и, следовательно, x = 4, y = 4. Полученное решение (4; 4; –4) и является решением исходной системы. Ответ. (4; 4; –4). Решите систему уравнений: 31.

y2 + xy – z2 = 4, x + 5y = 8.

32.

16

xy

-, x + y = ----------------1 + xy

- = –5, 3xy – -----xz 

33.

8

- = –5, xy + ----yz

34.

3

35.

xz

----------------- , x+z= 1 + xz yz

-. y + z = ---------------1 + yz

- = 1. yz – -----xy

x2 – (y – z)2 = a, y2 – (z – x)2 = b, z2 – (x – y)2 = c.

x2 – 2yz = –1, y + z – x = 1.

xyz ------------- = a, y+z

36.

xyz ------------- = b, z+x xyz -------------- = c. x+y

37.

x + y + z = 13, x2 + y2 + z2 = 91, y2 = xz.

39.

x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = 2(y – x – z) –2, x3 + y3 + z3 = 3(x2 – y2 + z2).

38.

xy + yz + zx = 11, x2 + y2 + z2 = 14, xyz = 6.

75

40.

x + y + z = 1, 4x2 + y2 + z2 – 5x = x3 + y3 + z3 – 2, xyz = 2 + yz.

41.

2(x + y) = xy, xy + yz + zx = 108, xyz = 180.

43.

x2 + y2 = axyz, y2 + z2 = bxyz, z2 + x2 = cxyz.

42.

x(x + y + z) = a, y(x + y + z) = b, z(x + y + z) = c.

44.

x2y = x + y – z, z2x = x – y + z, y2x = y – x + z.

45.

4xy + x2 + y2 = 1, 8xz + x2 + 4z2 = –2, 8yz + y2 + 4z2 = 1.

46.

2(x2 + y2) = xyz, 10(y2 + z2) = 29xyz, 5(z2 + x2) = 13xyz.

47.

xyz2 = –y – 2x, 2x2yz = –y – z, 3xy2z = 2x – z.

48.

xy + x + y = 7, yz + y + z = –3, zx + x + z = –5.

Системы, содержащие иррациональное равнение. Если среди уравнений системы имеются иррациональные, то для ее решения обычно освобождаются от иррациональности. При этом используют те же методы, что и для решения иррациональных уравнений. П р и м е р 8. Решить систему уравнений 4 1 + 5x + 4 5 – y = 3, 5x – y = 11.

Р е ш е н и е. Полаая 4 1 + 5x = u и 4 5 – y = v, получаем симметричесую систему нелинейных уравнений u + v = 3, u4 + v4 = 17,

(*)

решения оторой u = 2, v = 1 и u = 1, v = 2. Возвращаясь  исходным неизвестным, приходим  двум системам линейных уравнений: 1 + 5x = 16, 1 + 5x = 1, 5 – y = 1, 5 – y = 16. Первая система имеет решение x = 3, y = 4, а вторая — решение x = 0, y = –11. Ответ. (3; 4); (0; –11).


76

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

Решите систему уравнений: 49.

2x + y + 1 – 3x + 2y = 4.

50.

x + 2y + 3 x – y + 2 = 3, 2x + y = 7.

51.

x 2 – xy + xy – y 2 = 3(x – y), x2 – y2 = 41. x2 + y2 + x +

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений Для решения системы, содержащей поазательное или лоарифмичесое уравнение, обычно сводят поазательное (или лоарифмичесое) уравнение  алебраичесому уравнению, а затем решают полученную алебраичесую систему.

2xy = 8 2 ,

y = 4.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений

53.

x 2 + 5 + y 2 – 5 = 5, 2 x + y2 = 13.

54.

x + y = 2, x – 2y + 1 = 0.

56.

x +

y = 8,

x+y–

x +

x2 y2

x–y

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестных x и y определяется системой неравенств x – 2y > 0, 3x + 2y > 0.

y – 2 xy = 2. y4

xy + – = 8( x + y + (x + y)3/2 – (x – y)3/2 = 26.

57.

3x2 + 2xy + y2 = 11, x2 + 2xy + 3y2 = 17.

58.

x2 + xy + y2 = 19(x – y)2, x2 – xy + y2 = 7(x – y).

59.

(x – 1)2 + (y + 1)2 – z2 = 0, x – z – 1 = 0. 3

60.

3 2x + y 2x + y 81 ----------------------- + ----------------------- = ---------- , 182 y 2x 3

y–3

8 ( 2) = 0,5 , log3 (x – 2y) + log3 (3x + 2y) = 3.

x – y ),

Используя изложенные ранее методы, решите систему уравнений:



62.

x2 + xy + y2 = 1, y2 + yz + z2 = 3, x2 + xz + z2 = 7.

3

52.

55.

61.

x + y = 1,

x + y – z = 2, x2 + y2 + z2 = 6, x3 + y3 – z3 = 8.

77

3 2x – y 2x – y 1 ---------------------- – ---------------------- = ---------- . 182 y 2x

(*)

Из поазательноо уравнения исходной системы, записанноо в виде x–y+6 6 – 2y ( 2) , = ( 2) следует, что

x – y + 6 = 6 – 2y; из лоарифмичесоо уравнения, записанноо в виде log3 ((x – 2y)(3x + 2y)) = 3, следует, что (x – 2y)(3x + 2y) = 27. Таим образом, решение исходной системы сводится  решению системы уравнений x – y + 6 = 6 – 2y, (x – 2y)(3x + 2y) = 27,

(**)

рассматриваемой на множестве допустимых значений неизвестных, задаваемом системой (*). Выражая y из первоо уравнения системы (**) и подставляя y = –x во второе уравнение, получаем уравнение 3x2 = 27, решениями отороо являются x1 = 3, x2 = –3. Из первоо уравнения системы (**) находим


76

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

Решите систему уравнений: 49.

2x + y + 1 – 3x + 2y = 4.

50.

x + 2y + 3 x – y + 2 = 3, 2x + y = 7.

51.

x 2 – xy + xy – y 2 = 3(x – y), x2 – y2 = 41. x2 + y2 + x +

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений Для решения системы, содержащей поазательное или лоарифмичесое уравнение, обычно сводят поазательное (или лоарифмичесое) уравнение  алебраичесому уравнению, а затем решают полученную алебраичесую систему.

2xy = 8 2 ,

y = 4.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений

53.

x 2 + 5 + y 2 – 5 = 5, 2 x + y2 = 13.

54.

x + y = 2, x – 2y + 1 = 0.

56.

x +

y = 8,

x+y–

x +

x2 y2

x–y

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неизвестных x и y определяется системой неравенств x – 2y > 0, 3x + 2y > 0.

y – 2 xy = 2. y4

xy + – = 8( x + y + (x + y)3/2 – (x – y)3/2 = 26.

57.

3x2 + 2xy + y2 = 11, x2 + 2xy + 3y2 = 17.

58.

x2 + xy + y2 = 19(x – y)2, x2 – xy + y2 = 7(x – y).

59.

(x – 1)2 + (y + 1)2 – z2 = 0, x – z – 1 = 0. 3

60.

3 2x + y 2x + y 81 ----------------------- + ----------------------- = ---------- , 182 y 2x 3

y–3

8 ( 2) = 0,5 , log3 (x – 2y) + log3 (3x + 2y) = 3.

x – y ),

Используя изложенные ранее методы, решите систему уравнений:



62.

x2 + xy + y2 = 1, y2 + yz + z2 = 3, x2 + xz + z2 = 7.

3

52.

55.

61.

x + y = 1,

x + y – z = 2, x2 + y2 + z2 = 6, x3 + y3 – z3 = 8.

77

3 2x – y 2x – y 1 ---------------------- – ---------------------- = ---------- . 182 y 2x

(*)

Из поазательноо уравнения исходной системы, записанноо в виде x–y+6 6 – 2y ( 2) , = ( 2) следует, что

x – y + 6 = 6 – 2y; из лоарифмичесоо уравнения, записанноо в виде log3 ((x – 2y)(3x + 2y)) = 3, следует, что (x – 2y)(3x + 2y) = 27. Таим образом, решение исходной системы сводится  решению системы уравнений x – y + 6 = 6 – 2y, (x – 2y)(3x + 2y) = 27,

(**)

рассматриваемой на множестве допустимых значений неизвестных, задаваемом системой (*). Выражая y из первоо уравнения системы (**) и подставляя y = –x во второе уравнение, получаем уравнение 3x2 = 27, решениями отороо являются x1 = 3, x2 = –3. Из первоо уравнения системы (**) находим


78

Г л а в а 3. Системы уравнений

y1 = –3, y2 = 3. Однао из двух найденных пар чисел (3; –3), (–3; 3) решений системы (**) лишь пара (3; –3) удовлетворяет системе неравенств (*). Ответ. (3; –3). Решите систему уравнений: 1.

3.



logy x + logx y = 2,

4 4

x+y log

2

= 2 x

y–x

,

5.

x + y = 12, 2(2 logy x – log1/x y) = 5.

6.

4 –7· 2 y – x = 3.

7.

x

2 3  --3- 

y x – --2

2x – y

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

= 2

3–y

2 + 7  --3- 

1

10.

12.

13.

xy 2

– 27 · 3

y

3

log

· 2 5

y

= 1152,

(x + y) = 2. x2

+ 2 2x – y

y2

x – – 16 = 1, x – y = 2.

+2

= 5, = 125.

(y2 + 2) log5 x = 3.

(2y2 – 1)z = 1, (y2 + 2)z = 3.

( 2x – y )/2

– 6 = 0,

y2 + 2 ------------------- = 3, 2y 2 – 1

имеющему решения y1 = 1, y2 = –1. Из первоо уравнения системы (*) находим (а при y = 1, та и при y = –1), что z = 1. Тода из уравнения log5 x = 1 получаем x = 5. Таим образом, решениями исходной системы являются две пары чисел: (5; 1) и (5; –1). Ответ. (5; 1); (5; –1).

= 0,

11.

(*)

Выразив z из первоо уравнения системы (*) и подставив во второе, придем  уравнению

Решите систему уравнений: 2

x

y

· 3

3

x

· 4 = 12.

= 6,

14.

y

y = 1 + log4 x,

15.

xy = 46. 5

16.

(0,48 ) = 1, lg (x + y) – 1 = lg 6 – lg (x + 2y). x2

–1

(2y2 – 1) log5 x = 1,

,

1 1 --- lg x + --- lg y = lg (4 – 4 x ). 2 4 –x

2

Положим log5 x = z и получим систему рациональных уравнений

= 32, 4 log3 (x – y) = 1 – log3 (x + y). 4

y2

Р е ш е н и е. Лоарифмируя оба уравнения системы по основанию 5, получаем эвивалентную исходной систему

2 – log2 x + 5 log 5 (1/y) = --3- .

x y --- + --y x

9 9.

x

y2 x2 ------ + ------ = 12, y x

lg (3x – y) + lg (x + y) – 4 lg 2 = 0. 8.

x 2y

x2 – 2y2 – 8 = 0.

4.

= y4 – 5.

79

Если основание степени в поазательном уравнении системы является фунцией неизвестных, то таую систему можно свести  системе рациональных уравнений, принимая в ачестве одноо из неизвестных лоарифм этой фунции по неоторому основанию.

log4 x – log2 y = 0,

2.

x2 – y = 20.

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

18.

(x + y)3y – x = -----27 , 3 log5 (x + y) = x – y. (x + y) · 2 (x +

y – 2x

1 ----------------y) 2x – y

= 6,25,

= 5.

y – log3 x = 1, xy = 312.

17.

xx – 2y = 36, 4(x – 2y) + log6 x = 9.

19.

lg (x + y) 2 = 1, lg y – lg |x| = lg 2.


78

Г л а в а 3. Системы уравнений

y1 = –3, y2 = 3. Однао из двух найденных пар чисел (3; –3), (–3; 3) решений системы (**) лишь пара (3; –3) удовлетворяет системе неравенств (*). Ответ. (3; –3). Решите систему уравнений: 1.

3.



logy x + logx y = 2,

4 4

x+y log

2

= 2 x

y–x

,

5.

x + y = 12, 2(2 logy x – log1/x y) = 5.

6.

4 –7· 2 y – x = 3.

7.

x

2 3  --3- 

y x – --2

2x – y

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

= 2

3–y

2 + 7  --3- 

1

10.

12.

13.

xy 2

– 27 · 3

y

3

log

· 2 5

y

= 1152,

(x + y) = 2. x2

+ 2 2x – y

y2

x – – 16 = 1, x – y = 2.

+2

= 5, = 125.

(y2 + 2) log5 x = 3.

(2y2 – 1)z = 1, (y2 + 2)z = 3.

( 2x – y )/2

– 6 = 0,

y2 + 2 ------------------- = 3, 2y 2 – 1

имеющему решения y1 = 1, y2 = –1. Из первоо уравнения системы (*) находим (а при y = 1, та и при y = –1), что z = 1. Тода из уравнения log5 x = 1 получаем x = 5. Таим образом, решениями исходной системы являются две пары чисел: (5; 1) и (5; –1). Ответ. (5; 1); (5; –1).

= 0,

11.

(*)

Выразив z из первоо уравнения системы (*) и подставив во второе, придем  уравнению

Решите систему уравнений: 2

x

y

· 3

3

x

· 4 = 12.

= 6,

14.

y

y = 1 + log4 x,

15.

xy = 46. 5

16.

(0,48 ) = 1, lg (x + y) – 1 = lg 6 – lg (x + 2y). x2

–1

(2y2 – 1) log5 x = 1,

,

1 1 --- lg x + --- lg y = lg (4 – 4 x ). 2 4 –x

2

Положим log5 x = z и получим систему рациональных уравнений

= 32, 4 log3 (x – y) = 1 – log3 (x + y). 4

y2

Р е ш е н и е. Лоарифмируя оба уравнения системы по основанию 5, получаем эвивалентную исходной систему

2 – log2 x + 5 log 5 (1/y) = --3- .

x y --- + --y x

9 9.

x

y2 x2 ------ + ------ = 12, y x

lg (3x – y) + lg (x + y) – 4 lg 2 = 0. 8.

x 2y

x2 – 2y2 – 8 = 0.

4.

= y4 – 5.

79

Если основание степени в поазательном уравнении системы является фунцией неизвестных, то таую систему можно свести  системе рациональных уравнений, принимая в ачестве одноо из неизвестных лоарифм этой фунции по неоторому основанию.

log4 x – log2 y = 0,

2.

x2 – y = 20.

§ 15. Системы показательных и логарифмических уравнений

18.

(x + y)3y – x = -----27 , 3 log5 (x + y) = x – y. (x + y) · 2 (x +

y – 2x

1 ----------------y) 2x – y

= 6,25,

= 5.

y – log3 x = 1, xy = 312.

17.

xx – 2y = 36, 4(x – 2y) + log6 x = 9.

19.

lg (x + y) 2 = 1, lg y – lg |x| = lg 2.


80

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 16. Разные задачи

§ 16. Разные задачи

Неоторые системы лоарифмичесих или поазательных уравнений сводятся  системам рациональных уравнений непосредственной заменой входящих в них лоарифмов (или соответственно степеней) новыми неизвестными. П р и м е р 3. Решить систему уравнений 5

3

5

23

· 2

x

+ 22

x

Р е ш е н и е. Полаая z = 5 ме рациональных уравнений

3

Решите систему уравнений: 

1.

yx logy x = x2,5, log3 y · logy (y – 2x) = 1.

2.

log2 x + log4 y + log4 z = 2, log3 y + log9 z + log9 x = 2, log4 z + log16 x + log16 y = 2.

= 200,

y

x

y

= 689.

иu= 2

y

, приходим  систе10 3.

zu = 200, z2 + u2 = 689, оторая с учетом условий z > 0 и u > 0 эвивалентна системе 

zu = 200, z + u = 33.

5

3

2

3

x

= 25,

5

y

= 8,

2

4.

x

= 8,

y

= 25,



5.

6.

8.

2

Решите систему уравнений:



20.

xy – 1

+ 4

= 5,

5 ( x – y) 3(x + y) ---------------------- + ---------------------- = 8. x+y x–y

11 22.

xy – 2

xz

y

– 2 · 5 = 71,

z

11 + 2 · 5 11

( x – z)z

y/2

+ 5

= 21,

y/2

= 16.



+ 10y 6 ---------------------------- = ------------------------------------------ . 3 2 x 2 + 10y – 9

21.

(x2 + y) · 2

4

x+ y

= y2

4

x+ y

=

x

3

3

y2 ,

x2 .

logy |logy x| = logx |logx y|, lg2 x + lg2 y = 8.  1  ---------------- + log y  = log x, log12 x  log 2 2 2 x  

7. zx = x,

Ответ. (8; 9); (27 log 5 2; 4 log 2 5).

2

= 100 10 ,

log2 x · log3 (x + y) = 3 log3 x.

имеющие решения x = 8, y = 9 и x = (log5 8)3, y = (log2 25)2. 3

1 2

lg --- ( x 2 + y 2 ) + 1,5

x2

y

Решениями этой системы являются следующие пары чисел: (25; 8); (8; 25). Возвращаясь  исходным неизвестным, получаем две системы уравнений

81

y – x2

9(x2 + y) = 6

= 1,

x2 – y

.

zy = y,

yy = x.

loga x · loga (xyz) = 48, loga y · loga (xyz) = 12, loga z · loga (xyz) = 84, a > 0,

a − 1.


80

Г л а в а 3. Системы уравнений

§ 16. Разные задачи

§ 16. Разные задачи

Неоторые системы лоарифмичесих или поазательных уравнений сводятся  системам рациональных уравнений непосредственной заменой входящих в них лоарифмов (или соответственно степеней) новыми неизвестными. П р и м е р 3. Решить систему уравнений 5

3

5

23

· 2

x

+ 22

x

Р е ш е н и е. Полаая z = 5 ме рациональных уравнений

3

Решите систему уравнений: 

1.

yx logy x = x2,5, log3 y · logy (y – 2x) = 1.

2.

log2 x + log4 y + log4 z = 2, log3 y + log9 z + log9 x = 2, log4 z + log16 x + log16 y = 2.

= 200,

y

x

y

= 689.

иu= 2

y

, приходим  систе10 3.

zu = 200, z2 + u2 = 689, оторая с учетом условий z > 0 и u > 0 эвивалентна системе 

zu = 200, z + u = 33.

5

3

2

3

x

= 25,

5

y

= 8,

2

4.

x

= 8,

y

= 25,



5.

6.

8.

2

Решите систему уравнений:



20.

xy – 1

+ 4

= 5,

5 ( x – y) 3(x + y) ---------------------- + ---------------------- = 8. x+y x–y

11 22.

xy – 2

xz

y

– 2 · 5 = 71,

z

11 + 2 · 5 11

( x – z)z

y/2

+ 5

= 21,

y/2

= 16.



+ 10y 6 ---------------------------- = ------------------------------------------ . 3 2 x 2 + 10y – 9

21.

(x2 + y) · 2

4

x+ y

= y2

4

x+ y

=

x

3

3

y2 ,

x2 .

logy |logy x| = logx |logx y|, lg2 x + lg2 y = 8.  1  ---------------- + log y  = log x, log12 x  log 2 2 2 x  

7. zx = x,

Ответ. (8; 9); (27 log 5 2; 4 log 2 5).

2

= 100 10 ,

log2 x · log3 (x + y) = 3 log3 x.

имеющие решения x = 8, y = 9 и x = (log5 8)3, y = (log2 25)2. 3

1 2

lg --- ( x 2 + y 2 ) + 1,5

x2

y

Решениями этой системы являются следующие пары чисел: (25; 8); (8; 25). Возвращаясь  исходным неизвестным, получаем две системы уравнений

81

y – x2

9(x2 + y) = 6

= 1,

x2 – y

.

zy = y,

yy = x.

loga x · loga (xyz) = 48, loga y · loga (xyz) = 12, loga z · loga (xyz) = 84, a > 0,

a − 1.


§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

Глава 4 Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

если a > 0, то b b b b x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a-  , x Ý – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a     

(f(x) > 0)

(1)

— это значит найти все значения арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо. Множество всех значений арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо, называют множеством решений неравенства или просто решением неравенства. Множество решений нестрооо неравенства f(x) m 0

(f(x) l 0)

(2)

представляет собой объединение множества решений неравенства (1) и множества решений уравнения f(x) = 0. Два неравенства называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. Под множеством допстимых значений неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения фунции f(x). Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных фунций fi(x), моут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств — это значит найти множество всех значений арументов фунций fi(x), при оторых справедливы все неравенства системы одновременно. Говорят, что системы неравенств эвивалентны, если множества их решений совпадают.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства Алебраичес ие неравенства. Линейными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax + b > 0,

ax + b < 0,

ax + b l 0,

;

если a < 0, то

Пусть f(x) — числовая фунция одноо или несольих переменных (арументов). Решить неравенство f(x) < 0

83

ax + b m 0, a − 0,

решениями оторых являются соответственно следующие промежути:

b b b b x Ý  –×; – --a-  , x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a- , x Ý – --a- ; +×  .      

Квадратными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c l 0,

ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c m 0,

де a, b, c — неоторые действительные числа и a − 0. Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от значений своих оэффициентов a, b, c имеет следующие решения: если a > 0 и D = b2 – 4ac l 0, то  –b+ D   –b– D  - ; +×  ; x Ý  –×; ---------------------- Ÿ  ----------------------2a 2a     если a > 0 и D < 0, то x Ý R (т. е. x — любое действительное число); если a < 0 и D > 0, то  –b– D –b+ D x Ý  ----------------------; ----------------------2a 2a 

 ; 

если a < 0 и D < 0, то x Ý ¾ (т. е. решений нет). Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится  решению рассмотренноо неравенства, если обе части исходноо неравенства умножить на (–1). Метод интервалов. Пусть Pn(x) — мноочлен n-й степени с действительными оэффициентами, а c1, c2, ..., ci — все действительные орни мноочлена, ратности оторых соответственно равны k1, k2, ..., ki, причем c1 > c2 > ... > ci. Мноочлен Pn(x) можно представить в виде Pn(x) = ( x – c1 ) k1 ( x – c2 ) k 2 ... ( x – ci ) k l Qm(x),

(3)

де мноочлен Qm(x) не имеет действительных орней и либо положителен, либо отрицателен при всех x Ý R. Положим для


§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

Глава 4 Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

если a > 0, то b b b b x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a-  , x Ý – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a     

(f(x) > 0)

(1)

— это значит найти все значения арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо. Множество всех значений арумента (арументов) фунции f, при оторых неравенство (1) справедливо, называют множеством решений неравенства или просто решением неравенства. Множество решений нестрооо неравенства f(x) m 0

(f(x) l 0)

(2)

представляет собой объединение множества решений неравенства (1) и множества решений уравнения f(x) = 0. Два неравенства называют эвивалентными, если множества их решений совпадают. Под множеством допстимых значений неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения фунции f(x). Неравенства вида (1) или (2), составленные для различных фунций fi(x), моут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств — это значит найти множество всех значений арументов фунций fi(x), при оторых справедливы все неравенства системы одновременно. Говорят, что системы неравенств эвивалентны, если множества их решений совпадают.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства Алебраичес ие неравенства. Линейными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax + b > 0,

ax + b < 0,

ax + b l 0,

;

если a < 0, то

Пусть f(x) — числовая фунция одноо или несольих переменных (арументов). Решить неравенство f(x) < 0

83

ax + b m 0, a − 0,

решениями оторых являются соответственно следующие промежути:

b b b b x Ý  –×; – --a-  , x Ý  – --a- ; +×  , x Ý  –×; – --a- , x Ý – --a- ; +×  .      

Квадратными неравенствами (строими и нестроими) называют неравенства вида ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c l 0,

ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c m 0,

де a, b, c — неоторые действительные числа и a − 0. Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 в зависимости от значений своих оэффициентов a, b, c имеет следующие решения: если a > 0 и D = b2 – 4ac l 0, то  –b+ D   –b– D  - ; +×  ; x Ý  –×; ---------------------- Ÿ  ----------------------2a 2a     если a > 0 и D < 0, то x Ý R (т. е. x — любое действительное число); если a < 0 и D > 0, то  –b– D –b+ D x Ý  ----------------------; ----------------------2a 2a 

 ; 

если a < 0 и D < 0, то x Ý ¾ (т. е. решений нет). Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится  решению рассмотренноо неравенства, если обе части исходноо неравенства умножить на (–1). Метод интервалов. Пусть Pn(x) — мноочлен n-й степени с действительными оэффициентами, а c1, c2, ..., ci — все действительные орни мноочлена, ратности оторых соответственно равны k1, k2, ..., ki, причем c1 > c2 > ... > ci. Мноочлен Pn(x) можно представить в виде Pn(x) = ( x – c1 ) k1 ( x – c2 ) k 2 ... ( x – ci ) k l Qm(x),

(3)

де мноочлен Qm(x) не имеет действительных орней и либо положителен, либо отрицателен при всех x Ý R. Положим для


84 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

определенности, что Qm(x) > 0. Тода при x > ci все сомножители в разложении (3) положительны и Pn(x) > 0. Если c1 — орень нечетной ратности (k1 — нечетное), то при x Ý (c2; c1) все сомножители в разложении (3), за ислючением первоо, положительны и, значит, Pn(x) < 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) меняет зна при переходе через орень c1. Если же c1 — орень четной ратности (k1 — четное), то все сомножители (в том числе и первый) при x Ý (c2; c1) положительны и, следовательно, Pn(x) > 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) не меняет знаа при переходе через орень c1. Аналоично, используя разложение (3), нетрудно убедиться, что при переходе через орень c2 мноочлен Pn(x) меняет зна, если k2 — нечетное, и не меняет знаа, если k2 — четное. Рассмотренное свойство мноочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для тоо чтобы найти все решения неравенства

Будем двиаться по оси Ox справа налево. При переходе через точу x = 1 мноочлен P4(x) меняет зна и принимает отрицательные значения, та а x = 1 — простой орень (орень ратности 1); при переходе через точу x = 0 мноочлен таже меняет зна и принимает положительные значения, посольу x = 0 — таже простой орень; при переходе через точу x = –2 мноочлен не меняет знаа, та а x = –2 — орень ратности 2. Промежути знаопостоянства мноочлена P4(x) схематичеси + + + изображены на рис. 1. Используя этот –2 0 – 1 x рисуно, лео записать множество реРис. 1 шений исходноо неравенства. Ответ. x Ý (–×; –2) Ÿ (–2; 0) Ÿ (1; +×).

Pn(x) > 0,

(4)

достаточно знать все действительные орни мноочлена Pn(x), их ратности и зна мноочлена Pn(x) в произвольно выбранной точе, не совпадающей с орнем мноочлена.

Рациональные неравенства. Решение рациональноо неравенства, т. е. неравенства вида Pn ( x ) ----------------Q m ( x ) > 0,

+

3x3

– 4x > 0.

(5)

де Pn(x) и Qm(x) — мноочлены, сводится  решению эвивалентноо неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на мноочлен (Qm(x))2, оторый положителен при всех допустимых значениях неизвестноо x (т. е. при тех x, для оторых Qm(x) − 0), получим неравенство Pn(x) · Qm(x) > 0,

П р и м е р 1. Решить неравенство x4

85

(*)

Р е ш е н и е. Разложим на множители мноочлен P4(x), находящийся в левой части неравенства (*). Вынося множитель x за соби, получаем

эвивалентное неравенству (5). Дробно-линейными неравенствами называют неравенства вида ax + b ----------------- > k, (6) cx + d

P4(x) = x(x3 + 3x2 – 4).

де a, b, c, d, k — неоторые действительные числа, причем c − 0

Второй сомножитель, представляющий собой убичесий мноочлен, имеет орень x = 1. Следовательно, уазанный мноочлен можно представить та:

и --c- − --d- (если c = 0, то дробно-линейное неравенство превраща-

x3 + 3x2 – 4 = (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2. Поэтому P4(x) = x(x – 1) (x + 2)2 и неравенство (*) можно представить в виде x(x – 1) (x + 2)2 > 0. (**) Решим неравенство (**) методом интервалов. При x > 1 все сомножители, записанные в левой части неравенства, положительны.

a

b

a

b

ется в линейное, а если --c- = --d- , то неравенство (6) не содержит арумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), де вместо знаа > записаны знаи <, l, m. Решение дробно-линейноо неравенства сводится  решению вадратноо неравенства. Для этоо необходимо умножить обе части неравенства (6) на выражение (cx + d)2, положительное d

при всех x Ý R и x − – --c- .


84 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

определенности, что Qm(x) > 0. Тода при x > ci все сомножители в разложении (3) положительны и Pn(x) > 0. Если c1 — орень нечетной ратности (k1 — нечетное), то при x Ý (c2; c1) все сомножители в разложении (3), за ислючением первоо, положительны и, значит, Pn(x) < 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) меняет зна при переходе через орень c1. Если же c1 — орень четной ратности (k1 — четное), то все сомножители (в том числе и первый) при x Ý (c2; c1) положительны и, следовательно, Pn(x) > 0 при x Ý (c2; c1). В этом случае оворят, что мноочлен Pn(x) не меняет знаа при переходе через орень c1. Аналоично, используя разложение (3), нетрудно убедиться, что при переходе через орень c2 мноочлен Pn(x) меняет зна, если k2 — нечетное, и не меняет знаа, если k2 — четное. Рассмотренное свойство мноочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для тоо чтобы найти все решения неравенства

Будем двиаться по оси Ox справа налево. При переходе через точу x = 1 мноочлен P4(x) меняет зна и принимает отрицательные значения, та а x = 1 — простой орень (орень ратности 1); при переходе через точу x = 0 мноочлен таже меняет зна и принимает положительные значения, посольу x = 0 — таже простой орень; при переходе через точу x = –2 мноочлен не меняет знаа, та а x = –2 — орень ратности 2. Промежути знаопостоянства мноочлена P4(x) схематичеси + + + изображены на рис. 1. Используя этот –2 0 – 1 x рисуно, лео записать множество реРис. 1 шений исходноо неравенства. Ответ. x Ý (–×; –2) Ÿ (–2; 0) Ÿ (1; +×).

Pn(x) > 0,

(4)

достаточно знать все действительные орни мноочлена Pn(x), их ратности и зна мноочлена Pn(x) в произвольно выбранной точе, не совпадающей с орнем мноочлена.

Рациональные неравенства. Решение рациональноо неравенства, т. е. неравенства вида Pn ( x ) ----------------Q m ( x ) > 0,

+

3x3

– 4x > 0.

(5)

де Pn(x) и Qm(x) — мноочлены, сводится  решению эвивалентноо неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на мноочлен (Qm(x))2, оторый положителен при всех допустимых значениях неизвестноо x (т. е. при тех x, для оторых Qm(x) − 0), получим неравенство Pn(x) · Qm(x) > 0,

П р и м е р 1. Решить неравенство x4

85

(*)

Р е ш е н и е. Разложим на множители мноочлен P4(x), находящийся в левой части неравенства (*). Вынося множитель x за соби, получаем

эвивалентное неравенству (5). Дробно-линейными неравенствами называют неравенства вида ax + b ----------------- > k, (6) cx + d

P4(x) = x(x3 + 3x2 – 4).

де a, b, c, d, k — неоторые действительные числа, причем c − 0

Второй сомножитель, представляющий собой убичесий мноочлен, имеет орень x = 1. Следовательно, уазанный мноочлен можно представить та:

и --c- − --d- (если c = 0, то дробно-линейное неравенство превраща-

x3 + 3x2 – 4 = (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2. Поэтому P4(x) = x(x – 1) (x + 2)2 и неравенство (*) можно представить в виде x(x – 1) (x + 2)2 > 0. (**) Решим неравенство (**) методом интервалов. При x > 1 все сомножители, записанные в левой части неравенства, положительны.

a

b

a

b

ется в линейное, а если --c- = --d- , то неравенство (6) не содержит арумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), де вместо знаа > записаны знаи <, l, m. Решение дробно-линейноо неравенства сводится  решению вадратноо неравенства. Для этоо необходимо умножить обе части неравенства (6) на выражение (cx + d)2, положительное d

при всех x Ý R и x − – --c- .


86 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами П р и м е р 2. Решить неравенство

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

87

то неравенство, эвивалентное исходному и имеющее тот же зна, получится лишь в том случае, ода обе части исходноо неравенства неотрицательны.

x+2 --------------------------- < –1. x2 – x – 2

Р е ш е н и е. Прибавив  обеим частям неравенства по 1, получаем неравенство вида (5): x2

П р и м е р 3. Решить неравенство x+3 <

x–1 +

x–2.

(*)

x2(x2 – x – 2) < 0.

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неравенства (*) представляет собой промежуто [2; +×). На этом промежуте обе части неравенства (*) неотрицательны; поэтому, возведя их в вадрат и приведя подобные члены, получим эвивалентное неравенство

Множество решений последнео неравенства находим методом интервалов: x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2).

6 – x < 2 x 2 – 3x + 2 .

-------------------------- < 0, x2 – x – 2

оторое эвивалентно неравенству

Ответ. x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2). Решите неравенство: 5

1

3

1

------------- + -------------- < 1. 1. 2 2+x –x

------------2. ------------x+2 < x–3.

3. (x + 1) (3 – x)(x – 2)2 l 0.

4. ------------------------------l 1. 2

x3 – x2 + x – 1

- m 0. 5. --------------------------------------x+8 x3

2x 2

– 5x + 6

- > 0. 7. ----------------------------------------------x–2 x–4 4x – 4x – 3

9. ---------------------------------< 0. 2

x 2 – 3x + 2 x + 3x + 2 2x – 5

1

6. -----------------------------< -----------x–3. x 2 – 6x – 7 2–

x2

8. --------------1 – x m x. x 2 – 2x + 3 x – 4x + 3

- > –3. 10. -----------------------------2

Иррациональные неравенства. Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в отором неизвестные величины (или неоторые фунции неизвестных величин) находятся под знаом радиала. Для тоо чтобы найти множество решений иррациональноо неравенства, приходится, а правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. При этом (в силу принципиальной невозможности провери полученных решений подстановой) необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств аждый раз получалось неравенство, эвивалентное исходному. При решении иррациональных неравенств следует учитывать, что возведение обеих частей неравенства в нечетную степень вседа приводит  неравенству, эвивалентному исходному. Если же обе части неравенства возвести в четную степень,

(**)

Рассмотрим теперь два возможных случая. 1. Если 6 – x < 0 (т. е. x > 6), то левая часть неравенства (**) отрицательна, а правая — неотрицательна и, следовательно, неравенство (**) справедливо при всех x Ý (6; +×). 2. Если 6 – x l 0, то при всех x Ý [2; 6] обе части неравенства (**) неотрицательны. Возведя их в вадрат, получаем неравенство 3x2 – 28 > 0, (***) решениями отороо с учетом сделанноо предположения о том,  28 что x Ý [2; 6], являются значения из промежута  -----3 ;6 .  Объединив множества решений, соответствующие двум рассмотренным случаям, оончательно получаем решение исход  28 ноо неравенства — промежуто  ------ ; +×  . 3     28 Ответ.  ------ ; +×  . 3   Решите неравенство: 11.

1 – 3x –

13.

x2

5 + x > 1.

15.

2– 3+x <

12.

4– 1–x –

+ 4x – 5 – 2x + 3 > 0. 14. x + 4 < x+4.

2 – x > 0.

x + 46 .

24 – 2x – x 2

- < 1. 16. ------------------------------------x


86 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами П р и м е р 2. Решить неравенство

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

87

то неравенство, эвивалентное исходному и имеющее тот же зна, получится лишь в том случае, ода обе части исходноо неравенства неотрицательны.

x+2 --------------------------- < –1. x2 – x – 2

Р е ш е н и е. Прибавив  обеим частям неравенства по 1, получаем неравенство вида (5): x2

П р и м е р 3. Решить неравенство x+3 <

x–1 +

x–2.

(*)

x2(x2 – x – 2) < 0.

Р е ш е н и е. Множество допустимых значений неравенства (*) представляет собой промежуто [2; +×). На этом промежуте обе части неравенства (*) неотрицательны; поэтому, возведя их в вадрат и приведя подобные члены, получим эвивалентное неравенство

Множество решений последнео неравенства находим методом интервалов: x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2).

6 – x < 2 x 2 – 3x + 2 .

-------------------------- < 0, x2 – x – 2

оторое эвивалентно неравенству

Ответ. x Ý (–1; 0) Ÿ (0; 2). Решите неравенство: 5

1

3

1

------------- + -------------- < 1. 1. 2 2+x –x

------------2. ------------x+2 < x–3.

3. (x + 1) (3 – x)(x – 2)2 l 0.

4. ------------------------------l 1. 2

x3 – x2 + x – 1

- m 0. 5. --------------------------------------x+8 x3

2x 2

– 5x + 6

- > 0. 7. ----------------------------------------------x–2 x–4 4x – 4x – 3

9. ---------------------------------< 0. 2

x 2 – 3x + 2 x + 3x + 2 2x – 5

1

6. -----------------------------< -----------x–3. x 2 – 6x – 7 2–

x2

8. --------------1 – x m x. x 2 – 2x + 3 x – 4x + 3

- > –3. 10. -----------------------------2

Иррациональные неравенства. Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в отором неизвестные величины (или неоторые фунции неизвестных величин) находятся под знаом радиала. Для тоо чтобы найти множество решений иррациональноо неравенства, приходится, а правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. При этом (в силу принципиальной невозможности провери полученных решений подстановой) необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств аждый раз получалось неравенство, эвивалентное исходному. При решении иррациональных неравенств следует учитывать, что возведение обеих частей неравенства в нечетную степень вседа приводит  неравенству, эвивалентному исходному. Если же обе части неравенства возвести в четную степень,

(**)

Рассмотрим теперь два возможных случая. 1. Если 6 – x < 0 (т. е. x > 6), то левая часть неравенства (**) отрицательна, а правая — неотрицательна и, следовательно, неравенство (**) справедливо при всех x Ý (6; +×). 2. Если 6 – x l 0, то при всех x Ý [2; 6] обе части неравенства (**) неотрицательны. Возведя их в вадрат, получаем неравенство 3x2 – 28 > 0, (***) решениями отороо с учетом сделанноо предположения о том,  28 что x Ý [2; 6], являются значения из промежута  -----3 ;6 .  Объединив множества решений, соответствующие двум рассмотренным случаям, оончательно получаем решение исход  28 ноо неравенства — промежуто  ------ ; +×  . 3     28 Ответ.  ------ ; +×  . 3   Решите неравенство: 11.

1 – 3x –

13.

x2

5 + x > 1.

15.

2– 3+x <

12.

4– 1–x –

+ 4x – 5 – 2x + 3 > 0. 14. x + 4 < x+4.

2 – x > 0.

x + 46 .

24 – 2x – x 2

- < 1. 16. ------------------------------------x


88 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x+5

18. ---------------------------- m 3.

19.

8 – x2 –

21.

x 2 – x – 2 l 2x + 3. x 2 – 16 x–3

23. ------------------------ + 24.

25 – x 2 > x.

1

1

20. ------------------ > -----------2–x. 1+x

22.

В отличие от уравнений неравенства не допусают непосредственной провери. Однао во мноих случаях можно убедиться в правильности полученных результатов рафичесим способом. Действительно, запишем неравенство из примера 4 в виде |x2 – 2| < –x.

x 2 + 3x + 4 > –2.

5 x–3

x – 3 > ------------------ .

3x 2 + 5x + 7 –

89

Объединяя найденные множества решений, оончательно получаем x Ý (–2; –1). Ответ. x Ý (–2; –1).

4– x+1 1– x+3

17. ----------------1 – x < 1.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

3x 2 + 5x + 2 > 1.

Неравенства, содержащие неизвестное под зна ом модля. При решении неравенств, содержащих неизвестное под знаом модуля, используют тот же способ, что и при решении аналоичных уравнений, а именно решение исходноо неравенства сводят  решению несольих неравенств, рассматриваемых на промежутах знаопостоянства выражений, находящихся под знаом модуля.

Построим рафии фунций y1 = |x2 – 2| и y2 = –x, входящих в левую и правую части рассматриваемоо неравенства, и найдем те значения арумента, при оторых y1 < y2. На рис. 4 заштрихованная часть оси абсцисс содержит исомые значения x.

y

y1 = |x2 – 2| 2

П р и м е р 4. Решить неравенство |x2 – 2| + x < 0.

(*)

Р е ш е н и е. Рассмотрим промежути знаопостоянства выражения x2 – 2, записанноо под знаом модуля. 1. Пусть x2 – 2 l 0. Тода неравенство (*) примет вид x2 + x – 2 < 0.

–2 – 2

0

1 2

x

Рис. 2

неравенства: x Ý (–2; – 2 ] (рис. 2). 2. Пусть x2 – 2 < 0. Тода соласно определению модуля имеем |x2 – 2| = 2 – x2, и неравенство (*) примет вид

– 2 –1

0 Рис. 3

2 2 x

(***)

Пересечение множества решений неравенства (***) и неравенства x2 – 2 < 0 дает второе множество решений исходноо неравенства: x Ý (– 2 ; –1) (рис. 3).

x 2 y2 = –x

(**)

Пересечение множества решений неравенства (**) и неравенства x2 – 2 l 0 представляет собой первое множество решений исходноо

2 – x2 + x < 0.

–2 – 2 –1 O

Рис. 4 Решение неравенств, содержащих зна модуля, инода можно значительно соратить, используя равенство |x2| = x2. П р и м е р 5. Решить неравенство x–1 -------------x+2

> 1.

(*)

Р е ш е н и е. Исходное неравенство при всех x − –2 эвивалентно неравенству |x – 1| > |x + 2|. (**) Возведя обе части неравенства (**) в вадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство 6x < –3, т. е. x < – 0,5.


88 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x+5

18. ---------------------------- m 3.

19.

8 – x2 –

21.

x 2 – x – 2 l 2x + 3. x 2 – 16 x–3

23. ------------------------ + 24.

25 – x 2 > x.

1

1

20. ------------------ > -----------2–x. 1+x

22.

В отличие от уравнений неравенства не допусают непосредственной провери. Однао во мноих случаях можно убедиться в правильности полученных результатов рафичесим способом. Действительно, запишем неравенство из примера 4 в виде |x2 – 2| < –x.

x 2 + 3x + 4 > –2.

5 x–3

x – 3 > ------------------ .

3x 2 + 5x + 7 –

89

Объединяя найденные множества решений, оончательно получаем x Ý (–2; –1). Ответ. x Ý (–2; –1).

4– x+1 1– x+3

17. ----------------1 – x < 1.

§ 17. Рациональные и иррациональные неравенства

3x 2 + 5x + 2 > 1.

Неравенства, содержащие неизвестное под зна ом модля. При решении неравенств, содержащих неизвестное под знаом модуля, используют тот же способ, что и при решении аналоичных уравнений, а именно решение исходноо неравенства сводят  решению несольих неравенств, рассматриваемых на промежутах знаопостоянства выражений, находящихся под знаом модуля.

Построим рафии фунций y1 = |x2 – 2| и y2 = –x, входящих в левую и правую части рассматриваемоо неравенства, и найдем те значения арумента, при оторых y1 < y2. На рис. 4 заштрихованная часть оси абсцисс содержит исомые значения x.

y

y1 = |x2 – 2| 2

П р и м е р 4. Решить неравенство |x2 – 2| + x < 0.

(*)

Р е ш е н и е. Рассмотрим промежути знаопостоянства выражения x2 – 2, записанноо под знаом модуля. 1. Пусть x2 – 2 l 0. Тода неравенство (*) примет вид x2 + x – 2 < 0.

–2 – 2

0

1 2

x

Рис. 2

неравенства: x Ý (–2; – 2 ] (рис. 2). 2. Пусть x2 – 2 < 0. Тода соласно определению модуля имеем |x2 – 2| = 2 – x2, и неравенство (*) примет вид

– 2 –1

0 Рис. 3

2 2 x

(***)

Пересечение множества решений неравенства (***) и неравенства x2 – 2 < 0 дает второе множество решений исходноо неравенства: x Ý (– 2 ; –1) (рис. 3).

x 2 y2 = –x

(**)

Пересечение множества решений неравенства (**) и неравенства x2 – 2 l 0 представляет собой первое множество решений исходноо

2 – x2 + x < 0.

–2 – 2 –1 O

Рис. 4 Решение неравенств, содержащих зна модуля, инода можно значительно соратить, используя равенство |x2| = x2. П р и м е р 5. Решить неравенство x–1 -------------x+2

> 1.

(*)

Р е ш е н и е. Исходное неравенство при всех x − –2 эвивалентно неравенству |x – 1| > |x + 2|. (**) Возведя обе части неравенства (**) в вадрат, после приведения подобных членов получаем неравенство 6x < –3, т. е. x < – 0,5.


90 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 18. Показательные неравенства

Учитывая множество допустимых значений исходноо неравенства, определяемое условием x − –2, оончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех x Ý (–×; –2) Ÿ Ÿ (–2; –0,5).

В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (1) имеет следующий вид:

Ответ. (–×; –2) Ÿ (–2; –0,5). На рис. 5 дана рафичесая иллюстрация решения приведенноо неравенства.

91

если a > 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если b < 0, то x Ý R. В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если b < 0, то x = ¾.

y x–1

y= x+2

Множество решений аждоо из нестроих неравенств ax l b m b находят а объединение множеств решений соответи ствующео строоо неравенства и уравнения ax = b. Неравенства вида (1) или (2) можно обобщить на случай, ода поазателем степени является неоторая фунция от x. Та, множеством решений неравенства

1

ax

–2

–0,5 O

x

1

Рис. 5

2f(x) > 3 Решите неравенство: 25. |x – 3| > –1. 27. x2 + 2|x + 3| – 10 m 0. 29. x2 + x – 10 < 2|x – 2|. 31. 33.

|x2

2x – 1 ----------------x–1

является множество решений неравенства

26. |4 – 3x| m 0,5. 28. |x2 – 1| – 2x < 0. 30. x2 – |3x + 2| + x l 0.

f(x) > log2 3, эвивалентноо неравенству (3). Методы сведения более сложных поазательных неравенств  неравенствам вида (1) — (3) аналоичны методам, используемым при решении поазательных уравнений. Например, решение поазательноо неравенства вида

9 32. -------------------------x – 5 – 3 l |x – 2|.

– 3| + 2x + 1 l 0. > 2.

34. |x – 2| m |x + 4|.

35. |x2 + x + 1| < 2x2 – 4x + 7.

|x + 2| – x

P(ax) > 0,

36. --------------------------- > 0. 4–

(3)

x3

де P(ax) — мноочлен уазанноо арумента, заменой ax = y сводят  последовательному решению неравенства P(y) > 0 и решению простейших поазательных неравенств вида (1) и (2) или систем простейших поазательных неравенств.

§ 18. Показательные неравенства

П р и м е р. Решить неравенство Простейшими поазательными неравенствами называют неравенства вида (1) ax > b, ax < b, де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).

(2)

4

x

–2· 5

2x

– 10

x

> 0.

(*)

Р е ш е н и е. Та а числа 4, 10, 25 являются последовательными членами еометричесой прорессии, то неравенство (*) можно свести  вадратному относительно неизвестноо


90 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 18. Показательные неравенства

Учитывая множество допустимых значений исходноо неравенства, определяемое условием x − –2, оончательно получаем, что неравенство (*) выполняется при всех x Ý (–×; –2) Ÿ Ÿ (–2; –0,5).

В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (1) имеет следующий вид:

Ответ. (–×; –2) Ÿ (–2; –0,5). На рис. 5 дана рафичесая иллюстрация решения приведенноо неравенства.

91

если a > 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если b < 0, то x Ý R. В зависимости от значений a и b множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, b > 0, то x Ý (–×; loga b); если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (loga b; +×); если b < 0, то x = ¾.

y x–1

y= x+2

Множество решений аждоо из нестроих неравенств ax l b m b находят а объединение множеств решений соответи ствующео строоо неравенства и уравнения ax = b. Неравенства вида (1) или (2) можно обобщить на случай, ода поазателем степени является неоторая фунция от x. Та, множеством решений неравенства

1

ax

–2

–0,5 O

x

1

Рис. 5

2f(x) > 3 Решите неравенство: 25. |x – 3| > –1. 27. x2 + 2|x + 3| – 10 m 0. 29. x2 + x – 10 < 2|x – 2|. 31. 33.

|x2

2x – 1 ----------------x–1

является множество решений неравенства

26. |4 – 3x| m 0,5. 28. |x2 – 1| – 2x < 0. 30. x2 – |3x + 2| + x l 0.

f(x) > log2 3, эвивалентноо неравенству (3). Методы сведения более сложных поазательных неравенств  неравенствам вида (1) — (3) аналоичны методам, используемым при решении поазательных уравнений. Например, решение поазательноо неравенства вида

9 32. -------------------------x – 5 – 3 l |x – 2|.

– 3| + 2x + 1 l 0. > 2.

34. |x – 2| m |x + 4|.

35. |x2 + x + 1| < 2x2 – 4x + 7.

|x + 2| – x

P(ax) > 0,

36. --------------------------- > 0. 4–

(3)

x3

де P(ax) — мноочлен уазанноо арумента, заменой ax = y сводят  последовательному решению неравенства P(y) > 0 и решению простейших поазательных неравенств вида (1) и (2) или систем простейших поазательных неравенств.

§ 18. Показательные неравенства

П р и м е р. Решить неравенство Простейшими поазательными неравенствами называют неравенства вида (1) ax > b, ax < b, де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).

(2)

4

x

–2· 5

2x

– 10

x

> 0.

(*)

Р е ш е н и е. Та а числа 4, 10, 25 являются последовательными членами еометричесой прорессии, то неравенство (*) можно свести  вадратному относительно неизвестноо


92 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x

2 y =  --5-  . Для этоо разделим обе части исходноо неравенст 

ва на 25

x

= 5

2x

: 4 x 2 ⋅ 5 x  ----- --------- 25  – 2 –  25  > 0.

x

2 Полаая  --5-  = y, получим неравенство  

y2 – y – 2 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; –1) Ÿ (2; +×). Таим образом, исходное неравенство эвивалентно двум простейшим поазательным неравенствам x 2 x  2 ---  < –1,  ---  > 2.  5   5  Решением первоо неравенства является пустое множество, а решением второо — промежуто (–×; log2/5 2). Ответ. (–×; log2/5 2). x

3. 25

+ 2 –x

5. 2 · 3

+ 5

2x 2

7. 98 – 7

9.

x2 – 3

x

<

2x + 1

+ 6

x2

x 2 + 3x + 4

x 2 + 5x – 49

.

x

x

x2 – 3 – 1

–4· 5 + 25

–1

x+1

–3· 2

.

x

2(13 + 12) –

23 – x

– 2 2 log4 6

4. 4

–7· 2

m 7 · 10 .

+3< 3

x

– x + 0,5

.

l 49

x

2x – 10 – 3 x – 2

13. 25 14. 5

x 2 + 5x – 48

x

1 12.  --4-   

x2 + 2

1 >  --3- 

+ 2 · 25

2. 4

l 50.

+4m 3

13 – 5 m

10. 9 11. 5

x

– 6 m 0.

–x+1

x+4

1 6.  --3- 

8. 5 · 4

x+1

15.

8+2

16.

4

x+1

17. 3

x+1

18. 4

x

19. 20.

3–x+1

–4

3–x

93

+ 2

3–x+1

> 5.

x

+ 17 – 5 > 2 . 9

4x 2

< ----------- . 27

m3· 2

3

2x + 1

3

2x + 2

|3tg πx

x+x

– 3

+ 41 +

x+2

–2· 3

.

+ 6 > 0,

x+2

31 – tg πx|

x

– 27 < 0.

l 2.

§ 19. Логарифмические неравенства Простейшими лоарифмичесими неравенствами называют неравенства вида loga x > b, (1) loga x < b,

Решите неравенство: 1. 4

§ 19. Логарифмические неравенства

· 28.

x–5

1/log 3 5

< 10 · 5

> 30 + 5

13 + 5 .

< 5

.

– 4 < 0.

+ 1 l 0.

де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1). В зависимости от значений a множество решений неравенства (1) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (ab; +×); если 0 < a < 1, то x Ý (0; ab). В зависимости от значений a множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (0; ab); если 0 < a < 1, то x Ý (ab; +×). Множество решений аждоо из нестроих неравенств loga x l b и loga x m b находят а объединение множеств решений соответствующео строоо неравенства и уравнения loga x = b. Неравенство вида (3) loga f(x) > b эвивалентно следующим системам неравенств*: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) > ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) < ab;

.

x–1

x

1+3 x–2

x2

–x

(2)

. x

· 30 .

* В случае, если неравенство (3) нестро ое, вторые неравенства этих систем таже нестро ие.


92 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами x

2 y =  --5-  . Для этоо разделим обе части исходноо неравенст 

ва на 25

x

= 5

2x

: 4 x 2 ⋅ 5 x  ----- --------- 25  – 2 –  25  > 0.

x

2 Полаая  --5-  = y, получим неравенство  

y2 – y – 2 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; –1) Ÿ (2; +×). Таим образом, исходное неравенство эвивалентно двум простейшим поазате��ьным неравенствам x 2 x  2 ---  < –1,  ---  > 2.  5   5  Решением первоо неравенства является пустое множество, а решением второо — промежуто (–×; log2/5 2). Ответ. (–×; log2/5 2). x

3. 25

+ 2 –x

5. 2 · 3

+ 5

2x 2

7. 98 – 7

9.

x2 – 3

x

<

2x + 1

+ 6

x2

x 2 + 3x + 4

x 2 + 5x – 49

.

x

x

x2 – 3 – 1

–4· 5 + 25

–1

x+1

–3· 2

.

x

2(13 + 12) –

23 – x

– 2 2 log4 6

4. 4

–7· 2

m 7 · 10 .

+3< 3

x

– x + 0,5

.

l 49

x

2x – 10 – 3 x – 2

13. 25 14. 5

x 2 + 5x – 48

x

1 12.  --4-   

x2 + 2

1 >  --3- 

+ 2 · 25

2. 4

l 50.

+4m 3

13 – 5 m

10. 9 11. 5

x

– 6 m 0.

–x+1

x+4

1 6.  --3- 

8. 5 · 4

x+1

15.

8+2

16.

4

x+1

17. 3

x+1

18. 4

x

19. 20.

3–x+1

–4

3–x

93

+ 2

3–x+1

> 5.

x

+ 17 – 5 > 2 . 9

4x 2

< ----------- . 27

m3· 2

3

2x + 1

3

2x + 2

|3tg πx

x+x

– 3

+ 41 +

x+2

–2· 3

.

+ 6 > 0,

x+2

31 – tg πx|

x

– 27 < 0.

l 2.

§ 19. Логарифмические неравенства Простейшими лоарифмичесими неравенствами называют неравенства вида loga x > b, (1) loga x < b,

Решите неравенство: 1. 4

§ 19. Логарифмические неравенства

· 28.

x–5

1/log 3 5

< 10 · 5

> 30 + 5

13 + 5 .

< 5

.

– 4 < 0.

+ 1 l 0.

де a и b — неоторые действительные числа (a > 0, a − 1). В зависимости от значений a множество решений неравенства (1) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (ab; +×); если 0 < a < 1, то x Ý (0; ab). В зависимости от значений a множество решений неравенства (2) имеет следующий вид: если a > 1, то x Ý (0; ab); если 0 < a < 1, то x Ý (ab; +×). Множество решений аждоо из нестроих неравенств loga x l b и loga x m b находят а объединение множеств решений соответствующео строоо неравенства и уравнения loga x = b. Неравенство вида (3) loga f(x) > b эвивалентно следующим системам неравенств*: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) > ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) < ab;

.

x–1

x

1+3 x–2

x2

–x

(2)

. x

· 30 .

* В случае, если неравенство (3) нестро ое, вторые неравенства этих систем таже нестро ие.


94 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами а неравенство вида

95

Решите неравенство: loga f(x) < b

(4)

— следующим системам неравенств: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) < ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) > ab.

P(loga x) > 0,

(5)

а таже неравенств P < 0, P l 0, P m 0, де P — мноочлен уазанноо арумента, находят следующим образом. Вводят новое неизвестное y = loga x и решают неравенство (5) а алебраичесое относительно неизвестноо y. После этоо решение исходноо неравенства сводят  решению соответствующих простейших неравенств (1) и (2) или систем этих неравенств. П р и м е р 1. Решить неравенство (*)

Р е ш е н и е. Учитывая, что множеством допустимых значений неравенства (*) является промежуто (0; +×), преобразуем это неравенство  виду

------4. log1/4 ---------------x + 1 < cos 3 .

2x – 1

5. log 2 x + log2 x – 2 m 0. 6. 2 log4 (2x2 + 3) < log2 (x2 + 6). 7. log2

2

x – 2 log 1/4 x + 1 l 0.

8. log1/4 (2x + 3) > log9 27. 9. lg (x – 4) + lg x < lg 21. 1

10. log7 x – logx --7- l 2. 11. log2 [(x – 3)(x + 2)] + log1/2 (x – 3) < – log 1/ 12. log100 x2 + lg2 x < 2. 9

+ 1 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; 1 + log1/2 3) Ÿ (1 – log1/2 3; +×). Таим образом, решения исходноо неравенства определяются условиями 3

log1/2 x < 1 + log1/2 3 _ x > --2- , 1 log1/2 x > 1 – log1/2 3 _ 0 < x < --6- .

1 --- + log 7 – x 9.

2

13. log3 (7 – x) m -----16 log 2

2 4

3

14. log3 x – log 3 x m --2- log 1/ ( 2 2 ) 4. 15. log1/2 (4 – x) l log1/2 2 – log1/2 (x – 1). 3π

sin ------1 4 - > -16. log2 (3 – x) – log2 --------------2 + log2 (x + 7). 5–x

17. 2 log1/4 (x + 5) > --4- log 1/ ( 3

Полаая y = log1/2 x, получаем относительно y неравенство

1 3 Ответ.  0; --6-  Ÿ  --2- ; +×  .    

3 3. log5/8  2x2 – x – --8-  l 1.  

9

(log1/2 x)2 – 2 log1/2 x > (log1/2 3)2 –1.

– 2y – (log1/2

2. log2 ------------x + 2 < 0.

2

(log1/2 x)2 – log1/2 x2 > (log1/2 3)2 – 1.

3)2

x–3

1. log1/2 (2x + 3) > 0.

2

Более сложные лоарифмичесие неравенства сводят  неравенствам вида (1) — (4) методами, аналоичными тем, оторые используются при решении лоарифмичесих уравнений. Та, множество решений неравенства вида

y2

§ 19. Логарифмические неравенства

3)

x

3 –1

x

9 + log

x+5

3

18. log4 (3 – 1) log1/4 ---------------- m --4- . 16 19. log1/2 x m log1/4 x. 20. log3 (3

4x

21. lg |2x +

–3

3|3

2x + 1

+ 3) < 2 log9 7.

+ 2 log ( 2x + 3 )3 10 < 3. log x 4

2 -. 22. logx/2 8 + logx/4 8 < ---------------------------2

log 2 x – 4

23. 8 log2 x – 2x2 > x – 2. 4π

1

24. 2 log4 x – --2- log2 (x2 – 3x + 2) m cos -----3 . 3

25. log4/3 cos x l log4/9 --2- при x Ý (–1; 1).

2.

2

3.


94 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами а неравенство вида

95

Решите неравенство: loga f(x) < b

(4)

— следующим системам неравенств: если a > 1, то f(x) > 0, f(x) < ab; если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) > ab.

P(loga x) > 0,

(5)

а таже неравенств P < 0, P l 0, P m 0, де P — мноочлен уазанноо арумента, находят следующим образом. Вводят новое неизвестное y = loga x и решают неравенство (5) а алебраичесое относительно неизвестноо y. После этоо решение исходноо неравенства сводят  решению соответствующих простейших неравенств (1) и (2) или систем этих неравенств. П р и м е р 1. Решить неравенство (*)

Р е ш е н и е. Учитывая, что множеством допустимых значений неравенства (*) является промежуто (0; +×), преобразуем это неравенство  виду

------4. log1/4 ---------------x + 1 < cos 3 .

2x – 1

5. log 2 x + log2 x – 2 m 0. 6. 2 log4 (2x2 + 3) < log2 (x2 + 6). 7. log2

2

x – 2 log 1/4 x + 1 l 0.

8. log1/4 (2x + 3) > log9 27. 9. lg (x – 4) + lg x < lg 21. 1

10. log7 x – logx --7- l 2. 11. log2 [(x – 3)(x + 2)] + log1/2 (x – 3) < – log 1/ 12. log100 x2 + lg2 x < 2. 9

+ 1 > 0.

(**)

Множество решений неравенства (**) представляет собой объединение промежутов: (–×; 1 + log1/2 3) Ÿ (1 – log1/2 3; +×). Таим образом, решения исходноо неравенства определяются условиями 3

log1/2 x < 1 + log1/2 3 _ x > --2- , 1 log1/2 x > 1 – log1/2 3 _ 0 < x < --6- .

1 --- + log 7 – x 9.

2

13. log3 (7 – x) m -----16 log 2

2 4

3

14. log3 x – log 3 x m --2- log 1/ ( 2 2 ) 4. 15. log1/2 (4 – x) l log1/2 2 – log1/2 (x – 1). 3π

sin ------1 4 - > -16. log2 (3 – x) – log2 --------------2 + log2 (x + 7). 5–x

17. 2 log1/4 (x + 5) > --4- log 1/ ( 3

Полаая y = log1/2 x, получаем относительно y неравенство

1 3 Ответ.  0; --6-  Ÿ  --2- ; +×  .    

3 3. log5/8  2x2 – x – --8-  l 1.  

9

(log1/2 x)2 – 2 log1/2 x > (log1/2 3)2 –1.

– 2y – (log1/2

2. log2 ------------x + 2 < 0.

2

(log1/2 x)2 – log1/2 x2 > (log1/2 3)2 – 1.

3)2

x–3

1. log1/2 (2x + 3) > 0.

2

Более сложные лоарифмичесие неравенства сводят  неравенствам вида (1) — (4) методами, аналоичными тем, оторые используются при решении лоарифмичесих уравнений. Та, множество решений неравенства вида

y2

§ 19. Логарифмические неравенства

3)

x

3 –1

x

9 + log

x+5

3

18. log4 (3 – 1) log1/4 ---------------- m --4- . 16 19. log1/2 x m log1/4 x. 20. log3 (3

4x

21. lg |2x +

–3

3|3

2x + 1

+ 3) < 2 log9 7.

+ 2 log ( 2x + 3 )3 10 < 3. log x 4

2 -. 22. logx/2 8 + logx/4 8 < ---------------------------2

log 2 x – 4

23. 8 log2 x – 2x2 > x – 2. 4π

1

24. 2 log4 x – --2- log2 (x2 – 3x + 2) m cos -----3 . 3

25. log4/3 cos x l log4/9 --2- при x Ý (–1; 1).

2.

2

3.


96 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 26. log1/2 |x – 3| > –1. log

2

x – 81 + 2

1/2 28. ------------------------------------------------< 1. log x–1 1/2

§ 19. Логарифмические неравенства 40. log

27. log2 ( x + 3 – x – 1) m 0. log

x–1

42. log(x + 6)/3 log2 ------------2 + x > 0.

1/2

1

x

2x 2 – 3x + 3

2x 2 – 3x + 3

- + 1 > log2 ----------------------------------- . log 4 ---------------------------------2 2 2

1 – 1 – 8 log x

2 - < 1. 33. -------------------------------------------2 log x 2

log x

3

1 + 2x

8 2 ------------------------------------ . 34. ----------------------------------log ( 1 + 2x ) m log x 2

2

Лоарифмичесое неравенство вида logg(x) f(x) > c

(6)

(7)

(*)

51. x

2

x – 3 lg x + 1 15 log 2

x2 – x – 2

> 1000. 3

2

· 3

log

x

3

50. (x 2 – x – 1) x

.

< 1.

52.

x1/lg x

2

–1

< 1.

· lg x < 1.

3 54. log cos x 2  --2- – 2x  < log cos x 2 (2x – 1).

x2 – 5x + 6 > 2x, 0 < 2x < 1.

55. (logsin x 2)2 < logsin x (4 sin3 x). 56. tg x – 1 (logtg x (2 + 4 cos2 x) – 2) l 0. 57. log5 sin x > log125 (3 sin x – 2). 58. log sin x +

Решите неравенство: x– 3 ---  2  

(x2 – 10x + 22) > 0.

3

1 Ответ. x Ý  0; --2-  Ÿ (1; 2) Ÿ (3; 6).  

3 cos x

  x2 5x ------ ----2 – 2 + 3  l 0.  

Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:

4

> 0.

37. logx + 4 (5x + 20) m logx + 4 (x + 4)2. 2(x – 2)

( 0,5 x )

53. log|sin x| (x2 – 8x + 23) > ---------------------------log 2 sin x .

Множество решений исходноо неравенства получаем а объединение множеств решений этих двух систем.

38. log1/x ------------------------------------( x + 1 ) ( x – 5 ) l 1.

2

log x (2x 3 ) .

При решении упр. 53 — 58 воспользуйтесь тем, что данное неравенство эвивалентно системе трионометричесих неравенств или системе алебраичесих и трионометричесих неравенств.

Р е ш е н и е. Данное лоарифмичесое неравенство эвивалентно двум системам неравенств:

36. log 2x – x 2

46. logx (2x) m

49. x3 > 2

f(x) > 0, 0 < g(x) < 1, f(x) < (g(x))c.

log2x (x2 – 5x + 6) < 1.

3  35. logx  x2 – -----16  > 4.

45. log|x| ( 9 – x 2 – x – 1) l 1.

48. x lg

П р и м е р 2. Решить неравенство

0 < x2 – 5x + 6 < 2x, 2x > 1;

44. xlg x < 10 · x–lg x + 3.

При решении упр. 49—52 учтите, что выражения, находящиеся в левой и правой частях неравенства, положительны, и это неравенство решается лоарифмированием обеих ео частей по одному и тому же основанию

эвивалентно двум системам неравенств: f(x) > 0, g(x) > 1, f(x) > (g(x))c;

43. log 9x 2 (6 + 2x – x2) m --2- .

47. log log log

(x2 – 3x + 1) l 0.

x+1– x–1

41. log|x + 6| 2 · log2 (x2 – x – 2) l 1.

x+4

1/2 29. -----------------------------------log ( x + 2 ) m 1.

30. log3 5 – 2x · logx 3 < 1. 31. log2 x log x ------2 m 1. 32.

97

  1 39. log x + x –1  x2 + -----2- – 4  l 1. x  



5 --- log 3 ( 12 – 3x )

59. 3 2

– 3 log2 x > 83.

1

60. x – --2- < 2 log5 (x + 2). 61. log

2π 7

2 cos ------- – x + 8

x+5–1 ---------------------------- l 0. 10 – x


96 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 26. log1/2 |x – 3| > –1. log

2

x – 81 + 2

1/2 28. ------------------------------------------------< 1. log x–1 1/2

§ 19. Логарифмические неравенства 40. log

27. log2 ( x + 3 – x – 1) m 0. log

x–1

42. log(x + 6)/3 log2 ------------2 + x > 0.

1/2

1

x

2x 2 – 3x + 3

2x 2 – 3x + 3

- + 1 > log2 ----------------------------------- . log 4 ---------------------------------2 2 2

1 – 1 – 8 log x

2 - < 1. 33. -------------------------------------------2 log x 2

log x

3

1 + 2x

8 2 ------------------------------------ . 34. ----------------------------------log ( 1 + 2x ) m log x 2

2

Лоарифмичесое неравенство вида logg(x) f(x) > c

(6)

(7)

(*)

51. x

2

x – 3 lg x + 1 15 log 2

x2 – x – 2

> 1000. 3

2

· 3

log

x

3

50. (x 2 – x – 1) x

.

< 1.

52.

x1/lg x

2

–1

< 1.

· lg x < 1.

3 54. log cos x 2  --2- – 2x  < log cos x 2 (2x – 1).

x2 – 5x + 6 > 2x, 0 < 2x < 1.

55. (logsin x 2)2 < logsin x (4 sin3 x). 56. tg x – 1 (logtg x (2 + 4 cos2 x) – 2) l 0. 57. log5 sin x > log125 (3 sin x – 2). 58. log sin x +

Решите неравенство: x– 3 ---  2  

(x2 – 10x + 22) > 0.

3

1 Ответ. x Ý  0; --2-  Ÿ (1; 2) Ÿ (3; 6).  

3 cos x

  x2 5x ------ ----2 – 2 + 3  l 0.  

Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:

4

> 0.

37. logx + 4 (5x + 20) m logx + 4 (x + 4)2. 2(x – 2)

( 0,5 x )

53. log|sin x| (x2 – 8x + 23) > ---------------------------log 2 sin x .

Множество решений исходноо неравенства получаем а объединение множеств решений этих двух систем.

38. log1/x ------------------------------------( x + 1 ) ( x – 5 ) l 1.

2

log x (2x 3 ) .

При решении упр. 53 — 58 воспользуйтесь тем, что данное неравенство эвивалентно системе трионометричесих неравенств или системе алебраичесих и трионометричесих неравенств.

Р е ш е н и е. Данное лоарифмичесое неравенство эвивалентно двум системам неравенств:

36. log 2x – x 2

46. logx (2x) m

49. x3 > 2

f(x) > 0, 0 < g(x) < 1, f(x) < (g(x))c.

log2x (x2 – 5x + 6) < 1.

3  35. logx  x2 – -----16  > 4.

45. log|x| ( 9 – x 2 – x – 1) l 1.

48. x lg

П р и м е р 2. Решить неравенство

0 < x2 – 5x + 6 < 2x, 2x > 1;

44. xlg x < 10 · x–lg x + 3.

При решении упр. 49—52 учтите, что выражения, находящиеся в левой и правой частях неравенства, положительны, и это неравенство решается лоарифмированием обеих ео частей по одному и тому же основанию

эвивалентно двум системам неравенств: f(x) > 0, g(x) > 1, f(x) > (g(x))c;

43. log 9x 2 (6 + 2x – x2) m --2- .

47. log log log

(x2 – 3x + 1) l 0.

x+1– x–1

41. log|x + 6| 2 · log2 (x2 – x – 2) l 1.

x+4

1/2 29. -----------------------------------log ( x + 2 ) m 1.

30. log3 5 – 2x · logx 3 < 1. 31. log2 x log x ------2 m 1. 32.

97

  1 39. log x + x –1  x2 + -----2- – 4  l 1. x  



5 --- log 3 ( 12 – 3x )

59. 3 2

– 3 log2 x > 83.

1

60. x – --2- < 2 log5 (x + 2). 61. log

2π 7

2 cos ------- – x + 8

x+5–1 ---------------------------- l 0. 10 – x


98 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции а)

z = log3 y

u = (0,5)z O

z

O

в)

z

б)

1

Рассмотрим неравенства, в оторые входят сложные фунции, состоящие из неоторой омпозиции трансцендентных и алебраичесих фунций. Решение подобных неравенств сводится  последовательному решению простейших неравенств, получающихся при замене арументов сложных фунций новыми переменными. П р и м е р. Решить неравенство

u

y

(0,5)

< 1.

Р е ш е н и е. Полаая z = log3 log1/5

 x2 – 4 ---  , сведем ис5  

v

)

ходное неравенство  простейшему поазательному неравенству относительно z:

1

v = x2 – 4 5 1 5

y = log1/5 v 5

–2 5

z

(0,5) < (0,5)0 _ z > 0. 4 Далее положим y = log1/5  x2 – --5-  и получим неравенство  

log3 y > 0 _ y > 1. 4

Наонец, полаая v = x2 – --5- , имеем 1

log1/5 v > 1 _ 0 < v < --5- . Ита, мы пришли  неравенству, эвивалентному исходному: 1 4 0 < x2 – --5- < --5- .

  2  2  Ответ.  –1; – -------  Ÿ  ------- ; 1  . 5 5     При решении неравенств, рассмотренных в данном примере, полезно проводить рафичесую иллюстрацию аждоо отдельноо этапа решения. На рис. 6, а— представлена рафичесая иллюстрация решения этоо примера. На аждом рисуне изображены рафии фунций, поэтапно получающихся в процессе решения. При этом на вертиаль-

O

–1

v

O 1 1

y

1

4

log 3 log1/5  x 2 – --5-   

99

–4 5

x

1 2 5

Рис. 6 ной оси аждоо рафиа отмечается интересующее нас множество значений очередной простейшей фунции, а на оризонтальной оси ищется соответствующее ему множество значений арумента. Это множество, обозначенное штриховой на оризонтальной оси, на следующем рисуне отмечается на вертиальной оси. Решите неравенство: 1 1.  --2-   

log 2 ( x 2 – 1 )

2 3.  --5-   

log0,25 ( x 2 + 5x + 8 )

5. (0,5)

x+5 x +3

log 1/3 ---------------2

2

2. 5 log 2 x < 1.

> 1. m 2,5.

> 1.

4. (0,5) log5 log0,3 ( x – 0,7 ) < 1. 1 6.  --3-   

10 x + 1 log 1/9  x 2 – -----3  

m 1.

Найдите область определения фунции: 7. y =

x–1

-. log 1/2 ----------------3x + 5 sin x – cos x + 3 2 2

9. y = log2 ---------------------------------------------------- .

8. y = 10. y =

x x –1

-. log 1/2 --------------2

log 1/3 log 3 x – 3 .


98 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции

§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции а)

z = log3 y

u = (0,5)z O

z

O

в)

z

б)

1

Рассмотрим неравенства, в оторые входят сложные фунции, состоящие из неоторой омпозиции трансцендентных и алебраичесих фунций. Решение подобных неравенств сводится  последовательному решению простейших неравенств, получающихся при замене арументов сложных фунций новыми переменными. П р и м е р. Решить неравенство

u

y

(0,5)

< 1.

Р е ш е н и е. Полаая z = log3 log1/5

 x2 – 4 ---  , сведем ис5  

v

)

ходное неравенство  простейшему поазательному неравенству относительно z:

1

v = x2 – 4 5 1 5

y = log1/5 v 5

–2 5

z

(0,5) < (0,5)0 _ z > 0. 4 Далее положим y = log1/5  x2 – --5-  и получим неравенство  

log3 y > 0 _ y > 1. 4

Наонец, полаая v = x2 – --5- , имеем 1

log1/5 v > 1 _ 0 < v < --5- . Ита, мы пришли  неравенству, эвивалентному исходному: 1 4 0 < x2 – --5- < --5- .

  2  2  Ответ.  –1; – -------  Ÿ  ------- ; 1  . 5 5     При решении неравенств, рассмотренных в данном примере, полезно проводить рафичесую иллюстрацию аждоо отдельноо этапа решения. На рис. 6, а— представлена рафичесая иллюстрация решения этоо примера. На аждом рисуне изображены рафии фунций, поэтапно получающихся в процессе решения. При этом на вертиаль-

O

–1

v

O 1 1

y

1

4

log 3 log1/5  x 2 – --5-   

99

–4 5

x

1 2 5

Рис. 6 ной оси аждоо рафиа отмечается интересующее нас множество значений очередной простейшей фунции, а на оризонтальной оси ищется соответствующее ему множество значений арумента. Это множество, обозначенное штриховой на оризонтальной оси, на следующем рисуне отмечается на вертиальной оси. Решите неравенство: 1 1.  --2-   

log 2 ( x 2 – 1 )

2 3.  --5-   

log0,25 ( x 2 + 5x + 8 )

5. (0,5)

x+5 x +3

log 1/3 ---------------2

2

2. 5 log 2 x < 1.

> 1. m 2,5.

> 1.

4. (0,5) log5 log0,3 ( x – 0,7 ) < 1. 1 6.  --3-   

10 x + 1 log 1/9  x 2 – -----3  

m 1.

Найдите область определения фунции: 7. y =

x–1

-. log 1/2 ----------------3x + 5 sin x – cos x + 3 2 2

9. y = log2 ---------------------------------------------------- .

8. y = 10. y =

x x –1

-. log 1/2 --------------2

log 1/3 log 3 x – 3 .


100 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Решите неравенство, используя омбинацию рассмотренных методов: 11. log 1 /

5

(6

x+1

x

– 36 ) l –2.

x

13. logx [log2 ( 4 – 6)] m 1. 3x 4 + 4x 5 – 4x 6 · log2 x2 > > 3 3 + 4x – 4x 2 + 4x3 log4 x4.

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами урса элементарной математии. Решение этих задач по существу представляет собой исследование фунций, входящих в уравнение, и последующим решением уравнений или неравенств с числовыми оэффициентами. При решении уравнения (неравенства) с параметрами необходимо выяснить, при аих значениях параметров уравнение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения. П р и м е р 1. Для всех значений a решить неравенство 1

ax > --x- . Р е ш е н и е. Запишем неравенство в виде ax 2 – 1 -------------------- > 0. x

 1  решения системы (*) таовы: x Ý  ------- ; +×  . Если же a m 0, то a  

 1 1  венства ax2 – 1 < 0 являются значения x Ý  – ------- ; -------  , а решеa a    1  ниями системы (**) — значения x Ý  – ------- ; 0  . Если же a m 0, a   то левая часть неравенства ax2 – 1 < 0 отрицательна при любых значениях x, т. е. это неравенство выполняется при всех x Ý R и, следовательно, решениями системы (**) являются значения x Ý (–×; 0). Ответ. Если a m 0, то x Ý (–×; 0);   1   1 если a > 0, то x Ý  – ------- ; 0  Ÿ  ------- ; +×  . a a     Приведем рафичесую иллюстрацию решения примера 1. Для этоо рассмотрим отдельно два случая: a > 0 (рис. 7, а) и a m 0 (рис. 7, б) и для аждоо из них построим рафии фунций, находящихся в левой и правой частях исходноо неравенства. Заштрихованные промежути оси Ox представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.

y

Тода исходное неравенство эвивалентно двум системам неравенств: ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0, (*) (**) x > 0; x < 0.

1

Если a > 0, то оно эвивалентно неравенству x2 > --a- , множество 1 a

решений отороо имеет вид x < – ------- и x > ------- . В этом случае

y y = ax, a > 0 y = ax, a m 0

–1

a

Рассмотрим систему (*). Запишем ее первое неравенство в виде ax2 > 1.

1 a

101

левая часть неравенства ax2 – 1 > 0 отрицательна при любом x и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и система (*). Рассмотрим систему (**). Если a > 0, то решениями нера-

12. log3 log 9/16 (x2 – 4x + 3) m 0.

14. 12x +

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

O 1

a

x

O

а)

б) Рис. 7

x


100 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Решите неравенство, используя омбинацию рассмотренных методов: 11. log 1 /

5

(6

x+1

x

– 36 ) l –2.

x

13. logx [log2 ( 4 – 6)] m 1. 3x 4 + 4x 5 – 4x 6 · log2 x2 > > 3 3 + 4x – 4x 2 + 4x3 log4 x4.

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами урса элементарной математии. Решение этих задач по существу представляет собой исследование фунций, входящих в уравнение, и последующим решением уравнений или неравенств с числовыми оэффициентами. При решении уравнения (неравенства) с параметрами необходимо выяснить, при аих значениях параметров уравнение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения. П р и м е р 1. Для всех значений a решить неравенство 1

ax > --x- . Р е ш е н и е. Запишем неравенство в виде ax 2 – 1 -------------------- > 0. x

 1  решения системы (*) таовы: x Ý  ------- ; +×  . Если же a m 0, то a  

 1 1  венства ax2 – 1 < 0 являются значения x Ý  – ------- ; -------  , а решеa a    1  ниями системы (**) — значения x Ý  – ------- ; 0  . Если же a m 0, a   то левая часть неравенства ax2 – 1 < 0 отрицательна при любых значениях x, т. е. это неравенство выполняется при всех x Ý R и, следовательно, решениями системы (**) являются значения x Ý (–×; 0). Ответ. Если a m 0, то x Ý (–×; 0);   1   1 если a > 0, то x Ý  – ------- ; 0  Ÿ  ------- ; +×  . a a     Приведем рафичесую иллюстрацию решения примера 1. Для этоо рассмотрим отдельно два случая: a > 0 (рис. 7, а) и a m 0 (рис. 7, б) и для аждоо из них построим рафии фунций, находящихся в левой и правой частях исходноо неравенства. Заштрихованные промежути оси Ox представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях.

y

Тода исходное неравенство эвивалентно двум системам неравенств: ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0, (*) (**) x > 0; x < 0.

1

Если a > 0, то оно эвивалентно неравенству x2 > --a- , множество 1 a

решений отороо имеет вид x < – ------- и x > ------- . В этом случае

y y = ax, a > 0 y = ax, a m 0

–1

a

Рассмотрим систему (*). Запишем ее первое неравенство в виде ax2 > 1.

1 a

101

левая часть неравенства ax2 – 1 > 0 отрицательна при любом x и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет решений и система (*). Рассмотрим систему (**). Если a > 0, то решениями нера-

12. log3 log 9/16 (x2 – 4x + 3) m 0.

14. 12x +

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

O 1

a

x

O

а)

б) Рис. 7

x


102 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Графичесая иллюстрация облечает решение уравнений и неравенств с параметрами. Приведем пример рафичесоо решения уравнения с параметрами.

5. Для аждоо значения параметра a решите неравенство 2|x – a| < 2ax – x2 – 2. 6. Для аждоо значения параметра a решите неравенство

П р и м е р 2. Для аждоо значения a решить уравнение 2|x| + |a| = x + 1.

O

–1 3

1 x

–1

ственно. При –1 < a < 0 орни находим из уравнений x – a = 1 и –3x – a = 1;

Рис. 8

a+1

они равны x = 1 + a и x = – ------------3 соответ-

ственно. Ответ. Если |a| > 1, то уравнение не имеет решений; если |a| = 1, то x = 0; a–1

если 0 m a < 1, то x = 1 – a и x = -----------3 ; a+1

если –1 < a < 0, то x = 1 + a и x = – ------------3 .

1. Для аждоо значения параметра a решите уравнение |x – a + 1| + |x – 2a| = x. 2. Для аждоо значения параметра a решите неравенство |3x – a| + |2x + a| m 5. 3. Для аждоо действительноо значения параметра a решите уравнение x2 + |x| + a = 0. 4. Для аждоо значения параметра a определите число решений уравнения: а)

a+x +

(*)

Р е ш е н и е. Будем отладывать на оси абсцисс значения x, а на оси ординат — значения a. Тода в оординатной плосости (x, a) еометричесое место точе, оординаты оторых удовлетворяют данному уравнению, образует фиуру, изображенную на рис. 8. Из рисуна видно, что при |a| > 1 уравнение (*) решений не имеет. Если |a| < 1, то аждому значению a соответствуют два орня уравнения, а если |a| = 1 — один орень x = 0. При 0 m a < 1 орни находим из следующих уравнений: a x + a = 1 и –3x + a = 1; 1 a–1 - соответони равны x = 1 – a и x = -----------3

2 x – x 2 = a; б) |x2 – 2x – 3| = a.

103



a – x > a.

7. Найдите все значения a, при оторых неравенство

3 – |x – a| > x2 имеет хотя бы одно отрицательное решение. 8. Для аждоо значения параметра a решите уравнение x

x

a(2 – 2) + 1 = 1 – 2 . 9. Для аждоо значения параметра a решите уравнение 144|x| – 2 · 12|x| + a = 0. 10. Найдите все значения параметра a, при оторых уравнение x

3

log3 (9 + 9a ) = x имеет два решения. 11. Найдите все значения параметра c, при оторых неравенство 7 1 + log2  2x2 + 2x + --2-  l log2 (cx2 + c)   имеет хотя бы одно решение. 12. Найдите все значения a, при оторых неравенство log a(a + 1) (|x| + 4) > 1 выполняется для любоо значения x. 13. Найдите все значения a, при оторых неравенство loga/(a + 1) (x2 + 2) > 1 выполняется для любоо значения x. 14. Найдите все таие значения x, по модулю меньшие 3, оторые при всех a l 5 удовлетворяют неравенству log 2a – x 2 (x – 2ax) > 1. 15. Найдите все значения x > 1, оторые при всех b, удовлетворяющих условию 0 < b m 2, являются решениями неравенства log ( x 2 + x )/b (x + 2b – 1) < 1. 16. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для оторых при всех x справедливо равенство aex + b = eax + b.


102 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Графичесая иллюстрация облечает решение уравнений и неравенств с параметрами. Приведем пример рафичесоо решения уравнения с параметрами.

5. Для аждоо значения параметра a решите неравенство 2|x – a| < 2ax – x2 – 2. 6. Для аждоо значения параметра a решите неравенство

П р и м е р 2. Для аждоо значения a решить уравнение 2|x| + |a| = x + 1.

O

–1 3

1 x

–1

ственно. При –1 < a < 0 орни находим из уравнений x – a = 1 и –3x – a = 1;

Рис. 8

a+1

они равны x = 1 + a и x = – ------------3 соответ-

ственно. Ответ. Если |a| > 1, то уравнение не имеет решений; если |a| = 1, то x = 0; a–1

если 0 m a < 1, то x = 1 – a и x = -----------3 ; a+1

если –1 < a < 0, то x = 1 + a и x = – ------------3 .

1. Для аждоо значения параметра a решите уравнение |x – a + 1| + |x – 2a| = x. 2. Для аждоо значения параметра a решите неравенство |3x – a| + |2x + a| m 5. 3. Для аждоо действительноо значения параметра a решите уравнение x2 + |x| + a = 0. 4. Для аждоо значения параметра a определите число решений уравнения: а)

a+x +

(*)

Р е ш е н и е. Будем отладывать на оси абсцисс значения x, а на оси ординат — значения a. Тода в оординатной плосости (x, a) еометричесое место точе, оординаты оторых удовлетворяют данному уравнению, образует фиуру, изображенную на рис. 8. Из рисуна видно, что при |a| > 1 уравнение (*) решений не имеет. Если |a| < 1, то аждому значению a соответствуют два орня уравнения, а если |a| = 1 — один орень x = 0. При 0 m a < 1 орни находим из следующих уравнений: a x + a = 1 и –3x + a = 1; 1 a–1 - соответони равны x = 1 – a и x = -----------3

2 x – x 2 = a; б) |x2 – 2x – 3| = a.

103



a – x > a.

7. Найдите все значения a, при оторых неравенство

3 – |x – a| > x2 имеет хотя бы одно отрицательное решение. 8. Для аждоо значения параметра a решите уравнение x

x

a(2 – 2) + 1 = 1 – 2 . 9. Для аждоо значения параметра a решите уравнение 144|x| – 2 · 12|x| + a = 0. 10. Найдите все значения параметра a, при оторых уравнение x

3

log3 (9 + 9a ) = x имеет два решения. 11. Найдите все значения параметра c, при оторых неравенство 7 1 + log2  2x2 + 2x + --2-  l log2 (cx2 + c)   имеет хотя бы одно решение. 12. Найдите все значения a, при оторых неравенство log a(a + 1) (|x| + 4) > 1 выполняется для любоо значения x. 13. Найдите все значения a, при оторых неравенство loga/(a + 1) (x2 + 2) > 1 выполняется для любоо значения x. 14. Найдите все таие значения x, по модулю меньшие 3, оторые при всех a l 5 удовлетворяют неравенству log 2a – x 2 (x – 2ax) > 1. 15. Найдите все значения x > 1, оторые при всех b, удовлетворяющих условию 0 < b m 2, являются решениями неравенства log ( x 2 + x )/b (x + 2b – 1) < 1. 16. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для оторых при всех x справедливо равенство aex + b = eax + b.


104 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Мноие задачи на решение уравнений и неравенств с параметрами связаны с определением расположения орней вадратноо трехчлена y = ax2 + bx + c на действительной оси. При решении этих задач следует учитывать, что если вадратный трехчлен y = ax2 + bx + c имеет два действительных орня x1 и x2 (x1 < x2), то при a > 0 фунция y(x) принимает отрицательные значения на промежуте (x1; x2) и положительные значения вне промежута [x1; x2]; при a < 0 — положительные значения на промежуте (x1; x2) и отрицательные значения вне промежута [x1; x2]. Поэтому для тоо чтобы выяснить (не находя

третье обеспечивают расположение точи x = 3 вне промежута (x1; x2) справа от нео.

орней уравнения ax2 + bx + c = 0), принадлежит ли произвольное число α промежуту (x1; x2), достаточно установить зна

действительны и больше чем 3. 18. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо уравнения

выражения aα2 + bα + c и зна оэффициента a. Та, если a > 0 и aα2 + bα + c > 0, то α находится вне промежута [x1; x2]. Если известно, что число α не находится между орнями x1 и x2, то для тоо чтобы выяснить, по аую сторону от промежута (x1; x2) (справа или слева) лежит число α, достаточно сравнить ео с неоторым числом, заведомо принадлежащим a

уазанному промежуту, например с выражением – -----2b , являющимся абсциссой вершины параболы y = ax2 + bx + c. П р и м е р 3. При аих значениях параметра a оба орня уравнения x2 + ax – 1 = 0 меньше чем 3? Ответ на этот вопрос следует дать, не вычисляя орни уравнения. Р е ш е н и е. Рассмотрим вадратичную фунцию y = x2 + + ax – 1, входящую в левую часть уравнения. Та а оэффициент при x2 равен 1, то ветви параболы направлены вверх. Для тоо чтобы орни уравнения x1 и x2 (x1 m x2) были меньше чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее промежута (x1; x2). Условия, при оторых будет выполнено это требование, определяются следующей системой неравенств: a2 + 4 l 0, 9 + 3a – 1 > 0, a – --2- < 3.

(*)

Первое неравенство ( оторое выполняется при всех значениях a) арантирует существование действительных орней, второе и

105

8 Решив систему неравенств (*), получаем a Ý  – --3- ; +×  .   8 Ответ. a Ý  – --3- ; +×  .  

17. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо трехчлена x2 – 6ax + (2 – 2a + 9a2)

x2 – ax + 2 = 0 действительны и принадлежат промежуту (0; 3). Одно неравенство является следствием друоо, если множество решений первоо неравенства целиом содержит множество решений второо. Например, если x удовлетворяет неравенству | x | < 2, то x2 < 5, т. е. неравенство x2 < 5 является следствием неравенства | x | < 2. Действительно, множество решений (– 5 ; 5 ) неравенства x2 < 5 целиом содержит множество решений (–2; 2) неравенства | x | < 2. 19. При аих действительных значениях m неравенство x2 + mx + m2 + 6m < 0 выполняется для любых x Ý (1; 2)? 20. Найдите все значения m, при оторых неравенство mx2 – 4x + 3m + 1 > 0 выполнено для всех x > 0. 21. При аих действительных значениях m из неравенства x2 – (3m + 1)x + m > 0 следует неравенство x > 1? 22. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства ax2 – x + 1 – a < 0 следует неравенство 0 < x < 1. 23. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства 0 m x m 1 следует неравенство (a2 + a – 2)x2 – (a + 5)x – 2 m 0.


104 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

Мноие задачи на решение уравнений и неравенств с параметрами связаны с определением расположения орней вадратноо трехчлена y = ax2 + bx + c на действительной оси. При решении этих задач следует учитывать, что если вадратный трехчлен y = ax2 + bx + c имеет два действительных орня x1 и x2 (x1 < x2), то при a > 0 фунция y(x) принимает отрицательные значения на промежуте (x1; x2) и положительные значения в��е промежута [x1; x2]; при a < 0 — положительные значения на промежуте (x1; x2) и отрицательные значения вне промежута [x1; x2]. Поэтому для тоо чтобы выяснить (не находя

третье обеспечивают расположение точи x = 3 вне промежута (x1; x2) справа от нео.

орней уравнения ax2 + bx + c = 0), принадлежит ли произвольное число α промежуту (x1; x2), достаточно установить зна

действительны и больше чем 3. 18. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо уравнения

выражения aα2 + bα + c и зна оэффициента a. Та, если a > 0 и aα2 + bα + c > 0, то α находится вне промежута [x1; x2]. Если известно, что число α не находится между орнями x1 и x2, то для тоо чтобы выяснить, по аую сторону от промежута (x1; x2) (справа или слева) лежит число α, достаточно сравнить ео с неоторым числом, заведомо принадлежащим a

уазанному промежуту, например с выражением – -----2b , являющимся абсциссой вершины параболы y = ax2 + bx + c. П р и м е р 3. При аих значениях параметра a оба орня уравнения x2 + ax – 1 = 0 меньше чем 3? Ответ на этот вопрос следует дать, не вычисляя орни уравнения. Р е ш е н и е. Рассмотрим вадратичную фунцию y = x2 + + ax – 1, входящую в левую часть уравнения. Та а оэффициент при x2 равен 1, то ветви параболы направлены вверх. Для тоо чтобы орни уравнения x1 и x2 (x1 m x2) были меньше чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее промежута (x1; x2). Условия, при оторых будет выполнено это требование, определяются следующей системой неравенств: a2 + 4 l 0, 9 + 3a – 1 > 0, a – --2- < 3.

(*)

Первое неравенство ( оторое выполняется при всех значениях a) арантирует существование действительных орней, второе и

105

8 Решив систему неравенств (*), получаем a Ý  – --3- ; +×  .   8 Ответ. a Ý  – --3- ; +×  .  

17. Найдите все значения параметра a, при оторых оба орня вадратноо трехчлена x2 – 6ax + (2 – 2a + 9a2)

x2 – ax + 2 = 0 действительны и принадлежат промежуту (0; 3). Одно неравенство является следствием друоо, если множество решений первоо неравенства целиом содержит множество решений второо. Например, если x удовлетворяет неравенству | x | < 2, то x2 < 5, т. е. неравенство x2 < 5 является следствием неравенства | x | < 2. Действительно, множество решений (– 5 ; 5 ) неравенства x2 < 5 целиом содержит множество решений (–2; 2) неравенства | x | < 2. 19. При аих действительных значениях m неравенство x2 + mx + m2 + 6m < 0 выполняется для любых x Ý (1; 2)? 20. Найдите все значения m, при оторых неравенство mx2 – 4x + 3m + 1 > 0 выполнено для всех x > 0. 21. При аих действительных значениях m из неравенства x2 – (3m + 1)x + m > 0 следует неравенство x > 1? 22. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства ax2 – x + 1 – a < 0 следует неравенство 0 < x < 1. 23. Найдите все значения параметра a, при оторых из неравенства 0 m x m 1 следует неравенство (a2 + a – 2)x2 – (a + 5)x – 2 m 0.


106 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

24. Найдите все значения a, при оторых справедливо неравенство 2x2 – 4a2x – a2 + 1 > 0

33. Определите все значения a, при аждом из оторых уравнение cos4 x – (a + 2) cos2 x – (a + 3) = 0

для любых | x | < 1. 25. Найдите все значения параметра a, при оторых орни уравнения x2 + x + a = 0

имеет решения, и найдите эти решения. 34. При аих значениях параметра a уравнение

действительны и больше a. 26. Найдите все значения a, при оторых неравенство

sin2 x + (a2 – 3) sin 4x + a2 – 4 = 0 имеет четыре орня, расположенных на отрезе

x – 2a – 1 --------------------------- < 0 x–a

27. Найдите все решения неравенства a2 – 9

x+1

–8· 3

x

· a > 0.

28. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x 4 –α· 2 –α+3m0 имеет хотя бы одно решение. 29. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x α · 9 + 4(α – 1) · 3 + α > 1

b + sin x b cos x -------------------------------- = ------------------------------------------------------------2 cos 2x – 1 ( cos 2 x – 3 sin 2 x ) tg x

имеет решения? Найдите эти решения. 36. Для аждоо значения параметра a решите уравнение log|sin x| 2 · log sin 2 x 3 = a. 37. Для аждоо значения параметра a > 0 решите неравенство xsin x – a > 1 π при условии, что x Ý  0; --2-  .  

38. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для аждой из оторых при всех x справедливо равенство a(cos x – 1) + b2 = cos (ax + b2) – 1.

справедливо для всех x.

39. Определите, при аих целых значениях k система

При решении упр. 30—40 учтите, что в процессе сведения трионометричесих уравнений и неравенств  рациональным использование подстанови y = sin x или y = cos x предполаает выполнение неравенства | y | m 1. 30. Для аждоо действительноо числа a решите уравнение sin x + cos (a + x) + cos (a – x) = 2. 31. Для аждоо значения параметра a решите уравнение (lg sin x)2 – 2a lg sin x – a2 + 2 = 0. 32. Найдите все значения b, при аждом из оторых неравенство cos2 x + 2b sin x – 2b < b2 – 4 выполняется для любоо числа x.

3π ------- ; 2π ? 2

35. При аих значениях b уравнение

выполняется для x таих, что 1 m x m 2. При решении упр. 27—29 воспользуйтесь тем, что лоарифмичесие и поазательные неравенства, содержащие параметр, с помощью замены переменной сводятся  вадратным неравенствам.

107

π2

(arctg x)2 + (arccos y)2 = ----k , π 2

arctg x + arccos y = --имеет решения, и найдите все эти решения. 40. Найдите все значения a, при оторых уравнения a cos 2x + | a | cos 4x + cos 6x = 1 и 1

sin x cos 2x = sin 2x cos 3x – --2- sin 5x эвивалентны.


106 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами

§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами

24. Найдите все значения a, при оторых справедливо неравенство 2x2 – 4a2x – a2 + 1 > 0

33. Определите все значения a, при аждом из оторых уравнение cos4 x – (a + 2) cos2 x – (a + 3) = 0

для любых | x | < 1. 25. Найдите все значения параметра a, при оторых орни уравнения x2 + x + a = 0

имеет решения, и найдите эти решения. 34. При аих значениях параметра a уравнение

действительны и больше a. 26. Найдите все значения a, при оторых неравенство

sin2 x + (a2 – 3) sin 4x + a2 – 4 = 0 имеет четыре орня, расположенных на отрезе

x – 2a – 1 --------------------------- < 0 x–a

27. Найдите все решения неравенства a2 – 9

x+1

–8· 3

x

· a > 0.

28. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x 4 –α· 2 –α+3m0 имеет хотя бы одно решение. 29. Найдите все значения параметра α, при оторых неравенство x x α · 9 + 4(α – 1) · 3 + α > 1

b + sin x b cos x -------------------------------- = ------------------------------------------------------------2 cos 2x – 1 ( cos 2 x – 3 sin 2 x ) tg x

имеет решения? Найдите эти решения. 36. Для аждоо значения параметра a решите уравнение log|sin x| 2 · log sin 2 x 3 = a. 37. Для аждоо значения параметра a > 0 решите неравенство xsin x – a > 1 π при условии, что x Ý  0; --2-  .  

38. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для аждой из оторых при всех x справедливо равенство a(cos x – 1) + b2 = cos (ax + b2) – 1.

справедливо для всех x.

39. Определите, при аих целых значениях k система

При решении упр. 30—40 учтите, что в процессе сведения трионометричесих уравнений и неравенств  рациональным использование подстанови y = sin x или y = cos x предполаает выполнение неравенства | y | m 1. 30. Для аждоо действительноо числа a решите уравнение sin x + cos (a + x) + cos (a – x) = 2. 31. Для аждоо значения параметра a решите уравнение (lg sin x)2 – 2a lg sin x – a2 + 2 = 0. 32. Найдите все значения b, при аждом из оторых неравенство cos2 x + 2b sin x – 2b < b2 – 4 выполняется для любоо числа x.

3π ------- ; 2π ? 2

35. При аих значениях b уравнение

выполняется для x таих, что 1 m x m 2. При решении упр. 27—29 воспользуйтесь тем, что лоарифмичесие и поазательные неравенства, содержащие параметр, с помощью замены переменной сводятся  вадратным неравенствам.

107

π2

(arctg x)2 + (arccos y)2 = ----k , π 2

arctg x + arccos y = --имеет решения, и найдите все эти решения. 40. Найдите все значения a, при оторых уравнения a cos 2x + | a | cos 4x + cos 6x = 1 и 1

sin x cos 2x = sin 2x cos 3x – --2- sin 5x эвивалентны.


108 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 41. Определите, при аих значениях a уравнение a x – --2- = 4 |4|x | – a2|

имеет три орня. Найдите эти орни. 42. Найдите все значения a, при оторых уравнение |1 – ax| = 1 + (1 – 2a)x + ax2 имеет одно решение. 43. Решите уравнение |x + 3| – a|x – 1| = 4 и найдите, при аих значениях a оно имеет два решения.

§ 22. Доказательство неравенств

109

6. Доажите, что x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 l 0. Использование неравенства Коши. Средним арифметичесa + a + ... + a

1 2 n , а средним им чисел a1, ..., an называют число ---------------------------------------------n

еометричесим неотрицательных чисел a1, a2, ..., an называют число

n

a 1 a 2 ...a n .

Решение неоторых неравенств опирается на следующее неравенство Коши, справедливое для любоо набора неотрицательных чисел a1, ..., an: a 1 + a 2 + ... + a n ---------------------------------------------- l n a a ...a . 1 2 n n

§ 22. Доказательство неравенств Свед+ение очевидном неравенств. П р и м е р 1. Доазать, что при a l 0, b l 0, c l 0 справедливо неравенство ab + ac + bc m a2 + b2 + c2. Р е ш е н и е. Умножив обе части неравенства на 2, получим

П р и м е р 2. Доазать, что если a + b + c = 1 и a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 --- + --- + --- l 9. c b a

Р е ш е н и е. Та а a + b + c = 1, то, используя неравенство Коши, залючаем, что a+b+c ----------------------- l 3 abc , 3

2ab + 2ac + 2bc m 2a2 + 2b2 + 2c2. Сруппируем теперь члены неравенства следующим образом: или

a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + a2 – 2ac + c2 l 0, (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 l 0.

Мы пришли  очевидному неравенству. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то справедливо неравенство: 1. a3 + b3 + c3 l 3abc. 3

3

3

a +b a+b - l  -------------  . 2. -----------------2  2 

3. a2 + b2 + c2 + 3 l 2(a + b + c). 4. Доажите, что x2 + 4y2 + 3x2 + 14 – 2x – 12y – 6z > 0. 5. Доажите, что x2 + y2 + z2 + u2 + a2 + a(x + y + z + u) l 0.

(1)

или

1 --------------- l 3. 3 abc

(*) 1

1

1

Воспользовавшись теперь неравенством Коши для чисел --a- , --b- , --c- , получаем

1 1 1 --- + --- + --1 a b c ------------------------- l --------------- . 3 3 abc

Наонец, учитывая неравенство (*), оончательно убеждаемся в справедливости исходноо неравенства. 7. Доажите, что (a + b) (b + c) (c + a) l 8abc, де a, b, c — неотрицательные числа. 8. Доажите, что если p > 0 и q > 0, то (p + q) (p + 2) (q + 2) l 16pq. 9. Доажите, что если x > 0, то 1

x + --x- > 2.


108 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 41. Определите, при аих значениях a уравнение a x – --2- = 4 |4|x | – a2|

имеет три орня. Найдите эти орни. 42. Найдите все значения a, при оторых уравнение |1 – ax| = 1 + (1 – 2a)x + ax2 имеет одно решение. 43. Решите уравнение |x + 3| – a|x – 1| = 4 и найдите, при аих значениях a оно имеет два решения.

§ 22. Доказательство неравенств

109

6. Доажите, что x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 l 0. Использование неравенства Коши. Средним арифметичесa + a + ... + a

1 2 n , а средним им чисел a1, ..., an называют число ---------------------------------------------n

еометричесим неотрицательных чисел a1, a2, ..., an называют число

n

a 1 a 2 ...a n .

Решение неоторых неравенств опирается на следующее неравенство Коши, справедливое для любоо набора неотрицательных чисел a1, ..., an: a 1 + a 2 + ... + a n ---------------------------------------------- l n a a ...a . 1 2 n n

§ 22. Доказательство неравенств Свед+ение очевидном неравенств. П р и м е р 1. Доазать, что при a l 0, b l 0, c l 0 справедливо неравенство ab + ac + bc m a2 + b2 + c2. Р е ш е н и е. Умножив обе части неравенства на 2, получим

П р и м е р 2. Доазать, что если a + b + c = 1 и a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 --- + --- + --- l 9. c b a

Р е ш е н и е. Та а a + b + c = 1, то, используя неравенство Коши, залючаем, что a+b+c ----------------------- l 3 abc , 3

2ab + 2ac + 2bc m 2a2 + 2b2 + 2c2. Сруппируем теперь члены неравенства следующим образом: или

a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + a2 – 2ac + c2 l 0, (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 l 0.

Мы пришли  очевидному неравенству. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то справедливо неравенство: 1. a3 + b3 + c3 l 3abc. 3

3

3

a +b a+b - l  -------------  . 2. -----------------2  2 

3. a2 + b2 + c2 + 3 l 2(a + b + c). 4. Доажите, что x2 + 4y2 + 3x2 + 14 – 2x – 12y – 6z > 0. 5. Доажите, что x2 + y2 + z2 + u2 + a2 + a(x + y + z + u) l 0.

(1)

или

1 --------------- l 3. 3 abc

(*) 1

1

1

Воспользовавшись теперь неравенством Коши для чисел --a- , --b- , --c- , получаем

1 1 1 --- + --- + --1 a b c ------------------------- l --------------- . 3 3 abc

Наонец, учитывая неравенство (*), оончательно убеждаемся в справедливости исходноо неравенства. 7. Доажите, что (a + b) (b + c) (c + a) l 8abc, де a, b, c — неотрицательные числа. 8. Доажите, что если p > 0 и q > 0, то (p + q) (p + 2) (q + 2) l 16pq. 9. Доажите, что если x > 0, то 1

x + --x- > 2.


110 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 10. Доажите, что 1 1 1+ 1 ---   1 + ---   1 + ---  l 64, a  b  c  

де a, b, c — положительные числа и a + b + c = 1. 11. Доажите, что

§ 22. Доказательство неравенств

Использование метода математичес ой инд ции. Если требуется установить справедливость неотороо неравенства сразу для всех членов двух последовательностей an и bn, то удобно использовать метод математичесой индуции (см. л. 16, § 90). П р и м е р 3. Доазать, что

n

n! > 2

(1 + a1) (1 + a2) · ... · (1 + an) l 2 , де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 12. Доажите, что a1 + a2 + ... + an l n, де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 13. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 (a + b + c)  --a- + --b- + --c-  > 9.

111

n–1

,

если n > 2.

Р е ш е н и е. Воспользуемся методом математичесой индуции. Сначала убедимся в том, что при n = 3 утверждение справедливо. Действительно, 3! > 22, та а 3! = 6, 22 = 4. Далее удобно воспользоваться следующим утверждением: если при всех k, больших неоторо о N, выполняется неравенство ak + 1 bk + 1 -------------- > ------------- , ak bk

де ak и bk — k-е члены сравниваемых последовательностей, то ak + 1 ak -------------- > ------ . bk + 1 bk

14. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то (bc + ca + ab)2 > 3ab(a + b + c). 15. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то  1 1 1  2 ----------(a1 + a2 + ... + an)  ----a 1 + a 2 + ... + a n  l n .   16. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то a1 a2 an ------ + ------ + ... + ------ l n. a2 a3 a1

тельно, можно утверждать, что ak > bk при всех k > N. Используем этот подход в рассматриваемом случае. Имеем a

ak = k!,

k+1 - = k + 1, ak + 1 = (k + 1)! ^ ------------a

b k = 2 k – 1,

k+1 - = 2, bk + 1 = 2k ^ -----------b

k

b

k

k + 1 > 2,

17. Доажите, что n + 1 n n! <  ------------2  ,

ab

n

a + nb < ----------------n+1 ,

если

k > 2.

a

k+1 - > 1 при всех k l 2, т. е. треТаим образом, доазано, что ------------b k+1

буемое неравенство установлено.

де n — натуральное число, n l 2. 18. Доажите, что n+1

ak

Соласно индутивному предположению, ----b k > 1. Следова-

n Ý N,

де a, b — положительные числа, a − b.

Инода метод математичесой индуции удобнее применять в следующем виде: если для неотороо N справедливо неравенство aN > bN и при всех k l N — неравенство ak + 1 – ak > > bk + 1 – bk, то при всех k > N выполняется неравенство ak > bk.


110 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами 10. Доажите, что 1 1 1+ 1 ---   1 + ---   1 + ---  l 64, a  b  c  

де a, b, c — положительные числа и a + b + c = 1. 11. Доажите, что

§ 22. Доказательство неравенств

Использование метода математичес ой инд ции. Если требуется установить справедливость неотороо неравенства сразу для всех членов двух последовательностей an и bn, то удобно использовать метод математичесой индуции (см. л. 16, § 90). П р и м е р 3. Доазать, что

n

n! > 2

(1 + a1) (1 + a2) · ... · (1 + an) l 2 , де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 12. Доажите, что a1 + a2 + ... + an l n, де a1, a2, ..., an — положительные числа, произведение оторых равно 1. 13. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то 1 1 1 (a + b + c)  --a- + --b- + --c-  > 9.

111

n–1

,

если n > 2.

Р е ш е н и е. Воспользуемся методом математичесой индуции. Сначала убедимся в том, что при n = 3 утверждение справедливо. Действительно, 3! > 22, та а 3! = 6, 22 = 4. Далее удобно воспользоваться следующим утверждением: если при всех k, больших неоторо о N, выполняется неравенство ak + 1 bk + 1 -------------- > ------------- , ak bk

де ak и bk — k-е члены сравниваемых последовательностей, то ak + 1 ak -------------- > ------ . bk + 1 bk

14. Доажите, что если a, b, c — положительные числа, то (bc + ca + ab)2 > 3ab(a + b + c). 15. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то  1 1 1  2 ----------(a1 + a2 + ... + an)  ----a 1 + a 2 + ... + a n  l n .   16. Доажите, что если a1, a2, ..., an — положительные числа, то a1 a2 an ------ + ------ + ... + ------ l n. a2 a3 a1

тельно, можно утверждать, что ak > bk при всех k > N. Используем этот подход в рассматриваемом случае. Имеем a

ak = k!,

k+1 - = k + 1, ak + 1 = (k + 1)! ^ ------------a

b k = 2 k – 1,

k+1 - = 2, bk + 1 = 2k ^ -----------b

k

b

k

k + 1 > 2,

17. Доажите, что n + 1 n n! <  ------------2  ,

ab

n

a + nb < ----------------n+1 ,

если

k > 2.

a

k+1 - > 1 при всех k l 2, т. е. треТаим образом, доазано, что ------------b k+1

буемое неравенство установлено.

де n — натуральное число, n l 2. 18. Доажите, что n+1

ak

Соласно индутивному предположению, ----b k > 1. Следова-

n Ý N,

де a, b — положительные числа, a − b.

Инода метод математичесой индуции удобнее применять в следующем виде: если для неотороо N справедливо неравенство aN > bN и при всех k l N — неравенство ak + 1 – ak > > bk + 1 – bk, то при всех k > N выполняется неравенство ak > bk.


112 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Доажите неравенство: 19. 2

n

(n l 5). n–1

n

> (n + 1)

n

> n3 (n − 3).

20. n 21. 3

> n2 + 2

n 22.  --2-   

(n l 2). Напомним основные формулы трионометрии.

n

> n!

(n l 6).

Формлы, связывающие трионометричес ие фн ции одноо и тоо же армента

3

1

1

1

---------------------23. ------------n + 1 + n + 2 + ... + 2n > 5 . 1

1

1

1

24. -----2- + -----2- ... + -----2- < 1 – --n2 3 n

sin2 α + cos2 α = 1,

(n l 2).

sin α

tg α = ------------cos α ,

1 1 1 25. 2( n + 1 – 1) < 1 + ------- + ------- + ... + ------- < 2 n . 2 3 n

1

sec α = ------------cos α ,

1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 1 ) 26. --------------------------------------------------------m ---------------------- . 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ ( 2n ) 2n + 1 1 27.  1 + --n- 

1

tg α = ------------ctg α ,

n

< 3.

1 + tg2 α = sec2 α,

1 1 28. lg  1 + --n-  < --n- .

29. (n!)2 <

( n + 1 ) ( 2n + 1 ) -----------------------------------------6

cos α

ctg α = ------------sin α , 1

cosec α = -----------sin α , 1

ctg α = ---------tg α ,

1 + ctg2 α = cosec2 α.

Формлы сложения двх арментов sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β, cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β, cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β,

n

.

n n 30. n! >  --e-  . 1 31. Доажите, что последовательность xn =  1 + --n- 

тонно возрастает.

Глава 5 Тригонометрия

tg α + tg β

tg (α + β) = -------------------------------1 – tg α tg β ,

n

моно-

ctg α ctg β – 1

ctg (α + β) = -------------------------------------ctg β + ctg α ,

tg α – tg β

tg (α – β) = --------------------------------1 + tg α tg β , ctg α ctg β + 1

ctg (α – β) = --------------------------------------ctg β – ctg α .

Формлы двойноо и половинноо арментов sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α – sin2 α, 2 tg α 1 – tg α

-, tg 2α = ----------------------2 α 2 tg --2 sin α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2

α 1 – tg 2 --2 cos α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2


112 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами Доажите неравенство: 19. 2

n

(n l 5). n–1

n

> (n + 1)

n

> n3 (n − 3).

20. n 21. 3

> n2 + 2

n 22.  --2-   

(n l 2). Напомним основные формулы трионометрии.

n

> n!

(n l 6).

Формлы, связывающие трионометричес ие фн ции одноо и тоо же армента

3

1

1

1

---------------------23. ------------n + 1 + n + 2 + ... + 2n > 5 . 1

1

1

1

24. -----2- + -----2- ... + -----2- < 1 – --n2 3 n

sin2 α + cos2 α = 1,

(n l 2).

sin α

tg α = ------------cos α ,

1 1 1 25. 2( n + 1 – 1) < 1 + ------- + ------- + ... + ------- < 2 n . 2 3 n

1

sec α = ------------cos α ,

1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 1 ) 26. --------------------------------------------------------m ---------------------- . 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ ( 2n ) 2n + 1 1 27.  1 + --n- 

1

tg α = ------------ctg α ,

n

< 3.

1 + tg2 α = sec2 α,

1 1 28. lg  1 + --n-  < --n- .

29. (n!)2 <

( n + 1 ) ( 2n + 1 ) -----------------------------------------6

cos α

ctg α = ------------sin α , 1

cosec α = -----------sin α , 1

ctg α = ---------tg α ,

1 + ctg2 α = cosec2 α.

Формлы сложения двх арментов sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β, cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β, cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β,

n

.

n n 30. n! >  --e-  . 1 31. Доажите, что последовательность xn =  1 + --n- 

тонно возрастает.

Глава 5 Тригонометрия

tg α + tg β

tg (α + β) = -------------------------------1 – tg α tg β ,

n

моно-

ctg α ctg β – 1

ctg (α + β) = -------------------------------------ctg β + ctg α ,

tg α – tg β

tg (α – β) = --------------------------------1 + tg α tg β , ctg α ctg β + 1

ctg (α – β) = --------------------------------------ctg β – ctg α .

Формлы двойноо и половинноо арментов sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α – sin2 α, 2 tg α 1 – tg α

-, tg 2α = ----------------------2 α 2 tg --2 sin α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2

α 1 – tg 2 --2 cos α = -----------------------α, 1 + tg 2 --2


114

Г л а в а 5. Тригонометрия α

1 + cos α = 2 cos2 --2, 1 – cos α

α

-----------------------tg2 --2 = 1 + cos α ,

α