Page 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

Государственный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «ХАИ» Международная Ассоциация выпускников ХАИ Факультет заочного образования

Методические указания и рабочая программа по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Для студентов заочной формы обучения

Харьков ХАИ 1998


Утверждено методической комиссией факультета № 9 (Протокол №'3 от 11 декабря 1997г.)

СОСТАВИТЕЛИ : Брысина Ирина Викторовна Головченко Александр Васильевич Кошевой Георгий Иванович Кощавец Петр Тихонович Крашаница Юрий Александрович Николаев Алексей Георгиевич Проценко Владимир Сидорович Рвачев Владимир Алексеевич Томилова Евгения Павловна Ушакова Елена Григорьевна Хоменко Владимир Васильевич


Содержание ТЕМА

раздел 1. Тема 1.1. Тема 1.2. Тема 1.3. Тема 1.4. Тема 1.5. Тема 1.6. Дополнение 1.1.

раздел 2. Тема 2.1. Тема 2.2. тема 2.3. Тема 2.4. Дополнение 2.1. раздел 3. Тема 3.1. Тема 3.2. тема 3.3. раздел 4. Тема 4.1. Тема 4.2. Тема 4.3. раздел 5. Тема 5.1.

НАИМЕНОВАНИЕ ТЕМЫ Стр. Введение. ............. 5 Программа курса по высшей математике 8 Матрицы и определители. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры. . ... 13 'Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) ................ 13 Векторная алгебра .... ..... 24 Прямая и плоскость. ........ 34 Преобразование координат на плоскости. Элементарная теория линий второго порядка. 41 Некоторые сведения о линейных векторных пространствах. Собственные числа и собственные векторы. .... 44 Квадратичные формы. Приведение каноническому виду уравнений линии и поверхности второго порядка. .... 49 Образец выполнения и оформления контрольной работы N 1. « Векторная алгебра и аналитическая геометрия. 'Матрицы. Элементы линейной алгебры.» 53 Дифференциальное исчисление. .... 59 Введение в анализ. .......... 59 Производная и дифференциалы. .... 64 Приложения производной. ....... 66 Комплексные числа. ......... 71 Образец выполнения и оформления контрольной работы N 2 «Дифференциальное исчисление.». . . 72 Функции нескольких переменных.... 76 76 Частные производные. ........ Экстремум функции. ......... 78 Геометрические приложения функций нескольких переменных. ........ 80 Интегральное исчисление функции одной переменной............. 82 Неопределенный интеграл. ...... 82 Определенный интеграл. ....... 91 Несобственный интеграл. ....... 97 Дифференциальные уравнения. ..... 102 Уравнения первого порядка. ..... 102


Тема 5.2. Тема 5.3. Дополнение 5.1.

раздел б. Тема 6.1. Тема 6.2. Тема 6.3. Тема 6.4. Тема 6.5. раздел 7 Тема 7.1. Тема 7.2. Тема 7.3. Тема 7.4. Дополнение 7.1.

Уравнения высших порядков. . . .•. . Системы дифференциальных уравнений. Образец выполнения и оформления контрольной работы N 3. «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальные уравнения.» ............ Кратные интегралы. Элементы теории векторного поля. .......... Некоторые вспомогательные определения. ............ Двойной интеграл. .......... Тройной интеграл. .......... Криволинейные интегралы. ...... Элементы векторного анализа. .... Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье . Интеграл Фурье....... Числовые ряды. Ряды с положительными Членами. Ряды с членами любого знака. Знакочередующиеся ряды. .... Функциональные ряды. Приложения рядов к приближенным вычислениям. Приближенное решение дифференциальных уравнений. ........... Ряды Фурье. ............ Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Образен выполнения и оформления контрольной работы N 4. «Кратные интегралы. Ряды. Ряды Фурье.» . . .

103 105

106 112 112 112 126 132 137 145 145 148 152 155 157


ВВЕДЕНИЕ Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная систематическая работа над учебным материалом. Организуемые для студентов лекции, практические занятия и консультации призваны помочь им в самостоятельной работе. Количество часов, отведенных на аудиторную работу составляет 25 процентов от общего числа часов, отведенных на изучение курса. Общий курс математики является фундаментом математического образования инженера. Преподавание математики имеет целью выработку у студентов умения проводить анализ прикладных задач и овладение основными математическими методами исследования и решения таких задач. В настоящем пособии приведена программа курса по высшей математике с указанием количества часов, отводимых на изучение темы, указано, в какой последовательности надо изучать рекомендуемую литературу, какие задачи необходимо решить. Каждый раздел содержит ссылку на литературу, позволяющую изучить основной теоретический материал, вопросы для самопроверки, номера задач, которые рекомендуются к решению, краткие методические указания. После изучения темы необходимо выполнить контрольную работу. Приведены образцы оформления и выполнения контрольных заданий. В пособии используется тройная нумерация формул, примеров и рисунков. Первая цифра указывает номер раздела, вторая - номер темы, третья порядковый номер объекта на который производится ссылка. Для изучения курса высшей математики студенту рекомендуется следующая литература, применительно к которой и составлено настоящее пособие. Список использованной и рекомендуемой литературы 1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры . М.:Наука,1985. 2. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. -М.:Наука, 1987 . 3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1972. 4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. -М. : Наука,, 1980. 5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -М. : Наука, 1981. 6. Будак В.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М., 1927. 7. Вища математика. Оснсвны означення, приклади і задачі. Навчальний посібник. /Кулініч Г.Л., Максименко В.В. та ін./. В 2-ох кн. -К.: Либідь, 1994. 8. Данко П.Е., Попов А. Г., Кожевникова Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. М., 1980. 9. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2 ч. -М.: Наука, 1982.


10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. -М. : Наука, 1982. 11. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд-во Харьк. Ун-та, 1965. 12. Краснов М.Л., Киселев А.И./ Макаренко Г.И. Векторный анализ. -М. : Наука, 1978. 13. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Высшая школа, 1978. 14. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. -М.: Наука, 1965. 15. Минорский В.Д. Сборник задач по высшей математике. -М.: Наука, 1987. 16. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. -М. : Наука, 1973. 17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2т. -М.: Наука, 1968. 18. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. -М. : Наука, 1984. 19. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. -М. : Наука, 1980. 20. Сборник задач по математике. В 4ч. (Под редакцией Ефимова А.В., Демидовича Б.П.) -М.: Наука, 1981. Ч. 1-2. 21. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. -М.: Наука, 1966. 22. Эльсгольц Л.Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М. : Наука, 1961. Учебно-методические пособия кафедры высшей математики I. І. Аналитическая геометрия и линейная алгебра 23. Найда Л.С., Рвачев В.А., Колодяжный В.М. Элементы линейной алгебры и теории матриц. (Учебное пособие) ХАЙ, 1981. 24. Найда Л.С., Рвачев В.А., Колодяжный В.М. Линейные операторы и квадратичные формы. (Учебное пособие) ХАЙ, 1982. 25. Робочий зошит з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. ХАИ, 1997. II. Математический анализ 26. Желдакова Л.В., Ушакова Е.Г. Приложение дифференциального исчисления к некоторым задачам физики и механики (учебное пособие) ХАИ, 1987,. . 27. Желдакова Л.В., Ушакова Е.Г. Дифференциальные уравнения. Харьков. ХАИ, 1991. 28. Забара С.И., Крашаница Ю.А. Элементы гармонического анализа (Учебное пособие) ХАИ, 1981. 29. Искусство вычисления интегралов (Методические указания). Сост. Мещеряков С.Ф. ХАИ, 1989,, 30. Кошевой Г.И. Николаев А.Г. Дифференциальное и интегральное исчисление. Примеры и задачи. Учебное пособие ХАИ, 1991, 87 с.


31. Кошевой Г.И., Старец Г.А. Числовые и функциональные ряды. Харьков, ХАИ, 1988. 32. Краснов В.П., Крашаниця Ю.А., Щербакова Ю.А. Задачі та вправи з курсу вищої математики. ХАИ, 1994. 33. Лекции по высшей математике для студентов-заочников ХАИ. В Зч. Харьков, ХАИ, 1998. 34. Мещеряков С.Ф. Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат и заданных параметрических ХАИ, 1991. 35. Мещеряков С.Ф. Построение графиков в полярной системе координат (учебное пособие по высшей математике) ХАИ, 1975. 36. Робочий зошит з математичного аналізу. (Інтегрування функій однієї змінної. Звичайні диференціальні рівняння. Кратні інтеграли.) Ч. 2. ХАИ, 1998. 37. Скибин А. А. Интегральное исчисление и его приложения к задачам геометрии, механики и физики. -Харьков, ХАИ, 1987. 38. Скибин А.А. Кратные интегралы и их приложения к задачам геометрии, механики, физики. -Харьков, ХАИ, 1988. 39. Цымбалюк В. В. Применение криволинейных интегралов в задачах теории поля. -Харьков, ХАИ, 1987. 40. Ярмолюк В.К., Лазарев А.И. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. (Учебное пособие) ХАИ, 1983.


ПРОГРАММА КУРСА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (70 часов) 1. Квадратные матрицы и определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Вычисление определителей. Системы линейных алгебраических уравнений 2-го, 3-го и n-го порядков. Правило Крамера. 2. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица. Матричный метод решения линейных уравнений. Ранг матрицы и его вычисление. Теорема о базисном миноре. Исследование системы линейных уравнений общего вида. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. 3. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение по базису. Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Деление отрезка в данном отношении. 4. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов. 5. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение, его свойства. Векторное произведение в декартовой системе координат. 6. Смешанное произведение, его свойства. Вычисление смешанного произведения в декартовой системе координат. Геометрический смысл определителя третьего порядка. Компланарность трех векторов. 7. Прямая. Различные способы задания прямой на плоскости (векторная и координатная формы) . Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. 8. Векторная и координатная формы задания плоскости и прямой в и в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. 9. Линии второго порядка, их канонические уравнения и свойства. Переход от одной декартовой системы координат к другой на плоскости. 10. Линейные пространства. Примеры. Линейная зависимость элементов. Евклидово пространство. Примеры. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника. Угол между векторами. Ортогональность . 11. Понятие о линейном операторе и его матрице в данном базисе. Примеры линейных операторов. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. 12. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. 13. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (274 часа) 1. Введение в анализ (20 часов) 1.1. Числовые множества. Точные верхние и нижние грани числовых множеств. Определение предела числовой последовательности и некоторые ее свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции с последовательностями. Существование предела монотонной последовательности. Число е. 1.2. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши (формулировка). Функции. График функции. Свойства пределов функций. 1.3. Замечательные пределы. Следствия из них. Бесконечно малые и 'бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, их использование при определении пределов. Непрерывность функций в точке. Классификация точек разрыва. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной (30 часов) 2.1. Локальные и глобальные свойства функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса и ' теорема Коши). Определение и свойства производной функции. Геометрический и механический смысл производной. 2.2.. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически. Их дифференцирование. Таблицы производных простейших элементарных функций. Дифференциал и его свойства. 2.3. Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производная от функции, заданной параметрически. Производная вектор-функции и ее геометрический смысл. Возрастание (убывание) функции в точке. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Следствия из теоремы Лагранжа. Отыскание локальных и глобальных" экстремумов функций. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. 3. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков (26 часов) 3.1. Формула и ряд Тейлора. Бином Ньютона, формулы Тейлора для элементарных функций. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Построение графиков функций. 3.2. Векторные функции скалярного аргумента и их дифференцирование. Механический и геометрический смысл производной. Уравнения касательной прямой и- нормальной плоскости. 3.3. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой. 4. Элементы высшей алгебры (8 часов) 4.1. Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Геометрический смысл. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера.


4.2. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на простейшие. 5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (20 часов) 5.1. Область определения. Предел функции, непрерывность. Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные и полный дифференциал, связь с частными производными. Производные от сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала. Производные неявной функции. 5.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. 5.3. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости результата дифференцирования от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. 5.4. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе. 5.5. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области. Метод множителей Лагранжа. Примеры применений при поиске оптимальных решений. 6. Интегральное исчисление функций одной переменной (40 часов) 6.1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Интегрирование по частям и методом замены переменной. 6.2. Интегрирование рациональных дробей, простейших тригонометрических выражений, линейных и дробно-линейных иррациональностей. Квадратичные иррациональности. 6.3. Определенный интеграл, его свойства и методы вычислений. Несобственные интегралы. Приложения определенных интегралов в геометрии и механике. 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (44 часа) 7.1. физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. 7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным, линейные уравнения, уравнения в полных дифференциалах. 7.3. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие особого решения дифференциального уравнения. Огибающая семейства кривых. 7.4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Рюши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши, Понятие общего и частного решений.


7.5. Уравнения допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейно-зависимые и линейнонезависимые системы функций. Определитель Вронского, его свойства. 7.6. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, линейная независимость их решений, фундаментальная система решений. 7.7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. 7.8. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Решение нормальной системы методом исключения. Задача Коши для нормальных систем. 7.9. Элементы теории устойчивости. 8. Криволинейные интегралы (6 часов) 8.1. Криволинейные интегралы первого рода, вычисление. 8.2. Криволинейные интегралы второго рода, вычисление, приложения. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования, криволинейный интеграл от полного дифференциала, восстановление функции по полному дифференциалу. 9. Кратные интегралы (38 часов) 9.1 Двойной интеграл, условия существования и свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовой и полярной системах координат. 9.2 Тройной интеграл, его свойства. Вычисление тройного интеграла в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Приложение кратных интегралов к решению геометрических, механических и физических задач. 9.3 Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода, вычисление. Формулы ГауссаОстроградского, Стокса. 9.4 Скалярное поле и его характеристики. Векторное поле. Векторные линии и трубки, их дифференциальные уравнения. Поток векторного поля через открытую и замкнутую поверхность, его свойства, вычисление. 9.5 Дивергенция векторного поля, физический смысл, свойства, вычисление. Теорема Остроградского. 9.6 Ротор векторного поля. Физический смысл, свойства, вычисление. Линейный интеграл, циркуляция вектора поля по контуру, вычисление. Теорема Стокса. 9.7 Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков. Оператор «набла», свойства, действия с оператором. Основные типы векторных полей: соленоидальное, потенциальное, гармоническое, их характеристики. Потенциал векторного поля, его вычисление. Основная теорема векторного анализа.


10. Ряды. Преобразование Фурье (42 часа) 10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая прогрессия. Необходимое условие сходимости ряда. Простейшие действия над рядами. Ряды с положительными членами. 10.2. Теоремы сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Интегральный признак сходимости ряда. 10.3. Оценка остатка ряда с помощью интегрального признака. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница, оценка остатка ряда. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Ряды с комплексными членами . 10.4. Функциональные ряды, область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. 10.5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости, интервал и радиус сходимости для рядов с действительными членами. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. 10.6. Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений. Приближенные вычисления. 10.7. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Приближение в среднем. Свойства минимальности коэффициентов Фурье. Теорема о сходимости в среднем и поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье. 10.8. Понятие ортонормированной системы функций. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций/ заданных на интервале (-ЗТ,^Г) . Разложение в тригонометрический ряд Фурье функций, заданных на интервале (a, b). Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла и ряда Фурье. Преобразование Фурье. Синус- и косинус- преобразования Фурье. Свойства преобразования Фурье.


Раздел 1. Матрицы и определители. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры Тема 1.1. Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Учебники: [1, гл.5, § 1-6], [10, дополнение к гл. 1],[16, гл. 6, 11, § 1]. Аудиторная работа: [2, N 14.4(6), 14.7(2), 14.21(9), 15.2(3), 15.5(1-3,9), 15.45(1,2), 15.65(1), 16.18(1,4,12,20), 17.2(1,3), 19.1(3,9)], [7, гл.2, § 1-3, N 1, 2(1,3), 3(1,3), 5, 19(1,2,4), 20(1,2), 22(13), 24(3,7), 25(1,4), 29(1)], [18, N 5, 11, 23, 55, 75, 82, 257, 260, 608, 609, 689, 700, 725], [20, ч.1, гл.3, § 1-4, N 3.1, 3.8, 3.12, 3.55, 3.78, 3.80, 3.91, 3.106, 3.114, 3.121, 3.150, 3.187, 3.192, 3.198, 3.207, 3.210], [25, занятия 1(1.2.1, I.2.3, 1.2.9, 1.2.15), 2(2.2.2.-2.2.4)] 10(10.2.1.,10.2.4(6Д),10.2.5,10.2.7), 11(11.2.1(а,б,в), 11.2.2(а,б), 11.2.3(а,б), II.2.4) , 12 (12.2.1 (а, б, в, г) , 1.2.2.2, 12. 2. 4, 12. 2. 5 (в) ,12.2.7 (в) )]. Самостоятельная работа: [2, N 14.7(3,4), 14.21(11,12), 15.5(7,9,13), 15.45(4,7), 15.65(2,4), 16.18(6,12,20,21), 17.2(2,4,5), 19.1(2,3,5,8,10)], [7, гл.2, §1-3, N 2(2,4), 3(2,4), 19(3,5,6,8), 20(3,4), 22(3,4), 24(4,5,7,8), 25(3,5), 29(2)], [18, N 6, 11, 17, 25, 43, 44, 83, 84, 116, 118, 258-260, 270, 554, 690, 691, 698, 726, 727, 729], [20, ч.1, гл.3, § 1-4, N 3.2, 3.13, 3.56, 3.57, 3.79, 3.91, 3.85, 3.92, 3.110, 3.119, 3.124, 3.151, 3.152, 3.208, 3.211, 3.215], [25, задания 1, 2(2.3.1-2.3.5), 10, 11, 12]. Прямоугольной матрицей называется совокупность m· n чисел, расположенных в таблице из m строк и n столбцов

a11 Amn  a 21  ... a m1

a12 a 22 ... a m2

... a1n  ... a2n  ... ...  ... a mn 

Числа a ji , i=1,m, j=1,n, входящие в данную таблицу, называются матричными элементами, а индексы i и j элемента a ji указывают (соответственно) номера строки и столбца, в которых расположен элемент. Если m=n, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица из n строк и n столбцов, называется матрицей n-го порядка. Каждой матрице порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем или детерминантом этой матрицы и обозначается одним из следующих символов

a11 a 21  ... a m1

a12 a 22 ... a m2

... a1n  ... a 2n   A  detA   n n n ... ...  ... a mn 

Числа a ij (i, j=1,n) называются элементами определителя.

(1.1.1)


Если определитель матрицы равен 0, то матрица называется особенной (вырожденной), а если определитель отличен от 0 - то матрица неособенная (невырожденная). Квадратная матрица называется симметрической, если a ij = a ji , т.е. равны элементы, симметричные относительно главной диагонали (главная диагональ образована элементами a ji , i=1,n Диагональной называется матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны 0. Единичная матрица - это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Обозначается единичная матрица буквами Е или I. Пример 1.1.1.

a)

2 3 4 A  3 7 5 - симметрическая матрица третьего порядка 4 5 1 

б)

2 0 0 A  0 7 0 - диагональная матрица третьего порядка 0 0 1 

в)

1 0 0 A  0 1 0 - единичная матрица третьего порядка 0 0 1

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размерности и равные соответствующие элементы. Матрица АТ , полученная из данной матрицы А заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А . Если матрица А имеет размеры m· n, то матрица АТ имеет размеры n·m. Пример 1.1.2.

a)

1 2 3  A  3 4 5 , 0 -1 2

AT

1 3 0   2 4 -1  ; 3 5 2

б)

A  2 3 4  , 1 -1 2

2 1  3 -1 . 4 2 

Линейными операциями над матрицами называются операции сложения (вычитания) и умножения на число. Сложение и вычитание определяется только для матриц одинаковых размеров.


Суммой (разностью) двух матриц А={a ij } mn и В={b ij } mn называется матрица С={c ij } mn , для которой c ij = a ij ± b ij , i=1,m, j=1,n. Произведением матрицы А={a ij } mn на число α называется матрица В= α {a ij } mn для которой b ij = α a ij , i=1,m, j=1,n. Пример 1.1.3. Даны матрицы

A  1 0 2 , B  2 1 -1 3 4 1  4 7 0 и число α = 4. Вычислить матрицы: С=А+В, D=A-B, М = а4

а)

С  A  В  1 0 2  2 1 -1  1 1 1 ; 3 4 1  4 7 0 7 1 11

б)

D  A - B  1 0 2  2 1 -1  -3 -1 3; 3 4 1  4 7 0 -1 -3 1 

в)

М  4  А  41 0 2  - 4 0 8 3 4 1  12 16 4

Умножение матриц А и В, т.е. получение произведения этих матриц С = АВ, возможно лишь в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В . Такие матрицы называются согласованными.

Произведением двух согласованных матриц А mk ={a ij } mk и В kn ={b ij } kn называется такая третья матрица С mn ={c ij } mn для кoторой каждый элемент c ij , i=1,m, j=1,n.вычисляется по формуле (рис. 1.1.1.)

cij 

k  aip dpj  ai1 b1 j p 1

 ai 2 b2 j ... aik bkj

Пример 1.1.4. Вычислить произведение матриц

A23  1 3 -1 2 4 0 

и

1 -1 2 4 B34  0 3 1 3 4 5 2 4

Можно ли получить произведение BA ? Число столбцов матрицы A(3) равно числу строк матрицы В(3). Поэтому произведение АВ= С определено. Матрица С имеет размерность 2х4, а её элементы вычисляются по формуле (1.1.2)


1 -1 2 4 1 3 1   C23  A23  B34   0 3 1 3   3 3 3 9 , 2 4 0  4 5 2 4  2 10 8 20   3 где с11   a1 p b p1 11  3  0  (-1)  4  -3; 3

p 1

с12   a1 p b p 2 1 (1)  3  3  (-1)  5  3; p 1 3

с13   a1 p b p3 1 2  3 1  (-1)  2  3 и т.д. p 1

Произведение B·A не определено, т.к. число столбцовматрицы B(4) не равно числу строк матрицы А(2). Определителем (1.1.1) матрицы второго порядка называется число

 2  a11 a 21

a12  a a  a a a 22 11 22 21 12

Определителем матрицы третьего порядка называется число

a11 a12 a13 3  a 21 a 22 a 23  a11  a22  a33  a13  a21  a32  a31  a12  a23  a31 a32 a33  a31  a22  a13  a21  a12  a33  a32  a23  a11. Студенту следует обратить внимание на правила треугольника и Сильвестра вычисления определителей третьего порядка. Пример 1.1.5. Вычислить определитель

2 3 1 3  0 1 4  2 1 3  3  4  (1)  0  2 1  (1) 11  0  3  3  2  4  2  -1 2 3  6 12  1 16  21

Минором М ij (i, j=1,n) элемента а ij определителя называется определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент а ij . Алгебраическим дополнением А ij (i, j=1,n) элемента а ij определителя называется его минор взятый со знаком (-1)i+j, т.е. (1.1.3) А ij =(-1)i+j M ij


Пример 1.1.6. Записать миноры и алгебраические дополнения элементов определителя примера 1.1.5. a  2; M  1 4  3  8  5; A  (1)1  1 M  5; 11 11 2 3 11 11 0 4  1 a 2  3; M  A  (1) 2 M  4;  0  (4)  4; 12 - 1 3 12 12 a  1; M  0 1  0  (1)  1; A  (1)1  3 M  1; 13 13 - 1 2 13 13 3 1  2 1 a  0; M  A  (1) M  7;  9  2  7; 21 21 2 3 21 21

и т.д. Всего можно записать 9 миноров и 9 алгебраических дополнений элементов и определителя матрицы третьего порядка. Замечание Определители матриц n-го порядка (n =1,2...) короче называют определителями n-го порядка. Свойства определителей: 1) определитель не изменится, если транспонировать матрицу определителя; 2) при перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак; 3) определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0; 4) общий множитель для элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя; 5) определитель равен 0 , если все элементы строки (столбца) равны нулю; 6) определитель не изменится, если к элементам строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель; 7) определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения a a12 a13 11 3  a a22 a23  a11A11  a12 A12  a13 A13  a21A21  a22 A22  a23 A23  21 a a32 a33 31  a13 A13  a23 A23  a33 A33

Например: Пример 1.1.7. Вычислить определитель примера 1.1.5., используя свойство 7 определителей (разложение произвести по элементам первого столбца) a a12 a13 11 3  a a22 a23  a11A11  a21A21  a31A31  2  1 4  0  (1) 21  3 1  (1)  (1)31 3 1  2 3 2 3 1 4 21 a a32 a33 31  2  (3  8)  0  (12  1)  10  11  21

По аналогии с формулой (1.1.4) вводятся определители n-го порядка a 11 a  n  21 ... a n1

a12 a22 ... an 2

... ... ... ...

a1n n n a2n  a A  a A , ik ik ki ki ... k 1 k 1 ann

i  1, n

(1.1.5)

Пример 1.1.8. Используя свойства 1-7 определителей, вычислить определитель четвертого порядка


2 1 8 3 используя свойство 2 1 1 0 2 используя свойство 6 1 1 в 1 - ом столбце элементы 0 - 1 1 1 0 2 переставим местами 2 1 8 3 4      3 2 1 - 1 первую и вторую 3 2 1 - 1 а21, а31, а41 0 -1 0 -2 4 2 1 4 строки 4 2 1 4 сделаем нулевыми используя формулу 1.1.5 - 1 8 - 1 дальнейшие преобра - - 1 8 - 1 (свойство 7) разложим  - 1 1 - 7  зования аналогичны  0 - 7 - 6   определитель по - 2 1 - 4 вышеуказанным 0 - 15 - 2 элементам столбца  - 7 - 6  14  90  76 - 15 - 2

0 8 1 1

2 -1  -7 -4

Матрицей, обратной к матрице А, называется квадратная матрица А-1, такая что A-1 А = Е Если матрица А невырожденная (det AO), то обратная матрица А-1 находится по формуле 1, n A1 

A11 1 A 21 det A ... An1

A12 ... A22 ... ... ... An2 ...

A1n A21 ... Ann

где A ij (i, j = 1,n) - алгебраические дополнения элементов а ij (1.1.3) Пример 1.1.9. Найти матрицу, обратную к данной матрице 2 1 - 1 A  3 0 1  2 - 1 1

Вычислим определитель матрицы А 2 1 -1 2 1 -1 det A  3 0 1  3 0 1  4  1 - 1  4  0 0 1 2 -1 1 4 0 0

По формуле (1.1.6) находим (вычисление алгебраических дополнений элементов матрицы А рассмотрено в примере 1.1.6) : A1 

1 1 0 1   - 1 4 - 5 4 - 3 4 - 3 

Проверка : A1A 

1 1 0 1  2 1 - 1 1 4 - 1 4 - 5  3 0 1   0 4 - 3 4 - 3  2 - 1 1 4 0

0 4 0

0 1 0 0 0   0 1 0   E 4 0 0 1 

Студентам рекомендуется провести вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований. Рангом матрицы А размерности тхп называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r , но всякий минор порядка большего, чем r, равен 0. Ранг матрицы обозначается r(А) . Свойства ранга матрицы А размерности т п 1) 0 ≤ r ≤ rnin(m,n); 2) r =0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая; 3) для квадратной матрицы n-го порядка r=n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная;


4) ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы; 5) ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть (дописать) нулевую строку (столбец); 6) ранг матрицы не изменится, если к элементам строки матрицы прибавить элементы другой строки матрицы, предварительно умноженные на некоторое число; 7) ранг матрицы не изменится, если переставить любые строки (столбцы) матрицы. Пример 1.1.9. Найти ранг матрицы А 1 1 - 3 3

2 3 - 1 -1 2 1  9 - 4 - 7 0 7 1 

1 2 3  1 разделим элементы 0  3 1 2 3 - й 4 - й строк на их 0 15 5  10 общий множитель 0 6 2 4

3  1 1 2 0  3  1 2  0 3 1  2 0  3  1 2 

3  1 1 2 0 3 1 2  1 2 3  1    0 0 0 0  0 - 3 - 1 2  0 0 0 0 

RgA=2 т.к. имеется отличный от нуля определитель второго порядка, например 1 2  3 0 3

Студент должен уметь решать системы линейных алгебраических уравнений (в дальнейшем СЛАУ) 1) по формулам Крамера и матричным методом (в случае, когда матрица А системы невырожденная) ; 2) произвольные СЛАУ с использованием теоремы Кронекера-Капелли методом Гаусса. Рассмотрим примеры на применение этих методов. 1) Предположим СЛАУ имеет невырожденную матрицу порядка п. a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 ... ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... + a nn x n = b n a 11 a A  21 ... a n1

a12 a22 ... an 2

... ... ... ...

a1n  x1    a2 n , det A  0, X   x2 , B  ...  ...  ann  xn 

a 11 a   21 ... a n1

a12 a22 ... an 2

... ... ... ...

a1n a2 n , ... ann

a 11 a  x  21 1 ... a n1

a12 a22 ... an 2

 b1  b   2  ...  bn 

... a1,i 1 b1 a1,i 1 ... a1n ... a2,i 1 b2 a1,i 1 ... a2n ... ... ... ... ... ... ... an,i 1 bn a1,i 1 ... ann

Правило Крамера. Если главный определитель СЛАУ отличен от нуля (∆≠O), то СЛАУ имеет единственное решение, которое находится по формулам


x i , i  1, n xi  

(1.1.7)

Матричный метод. Если матрица СЛАУ невырожденная, то решение СЛАУ может быть найдено по формуле X = A-1B (1.1.8) -1 где матрица А вычисляется по формуле (1.1.6 ), либо методом элементарных преобразований. Пример 1.1.10. Решить СЛАУ 2 x  x  x  1 3  1 2 3x1  x3  2 2 x  x  x  3 3  1 2

а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы Запишем матрицу системы А, матрицу-столбец неизвестных X и матрицустолбец свободных членoв Х : 2 1  1 1 , A  3 0 2  1 1 

x   1 X   x2 , x   3

1  B  2 3

2 1 1 2 1 1 1  3 0 1   3 1  4; a)   det A  3 0 4 0 2 1 1 4 0 0 1 x  2 1 3 2 x  3 2 2 2 x  3 3 2

1 0 1 1 2 3 1 0 1

1 1 1  2 1 4 1 2 1  5 1 4 1 2 2  3 3 4

x x1  1  4  1; 4 

1 0 0 1 3 4 1 0 0

1 1  4 1  1  4; 0 1 0 1 0   5 3  (20  12)  8; 4 4 0 1 2   3 2  (12  8)  4; 4 4 4

x 2   8  2 x2  4 

x 3   4  1 x3  4 

б)Воспользуемся формулой Х =А-1В, где матрица A-1 вычислена в примере 1.1.9. X 

1  1 0 1  1  1  1  0  3  1  4   1    1 4  5 2   1  8  15    8   2 4  3 4  3 3 4  3  8  9  4  4   1 

x   1  1  T .o. x2    2  x    1   3

или

x  1   x1  2  2   x3  1 

2) Предположим, что матрица СЛАУ имеет размерность mxn. В этом случае СЛАУ имеет вид


a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =b 2 ... ... ... ... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m __ Запишем расширенную матрицу системы А. a11 a A   21  am1

a12 ... a22 ... ... ... ... am 2 ...

a1n b1  a2n b2   ...  amn bm  

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных .алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы. Для решения произвольных СЛАУ применяется метод Гаусса. Сущность СЛАУ приводится к метода состоит в том, что расширенная матрица ступенчатому виду. Пример 1.1.11. Решить систему x 1 +7x 2 +3x 3 +2x 4 =6 2x 1 +5x 2 +2x 3 +3x 4 =4 7x 1 +4x 2 +x 3 +9x 4 =2 В этой системе m=3 - количество уравнений; n=4 - количество неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы А и преобразуем ее к ступенчатому виду 1 7 3 2 6 1 7 3 2 6  1 7 3 2 6 1 7 3 2 6 A   2 5 2 3 4  ~ 0  9  4 - 1 - 8  ~  0 9 4 1 8  ~  0 9 4 1 8  7 4 1 9 2 0  45  20 - 5 40 0 9 4 1 8   

_ RgA=2, rgA=2. По теореме Кронекера-Капелли СЛАУ совместна. Укороченная СЛАУ имеет вид: x 1 +7x 2 +3x 3 +2x 4 =6 9x 2 +4x 3 +x 4 =8 В качестве базисных неизвестных выберем неизвестные х 1 и x 2 , а неизвестные, x 3 , x 4 примем за свободные, полагая x 3 =C 1 , x 4 =C 2 . Тогда СЛАУ может быть записана в виде x 1 +7x 2 =6-3C 1 -2C 2 9x 2 =8-4C 1 -C 2 x 3 =C 1 x 4 =C 2 Откуда находим x2 

8  4C1  C2 9

54  27C1  18C2  56  28C1  7C2  2  C1  11C2 7 x1  6  3C1  2C2  (8  4C1  C2 )   9 9 9

или окончательно получим


 2 C1 11C2   x1    9 9 9   C  8 4C  x2   1  2 , 9 9 9    x3  C1  x4  C2

C1, C2  R

Пример 1.1.12. Решить систему x 1 +2x 2 -3x 3 +x 4 =-4 2x 1 -x 2 +x 3- x 4 =2 -x 1 +3x 2 -x 3 +3x 4 =0 2x 1 +4x 2 -3x 3 +2x 4 =3 1  A2 1  2 RgA  3,

2  3 1  4 1 2  3 1  4 1 2  3 1  4 1 2  3 1  4  1 1 - 1 2  ~ 0  5 7 - 3 10  ~ 0  5 7 - 3 10  ~ 0  5 7 - 3 10  3  1 2 0  0 5  4 3  4 0 0 3 0 6  0 0 3 0 6  0 0 5  4  3 2 3  0 0 3 0 11  0 0 3 0 11  0 0 rg A  4, rgA  rg A

Система линейных алгебраических уравнений несовместна. Замечание. Однородные СЛАУ всегда совместны, т.к. ранги расширенной матрицы системы и матрицы системы совпадают. Вопросы для самопроверки 1. Какие матрицы называются равными? 2. В каких случаях возможно перемножение двух матриц ? 3. В каких случаях существуют произведения как АВ так и ВА? 4. Что называется минором и алгебраическим дополнением элементов матрицы ? В чем отличие между ними ? 5. Сформулируйте правило Крамера. 6. Как осуществляется транспонирование матрицы ? 7. В чем суть метода элементарных преобразований получения обратной матрицы ? 8. Что такое ранг матрицы ? 9. Что такое основная и расширенная матрицы системы ? 10. Сформулируйте и поясните на примерах теорему Кронекера-Капелли.


Тема 1.2. Векторная алгебра Учебники: [1, гл.1, § 1-3], [10, гл.2]/ [16, гл.7]. Аудиторная работа: [2, N1.4, 1.10(1), 2.1(1), 2.2(1), 2.3(1)-2.8(1), 2.28, 3.1(1), 3.8, 3.19(1), 3.20(1), 3.23], [7, гл.3, N1(1), 2, 3, 8(1), 10, 11(1), 12(1), 14(1)], [20, ч.1, гл.2, N2.9, 2.35, .2.43, 2.78, 2.79, 2.100(a), 2.102, 2.106(a), 2.107, 2.118, 2.127(a), 2.132, 2.137], [25, занятия 2(2.2.9,2.2.10), 3(3.2.1, 3.2.3, 3.2.5-3.2.7), 4(4.2.4-4.2.6), 5(5.2.2, 5.2.5-5.2.7)]. Самостоятельная работа: [2, N1.5, 1.7, 1.10(2,3), 2.1(2-5), 2.2(2), 2.3(2, 3)-2.8 (2,3) , 2.29, 2.30, 3.1(2,3), 3.19(2,3), 3.20(2)], [7, гл.3, N1(2), 4, 6, 7, 8(2), 9, 11(2), 12(2), 14(2)], [20, ч.1, гл.2, N2.11, 2.32, 2.44-2.46, 2.82-2.84, 2.86, 2.100(б, в), 2.106(6,в), 2.108, 2.119, 2.127(6), 2.133, 2.134], [25, задания 2(2.3.6, 2.3.7), 3, 4, 5]. Для отвлеченного изображения конкретных векторных величин используются векторы. Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок прямой. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Положение начальной точки таких векторов не играет никакой роли. Поэтому геометрические векторы называются свободными. При изучении темы «Векторная алгебра» студенту следует обратить внимание на ниже рассмотренные вопросы. 1. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). Векторы необходимо уметь складывать как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма. 2. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Базисные векторы. Декартов базис. Пример 1.2.1. Указать при каких значениях α и β возможно равенство αa + βb = 0, где а° и b° единичные векторы (a0=a / |a|, b0=b / |b| ). Для решения приведенной задачи необходимо рассмотреть возможное расположение векторов а и b :

Рис .1.2.1 Pис .1.2.2 Рис .1.2.3 a) векторы а и b сонаправлены (Рис. 1.2.1), тогда α=-β; b) векторы а и b имеют противоположное направление (рис.1.2.2). В этом случае α=β ; с) векторы а и b образуют между собой угол φ. При этом угол φ отличен от 0 и π радиан (рис.1.2.3). Приведенное в условии равенство возможно лишь при α=β=0. Рассмотренный пример дает представление о линейной зависимости и независимости векторов (важнейшее положение темы «Векторная алгебра»). Линейной комбинацией п векторов х i (i=1,n) называется сумма произведений этих векторов на действительные числа а i (i=1,n), а именно


n

 ai xi

i 1

 a1 x1  a 2 x 2  ...  a n x n

(1.2.1)

(В рассмотренном примере записана линейная комбинация 2х единичных векторов а° и b° ) . Векторы х i (i=l,n) называются линейно-зависимыми, если их линейная комбинация (1.2.1) равна нулю, а среди коэффициентов a i (i=l,n) имеется хотя бы один отличный от нуля. На рис. 1. 2 .1-1. 2 . 2 изображены два линейно зависимых вектора. Они могут быть расположены на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора, расположенные на одной либо на двух параллельных прямых, называются коллинеарными. коллинеарными Условие коллинеарности векторов а = λb , где λR. Если три вектора расположены в одной либо в параллельных плоскостях, то они называются компланарными. Компланарные векторы линейно зависимы. Необходимое и достаточное условие - компланарности векторов: с = αа+βb . Векторы x i (i=l,n) называются линейно-независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1.2.1) возможно лишь в том случае, когда коэффициенты a i (i=l,n) одновременно равны 0. Случай двух линейно-независимых векторов представлен на рис. 1.2.3 (линейная комбинация αа+βb равна нулю лишь при одновременном обращении в ноль α и β) . Пример 1.2.2. Векторы а,b,с некомпланарны (линейно независимы). Доказать, что векторы m=a+2b-c, п=За-b+с и р=а+5b-Зс компланарны и найти их линейную зависимость. Приравняем к нулю линейную комбинацию векторов т,п,р (αт+ βn+γk = 0) и подставим в равенство разложения векторов т,п,р по векторам а, b,с . α(a+ 2b- c)+β(3a- b+ c)+γ(-a+5b-3c)=(α+3β - γ)a+(2 α - β+5 γ)b+(- α+ β-3 γ)c=0 Равенство нулю линейной комбинации векторов а,b,с возможно лишь в том случае, когда коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Из этого условия получаем систему линейных алгебраических уравнений, которую

  3    0 2    5  0      3  0 1   1 3  1  1 3  1  1 3 1  1 3    A  2  1 5 ~ 0  7 7  ~  0  1 1  ~  0  1 1  ~  1 3  1,   1 1  3   0 4  4   0 1  1  0 0 0   0  1 1            3     2C rgA  2;     ;    C , C  R   C   C решим методом Гауса (пример 1.1.11) Коэффициенты равной нулю линейной комбинации векторов т,п,р могут быть отличны от нуля, следовательно векторы т,п,р линейно зависимы


(компланарны). Подставляя α, β, γ в равенствo αт+βп+γp=0 и сокращая на С, получим -2т+ n+k = 0 . С понятием линейной независимости векторов тесно связано такое фундаментальное понятие как базис. Базисом на плоскости Q называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов, параллельныx плоскости Q. Любой вектор с, параллельный плоскости Q, можно представить в виде с= αа+ βb. Базисом в трехмерном пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных (линейно-независимых) векторов. Если а,b,с- базис в пространстве, то любой вектор d пространства можно единственным образом разложить по этому базису по формуле: d= αа+ βb+γc Декартовым базисом на плоскости (рмс 1.2.4) называются два единичных, взаимно-перпендикулярных вектора i и j (| i| = |j| =1, ij ), совпадающих с положительным направлением осей ОХ и ОУ соответственно.

рис.1.2.4 рис.1.2.5 Любой вектор плоскости а может быть единственным образом представлен в виде a=a x i+a y j , где числа а x и а y называются координатами вектора а . Декартовым базисом в пространстве (рис.1.2.5.) называются три единичных взаимноперпендикулярных вектора i,j,k, совпадающих с положительным направлением осей OX,OY и OZ соответственно. Любой вектор а может быть единственным образом представлен в виде a=a x i+a y +a z k , где числа а x , а y , а z называются координатами вектора а. Если вектор a=АВ задается координатами начальной точки A(x a , y a, z a ) и конечной B(x b, y b , z b ), то его координаты имеют вид: a=(x b -x a , y b -y a , z b -z a ). Два вектора а и b равны в том и только в том случае, когда координаты их равны, т.е. a x =b x , a y =b y , a z =b z . 3.Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов а и b называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. a b=|a||b|cos(a,b) (1.2.2 ) Из формулы (1.2.2) для ненулевых векторов можно вычислить косинус угла ab | a || b | между векторами Длина вектора |а| определяется по формуле cos(a, b) 

(1.2.3)


|a| = aa (1.2.4 ) Из свойств скалярного произведения следует обратить внимание на коммутативный (перестановочный) закон аb=bа. Пример 1.2.3. Вычислить угол между векторами а и b , если а =2т+ Зп , b = т- 2n , |т|=2 , |п|=3, (m,n)= π/3 . Угол между векторами вычисляется по формуле (1.2.3). (2т+3n)(m-2n)=2mm-4-тп+Зпт-6пп=2тт-тп-6пп=2·2·3·cos0-2·3·cos(π/3)-6·3·3·cos0=12-3-54=-45; | a | aa  (2m  3n) 2  4m 2  12mn  9n 2  4  4  12  6  1  9  9  133; 2 2 2 2 | b | bb  (m  2n)  m  4mn  4n  4  4  6  1  4  9  28; 2  45  45 Таким образом, cos(ab)   ; (ab)    arccos(45 ). 4724 28 133 4724 Предположим в пространстве задан декартов базис { i , j, k } и два вектора а = а x i+ a y j+ а z k , b = b x i + b y j+ b z k . В декартовом базисе скалярное произведение векторов и длина вектора вычисляются по формулам: (1.2.5) а b = axbx+ ayby + аzbz

|а| = aa  a x2  a 2y  a z2

(1.2.6)

Условие перпендикулярности векторов: аb=0 или (1.2.7) a x b x + a y b y + а z b z =0 Условие коллинеарности векторов: ax ay az (1.2.8) a=λb или   bx b y bz Пример 1.2.4. При каком значении α векторы a(2,3,4) и b(3, α,-1) перпендикулярны? Используя (1.2.7), имеем ab=6+3α -4=0 или 3α =-2 , α =-2/3 Пример1.2.5.При каких значениях α и β векторы а(2,4,α) и b(4,β,1)коллинеарны? Используя условие коллинеарности векторов (1.2.8), имеем: 2/4=4/β=α/1. Откуда 4/β =1/2 или α/1=1/2, β = 8, а α =1/2 Пример 1.2. 6. Найти вектор b, коллинеарный вектору a(l,-2,-2) образующий с ортом j острый угол и имеющий длину |b| =15. Пусть вектор b имеет координаты b x , b y , b z , Из условия коллинеарности (1.2.8) имеем b = λа или b x = λа x = λ , b y = λа y =-2λ , b z = λа z =-2λ.

| b | b x2  b y2  b z2   2  4 2  4 2  9 2  3 |  | 15. По формуле (1.2.6) вычисляем Откуда |λ|=5 или λ5. Получаем два вектора b; b 1 (5,-10,-10) и b 2 (-5,10,10). Так угол между вектором b и ортом j острый, то cos(b,j)>0 и координата b y >0. Поэтому в качестве вектора b выбираем вектор b 2 т.е. b =-5 i+10 j+10k .


4. Векторное произведение векторов. Необходимо обратить внимание студентов на определение правой и левой троек векторов (рис.1.2.6 и 1.2.7).

Рис.1.2.6 Рис.1.2.7 Тройка некомпланарных векторов a,b,c называется правой (рис.1.2.6) или левой (рис.1.2.7), если будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки. Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, который обозначается символом с=аb и удовлетворяет следующим трем условиям: 1) вектор с перпендикулярен плоскости векторов а и b; 2)образует с векторами а и b правую тройку; 3)длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b, т.е. (1.2.9) |с|= |a||b|sin(a b) Из свойств векторного произведения следует обратить внимание на антикоммутативность, т.е. ab=-ba Пример 1. 2.7. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах а=2т+п и b = т- п , если |т|=2, |n|=1, (m,n)= π/6 Вычислим векторное произведение векторов a, и b и воспользуемся формулой (1.2.9) ab =(2т+ п)-(т- n)= 2mт- 2mn+nm-пп =0-3mn-0=-3mn 1 3  3 S пар  | a  b | 2 1  sin  (ед 2 ) 2 2 6 2 1 3 2 S тр  S пар  (ед ) 2 4 В декартовом базисе { i,j,k} векторное произведение векторов а(а x ,а y ,а z ) и b(b x , b y ,b z ) вычисляется по формуле i a b  ax bx

j ay by

k az bz

(1.2.10)

Пример1.2.8. Найти координаты вектора b=(b x ,b y ,b z ), если он перпендикулярен векторам a 1 (2,-3,1) и a 2 (1,-2,3) и удовлетворяет условию; b(i +2j-7k) = 10. Вектор b перпендикулярен векторам a 1 и a 2 . Поэтому его можнo искать в виде:


i j k b   (a1  a1 )   2  3 1   (7i  5 j  k ); b  7i  5j  k 1 2 3

Удовлетворим условию b(i + 2j-7k)=10; -7λ -10λ + 7λ =10; -10λ=10, λ=-1. Таким образом вектор имеет вид: b= 7i+5j+k. Пример 1.2.9.Вычислить площадь треугольника, вершины которого расположены в точках A(1,2,3), B(2,1,-1), С(3,-1,1). S ΔABC =1/2 |ABxAC|.Вычислим координаты векторов АВ и АС и векторное произведение АВАС . i j k AB  AB(1,1,4); AC  AC (2,3,2); AB  AC  1  1  4  10i  6 j  k ; 2 3 2 1 1 S ABC  10 2  6 2  1  137 (ед 2 ) 2 2 5.Смешанное произведение трех векторов. Смешанным произведением трех векторов а,b,с называется число, которое обозначается символом ахb-с (смешанное произведение иногда называют векторно-скалярным). Если векторы а,b,с некомпланарны, то смешанное произведение аb-с равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а,b,с, взятому со знаком "+", если упорядоченная тройка векторов а,b,с-правая, и со знаком "-", если эта тройка - левая. Из свойств смешанного произведения трех векторов следует отметить следующие: 1)при круговой перестановке векторов смешанное произведение не меняется, т.е. (aх b) с = (сха) b = (bхс) а; 2)если в смешанном произведении поменять местами два соседних сомножителя, то произведение изменит знак, т.е. (aх b) с = -(ахс) b ; 3) смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны, т.е. условием компланарности векторов является равенство нулю смешанного произведения этих векторов. Смешанное произведение векторов в декартовом базисе {i,j,k}.Если а(a x , a y , a z ), b(b x , b y , b z ,) и с(с x , c y , c z ), то ax a y az (1.2.11) ( a  b)  c  b x b y b z cx c y cz

ax Условие компланарности векторов b x cx

ay by cy

az bz  0 cz

(1.2.12)

Наиболее распространенные задачи, решаемые при помощи смешанного произведения: 1)найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а,b,с:


V = |а х b с|, 2) найти объем тетраэдра, построенного на векторах а,b,с: V=1/6 (|а х b с|) 3) проверить компланарны ли векторы а,b,с, если а х b с=0, то векторы компланарны, если а х b с 0, то векторы некомпланарны; 4)проверить правую или левую тройку образуют векторы а,b,с, >0 -тройка векторов - правая , а х b с=. <0 - тройка векторов левая. Замечание: смешанное произведение векторов а,b,с, как правило, записывают в виде а b с . Пример1.2.10. Вычислить длину высоты тетраэдра ABCD, проведенную из вершины D к основанию АВС, если вершины тетраэдра имеют координаты: А (1,2,0), B(2,1,1), С(0,-3,-1), D(3,3,4). Найдем координаты векторов, выходящих из вершины А: АВ(1,-1,1), AC(-1,-5,-1), AD(2,1,4), V тетр =1/6(|АВАСAD|); V тетр =1/3(S ABC H D ); 3V . Отсюда S ABC =1/2 (|ABAC|); H D = S ABC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 V тетр   1  5  1  0  6 0   6 1 1  2(ед 3 ) 3 5 6 2 6 3 0 5 6 1 4 i j k 1 AB  AC  1  1 1  6i  6k ; S ABC  6 1  1  3 2 (ед 2 ) 2 1  5 1 3 2  2 (ед) HD  3 2 Вопросы для самопроверки 1.Сформулируйте правила треугольника и параллелограма сложения векторов. 2.Укажите принципиальное различие в формулах для вычисления длины вектора в произвольном и декартовом базисах. З. Чему равно скалярное произведение базисных векторов в декартовом базисе? 4.Чему равно векторное произведение базисных векторов в декартовом базисе? 5.Запишите условие компланарности векторов. Приведите пример. 6.Можно ли построить треугольник на векторах а,b,а+b ? 7.Приведите пример условия, при выполнении которого из трех векторов a, b,с можно образовать треугольник. 1 8. Докажите, что объем тетраэдра вычисляется по формуле V= | а b с| 6 9. Вычислите угол между векторами, совпадающими со скрещивающимися ребрами тетраэдра.


10.Как Вы считаете, произведение векторов axbxc (двойное векторное) является векторной величиной или скалярной?


Тема 1.3. Прямая и плоскость

Учебники:[1, гл.2, §1-3; 10, гл.4/ гл.5, §2-5; 16, гл.2, §1, 2, гл.10, §1, 2 (п.5), §3(п.7)]. Аудиторная работа: [2, 6.17(1-4), 6.18, 6.19(1), 6.20(3 6.21(1), 6.23(1), 6.25(1), 6.29, 6.34, 6.44(1)-6.47 (1), 6.50(1 6.51(1), 6.60(1) ,-6.62 (1) ,6.70(1) , 6.72J, [7, гл.З,Н15, 18(1— 19(1-4), 23(1),24(1), 26, 28(1), 30(1), 38, 41(1), 47(1) [20,ч.1, гл.2, N2.180(a)-2.184(a) , 2.185, 2.186, 2.189, 2.197(a 2.198, 2.199(a), 2.203(a)], [25, занятия 7(7.2.1-7.2.9), 8(8.2. 8.2.12), 6(6.2.1-6.2.2)] . Самостоятельная работа: [2, 6.19(2,3), 6.20(2-5 6.21(2,3), 6.23(2,3), 6.24, 6.25(2-5), 6.26, 6.30, 6.44(2 6.47(2), 6.50(2-4), 6.51(2,3), 6. 60 (2, 3)-6. 62 (2, 3) , 6.70(2,3 6.73], [7, гл.З,М16, 18(4-13), 19(5-11), 20, 21, 23(2,3), 24(2,3 30(2), 41(2), 47(2,4), 48], [20, ч.1, гл.2, N2.180 (б)-2.184 (б 2.187- 2.188, 2.197(6), 2.200, 2.201, 2.203(6), 2.124], [2 занятия 7, 8, 6(6.2.1-6.2.4)]. При изучении аналитической геометрии в пространстве возникают затруднения, связанные с недостаточностью пространственных представлений. В таких случаях полезно пользоваться пространственными моделями (тетрадь-плоскость; карандаш, ручка-прямая, отрезок прямой) и использовать их при разборе теоретического материала наравне с рисунками, приведенных в задачниках. Различные виды уравнения плоскости

1.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М 0 (x 0 ,у 0 ,z 0 ) перпендикулярно вектору n(А,В,С) : (1.3.1) A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0 Пример 1.3.1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1, 2, 3), перпендикулярно вектору n(2,-1,4). Используя уравнение (1.3.1), получим 2(x-l)-l(y-2)+4(z-3)=0 или 2x-y+4z-l2-0. Пример 1. 3 . 2.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (1,2,3) пареллельно векторам a(3,-1.,0) и b(2,l,2). Плоскость пареллельна векторам а и b, поэтому вектор нормали к плоскости n(А,В,С) равен векторному произведению векторов) i j k n  a  b  3  1 0  2i  6 j  5k 2 1 2 а и b и находится по формуле (1.2.10): Уравнение искомой плоскости (1.3.1) имеет вид -2(x-l)-6(y-2)+5(z-3)=0 или -2x-6y+5z-l=0 . 2.Общее уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0 (1.3.2) В этом уравнении коэффициенты А, В,С -координаты вектора п(А,В,С) перпендикулярного плоскости. 3.Уравнение плоскости в отрезках


x y z   1 a b c Числа a,b,c равны величинам направленных отрезков, отсекаемых на осях координат. 4.Уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ), M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ) , М 3 (x 3, у 3 , z 3 ), не лежащие на одной прямой x  x1 y  y1 z  z1 x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1  0 (1.3.4) x 3  x1 y 3  y1 z 3  z1 Пример 1.3.3.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 (1,2,3), M 2 (-1,1,1) , М 3 (0,2,1) . В соответствии с уравнением (1.3.4) получаем x 1 y  2 z  3 2 1  2  ( x  1)  1  2  ( y  2)  2  2  ( z  3)  2  1  0 2 1  2 1 0 1 0 2  2( x  1)  2( y  2)  ( z  3)  2 x  2 y  z  5  0 т.е. 2x-2y-z+5=0 и есть уравнение искомой плоскости. Различные видах уравнений прямой в пространстве

A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 (1.3.5) A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 Прямая задана пересечением двух плоскостей с нормалями n 1 (A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) 2.Канонические (стандартные) уравнения прямой, проходящей через точку М 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей направляющий вектор а(т,п,р) x  x0 y  y 0 z  z 0   (1.3.6) m n p Пример 1.3.4.Перейти от общих уравнений прямой 2x+3y-z+2=0 x-y-3z+6=0 к каноническим уравнениям. Прежде всего выберем какуюнапример М 0 (0,0,2), удовлетворяющую общим нибудь точку М 0 , уравнениям прямой. Если сразу не удается подобрать координаты точки М 0 , то эту точку можно найти из решения системы линейных уравнений (см. пример 1.1.11), которой задаются общие уравнения прямой. Направляющий вектор прямой а может быть выбран в виде a=n 1 xn 2 (см. 1.3.5), где n 1 (2,3,-l) и n 2 (1,-1,-3) -нормальные векторы к плоскостям, пересечением которых и задается прямая i j k a  2 3  1  5i  5 j  5k 1 1  3 1.Общее уравнение прямой

'Канонические уравнения прямой имеют вид


y z2 x x z2   y или 5 5 5 1 1 3. Параметрические уравнения прямой x = x 0 + mt, y = y 0 + pt, z = z 0 + ut, t є R (1.3.7) Пример 1.3.5.В примере 1.3.4 от канонических уравнений прямой перейти к параметрическим уравнениям. Ряд равных отношений в канонических уравнениях прямой примера 1.3.4 приравняем к t: x z2 t y 1 1 Откуда получим параметрическиe уравнения x=-t, y=t, z=2-t, t є R . 4.Уравнение прямой, проходящей через две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), М 2 (х 2 , у 2 , z 2 ) . x  x1 y  y1 z  z1 (1.3.8)   x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1 Замечание. В уравнениях прямой (1.3.6) и (1.3.8) допускаете равенство нулю одной или двух координат вектора а(т,п,р). В этом случае нуль в знаменателе воспринимается только лишь как информация о координатах вектора а . Задачи, относящиеся к плоскостям

Пусть заданы две плоскости A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 1.Взаимное расположение двух плоскостей: а)условие перпендикулярности плоскостей: A 1 A 2 +B 1 B 2 +C 1 C 2 =0 (1.3.9) б)условие параллельности плоскостей A1 B1 C1 (1.3.10)   A2 B 2 C 2 2.Угол между плоскостями: cos  

n1  n 2 n1  n 2

A1 A2  B1 B 2  C1C 2 A12

 B12

 C12

A22

 B 22

 C 22

(1.3.11)

3. Расстояние от точки М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ) до плоскости Ax+By+Cz+D=0: Ax 0  By 0  Cz 0  D (1.3.12) d 2 2 2 A  B C Пример 1. 3 . 6 . Найти расстояние между параллельными плоскостям 2х+3у-z+1=0 2x+3y-z+4=0. Это расстояние равно расстоянию от любой точки одно плоскости до другой. Выберем на первой плоскости произвольную точку, например М 0 (0, 0,1). По формуле (1.3.12) находим


2  0  3 0 1 4

3 4  9 1 14 Пример 1.3.7.Найти угол между плоскостями х- 3у+z-1= 0 и y+z+2=0. По формуле (1.3.11) находим 1  0  3 1  1 1 2 2 cos     11 1 9 1 0 11 11 2 Замечание. Как правило, вычисляется острый угол между плоскостями. d

Задачи относящиеся к прямым в пространстве

Пусть заданы две прямые в пространстве x  x1 y  y1 z  z1 x  x2 y  y2 z  z 2   и   (1.3.13) m1 n1 p1 m2 n2 p2 1.Взаимное расположение двух прямых: а) условие перпендикулярности прямых: m 1 m 2 +n 1 n 2 +p 1 p 2 =0 (1.3.14) б) условие параллельности прямых: m1 n1 p   1 (1.3.15) m2 n2 p 2 2.Угол между прямыми : a1  a 2 m1 m 2  n1 n 2  p1 p 2 cos    (1.3.16) 2 2 2 2 2 2 a1  a 2 m1  n1  p1 m 2  n 2  p 2 3. Расстояние от точки М (x 1 ,y 1 ,z 1 ) до прямой a  M 0 M1 x  x0 y  y 0 z  z 0   , (1.3.17) , d m n p a где a (m, n, p ), M 0 M 1 ( x1  x 0, y1  y 0, z1  z 0 ), а векторное произведение вычисляется по формуле (1.2.10). 4. Условие пересечения прямых. Прямые задаются уравнениями (1.3.13). Рассмотрим смешанное произведение a 1 a 2 M 1 M 2 , a 1 ≠ λa 2 Если a 1 a 2 M 1 M 2 = 0 (1.3.18) то прямые пересекаются, если a1 a2 M1M2 ≠ 0 (1.3.19) то прямые скрещиваются. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле (1.2.11). 5. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Прямые заданы уравнениями (1.3.13). Если a 1 a 2 M 1 M 2 ≠ 0 то расстояние d между прямыми вычисляется по формуле


d

a1  a 2  M 1 M 2

(1.3.20)

a1  a 2

Пример 1.3.8.Исследовать

взаимное расположение прямых  x  2  3t x 1 y 1 z  2   и y  1 t 2 3 4  z  1  t Первая прямая проходит через точку M 1 (1,-1,-2), a вторая прямая через точку a 2 (3,-1,1) . М 2 (2,1,1) . Направляющие векторы прямых a 1 (2,3,4) и Вычислим смешанное произведение a 1 a 2 M 1 M 2 2 3 4 0 1  2 3  1 1  0  7  8   1  2  8  14  6  0 7 8 1 2 3 1 2 3 Так как выполняется условие (1.3.19), то прямые скрещиваются. Пример 1.3.9.Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми примера 1.3.8. Используем формулу (1.3.20). i j k a1  a 2  2 3 4  7i  10 j  11k ; a1 a 2 M 1 M 2  6 3 1 1

d

6 49  100  121

6 170

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть плоскость задана уравнением (1.3.2), а прямая-уравнением (1.3.6) , либо уравнением (1.3.7), тогда n(A,B,C)— нормаль к плоскости, a(т,п,р) направляющий вектор прямой.

Рис.1.3.1 Рис.1.3.2 1.Условие перпендикулярности прямой и плоскости A B C na или   (1.3.21) m n p 2.Условие параллельности прямой и плоскости: па = 0 или Am + Вп + Ср = 0 . (1.3.22) 3.Угол между прямой и плоскостью (рис.1.3.1)


an  sin   sin(   )  cos   2 an

(1.3.23)

4.Координаты точки пересечения прямой и плоскости находятся из системы уравнений (1.3.2) и (1.3.7), а именно A x +B y +C z +D=0 x=x 0 +mt y=y 0 +nt (1.3.24) z=z 0 +pt 5. Проекция точки M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) на прямую (рис. 1.3.2). Координаты точки Р определяются из системы  x  x0 y  y 0 z  z 0    (1.3.24)  m n p m( x  x 0 )  n( y  y 0 )  p ( z  z 0 )  0 где плоскость (α) проведена через точку M 1 перпендикулярно прямой L. Прямая линия на плоскости

Уравнение прямой линии на плоскости может быть получено из канонических уравнений прямой в пространстве (1.3.6), если положить Z 0 = 0 и р=0  x  x 0 y  y 0 x  x0 y  y 0 z  или (1.3.26)    m n 0 m n  z  0 В зависимости от условий задачи уравнение прямой на плоскости может быть записано в виде: a)y=kx+b(1.3.27) уравнение прямой с угловым коэффициентом; (1.3.28) б)ах+bу+с=0 общее уравнение прямой в)y=y 0 +k(x-x 0 )(1.3.29) уравнение прямой, проходящей через точку М о (х о, y о ) и имеющей заданный угловой коэффициент k; y  y0 x  x0 (1.3.30) г)   y1  y 0 x1  x 0 уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между двумя прямыми у = k 1 x+b 1 и у = k 2 x+ b 2 определяется по формуле k k tg  2 1 (1.3.31) 1  k1 k 2 Условия параллельности и перпендикулярности прямых имеет вид: k1 = k2 (параллельности) (1.3.32) k 2 = -1/k 1 (перпендикулярности) (1.3.33) Пример 1. 3.10. Треугольник задан координатами вершин A 1 (1,2), А 2 (4,0), A 3 (6,3) . Написать уравнения:


1) стороны А 1 А 3 ; 2) медианы, проведенной из вершины А 2 ; 3) высоты, проведенной из вершины А 2 1) Воспользуемся уравнением (1.3.30) y  y1 x  x1 y  2 x 1 1 y  2  ( x  1);   ; ; 3  2 6 1 5 y 3  y1 x 3  x1 1 9 y  x   уравнение стороны A1 A3 . 5 5 2) Пусть точка К -точка пересечения медианы треугольника, проведенной из А 2 со стороной А 1 А 3 . Точка К-середина отрезка А 1 А 3 . Поэтому ее координаты равны полусумме координат концов отрезка, а именно 7 5 K ( , ). 2 2 Воспользуемся уравнением (1.3.30) y  y2 x  x2 y0 x4 2 ; ; y  2( x  4);   5 7 5 yk  y2 xk  x2 0 4 2 2 y  5( x  4); y  5 x  20  уравнение медианы A2 K 3)Высота, проведенная из вершины А 2 перпендикулярна стороне А 1 А 3 , поэтому угловой коэффициент k определяется из условия (1.3.33): 1 1 k   5 1 k A1 A3 5 Воспользуемся уравнением (1.3.29): у = y 2 + k(x-x 2 ); y=0-5(x-4); y=-5x +20, т.е. высота треугольника А 1 А 2 А 3 , проведенная из вершины A 2 совпадает с медианой, проведенной из этой вершины. Вопросы для самопроверки

1.Запишите условия перпендикулярности и параллельности: а)прямых; б)плоскостей; в)прямой и плоскости. 2.Получите координаты точки К делящей данный отрезок АВ в отношении AK  . KB 3.Какие особенности имеет уравнение плоскости, если она: а)параллельна осям координат ОХ; ОУ; OZ; б)перпендикулярна осям координат ОХ; ОУ; OZ; в)параллельна плоскостям ОХУ; OXZ; OYZ . 4. Как найти точку, симметричную точке М 0 (x 0 ,у 0 ,z 0 ) относительно плоскости Ах+ Ву+ Cz+D = 0 .


5. Составьте уравнение плоскости , проходящей через точку М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) параллельно двум прямым с направляющими векторами а 1 и а 2 , причем а 1 ≠ а2 6.Получите нормальное уравнение плоскости. 7.Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 и М 2 , параллельно вектору а . 8.Выведите формулы для нахождения расстояния от точки до прямой, между двумя скрещивающимися прямыми. 9.Получите уравнение биссектрисы угла треугольника. 10.Получите формулу для нахождения угла между прямыми, лежащими в плоскости ХОУ. Тема 1.4. Преобразование координат на плоскости. Элементарная теория линий второго порядка Тема выносится на самостоятельное изучение

Учебники: [ 1, гл.2, §4, гл.3, §1-3], [10, гл.6, §1-5] , [16, гл.2, §3, п. 10-13]. Самостоятельная работа : [ 2, N7.25, 7.38, 7.54, 8.1(1, 3, 6), 9.1(1,2), 9.3(1, 4), 9.4(1-3], [7, гл.3, N49, 50, 51, 54, 62(1,2), 63(1/2) ], [20, ч.1, гл..2, N2.247, 2.249(1, 2), 2.256(a), 2.257, 2.258, 2.267, 2.269(a), 2.278, 2.279, 2.286/ 2.288(в), 4.226, 4.227 (в двух последних заданиях преобразование координат проводить по формулам 1.4.1-1.4.3) ], [25, занятие 16(16.2.6-16.2.7) ]. Простейшими преобразованиями координат на плоскости есть преобразование поворота и параллельного переноса. Одна и та же точка имеет различные координаты в разных системах декартовых координат. Существует связь между координатами точки в различных системах координат.

Рис.1.4.1 Рис.1.4.2 Параллельный перенос. Заданы две системы координат: старая ОХУ и новая О 1 Х 1 У 1 (рис . 1. 4 .1) . Начало новой системы координат находится в точке O 1 (а,в) . Старые координаты х, у точки М через новые координаты x 1 y 1 выражаются формулами x=x 1 +a, y=y 1 +b (1.4.1) откуда х 1 =х-а, y 1 =y- b, (1.4.2)


Поворот координатных осей. Новая система координат OX 1 Y 1 получена поворотом старой на угол α вокруг точки О (рис.1.4.2).Старые координаты х, у точки М через новые координаты x 1 , y 1 выражаются формулами x=x 1 cosα - y 1 sinα y=x 1 sinα + y 1 cosα (1.4.3) В общем случае, когда заданы преобразования параллельного переноса и поворота осей координат, связь между старыми и новыми координатами имеет вид: x=x 1 cosα - y 1 sinα+a (1.4.4) y=x 1 sinα + y 1 cosα+b Студент должен уметь общее уравнение кривой второго порядка a 11 х2 + 2а 12 ху + а 22 у2 + c 1 x + с 2 у + d = 0, (1.4.5) путем преобразования системы координат (параллельный перенос, поворот) приводить к простейшему (каноническому) уравнению. В новой системе координат уравнением кривой (1.4.5) будет одно из следующих канонических уравнений: ax12 y12 x12 y12   1  эллипс;   1  гипербола; a2 b2 a2 b2 y1 x12 x12 y12   0 - точка;   1 - сопряженная гипербола; (1.4.6) a2 b2 b2 a2 x12 y12 y12  2 px1 , x12  2 py1  параболы;   1 - мнимый эллипс; 2 2 a b 2 y1  a 2  пара прямых; y12  a 2  мнимая пара прямых Общее уравнение второй степени (1.4.5) при повороте осей координат на угол α преобразуется в уравнение a΄ 11 х 1 2 + а΄ 22 у 1 2 + c΄ 1 x 1 + с΄ 2 у 1 + d΄ = 0 ( 1.4.7) формулы преобразования координат имеют вид (1.4.3), угол α определяется по формуле a  a 22 , (1.4.8) ctg 2  11 2a12 причём ctg 2 2 sin 2   1  cos 2 ; 2 cos 2   1  cos 2 ; cos 2  (1.4.9) 2  1  ctg 2 Уравнение (1.4.7) приводится к каноническим уравнениям (1.4.6) выделением полных квадратов и применением фoрмул параллельного переноса (1.4.1) . Пример 1.4.1.Кривая второго порядка задана уравнением Зх2 +4xy-4x-8y= 0 Записать каноническое уравнение этой линии. В данном случае а 11 = 3, 2а 12 = 4, a 22 = 0 . По формуле (1.4.8) находим ctg2α=3/4 > 0 . Следовательно,


  2   0,   2

      3  2   0, . Откуда    0,  либо    , .  2  4 2 4    В дальнейшем считаем, что    0,   4 Тогда sinα >0 и cosα >0, cos2α >0. По формулам (1.4.9) вычисляем 3 3 ctg 2 3 4   4 cos 2  5 5 1 9 1 ctg 2 2 4 16 1  cos 2 1 1  cos 2 2   sin   ; cos   2 5 2 5 Замечание: если предположить, что   3    ,  2 4  то sinα > 0, cosα < 0, cos2α < 0 и по формулам улам (1.4.9) имеем: 3 2 1 cos 2   , sin   , cos    . 5 5 5 Вычисленные значения sinα и cosα подставляем в (1.4.3): 1 x (2 x1  y1 ) 5 1 y ( x1  2 y1 ) 5 Подставим полученные выражения в исходное уравнение и преобразуем его. 3 4 4 8 (4 x12  4 x1 y1  y12 )  (2 x12  3 x1 y1  2 y12 )  (2 x1  y1 )  ( x1  2 y1 )  0; 5 5 5 5 16 12 4 x12  y12  x1  y1  0. 5 5 В последнем уравнении выделим полные квадраты 2 2  4 12 2  4   6  36  2 2 x1 )  ( y1  y1 )  0; 4  x 1  4( x1       y1      0; 5   5 5 5 5 5      2 16 6 36 2 6 ) 2   ( y1  )2   0; 4( x1  ) 2  ( y1  )2  4  0 4( x 1  5 5 5 5 5 5 Используя формулы формулы (1.4.1), положим 2 6 x 2  x1  , y 2  y1  . 5 5 В новых координатах последнее уравнение имеет вид y 22 2 2 4 x 2  y 2  4 или  x 22  1 4 Это уравнение определяет сопряженную гиперболу (действительная ось ОУ) с полуосями а=1, b=2. либо


Построим гиперболу в новой системе координат O 1 Х 2 У 2. Вначале вычислим старые координаты точки O 1 в которой находится центр гиперболы.

Рис.1.4.3 Для этой точки х 2 = 0; у 2 = 0.По формулам (1.4.1) находим 2 6 x1  , y1   . 5 5 С помощью формул (1.4.3) вычисляем 1 2 12 6 1 4 )  2 ( )  2, y  ( x   5 5 5 5 5 5 Так, точка O 1 имеет координаты O 1 (2,-2).Через точку O 1 проводим ось OX 2 , для которой tgα = 1/2 и ось OY 2 перпендикулярно оси OX 2 . Строим гиперболу y 22  x 22  1 в системе координат OX 2 Y2 (рис.1.4.3). 4 Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение эллипса, гиперболы, параболы. 2.Дайте определение директриссы и эксцентриситета кривых второго порядка. 3. Какие линии определяют уравнения 9х2 ± 4у2= 36 . Вычислите параметры кривых. 4.Получите уравнения асимптот гиперболы. 5.Чему равен эксцентриситет для окружности? 6.Докажите,что произведение расстояний от произвольной точки гиперболы x2 y2  1 a2 b2 до ее асимптот есть величина постоянная. а Ь Тема 1.5.Некоторые сведения о линейных векторных пространствах. Собственные числа и собственные векторы

Учебники: [16, гл.16, §1.2]. Аудиторная работа: [7, гл.2, §4, N34(1.2), 37(2), 39(1), 40(1,2), 41(1,2)], [20, ч.1, гл.4, N4.83.4.86, 4.90, 4.106(a), 4.183], [25, занятия 14(14.2.1, 14.2.4), 15 (15.2.1, 15.2.4, 15.2.7)].


Самостоятельная работа: [7, гл.2, §4, N35, 37(1,3,4), 39(2), 40(3), 41(3,4)], [20, ч.1, гл.4, N4.84,4.87, 4.91, 4.92, 4.106(6), 4.184]/ [25, занятия 14(14.3.3, 15 (15.3.1, 15.3.5, 15.3.8, 15.3.9)]. В теории линейных векторных пространств обобщается понятие вектора, введенного в курсе векторной алгебры. Упорядоченная совокупность n чисел х={х 1 ,х 2 ,...х n } называется n - мерным вектором, а числа х 1 , i=1,n, составляющие эту совокупность называются координатами вектора х; n - мерный вектор можно рассматривать как матрицу-строку или матрицу столбец, состоящую из n элементов. Линейным векторным пространством называется множество векторов (любой природы), для которых определено два действия-сложение и умножение на произвольное число. Линейные n-мерные векторные пространства будем обозначать L n . Если х={х 1 ,х 2 ,...х n } є L n и у={у 1 , у 2 ,... у п }є L, то 1. х = у , если х і = у і , i = 1, n 2. х+у = {х 1 + y 1 ,х 2 + у 2 ,. ...х п +у п „ } є L n . 3. mх = {mx 1 , тх 2 ,..., mx п } Є L n . Приведенные определения позволяют рассматривать векторы общего вида не обязательно геометрической природы. Примеры линейных пространств: а) множество геометрических векторов R 3 ; б) множество всех многочленов Рп(х), степени не превосходящей n; в) множество матриц A mn , размерности mn; г) пусть х i , i = 1,n -количество i-го сырьевого продукта, измеренного в подходящих единицах, тогда векторы вида х={х 1 ,х 2 ,...х n }могут задавать суточную потребность предприятия в сырье, запасы сырья, хранящегося на складе и т.д. Любая совокупность n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве образует базис в этом пространстве (определение линейной зависимости и независимости векторов см. в теме 1.2). Пример 1.5.1.Показать, что система векторов S1   1 0 , S 2   0 1 , S 3   0 0 , S 4   0 0   0 0 0 0 1 0 0 1 образует базис в пространстве квадратных матриц a a12  A22   11 .  a 21 a 22  Представить матрицу А 22 в виде линейной комбинации векторов S i , i=l,4. Составим линейную комбинацию


4

 ai S i

i 1

и приравняем ее к нулю :

a1 S1  a 2 S 2  a 3 S 3  a 4 S 4  a1  1 0   a 2  0 1   a 3  0 0   a 4  0 0    0 0  0 0 1 0 0 1  a1 0    0 a 2    0 0    0 0    a1 a 3   0;   0 0  0 0   a 0  0 a   a   4   2 a4       3  a1 a 3   0 0  . Откуда a i  0, i  1, n    a2 a4   0 0 Mы получили, что линейная комбинация векторов S i , i=1,n равна нулю лишь в том случае, когда все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Согласно определения (см. тему 1.2) векторы S i , i=1,n линейно независимы и могут быть использованы в качестве базисных векторов. Разложение матрицы А 22 по базису S i , i=1,n имеет вид:  a11 a12   a S  a S  a S  a S a  11 1 12 2 21 3 22 4  21 a 22  Линейное пространство называется евклидовьм, если в нем каждой паре векторов х, y сопоставлено число, которое называется скалярным произведением этих векторов, обозначается (х, у ) и удовлетворяет аксиомам: 1.(х,у)=(у,х) 2. ( х 1 + х 2 , у ) = ( х 1 , у ) + (х 2 , у) 3. (αх , у ) = α (х , у ) ; 4. (х, х )>0, х ≠ 0 и (x,x)=0, если х=0. Число x   x, x  называется нормой вектора в евклидовом пространстве. Неравенство |(х,y)|≤║x║х║y║называется неравенством Коши-Буняковского. Два вектора евклидового пространства называются ортогональны ми, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (х, у )=0. Линейные преобразования. Если указано правило f, по которому каждому вектору х линейного пространства L n ставится в соответствие единственный вектор у этого пространства, то говорят, что в нем задано преобразование (отображение, оператор). Преобразование f линейного пространства L называется линейным (линейным оператором), если для любых векторов этого пространств х 1 , х 2 , х и любого λєR выполняются условия f ( x1  x 2 )  f ( x1 )  f ( x 2 ); f ( x)  f ( x) (1.5.1) Если линейное пространство L n-мерное пространство, а f линейное преобразование (оператор) осуществляющее отображениe y=f(x), x(x 1 ,x 2 ,...x n ), у(у 1 , y 2 , ..., y n ) є L, тo можно построить матрицу этого преобразования


 a1n   a11 a12 a a 22  a 2 n  (1.5.2) A   21             a n1 a n 2  a nn  такую, что y1  a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n y 2  a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n y  Ax или - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - y п  a п1 x1  a п 2 x 2  ...  a пn x n Замечание. Если вектор геометрический, то над ним ставится стрелка. Пример 1.5.2. Показать, что преобразование y=a x x, где а(а 1 ,а 2 , а 3 ) постоянный вектор, х(х 1 , x 2 , x 3 ), y(y 1, y 2, y 3 ecть линейное в линейном пространстве L 3 и построить его матрицу А . Чтобы доказать линейность преобразования y=a x x достаточно проверить свойства (1.5.1). Пусть x 1, x 2 є L 3 , λєR , тогда у(х 1 + х 2 ) =а х (х 1 + х 2 ) = а х х 1 + а х х 2 у(λх)= а х (λх)= λ (а х х), т.е. свойства линейности (1.5.1) выполнены и преобразование y=a x x линейно. Построим матрицу преобразования i j k y  a  x  a1 a 2 a 3  i (a 2 x 3  a 3 x 2 )  j (a1 x 3  a 3 x1 )  k (a1 x 2  a 2 x1 )  y1 i  y 2 j  y 3 k , x1 x 2 x 3 откуда  0  a3 a 2   y1  a 3 x 2  a 2 x 3  0  a1   y 2  a 3 x1  a1 x 3 , A   a 3   y 3  a 2 x1  a1 x 2 0   a 2 a Предположим в линейном пространстве L n заданы базисы е i , i=1,n и m i , i=1, а также матрица A линейного преобразования f в базисе е i , i=1. Тогда матрица линейного преобразования в базисе m i , i=1, будет иметь вид (1.5.3) B=T-1 AT, где T -матрица перехода от старого базиса к новому. Пример 1.5.3. В базисе e 1 ,e 2 преобразование f имеет матрицу A  2 3 4 1 Найти матрицу преобразования f в базисе m 1= е 1 - е 2 , т 2 =2ё 2 +3е 2 . Матрица T   1 3  1 3 (координаты векторов m 1 и т 2 записываются в столбцы, соответственно в первый и второй).


1 T 1   3  2  (см. формулу 1.1.6). 5 1 1  По формуле (1.5.3) находим

1  3  2  2 3  1 2  1   2 7  1 2  1   9 17    9 5 17 5  B          24  5  1 1  4 1   1 3  5  6 4   1 3  5  2 24   2 5  5 Собственные числа и собственные векторы матрицы линейного преобразования (оператора)

Всякий ненулевой вектор х(а 1 ,а 2 ,...,а n называется собственным вектором линейного преобразования, если Ах=λx, (1.5.4) где λ -некоторое число, называемое собственным значением (числом) линейного преобразования. Если матрица А имеет вид (1.5.2), то равенство (1.5.4) записывается в виде системы линейных алгебраических уравнений (Дц - Л)а^ -ь a^a^+...+а^а^ = О (a 11 - λ)a 1 +a 12 a 2 +...+a 1n a n =0 a 21 a 1 +(a 22 - λ)a 2 +...+a 2n a n =0 ----------------------------------(1.5.5) a n1 a 1 +a n2 a 2 +...+(a nn - λ)a n =0 Система (1.5.5), однородная СЛАУ, имеет отличные от нуля (нетривиальные) решения только тогда, когда определитель равен нулю. Отсюда следует, что det(A- λE)=0. (1.5.6) Уравнение (1.5.6) называется характеристическим уравнением матрицы данного линейного преобразования. Каждый действительный корень λ уравнения (1.5.6) является собственным числом. Соответствующие собственному числу координаты собственного вектора находятся из системы (1.5.5) методом, изложенном в теме 1.1 (см. пример 1.1.11). Пример 1.5.4.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы линейного преобразования  11 2  8  A   2 2 10    8 10 5    Система однородных линейных алгебраических уравнений (1.5.5) для нахождения собственных векторов имеет вид (11-λ)а 1 +2а 2 -8а 3 =0 2а 1 +(2-λ)а 2 +10а 3 =0 (1.5.7) -8а 1 +10а 2 +(5-λ)а 3 =0 Вычислим определитель (1.5.6) и решим соответствующее характеристическое уравнение  11   2 8 10  8 2 2    det( A  E )  2 2   10  (11   ) 2   10  2 2 10 5    8 5  8 10  8 10 5   (11   )( 2  7  90)  4  180  64  288  3  18 2  81  1458  0


Характеристическое уравнение имеет вид λ3-18 λ2-81 λ+1458=0, а его решение λ 1 =9, λ 2 =18, λ 3 =-9. Найденные значения λ і , і=1,3 подставим в (1.5.7) 2a1  2a 2  8a 3  0 1  9 : 2a1  7a 2  10a 3  0  8a1  10a 2  4a 3  0 Решение этой системы х 1 = С(2,2,1)Т, С єR, а соответствующий единичный вектор х0 1 =(2/3, 2/3, 1/3) Т При λ 2 =18: х0 2 =(-2/3, 1/3, 2/3)Т при λ 3 =-9 х0 3 =(1/3, -2/3, 2/3) Решения систем линейных уравнений рассмотрены в теме 1.1 (см. пример 1.1.11). Необходимо отметить следующие свойства собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы. 1.Корни характеристического уравнения вещественной симметрической матрицы вещественны. 2.Собственные векторы вещественной симметрической матрицы, отвечающие различным собственным значениям ортогональны. (Проверьте на собственных векторах матрицы примера 1.5.4). Вопросы для самопроверки

1.Приведите примеры n-мерных векторов. 2.Что такое линейное векторное пространство, какое пространство называется евклидовым? З. Что такое базис в n -мерном пространстве? 4 . Как определяется линейное преобразование? 5.Докажите неравенство Коши-Буняковского. 6. Докажите неравенство ||x+y||≤||x||+||y|| 7. При каком условии матрица линейного преобразования имеет диагональный вид? 8.Сформулируйте алгоритм нахождения собственных векторов.


Тема 1. 6 . Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду уравнений линии и поверхности второго порядка

Учебники:[1, гл.3, §4],[10, гл.7, §2], [16, гл.11, §3]. Аудиторная работа:[2, N9.4(1, 3), 11.22(1)], [7,гл.3, §5, 6, N63(1,2)], [20, ч.1, гл.4, §3, N4.226, 4.227, 4.233],[25, занятия 16(16.2.6(а,б)) , 17(17.2.1, 17.2.2) ]. Самостоятельная работа: [2, N9.4(4-6), 11.22(2)], [7, гл.3, §5, 6, N63(3-5)], [20, ч.1, гл.4, §3, N4.228, 4.289, 4.234],[25, задания 16(16.3.3(а,б, в) ) , 17(17.3.2, 17.3.3, 17.3.4(а,б,в)) ]. Квадратичной формой от трех переменных x,y,z называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных. (1.6.1) F(x,y,z)= a 11 x2 + 2a 12 xу+ а 22 у2 + 2a 13 xz+ 2a 23 yz+a 22 z2 Если учесть, что а 12 =a 21 , a 13 =a 31 , a 23 =a 32 , то F(x,y,z) записывается в виде F(x, у, z) = а 11 х2 + а 12 ху + а 21 ух + а 22 у2 + a 13 xz + a 31 zx + a 23 yz + a 32 zy + a 22 z2 .  a11 a12 a13   Матрица A  a 21 a 22 a 23 , a ij  a ji ; i, j  1,3   a a a 32 33   31 называется матрицей квадратичной формы. Квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит члены только с квадратами переменных, т.е. а ij = 0; i,j = 1,3; i≠ j . Матрица (1.6.2) квадратичной формы (1.6.1) будет иметь диагональный вид, если в трехмерном пространстве перейти к. новому базису, состоящему из собственных векторов (см. тему 1.5) матрицы А, при этом на главной диагонали будут стоять собственные числа матрицы А. Квадратичная форма в новом базисе будет иметь вид (1.6.3) F(x 1 , y 1, z 1 )=λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1 2 + λ 3 z 1 2 0  1 0  а ее матрица B  0  2 0    0 0  3  В случае двух переменных х, у квадратичная форма F(x,y) имеет вид (1.6.4) F(х,у) = а 11 х2 + 2а 12 ху + а 22 y2, a a12  а ее матрица A   11 (1.6.5)   a 21 a 22  причем а 12 = a 21 . Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду применяются при решении задач на приведение к каноническому виду уравнений кривых второго порядка a 11 x2 + 2а 12 ху + а 22 у2 + b 1 х + b 2 y + с = 0 и уравнений поверхностей второго порядка a 11 x2 + 2а 12 ху + а 22 у2 + 2a 13 xz+2a 23 yz+a 22 z2 +b 1 х + b 2 y +b 3 z + с = 0 Канонические уравнения основных кривых второго' порядка были рассмотрены в теме 1.4 (1.4.6)


Поверхности второго порядка делятся на центральные и нецентральные. Канонические уравнения некоторых поверхностей второго порядка приведены ниже. Уравнения центральных поверхностей второго порядка

1.

x2 2

y2 2

z2 2

  ; a , b, c  0

a b c λ=0-точка λ =1-эллипс, λ.=-1-мнимый эллипс. x2 y2 z2 2.    a2 b2 c2 λ =1-однополостный гиперболоид λ =-1-двуполостный гиперболоид; λ =0 эллиптический конус.

(1.6.6)

(1.6.7)

Нецентральные поверхности

y2

x2

 z (1.6.8) a2 b2 λ =l-эллиптический параболоид, λ =-1 гиперболический параболоид. 2.Цилиндрические поверхности: y2 x2 a)   1, (1.6.9) a2 b2 λ=1- эллиптический цилиндр, λ=1- гиперболический цилиндр. x2 y2 б)   1 (1.6.10) 2 2 a b -мнимый эллиптический цилиндр(уравнению не удовлетворяет ни одна точка), y2 x2 в)  0 (1.6.11) 2 2 a b -пара плоскостей, г) х2 = 2ру, у2 = 2рх, z2 = 2рх , (1.6.12) и т.д. параболические цилиндры . 1.

Плоскости х = λа , а ≠0, λ=1 пара параллельных плоскостей; λ=-1 мнимые плоскости (уравнению не удовлетворяет ни одна точка пространства); 2

2


λ=0 - пара совпадающих плоскостей. Пример 1.6.1. Записать каноническое уравнение кривой второго порядка Зх2+4xу - 4х- 8y = 0 (сравните с решением примера 1.4.1 темы 1.4). Квадратичная форма, содержащаяся среди слагаемых левой части уравнения имеет вид F(x,y)= Зх2+ 4xy , а ее матрица A   3 2 , a11  3, a 22  0, a12  a 21  2  2 0 Вычислим собственные числа и собственные векторы матрицы А (см. тему 1.5) Пусть собственные векторы Х i (а 1 (i), а 2 (i)) i.=1,2, где а 1 (i), а 2 (i координаты. Система (1.5.5) для нахождения собственных векторов имеет вид (3-λ)a 1 +2a 2 =0 (1.6.14) 2a 1 -λa 2 =0 Найдем собственные числа λ , решив характеристическое уравнение (1.5.6) . det( A  E )  3   2   2  3  4  0; 1  4,  2  1 2  (1.6.4). Подставим первое собственное число λ 1 =4 в систему  a1  2a 2  0 a1  2C a1  2a 2 C  R. Откуда X 1  C  2  2 a  4 a  0 a  C 1  1  2 2 и соответствующий единичный вектор X 1 0 имеет вид 0 1  2 X2   . 5 1 Подставим второе собственное число λ 2 =-1 в систему (1.6.14): 1   1 4a1  2a 2  0 a  2a a1  C C  R X 2  C   1 X 20    2 a  a  0 2 1 a  2C 2  1  2 2 5 2  Перейдем в двумерное пространство R 2 к новому базису составленному из собственных векторов матрицы А Х 1 0 и Х 2 0. При этом матрица квадратичной формы В в новом базисе будет иметь вид (1.5.3) 1  2 1  3 2  1  2  1 1  8 4  2  1 1  20 0  B  T 1 AT            5   1 2  2 0  5  1 2  5  1  2  1 2  5  0  5   0    4 0    1   0  1  0  2  где матрица Т составлена из координат собственных векторов, записанных в столбцы. Связь между старыми координатами х, у (в базисе i, j ) и новыми координатами x 1 , y 1 (в новом базисе) реализуется по формуле  x   T  x1   1  2  1 x1   1  2 x1  y1  или x  1 (2 x  y ), y  1 ( x  2 y ),   y   y    1 1 1 1    1 5  1 2  y1  5  x1  2 y1  5 5 квадратичная форма в новом базисе имеет вид (1.6.3) (случай двух переменных) F(x 1, y 1 ) = 4x 1 2 - у 1 2 . Запишем равнение кривой второго порядка в новых координатах, приведем подобные.


4 8 (2 x1  y1 )  ( x1  2 y1 )  0 5 5 16 12 x1  y1  0 4 x12  y12  5 5 Уравнение совпало с уравнением, полученным в примере 1.4.1. темы 1.4 и поэтому дальнейшие преобразования идентичны. y 22 Ответ :  x2 1 4 сопряженная гипербола с полуосями а=1, b=2. Пример 1.6.2.Записать каноническое уравнение поверхности второго порядка 11x2 + 4ху + 2y2 - 16xz + 20yz + 5z2 + 6x + l2y -6=0. Запишем квадратичную форму, входящую в состав левой части уравнения F(x,y,z)=llxг + 4ху+2у2 - 16xz + 20yz + 5z2  11 2  8  Матрица этой квадратичной формы A   2 2 10    8 10 5    Собственные числа этой матрицы λ 1 = 9, λ 2 = l8, λ 3 = -9 и единичные cобственные векторы X 1 0 = (2/3, 2/3, 1/3)T, X 2 0 =(-2/3, 1/3, 2/3)Т, X 3 0=(1/3, -2/3, 2/3)Т найдены в примере 1.5.4 (см. тему 1.5). Связь между координатами x, y,z в старом базисе (i,j,k) и координатами x 1 ,y 1 ,z 1 в новом базисе (X 1 0,X 2 0,X 3 0) имеет вид  x  2  2 1  x1   y   1  2 1  2  y  или x  1 (2 x  2 y  z ) 1 1 1 1   3 1 2 3 2  z1   z 1 y  (2 x1  y1  2 z1 ) 3 1 z  ( x1  2 y1  2 z1 ) 3 Выше записанная матрица, как в примере 1.6.1,образована из координат собственных векторов, записанных в столбцы. Матрица квадратичной формы В в новом базисе - диагональная 9 0 0  B   0 18 0  а сама квадратичная форма имеет вид 0 0  9   2 F(x,y,z) =9x 1 +18y 1 2 -9z 1 2 Запишем уравнение поверхности второго порядка в новых координатах, приведем подобные члены и выделим полные квадраты 4 x12  y12 

9x 1 2 +18y 1 2 - 9z 1 2 + 2(2x 1 - 2y 1 + z 1 ) + 4(2x 1 +y 1 -2z 1 ) - б = 0; 9x 1 2 + I8y 1 2 - 9z 1 2 +12x 1 - бz 1 - б = 0;


4 2 x1 )  18 y12  9( z12  z1 )  6  0 3 3 2 2 4 1 1 2 9[( x1  )  ]  18 y1  9[( z1  ) 2  ]  6  0 3 9 3 9 2 2 1 2 2 9( x1  )  4  18 y1  9[( z1  )  1  6  0 3 3 2 2 1 9( x1  )  18 y12  9( z1  ) 2  9 3 3 Перейдем к новым координатам (параллельный перенос) 1 2 x 2  x1  ; y 2  y1 ; z 2  z1  3 3 y 22 2 2 2 2  z 22  1 9 x 2  18 y 2  9 z 2  9 или x 2  1 2 Полученное уравнение является каноническим уравнением однополо стного гиперболоида (1.6.7) с параметрами а =1, b =√2/2, с=1. После изучения материала, содержащегося в разделе 1, студент должен выполнить контрольную работу N1. 9( x12 

Вопросы для самопроверки 1. Изобразите схематично основные поверхности второго порядка. 2. Может ли алгебраическая поверхность второго порядка представлять собою: а) плоскость; б) пустое множество? Привести примеры. 3. Назовите типы и выпишите канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка. 4.Докажите, что всякое уравнение F(x,y,z)=0, где F-однородный многочлен второй степени, определяет конус с вершиной в начале координат . После изучения тем 1.1-1.6 раздела 1 студенту необходимо выполнить контрольную работу N1. Дополнение 1.1.Образец выполнения и оформления контрольной работы N1 "Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Матрицы. Элементы линейной алгебры." Задача N1.Вычислить : a) |m+2n| ;

б) угол между векторами т+ п и -m+ п , если |т|= 2 ,|п| = 3 , (т,п)=60 o . а)Согласно определения модуля |т+2п| = (m  2n) 2  m 2  4mn  4n 2  2  2 cos 0 0  4  2  3  cos 60 0  4  3  3  cos 0 0  4  12  36  52  2 13


б) угол между векторами a и b вычисляется по формулам (m  2n)( m  3n)  a, b  a, b ;   arccos cos(a, b)  cos   ; cos   | m  2n ||  m  3n | | a || b |  | a || b |  Вычислим отдельно числитель и знаменатель (т+2n)(-m+3n)=-m2+mn+6n2 = -2·2 +2·3-cos60°+6·3·3= -4+3+36 =35; |m+2n| =2√13 (см. пункт а) ; 1  m  3n  (m  3n) 2  m 2  6mn  9n 2  4  6  6   9  9  4  18  81  103 2 35 35  35   Таким образом, cos   ;   arccos  2 13  103 2 1339  2 1339  Задача N2.Заданы координаты четырех вершин пирамиды ABCD . А(-2,0,0), B(1,1,-1), С(-1,3,0), D(-1,0,2). Вычислить АВ; (АВ,АС); площадь ΔAВС, объем пирамиды; длину высоты DH пирамиды, проведенной к плоскости грани АВС. Записать уравнения: прямой АВ; плоскости АВС; высоты пирамиды DH; медианы AM треугольника АВС, высоты АК треугольника АВС, биссектрисы AL треугольника АВС . 1. Вектор АВ имеет координаты: АВ (3,1,-1) . Поэтому его длина равна: АВ= √9+l+l = √11 (ед) . 2.Угол φ между векторами АВ и АС определяется по формуле (1.2.3).Вычислим длину вектора ВС : BC=√4+4+1= 3 (ед) . AB, BC  6  2 1 5 cos   cos( AB, BC )    | AB || BC | 11  3 3 11 Скалярное произведение вычислялось по формуле (1.2.5) 5 5   arccos( )    arccos( ) 3 11 3 11 3.Площадь треугольника АВС вычислена в примере 1.2.9. 4.Объем пирамиды ABCD вычислен в примере 1.2.10 5.Длина высоты DH пирамиды, проведенной из вершины D к грани АВС также вычислена в примере 1.2.10. 6.Уравнение прямой АВ будем искать в виде (1.3.8), т.к. заданы две точки этой прямой А и В. x  xA y  yA z  zA   xB  x A yB  y A zB  z A Подставляя в последнее уравнение координаты точек А и В, получим (x+2)/3=y=-z 7.Уравнение плоскости АВС можно записать в виде (1.3.4), т.к. заданы координаты тpeх точек А,В,С


x  xA xB  x A xC  x A

y  yA yB  y A yC  y A

z  zA zB  z A  0 zC  z A

x2 y z 3 1  1  ( x  2) 1  1  y 3  1  z 3 1  3( x  2)  y  8 z  3 x  y  8 z  6  0 3 0 1 0 1 3 1 3 0 Уравнение плоскости АВС: 3x- y-8z+6 =0 (1.3.6) 8.Уравнение высоты пирамиды DH ищем в виде x  xD y  yD z  zD   m n p Координаты точки D известны/ а направляющий вектор прямой а(т,п,р) коллинеарен вектору нормали к плоскости АВС . Вектор нормали к плоскости АВС N имеет координаты N(3,-1,8) (см. пункт 7 данной задачи). Поэтому уравнение прямой DH имеет вид x 1 y z2   3 8 1 9. Уравнение медианы AM ищем в виде (1.3.8) x  xA y  yA z  zA   xM  x A yM  y A zM  z A Точка М- середина отрезка В С имеет координаты x  xC y  yC z  zC 1  0; y M  B  2; z M  B xM  B  2 2 2 2 Таким образом, уравнение медианы АМ имеет вид x2 y z   2 2 1 2 10. Уравнение высоты АК ищем в виде x  xA y  yA z  zA   (1.3.6) m n p Направляющий вектор прямой АК, вектор a(m,n,p) перпендикулярен вектору N(3,1,8)-нормали к плоскости АВС и вектору BС(-2,2,1) (рис.Д.1.1). Поэтому вектор а может быть вычислен по формуле (1.2.10) i j k a  N  BC  3  1 8  17i  19 j  4k 2 2 1 y x2 z Уравнение высоты АК имеет вид    17  19 4


11.Точка L-точка пересечения биссектрисы AL со стороной ВС делит отрезок ВС на части, длины которых пропорциональны длинам прилежащих сторон, т.е. BL AB    ; AB  11; AC  10 LC | AC | BL 11 11 Таким образом    и LC 10 10 По формулам деления отрезка в данном отношении находим координаты точки L 11 1 x B  x C 10  11 ( 10  11) 2 10    xL   ( 10  11) 2  2 110  21; 1  10  11 11 10  11 1 10 11 1 3 y  y C 10  3 11 10 yL  B    ( 10  3 11)( 10  11)  1  11 10  11 1 10  (10  2 110  33)  23  2 110 ; z  z C 1  10  zL  B   10 ( 10  11)  10  110 1  11 10  11 1 10 Уравнение биссектрисы AL ищем в виде (1.3.8) x  xA y  yA z  zA   xL  x A yL  y A zL  z A Подставляя в последнее уравнение координаты точек А и L, получим y x2 z   2 110  19 23  2 110 10  110 Задача N3.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (3,-1,2) и прямую L:

x 1 y  4 z 1 (рис. Д.1.2)   2 2 1


Рис.Д.1.2 Уравнение искомой плоскости ищем в виде (1.3.1) А(х-x 0 ) +B(y-y 0 )+C(z-z 0 )= 0 , где (x 0 , у 0 , z 0 ) координаты точки M 0 (1,-4,1), расположенной на прямой L и принадлежащей плоскости Р . Вектор нормали п к плоскости Р определим из условия n = М 0 М 1 x а , где М 0 М 1 (2,3,1), а (2, -1, 2 ) . i j k n  2 3 1  7i  2 j  8k 2 1 2 Таким образом п(А,В,С) = n(7,-2,-8) и уравнение плоскости имеет вид 7(х-1)-2(y+4)-8(z-1)=0 7х-2y-8z-7=0 Задача N4.Найти расстояние между прямыми x  2 y  2 z 1 L1 : ; L2 : x  1   3 y  2 z  18  0 3 4 2 Прямая L 1 , проходит через точку M 1 (2,-2,1) и имеет направляющий вектор a 1 (3,-2,4). Уравнение прямой L 2 запишем в виде (1.3.8), предварительно определив какие-либо две точки, например: К 1 (1,-6,0) и K 2 (1,0,9): x 1 y  6 z x 1 y  6 z или L2:     0 6 9 0 2 3 Направляющий вектор прямой L 2 a 2 (0,2,3). Прямые L 1 и L 2 не параллельны, т.к. a 1 ≠λa 2 , λR. Проверим пересекаются ли прямые L 1 , и L 2 использовав условие (1.3.18) 3  2 4 0  14 1 a1 a 2 K 1 M 1  0 2 3  0 2 3   14 3  44  0 2 1 1 4 1 1 4 1 Смешанное произведение векторов отлично от нуля, поэтому прямые L 1 , и L 2 не пересекаются, а являются скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми находим по формуле (1.3.20), предварительно вычислив |a 1 x a 2 | по формулам (1.2.10) и (1.2.6) Задача N5.Вычислить значение многочлена f(A) от матрицы А, если i j k a1  a 2  3  2 4  14i  9 j  6k ; | a1  a 2 | 196  81  36  133 0 2 3 | a a K M | 44 Таким образом d  1 2 1 1  (ед.) | a1  a 2 | 313


2 3 1 f ( x)  x  3 x  2; A   0  1 2 . 4 4 1   2 3 1  2 3 1   2 3 1   1 0 0   2  f ( A)  A  3 A  2 E  0  1 2  0  1 2   3 0  1 2   2 0 1 0    4 4 1  4 4 1   4 4 1   0 0 1         8 7 9 6 9 3 2 0 0 16 16 12          8 9 0    0  3 6   0 2 0   8 8 6  12 12 13  12 12 3   0 0 2   24 24 18          Задача N6.Матричным методом решить систему линейных алгебраическиx уравнений. x 1 +2x 2 +4x 3 =17 x 1 +x 2 +6x 3 =21 2x 1 +3x 2 +3x 3 =17 Решение системы находим по формуле (1.1.8) X= А-1В, где  x1  1 2 4 17      A  1 1 6 , B  21 , X   x 2     2 3 3 17       x3  а обратная матрица вычисляется по формуле (1.1.6) . 1 2 4 1 2 4 1 2 4 det A  1 1 6  0  1 2  0  1 2  1  1 2  7; 0 7 2 3 3 0 1  5 0 1  7 8 17  1   255  126  136  1  7   1  1   15 6 X   9  5  2  21   153  105  34   14    2  7  1 1  1 17  7  17  21  17  7  21  3  Таким образом, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 Задача N7. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка Зx2 + 4xy - 4х- 8y = 0 . Определить тип кривой. Решение задачи приведено в примерах 1.4.1 и 1.6.1. Метод решения студент выбирает сам. 2

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

P

R

R

R

R

R

P

R

P

P

Brysina_Metod_ukazanija_vysshaja_matematika_HAI  

Методические указания и рабочая программа по курсу «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ Харьков ХАИ 1998 Для студентов заочн...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you